Guia Matematicas 3 er Trimestre.pdf

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Matemáticas GUÍA DIDÁCTICA La guía didáctica Matemáticas 6, para sexto curso de Primaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán

ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina

EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

IA R A IM R P

Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Estudio Pep Carrió Fotografía de la cubierta: Leila Méndez Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Jorge Gómez,Raúl de Andrés Dirección técnica: Jorge Mira Coordinación técnica: Alejandro Retana Confección y montaje: Hilario Simón, Raquel Sánchez Corrección: Marta Rubio, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías:F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/J. Latova;

EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; NASA/Jacques Descloitres, MODIS Land Rapid Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK; ARCHIVO SANTILLANA.

© 2015 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid PRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-680-2979-5 Depósito legal: M-18626-2015 CP: 665806

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A l os legítimos usuarios de la mi sma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fi nes comerciales.

Índice Mapa de contenidos .................................................... 4 Guiones didácticos

Unidad 11. Áreas y volúmenes ................................... 6 Unidad 12. Estadística y probabilidad ..................... 24 Soluciones Proyecto Fin de etapa ............................ 53 Soluciones Lo esencial ............................................. 78

Unidad 1 2

3

4

5

Informaciónyactividades

Números naturales. Operaciones

6

Números de hasta nueve cifras Operaciones con números naturales

Operaciones combinadas Números romanos

Potencias

Expresión polinómica de un número Raíz cuadrada Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

Potencias y raíz cuadrada

22 Potencias de base 10

Números enteros

38 La recta entera. Comparación

Divisibilidad

54 Criterios de divisibilidad

Fracciones. Operaciones

70 Comparación de fracciones

Números enteros

Suma y resta de enteros Coordenadas cartesianas

Cálculo de todos los divisores

M.c.m. y m.c.d. Problemas de m.c.m. y de m.c.d. Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características Reducción a común denominador

Suma y resta de fracciones Multiplicación y división de fracciones

REPASO TRIMESTRAL

6

Números decimales. Operaciones

88

7

División de números decimales

102

8

Proporcionalidad y porcentajes

118

Medida

132

Volumen

148 El metro cúbico. Submúltiplos

9

10

Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales

Aproximaciones y estimaciones

División de decimal entre natural Aproximación de cocientes División de natural entre decimal Expresión decimal de una fracción División de decimal entre decimal Tratamiento de la información. Histogramas Proporcionalidad Problemas de porcentajes

Longitud, capacidad y masa Sistema sexagesimal Tratamiento de la información. Histogramas Volumen con un cubo unidad

Escalas: planos y mapas

Superficie

Volumen de ortoedros y cubos Volumen y capacidad

El metro cúbico. Múltiplos

REPASO TRIMESTRAL

Áreas de geométricos. figuras planasPoliedros regulares Cuerpos

11

Áreas y volúmenes

164

12

Estadística y probabilidad

Media y moda 180

Variables estadísticas. Frecuencias

Mediana. Rango Probabilidad Tratamiento de la información. Análisis crítico de gráficos

REPASO FINAL PROYECTO FIN DE ETAPA

Áreas de cuerpos geométricos Volúmenes de cuerpos geométricos

Descubre las Matemáticas en…

Solucióndeproblemas

Cálculomental

Saberhacer

Relacionar enunciado y resolución

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Pasos para resolver un problema

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 cifras

Elegir un presupuesto

Explicar qué se ha calculado

Restar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Buscar datos en varios gráficos

Restar 999, 1.999, ... a números de 4 cifras

Analizar la difusión de una noticia

Sacar conclusiones de un enunciado

Dividir un número natural entre decenas y centenas

Interpretar datos geográficos

Buscar datos en varios textos y gráficos

Calcular la fracción de un número

Elaborar tablas a partir de informaciones Hacer una tabla

Sumar por compensación: sumar y restar el mismo número

Organizar un campamento

Sumar por compensación: restar y sumar el mismo número Determinar la representación gráfica de una situación

Restar por compensación: sumar el mismo número

Estudiar la pureza de una joya

Restar por compensación: restar el mismo número

Representar la situación

Cambiar los datos

Multiplicar un número natural por 2

Anticipar una solución aproximada


Analizar acciones de la Bolsa

Extraer datos de la resolución


Representar datos con dibujos


Entender la etiqueta de un alimento

Escribir preguntas a partir de una tabla o gráfico

Estimar sumas y restas de números decimales aproximando los términos a las unidades

Interpretar información científica

Sumar un número decimal y un natural

Analizar datos hidrológicos

Resolver problemas empezando por el final Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos

Restar un número natural a un decimal

Representar gráficamente la situación Elegir preguntas que se puedan resolver Empezar con problemas más sencillos

Estimar productos aproximando el número decimal a las unidades

Trabajar con densidades

Multiplicar un número decimal por decenas y por centenas

Elegir la solución correcta Reducir el problema a otro problema conocido

Calcular el 10 % de un número Calcular el 50 % de un número

Diseñar envases

Determinar varias soluciones

Calcular el 20 % de un número

Realizar un control de calidad

Hacer un diagrama de árbol

Calcular el 25 % de un número

11 Áreas y volúmenes Contenidos de la unidad

SABER

GEOMETRÍA

•

Áreas de figuras planas.

•

Cuerpos geométricos.

•

Poliedros regulares.

•

Áreas de cuerpos geométricos.

•

Volúmenes de cuerpos geométricos.

•

•

•

GEOMETRÍA •

•

SABER HACER

•

•

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

FORMACIÓN EN VALORES •

6

Cálculo de áreas de figuras planas: paralelogramos, polígonos regulares, círculos y figuras compuestas. Reconocimiento y clasificación de cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cuerpos redondos…) y sus elementos. Identificación de los poliedros regulares y sus características. Cálculo áreas de ycuerpos (prismas,depirámides cuerposgeométricos redondos). Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos (prismas, pirámides y cuerpos redondos). Resolución de problemas de áreas y volúmenes. Elección de la solución correcta a un problema entre varias opciones. Resolución de problemas reduciéndolos a problemas conocidos. Diseñar envases. Valoración de la utilidad del cálculo de áreas y volúmenes en distintas situaciones cotidianas. Interés por realizar los cálculos de forma cuidadosa y expresar las soluciones de manera correcta.

Banco de recursos para la unidad BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

RECURSOS DIGITALES

Programación didáctica de aula

LibroMedia •

Unidad 11: actividades y recursos.

Recursos para la evaluación Evaluación de contenidos. Unidad 11: pruebas de control B y A.

LibroNet

•

Evaluación por competencias. Prueba 11.

MATERIAL DE AULA

•

Rúbrica. Unidad 11.

•

Láminas

Enseñanza individualizada •

Plan de mejora. Unidad 11.

•

Programa de ampliación. Unidad 11.

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

Cuaderno del alumno

Proyectos de trabajo cooperativo •

•

Proyecto del tercer trimestre.

Tercer trimestre. Unidad 11.

Solución de problemas. Método DECA

Recursos complementarios •

Fichas para el desarrollo de la inteligencia.

•

Manual de uso de la calculadora.

•

Operaciones y problemas.

i

Aprendizaje eficaz •

CUADERNO

as mátic Mate

_ - _ _

Te rce

A I R A M I R P

Técnicas de estudio ypreparación de exámenes.

IA R A M I R

Matemáticas Tercer trimestre

P

stre r trime

Proyectos interdisciplinares •

•

Programa de Educación en valores. Programa de Educación emocional. 7 _

•

11 n _

t m ti

s _ -1 _

7 7.i n

1 :11:1 / /

1

Inteligencias múltiples. : / /

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.i

SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Abril

Mayo

Junio

7

Propósitos

11 Áreas y volúmenes

• Reconocer situaciones reales donde aparecen cuerpos geométricos. • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • El aprendizaje de las fórmulas exige un esfuerzo de atención y memorización. Al principio puede ayudar a los alumnos tener en clase un mural con una tabla de fórmulas, aunque posteriormente convenga que trabajen sin este apoyo gráfico. Al hacer las actividades, pídales que escriban siempre la fórmula que utilizan. También es interesante preguntarles de vez en cuando qué datos necesitan para poder aplicar cada fórmula para que vayan interiorizando las relaciones existentes en cada cuerpo entre su área o volumen y las medidas necesarias para calcularlos (base, altura, radio, perímetro…).

Trabajo colectivo sobre la lámina Pida a un alumno que lea la lectura y pregunte a la clase qué términos geométricos aparecen en ella. Explore las ideas previas y los contenidos sobre cuerpos geométricos y áreas que los alumnos recuerdan de cursos anteriores. 1

El techo de la mastaba tenía la misma forma que la base, pero su superficie era menor.

2

La mastaba tenía 8 vértices, 6 caras y 12 aristas.

3

La pirámide de base cuadrada tiene 5 vértices, 5 caras y 8 aristas.

4

Las caras laterales de la pirámide son triángulos isósceles y acutángulos.

5

8

Se obtendrían dos piezas: una pirámide de base pentagonal y un poliedro. La pirámide

¿Cómo eran las tumbas en Egipto antes de

las pirámides?

Si te preguntan cómo eran las tumbas de los faraones en el Antiguo Egipto seguro que piensas en las pirámides. Es cierto que en esa época tenían forma de pirámide con base cuadrada, pero si investigas, verás que las tumbas anteriores eran distintas. Las tumbas de los primeros faraones eran cámaras subterráneas. Sobre ellas se levantaban construcciones de base rectangular y paredes inclinadas con forma de trapecio, siendo su techo también rectangular. Este tipo de tumba se llama mastaba. Su forma era como la de una pirámide de base rectangular a la que le hubieran quitado con un corte su parte superior. Las mastabas dieron paso a otro tipo de monumento formado apilando mastabas. Eran las pirámides escalonadas. Más tarde, estas pirámides escalonadas evolucionaron a las pirámides que conoces. 164

Otras formas de empezar • Dibuje en la pizarra varias figuras planas y cuerpos geométricos, indique a los alumnos que son representaciones de lugares y objetos, y ponga algunos ejemplos en común: fincas o campos de cultivo, envases, depósitos, edificios… Hágales preguntas y comentarios para que comprendan la utilidad de hallar sus áreas y volúmenes. Por ejemplo: – ¿Cómo podemos saber cuánto cuesta esta finca, si nos dan el precio del metro cuadrado de terreno? – ¿Cómo podemos saber cuántos metros de cartón se necesitarían para hacer mil envases como este?

UNIDAD

11

Lee, comprende y razona 1

Observa el dibujo. El te cho de la mastaba ¿tiene la misma superficie que la base?

2

¿Cuántos vérti ces tiene la ma staba? ¿Y caras? ¿Y aristas?

3

La pirámide de base cuadrada q ue hay al fondo del dibujo, ¿cuántos vértices tiene? ¿Y caras? ¿Y aristas?

tendría 6 caras, 6 vértices y 10 aristas. El poliedro obtenido, que no es un prisma, ya que sus bases no son iguales, tendría 7 caras, 10 vértices y 15 aristas.

SABER HACER TAREA FINAL

¿Qué sabes ya?

Diseñar envases 4

¿De qué polígono tiene n forma las caras laterales de la pirámide?

5

EXPRESIÓN ORAL. Si cortases una pirámide cuya base fuera un pentágono con un corte paralelo a la base, ¿cómo serían los dos cuerpos obtenidos? Descríbelos.

Con estas actividades el alumno recordará algunas fórmulas de áreas de figuras planas conocidas ya de cursos anteriores y que le serán necesarias en el trabajo posterior realizado en la unidad.

Al f inal de la un idad diseñarás envases para distintos productos. Ante s, t raba jará s co n los cuerpos geométricos, sus áreas y sus volúmenes.

cia teligen Inlingüística

1 ¿Qué sabes ya?

Áreas de figuras planas Cuadrado l

A 5

lado

Rectángulo y Romboide 3

lado

A 5 l 3 l 5 l

A 5 h

h

2

b

base

altura

2

5

A5p3

b 3 h

2

•

A5

5 cm 3 3 cm 5 15 cm2

•

A5

(12 cm 3 6 cm) : 2 5 36 cm2

•

A 5 p 3 (10

cm)2 5 314 cm2

Notas

radio2

2 A5p3r

Usa 3,14 como valor de p.

Halla el área de cada figura plana. Un cuadrado de lado ( l) 4 cm . Un rectángulo y un romboide de base (

4 cm 3 4 cm 5 16 cm2

de un cuadrado, su área se multiplica por 4.

Círculo

r 3

b

1

altura

b

Triángu lo A 5

3

A5

2 Al duplicar la longitud del lado

A 5 b 3 h

l

h

base

•

b)

5 cm y altu ra ( h ) 3 cm.

Un triángulo de base ( b) 12 cm y altu ra ( h) 6 cm. Un círculo de radio ( r ) 10 cm. 2

Piensa y contesta. Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado, ¿qué ocurre con

su área?

165

Competencias •

•

Competencia lingüística. En la actividad de Expresión oral los alumnos deben describir cuerpos geométricos sin ayuda de una representación gráfica. Pídales que usen términos matemáticos y se expresen de forma clara y razonada. Aprender a aprender. Comente a los alumnos que ya conocían cómo hallar áreas y perímetros de figuras planas y que en esta unidad van a seguir avanzando en esos conocimientos y aprender a calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Indíqueles que ahora pasarán de las dos dimensiones a las tres dimensiones.

9

Área del rombo Propósitos

m c 2 D 5

• Calcular el área de un rombo.

¿Cuál es el área de este rombo?

5 cm

5 d

• Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas de rombos.

m c 2

d

5 d

D

Sugerencias didácticas

5 h

b 5D 5

Para explicar. Muestre cómo se

puede obtener la fórmula del área de un rombo a partir del área de un rectángulo que tenga como base

Área del rombo

5 cm

5

área del rectángulo 2 Área

la diagonal mayor y como altura la diagonal menor. Indíqueles también que podemos obtener el área como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos en los que está dividido por sus diagonales.

Fíjate en que si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices, se forma un rectángulo. La base del rectángulo es igual a la diagonal mayor del rombo, D, y la altura del rectángulo es igual a la diagonal menor, d. Observa que la parte amarilla es de igual área que la parte naranja. Es decir, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

5

D 3 d

5

5

5 cm

2

1

Mide las diagonales de cada rombo y calcula su área.

2

Calcula el área de cada rombo.

diagonal mayor

3

diagonal menor

2 3

2 cm

5

5 cm

D 3 d 5

2

2

2

Para reforzar. Pida a los alumnos

que dibujen distintos rombos en una hoja de papel (indíqueles que basta con trazar dos perpendiculares, marcar la longitud de cada diagonal en ellas y unir los puntos obtenidos). Después, los pasarán a su compañero para que este calcule sus áreas.

La diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal menor 6 cm. La diagonal menor mide 7 m y la dia gonal mayor 8 m. Cada diagonal mi de 12 cm. Una cometa con forma de ro mbo cuyo palo largo mide 8 dm y el palo corto mide 5 dm. 3

5

(6 cm 3 2 cm) : 2

5

6 cm2

A5

(3 cm 3 2 cm) : 2

5

3 cm2

A5

(6 cm 3 4 cm) : 2

5

12 cm2

1 A

2

•

(8 cm 3 7 cm) : 2 2 5 28 cm

•

A5

•

A5 5

•

(8 dm 3 5 dm) : 2 20 dm2

A5

•

d5 D5

•

5

5

2 3 6 cm 5 12 cm 2 3 8 cm 5 16 cm

(16 cm 3 12 cm) : 2 5 2 5 96 cm El resultado es el mismo. A5

Notas

10

166

5

(8 cm 3 6 cm) : 2 5 24 cm2 2 2 A 5 4 3 24 cm 5 96 cm

•

Calcula el área del r ombo como suma de las áreas de los triángulos. ¿Cuánto mide la diagona l menor del rombo? ¿Y la diagonal mayor? Halla el área del rombo con la fórmula usual. ¿Obtienes el mismo resultado que antes?

5

(12 cm 3 12 cm) : 2 72 cm2

A5 5

3

(10 cm 3 6 cm) : 2 30 cm2

A5 5

Piensa y resuelve. A yúdate de un dibujo.

Un rombo está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Actividades

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen todos los rombos cuyas diagonales sean números enteros y tengan un área definida por usted; por ejemplo, 48 cm 2. Después, puede pedirles que dibujen algunos de ellos, los recorten y los comparen por superposición. • Entregue a los alumnos en una hoja cuadrados de distintos tamaños, de manera que sus lados midan centímetros exactos. Solicite que tracen sus diagonales y calculen el área de cada uno como un caso particular de rombo. Pídales que la comparen con la que obtendrían usando la fórmula del área del cuadrado. Se trata de que investiguen la relación entre la longitud del lado del cuadrado y la de su diagonal.

Área de polígonos regulares

11

l

5

• Calcular el área de polígonos regulares.

Todos los po lígonos regulares se pueden de scompone r en triángulos iguales, uniendo su centro con sus vértices. La base de cada triángulo es un lado del polígono y la altura es el segmento que une el centro h 5 ap 5 1,4 cm del polígono con el punto medio del lado. b 5 l 5 2 cm Ese segmento se llama apotema , ap.

ap

2 cm

Sugerencias didácticas Para explicar. Es i mportante que

El área del polígono es la suma de las áreas de todos los triángulos obtenidos. Si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P, y cuya altura es la apotema, ap. h

5

ap

5

los alumnos vean un sentido en las fórmulas, ya que eso les ayudará a memorizarlas o a recordarlas en caso de olvido. Señale cómo se obtiene el romboide

1,4 cm b

Área del polígono regular

5

Área

5

5

P

5

5

2 cm

3

5

área del romboide 2 P

3

2

ap

5

10 cm

perímetro

5

10 cm

3

3

apotema

2

1,4 cm

2

5

P

3

a partir de los triángulos en los que podemos dividir cada polígono regular, y muestre cómo el área del polígono es la mitad del área de ese romboide.

ap

2

= 7 cm 2

Para reforzar. Entregue a los

1 Observa cada polígono regular y contesta.

alumnos distintos polígonos regulares dibujados en una hoja cuyos lados midan centímetros exactos. Pídales que tracen la circunferencia que pasa por todos sus vértices y que midan después la apotema del polígono. Por último, calcularán sus áreas.

¿En cuántos triángu los iguales se puede divi dir? ¿Cuál es su área, sabi endo que el área de cada triángulo marcado es 5 m 2? 2 Calcula el área de cada polígono r egular. l l

ap

5

ap

10 cm 6,9 cm

5

11

Propósitos

¿Cuál es el área de este pentágono regular?

1,4 cm

UNIDAD

l

5

ap

ap

6 cm 7,2 cm

5

l

Actividades

Cálculo mental

1 Cuadrado:

Calcula el 10 % de un número o multiplica por 0,1: divide entre 10

10 % de 40 0,1 3 40

40 : 10

5

4

10 % de 6 10 % de 9 0,1 5 3 0,1 7 3

0,1 0,1

10 % de 30 10 % de 80 67 3 79 3

10 % de 800 10 % de 420 0,1 3 3.000 0,1 3 5.200

•

En 4 triángulos.

•

A5

4 3 5 m2 5 20 m2

Hexágono regular: • En 6 triángulos. • 167

A5

2 • A 5

•

6 3 5 m2 5 30 m2

(50 cm 3 6,9 cm) : 2 172,5 cm2

5

(48 cm 3 7,2 cm) : 2 172,8 cm2

5

5

A5 5

Otras actividades • Dibuje en la pizarra un cuadrado de 4 dm de lado y pida a un alumno que trace sus dos diagonales. Muestre que el punto donde se cortan las diagonales es el centro del cuadrado, trace la apotema y razone en común que mide 2 dm. Pida a los alumnos que calculen su área de dos formas: por la fórmula usual del área del cuadrado y por la fórmula del área de un polígono regular, y que comprueben que se obtiene el mismo resultado.

Cálculo mental • 0,6

• 3

• 80

• 0,9

• 8

• 42

• 0,5

• 6,7

• 300

• 0,7

• 7,9

• 520

Notas

11

Cuerpos geométricos: tipos y elementos Propósitos

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.

• Reconocer los cuerpos geométricos más importantes: prismas, pirámides y cuerpos redondos, y distinguir sus elementos.

Los prismas y pirámides son poliedros. Los prismas tienen dos caras e iguales llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base, y el resto de caras son triángulos. Se nombran según el polígono que forma sus bases.

paralelas

Sus elementos son: Prisma hexagonal

Pirámide hexagonal vértice o cúspide

base cara lateral


arista lateral

arista lateral

Para explicar. Comente con los

cara lateral vértice base arista básica

vértice arista básica

alumnos las diferencias entre poliedros y cuerpos redondos, y los elementos de los distintos cuerpos geométricos. Recuérdeles que los prismas y pirámides se nombraban por el polígono de su base. Escriba en la pizarra un esquema en el que quede clara la división de los cuerpos geométricos: poliedros (y, dentro de ellos, prismas, pirámides y otros poliedros) y cuerpos redondos (y, dentro de ellos, cilindros, conos y esferas).

Hay cuerpos geométricos que no son poliedros. Los cuerpos redondos son cuerpos con superficies curvas. Sus elementos son: Cilindro

Cono base

generatriz

superficie lateral curva radio

Esfera vértice superficie lateral curva base radio

Para reforzar. Dibuje distintos

cuerpos geométricos en la pizarra (o pida a algún alumno que lo haga) para que sus compañeros digan de qué cuerpo se trata y cuáles son sus elementos.

1

Clasifica cada cuerpo.

2

Copia en tu cuaderno las oraci ones verdaderas. Todos los poliedros son prismas o pirámides. Todos los prismas y pirámides son poliedros.

Actividades

Los cuerpos redondos tienen toda s sus superficies curvas.

1 Pirámide pentagonal.

Un poliedro tiene si empre más de 3 caras. Un prisma tiene siempre un número par de vértices.

Esfera. Poliedro.

168

Cono. Prisma hexagonal. Cilindro. 2 Son verdaderas la segunda,

cuarta y quinta oraciones.

Notas

Otras actividades • Formule en clase preguntas similares a las siguientes, pidiendo que las contesten en su cuaderno de un modo razonado: – ¿Puede un prisma tener solamente dos caras laterales? – ¿Puede tener un prisma dos desarrollos diferentes? – ¿Puede tener una pirámide menos de cuatro vértices? – ¿Puede un prisma tener un número impar de vértices? – ¿Puede una pirámide tener un número impar de aristas?

12

superficie curva

radio

Poliedros regulares

11

11

Propósitos

Desde la Antigüedad, ha habido un tipo de poliedros que ha interesado a muchos matemáticos. Son los poliedros regulares.

• Reconocer los poliedros regulares, sus elementos y características.

Los poliedros regulares son aquellos que tienen como caras polígonos regulares iguales entre sí y en cada vértice del poliedro coincide el mismo número de caras. Solo existen estos cinco:

1

UNIDAD


Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

4 caras

8 caras

20 caras

6 caras

12 caras

Para explicar. Señale que los

poliedros regulares no solo deben tener sus caras iguales, sino que debe concurrir igual número de ellas en cada vértice. Indique que solamente existen los cinco poliedros mostrados en la página y pídales que enuncien sus características.

Observa los cinco poliedros re gulares y completa la tabla en tu cuaderno.

Para ampliar. Pida a los alumnos

que averigüen el número de vértices y aristas de cada poliedro regular. Ayúdeles comentando que pueden partir del número de aristas y vértices de cada cara y multiplicar, pero que deben tener cuidado porque cada lado de las caras y cada vértice está compartido con otras caras.

Nombre del poliedro regular Número de caras Polígono de las caras

2

Piensa y contesta. Las caras de un dodecaedro son pentágonos reg ulares de lado 10 cm y apotema 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras? Las caras de un octaedro son triángulos equilát eros de base 8 cm y altura 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras?

Actividades Razonamiento Observa las figuras y

1 Tetraedro: 4 caras, triángulos escribe qué poliedros forman al

plegarlas.

equiláteros. Octaedro: 8 caras, triángulos

Estas figuras se llaman desarrollos. Plegándolas,

se pueden formar cuerpos geométricos.

169

equiláteros. Icosaedro: 20 caras, triángulos equiláteros. Cubo: 6 caras, cuadrados. Dodecaedro: 12 caras, pentágonos regulares. 2 • A

(50 cm 3 6,9 cm) : 2 172,5 cm2 2 A 5 12 3 172,5 cm 5 2 5 2.070 cm 5

5

5

Otras actividades • Proporcione a los alumnos desarrollos de los poliedros regulares y pídales que los construyan. De esta manera, podrán conocerlos mejor y trabajar el conteo de elementos en los casos en los que hayan tenido más dificultades. • Realice actividades similares a la actividad 2 del libro, proporcionando a los alumnos datos sobre los polígonos de las caras y pidiéndoles que calculen el área del poliedro regular asociado.

•

(8 cm 3 6,9 cm) : 2 5 27,6 cm2 2 2 5 8 3 27,6 cm 5 220,8 cm

A5 5

A

Razonamiento Figura verde: cubo. Figura roja: tetraedro. Figura morada: ortoedro. Figura amarilla: pirámide pentagonal.

13

Áreas de prismas y pirámides Propósitos El área de un cuerpo geométrico se obtiene sumando las áreas de todas las superficies que lo delimitan.

• Calcular áreas de prismas y pirámides.

El área de un prisma es la suma de las áreas de las dos bases más las áreas de las caras laterales (paralelogramos).


A 5 cm

Para explicar. Comente con los alumnos los dos ejemplos resueltos en el cuadro teórico y deje claro que el área del cuerpo es la suma de las áreas de todos los polígonos que forman sus caras. En caso

3 cm

ABASES

5

1

ACARAS LATERALES

2

3

8 cm

A C. LATERALES

5

2

5

30 cm 2

A BASES

5

8 cm

A

5

48 cm

2

1

(polígonos iguales)

3

3 cm

3

3 cm

3

110 cm

48 cm 2

80 cm 2

1 2

5

5 cm

5

1 5

158 cm

2

3

8 cm

3

A

5

A BASE

A BASE

5

10 cm

AC. LATERALES 8 cm

5

5

10 cm

A

1

1

A CARAS LATERALES

14 cm

13,7 cm

Para reforzar. Pida a los alumnos que calculen las áreas de distintos prismas y pirámides obtenidos cambiando los datos de las figuras que aparecen en la página. Entregue a los alumnos diferentes desarrollos planos rotulados y pídales que digan qué cuerpo se forma a partir de ellos y cuál será el área de ese cuerpo.

5

80 cm 2

2

3

3

8 cm

137 cm

1

5

10 cm 2

1

249 cm 2

Calcula el área de cada cuerpo geométrico. Fíjate

80 cm 2 13,7 cm 2

3

112 cm

5

2

1

5

8 cm

23

249 cm

329 cm 2

en su desarrollo.

5 cm 3 cm 5 cm

5 cm

2 Calcula el área de cada cuerpo.

h

5

12 cm

El área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema dividido por 2.

ap

2 • A

6 3 10 cm 3 10 cm 2 5 600 cm 5

6,9 cm

10 cm cm 10

cm8

170

5

Competencias 5

(48 cm 3 6,9 cm) : 2 1 6 3 (8 cm 3 12 cm) : 2 5 2 5 453,6 cm A5 1

Notas

14

5

m c 0 1

A5 1

•

5

8 cm

5

5 cm 3 5 cm 1 4 3 (5 cm 3 8 cm) : 2 2 5 105 cm

14 cm

2

8 cm

Actividades

•

3

2

RECUERDA

2 3 5 cm 3 3 cm 1 1 2 3 3 cm 3 8 cm 1 1 2 3 5 cm 3 8 cm 5 2 5 158 cm

5

El área de una pirámide es la suma del área de su base más la suma de las áreas de las caras laterales (triángulos ).

de dificultades, puede dibujar en la pizarra el desarrollo de los cuerpos para que los alumnos comprendan mejor esa relación. Señale la importancia de saber calcular las áreas de figuras planas a la hora de obtener las áreas de los prismas y pirámides.

1 • A

5 cm

110 cm 2 2

• Competencia matemática, científica y tecnológica. La actividad 1 permite realizar un trabajo muy interesante relacionado con la visión espacial. Se proporciona a los alumnos el desarrollo de cada cuerpo para que tomen conciencia de la relación entre la representación plana y su correspondencia en el espacio. Pida a un alumno que salga a la pizarra, copie cada desarrollo y, con la ayuda de sus compañeros, rotule cada uno de los segmentos del desarrollo de acuerdo con la rotulación de los cuerpos geométricos.

Áreas de cuerpos redondos

• Calcular áreas de cilindros, conos y esferas.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio ( r) de l cu erpo . En el caso del cilindro se usa también la de su altura ( h) y en el del cono, la de su generatriz ( g ).

Área del cono


Área de la esfera

Para explicar. Muestre a los alumnos

r g

h

las similitudes con las áreas de prismas y pirámides (el área de cada cuerpo es el área de las superficies que lo forman) y sus diferencias (en los cuerpos redondos no se puede

r r

A A

1

5

2

5

3

ABASES

p3

r2

1

1

ASUP. CURVA

2

3

p3

r

A 3

h

A

5

5

A BASE

1

A SUP. CURVA

r2

1

p3

p3

r

3

A g

A

5

5

ASUP. CURVA

4

3

p3

hablar de caras). Dibuje en la pizarra los desarrollos planos de cilindros y conos y comente qué término de la fórmula se asocia con cada parte del desarrollo.

r2

Calcula el área de cada cuerpo. Fíjat e en su desarrollo.

Para reforzar. Entregue a los

3 cm

alumnos distintos desarrollos planos rotulados y pídales que digan qué cuerpo se forma a partir de ellos y cuál será el área de ese cuerpo.

10 cm m c 8

2

11

Propósitos

El área de un cuerpo redondo se obtiene sumando las áreas de las superficies, planas y/o curvas, que lo delimitan.

Área del cilindro

UNIDAD

11

5 cm

encia Intelig cial espa

Piensa y calcula el ár ea de cada cuerpo re dondo.

Actividades

Un bote de conservas cilíndric o de radio 8 cm y altura 12 cm.

2 3 p 3 (3 cm)2 1 2 3 p 3 3 cm 3 8 cm 5 2 5 207,24 cm

Un cono de plástico d e radio 10 cm y generatri z 20 cm. Una bola de madera de r adio 40 cm.

1 • A

La esfera NO tiene desarrollo plano.

•

Razonamiento Piensa y contesta. Después, calcula y

cm)2 1 cm 3 10 cm 2 5 235,5 cm A 5 p 3 (5 1 p 35

comprueba tu respuesta.

Un cilindro, un cono y una esfera tienen el mismo radio, 10 cm. La altura del cilindro y la generatriz del cono miden también las dos ¿Cuál de los tres cuerpos crees que tiene mayor área? ¿Cuál crees que tiene un área menor?

5

1

10 cm.

2 3 p 3 (8 cm)2 1 2 3 p 3 8 cm 3 12 cm 2 5 1.004,8 cm

2 • A

5

1

•

171

5

•

Otras actividades

– Un cono que tenga la mitad de radio que otro y su misma altura, ¿tiene la mitad de área?

5

942 cm2 4 3 p 3 (40 cm)2 5 20.096 cm2

A5 5

Razonamiento 2 3 p 3 (10 cm)2 1 2 1 3 p 3 10 cm 3 10 cm 5 2 5 1.256 cm

•

ACILINDRO 5

•

ACONO 5 p 3 (10

– Un cilindro que tenga el doble de radio y de altura que otro, ¿tiene el doble de área? – ¿Cuál tiene mayor área: un cilindro de radio y altura iguales o una esfera con el mismo radio que el cilindro?

cm)2 1 cm 3 20 cm

5

A 5 p 3 (10 1 p 3 10

• Pida a los alumnos que exploren cómo varía el área de los cuerpos redondos cuando cambian sus dimensiones. Dígales que tomen casos concretos para intentar enunciar una regla general. Por ejemplo:

5

1 p 3 10 5

•

cm)2 1 cm 3 10 cm 5

628 cm2 4 3 p 3 (10 cm)2 5 1.256 cm2

AESFERA 5 5

El cilindro y la esfera tienen la misma área. El cuerpo de menor área es el cono.

15

Volúmenes de prismas y pirámides Propósitos El volumen de un prisma

• Calcular volúmenes de prismas y pirámides.

es el producto del área de una V

ABASE

5

5 cm

• Hallar volúmenes de cuerpos geométricos compuestos.

ABASE 3 cm

V

5

5

3

base por la altura.

h

8 c m 3 3 cm

24 cm 2 3 5 cm

5

5

24 cm 2

120 cm 3

8 cm


El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice. No la confundas con la altura de las caras laterales.

Para explicar. Comente las fórmulas

de los volúmenes de prismas y pirámides. Puede ser muy interesante construir, a partir de su desarrollo,

5

ABASE

5

V

261 cm 2 3 15 cm 3

8,7 cm

un prisma y una pirámide que tengan la misma área de la base y la misma altura, y que los alumnos comprueben, llenando la pirámide por ejemplo con arena, que el volumen de tres pirámides equivale al del prisma. Señale la importancia de no confundir, en las pirámides, la altura de la pirámide con la altura de las caras laterales.

10 cm

1

ABASE 3 h 3

V

15 cm

P

5

3

2

6

ap

3

5

10 cm 3 8,7 cm 2 5

1.305 cm

5

261 cm 2

3

Calcula el volumen de cada cuerpo.

8 cm 8,7 cm m c 8


5,2 cm 8 cm

que realicen dibujos de prismas y pirámides y los rotulen para que sus compañeros calculen sus áreas y volúmenes.

9 cm

2

6 cm

10 cm

8 cm

Calcula el volumen de cada cuerpo. Haz un dibujo aproximado. Un prisma de base triangu lar y altura 10 cm. Su base es un triángulo de 7 cm de base y 5 cm de altura. Una pirámide cuya base es u n cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es 12 cm.

Actividades 1 • V 5

•

(8 cm 3 8 cm) 3 8 cm 5 512 cm3

5

(9 cm 3 10 cm) 5 90 cm2 2 V 5 (90 cm 3 8 cm) : 3 5 3 5 240 cm

3

ABASE 5 5

•

Calcula el volumen de este cuerpo. Fíjate bien en los cuerpos que lo componen.

10 cm

5 cm 5 cm

10 cm 20 cm

10 cm

172

(36 cm 3 5,2 cm) : 2 93,6 cm2 2 V 5 (93,6 cm 3 8,7 cm) 5 3 5 814,32 cm ABASE 5

5

5

2 • ABASE 5 (7 cm 3 5 cm) : 2

17,5 cm2 2 V 5 17,5 cm 3 10 cm 3 5 175 cm

5

5

•

5

10 cm 3 10 cm 5 100 cm2 2 V 5 (100 cm 3 12 cm) : 3 3 5 400 cm ABASE 5 5

3 • V

5

20 cm 3 5 cm 3 5 cm 1 10 cm 3 10 cm 3 10 cm 5 3 5 1.500 cm 1

16

5

Otras actividades • Además de realizar más actividades de cálculo de volúmenes de figuras compuestas apilando otras (actividad 3), es interesante trabajar con los alumnos actividades en las que aparezcan prismas que tengan «agujeros», y que estos sean también prismas. Señale que el volumen de ese cuerpo puede obtenerse como el volumen del cuerpo mayor menos el volumen que ocupa ese «agujero». Muestre que el volumen resultante no depende de la posición que tenga ese «agujero».

UNIDAD

11 2

Volúmenes de cuerpos redondos

11

Propósitos El volumen de un cilindro y de un cono se calculan de forma similar al de un prisma y una pirámide, respectivamente. El de la esfera se halla de forma diferente.

• Calcular volúmenes de cilindros, conos y esferas.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio ( r) de l cu erpo . En el caso del cilindro y el cono se usa también la de su altura ( h). Volume n de l ci lind ro

Volume n de l co no


Volume n de la e sfer a

Para explicar. Comente las

r

h

similitudes en las fórmulas de prismas y cilindros y de conos y pirámides, indicando que la base de cilindros y conos es un círculo. Comente el caso especial de la esfera, indicando que no tiene desarrollo plano.

r

h r

V 5 ABASE 3 h

A 5

V 5

V 5 p3 r 3 h 2

ABASE 3 h

3 p 3 r2 3 h

V 5

3

43p 3

3 r

3

Actividades 1 • V 1

Halla el volumen de cada cuerpo redondo.

5

Un bote de conservas cilíndrico de radio 10 cm y altura 15 cm.

•

Un cono de plástico de radi o 12 cm y altura 16 cm.

5

cm)2 5 452,16 cm2 2 V 5 (452,16 cm 3 16 cm) : 3 3 5 2.411,52 cm ABASE 5 p 3 (12 5

Una bola de vidrio de radio 4 cm . 2

cm)2 3 15 cm 4.710 cm3

5 p 3 (10

Calcula el volumen de cada cuerpo.

•

6 cm

6 cm

5

(4 3 p 3 (4 cm)3) : 3 5 93,6 cm2 3 8,7 cm 5 3 5 267,95 cm V5 5

m c 5

8 cm

2 V

10 cm

5

Cálculo mental

0,5

3

80

80 : 2

5

40

50 % de 8 0,5 4

3

0,5 12 3

0,5

5

(6 cm)2 3 8 cm) : 3

301,44 cm3 3 V 5 (4 3 p 3 (6 cm) ) : 3 3 5 904,32 cm

5

5

50 % de 6.000

50 % de 90 0,5

cm)2 3 10 cm

3

785 cm

V 5 (p 3

Calcula el 50 % de un número o multiplica por 0,5: divide entre 2 50 % de 6 50 % de 60

50 % de 80

5 p 3 (5

50 % de 4.200

46 3

0,5

3

8.000

84 3

0,5

3

2.600

5

Cálculo mental 173

• 3

• 30

• 3.000

• 4

• 45

• 2.100

• 2

• 23

• 4.000

• 6

• 42

• 1.300

Otras actividades • Pida a los alumnos que exploren cómo varían los volúmenes de los cuerpos redondos al cambiar alguna de sus dimensiones. Por ejemplo:

Notas

– Si el radio de una esfera es el doble que el de otra, ¿cómo es su volumen? – Un cilindro tiene de igual longitud su radio y su altura, y un cono tiene el mismo radio y el triple de altura. ¿Cómo son sus volúmenes? • Proponga actividades de cálculo de volúmenes de cuerpos compuestos a partir de varios cuerpos redondos, por ejemplo un molino formado por un cilindro que tiene un cono encima.

17

Solución de problemas Elegir la solución correcta entre varias

Propósitos • Elegir la solución correcta a un problema eligiéndola entre varias.

En la fábrica han envasado 1.000 litros de zumo de piña en bricks de 200 cm3 cada uno. ¿Cuántos bricks han obtenido?


Calcula mentalmente y elige la solución correcta.

Para explicar. Trabaje el problema

A. Han obtenido 5 bricks.

resuelto mostrando la forma de elegir la solución correcta. Puede hacerse resolviendo el problema y buscándola, o bien valorando para cada una de las respuestas si el volumen total

B. Han obtenido 5 0.000 bricks. C. Han obtenido 5 00.000 bricks. D. Han obtenido 5 .000 bricks. Sabes que 1 cm3 5 1 ml, luego cada brick contiene 200 ml. Con 1 litro de zumo (1.000 ml) se obtendrán 1.000 : 200 5 5 bricks. En total serán 5 3 1.000 5 5.000 bricks. La respuesta correcta es la D.

de los bricks coincide con el envasado. Para reforzar. Pida a los alumnos

que elaboren por sí mismos problemas similares a los trabajados en la página. Resuelva algunos de ellos en común.

Elige la solución correcta calculando mentalmente. Después, comprueba tu respuesta. 1

Actividades 1 4.000 : 5

800 La respuesta correcta es la C.

2 3.500

5

2

3.000 500 La respuesta correcta es la C. 2

3 20.000 : 4

5

En una almazara tenían un gran depósito de 4 kl lleno de aceite. Envasaron todo en garrafas de 0,5 dal cada una. ¿Cuántas garrafas obtuvieron? A. Obtuvieron 8 garrafas.

C. Obtuvieron 800 garrafas.

B. Obtuvieron 8.000 garrafas.

D. Obtuvieron 80.000 garrafas.

Un camión puede transportar 3 t y 5 q de carga. Va cargado con 6 paquetes de 500 kg cada uno. ¿Cuántos kilos más puede llevar? A. Puede llevar 50 kg más. B. No puede llevar más peso.

5.000 La respuesta correcta es la A. 5

C. Puede llevar 5.000 kg más. D. Puede llevar 500 kg más. 3

Notas

Sonia tiene que colocar placas de madera en el suelo de una pista de 2 dam2. Va a utilizar placas cuadradas de 2 dm de lado. ¿Cuántas placas utilizará? A. Utilizará 5.00 0 placas. B. Utilizará 1 .000 placas. C. Utilizará 5 00 placas. D. Utilizará 2 .000 placas.

174

Otras actividades • Es interesante plantear problemas similares a los propuestos en esta página para potenciar en los alumnos la capacidad de estimación al trabajar con medidas. Se trata de que sean capaces de descartar rápidamente varias de las soluciones erróneas al ver que no tienen sentido en la situación planteada. Comente con ellos las unidades de medida principales antes de trabajarlos para que tengan presente cómo son en la realidad.

18

11

Solución de problemas Reducir el problema a otro problema conocido

• Resolver problemas reduciéndolos a otros conocidos.

Sugerencias didácticas Para explicar. Lleve a cabo con

Para resolver el problema lo mejor es reducirlo primero a un problema que sepas hacer: hallar el área de cada una de las piezas que forman la alfombrilla.

la clase el problema resuelto. Hágales ver que el problema planteado, complejo en principio, pues aparecen gran cantidad de círculos con huecos en su interior, puede reducirse a un

5 cm

El área de cada pieza es igual al área del círculo menos el área del hueco cuadrado. 2 5 p 3 r 5 p 3

10 cm

5 2 cm 2 5 78,5 cm 2

Área del cuadrado 5 l 2 5 5 2 cm 2 5 25 cm 2 Área de una pieza 5 78,5 cm 2 2 25 cm 2 5 53,5 cm 2 La alfombrilla tiene 50 piezas (5 filas de Área de la alfomb rilla

5

50

3

10 piezas cada una).

53,5 cm 2 5 2.675 cm 2

Solución: La alfombrilla tiene un área de

2.675 cm 2.

encia Intelig rsonal e intrap

Resuelve los problemas reduciéndolos primero a un problema que sepas resolver. 1

Ramiro i ha hecho una cenefa y ha coloreado l de naranja parte de ella. ll ¿Qué área ha coloreado l de naranja?

2

8 cm

problema mucho más sencillo y que ya saben resolver: calcular, para una sola pieza, cuál es el área de color rojo. Indique la importancia de analizar siempre los problemas cuidadosamente, antes de lanzarse a realizar cálculos, porque de ese análisis puede deducirse una forma mucho más rápida y sencilla de resolución. Para reforzar. Pida a los alumnos

Leo ha hecho un diseño i uniendo i piezas i il iguales formadas con un rectángulol y un semicírculo. i l ¿Cuál l es su área?

que planteen a sus compañeros problemas similares a los trabajados, que puedan resolverse a partir de otros conocidos. m c 2 1

m c 8

3

11

Propósitos

Paloma ha comprado una alfombrilla de baño de plástico formada por círculos con huecos cuadrados. ¿Qué área de plástico en cm2 tiene la alfombrilla?

Área del círcu lo

UNIDAD

Actividades 1

Área triángulo 5 2 5 (8 cm 3 8 cm) : 2 5 32 cm Área naranja 5 20 3 32 cm2 5 2 5 640 cm

2

Área pieza 5 8 cm 3 12 cm 1 2 1 p 3 (4 cm) : 2 5 2 5 121,12 cm Área verde 5 12 3 121,12 cm2 5 2 5 1.453,44 cm

3

Respuesta libre (R. L.).

8 cm

INVENTA. Escribe i

un lproblema i il similar l a los dei esta página quel pueda resolverse reduciéndolo i l a otro conocido. i 175

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. A la hora de que los alumnos planteen actividades similares a las trabajadas en la página, anímelos a utilizar los conocimientos nuevos de la unidad (áreas y volúmenes de cuerpos geométricos). Intente que propongan situaciones reales y creativas, estimulando en ellos el emprendimiento, y resuelva algunas en común

Notas

con toda la clase.

19

ACTIVID ADES

Propósitos • Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

1

Poliedro.

Escribe a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

7

Calcula el área de los poliedros de la actividad 6 suponiendo que:

Cilindro.

Pirámide.

Cono.

Poliedro regular. 2

6

Cuerpo redondo.

Prisma.

Actividades 1

Define cada uno de estos términos. VOCABULARI O.

Esfera.

Clasifica cada cuer po. A

B

C

R. L.

2

– Cada triángulo tien e 10 cm de base y 8,7 cm de altura.

A.Tetraedro. B. Esfera. C. Ortoedro. D. Cono. E. Pirámide pentagonal.

D

E

– Cada cuadrado tiene 8 cm de ar ista.

F 8

F. Cubo. G. Prisma triangular. H. Octaedro. I. Cilindro. 3

de estos cuerpos. Fíjate bien en las medidas. G

Cuerpo naranja: • Es un poliedro, sus caras son polígonos. • No es un prisma, sus bases no son iguales. • No es una pirámide, sus caras laterales no son triángulos. Cuerpo amarillo: • Es un poliedro, sus caras son polígonos. • Es un prisma, tiene dos bases iguales y paralelas y sus caras laterales son rectángulos. • No es una pirámide, sus caras laterales no son triángulos.

4

5

6

Cubo e icosaedro.

7

Cubo: 6 3 8 cm 3 8 cm 5 384 cm2 Icosaedro: 20 3 (10 cm 3 8,7 cm) : 2 5 2 5 870 cm

8

•

2 3 8 cm 3 4 cm 1 1 2 3 8 cm 3 4 cm 1 2 1 2 3 4 cm 3 4 cm 5 160 cm V 5 8 cm 3 4 cm 3 4 cm 5 A5

128 cm3 2 3 p 3 (5 dm)2 1 1 2 3 p 3 5 dm 3 8 dm 5 2 5 408,2 dm 2 V 5 p 3 (5 dm) 3 8 dm 5 3 5 628 dm 5

•

A5

•

A5

4 3 p 3 (3 m)2 5 113,04 m2 4 3 p 3 (3 m)3 : 3 5 3 5 113,04 m V5

20

H

I

m c 4

4 cm

8 cm 3

Observa cada c uerpo y contest a.

3m m d 8

5 dm

¿Es un poliedr o? ¿Por qué?

9

¿Es un prisma? ¿Por qué?

Halla el áre a y el volumen de estos cuerpos. Piensa en qué datos necesitas.

¿Es una pirámid e? ¿Por qué? 10 cm 4

Cuenta y escribe para cada poliedro de la actividad 3. Número de caras

Número de vértices

5

15 cm

m c 8

m c 2 1

12 cm

Número de aristas

9 cm

12 cm 10

Cuerpo naranja: 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. Cuerpo amarillo: 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Compruébelo en común en algunos casos con la clase.

Calcula el área y el volumen

Cuenta y comprueba.

Piensa y contes ta. Luego calcu la y comprueba tu respuesta.

Cuenta en distintos poliedros de esta unidad las caras ( C ), v értices (V ) y aris tas (A ) y comp rueb a qu e se cump le la re lación de Euler: C 1 V 5 A 1 2.

El radio de una esfera es el doble que el de otra. Su área ¿es también el doble? ¿Qué relación hay entre sus volúmenes?

176

Otras actividades • Pida a los alumnos que lleven a clase distintos envases de productos con formas variadas. Dígales que tomen en ellos las medidas que estimen necesarias y que calculen sus áreas y sus volúmenes (en algunos casos podrán comprobar si lo han hecho bien a partir de la capacidad rotulada en el envase). En el caso de envases cuyas formas no sean prismas, pirámides o cuerpos redondos, pídales que traten de idear métodos para calcular sus áreas y volúmenes aproximados (por ejemplo, superponiendo trozos de papel cuadriculado, llenándolos de agua y midiéndola con una probeta más tarde…).

11 Problemas 11

Piensa y dibuja .

5

1

Resuelve.

La gran pirámide de Keops ti ene una base cuadrada de 230 m de lado y una altura de 136 m. La altura de sus caras laterales es de 178 m. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? ¿Y su área? Imagina un enor me cono con dimensiones muy similares a la gran pirámide: radio de 115 m, altura de 136 m y generatriz de 178 m. ¿Cuál sería su volumen? ¿Y su área? ¿Son mayores o menores que los de la pirámide? En un cubo de 20 cm de arista se han metido 8 esferas de 5 cm de radio. ¿Qué volumen del cubo queda vacío?

10

Su área es 4 veces mayor y su volumen es 8 veces mayor.

11

Forman un cubo las figuras roja y amarilla.

Piensa y resuelve.

En la fábrica de batidos tienen un gran depósito cilíndrico y están pensando en construir otro de forma diferente.

134.780 m2 2.398.133,33 m3 • A 5 105.802,3 m2 3 V 5 1.882.534,66 m Su área y su volumen son menores que los de la pirámide. • VCUBO 5 (20 cm)3 5 8.000 cm3 3 VESFERA 5 4 3 p 3 (5 cm) : 3 5 3 5 523,33 cm 3 VESFERAS 5 8 3 523,33 cm 5 3 5 4.186,66 cm 3 VVACÍO 5 3.813,33 cm

12 • A

5

V5

El depósito cilíndrico está lleno de batido de chocolate. Tiene 10 m de altura y el radio de su base es la mitad. ¿Cuántos litros hay en el depósito? El contenido del depósito se usará para rellenar bricks cuyas dimensiones son 6 cm, 4 cm y 10 cm. ¿Cuántos llenarán? En la fábrica dudan entr e construir un depósito cúbico con 15 m de arista o uno esférico con 15 m de diámetro, ambos de chapa metálica. ¿En cuál se gastará más chapa metálica para construirlo? ¿Cuál podrá contener más batido?

13 • V Demuestra tu talento 14

11

12 cm 3 12 cm 1 4 3 (12 cm 3 10 cm) : 2 5 2 5 384 cm 2 V 5 (144 cm 3 8 cm) : 3 5 3 5 384 cm • A 5 p 3 (9 cm)2 1 1 p 3 9 cm 3 15 cm 5 2 5 678,24 cm 2 V 5 p 3 (9 cm) 3 12 cm : 3 5 3 5 1.017,36 cm

9 • A 12

Sara quiere hacer una caja cúbica y ha dibujado varios desarrollos. Identifica los que pueden formar un cubo y dibuja tú otros posibles.

13

UNIDAD

Jaime ha pintado de rojo una esfera de 10 cm de radio y la ha cortado en 4 partes iguales. ¿Cuál es el área roja y el volumen de cada parte?

3

5

785 m 785.000 ℓ 6 cm 3 4 cm 3 10 cm 5 3 5 240 cm 5 0,24 ℓ 785.000 : 0,24 5 5 3.270.833,33 Llenarán 3.270.833 bricks y sobrarán 0,08 ℓ.

•

V5

•

ACUBO 5

177

(5 m)2 3 10 m 5

5 p 3

5

6 3 (15 m)2 5 1.350 m2 4 3 p 3 (7,5 m)2 5 2 5 706,5 m 3 3 VCUBO 5 (15 m) 5 3.375 m 3 VESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m) : 3 5 3 5 1.766,25 m Se gastará más chapa en construir el cubo y contendrá más batido. AESFERA 5

Competencias El contexto de la actividad 13 permite entablar una charla con los alumnos sobre distintos valores sociales

• Competencia social y cívica.

y cívicos. Puede comentar aspectos como la importancia de las medidas

de seguridad en el trabajo, el respeto por todas las profesiones, la necesidad de realizar nuestras tareas siempre de forma responsable y correcta, la conveniencia de trabajar en equipo en tareas difíciles y complejas… Pídales que aporten sus propias ideas

y experiencias.

Demuestra tu talento 14

El área roja de cada parte es la cuarta parte del área de la esfera, ya que las cuatro partes son iguales. El volumen también es la cuarta parte. 2 2 AROJA 5 p 3 (10 cm) 5 314 cm 3 V 5 p 3 (10 cm) : 3 5 3 5 1.046,66 cm 21

SABER HACER

Diseñar envases

Propósitos

En la empresa de Laura trabajan en en el diseño de nuevos envases. Sus clientes les dan las dimensiones de los objetos que quieren envasar, o bien las condiciones que deben cumplir los envases, y ellos les presentan distintas opciones para que elijan la que prefieran.

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales. • Repasar contenidos clave.

Actividades pág. 178 • Modelo A: A 5 780 cm V 5 1.000 cm Modelo B:

1

Laura está ahora resolviendo varios encargos. Ayúdala con lo que has aprendido en la unidad.

2

A5

3

5

1

1ℓ

Piensa y resuelve.

Laura debe presentar a Lácteos Martínez , una empresa que vende leche, distintos modelos de envases. Ha preparado estas opciones:

2

700 cm 1.000 cm 5 1 ℓ Modelo C: A 5 600 cm V 5 1.000 cm 5 1 ℓ Todos tienen igual capacidad. Elección: R. L. • Opción 1: A 5 703,36 cm VVACÍO 5 401,92 cm Opción 2: A 5 896 cm VVACÍO 5 732,16 cm Elección: R. L. 3

V5

2

Envase modelo A

Envase modelo B

Ortoedro

Ortoedro

Base: 4 cm 3 10 cm Altu ra: 25 c m

Base: 5 cm 3 10 cm Altu ra: 20 c m

Envase modelo C Cubo Aris ta: 10 c m

3

Halla el área de cartón plastificado que necesita cada envase y su capacidad. ¿Qué envase crees que es mejor para la empresa? Razona tu respuesta. Una empresa de productos deportivos quiere diseños de envases para pelotas de petanca. El diámetro de cada una es 8 cm y cada envase albergará tres. Opción 1

2

Cilindro

Opción 2

Ortoedro

3

Radio: 4 cm Altu ra: 24 c m

8 cm

3

8 cm

3

24 cm

2

Halla el área de plástico que necesita cada envase. ¿En qué envase queda más volumen vacío? ¿Qué envase es mejor?

3

2

R. L.

2

•

Treinta millones cuarenta y cinco mil doscientos tres. Cuatrocientos dos millones ochocientos mil novecientos veinte. 27 unidades y 803 milésimas. 134 unidades y 99 centésimas.

•

53

•

•

•

2

• •

3

• • •

22

2

2

3, 7, 8,

4 57 , 8 79 , 9

14 ,

•

9 , 99 , 10 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 80

•

2

•

4

10 79 3 10 2.506 3 10

•

Pensad e investigad.

Junto con tu compañero, dibujad distintas posibilidades de envases con forma de ortoedro para albergar 6 pelotas de petanca como las de arriba. Calculad el área de plástico usada en cada opción y el volumen vacío que queda en el envase.

Actividades pág. 179 1

TRABAJO COOPERATIVO.

encia Intelig rsonal e p inter

178

Desarrollo de la competencia matemática • La aplicación de las Matemáticas a un contexto real y creativo como el mundo del diseño permite un desarrollo motivador de esta competencia. Es muy importante, a la hora del trabajo cooperativo, que los alumnos de cada grupo planifiquen de forma cuidadosa el proceso que van a seguir para obtener las posibles configuraciones del envase y las características de cada una. Pídales también que razonen qué posibilidad creen que es la mejor.

11

REPASO ACUMULATIVO

1

Escribe cómo se lee cada número.

30.045.203 402.800.920 2

7.900

4

25.060

79

2

2

0,004 hm 3

99

3

2.800 dam

m.c.d. (4, 12 y 14)

80 cm 3 4.000 ℓ

Ordena de menor a mayor cada grupo.

7,49

7,488

… dam

3

… hm

3

5

2,139

8

5

5

5

…ℓ

… m3

Silvia contestó ayer 400 correos. Un quinto eran de compañeros suyos, el 60 % de clientes y el resto de su directora. ¿Cuántos correos de su directora contestó ayer?

Martín tenía un depósito de 5 hm3. Lo amplió y el volumen actual es un 20 % mayor. ¿Cuántos litros caben en el nuevo depósito?

,

8

,

2,4

7,488 , 7,49 ,

•

5.000 dm; 601,5 dm

•

520 cl; 4.300 cl

•

70 hg; 32,29 hg

•

9 h; 12 h

•

700 m2; 500,08 m2

2

1,5 ℓ

3

8 cl

Piensa y contesta.

9

1/5 de 400 5 80 60 % de 400 5 240 400 2 80 2 240 5 80 Contestó 80 correos de su directora.

11

Lidia pagó 120 € por 4 cajas de manzanas de 15 kg cada una. Si el precio del kilo es el mismo, ¿cuánto habría pagado por 7 cajas de 20 kg cada una?

10

5 hm3 1 20 % de 5 hm 3 5 3 5 6 hm 5 6.000.000.000 ℓ Caben seis mil millones de litros.

12

Concha ha hecho un viaje de 540 km. Sabe que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina ha gastado?

11

13

En un depósito hay 5 kl y 4 hl de un líquido. En total pesan 4,86 t. ¿Cuántos kg pesarán

120 : (4 3 15) 5 2 Cada kilo cuesta 2 €. 7 3 20 3 2 5 280 Habría pagado 280 €.

14 10

,

5

11

2,8 hm 3 4 m3 8 200 : 4 5 50 La escala es 1:50.

Un mueble de 2 m de longitud mide en un plano 4 cm. ¿A qué escala está hecho ese plano?

37 5

5

45 dam

… cl

Problemas

9

2,139 ,

4.000 m3

7

1,5 dm 3

15 2

… m3

5

5

3

m.c.m. (8, 10 y 16)

2,4

6

2

Completa en tu cuaderno.

45.000 m

18 8

2

En m : 0,07 hm ; 5 dam y 800 cm 7

Calcula.

11 5

•

En h: 540 mi n; 43.200 s

Todos lo s di viso res d e 24 .

5

•

En hg: 0,007 t; 3,2 kg y 2.900 cg

Calcula entre qué números está cada raíz cuadrada.

57

5

En cl: 5.200 ml; 0,03 hl y 4 dal

Expresa usando potencias de 10.

14

Expresa en la unidad indicada.

En dm: 0,5 km; 6 dam y 150 mm

134,99

500 3

6

27,803

UNIDAD

15

12

7 hl de ese líquido? Si una parcela de 5 ha se divide en 8 trozos iguales, ¿cuántos dam2 tiene cada trozo? En la piscina de Leo caben 12 m3 de agua. Ahora hay 4.000 ℓ. ¿Cuántos dm3 más caben?

13

4.860 : 5.400 5 0,9 Un litro pesa 0,9 kg. 700 3 0,9 5 630 Pesarán 630 kg.

14

500 : 8 5 62,5 Cada trozo tiene 62,5 dam 2.

15

12 m3 5 12.000 ℓ 12.000 2 4.000 5 8.000 Caben 8.000 ℓ más, es decir, 8.000 dm3.

179

Repaso en común • Una vez realizadas las actividades de la página de Repaso, pregunte a los alumnos con cuáles han tenido más dificultades y de qué tipo han sido estas. Repase los procedimientos y conceptos implicados en ellas y propóngales otras similares para asentar bien todos los conocimientos del curso. También puede pedirles a ellos que propongan esas actividades

5

540 : 100 5,4 5,4 3 7,1 5 38,34 Ha gastado 38,34 ℓ.

Notas

extra de repaso a sus compañeros.

23

12


Contenidos de la unidad •

SABER

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

•

Media, mediana, moda y rango.

•

Probabilidad.

•

•

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD •

•

SABER HACER •

•

TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

24

FORMACIÓN EN VALORES

Frecuencias absolutas y relativas.

•

•


Variables estadísticas.

•

Reconocimiento del concepto de variable estadística. Diferenciación entre variables estadísticas cuantitativas y cualitativas. Recuento de datos y obtención de tablas de frecuencias, calculando frecuencias absolutas y frecuencias relativas. Cálculo de la media aritmética y la moda de un conjunto de datos. Cálculo de la mediana y el rango de unos datos. Obtención de la probabilidad de distintos sucesos aleatorios.

Determinación de varias soluciones a un problema. Resolución de problemas llevando a cabo un diagrama de árbol.

Realizar un control de calidad.

Valoración de la importancia del orden en el recuento de datos. Interés por presentar los datos y los resultados de una investigación de forma limpia y ordenada.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •

Recursos para la evaluación


Evaluación de contenidos. Unidad 12: pruebas de control B y A.

LibroNet

•


MATERIAL DE AULA

•

Rúbrica. Unidad 12.

•

Láminas

Enseñanza individualizada •


•



Cuaderno del alumno


•

Solución de problemas. Método DECA

Recursos complementarios •


•


•



Tercer trimestre. Unidad 12.

Proyecto del tercer trimestre.

i

CUADERNO

as mátic Mate

_ - _ _


Te rce

A I R A M I R P

IA R A M I R

Matemáticas Tercer trimestre

P

stre r trime


•

•

Programa de Educación en valores. Programa de Educación emocional. 7 _

Inteligencias múltiples.

11 n _

t m ti

s _ -1 _

7 7.i n

1 :11:1 / /

1

: / /

_

t

_ t i s_ -

:

.i


Abril

Mayo

Junio

25

Propósitos •

12

Reconocer situaciones reales donde aparecen medias de una magnitud.


• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • En la diferenciación de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, señale que las primeras son un número natural, mientras que las segundas son fracciones. Trabaje siempre el cálculo simultáneo de ambos tipos de frecuencias. • En el reconocimiento de las distintas medidas estadísticas y el proceso que se sigue para calcular cada una, deje claro el concepto de cada medida y con qué tipo de datos puede obtenerse. Trabaje primero el cálculo con conjuntos de datos sencillos y luego con datos más complejos (datos repetidos, datos decimales…). Tiene especial interés el trabajo con conjuntos de datos con varias modas (concepto difícil para los alumnos).

Trabajo colectivo sobre la lámina Pida a un alumno que lea la lectura y pregunte a la clase qué significa la palabra media. Pídales que aporten ejemplos propios de contextos en los que aparezca. 1

2

26

¿Cómo ha evolucionado la estatura media de los seres humanos? A lo largo de la historia, la estatura media del ser humano ha sufrido cambios debido a distintos factores, generalmente la alimentación y las condiciones sanitarias. En el Imperio romano, los hombres más altos eran reclutados para la guardia del emperador y su estatura media no superaba 1,76 m. La estatura media del ciudadano romano era de 1,65 m. Durante los siguientes siglos la caída en la calidad y cantidad de alimentos provocó un descenso de la estatura media. Las armaduras de la Edad Media muestran que la estatura media era de 1,60 m y en el siglo XVIII los uniformes de soldados indican que no llegaban a 1,60 m. Desde finales del siglo XIX hasta hoy las condiciones sanitarias y las mejoras alimentarias han hecho que la estatura media haya aumentado considerablemente. 180

Otras formas de empezar

La estatura media se obtiene sumando todas las estaturas y dividiendo entre el total de datos. Nos da una idea del valor central de esa magnitud.

• Pida a los alumnos que busquen en el diccionario la palabra «estadística» y comente sus significados. Muestre que en la sociedad actual es una herramienta importante para conocer la opinión pública y para poder tomar decisiones de tipo comercial. Dígales que aporten ejemplos de informaciones que podrían determinarse mediante estudios estadísticos.

No quiere decir que todas midiesen lo mismo, es una medida que nos ayuda a obtener una idea del valor en torno al cual están situados los datos.

• Solicite a los alumnos que busquen y recorten (en periódicos o revistas) noticias en las que aparezcan resultados estadísticos. Después, haga una puesta en común sobre qué se ha estudiado, los resultados que se han obtenido, qué significan.

En un grupo pequeño sí es posible realizar un cálculo directo, midiendo a todas

UNIDAD

12

Lee, comprende y razona 1

¿Qué quiere d ecir estatura m edia? ¿Significa que todas las personas miden lo mismo?

2

EXPRESIÓN ORAL. Explica cómo calcularías la estatura media de tu grupo de amigos y la de los habitantes de tu Comunidad Autónoma. ¿Puede hacerse de la misma forma?

3

4

las personas y obteniendo la media. En un grupo grande no es operativo, y se suele tomar una muestra representativa de la población.

encia Intelig stica lingüí SABER HACER

3 Si son todos más altos, la estatura

media aumentará.

TAREA FINAL

Si a una clase de 6.º llegan v arios nuevos alumnos más altos que todos los que hay ahora, ¿qué ocurrirá con la estatura media?

4 Solo es posible obtener la media

Realizar un control de calidad

de variables que sean numéricas, ya que es necesario realizar una operación para obtenerla. Se puede obtener en estaturas,

Al f inal de la un idad hará s un control de calidad. Ante s, t raba jará s co n la estadística

¿Puedes calcular la med ia de cualquier característica? Di ejemplos de algunas en las que sí sea posible y de otras en las que no se pueda hallar.

pesos, notas…, y no se puede en color favorito, mes de nacimiento…

y la probabilidad.

¿Qué sabes ya?

¿Qué sabes ya?

Agrupación de datos en una tabla

Cálculo de la media

Si tenemos que hacer cálculos con muchos datos, hay que contar cuántas veces aparece cada dato y después agrupar los resultados en forma de tabla.

Para calcular la media de un grupo de números, sigue estos pasos:

Los puntos en 18 tiradas de

1

III

3 veces

2

I

1 vez

1.º Suma todos los datos. 3

Puntuación N.º de veces

1

3

2

1

3

IIII I 6 veces

3

6

4

IIII

5 veces

4

5

5

I

1 vez

5

1

6

II

2 veces

6

2

1

3 5 8 4 9 7

dados son:

6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4 Recuento:

La técnica de agrupación de datos y recuento y el cálculo de la media son contenidos importantes para abordar con éxito la unidad. Asegúrese de que los alumnos los conocen y dominan.

Haz el recue nto y agrupa ca da grupo de datos en una tabla.

1

5

1

8

1

4

1

9

1

7

5

36

2.º Divide la suma entre e l número de datos. 36 6

5

1 • Dato: 6, número de veces: 2.

Dato: 7, número de veces: 5. Dato: 8, número de veces: 2. Dato: 9, número de veces: 3.

6

La media es 6. 2

Calcula la medi a de cada grupo

• Dato: 3, número de veces: 5. Dato: 4, número de veces: 3. Dato: 5, número de veces: 4.

de números. 10, 8, 12, 15, 20 2, 3, 5, 7, 6, 2, 4, 3

6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7

1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3

3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4

4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6

181

2 • Media

5

13

• Media

5

4

• Media

5

2

• Media

5

5

Notas Competencias • Competencia lingüística. En la actividad de Expresión oral, los alumnos deben ser capaces de razonar sus opiniones de forma clara. Anímelos a utilizar en la medida de lo posible términos matemáticos. • Aprender a aprender. Comente con los alumnos los conocimientos que ya tenían de cursos anteriores sobre estadística y probabilidad. Señale que en esta unidad van a seguir avanzando en ellos. Hágales siempre conscientes de que el aprendizaje es un proceso continuo.

27

Variables estadísticas

Propósitos

Paco trabaja en una agencia de viajes y quiere tener más información sobre los gustos y costumbres de los viajeros. Por eso, ha hecho una encuesta a varias personas sobre su último viaje. Como las preguntas son variadas, ha obtenido datos de distintos tipos.

• Diferenciar entre variables estadísticas cuantitativas y variables cualitativas.

La estadística se encarga de extraer información de los datos. El lugar visitado, la duración del viaje, el precio, el medio de transporte utilizado… son variables estadísticas . Hay de dos tipos:


Pregunta: ¿Cuántos días duró el viaje? Respuesta s: 5, 20, 7, 14… Todas las respuestas son números. La duración de un viaje es una variable cuantitativa.

Para explicar. Deje clara

la caracterización de los tipos de variables que puede estudiar la estadística: las variables cuantitativas tienen como respuesta valores

Pregunta: ¿Qué medio de transport e utilizó en el viaje? Respuestas: avión, c oche, tr en… Las res puestas no son númer os. variable cualitativa . El medio de transporte utilizado es una

La estadística recoge datos para extraer

numéricos, y las cualitativas, valores que no son numéricos, sino de otro tipo. Pida a los alumnos que aporten algún ejemplo de cada tipo de variable. 1


que busquen encuestas en distintas fuentes. Después, haga una puesta en común comentando las variables que se han estudiado y de qué tipo son.

Escribe qué pregunta harías para obtener información sobre y di si la variable es cuantitativa o cualitativa. RECUERDA

La edad.

Piensa si las respuestas La nacionalidad. La comida favorita. son numéricas o no.

EJEMPLO

Actividades 1 • Edad: cuantitativa .

• Nacionalidad: cualitativa .

cada variable

El peso. La estatura. El color de los ojos.

La edad: ¿Cuántos años tienes? Es una variable cuantitativa.

2

Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.

3

Observa cada grupo de respuestas y escribe cuál puede ser la variable estadística y de qué tipo es.

• Comida favorita: cualitativa .

8, 5, 7, 9, 5

• Peso: cuantitativa .

fútbol, baloncesto, fútbo l, tenis, kárate rojo, azul, verde, rosa, azul

• Estatura: cuantitativa .

1, 2, 0, 1, 1

• Color de los ojos: cualitativa .

sandía, melón, cirue la, pera, piña

EJEMPLO8,

5, 7, 9, 5

Variab le e stad ística: nota s de un e xame n. Tip o de variable : cu antitativa.

65, 32, 40, 89, 23

2 R. L. 3 • Deporte favorito; cualitativa.

información de ellos.

Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (tienen valores numéricos) o cualitativas (tienen valores no numéricos).

182

• Color favorito; cualitativa. • Número de hermanos; cuantitativa. • Fruta favorita; cualitativa. • Dinero ahorrado; cuantitativa.

Notas

Otras actividades • Forme grupos de tres o cuatro alumnos y pídales que elaboren una batería de preguntas cuyas respuestas podrán ser de tipo cuantitativo o cualitativo según una descripción dada por usted (por ejemplo, 3 variables cuantitativas y 4 cualitativas). Cada grupo entregará sus preguntas a otro grupo para que las responda (analizando primero si el número de variables de cada tipo es el indicado por usted). • Una vez recopiladas las respuestas a las preguntas anteriores, cada grupo de alumnos deberá realizar una tabla calculando las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas correspondientes a los datos obtenidos.

28

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

12

Número de calzado 34 35

35 36

37 35

34 36

• Diferenciar y calcular las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos.

35 34

Observa el dato 34: Aparece 3 veces.

La frecuencia absoluta

de 34 es 3.

La frecuencia relativa de 34 es

3 . 10


Isabel cuenta las veces que aparece cada dato y construye la tabla de frecuencias . Número de calzado Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

34

35

36

3 10

4 10

Para explicar. Señale que las

frecuencias absolutas son números y las frecuencias relativas son fracciones.

37

Suma: 10 (número total de datos)

3421 2 10

1 10

12

Propósitos

Isabel ha preguntado a 10 compañeros qué número de calzado usaban y ha anotado sus respuestas.

En total hay 10 datos.

UNIDAD

Suma:

10 10

5

1

Muestre que la suma de las La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece. La frecuencia relati va de un dato es el cociente entre el número de veces que aparece dicho dato y el número total de datos.

1

Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias. Después, contesta. Iván ha anotado la mascota favorita de sus doce amigos:

Mascota

perro

perro

gato

perro

conejo

Frecuencia absoluta

perro

perro

gato

perro

Frecuencia relativa

gato

perro

perro

gato

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué coinci ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativa 2

encia Intelig lista natura

frecuencias absolutas es siempre igual al número total de datos, y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Para reforzar. Presente a los

alumnos tablas de frecuencias incompletas, en las que tengan que rellenar algunas celdas a partir de los datos de otras celdas y del número total de datos.

de?

Actividades

s?

1 Perro; 7, 7/12.

Tira un dado 10 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados. Lanza una moneda 12 veces y construye también la tabla de frecuencias.

Gato; 4, 4/12. Conejo; 1, 1/12.

Cálculo mental

• La suma de las frecuencias absolutas es 12. Coincide con el total de datos.

Calcula el 20 % o multiplica por 0,2: divide entre 5 20 % de 45 0,2

3

45

45 : 5

5

9

20 % de 5

20 % de 500

20 % de 10

20 % de 450

0,2 35 3

0,2

3003

20 % de 5.000 20 % de 10.000 0,2

3

• La suma de las frecuencias relativas es 1.

15.000

2 R. L. 183

Cálculo mental Otras actividades • Pida a los alumnos que realicen cálculos de frecuencias absolutas y frecuencias relativas de datos obtenidos al azar o mediante experimentación. Por ejemplo:

• 1

• 100

• 1.000

• 2

• 90

• 2.000

• 7

• 60

• 3.000

Notas

– Anotar el tercer dígito del número de teléfono de todos los alumnos de la clase y estudiar las frecuencias de las cifras. – Lanzar una moneda o un dado 10 veces y obtener las frecuencias de los posibles resultados. Si agrupa a los alumnos para que realicen el experimento, puede comentar luego las diferencias entre las frecuencias de los datos de cada grupo y las frecuencias de los datos globales de la clase (las frecuencias relativas de estos últimos toman valores muy similares a la probabilidad de cada resultado posible).

29

Media y moda Propósitos

El entrenador ha anotado el peso de los 12 jugadores del equipo. Como algunos se repiten, agrupa los datos en la siguiente tabla:

• Calcular la media aritmética de varios datos numéricos.

62

Peso en kilos

• Determinar la moda o las modas de un conjunto de datos.

63

64

65

2145

Frecuencia absoluta

¿Cuál es el peso medio? Calcula la media de los datos:


1.º Multiplica cada dato por su frecuencia absoluta y suma los productos.

Para explicar. Comente el proceso

62 3 2 1 63 3 1 63 5 124 1

que hay que seguir para hallar la media con datos agrupados. Muestre la importancia de analizar los datos

4 1 5 5 12

65 kg.

La media de un grupo de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta, entre el número total de datos. La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.

1 Calcula la media y la moda. Después, contesta. Rocío ha anotado en la tabla el número de canastas que metió cada jugadora de su equipo en un partido. Número de canastas Frecuencia absoluta

01234 12421

¿Coinciden la media y la mo da de los datos? ¿Deben coincidir siempr e estos dos valores?

basada en la media y la moda simultáneamente. Por ejemplo, solicite que escriban un conjunto de cinco datos con media 3 y modas 1 y 5.

5

1

tiene mayor frecuencia absoluta (5).

La moda de los pesos es

que creen conjuntos de datos que correspondan a una descripción

Moda

N.º de datos: 2 1 1 768 : 12 5 64

repite?

El dato que más se repite es 65, porque es el que Este dato se llama moda .


5

64 3 4 1 65 3 5 5 256 1 325 5 768

El peso medio es 64 kg.

Indique que la moda es el dato o los datos con mayor frecuencia absoluta. Deje claro que puede haber ninguna moda, una moda o más de una, dependiendo del conjunto de datos. Muestre que la moda puede calcularse sean los datos cuantitativos o cualitativos.

1 Media

1

¿Cuál es el peso que más se

antes de calcular para saber si es necesario agruparlos primero. Señale que la media se calcula solo con datos numéricos y que no tiene por qué coincidir con alguno de los datos.

Actividades

1

2.º Divide la suma entre el número de datos.

2

Calcula la media y la moda de los si guientes grupos de núme ros.

PRESTA ATENCIÓN Si hay datos repetidos, agrúpalos en una tabla.

3, 10, 7, 7, 4, 5 1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2 10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10

184

2 2

• La media y la moda coinciden. • No coinciden siempre. 2 • Media

Otras actividades

5

6. Moda

5

7

• Media

5

3. Moda

5

2

• Media

5

10. Moda

5

10

3 • Hay 25 alumnos.

• Mayor frecuencia absoluta: 7. Corresponde a xilófono y flauta. Las modas son xilófono y flauta, hay 2 modas. • No se puede calcular la media, ya que la variable no es numérica.

30

• Forme grupos de tres alumnos. Pida a cada grupo que pregunte a diez personas su peso (en kg) y su estatura (en cm). Deberán anotar los resultados, tabularlos, calcular las frecuencias absolutas y relativas y, después, la media de los pesos y de las alturas. Realice una puesta en común para comentar los resultados y hágales observar que ambas medias dependen de las personas a las que hayan preguntado (si son niños, si son adultos…) y de los valores extremos del conjunto de datos.

12 3

Observa la tabla de fr ecuencias absoluta s y contesta. En clase de Música han anotado el número de alumnos que tocan cada instrumento.

Instrument o

Frecuen cia

Pandero

5

Xilófono

7

Platillos

3

Flauta

7

Claves

3

¿Cuántos alumnos ha y en la clase de Música? ¿Cuál es la mayor frecuencia absolut a? ¿Qué datos la tienen? ¿Cuáles son las modas? ¿Cuántas hay?

4

12

Respuesta modelo (R.M.).

• 2, 7, 11, 12 • 10, 10, 8, 8, 14 • 1, 2, 4, 4, 4, 7

SABER MÁS

• 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

La media de cuatro números es 8. Si añadimos un 3, ¿cuál es la media de los cinco números?

5

• Precio medio: 16 €. Moda: 12 €. • Distancia media: 3,5 km.

¿Puedes calcular la m edia de los datos? ¿Por qué? 4

UNIDAD

Piensa y escribe.

Saber más

Cuatro números cuya media sea 8. Cinco números cuy a media sea 10.

Si la media de los cuatro números es 8, eso quiere decir que su suma es igual a 4 3 8 5 32. Por tanto, la suma de los cinco números será: 32 1 3 5 35, y la media de los cinco será: 35 : 5 5 7.

Seis número s cuya moda sea 4. Siete números qu e tengan dos modas.

Problemas 5

Resuelve. Mila ha comprado varios libros de estos prec 10

12

26

12

16

12

20

ios (en €):

16

20

Razonamiento

¿Cuál es el precio medio de los libros? ¿Cuál es la moda de los precios? Elisa ha hecho esta semana varios recorri Las distancias en kilómetros han sido: 3,2

5,4

1,6

4,5

• Pueden ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

dos en bici.

• Menor valor: 1 (si todos los resultados son 1). Mayor valor: 6 (si todos los resultados son 6).

2,8

¿Cuál es la distancia media de

los recorridos?

• Puede ser un número que no haya salido; si saca cinco veces 2 y cinco veces 6, la media será 4. Puede ser también un número decimal; si saca cinco veces 1 y cinco veces 2, la media será 1,5.

Razonamiento Piensa y contesta. David lanza un dado 10 veces y anota los resultados. ¿Qué valores pued en tener los datos? ¿Cuál es el menor valor qu e puede tener la media? ¿Y el may or? ¿Puede ser la media un número que no le haya salido ninguna vez? ¿Puede ser un número decimal?

Notas 185

Otras actividades • Pida a los alumnos que calculen la moda o las modas de los resultados de los experimentos realizados en el apartado Otras actividades de la página 29. • Proponga a los alumnos actividades que les permitan profundizar sobre el número máximo de modas que puede tener un conjunto de datos, en función de cuántos datos haya. Por ejemplo, tras realizar la actividad 4, pídales que intenten escribir un conjunto de 8 datos con 1 moda, 2 modas, 3 modas...

31

Mediana Propósitos

Patricia ha cortado tiras de papel para adornar un farolillo: 3 tiras azules de 25 cm, 15 cm y 20 cm, respectivamente, y 4 tiras rojas de 12 cm, 18 cm, 14 cm y 16 cm. ¿Cuál es la mediana de las longitudes de las tiras azules? ¿Y de las tiras rojas?

• Calcular la mediana de un conjunto de datos.

Sugerencias didácticas Para explicar. Señale la necesidad

de ordenar los datos antes de calcular la mediana. Haga hincapié en que deben considerar todos los datos, aunque estén repetidos.

1

9

5

4

• Mediana

5

12

• Mediana

5

40

• Mediana

5

9

2 R. M.

25

12

14

16

18

Datos centrales

14 1 16 2

5

15

La mediana es 15 cm.

Calcula la mediana de cada grupo de númer os.

5, 8, 6 Al o rdena r lo s da tos, escr ibe todos los números aunque se repitan.

10, 14, 7, 15

2, 9, 18, 2, 15

20, 30, 60, 20, 50, 60

7, 3, 4, 2, 3, 4, 9

8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11

Piensa y escribe.

Cinco númer os cuya mediana sea 10.

Actividades 5

20

PRESTA ATENCIÓN

2

• Mediana

2.º Busca los dos datos centr ales y calcula su media.

La mediana de un grupo con un número impar de datos es, una vez ordenados, el dato que ocupa el lugar central. La mediana de un grupo con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

ejemplos (unos correctos y otros no) de cálculo de medianas. Pida a los alumnos que detecten los ejemplos que son erróneos y los corrijan.

• Mediana

1.º Ordena los datos.

2.º Busca el dato que ocupa el lugar central.

La mediana es 20 cm.

Para reforzar. Escriba en la pizarra

6

1.º Ordena los datos.

Dato central

mediana es un parámetro interesante, ya que nos permite afirmar que el 50 % de los datos está por encima de él y el 50 % por debajo, mientras que con la media no podemos saber nada sobre la distribución de los valores de los datos.

5

Para calcular la mediana de las 4 tiras rojas:

15

Comente con los alumnos que la

1 • Mediana

Para calcular la mediana de las 3 tiras azules:

Seis número s cuya mediana sea 8. 3

Resuelve.

Begoña ha comprado para sus sobrinos, de las tallas 3, 4, 5, 8 y 5 10camisetas años. ¿Cuál es la media de estas tallas? ¿Y la mediana? Carlos tiene en el jardín 4 cubos llenos de agua, de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ y 27 ℓ de capacidad. ¿Cuál es la media de estas capacidades? ¿Y la mediana? 186

• 9, 9, 10, 11, 12 • 4, 6, 6, 10, 11, 12 3 • Media

5

Mediana

6 años 5 años

5

• Media 25 ℓ Mediana 26 ℓ 5

5

Notas

Otras actividades • Organice la clase en grupos de alumnos, de forma que en unos grupos el número de alumnos sea par y en otros impar. Indíqueles que cada miembro del grupo debe decir, por ejemplo, el número de días a la semana que realiza alguna actividad extraescolar. Deberán anotar los datos y calcular su mediana. • Enuncie en voz alta cuatro números. Pida a los alumnos que añadan un número a esos cuatro, el que ellos elijan, y calculen la mediana de los cinco números obtenidos. Comente en común distintos resultados, y muestre cómo el valor de la mediana varía en función de la relación del número que ellos han elegido con los que usted había enunciado (si es mayor que ellos, si es menor, si está comprendido entre ellos…).

32

Rango

12

Calcula la temperat ura media de cada pueblo. 11 1 13 8

Campol

1

1

14 1 15 6

1

13 1 12

11 1 17 1 18 1 14 1 10 6

La temperatura media es igual en los

• Hallar el rango de un conjunto de datos numéricos.

Temperat uras en º C

5

13

5

13

Marazul

11 13 14 15 13 12

Campol

8 11 17 18 14 10

Sugerencias didácticas Para explicar. Explique que el rango da idea de la proximidad de los datos

dos pueblos.

Después, cal cula el rango de los datos de cada pueblo. El rango es la diferencia del dato mayor y el menor. Marazul

15

2

11

54

El dato mayor es 18 y el menor es 8.

El rango es 4.

18

Las temperaturas no varían mucho: los datos están próximos a la media.

2

2

8

5 10

El rango es 10.

a lo largo de la unidad para que queden claras las diferencias entre ellos y el modo de calcularlos.

Las temperaturas varían bastante: algunos datos están lejos de la media.

El rango da idea de la proximidad de los datos a la el dato menor al dato mayor.

1

a la media y que su cálculo se realiza restando el dato menor al mayor. Repase con sus alumnos los parámetros estadísticos estudiados

Campol

El dato mayor es 15 y el menor es 11.

media. Se calcula restando

Para reforzar. Proponga a sus alumnos averiguar el rango de los grupos de datos como las edades de los miembros de su familia, la talla de calzado de la clase… Dígales que deberán planificar cómo obtener los datos y tabularlos, y después realizar los cálculos para mostrarlos a sus compañeros.

Calcula la media y el rango d e cada grupo de datos. 12, 20, 5, 7

8, 10, 7, 8, 7

7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24

7, 5, 13, 5, 5

12, 9, 20, 14, 20, 15

Resuelve.

Minutos de espera

liAlic i ia h a an otad l oi lo s minuto s qu e tallrdan l en l lega r lo s au tobu ses de dosl líneas para ver cuál l l dei las dos funciona mejor.

Línea A

Línea B

5

3

¿Cuál l ha i i lsido el tiempo i medio de espera l en cada línea? ¿Y lel rangol de i los tiempos de espera?

8

4

6

14

¿En quél línea hai variado i l m ás el tiempo de espera de unos autobuses a otros? ¿En cuál lel l rango es mayor?

6

7

5

2

Actividades

Cálculo mental Calcula el 25 % o multiplica por 0,25: divide entre 4 25 % de 32 0,25

3

32

32 : 4

5

8

25 % de 4

25 % de 800

25 % de 4.000

25 % de 12

25 % de 120

25 % de 8.000

0,25

0,25

0,25

3

40

12

Propósitos

Daniel está estudiando cómo varía la temperatura a lo largo del día en dos pueblos.

Marazul

UNIDAD

3

320

3

16.000

187

Competencias • Competencia social y ciudadana. La situación planteada en la actividad 2, un estudio sobre los tiempos de espera en dos líneas de autobuses, permite realizar con los alumnos un debate sobre valores relacionados con la competencia. Comente, por ejemplo, la importancia de comportarse correctamente en los medios de transporte públicos y de ceder el asiento a las personas que más lo precisen, la necesidad de potenciar por parte de todos el uso del transporte público…

1 • Media

5

11. Rango

5

13

• Media

5

16. Rango

5

15

• Media

5

8. Rango

5

3

• Media

5

7. Rango

5

8

• Media

5

8. Rango

5

6

• Media

5

15. Rango

2 • Media línea A

Rango línea A Media línea B Rango línea B

5

5

5

5

11

6 min 3 min 6 min 12 min

5

• La media es la misma, pero el rango es mucho mayor en la línea B, al ser más variable el tiempo de espera.

Cálculo mental • 1

• 200

• 1.000

• 3

• 30

• 2.000

• 10

• 80

• 4.000

Notas

33

Probabilidad

Propósitos

Estrella tiene un dado y lo lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea menor que 5?

• Calcular probabilidades de sucesos.

El resultado al lanzar un dado depende del azar. No podemos saber qué resultado concreto saldrá, pero sí saber, para cada resultado, la probabilidad de que ocurra.

Sugerencias didácticas Para explicar. Señale que la probabilidad es una medida matemática de la posibilidad de que un suceso ocurra, pero que no significa que ese suceso vaya a tener lugar, ya que los fenómenos

La probabilidad es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Casos favorables: 1, 2, 3, 4 Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Probabilida d de sacar un número menor que 5

4 6

La probabilidad de sacar un número menor que 5 es

en los que se aplica son aleatorios. Así, una probabilidad de 2/3 quiere decir que, en un gran número de repeticiones de ese fenómeno, 2 de cada 3 veces ocurrirá ese suceso, pero no indica que en 3 repeticiones ese suceso ocurra 2 veces necesariamente.

1

Casos menores que 5 Casos posibles

4 . 6

Calcula y escribe para cada caso la probabilidad corr espondiente. Manuel saca una fruta al azar. Sacar una manzana roja. Sacar una naranja. Sacar una pera. Sacar una manzana.

Defina la probabilidad como un cociente menor que la unidad, e indique que, para poder aplicar la fórmula, todos los sucesos elementales deben tener la misma probabilidad. Trabaje los casos de sucesos compuestos, formados por la unión de varios sucesos elementales (por ejemplo, sacar rey o caballo) o la negación de un suceso (no sacar oros), pues tienen especial complejidad.

Sacar una fruta de color ve rde.

¿Qué fruta es más probable obtener: manzana, naranja o pera? ¿Cuál es la menos probable? 2

Calca en tu cuaderno y colorea para que las oraciones sean ciertas. Hay bolas verdes, azu les y rojas.

Hay bolas verdes, az ules y rojas.

La probabilidad de s acar bola verde y azul es la misma.

La probabilidad de sacar bola roja es mayor que un medio.

Sacar bola roja es lo meno s probable.

Sacar bola verde es el doble de probable que sacar bola azul.

Actividades 1 • 3/11

188

• 2/11 • 2/11 • 7/11 • 6/11 Más probable: manzana. Menos probable: pera y naranja. 2 • 1 bola roja, 2 azules

y 2 verdes. • 5 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul. 3 • 8/40

• 3/40 • 12/40 • 6/40 • 9/40

34

Otras actividades • Dibuje en la pizarra cuatro ruletas divididas en diez partes iguales. Forme cuatro grupos de alumnos y pida que cada uno coloree libremente una de las ruletas con colores rojo, azul, amarillo y verde. Entregue a cada grupo cuatro tarjetas para que escriban en ellas, con fracciones, la probabilidad de que en su ruleta salga cada color. Mezcle las dieciséis tarjetas y pida a varios alumnos que, por orden, cojan una tarjeta al azar, la muestren y digan para qué ruleta o ruletas se cumple lo escrito en la tarjeta. • Pida a los alumnos que propongan actividades similares a la actividad 2, de manera que sus compañeros tengan que completar una representación gráfica que cumpla unas ciertas condiciones (se darán en función de probabilidades).

12 2 3

Calcula cada pro babilidad al sacar al azar u na carta de una baraja española. Un rey o un as. Un caballo que no sea de bas tos. Un 3, un 4 o un 5. Un as, un tres o un rey q ue sean de oros o copas. Una figura que no sea de esp adas.

4

SABER MÁS Un dado tiene 4 caras con 2 puntos, 1 cara con 1 punto y 1 cara con 3 puntos.

• P (al menos una cara) 7/8 P (dos cruces) 3/8 Es más probable sacar al menos una cara. 5

• P (gane Pedro) 6/20 P (gane Bruno) 5/20 No es un juego justo. P (ganen ambos) 1/20 P (ninguno gane) 10/20 5

5

en total

5

– Un 2.

5

– Un número par. – Un 1 o un 2.

• 135/215 200/215 45/215

Problemas 4

12

5

Halla la probabilidad de que al lanzarlo salga:

EJEMPLOUn rey o un as

Casos favorables: 4 reyes y 4 ases, 8 Casos posibles: 40 (n.º de cartas) 8 Probabilida d de un rey o un as: 40

UNIDAD

110/215 180/215 165/215

Resuelve. Maite lanza 3 monedas diferentes. ¿Qué es más probable: sacar al menos una o sacar dos cruces?

Saber más

cara

Pedro y Bruno tienen una bolsa con tarjetas numeradas del 1 al 20. Sacan un número al azar. Gana Pedro si sale un divisor de 20 y gana Bruno si sale un número par mayor que 10. – ¿Es un juego justo? ¿Por qué? – ¿Qué probabilidad hay de que ganen los dos? ¿Y de que no gane ninguno? En un espectáculo de mag ia hay 215 asistentes. Si se elige un espectador al azar, halla la probabilidad de que: – Sea niño o niña.

– Sea de sexo femenino.

– No sea un hombre.

– No sea chico o chica joven.

– Sea adulto.

– No sea hombre ni joven.

ESPECTADORES 70 niños 65 niñas 20 chicos jóvenes 15 chicas jóvenes 30 mujeres 15 hombres

P

(un 2)

P

(un número par)

P

(un 1 o un 2)

5

4/6

5

5

4/6

5/6

Razonamiento Es posible porque hay 8 personas que tienen perro, 6 personas que tienen gato y 2 personas que tienen perro y gato.

Razonamiento

Notas

Piensa y contesta. En un grupo de 16 personas que tienen mascota, la probabilidad de elegir a una persona que tenga 10 un perro es y la probabilid ad de elegir una 16 8 que tenga un gato es . ¿Cómo es eso posible? 16

189

Otras actividades • Introduzca en una caja cuatro tarjetas de cartulina con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente, y muéstresela a los alumnos. Explique que van a jugar a sacar, sin mirar, dos tarjetas de la caja a la vez, y plantee las siguientes preguntas, u otras similares, para razonar y contestar de forma colectiva: – ¿Cuáles son los resultados posibles de este juego? ¿Cuántos hay? – ¿Qué probabilidad hay de que los números de las dos tarjetas que saque sean el 3 y el 4? – ¿Y de que en una de las tarjetas que saque esté el 1?

35

Solución de problemas Determinar varias soluciones a un problema

Propósitos • Obtener distintas soluciones de un problema variando los datos.


En un banco de alimentos han recogido 2.500 kg de comida. Un porcentaje lo han aportado supermercados, pero la mayor cantidad ha sido aportada por ciudadanos. ¿Cuántos kilos de comida han aportado los supermercados? El problema tiene muchas soluci ones posibles. Puedes dar un valor al porcentaje aportado por los ciudadanos. Fíjate bien en que debe ser mayor que el porcentaje aportado por los supermercados, es decir, debe ser mayor del 50 %. Con ese valor halla después la solución.

Para explicar. Trabaje el problema

resuelto señalando que la solución del problema va a variar en función del valor que demos al porcentaje aportado por los ciudadanos. Muestre la necesidad

Porcentaje aportado por los 80 % de 2.500 2

de que los datos que se inventen verifiquen las condiciones del resultado y tengan sentido en la situación del problema. Llame la atención sobre la importancia de comprobar que la solución obtenida tiene sentido.

5

ciudadanos: 80 %.

2.000

5

2.500 2.000 500 Solución: Los supermercados han aportado 500 kg. Da tú otro valor al porcentaje de los ciudadanos y halla la nueva solución.

Halla dos soluciones para cada problema.

Actividades • Porcentaje aportado por los ciudadanos: 70 %. 70 % de 2.500 1.750 2.500 1.750 750 Los supermercados han aportado 750 kg. 5

2

5

2 R. L. 3 R. L.

En una ruta de senderismo hubo 120 personas. Un quinto eran mayores, y del resto había más adultos que niños. ¿Cuántos adultos más que niños hubo?

2

Miguel tenía 250 €. Gastó un 60 % en comprar una cafetera y una batidora, y el resto lo usó para comprar una bicicleta. ¿Cuánto gastó en la cafetera menos que en la bicicleta?

3

Laura es mayor que su hermano Raúl. Dentro de 5 años, las edades de los dos sumarán 37 años. ¿Cuántos años es mayor Laura que Raúl?

4

Los dos tercios de las fotos hechas por Marisa eran de animales y el resto de plantas. De las fotos de animales, la mayoría eran fotos de aves y el resto de anfibios. Si Marisa hizo 120 fotos, ¿cuántas fotos de aves más que de plantas hizo?

5

Una página web tuvo 5.000 visitas. Menos de la mitad fueron de Europa, un 20 % más fueron de América y el resto de Asia. ¿Cuántas visitas tuvo de América más que de Asia?

1 R. L. Comente en común varias

de las propuestas de los alumnos valorando su corrección.

1

4 R. L. 5 R. L.

190

Notas Otras actividades • Pida a los alumnos que formen pequeños grupos y propongan problemas similares a los trabajados en las páginas 190 y 191. Deberán comprobar, antes de pasarlos a sus compañeros, que es posible resolverlos. Realice una puesta en común con algunos de ellos, verificando la corrección de los planteamientos y, en el caso de los diagramas de árbol, que pueden resolverse utilizando esa técnica.

36

12

Solución de problemas Hacer un diagrama de árbol

• Resolver problemas haciendo un diagrama de árbol.

D

¿Cuántos caminos diferentes se pueden seguir para ir desde el pueblo A hasta G sin pasar dos veces por el mismo pueblo?

A E G

Para resolver el problema, realiza un diagrama de árbol, completando por orden todos los caminos posibles.

C

Sugerencias didácticas Para explicar. Comente el problema

F

resuelto, mostrando la utilidad del diagrama de árbol para no olvidar ningún posible resultado. Indique su utilidad en los problemas de probabilidad, para obtener todos los

Desde un pueblo, escribe el pueblo o los pueblos a los que se puede ir. No olvides ningún camino. Desde A se puede ir a B; desde B a D y luego a G , o bien a E y luego a G . Desde A se puede ir a C y luego a G, o bien a C y luego a F y a G. D E

G

G C F

Solución:

sucesos posibles, y trabaje en común la actividad 2, realizando el diagrama de árbol asociado en común.

Hay 4 caminos posibles: ABDG , ABEG , ACG y ACFG .

Actividades

G

A

12

Propósitos B

B

UNIDAD

G

1 Hay 4 caminos diferentes:

ABDE, ABDCE, ACE, ACDE. Resuelve estos problemas haciendo un diagrama de 1

2

¿Cuántos caminos i idiferentes se pueden seguir i para i ir desde A hasta E?

2 Puede comprar 7 prendas

árbol. B

distintas: falda azul, falda verde, pantalón corto azul, pantalón corto rosa, pantalón largo blanco, pantalón largo azul, pantalón largo verde.

D

A C

Sole l i ha ido de compras. Está dudandol entre ii las siguientes i ili posibilidades: comprar una lfalda o un pantalón. l i li l Sil elige la falda, puede l ser azul o verde. iliSi leligel el pantalón, puede ser l corto o largo. l Hay pantalones l cortos azules y rosas, y pantalones ll l largos l blancos, azules y verdes. ¿Cuántas prendasi distintas i puede comprar Sole? l

3

Marcos i tiene dos cajonesi eni suil escritorio. En l el primero hay 4 rotuladores rojos y 3 azules. l En l el segundo hay 3 rojos, l2 azules y 5 verdes. iSi li elige l al azar lun rotulador de cada cajón, ¿qué iliprobabilidad hay de que no haya i ninguno azul? l

4

INVENTA. i Escribe l i unil

E

3 Hay 12 casos rojo-rojo,

encia Intelig rsonal e p a r t n i

8 casos rojo-azul, 20 casos rojo-verde, 9 casos azul-rojo, 6 casos azul-azul y 15 casos azul-verde. P (ninguno azul) 32/70 5

problema l similar i a los de estal página que se resuelva más fácilmente il i haciendo i un diagrama l de árbol.

4 R. L. 191

Notas

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. A la hora de que los alumnos planteen actividades similares a las trabajadas en las páginas de solución de problemas, anímelos a utilizar situaciones reales y creativas, estimulando en ellos la iniciativa y la capacidad de emprender, y resuelva algunas de ellas en común con toda la clase.

37

ACTIVI DADES

Propósitos

1

• Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Clasifica cada variable estadística en cuantitativa o cualitativa.

5

Número de cromos d e una colección.

6, 9, 7, 4, 9

Edad.

10, 12, 20, 16 , 12, 20

Sexo.

13, 10, 15, 10 , 15, 13, 15

Localidad don de vive.

12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8

Número de alumnos de un a clase.

1

5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10,

Helados vendidos en un pu esto un día.

Actividades

6

Mes de cump leaños.

2

• Cuantitativa. • Cualitativa.

Completa la tabla de frecuencias en tu cuaderno y contesta.

• Cualitativa.

Julio ha preguntado a sus amigos cuál es su color preferido y han contestado:

• Cuantitativa.

6 el rojo, 5 el azul, 3 el verde, 4 el negro, 4 el rosa y 1 el naranja. Color

• Cualitativa.

Frecuencia absoluta

• Cuantitativa.

Frecuencia relativa

3

3

Dato

F.abs.

6

2 4

8

10

4

2/16

3

Haz un recuento y construye la tabla de frecuencias.

10

8

6

12

14

6

14

8

12

10

12

8

12

12

10

8

12

5

5/16

14

2

2/16

M ed ia

5

5

7

8

6

5

Mo da

6

10

12

Me diana

Piensa y contesta.

¿Puede tener un grupo de ci nco números tres modas? ¿Y dos modas? 8

Calcula cada probabilidad.

Es un número par.

VOCABULA RIO. Explica cómo se halla cada medida estadística

5

5

2

Se elige al azar un número del 1 al 30.

Tiene dos cifras.

y pon un ejemplo con este grupo de números.

3/16

R. L. Media 7. Modas 5 y 6 Mediana 6. Rango 7

5

4

4/16

12

10

En un grupo de tres números, ¿tiene que ser la mediana uno de ellos? ¿Y en un grupo de cuatro números?

Ester ha anotado la talla de las camisetas que ha vendido hoy en su tienda:

F.rel.

9

7

¿Puede ser la media de un gru po de números un número distinto a todos?

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?

• La suma es 1.

6

1

¿Cuántos puzles hay c on menos piezas que la media? ¿Y con más piezas?

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿A cuántos amigos preguntó Julio?

• La suma es 23. Preguntó a 23 amigos.

4

Frecuencia absoluta

¿Cuántos puzles hay e n la clase?

7

Frec. abs.: 6, 5, 3, 4, 4, 1. Frec. rel.: 6/23, 5/23, 3/23, 4/23, 4/23, 1/23.

N.º de piezas del puzle

¿Cuál es la media del núme ro de piezas de los puzles? ¿Y la moda?

• Cuantitativa.

2

2

Observa la tabla y calcula. En una clase de Infantil hay varios puzles de distinto número de piezas.

Altura en centí metros.

• Cuantitativa.

Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de estos grupos de números.

Es impar o mayor que 25. 5

6

Ran go

Tiene dos ci fras que suman 5. No es par ni múltiplo de 3.

192

5

• Media 7. Moda 9 Mediana 7. Rango 5 5

5

5

5

• Media 15. Modas 12 y 20 Mediana 14. Rango 10 5

5

5

5

• Media 13. Moda 15 Mediana 13. Rango 5 5

5

5

5

• Media 10. Modas 8 y 12 Mediana 10. Rango 4 5

5

5

5

• Media 6. Modas 4, 5 y 9 Mediana 5. Rango 8 5

5

5

6

5

• Hay 20 puzles. • Media Moda

5

5

8 piezas. 9 piezas.

• Hay 8 puzles con menos piezas que la media y 12 puzles con más.

38

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de investigación con las que puedan trabajar las variaciones en los valores de las medidas estadísticas en función de las posibles variaciones que haya en los datos. Por ejemplo: – Escribid cuatro números y calculad su media. Sumad el número que queráis a cada uno de los cuatro números y calculad la media de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre la primera media y la segunda? – Escribid seis números y calculad su mediana. Multiplicad los números por 2 y calculad la mediana de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre las medianas? ¿Qué ocurre si en lugar de las medianas calculamos los rangos?

12 Problemas 9

10

4, 10 tiene como media 5.

Resuelve.

En una floristería ven den 10 macetas con flores a estos precios en euros:

Peso en kilos

4567

15

18

20

15

14

Frecuencia absoluta

1321

18

15

12

18

15

Halla la media, la moda, la y el rango de los precios.

– ¿Cuánto pesa la mochi la más pesada? ¿Y la más ligera?

• En un grupo de 3 números sí, en uno de 4 números no. • No puede tener 3 modas, ya que 3 3 2 5 6 . 5, pero sí 2 modas; por ejemplo, el conjunto 1, 2, 2, 3, 3 tiene como modas 2 y 3.

mediana

En una bolsa hay 10 tarjeta s verdes y 5 tarjetas rojas. Se van sacando tarjetas al azar y no se devuelven. Calcula la probabilidad de que:

– ¿Cuál es el r ango de los pes os? – ¿Cuántas mochila s llevan? Escribe los pesos ordenados de mayor a menor. ¿Cuál es la mediana?

8 • 15/30

– La primera tarjeta sea v erde.

La edad de cinco primos es 8, 9 , 3, 4 y 6 años. ¿Cuál es la edad media? ¿Cuál

9 • Más pesada: 7 kg.

Más ligera: 4 kg. Rango 5 3 kg Llevan 7 mochilas. La mediana es 5 kg.

Elsa l está participando i i en un torneo dei iseis partidos i de tenis. Ha jugado ya cinco ii partidos, li con i las isiguientes duraciones:

er

• Media 5 6 años Media en 2 años 5 8 años La media aumenta en 2 años respecto a la media anterior.

46 minutos 58 minutos

3. partido

1 hora y 5 minutos

4.º partido

42 minutos

5.º partido

1 hora y 14 minutos

• 10/30

• 18/30

la segunda también lo sea. – Si las tres primeras han sido rojas, la cuarta sea verde.

Piensa y resuelve.

2.º partido

• 2/30

• 21/30

– Si la primera ha sido verde,

será la edad media de los 5 primos dentro de dos años? ¿Qué relación hay entre las dos medias?

1. erpartido

12

7 • Sí; por ejemplo, el conjunto 1,

Piensa y contesta.

Los pesos en kilos de las mo chilas que llevan un grupo de amigos son:

11

UNIDAD

10 • Media

5 16 €. Moda 5 15 € Mediana 5 15 €. Rango 5 8 €

¿Cuáll es l lai media l dei las duraciones i l en i minutos i de los cinco partidos jugados? ¿Es más o menos de 1 hora? ¿Cuál es l la l mediana i yl el rango de i dichas duraciones? i

•

¿Cuántos minutos i d ebe durar ell sexto partidi o? l – Para i que la media sea 1 hora. l

– Para que i la moda sea 46 minutos.

l l

(primera verde) 5 10/15 (segunda verde) 5 9/14 P (cuarta verde) 5 10/12 P P

i – Para que i la mediana sea 59 minutos. – Para que el rango sea 38.

11 • Media 12

La media de cinco números es 6. ¿Qué número hay que añadirles para que la media de los seis números sea 8?

13

5

57 minutos

Es menos de 1 hora. Mediana 5 58 minutos Rango 5 32 minutos

Demuestra tu talento Lorena tiene en un cajón 6 calcetines rojos y 8 azules. ¿Cuántos debe sacar sin mirar para estar segura de tener dos del mismo color?

193

• Media 1 h F 75 min Moda 46 min F 46 min Mediana 59 min F 60 min Rango 38 min F 36 min

Demuestra tu talento Competencias • Competencia social y cívica. El contexto de la actividad 11, un torneo de tenis, facilita realizar una charla o un debate con los alumnos sobre diferentes valores sociales y cívicos. Puede comentar aspectos como la importancia de la deportividad y el juego limpio y la práctica cuidadosa del deporte de acuerdo a nuestras circunstancias físicas, el respeto a las instalaciones deportivas y normas del torneo, la necesidad de la práctica deportiva para nuestra salud…

12 Su suma es: 5 3 6 5 30.

Si la media de los seis es 8, su suma debe ser: 6 3 8 5 48. Por tanto, ese número debe ser: 48 2 30 5 18. 13 Si saca siete calcetines es seguro

que tendrá dos del mismo color.

Notas

39

SABER HACER

Realizar un control de

Propósitos • Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

El control de calidad consiste en analizar, durante todas las etapas de la fabricación, distintos datos que informen de si todo está funcionando como debe.

• Repasar contenidos clave.

En muchos casos se toman varios ejemplares de los objetos fabricados y se mide su longitud, peso, tamaño… Si se detecta algún error considerable, se retira ese lote y se revisa el proceso.


• Depósito 1. Media 5 39 ºC No debe desecharse. Depósito 2. Media 5 40 ºC Debe desecharse.

1

Depósito 3. Media 5 39 ºC No debe desecharse.

Calcula y resuelve. En una fábrica de quesos la temperatura de la leche debe estar en torno a 39 ºC. Toman la temp erat ura de l os d epós itos cada cinc o minuto s. Si la media de las temperaturas en ese tiempo se aparta más de medio grado de los 39 ºC, la leche del depósito se desecha.

• Lote 1. Rango 5 4 cm Debe reclasificarse. Lote 2. Rango 5 2 cm No debe reclasificarse. Lote 3. Rango 5 3 cm Debe reclasificarse. 2

calidad

Los procesos de fabricación industrial están sometidos a un control de calidad.

Anal iza si e stos depó sito s de ben ser dese chad os: Depósito 1

38º 39º 39º 40º 39º

Depósito 3

Depósito 2

38,5º 39 ,5º 39º 39,5º 38 ,5º En la planta de envasado de ma nzanas se analiza el rango de sus diámetros. Si en un lote el rango es mayor que 2 cm, se reclasifican las manzanas de nuevo.

R. L.

Actividades pág. 195

Estudia qué lotes deben 1

•

7 U. de millón 1 8 CM 1 1 9 DM 1 5 D 1 4 U Siete millones ochocientos noventa mil cincuenta y cuatro.

•

•

2

3

1

Lote 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6 Lote 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8

2 C. de millón 1 1 D. de millón 1 1 6 U. de millón 1 8 DM 1 1 3 UM 1 9 C 1 2 D Doscientos dieciséis millones ochenta y tres mil novecientos veinte. 6 C. de millón 1 4 U. de millón 1 1 7 CM 1 4 D 1 1 U Seiscientos cuatro millones setecientos mil cuarenta y uno.

•

128

•

•

243

• 8,

• •

4

•

60 8 12

•

40

20

•

6,15

•

10,102


Elegid y proponed.

1

3 D. de millón 4 U. de millón 1 5 CM 1 2 UM 1 6 U Treinta y cuatro millones quinientos dos mil seis.

• 10.000 35

reclasificar se:

Lote 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6

2 •

40º 39º 40º 40º 41º

7

•

2

•

5

75 ,

9

encia Intelig rsonal e interp

Elige con tu compañero un producto industrial y proponed un criterio de control de calidad basado en medidas estadísticas. Exponedlo a la clase con ejemplos de lotes aceptados y rechazados.

194

Desarrollo de la competencia matemática • La aplicación de las Matemáticas a un contexto real del mundo de la industria permite el desarrollo adecuado de esta competencia. Señale la aplicación de la estadística en contextos reales como el mostrado. A la hora de la realización del trabajo cooperativo, pida a los alumnos que planifiquen con cuidado el proceso que van a seguir y traten de proponer situaciones reales (investigando contextos en los que se lleve a cabo el control). Pídales que sean claros a la hora de exponer el criterio de selección y los cálculos realizados con los distintos lotes o muestras.

•

0,7

•

0,009

1

Descompón cada númer o y escribe cómo se lee. 7.890.054

2

4

73

7

10 4

49

75

m.c.m. (5 y 7)

m.c.d. (8 y 10)

m.c.m. (10 y 12)

m.c.d. (15 y 20)

Escribe con cifras.

Nueve milésimas

Diez unidades y cient o dos milésimas

9

6

1

2

8,46) 7

9,01 : 5,3 2

14,93

3

0,8

5

5

… m2

9,23 m

… mm 2 2

5

…m

48 dm 2

150 dm

3 3

… d m3

5 5

2

5 18

3 4

3

6 7

9 2 : 10 6

•

1,14

•

661,38

•

75

•

303,45

•

10,4

•

60,34

•

23,65

•

96,056

3

5

…m

2

0,247 m

3

9

Calcula.

•

A5 V5

•

El área y el volumen de un cilindro de radio 10 cm y altura 20 cm.

10

9.230 dm3

50.000 mm

… cm 3

El área y el volumen de un cubo de 12 cm de arista. 8 9

222,04

60 m2

8

14

•

61,36 : 5,9

(25,7

2.470 cm

Calcula. 4 15

8,5

18

60

345 : 4,6

Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades. 5 dm 2

Seis unidades y quinc e centésimas

1

3

0,6 dam 2

Siete décimas

Doce veinteavos

7 12

3

702 : 6,5 8

9,12 : 8

Calcula. 3,5

Calcula.

26

9,06

21,95

Cinco octavos

5

5

3

3

35,7

Calcula. 35

Calcula. 8,54

604.700.041

27 3

6

216.083.920

34.502.006

UNIDAD 12

12

REPASO ACUMULATIVO

2

48.000 cm3 0,15 m3

6 3 (12 cm)2 5 864 cm2 (12 cm)3 5 1.728 cm3

2 3 p 3 (10 cm)2 1 2 3 p 3 10 cm 3 20 cm 5 2 5 1.884 cm 2 V 5 p 3 (10 cm) 3 20 cm 5 3 5 6.280 cm A5 1

Problemas

4 3 p 3 (4 cm)3 : 3 5 3 5 267,94 cm 3 V 5 267,94 cm 3 10.000 5 3 5 2.679.400 cm 2 ABOLA 5 4 3 p 3 (4 cm) 5 2 5 200,96 cm 2 A 5 200,96 cm 3 10.000 5 2 5 2.009.600 cm

10 VBOLA 5 10

11

En una piscina de bolas hay diez mil bolas. Cada una tiene 8 cm de diámetro. ¿Qué volumen tienen en total? ¿Qué área de plástico se ha gastado para fabricarlas?

Jaime pagó en una tienda 7,65 € por 4,5 kg de patatas y 10,72 € por 8 kg de cebollas. ¿Cuánto habría pagado en total por 10 kg de patatas y 9 kg de cebollas?

12

Un televisor que costaba 400 € incrementó su precio un 10 %. Después, el nuevo precio se redujo en un 10 %. ¿Cuánto costaba el televisor al final? ¿Es cierto que el precio final era un 99 % del inicial?

13

En un laboratorio han recibido 4 bolsas de 2 hg y 5 dag de un compuesto. Necesitan 0,7 kg y 20 g para un experimento. ¿Cuántos miligramos les sobrarán tras el experimento?

14

En un mapa la distancia entre dos ciudades es 8,5 cm. La escala del mapa es 1 : 400.000. ¿Qué distancia las separa en la realidad? Dos ciudades separadas 800 km, ¿a qué distancia estarán en el mapa?

11

7,65 : 4,5 5 1,7 10,72 : 8 5 1,34 10 3 1,7 3 9 3 1,34 5 29,06 Habría pagado 29,06 €.

12

400 3 1,1 5 440 440 3 0,9 5 396 Costaba 396 €. Es cierto, era un 99 %.

13

4 3 250 g 5 1.000 g 0,7 kg y 20 g 5 720 g 1.000 g 2 720 g 5 280 g Les sobrarán 280.000 mg.

14

1 cm 5 4 km 8,5 3 4 5 34 Las separan 34 km. 800 : 4 5 200

195

Repaso en común • Proponga a los alumnos que preparen ocho cuestiones relacionadas con los contenidos estudiados en esta unidad y sus respuestas correspondientes. Cada alumno formulará las preguntas que ha preparado a un compañero, después le dirá si sus respuestas son correctas, y le explicará su resolución en caso de existir dificultades o si la contestación es errónea. Exponga algunas de ellas a la clase y aproveche para despejar las posibles dudas que existan.

Estarán a 200 cm de distancia.

Notas

41

Tratamiento de la información

Analizar gráficos de barras

Propósitos • Analizar críticamente gráficos de barras.

En el gráfico está representado el número de personas que pidió cada tipo de primer plato en el restaurante Comecome en tres meses del año pasado.


Ensalada

Para explicar. Recuerde con los

alumnos las características más importantes de los gráficos de barras. Muestre su utilidad para sintetizar información y señale que en esta página vamos a trabajar tanto la interpretación (analizando la corrección de distintas afirmaciones), como la toma de decisiones a partir de la información que aportan los gráficos.

Pasta

Guiso

Agosto

s e Septiembre M

Octubre

0

50

100 N.º de personas

200

300

Fíjate en que en agosto más gente prefirió los platos frescos (ensaladas) a los platos más calientes.

Actividades

1

Observa el gráfico anterior . Después, contesta. ¿Qué platos fueron los preferidos en septiembre y octubre? ¿Por qué crees que ocurrió así?

1 • Guiso.

Probablemente porque el tiempo era más frío.

Juan, el camarero, coment ó que la gente que eligió pasta fue aumentando desde agosto hasta octubre. ¿Tenía razón según el gráfico?

• No aumentó todo el tiempo, de agosto a septiembre disminuyó.

María, la cajera, creía que a partir de septiembre sería mejor no servir ensalada hasta la llegada del verano. ¿Crees que tenía razón? ¿Por qué? 2

Razona y contesta. En el restaurante tienen que hacer la compra este año para los meses de agosto, septiembre y octubre. Han anotado estas decisiones. ¿Crees que tienen razón a partir de la información del año pasado?

• Quitar la ensalada no es conveniente, ya que incluso en octubre 50 personas

Comprar la misma cantidad de verdura

la pidieron. 2 • Incorrecta, en septiembre

y octubre deberían comprar menos.

Ir aumentando la cantidad de ingredientes para guisos a medida que avance el otoño. Incluir gazpacho en el menú a

• Incorrecta, hay una variación grande en el número de clientes que la piden, aunque como la pasta no se estropea podrían aprovecharla.

partir de septiembre.

196

• Correcta, el número de clientes que pide guiso va aumentando.

Otras actividades

• Incorrecta, el número de clientes que pide platos frescos disminuye a partir de agosto.

• Prepare distintos gráficos de barras, utilizando algún tipo de programa informático o bien tomándolos de distintas fuentes (periódicos, Internet…). Entréguelos a los alumnos y propóngales que hagan un análisis similar al realizado en esta página, tanto enunciando frases correctas como tomando decisiones para el futuro en base a los datos aportados por el gráfico.

Notas

42

s para ensalada

los tres meses. Comprar la misma cantidad de pasta para agosto que para octubre.

12 Analizar gráficos lineales

Valdeluz

3.500

s o il 3.000 k e 2.500 d 2.000 o r e 1.500 m ú 1.000 N

3.500

• Analizar críticamente gráficos lineales.

2.600

Solana


3.700 3.400

2.800

2.900

3.200 2.900

3.400

Para explicar. Recuerde con los

alumnos cómo se interpretaban los gráficos lineales. Muestre su utilidad para mostrar la evolución de variables a lo largo del tiempo, y trabaje la interpretación del gráfico

2.700

500 0

A

S

O

12

Propósitos

En el Ayuntamiento están estudiando los datos de reciclaje en la ciudad. El gráfico muestra los kilos de vidrio reciclados en dos barrios en varios meses.

4.000

UNIDAD

N

D

ofrecido en la página con los alumnos.

Mes

Fíjate en que de agosto a septiembre aumentó el número de kilos de vidrio reciclados en los dos barrios.

Actividades 1 • En Valdeluz ha disminuido

1

la cantidad de vidrio reciclado, mientras que en Solana ha aumentado.

Observa el gráfico anterior y contesta. ¿Qué ha ocurrido con el reciclaje de vidrio en Valdeluz en estos meses? ¿Y con el reciclaje en Solana?

• En noviembre Solana empezó a reciclar más que Valdeluz.

¿En qué mes comenzó a reciclarse más en Solana que en Valdeluz? El Ayuntamiento piensa llevar algunos contenedores de vidrio desde a Valdeluz. ¿Crees que hace bien? ¿Por qué? 2

Solana

• R. M. Sería bueno motivar a los vecinos de Valdeluz a reciclar, pero llevar más contenedores no es quizá lo mejor. Privar además a Solana de contenedores puede disminuir la progresión

Fíjate en el gráfico, lee el texto y contesta. Dos amigas, Laura y Sara, se han propuesto ahorrar cada vez más en sus gastos. En el gráfico han representado el dinero que han ahorrado cada mes.

¿Quién ahorró má s en mayo que en enero? Laura ¿ha ido ahorran do más de mes en mes? ¿Y Sara? ¿Quién crees que debe hacer un esfuerzo para cumplir su propósito?

Laura

Sara

) (€ 180 o d 140 a rr o h 100 a ro e n i D

que está habiendo en el reciclaje.

60 20

2 • Sara ahorró más en mayo E

F

M

A

My

que en enero, y Laura también.

Mes

197

Otras actividades • Puede utilizar los gráficos lineales presentados en Tratamiento de la información de las unidades 2 y 4 del libro para realizar con los alumnos actividades similares a las presentadas en esta página. Pídales que elaboren conclusiones correctas a partir de ellos y los analicen de forma crítica.

• Laura comenzó ahorrando más, pero en marzo bajó su ahorro y se mantuvo constante desde entonces hasta mayo. Sara empezó disminuyendo su ahorro en febrero, pero desde entonces hasta mayo lo fue aumentando. • Laura debe esforzarse más. Sara sí que está ahorrando más de mes en mes.

Notas

43


Analizar pictogramas

Propósitos • Analizar críticamente pictogramas.

En el pictograma se han representado los envíos repartidos por una empresa de mensajería los últimos años.


1.000 envíos

500 envíos

Para explicar. Comente con los

alumnos el pictograma presentado, recordando que cada símbolo tiene un valor y que, para obtener el valor total en cada mes, hay que realizar un cálculo. Indique las similitudes y diferencias con los gráficos de barras.

2012

•

•

•

2014

2015

Año

Fíjate en que en 2012

Actividades 1

2013

2014 F 5.000 envíos 2015 F 5.500 envíos

1

repartiero n 2.500 envíos, y en 2013 repartieron 1.000 envíos más.

Observa el pictograma de arriba y contesta.

El número de envíos ha ido aumentando de año en año.

¿Cuántos envíos r epartieron en 20 14 y 2015?

Porque piensan que en los próximos años aumentará el número de envíos y necesitarán más medios para repartir.

En la empresa de mensajería han decidido compra r más furgonetas para repartir. ¿Por qué piensas que lo han hecho?

El número de envíos ¿creció o disminuy

2

Fíjate en el pictograma, lee el texto y contesta. 8 personas

En el gráfico tienes las empanadas vendidas en una tienda en los últimos días según su tamaño (grandes, 8 personas; pequeñas, 4 personas).

2 R. M.

4 personas

Al v erlo , en la t iend a ha n to mado esta s decisiones. Indica si te parecen correctas o no y por qué.

• Correcta, el número de empanadas de cada tipo es muy similar.

Los miércoles y jueves harán las mismas empanadas de cada tipo.

• Correcta, el día en que más empanadas grandes venden es el sábado.

El día que más empanada s grandes harán será el sábado.

X

J

V

S

Día

Harán siempre 3 em panadas pequeñas. Ningún día harán meno s de 2 empanadas grandes.

• Incorrecta, puede que haya días en que les sobre alguna. • Correcta, todos los días venden 2 o más.

ó entre esos años?

Harán siempre 3 em panadas grandes. 198

• Incorrecta, hay días que venden menos de 3 empanadas.

Otras actividades Notas

• Agrupe a los alumnos en parejas y pídales que inventen y dibujen un pictograma similar a los trabajados en esta página. Señale que todos los pictogramas deberán incluir la leyenda y estar correctamente rotulados. Después, pídales que redacten afirmaciones sobre él y decisiones a partir del mismo (correctas e incorrectas). Más tarde se los intercambiarán entre sí y cada pareja deberá detectar las afirmaciones y decisiones incorrectas del gráfico que ha recibido.

44

12 Analizar histogramas

UNIDAD

12

Propósitos • Analizar críticamente histogramas.

El histograma muestra los envíos entregados ayer por la mensajería clasificados según sus pesos.

Sugerencias didácticas 21

Para explicar. Recuerde con la clase

s 18 o í v 15 n e e 12 d 9 ro e m 6 ú N

las características de los histogramas: su división en intervalos de la variable y cómo el valor superior de cada intervalo no se incluye en él, sino en el intervalo siguiente. Comente el histograma del ejemplo y realice

3 0 Menos De 100 De 200 De 500 Más de de 100 a 200 a 500 a 1.000 1.000

algunas preguntas para asegurarse de que los alumnos recuerdan cómo se trabajaba con ellos.

Peso en gramos

Fíjate en que solo 12 envíos pesaron 500 o más gramos. El fue el de los envíos que pesaban menos de 100 gramos.

grupo más numeroso

Actividades 1

1

Observa el histograma anterior y contesta.

• •

En la empresa usan unas cajas para envíos que pesen entre 100 g y 500 g. ¿Cuántas cajas de ese tipo utilizaron ayer? El encargado dice que hubo más envíos mayores de 200 g que envíos de peso menor. ¿Tiene razón?

•

El peso total de los envíos menores de 200 g, ¿pudo ser mayor de 6 kg? ¿Por qué?

2

Observa el histograma, razona y contesta. Un científico ha elaborado un histograma con el número de frutos en un tipo de planta. Razona si cada frase es cierta o no. Lo más común es que la planta tenga entre 5 y 8 frutos. Lo menos común es que tenga menos de 5 frutos. Hay más plantas con meno s de 8 frutos que con más de 8.

s ta n la p e d o r e m ú N

280 240 200

2

160

•

120 80

•

40 0 De 1 a5

De 5 a8

De 8 a 10

•

De 10 Más de a 15 15

Número de frutos

Utilizaron 33 cajas. No tiene razón, hubo 39 envíos menores de 200 g y 27 envíos de 200 g o más. Se hicieron 39 envíos; si, por ejemplo, todos eran de peso mayor que 154 g, entonces el peso total superaría los 6 kg. Cierta, es el intervalo con mayor número de plantas. Falsa, lo menos común es que tenga 15 o más frutos. Falsa, hay 320 plantas con menos de 8 frutos y 360 plantas con 8 frutos o más.

199

Notas

Otras actividades • Puede utilizar los histogramas presentados en Tratamiento de la información de las unidades 7 y 9 del libro para realizar con los alumnos actividades similares a las presentadas en esta página. Pídales que elaboren conclusiones correctas a partir de ellos y los analicen de forma crítica.

45


Analizar gráficos de sectores

Propósitos • Analizar críticamente gráficos de sectores.

El gráfico de sectores muestra los medios de transporte que usan los 1.440 trabajadores de una empresa para llegar a su trabajo.

Sugerencias didácticas Autobús de empres a

Para explicar. Recuerde con la clase

Tren y metro

las características de los gráficos de sectores, cómo se obtiene la amplitud de cada sector y la posibilidad que brindan de realizar comparaciones cualitativas de forma

Coche Moto

Llegan a trabajar en autobús de la empresa 600 trabajadores. Es el segundo medio más utilizado.

rápida. Realice en común el cálculo de los trabajadores que llegan en tren y metro, y pídales que hagan por sí mismos el resto de cálculos.

Calcula tú cuántos trabajadores llegan en de medios de transporte.

1

Actividades •

• •

María piensa que vienen más empleados en sus propio en transporte público. ¿Tiene razón?

2

El gráfico muestra los

•

R. M. Podría ser interesante experimentar un nuevo sabor, dado que los frutales gustan mucho, pero sin dejar de producir naranja y limón.

• Fabricará solo naranja.

46

Nata Limón Chocolate

¿Crees que sería una buena idea hacer un único sabor frutal, mezclando naranja y limón? ¿Por qué? La empresa ha decidido fabricar solo los sabores elegidos por más de 200 personas. ¿Qué sabores fabricará?

F

Han preferido 160 personas más los sabores frutales a los no frutales.

Naranja

resultados.

¿Cuántas persona s más han preferido los sabores de fruta a los sabores no frutales?

• Es buena idea porque los coches y motos no podrán aparcar y, así, los trabajadores podrán llegar de forma más sencilla.

•

Observa el gráfico de sectores, razona y contesta. En una empresa de helados han dado a probar cuatro nuevos sabores a 720 personas para que elijan el que más les guste.

No tiene razón, en sus vehículos vienen 680 trabajadores y en transporte público (incluyendo el autobús de empresa) 760.

120º F 240 personas Nata F 60º F 120 personas Limón F 100º F 200 personas Chocolate F 80º F 160 personas

s vehículos que

El próximo mes el aparcamien to de la empresa va a estar en obras. ¿Sería una buena idea poner más autobuses de la empresa? ¿Por qué?

Se utiliza más el coche.

2 Naranja

Observa el gráfico de sectores anterior y contesta. ¿Qué medio de transpo rte es el más utilizado?

Tren y metro F 80º F 320 trabajadores Coche F 150º F 600 trabajadores Moto F 20º F 80 trabajadores

1

el resto

200

Otras actividades • Prepare distintos gráficos de sectores, utilizando algún tipo de programa informático o bien tomándolos de distintas fuentes (periódicos, Internet…). Entréguelos a los alumnos y propóngales que hagan un análisis similar al realizado en esta página, tanto enunciando frases correctas como tomando decisiones para el futuro en base a los datos aportados por el gráfico.

12 Analizar gráficos mixtos

26

400

• Analizar críticamente gráficos mixtos.

26


28 24

350

24

22 20

300

20

18

250

15

14

18

15

20 16

16

200 150

150

150

12

125 100

100

100

50

50 E

F

M

A

8

50 25

0 My

4

25 0

0

0

J

Jl

A

Para explicar. Comente a los

) ºC ( s a r u t ra e p m e T

alumnos que también podemos realizar gráficos mixtos, es decir, gráficos en los que aparezcan informaciones de distintos tipos mezcladas. Señale que en este caso

0 S

O

N

aparecen unidos un gráfico de barras con las precipitaciones y un gráfico lineal con las temperaturas. Hágales ver que para interpretarlos tenemos que considerar el eje vertical pertinente, aunque en este caso aparecen todos los valores rotulados para facilitar el trabajo de los alumnos.

D

Fíjate en que en el mes de junio no llovió nada y la temperatura fue de 22 ºC.

1

Observa el climograma anterior y copia las oraciones que sean Solo en cinco meses las precipitacio

verdaderas.

nes superaron los 80 mm.

Las temperaturas de enero a junio fueron siempre en aumento. Las máximas temperaturas coinciden con las

Trabaje también en común el gráfico que aparece en la actividad 2, donde se mezclan un gráfico de sectores y un pictograma.

mínimas precipitaciones .

Si en un mes llovió más de 100 mm, la temperatura nunca superó los 15 ºC. 2

Fíjate en el siguiente gráfico y razona si las afirmaciones son correctas. En el gráfico de sectores se muestra el número de turistas del año pasado según su procedencia y con los pictogramas, el dinero gastado por todos ellos. Los turistas españoles gastar on 90.000 €.

Turistas en Playazul América 1.200

€ €

€ €

España 1.500

€ €

€

€

€

€ € € Asia 900

€

20.000 €

€

10.000 €

12

Propósitos

En el climograma están los datos de precipitaciones y temperaturas en una ciudad cada mes del año pasado. Las precipitaciones están indicadas en el gráfico de barras y las temperaturas en el gráfico lineal.

) m (m s e n io c a it ip c e r P

UNIDAD

Actividades

Hubo más turistas extranjeros que españoles.

1 Es verdadera la tercera oración.

La media de gasto por perso na en los turistas americanos fue de 500 €.

2 • Falsa, gastaron 80.000 €.

La media de gasto por perso na en los turistas españoles fue mayor que la media de los turistas americanos.

• Cierta.

El Ayuntamiento debe hacer una campaña para potenciar el turismo asiático, ya que es el que más gasta por persona.

• Cierta.

• Falsa, fue de 50 €. • Cierta. 201

Notas

Otras actividades • Pida a los alumnos que preparen gráficos mixtos similares a los trabajados en esta página (pueden incluso variar los valores simplemente) y preparen oraciones que sean correctas e incorrectas. Después, se los intercambiarán entre sí y analizarán las oraciones de su compañero. Realice una puesta en común de aquellos casos en los que surjan discrepancias.

47

Repaso final Propósitos

NÚMEROS


1

Escribe cómo se lee.

Números 1

28.902.113

• Cinco millones noventa y nueve mil doscientos cuatro. • Veintiocho millones novecientos dos mil ciento trece.

2

15 4

5.099.204

6 12

Treinta y dos millones doce mil. Cuatrocient os millones ochocientos mil uno.

7,95

Dieciséis doceavos.

675.000.870

24,016

903.070.015

305,607

3

Escribe con cifras.

Aproxima cada número al orden indicado. A las centenas de millar: 387.915; 4.678.113

A las unidades: 4,76; 13,292; 309,714

A los millones: 6.600.129; 13.299.999

• Seiscientos setenta y cinco millones ochocientos setenta.

4

• Novecientos tres millones setenta mil quince.

35.100.032

176.234.892

• Seis doceavos.

176.240.625

5

6

4

5

5 4

6 5

1,86

Dibuja unos ejes cartesianos y representa estos puntos.

6

Ordena cada grupo de números de menor a mayor.

( 23,

A

1 2)

B

( 2 5,

2 4)

C

( 11,

1 3)

1,9

2,134

5

• 7 unidades y 95 centésimas. • 24 unidades y 16 milésimas.

A las décimas: 9,28; 37,386; 426,098

Compara en tu cuaderno. Coloca el signo adecuado. 35.090.126

• Quince cuartos.

Ocho veinteavos.

Tres unidades y doce milésimas .

D

( 1 2,

2,134

2 5)

E

( 23, 0)

F

23

29

24

11

(0,

1 5)

• 305 unidades y 607 milésimas. 2

• 32.012.000

14 8

12 2 5

1,8

2 5

3,43

16 5

33 10

4,52

• 400.800.001 • •

12

OPERACIONES

20 7

• 3,012

Calcula. 78.99916.741 1

3

• 400.000; 4.700.000

84.006

• 7.000.000; 13.000.000

3

• 9,3; 37,4; 426,1

8

•

,

•

.

•

,

•

.

•

,

•

.

•

5

•

,

5

202

F C A

E

B D

6

• • •

48

8

5

,

,

1,8 , 2 ,

10

4.508 1.000

,

5

3,4 5 3

451 ,

1.235

9.878

6.127

2

100

,

5

4,52 , 4,6

3

349

65.117 : 704

3

890

86.450 : 934

2

9 (5 4) 18 2 9 : 3

• 5; 13; 310

4

2

20 : 5 (9 1 6)

2

(8 2

3

2

1

4) 13

12 : 6 20 2 2

Halla estas potencias y raíces. 74

10 7

19

16

100

39

85

93

56

25

49

70

3

3 5 (8 : 2)

3

451 100

4,6

4.508 1.000

UNIDAD

9

Halla.

Tres múltiplos de 9.

m.c.m. (8 y 20)

Todos los divisores de 24. 10

2 9

1

6 11

1

15 4

2

30 8

2

2

8 6

5 2

3

9 5

3

3

3 7

11 : 4 3 6

21 2

2

5 : 2 4 3

2

21 : 2 5

20 3

2

( 38 : 4)

2 5

3

7,8

2

4,76

.401 2

8

Calcula.

3,099 2,76 1

12

• 95.740 • 431.015 • c 5 92, r • c 5 92, r • 9 • 0 • 15 • 17

7

m.c.d. (20, 12 y 16)

Opera con fracciones.

4 7

11

Operaciones

m.c.m. (6, 10 y 5)

m.c.d. (10 y 9)

28,2 : 3

2,195

3

2,94

3,8

3

1,9

2

185 : 2,5

1,8 : (8,468

10,927: 4,9

8,9

3

1,023

2 : 0,4 2 2

3,2

1

3

2

27,13 : 9,2

85,4 : 17,6

3 cifras

3,45 : 0,127

10.000.000 1

2,64)

11,78 : 6,2

10

6

,

39 ,

7

5

7

8

,

70 ,

9

0, 9, 18

• 40

9•

19,4 : 2,6

15.625

4

MEDIDA

• 4 •

10

Completa en tu cuaderno cada cambio de unidad.

0,091 km

5

… dm

0,12 dal

135.000 cm

5

9.700 dm

… dam

5

… hm

• … ml

5

250.000 cl 1,32 kl

5

5

… kl

… dl

0,075 t

5

… kg

37.000 mg 241.000 dg

11 •

… dag

5 5

63

11

• •

4

5,859

• 5,605

… kg

5

4 h y 5 min 30.000’’

14

5

… min

5

…h

45.000 cm

…s

5

…º, …’ y …’’

2

5

… m2

0,08 dam

2

3,7 ha

… m2

5

5

… cm 2

30.000 dm 3 0,07 m 3

5

5

… m3

3

5

2,6 dal

0,0087 km 0,27 hl

890.000 mg 30.000 s 0,09 ha 475 ℓ

256 ℓ

88 kg 4 h y 7 min

1.100 m 480 dm

3

9m

2

•

2

•

10

•

240

• 9,4

• 4,22

• 74

• 90

• 2,23

8 .

• 7,2047

Medida

910 dm

2.600 dl

871 hg

13•

910 dm • 1.200 ml

25.800 cl

91 dag

210 min 3

2

12 dam

13,5 hm 97 dam 2,5 kl 13.200 dl

• 75 kg

4 h y 500 s

1.300.000 cm

479.000 cm

5

•

• c 5 27,165; c 5 7,461

…ℓ

Ordena cada grupo de medidas de mayor a menor.

9.084 cm

•

14

• c 5 2,94; c 5 4,85

12

… kl

4.000.000 cm

•

12

• 13,9944 7.200 s

• 30

• 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 • 1

13

• 74.128 • 5.453.030 5 349 5 522 • 17 • 12

32.768 729

Divide, obteniendo en el cociente las cifras decimales indicadas.

2 cifras

12

2

3,7 dag

• 120 min

481.000 ml

• 4,5 m 203

• 30 m 14

2

52

24,1 kg

h 14.700 s 8° 20 9

80.000 cm 2 37.000 m 2

3

0,07 kl

4.000 ℓ

• 910 dm . 9.084 cm . 9 m . . 0,0087 km

• 2.600 dl . 25.800 cl . 256 ℓ . . 0,27 hl . 2,6 dal • 88 kg . 871 hg . . 91 dag . 890.000 mg • 30.000 s . 210 min . . 4 h y 500 s . 4 h y 7 min • 12 dam .

2

.

1.100 m2 .

0,09 ha . 1.300.000 cm2

• 481.000 ml . 480 dm3 . 3 . 479.000 cm . 475 ℓ

49

Repaso final 15

15

• 1 cm 5 5 m La línea mide 20 m. Tendrá 6 cm de largo y 2 cm de ancho.

Marcos ha dibujado un plano a escala 1 : 500. En él ha trazado una línea de 4 cm. ¿Cuántos metros mide esa línea en la realidad? ¿Qué dimensiones tendrá en ese plano una piscina de 30 m de largo y 10 m de ancho? En el mapa de Leonor 1 cm representa 4 km en la realidad. ¿Cuál es la escala numérica de ese mapa? Dibuja su escala gráfica.

• 4 km 5 400.000 cm La escala es 1:400.000. 0

4 8 kilómetros

Piensa y contesta.

GEOMETRÍA

12 16

Halla el área de estas figuras planas. Uncuadrado de lado 6 cm.

Geometría 16

17

18

•

A5

36 cm2 •

A5

Un triángulo de base 15 cm y altura 10 cm.

452,16 cm2

Un hexágono regul ar de lado 9 cm y apotema 7,8 cm.

2

•

A5

32 cm

•

A5

75 cm2

•

A5

210,6 cm2

Prisma cuadrangular; octaedro; poliedro; cilindro; pirámide cuadrangular; cono; esfera. •

A5

•

A5

•

A5

2 2

20

21

864 cm ; V 5 1.296 cm

15 cm

m c 9

5.024 cm2; 3 V 5 33.493,3 cm

18 cm

9 cm 9 cm

18 cm

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

•

5

19

16;

Media 5 5; mediana 5 4; modas 5 3, 4 y 8; rango 5 8

•

15/30

•

14/30

•

5/30

•

10/30

2/5 de 800 5 320 30 % de 800 5 240 800 2 320 2 240 5 240 Hay 240 fresnos.

•

Hubo 15 grados de diferencia.

•

527,45 : 7 5 75,35

Calcula la media, mediana, moda y rango de cada grupo de números. 18, 12, 22, 14, 22, 14 13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11

20

Que sea par y múltiplo de 6. 204 44

17, 19, 17, 19, 14, 19, 14 4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3

Halla cada probabilidad al elegir al azar un número del 1 al 30. Que sea impar.

Media 5 17; mediana 5 17; moda 5 19; rango 5 5

75,35 3 14 5 1.054,9 75,35 3 9 5 678,15 14 cámaras costarán 1.054,90 €, y 9 cámaras, 678,15 €.

50

Calcula el área y el volumen de cada cuerpo geométrico.

12 cm

moda 5 22; rango 5 10 Media 5 13; mediana 5 13; modas 5 11 y 15; rango 5 4

•

18

3

Media 5 17; mediana

•

Clasifica cada cuerpo geométrico.

486 cm ; V 5 729 cm

•

•

17

3

Estadística y probabilidad 19

Un círculo de diámetro 24 cm.

Un romboide de base 8 cm y altura 4 cm.

Que sea mayor de 20 o divisor de 10. Que no sea par ni múltiplo de 3.

2

0

c

m

2 21

Resuelve.

UNIDAD

•

En el parque hay 800 ár boles. Dos quintos son chopos, un 30 % pinos y el resto fresnos. ¿Cuántos fresnos hay?

•

El martes la temperatura mínima fue de 23 ºC y la máxima de 12 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hubo entre ambas? Un lote de 7 cámaras fotográficas iguales cuesta 527,45 €. ¿Cuánto costarán 14 cámaras? ¿Y 9 cámaras?

• •

Mónica va al peluquer o cada 20 días y Carlos cada 30. Hoy han coincidido allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez?

•

En el almacén tenían 5 t y 4 q de naranjas. Las envasaron en bolsas de 4 kg y medio cada una y cada bolsa la pusieron a la venta a 2 €. Si vendieron cinco sextos de las bolsas, ¿cuánto dinero obtuvieron? Miguel ha pegado 49 fotos c uadradas formando un cuadrado. ¿Cuántas fotos hay en cada lado del cuadrado?

•

m.c.m. (20 y 30) 5 60 Pasarán 60 días. 5.400 : 4,5 5 1.200 5/6 de 1.200 5 1.000 1.000 3 2 5 2.000 Obtuvieron 2.000 €. 49 5

7. Hay 7 fotos.

17 : 12,5 5 1,36; 14 : 10 51,4 Obtuvo mejor precio Sonia. 1.700 3 1,02 3 1,01 5 1.751,34 Cada mes cobraba 1.751,34 €. 1.700 3 1,03 5 1.751 Cobraba un 3,02 % más. 1 h 28 min 2 39 min 40 s 5 48 min 20 s Tardó 48 min 20 s en la segunda parte. 1 h 28 min 1 48 min 20 s 5 5 2 h 16 min 20 s Tardó 2 h 16 min 20 s en total. 5

Sonia compró 12,5 kg de m anzanas por 17 € y Pablo compró 10 kg por 14 €. ¿Cuál obtuvo un mejor precio por kilo? El sueldo de Alejandro en 2013 era 1.700 € al mes. En 2014 aumentó un 2 % y en 2015 aumentó un 1 %. ¿Cuánto cobraba al mes en 2015? ¿Cobraba un 3 % más que en 2013? •

Un examen constaba de dos partes. En la primera Tania ta rdó 1 h y 28 m in y en l a se gund a ta rdó 39 min y 40 s menos que en la primera. ¿Cuánto tardó en la segunda parte? ¿Y en total? En una parc ela de 90.000 m 2 se reservarán 6 parcelas de 40 dam 2 cada una para viviendas y el resto se dividirá en 5 zonas verdes. ¿Cuántos metros tendrá cada zona?

•

Un depósito esférico de 20 m de diámetro está lleno por la mitad de zumo. Se va a envasar el zumo en envases de 200 ml cada se podrán llenar?

12

uno. ¿Cuántos envases

Marisa tiene anotado el número de cliente s que visitó cada restaurante las dos pasadas semanas. Hubo 30 visitantes 5 días, 28 visitantes 2 días, 24 visitantes 2 días y 22 visitantes 5 días. ¿Cuál fue la media de clientes? ¿Y la mediana? ¿Y el rango?

•

90.000 2 6 3 4.000 5 66.000 66.000 : 5 5 13.200 Cada zona tendrá 13.200 m2. 4 3 p 3 (10 m)3 : 3 5 3 5 4.186,6 m 4.186,6 : 2 5 2.093,3 2.093.300 : 0,2 5 10.466.500 Se podrán llenar 10.466.500 envases. Media 5 26 visitantes Mediana 5 26 visitantes Rango 5 8 visitantes

45 205

Notas

51

SOLUCIONARIO

Fin de etapa

Índice Descubre las Matemáticas en… Los números en China.................................................................... 210 Los números gigantes ....................................................................211 El sudoku .......................................................................................212 Los números perfectos ...................................................................213 Los cuadrados mágicos .................................................................214 Las fracciones egipcias ..................................................................215 Los círculos decimales de Simon Stevin .........................................216 Los decimales chinos .....................................................................217 El maratón ......................................................................................218 El cálculo de las medidas de un cuadro ..........................................219 Las unidades de medida especiales ...............................................220 Las señales con pendiente .............................................................221 Los ángulos en las estrellas dobles .................................................222 El triángulo egipcio .........................................................................223 Los pentominós ..............................................................................224 El tamaño DIN A .............................................................................225 La forma de las baldosas ................................................................ 226 El truco de Arquímedes ..................................................................227 Los rompecabezas con áreas .........................................................228 La relación entre área, volumen y calor ...........................................229 Las medias engañosas ...................................................................230 Las audiencias televisivas ...............................................................231

55

Los números en China Actividades 1

12

Los chinos utilizaron distintas formas de representar números. Una de las más populares consistía en la escritura de palos verticales y horizontales. Observa cómo representaban los números del 1 al 9.

56

123456789 534

Verticales

790

Horizontales

869 972 2

212

Para no confundir los palos que representaban cada cifra con los de la cifra siguiente, utilizaban la notación vertical para las unidades y las centenas, y la horizontal para las decenas y los millares. De ese modo se alternaban verticales con horizontales. Así escribían los números 18, 394 y 5.627:

214

1

8

3

9

4

5

6

2

7

245 También utilizaban dos formas de escribir los números negativos.

Notas

Primera forma. Utilizaban el color rojo para los números positivos y el negro para los negativos. Fíjate en estos ejemplos. Segunda forma. Tachaban la última cifra de los números negativos, como puedes ver en este ejemplo.

1

56

56

534

790

972

869

Representa estos números enteros de las dos formas que has visto en esta página.

214

12

210

232

32

Representa con la notación china de palos horizontales y verticales estos números. 12

2

29

9

245

Primera forma

▶

…

Primera forma

▶

…

Primera forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

SOLUCIONARIO

Los números gigantes encia Intelig lista r u t na a

Actividades

Para encontrar números muy grandes, basta con observarnos detenidamente:

1

En la cabeza podemos llegar a tener más de 100.000 pelos. Una porción de nuestra piel del tamaño de un euro tiene unas 100.000 bacterias.

• 3 3 100.000 5 300.000 Hay 300.000 bacterias. • 4 3 5.000.000 5 20.000.000 Hay 20 millones de glóbulos rojos.

En una gotita de sangre hay unos 5.000.000 de glóbulos rojos. En un día podemos parpadear unas 31.680 veces.

• 31.680 : 24 5 1.320 En una hora parpadeamos 1.320 veces. 2

• 3 CM Trescientos mil. • 2 D. de millón Veinte millones. • 1 UM 1 3 C 1 2 D Mil trescientos veinte.

1

Lee y calcula.

3

¿Cuántas bacterias hay en una porción de piel equivalente a 3 monedas de euro? ¿Cuántos glóbulos rojos hay en 4 gotitas de sangre? ¿Cuántas veces parpadeamos en una hora? 2

Descompón y escribe cómo se lee cada uno de los números que has obtenido en la actividad 1.

3

Lee y calcula. Con ayuda de un reloj, cuenta las veces que respiras en un minuto. ¿Cuántas respiraciones habrás hecho en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año?

• R. M. En un minuto, 70 pulsaciones. En una hora, 4.200 pulsaciones.

Con la ayuda de un reloj, cuenta el número de pulsaciones que tienes por minuto. ¿Cuántas pulsaciones tendrás en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año? 4

• R. M. En un minuto, 20 respiraciones. En una hora, 1.200 respiraciones. En un día, 72.000 respiraciones. En un año, 26.280.000 respiraciones.

En un día, 252.000 pulsaciones. En un año, 91.980.000 pulsaciones.

Lee y contesta. – Un 1 seguido de 6 ceros es un millón. – Un 1 seguido de 12 ceros es un billón. – Un 1 seguido de 18 ceros es un trillón. ¿Cómo se escribirá un cuatrillón?

4

Un 1 seguido de 24 ceros.

211

Notas

57

El sudoku Actividades

El sudoku es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, aunque su srcen está en Estados Unidos.

1

534678912

El sudoku es una cuadrícula de 9 filas y 9 columnas, dividida en 9 cajas iguales de 3 filas y 3 columnas. En ella aparecen números del 1 al 9.

672195348

El juego consiste en: Completar cada fila y cada columna con los números del 1 al 9 sin que aparezca ninguna cifra repetida en cada fila o columna.

198342567 859761423

Los nueve números de cada una de las nueve cajas han de ser todos distintos.

426853791

5

713924856

3 1 9

287419635

8

5

345286179

4

283

7

1

2

7

6

961537284

• En todos los casos suman 45.

9

5

8

6 6

3 1

2

6

6

• Suman 405 (45 3 9). Basta con multiplicar las 9 filas por el valor de la suma de cada fila.

2 3

• Ambos productos valen 362.880.

1

2 4

1 8

8

4

9

5 7

9

Copia en tu cuaderno y completa el sudoku de arriba. 2

Notas

Piensa en cómo está organizado un sudoku y contesta. ¿Cuál es el valor de la suma de los números que forman una fila cualquiera de un sudoku? ¿Y de los números de una columna? ¿Y de los números de cualquiera de las nueve cajas? ¿Cuánto vale la suma de los 81 números que forman el sudoku? ¿Hace falta sumar los 81 números? ¿Cómo puedes calcularla de manera rápida? ¿Cuánto vale el producto de los números de cada fila? ¿Y el producto de los 9 números de cada caja?

212

58

SOLUCIONARIO

Los números perfectos Actividades

Un número es perfecto cuando es igual a la suma de todos sus divisores, sin incluir el propio número.

1

Veamos algunos ejemplos.

5 8 No es perfecto.

¿Es el 6 un número perfecto?

¿Es el 8 un número perfecto?

1.º Calculamos todos los

1.º Calculamos todos los

divisores de 6.

divisores de 8.

Divisores de 6

• 1, 2, 5, 10 11215

1, 2, 3 y 6

Divisores de 8

2.º Sumamos todos los

divisores del número, menos el 6.

divisores del número, menos el 8. 1

1

656

• 1, 2, 3, 4, 6, 12 112131416

21457 7

El número 6 es un número perfecto.

• 1, 5, 25 11556 No es perfecto.

1, 2, 4 y 8

2.º Sumamos todos los

1121356

• 1, 2 No es perfecto.

Þ

8

5

16

No es perfecto. • 1, 2, 7, 14 1 1 2 1 7 5 10

El número 8 no es un número perfecto.

No es perfecto.

PRESTA ATENCIÓN La propiedad de ser un número perfecto la tienen pocos números.

• 1, 2, 4, 7, 14, 28 1 1 2 1 4 1 7 1 14 Es perfecto.

1 Calcula los divisores de cada número yaverigua cuál es un número perfecto. 10

2

25

12

14

2

28

2 Lee estos criterios de divisibilidad y calcula. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3.

LOS NÚMEROS DIVISIBLES POR 4 270 2.094

439 6.124

3

1.248

325 2.720

28

Divisibles por 4: 504 y 6.124. Divisibles por 6: 240, 1.248 y 4.632. • R. M. 4, 8, 16, 20, 28 • R. M. 6, 12, 18, 24, 36

504

• R. M. 12, 16, 20, 24, 28 12, 18, 24, 30, 36

8.022

LOS NÚMEROS DIVISIBLES POR 6 240

5

416 4.632

Notas 3 Piensa y escribe. Cinco números divisibles por 2 que no sean divisibles por 3. Cinco números divisibles por 3 que no sean divisibles por 5. Cinco números divisibles por 4 y otros cinco números divisibles por 6. 213

59

Los cuadrados mágicos

Actividades 1

2

Todas las filas, columnas y diagonales suman 34. 2

9

4

23

23

23

23

23

23

23

23

23

17

17

17

17

17

Un cuadrado mágico es una cuadrícula en la que figuran números colocados de forma que la suma de cada fila, columna y diagonal es siempre la misma. Ya se conocían en China hace más de 4.000 años. En el famoso grabado Melancolía, de Durero, aparece un cuadrado mágico, con la peculiaridad de que al juntar los números de las dos casillas centrales de la última fila (1514) aparece el año en que se realizó este grabado.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

3 17 4

9

2

17

17

17

Notas

1

Copia el cuadrado mágico anterior y comprueba que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal es igual a 34.

2

Copia en tu cuaderno y completa los siguientes cuadrados mágicos con fracciones. Los números que faltan son fracciones de denominador 23.

Los números que faltan son fracciones de denominador 17.

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal 15 es igual a . 23

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal 15 es igual a . 17

2

4

8

23

23 3 23

17 3 17

6 23

214

60

5 17 2 17

SOLUCIONARIO

Las fracciones egipcias

Actividades 1

Los egipcios solo utilizaron las fracciones de numerador 1, y el resto de fracciones las escribían como combinación de estas. Cualquier fracción se puede expresar como suma de fracciones de numerador 1.

3 •

•

Observa algunos ejemplos:

2

3 •

4

•

35

•

5

•

5

47 •

8

60

•

10

15

28

•

5

•

5

6

Suma de fracciones de numerador 1 1 2

1

1 3

5

3

1

6

2 6

5

3 12 6

5

5

3 Suma de fracciones de numerador 1

•

•

1 1 1 1 1 5 10 1 5 1 1 5 10 1 5 1 1 5 16 20 2 4 20 20 20 20 20

1

1

8

Suma en tu cuaderno las fracciones de numerador 1 y averigua qué fracción expresan. 1 2 1 5

2

1

1

1 4 1 7

1

5

4 1

5

5

10

1

1 8

1

5

1 10

3 1

5

2

1

1

1 4 1 7

1

1

1 5 1 4

1

6

1

20

10

1

12

15

1

1

1

1

1

45

15

40

27

72

24

84

1 42

1

1 77

1 72

1 132

66

Notas

5

5

Observa el ejemplo y calcula la fracción de numerador 1 que falta en estas sumas. 1 2

5

3

1

1

1

1 •

1

10

6

1

3 5

2

5

1 2

5

3

1

5

3

1

1

10

8

1

1

5

5

2

1

5

5

9

1

40

2

1

5

1

5

11 30 3 5

Calcula todas las fracciones que se obtienen al multiplicar dos fracciones de cada grupo.

1 2

1

1

1

4

5

3

1 1 5

1

1

1

9

3

8

7

1 12

1 1

11

6

215

61

Los círculos decimales de Simon Stevin

Actividades 1

• 2

0

3

1

4

• 34

0

9

1

• 15

0

7

1

• 6

0

• 2 2

0 0

9

1

1 1

9

7

1

1 45 0

1

1

54

0

8

1

23

0

9

1

8

0

6

32

0

1

1

2

2

6

7

0

El belga Simon Stevin (1548-1620) es uno de los padres de la actual forma de escritura de los números decimales. Simon Stevin indicaba la parte entera de un número decimal situando detrás un 0 dentro de un círculo; las décimas las señalaba con un 1 dentro de un círculo; las centésimas, con un 2; y las milésimas, con un 3.

2

2 2

8

3

5

3

1

2

1

2

1

7

2

5

1

7

2

8

2

Así, el número decimal 3,785 lo escribía así:

3,785 ▶ 3

7

0

1

8

2

5

3

Observa cómo calculaba 5,239 1 7,651 usando esta notación.

5 1.º

2

0

7

1

34

0

6

1

2

0

1

1

2

2

3

3

39

0

5

1

0

2

3

3

21

0

8

1

7

0

3

1

4

2

14

0

4

1

6

2

0

2

1

3

2

9

3 1

7

0

6

1

5

1

3

2.º

Colocaba los números poniendo en la misma columna los círculos con el mismo número.

1

5 7

0 0

2 6

1 1

3 5

2 2

9 1

Sumaba como si fueran números naturales, poniendo en el resultado, debajo de la columna de cada círculo, el círculo correspondiente. 5 7

0

2 6

1

2

9 1

3

1

3 5

2

0

12

0

8

1

9

2

0

3

12 9

0

5 3

1 1

9 2

2

0

3

0

2

1

7

2

3 3

1

3

El resultado de la suma 5,239 1 7,651 es 12,890.

432

0

7

1

17

0

8

1

414

0

9

1

5

Para calcular restas de decimales seguía un procedimiento similar a la suma. Observa este ejemplo: 12,59 2 9,32.

2

2

2

El resultado de la resta 12,59 2 9,32 es 3,27. 5

2

Notas

1

. Escribe estos números decimales usando lanotación de Simon Stevin

2

Calcula las siguientes sumas y restas usando el procedimiento de Stevin.

2,34

34,9

15,76

9,71 1 45,1

216

6,078

2,195

23,9 1 8,67 21,8 2 7,34

62

2

2,78 1 34,6 1 2,123 432,75 2 17,8

El maratón Actividades 1

En el año 490 a. C. el soldado griego Filípides recorrió a pie unos 40 km, desde Maratón a Atenas, para anunciar la victoria sobre el ejército persa. Tras recorrer esta distancia, Filípides murió de fatiga.

• Recorrió 40 km, 40.000 m. • Se incluyó en 1896, hace 120 años (tomando como fecha 2016).

2

3

En honor a la hazaña de Filípides, se creó una competición con el nombre de maratón, que fue incluida, por primera vez, en los Juegos Olímpicos de Atenas en 1896.

1.500 3 0,836 5 1.254 m 50.000 3 0,836 5 41.800 m 60.000 3 0,836 5 50.160 m El tercer circuito tiene una longitud mayor que la maratón.

Actualmente, la carrera de maratón consiste en recorrer una distancia de 42,195 kilómetros y se realiza en diversas ciudades a nivel popular. El récord del mundo lo tiene el keniata Dennis Kinetto, que en 2014 recorrió esta distancia en 2 horas, 2 minutos y 57 segundos.

• Empleó aproximadamente 126 minutos. • Tardó 2 horas y 6 minutos.

1

Lee el texto anterior y contesta. ¿Cuántos kilómetros recorrió Filípides desde Maratón a Atenas? ¿Cuántos metros eran?

• Tardó 5 minutos y 3 segundos más.

¿En qué año se incluyó el maratón en los Juegos Olímpicos? ¿Cuántos años hace que se incluyó? 2

Notas

La vara es una unidad antigua de longitud que equivale a 0,836 m. Calcula la longitud en metros de cada circuito.

1.500varas

50.000varas

60.000varas

¿Qué circuitos tienen una longitud mayor que la distancia recorrida en un maratón? 3

Lee y calcula. El ganador del maratón de Berlín 2008 fue el etíope Haile Gebrselassie, que empleó unos 3 minutos, aproximadamente, en recorrer cada kilómetro. ¿Cuántos minutos, aproximadamente, empleó en correr el maratón si la distancia recorrida fue de 42 km? ¿Cuántas horas y minutos tardó? ¿Cuánto tiempo más que Dennis Kinetto tardó Haile Gebrselassie?

218

64

SOLUCIONARIO

El cálculo de las medidas de un cuadro

Actividades

Lara mira, en un folleto, información sobre la próxima exposición de pintura. Estos son algunos de los cuadros que se podrán ver.

1

•

•

2

•

•

•

La vendimia (Goya) Escala 1 : 30

1

Muchacha de espaldas(Dalí) Escala 1 : 12

Lee y contesta. •

¿A qué escala está hecha la foto del cuadro La vendimia? ¿Qué signific a una esc ala 1 : 30? ¿A qué escala está hecha la foto del cuadro Muchacha de espaldas? ¿Qué signific a una esc ala 1 : 12? 2

3

•

Calcula en metros. El largo y el ancho real del cuadro La vendimia. El largo y el ancho real del cuadro Muchacha de espaldas. •

El perímetro de cada cuadro. El perímetro en el folleto de cada cuadro. 3

Calcula. El área que tiene cada cuadro en el folleto. El área real de cada cuadro. 219

Escala 1:30. Un centímetro en la página son 30 cm en la realidad. Escala 1:12. Un centímetro en la página son 12 cm en la realidad. 9,2 cm 3 30 5 276 cm 6,3 3 30 5 189 cm Mide 276 cm de largo y 189 cm de ancho. 3

5

9,2 cm 12 110,4 cm 6,3 3 12 5 75,6 cm Mide 110,4 cm de largo y 75,6 cm de ancho. 2 3 276 1 2 3 189 5 930 La vendimia tiene un perímetro de 930 cm. 2 3 110,4 1 2 3 75,6 5 372 Muchacha de espaldas tiene un perímetro de 372 cm. 2 3 9,2 1 2 3 6,3 5 31 Ambos cuadros tienen un perímetro de 31 cm. 9,2 cm 3 6,3 cm 5 57,96 cm2 Ambos tienen un área en el folleto de 57,96 cm 2. 276 cm 3 189 cm 5 2 5 52.164 cm La vendimia tiene un área de 52.164 cm2. 110,4 cm 3 75,6 cm 5 2 5 8.346,24 cm Muchacha de espaldastiene un área de 8.346,24 cm2.

Notas

65

Actividades 1

• En 1 minuto recorre 18.000.000 km. En 1 hora recorre 1.080.000.000 km. • En 1 décima recorre 30.000 km. En 1 centésima recorre 3.000 km.

2

Las unidades de medida especiales Las unidades de longitud que conocemos (km, m, dm…) nos sirven para expresar multitud de medidas que nos encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, para expresar la distancia entre dos estrellas o la longitud de una bacteria, estas unidades resultan demasiado pequeñas o demasiado grandes. Por eso, utilizamos otras unidades más adecuadas. Para expresar la distancia entre dos estrellas utilizamos el año luz. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y es igual a 9.468.000.000.000 km.

• Tarda 3 minutos y 13 segundos.

1 año luz

5

9.468.000.000.000 km

Para expresar el ancho de una bacteria utilizamos la micra.

• Tarda 8 minutos y 20 segundos.

Una micra es la milésima parte del milímetro. 1 micra

5

0,001 mm

• Está a 4,19 años luz. • Está a una distancia de 2.840.400.000.000.000 km, unos 2.840 billones de km.

1

encia Intelig lista natura

Lee y calcula. Velocidad de la luz La luz recorre 300.000 km en un segundo.

¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? ¿Y en una hora? ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en una décima de segundo? ¿Y en una centésima?

Notas 2

Resuelve. Mercurio es el planeta más cercano al Sol y está a una distancia de 57.900.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a Mercurio? La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150.000.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra? La estrella más cercana a nuestro sistema solar es Próxima Centauri, que está a 39.700.000.000.000 km de la Tierra. ¿A cuántos años luz está esta estrella de la Tierra? La estrella polar está a unos 300 años luz de la Tierra. ¿A cuántos kilómetros está esta estrella de la Tierra?

220

66

SOLUCIONARIO

Las señales con pendiente

Actividades 1

Posiblemente hayas visto, alguna vez, una señal similar a la que aparece en la foto en algún tramo de carretera. ¿Sabes qué significa?

10 0m

10 m

Esta señal nos indica que por cada 100 metros recorridos en la carretera descendemos 10 metros de altura.

10 0m

4m

10 0m

10 0m

6m

10 m

100 12 m

1

m

Copia en tu cuaderno y completa en cada esquema el significado de la señal. 2

9%

7%

2

Observa cada esquema, copia la señal en tu cuaderno y escribe en ella el porcentaje. 10 0

9m

m

0m 10 7 m

8 m

10 0m

0m 10

8%

6m

6% 221

Notas

67

Los ángulos en las estrellas dobles

Actividades 1 70º 2

65º

85º Si miras al cielo en una noche estrellada, podrás ver estrellas muy próximas unas de otras. A dos estrellas que aparecen muy próximas, vistas desde la Tierra, las llamamos estrellas dobles.

110°

Las dos medidas que definen a las estrellas dobles son:

Separación: es la distancia N

entre las dos estrellas (línea verde).

120°

Ángulo de posición: es el ángulo que forma la línea que une las dos estrellas con el norte (ángulo naranja).

130°

3

O

E

S

1

Mide el ángulo de posición de las siguientes estrellas dobles.

2

Copia y dibuja el ángulo de posición de estas estrellas dobles. Después, escribe su medida.

3

Lee y calcula.

Son 2º, 15 y 38 . 9

0

Notas

La separación entre dos estrellas dobles es la longitud de un arco y se mide en segundos.

222

68

La separación entre dos estrellas dobles es igual a 8.138". ¿Cuántos grados, minutos y segundos son?

SOLUCIONARIO

El triángulo egipcio Actividades

El triángulo sagrado egipcio es el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.

1

Área 5 6 cm2 Área al cubo 5 216 cm2 Cubos de los lados 5 27 cm3, 64 cm3, 125 cm3 Suma de los cubos 5 216 cm3

2

• (6 cm) 2 1 (8 cm)2 5 100 cm2 (10 cm)2 5 100 cm2

En el antiguo Egipto utilizaban este triángulo para obtener ángulos rectos en diversas construcciones. El triángulo egipcio tiene propiedades notables: Plutarco comprobó que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados.

5

cm

3

Pitágoras demostró que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

5

cm

cm

3

• (9 cm)2 1 (12 cm)2 5 225 cm2 (15 cm)2 5 225 cm2

cm

3

cm

4

cm

• (12 cm) 2 1 (16 cm)2 5 (20 cm)2

4

• (15 cm)

2 1

(20 cm)2 5 (25 cm)2

Notas 1

Observa el triángulo y comprueba en tu cuaderno la afirmación de Plutarco. 5

3 cm

Área del triángulo ▶ … Área del triángulo al cubo ▶ … Cubos de los lados ▶ …, …, … Suma de los cubos de los lados▶ … 1 … 1 … 5 …

cm

4 cm 2

Comprueba en cada triángulo la propiedadque demostró Pitágoras.

6 cm

10

15

cm

9 cm

cm 8 3

cm

cm12

Calcula el cuadrado del lado mayor .

cm 12

cm 15

cm 16

cm 20

223

69

Los pentominós Actividades 1

R. L.

2

R. L.

3

R. M. Hay 368 soluciones.

En 1953 el norteamericano Solomon Golomb dio a conocer el juego de los pentominós.

F

I

L

N

Consta de doce piezas, que son los doce polígonos que se pueden construir a partir de cinco cuadrados iguales, uniendo sus lados entre sí.

P

T

U

V

W

X

Y

Z

Cada pentominó recuerda a una letra del alfabeto. Para jugar una partida se necesita un tablero de 8 3 8 casillas, cada una del mismo tamaño que los cuadrados de los pentominós.

Notas

Las piezas se sitúan al alcance de ambos jugadores, que van colocando las piezas por turnos. Cada pieza se coloca sobre el tablero, de manera que tape cinco casillas, sin solaparse una pieza con otra. Pierde el primer jugador que no pueda colocar ninguna pieza.

1

2

Reproduce las doce piezas en un papel cuadriculado y recórtalas. Usa cuatro cuadraditos para cada cuadrado de la pieza. Haz también un tablero de 8 por 8 casillas en la forma que se indica en el dibujo.

Juega una partida con tu compañero utilizando el material que has construido en la actividad 1.

3

224

70

Utiliza las doce piezas e intenta completar el siguiente rectángulo.

SOLUCIONARIO

El tamaño DIN A Actividades En la mayor parte del mundo, los tamaños de papel se acogen a la norma DIN. El tamaño DIN A4 es igual a 29,7 cm de largo por 21 cm de ancho.

1

Observa cómo se forma el DIN A5 a partir del DIN A4.

•

• •

DIN A4

DIN A5 •

2 29,7 cm

DIN A5

1

Dividiendo el largo del DIN A4 entre 2. Ancho DIN A5: 14,8 cm. Largo DIN A6: 14,8 cm.

•

Sí, ambos coinciden.

•

•

21 cm

Ancho DIN A4: 21 cm.

•

•

21 cm

Largo DIN A4: 29,7 cm. Largo DIN A5: 21 cm.

Dividiendo el largo del DIN A5 entre 2. Ancho DIN A6: 10,5 cm. Largo DIN A7: 10,5 cm. Ancho DIN A7: 7,4 cm.

Observa el dibujo anterior y calcula.

DIN A7

¿Cuántos centímetros de largo mide un DIN A4? ¿Y un DIN A5? ¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A4?

DIN A6

¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A5 a partir de un DIN A4? ¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A5?

DIN A7 2

Observa los dibujos y calcula. ¿Cuál es el largo de un DIN A6? ¿El largo de un DIN A6 es igual al ancho de un DIN A5? DINA6

DINA6

¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A6?

Notas

¿Cuál es el ancho de un DIN A6? Partiendo del DIN A6, ¿sabrías dibujar el DIN A7? ¿Cuáles serían sus medidas?

DIN A5 DIN A6

225

71

La forma de Actividades 1

Son regulares B, D y E.

2

•

las baldosas Recuerda que un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Los polígonos regulares más sencillos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono.

60° 90°

90°

Las baldosas con forma de polígono regular se pueden combinar de muchas formas para cubrir una superficie plana sin dejar huecos ni solaparse una con otra. Solo debe cumplirse que en el vértice donde coinciden las baldosas la suma de todos los ángulos sea igual a 360°.

•

90°

60° 60° 90°

108° 108° 108° 10 8°

8° 10

Observa el siguiente ejemplo, en cada vértice coinciden dos cuadrados y tres triángulos equiláteros. •

60° 60° 90° •

Se puede cubrir una superficie plana con los diseños de tres hexágonos y seis triángulos.

90° 60°

60°

Notas

1

60° 1 90°

1

60°

1

90°

5

360°

Con la ayuda de una regla y un transportador, averigua cuáles son polígonos regulares y escribe en tu cuaderno la medida de sus ángulos. A

2

1

B

C

D

E

Dibuja un diseño con baldosas enel que en un vértice coincidan las siguientes figuras. Dos hexágonos regulares y un cuadrado. Tres hexágonos regulares. Seis triángulos equiláteros.

60°

90°

¿Con cuál de estas tres combinaciones puedes cubrir una superficie plana? 226

72

120°

SOLUCIONARIO

El truco de Arquímedes

Actividades 1

A Arquímedes se le considera uno de los grandes matemáticos de la historia y fue el que encontró un método para calcular el área del círculo.

Área polígono rojo 31 El área de la figura inicial es de 31 aproximadamente. 5

2

Este método consistía en ir dibujando dentro del círculo polígonos cada vez con más lados. Al aumentar el número de lados del polígono, su área se aproximaba más al área del círculo.

1

Aplica la idea de Arquímedes y aproxima el área de cada figura, siguiendo los pasos que se indican.

1.º Dibuja alrededor de lafigura una línea poligonal lo más próxima al borde de la figura dada (línea poligonal roja). 2.º Cuenta los cuadrados que encierra esa línea poligonal y escribe su área. El área de la figura inicial está muy próxima a la del polígono rojo.

2

Área polígono rojo 18 El área de la figura inicial es de 18 aproximadamente. 5

Área polígono rojo … El área de la figura inicial es de … aproximadamente. 5

Aproxima el área de cada figura utilizando el procedimiento de Arquímedes.

5

Área polígono rojo 29 El área de la figura inicial es de 29 aproximadamente.

227

Área polígono rojo 31,5 El área de la figura inicial es de 31,5 aproximadamente. 5

Notas

73

Los rompecabezas con áreas

Actividades 1

Ya sabes calcular el área de muchas figuras. Conociendo estas áreas, puedes averiguar el área de otras que, a simple vista, parecen muy complicadas. Solo tienes que pensar en cómo descomponer la figura en otras figuras de área conocida.

m c 2

2 cm

2 cm

¿Cuál es el área de la zona azul? Observa cómo lo resolvemos.

1.º Dibujamos el círculo de centro A y radio 1 cm.

2 cm

El área rosa es 2 veces el área rayada, que es igual a la cuarta parte del área de un círculo de radio 2 cm menos el área del

2.º La figura dada está formada por cuatro partes iguales. Cada una es la cuarta parte del área del círculo.

3.º El área de la figura dada es igual al área del círculo de radio 1 cm. Área del círculo p 3

triángulo de base 2 cm y de altura 2 cm.

12 5 3,14 cm2

G

1 cm

(2 cm)2 : 4 2 2 2 (2 cm 3 2 cm) : 2 5 1,14 cm

A

1 cm

ARAYADA 5 p 3

El área de la zona azul es igual a 3,14 cm2.

F

1 cm

Luego el área de la zona rosa es: 2 3 1,14 5 2,28 cm2 1

Calcula el área decada figura. Piensa antes de calcular.

m c 2

cm 2

cm 2

2 cm

El área rosa es igual a la cuarta parte del área del círculo de radio 2 cm menos el área de las tres zonas rayadas. 2 2 A 5 p 3 (2 cm) : 4 5 3,14 cm 2 AZONAS 5 (1 cm) 1 2 1 p 3 (1 cm) : 4 1 2 2 1 p 3 (1 cm) : 4 5 2,57 cm 2 AROSA 5 0,57 cm

cm

m c 2

1 c m

2 cm

El área amarilla es la diferencia de las áreas de dos triángulos. A 5 (1 cm) 3 (2 cm) : 2 2 2 2 (1 cm) 3 (1 cm) : 2 5 0,5 cm

m c 2

2 cm

El área verde es igual al área de medio círculo de 1 cm de radio. 2 2 A 5 p 3 (1 cm) : 2 5 1,57 cm

Calcula el área de las siguientes figuras.

2

cm

2

1 cm

cm

228

2

74

2 cm 2

2

cm

2

2 cm

SOLUCIONARIO

La relación entre área, volumen y calor

Actividades 1

¿Qué animal se enfría antes: un ratón o un elefante? Se sabe que los cuerpos pierden calor más rápidamente si su área es mayor que su volumen. Observa los cubos de la figura.

8 cm 1 cm

1 cm

2

A. de una cara ▶ 8 cm 3 8 cm 5 64 cm2 A. de 6 caras ▶ 6 3 64 cm2 5 384 cm2 V. ▶ 8 cm 3 8 cm 3 8 cm 5 512 cm2

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es mayor que el del volumen.

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es menor que el del volumen.

Área

Área

6 . 1 ◀ Volumen

Este cubo pierde calor rápidamente.

•

▶

384

,

•

Pierden calor los cubos A, B y C, ya que su área es mayor que su volumen. Conserva el calor el cubo D, pues su área es menor que su volumen.

Notas

512 ◀ Volumen

Este cubo conserva el calor más tiempo.

Calcula el área yel volumen de estos cubos. A

1 cm

2

5

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 8 cm de lado.

A. de una cara ▶ 1 cm 3 1 cm 5 1 cm A. de 6 caras ▶ 6 3 1 cm2 5 6 cm2 V. ▶ 1 cm 3 1 cm 3 1 cm 5 1 cm3

▶

5

V

8 cm

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 1 cm de lado.

1

2

8 cm

1 cm

6 3 (1 cm)2 5 6 cm2 (1 cm)3 5 1 cm3 2 2 A 5 6 3 (3 cm) 5 54 cm 3 3 V 5 (3 cm) 5 27 cm 2 2 A 5 6 3 (5 cm) 5 150 cm 3 3 V 5 (5 cm) 5 125 cm 2 2 A 5 6 3 (7 cm) 5 294 cm 3 3 V 5 (7 cm) 5 343 cm A

B

C

3 cm

5 cm

D

7 cm

Compara el área y el volumen de los cubos dela actividad 1 y contesta. Si tuvieras que coger un cubo que pierda calor rápidamente, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? ¿Y si tuvieras que elegir un cubo que conservara el calor mucho tiempo? ¿Por qué? 229

75

Las medias engañosas Actividades 1

•

•

Podemos hallar la media de piezas de fruta en general, 4 piezas, y la media de piezas de fruta de los niños que comieron alguna fruta, 5 piezas. Es más adecuada la segunda. Podemos hallar la media de hermanos en general, 1 hermano, y la media de hermanos de los niños que tienen algún hermano, 2 hermanos. Es más adecuada la segunda.

• Podemos hallar la media

A la hora de calcular la media de unos datos hay que pensar bien qué queremos calcular y qué datos hay que tener en cuenta. Fíjate en el siguiente ejemplo. Se ha preguntado a cuatro personas cuántos libros leen al año y sus respuestas han sido: 30

16

0

14

Podríamos pensar en calcular la media de libros leídos por cada persona: 30 1 16 1 0 1 14 4

5

60 4

5

15

Cada persona lee 15 libros de media, según los datos. Pero, si nos fijamos bien, hay una persona que no lee nada y la media se aleja mucho de ese valor (0). Podríamos también calcular la media de libros leídos

por las personas que sí leen. 30 1 16 1 14 La media en ese caso es: 3

5

60 3

5

20

Esta media se aproxima más a los datos de las personas que sí leen y es un resultado más adecuado que la media anterior.

de veces en general, 4 veces, y la media de veces de las personas que fueron alguna vez al cine, 8 veces. Es más adecuada la segunda.

1

• Podemos hallar la media

En cada caso, indica qué dos medias puedes calcular y calcúlalas. Explica cuál de las dos es más adecuada. Las piezas de fruta que consumió cada niño a la semana fueron: 8 4 0 3 5

El número de hermanos que tiene cada niño es: 3 1 0 0

El número de veces que fueron al cine el año pasado fue: 9 0 7 0 0 8

El número de días que faltó cada niño al colegio el año pasado fue: 8 5 2 0 7 8

de faltas en general, 5 faltas, y la media de faltas de los niños que faltaron alguna vez, 6 faltas. Es más adecuada la segunda.

230

76

SOLUCIONARIO

Las audiencias Actividades

televisivas

1

•

Para averiguar la audiencia televisiva, se elige una muestra de 10.000 personas que represente la población del país. En cada hogar, se instala un pequeño ordenador conectado a la televisión que registra en todo momento qué canal se sintoniza. Con esta información se calcula el rating y el share, que estiman el éxito o fracaso de un programa. Observa cómo se calculan.

Rating

Share

5

5

Número de hogares que ven el programa en un momento dado Número total de hogares de la muestra

•

No ven ninguno 5 hogares.

•

Rating canal 2

5

Rating canal 4

5

•

Número de hogares que ven el programa en un momento dado Número total de hogares que están viendo la televisión en ese momento

Share canal 5

2

¿Cuántos hogares ven cada canal? 5

5

4

¿Cuántos hogares no ven ningún canal?

3

2

4

5

¿Cuál es el rating del canal 2? ¿Y el del canal 4?

5

2

3

1

2

5

1

Rating canal 3 Share canal 3

Observa la muestra de 20 hogares y el canal que sintoniza cada uno. Las casas en negro tienen el televisor apagado.

2

Share canal 1

4 20

20 2

5

15

•

1

Canal 1: 2 hogares. Canal 2: 4 hogares. Canal 3: 2 hogares. Canal 4: 2 hogares. Canal 5: 5 hogares.

•

•

¿Cuál es el share del canal 1? ¿Y del canal 5?

•

Rating canal 2

5

5

5

15

20

15 35

5

100

Lo están viendo como mínimo 36 hogares. Share canal 6

¿Cuál es el rating y el share del canal 3?

54 5

1.200

Notas 2

Lee y calcula. En una muestra de 100 hogares, el canal 2 lo están viendo en un momento determinado 35 hogares. ¿Cuál es el rating de este canal? El canal 4, en ese momento, tiene mayor rating que el canal 2. ¿Cuántos hogares, como mínimo, están viendo ese canal? El canal 6, en ese momento, lo están viendo 54 hogares y hay 1.200 hogares que tienen puesta la televisión. ¿Cuál es el share del canal 6? 231

77

SOLUCIONARIO

Lo esencial

TAREA 1 1

TAREA 5

• Ocho millones setecientos cinco mil doscientos cuatro.

8•

• Tres millones nueve mil quinientos setenta y ocho. • Veintisiete millones treinta y un mil doscientos cincuenta. • Cincuenta millones ciento ochenta y siete mil cuatro. • Trescientos veinte millones quinientos sesenta y siete mil doscientos treinta y nueve.

sexto

• vigésimo octavo

• decimoséptimo

• trigésimo noveno

• 6.º

• 11.º

• 5.º 9

• 22.º

• 16.º

• 36.º

Acabó en el octavo lugar.

TAREA 6 10•

37

2.042

• XXXIV

• Novecientos setenta y un millones ochenta mil seiscientos. 2

• duodécimo

• noveno

94

16.250

CDXIX

MMDCXXXV

LXXXIX CMLXXIV VIIICMLXXXVI

TAREA 7

• 407.830.112

11

• 219.020.700 • 800.037.040

•

28

•

140

•

27

•

220

•

250

•

270

•

130

•

212

•

114

TAREA 2 3

• 7 U. de millón 1 4 CM 1 5 DM 1 6 UM 1 8 C 1 1 9 D 1 1 U 5 7.000.000 1 400.000 1 1 50.000 1 6.000 1 800 1 90 1 1 • 1 D. de millón 1 3 U. de millón 1 7 DM 1 1 5 UM 1 8 C 1 8 D 1 2 U 5 10.000.000 1 1 3.000.000 1 70.000 1 5.000 1 800 1 80 1 2 • 4 C. de millón 1 5 D. de millón 1 6 U. de millón 1 1 8 CM 1 2 C 1 4 U 5 400.000.000 1

TAREA 8 12

13

,

•

.

•

.

•

.

•

,

•

.

•

,

•

.

•

29 , 28 , 24 ,

•

211 , 27 , 25 , 11 , 14 , 112

0 , 12 , 13

TAREA 9

50.000.000 1 6.000.000 1 800.000 1 200 1 4

14

• 9 C. de millón 1 8 D. de millón 1 5 DM 1 7 UM 1 1 4 D 1 1 U 5 900.000.000 1 80.000.000 1 1 50.000 1 7.000 1 40 1 1

15

1

•

• A (13, 0), B (14, 13), C (12, 14), D (0, 12), E (23, 12), F (23, 0), G (24, 22), H (0, 24), I (14, 23) B E

H

TAREA 3 4

5

•

,

•

,

•

.

•

,

•

,

•

,

C

• 98.760.654 . 9.876.564 . 9.807.654 . . 9.768.564 G

• 3.699.999 , 32.730.126 , 32.760.123 , , 36.102.884

TAREA 4

• Puntos

80

A, C, F y H. B.

• 5.000; 9.000; 18.000; 29.000; 376.000; 402.000 • 7.000.000; 10.000.000; 38.000.000; 674.000.000

7

F

D

• Punto 6

A

TAREA 10 16

• divisor

• no múltiplo

• R. M. 27.888; 27.892; 27.914; 27.904; 27.899

• múltiplo/divisible

• R. M. 339.999; 338.777; 341.222; 343.888; 337.666


• no divisor

• divisor


• divisor

17

TAREA 17

R. M. • 0, 4, 8, 12, 16

• 0, 6, 12, 18, 24

• 0, 7, 14, 21, 28

• 0, 9, 18, 27, 36

27

• Parejas segunda, tercera y quinta.

28

•

TAREA 11

29

18

30 R.

• Divisibles por 2: 18, 40, 90, 48, 180. Divisibles por 3: 18, 90, 45, 15, 48, 180. Divisibles por 5: 40, 90, 45, 15, 180. Divisibles por 9: 18, 90, 45, 180. Divisibles por 10: 40, 90, 180.

TAREA 12 19 • Div (17) 5 1, 17. Primo. Div (28) 5 1, 2, 4, 7, 14, 28. Compuesto. Div (13) 5 1, 13. Primo. Div (20) 5 1, 2, 4, 5, 10, 20. Compuesto. Div (19) 5 1, 19. Primo. Div (25) 5 1, 5, 25. Compuesto. Div (34) 5 1, 2, 17, 34. Compuesto.

5

5

2

36

•

6

5

6

90

•

5

518

72

•

5

3

24

R. L.

• 31

10

•

M.

16

• 5

14

5

•

24

•

2

5

6

•

7

•

21

5

4

•

6

10

5

15

9

•

2

•

7

2

TAREA 18 32

•

y

48

; 48 24

•

y 24

162

y

; y 162 1 8 18

•

• y ; y y ; 12 12 12 12 20 20 10 756 1.944 720 21 54 20 • , y ; , y 1.296 1296 . 1.296 36 36 36

y 10

TAREA 19 TAREA 13 20

33

• 15

• 36

• 24

• 35

• 30

34

22

23

•

,

•

.

,

•

,

•

,

TAREA 20

• 18

• 42 centésimas: 0 coma 42. • 175 milésimas; 0 coma 175.

TAREA 14 21

•

• 10

• 6

• 2

• 4

• 1

• 4

• 9 centésimas; 0 coma 09. • 8 unidades y 4 décimas; 8 coma 4. • 6 unidades y 83 centésimas; 6 coma 83.

• El m.c.m. es el mayor de ellos y el m.c.d. es el número menor de ambos.

• 9 unidades y 136 milésimas; 9 coma 136.

• No, si los dos son pares, el m.c.d. sería como mínimo 2.

• 46 unidades y 34 milésimas; 46 coma 034.

• 27 unidades y 8 centésimas; 27 coma 08. • 135 unidades y 9 décimas; 135 coma 9.

• m.c.m. (2, 4 y 10) 5 20 Pasarán 20 días.

• 207 unidades y 42 centésimas; 207 coma 42.

• m.c.d. (40 y 28) 5 4 Pondrá 4 piezas en cada bolsa.

35

• 3,4

• 9,5

• 0,09

• 0,7

• 2,15

• 3,04

• 0,042

• 6,008

• 8,295

TAREA 15 24

• 9 •

1

1

6

2

15

3

14

3

4

4

27

1 5

6

45

4

3

7

3

1

4

6 65

8

97

7

9

TAREA 16 25

26

•

4

5

2

4

6

5

1

6

2

5

9 10

4

2

TAREA 21 36

1

3c

5

0,1 1 0,03

• 7d

• 1 d

1

2c

1

9 m 5 0,7 1 0,02 1 0,009

• 1U • 2D

1 1

3c 9U

1

5 m 5 1 1 0,03 1 0,005 7 d 5 20 1 9 1 0,7

• 6U

1

2d

1

4 c 5 6 1 0,2 1 0,04

• 3D

1

2c

1

8 m 5 30 1 0,02 1 0,008

• 8D

1

2U

1

4 d 5 80 1 2 1 0,4

• 7D

1

2U

1

1 m 5 70 1 2 1 0,001

• 4C

1

7 D 1 6 c 5 400 1 70 1 0,06

• 3C

1

9 U 1 5 m 5 300 1 9 1 0,005

1

81

TAREA 22

TAREA 28

37

50

0

1

2

3

4

5

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

• 17,155

• 356,1

• 625.240

• 129,3108

• 18,72

• 127.098

• 17,85104

• 1.305,48

• 650

• 12.500

• 3,9

• 827.000

51

TAREA 23 38

39

.

•

,

•

,

•

.

•

.

•

,

•

,

•

.

• 3,654 .

.

3,645

9,323

.

.

3,546

9,32

.

3,465

9,316

.

.

.

• 7.280.000

0

3

• 0,04 41

8

9

10

0,12

2,78

• R.M. 4,68; 4,72

• 25

52

• c 5 634, r

5

30

• c 5 687, r • c 5 0,916

5

206

• c 5 1,742, r

14 4,63

8,33

• 0,6

TAREA 29

3,456

9,288

TAREA 24 40•

• 36.500

• 89.000

•

• 9,4

• 315.360

5

0,002

• c 5 128

27,63

• c 5 84, r

• R. M. 2,342; 2,339

5

3,2

• c 5 82 • c 5 0,52, r

TAREA 25 42

43

•

10

0,09

• R. M.

100

6,135

2,49

1.000

. 100

53

0,479

100

44

• 32.662

• 15,965

• 56,45

• 637.269

• 18,926

• 37,317

• 275.036 45

• 27,691

• R. M. 3.289 • R. M. 23,2 • R. M. 3,2

1

1 1

• 34,999

4.220; 7.300

2,564; 20,76

4,8; 2,25

1

1

1

• 23,904

• 0,53

• 586

• 191,8

• 109

• 15,2

• 3,7

• 0,95

• 0,289

• 0,46

• 0,644

• 0,675

• 0,129

• 0,045

• 0,04756

• 0,1175

• 0,0372

• 0,0869

55 •

5,004

• 2,435

• 22,45

• 97.643

• 11,034

• 18,683

• 141.878

• 10,545

• 12,9

47

• 115

• 5,45

• 0,84

• 1.674

• 1,14

• 20,35

• 999

• 6,144

• 1,13

48

49

• R. M. 9.509

2

TAREA 30

2.000; 9.989

2

• 4,34

,

4,49

• 0,874

,

• 2,799

,

8

5

,

,

2

0,9

,

2,83

TAREA 31 57

• 36; base: 3, exponente: 6 • 63; base: 6, exponente: 3 • 55; base: 5, exponente: 5

2.480

• R. M. 5,86

2

2,02; 9,98

2

6,14

• 104; base: 10, exponente: 4

• R. M. 18,2

2

3,2; 15,93

2

0,93

• 27; base: 2, exponente: 7

• 8,25 1 7,9 5 16,15; 8,25 1 4,276 5 12,526 7,9 1 4,276 5 12,176; 8,25 2 7,9 5 0,35 8,25 2 4,276 5 3,974; 7,9 2 4,276 5 3,624

• 92; base: 9, exponente: 2 58

• 112; 121

• 45; 1.024 • 106; 1.000.000

• 93; 729 59

82

Dos cifras: • 1,14 • 2,91 • 1,75 Tres cifras: • 1,125 • 1,494 • 1,123

5,75 56

• 14.688

• 0,28

209

TAREA 27 46

0,057

• 619.482

54

TAREA 26

5

• 308

• 3

• 1

• 7

• 2

• 4

• 6

60

• 6 3 10 1 5

TAREA 36

• 9 3 10

71

•

• 8 3 102 1 1 3 10 1 4 • 7 3 102 1 3

•

• 2 3 103 1 7 3 10 1 1 • 5 3 103 1 8 3 102 1 2 3 10 1 3

•

8

10

•

16

• 6

•

•

•

• 12

7

• 49

4

TAREA 37

• 3 3 104 1 9 3 103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 4 4

• 4 3 10 61•

5

1

• 8

• 5,

2

3 3 10

1

72

2

80 , 9

,

26 ,6

• 6

• 9

• 7

• 4

20 ,

,

50 ,8

,

5

• •

• 10

3

•

15

4

• 20

7

• 12

98

•

45

62

• 7 • 64

• 2 • 5

• 81 • 3

73

• R. M.

5

3

• R. M.

3

9

:

3

TAREA 38 TAREA 32 63

• 2

• 25,174

• 7,58

• 51,957

• 7

• 16

• 14,364

• 12,08

• 32

• 0,047

74

• •

•

25

•

90

75

• 700

• 6.600

• 92.300

• 100

• 2.700

• 9.500

• 12,8

• 15,2

• 21,9

• 2,4 162.000 5.168.000

• 14,4

• 4,5 65 • 36.000 • 7,44

48,1

• 0,05 5

• 0,40 76

• •

67

• R. M.

4

•

5

1

4

15

• 8

•

•

•

•

7

• R. M.

8

• 69

•

•

9 4 5

•

6

• R. M.

•

3 13 9

•

5

• 14 70

• 17 8

5

100

100

• 0,09

5

• 0,55 5

100

15

100

• 0,12

5

• 0,87

5

100

100

• 15

• 90

• 2.380

• 15

• 2.100

• 4.416

• 4.000 2 4.800 2 3.600 2 4.608

78

• 20 % de 30 , 30 % de 40 , 45 % de 90

,

30 % de 90

5

1

6 2

8

•

45 8

5

,

2 43 7

11

•

2

• R. M.

• •

27 5

• 5 2 10 2 4 2 7 2 8 3 2 28 2 6 2 8

80

• 21 : 7 5 3; 3 3 5 5 15; 24 : 3 5 8 Cinco kilos habrían costado 15 €. Con 24 € habría podido comprar 8 kg. • 840 : 7 5 120; 120 3 4 5 480 Cuatro máquinas producen 480 piezas.

•

10

79

2

TAREA 35 68

20

TAREA 40 •

9

15

77

105

TAREA 34 66

•

TAREA 39

TAREA 33 64

•

2

49 2

6

• 24 : 6 5 4; 100 : 4 5 25 Tienen el pelo moreno el 25 %. 3 19 8

• 1 cm son 800 cm

5

8 m.

5 3 8 5 40; 3 3 8 5 24 El jardín mide 40 m de largo y 24 m de ancho. • 1 cm son 20.000 cm 5 200 m. 4.000 : 200 5 20 Medirá 20 cm en el mapa.

2 2

5

83

TAREA 41

91

• 38.000 dm

81

• 0,089 kg

• 0,975 kl

• 0,47 dag

• 0,5 ha 92

• Hay que añadir 9.950 m 2.

• 137.500 mg

• 8,75 km

• 290.000 cg

• 60 ml

• 4,5 dam

• 0,93 kl

TAREA 44

• 125 mm

• 14 g

93

• 4.280 dl

• 92,6 kg

6.505,9 m

0,793 ℓ

• 490 g

90,61 g

• 0,45 dam

• 0,3 kl

.

• Hay que restar 1,3 m 2. Hay que restar 0,8 m 2.

5

• 54.000

192 min 25.6800

0

• 6 h 56 min 40 s

86

• 18.120 s • 5º y 20

87 •

,

9 ,

60 min

• 1 billete de 500 €, 1 billete de 100 €, 1 billete de 50 €, 2 billetes de 20 €, 2 monedas de 20 cts. y 2 de 1 cént.

95

43.4450

• 1 billete de 500 €, 1 billete de 200 €, 1 billete

83° 24

de 100 €, 1 billete de 50 €, 1 billete de 20 €, 1 billete de 10 €, 1 billete de 5 €, 1 moneda de 2 €, 1 moneda de 1 €, 1 moneda de 50 cts., 1 moneda de 20 cts., 1 moneda de 10 cts., 1 moneda de 5 cts., 1 de 2 cts. y 1 de 1 cént.

9

8 h 7 min 17 s 9

• 1 billete de 500 €, 2 billetes de 200 €, 1 moneda de 20 cts. y 1 de 5 cts.

490 96

3 h 51 min 3 s

• 15º 39 480

10º 38

9

• Faltan 264,40 €.

• 1 h 47 min 32 s

TAREA 46

TAREA 43 • 9.500 m2

• 0,045 km

2

• 0,009 dam 2

• 3,8 dm

• 9,75 ha

• 428 dam

• 200 ca

• 0,0995 ha

• 9.000.003,7 dm 2

• 16,059 dam

2

2

97

• R. L.

98

• Paralelas: t y u. Secantes: r y s, r y t, r y u, s y t, s y u. Perpendiculares: s y t, s y u.

99

• Recta r: tangente a 2 y secante a 1. Recta s: secante a 2 y secante a 1. Recta t: exterior a 2 y exterior a 1.

• 4 ha • 0,7 ca 2

4.000.000,5 dm 80,00326 dam

2

2

• 70.000.000.000 mm

• 1.200.000 cm2

90

• Faltan 140,50 €. • Faltan 65,40 €.

250

• 44º 599 100

89

9.000 m

• 1 billete de 200 €, 1 billete de 5 €, 1 moneda de 2 €, 1 de 1 €, 1 de 20 cts., 1 de 10 cts. y 1 de 5 cts.

38º 25

• 1 h 28 min

.

• 70.000 dm 3

• 420 hg

304 min , 5 h y 7 min

7 h 44 min

90 dam

• 40 dm

3

3

TAREA 45

5º y 1.4000 , 20.000

• 59º 19 490

88

9

.

3

3

• 600 ℓ . 0,06 kl 5 60 dm3 . 6.000 ml

8 h 58 min 20 s

12 h 15 min • 51° 209 81° 40

• 9 hm

3

3

• 900.000 cm

• 0,12 m3 . 12 dm3 . 1.210 cm3

• 4,45 dal

240 min

• 0,038 dm 3

• 0,995 m

TAREA 42 85•

3

• 0,028 m

• 0,176 dm

280 ℓ . 2.750 dl . 2,7 hl

• 12 q

• 9 dam

• 0,0035 ℓ

45 dm . 4,49 m . 0,03 hm

• 420 dam

3

• 42.000 ℓ 94

• 171 dag . 17 hg . 1,65 kg . 18.200 cg . . 1.800 dg 84

• 160 dam3

• 0,45 m

400,171 m

0,79 • ℓ

2,7 hm2 5 27.000 m2

5.000 ca 5 50 dam2 . 5 a 5 500 m2

• 25 m

83

84

5

• 20 cl

82•

.

• 970.000 mm2 5 9.700 cm2 . 0,96 m2 . 2 . 95 dm

• 35 ℓ

• 7.500 cm

• 0,27 km 2 . 275 dam2

2

TAREA 47 100

• 80º: agudo; 120º: obtuso, 150º: obtuso.

101

• R. L.

3

3

102

Adyacentes, adyacentes, consecutivos, consecutivos.

TAREA 50 114

• P 5 10 cm; A 5 6,25 cm2 P 5 10 cm; A 5 6 cm2 2 P 5 12,56 cm; A 5 12,56 cm

115

• A 5 (5 3 10 cm 3 6,9 cm) : 2

103

• A 5 (12 cm 3 10 cm) : 2 • A 5 (20 cm 3 8 cm) : 2 • A 5 40 cm 3 15 cm

5

5

5

5

172,5 cm2

60 cm2

80 cm2

600 cm2

• A 5 p 3 (4 m)2 5 50,24 m2

TAREA 48 104

116

• P 5 16 cm

117

• A 5 3 cm 3 0,8 cm 5

P5 1

12 cm (3 cm 3 2,5 cm) : 2

5

6,15 cm2

• A 5 p 3 (2 cm)2 2 4 3 (1 cm)2 5 8,56 cm2

TAREA 51

105

118

• Poliedro, esfera, poliedro, poliedro, cono, poliedro, poliedro, cilindro.

119

• Pirámide hexagonal: 7 caras, 7 vértices, 12 aristas. Poliedro: 5 caras, 6 vértices y9 aristas. Prisma hexagonal: 8 caras, 12 vértices, 18aristas. Prisma cuadrangular: 6 caras, 8 vértices, 12 aristas.

120

• Cubo; prisma triangular; pirámide pentagonal; cilindro; cono.

TAREA 52 121

• A 5 2 3 6 cm 3 3 cm 1 2 3 6 cm 3 10 cm

1

2

2 3 3 cm 3 10 cm 5 216 cm • A 5 9 cm 3 9 cm 1 4 3 (12 cm 3 9 cm) : 2 5 2 5 297 cm 1

TAREA 49 106

• R. L.

107

• Triángulo regular; cuadrilátero; eneágono; octógono; decágono; heptágono regular; hexágono; pentágono regular.

108

• Isósceles acutángulo; escaleno obtusángulo; isósceles rectángulo; escaleno acutángulo; equilátero acutángulo; isósceles obtusángulo; escaleno rectángulo.

• A 5 (6 3 8 cm 3 6,9 cm) : 2 1 2 1 6 3 (8 cm 3 12 cm) : 2 5 453,6 cm • A 5 2 3 p 3 (5 cm)2 1 2 3 p 3 5 cm 3 10 cm 5 2 5 471 cm • A 5 p 3 (6 cm)2 1 p 3 6 cm 3 10 cm 2 5 301,44 cm

5

• A 5 4 3 p 3 (7 cm)2 5 615,44 cm2 122

• V 5 (6 cm)3 5 216 cm3

109

• R. L.

• V 5 (10 cm 3 10 cm 3 8 cm) : 3 5 266,6 cm3

110

• A: trapezoide; B: trapezoide; C: trapecio; D: paralelogramo rombo; E: paralelogramo cuadrado; F: paralelogramo romboide; G: paralelogramo rectángulo; H: trapecio;

• V 5 (6 3 10 cm 3 8,7 cm) : 23 15 cm 5 3.915 cm3

I: trapezoide; J:

trapecio.

111

• V 5 p 3 (5 cm)2 3 10 cm

5

785 cm3

• V 5 (p 3 (8 cm)2 3 12 cm) : 3 V5 123

3 p 3

3

5

803,84 cm3 3

5

• (4 (10 cm) ) : 3 4.186,6 cm • A 5 10 m 3 10 m 3 6 5 600 m2 3 V 5 10 m 3 10 m 3 10 m 5 1.000 m • A 5 4 3 p 3 (20 dm)2 5 5.024 dm2 2 3 V 5 4 3 p 3 (20 dm) : 3 5 33.493,33 dm

112

• Triángulo: 40º. Cuadrilátero: 70º.

113

• Miden 55º cada uno. Medirán 20º cada uno.

• (200 cm) 3 ] 4 3 4 3 p 3 (10 cm)3: 3 5 3 5 7.923,253,34 cm • A 5 p 3 (10 dm)2 1 2 3 p 3 10 dm 2 5 376,8 dm

3

1 dm 5

85

5


Contenidos de la unidad

SABER

NÚMEROS Y OPERACIONES

•

Reducción a común denominador.

•

Comparación de fracciones.

•

•

NÚMEROS Y OPERACIONES

Comparación y ordenación de fracciones.

•

Suma de fracciones.

•

Resta de fracciones.

•

Multiplicación de fracciones.

•

División de fracciones.

SABER HACER •

•

•

TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

86

FORMACIÓN EN VALORES

Reducción de fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y del m.c.m.

•

•


Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

•

Cálculo de operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Cálculo de operaciones con fracciones, números mixtos y números naturales. Resolución de problemas con fracciones. Elección de la representación gráfica que corresponde a una situación. Resolución de problemas con fracciones representando la situación.

Estudiar la pureza de una joya.

Interés por conocer las relaciones entre los números. Valoración de la utilidad de las operaciones con fracciones para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •

Recursos para la evaluación •

Evaluación de contenidos. Unidad 5: controles B y A. Primer trimestre: pruebas de control B, A y E.

•


•

Rúbrica. Unidad 5.

LibroNet MATERIAL DE AULA

Láminas

Enseñanza individualizada


•


•


Cuaderno del alumno •



Proyecto del primer trimestre.

Primer trimestre. Unidad 5.

Solución de problemas. Método DECA.

Recursos complementarios

i

•


•


•


CUADERNO

as mátic Mate

_ - _ _


r trime Prime

A I R A M I R P

IA R A IM R P

Matemáticas Primer trimestre

stre



•

•

Programa de Educación en valores.

_

n 11 _ 7 t m ti

Programa de Educación emocional.

s _1 -1_

7

.i n

:

/

/

:

:1 /

/

1

:

Inteligencias múltiples. _

t

_ t i s_ -

.i


Octubre

Noviembre

Diciembre

87

5

Propósitos • Reconocer situaciones reales donde aparecen fracciones.


• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • Trabaje el concepto de fracciones equivalentes al comienzo de la unidad mostrando cómo reconocerlas y obtenerlas. Indique que hay innitas fracciones equivalentes a una dada. • La reducción de fracciones a común denominador es un proceso fundamental en el que algunos alumnos tienen dicultades. Asegúrese de que todos lo dominan antes de abordar el resto de la unidad. • La realización de operaciones en las que hay números naturales y fracciones puede plantear dicultades. Haga hincapié en que expresen los números naturales como fracciones de denominador la unidad y operen después. • Al realizar operaciones combinadas con fracciones, señale a los alumnos la importancia de tener en cuenta tanto la jerarquía de las operaciones como el correcto cálculo de estas.

¿Cuánto valían las monedas que usaban los romanos? En la época de los romanos ya se utilizaban monedas en la vida cotidiana. El valor de las monedas dependía del peso y de los tipos de metal que contenía cada moneda. Aunque había monedas de oro, por ejemplo, el áureo, las más utilizadas por los romanos en su vida diaria eran las monedas de plata, bronce y, en menor medida, cobre. El denario era la moneda de plata más grande y con ella se suelen comparar las demás monedas. Otra moneda utilizada era el sestercio, cuyo valor era la cuarta parte de un denario. Una moneda muy común, hecha de bronce, era el as y su valor era 1 de denario, es decir, 1 denario eran 16 ases. 16 70

Trabajo colectivo sobre la lámina

Otras formas de empezar

Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Luego, pídales que comenten sus impresiones sobre ella. Plantee después actividades similares con el sistema monetario del euro.

• Trabaje de forma manipulativa o gráca la de la lámina inicial y las preguntas planteadas. Para ello forme grupos de alumnos, deles varios cuadrados de papel divididos en cuatro partes iguales y cada una de estas cuatro partes en otras cuatro y pídales que, tras leer la lectura, escriban en cada cuadrado pequeño, mediano y grande su equivalencia (cada pequeño

1

es un as, cada mediano un sestercio y cada grande un denario). Después, puede hacer actividades de compra y venta dividiendo algunos de los cuadrados en sus partes más pequeñas.

1

1 sestercio

5

4

denario.

Se lee un cuarto. Numerador: 1. Denominador: 4. 2

1 denario

3

1 sestercio

4

88

1 as

1 5

4

5

4 sestercios.

5

4 ases. R. L.

sestercio. R. L.

UNIDAD

Lee, comprende y razona

1 áureo. 25 Se lee un veinticincoavo.

5 1 denario 1

Expresa, con una fra cción, el valor en denari os que tenía un sestercio. ¿Cómo se lee esa fracción? ¿Cuáles son sus términos?

2

¿Cuántos sester cios valía un denario?

3

4

¿Cuántos ases valía un sestercio? ¿Cómo lo has averiguado?

SABER HACER

encia Intelig stica lingüí

TAREA FINAL Estudiar la pureza de una joya

EXPRESIÓN ORAL. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un as en sestercios? ¿Cómo lo has hallado?

5

Un áureo valía 25 denarios. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un denario en áureos? ¿Cómo se lee esa fracción?

6

¿Cuántos sester cios valía un áureo? ¿ Y ases?

5

5

6 1 áureo

5

100 sestercios.

1 áureo

5

400 ases.

¿Qué sabes ya?

Al f inal de la un idad estudiarás la pureza de distintas joyas. Antes, aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

Trabaje estas actividades para recordar con los alumnos el concepto de fracciones equivalentes y sus procedimientos relacionados (amplificación, simplificación y obtención de la fracción irreducible). 1 •

¿Qué sabes ya?

Fracciones equivalentes

•

Dos fracciones son equivalentes si expresan una misma cantidad. Si al multiplicar sus términos en cruz los resultados coinciden, son equivalentes. 2 3

5

8 porque 2 3 12 5 3 3 8 5 24 12

•

Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicando sus términos por un mismo número distinto de cero (amplificación ) o dividiendo los dos términos entre un mismo divisor común (simplificación ). 12 8

12 8

Amplificación

5

24 16

5

36 24

12 8

12 8

Simplificación

5

6 4

• 5

3 2

•

Completa en tu cuaderno pa ra que las fracciones sean eq uivalentes.

• 3 2 2

5

8 7

20

5

40

14

5

35 70

9

5

54 18

Obtén fracciones equival entes a cada una por amplificación y simplificación 50 40

18 12

28 14

36 100

•

.

42 30

• 71

Competencias

2

30 5

8 7

20 40

5

35

7

35 5

14 9 3

70

54 5

18

2 R. M.

La fracción equivalente a una dada que no se puede simplificar se llama fracción irreducible. 1

3

•

50 40

100 5

18

36 5

12 28 14

5

5

42

42 30

5

200

84 5

60

5

7

2 5

2

18 5

50

21 5

4

3

6 14

72 5

5 5

20

9

24 84

36 100

25 5

80

15

9 5

25

7 5

5

Notas

• Competencia lingüística. Cuando trabaje con los alumnos las preguntas de la lectura, y en especial la de Expresión oral, pídales que razonen de forma clara sus respuestas y que usen términos matemáticos en esas explicaciones. • Aprender a aprender. Recuerde con los alumnos todo lo que ya conocían sobre las fracciones. Deje clara la idea de progreso en el saber mostrándoles que en esta unidad van a aprender a realizar todas las operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.

89

Reducción a común denominador Método del mínimo común múltiplo

Propósitos • Reducir fracciones a común denominador por los dos métodos.

Silvia quiere obtener dos fracciones equivalentes a

5 3 y y 6 8

que tengan ambas el mismo denominador. Observa cómo lo hace.

Sugerencias didácticas 1.º Halla el denominador co mún.

Para empezar. Recuerde con los

alumnos el método de reducción a común denominador de los productos cruzados. Para explicar. Muestre la importancia

2.º Obtén el numerador de ca da fracción.

Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

Divide el denominador común entre el denominador de cada fracción, y multiplica el resultado por el numerador.

5 3 y 6 8

5 6

24 : 6

5

4; 4

3

5

5

20

5 6

5

20 24

3 8

24 : 8

5

3; 3

3

3

5

9

3 8

5

9 24

m.c.m. (6 y 8)

5

24

de obtener primero el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común de las fracciones equivalentes, y más tarde obtener los numeradores. Pídales que comprueben que las fracciones obtenidas son equivalentes a las fracciones dadas.

1

• • •

6

y

10

El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos distinto de cero.

21 60 42 63

y ,

24

•

60

4

18

63

y

18

,

60

140

2

28

• Productos:

5 9 y 16 24

2 3 7 , y 5 10 12

Reduce a común denominador por los dos métodos y contesta. 16 9 y 7 4

Método de reducción de los productos cruzados

12 5 y 18 12

¿Qué método crees que es mejor? ¿Por qué?

Multiplica los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra.

63

60

36

3

64

63

y

28

28

28

144 216

Si se reducen a común denominador dos fraccion es menores que la unidad, las fracciones que obtienes ¿son siempre menores que la unidad? ¿Qué ocurre si reduces dos fracciones mayores que la unidad?

. 90

y

216

Piensa y contesta. ¿Es posible reducir cuatr o fracciones a común denominador? ¿Cómo lo harías? ¿Podrías reducir cualquier grupo de fracciones?

.

63

y

24

.

72

15

y

36

.

Es mejor, en general, el método del m.c.m. porque los términos de las fracciones equivalentes que se obtienen son menores y eso nos facilitará más tarde el trabajo al operar con fracciones.

Otras actividades • Profundice con los alumnos en la comparación de los dos métodos de reducción a común denominador, pidiéndoles que reduzcan varias parejas de fracciones usando los dos métodos. Por ejemplo: 3 5

3 • Es posible reducir cualquier

grupo. Basta con calcular el m.c.m. de los denominadores y aplicar el método visto.

• Las fracciones obtenidas son equivalentes a las dadas y por tanto siguen siendo menores (o mayores) que la unidad.

90

7 9 y 20 30

RECUERDA

48

35

64

m.c.m.:

2 4 5 , y 3 7 9

18

y

48

5 6 y 14 20

35

y

2 • Productos:

m.c.m.:

15

3 4 y 5 10

42

y

140

•

60 36

50

•

10

20 9 y 24 24

Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo. RECUERDA

Actividades 1

Fracciones equivalentes con el mismo denominador

5 3 y 6 8

y

2

2

7

3

y

7

4

8

15

y

3

7

25

12

y

5

7

18

24

y

5 8

Pídales que aporten sus ideas sobre la mayor o menor facilidad de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones (si son números bajos o no…). Pídales que comprueben que, aunque los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos, pues las fracciones encontradas son equivalentes.

Comparación de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marcos está comparando distintas parejas de fracciones. Para ello mira si tienen algún término igual.

• Comparar fracciones.

Fracciones con igual denominador

Fracciones con igual numerador

Es mayor la fracción que tiene el numerador mayor.

Es mayor la fracción que tiene el denominador menor.

5 7 y 8 8

5 8

,

7 porque 5 8

,

8 8 y 3 5

7

Fracciones con distinto numerador y

8 3

.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde

8 porque 3 5

,

con los alumnos la comparación de fracciones cuando tenían algún término en común. Señale que ahora van a aprender a comparar cualquier grupo de fracciones.

5

denominador

Primero, se reducen todas las fracciones a común denominador y, después, se comparan los numeradores. 2 4 y 5 6

2 5

5

12 4 y 30 6

5

20 30

12 30

,

20 30

2 5

,

4 6

Para explicar. Deje claro

el procedimiento a seguir: primero, analizar si existe algún término común, y después, en caso contrario, reducir a común denominador y aplicar entonces la técnica para fracciones con denominador común. Pídales que tengan especial cuidado al ordenar grupos e indique que en el caso en el que aparezcan números naturales o números mixtos, deberán expresar estos como fracciones y comparar después.

1 Compara en tu cuaderno escribiendo el signo correspondiente. 1 2 y 4 3

2

2 3 y 7 8

5 1 y 8 6

3 5 y 10 12

7 2 9 , y 15 5 10

Compara. Primero expr esa los números naturales y mixtos como fraccione

5 7 14 , y 8 12 24

s.

HAZLO ASÍ

21 y4 5

12 3y 5 1 8 2 y 3 3

3

5

2

1 3

15 5 5

15 5 2

3

3 3

.

1

1

12 5 5

3

.

7 3

12 5 7 3

22 2 y3 7 7

,

8 3

2

1 3

,

8 3

17 7 y1 4 8

Actividades

Cálculo mental Resta por compensación: suma el mismo número a los el segundo sumando sea una decena

13

63

2

27

5

66

2

30

5

36

13

dos términos para que

1 •

54

2

19

72

2

28

42

2

17

43

2

26

47

2

29

64

2

38

51

2

27

52

2

36

78

2

39

85

2

68

84

2

57

71

2

46

81

2

59

93

2

78

95

2

67

99

2

86

• • • 73

2 •

•

Otras actividades

1

2 ,

4 5

1 .

8

3 5

y

4

3

3

7

5

21

7

4

3

5

5

20

21 . 20

3 F

5

4 .

•

2

7 ,

5 7

5

21

24

22

8

3 10

5 ,

12

,

10 5

,

8

5 23

,

7

3 ,

7

20 .

5

2

9

15 14

12

4

•

6

17

• Comente otra forma de comparar dos fracciones con distinto denominador y numerador: multiplicar los términos en cruz y comparar los productos obtenidos. Por ejemplo:

•

3

7 15

.

8

Cálculo mental

7

Si lo cree conveniente, razone con los alumnos que hacemos lo mismo que al reducir las dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, aunque, como sabemos que el denominador común será el mismo, podemos comparar los numeradores sin necesidad de hallar dicho denominador.

• 35 • 18

• 44 • 26

• 25 • 24

• 17 • 16

• 39

• 17

• 27

• 25

• 22

• 15

• 28

• 13

91

Suma de fracciones Propósitos • Resolver problemas de suma de fracciones.

Suma

2 1 y 5 4

1.º Como las fracciones tienen distint denominador, las reducimos a común denominador.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde con los

2 1 y 5 4

alumnos cómo se realizaba la suma de fracciones de igual denominador. Puede trabajarla grácamente si algunos alumnos tienen dicultades.

2 5

m.c.m. (5 y 4)

8 20

5

1 4

5

5

o

2.º Sumamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común. 2 5

20

1

1 4

5

8 20

5 20

1

5

8

1

5

5

20

13 20

5 20

Tienen árboles frutales

13

del terreno.

20

Para explicar. Comente el ejemplo

resuelto, indicando la necesidad de analizar los términos de las fracciones antes de operar. Señale que para poder sumar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. En el caso de suma de fracciones y números naturales, indique que deben expresar estos como fracciones de denominador 1 y operar después.

Para sumar dos o más fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se suman los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

Suma las fracciones. Fíjate en si sus denominadores 2 7

2

Llame la atención de los alumnos sobre la importancia de simplicar los resultados de las operaciones.

1

3 7

4 9

1

5 9

3 5

1 6

1

5 8

1

son iguales o no. 4 6

3 10

6 4

1

2 3

1

3 4

1

1

5 7

1

4 6

Calcula estas sumas de fracciones y números naturales.

2 1.º Escribe cada número natural en forma de fracción con denominador la unidad.

4 3

2.º Suma las fracciones ob tenidas.

preguntas como las siguientes para que practiquen la suma e investiguen:

3

3

1

2 5

5

3 1

1

2 5

5

15 5

1

2 5

5

17 5

5

1

1

1

3 4

5

4

6 10

3 8

3

1

1

7 5

5

1

1

3 4

4

Resuelve.

PRESTA ATENCIÓN

Emilio compra filetes de ternera que pesan cinco sextos de kilo y filetes de cerdo que pesan medio kilo. ¿Qué fracción de kilo pesan en total los filetes? ¿Pesan más o menos de un kilo?

Al ope rar co n fra ccione s, simplifica siempre al máximo la fracción del resultado.

74

Actividades 1 •

• 2 •

5

•

7

31

•

24

9 9

5

1

9

•

5

11

•

4

16 • • 3

6

•

8

1 2

3

5

kg.

Pesan más de 1 kg.

30

19 12

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias sumas de fracciones cambiando el orden de los sumandos y pregunte a los alumnos si piensan que el resultado será el mismo. A continuación, calcúlelas en común y comente al nal que la suma de fracciones también cumple las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo: 3

20

3 4

23

5 1

7

42

4 5

Pesan en total

92

21

•

3

1

134 127

43

5

•

1 6

HAZLO ASÍ

Para reforzar. Plantee a los alumnos

la suma de dos fracciones menores que la unidad ¿es siempre menor que la unidad? ¿Y si las dos fracciones son mayores que la unidad? La suma de dos fracciones con distintos denominadores ¿puede ser igual a un número natural?

encia Intelig lista r u t na a

Leandro tiene un terreno con árboles frutales. En dos quintos del terreno tiene naranjos y en un cuarto, manzanos. ¿Qué fracción del terreno tiene árboles frutales?

• Sumar fracciones.

(

2 3

5 1

3

)

6 9

1

4

y

y

5

6

3 1

2 3

1

7

(

5 3

9 1

4

)

Resta de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marina necesita medio kilo de chocolate negro y tres cuartos de kilo de chocolate blanco. ¿Qué cantidad de chocolate blanco más que de chocolate negro necesita?

• Restar fracciones.


1 3 a 2 4

Resta

1.º Como las fracciones tie nen distinto denominador, primero las reducimos a común denominador. 1 3 y 2 4 1 2

5

m.c.m. (2 y 4)

2 4

3 4

Necesita

5

1

5

Para empezar. Recuerde con los

2.º Restamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común. 3 4

4

2

1 2

3 4

5

2

2 4

5

322 4

alumnos cómo se realizaba la resta de fracciones de igual denominador.

1 4

5

Para explicar. Comente el ejemplo

resuelto, mostrando las similitudes con la suma, tanto al operar con fracciones como si intervienen

3 4

de kilo de chocolate blanco más que de chocolate negro.

números naturales o números mixtos. Para reforzar. Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón. Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los alumnos que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para usarla como minuendo.

4 Para restar dos fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se restan los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

Resta. Fíjate bien en los términos de cada resta. 6 9 5 8

2

2

5 9

2 7

2

3 8

3 5

2

1 9

8 14

2

3 10

7 2

2

2 6

2

10 3

5 6

2

3 7

41 15

2

2

2

5 8

19 5

2

3

Calcula en tu cuaderno estas operaciones combinadas con fracciones. Sigue el mismo orden que en las operaciones con números naturales. 2 3

1

12

1 4 2

2

1 2

1 2

3 5

5

2

10

1 2

1

1

2 3

3

2 3

(4

5

1

1 5 2

)

2

1 2

1 2

5

6 5

2

(3

2

2

1

1 2

)

Actividades

5

1 •

•

Razonamiento

Explica y calcula. ¿Cómo harías la resta

8 3

2

3 4

2

7 ? ¿Y la resta 2 12

7 8

2

10 ? 4

2 •

• 75

• •

Otras actividades • Proponga a los alumnos que completen los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada la, columna y diagonal sea siempre el mismo número: 4/8

2/8 5/8

1

10/3

5/3

9 1 4

• •

11 12

2

1

10

21 1

•

6

2

3

2

5

6

3

Al corregirlos en la pizarra, pida a los alumnos que escriban la suma calculada para averiguar el total común y la suma y resta combinadas para hallar el número de cada casilla.

7 43

•

8

• •

11 15 4 5

12 23

5

30 9

5

20

7 2

32

•

5

1 2

6 5

3

5

•

2

19 20

63

1

1 10

11

1 5

30

Razonamiento • En primer lugar se restarían las dos primeras fracciones y luego al resultado obtenido se restaría la tercera23 fracción: 7

8/3 6/8

1

12

2

12

16 5

12

4 5

3

• En primer lugar se expresaría el número mixto como fracción y luego se restarían las dos fracciones: 23 8

10 2

4

3 5

8

93

Multiplicación de fracciones Propósitos En la habitación de Borja, la mitad de una pared está pintada de verde. Borja tiene colgados varios pósteres que cubren tres quintos de la zona verde. ¿Qué fracción de pared cubren los pósteres?

• Multiplicar fracciones. • Resolver problemas de multiplicación de fracciones.

1 de la pared 2

Zona verde

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde con los

Zona con pósteres

alumnos cómo se obtenía la fracción de un número. Para explicar. Presente la situación

El numerador es el producto de los

solución de forma gráca. Comente que la expresión «tres quintos de un medio» es lo mismo que calcular el producto de ambas fracciones. Señale que en la multiplicación no es necesario reducir las fracciones a común denominador, aunque sí simplicar el resultado obtenido. Muestre que si aparecen números naturales, se siguen expresando estos como fracciones de denominador 1.

• 2 •

• 3 •

•

32 3

14

10

•

1

•

9 27

8

5

6 3

3

3

5

•

7

11 2 5

94

35 40

3

4 3

2

13 3

1

13

5

1

157 30

2

•

2

1

3

2

5 3

5 3 5

5 2 de 7 3

5 2 de 6 9

2 3

3

1 5

3

4 6

3 5

3

1 9

3

2 6

3 4

2 10

5 6

3 5

3

4 3

3

7 8

2 9

3

3 8

3

1 6

5

3

3 8

3

2 7

30

3

5 8

3

3 5

RECUERDA

5

3

4 9

5 9

3

6

4 7

3

Expresa el número natural como una fracción y luego opera.

9

3

3 7

7 8

3

9

6 7

3

3

1

2 9

3

5

3

7

5

24 35

5

3

6

5

42 40

2 5

3

4

3

6

5

32 60

76

15 14 20 21

Otras actividades • Escriba en la pizarra la expresión a 3 b 5 c. Comente que, al multiplicar dos números naturales (excepto 0 y 1), el producto es mayor que los factores, pero con las fracciones no siempre ocurre así. Escriba varios ejemplos y compruebe en común que:

2

107

3 10

5

3 5 de 4 8

Si b es un número natural, Ejemplo:

5

331 532

Completa en tu cuaderno para que las igualdades sean ciertas.

2

56

5

Calcula estas multiplicaciones de números naturales y fracciones.

45 72

1 2

Calcula en tu cuaderno.

40

4

15

10

•

3

Para multiplicar dos o más fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

60

37

8

2

32 5

6

5

24

2

•

5

7

•

8

4

5 4 •

3

42

8

2

•

5

4

45

•

24

7

7

•

2

63

•

7

5

1

•

10

•

3

27

•

8

20

3

5

•

21

3 5

es.

3 de la pared. 10

Los pósteres cubren

Actividades 15

numeradores.

El denominador es el producto de los dos denominador

A la hora de trabajar las operaciones combinadas, señale que la jerarquía de las operaciones es la misma que ya conocían para los números naturales y decimales.

1 •

3 de la pared 10

5

3 1 3 1 de , es decir, multiplica por 5 2 5 2

Calcula

inicial y muestre cómo se obtiene la

3 1 de de la pared 5 2

3

5

3

25

6

5

,

c

siempre es mayor quea.

6

5

3 .

5

Si b es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor quea. Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor quea. Ejemplos: 4 3

7 3

28 5

3

,

28 3

.

4

5 2

3 3

4

5

15 8

,

15 8

,

5 2

UNIDAD

5 4

Calcula las siguientes operaciones combinadas.

5

Calcula:

Haz los cálculos en este orden:

4 2 de de 30 5 3

1.º Operaciones de los par éntesis. 2.º Multiplicacione s en el orden en que aparecen. 3.º Sumas y restas en el or den de aparición. 2 3

2

2 3

2

5

3 5

1 2

( 12

16 24

3

3

2

( 38

3 5 1 4

1

1

•

SABER MÁS

HAZLO ASÍ

6 24 1 6

2 3

5

)

3

5

2 6

10 24

2

5

5

2 7

)

3 10

5

2 3

2

20 30 3 4

2

3

2 6

9 30

5

5

2 3

2

¿Qué observas?

6 24

1 4

3

5

4

•

3

3 2

11 2

2

1 3

3

4 5

2

9

1

3

5

2

8 3

3

1 8

5

de kg.

8 1

18

1 18

Saber más 4 5 8 15

23

2

20

5

36

23

términos

35

2

11

45

2

22

64

2

23

75

2

24

46

2

31

63

2

42

75

2

33

66

2

34

79

2

51

74

2

52

86

2

53

79

2

54

80

2

61

81

2

62

92

2

63

82

2

74

de

2 3

de 30

de 30

5

4 5

de 20

5

16

516

Ambas expresiones son equivalentes, 4 2 8 ya que de . Calcular 5 5 3 15 varias fracciones de un número consecutivas equivale a hallar el producto de esas fracciones y aplicarlo a ese número.

Cálculo mental Resta por compensación: resta el mismo número a los dos para que el segundo sea una decena

56

12

Son de madera de chopo 5 bancos.

En un parque hay 90 bancos. Cuatro novenos de los bancos son de madera, y de ellos, un octavo es de madera de chopo. ¿Qué fracción de los bancos es de madera de chopo? ¿Cuántos son?

5

5

de los bancos. 1 de 90 5 5 18

5 3

Una empanada pesaba tres cuartos de kilo y Olga compró la mitad. ¿Qué fracción de kilo pesó el trozo de empanada que compró Olga?

23

7

Son de madera de chopo

Para su cumpleaños, Lola compra pasteles. Tres quintos de los pasteles son de chocolate y cuatro séptimos de los pasteles de chocolate llevan crema. ¿Qué fracción de los pasteles tienen chocolate y crema?

2

3

4

Resuelve.

59

4

35 12 Tienen chocolate y crema 35 de los pasteles.

Problemas 5

3

El trozo pesó

5 12

1

5

•

8 de 30 15

11 30

3

5

Cálculo mental 77

• 24

• 23

• 41

• 51

• 15

• 21

• 42

• 32

• 28

• 22

• 33

• 25

• 19

• 19

• 29

• 8

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Cada alumno deberá escribir una operación combinada con sumas, restas y multiplicaciones de fracciones sin paréntesis y otra operación que sí incluya paréntesis. Después, la pasará a su compañero para que la resuelva. Más tarde, cada alumno comprobará que su compañero ha resuelto bien la operación que él le planteó.

Notas

Compruebe en común algunas de las operaciones y sus resoluciones.

95

División de fracciones Propósitos Elena tiene una caja con 3 kilos y medio de fresas. Las reparte en cestas de un cuarto de kilo cada una. ¿Cuántas cestas prepara?

• Dividir fracciones. • Resolver problemas de división de fracciones.

Fresas

3 kg y medio

1


Cestas de 4 kg

3

1 2

7 2

4 1cestas kg 5

14 cestas

Para explicar. Presente la situación

de forma similar a lo hecho con la multiplicación, comentando primero la resolución gráca y después su equivalente numérico. Indique que,

Calcula cuántos

1 7 7 1 hay en , es decir, divide entre 4 2 2 4

El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. El denominador es el producto del denomina

para dividir, no es necesario reducir a común denominador.

la primera fracción por el numerador de la

7 1 : 2 4

dor de

5

734 231

5

28 2

5

14

segunda.

Elena prepara 14 cestas con fresas.

Deje claro el concepto de fracción inversa y la posibilidad de dividir con el algoritmo usual o multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda.

Para dividir dos fracciones se multiplican sus términos en cruz.

1

Comente que las operaciones combinadas con fracciones siguen la misma jerarquía que las operaciones con naturales.

Calcula estas divisiones. 4 6 : 3 7

2

3 : 4 3

5

3 8

3 5 : 10 4

7 2 : 11 5

3 2 : 2 3

5 : 6

5

5 24

3 : 8

5

15 16

7 : 9

5

Divide estas fracciones y números naturales. 2 :5 3

4

4 7 : 9 3

Calcula la fracción que falta y completa en tu cuaderno.

Para reforzar. Escriba en la pizarra

varias parejas de fracciones (o de número natural y fracción). Pida a los alumnos que dividan la primera fracción entre la segunda. Luego,

5 2 : 3 6

:8

6 7

4:

1 6

9:

2 3

Halla la fracción inversa de cada fracción dada.

indique que dividan la segunda fracción entre la primera. Corrija en la pizarra las dos divisiones obtenidas y pida a los alumnos que expliquen la relación que existe entre ambos resultados: son fracciones inversas.

HAZLO ASÍ

La fracción inversa se obtiene dividiendo 1 entre la fracción, es decir, cambiando el numerador por el denominador.

3 Fracción 7 inversa

7 3

3 8

5 2

11 7

8 14

78

Actividades 14

1 •

• 2 •

• 3 • 4 •

• 5 •

96

30

•

9 6

3 4

5 6

: :

2

5

5

5

28

7

•

11 9 3

4

27 5

:

9

•

3

8

7

• 24

8

3

:

8

•

24 3

3

•

8

4

•

15

•

3

1

•

22

2 1

5

35

•

25

4 5

6

32

21

Otras actividades

9 4

15

2

5

5

16

4 3

•

7 5

12

• Plantee a los alumnos varios problemas de multiplicación o división de fracciones, para que tomen nota de los datos (si tienen dicultad, puede hacerlo un alumno en la pizarra), elijan la operación correspondiente y los resuelvan. Por ejemplo: 2

Roberto empaqueta 6 kg de alitas de pollo en bandejas de 3/4 de kilo. ¿Cuántas bandejas puede hacer?

2

Julia vende en un trozo las tres quintas partes de un queso que pesa 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa el trozo de queso vendido?

2

Celia empaqueta 2 kg y 3/4 de kg de patatas fritas en bolsas de cuarto de kilo. ¿Cuántas bolsas prepara?

27 2

2

5 14 8

7 12

UNIDAD

5 5

Convierte cada división en una multiplicación y calcula.

6

5

4 5

3

7 3

5

4 5

3 3

7 3

5

SABER MÁS ¿Qué ocurre si divides una fracción por otra fracción menor que la unidad? ¿Cómo es el resultado: mayor o menor que la fracción inicial?

8 6 : 5 11

Otra forma de dividir fracciones es multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda. 4 3 : 5 7

•

3 4 : 8 9

HAZLO ASÍ

12 6 : 7 8

28 15

5 3 : 7 10

• • 6 •

Calcula las siguientes operaciones combinadas.

•

PRESTA ATENCIÓN

1.º Paréntesis.

8 3

2.º Multiplicaciones y divisiones.

7

3.º Sumas y restas.

2

3

2

2 1 : 5 6 2

(

2

1 6

8 5

)

2

(

3 2 : 4 3

)

1

3 8

11 8

•

1

3 : 4

:

(

3 4

2

1 2

)

1

5 6

12

•

3

2

14

4

56

:

5

2

3 1

8

:

5

Julial reparte i la mitad i de un bizcocho i en l 4 partes iguales. ¿Qué fracción i de bizcocho i es cada parte?

7 • 8:

Para adornar dos tartas, Mario iha utilizado i li tres cuar tos de kilo il de fresas y medio i kilo il de cerezas. En cada tarta ha puesto lal imismai cantidad. ¿Qué i cantidad de fruta ha puesto en cada tarta?

•

Lee y contesta.

5

8 3

Isabel ha dividido dos de estas fracciones y ha obtenido como resultado una fracción cuyo numerador y denominador son el cuadrado de un número.

5 1

4

6

44 5

•

¿Ocurre lo mismo siempre con este tipo de fracciones? 79

5

3

5

3

32 5

3

5

10

2 3

1 2

:45

1 8

3 4

:25

1

de kg.

8

3 8

•

1 2

:25

3

•

8

4

8

de kg

4

1 1

3

1

En cada tarta pone de cerezas.

ya conocían para las operaciones combinadas de naturales se vuelven a aplicar ahora en las fracciones.

6

19

En cada tarta pone de fresas.

¿Cómo es una respecto de la otra?

• Aprender a aprender. Es muy importante para el desarrollo de esta competencia que los alumnos aprecien en las Matemáticas una coherencia y un progreso en la construcción de su conocimiento del área. Comente con ellos cómo han ido avanzando en el estudio de las operaciones con los diferentes tipos de números y cómo las mismas reglas que

5

5 1

8

¿Cuáles son esas fracciones?

Competencias

8

20

Cada parte es 7 8

3 1

40

Obtiene 10 mallas completas, le sobran dos tercios de malla, es decir, medio kilo.

Razonamiento

3 5

5

8

1

24

4

7

19

17

40

11

50 5

21

9

5

3

150

30

8

28 5

6

7

3

15

5

4

7

21

5

1

:

6

5

5

42

12

3

15 16

50 5

3

8

8

5

6 10

7

44 5

30 96

152

Tomás reparte 8 kg de mandarinas i en mallas ll de tres cuartos de kiloil cada una. ¿Cuántas mallasll obtiene? i

8 7

3

7

Resuelve.

li

8

5

5

88 5

6

34

Problemas 7

11 3

5

5

• 5 2 : 3 5

8

5

1 4

de kg

5 5

8

En cada tarta pone de fruta.

5 8

de kg

Saber más El resultado es siempre mayor que la fracción inicial.

Razonamiento 8

• Son las fracciones

7

7

y

8

.

• Son fracciones inversas. • Al dividir una fracción entre su inversa, siempre ocurre así.

97

Solución de problemas Propósitos

Determinar la representación gráfica de una situación

• Elegir la representación gráca que corresponde a una situación en la que aparecen fracciones.

Mariola es alfarera. Los tres octavos de las vasijas que ha hecho las ha pintado de color rojo, y la mitad de las vasijas rojas las ha adornado después haciendo dibujos con rayas. ¿Qué representación de las siguientes es correcta? ¿Qué fracción del total de vasijas son rojas y tienen rayas?

Sugerencias didácticas Para explicar. Razone en común

el ejemplo resuelto, mostrando por qué la primera y la segunda representaciones no son correctas. Indique que son posibles múltiples

Al resolver problemas con fracciones es útil representarlos. Debes revisar siempre que lo has hecho correctamente.

representaciones de la situación y que esta es una técnica que nos puede ser útil para entender y resolver algunos problemas con fracciones (como se verá en la página siguiente).

La primera representación no es correcta, ya que se han hecho rayas en los tres octavos rojos, y no en su mitad. En la segunda sí se ha rayado la mitad, pero ha sido de la parte no roja. No es correcta.

Deje que trabajen el resto de actividades por sí solos y después corrija en común.

Resuelve tú el problema en tu cuaderno. Haz primero una representación correcta diferente a la de arriba.

La tercera representación es la correcta, la que corresponde a la situación del problema.

Averigua qué representaciones corresponden a cada situación y, después, resuelve cada problema.

Actividades •

R. M.

3 8

:2

1

En una asociación de senderismo, un cuarto de los socios son jubilados. De ellos, tres cuartos son mujeres. ¿Qué fracción de los socios son mujeres jubiladas?

2

Miguel decoró ayer cuatro décimos de los pasteles con naranja. Después, añadió virutas de chocolate a la mitad de los que tenían naranja. ¿Qué fracción de los pasteles es de naranja con virutas de chocolate?

3 5

16 3

Son rojas con rayas

16

de las vasijas. 1 Es correcta la representación

central. 3 4

de

1 4

3 5

16 3

Son mujeres jubiladas de los socios.

16

80

2 Son correctas la primera

y la tercera representaciones por la izquierda. 4 10

:2

4 5

20

Son de naranja con virutas de chocolate

Notas

98

4

20

de los pasteles.

Otras actividades • Entregue a los alumnos distintas representaciones grácas, similares a las trabajadas en esta página, y pídales que inventen y resuelvan problemas que correspondan a cada representación. Después, pídales que dibujen otra representación diferente que corresponda también a cada problema.

UNIDAD

5 2

5

Representar la situación

Propósitos

Virginia compró un ordenador a plazos. Pagó al contado tres quintos del total y todavía le quedan por pagar 180 €. ¿Cuál era el precio del ordenador?

• Realizar representaciones grácas para entender y resolver problemas con fracciones.

Representa el precio total del ordenador mediante un dibujo dividido en 5 partes iguales. Marca la parte que pagó y la parte que le queda por pagar.

Sugerencias didácticas Para explicar. Trabaje en común el

3 5 2 5

ejemplo resuelto, dejando claro que la representación elegida es solo una de las posibles. Señale la utilidad de esta técnica y cómo el objetivo es

Pagó al contado.

5 180

Le queda por pagar.

1.º Calcula el dinero que representa cada parte. 2 partes son 180 €, luego 1 parte serán 180 : 2 5 90 €.

determinar el valor de cada una de las partes.

2.º Calcula el precio total del ordenador. Como 1 parte son 90 €, 5 partes serán 90 3 5 5 450 €.

Actividades

Solución:El

Compruebe que las representaciones que realizan los alumnos son correctas.

precio del ordenador era de 450 €.

1 14 : 2

Resuelve cada problema representando primero su enunciado.

i

1

Los dos tercios i de los l componentes de una compañía de teatro son mujeres. Sii en total l hay 14 mujeres, ¿cuántos componentesi tiene l la compañía?

2

En una exposición i i de cuadros hay 64 deipaisajes, y estos representan dos quintos i del l total. l ¿Cuántos cuadros hayl en la exposición? i i

3

Sergio i ha enviado hoy cuatro l novenos l dei los correos i electrónicos que tiene que enviar i esta semana. Si i todavía l le quedan por ienviar 15 correos, ¿cuántos correos tenía que mandar en totall durante la l semana?

4

5

7

Cada parte son 7 personas. 3 3 7 5 21. La compañía tiene 21 componentes. 2 64 : 2

5

32.

Cada parte son 32 cuadros. 53

Yolanda l es veterinaria i i y hoy ya ha iatendido a tres octavos l i de l los animales que tenía citados. i i Si todavía l le quedan por atender 35, ¿cuántos i l animales en

32 5 160. Hay 160 cuadros.

3 15 : 5

5

3.

totall tenía citados i hoy?

Cada parte son 3 correos.

5

Luisi se ha apuntado a un curso ide informática i por horas.i Ya ha ido a 16 horas de clase l y esta cantidad i representa dos novenosl del l total de horas. ¿De cuántas horas se compone ell curso?

33

6

INVENTA. Escribe i

un problema l i ilsimilar l a los propuestos en iesta página de forma que representar la l i situación i te ayude al resolverlo. l

encia Intelig rsonal e p a r t n i 81

9 5 27. Tenía que mandar 27 correos. 4 35 : 5

5

7.

Cada parte son 7 animales. 7 5 56. Tenía citados 56 animales. 83

5 16 : 2

5

8.

Cada parte son 8 horas.

Competencias • Iniciativa y emprendimiento.El desarrollo de esta competencia está ligado, de manera muy directa en Matemáticas, con la invención de problemas. Anime a los alumnos a ser creativos a la hora de plantearlos, a presentarlos de formas variadas y en contextos diferentes, siempre de manera correcta y comprobando que su resolución es posible y se puede realizar con la estrategia presentada en la página.

8 5 72. El curso se compone de 72 horas. 93

6 R. L.

Notas

99

ACTIVI DADES

Propósitos

1

Copia y calcula.

• Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Actividades 1•

3/5

• 23/7 • 51/8

• 77/30

• 4/7

• 5/2

• 1/2

• 55/8 •10/63

• 4/15 • 5/24

• 12/5

• 3/28

• 7/20 2• 8/15 • 5/2 3 4•

• 8/9

• • •

5 17

• •

1

1

2

14

4

9

2

15

61

13

2

60

10

1

3 31

2

7 16

3

3 29

:

9

2 4 2 3

5

5

60

79

18

5

• •

100

1 3 5 9 13 15

1

6 36 15

:

28 :

3 5

5

5

7

1

3 2

1

4 6

3

2

2

7 10

1 8

4 6

2

2

2 10

8 9

2

4 3

3

2 5

3

2 7

5 6

3

3

8 10

5 9

8

3

3

3

5 9

2 7

3

3 4

6

9 7

2 : 5 9

2 5

3 8

7

5

5 7

5 11

1

5

3 9

10 15

2

5

16 21

9

5

1 2

9

3

10

:

15

7

3

5

9 11

5

3 15

5

35 27

5

27 50

Calcula. Piensa bien el ord en. 1

3 2

3

1 6

( 15

3

9

3 9 4 5 2 1 1 : 9 7 4

5 6 5

1

2

)

3

(

3

18 15

11

)

2 3 : 3 5

)

1

2

2

2

3

4

8 9 2 3 : 7 8

Piensa y contesta. Si multiplicas dos fracciones mayores que 1, el resultado ¿puede ser mayor que 1? ¿Y menor?

Explica qué es la fracción inversa de otra dada y cómo se obtiene.

¿Qué ocurre si las dos f racciones son menores que 1?

Divide. 6 3 : 9 4

2 7

7:

5 3 : 7 8

4 8

Observa el dibujo y calcula qué de tableta es.

fracción

8 :4 10

Calcula. 2 3

2

2

(

2 3

2

2

1 6

3 2

1 6

7 4

)

2

2

2 7

(

1

2 5

1

Escribe cada número mixto en de fracción y calcula.

1 3

)

2

13 28

2

11 60

forma

3

1 3

1

4 5

5

1 3

4

3 7

2

2 3

3

2 2 : 9 3

3

1 14

4 5

Una tableta de chocola te negro y 5 onzas de ese chocolate. Una tableta de chocola te con leche y 2 onzas de ese chocolate. Dos tabletas de chocol ate blanco y 1 onza de ese chocolate. 3 onzas de chocolate neg ro, 1 tableta de chocolate con leche y 1 onza de blanco. 1 tableta de chocolate c on leche, 2 onzas de negro y 1 onza de blanco.

Otras actividades • Pida a los alumnos que inventen y calculen una suma, una resta, una multiplicación y una división de dos fracciones y de una fracción y un número natural. A continuación, indique a cada alumno que copie en una hoja las ocho operaciones desordenadas, pero sin escribir el signo de la operación realizada, y se la entregue a un compañero. Este deberá averiguar qué operación se ha hecho en cada caso.

24

5

1 4

2 5

1

6

• 9y5 7

5

2

6

3 7

29

• 5y3

6

3 5

2 6

15

87

• 7

1

11 2

1

64

• 4

3

2

2 7

3 6

82

• 4

• 3 7 • 4

6 7

1

1

21

5

5

6

5

15

5

3

5

62

5

5

3 8

4 6

VOCABULARI O.

5 4

50

5

60

4

3 2

2 7

Multiplica.

5 4

• 5

•

5

5

28

60

11

1

4:

4

11 2

1 4

1

10

5

11 2

3

1 3 : 8 7

3

5

12

28

7 2 •

8

• 1/5

12

5

6

3

5

5

6

1 5

4 3

14 14 28 18 13 23

5

•

1 3

2

4

7 • 4

•

2

12

5

6

2

• 40/21

• 14

7

1

1

3

7/24

2 5

Completa los números que faltan para que las igualdades sean ciertas.

( 14

R. L.

• 14 5

• 3/2

• 7/4

7

18 36 140 135

65 45

1

5

5

2

5

28 27

13 9

UNIDAD

5 Problemas 11

Resuelve.

• 12

9 5

8 2

Pablo reparte tres quintos de su colección de monedas antiguas en partes iguales entre sus cuatro nietos. ¿Qué fracción del total de las monedas le corresponde a cada uno?

La bandeja de pastele s pesa tres cuartos de kilo. Tiene pasteles de crema y pasteles de nata. Si un sexto de kilo son de crema, ¿qué fracción de kilo son pasteles de nata?

En un parque, dos quintos de los árboles son castaños. De ellos, un cuarto tienen una plaga. ¿Qué fracción de los árboles del parque son castaños que no tienen plaga?

6

•

5

16 2

45

46 5

21

105

9 • Es mayor que 1 siempre.

• Es menor que 1 siempre. 10 • 1

5 1

Resuelve.

6

11 5

2 4

1

• 2

Alejandro tenía dos fincas iguales. La finca 1 la dividió en 8 parcelas iguales y vendió 3 de las parcelas.

•

La finca 2 la dividió en 12 parcelas iguales y vendió 5 de ellas.

5

2

11

2 6

1

12 5

2

5

2

11 5

2

6

37

del camino.

45 7

• Son de nata

¿Qué fracción repre senta la parte que ha vendido en total?

6

1 1

11 • Se recorren

¿De cuál de las dos fincas ha vendido más terreno? ¿Qué fracción de terr eno ha vendido más de una finca que de otra?

2

5

1

• 11 ¿Qué fracción de cada fi nca le queda por vender a Alejandro?

3 5

4 5

2

3 6

6 6

1

de kilo.

12

12 • A cada uno le corresponden

Un cuarto de la parte vend ida en la finca 1 se dedicará a sembrar trigo. ¿Qué fracción de la finca 1 es?

del total. • Son castaños sin plaga de los árboles.

Dos tercios de la parte vendida en la finca 2 se dedicarán a construir chalés y el resto a jardines. ¿Qué fracción de la finca 2 se dedicará a jardines?

13 • Finca 1: Demuestra tu talento 14

76 5

360

Piensa y resuelve.

En la primera etapa de una ca rrera ciclista se recorren dos novenos del total y en la segunda, tres quintos. ¿Qué fracción del camino se recorre entre las dos etapas?

• 11 13

608 5

72

5

5 8

. Finca 2:

• De la finca 2

El jueves me comí un quinto de las nueces que tenía. El viernes me comí tres cuartos de las nueces que me habían quedado del jueves. El sábado tenía 4 nueces. ¿Cuántas nueces tenía el jueves?

(

3 10

7 12

3 , 5 8 12

3 20

.

).

1

• Ha vendido finca 2. • Ha vendido

más de la

24 19 24

83

• Se dedicarán

en total.

3 32

a trigo.

5

• Se dedicarán

Competencias • Competencia social y cívica. En la actividad 13 aparece un contexto en el que se pueden plantear debates sobre distintos aspectos relacionados con esta competencia: la explotación de los recursos naturales, el medio rural y sus peculiaridades, la compraventa… Pida a los alumnos que comenten sus impresiones sobre ellos y anímeles a actuar siempre como

36

a jardines.

Demuestra tu talento Rayado: lo comido el jueves. Punteado: lo comido el viernes.

ciudadanos responsables.

Cada parte que queda sin puntear ni rayar (4 partes) representa 1 nuez, ya que quedaron 4 nueces sin comer, luego en total había 15 nueces el jueves.

101

SABER HACER

Propósitos

Estudiar la pureza de una joya

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

Seguro que alguna vez has visto un anillo de oro, y tal vez pensaste que se trataba de oro puro. Normalmente, el oro se mezcla con otros metales. Para medir la pureza de las joyas hechas en oro o plata se utiliza el quilate.


El quilate nos indica la parte de oro que hay en una joya. Un quilate significa que, de cada 24 partes del peso de una joya, 1 parte es de oro y las otras 23 partes son de otros metales con los que se ha mezclado el oro.


• Un quilate es la forma de expresar la fracción de oro que tiene una joya. 1 1 quilate 5

De este modo, si vamos a una joyería y compramos un anillo de oro de 18 quilates, 18 eso significa que son de oro los del peso total de la joya. 24

24

• Oro:

15 24

. Oro:

1

12 24

¿Qué es un quilate? Exprésalo como fracción.

.

¿Qué significa oro de 15 quilates? ¿Y de 12 quilates? ¿Cuál contiene más parte de oro?

Contiene más parte de oro el oro de 15 quilates.

¿De cuántos quilates tiene que ser una joya para que sea toda de oro? Escribe la fracción que lo representa.

• Debe ser de 24 quilates.

2

24 24 2

83

18 24

18 3

1

5

5

6; 54 3

20 24

5

16 24

5

• 54 3

16 24

ORO 16 quilates 54 g

ORO 20 quilates 18 g

15 3

Resuelve. Lucía compra una pulsera de oro de 16 quilates cuyo peso es de 54 gramos. Si un gramo de oro puro cuesta 130 €, ¿cuánto cuesta el oro de la pulsera?

5

36

¿Qué parte del peso de la pulsera no es de oro? ¿Cuántos gramos son? 4

36 3 130 5 4.680

No son de oro

8 24


Resuelve con tu compañero.

Imagina que tú y tu compañero queréis comprar un anillo de oro. En la joyería os dan a elegir entre uno de 18 quilates y otro de 20 quilates, ambos de igual precio. ¿Cuál debéis elegir? ¿Qué necesitaríais saber para elegir el mejor anillo?

El oro cuesta 4.680 €. •

Observa el peso y los quilat es de estas joyas y calcula lo s gramos de oro que contiene cada una. ORO 18 quilates 8g

36

Los pendientes tienen 6 g de oro, el collar 36 g y el colgante 15 g. 3

Piensa y responde a est as preguntas.

.

encia Intelig rsonal interpe

54 2 36 5 18 84

No son de oro 18 g. 4

R. L.


• •

•

•

18 3 2 2 18 : 3 5 36 2 6 5 30 7 1 60 2 3 5 64 9 1 7 2 8 1 25 5 16 2 8 1 25 5 5 8 1 25 5 33 18 2 12 1 5 2 7 5 6 1 5 2 7 5 5

2

3

11 2 7 5 4

34; 104; 4 3 4 3 4 3 4 3 4; 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10; 11 3 11 3 11 •

210 , 27 , 23 , 22 , , 14 , 15

•

212 , 211 , 29 , , 15 , 18

102

0,

Desarrollo de la competencia matemática • El contexto de la página es interesante y ofrece una situación cotidiana en la que aplicar los contenidos trabajados en la unidad. Muestre a los alumnos la utilidad de sus aprendizajes y la posibilidad de su concreción en la vida diaria. Pídales que por parejas planteen actividades similares a las de esta página y resuelva algunas de ellas en común, aprovechando para detectar y corregir posibles conceptos erróneos.

1

Calcula. (14 1 6 42 : 6

4 2

1

2) 3 2 2 18 : 3

12 3 5 2 3

9 1 21 : 3

2

2

5

Escribe todos lo s números ent eros comprendidos entre 28 y 18.

4

Escribe.

5

4 3 2 1 25

18 2 4 3 3 1 25 : 5

2

UNIDAD

5

REPASO ACUMULATIVO

27, 26, 25, 24, 23, 22, 21,

•

Los diez primeros múltiplos de 10. •

Los divisores de 12.

Copia y complet a en tu cuaderno.

Los divisores de 18. Producto

Potencia 6

Calcula.

3333333

m.c.m. (10 y 25) m.c.m. (2, 8 y 15)

10 3 10 3 10 3 10

6

m.c.d. (20 y 12)

45

m.c.d. (14, 16 y 18) 106 113

7

Estudia la di visibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 de estos números. 7

3

15

Ordena de menor a mayor cada grupo. 14, 22, 27, 15, 23

y

30

210

15, 212, 29, 18, 2 11

20 40

270 45

0,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Los diez primeros múltiplos de 5.

7

5

120

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 ,70, 80, 90

•

1, 2, 3, 4, 6, 12

•

1, 2, 3, 6, 9, 18

•

50

•

120

•

4

•

2

Por 2: 20, 270, 120, 30, 40. Por 3: 15, 270, 120, 30, 45, 135.

135

Por 5: 15, 20, 270, 120, 30, 40, 45, 135.

y0

Por 9: 270, 45, 135. Problemas

8

9

10

En la feria de artesanía Paula vendió un total de 60 pulseras. La mitad las vendió a 18 € cada una, un tercio a 15 € y el resto a 9 €. ¿Cuánto recaudó Paula por la venta de las pulseras? Una furgoneta de reparto lleva 24 cajas de refrescos. En 13 cajas lleva 12 refrescos y en el resto, 18 refrescos en cada una. En un supermercado deja un tercio de las cajas. ¿Cuántos refrescos, como

Por 10: 20, 270, 120, 30, 40. 11

12

8

El día 4 se constiparon 16 personas en una clase. Cada día se constiparon el doble de personas que el día anterior. ¿Cuántas personas se constiparon el día 7?

60 2 60 : 2 2 60 : 3 5 10 30 3 18 1 20 3 15 1 10 3 9 5 930

5

A las 9 de la mañana la temperatura en Valcorto era de 28 ºC. A las 12 horas era dos grados mayor, a las 15 horas tres grados m ás que a las 12, y a las 21 horas nueve grados menos que a las 15 horas. ¿Qué temperatura había cada hora?

Recaudó 930 €. 9

24 : 3

5

(13

8) 3 12 1 11 3 18 5 258

2

8

Como máximo quedan 258 refrescos (todas las cajas que deja son de 12 refrescos).

máximo, quedan en la furgoneta? Paco tiene un helecho que riega cada 5 días y un cactus que riega cada 12 días. Hoy ha regado las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días volverá a regar las dos plantas por primera vez? ¿Cuántas veces habrá regado el cactus?

10

m.c.m. (5 y 12) 5 60 Pasarán 60 días hasta que riegue ambas de nuevo. Antes de ese día habrá regado el cactus 11 veces.

85 11

16 3 2 3 2 3 2 5 128

12

A las 12 h: 26 ºC.

Se constiparon 128 personas.

Repaso en común • Forme grupos de cuatro alumnos y pida a cada grupo que inventen un problema utilizando una o más operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división, y lo resuelvan. Recoja los problemas propuestos y plantee algunos de ellos, para que todos los alumnos los resuelvan en el cuaderno. Uno de los alumnos del grupo que lo

A las 15 h: 23 ºC. A las 21 h: 212 ºC.

Notas

inventó lo hará en la pizarra para corregirlo.

103

Repaso trimestral

Actividades 1

• 3 U. de millón 1

5 DM

1

1

9C

4 CM

1

2U

1

NÚMEROS

Tres millones cuatrocientos cincuenta mil novecientos dos. • 7 U. de millón 1 5 DM 1 1 3 UM 1 8 D 1 1 U

1

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

3.450.902

85.026.004

408.521.207

7.053.081

60.701.500

910.600.040

Siete millones cincuenta y tres mil ochenta y uno.

2

Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

• 8 D. de millón 1 5 U. de millón 1 1 2 DM 1 6 UM 1 4 U Ochenta y cinco millones ventiséis mil cuatro. • 6 D. de millón 1 7 CM 1 1 UM 1 5 C

3

4

• 4 C. de millón 1 8 U. de millón 1 1 5 CM1 2 DM1 1 UM1 2 C 1 7 U

5

Cuatrocientos ocho millones quinientos veintiún mil doscientos siete.

3

4

3

4

6

3

6

3

6

3

6

Compara y escribe el signo

1

Sesenta millones setecientos un mil quinientos.

4

.

9

3

9

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

o ,.

12

y

15

23

y0

12

y

29

22

y

26

27

y

23

0y

14

15

y

25

28

y

13

Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos. A ( 2 2,

1 1)

C ( 1 2,

1 5)

E ( 22, 0)

G (0,

B ( 2 4,

2 3)

D ( 14,

2 3)

F (0,

H ( 1 3, 0)

1 4)

2 5)

Ordena cada grupo de menor a mayor . Expresa primero todos los números en forma de fracción. 12 5

11 4

2

1 6

2

10 6

7 3

3

2 7

4

1 2

60 14

• 9 C. de millón 1 1 D. de millón 1 1

6 CM

1

4D

Novecientos diez millones seiscientos mil cuarenta. 2

OPERACIONES

• 43; 4 al cubo

6

Calcula.

• 64; 6 a la cuarta

95.286 18.089 1

278

• 92; 9 al cuadrado

104.093 6.578 2

3.075

3

5

• 5 ; 5 a la quinta • 36; 3 a la sexta 3

• •

• •

, ,

7

• •

, ,

• •

. .

.

4

86 15

F

C

14 13 12

A

11

E 25 24 23 22 21

22 23 24

G

5

• 2, •

5

10 2

2

7

25

11 ,

4

1 ,

6

• 3

104

12

6

,

60 ,

14

H

11 12 13 14 15 21

B

,

4

2

7 3 1 2

D

18 : 2 (7

1

41.640 : 382 2

1

(5 3) 2) 38 3 2

12

9:3

2

6

3

2

3

4 (10 : 5)

Calcula estas potencias y raí ces. 74

85

3

9

9

,

70.794 : 621

650 3

1

4 (7 2) 20 102: 2

• 27; 2 a la séptima

897 3

2

10 7 3

6

46 6

4

19

4

9

64

25

45

10 4

1

16

100

81

24

3

2

PRIMER TRIMESTRE

8

9

Calcula y escribe.

6•

Los tres primeros múltiplos de 9.

Cuatro divisores de 24 y cinco de 40.

Los seis primeros múltiplos de 2.

Todos los divisores de 12 y de 20.

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3, 4 y 8)

m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

113.375

• 97.515

•

249.366

•

1.998.750

•

c5

114

•

c5

•

36

•

7

•

11

•

15

•

19

•

0

109, r 5 2

Calcula. 7

2 5

1

7 2

1

3 4

11 3

2

3

15 4

2

7 6

2 8

3

2

3 7

3

3 5

6 2 : 9 3

13 3

2

4

8 :2 10

15 2

2

7 5 : 6 12

( 23 : 2 )

3

7 4

• 2.401; 32.768; 512; 10.000.000; 729; 4.096; 1.296; 1; 10.000 •

2

1 8

PROBLEMAS

3 4

8

5

10

6,

9

4

45 , 7 24 ,

,

5

• 0, 9, 18 • 1, 2, 3, 4; 1, 2, 4, 5, 8

10

Resuelve.

• 0, 2, 4, 6, 8, 10

En una exposición de bonsáis hay 300 árboles. Un tercio son sabinas, y del resto, un cuarto son pinos. ¿Cuántos pinos hay en la exposición?

• 1, 2, 5, 10; 1, 2, 4, 5, 10, 20

Manuel va a su pueblo cada 14 días y Sara, cada 21. Hoy se han visto los dos allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a verse de nuevo en el pueblo? Merche fue a la frutería y compró 2 kg y medio de naranjas, 3 kg de manzanas y tres cuartos de kilo de ciruelas. ¿Qué cantidad de fruta compró en total?

9

En un coche la temperatu ra interior es 117 ºC y en la calle es 2 7 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior?

•

20

•

15

•

•

1

•

4

•

• •

Un puzle cuadrado está formado por 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas hay en cada lado del puzle?

•

Lía quiere repartir en vasos 50 fresas y 30 moras, de manera que en todos los vasos haya el mismo número de frutas, que todas sean del mismo tipo y que no sobre ninguna. ¿Cuántas frutas como máximo puede poner en cada vaso?

• 10

•

23

•

20 13 13

30 •

2

15

2

2

1

84

2

3

1 3 2

de

5 46

5

7

3

7 4

23 15

12

•

4

2

•

7

5

83

5

de 300

• 1

20

5

30

2

3

•

2

24

12

5

50

3 Hay 50 pinos. 4

En un colegio había 40 cajas de bolígrafos con 15 bolígrafos cada una. Pasado un trimestre quedaban 27 cajas enteras y faltaban 4 bolígrafos para completar otra. ¿Cuántos bolígrafos se habían utilizado?

•

Esta mañana, en la pastelería de Manuel, se han envasado 5 kg y medio de pastas de chocolate y 4 kg y tres cuartos de pastas de crema. ¿Qué cantidad de pastas se ha envasado? •

m.c.m.(14 y 21) 5 42 Pasarán 42 días. 2

1 2

1

31

3 4

5

25 4

5

6

1 4

87

Compró 6 kg y cuarto. •

Es 24 grados mayor. 81 5 9. Hay 9 piezas.

•

•

•

m.c.d.(50 y 30) 5 10. Puede tomar como máximo 10 frutas. 40 3 15 5 600 27 3 15 1 11 5 416 600 2 416 5 184 Se habían utilizado184 bolígrafos.

•

5

1 2

1

4

3 4

5

41 4

5

10

1 4

Se han envasado 10 kg y cuarto.

105

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas

Guia Matematicas 3 er Trimestre.pdf

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