Guia 3o Secundaria Matematicas

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

1

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ESO

Números racionales e irracionales

CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *(También podrás encontrarla en el CD Programación.)

Programación de aula Unidad 1


Esta unidad se dedica al estudio y manejo de las operaciones con fracciones, y en su segunda parte, a completar la definición del conjunto de los números reales con los irracionales. Se pretende que los alumnos tomen conciencia de la presencia de las fracciones en su mundo, que las identifiquen como otra forma de expresar un número (número racional), que reconozcan en ellas la parte y el todo, y que las utilicen como operadores útiles cuando sea necesario realizar cálculos más precisos, ya que su uso evita la aproximación, el redondeo y, por tanto, la acumulación de errores. Por esta razón, también se introducen las nociones de aproximación y error, así como la propagación de errores en los cálculos. Es importante recordar al principio de la unidad una serie de conceptos relacionados con la divisibilidad, como la descomposición de un número en sus factores primos, y qué son y cómo se obtienen el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de varios números, ya que a lo largo de la unidad deberán usar ambos con soltura. Por otra parte, hay que ampliar su campo de visión a los decimales exactos y a los periódicos, y como extensión, a los números irracionales. El hecho de que aparezcan números decimales con una parte decimal que nunca los define totalmente porque siempre es incompleta, raíces, aproximaciones y el número ␲ hace que, a pesar de ser números muy presentes en la vida real, los perciban como algo lejano y los miren con cierto recelo. Conviene, por tanto, desmitificar este tipo de números para que no los reciban con rechazo. Así, como siempre, habrá que acercarse a los números reales desde la realidad más próxima al alumno, buscando ejemplos que le resulten familiares para a continuación distinguir los números irracionales de los racionales y observar la imposibilidad de ponerlos en forma de fracción, lo que lleva a la necesidad de trabajar con aproximaciones.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS

COMPETENCIAS BÁSICAS

1. Reconocer los números racionales y su necesidad y utilidad para representar la realidad.

1. Interpretar el significado de las fracciones, identificar fracciones equivalentes e irreducibles, y representar números racionales en la recta.

2. Realizar con los números racionales las operaciones básicas, incluida la inversa.

2. Calcular el valor de expresiones numéricas que involucren fracciones.

• Matemática

3. Comprender la clasificación de los números racionales y su expresión decimal.

3. Clasificar los racionales en exactos, periódicos puros y mixtos, y saber convertir entre fracciones y decimales.

• Cultural y artística

4. Conocer los conceptos de aproximación y error.

4. Saber aproximar números racionales y calcular el error absoluto y relativo cometido.

• Autonomía e iniciativa personal

5. Clasificar los números en racionales o irracionales y representarlos.

5. Identificar y representar números irracionales. Conocer el número y su utilidad.

• Lingüística • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital

CONTENIDOS • Números naturales y números enteros • Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles • Números racionales • Suma y resta de fracciones • Producto de fracciones • Inversa de una fracción • División de fracciones • Expresiones de los números racionales • Expresión decimal de números fraccionarios

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Unidad 1


• Expresión fraccionaria de números decimales • Aproximación de números racionales • Error absoluto y error relativo • Propagación del error • Números racionales e irracionales • Representación de los números irracionales • Un número irracional importante: ␲ • Los números reales

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos La jerarquía en las operaciones con números enteros, las reglas de los signos, los conocimientos referentes a la divisibilidad numérica: números primos, descomposición en factores primos, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. También es interesante comprobar qué idea tienen sobre el número ␲ y por qué ellos mismos, a la hora de utilizarlo, suelen preguntar: “¿Lo tomamos como 3,14 o como 3,1416?”.

2. Previsión de dificultades Dado que los alumnos ya conocen las fracciones de cursos anteriores, no es previsible que encuentren especiales dificultades en la primera parte de la unidad, excepto en las operaciones combinadas con utilización del paréntesis, donde se debe insistir en la jerarquía de las operaciones. La conversión entre la expresión decimal y la fraccionaria, por su parte, puede resultar poco intuitiva, por lo que conviene desarrollarla paso a paso e insistir en que no se trata de una mera receta. Por último, es probable que encuentren dificultades en el concepto de número irracional y en su representación exacta, puesto que no se trata de un procedimiento automático, sino que involucra una descomposición hábil del radicando. En cualquier caso, siempre es aconsejable acompañarla de la representación aproximada.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en la idea de que los números reales son la base de todos los campos de la ciencia, la técnica y la actividad social en general, y que dominar sus operaciones y aproximaciones es esencial en la vida cotidiana.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone dos actividades extraídas de la vida real (los quesitos y los significados del 0) con las que recuerda a los alumnos la utilidad cotidiana de los números naturales y fraccionarios, y los motiva para el estudio de los conceptos de la unidad. Los primeros dos epígrafes tratan los números racionales y sus operaciones, partiendo de un recordatorio de los números naturales y enteros, que ya conocen. Se establece la noción de número racional a partir de las fracciones equivalentes, y se insiste en obtener fracciones irreducibles. El epígrafe 3 presenta la conversión entre la expresión decimal y fraccionaria de un número racional, lo que permite introducir la clasificación de los racionales. Es importante detenerse para que interioricen la naturaleza de los números racionales, sin lo cual no comprenderán los irracionales.

LOS NÚMEROS NATURALES

Operaciones

ENTEROS

Expresión fraccionaria/decimal

RACIONALES

Aproximación y error

IRRACIONALES

Expresión

Representación En el epígrafe 4 se trabaja la aproximación y los errores absoluto y relativo, prestando atención al redondeo y al truncamiento. Por último, en el 5 se introducen los números irracionales y su representación. Es importante concluir la unidad definiendo los números reales y resaltando su importancia como aquellos que permiten realizar cualquier medición en la vida cotidiana, y, por tanto, su utilidad.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Fracciones. Números racionales 2.ª Operaciones con números racionales 3.ª Fracciones y decimales 4.ª Aproximación y error 5.ª Los números reales: racionales e irracionales 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje. Asimismo, con la inclusión de la actividad 75 a página completa en “Pon a prueba tus competencias”, que contiene varias lecturas de las que el alumno debe extraer información, se trabaja de forma más específica la comunicación escrita, en su vertiente de leer, procesar y sintetizar la información contenida en un texto.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a los números reales y sus operaciones, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En concreto, en la sección “Pon a prueba tus competencias” se trata el tema de las necesidades energéticas y las cantidades diarias recomendadas en una dieta equilibrada.

Competencia cultural y artística Mediante las dos actividades competenciales “El metrónomo” y “Fracciones egipcias”, se trabaja esta competencia en relación con la comprensión de las matemáticas involucradas en la música (con especial alusión a piezas clásicas), a través del descriptor conocer y utilizar de forma básica las principales técnicas de los diferentes lenguajes artísticos, y en la historia (cultura egipcia), con el descriptor tener conciencia de la evolución del pensamiento.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Competencia de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción



Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

Lingüística

Matemática

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Extrae información de varias lecturas y la emplea en la resolución de problemas reales. Actividades 71 y 72 Pon a prueba tus competencias. – Conoce los distintos tipos de números y las relaciones entre ellos. – Opera con rigor y precisión con los diferentes tipos de números. – Aplica los números racionales e irracionales a la representación de situaciones reales concretas. Toda la unidad

Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Interacción con el mundo físico

– Entiende la importancia de los sistemas de numeración para el desarrollo eficaz de la actividad científica, técnica y comercial. Desarrolla tus competencias. Actividades 7, 36 y 71

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

Expresión artística.

Conocer y utilizar de forma básica las principales técnicas, recursos y convenciones de los diferentes lenguajes artísticos.

Cultural y artística Patrimonio cultural y artístico.

Tener conciencia de la evolución del pensamiento.

– Conoce las necesidades energéticas de una persona y la cantidad diaria recomendada de cada nutriente. Pon a prueba tus competencias. – Conoce los tiempos musicales y los aplica a piezas musicales concretas. Pon a prueba tus competencias. – Conoce los sistemas de numeración históricos (ej.: egipcio) y los compara con el actual. Actividad 36 Pon a prueba tus competencias.

Innovación. Autonomía e iniciativa personal

Planificación y realización de proyectos.

Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

– Resuelve problemas no guiados que requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas.

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

En la red Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Actividad 70 – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 5, 13, 19 y 33 Pon a prueba tus competencias.


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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para la igualdad: actividad 48. • Educación ciudadana: “Pon a prueba tus competencias”, actividades 28, 71 y 75. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: – N.º 1. Divisibilidad. Números enteros Bibliográficos

– N.º 2. Números fraccionarios y decimales Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 1. Números racionales y reales • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 1: Números reales – Unidad I. Números enteros y fraccionarios – Unidad II. Números reales • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros materiales

Números racionales en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación www.e-sm.net/3esomatmrd02 • Juegos de dominó en los que se haga corresponder una fracción con otra simplificada, amplificada o el número decimal correspondiente, u operaciones con su resultado. • Cartulinas divididas en secciones sombreadas, para que los alumnos averigüen la fracción que indican y operen con ellas. • Calculadoras para realizar operaciones con fracciones. • Herramientas informáticas como WIRIS o el buscador matemático WolframAlpha.

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Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada permiten trabajar las competencias matemática y de interacción con el mundo físico, haciendo reflexionar a los alumnos sobre la importancia de las fracciones y su uso en la vida cotidiana, en situaciones tan comunes como dividir una tableta de chocolate. Podemos pedir a los alumnos que sugieran diferentes contextos en los que se usen las fracciones: – Pedir la fruta en un supermercado. – Comprar décimos de lotería. – Dar las medidas de una receta. A continuación guiaremos a los alumnos hacia situaciones donde las fracciones sean poco comunes o insuficientes, para así motivar el concepto de número decimal, tanto racional como irracional; por ejemplo:

pueden hacerlo? ¿Por qué a veces no?). Verán que a pesar de haber sacado la mitad, el número no tiene por qué coincidir, y así, uno puede haber sacado 2, y otro, 5, o 3, o los que sean. • También podemos hacer grupos de elementos homogéneos y ver qué fracción del total de la clase representan, por ejemplo, los alumnos que tienen ojos claros, o los que llevan jersey rojo, o los que tocan algún instrumento, o los que tienen licencia de piloto de helicópteros (lo que podemos aprovechar para conocer cuánto vale una fracción cuyo numerador es cero). • La realización de la actividad 6 invita a abrir un pequeño debate en el que, además de comunicarse, los alumnos puedan manifestar las posibles dificultades con los racionales que arrastren de cursos anteriores.

– Observar las puntuaciones en los Juegos Olímpicos.

7. En esta actividad se relacionan los números enteros con el mundo físico a través de un termómetro. Se puede pedir a los alumnos que busquen otros ejemplos de la vida cotidiana donde aparezcan números enteros (profundidad de un océano, botones de un ascensor, etc.).

– Medir la diagonal del aula.

ACTIVIDADES

– Medir la temperatura corporal.

Con todo ello, si logramos la participación de los alumnos en un pequeño debate, habremos conseguido que ejerciten su competencia social al tiempo que se introducen en la unidad viendo la utilidad de los números reales en la vida cotidiana.

Básicas

1 a 4, 7, 37 a 40

Medias

6, 8, 41 a 43

2. Operaciones con números racionales Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad relaciona las competencias matemática y de aprender a aprender, puesto que invita a los alumnos a reflexionar y expresar por qué hay diferentes formas de escribir un mismo número. Aquí los guiaremos para que concluyan por qué son útiles todas las representaciones. 2. En esta actividad, los alumnos encontrarán una aplicación directa de las fracciones a la vida cotidiana. Trabajamos así la competencia de interacción con el mundo a la vez que motivamos a los alumnos para la unidad. 3. Por último, en esta actividad más conceptual se invita a los alumnos a trabajar su competencia lingüística y de interacción con el mundo físico, interpretando el significado del cero en cada contexto y poniéndolo en sus propias palabras. Es interesante que busquen otras situaciones en las que el cero sea imprescindible, y se les puede preguntar cómo las resolvían en culturas antiguas en las que el cero no existía (romana, egipcia, etc.).

• Conviene detenerse el tiempo necesario en este epígrafe para que todos los alumnos entiendan y asimilen las operaciones con fracciones, ya que su dominio les facilitará la comprensión de otros conceptos: potencias con exponente fraccionario, fracciones algebraicas, proporcionalidad, geometría, probabilidad, estadística… • Normalmente les cuesta más la suma y la diferencia, y tienden a usar como común denominador el producto de denominadores. Hay que insistir en que merece la pena hallar el m.c.m. de los denominadores, pues permite usar números más fáciles de manejar y, por tanto, con menor posibilidad de errores. • Hay que insistirles en que antes de realizar cualquier operación hay que simplificar las fracciones siempre que sea posible. • Al realizar operaciones combinadas, los alumnos suelen olvidar con facilidad el orden de operaciones, por lo que es interesante repetírselo frecuentemente, incluso dejarlo escrito en una esquina de la pizarra los primeros días. 1) ( ), [ ] 2) Potencias

1. Fracciones. Números racionales • Antes de empezar, conviene recabar información de la idea que tienen los alumnos sobre lo que es una fracción. Puede ser interesante usar la etimología de la palabra fracción y su relación con fractura. • Otra forma de ir entrando en materia de un modo relajado y lúdico es, por ejemplo, hacer que los alumnos saquen de sus estuches la mitad de sus bolígrafos, lápices o pinturas (o la tercera parte o la quinta… ¿Siempre

3) Producto, división 4) Suma, resta Asimismo, es importante recordar las reglas de los signos. • Cuando alcanzan cierta destreza, puede ser necesario frenarles un poco, porque algunos alumnos tienden a saltarse pasos o a hacer dos o tres operaciones a la vez, con lo que aumentan los errores. ¡Se trata de hacer el ejercicio bien, no de acabar primero! Números racionales e irracionales

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Sugerencias didácticas

• Se puede utilizar la actividad 15 para contextualizar las fracciones de una forma intuitiva. Una extensión natural es pedir a los alumnos que traigan recipientes de diferentes capacidades (latas, botellas, tetra briks, etc.), realicen la actividad a priori sobre el papel, y luego la comprueben experimentalmente.

• Se debe insistir en la cuestión de la propagación del error: ¿es más preciso sumar y redondear, o redondear y luego sumar? Se puede trabajar en la actividad 28 y luego extender a otros ámbitos, como los repartos, donde los porcentajes a menudo no suman exactamente 100% a causa del redondeo.

ACTIVIDADES

ACTIVIDADES

Básicas

9 a 12, 44 a 46

Básicas

23 a 26, 60 y 61

Medias

14, 15, 47 a 49

Medias

27 y 28

3. Fracciones y decimales • Antes de empezar a convertir fracciones en números y números en fracciones, podemos detenernos un momento en explicar que el nombre de números racionales se debe a que, en efecto, son números que reflejan la razón o cociente de dos números. • A continuación empezaremos por el paso de fracción a número. Los alumnos deben ver que no siempre da un resultado exacto. • Por último, haremos el camino inverso: el paso de número a fracción. Es una transformación más difícil, sobre todo con decimales periódicos, pero si se explica detenidamente lo que persigue el proceso (eliminar la parte decimal) y cómo se consigue, los resultados suelen ser mejores. • Se puede aprovechar la actividad 21 para que los alumnos sean conscientes de la presencia inevitable del redondeo o truncamiento en la calculadora. Con ello se trabaja esta herramienta y se facilita un breve debate en el aula que ayuda a comprender los números decimales ilimitados.

ACTIVIDADES Básicas

16 a 18, 50 a 57

Medias

20 a 22, 58

Altas

59

4. Aproximación y error • Recordar cómo se aproxima: “Si la cifra siguiente a la que queremos aproximar es 0, 1, 2, 3 ó 4, la cifra a aproximar se queda como está (aproximación por defecto), y si es un 5, 6, 7, 8 ó 9, se le suma una unidad a la que queremos aproximar (aproximación por exceso)”. Es más difícil de explicar que de hacer. • Hay que advertirles de que las calculadoras aproximan igual que lo podemos hacer nosotros, lo cual se les puede demostrar dividiendo 2 entre 3 y viendo que la última cifra no es un 6, como las anteriores, sino un 7, debido a la aproximación. Es decir, hasta las calculadoras cometen un pequeño error. • Por otra parte, hay que cuantificar el error cometido, para lo cual se utiliza el concepto de valor absoluto, y es también interesante que se den cuenta de la utilidad del error relativo como forma para comparar errores entre magnitudes y mediciones diversas. 8

Unidad 1


5. Los números reales: racionales e irracionales • A partir de los números racionales podemos hacerles ver la existencia de otros números decimales cuya parte decimal no sigue ninguna lógica ni periodicidad y, por tanto, no podemos expresarla en forma de fracción. • La realización de las operaciones con números reales requiere que los alumnos sean capaces de clasificar estos con rapidez para poder determinar el método que van a emplear (forma fraccionaria o forma decimal) en su ejecución. • Por otra parte, este apartado permite valorar las aplicaciones del dibujo a las matemáticas. El tener que trabajar con regla, escuadra, cartabón y compás termina siendo muy entretenido, ya que permite abandonar momentáneamente el cálculo. Por tanto, hay que favorecer este tipo de actividad siempre que se pueda. • A los alumnos suele resultarles chocante y curiosa la forma de representar un número periódico y, por tanto, con infinitos decimales, ya que el concepto de infinito les parece imposible de plasmar gráficamente, y es una buena manera de que vean la utilidad de la expresión fraccionaria. 36. Más allá de los cálculos matemáticos, esta actividad se puede aprovechar para trabajar distintas competencias: – Cultural, si se profundiza en la historia del número y sus aproximaciones en varias civilizaciones. – De interacción con el mundo físico, si se utiliza para recordar las nociones de Ecuador, paralelo y meridiano, y dar una idea de la dimensión de la Tierra comparada con las distancias cotidianas del alumno.


29 a 32, 34, 62 a 66

Medias

35 y 36

Altas

67

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.


En particular, las actividades 68 a 72 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas. 71 y 72. En estas actividades se pretende que el alumno lea con detenimiento los textos, extraiga de ellos la información útil para la resolución del problema, la interprete y la aplique, trabajando así la comprensión lectora. Se puede extender la actividad 71 pidiendo a los alumnos que traigan noticias reales de prensa y propongan problemas sobre ellos a sus compañeros, trabajando así tanto la iniciativa como el trabajo en equipo.

Pon a prueba tus competencias 73. Con esta actividad, aparte de la matemática, trabajamos la competencia cultural y artística. Es una buena oportunidad para explicar muchos conceptos musicales y cómo se relacionan con las matemáticas: qué es un metrónomo, una negra, un compás y los diferentes tempos musicales. Puede ser muy interesante llevar una partitura y hacer una breve audición del Vals del minuto. De este modo, los alumnos pueden ver una aplicación muy directa de las fracciones, al tiempo que entran en contacto con la música clásica y con conceptos de otras materias. 74. Desde el punto de vista matemático, en esta actividad se pretende que los alumnos adquieran soltura con el manejo de las fracciones en un contexto en cierto modo lúdico, dado que los símbolos antiguos siempre tienen un atractivo para ellos. No obstante, desde el punto de vista cultural, se puede aprovechar para que los alumnos investiguen los sistemas de numeración de otras civilizaciones y realicen un breve análisis comparativo con el nuestro. ¿Cuál es más sencillo? ¿Qué ventajas aportaba uno sobre otro? Además, si se desea plantear una pequeña actividad en grupo o por parejas, se les puede pedir que escriban operaciones con fracciones más complejas en notación egipcia y las intercambien, para que sus compañeros intenten averiguarlas. 75. Esta actividad se plantea a página completa por su abundancia en contenidos, y nos permite trabajar varias competencias básicas. Por una parte, las tres breves lecturas requieren que el alumno ejercite su competencia lingüística para interpretar el texto y extraer de él la información relevante para resolver los problemas que se plantean.

Es interesante que observen que la lectura inicial no contiene datos para las cuestiones matemáticas, pero que sean capaces de valorar su interés cultural y lo relacionen con otras áreas y sean capaces de responder a preguntas como: “Por tanto, ¿se tomaba cacao en Europa en la Edad Media?”. Por otra parte, la actividad trabaja la competencia de interacción con el mundo físico en su vertiente de conocimiento del cuerpo humano. Se trabaja la información nutricional, las necesidades energéticas y el concepto de cantidad diaria recomendada. En este sentido, la actividad se puede extender pidiendo a los alumnos que traigan de casa la etiqueta del producto que desayunan (galletas, cereales, etc.), que analicen su aporte energético y en qué medida cubre sus necesidades diarias, y que concluyan qué alimentos son mejores. De este modo, al tiempo que realizamos cálculos con números racionales podemos enseñar a los alumnos a leer las etiquetas de los alimentos y valorar en qué medida son saludables.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.


Unidad 1

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Actividades de refuerzo Unidad 1


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es interesante que los alumnos vean la presencia de las fracciones a su alrededor, ya que prefieren trabajar con los números racionales en vez de con su expresión fraccionaria. Evidentemente, en muchas ocasiones es más cómodo hacerlo así, pero en otras es necesario saber manejarse con la fracción. Otras veces, los términos fraccionarios son tan frecuentes que no se dan cuenta de que los están utilizando y no son muy conscientes de su significado. En esta unidad también se completa el estudio de los números reales, y hay que intentar que no tengan miedo de los irracionales y que los traten con la misma familiaridad con que lo hacen con los números enteros. En un sentido más operativo hay que tener en cuenta que: • Normalmente no les cuesta mucho descomponer un número en sus factores primos, por lo que deberíamos aprovechar para utilizarlo en la simplificación y en las operaciones con fracciones. • Estos alumnos pueden llegar a alcanzar cierta destreza mecánica en la resolución de operaciones con fracciones, pero les resulta muy fatigoso y frustrante cuando deben enfrentarse a un problema, por lo que estos deberán ser muy simples e inspirados en situaciones que les puedan resultar próximas. • Después de resolver un problema, hay que repasarlo. Al menos deberían ser capaces de reflexionar si el resultado logrado tiene sentido o no.

ACTIVIDAD DE GRUPO Representación de fracciones rayando cuartillas Cogemos una hoja de papel cuadriculado del mismo tamaño para todos (por ejemplo, una cuartilla; por cierto, ¿quién sabe por qué la hoja de ese tamaño se llama cuartilla?) y vamos pasando uno por uno, rayando una parte del papel. La zona rayada será inicialmente muy simple (1), y luego les preguntaremos qué fracción del papel se ha rayado. A medida que todos vayan descubriendo su parte rayada, iremos rayando en nuevas cuartillas zonas cada vez un poco más complicadas: (2) y (3). 1)

2)

3)

La solución dependerá de la zona rayada, pero con ayuda de la cuadrícula pueden contar los cuadraditos de la zona rayada (numerador) y de la cuartilla (denominador), y así obtener la fracción buscada. En los casos más difíciles habrá que ir completando cuadraditos o incluso hacer pequeñas aproximaciones como en la figura 3. Después, si es posible, deberán simplificar la fracción resultante.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 4; 7; 10 2. 15; 5; 15 3. 250 g; 1750 g; 250 + 125 = 375 g 4. Porque un litro es un dm3, es decir, 1000 cm3; por tanto, medio litro serán 500 cm3 (o cc). 5. 8; 5; sí, porque un cuarto de tarta son 2 trozos, y han quedado tres. 3 2 7. Juan: 0,5 s; Ana: 0,6 s; Javier: 0,3 s; Daniela: 0,2 s 6.

8. Por ejemplo: 3,4334433344433334444… 9. La frase es: “NO SE PUEDEN SIMPLIFICAR”.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1


1. ¿Cuántos cuartos de hora hay en una hora? ¿Y en una hora y tres cuartos? ¿Y en dos horas y media? 2. ¿Cuántos minutos son un cuarto de hora? ¿Y un doceavo de hora? ¿Y tres doceavos de hora? 3. ¿Cuántos gramos de jamón te pondrían si pidieses en una charcutería un cuarto de kilo? ¿Y si pidieses un kilo y tres cuartos? ¿Y si pidieses cuarto y mitad? 4. ¿Por qué en motociclismo la categoría de 500 centímetros cúbicos se llama “del medio litro”? 3 de tarta sin comer. ¿En cuántos trozos se 8 dividió la tarta? ¿Cuántos trozos se han comido? Andrés tenía la intención de llevar a su abuela un cuarto de la tarta con lo que le ha quedado. ¿Puede hacerlo?

5. Después de la fiesta de cumpleaños de Andrés han quedado

6. Simplifica la siguiente fracción: 120 = 80 Indicación: para simplificar una fracción puedes descomponer numerador y denominador en sus factores primos y simplificar todos los que se puedan. Por ejemplo: 240 2/ ⋅ /2 ⋅ /2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5/ 2⋅3 6 = = = / / / / 200 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅5 ⋅5 5 5 7. Cuatro amigos van a ver una carrera de 400 metros en la que compite un amigo suyo. Los cuatro deciden cronometrarle y obtienen los siguientes resultados: Juan, 46,3 segundos; Ana, 47,4; Javier, 46,5, y Daniela, 47 segundos exactos. El cronometraje oficial fue de 46,8 segundos. ¿Qué error absoluto cometió cada uno? 8. Seguro que sabes hacer un número irracional; al fin y al cabo, solo se trata de poner una coma, y luego, un número indefinido de cifras a lo loco. ¿Serías capaz de escribir un número irracional utilizando solo el 3 y el 4? 9. Sigue la pista de las fracciones irreducibles para responder a la siguiente pregunta:

2 _ 3 N

3 _ 8 O

5 _ 6 __

1 _ 4 S

6 _ 9 L

2 __ 12 V

3 _ 6 P

4 __ 16 O

10 __ 15 A

2 _ 9 E

5 _ 9 __

4 _ 7 P

8 __ 15 I

2 _ 5 S

5 __ 12 __

4 _ 6 R

4 __ 12 T

1 __ 10 U

11 __ 20 M

4 _ 8 E

3 _ 4 N

9 __ 20 E

1 _ 9 D

3 _ 5 E

1 _ 2 P

13 __ 15 L

2 __ 12 O

9 __ 24 J

5 __ 15 R

3 _ 9 O

8 _ 4 M

5 _ 8 I

2 __ 15 F

1 _ 3 I

4 _ 5 C

9 __ 13 A


Página fotocopiable

¿Qué les ocurre a las fracciones irreducibles?

Unidad 1

11

Actividades de ampliación Unidad 1


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Las siguientes actividades exigen al alumno un plus de esfuerzo, en algunos casos, intelectual; en otros, de búsqueda de información, también de imaginación o de coordinación con sus compañeros. A veces se aprovechan estas actividades para profundizar en temas transversales, interdisciplinares, o sencillamente para que investiguen aspectos curiosos relacionados con la unidad. Sería interesante que, como sugieren las actividades de investigación, busquen el porqué de algunas expresiones fraccionarias de uso común como forma de relacionar conocimientos teóricos y prácticos. Es importante que estos alumnos de mayor capacidad y que, en muchos casos, pueden dirigir sus pasos hacia el bachillerato, adquieran suficiente fluidez y soltura en el manejo de fracciones, números decimales racionales e irracionales, así como en las aproximaciones y cálculos de error, ya que les van a acompañar durante mucho tiempo.

ACTIVIDADES DE GRUPO Investigar las fracciones Para investigar individualmente o en pequeños grupos y exponer luego al resto de la clase: • Acércate a una administración de lotería o mira un décimo… ¿Por qué se llaman décimos los billetes de lotería? En el margen derecho verás que pone la serie, la fracción y el precio del billete. ¿A qué se refiere esa fracción? • Siguiendo con la etimología de fracción, se ha puesto de moda en los últimos años el estudio de los fractales. ¿Tiene algo que ver con las fracciones que has estudiado? • ¿Qué eran los tercios de Flandes? ¿A qué se le llama actualmente y en terminología castrense “el Tercio”? Y sin salirnos del ámbito militar, ¿qué son o qué eran los quintos y por qué se llamaban así? • ¿Qué es el tercio de varas? ¿Por qué recibe ese nombre? • ¿Qué son los “cuartos de final” en las competiciones deportivas? • ¿Qué es un mediador? ¿Se te ocurren más términos relacionados con las fracciones? ¡Búscalos! ¡Estamos rodeados! El número cordobés Hay números irracionales emboscados en cualquier ámbito del conocimiento, y aunque los de origen griego son los más famosos (π y φ), nosotros también contamos con un curioso número irracional. El mérito hay que dárselo al antiguo califato de Córdoba, y el número se llama “número cordobés”, pero… ¿qué es? ¿Dónde podemos verlo? Para investigar en grupos de dos o tres y ponerlo en común con el resto de la clase.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 2. 15 manzanas

f) Bar-restaurante: 1056 m2; libros: 132 m2; música: 132 m2

3. La misma cantidad

g)

1. 25, sin contar el 0 y el 1, que no son números primos.

4. 122,88 m 5. Soluciones a los grandes almacenes: a) 13 200 m2 2 1 = . Dos décimos, es decir, un quinto. b) 10 5 c) 2640 m2 d) 132 m2 e) 880 m2

2 1 de la planta o del edificio; en cualquier caso, 15 75 176 m2

h) 440 m2 i) Sí es posible;

2 ; 176 m2; la ferretería. 15

6. Por ejemplo: Racionales: 5,3 y 5,677777777… Irracionales: 5,1234567891011… y 5,010020003000… 7. Por ejemplo: 8 y 2

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 1



ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1


1. Ya sabes que para trabajar con fracciones es muy útil la descomposición en factores primos, pero ¿sabes cuántos números primos hay entre el 0 y el 100? 2. Un vendedor ambulante lleva una cesta de manzanas. En la primera casa que visita vende la mitad de las manzanas que lleva más media manzana. En la segunda, la mitad de las que le quedaban más media manzana, y lo mismo ocurre en la tercera y cuarta casa, con lo que después de esta cuarta visita se le agotan las manzanas. Teniendo en cuenta que en ningún momento parte ninguna manzana, calcula el número de manzanas que llevaba en la cesta. 3. En una copa de cristal, A, tenemos 100 mililitros de agua, y en otra, B, 100 mililitros de vino. Con una cucharilla pasamos 10 mililitros de A a B, y a continuación, 10 mililitros de B a A. ¿Hay ahora más agua en el vino o más vino en el agua? 4. Una bola de goma se deja caer desde 300 metros de altura. Después de cada bote que da en el suelo se 4 vuelve a elevar de la altura del bote anterior. ¿Qué altura alcanzará a continuación del cuarto bote? 5 5. La imagen muestra el directorio de unos grandes almacenes. Sabiendo que cada planta ocupa una superficie de 1320 metros cuadrados, responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Cuál es la superficie total de los grandes almacenes? b) ¿Qué parte de la superficie total ocupan los aparcamientos?

PLANTA

6ª Almacén general

PLANTA

c) ¿Qué superficie está dedicada a aparcamientos?

5ª Libros-música / Bar-restaurante

PLANTA

d) Si por ley hay que reservar una veinteava parte de dicha superficie a vehículos para minusválidos, motocicletas y vehículos especiales, ¿cuánta superficie les corresponde?

4ª Hogar / Ferretería

PLANTA

3ª Moda infantil y juvenil 2ª Moda caballero

PLANTA

e) El supermercado ocupa los dos tercios del primer sótano. ¿Qué superficie ocupa? f) El restaurante y el bar ocupan cada uno las dos quintas partes de la quinta planta. El resto de la planta lo ocupan a partes iguales el departamento de libros y el de música. ¿Qué superficie ocupa cada una de las tres zonas (bar-restaurante, libros y música)? g) La ferretería ocupa un tercio de las dos quintas partes de la cuarta planta. Expresa su superficie mediante una fracción. ¿Cuál es la superficie de la ferretería?

PLANTA

1ª Moda señora 0 Complementos / Perfumería

s1 Supermercado / Limpieza s2 Aparcamiento s3 Aparcamiento

h) La moda juvenil supone las dos terceras partes de la planta tercera. ¿Qué superficie corresponde a moda infantil? i) Se va a trasladar el almacén general a una nave industrial en las afueras, y su espacio en la sexta planta se quiere destinar a moda juvenil, libros y música, de manera que cada departamento mantenga su superficie. ¿Es posible? Si es así, ¿qué parte de la planta queda libre? ¿Cuánta superficie es? ¿Se podría poner algún otro departamento manteniendo la superficie del mismo?

7. Halla dos números irracionales tales que, al dividir uno entre otro, se obtenga un número racional.


Unidad 1


6. Escribe dos números racionales y dos irracionales que estén situados entre el 5 y el 6.

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 1


APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. De un depósito de 90 litros se sacaron las dos terceras partes, y al día siguiente, la mitad de lo que se había dejado. ¿Qué cantidad de agua queda todavía?

2. En una granja hay 25 vacas, 10 palomas, 5 perros, 50 ovejas, 25 cerdos y 65 gallinas. Expresa mediante una fracción la parte que suponen las aves respecto del total, y la que suponen las palomas respecto a las aves. 3. Escribe dos fracciones amplificadas, dos simplificadas y la fracción irreducible de 4. Simplifica las siguientes fracciones hasta llegar a su forma irreducible:

80 . 120

18 15 36 , , . 45 40 144

5. A continuación tienes varias fracciones. Represéntalas en forma numérica o gráfica. Ordénalas de mayor a menor. a)

b)

c)

d)

1 _ 5

6. Expresa en forma de fracción los siguientes números: 1,66666…, 2,232323… y 7,0898989… 7. Juan, Ana, Pedro y María quieren hacer una donación a una ONG de ayuda al Tercer Mundo. Juan da los dos tercios de sus ahorros, Ana, las tres quintas partes de los suyos; Pedro, la mitad de lo que tiene, y María, cinco octavos de lo que había ahorrado. Si todos tenían el mismo dinero guardado, ordénalos de más a menos generoso. ¿Podría haber dado alguno las seis quintas partes de su dinero? ¿Por qué? 8. Calcula:

1 2 3 1 + − ⋅ = 3 5 4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 9. Calcula: ⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 1 + 3 ⎟⎟⎟ : 6 = ⎜⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ 5 4 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 6


10. Juan estimó que la altura de una casa era de 12 metros. Tras preguntar al propietario, este le dijo que solamente medía 10,85 metros. ¿Qué error absoluto y relativo cometió Juan en su estimación? ¿Fue un error por exceso o por defecto?

14

11. Luis ha comprado 8 kilogramos de melocotones para hacer mermelada. Al pelarlos y deshuesarlos pierde la cuarta parte de su peso. Después añade la tercera parte de lo que pesa en ese momento de azúcar y lo pone a cocer al baño María todo junto. Si lo deja cocer hasta que se reduce a la cuarta parte, ¿qué cantidad de mermelada obtendrá? 12. Representa el número 13 en la recta de los números reales.

Unidad 1


Propuesta de evaluación Unidad 1


SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. 15 L 2. a) Aves respecto del total:

5 12

b) Palomas respecto a las aves: 3. Amplificadas: 4. a)

2 15

240 120 80 16 8 2 . Simplificadas e irreducible: ; = = = 360 180 120 24 12 3

18 2 = 45 5

b)

15 3 = 40 8

5. Las fracciones b, c y d representan

c)

36 1 = 144 4

1 1 7 , y . 4 3 8

El orden es: d > c > b > a. 6. 166666 , ... =

5 3

2,232323... =

221 99

7,0898989... =

7019 990

7. Juan, María, Ana y Pedro. No podrían dar las

6 partes de su dinero porque eso supondría dar más dinero del que 5

tienen. 8.

43 120

9.

11 12

10. Error absoluto: 1,15. Error relativo: 0,10599 (10,6%). Fue un error por exceso. 11. 2 kg de mermelada 12.

2

13

1

2

3


0

1

13


Unidad 1

15


U N I DA D

2

3

ESO

Potencias y raíces

CONTENIDO


7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *(También podrás encontrarla en el CD Programación.)


Potencias y raíces

Los alumnos ya conocen de cursos anteriores el concepto de potencia y raíz cuadrada, y la forma de resolverlas; también conocen algunas de las propiedades de las potencias. En esta unidad se va a ampliar su conocimiento de las propiedades mediante las operaciones tanto con potencias como con raíces. De entrada, es importante que sean conscientes de que no se trata de resolver las potencias ni las raíces que aparezcan, aunque ocasionalmente sí lo hagamos, sino de operar con ellas. Al igual que en la primera unidad no tratábamos de resolver las fracciones, pero éramos capaces de sumarlas, restarlas, multiplicarlas…, ahora haremos lo mismo con las potencias y las raíces. Dado que las raíces se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario, conviene recordar, aunque estos conceptos estén recientes, las operaciones con fracciones. Para ello es muy útil el apartado “Síntesis de la unidad”, ya que permite un repaso rápido de lo fundamental. La unidad nos aproxima además, en la parte de matemáticas aplicadas, a una de las mayores utilidades de las potencias, como es la notación científica. Como su nombre indica, este tipo de notación se utiliza no solo en matemáticas, sino en todas las ramas del conocimiento científico, por lo que una buena asimilación de estos conceptos facilitará el trabajo en otras áreas. En esta unidad se ve muy claramente cómo en matemáticas existen distintos caminos para llegar a una única solución. Es una buena forma de experimentar la diversidad en el modo de razonar de nuestros alumnos.

OBJETIVOS


1. Recordar la noción de potencia y conocer las operaciones con potencias.

1. Mostrar precisión y soltura en las operaciones con potencias, incluyendo las de base negativa.

2. Comprender las potencias de exponente entero, en particular las negativas.

2. Calcular el valor de expresiones con potencias negativas y cero, incluso cuando la base es racional.

3. Conocer la notación científica y su utilidad en la expresión de números muy grandes y muy pequeños.

3. Expresar números en notación científica y operar con ellos.

4. Conocer la noción de raíz y su número de soluciones.

4. Calcular raíces exactas y no exactas, y su número de soluciones.

5. Ser capaces de realizar las operaciones básicas con raíces.

5. Calcular el valor de expresiones que contengan raíces.


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Noción de potencia • Potencias de base negativa • Operaciones con potencias • Potencias de exponente 0 • Potencias de exponente negativo • Potencias de base 10 • Números grandes y números pequeños: la notación científica • Operaciones en notación científica

2

Unidad 2

Potencias y raíces

• La noción de raíz. La raíz enésima • Raíces exactas y no exactas • Número de soluciones de una raíz • Raíz de un producto • Raíz de un cociente • Potencia de una raíz • Raíz de una raíz • Simplificación de raíces


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Se deben recordar las propiedades de las potencias, potencias de exponente 1 y 0, raíces cuadradas y sus propiedades, que ya conocen de cursos anteriores. También es interesante repasar muy rápidamente, puesto que lo han visto hace poco, las operaciones con fracciones. Por otra parte, puede ser útil recordar la jerarquía de las operaciones y la descomposición en factores primos, ya que la transformación de un número en producto de factores elevados a distintos exponentes puede facilitar los cálculos.

2. Previsión de dificultades La noción de potencia ya es conocida por los alumnos, de modo que su extensión y manipulación en principio no debería plantear grandes dificultades. No obstante, la notación científica y las operaciones con ella pueden plantear algunos problemas: hay que insistir en que no pierdan de vista que la parte decimal debe estar entre 1 y 10 en todo caso. Por último, aunque la noción de raíz les será familiar, las operaciones con radicales requieren un nivel de abstracción que puede no estar al alcance de todos los alumnos. Por ello se debe valorar la profundidad con que se imparte este contenido en función del nivel de la clase.

3. Vinculación con otras áreas En esta unidad, la notación científica permite una vinculación inmediata con otras materias. No hay que buscar su utilidad tanto en las propias Matemáticas como en otras asignaturas del área científica. Así, en Física es imprescindible este tipo de notación para medir distancias en el universo; en Química es fundamental para trabajar con átomos y moléculas, y en Biología, para poder hacer recuentos celulares, por ejemplo.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con la sección “Desarrolla tus competencias”, donde se proponen tres actividades que llevan a la intuición de potencia a través de diferentes conceptos: una huerta, las células y el cubo de Rubik. Con ello se pretende introducir y motivar al alumno para los contenidos que se trabajarán en la unidad. Los primeros dos epígrafes presentan las potencias y sus operaciones, incluyendo los casos de base o exponente negativos. Es probable que los alumnos ya conozcan la mayoría de los conceptos de cursos anteriores. Sin embargo, es útil insistir en las demostraciones para que comprendan los conceptos y no solo los memoricen. En el epígrafe 3 se presenta la notación científica, que por su aplicación práctica y a otras ciencias resulta oportuna para motivar a los alumnos. Los epígrafes 4 y 5 trabajan el concepto de raíz, que los alumnos ya conocen, pero se relaciona con las potencias y se explican sus operaciones, y se expone el porqué del número de soluciones de las raíces. Se aportan numerosos ejercicios para que dominen con soltura las operaciones con raíces, ya que son una herramienta básica.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 7 sesiones:

POTENCIAS

RAÍCES

SIGNIFICADO ELEMENTOS

Base y exponente

Índice y radicando

OPERACIONES NOT. CIENTÍFICA

1.ª Potencias 2.ª Potencias de exponente entero 3.ª Notación científica 4.ª Raíces 5.ª Operaciones con raíces 6.ª Actividades de consolidación y de aplicación 7.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Potencias y raíces

Unidad 2

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada a las potencias, las raíces y sus operaciones, se trata de una unidad instrumental, de modo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de todas las unidades se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En esta unidad en particular, no obstante, esta competencia se hace especialmente relevante a causa de la presencia de la notación científica, que dispone de una amplia variedad de aplicaciones en todos los campos. Se ha optado fundamentalmente por dos: la biología (división de células y conteo de glóbulos rojos), trabajando así el conocimiento del cuerpo humano, y la astronomía (conocimiento del sistema solar, las estrellas y las distancias interplanetarias), para conocer y manejar el lenguaje científico en este contexto.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en esta unidad se utilizan las potencias para comprender las unidades fundamentales de información digital (bits y bytes), con lo que se incide especialmente en conocer los distintos soportes de información. Por otra parte, en la sección “Pon a prueba tus competencias” se trabaja la interpretación de tablas y gráficos, y con ello la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.



Competencia de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 2

Potencias y raíces



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Matemática



– Conoce las potencias y las raíces, y su interrelación. – Opera con rigor con potencias y raíces. – Conoce la notación científica y su aplicación práctica. – Aplica las raíces y potencias a la resolución de problemas reales concretos. Toda la unidad

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Calcula y expresa adecuadamente cantidades muy grandes o muy pequeñas del entorno mediante la notación científica. Desarrolla tus competencias. Actividades 19, 20, 50 y 51 Pon a prueba tus competencias.

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Conoce y comprende la división celular desde el punto de vista matemático. – Conoce la composición de la sangre, la proporción de cada tipo de célula y el hematocrito, y sus valores saludables. Desarrolla tus competencias. Pon a prueba tus competencias.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red Actividad 64 – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 18, 25 y 36 Pon a prueba tus competencias.

Conocer los distintos canales y soportes de información.

– Comprende la definición de las unidades bit y byte, y utiliza las potencias para manejarlas. Actividad 61

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Interpreta información contenida en tablas y gráficos y la emplea correctamente en la resolución de problemas. Actividades 50, 63 y 64

Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Tratamiento de la información y competencia digital

Autonomía e iniciativa personal


Innovación.

Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras.


Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.


Potencias y raíces

Unidad 2

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación medioambiental: “Entrada”, actividades 50 y 51. • Educación para la convivencia: “Desarrolla tus competencias”, “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: Bibliográficos

– N.º 2. Números fraccionarios y decimales Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 2. Potencias y raíces • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 1: Números reales – Unidad III. Potencias y raíces • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros

Potencias de exponente entero y notación científica en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd03

Otros materiales

• Calculadoras para realizar operaciones en notación científica y manejar potencias y raíces. • Hojas de cálculo para ver los diferentes tipos de números que se pueden utilizar, reconociendo la notación científica como uno de ellos. • Animaciones para comparar el tamaño de partículas: www.e-sm.net/3esop04. • Vídeos para comprender las potencias y el orden de magnitud: www.e-sm.net/3esop05. • Herramientas informáticas como WIRIS o el buscador matemático WolframAlpha.

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Unidad 2

Potencias y raíces

Sugerencias didácticas Entrada La entrada está concebida para relacionar las matemáticas con algunos fenómenos de la naturaleza en los que surge de manera inmediata el concepto de potencia, como el crecimiento de los nenúfares. Podemos pedir a los alumnos que piensen en otras situaciones donde aparezcan las potencias, preguntándoles: “¿Qué cosas se duplican, triplican, etc. cada cierto tiempo?”. Por ejemplo: – Las poblaciones de bacterias.

• Por otra parte, muchos alumnos se aprenden las operaciones de memoria, sin ningún razonamiento lógico, lo cual va en contra de uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas a cualquier nivel. Deberemos aprovechar estas demostraciones para que se acostumbren a pensar y no creerse las cosas “porque sí”. • Por último, es importante realizar la actividad 4, tanto para que los alumnos sepan manejar potencias con la calculadora como para que conozcan la notación informática del circunflejo (^) como operador de potencia, que se utiliza en muchos programas (por ejemplo, Excel).

– La división de las células en la formación de un embrión.

ACTIVIDADES

– Las ramas de un árbol, si de cada rama salen otras dos (o tres, o cuatro…).

Básicas

1 a 4, 37 a 41, 43 y 45

Medias

44, 46 y 48

A continuación podemos preguntarles cómo evolucionaría la población del mundo si cada pareja tuviera exactamente dos hijos, y después, ver cómo cambia este comportamiento si el número de hijos es 3 ó 1.

Altas

5, 6 y 49

2. Potencias de exponente entero

Con esto pretendemos motivar al alumno para que vea la utilidad de esta herramienta matemática, que en este curso ya debe conocer, y se introduzca en la unidad.

• Al igual que en el epígrafe anterior, estos contenidos probablemente ya serán conocidos por los alumnos.

Desarrolla tus competencias

• De nuevo, debemos insistir en que comprendan las demostraciones y no se limiten a aplicar las propiedades aprendidas de memoria.

1. Esta actividad está concebida como medio para evaluar en qué medida los alumnos dominan la noción básica de potencia. Desde el punto de vista competencial, permite evaluar si son capaces de interpretar una situación cotidiana y expresarla en términos de potencias.

• Es importante que les hagamos comprender que estas propiedades se aplican a cualquier tipo de número (natural, entero, racional o real), porque tienden a quedarse en los enteros y a menudo se bloquean cuando las ven aplicadas a fracciones o a números decimales.

2. La realización de esta actividad permite que los alumnos relacionen tres conceptos de distintos ámbitos: uno natural (la división celular), otro de representación (los diagramas de árbol) y el matemático (las potencias). Es muy interesante que trabajen el problema inverso, y extenderlo al cuerpo humano. Podemos darles el dato de que sus propios cuerpos tienen unas 1014 células, preguntarles cuántas divisiones se realizaron para formarlos y (sin darles la noción de logaritmo) valorar las estrategias de tanteo que utilizan para manejar un número tan grande. Se les puede dar la pista de que 210 es aproximadamente 103. Con esto trabajan la competencia de aprender a aprender, puesto que deben inventar estrategias para suplir herramientas matemáticas que formalmente aún no tienen, y al tiempo recuerdan conceptos de biología como la división celular. 3. Esta breve actividad aprovecha las potencias para trabajar la visión espacial. Podemos extenderla pidiendo que imaginen que se recubre el cubo con otra capa de cubitos, y luego otra, y que encuentren la regularidad usando potencias. Manipular un cubo de Rubik real puede ser muy útil para esta actividad.

1. Potencias • Las demostraciones de las propiedades son muy sencillas, y su explicación refuerza el aprendizaje de las mismas; es, por tanto, muy interesante su realización.

• La actividad 14 puede aprovecharse para que vean una aplicación de las potencias de exponente entero relacionada con la música y, en cierto sentido, con los códigos, lo que suele llamar su atención. Trabaja tangencialmente la competencia cultural y artística, y se puede extender fácilmente a la lectura matemática de algunos compases de una partitura. • Asimismo, la actividad 47 contiene un apartado para que se atrevan a generalizar a variables (a, b, c, d), lo que supone un nivel de abstracción un punto superior, y hay que valorar si es oportuno pedirlo en función de la capacidad de la clase y de cada alumno.


7 a 11, 42

Medias

47

3. Notación científica • Es importante aprovechar la introducción del concepto de potencia y sus operaciones para dar a conocer a los alumnos la notación científica. Deben ver esta como una herramienta cuya utilidad se basa en la combinación de las propiedades de los números reales y las potencias. • La realización de gran número de operaciones servirá de entrenamiento para las asignaturas de Ciencias Naturales (Física, Química, Biología y Geología) que utilizan a menudo esa notación. Potencias y raíces

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• Además, la notación científica tiene un campo de aplicación tan amplio que merece la pena aprovecharla para motivar a los alumnos con ejemplos de otras materias y de la realidad cotidiana. En este sentido, merece la pena entrar en las páginas sugeridas “En la red”, dado que resultan muy ilustrativas y amenas. 19. Con esta actividad, los alumnos pueden adquirir conciencia de cómo números enormes se pueden expresar con muy pocas cifras. Constatar que la calculadora tendría que ser aún 1070 veces más grande que el diámetro del universo debería impactarles y darles una idea de la potencia de la notación científica. 20. En el otro extremo, con esta actividad podemos dar una medida de magnitudes muy pequeñas, y de paso introducir la noción de micrómetro y relacionar la unidad con otras materias. Antes de realizarla, podemos pedirles que intenten adivinar y sobre todo expresar cuántas veces es mayor un ser humano que una bacteria, y después contrastar sus predicciones. Incidentalmente, podemos trabajar aún más la competencia de interacción con el mundo físico y la transversalidad de las materias preguntándoles, por ejemplo, qué es una mitocondria o qué rango de tamaños son observables con un microscopio de 2000 aumentos. 50. Con esta actividad relacionamos la notación científica con el tamaño de los continentes. Aparte de la interpretación de los gráficos (competencia digital), las extensiones competenciales de esta actividad son múltiples y permiten tocar temas como la geografía, la demografía o incluso las desigualdades norte-sur. Así, podemos: – Traer dos mapamundis con diferentes proyecciones cartográficas (por ejemplo, Peters y Mercator), comparar la superficie aparente de Europa y África en cada una, y después verificar cuál es más realista de acuerdo con los datos de la actividad. Esto puede dar pie a un debate sobre qué proyección es más realista o “políticamente correcta”. – Pedir a los alumnos que encuentren el número de habitantes de cada continente y calculen la densidad poblacional. Obtenidos los resultados, se les puede preguntar: ¿por qué en Asia la densidad es de solo 91 personas/km2 mientras que en Europa llega hasta 102, si en China es de 141 y en la India es nada menos que de 397, si ambos son países asiáticos inmensos? – A partir de lo anterior, pedirles que busquen datos y suscitar un debate sobre el porqué del hacinamiento en algunos países –India (397), Bangladesh (1229)– frente al despoblamiento de otros –Mongolia (1,7), Groenlandia (0,03). 51. El objetivo de esta actividad es trabajar la competencia de interacción con el mundo físico mediante la transversalidad con otras ciencias. A los alumnos les resulta muy chocante la comparación directa entre objetos conocidos (por ejemplo, el Sol tiene un diámetro unos 6300 millones de veces mayor que el de un balón de fútbol).

8

Unidad 2

Potencias y raíces

Por ello, una buena forma de motivarles para usar la notación científica es pedirles que inventen sus propias preguntas, se las pasen unos a otros e intenten responderlas; por ejemplo: ¿cuántas latas de refresco harían falta para envasar toda el agua del mundo?, ¿cuántas pelotas de pimpón caben en un maletero?, etc.


15 a 17 y 52

Medias

19, 20, 50 y 51

4. Raíces • El concepto de raíz deben conocerlo los alumnos, puesto que ya saben hacer raíces cuadradas; sin embargo, se recuerda el sentido de la operación y la relación entre raíz y potencia. • La existencia de raíces no exactas no debería causar una dificultad especial: se puede trabajar por tanteo (defecto/exceso), y es una buena forma de motivar el uso de la calculadora. • Antes de empezar a explicar el número de raíces de un número conviene recordar las reglas de los signos. A partir de ahí y de ejemplos como los del epígrafe se llega a clasificar el número de raíces en función de la paridad del índice y el signo del radicando, lo que es sencillo de aprender. • A partir de la definición de raíz y de las propiedades de las potencias es posible avanzar un paso más y demostrar la equivalencia entre radicales y potencias de exponente fraccionario. No obstante, debemos valorar en función del nivel del curso si es apropiado dar este salto. • La actividad 27, orientada a la reflexión y la expresión de las ideas aprendidas, puede servirnos para valorar en qué medida los alumnos han comprendido los contenidos del epígrafe, y no se han limitado a memorizar las reglas sin más.


21 a 24

Medias

26 a 28

5. Operaciones con raíces • Los niveles de los contenidos de este epígrafe son en realidad asequibles a la mayoría del alumnado; sin embargo, se deberá explicar detenidamente cómo reducir radicales a un mismo índice y cómo introducir o sacar factores de un radical. Si no quedan muy claras estas operaciones, el epígrafe les puede resultar muy complicado. Puede ser necesario recordar la descomposición en factores primos. • A pesar de todo, algunas actividades exigen ciertas dosis de intuición matemática que pueden requerir una mayor capacidad por parte de los alumnos.


• Por todo esto, hay que elegir y escalonar muy cuidadosamente las actividades que se vayan a hacer en función del nivel general de la clase.


29 a 33 y 53 a 56

Medias

34, 35, 57 y 58


Pon a prueba tus competencias 61. Con esta actividad trabajamos la competencia digital, en su vertiente de conocimiento de los soportes y canales de información. Los alumnos manejan con soltura los términos megabyte y gigabyte (o mega y giga), pero es probable que desconozcan su descripción formal. Esta actividad está orientada a que relacionen ese conocimiento informal, que para ellos es de la vida cotidiana, con las potencias, de modo que puedan realizar cálculos y comprendan su utilidad. Por ello es importante motivarles proponiéndoles cálculos basados en la realidad (como en el apartado 3), e incluso invitarles a que hagan sus propias preguntas y las respondan (por ejemplo: ¿cuántos juegos de 2313 MB caben en mi disco duro de 500 GB? 63 y 64. En estas actividades, aparte del uso de la notación científica para trabajar la interacción con el mundo físico, destacamos el desarrollo de la competencia digital en su vertiente de interpretación de gráficas y tablas. Aunque en este curso los alumnos ya están bastante familiarizados con los gráficos y saben leerlos e interpretarlos sin demasiada dificultad, es importante que aprovechemos para evaluar si efectivamente han adquirido estas capacidades.

Asimismo, si hay tiempo y el nivel de la clase lo permite, podemos aprovechar para mostrar cómo quedaría el gráfico de la actividad 63 con una escala logarítmica (0; 0,1; 1; 10; 30). Aunque es pronto para que comprendan por completo las herramientas matemáticas que subyacen, la idea es intuitiva, y en Excel resulta muy sencillo de representar. Esto puede ayudar a los alumnos a comprender que no cualquier gráfico sirve para visualizar cualquier serie de datos (por ejemplo, la diferencia entre Mercurio y Venus es inapreciable en el gráfico). En cuanto a la interacción con el medio físico, estas dos actividades relacionan la notación científica con la astronomía, lo que suele resultar un contexto muy atractivo para los alumnos. Se puede aprovechar la definición de año luz para extender la actividad con preguntas clásicas de astronomía que suelen intrigar a los alumnos y suscitar debate, como: si la estrella Alkaid se hubiese apagado en 1950, ¿cuánto tardaríamos en darnos cuenta?


Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.


Potencias y raíces

Unidad 2

9


Potencias y raíces

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Esta unidad es básicamente operativa, es decir, los alumnos con más dificultades deberán intentar adquirir destreza en el manejo de potencias y raíces, en su transformación, en la aplicación de las propiedades, en la resolución de operaciones y en la expresión de números en forma de notación científica. Deben quedar muy claras las propiedades de las potencias y las operaciones con fracciones, ya que estos alumnos, siempre que pueden, tienden a pasar los radicales a forma de potencia. Respecto a la notación científica, los alumnos deberían conocer el orden de magnitud de los objetos que nos rodean.

ACTIVIDAD DE GRUPO A pesar de que los alumnos conocen los prefijos para designar los múltiplos y submúltiplos más frecuentes, aquí tenemos algunos otros que, aunque menos habituales, también pueden encontrarse. Además se muestran los órdenes de magnitud de algunos objetos del mundo que nos rodea. Prefijo

Orden de magnitud

Objeto

18

Tamaño aproximado

Exa

10

Distancia a las galaxias más cercanas

1022

Peta

1015

Dimensión de la Vía Láctea

1020

Tera

12

10

Dimensión del sistema solar

1011

Giga

109

Distancia a la Luna

108

Mega

106

Radio terrestre

106

Miria

4

10

Distancia entre Madrid y Barcelona

105

Kilo

103

Distancia entre pueblos vecinos

103

Hecto

102

Dimensiones de un barrio

102

Deca

101

Altura de un edificio

101

Deci

100 = 1 10–1

Altura de las personas Dimensiones de la cartera, los libros…

–2

Centi Mili

100 = 1 10–1

10

Diámetro de las monedas

10–2

10–3

Tamaño de una pulga

10–3

–6

Micro

10

Tamaño de las células

10–5

Nano

10–9

Tamaño de los virus

10–7

Pico

10–12

Tamaño de las moléculas

10–9

10

Tamaño de los átomos

10–11

10–18

Tamaño de un protón

10–15

–15

Femto Atto

En el aula se puede dar esta tabla a los alumnos y plantear preguntas del tipo: ¿Cuántas veces es más grande (o más pequeño) el radio terrestre que una pulga?

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. b y c. No existen raíces cuadradas de números negativos. 2. a) Negativo

b) Positivo

3. 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 90, 110, 130, 160 4.

3

27 = 9 2

5. a) Imposible

4

16 = 8 3

b) −2

5

8.

c) Positivo

1024 = 256

9 1 _ 9

_8

4

c) −2

6. 1,39 · 103 cm

d) Imposible

_ 1_ 4

1 __ 16 _ 1_ 8

11

7. 16 días; 6250 días; 2,57 · 10 días

En CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 2

Potencias y raíces



Potencias y raíces

1. Tacha las igualdades que no sean ciertas indicando por qué. a) 3 −27 = −3

c) −9 = 3

b) −16 = − 4

d) 4 16 = 2

2. Sin hacer las operaciones, escribe el signo en cada caso.

(−7) ⋅(−5)⋅(−2) 6

a)

3

(−3) ⋅(−2) ⋅(−4) 2

b)

−8

(−15) ⋅8 ⋅(−7) c) (−3)

3

3

18

6

5

12

3. De la siguiente lista, tacha aquellos números que no tienen raíz cuadrada entera (sin calculadora). 16, 20, 25, 30, 36, 40, 45, 49, 50, 60, 70, 81, 90, 100, 110, 121, 130, 144, 160, 169, 196 4. Expresa en forma de raíz y calcula las siguientes expresiones. 2

3

4

27 3

16 4

1024 5

5. Resuelve las siguientes raíces siempre que sea posible. a) −9

c) 5 −32

b) 3 −8

d) 4 −16

6. El cabello humano crece más o menos un centímetro en un mes. ¿Cuánto crece aproximadamente durante la clase de Matemáticas (considera una duración de una hora)? Expresa el resultado en notación científica. 7. Las dimensiones del universo son tan grandes que resulta difícil su comprensión para nuestra mente. Para hacernos una idea, calcula el tiempo en días que tardaría una nave espacial que viajase a 1000 kilómetros por hora en recorrer las siguientes distancias. Viaje

Distancia en km

Tierra-Luna

384.000

Tierra-Sol

150 millones

Tierra-Estrella Polar

6168 billones

Tiempo de viaje (días)

–2

(–2 )

–3

8. A partir del siguiente tangram de potencias de base entera y exponente entero, crea la figura que se forma uniendo cada potencia con su resultado.

–3

9 ) (–3

–2

–8 Página fotocopiable

1–— 16

1–— 9

–2

(–4 )

(–4)–1

––1 8—

(–2 )

–3

1 – –— 4

Potencias y raíces

Unidad 2

11


Potencias y raíces

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que realicen estas actividades deben dominar los conceptos de la unidad, ya que intentaremos profundizar con ellos en operaciones de potencias y raíces más complejas. Al mismo tiempo, las actividades de investigación les obligarán a buscar en libros de otras asignaturas, incluso de cursos superiores, o a acudir a enciclopedias o navegar por internet. Una de las actividades de investigación está resuelta en las actividades motivadoras de refuerzo, por lo que conviene que los alumnos de ampliación resuelvan la suya antes de empezar con los de refuerzo.

ACTIVIDAD DE GRUPO Se trata de proponer que completen la tabla con el orden de magnitud de los siguientes objetos que nos rodean y lo expresen en forma de potencia de 10. Se les puede dar la pista de que la altura de un edificio se mide por lo general en decenas de metros (15 metros, 30 metros…). Por tanto, el orden de magnitud será la decena de metros, es decir, 101. Objeto

Orden de magnitud (metros)

Galaxias Vía Láctea Sistema solar Distancia a la Luna Radio terrestre Distancia entre Madrid y Barcelona Distancia entre pueblos vecinos Dimensiones de un barrio Altura de un edificio Altura de las personas Dimensiones de la cartera, los libros… Diámetro de las monedas Tamaño de una pulga Tamaño de las células Tamaño de los virus Tamaño de las moléculas Tamaño de los átomos

101

A partir de ahí se pueden plantear cuestiones como: ¿cuántos glóbulos rojos hay en un centímetro cúbico de sangre?, ¿cuántos litros de sangre hay aproximadamente en el cuerpo?, ¿cuántos glóbulos rojos tenemos en nuestro cuerpo?

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1

1 1. 3, −5, , 10 y 0,2 2 1 2. a) 11 b) 4 3. a) 4

21

c) 20

d) 4

el tercero, x 64 . Luego la tendencia es aproximada1

mente x 3 .

b) 8

c) 4

4. a) Igual b) Mayor c) Igual d) Mayor La raíz es menor que el número para valores ma yores que 1 y es mayor que el número para valores menores que 1 y mayores o iguales que 0. 5. a) 20,5 segundos

b) 2 · 1099 + 0,1 segundos

b) Tres veces la raíz cuadrada y multiplicar por x hace 1

que los valores tiendan aproximadamente a x 7 . c) Dos veces la raíz cuadrada y dividir por x hace que los 1 valores tiendan a 3 . x

En CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 2

5

6. a) En el primer bucle tenemos x 4 ; en el segundo, x 16 ; en

Potencias y raíces



Potencias y raíces

1. Calcula mentalmente la raíz cúbica de los siguientes números. 1 27, −125, , 1000 y 0,008 8 2. Calcula las siguientes operaciones. 3 a) 1331

b)

5

c) 10 ⋅ 40 1

1 1024

d) 256 4

3. Calcula k en cada caso. 4 a) 256 =k 3 b) k = 2

c) k 81 = 3 4. Estudia si a es mayor, menor o igual que a, cuando a toma cada uno de los siguientes valores: 1; 0,81; 1 0; . 2 ¿Para qué valores de a es a > a? ¿Y a < a? 1 5. a) El número 10 elevado a 100 se denomina “Googol”. Si tardas en escribir un cero de segundo y en escri5 1 bir un uno de segundo, ¿cuánto tardarías en escribir el número 100 Googols con todos sus ceros? 10 b) El número 10 elevado a un Googol se denomina “Googolplex”. Usando los mismos tiempos descritos en el apartado anterior, ¿cuánto tardarías en escribir un Googolplex completo? (Supón que la cantidad de papel y tinta es ilimitada.) 6. Sigue el diagrama de flujo con tu calculadora en repetidas ocasiones. x

Haz la raíz cuadrada

Multiplica por x

Haz la raíz cuadrada

a) Prueba con diferentes números x, por ejemplo: 11, 5, 8, 27… ¿Qué valor obtienes? b) ¿Qué pasa si se opera tres veces la raíz cuadrada en lugar de dos? c) Imagina que en el diagrama de flujo se cambia “multiplica por x” por “divide entre x”. ¿Qué pasa ahora?

Potencias y raíces

Unidad 2


Resultado

13


Potencias y raíces

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Opera y simplifica el resultado de la siguiente operación. −3 24 ⋅2−1 ⋅23 2 ⋅ 24 = ⋅ 2 ( ) 5 −3 2 ⋅2

2. Calcula la siguiente operación. 8⋅22 ⋅16−2 ⋅ 24 = 32⋅ 43 3. Observa las siguientes igualdades, razona y completa las que faltan. • 32 + 42 + 122 = 132 • 42 + 52 + 202 = 212 • 52 + 62 + 302 = 312 • 62 + 72 +

=

• x2 +

=

+

4. Calcula por tanteo e indica el número de soluciones que tendrán los siguientes radicales. 4 a) 625 3 b) 343

5. En un almacén hay 1331 cajas cúbicas de 50 centímetros de arista, apiladas formando un gran cubo. ¿Cuál es la altura en metros de este cubo? 6. Calcula el área y la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 3 centímetros. 7. Extrae todos los factores que puedas fuera del signo radical. 3 a) 1080

b) 4 83 8. Resuelve la siguiente operación. 3

16 + 3 3 128 − 2 3 54 −

(

3

)

250 − 3 432 =


9. Expresa en notación científica las siguientes cantidades.

14

a) 23 560 087 488 910 219

c) 670 000

b) 0,000 000 000 000 289

d) 0,43

10. El tamaño de una célula es de 10−5 metros, y la longitud del Ecuador, del orden de 109 centímetros. ¿Cuántas células serán necesarias para dar la vuelta al planeta por su círculo máximo?

Unidad 2

Potencias y raíces


Potencias y raíces

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Sumando los exponentes de numerador y denominador: 24−1+3−6+4 = 22 = 4 25−3 2. Utilizando la misma base para todos: 23 ⋅22 ⋅2−8 4 23+2−8+4 2 ⋅2 = = 11 = 2−10 5 6 2 ⋅2 25+6 2 3. La igualdad se completa sumando a los dos primeros sumandos el producto de estos elevado al cuadrado, y se iguala al número siguiente al resultado del producto, elevado al cuadrado. • 62 + 72 + 422 = 432 2 2 2 • x 2 + x +1 + ⎡⎢ x x +1 ⎤⎥ = x 2 + x +1 ⎣ ⎦

(

)

(

)

(

)

4. a) Dos soluciones: 625 = ± 5 4

b) Una solución: 343 = 7 3

5. El gran cubo tiene 1331 = 11 cajas de arista, cada una de 0,5 metros de arista. Por tanto, la arista del cubo grande (y, por tanto, su altura) mide 11 · 0,5 = 5,5 metros. 3

6. Área = 3 ⋅ 3 = 3 cm2 Para calcular la diagonal se aplica el teorema de Pitágoras.

( )

2

L2 + L2 = hip ;

( 3 ) +( 3 ) 2

2

= D 2;

3+ 3 = D2 ⇒ D = 6 cm

7. a) 1080 = 6⋅ 5 3

3

b) 83 = 4⋅ 2 4

4

8. Solo se pueden sumar los radicales que son exactamente iguales, de modo que se opera para ver qué radical es el que se puede sumar: 3

24 + 3⋅ 27 − 2⋅ 33 ⋅2 − 53 ⋅2 + 33 ⋅24 = 3

3

3

3

3

El radical común a todos es 2 . Se extrae todo lo demás fuera de la raíz:

(

)

3 3 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 22 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 + 12 − 6 − 5 + 6 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 3

9. a) 2,36 · 1016 b) 2,89 · 10–13

3

3

3

c) 6,7 · 105 d) 4,3 · 10–1


3

10. Hay que escribir las dos cantidades en las mismas unidades: 107 = 1012 células 10−5

Potencias y raíces

Unidad 2

15


U N I DA D

3

3

ESO

Expresiones algebraicas y ecuaciones

CONTENIDO


7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *(Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.)


Unidad 3



La unidad 3 nos introduce en el álgebra, pasando del número al símbolo, de lo particular a lo general. Este paso exige al alumnado un esfuerzo de abstracción que muchas veces resulta difícil. Los conceptos que se trabajan en esta unidad son fundamentales y básicos para comprender unidades posteriores, por lo que conviene detenerse e ir despacio, ya que una mala asimilación de los mismos acarreará dificultades más adelante. Es importante que trabajemos la traducción al lenguaje algebraico de determinados enunciados, así como las diferentes operaciones entre expresiones algebraicas. Por otra parte, los alumnos ya han debido tener un primer contacto con las ecuaciones más sencillas en cursos anteriores, y nuestro objetivo en este curso deberá ser afianzar las técnicas más básicas y trabajar con otras con un mayor grado de dificultad. Desde luego, uno de los aspectos más importantes de esta unidad es la resolución de problemas: es conveniente incidir todo lo posible en este punto, ya que la resolución de problemas es una de las habilidades matemáticas más necesarias y a la vez más interesantes. Es bueno y muy motivador que los alumnos perciban también este carácter lúdico.


OBJETIVOS


1. Comprender el lenguaje algebraico y el concepto de ecuación.

1. Traducir enunciados textuales al lenguaje algebraico correctamente y con soltura.

2. Conocer los monomios y simplificar operaciones que los contengan.

2. Identificar los monomios y sus grados, saber simplificarlos y operar con ellos.

3. Comprender la definición de polinomio y sus elementos. Saber operar con polinomios.

3. Saber sumar, restar y multiplicar polinomios, así como calcular su valor numérico.

4. Conocer la división de polinomios y el método de Ruffini.

4. Ser capaz de dividir polinomios, tanto usando la definición como Ruffini.

• Interacción con el mundo físico

5. Formular, interpretar, evaluar y transformar ecuaciones.

5. Averiguar si un valor es solución de una ecuación y hallar ecuaciones equivalentes.

• Aprender a aprender

6. Resolver ecuaciones de primer grado.

6. Saber resolver ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con fracciones.

7. Resolver problemas utilizando ecuaciones de primer grado.

7. Dominar técnicas de resolución de problemas comunes y resolverlos de forma precisa y eficiente.

• Lingüística • Matemática • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Las letras. El lenguaje algebraico • Expresiones numéricas y algebraicas • Traducción al lenguaje algebraico • Términos de una expresión algebraica • Grado de una expresión algebraica • Simplificación de expresiones algebraicas • Definición y grado de polinomios • Valor numérico de un polinomio • Suma, resta y producto de polinomios • División de polinomios y método de Ruffini

2

Unidad 3


• Igualdades numéricas • Ecuaciones (definición) • Ecuaciones equivalentes • Transformación de ecuaciones • Ecuaciones de primer grado • Ecuaciones con la incógnita en los dos miembros • Ecuaciones con paréntesis • Ecuaciones con fracciones • Técnicas de resolución de problemas


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Los alumnos deben recordar las propiedades de las potencias de exponente natural, qué es una expresión algebraica y cómo se halla su valor numérico. Es conveniente recordar las operaciones con fracciones numéricas para poder abordar las operaciones con ecuaciones que involucran fracciones. También resulta imprescindible que el alumno tenga cierta fluidez en las operaciones con números enteros, racionales y en el uso de paréntesis. Por último, es necesario que recuerden las propiedades básicas del cálculo algebraico: suma y producto de monomios y binomios.

2. Previsión de dificultades Tan importante como los conocimientos previos es mentalizar a los alumnos de que en esta unidad deben tener paciencia, ser constantes y mantener la concentración sin distraerse, ya que a veces se les hace largo el proceso de resolución de las operaciones algebraicas. La principal dificultad de esta unidad se encuentra en ser ordenados y metódicos, en especial al sumar, multiplicar y muy especialmente dividir polinomios. El desorden o las ganas de terminar rápido conducen con mucha frecuencia a cometer errores, por lo que es fundamental que insistamos en que no se salten pasos, vigilen los signos y repasen los resultados. Los dos últimos epígrafes, de resolución de problemas, pueden costarles más al principio; pero si son abordados despacio y con paciencia, es seguro que se convertirán en una ayuda antes que en una dificultad añadida.

3. Vinculación con otras áreas Esta unidad es fundamentalmente instrumental, en el sentido de que proporciona herramientas para resolver problemas de cualquier área. Por tanto, su conexión con otras materias (Física, Química, Biología, etc.) resulta inmediata: para comprenderlas necesitarán dominar estas herramientas. Asimismo, como se destaca en los dos últimos epígrafes y en “Pon a prueba tus competencias”, su vinculación con la vida cotidiana surge de forma natural.

4. Esquema general de la unidad Comenzamos con la entrada y la sección “Desarrolla tus competencias”, donde recordamos al alumno conceptos que ya conocía y lo motivamos para los contenidos de la unidad. Para ello, se plantea un problema astronómico sobre Neptuno, dos problemas de la vida cotidiana (comprar lápices y pesar con balanzas) y un último sobre cuadrados mágicos, que introducen el álgebra y resultan cercanos al alumno. Los primeros dos epígrafes presentan el lenguaje algebraico, sus expresiones y las operaciones con ellas. Muchos de estos contenidos ya serán conocidos. Los epígrafes 3 y 4 trabajan los polinomios y sus cuatro operaciones básicas, incluyendo el método de Ruffini. Los siguientes dos epígrafes desarrollan las ecuaciones de primer grado, que será conocida pero es necesario afianzar.

ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Traducción a álgebra POLINOMIOS

Por último, los epígrafes 7 y 8 exponen y aplican técnicas de resolución de problemas clásicos con ecuaciones de primer grado (edades, repartos, etc.).

5. Temporalización

Lenguaje algebraico

Valor numérico Operaciones

ECUACIONES

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve sesiones:

Ecuac. equivalentes Resol. de ecuaciones

1.ª El lenguaje algebraico 2.ª Operaciones con expresiones algebraicas

Resol. de problemas

3.ª Polinomios 4.ª División de polinomios 5.ª Igualdades y ecuaciones 6.ª Resolución de ecuaciones de primer grado 7.ª Resolución de problemas 8.ª Actividades de consolidación y de aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 3

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje. Asimismo, dado que esta unidad aborda por primera vez en el libro el álgebra como lenguaje y la traducción entre esta y la lengua verbal, se profundiza activamente en la subcompetencia de ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada al álgebra (polinomios y ecuaciones), se trata de una unidad instrumental, de modo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de todas las unidades se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En esta unidad en concreto, no obstante, esta competencia destaca particularmente por el enfoque aplicado a la realidad que se ha dado a la resolución de problemas cotidianos mediante ecuaciones. Así, nos encontraremos repetidas veces con actividades que trabajan el descriptor de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Por otra parte, en esta unidad se profundiza en esta competencia al dedicar dos epígrafes completos a desarrollar técnicas de resolución de problemas, trabajando así la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento casi en su totalidad.


Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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Unidad 3




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Lingüística

Reflexión sobre el lenguaje.

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Traduce del lenguaje algebraico al propio idioma y a la inversa, valorando el álgebra como lenguaje sintético para resolver de forma eficaz problemas cotidianos. Actividades 62 y 63 – Conoce el lenguaje algebraico.

Matemática



– Conoce y domina los polinomios y sus operaciones. – Conoce y domina las ecuaciones de primer grado, y las aplica a la resolución de problemas reales concretos. Toda la unidad


Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

– Resuelve problemas cotidianos o de otras ciencias utilizando polinomios o ecuaciones de primer grado.

Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 6, 82 y 87 Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 4, 13, 19, 25 y 39 Pon a prueba tus competencias.

Aprender a aprender


Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Desarrollar experiencias de aprendizaje que fomenten las habilidades individuales para la resolución de problemas.

– Desarrolla técnicas ordenadas de resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado.

Conocer y aplicar, según las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como las técnicas de estudio y memorización.

Innovación.




Actividades 43 a 45, 55 y 85 Pon a prueba tus competencias.



Unidad 3

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación en comunicación: “Pon a prueba tus competencias”, actividades 57 y 87. • Educación ciudadana: “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: – N.º 3. Ecuaciones y sistemas, unidades I y II Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO SM

– Unidad 4. Polinomios – Unidad 5. Ecuaciones de primer y segundo grado • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: – N.º 2. Polinomios, unidades I a III – N.º 3. Ecuaciones y sistemas, unidad I • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros

Expresiones algebraicas y polinomios en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd04

Otros materiales

• Dominós en los que aparezcan expresiones algebraicas, monomios y polinomios, así como sus cuadrados y cubos. • Papel con tramas para la comprobación de la equivalencia de expresiones algebraicas. • Calculadora científica, a cuyo manejo deben acostumbrarse los alumnos, introduciendo adecuadamente los datos, teniendo en cuenta la jerarquía de los operadores aritméticos y el orden en que realiza la calculadora las operaciones. • Herramientas informáticas como WIRIS o el buscador matemático WolframAlpha.

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Unidad 3


Sugerencias didácticas Entrada Partiendo de que la astronomía capta con facilidad la atención de los alumnos, la foto de Neptuno en la entrada y el texto que la acompaña pretenden motivarles para los contenidos de la unidad. El texto de la entrada permite realizar un juego muy simple y a la vez asombroso que hará que los alumnos manipulen expresiones algebraicas de forma intuitiva: pedirles que lean atentamente el texto y calculen la distancia del Sol a cada planeta del sistema solar. Si la información les resulta insuficiente (por ejemplo, si no recuerdan de memoria los planetas), les pediremos que la busquen ellos mismos. Con ello lograremos que relacionen algo tan abstracto como el álgebra con la astronomía, trabajando así la competencia de interacción con el mundo físico, y de tratamiento de la información si realizan búsquedas de datos. Si el tiempo lo permite, es una buena oportunidad para lanzarles preguntas que surgen del texto y que trabajen en equipo para contestarlas: “¿Qué objetos estelares conocen?”, “¿Por qué utilizamos las UA?”, etc. Con ello trabajaremos simultáneamente varias competencias básicas.

Desarrolla tus competencias 1. Este problema está concebido para que surja el concepto de ecuación de forma intuitiva a partir de un problema cotidiano. La intención es que los alumnos la resuelvan por tanteo y vuelvan sobre ella más adelante, cuando dispongan de más herramientas matemáticas; verán así la utilidad del álgebra en la vida diaria, lo que constituye una de las grandes dificultades de la unidad. 2. Esta actividad enlaza directamente con el mundo físico, pero su enfoque competencial proviene en realidad de su carácter lúdico. Los alumnos no esperan encontrar la información presentada en un dibujo, y por ello captará su atención. Debemos invitarlos a resolver el problema libremente, utilizando los medios que se les ocurran, incluso colaborando, en un tiempo limitado; de este modo estimularemos su imaginación, que es fundamental en matemáticas, y trabajaremos varias competencias a un tiempo. 3. Por último, la tercera actividad parte de un acertijo aparentemente trivial como es el cuadrado mágico, pero tiene muchas extensiones que podemos explorar: desde la historia de los cuadrados mágicos, hasta la forma de construirlos (utilizando polinomios) y sus variantes. Si hay tiempo, merece la pena utilizarlos varias veces a lo largo de la unidad para trabajar el álgebra.

1. El lenguaje algebraico • Es importante acostumbrar a los alumnos a trabajar con expresiones algebraicas. Para ello es conveniente que traduzcan al lenguaje algebraico frases como:

forma intuitiva su aplicación y no les parezca una mera manipulación abstracta. 6. En esta actividad se relacionan las expresiones algebraicas con el mundo físico a través del embaldosado de una habitación. Para hacer más real el problema y ayudar a fijar los conceptos, podemos pedir a los alumnos que midan su propia habitación y calculen el zócalo que necesitarían en función de a y b. 62 y 63. Estas actividades están concebidas para que los alumnos traduzcan entre habla y lenguaje algebraico, de modo que cobren conciencia de cómo el segundo es una formalización del primero, que en muchos casos simplifica y permite la resolución de los problemas.


1 a 3, 61 y 62

Medias

5, 6, 59, 60 y 63

2. Operaciones con expresiones algebraicas • Es fundamental dominar la nomenclatura: coeficiente, parte literal, grado de un monomio y de una expresión algebraica. Para este fin puede ser útil escribir varias expresiones y pedir a los alumnos que hallen, por ejemplo, el grado del monomio con coeficiente mayor, o el monomio cuyo coeficiente y grado coinciden, o el coeficiente del monomio de grado 5, etc., de manera que, mediante un juego, acaben por diferenciar esos conceptos. • También es fundamental insistir en las reglas de simplificación de expresiones algebraicas y hacerles ver que, en esencia, no son diferentes de las correspondientes a números enteros, que ya conocen. Debemos recordar una vez más el orden de aplicación de los operadores: primero, paréntesis; después, productos y cocientes, y por último, sumas y restas. Asimismo, es importante recordarles de nuevo que un signo menos antes de un paréntesis afecta a todos los términos que contiene este, porque es un error recurrente. • El proceso de suma o resta es simple y no deben dejarse intimidar por la parte literal. Si han agrupado términos semejantes, da igual sumar o restar x o manzanas, es decir, que operen coeficientes y luego añadan la parte literal correspondiente: 5x2yz3 + 6x2yz3 − 3x2yz3 = 8x2yz3 5 manzanas + 6 manzanas − 3 manzanas = 8 manzanas • La manipulación de las expresiones algebraicas que contienen fracciones en sus coeficientes puede asustar a los alumnos al principio. De nuevo, debemos hacerles ver que su manipulación no es distinta de lo que ya conocen. Si saben operar con fracciones, también sabrán simplificar expresiones algebraicas que las contengan.

– El doble de un número – La suma de tres números consecutivos – Un número impar • Se puede apoyar el uso del lenguaje algebraico con la representación visual de áreas o volúmenes, como en la actividad 6, de modo que los alumnos comprendan de


7 a 11, 64 y 65

Medias

12, 66 a 68

Altas

14 y 15


Unidad 3

7


3. Polinomios • De nuevo, para operar con polinomios es crucial que los alumnos dominen primero la nomenclatura: la definición de polinomio y cómo hallar su grado. • El valor numérico de un polinomio, no suele presentar dificultades si en las unidades anteriores han asimilado bien las operaciones combinadas y su jerarquía. Aunque, evidentemente, todo depende de los valores que demos a las variables, ya que la dificultad no es la misma si damos valores enteros o valores fraccionarios. • Antes de empezar a sumar polinomios, los alumnos deben pararse un momento a observarlos: si los monomios son semejantes o no, si el polinomio está completo o falta algún término, si está ordenado, si se pueden agrupar términos, etc. Esta labor es importante porque ese minuto de observación puede ahorrarles muchos errores posteriores. • Hay que recordarles de nuevo que es importante ser metódico, ordenado, y que no se trata de correr para ver quién acaba el primero, sino de hacer los ejercicios bien.


16 a 18, 69 y 70

Medias

20, 21 y 71

Altas

22

4. División de polinomios • Resulta útil poner ejemplos numéricos en los que se vea que es posible dividir una suma entre un mismo número separando la división en tantos cocientes como sumandos tenga el dividendo. Al mismo tiempo hay que recordar que esto no se puede hacer si la suma aparece en el divisor. Este último es un fallo muy común a la hora de simplificar fracciones: los alumnos simplifican sumandos iguales de numerador y denominador en vez de factores iguales. • Es importante pedir a los alumnos que, al menos en los primeros ejemplos, comprueben que han hecho bien la división aplicando la regla del cociente. • También debemos insistir en la relación entre los grados de dividendo, divisor, cociente y resto, para que la interioricen y puedan trabajarla en orden inverso cuando sea necesario. • En cuanto a la regla de Ruffini, hay que remarcar que no es más que un esquema alternativo para realizar la división cuando el divisor es de la forma x − a, si bien se trata de un método más fácil y rápido que la división entera por cajas vista en el apartado anterior. • Hay que insistir en que Ruffini sólo se puede aplicar cuando el divisor es de la forma x − a. • Para aquellos alumnos más avanzados puede resultar interesante proponerles ejercicios en los que el divisor sea de la forma ax − b y sugerirles que la división se puede hacer por Ruffini (poner ejemplos sencillos en los que b sea entero). a 8

Unidad 3



23, 24, 72 y 73

Medias

26

5. Igualdades y ecuaciones • Es fundamental que los alumnos adquieran el concepto de solución de una ecuación. Para conseguirlo sugerimos que se insista en la comprobación de soluciones. • De igual modo, es necesario que adquieran mucha soltura en la transformación de ecuaciones, dado que es la herramienta clave que necesitarán para resolver los problemas de los siguientes epígrafes. • La conocida analogía de las igualdades con balanzas puede resultar muy útil en una primera aproximación: para mantener el equilibrio (la igualdad), lo que se hace en un platillo (miembro) debe hacerse en el otro, tanto sumar y restar como multiplicar y dividir. • Debemos recordarles que no se puede dividir por 0, de modo que han de estar atentos e identificar el problema cuando dividan por x y lleguen a una incongruencia, como, por ejemplo, en el caso x = 2x. • Si el nivel del grupo es razonablemente alto, podremos pasar más deprisa sobre este epígrafe, pero si hay alumnos que aún no dominan estas técnicas, puede ser necesario que nos detengamos a tratar con detalle unos cuantos casos casi triviales.


27 a 31

Medias

32 y 33

6. Resolución de ecuaciones de primer grado • En este epígrafe trabajamos ecuaciones de primer grado con mayor complejidad. Una vez afianzadas las técnicas básicas es importante que los alumnos se enfrenten a casos en los que hay que aplicar varias veces las propiedades tratadas en el punto anterior. • Es importante repasar todos los aspectos: aplicación de la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y reducción de fracciones a común denominador. • El orden en el método resulta fundamental en este tipo de ejercicios; los alumnos deben hacer explícitos todos los pasos y ser conscientes del porqué de cada uno de ellos.


34 a 38 y 74

Medias

40, 41 y 75

Altas

42


7 y 8. Resolución de problemas • Estos dos epígrafes están destinados a que los alumnos aprendan técnicas de resolución de problemas. Son, por tanto, una buena oportunidad tanto para repasar los contenidos como para que los alumnos evalúen sus propios conocimientos y habilidades, trabajando así la competencia de aprender a aprender. • Recomendamos que estos epígrafes se trabajen de forma especial: no debe ser el profesor quien los enseñe, sino el alumno quien los aprenda; el profesor debe adoptar un rol de asesor y dejar que el alumno siga los pasos por sí mismo. De este modo podrá interiorizar unas técnicas muy valiosas que después sabrá extrapolar a otras unidades e incluso otras materias. 43 a 45. Observemos que en estas actividades se pide explícitamente que el alumno identifique los datos conocidos, la incógnita y el resultado que se le pide. Al trabajarlas, hay que prestar más atención a si el alumno ha seguido un procedimiento correcto que a si ha llegado a la solución numérica. 55. En este caso, la dificultad de la actividad no está en los cálculos, sino en la interpretación de los datos. Es probable que muchos alumnos no sepan en detalle qué es la cotización en bolsa de una acción, pero eso no debe obstaculizarles para resolver el problema. Desde el punto de vista competencial, el éxito de la actividad reside en que el alumno sea capaz de formularla como “durante el año pasado, algo aumentó de precio en 4,58 euros; este año, el mismo algo cuesta el doble. Me preguntan cuánto costaba antes del incremento”. 82. Podemos pedir a los alumnos que busquen datos de embalses, que formulen su propio problema en la línea de la actividad dada y que lo intercambien con su compañero para resolverlo. El contacto con los datos reales facilitará que tomen conciencia de las reservas de agua en los pantanos y del problema de la sequía, trabajando la competencia de interacción con el mundo físico.


43 a 45 y 76 a 82

Medias

46 a 54, 57 y 58, 83 a 92 y 94

Altas

55, 56 y 93

hallar el perímetro, al revés de lo habitual. Lo destacamos porque es útil para evaluar en qué medida el alumno ha adquirido las técnicas ordenadas de resolución de problemas que se explican en la unidad. Como es frecuente al trabajar la competencia de aprender a aprender, es más importante valorar el proceso deductivo que el alumno ha seguido que si ha llegado o no a la solución numéricamente correcta.

Pon a prueba tus competencias 98. Dentro de esta sección destacamos la actividad 98 porque trabaja simultáneamente varias competencias y puede servir para evaluarlas a la vez. Si no hay tiempo para abordar varias actividades, recomendamos que se realice esta con cierta exhaustividad. Por una parte, la competencia lingüística y la de tratamiento de la información están presentes en la interpretación de las lecturas relativamente complejas y su traducción al lenguaje algebraico. La interacción con el mundo físico se trabaja al partir de un contexto cotidiano (las facturas de luz, gas y teléfono) que requiere del álgebra para su resolución. Es deseable que los alumnos traigan sus propias facturas, las interpreten con estas herramientas y lleguen a sus propias conclusiones (“aunque mi consumo ha sido menor, mi importe final es mayor que el tuyo porque mi término fijo es más alto”). Por último, si el trabajo se realiza en equipos, se puede valorar el liderazgo y la aportación de cada alumno, y su capacidad para dividirse las tareas de forma eficaz.


Aprende a pensar... con matemáticas

Actividades de consolidación y aplicación

Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan.

En particular, las actividades 83 a 94 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas. 85. Este es un problema relativamente complejo de razonamiento inverso: partimos del área y tenemos que



Unidad 3

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Normalmente, a los alumnos que necesitan refuerzo, el álgebra les suele parecer demasiado abstracta. Pueden llegar a trabajar con números y cantidades concretas, pero en cuanto generalizamos y sustituimos esos números o esas cantidades por letras, empiezan a naufragar. Intentaremos mostrar a través de actividades motivadoras algunos caminos que les resulten atractivos para que no se pierdan durante su aprendizaje. En cualquier caso, es necesario ir despacio y repetirles que tan importante como los conocimientos que deben adquirir en esta unidad es el orden, la limpieza y la concentración. Al final del tema los alumnos deben dominar los siguientes conocimientos: • Traducir enunciados textuales al lenguaje algebraico. • Sumar, restar y multiplicar polinomios y calcular su valor numérico. • Resolver ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con fracciones y paréntesis. • Resolver problemas sencillos que requieran plantear ecuaciones para su solución.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de expresiones algebraicas y ecuaciones Con este juego se pretende que los alumnos no solo tengan que solucionar problemas, sino crearlos ellos mismos. • Dividimos la clase en grupos de tres alumnos y se le pide a cada grupo que escriba dos enunciados que se puedan expresar mediante lenguaje algebraico, dos expresiones algebraicas en la que se puedan agrupar términos y simplificar y dos ecuaciones sencillas. • Cada grupo debe escribir sus preguntas y las soluciones correspondientes en tarjetas cuadradas. • Recogemos las fichas de todos los grupos y formamos fichas de dominó combinando una tarjeta de pregunta con una tarjeta de solución de forma aleatoria. Una vez construido el dominó, se reparten las fichas entre los grupos de alumnos. ¡Ganará el grupo que antes se quede sin fichas!

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La hucha de Luis: a) 1 · x + 2 · y + 0,50 · z = 20 b) No, porque sería un paquete de 16 €, no de 20. c) No, porque el paquete sería de 21 €, no de 20. d) 7 de 1 €, 6 de 2 € y 2 de 50 cents 10 de 1 €, 3 de 2 € y 8 de 50 cents e) 16 de 1 €, 32 de 2 € y 8 de 50 cents 2. Área = 6x, perímetro = 14 + 2x 3. x = 2 cm, 4 3 5. a) x = −8

4. a) x =

A = 20 cm2 b) x = 12

c) x = 2

b) x = 4

c) x = 3

d) x = 1

6. Ha ganado seis partidos y ha perdido dos.


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1. A estas alturas, seguro que ya te has dado cuenta de que el álgebra tiene mucho que ver con el lenguaje, en realidad es un “lenguaje matemático”. Veamos si eres capaz de hablar este nuevo idioma. Luis ha roto su hucha, en la que solo había metido monedas de 1 euro, 2 euros y 50 céntimos, y decide hacer paquetes de 20 euros. a) Escribe la expresión algebraica que expresa cada paquete de 20 euros en función del número de monedas de cada tipo. b) ¿Puede haber 8 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 4 de 50 céntimos? c) ¿Puede haber 6 monedas de cada tipo? d) Encuentra dos posibles combinaciones que verifiquen la igualdad que has hallado en el primer apartado e) Si en la hucha había 84 euros y tenía doble número de monedas de 1 euro que de 50 céntimos y doble número de monedas de 2 euros que de 1 euro, ¿cuántas monedas había de cada tipo? 2. Expresa el perímetro y el área de la figura mediante un polinomio. 5 cm 4 cm

2x

3. Si el perímetro de la figura mide 24 centímetros, ¿cuánto vale su área? x cm

6 cm

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado. a) 2x − 3 + 4x = 3x + 1

b) x + 5 = 2x − 7

c) x − 5 + 2x = 5x − 9

d) 5x − 2 + 3x = 2x + 4

5. Cuando en una ecuación aparecen paréntesis, antes de resolverla debemos eliminar estos, multiplicando el factor que multiplica al paréntesis por cada uno de los términos del interior del paréntesis. Resuelve, eliminando paréntesis, las siguientes ecuaciones. a) 3(x + 1) = 2x − 5

b) 2(x + 1) = 5(x − 2)

c) 4(x − 2) − 2(x − 1) = 0


6. En un campeonato de varios centros de Secundaria, los equipos suman tres puntos por cada partido ganado, un punto si empatan y cero en caso de perder. Un equipo ha jugado 10 partidos, y de ellos ha empatado 2. ¿Cuántos partidos ha ganado si tiene 20 puntos? ¿Cuántos ha perdido?


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Con los alumnos de ampliación deberemos orientar el trabajo hacia situaciones donde la traducción al lenguaje algebraico sea más complicada o laboriosa que con los demás, así como a plantear problemas de mayor dificultad. Una forma divertida y entretenida, al mismo tiempo que útil, es practicar como en todos los idiomas, por medio de la conversación. Puestos por parejas: uno plantea al otro un enunciado que debe traducir, y luego, al revés, o bien uno plantea una expresión algebraica y el otro busca un enunciado que se ajuste a dicha expresión. Una vez que hayan practicado por parejas pueden establecer coloquios entre varios, una pareja propone un enunciado en el idioma que quiera y la otra lo traduce, y si es el caso, lo resuelve.

ACTIVIDAD DE GRUPO Campeonato de ecuaciones Cada grupo de tres o cuatro alumnos debe buscar situaciones de su entorno en las que sea posible plantear ecuaciones o sistemas. Por ejemplo: • A partir del precio de algunos artículos de la cafetería, pueden establecer relaciones con los mismos para poder plantear el sistema de ecuaciones correspondiente. • Escoger un número y construir una ecuación en la que éste aparezca, o bien utilizar la edad, peso, talla… de los alumnos. • Medir las dimensiones de algún objeto y escribir una ecuación o sistema en que dichas dimensiones sean las incógnitas. Se trata de construir ecuaciones a partir de cantidades conocidas, justo al contrario de lo aprendido en la unidad. Los distintos grupos tienen que intercambiar sus respectivos problemas. El juego consistirá en resolver los problemas de los otros grupos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 54 monedas 2. Comenzó la jornada con 29 monedas de oro. 3. Resolvió 10 bien y 16 mal. 4. La capa valía 92 monedas de oro. 5. 72 cm 6. No es un problema de álgebra, sino de “sentido común”. En principio numeran del 1 al 9 los platos y realizan la primera comanda así: 11234, con lo que averiguan cuál es el plato 1 (el único repetido). En la siguiente comida, 45567, con lo que ya saben también el 4 (el que coincide con la comida anterior) y el 5. En la tercera comida piden 26889, con lo que averiguan el 2 (en común con la primera comida), el 6 (común con la segunda comida) y el 8 (el repetido). Quedan por determinar el 3, único que quedaba por saber de la primera comida; el 7, igual pero de la segunda comida, y el 9, de la tercera, que identifican inmediatamente. 7. 8 señoras 8. En llano recorre 1 km en 15 minutos, tanto a la ida como a la vuelta. En subida tarda 20 minutos en hacer 1 km, y en bajada lo hace en 10 minutos. Por consiguiente, andar y desandar cada km tanto en llano como en pendiente le lleva como promedio media hora. Como ha caminado 6 horas, habrá recorrido 24 km (12 de ida y 12 de vuelta). x x 9. x + x + + + 1 = 100 ⇒ x = 36 palomas 2 4


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1. Un hombre gasta un tercio de su dinero y pierde dos tercios de lo que le quedó, encontrando al final en su bolsillo 12 monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio? 2. Un mercader visita 3 ferias. En la primera duplica su dinero y gasta 30 monedas de oro, en la segunda triplica su dinero y gasta 54 monedas de oro, y en la tercera cuadruplica su dinero y gasta 72 monedas de oro. Al final vuelve a casa con 48 monedas. ¿Con cuántas comenzó la jornada? 3. Para lograr que su hijo se interese por el estudio del álgebra, un padre le ofrece el siguiente trato: le pagará 8 céntimos por cada problema que resuelva bien y le cobrará 5 céntimos por cada uno que haga mal. Tras 26 problemas, ninguno de los dos le debe dinero al otro. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el hijo? 4. Un sirviente va a recibir 100 monedas de oro y una capa por un año de trabajo. Tras 7 meses decide dejar el empleo y recibe la capa y 20 monedas de oro. ¿Cuánto valía la capa? 5. El método más fácil para medir un lagarto: “La cabeza mide 9 centímetros. La cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo, y el cuerpo mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuánto mide en total el reptil?”. 6. Cinco turistas llegan a un restaurante en un país extranjero cuya lengua desconocen. Al leer el menú observan que este ofrece 9 platos combinados cuya composición no comprenden. Después de pensar un momento, deciden pedir y se reparten la comanda como mejor les parece. La comida, no obstante, es excelente y deciden comer allí durante los días que dure su estancia en dicha ciudad. El menú es siempre el mismo, y a la cuarta vez que comen en dicho establecimiento, cada uno sabe con precisión qué nombre corresponde a cada plato. ¿Cómo lo hacen? 7. Un invidente entró en una habitación donde estaban charlando unas señoras. Tras quedar un momento escuchando dijo: –Saludo a las 24 damas aquí presentes. –No somos 24 –contestó una de ellas, bastante ofendida–, pero si fuésemos cinco veces más de las que somos, seríamos tantas más de 24 como tantas menos somos en este momento. ¿Cuántas señoras había en la tertulia? 8. Un excursionista salió de su casa a las siete de la mañana dispuesto a realizar un paseo que incluye un tramo por llanura, el ascenso y descenso de una colina y el regreso a su casa. En el llano se desplaza a 4 kilómetros por hora, disminuyendo esta velocidad en 1 kilómetro por hora en el ascenso y aumentándola a 6 en la bajada. De regreso a casa comprueba que es la una de la tarde. ¿Qué distancia ha recorrido durante su paseo? 9. Un halcón acecha a lo que le parece ser un centenar de palomas. Pero una de ellas, viendo que la rapaz está echando cuentas, le dice:

Evidentemente, mientras el halcón hacía sus cálculos, las palomas se dieron a la fuga, pero ¿sabrías decir tú cuántas palomas había en la bandada?


Unidad 3


–Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en ese caso, y contigo, seríamos 100.

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APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Sea el polinomio P(x) = 5x3 + 3x5 − 2 + x2 − 6x. a) ¿Está ordenado? Si no es así, ordena los monomios que lo componen de mayor a menor grado. b) ¿Falta algún término? ¿Cuál? c) ¿Cuál es el grado del polinomio? d) ¿Cuál es el término de mayor coeficiente? e) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado? 2. Sea el polinomio Q(x, y) = 2xy2 + 4x2y − x2y2 + 3 − 5xy. a) ¿Cuál es el grado del polinomio? b) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado? c) ¿Qué grado tiene el término de coeficiente 3? d) Halla el valor numérico para x = −1 e y = 2. 3. Sean P(x) = 3x2 − 2x + 1 y Q(x) = −x + 3. Halla: a) P(x) + Q(x) b) P(x) − Q(x) c) P(x) · Q(x) d) El cociente y el resto de P(x) : Q(x), utilizando la regla de Ruffini. 4. Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado. “La mitad del resultado de sumarle al triple de un número cinco unidades.” 5. Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado. 2 “Si gasto de lo que tengo y 6 euros, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.” 5 6. Si al quíntuplo de un número le quitas su doble, obtienes su cuádruplo. ¿Cuál es el número?


7. Miguel tiene cinco años más que su hermano Antonio, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Cuál es la edad de cada uno?

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8. Un tren sale de Madrid a las diez de la mañana con dirección a Valladolid a 190 kilómetros por hora. A la misma hora sale otro tren de Segovia (ciudad que dista 90 kilómetros de Madrid) también en dirección a Valladolid, pero que solo alcanza una velocidad de 100 kilómetros por hora. Suponiendo que ambos llevan una velocidad constante y que la distancia entre Madrid y Valladolid es de unos 200 kilómetros, ¿llegará el primer tren a alcanzar al segundo? ¿En qué punto lo alcanzaría?

Unidad 3




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) No está ordenado. 3x5 + 5x3 + x2 − 6x − 2. b) Sí, falta el término en x4. c) Grado 5 d) Término de mayor coeficiente: −6x e) 3 2. a) Grado 4 b) −1 c) 0 d) Q(−1,2) = 9 3. a) 3x2 − 3x + 4 b) 3x2 − x − 2 c) −3x3 + 11x2 − 7x + 3 d) Cociente: −3x − 7; resto: 22 4.

(3x + 5) 2

⎛2 ⎞⎟ x ⎜ 5. x − ⎜⎜⎜ x + 6⎟⎟⎟ = 2 ⎝5 ⎠ 6. El cero 7. Miguel, 20 años, y Antonio, 15 8. Las ecuaciones del movimiento son: eM = v M ⋅ t = 190 ⋅ t eS = 90 + v S ⋅ t = 90 + 100 0t En el supuesto de que se alcancen, sus posiciones deben ser las mismas, eM = eS. Igualando las ecuaciones se obtiene t = 1 h.


Lo alcanzará a 100 km de Segovia y 190 de Madrid.


Unidad 3

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U N I DA D

4

3

ESO

Sistemas de ecuaciones

CONTENIDO


7



Unidad 4



Profundizamos en el cálculo algebraico, esta vez a través del estudio de sistemas de ecuaciones, otro de los puntos clave del álgebra en la etapa de la ESO. Después de un primer acercamiento al estudio de ecuaciones de primer grado, hemos afianzado las técnicas de resolución de estas ecuaciones y nos enfrentamos ahora a un problema nuevo: cómo considerar a la vez soluciones de dos ecuaciones distintas. El estudio de sistemas de ecuaciones lineales nos permitirá profundizar en el concepto de solución de una ecuación. Puesto que tenemos ecuaciones con dos o más incógnitas, las soluciones tienen ahora varias componentes. Es importante que los alumnos sean conscientes de esta nueva ampliación en el concepto de solución de una ecuación. Al igual que en el tema anterior, uno de los aspectos más interesantes del estudio de sistemas es su aplicación en la resolución de problemas. Esta vez, el hecho de jugar con dos incógnitas nos permite tratar con más comodidad muchas situaciones cotidianas. Creemos muy interesante que se propongan la mayor cantidad posible de problemas de diferentes niveles para lograr que los alumnos descubran la utilidad del uso de sistemas para resolver diferentes casos.

OBJETIVOS


1. Comprender qué es un sistema de ecuaciones.

1. Formular problemas con sistemas de ecuaciones, conocer sus posibles números de soluciones e identificar sistemas equivalentes.

2. Conocer el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones.

2. Simplificar y resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de reducción.


• Lingüística • Matemática

3. Conocer el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

3. Resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de reducción.

4. Conocer el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.

4. Representar y resolver sistemas de ecuaciones mediante el método gráfico.

5. Resolver problemas matemáticos, de otras ciencias o cotidianos que involucren sistemas de ecuaciones.

5. Dominar técnicas de resolución de problemas comunes y resolverlos de forma precisa y eficiente mediante sistemas de ecuaciones.

CONTENIDOS • Sistemas de ecuaciones: definición • Soluciones de un sistema • Sistemas equivalentes • Expresión simplificada de un sistema • Método de reducción • Método de sustitución • Método gráfico • Técnicas de resolución de problemas

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Unidad 4


• Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En este tema son fundamentales todos los contenidos tratados en la unidad anterior: “Expresiones algebraicas y ecuaciones”. Los alumnos deben tener adquirida cierta habilidad en la resolución de ecuaciones de primer grado; por ello será bueno insistir de nuevo en las reglas básicas. Por otro lado, necesitaremos recordar algunas propiedades algebraicas elementales, fundamentalmente suma y producto de monomios y polinomios e identidades notables. Por supuesto, una vez más es imprescindible que los alumnos dominen las operaciones con enteros y fracciones, así como las propiedades de las operaciones con potencias.

2. Previsión de dificultades En la parte matemática de esta unidad no se deberían encontrar grandes dificultades, dado que en su mayor parte se trata de aplicar procedimientos bastante mecánicos. Es importante, sin embargo, que los alumnos presten toda la atención, porque los cálculos son muchos y es fácil cometer errores. La mayor complicación se encuentra al traducir enunciados de problemas a sistemas de ecuaciones, por una parte, y cuando queremos que comprendan que un sistema de ecuaciones no es otra cosa que una pareja de rectas, y su solución, el punto de corte. Estos son los aspectos que debemos trabajar con más intensidad.

3. Vinculación con otras áreas Al igual que la anterior, esta unidad es instrumental, en el sentido de que aporta nuevas herramientas para resolver problemas de cualquier área. Por tanto, su vinculación con otras materias resulta inmediata: para comprenderlas necesitarán dominar los sistemas de ecuaciones. Asimismo, como se destaca en el último epígrafe, en las actividades de aplicación y consolidación y en la sección Pon a prueba tus competencias, su conexión con la vida cotidiana surge de forma natural.

4. Esquema general de la unidad Comenzamos con la entrada, donde a partir de un ejemplo cotidiano (el precio de las entradas del zoo) se motiva la introducción de los nuevos conceptos. En la sección “Desarrolla tus competencias” proponemos dos actividades basadas en contextos reales que los alumnos solo podrán resolver utilizando sistemas de ecuaciones o bien por tanteo. De este modo podemos hacer que perciban la necesidad de una herramienta matemática formal que las resuelva. SISTEMAS DE ECUACIONES En el primer epígrafe definimos el concepto de sistema de ecuaciones, su número de soluciones y la noción de sistemas equivaDEFINICIÓN lentes, que es crucial en la unidad. Reducción Los epígrafes 2 y 3 presentan los métodos de resolución de sistemas: de reducción, de sustitución y gráfico.

MÉTODOS

Por último, el epígrafe 4 expone y aplica técnicas de resolución de problemas utilizando sistemas de ecuaciones. Para ello, se proponen ejercicios resueltos donde los alumnos puedan reconocer los pasos que se deben seguir para solucionarlos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Sustitución Gráfico

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Qué es un sistema de ecuaciones 2.ª Resolución de sistemas. Método de reducción 3.ª Resolución de sistemas. Método de sustitución 4.ª Resolución de sistemas. Método gráfico 5.ª Resolución de problemas 6.ª Actividades de consolidación y de aplicación 7.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 4

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje. Asimismo, dado que en esta unidad se continúa utilizando el álgebra como lenguaje, y se trabaja la traducción entre esta y la lengua verbal, se profundiza activamente en la subcompetencia de ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada a los sistemas de ecuaciones, se trata de una unidad instrumental, de modo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de todas las unidades se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En esta unidad en concreto, al igual que en la anterior, esta competencia destaca por el enfoque aplicado a la realidad que se ha dado a la resolución de problemas cotidianos mediante sistemas de ecuaciones. Así, nos encontraremos repetidas veces con actividades que trabajan el descriptor de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana, y muy especialmente en la sección “Pon a prueba tus competencias”.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Por otra parte, en esta unidad se profundiza en esta competencia al dedicar dos epígrafes completos a desarrollar técnicas de resolución de problemas, trabajando así la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento casi en su totalidad.



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Unidad 4




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Lingüística

Reflexión sobre el lenguaje.

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Codifica en lenguaje algebraico enunciados textuales y a la inversa, valorando el álgebra como lenguaje para resolver problemas cotidianos. Entrada Actividades 6, 27 y 28

Matemática




– Conoce los sistemas de ecuaciones. – Sabe resolver sistemas de ecuaciones mediante el método más apropiado en cada caso. – Aplica los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas reales concretos. Toda la unidad


Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

– Resuelve problemas cotidianos o de otras ciencias utilizando sistemas de ecuaciones. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 29, 30 y 50 Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 7 y 14 Pon a prueba tus competencias.

Aprender a aprender




Desarrollar experiencias de aprendizaje que fomenten las habilidades individuales para la resolución de problemas. Conocer y aplicar, según las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como las técnicas de estudio y memorización. Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

– Desarrolla técnicas ordenadas de resolución de problemas que involucren sistemas de ecuaciones. Actividades 28, 46 y 51 Pon a prueba tus competencias.



Unidad 4

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para el desarrollo: Actividades 27, 29 y 30, “Pon a prueba tus competencias”. • Educación medioambiental: Actividad 64. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 3. Ecuaciones y sistemas, unidad IV Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 6. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 3: Ecuaciones y sistemas, unidad III • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros

Sistemas de ecuaciones lineales en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales


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Unidad 4

• Dominós que relacionen sistemas de ecuaciones lineales con sus soluciones. • Herramientas informáticas como WIRIS para la resolución de sistemas o GeoGebra para su visualización como pares de rectas (y su resolución gráfica). • Herramientas matemáticas online como el buscador WolframAlpha.


Sugerencias didácticas Entrada La entrada de la unidad parte de un entorno cotidiano, el zoo, para plantear una actividad que formalmente solo puede resolverse por completo con un sistema de ecuaciones. Las preguntas, sin embargo, no están orientadas a la resolución del sistema (aún no tienen las herramientas para ello), sino a trabajar dos aspectos complementarios y más importantes para el estudio de la unidad. Por una parte, trabajamos la comprensión del enunciado. El alumno tiene que traducirlo a lenguaje algebraico, convertirlo en fórmulas para poder manipularlo, interpretándolo correctamente, y con ello trabajará la competencia lingüística. En este proceso se dará cuenta de que surgen dos incógnitas, lo que le predispone para lo que encontrará en la unidad. Por otra parte, si llamamos su atención sobre las cifras, el alumno puede adquirir una noción de cuáles son los ingresos de un gran establecimiento, trabajando así la interacción con el mundo físico. Podemos extender este aspecto pidiendo que extrapole los datos a un mes entero, e incluso hacerle reflexionar sobre la estacionalidad (“¿El zoo ingresará lo mismo todos los días del mes?”) o los precios reales (“Averiguad las tarifas reales del zoo; ¿solo hay dos tramos?; ¿son iguales todos los días?”). Por último, desde el punto de vista matemático podemos pedirles que intenten resolver el sistema por tanteo, observar las estrategias que desarrollan sin ayuda, y finalmente, que mantengan el problema en mente y lo resuelvan cuando hayamos concluido la unidad.

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad desarrollamos la competencia de interacción con el mundo físico al formular una especie de acertijo sobre las superficies de cinco comunidades autónomas. Si intentan formalizar los enunciados, inevitablemente llegarán al concepto de sistema de ecuaciones. Es interesante valorar qué alumnos toman este camino y cuáles escogen otra estrategia. 2. Aquí se presentan de nuevo los sistemas de forma intuitiva, con el aliciente de que los datos vienen presentados mediante fotografías. El objetivo es captar la atención de los alumnos y hacerles notar que los sistemas se encuentran en su realidad cotidiana. 3. Por último, la tercera actividad aterriza finalmente en las expresiones algebraicas. La intención aquí es que los alumnos no olviden cómo se traducen los enunciados del lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico, y, por tanto, reforzar la competencia lingüística en la vertiente en la que está presente en todas las unidades de álgebra.

• Puede ser una estrategia útil que los alumnos construyan alguna tabla donde se comparen soluciones de las dos ecuaciones. Hay que insistir en que, en las ecuaciones con dos incógnitas, cada solución es una pareja de valores (x, y), ya que hasta ahora han trabajado siempre con soluciones con una sola componente. • Por último, es fundamental que los alumnos interioricen el concepto de sistema equivalente y adquieran soltura para transformar uno en otro. Para ello deben retener las tres reglas, que no son complejas, y recordar que siempre deben aplicar la misma regla simultáneamente en las dos ecuaciones. 6. Esta actividad refuerza una vez más la competencia lingüística, al pedir a los alumnos que traduzcan enunciados cotidianos a sus expresiones algebraicas, en este caso con dos incógnitas. Podemos pedirles que hagan el camino inverso a modo de juego: darles una ecuación con dos incógnitas y que cada uno formule un enunciado que se corresponda con ella.


1 a 5 y 31 a 33

Medias

6, 8, 9, 34 y 54

2. Resolución de sistemas. Método de reducción • Es importante que, antes de emprender la resolución de cualquier sistema de ecuaciones, los alumnos se detengan un momento a observarlo, valorar sus características y disponerlo en su expresión simplificada. Aunque parezca un aspecto trivial, ver incógnitas a ambos lados del signo igual puede confundirlos e incluso hacerles pensar que no están ante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, debemos insistir en este punto desde el comienzo. • En el estudio de sistemas de ecuaciones, el método de reducción resulta en muchos casos más sencillo y elegante que cualquier otro. Sería importante que los alumnos valoraran el uso del método más adecuado en cada caso. • Por otra parte, la búsqueda de ecuaciones equivalentes por multiplicación por una constante o por suma entre ecuaciones debería ayudar a los alumnos a profundizar en el concepto de equivalencia de ecuaciones, y es una buena forma de preparar la introducción de métodos de resolución más generales como el de Gauss.


10 a 13, 35 a 37, 39 y 40

Medias

15 a 17, 38, 41 y 42

Altas

43 y 55

1. Qué es un sistema de ecuaciones • Los contenidos tratados en este epígrafe son claves para la comprensión del resto de la unidad, por lo que es fundamental que nos detengamos todo lo que sea necesario en ejercicios sencillos en los que se haga hincapié en la comprobación de las soluciones de un sistema.

3. Métodos de sustitución y gráfico • Aquellos alumnos con cierta habilidad en el cálculo algebraico no tendrán grandes dificultades en la comprensión y aplicación del método de sustitución.


Unidad 4

7


• Sí pueden surgir problemas posiblemente con aquellos alumnos que no tengan esa agilidad algebraica. • Puede ser útil plantear el estudio de varios sistemas donde una de las incógnitas aparezca aislada en una de las ecuaciones y coincida en todos los sistemas, y se varíe solo la segunda ecuación. Se trata de que los alumnos sustituyan la misma expresión en diferentes ecuaciones. • La resolución de sistemas por el método gráfico completa el conjunto de métodos para resolver sistemas de ecuaciones. • Como recuerdo del curso pasado se puede comenzar dibujando algunas rectas en el plano que permitan a los alumnos con más dificultades retomar dichos métodos. Se debe trabajar la ecuación de la recta continua de modo que adquieran suficiente destreza en la representación de rectas, y de este modo conseguir rápidamente la solución del sistema. • Por último, es muy útil trabajar el concepto de coordenadas de un punto, puesto que es lo que al final resulta como solución de la ecuación. Es fundamental hacer ver este hecho a los alumnos para que comprendan la relación entre la representación gráfica de dos rectas y el sistema de ecuaciones.


18 a 21, 44 y 45

Medias

22 y 23

4. Resolución de problemas • Uno de los aspectos básicos del estudio de sistemas es su aplicación en la resolución de problemas. Su dificultad puede graduarse desde los más básicos, con enunciado corto y sencillo, hasta otros más complejos, con enunciado más largo y mayor dificultad algebraica. • Todos los alumnos deberían ser capaces de plantear problemas sencillos; para ello es bueno insistir en la importancia de leer el enunciado con detenimiento, elegir las incógnitas con cuidado e interpretar y comprobar las soluciones una vez se ha terminado. • Puede ser útil incluso que pidamos a los alumnos, especialmente a los que tienen dificultades, a explicar cada uno de estos pasos. • Como caso particular del método de sustitución, también se formaliza en este epígrafe el método de igualación, que en realidad ya ha sido utilizado de forma intuitiva al aplicar el método gráfico. No es necesario dedicarle un tiempo excesivo, ya que resultará muy intuitivo para los alumnos que hayan comprendido en profundidad los otros métodos. 27 y 28. En estas actividades, el objetivo didáctico no es resolver el sistema de ecuaciones, sino comprender lo que representa en la vida real y saber traducirlo al lenguaje algebraico, lo que constituye uno de los pilares competenciales del álgebra en esta unidad. En la actividad 28 en particular, trabajaremos la competencia de aprender a aprender pidiendo a los alumnos que interpreten y manipulen el mismo enunciado para conse-

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Unidad 4


guir que refleje la realidad; para ello tienen que haber interiorizado suficientemente y ser capaces de abordar este nivel de abstracción. 29 y 30. Estos son dos ejemplos de aplicación directa de los sistemas de ecuaciones a la realidad cotidiana, trabajando así una vez más la competencia de interacción con el mundo físico. A estas alturas de la unidad, los problemas en sí no tienen más complicación que la interpretación del enunciado y su traducción al lenguaje algebraico. Sin embargo, pueden utilizarse como modelos para pedir a los alumnos que formulen sus propios problemas, los cambien con sus compañeros y los resuelvan. Como técnica de aprendizaje es mucho más productivo el esfuerzo de inventar problemas y solucionarlos que la mera resolución mecánica de actividades. 46. Esta actividad requiere una reflexión más allá de la resolución del sistema de ecuaciones por un método u otro. Debemos pedir al alumno explícitamente que tome perspectiva y observe el sistema para identificar cuál es la incógnita más conveniente para despejar, y la respuesta debe ser razonada. Con ello trabajamos la competencia de aprender a aprender, puesto que el alumno no se limitará a aplicar la receta de resolución, sino que emitirá su propio juicio sobre la mejor estrategia para abordar un problema (en este caso, deliberadamente desprovisto de contexto). 50. Aparte de la resolución del sistema de ecuaciones, esta actividad tiene un contexto sencillo y cercano que puede aprovecharse para que los alumnos la apliquen en su entorno inmediato. Podemos pedirles que varíen algunos de los datos o incluso que formulen un problema similar y lo resuelvan. 51. Lo interesante de esta actividad es que los alumnos observen que un mismo problema se puede resolver de más de una manera. Es muy frecuente que, por encontrarse en la unidad de sistemas de ecuaciones, enfoquen cualquier actividad de forma inmediata y sin reflexión utilizando esta herramienta, mientras que en este caso se puede resolver con una simple ecuación de primer grado. En este sentido, debemos insistir una vez más a los alumnos en que no se trata de aplicar un método sin más, sino de escoger el mejor modo de resolver un problema, y acordarnos de preguntarles (y hacer que se pregunten) antes de que comiencen una actividad: “¿Cómo vas a resolverla?”.


24 a 26, 29, 30, 46, 47 a 50

Medias

27, 28, 51, 52, 57, 58, 60 a 65, 67 a 72

Altas

53, 56, 59, 66 y 73



En particular, las actividades 52 a 73 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias Dentro de esta sección se han incluido dos actividades extensas que trabajan simultáneamente varias competencias: principalmente la de interacción con el mundo físico, pero también la lingüística, la de aprender a aprender y la de tratamiento de la información. Ambas tratan sobre las mezclas de sustancias y cómo suscitan problemas de sistemas de dos (o más) ecuaciones. 74. Antes de comenzar, esta actividad da una indicación de los tipos de preguntas que se pueden encontrar en los problemas de mezclas de sustancias. El primer impulso del alumno será pasar por alto el texto e ir directamente a resolver el problema numérico. Por tanto, debemos detenerlo un momento y preguntarle qué se quiere decir, por qué se da esta indicación y cómo cree que puede ayudarle. La competencia lingüística y la de tratamiento de la información, por tanto, están presentes en la lectura inicial y en la traducción al lenguaje algebraico de los enunciados de la actividad. La competencia de interacción con el mundo físico está presente al partir de contextos cotidianos (la mezcla de harinas y los dos tipos de manzanas de la frutería) que necesitan los sistemas de ecuaciones para su resolución. 75. En línea con la anterior, esta actividad trabaja la competencia de interacción con el mundo físico. El contexto son las aleaciones de metales, y los ejemplos están extraídos de la realidad: el latón, la plata y el oro, entre otros. Por tanto, como extensión podemos pedir a los alumnos que busquen otras aleaciones (por ejemplo, los distintos tipos de acero) y planteen sus propios problemas. La competencia lingüística está especialmente presente en esta actividad, dado que es necesario leer con

atención y comprender todas las lecturas para poder resolver correctamente los problemas. Del mismo modo, la traducción al lenguaje algebraico está presente en toda la actividad. Por último, si el tiempo lo permite, el trabajo se puede realizar en equipos. De este modo se puede valorar el liderazgo y la aportación de cada alumno, y su capacidad para dividirse las tareas de forma eficaz, lo que en este problema resulta relativamente sencillo porque los problemas se pueden resolver en paralelo. Con ello trabajaríamos la competencia de autonomía e iniciativa personal.


Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.



Unidad 4

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS De nuevo, el enfoque del refuerzo es a partir de problemas básicos, con los casos más sencillos, buscando que el alumno con mayores dificultades adquiera seguridad a través de la resolución de ejercicios lo más intuitivos que sea posible. Nos proponemos afianzar los conceptos elementales para que, una vez superado este nivel, el alumno pueda pasar a otros ejercicios más generales. Es importante incidir en que en la realización de cada ejercicio se detallen todos los pasos, sin dejar ninguno al azar. A veces, nuestros alumnos tienen la idea de que las conclusiones que vamos obteniendo en la realización de un problema son aleatorias. Incidimos también en la comprobación de soluciones. Esta nos parece una estrategia muy útil para que los alumnos asimilen el concepto de solución de una ecuación o de un sistema.

ACTIVIDAD DE GRUPO Campeonato de ecuaciones Cada grupo de tres o cuatro alumnos debe buscar situaciones de su entorno en las que sea posible plantear sistemas de ecuaciones. Por ejemplo: – A partir del precio de algunos artículos de la cafetería pueden establecer relaciones con los mismos para poder plantear el sistema de ecuaciones correspondiente. – Escoger un par de números y construir un sistema de ecuaciones que los tenga por solución. Los números pueden ser la edad, el peso, la talla… del alumno, o simplemente arbitrarios. – Escoger un objeto, medir sus dimensiones y escribir un sistema de ecuaciones en que dichas dimensiones sean las incógnitas. Se trata de construir los sistemas de ecuaciones a partir de cantidades conocidas, al contrario de lo aprendido en la unidad. Una vez escritos, los distintos grupos intercambian sus respectivos problemas. El juego consistirá en resolver los problemas de los otros grupos. Se debería puntuar en primer lugar por corrección de la solución, y solo en caso de empate, por tiempo de resolución, dado que debemos incentivar que resuelvan bien los sistemas, y no que lo hagan apresuradamente y con mayor probabilidad de error.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Una

b) Dos

c) Tres

d) Una

2. a) y = 1

b) y = 1

c) y = –1

d) y = 2

3. a) x = –1

b) x = 3

c) x = 2

d) x = –1

4. a) x = 1, y = 3

b) x = 0, y = 2

c) x = –1, y = 1

d) x = 2, y = 4

5. a) x = 4, y = 1

b) x = 4, y = 1

c) x = 3, y = –1

d) x = 1, y = –1

6. a) x = 4, y = 1

b) x = 4, y = –1

c) x = 2, y = 1

d) x = –1, y = 0

7. Ha ganado cuatro partidos y ha empatado cuatro. 8. Los de chorizo, 2 euros; los de jamón, 1 euro.


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Unidad 4





1. En los sistemas de ecuaciones aparecen con frecuencia ecuaciones con dos o más incógnitas. ¿Cuántas incógnitas hay en las siguientes ecuaciones? a) x2 + 2x + 1 = 0

c) x2 = 2yz

b) x − y − 3 = 0

d) y2 + 2y − 1 = 0

2. Las soluciones de las ecuaciones con dos incógnitas están formadas por dos valores. Si conocemos uno de ellos, podemos calcular el otro. Para x ⴝ 1, despeja y calcula el valor de la y en las siguientes ecuaciones. 2x − 4 a) x − 2y + 1 = 0 c) y = 2 b) x + 2y = 3 d) x − y = –1 3. En las ecuaciones del ejercicio anterior, despeja x en cada caso y sustituye para encontrar su valor suponiendo que y ⴝ 0. 4. Supongamos que nos dicen cuánto vale y en función de x, por ejemplo, y ⴝ x ⴙ 2. Resuelve los siguientes sistemas utilizando la expresión de y, que ya conoces. ⎪⎧ a) ⎨ y = x + 2 ⎩⎪⎪ 2 x − y = −1

⎪⎧ c) ⎨ y = x + 2 ⎩⎪⎪ x − 2 y = −3

⎧⎪ b) ⎨ y = x + 2 ⎪⎪⎩ x + y = 2

⎧⎪ d) ⎨ y = x + 2 ⎪⎪⎩ 3 x − y = 2

5. A veces, una forma sencilla de resolver ecuaciones es sumándolas para que desaparezca una incógnita. Resuelve las siguientes ecuaciones usando este método. ⎧⎪ a) ⎨ x + y = 5 ⎪⎪⎩ x − y = 3

⎧⎪ c) ⎨ x + y = 2 ⎪⎪⎩ x − y = 4

⎪⎧ b) ⎨ x + y = 5 ⎪⎪⎩ 2 x − y = 7

⎪⎧ d) ⎨ x + y = 0 ⎪⎪⎩ 3 x − y = 4

6. Aplica el método de reducción a cada una de las incógnitas de los siguientes sistemas. ⎪⎧ a) ⎨ x + 2 y = 6 ⎪⎪⎩ x − y = 3

⎪⎧ c) ⎨ x + 4 y = 6 ⎪⎪⎩ x − y = 1

⎪⎧ b) ⎨ x + 3 y = 1 ⎩⎪⎪ x − y = 5

⎪⎧ d) ⎨ 4 x + y = − 4 ⎩⎪⎪ 2 x − 3 y = −2

8. En la clase de Pedro venden bocadillos en el recreo a fin de reunir dinero para el viaje de fin de curso. Un día venden 30 bocadillos de chorizo y 10 de jamón, y obtienen 70 euros; al día siguiente venden 25 de chorizo y 15 de jamón, y obtienen 65 euros. ¿Cuál es el precio de cada bocadillo?


Unidad 4


7. En un campeonato de voleibol que se organiza en el instituto, cada equipo suma 3 puntos cuando gana, un punto si empata y cero cuando pierde. Uno de los equipos ha ganado el mismo número de partidos que ha empatado. Si ha conseguido 16 puntos, ¿cuántos partidos ha ganado y cuántos ha empatado?

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Dentro de las actividades de ampliación se han intentado introducir varios tipos diferentes de ejercicios con el objetivo de que aquellos alumnos más avanzados desarrollen adecuadamente sus capacidades. Las ideas básicas sobre las que se han organizado los ejercicios de este apartado son las siguientes: • Se proponen sistemas lineales, esta vez con tres incógnitas. Creemos que los alumnos avanzados pueden afrontar perfectamente este tipo de ejercicios y, además de las ventajas que el desarrollo de ejercicios algebraicos de cierta complejidad proporciona a la formación de los alumnos, estos pueden ser una buena introducción para el tratamiento de sistemas más complejos de cursos posteriores, sobre todo en Bachillerato. • Añadimos ejercicios en los que hay que despejar alguna variable en función de otra u otras. Nuestro objetivo es de nuevo que los alumnos desarrollen las técnicas del lenguaje algebraico. • Se plantean ejercicios de cierta complejidad para cuya resolución es útil el uso de sistemas de dos o tres ecuaciones. La resolución de problemas es una aplicación fundamental del álgebra elemental y del estudio de sistemas de ecuaciones en particular.

ACTIVIDAD DE GRUPO Un sistema, muchas soluciones Se organizan grupos de cinco personas. Se propone un sistema de ecuaciones a todos los grupos por igual. La actividad consiste en que cada grupo piense varias formas diferentes de resolver el sistema. Una vez se ha dejado cierto tiempo para que los alumnos busquen las soluciones, cada grupo presenta una solución del problema por turnos, de forma que no se repitan las formas de resolución. Por ejemplo, si el primer grupo empieza resolviendo por sustitución despejando x en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, el siguiente grupo puede resolverlo también por sustitución despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera. El siguiente grupo debería utilizar otro método como el de reducción, que también permite cuatro formas diferentes de resolución, y así sucesivamente. Si algún grupo utiliza un método diferente (es decir, una mezcla de los métodos que conocen), debe ser reconocido siempre que lo haya hecho de forma ordenada y sea capaz de explicar los pasos. Asimismo, al final de la actividad es interesante preguntarles qué método les parece el más apropiado para este sistema de ecuaciones, y por qué.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. x = 1, y = –1, z = 3 2. a) x = 1, y = 1, z = 2 3. z =

b) x = –1, y = 1, z = 2

xy y + 2x

4. El valor de b = 5, el de a = 3 y el de c = 2 5. 2a6 b − 4 = 50 6. El tipo A tiene un rendimiento del 90%; el tipo B, del 80%, y el tipo C, del 75%. ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ 4 5 2 5 ⎟⎟ ⎜ −4 5 −2 5 ⎟⎟ ⎟⎟ y ⎜⎜ ⎟⎟ , , 7. ⎜⎜ ⎜⎜ 5 ⎜⎜ 5 5 ⎟⎟⎠ 5 ⎟⎟⎠ ⎝ ⎝ 8. El número es 853. 9. Pedro tiene 10 años.


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Unidad 4





1. Resuelve el siguiente sistema. ⎪⎧⎪ x + y + z = 3 ⎪⎨ x + 2y − z = −4 ⎪⎪ ⎪⎩ x − 3 y − z = 1 Indicación: para resolver sistemas con tres ecuaciones se pueden ir eliminando incógnitas utilizando el método de reducción; por ejemplo, en este caso eliminamos la x en las dos últimas ecuaciones, operando entre las ecuaciones. En la segunda escribiremos 1.ª - 2.ª, y en la tercera, 1.ª - 3.ª. Así obtenemos: ⎧⎪ x + y + z = 3 ⎪⎪ ⎨ −y + 2 z = 7 ⎪⎪ ⎪⎩ 4y + 2 z = 2 Y ahora puedes resolver el sistema formado por las dos últimas ecuaciones para encontrar los valores de y y z. Posteriormente se sustituye en la primera ecuación para encontrar x. 2. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones. ⎧⎪ x + y − 2z = − 4 ⎪⎧⎪ x + y + z = 4 ⎪⎪ ⎪⎨ a) x − y + z = 2 c) ⎨ x + 2 y − z = −1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ 2 x − 2 y + 2z = 0 ⎩⎪ x + y − z = 0 3. Se sabe que

1 1 1 + = . Despeja z en función de x e y. 2x y 2z

4. Sabiendo que a, b y c son números reales y teniendo en cuenta que a debe ser positivo, calcula los valores de a, b y c, si cumplen a · b ⴝ 15, b · c ⴝ 10 y a · c ⴝ 6. 5. Si a2 b = 3, ¿cuánto vale 2a6 b − 4? 6. En una empresa de reciclado de papel se clasifica el material recogido en tres tipos: A, B y C, en función de su calidad. Se realizan tres pruebas: en la primera, con 2 kilogramos de papel de tipo A, 1 de tipo B y 1 de tipo C obtenemos 3,35 kilogramos de papel nuevo. En la segunda prueba, con 1 kilogramo de tipo A, 2 de tipo B y 1 de tipo C obtenemos 3,25 kilogramos. En la tercera prueba, con 1 kilogramo de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo C obtenemos 3,2 kilogramos de papel nuevo. ¿Cuál es el rendimiento en porcentaje de cada uno? 7. Los puntos de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2 cumplen la ecuación: x2 + y2 = 4 Encuentra qué puntos de la circunferencia cumplen la igualdad x − 2y = 0 (esta es la ecuación de una recta; por tanto, estamos buscando en realidad los puntos de corte de la recta y la circunferencia dadas).

9. María le dice a su hijo Pedro: “Cuando transcurra la cuarta parte de los años que tengo, tú tendrás la mitad de mi edad actual”. Pedro le contesta: “Sí, pero hace tan solo cinco años, tu edad era siete veces mayor que la mía”. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?


Unidad 4


8. Las tres cifras de un número suman 16. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 495; la cifra de las decenas es igual a la diferencia entre la cifra de las centenas y la de las unidades. Calcula dicho número.

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APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Se tienen los valores x ⴝ 0 e y ⴝ –1. ¿Son una solución de cada uno de los siguientes sistemas? ⎧ ⎧⎪ a) ⎪⎨ x − y = 1 c) ⎨ 3 x − 2 y = 2 ⎪⎩⎪ 2 x − y = 1 ⎪⎩⎪ 2 x + 2 y = 2 2. Se tienen los valores x ⴝ –1 e y ⴝ 1. a) ¿Forman una solución de la ecuación 2x + 3y = 1? b) ¿Cuánto debe valer m para que x = m e y = m formen una solución de 2x + 3y = 1? 3. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas. ⎧ ⎧⎪ a) ⎪⎨ x + y = 5 c) ⎨ x − y = 4 ⎪⎪⎩ 2 x − y = 1 ⎪⎪⎩ 2 x − y = 9 4. Resuelve aplicando el método de sustitución. ⎪⎧ ⎪⎧ a) ⎨ 2(x − 1) = y c) ⎨ x + y = 5 ⎪⎪⎩ x = 3( y + 2) ⎪⎪⎩ 2(x − 3) = y − 2 ⎪⎧⎪ x y 5. Resuelve por sustitución: ⎪⎨ 2 − 3 = 2 ⎪⎪ 2 ⎪⎩ x + x = x( x + 2) − 2 y ⎪⎧ 6. Resuelve por reducción el siguiente sistema: ⎨ 2 x + y = 8 ⎩⎪⎪ 3 x − y = 7 ⎧⎪ y ⎪ 7. Resuelve el sistema aplicando el método de reducción: ⎪⎨ 2x − 2 = 0 ⎪⎪ ⎪⎩ 3x + y = 7 ⎧⎪3 x − y = 0 8. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones: ⎪⎨ ⎪⎪ x = y + 2 ⎩ 9. Nuria y Josefina salen caminando de sus respectivas casas para encontrarse. Nuria camina a una velocidad de 1 metro por segundo, y Josefina lo hace a 1,5. Escribe las ecuaciones que describen sus movimientos y encuentra la solución gráfica, sabiendo que Nuria vive en el pueblo (origen de coordenadas), y Josefina, a 500 metros.


10. Juan y su hermano Luis juntan su dinero para hacer un regalo a su madre. Juan tiene 21 euros más que Luis y juntos tienen 37 euros. ¿Qué cantidad tenía cada uno?

11. Se dispone de café de dos tipos: A y B. Un kilogramo de café de tipo A cuesta 9 euros, mientras que uno de tipo B cuesta 6 euros. Si se desea obtener 10 kilogramos de mezcla en la que cada kilogramo cueste 8,40 euros, ¿qué cantidad debemos mezclar de cada tipo?

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Unidad 4




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Sí

b) No

2. a) Sí

b) m =

3. a) x = 2, y = 3

b) x = 5, y = 1

4. a) x = 0, y = –2

b) x = 3, y = 2

1 5

5. x = 6, y = 3 6. x = 3, y = 2 7. x = 1, y = 4

8. La solución del sistema es la siguiente.

Y

1

1 X

9. Ecuación de Nuria: e = t Ecuación de Josefina: e = 500 − 1,5 · t Solución del sistema: e = 200 m, t = 200 s

Espacio (m)

O

500 400 300

Nuri

200

Jos efin a

100 0

50

100

150

200

a

250

300 Tiempo (s)


10. Dinero de Juan: x. Dinero de Luis: y ⎪⎧ Sistema de ecuaciones: ⎪⎨ x + y = 37 → Juan tiene 29 euros, y Luis, 8. ⎪⎪⎩ x = y + 21

11. Tomando x kg de A e y kg de B se tiene: ⎪⎧ Sistema de ecuaciones: ⎪⎨ x + y = 10 → Hay que mezclar 8 kg de A con 2 kg de B. ⎪⎪⎩ 9 x + 6 y = 8,4 ⋅ 10


Unidad 4

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U N I DA D

5

3

ESO

La ecuación de segundo grado. Identidades notables

CONTENIDO


7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *(También la podrás encontrar en el CD Programación.)


Unidad 5



El estudio de las ecuaciones en general y la resolución de ecuaciones de segundo grado en particular constituyen uno de los puntos básicos del contenido del área de Matemáticas en la Educación Secundaria Obligatoria. Del mismo modo, el dominio de las identidades notables es una habilidad imprescindible para este curso y todos los siguientes. Las ecuaciones de segundo grado presentan la particularidad de que pueden tener 0, 1 ó 2 soluciones reales, lo que resulta un cambio muy significativo respecto a las de primer grado. Para los alumnos puede resultar desconcertante el hecho de que una ecuación de segundo grado pueda no tener solución real, y debemos ser cuidadosos para no introducir todavía los números complejos, aunque las raíces de números negativos surjan constantemente. También deberán acostumbrarse a que algunas soluciones matemáticamente válidas de ecuaciones de segundo grado no tienen significado físico, normalmente por ser negativas. Al igual que en el caso de las ecuaciones lineales, uno de los aspectos más importantes de esta unidad es la resolución de problemas: es conveniente incidir todo lo posible en este punto, ya que la resolución de problemas es una de las habilidades matemáticas más necesarias y a la vez más interesantes. Es muy bueno y motivador que los alumnos perciban también este carácter práctico.

OBJETIVOS


1. Conocer la ecuación de segundo grado y su fórmula general de resolución.

1. Resolver ecuaciones de segundo grado en su forma general.

2. Comprender las técnicas de simplificación y paso a forma general de la ecuación de segundo grado.

2. Saber pasar a su forma general más simple una ecuación de segundo grado dada en cualquier otra forma.

3. Comprender las ecuaciones de segundo grado incompletas como casos particulares y saber resolverlas.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas sin necesidad de acudir a la fórmula general.

4. Comprender las identidades notables y saber resolver problemas que las involucran.

4. Dominar las identidades notables y determinar cuándo su aplicación simplificará un problema.

CONTENIDOS • Grado de una ecuación • Ecuaciones de segundo grado: fórmula general • Paso a forma general de una ecuación de segundo grado • Simplificaciones de una ecuación de segundo grado • Coeficientes de la fórmula general • Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 • Ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 • Cuadrado de una suma • Cuadrado de una diferencia • Suma por diferencia • Técnicas de resolución de problemas

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Unidad 5



• Lingüística • Matemática • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En esta unidad resulta imprescindible que el alumno tenga cierta fluidez en la manipulación de expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones de primer grado. Asimismo, es fundamental que domine las potencias. Por otro lado, puesto que la aparición de este tipo de cálculos es constante a lo largo de todos los ejercicios propuestos, inevitablemente se afianzarán estas destrezas.

2. Previsión de dificultades Esta unidad no resulta excesivamente compleja si los alumnos dominan las ecuaciones de primer grado y saben manipular expresiones algebraicas con soltura. No obstante, pueden encontrar algunas dificultades al traducir enunciados textuales a ecuaciones de segundo grado, y a la inversa. Así pues, tenemos que insistir en que no memoricen ciegamente los mecanismos de resolución sin más, sino que comprendan lo que ello implica. También las identidades notables presentan cierta dificultad, no en su aprendizaje, sino para reconocerlas en mitad de una manipulación algebraica. Por ello debemos animar a los alumnos a que detecten las identidades notables cuando estén realizando cálculos simbólicos.

3. Vinculación con otras áreas La ecuación de segundo grado y las identidades notables son dos pilares de las matemáticas de secundaria, y, por tanto, su conexión con otras materias es muy amplia: desde las fuerzas y los movimientos acelerados en física hasta la proporción áurea en el arte, pasando por numerosos problemas de la vida cotidiana.

4. Esquema general de la unidad En la entrada se motiva la aparición de la ecuación de segundo grado a través de la presencia del número áureo en las dimensiones del Partenón de Atenas. Las preguntas aquí planteadas invitan a los alumnos a reflexionar y a descubrir por sí mismos cómo surge la ecuación de segundo grado, y están enlazadas con la actividad final de la sección “Pon a prueba tus competencias”. La sección “Desarrolla tus competencias” contiene dos actividades sobre anuncios de televisores, en las que los alumnos tendrán que plantear y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas de forma guiada. Esto nos servirá para motivarlos y evitar que perciban estas ecuaciones como una herramienta formal e inútil. En el primer epígrafe describimos la ecuación de segundo grado y su fórmula general de resolución, con especial atención al número de soluciones.

ECUACIÓN DE 2.º GRADO

El epígrafe 2 presenta técnicas de simplificación para reducir ecuaciones de segundo grado a su forma habitual.

CARACTERÍSTICAS

N.º de soluciones

En el tercer epígrafe se exponen las ecuaciones de segundo grado incompletas y sus técnicas específicas de resolución.

EXPRESIÓN GENERAL

ax2 + bx + c = 0

Por último, el epígrafe 4 recuerda las identidades notables y muestra su aplicación a la resolución de problemas.

FÓRMULA DE RESOLUCIÓN

5. Temporalización

IDENTIDADES NOTABLES

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en seis sesiones: 1.ª La ecuación de segundo grado y su fórmula general de resolución 2.ª Simplificaciones antes de aplicar la fórmula 3.ª Ecuaciones de segundo grado incompletas 4.ª Identidades notables 5.ª Actividades de consolidación y de aplicación 6.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 5

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada a dos elementos matemáticos esenciales como son la ecuación de segundo grado y las identidades notables, se trata de una unidad instrumental, de modo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia cultural y artística En esta unidad se trabaja la competencia cultural y artística a través de la vinculación de las matemáticas (en este caso, las ecuaciones de segundo grado) con la estética en la arquitectura (la proporción áurea, el Partenón, el hombre de Vitruvio, etc.). Con ello se trabaja la subcompetencia de utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo, en especial en sus vertientes de conocer las principales obras del patrimonio cultural y de valorar la importancia de la estética en la vida cotidiana.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Asimismo, en esta unidad se trabaja esta competencia al dedicar medio epígrafe a explicar técnicas de resolución de problemas, desarrollando así la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.



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Unidad 5




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO




4.º nivel de concreción – Conoce las ecuaciones de segundo grado y sus características.


Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural.

– Conoce el número áureo, lo relaciona con la cultura griega y el Renacimiento, y comprende su valor estético.

Matemática

Cultural y artística

Utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento personal y colectivo.

Valorar la importancia que los valores estéticos tienen en la vida cotidiana de la persona y de las sociedades

– Sabe resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. – Domina las identidades notables y sabe aplicarlas para resolver problemas concretos. Toda la unidad

– Conoce obras clave del patrimonio artístico, como el Partenón o el hombre de Vitruvio, y aprecia los valores estéticos inducidos por las matemáticas que están presentes en ellas. Entrada Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




En la red Pon a prueba tus competencias. – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 4, 11 y 20 Pon a prueba tus competencias.

Aprender a aprender


Innovación.

Desarrollar experiencias de aprendizaje que fomenten las habilidades individuales para la resolución de problemas. Conocer y aplicar, según las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como las técnicas de estudio y memorización.

– Desarrolla técnicas ordenadas de resolución de problemas que involucren ecuaciones de segundo grado o identidades notables. Desarrolla tus competencias. Actividades 14, 21 y 28 Pon a prueba tus competencias.

Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. – Resuelve problemas no guiados que

Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos.


requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas.


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5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO – N.º 3. Ecuaciones y sistemas, unidad III

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 5. Ecuaciones de primero y segundo grado • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 3: Ecuaciones y sistemas, unidad II • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

SM

www.librosvivos.net

Internet

Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01 Otros

Ecuaciones de segundo grado en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd06

Otros materiales

• Juegos de dominó en los que intervengan ecuaciones de segundo grado y sus soluciones.

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Unidad 5

• Calculadora científica, a cuyo manejo deben acostumbrarse los alumnos, introduciendo adecuadamente los datos, teniendo en cuenta la jerarquía de los operadores aritméticos y el orden en que realiza la calculadora las operaciones. • Herramientas informáticas como WIRIS para la resolución de ecuaciones de segundo grado o el buscador matemático WolframAlpha.


Sugerencias didácticas Entrada El texto y la fotografía de la entrada pretenden llamar la atención de los alumnos sobre la presencia de las matemáticas en el arte. En concreto, comentamos la proporción áurea en el Partenón de Atenas, que se explica de forma muy sencilla y los alumnos pueden comprender sin dificultad. A partir de la relación entre anchura y altura debemos conseguir que sean los propios alumnos quienes lleguen al concepto de ecuación de segundo grado. Ya conocen las ecuaciones y deben saber manejar el álgebra lo suficiente como para traducir la ecuación dada a: x x+y = y x Y operar con ella hasta llegar a la ecuación: x 2 − y 2 − xy = 0 Esta ecuación, cuando se sustituye la altura o la anchura, es de segundo grado con una incógnita, como las que se estudian en esta unidad. Debemos acompañar a los alumnos hasta llegar a esta ecuación, pero en principio no ir más allá desde el punto de vista matemático. Por otra parte, podemos aprovechar la segunda actividad para pedirles que busquen elementos artísticos, de la naturaleza o simplemente cotidianos donde se dé la proporción áurea; por ejemplo, algunos cuadros de Mondrian y Salvador Dalí, el tamaño de las ramas de los árboles en relación a sus troncos, ciertas piezas de música de Satie, Chopin y Bartok, y un gran número de elementos gráficos, como las tarjetas de crédito, los carnets y muchos folletos. Con todo ello, estaremos propiciando una investigación sobre elementos culturales y artísticos, y trabajaremos así esta competencia.

Desarrolla tus competencias 1. Aquí realizamos una primera aproximación a las ecuaciones de segundo grado partiendo de un contexto muy familiar para los alumnos: los formatos de los televisores. Aunque se trata de un primer acercamiento, ya los introducimos de manera formal. Dado que se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, si siguen paso a paso el desarrollo, se darán cuenta de que saben resolverla con el álgebra que conocen. De este modo, pueden cobrar conciencia de que las herramientas que ya dominan pueden resolver problemas que no sospechaban, y trabajar así la competencia de aprender a aprender. Debemos insistir en que los contenidos que vamos a estudiar no son más que una generalización de este caso. 2. En esta actividad, el contexto es similar, pero el objetivo es ligeramente distinto: ahora debemos conseguir que los alumnos interpreten la información sin ayuda y manejen de forma intuitiva las ecuaciones incompletas de segundo grado que les surjan. En el fondo, les pediremos que descubran por sí mismos la formalización de estas ecuaciones, por lo que, además de la competencia matemática, estaremos trabajando intensamente la de aprender a aprender.

1. La ecuación de segundo grado. Fórmula general • Las ecuaciones de segundo grado suponen el primer acercamiento de los alumnos a ecuaciones en las que podemos tener varias soluciones; se trata de un cambio muy significativo respecto a las ecuaciones de primer grado. Es importante que los alumnos sean conscientes de que hay muchos tipos de ecuaciones y de que el tipo de ecuación determina las técnicas para su resolución y su posible número de soluciones. • El estudio del grado de una ecuación ayudará a profundizar en el concepto de solución y es fundamental para clasificar una ecuación antes de intentar resolverla. • La resolución de ecuaciones de segundo grado es un contenido fundamental; por ello es importante que nos detengamos en la resolución de varios ejemplos y que los alumnos sean capaces de explicar los pasos de esta técnica, que, por otra parte, son sencillos: el reconocimiento de los coeficientes de la ecuación y la memorización y correcta aplicación de la fórmula. • El estudio del discriminante de la ecuación (actividad 5) podríamos reservarlo para alumnos con un nivel medio o alto; para este tipo de alumnos tiene gran interés, pues con ello profundizamos en la importancia de estudiar si una ecuación tiene solución y cuántas soluciones tiene, antes de lanzarnos a buscarlas.


1 a 3, 29 y 30

Medias

5

2. Simplificaciones antes de aplicar la fórmula • Una vez los alumnos han comprendido la ecuación de segundo grado en su forma general y saben resolverla, debemos hacerles ver dos cuestiones importantes: – No siempre van a encontrar la ecuación en su forma general. – Incluso cuando la encuentren en esta forma, es muy frecuente que se pueda transformar para que los cálculos sean más sencillos. • Los alumnos ya deben dominar el álgebra necesaria para realizar cualquiera de estas transformaciones que convierten una ecuación de segundo grado a su forma general o la simplifican. Si no fuera así, es una buena ocasión para repasar estos contenidos, dado que sin ellos pueden bloquearse. • Por tanto, debemos marcarnos como objetivo de este epígrafe que los alumnos jamás intenten resolver directamente una ecuación como: 750 x 2 − 750 x − 1500 = 0 • Una buena estrategia para concienciarles de la importancia de este epígrafe es plantearles esta ecuación u otra similar al comienzo de la clase y pedirles que la resuelvan sin calculadora. De este modo, además de la capaci-


Unidad 5

7


dad matemática, podremos observar la madurez del alumno en lo que a estrategias de aprendizaje y resolución de problemas se refiere, y con ello estaremos trabajando de forma activa la competencia de aprender a aprender. • Por último, dado que este epígrafe está muy orientado a desarrollar técnicas ordenadas de resolución de ecuaciones de segundo grado, es buena idea que, antes de que se lance a hacer cálculos, preguntemos al alumno: ¿cómo vas a resolverla?, y le hagamos reflexionar sobre si la estrategia que va a utilizar es la mejor. 14. En esta actividad podemos hacer muy patente la importancia de simplificar las ecuaciones antes de resolverlas. Si los alumnos han completado el epígrafe siguiendo las instrucciones y aplicando las transformaciones sin más, aquí por fuerza los haremos conscientes de cuánto puede complicarse una ecuación si no se simplifica. El objetivo no es, evidentemente, entrenarlos en la realización de cálculos farragosos, sino poner en evidencia la necesidad de manejar estrategias de resolución de problemas.


6 a 10, 14 y 31

Medias

12 y 13

3. Ecuaciones de segundo grado incompletas • Es importante que los alumnos perciban la importancia de resolver cada nuevo problema que se presente con el método más sencillo posible, y en este sentido, el estudio de las ecuaciones de segundo grado incompletas con métodos particulares resulta especialmente interesante. Los métodos de resolución en este caso no presentan ninguna técnica nueva, pues utilizan recursos conocidos por los alumnos: extracción de factor común y aislamiento del término desconocido de la ecuación. • Resulta útil plantear este estudio de ecuaciones incompletas como consecuencia de la fórmula general de resolución para que los alumnos comprendan la imposibilidad de aplicar métodos básicos, como los que se utilizan aquí, para la resolución de las ecuaciones de segundo grado completas. • En este sentido, este epígrafe debería suponer un cierto alivio para los alumnos, aunque en la práctica a menudo los confunde. Piensan: “Si ya tengo una fórmula general, ¿para qué necesito fórmulas particulares?”. • Por ello debemos hacerles ver que la resolución de las ecuaciones incompletas es en realidad mucho más sencilla, que no necesitan acudir a la receta, pero que tienen que pensar y operar de forma muy sencilla con el álgebra que ya dominan. Hay que insistir en que no se trata de aplicar una nueva fórmula, sino de observar la ecuación, analizarla y aplicar la mejor estrategia. 21. Esta actividad está precisamente orientada a reforzar la idea de que no es necesariamente más sencillo aplicar la fórmula general que resolver los casos particulares. Además, sirve para que los alumnos sepan identificar los coeficientes que son 0 si quieren aplicar la 8

Unidad 5


fórmula general, lo que les aportará una mayor comprensión de la ecuación de segundo grado. Con todo ello, estaremos desarrollando estrategias de resolución de problemas y trabajando la competencia de aprender a aprender.


15 a 17

Medias

18 y 19, 21 a 23

Altas

24

4. Identidades notables y problemas • Conviene comenzar planteando el cuadrado de la suma y de la diferencia como producto del binomio por sí mismo y, una vez obtenido el resultado, saltar ese paso intermedio. Deben fijarse en los signos (en el caso de la diferencia) y no olvidarse del término doble del primero por el segundo. También hay que recordarles que al elevar al cuadrado un término, se eleva no solo el coeficiente, sino también la parte literal. • Es importante que sepan interpretar las identidades notables en los dos sentidos, es decir, tanto saber desarrollar la identidad notable correspondiente como, ante una expresión algebraica desarrollada que sospechamos sea una identidad notable, saber a cuál de ellas corresponde. • Por otra parte, debemos hacer que no conciban las identidades notables como algo aislado, sino como una herramienta útil para resolver problemas algebraicos de muchos tipos. En concreto, su aplicación a las ecuaciones de segundo grado es inmediata, y esta es la razón de que se incluyan en esta unidad. • Para que comprendan esto, podemos pedirles que resuelvan las ecuaciones x 2 + 2 x + 1 = 0 y (x + 1)2 = 0, y que comparen la dificultad en cada caso. La conclusión debería ser inmediata. 28. Esta es una actividad que, sin ser extremadamente difícil, requiere un esfuerzo de estructuración al que los alumnos no suelen estar acostumbrados. Por esta razón trabaja la competencia de aprender a aprender. Debemos pedirles que enuncien los pasos que van a dar para resolver el problema, y evaluar esto más que el resultado final al que lleguen. Así, una respuesta óptima sería: − Llamamos x al lado del cuadrado. − Los lados aumentados y reducidos serán, respectivamente, x + 5 y x − 5. − El área del rectángulo es el producto de las longitudes de sus lados. Por tanto, el problema es resolver la ecuación (x + 5)(x − 5) = 144. − Antes de resolverla, observamos que hay una identidad notable que simplifica los cálculos (suma por diferencia); la aplicamos. − Pasamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, la simplificamos y la resolvemos.


25 y 26

Medias

27 y 28


Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, la actividad 36 está concebida para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad.

Pon a prueba tus competencias 37. En esta unidad se trabaja la sección “Pon a prueba tus competencias” a través de una única actividad extensa, que se compone de una lectura y ocho ejercicios. El objetivo es conocer en cierta profundidad la proporción áurea, su formulación matemática rigurosa y algunas aplicaciones en el arte y la vida cotidiana. Para ello se trabaja también la sucesión de Fibonacci, por su relación con el número de oro. Como es lógico, el texto se centra en el desarrollo matemático de la proporción áurea; la relación con el Renacimiento, el Partenón y Leonardo da Vinci nos suministra el contexto necesario para extender la actividad hacia el trabajo competencial. Así, partiendo del texto podemos pedir a los alumnos que formen grupos de 3 ó 4 y realicen un trabajo en equipo sobre el Partenón y sus proporciones. Una sencilla investigación les revelará que el número áureo no solo aparece en su anchura y altura, sino también en otros muchos elementos de la fachada. Con ello estaremos trabajando varias competencias simultáneamente: por una parte, la cultural y artística, por cuanto tendrán que profundizar en el patrimonio histórico y preguntarse (y responder) por qué razón los griegos introdujeron esta proporción de tantos modos en el Partenón. Por otra parte, si investigan con suficiente profundidad, se toparán con conceptos geométricos o de dibujo que escapan a su nivel (debemos prevenirlos de esta posibilidad); el hecho de discriminar qué conceptos dominan y a cuáles no pueden acceder es un proceso metacognitivo que entrena la competencia de aprender a aprender. Por último, el propio trabajo en equipo trabaja varios aspectos de la competencia de autonomía e iniciativa personal.

Una actividad análoga se puede plantear para el hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este modelo ideal de persona, no solo la altura y la distancia del ombligo a los pies se encuentran en proporción áurea. También sucede con la distancia del hombro a los dedos frente a la distancia del codo a los dedos, y con la altura de la cadera frente a la altura de la rodilla, entre otras. De nuevo, la investigación de estas proporciones llevará a los alumnos a descubrir por qué era tan importante la proporción áurea en el Renacimiento, trabajando con ello la competencia cultural y artística. En cuanto al resto de competencias, es aplicable lo dicho para la actividad sobre el Partenón.


Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.



Unidad 5

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El estudio de ecuaciones de segundo grado es básico dentro de los contenidos de Educación Secundaria Obligatoria y, sin embargo, algunos alumnos no consiguen asimilar las técnicas más simples por diferentes motivos. Nuestro objetivo es que todos los alumnos alcancen un nivel mínimo para que puedan resolver ecuaciones de segundo grado sencillas, y que conozcan y sean capaces de aplicar la fórmula de resolución. Si no consiguen adquirir estas destrezas, esa carencia lastrará su aprendizaje de otras partes de la materia tanto en este como en cursos posteriores. Para conseguir este objetivo podemos trabajar los siguientes pasos: • Partir de ejercicios elementales, incluso de un nivel muy inferior al curso que nos ocupa, con la finalidad de que el alumno vaya resolviendo con éxito ejercicios cada vez más complejos y ganando confianza en sí mismo. • Insistir en la comprobación de resultados como forma de que el alumno agilice su capacidad de cálculo y asimile el concepto de solución de una ecuación. • Procurar ejercicios con resultados asequibles: enteros o racionales de denominador bajo, pues de ordinario estos alumnos no tienen una gran destreza de cálculo y pierden confianza con resultados más complejos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Cada ecuación con su solución Preparamos 36 cartulinas iguales. Organizamos la clase en seis grupos, cada uno de los cuales tiene que escribir en tres cartulinas tres ecuaciones de segundo grado con soluciones enteras (una en cada cartulina), y en otras tres, sus soluciones. Las ecuaciones deben ser sencillas, de modo que se puedan evaluar mentalmente o con un breve cálculo escrito. A continuación se mezclan las cartulinas de ecuaciones y se despliegan sobre una mesa las de soluciones. Un representante de cada equipo extrae al azar una ecuación. Entonces, los miembros de su equipo tienen que encontrar entre las cartulinas de soluciones la que corresponde a la ecuación extraída. Cada equipo repite este proceso varias veces, por turnos, reponiendo cada vez la ecuación y desordenando las cartulinas de soluciones. Hay que premiar en primer lugar la corrección matemática, y solo en segundo lugar el tiempo que tarda el equipo en encontrar la solución. No se trata tanto de ser el más rápido como de hacer bien los cálculos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) x = 8, x = 1; a = 1, b = −9, c = 8

3.

ax2 + bx + c = 0

a

b

c

Soluciones

−x + 2x + 15 = 0

−1

2

15

−3 y 5

x2 + 13x + 42 = 0

1

13

42

−7 y −6

e) x = 2, x = −2; a = 1, b = 0, c = −4

3x2 = 6x

3

−6

0

0y2

f) x = 2, x = −3; a = 1, b = 1, c = −6

3x2 − 3x − 6 = 0

3

−3

−6

−1 y 2

4x2 − 5 = 4

4

0

−9

x2 + 3x + 5 = 0

1

3

5

b) x = 4, x = 1; a = 1, b = −5, c = 4

2

c) x = 4, x = 2; a = 1, b = −6, c = 8 d) x = 9, x = 1; a = −1, b = 10, c = −9

2.

Ecuación

Solución

3(x + 1) − 3 = x − (3 − x)

−3

4 − (5 − x) = 3 x − 5 2x2 − x − 1 = 0 x2 = 6x

Unidad 5

3 3 y 2 2

Sin sol. reales

2 −

1 2

0

4. a) x = 1, x = 6 5. a) 9x2 + 6xy + y2

1 ,x=2 3 b) x2 + 4y2 − 4xy

b) x =


10

−


c) x = −1 c) 4x2 − 4z2


ACTIVIDADES de REFUERZO


Unidad 5

1. ¿Sabes reconocer los coeficientes a, b, c de una ecuación de segundo grado? En cada una de las siguientes ecuaciones, encuentra los valores de a, b y c, y resuelve. a) x2 − 9x + 8 = 0

c) x2 − 6x + 8 = 0

e) x2 − 4 = 0

b) x2 − 5x + 4 = 0

d) −x2 + 10x − 9 = 0

f) x2 + x − 6 = 0

2. En un concurso televisivo hay cuatro puertas, tras las cuales se esconden fabulosos regalos. Al concursante le dan 4 llaves, y el llavero de cada una tiene escrita una ecuación. El presentador le asegura que ganará los regalos ocultos detrás de las puertas que consiga abrir. Observa los números escritos en cada una de las puertas. ¿Qué llave deberá utilizar el concursante para abrir cada puerta? x2 = 6x

1 2

0

2

3

2x2 x

3(x + 1) 3 = x (3

1=0

4 (5

x) = 3x

x)

5

3. Completa la tabla y resuelve las ecuaciones de segundo grado que contiene. ax2 + bx + c = 0

a

b

c

Soluciones

−x2 + 2x + 15 = 0

−1

2

15

−3 y 5

x2 + 13x + 42 = 0 3x2 = 6x 3x2 − 3x − 6 = 0 4x2 − 5 = 4 x2 + 3x + 5 = 0

4. Simplifica las siguientes ecuaciones de segundo grado hasta llegar a su forma general más sencilla y resuélvelas. a) (x − 3)2 + 2 x = 3(x + 1)

b) 3(x − 1)2 = x + 1

c) (2 x + 2)2 = 5(x + 1)2

5. Corrige las siguientes identidades notables. a) (3x + y)2 = 9x2 + y2 b) (x − 2y)2 = x + 4y − 4xy


c) (2x + 2z)(2x − 2z) = x2 − 4


Unidad 5

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El trabajo de los alumnos con un cierto nivel nos permite un gran margen de maniobra. Son muy variadas las actividades que podemos proponer para realizar con aquellos alumnos que ya han adquirido las destrezas básicas de resolución de ecuaciones de segundo grado y las identidades notables. Algunas de estas posibilidades son: • Plantear ecuaciones no necesariamente del tipo que se han estudiado; por ejemplo, ecuaciones racionales, bicuadradas, radicales o incluso alguna ecuación con varias incógnitas. • Aumentar la complejidad de las operaciones algebraicas para que mejoren estas técnicas de cálculo, que les serán muy útiles en cursos posteriores. • Profundizar en la resolución de problemas de cierta complejidad. Con ello pretendemos desarrollar la capacidad de pensamiento lógico, el uso de diferentes estrategias, la perseverancia en la búsqueda de soluciones…

ACTIVIDAD DE GRUPO Inventando ecuaciones y problemas Se organizan diferentes grupos cuya misión es inventar una ecuación de segundo grado y un problema que se resuelva utilizando ecuaciones de segundo grado. Una vez que cada grupo ha terminado los dos ejercicios, se los entrega al profesor y se distribuyen entre los otros grupos, con la condición de que no haya ningún grupo al que le toquen sus propios problemas. Ahora se trata de resolver lo que otros plantearon. En muchas ocasiones se puede comprobar que los alumnos plantean problemas mucho más difíciles de resolver que los que planteamos habitualmente los profesores. Puede que la causa sea que la poca cantidad de ellos que han hecho no les permita calcular fácilmente la dificultad de los mismos. Por ello debemos pedirles que los resuelvan ellos mismos antes de pasarlos a sus compañeros.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1 b) x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1, x4= −1

c) x1 = 2, x2 = −2 1 1 d) x1 = , x2 = − , x3 = 1, x4 = −1 2 2

2. a) x = ±1, y = ± 3 b) No hay soluciones. c) x = 0, y = 1; x = 2, y = 2; x = 0, y = 1.000; x = 100, y = 100 d) x = 0, y = 0; x = −1, y = 3; x = −2, y = 6; x = 1, y = −3 3. a) x = −1

b) x = −1

4. a) x = 1

b) x = 5, x = 0

5. m =

c) x = 9

31 30

6. k = ±3 7. Sustituyendo e = 1.000 m y a = 8 m/s2, obtenemos un valor para el tiempo de t = 15,81 s.


12

Unidad 5





1. Para resolver las siguientes ecuaciones puedes hacer el cambio de variable x2 = t, y así convertirás la ecuación en otra de segundo grado. Por último, debes resolver también la ecuación del cambio de variable. a) x4 − 10x2 + 9 = 0

c) −x4 + 3x2 + 4 = 0

b) x4 − 5x2 + 4 = 0

d) 4x4 − 5x2 + 1 = 0

2. Existen muchos tipos de ecuaciones. Algunas de ellas, como ya sabes, no tienen ninguna solución, otras tienen una; otras, dos soluciones. En las siguientes ecuaciones tienes que encontrar cuatro soluciones para cada una de ellas (siempre que sea posible). Recuerda que si se tienen dos incógnitas, cada solución es un valor para x y un valor para y. a) x2 + y2 = 4

c) xy − x2 = 0

b) x2 + y2 = −4

d)

x+y = −x 2

b)

x −1 x + 3 = x x+2

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

x −1 =2 x

4. Resuelve las siguientes ecuaciones elevando al cuadrado ambos miembros. Comprueba en cada caso las soluciones. ¿Qué observas? a) 2 x − 1 = x

b) x + 4 = x − 2

c)

x −5 =

x −1 4

5. Calcula el valor de m para que la siguiente ecuación tenga una única solución. (x + 2) x (2 x + 1)(2 x − 1) − =m 2 5 6. ¿Cuánto vale k? (Ayuda: es un número entero.) k= 4+

63 63 + 4− 2 2


7. Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 8 m/s2. ¿En cuánto tiempo recorrerá 1 km? a ⋅ t2 Indicación: sin velocidad inicial, el espacio recorrido en función del tiempo es: e = . 2


Unidad 5

13



APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Calcula el valor de m para que x = 2 sea solución de la ecuación x2 − mx + 6 = 0.

2. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) x2 + 4x − 5 = 0 b) x2 − 3x + 2 = 0 3. Resuelve la siguiente ecuación.

( x − 1)

2

=

2

x(2 x − 3) 4

4. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando el método más apropiado. a) −x2 + 8x = −9 b) −x2 + 8x = 0 c) −x2 + 9 = 0 5. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

(x + 1)2 x = 8 2

b) (x − 2)2 − (x + 2)2 = (x + 3)(x − 3) 6. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es dicho número?

7. Expresa en forma de cuadrado de una suma, de una diferencia o como suma por diferencia las siguientes operaciones. a) x 2 +

1 x + 16 2

b) −6 x 2 + 36 +

x4 4


c) x2 − 3

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8. Desarrolla: ⎛ ⎜⎜2 x − ⎜⎜⎝

Unidad 5

1 ⎞⎟⎟ ⎟ 2 ⎟⎠

3




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Sustituyendo x = 2 en la ecuación: 4 − 2m + 6 = 0 ⇒ m = 5 2. a) x = 1, x = −5 b) x = 2, x = 1

(

)

(

2

)

3. 2 x − 1 = x 2 x − 3 ⇒ ⇒ 2x2 − 4 x + 2 = 2x2 − 3x ⇒ ⇒x=2 4. a) Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado: x = 9, x = −1. b) Sacando factor común la x: x = 0, x = 8. c) Despejando x2: x = 3, x = −3. 5. a) 2 x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇒ x = 1 (solución doble) b) x 2 + 8 x − 9 = 0 ⇒ x = 1, x = −9. 6. x 2 − 2 x = 5 x ⇒ x 2 − 7 x = 0 ⇒ Puede ser el 0 o el 7. 7. a) ⎛⎜⎜ x + 1 ⎞⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝

2

2 b) ⎛⎜⎜ x − 6⎞⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎝ ⎠

2

) (x − 3)

8. 8 x 3 − 6 x 2 +

3 1 x− 2 8


(

c) x + 3


Unidad 5

15


U N I DA D

6

3

ESO

Sucesiones y progresiones

CONTENIDO


7



Unidad 6



Teniendo en cuenta la edad y los conocimientos matemáticos de los alumnos que estudian este nivel, los conceptos y procedimientos asociados a las sucesiones numéricas, y en particular las progresiones aritméticas y geométricas, gozan de un cierto grado de dificultad. Es importante, por tanto, elegir actividades sencillas y, en la medida de lo posible, insertas en un contexto real cotidiano o científico. Por otra parte, para el presente curso sólo está previsto el estudio de las sucesiones desde el punto de vista numérico, quedando para cursos posteriores su estudio como tipos especiales de funciones de dominio el conjunto de los números naturales. La unidad se inicia estableciendo conceptos básicos como el de sucesión numérica, término y término general. El estudio de las progresiones aritméticas y geométricas, como ejemplos de importancia de sucesiones numéricas, se limita a la obtención de los correspondientes términos generales y de la suma de los n primeros términos. Al terminar el estudio de la unidad es importante que los alumnos entiendan y manejen con soltura la notación de las sucesiones; que sepan en todo momento que el subíndice de un término indica el lugar que ocupa dicho término dentro de la sucesión. Los alumnos también deben entender el significado de la ley de formación de una sucesión relacionándola con su término general, el cual permite obtener todos los términos de la sucesión. Por último, es fundamental que sepan cómo obtener el término general de progresiones tanto aritméticas como geométricas a partir de unos pocos datos.

OBJETIVOS


1. Identificar sucesiones y deducir su término general.

1. Obtener términos de una sucesión y deducir su regla de formación.

2. Distinguir las progresiones aritméticas del resto de sucesiones, obtener su regla de formación y aplicarlas a la resolución de problemas.

2. Identificar una progresión aritmética y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos.


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

3. Distinguir las progresiones geométricas del resto de sucesiones, obtener su regla de formación y aplicarlas a la resolución de problemas.

3. Identificar una progresión aritmética y calcular correctamente la suma de n o de infinitos términos consecutivos.

CONTENIDOS • Definición de sucesión • Sucesión recurrente • Progresiones aritméticas: término general • Suma de n términos de una progresión aritmética • Progresiones geométricas: término general • Suma de n términos de una progresión geométrica • Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

2

Unidad 6


• Autonomía e iniciativa personal


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Con el fin de poder seguir de forma adecuada el desarrollo de los contenidos de esta unidad, es importante que los alumnos dominen los siguientes conceptos y procedimientos matemáticos: • Divisibilidad de números enteros. Múltiplos y divisores de un número entero. • Potencias de base racional y exponente entero. Propiedades de las potencias. • Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. • Resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. • Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Es muy posible que parte de los alumnos no recuerden alguno de los conceptos o procedimientos relacionados con los contenidos anteriormente señalados. En tal caso sería recomendable que realizaran algunas actividades de refuerzo de dichos contenidos que pueden ser extraídas del cuaderno de atención a la diversidad correspondiente a unidades anteriores o de los cuadernos de matemáticas de este curso.

2. Previsión de dificultades Aunque no es probable que los alumnos encuentren complicaciones en los conceptos de sucesión y progresión aritmética y geométrica, sí suelen mostrar más dificultades para obtener el término general a partir de unos pocos números, en especial cuando no saben a priori de qué tipo de sucesión se trata. Dado que esta extrapolación puede ser compleja, debemos insistir con numerosos ejemplos. Las sucesiones recurrentes revisten una dificultad especial, por lo que los ejemplos deben ser abundantes y sencillos. Asimismo, la expresión general de la suma no les resulta fácil de comprender, en especial con infinitos términos.

3. Vinculación con otras áreas Las sucesiones surgen de forma natural en otras materias, y muy especialmente en temas relacionados con la economía, como el cálculo de intereses y la TAE, y la biología, como el número de bacterias al cabo de un tiempo si se reproducen por bipartición. Por otra parte, es sabida la relación de la sucesión de Fibonacci con múltiples aspectos de la vida cotidiana, y por ello se trata en el primer epígrafe.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza motivando el concepto de sucesión de forma intuitiva a través del tiempo de entrenamiento de un nadador. Resolver las preguntas por tanteo no llevará mucho tiempo a los alumnos y les dará unas nociones muy claras de la idea central que van a trabajar en esta unidad. La sección “Desarrolla tus competencias” se compone de dos actividades: la primera, con base histórica (apoyada por la nota del margen), puede resultar al tiempo interesante porque explica los orígenes de las sucesiones, y motivadora porque las trata de una forma muy visual. La segunda es muy cercana al contexto de los alumnos y nos servirá para relacionar la noción de potencia con las sucesiones. SUCESIONES Por lo demás, la estructura de la unidad es sencilla: en el primer epígrafe se definen las sucesiones y el concepto de sucesión recurrente, y cómo obtener el término general. El epígrafe 2 presenta las progresiones aritméticas, su término general y la suma de sus n primeros términos. De forma análoga, el último epígrafe trabaja los mismos conceptos en las progresiones geométricas, con el añadido de la suma de infinitos términos, que es opcional dependiendo del nivel de la clase.

TÉRMINO GENERAL

Suc. recurrentes

PROG. ARITMÉTICAS

Término general

PROG. GEOMÉTRICAS

Suma de términos

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en cinco sesiones: 1.ª Sucesiones: definición, término general y sucesiones recurrentes 2.ª Progresiones aritméticas 3.ª Progresiones geométricas 4.ª Actividades de consolidación y de aplicación 5.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 6

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al tratarse de una unidad centrada en una herramienta matemática concreta, las sucesiones, destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real y de otras ciencias: el entrenamiento de los deportistas, el envío de SMS, la reproducción de conejos y la sucesión de Fibonacci, el dibujo de espirales, la depreciación de una fotocopiadora, la división de las bacterias, etc. Por ello destacamos el descriptor de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana.

Competencia cultural y artística En esta unidad se trabaja la competencia cultural y artística a través de la vinculación de las sucesiones con la historia y la mitología: el origen histórico de las sucesiones, la leyenda del origen del ajedrez, la paradoja de Aquiles y la tortuga, etc. Con ello se trabaja la subcompetencia de utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo, en especial en su vertiente de conocer las principales obras del patrimonio cultural.





4

Unidad 6




COMPETENCIA er

1. nivel de concreción

Matemática



SUBCOMPETENCIA 2.º nivel de concreción



Utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento personal y colectivo.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO



er

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Aplicar soluciones técnicas a problemas científicotecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural.

– Conoce las sucesiones y las progresiones aritméticas y geométricas. – Halla el término general de una sucesión. – Calcula la suma de n términos de una progresión aritmética o geométrica. Toda la unidad

– Resuelve problemas cotidianos o de otras ciencias utilizando sucesiones. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 8, 15 y 32 Pon a prueba tus competencias. – Relaciona las sucesiones con su origen histórico y con diversas leyendas de la mitología. Desarrolla tus competencias. Actividad 44 Pon a prueba tus competencias.




Aprender a aprender


Desarrollar experiencias de aprendizaje que fomenten las habilidades individuales para la resolución de problemas.

Innovación.




– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red Actividad 8 Pon a prueba tus competencias. – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 7, 13 y 19 Pon a prueba tus competencias. – Desarrolla técnicas ordenadas de resolución de problemas que involucren sucesiones. Actividades 23 y 35 Pon a prueba tus competencias.



Unidad 6

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación medioambiental: “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 3. Ecuaciones y sistemas, unidad I Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 3. Sucesiones • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/3esomatmrd01 Progresiones en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd07

Otros materiales

• Calculadora científica, que permite la visualización de la evolución de los términos de una sucesión.

6

Unidad 6

• Vídeo Progresiones aritméticas, de la Colección Investigaciones Matemáticas. Producido por la BBC y distribuido en España por Mare Nostrum. • Hojas de cálculo, como Excel, que permiten estudiar la evolución de los términos de una sucesión. • Buscador WolframAlpha, que a partir de unos pocos términos es capaz de extraer el término general de muchas sucesiones sencillas.


Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada permiten trabajar las competencias matemática y de interacción con el mundo físico, invitando a los alumnos a reflexionar sobre la progresión del tiempo de entrenamiento de un nadador en una piscina. Con esto, además de trabajar las competencias, pretendemos motivarlos para los contenidos que van a trabajar a continuación. En este punto, los alumnos aún no disponen de las herramientas formales para resolver las cuestiones de manera rigurosa, como estudiarán en la unidad. Por ello es interesante pedirles que las resuelvan intuitivamente, por sus propios medios, y observar las técnicas que utilizan. Del mismo modo, si queremos profundizar en la interacción con el mundo físico, podemos pedirles que busquen ejemplos de la vida cotidiana en los que aparezcan números que sigan una progresión: la duración de los días conforme avanza el año, el dinero ahorrado si se guarda un euro cada día, la cantidad de agua caída en una población cada mes, etc.

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad, complementada con el texto del ladillo, se trabajan las competencias matemática y cultural. Para ello relacionamos las sucesiones con su origen histórico, y al tiempo describimos ejemplos muy visuales de sucesiones, tal como las trabajaban en la antigüedad. Una vez más, estamos pidiendo a los alumnos que acudan a su intuición matemática y resuelvan cuestiones para las que más adelante tendrán herramientas formales. Al mismo tiempo les presentamos las sucesiones como algo geométrico y casi lúdico, que se puede “tocar con las manos”: los números triangulares y cuadrados. Si lo trabajamos bien, el resultado debería ser una buena predisposición hacia las sucesiones y ganas de aprender herramientas para manejarlas. Por otro lado, la referencia histórica nos abre la puerta para proponer un pequeño trabajo de investigación, que puede realizarse por parejas: ¿qué es el trianón? ¿Qué son los números pentagonales, hexagonales, etc.? ¿Cuál es el origen de estos números? 2. Esta actividad parte de un contexto totalmente distinto: los SMS y las cadenas de mensajes. Desde el punto de vista matemático, trabaja el concepto de potencia a la vez que introduce las sucesiones. Es interesante que los propios alumnos propongan variantes al problema. Podemos sugerirles que formulen y respondan preguntas como: si todo el mundo hace lo que dice el mensaje, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a toda la población mundial? ¿Qué ocurre si variamos el número de amigos al que se envía el mensaje? Por último, podemos aprovechar esta actividad para concienciarles sobre los “mensajes basura”. ¿Qué opinan sobre estas cadenas de mensajes? ¿Las continúan, y de ser así, quién piensan que sale beneficiado de ellas?

1. Sucesiones • Es importante que los alumnos diferencien claramente los conceptos de término de una sucesión, de término general y de lugar que ocupa un determinado término. • La complejidad de los términos generales de los ejemplos que se utilicen no debe sobrepasar el nivel de los polinomios de primero o segundo grado, de las expresiones racionales cuyos numerador y denominador no sobrepasen tampoco el segundo grado y, tal vez, sucesiones de términos generales exponenciales, pero obviamente muy simples. • Dada la dificultad que parte de los alumnos tienen a la hora de encontrar el término general de una sucesión de la que se conocen sus primeros términos, es conveniente tranquilizarles avisándoles de que en posteriores epígrafes se darán procedimientos sencillos para obtener dichos términos en algunos casos. • Por último, es probable que los alumnos encuentren dificultades al inicio con las sucesiones recurrentes, en especial cuando les pedimos que calculen el término general a partir de unos cuantos términos. Hay que insistir, por tanto, en que todo se basa en buscar una regularidad, y que las técnicas más habituales no son tantas: observar si la sucesión crece muy deprisa (lo que indica algún elemento cuadrático), la diferencia entre cada término y el anterior, si los términos son cuadrados perfectos, etc. 8. Esta actividad trata un problema clásico de este tema: la sucesión de Fibonacci. Aunque se plantea a partir del problema biológico del número de conejos en una granja, como es sabido, esta sucesión aparece en infinidad de contextos. En la propia actividad se redirige a una página donde se puede encontrar más información sobre la sucesión de Fibonacci, y utilizarla para proponer trabajos sobre la historia de la sucesión, la persona de Fibonacci y su contribución a las matemáticas, o la relación de la sucesión con el número áureo, que ya han estudiado en la unidad anterior. Pero quizá la extensión competencial más atractiva sea pedir a los alumnos que se junten por equipos de 3 ó 4, se documenten y presenten una aplicación original de la sucesión de Fibonacci a la naturaleza o la vida cotidiana. Después pueden presentarla en clase. Por último, también se pueden trabajar curiosidades sobre la propia sucesión, como el hecho de que cada número de Fibonacci es el promedio entre el término que se encuentra dos posiciones antes y el que se encuentra una posición después. ¿Por qué es así? La demostración es sencilla; podemos pedirles que la realicen. Lo mismo, aunque más complejo, es aplicable para la identidad de Cassini: dado un término de Fibonacci, el producto del anterior por el posterior menos el cuadrado del término es siempre 1 ó −1. 23. En esta actividad se trabaja la competencia de aprender a aprender al pedir a los alumnos que desarrollen su propia técnica para resolver el problema. Las posibilidades del triángulo de Tartaglia en este sentido son Sucesiones y progresiones

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muy amplias, dado que está lleno de regularidades que se pueden explotar para que encuentren patrones y trabajen su capacidad de observación matemática. Por ejemplo, podemos pedirles que tomen un papel A3 y que escriban con letra pequeña el triángulo de Tartaglia más grande que quepa. Después les pediremos que coloreen los números pares. Lo que se obtiene, curiosamente, es una aproximación al triángulo de Sierpinski, que es tanto mejor cuanto mayor sea el triángulo de Tartaglia. Por otra parte, dado que ya han estudiado las identidades notables y los productos de polinomios, podemos pedirles que desarrollen la expresión (a + b)n para distintos valores de n, y se fijen en los coeficientes. ¿Qué relación tienen con el triángulo de Tartaglia, y por qué? Lo interesante en estas preguntas no es tanto comprobar la solución numérica como valorar el proceso de pensamiento que lleva hasta ella. De este modo podemos valorar la madurez matemática del alumno y su capacidad de aprender a aprender, más allá de la repetición sistemática de ejercicios. 35. De nuevo, esta actividad está concebida para evaluar las estrategias de pensamiento del alumno. Hay varias formas de resolverlo, desde contar manualmente, escribir muchos términos de la sucesión e intentar encontrar el patrón, hasta plantear directamente una sucesión recurrente. En cualquier caso, se trata de un problema abierto y bastante difícil, y por ello es interesante que detallen paso a paso cómo lo resuelven.


1 a 5, 21 y 22

Medias

6, 8, 23 y 38

Altas

35 y 40

2. Progresiones aritméticas • Los contenidos relacionados con este epígrafe son muy adecuados para repasar y reforzar los procedimientos algebraicos elementales tales como la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado o la de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • En general, las actividades de este epígrafe son de dos clases bien diferenciadas: unas que precisan de razonamientos algebraicos para su resolución y otras que están relacionadas con situaciones concretas de las propias matemáticas, las ciencias o la vida cotidiana. Es importante resolver suficiente número de ellas con el fin de conseguir el doble objetivo de proporcionar nuevas herramientas que permitan resolver situaciones concretas y, por otra parte, profundizar en la formación de esquemas lógicos y abstractos. • La suma de n términos de una progresión aritmética es un concepto que puede resultar complejo al comienzo, y corremos el riesgo de que los alumnos se limiten a memorizar la fórmula. Por ello es oportuno contar la anécdota de cómo Gauss sumó los números del 1 al 100 cuando tenía diez años (si no se desea invertir tiempo en clase, se puede utilizar la dirección web que aparece 8

Unidad 6


en el ladillo). De este modo, los alumnos comprenderán de dónde proviene la fórmula y les resultará más sencillo retenerla, o incluso redescubrirla si en un momento dado la olvidan. 15. Esta actividad contextualiza el uso de las progresiones aritméticas en la distribución de un anfiteatro, trabajando así la competencia de interacción con el mundo físico a través de la resolución de problemas cotidianos. Podemos extenderla fácilmente pidiendo a los alumnos que cuenten y anoten el número de butacas en cada fila la próxima vez que vayan a un espectáculo (cine, teatro, etc.). ¿En qué casos estos números siguen una progresión aritmética? ¿En cuáles no, y por qué? En los casos afirmativos, ¿cuál es el número total de butacas? Esta simple reflexión les hará darse cuenta de la utilidad de las progresiones aritméticas en la vida cotidiana.


9 a 12, 24 y 25

Medias

14, 15, 26 y 27

Altas

28 y 36

3. Progresiones geométricas • De igual forma que se indicó en el anterior epígrafe dedicado a las progresiones aritméticas, los contenidos relacionados con este epígrafe son muy adecuados para repasar y reforzar los procedimientos algebraicos elementales tales como la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado o la de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. También es importante recordar el concepto de potencia numérica. • Asimismo, este epígrafe contiene actividades de dos tipos diferenciados: unas puramente algebraicas y otras relacionadas con la vida cotidiana o con las ciencias. Se considera importante resolver suficientes números de ambas. • El concepto de suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo valor absoluto de la razón es menor que la unidad en rigor queda fuera del alcance de este curso; por esta razón, el profesor debe valorar si los alumnos y el tiempo disponible permiten abordar este contenido, o si es preferible posponerlo hasta el próximo año. 32. En esta actividad se trabaja la competencia de interacción con el mundo físico concienciando a los alumnos sobre el precio de los objetos (en este caso, una fotocopiadora) y el concepto de depreciación. Se puede extender pidiéndoles que opinen sobre qué objetos pierden valor inevitablemente con el paso del tiempo (coches, electrodomésticos, ordenadores, etc.), y cuáles pueden subir o bajar de precio (casas, oro, acciones, etc.). ¿Por qué se produce este fenómeno? ¿En cuál de los dos casos podemos utilizar las progresiones aritméticas para calcular el valor de un bien transcurridos n años y en cuál no, y por qué? 44. En este caso podemos aprovechar la actividad para trabajar la competencia cultural y artística, a través de la leyenda de la creación del ajedrez. Es interesante que,


más allá de su estudio mediante las potencias o las sucesiones, los alumnos realicen una pequeña investigación histórica de cuál es el verdadero origen del ajedrez. El objetivo del trabajo puede ser elaborar un cronograma con los avances del ajedrez, citando la fecha, el lugar, el nombre que tenía y la modificación que sufrió. Una versión más completa, pero que requiere más tiempo, es que redacten un breve trabajo sobre el tema, de una o dos páginas. En ambos casos es fundamental que citen sus fuentes, tanto para verificar que son fiables como para garantizar que no se han limitado a copiar lo que han encontrado.


16 a 18 y 29

Medias

20, 30 a 34, 39, 42 y 43

Altas

37, 41 y 44

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 35 a 44 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias 48. En esta actividad, nuevamente trabajamos la competencia de aprender a aprender y de iniciativa personal. Si el alumno se limita a escribir la sucesión pedida, será un problema matemático relativamente sencillo. Pero si explora el problema en más profundidad, halla el término general de la sucesión recurrente e incluso le pedimos que calcule las áreas de los rectángulos que se van construyendo, utilizando sus propias herramientas, estaremos incentivando su creatividad. Por

último, si se da cuenta de que la sucesión que está construyendo es la de Fibonacci y relaciona este hecho con lo aprendido en la unidad, habremos conseguido que adquiera una visión de conjunto sobre las sucesiones y que vaya más allá de las meras fórmulas, lo que es un éxito desde el punto de vista pedagógico. 49. Con esta actividad, aparte de la matemática, trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico. Podemos utilizarla para reforzar los conceptos de biología: el rápido crecimiento de las bacterias, e incluso cómo es posible que de una única célula se llegue a desarrollar un feto con 1014 células en tan solo nueve meses. Podemos ir más allá y proponerles un problema más difícil: sabiendo que cada célula se divide en dos, ¿cada cuánto se produce una división celular para alcanzar este asombroso número en tan poco tiempo?





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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Aquellos alumnos que hayan presentado dificultades durante el desarrollo de los contenidos de la unidad, deben haber adquirido los siguientes contenidos mínimos, que se trabajan con las actividades propuestas en esta sección. • Identificar regularidades y distinguir las progresiones aritméticas y geométricas del resto de las sucesiones. • Obtención del término general y de cualquier término para progresiones en casos sencillos. • Formación de progresiones aritméticas o geométricas de las cuales se proporcionan el primer término y la diferencia o razón, según los casos. • Obtención de términos generales para diferentes sucesiones en casos muy sencillos. • Aplicación de las fórmulas que proporcionan la suma de los primeros términos de progresiones aritméticas y geométricas en casos muy sencillos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción y estudio de figuras regulares. Para esta actividad se necesitarán palillos y plastilina. Formamos grupos de 3 o 4 alumnos. • Con los palillos tendrán que construir figuras poligonales de lado la longitud del palillo, uniendo los vertices con bolitas de plastilina. • Posteriormente construiremos sobre las figuras ya construidas, prolongando dos de los lados, figuras de igual forma, pero cuyo lado sea dos palillos. • Repetimos el proceso, esta vez con figuras poligonales cuyos lados estén formados por tres palillos. Los alumnos tendrán que anotar el número de palillos que se van utilizando en cada proceso, para poder establecer el número de palillos necesarios para figuras cuyos lados estén formados por 7 palillos. La misma actividad se puede plantear construyendo figuras en el espacio, uniendo las aristas con bolitas de plastilina. Al final, los alumnos tendrán que establecer el número de palillos y de bolitas de plastilina necesarios para cada paso.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 4. a2; b3; c4; d5; e1

1. a) 5, 8, 11, 14, 17, ... b) −4, 1, 6, 11, 16, ...

5.

c) 3, 1, −1, −3, −5, ...

r C

2. a) 1, 2, 4, 8, 16, ... b) 2, −2, 2, −2, 2, ... c) −3, 6, −12, 24, −48, ... 3. a) Aritmética. a1 = 2; d = 4; an = 4n − 2; a10 = 38 b) Geométrica. a1 = 2; r = 3; an = 2 ⋅ 3n − 1; a10 = 39.366 n −1

c) Geométrica. a1 = 1; r = 10; an = 10

; a10 = 10

9

Cf

t 100 r

r

12.000

13.506

3%

0,03

4

3.500

4.690

5%

0,05

6

9.400

19.743

16%

0,16

5

4.081

5.000

7%

0,07

3

4.500

7.330

5%

0,05

10

d) Aritmética. a1 = 0; d = 10; an = 10n − 10; a10 = 90 e) Geométrica. a1 = 3; r = −1; an = 3 ⋅ (−1)n − 1; a10 = −3 1 n+1 11 f) Aritmética. a1 = 1; d = ; an = ; a10 = 2 2 2

6. a) 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. b) 2 + 5 + 8 + ... + 29 = 155 c) Sn =

a1 + an 2

⋅n =

2 + 29 2

⋅ 10 = 155


10

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1. Forma las siguientes progresiones. a) Progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 3: a1 = 5; a2 = a1 + d = _ + _ = _ ;

a3 = a2 + d = _ + _ = _ ;

a4 = a3 + d = _ + _ = _

b) Progresión aritmética de primer término −4 y diferencia 5: a1 = − 4; a2 = a1 + d = _ + _ = _ ;

a3 = a2 + d = _ + _ = _ ;

a4 = a3 + d = _ + _ = _

c) Progresión aritmética de primer término 3 y diferencia −2: 2. Forma las siguientes progresiones. a) Progresión geométrica de primer término 1 y razón 2: a1 = 1; a2 = a1 · d = _ · _ = _ ;

a3 = a2 · d = _ · _ = _ ;

a4 = a3 · d = _ · _ = _

b) Progresión geométrica de primer término 2 y razón −1: a1 = 2; a2 = a1 · d = _ · _ = _;

a3 = a2 · d = _ · _ = _;

a4 = a3 · d = _ · _ = _

c) Progresión geométrica de primer término −3 y razón −2: 3. Para cada una de las siguientes progresiones, indica si son aritméticas o geométricas, el valor del primer término y el valor de la diferencia o de la razón, según los casos. Calcula también los valores de los términos general y décimo. a) 2, 6, 10, 14, 18, ...

c) 1, 10, 100, 1000, 10.000, ...

b) 2, 6, 18, 54, 162, ...

d) 0, 10, 20, 30, 40, ...

e) 3, −3, 3, −3, 3, ... 3 5 f) 1, , 2, , 3, ... 2 2

4. Asocia a cada sucesión uno de los términos generales que aparecen debajo. a) 4, 5, 6, 7, 8, ... b) 2, 4, 8, 16, 32, ... c) 6, 12, 24, 48, 96, ... d) 1) an = 2n − 1

2) an = n + 3

3) an = 2n

1 1 1 1 1 , , , , , ... 3 4 5 6 7

4) an = 3 · 2n

e) 1, 3, 5, 7, 9, ... 5) an =

5. Partiendo de la fórmula Cf = C ⋅ (1 + r ) se pueden obtener estas otras: C =

Cf

t

(1 + r )

t

1 n+2

yr =

t

Cf C

− 1.

Con ayuda de las tres fórmulas, completa la siguiente tabla. Capital final Cf (en euros)

Tipo de interés r En tanto por ciento

En tanto por uno

Tiempo t (en años)

12.000

3%

0,03

4

3.500

5%

9.400

0,16 5.000

4.500

6 5

7%

3

7.330

10

6. a) Escribe los 10 primeros términos de la progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 3. b) Calcula directamente la suma de dichos 10 primeros términos. c) Calcula la suma de los 10 términos, pero aplicando la fórmula Sn =

a1 + an 2

⋅ n.


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Capital inicial C (en euros)

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Como vías de ampliación de los contenidos de la unidad para proponer a los alumnos que hayan demostrado un mayor dominio de los conceptos y procedimientos desarrollados, se pueden señalar las siguientes: • Resolución de actividades que impliquen un mayor dominio de aplicación algebraica de las fórmulas estudiadas. • Resolución de actividades en las que estén implicadas, de forma conjunta, las progresiones aritméticas y geométricas. • Resolución de actividades relacionadas con la vida cotidiana o con las ciencias o con las propias matemáticas y que requieran un mayor dominio de los procedimientos.

ACTIVIDAD DE GRUPO ¿Cuántos cuadrados? Se trata de un concurso entre equipos de la clase que pueden estar formados por tres o cuatro alumnos. Las reglas son sencillas: se trata de resolver la siguiente actividad y gana el equipo que dé con la solución correcta. Algún representante del equipo ganador deberá explicar en la pizarra la solución y el camino que han seguido para hallarla. Se tienen cuadrículas de 4, 9, 16, 25… puntos. En cada una de ellas hay que contar los cuadrados que se pueden formar de modo que los puntos sean vértices. Para el caso de la cuadrícula de 4 puntos es evidente que solo se puede formar un cuadrado de lado una unidad. Para el caso de la cuadrícula de 9 puntos se pueden formar cuatro cuadrados de lado una unidad u otro de lado dos unidades. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en la cuadrícula de 16 puntos? ¿Y en la de 25? Gana el equipo que conteste a la pregunta para una cuadrícula de… ¡121 puntos!

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) 1, 4, 9, 16, 25, ...

6. Sucesión de áreas del cuadrado: 4, 2, 1,

b) 3, 5, 7, 9, 11, ... c) (n + 1)2 − n2 = n2 + 1 + 2n − n2 = 2n + 1 Progresión aritmética de diferencia 2 2. Una progresión geométrica con a1 = 6 y r = 4 3. Los números son: a, a ⋅ r y a ⋅ r 2 a) a ⋅ r + 4 − a = a ⋅ r 2 − a ⋅ r − 4 ⇒ a = 2, r = 3 a⋅r + 4 a ⋅ r 2 + 32 2 b) = ⇒ a = , r = −5 a a⋅r + 4 9 4. 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1 = 1048 . .575 ⇒ n = 20 En 20 pasos lo conocerán todos los vecinos. Por tanto, en 1 hora y 40 minutos.

Sucesión de áreas del círculo: π,

1 1 1 , , , ... 2 4 8

π π π , , , ... 2 4 8

7. De su suma se obtiene el valor central. (a − d) + a + (a + d) = 3 · a = 27 ⇒ a = 9 Multiplicando los tres términos: a · (a2 − d2) = a3 − a · d2 = 648 ⇒ d = 3 8. Del producto de los tres se obtiene el valor central. a ⋅ a ⋅ a ⋅ r = a3 = 729 ⇒ a = 9 r De la suma se obtiene que r puede ser 3 ó 1. 3

5. 28 + 2 ⋅ ⎡⎢14 + 7 + ... + 0,0546875⎤⎥ = 28 + 2 ⋅ 27,94 ≈ 84 ⎣ ⎦ Para un número grande de rebotes, la distancia recorrida se aproxima a 84.


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1. a) Escribe los primeros términos de la sucesión an formada por los cuadrados de los números naturales. b) Escribe la sucesión formada por los números a2 − a1 , a3 − a2 , a4 − a3 , a5 − a4 , … siendo a1, a2, a3, … los términos de la sucesión del apartado anterior. c) Demuestra que la sucesión del apartado b es una progresión aritmética. 2. Al sustituir en la expresión 3 ⋅ 2 x el valor de x por cada uno de los términos de la progresión aritmética de los números impares, ¿qué obtienes? 3. Tres números en progresión geométrica verifican las siguientes dos condiciones. i) Si al segundo se le añaden 4 unidades, los tres números forman progresión aritmética. ii) Si, después, al tercero se le añaden 32 unidades, los tres números vuelven a estar en progresión geométrica. Halla los tres números. 4. En una localidad de 1.048.575 habitantes existe una única persona que se sabe un determinado chiste. En cinco minutos se lo cuenta a dos vecinos. En los siguientes cinco minutos, cada uno de los dos vecinos se lo cuenta a otros dos, quienes hacen lo mismo, y así sucesivamente. ¿Cuánto tiempo tardarán todos los vecinos de la localidad en conocer el chiste? 5. Elena deja caer un balón desde el balcón de su casa, a 28 metros de altura. En cada rebote, el balón alcanza la mitad de la altura desde la que cae. a) ¿Cuántos metros recorre el balón desde que lo suelta hasta que rebota por décima vez? b) Calcula el recorrido cuando ha rebotado 14 veces. Interpreta los resultados. 6. En un cuadrado de lado 2 metros se inscribe una circunferencia. Dentro de la circunferencia se inscribe un cuadrado, y dentro de este, otra circunferencia, y así sucesivamente tal y como muestra la figura. Escribe la sucesión de las áreas de los cuadrados y la de las áreas de los círculos formados.

8. El producto de tres números en progresión aritmética es 729 y su suma es 39. Calcula el valor de los números y la razón de la progresión.


Unidad 6


7. El producto de tres números en progresión geométrica es 648 y su suma es 27. Calcula el valor de los números y el de la diferencia de la progresión.

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APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Calcula los valores de los tres primeros términos de la sucesión que tiene por término general an =

2n + 1 . 2n − 1

2. Indica qué tipo de sucesiones forman los siguientes grupos de números y por qué. a) 3, 12, 21, 30, 39… b)

1 1 1 1 , , , ... 8 7 6 5

c) 13, −13, 13, −13… d)

1 1 3 9 , , , ... 6 2 2 2

e) 2, 1276, −34, 0… 3. Halla el término general de las siguientes sucesiones. a) 5, 7, 9, 11, 13, 15… b)

1 1 1 1 1 1 , , , , , ... 2 3 4 5 6 7

c) 1, −2, 4, −8, 16… 4. El primer término de una progresión aritmética es 22, y su diferencia, –3. Calcula su término general, el término que ocupa el lugar décimo y el lugar que ocupa el término que vale –26. 5. Interpola los términos que faltan en estas progresiones. a) Escribe cuatro números entre 5 y 8 de forma que los seis números formen una progresión aritmética. b) Calcula el valor de tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 57 y que el tercero excede en dos unidades al doble del primero. 6. Resuelve los siguientes problemas a partir de las fórmulas de las progresiones aritméticas. a) La suma de los n primeros números naturales es 861. Calcula el valor de n. b) Un pozo tiene una profundidad de 750 metros. Se sabe que por cada 30 metros que se profundice en él, la temperatura aumenta en 1 ºC. Halla la temperatura que hay en el punto más profundo del pozo sabiendo que la de la superficie es de 18 ºC.


7. El primer término de una progresión geométrica es 5, y su razón, –2. Calcula su término general, el término que ocupa el lugar sexto y la suma de sus seis primeros términos.

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8. Escribe tres números entre 1 y 81 de forma que los cinco números formen una progresión geométrica y calcula la suma de todos ellos.

Unidad 6


Propuesta de evaluación


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SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a1 =

2 ⋅ 1+ 1

=

2 ⋅ 1− 1

3

=3

1

a2 =

2⋅2+1 2 ⋅ 2 −1

=

5

a3 =

3

2⋅3+1 2 ⋅ 3 −1

=

7 5

2. a) Progresión aritmética porque la distancia entre los términos es siempre la misma y vale d = 9. b) Se trata de una sucesión que no es progresión aritmética ni geométrica. Tiene término general. c) Progresión geométrica porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo número, r = −1. d) Progresión geométrica porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo número, r = 3. e) No es progresión aritmética, ni geométrica ni sucesión, ya que no existe un término general que permita obtener cualquier término de la sucesión en función del índice.

(

)

3. a) an = 5 + n − 1 ⋅ 2 = 2n + 3 b) an =

1 n+1

( )

c) an = 1 ⋅ −2

n −1

( )

= −2

n −1

4. Término general: an = −3n + 25 Lugar décimo: a10 = −3 ⋅ 10 + 25 = −5 Lugar que ocupa el término que vale −26: −3n + 25 = −26 ⇒ n =

−51 −3

= 17 ⇒ a17 = −26

a1 = 5 ⎫⎪⎪ 3 ⎬ ⇒ 8 = 5+5⋅d ⇒d = ⎪ a6 = 8⎪⎭ 5 28 31 34 37 Los números serán: 5, , , , , 8, ... 5 5 5 5 ⎧⎪n + n + d + n + 2d = 57 b) ⎪⎨ ⇒ n = 12 y d = 7 ⎪⎪2n = n + 2d − 2 ⎩ Los números buscados son 12, 19 y 26.

5. a)

6. a) 861 =

(1 + n) n ⇒ n

2

2

+ n − 1722 = 0

Se trata de los primeros 41 números naturales. b)

750 30

= 25 bajadas de 30 metros. 18 + 25 = 43 ºC ⇒ La temperatura en el punto más profundo es de 43 ºC.

7. Término general: an = a1 ⋅ r n − 1 = 5 ⋅ (−2)n − 1

8. 81 = 1 ⋅ r 4 ⇒ r =

4

r ⋅ a6 − a1 r −1

= −105 Página fotocopiable

a6 = 5 ⋅ (−2)5 = −160 ; S6 =

81 = 3

Los números son 1, 3, 9, 27 y 81, y la suma es 121.


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U N I DA D

7

3

ESO

Proporcionalidad y porcentajes

CONTENIDO


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Unidad 7



Debido a su presencia en numerosas situaciones relacionadas con la realidad cotidiana y científica, el concepto de proporcionalidad numérica se conforma como uno de los más importantes dentro de los desarrollados en el currículo de Matemáticas correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria. En numerosas ocasiones, los alumnos se preguntan sobre la utilidad que tienen para su vida diaria los conceptos y procedimientos matemáticos que estudian en la escuela. Esta es una ocasión muy propicia para hacerles ver que las matemáticas están presentes en su vida diaria, como en el caso de los descuentos en las rebajas o la aplicación del IVA. Por tanto, la comprensión de los conceptos y el dominio de los procedimientos desarrollados en esta unidad, que, por otra parte, ya han sido tratados de forma básica en otros cursos de la etapa, se consideran de suma importancia para el desarrollo integral de los alumnos. Las aplicaciones de la proporcionalidad directa de magnitudes se conforman como el núcleo central de la unidad; el tratamiento y la utilización de los porcentajes y de sus aumentos y disminuciones se consideran como mínimos imprescindibles que deberían ser alcanzados por todos los alumnos. Asimismo, la proporcionalidad inversa, y sus correspondientes repartos, tiene interés para resolver algunas situaciones que aparecen en la vida cotidiana o en el estudio de las ciencias de la naturaleza.

OBJETIVOS


1. Comprender las relaciones de proporcionalidad directa y su razón.

1. Hallar la razón de proporcionalidad y aplicarla en problemas concretos.

2. Comprender los repartos proporcionales y saber interpretar y resolver problemas sobre ellos.

2. Calcular productos cruzados y repartos proporcionales, y saber aplicarlos a problemas cotidianos.

3. Identificar los porcentajes como un caso de proporcionalidad y dominar las diferentes formas de expresar una proporción.

3. Calcular porcentajes y resolver problemas concretos en tanto por uno, por cien, por mil, y en forma fraccionaria.

4. Dominar los aumentos y disminuciones porcentuales, y resolver problemas sobre ellos.

4. Calcular aumentos, disminuciones porcentuales y porcentajes asociados a variaciones, y resolver problemas asociados.

5. Comprender la proporcionalidad inversa y resolver problemas de repartos.

5. Identificar relaciones de proporcionalidad inversa y saber aplicarlas al reparto inversamente proporcional.


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Relaciones numéricas • Concepto de proporcionalidad • Razón de proporcionalidad • Productos cruzados • Repartos proporcionales • Los porcentajes, como un caso de proporcionalidad • Expresión fraccionaria y tanto por uno

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• Cálculos utilizando el tanto por uno • Aumento porcentual de una cantidad • Disminución porcentual de una cantidad • Cálculo del porcentaje que corresponde a una variación • Cálculo de la cantidad inicial después de hacer una variación • Concepto de proporcionalidad inversa • Repartos inversamente proporcionales


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos El núcleo de contenidos esenciales que los alumnos deben dominar antes de comenzar el desarrollo de esta unidad es: • Utilización de las razones y proporciones numéricas y sus propiedades. • Concepto de porcentaje. • Fracción equivalente a un porcentaje. Tanto por uno. • Cálculo de un determinado porcentaje de una cantidad dada. • Obtención del porcentaje que representa una parte del total. Aunque se repasan a lo largo de la unidad, el manejo con soltura de todos estos conceptos y procedimientos que ya deberían conocer facilitará notablemente su seguimiento.

2. Previsión de dificultades Los conceptos de proporcionalidad y porcentaje no suelen suscitar dificultades, porque ya son conocidos de manera relativamente formal por parte de los alumnos. Sí pueden encontrar dificultades, sin embargo, en los repartos proporcionales, porque suponen una modelización de la realidad y no solo la aplicación de una regla. Esto es especialmente cierto en la proporcionalidad inversa, que no les resulta intuitiva. Por esta razón es importante insistir en ejemplos de la vida cotidiana (pagar 100 € entre 10 amigos es distinto que pagarlos entre 8; ¿por qué?).

3. Vinculación con otras áreas La proporcionalidad y los porcentajes están presentes en todas las materias, incluso en las de ciencias sociales: el recuento de células a partir de una muestra en biología, la extrapolación de datos demográficos en geografía, los intereses bancarios en economía, etc. Asimismo, tienen una gran aplicación en la vida cotidiana: reparto de costes entre vecinos, ampliación de fotografías, extrapolación de la información nutricional de 100 gramos de un alimento, etc.

4. Esquema general de la unidad Comenzamos motivando la proporcionalidad de forma intuitiva con el porcentaje de agua en una medusa y un pez en la entrada, lo que se puede extender fácilmente: ¿cuál es la proporción de agua en el cuerpo humano?

PROPORC. DIRECTA

RAZÓN DE PROPORC.

La sección “Desarrolla tus competencias” contiene una actividad de aplicación intuitiva de la proporcionalidad a la geografía mediante las escalas, y una segunda actividad donde se motiva el mismo concepto a través de un contexto cercano como es una piscina. En los dos primeros epígrafes se desarrolla el concepto de proporcionalidad directa, su razón, los productos cruzados y los problemas de repartos.

Productos cruzados

REPARTOS PORCENTAJES

Aumentos y disminuciones

PROPORC. INVERSA

Los epígrafes 3 y 4 están dedicados a los porcentajes, su expresión en tanto por uno, los aumentos y disminuciones, y los problemas que resuelven. Por último, el epígrafe 5 trata la proporcionalidad inversa y los repartos inversamente proporcionales, explicando en detalle el proceso para realizarlos, dada su dificultad.

CONSTANTE DE PROP. REPARTOS

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Proporcionalidad: concepto y razón 2.ª Productos cruzados y repartos proporcionales 3.ª Porcentajes 4.ª Problemas de porcentajes: aumento, disminución y variaciones porcentuales 5.ª Proporcionalidad inversa y repartos 6.ª Actividades de consolidación y aplicación 7.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, dado que la unidad trata una herramienta de gran aplicación en la vida cotidiana, destacamos tanto la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos como la de resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real y de otras ciencias: interpretación de mapas, repartos de cantidades entre varias personas u organizaciones, variaciones del precio de la vivienda y de artículos de consumo, evolución de la población, formatos de fotografía, etc. Por ello destacamos el descriptor de aplicar soluciones técnicas a problemas científicotecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana. Asimismo, dado que se trabaja específicamente el análisis nutricional con estas herramientas, destacamos también el conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable, en su vertiente de demostrar espíritu crítico en el análisis de los mensajes informativos, así como unos hábitos de consumo responsable en la vida cotidiana.

Competencia social y ciudadana En esta unidad se trabaja la competencia social y ciudadana a través de la aplicación del cálculo de porcentajes a la comprensión del funcionamiento del sistema bancario en lo referente a los intereses; con ello se incide en la subcompetencia de desarrollo personal y social, en su descriptor de conocer y comprender la realidad social del mundo.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, al interpretar mapas, gráficos y diagramas como fuentes de datos para resolver los problemas.



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COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO







Resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad mediante medidas matemáticas.


Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Matemática

Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Social y ciudadana

Desarrollo personal y social.

Demostrar espíritu crítico en la observación de la realidad y en el análisis de los mensajes informativos y publicitarios, así como unos hábitos de consumo responsable en la vida cotidiana. Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Domina la proporcionalidad directa, el cálculo de su razón y los repartos proporcionales. – Comprende los porcentajes como proporciones, sabe expresarlos como tanto por uno y realiza cálculos. – Maneja la proporcionalidad inversa y los repartos proporcionales inversos. – Resuelve problemas de la vida cotidiana que involucran proporcionalidad. Toda la unidad – Resuelve problemas cotidianos o de otras ciencias utilizando proporcionalidad. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 12, 14, 28 y 54 Pon a prueba tus competencias. – Aplica la proporcionalidad al análisis nutricional para interpretar la información de las etiquetas de los alimentos. Actividades 7 y 19 Pon a prueba tus competencias. – Comprende el funcionamiento del sistema bancario en lo referente a los intereses utilizando para ello herramientas matemáticas. Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 4, 13, 18, 25 y 32 Pon a prueba tus competencias.


– Interpreta mapas, gráficos, tablas y diagramas como fuentes de datos. Desarrolla tus competencias. Actividades 21 y 24 Pon a prueba tus competencias.






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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana y para el desarrollo: actividad 28, “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 4. Proporcionalidad, funciones y estadística, unidad I Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 5. Proporcionalidad • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones, unidad I • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Proporcionalidad en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd08

Otros materiales

• Calculadora científica para calcular porcentajes.

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• Hojas de cálculo, como Excel, para evidenciar la proporcionalidad de dos series de datos. • Vídeo Fracciones y porcentajes, de la serie Ojo Matemático. Producido por Yorkshire TV y distribuido por Metrovídeo España. • Herramientas informáticas como WIRIS o el buscador WolframAlpha, para realizar cálculos sencillos de proporciones y porcentajes.


Sugerencias didácticas Entrada La entrada está fundamentalmente orientada a motivar a los alumnos hacia los contenidos de la unidad que comienza. Para ello, se trabaja fundamentalmente la competencia de interacción con el mundo físico: tanto la fotografía como el texto aluden a la proporción de agua en una medusa. El concepto de porcentaje ya será familiar para los alumnos en este punto, tanto porque lo han estudiado en cursos anteriores como porque lo encuentran constantemente en su vida cotidiana. Por esta razón es importante que, antes de formalizar la noción de proporcionalidad, les hagamos ver que se trata de una cuestión intuitiva con la que ya están conviviendo. Podemos extender las actividades de la entrada pidiendo a los alumnos que averigüen qué porcentaje del peso de un ser humano está formado por agua (aproximadamente el 75%), y que lo comparen con los peces y las medusas. ¿Qué conclusiones extraen?

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad trabajamos la competencia de tratamiento de la información, dado que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar la información que se les pide a partir de un mapa, procesarla y convertirla en datos útiles para resolver el problema. Del mismo modo, el hecho de que el contexto sean las distancias reales en Cantabria trabaja la interacción con el mundo físico. Aunque los alumnos ya han trabajado las escalas en cursos anteriores, es una buena ocasión para repasar este contenido y motivar la unidad que comienza. 2. Igualmente, en esta actividad los alumnos deben interpretar los datos a partir del diagrama. Se trata de un problema contextualizado en un entorno próximo a los alumnos, las piscinas. Podemos pedirles que realicen experimentalmente el mismo estudio de volumen y caudal con la bañera de casa o con un cubo, de modo que adquieran la intuición de cuál es el caudal en un grifo común, y, si queremos, extendernos más sobre el consumo de agua. Para terminar, con la última pregunta estamos introduciendo de forma sencilla e intuitiva la proporcionalidad inversa, que se tratará en la unidad.

1. Proporcionalidad • Es fundamental que los alumnos asimilen de forma correcta el concepto de proporcionalidad directa. Sería muy conveniente insistir en que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando un aumento en la primera provoca automáticamente un aumento en la segunda y en la misma proporción. Es decir, si la primera se duplica, la segunda también se duplica; si la primera se triplica, la segunda también se triplica, y si la primera se reduce a la mitad, la segunda también se reduce a la mitad. • Si es posible, resulta muy oportuno realizar experimentalmente el ejercicio de la ley de Hooke con el muelle, que ilustra con mucha claridad el concepto de proporcionalidad.

• En este sentido, se pueden presentar más situaciones tanto de magnitudes que son directamente proporcionales como de magnitudes que no lo son. Por ejemplo: – El tiempo que tardo en llegar andando al colegio y la distancia que separa mi casa del colegio. – Los centímetros que mido y el número de calzado que uso. – La edad de una persona y su talla. – El tiempo que tardo en llenar, con un grifo determinado, un recipiente y la capacidad del mismo. • Por último, es fundamental que los alumnos asimilen el concepto de razón de proporcionalidad, porque será la base sobre la que se asentarán los demás conceptos de la unidad. 7. En esta actividad se relacionan los números enteros con el mundo físico a través del análisis de las etiquetas de los alimentos. En particular, los alumnos pueden comparar el precio de dos marcas aunque la cantidad de producto en cada envase sea distinta. Podemos pedirles que traigan todos un mismo alimento (por ejemplo, un envase de tomate frito) con el precio anotado, y comparen el precio por 100 mL o 100 g. ¿Quién ha conseguido la mejor relación cantidad/precio?


1 a 3, 36 y 37

Medias

5 a 7, 38 y 39

2. Problemas de proporcionalidad • Aquí se tratan dos herramientas esenciales para resolver problemas relacionados con proporcionalidad: los productos cruzados y los repartos proporcionales. Es fundamental que los alumnos interioricen estas nociones, dado que son el medio para hacer útiles los contenidos de la unidad. • Aunque no es la terminología que se usa, en su vida cotidiana oirán frecuentemente la expresión “regla de tres”. Conviene hacerles notar que no es otra cosa que la regla de los productos cruzados que están aprendiendo. • Cuando expliquemos los productos cruzados, es importante hacerles notar que el hecho de que el producto de los extremos sea igual al producto de los medios es solo una consecuencia, y no solo una fórmula que memorizar. Para ello podemos realizar la demostración, que es muy sencilla y utiliza técnicas que ya conocen. • Los repartos proporcionales son un tanto abstractos y les cuestan un poco cuando se explican fuera de contexto; por esta razón es buena idea partir del ejercicio resuelto y después deducir la teoría. Si lo hacemos de este modo, el concepto es mucho más asequible y será más fácil de recordar. 12. Esta actividad está concebida para concienciar a los alumnos sobre una situación común en la vida laboral, trabajando así la competencia de interacción con el mundo físico. El objetivo, aparte de realizar los cálculos, es que comprendan que la situación de recibir un pago proporcional al trabajo realizado es muy común,


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7


y que adquieran las habilidades matemáticas para resolver estas situaciones cuando las encuentren en su entorno cotidiano. 14. En esta actividad nuevamente se trabaja la interacción con el mundo físico: otra aplicación clásica de la proporcionalidad son las recetas, que tienen la ventaja de que se encuentran en el entorno inmediato de los alumnos. Así, podemos pedirles que traigan sus propias recetas (de un bizcocho, una tarta o cualquier otro plato) y calculen los ingredientes si fuéramos a cocinarla para toda la clase.


8 a 12, 40 y 41

Medias

14 y 15, 42 a 44

3. Porcentajes • Es importante que los alumnos interioricen en este punto la relación entre razones de proporcionalidad y porcentajes, y muy especialmente su expresión como tanto por uno. Es frecuente que se confundan en este punto, por lo que una buena idea es dejar escrito en la pizarra o en un folio en la pared una expresión como: 25% =

25 250 = 0,25 = = 2,5‰ 100 1000

De este modo eliminaremos la idea errónea de que para pasar de 0,25 a 25% hay que multiplicar por 100, y fijaremos la correcta: son solo dos formas de expresar lo mismo. • Del mismo modo, debemos detenernos en explicar cómo se aplica un porcentaje a una cantidad. De nuevo, la regla de que 25% = 0,25 puede ayudar especialmente al introducirla en la calculadora. • Otro punto en el que debemos insistir es en que los alumnos verifiquen siempre la razonabilidad de un resultado. Los porcentajes tienen la ventaja de que se aplican a situaciones reales, y, por tanto, detectar un error de cálculo es relativamente fácil solo con contemplar el resultado. Para ello podemos darles mensajes como “El 24% es aproximadamente la cuarta parte; ¿dirías que 114 es más o menos la cuarta parte de 475?”. 19. En esta actividad, más allá de los cálculos, podemos trabajar nuevamente la competencia de interacción con el mundo físico a través de los ingredientes de una receta, lo que resultará intuitivo y cercano a los alumnos. Con ello favorecemos que comprendan la utilidad de los conceptos de esta unidad. En línea con la actividad 14, podemos pedirles que traigan sus recetas y realicen sobre ellas los cálculos porcentuales. 21. Aquí trabajaremos la competencia de tratamiento de la información: debemos valorar si los alumnos son capaces de interpretar correctamente el gráfico. Podemos preguntarles si el gráfico es el apropiado para este tipo de datos, y pedirles que representen los mismos datos con otro tipo de gráfico (por ejemplo, barras apiladas). 8

Unidad 7



16, 17, 19 y 45

Medias

20, 21, 46, 47 y 49

Altas

48

4. Problemas de porcentajes • Una vez que los alumnos hayan comprendido los conceptos de porcentaje, aumento porcentual y disminución porcentual, y para facilitarles la labor de los cálculos, se les puede indicar que apliquen las siguientes reglas: – Para calcular el 12% de una cantidad dada, se multiplica la cantidad por 0,12; para calcular el 3% de una cantidad dada, se multiplica por 0,03, etc. – Para aumentar una cantidad dada en un 24%, se multiplica dicha cantidad por 1,24; para aumentar una cantidad dada en un 2%, se multiplica por 1,02, etc. – Para disminuir una cantidad dada en un 15%, se multiplica dicha cantidad por 0,85; para disminuir una cantidad en un 4%, se multiplica por 0,96, etc. • Los cálculos del porcentaje que corresponde a una variación y de la cantidad inicial después de hacer una variación pueden resultarles confusos al principio, por lo que debemos partir de los ejercicios resueltos e insistir en este aspecto. • Por último, para asegurarnos de que han asimilado bien los conceptos, hay una pregunta clave que podemos hacerles: si un artículo baja un 10% hoy y sube un 10% mañana, ¿el precio quedará como estaba o habrá variado? En esta línea se plantea la actividad 27. Si el nivel lo permite, podemos aprovechar para explicar por qué una pérdida del 5% en la bolsa no se recupera con un 5% de aumento. 24. La competencia que se trabaja en esta actividad, aparte de la matemática, es la de tratamiento de la información. Sin más explicación, los alumnos deben ser capaces de comprender qué les estamos pidiendo, interpretar los datos a partir de la tabla y resolverla. Aquí debemos evaluar si son autosuficientes para comprender la información directamente a partir de la tabla. 28. Esta actividad se puede utilizar para trabajar la interacción con el mundo físico, puesto que plantea una situación real: la compra de una casa. Podemos extenderla pidiéndoles que se informen sobre las variaciones anuales de precio de la vivienda en los últimos años (por ejemplo, buscando en la Asociación Hipotecaria Española) y que las apliquen consecutivamente a una vivienda que costaba 300.000 € en el año 2000, dibujando un gráfico. ¿Cuánto costará ahora? 54. El objetivo competencial de esta actividad es que los alumnos sean capaces de interpretar correctamente una promoción, saber valorarla y decidir si es interesante. Con ello estaremos trabajando la interacción con el mundo físico.


22 a 24, 50 a 52

Medias

26 a 28, 53, 54 y 62


5. Proporcionalidad inversa • Podemos explicar cómo dos magnitudes son inversamente proporcionales comparándolas con la proporcionalidad directa, haciendo ver que, al contrario que sucede con esta, cuando una magnitud crece, la otra decrece, y viceversa. • A partir de la tabla del ejemplo, los alumnos pueden ver que cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de dos cantidades relacionadas es siempre constante, y que este valor común es la constante de proporcionalidad inversa. • Dado que se trata de un concepto más complejo que el de la proporcionalidad directa, es muy importante insistir en las aplicaciones de este contenido a la vida cotidiana, para que no les resulte un procedimiento demasiado abstracto.


29 a 31 y 55

Medias

33 a 35 y 56 a 58

Altas

59 a 61

grasa y del valor energético de cada desayuno, y que emitan una valoración al respecto. 69. Esta actividad puede resultar difícil a primera vista, pero es importante realizarla porque cubre dos objetivos importantes: conocer una aplicación fundamental de las variaciones de porcentaje (el interés simple y compuesto) y comprender el funcionamiento básico del sistema bancario. Con ello trabajaremos al tiempo las competencias de interacción con el mundo físico y social y ciudadana. Dada la extensión de la actividad, es recomendable plantearla en pequeños grupos de 2 ó 3 alumnos, para que se repartan los cálculos y se ayuden unos a otros. Incidentalmente, esto nos dará la oportunidad de valorar cómo trabajan en equipo y reparten los roles (debemos dejar que sean ellos quienes lo hagan). Por último, la actividad también trabaja la competencia de tratamiento de la información, puesto que los alumnos deben extraer los datos de diferentes fuentes (textos, tablas y gráficos) para resolver los problemas. En síntesis, se trata de una actividad compleja, pero que puede resultar muy productiva.

Autoevaluación Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 60 a 62 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos cotidianos. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias 67. Con esta actividad, aparte de la matemática, trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico.

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

En concreto, al concluirla, los alumnos deberían ser capaces de valorar la aportación nutricional de un alimento, comprender el porcentaje de la cantidad diaria recomendada que contiene y valorar críticamente la información que se publicita.

Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo.

Como extensión natural de la actividad, podemos pedirles que traigan los envases de los productos que toman para desayunar cada día, que realicen el cálculo de la

Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Síntesis de la unidad


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es importante que los alumnos asimilen perfectamente el concepto de proporcionalidad directa. Por ello convendría recordar que en estos casos: • Al doble de una magnitud le debe corresponder el doble de la otra magnitud. • Al triple de una magnitud le debe corresponder el triple de la otra magnitud. • A la mitad de una magnitud le debe corresponder la mitad de la otra magnitud. Es decir, un aumento en la primera magnitud provoca un aumento, en la misma proporción, en la segunda magnitud, y una disminución en la primera magnitud provoca una disminución en la segunda y en la misma proporción. El cálculo de porcentajes, aumentos porcentuales y disminuciones porcentuales puede ser tratado mediante el producto de coeficientes adecuados que los alumnos puedan automatizar de forma sencilla.

ACTIVIDAD DE GRUPO El alargamiento del muelle Como se sabe, el alargamiento de un muelle es proporcional al peso que cuelga de él. Se trata de estudiar este principio físico en un muelle determinado. Para ello se deben formar grupos de cuatro o cinco compañeros de clase. La organización del trabajo puede ser la siguiente: • Se construye un soporte sencillo del que pueda colgar un muelle y una regla graduada tal y como se indica en la figura.

0 1

• Se cuelgan determinados pesos diferentes (pueden ser, por ejemplo, grupos de una, dos, tres, cuatro… monedas de uno o dos euros).

2

• Se construye una tabla de valores en la que aparezcan las medidas de los pesos colgados (la unidad puede ser la del peso de una moneda) y de los alargamientos que producen.

3

P

• Se comprueba si los datos son directamente proporcionales y se calcula la razón de proporcionalidad. Nota: se puede realizar la experiencia cambiando el muelle por una simple goma elástica.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 2. a) 10,50 euros

1. a) Después de 15 minutos se habrán recorrido: 15 ⋅ 30 = 0,25 ⋅ 30 = 7,5 km 60 Tras 30 minutos:

3.

30 ⋅ 30 = 0,5 ⋅ 30 = 15 km 60

105 ⋅ 100 = 23,33% 450

4. a) La gráfica número 3 b) La relación entre el espacio recorrido y el tiempo empleado es una proporcionalidad directa.

45 Tras 45 minutos: ⋅ 30 = 0,75 ⋅ 30 = 22,5 km 60

c) v =

b) Son directamente proporcionales, ya que al doble de tiempo le corresponde el doble de distancia recorrida; al triple de tiempo, el triple de distancia, etc. c)

b) 56 minutos

Δe 31 − 6 = = 5 km/h Δt 5

d) A las dos horas se encontraban a 6 + 10 = 16 km del pueblo.

Tiempo (minutos)

60

30

45

15

5. 22,4 horas = 22h 24m

Distancia (km)

30

15

22,5

7,5

6. 20 + 12 , ⋅ 20 + 11 , ⋅ 20 = 66 bolas

Los cocientes entre las cantidades correspondientes 30 15 22,5 7,5 = = = = 0,5. son todos iguales: r = 60 30 45 15

11 , ⋅ 20 ⋅ 100 = 33,33% 66 7. Constante: 144. Términos: 48, 36 y 16.


10

Unidad 7





1. Estás realizando un largo recorrido en bicicleta y llevas una velocidad constante de 30 kilómetros por hora. a) ¿Cuántos kilómetros habrás recorrido después de 15, 30 y 45 minutos? b) Explica por qué las magnitudes “espacio recorrido” y “tiempo invertido” son directamente proporcionales. c) Ordena los datos en una tabla y comprueba que todos los cocientes son iguales. Indica el valor de la razón de proporcionalidad. 2. a) Por dos bolsas de naranjas nos han cobrado 7 euros. ¿Cuánto nos cobrarán por tres bolsas de naranjas? b) En leer 15 páginas de un libro he tardado 24 minutos. ¿Cuánto tardaré en leer 35 páginas? 3. De los 450 alumnos que hay en un centro escolar, 105 han votado a Javier como representante del Consejo escolar. ¿Qué porcentaje de alumnos han votado a Javier?

4. Un grupo de excursionistas camina durante 5 horas alejándose de un pueblo desde un punto situado a 6 kilómetros hasta otro situado a 31 kilómetros. El trayecto lo realizan siempre a la misma velocidad. a) Indica cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada en el enunciado. b) ¿Qué relación existe entre el espacio recorrido y el tiempo empleado? c) ¿A qué velocidad se realizó el trayecto?

Espacio (km)

Espacio (km)

Espacio (km)

Espacio (km)

d) ¿En qué punto se encontraban a las dos horas de comenzar a andar?

6

6

6

6

5 Tiempo (h)

5 Tiempo (h)

5 Tiempo (h)

5 Tiempo (h)

5. Andando a 4 kilómetros por hora se tarda 28 minutos en recorrer un paseo. ¿Cuánto se tardará en recorrer dicho paseo si se anda a 5 kilómetros por hora?

6. En una bolsa hay 20 bolas blancas, un 20% más de bolas rojas que de blancas y un 10% más de bolas negras que de blancas. ¿Cuántas bolas hay en total? ¿Qué porcentaje representan las bolas negras del total?

7. La siguiente tabla contiene dos magnitudes inversamente proporcionales. Calcula la constante de proporcionalidad y complétala. 1

M2

144

3

4

9 Página fotocopiable

M1


Unidad 7

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Puede ser un buen momento para que los alumnos más aventajados se inicien en la demostración de propiedades aritméticas sencillas. El método de reducción a la unidad para resolver situaciones de proporcionalidad simple o compuesta tiene la ventaja de controlar en cada momento el porqué de las operaciones que se realizan. Al ser un método que precisa de un mayor nivel de razonamiento, puede ser adecuado para que lo utilicen los alumnos con mayor capacidad. Uno de los conceptos matemáticos que los alumnos se van a encontrar de forma habitual en sus estudios posteriores y en su vida cotidiana es el de proporcionalidad numérica directa y, como una de sus expresiones, el porcentaje. Es fundamental que comprendan y asimilen este concepto, así como su manejo de forma fluida. Es, por tanto, el momento adecuado para proponer situaciones algo más complejas en las que esté presente el cálculo con porcentajes.

ACTIVIDAD DE GRUPO El alargamiento del muelle Como se sabe, el alargamiento de un muelle es proporcional al peso que cuelga de él. Se trata de estudiar este principio físico en un muelle determinado. Para ello se deben formar grupos de cuatro o cinco compañeros de clase. La organización del trabajo puede ser la siguiente: • Se construye un soporte sencillo del que pueda colgar un muelle y una regla graduada tal y como se indica en la figura.

0 1

• Se cuelgan determinados pesos diferentes (pueden ser, por ejemplo, grupos de una, dos, tres, cuatro… monedas de uno o dos euros).

2

• Se construye una tabla de valores en la que aparezcan las medidas de los pesos colgados (la unidad puede ser la del peso de una moneda) y de los alargamientos que producen.

3

P

• Se comprueba si los datos son directamente proporcionales y se calcula la razón de proporcionalidad. Nota: se puede realizar la experiencia cambiando el muelle por una simple goma elástica.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) 6 · 2 = 3 · 4; 12 · 21 = 7 · 36

4. Cada minuto de carrera se han recorrido:

b) 2 · 9 = 6 · 3; 12 · 28 = 7 · 48

125 = 0,416 300

c) a · (b + d) = a · b + a · d = a · b + b · c = b · (a + c) 2. a · (b − d) = a · b − a · d = a · b − b · c = b · (a − c) 22 + 102

3. a)

32 + 152

=

4 + 100 = 9 + 225

104 234

=

4 ⋅ 26 2 = 9 ⋅ 26 3

a2 d 2 b) Sabemos que a ⋅ d = c ⋅ b ⇒ b2 = c2 a b2 + d 2 = a a⋅d = c

5. 67,5 cm 6.

a2 d 2 (a2 + c 2 ) d 2 2 + d = a = c2 c2

a a2 + c 2 = b a2 + c 2 ⇒ = b

Multiplicando por el número de minutos que recorremos en la segunda parte queda: 0,416 ⋅ 120 · 4 = 200 km

a2 + c 2

9 del trabajo 40

7. 16 días 8. n.º de pizzas =

394 − 14 ⋅ 20 114 = = 200 0,06 ⋅ 9,5 0,57

b2 + d 2


12

Unidad 7





1. a) Comprueba que las siguientes igualdades de razones son ciertas. 2 4 = 3 6

12 36 = 7 21

b) A partir de las igualdades del apartado anterior obtenemos las siguientes. Comprueba que son también ciertas. 2 4+2 6 = = 3 6+3 9

12 36 + 12 48 = = 7 21 + 7 28

c) A la vista de los resultados de los apartados anteriores, demuestra que si

a c a c+a . = , entonces = b d b d+b

Indicación: partiendo de que a ⋅ d = b ⋅ c , debes demostrar que a ⋅ ( b+ d) = b ⋅ ( a+ c) . 2. Demuestra que si

3. a) Sabemos que

a c a a−c . = , entonces = b d b b−d

2 2 10 = . ¿Se verificará también que = 3 3 15

b) Demuestra que si

a a c = , entonces = b b d

a2 + c 2 b2 + d 2

22 + 102 32 + 152

?

.

4. Al hacer un recorrido en bicicleta de 125 kilómetros, pedaleando durante 100 minutos al día, he tardado tres días. Si se supone que he llevado la misma velocidad media, ¿qué distancia habré recorrido en otra ocasión si he pedaleado durante 120 minutos diarios y he tardado 4 días? 5. Doce rollos de papel continuo de 90 centímetros de ancho por 1.500 centímetros de largo cuestan 72 euros. ¿Qué ancho tendrán 20 rollos de ese mismo papel si se sabe que miden 2.000 centímetros de largo y cuestan en total 120 euros?

6. Para hacer los 3 de un trabajo, Alejandra emplea 24 días trabajando 5 horas diarias. ¿Qué parte del 8 mismo trabajo puede hacer en 18 días trabajando 4 horas diarias? 7. Un estanque, alimentado por varios grifos iguales, se consigue llenar dejando 4 grifos abiertos durante 8 días a razón de 6 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en llenarse el mismo estanque si dejamos abiertos 3 grifos durante 4 horas diarias?


8. Silvia trabaja repartiendo pizzas y cobra 20 euros cada día que trabaja más un 6% del precio de las pizzas que reparte. Durante el mes pasado trabajó 14 días y cobró un total de 394 euros. Calcula el número de pizzas que repartió en ese período sabiendo que cada una de ellas vale 9,50 euros.


Unidad 7

13



APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Para cada una de las parejas de magnitudes, indica si son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas: a) b) c) d)

Las horas que tardan en pintar una pared y el número de pintores que lo hacen. El dinero que se deposita en un banco y los intereses anuales que produce. Los volúmenes que ocupan 10 kilogramos de ciertas sustancias y sus densidades. La edad y el peso de los gatos.

2. Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones. a)

45 9 = x 2

b)

15 + x 12 = 35 7

c)

13 + x 5 = 12 3

3. En cada uno de los siguientes casos, indica si las magnitudes que se incluyen son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas. En el caso de que sean directamente proporcionales, indica su razón de proporcionalidad, y en el caso de que sean inversamente proporcionales, indica el valor de su constante de proporcionalidad. a)

b)

c)

Volumen de agua salada (dm3)

10

Masa (kg)

10,27

25

45

25,675 46,215

50

100

51,35

102,7

Tiempo que se tarda en recorrer un trayecto (h)

8

7,5

6

4,8

Velocidad constante (km/h)

30

32

40

50

Magnitud A

10

12

15

20

Magnitud B

4

4,8

7

8

4. Sabiendo que el agua al congelarse aumenta su volumen en un 9%, calcula el volumen de 2,5 decímetros cúbicos de agua líquida después de congelarlos. 5. a) ¿Cuánto deberá marcar el precio de un pantalón sabiendo que he pagado 23,80 euros después de haberme hecho una rebaja del 15%? b) ¿En qué porcentaje ha aumentado la población de un país en el último año sabiendo que ha pasado de 1.525.000 habitantes a 1.578.375?


6. El Ayuntamiento de una localidad quiere repartir 1.875 euros para comprar libros destinados a las bibliotecas de tres centros escolares. Indica la cantidad que corresponderá a cada uno de los centros si se quiere hacer el reparto de forma proporcional al número de alumnos, que son 350, 400 y 500, respectivamente.

14

7. Una empresa reparte la cantidad de 11.840 euros de beneficios entre sus 3 empleados. Decide hacerlo de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado al trabajo. El número de faltas es de 8, 10 y 12. Calcula la cantidad que corresponde a cada uno. 8. Con 12,50 euros se pueden comprar 10 bolsas de patatas. Calcula el número de bolsas de patatas que se pueden comprar con 16,25 euros. Unidad 7




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Magnitudes inversamente proporcionales. b) Magnitudes directamente proporcionales. c) Magnitudes inversamente proporcionales. d) Las magnitudes edad y peso no guardan relación de proporcionalidad ni directa ni inversa. 2. a)

45 9 45 ⋅ 2 = ⇒x= = 10 x 2 9

b)

15 + x 12 35 ⋅ 12 = ⇒ 15 + x = = 60 ⇒ x = 45 35 7 7

c)

13 + x 5 12 ⋅ 5 = ⇒ 13 + x = = 20 ⇒ x = 7 12 3 3

3. a)

10,27 25,675 46,215 5135 , 102,7 = = = = = 1027 , 10 25 45 50 100 Magnitudes directamente proporcionales. r = 1,027.

b) 8 · 30 = 7,5 · 32 = 6 · 40 = 4,8 · 50 = 240, las magnitudes son inversamente proporcionales. c = 240. c) Las magnitudes no guardan ninguna relación de proporción. 4 7 ≠ ⇒ No son directamente proporcionales. 10 15

10 ⋅ 4 ≠ 12 ⋅ 4,8 ⇒ No son inversamente proporcionales. 4. Aplicamos un aumento del 9% al volumen inicial: 2,5 + 2,5 ⋅

(

)

5. a) Planteamos una ecuación: x · 1 − 0,15 = 23,8 ; x =

9 = 2,5 ⋅ 109 , = 2,725 dm3 100

23,8 = 28 € 0,85

b) Planteamos el problema: 1.525.000 ⋅ x = 1.578.375; x =

1.578.375 = 1035 , . El aumento es de un 3,5%. 1.525.000

6. Corresponderán x euros al centro de 350 alumnos, y euros al de 400 y z euros al de 500. x 350

=

y 400

=

z 500

=

1875 1250

= 15 ,

El centro de 350 alumnos, 1,5 · 350 = 525 €. El de 400 alumnos, 600 €. Y el de 500 alumnos, 750 €. ⎛1 1 1⎞ 7. Se reparte de forma proporcional a los inversos: ⎜⎜ + + ⎟⎟⎟ ⋅ r = 11.840 ⇒ r = 38.400 ⎜⎜ 8 10 12 ⎟⎠ ⎝ 38.400 = 4.800 € corresponden al de 8 faltas. 8 38.400 = 3.840 € corresponden al de 10 faltas. 10 38.400 = 3.200 € corresponden al de 12 faltas. 12 12,5 10 16,25 ⋅ 10 = ⇒x= = 13,54. Puede comprar 13 bolsas. 16,25 x 12,5



8. La relación es directa.

Unidad 7

15


U N I DA D

8

3

ESO

Figuras planas. Propiedades métricas

CONTENIDO


7



Unidad 5



Dentro del amplio campo de la geometría, el estudio de las propiedades elementales de las figuras planas constituye una de las partes más sencillas y a la vez de mayor belleza. A los resultados más sencillos, como son el teorema de Pitágoras, las propiedades de ángulos opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, o la suma de ángulos de un triángulo, añadimos en este curso aplicaciones de cierta complejidad, de forma que los alumnos que ya han trabajado estos conceptos en cursos anteriores profundicen en el uso de resultados básicos que tienen, sin embargo, una gran utilidad. La resolución de problemas geométricos con métodos elementales, como los tratados en el tema, resulta fundamental como base para introducir en cursos posteriores técnicas más complicadas como son las de trigonometría. Es fundamental que los alumnos se familiaricen con este tipo de problemas básicos para que no tengan problemas en el futuro. Merece comentario aparte el estudio de la semejanza de figuras en general y de las escalas en particular. De nuevo son temas que ya se han debido tratar en cursos anteriores, pero en esta ocasión se debe procurar un enfoque de mayor profundidad.

OBJETIVOS


1. Recordar los conceptos esenciales sobre los ángulos.

1. Dominar los conceptos de ángulos opuestos por el vértice, determinados por una secante a dos paralelas, de un polígono y central de un polígono regular.

2. Comprender el teorema de Tales y la semejanza de triángulos.

2. Aplicar el teorema de Tales y la semejanza para resolver problemas concretos.


• Matemática • Social y ciudadana

3. Recordar el teorema de Pitágoras y saber aplicarlo a la resolución de triángulos.

3. Resolver problemas que involucran triángulos y otras figuras aplicando el teorema de Pitágoras.

• Cultural y artística

4. Saber hallar el área de figuras poligonales.

4. Calcular el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos.

• Aprender a aprender

5. Conocer la circunferencia, el círculo y sus elementos.

5. Calcular longitudes de arcos y áreas de sectores, coronas y trapecios circulares.

6. Conocer los lugares geométricos básicos en el plano.

6. Hallar lugares geométricos a partir de sus propiedades. Trazar la mediatriz y la bisectriz.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Definición de ángulo • Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos determinados por una recta secante a dos paralelas • Ángulos de un polígono • Ángulo central de un polígono regular • Teorema de Tales • Triángulos semejantes • Criterios de semejanza de triángulos • Teorema de Pitágoras

2

Unidad 8


• Aplicaciones del teorema de Pitágoras • Área de triángulos y cuadriláteros • Área de polígonos • Área de un polígono regular • Definición de circunferencia y arco • Definición de círculo, sector, corona y trapecio circular • Definición de lugar geométrico • La circunferencia como lugar geométrico • Mediatriz de un segmento • Bisectriz de un ángulo


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En esta unidad se estudian aplicaciones de resultados que se han visto en años anteriores; por esta razón se incluye un epígrafe 0 para recordar con cierto detalle: • Ángulos complementarios y suplementarios • Ángulos opuestos por el vértice • Suma de ángulos de un triángulo, de un polígono en general y de un polígono regular en particular Sería deseable que los alumnos recordaran las operaciones con ángulos expresados en sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos). Además, en el estudio de la semejanza de figuras es fundamental que manejen con soltura las técnicas de proporcionalidad numérica.

2. Previsión de dificultades La principal dificultad de esta unidad es que los alumnos se habitúen al lenguaje geométrico y a hacer razonamientos con él. Están acostumbrados a los números y su extensión, el álgebra, y las demostraciones geométricas les resultan una forma de pensar diferente. Entre los contenidos, el teorema de Tales suele presentar complicaciones: aunque aparentemente lo comprenden al enunciarlo, después les cuesta reconocer cuándo y cómo aplicarlo. Por último, la noción de lugar geométrico les resulta abstracta; en este nivel no es necesario ir más allá de la mediatriz y la bisectriz.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en esta unidad pretendemos asentar las bases de la geometría para los siguientes cursos, ya se presentan conexiones con otras áreas: la lectura e interpretación de los mapas y sus escalas (geografía), la comprensión de los ángulos para la descomposición de fuerzas y los planos inclinados (física), así como un tratamiento en cierta profundidad de las figuras de Tales, Pitágoras y Aristarco de Samos, y sus contribuciones (historia).

4. Esquema general de la unidad La entrada y la sección “Desarrolla tus competencias” motivan los conceptos de semejanza mediante actividades relacionadas con contextos cotidianos. El epígrafe 0 está concebido para repasar los conceptos básicos sobre ángulos que los alumnos ya deberían conocer y serán fundamentales. Los epígrafes 1 y 2 desarrollan los teoremas de Tales y Pitágoras, junto con los criterios de semejanza de triángulos y las aplicaciones de todo ello. En los siguientes tres epígrafes se explican las áreas de las figuras poligonales y circulares, seguidas del concepto de lugar geométrico (mediatriz y bisectriz). La unidad concluye con una sección de Matemáticas y sociedad sobre Aristarco de Samos y las distancias que calculó entre la Tierra, la Luna y el Sol.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad entre ocho y nueve sesiones: 1.ª Recuerda: los ángulos

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

T. de Tales

RECTÁNGULOS

T. de Pitágoras

ÁREAS Y LONGITUDES POLÍGONOS FIGURAS CIRCULARES LUGARES GEOMÉTRICOS CIRCUNFERENCIA MEDIATRIZ BISECTRIZ

2.ª Teorema de Tales. Semejanza de triángulos 3.ª El triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras 4.ª Áreas de figuras poligonales 5.ª Circunferencia y círculo. Elementos 6.ª Lugares geométricos en el plano 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias 9.ª Matemáticas y sociedad (recomendado para trabajo en casa). En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 8

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos esenciales, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, y al tiempo se introduce el razonamiento geométrico, muy distinto del resto de las matemáticas, por lo que enfatizamos también la subcompetencia de razonamiento y argumentación.

Competencia social y ciudadana En la sección de “Matemáticas y sociedad” de esta unidad se trabaja la competencia social y ciudadana haciendo comprender al alumno el desarrollo del pensamiento en la Grecia clásica, y de qué modo abordaban problemas que hoy resultan sencillos con las herramientas de que disponían; con ello se incide en la subcompetencia de desarrollo personal y social, en su descriptor de conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo.

Competencia cultural y artística En esta unidad se trabaja la competencia cultural y artística estudiando la historia de las matemáticas a través de grandes figuras de la antigüedad. Con ello se trabaja la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico: utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo, en especial en su vertiente de conocer las principales instituciones y obras del patrimonio cultural.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, al interpretar planos, diagramas y gráficos como fuentes de datos para resolver los problemas.

Competencia para aprender a aprender Aparte de las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, que trabajan de forma general la adquisición de esta competencia, en esta unidad se profundiza en ella al dedicar tres páginas completas a exponer las técnicas de resolución de problemas aparentemente insolubles que se aplicaron en la antigüedad, trabajando así la subcompetencia de construcción del conocimiento.



4

Unidad 8




COMPETENCIA er



DESCRIPTOR

DESEMPEÑO



er



Razonamiento y argumentación.

Seguir determinados procesos de pensamiento, por ejemplo, inducción y deducción.

Matemática

– Domina los conceptos esenciales de la geometría plana: ángulos, semejanza, teoremas de Tales y Pitágoras, cálculo de longitudes y áreas, y lugares geométricos. – Elabora razonamientos geométricos correctos. – Sabe aplicar las herramientas y habilidades matemáticas aprendidas a problemas concretos de la vida cotidiana y de otras ciencias. Toda la unidad

Social y ciudadana


Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Comprende el desarrollo del pensamiento a través del conocimiento de los grandes científicos de la Grecia clásica. Actividad 23 Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad


Patrimonio cultural y artístico: utilización del hecho cultural como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo.

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural, y fomentar el interés por participar en la vida cultural.

– Conoce a varios de los principales científicos de la antigüedad y valora su aportación a la historia de la ciencia. Actividad 23 Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad


– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red Actividad 23 Matemáticas y sociedad – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 4, 10, 20 y 28 Pon a prueba tus competencias.


– Interpreta mapas, gráficos, tablas y diagramas como fuentes de datos para resolver problemas. Desarrolla tus competencias. Actividades 7, 24 y 48 Pon a prueba tus competencias.

Construcción del conocimiento.

Desarrollar el pensamiento crítico y analítico.

– Conoce los procesos de pensamiento que llevaron al desarrollo histórico de las ideas, comprende sus aciertos y errores y sabe valorarlos. Matemáticas y sociedad

Innovación.



Aprender a aprender






Unidad 8

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: Actividades 23 y 24, “Pon a prueba tus competencias”, “Matemáticas y sociedad”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 5. Geometría y medida en el plano Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 7. Figuras planas • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 6. Geometría y medida, unidad I • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Figuras planas en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales

www.e-sm.net/3esomatmrd09 • Compás, regla, escuadra, cartabón y transportador de ángulos, para que realicen las construcciones con precisión. • En el tratamiento de determinados contenidos, tijeras y papel para recortar figuras y superponerlas, y comprobar así igualdades entre ángulos o proporciones entre lados. • Herramientas informáticas como GeoGebra para visualizar los conceptos de la unidad. • Juego del tangram

6

Unidad 8


Sugerencias didácticas Entrada La entrada debe servirnos a la vez como motivación para la unidad y como recordatorio de los conceptos que los alumnos ya deben saber para abordar con éxito estos contenidos: los ángulos, los triángulos y sus propiedades. La fotografía y el texto pretenden llamar la atención del alumno sobre la utilidad de los triángulos para medir alturas o distancias inaccesibles. El ejemplo de George Everest es muy ilustrativo de esta aplicación, y podemos utilizarlo para despertar la curiosidad de los alumnos sobre el tema que van a estudiar. Por su parte, las actividades de la entrada están pensadas para que los alumnos recuerden o, si es posible, razonen los elementos que determinan un triángulo.

• Por último, es frecuente que olviden la noción de apotema. Esta es una buena ocasión para que la recuerden, y debemos insistir en ello. 7. Esta actividad trabaja al mismo tiempo la competencia de tratamiento de la información y la de interacción con el mundo físico. El objetivo competencial aquí es que los alumnos sepan interpretar la información a partir de un mapa y orientarse, aunque el Norte no esté hacia arriba, como suele ocurrir. Como extensión de esta actividad, podemos pedirles que traigan un plano de su municipio y hallen los ángulos entre las principales calles. Esto servirá como recordatorio del cálculo de ángulos y como medida para familiarizarlos con el uso de mapas y planos.

ACTIVIDADES

La última actividad, en cambio, es abierta y está concebida para que sean los propios alumnos quienes sugieran aplicaciones de las propiedades métricas, en este caso el cálculo de longitudes que no se pueden medir directamente. Debemos recoger las ideas que se les ocurran y observar los procedimientos que piensen para resolverlas. La más común será medir la altura de un edificio, y las ideas pueden ser muy variadas.

2. Teorema de Tales. Semejanza de triángulos

Si no la conocen, podemos terminar la introducción a la unidad contando la simpática anécdota de cómo Niels Bohr respondió a la pregunta de Ernest Rutherford sobre cómo medir la altura de un edificio con barómetro (www.e-sm.net/3eso matmrd16).

• El estudio de figuras semejantes quizá sea una de las partes de la geometría de mayor sencillez y belleza. Tiene variadas aplicaciones en problemas de la vida real; por tanto, su estudio puede hacerse cercano a los alumnos.

Desarrolla tus competencias

• Los contenidos aquí tratados son posiblemente de los más básicos del tema, por eso es importante que se trate con detalle para que todos los alumnos lleguen a adquirir las técnicas necesarias para afrontar la resolución de problemas de escalas o de otros problemas de semejanza geométrica.

1. En la primera actividad, la intención es que los alumnos adquieran conciencia de las nociones de semejanza y escala. Para ello tienen que ser capaces de interpretar correctamente la información a partir de las fotografías, trabajando así la competencia de tratamiento de la información, y realizar los cálculos aproximados. No es importante que los resultados sean más o menos precisos, sino que el orden de magnitud sea acertado y los alumnos sean capaces de realizar este tipo de mediciones aproximadas. 2. En este caso también se trabaja la competencia de tratamiento de la información, puesto que pedimos a los alumnos que procesen la información no a partir de datos, sino de una fotografía de cartabones. Conviene realizar esta actividad con cartabones reales u otros objetos similares. El objetivo es introducir el concepto de semejanza en los triángulos y que los alumnos vean por sí mismos cómo los ángulos no varían entre dos figuras semejantes.

1. Recuerda. Los ángulos • Este epígrafe es un recordatorio de conceptos que los alumnos ya conocen de cursos anteriores, pero que serán fundamentales en el desarrollo de la unidad. • Por ello es esencial que insistamos en estos conceptos hasta que los hayan asimilado por completo; por otro lado, si la clase demuestra un dominio claro de ellos, podemos pasar con cierta rapidez y avanzar hasta las actividades, que en todo caso son muy recomendables para recordar los ángulos.

Básicas

1 a 3, 5, 6, 38 y 39

Medias

7 y 40

• Además, en este epígrafe se afianzan las técnicas de proporcionalidad numérica, tan importantes en la formación de los alumnos, y este hecho permitirá que se profundice en ellas. Es importante que se haga referencia a dicha relación, pues los alumnos no suelen ser conscientes, ni siquiera en casos tan claros como este, de dicha conexión entre las diferentes partes de la materia. 48. Más allá de los contenidos matemáticos, esta actividad trabaja la competencia de tratamiento de la información porque pedimos al alumno que resuelva los problemas partiendo de unos datos proporcionados de una forma poco convencional. Con una breve frase deben ser capaces de interpretar los diagramas y utilizar toda la información implícita en ellos.


8, 9, 11 y 41 a 45

Medias

12 y 46 a 48

3. El triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras • Las aplicaciones del teorema de Pitágoras son muy variadas. Dicho teorema ya se ha introducido en 2.º de ESO, y en este curso se tratan aplicaciones de mayor complejidad. Los alumnos deben adquirir cierta habilidad en la


Unidad 8

7


resolución de este tipo de problemas para que en el curso siguiente (aquellos alumnos que cursen matemáticas B) se pueda comenzar la introducción de técnicas de trigonometría.

24. En esta actividad, los alumnos trabajan nuevamente la competencia de tratamiento de la información, puesto que tienen que observar la fotografía de un tangram, interpretarla y utilizarla para realizar el problema.

• Por otro lado, los problemas de la vida real que podemos tratar en este epígrafe son muy variados, de esta manera se puede motivar a aquellos alumnos con más dificultades.

Si existe la posibilidad, resulta muy interesante trabajar con tangrams reales para que los alumnos puedan manipularlos, superponer las piezas y verificar que efectivamente se dan las relaciones que observan: el área de los dos triángulos pequeños es igual a la del mediano, a su vez igual a la del cuadrado, etc. Esta actividad es particularmente productiva trabajando en equipos.

• Por último, la importancia del teorema de Pitágoras en la ESO es tanta que no podemos dejar de insistir en que este contenido debe reforzarse hasta que sea asimilado completamente por todos los alumnos. 23. En esta actividad podemos trabajar de forma simultánea varias competencias. Por una parte, puede servirnos para que los alumnos investiguen la historia del teorema de Pitágoras, y por extensión, en qué consistía la escuela pitagórica y cuáles fueron sus aportaciones a la ciencia. Con ello estaremos trabajando la competencia cultural, a través de la historia de la ciencia. Por otra parte, si en esta investigación les pedimos que expliquen la evolución de este teorema (que ya era conocido en Mesopotamia y China, pero de cuya demostración no se guarda constancia hasta la época de Pitágoras), les haremos ver la evolución del pensamiento a través de las culturas. Con ello trabajaremos la competencia social, en su vertiente de conocer el carácter evolutivo de la historia. Por último, al pedirles que busquen demostraciones del teorema en internet partiendo de una página que se les suministra, los alumnos estarán trabajando también su competencia digital y de tratamiento de la información.


13 a 19 y 49 a 51

Medias

21, 22 y 52

Altas


25 a 27 y 53 a 55

Medias

24

Altas

29

5. Circunferencia y círculo. Elementos • Los subepígrafes comienzan recordando las fórmulas de longitud de la circunferencia y área de un círculo, que los alumnos ya conocen, para deducir el resto de longitudes y áreas a partir de ellas. • La longitud del arco de una circunferencia y el área de un sector circular se pueden deducir por regla de tres directa simple; de este modo, los alumnos podrán ver cómo se aplican los conocimientos sobre proporcionalidad adquiridos en la unidad anterior. • La corona y el trapecio circular, por su parte, son sencillos una vez se dominan los anteriores. Debemos insistir en que comprendan las fórmulas de las áreas mejor que memorizarlas, porque todas responden a una lógica algebraica de la que ya son capaces en este nivel.

ACTIVIDADES

23 Básicas

30 a 33

Medias

56 y 57

4. Áreas de figuras poligonales • Las áreas de las figuras poligonales sencillas ya deben ser conocidas por los alumnos, por lo que este contenido no debería presentar dificultad. • Debemos explicar con más detalle cómo se calcula el área de un polígono en el caso general, mediante triangulación. Si el nivel de la clase lo permite, podemos ampliar aquí el contenido explicando que en muchas ocasiones es conveniente descomponer el polígono en figuras poligonales elementales, no necesariamente triángulos, lo que requiere una mayor visión geométrica, pero probablemente les ahorrará bastantes cálculos. • Por último, para explicar el área de un polígono regular conviene comenzar por el hexágono, porque su división produce triángulos equiláteros y resulta particularmente intuitiva. Sin embargo, hay que advertir a los alumnos de que no todos los polígonos regulares se dividen en triángulos equiláteros; en las actividades les pediremos que calculen las áreas de estos otros polígonos.

8

Unidad 8


6. Lugares geométricos en el plano • Los contenidos de este epígrafe se tratan también en otras áreas, normalmente en educación plástica. Podemos aprovechar esta circunstancia para destacar una vez más que las matemáticas no son una ciencia aislada de las demás. • Por otro lado, es posible que los alumnos tengan ciertos conocimientos de partida, como el cálculo de mediatrices o bisectrices, por haberse tratado también en otras áreas. Si este es el caso, se podrá avanzar más rápidamente en este aspecto y dedicar más tiempo a las actividades.


34 y 35

Medias

36 y 37


Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias


Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo.

64. Esta actividad sintetiza la mayor parte de los contenidos de la unidad, y al tiempo puede servir para trabajar varias competencias básicas. Por esta razón, aunque al principio parezca extensa, recomendamos realizarla con los alumnos, si es posible formando equipos de 2 ó 3 y repartiendo las tareas.

Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Por una parte, es la aplicación directa del teorema de Tales e hila con la entrada de la unidad (los cálculos de George Everest). En este sentido, podemos aprovecharla para que los alumnos investiguen sobre Tales de Mileto y la medición de las pirámides de Egipto. A través del estudio de este pensador y su historia estaremos trabajando la competencia social y ciudadana y la cultural.

La unidad se cierra con una sección de Matemáticas y sociedad donde se explica brevemente la vida de Aristarco de Samos y su contribución a la ciencia.

Por otra parte, al aportar métodos para la medición de distancias accesibles e inaccesibles estamos trabajando la competencia de interacción con el mundo físico. Un experimento sencillo y ameno que se sigue es pedir a los alumnos que realicen un diagrama y calculen la altura de su centro utilizando estos métodos. No lleva mucho tiempo y les ayuda a asimilar el teorema de Tales. Por último, si, como se recomienda, esta actividad se realiza en equipo, tendremos la oportunidad de valorar la competencia de autonomía e iniciativa personal de cada alumno al participar en un grupo, aportar sus habilidades y aprender a colaborar con sus compañeros para alcanzar un objetivo común.

Matemáticas y sociedad

De nuevo, esta sección se puede aprovechar para trabajar varias competencias. Si se sigue su lectura y se realizan los ejercicios propuestos, estaremos trabajando la competencia lingüística a la vez que repasamos todos los contenidos de la unidad. Pero si además de ello pedimos a los alumnos que investiguen sobre la vida de Aristarco de Samos, trabajaremos de nuevo la competencia cultural y la social y ciudadana, dado que terminarán la unidad con una visión bastante amplia de varios de los grandes pensadores griegos (Pitágoras, Tales y Aristarco) y comprenderán algunos hechos clave como que los griegos ya sabían que la Tierra no era plana, aunque en la Edad Media este conocimiento se olvidase.

Autoevaluación

Por otra parte, se trabaja intensamente el pensamiento crítico (y, por tanto, la competencia de aprender a aprender) al valorar los errores que cometió Aristarco y darnos cuenta de a qué se debieron. Los alumnos deben ser capaces de apreciar este hecho y razonarlo apropiadamente con los conocimientos y habilidades que tienen en este nivel.

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

En suma, esta sección constituye una actividad muy interesante para realizar un breve trabajo desde cualquiera de estas perspectivas. Idealmente, el trabajo se puede dividir en varios equipos: unos que profundicen en la historia del pensador, otros que realicen los cálculos, y todos ellos que concluyan y presenten los resultados.


Unidad 8

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El enfoque del refuerzo en esta unidad está centrado en actividades que obliguen al alumno a construir los diseños geométricos que se plantean en los distintos epígrafes. Es fundamental que los alumnos se acostumbren a esbozar dibujos que respondan con fidelidad a los datos del problema, y que para ello utilicen regla y compás u otros materiales análogos. Si conseguimos que estos dibujos sean suficientemente precisos, podremos encontrar las soluciones de los problemas simplemente midiendo ángulos o lados sobre ellos, y posteriormente relacionar estos datos experimentales con los obtenidos a través de técnicas más analíticas. A menudo transmitimos una visión demasiado aritmética de la geometría, y para los alumnos que tengan dificultades, un planteamiento que permita más manipulación puede resultar útil.

ACTIVIDAD DE GRUPO Realización de un plano del centro Los alumnos deben organizarse en grupos de cuatro o cinco. Se hará un reparto de las principales zonas del centro (el patio, las diferentes plantas, el gimnasio). A cada grupo se le adjudica una zona y el trabajo consiste en medir con cuidado dicha zona y realizar un dibujo a escala. Para medir es aconsejable indicar a los alumnos que utilicen elementos del entorno, como las baldosas del suelo o sus propios pasos, previamente medidos con un pequeño metro. Aunque las medidas no son igual de exactas que si se utiliza cinta métrica, evitamos tener que buscar una cinta muy larga y el error que se comete no es muy grande. Es muy importante que antes de empezar se elija una escala que todos los grupos han de respetar con el fin de que al finalizar se puedan juntar todos los trabajos y tener así un plano global. Deben ser los propios alumnos quienes, a través de un representante de cada grupo, se pongan de acuerdo sobre cuál es el valor más adecuado.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS , B y C son iguales. 1. a) Los tres ángulos A son iguales. b) Los ángulos E, F y G + E = B + F = C + G = 180º , puesto que son suplementarios. c) A d) Si las rectas secantes elegidas no son perpendiculares y las distancias entre a y b, d y e no son iguales, se obtendrá un romboide. e) α = γ, β = δ, porque son ángulos entre paralelas. Suman 360° porque son los ángulos interiores de un cuadrilátero. 2. 95°. Para calcularlo basta aplicar que la suma de ángulos de un cuadrilátero es 360°. 3. 8 cm. Se calcula utilizando el teorema de Pitágoras. 4. a) 5 cm b) Sí, porque sus lados son proporcionales. c) No todos los triángulos rectángulos son semejantes.


10

Unidad 8





1. Vamos a construir un paralelogramo. Necesitaremos regla, escuadra y un transportador de ángulos. Dibujamos tres rectas paralelas; las llamaremos a, b, c (para dibujar rectas paralelas basta apoyar la escuadra en la regla y deslizarla sobre ella con cuidado dibujando rectas a lo largo del lado de la escuadra). Ahora trazaremos una recta que corte las anteriores (secante); la llamaremos d.

d C^

^ B

F^

b

a) Utilizando un transportador, mide los ángulos , B y C. ¿Qué resultado obtienes? A

G^

c

A^

a

E^

. ¿Cómo son entre b) Mide también los ángulos E, F y G ellos? + E, B + F, C + G ? c) ¿Cuánto suman los ángulos A ¿Por qué? d) Trazamos ahora una paralela a la recta d que llamaremos e. Obtenemos dos paralelogramos. ¿Sabes cómo se llaman? e) Fíjate en uno de ellos. Llamemos a sus ángulos α, β, γ, δ. ¿Cómo se relacionan entre ellos?, ¿por qué? ¿Cuánto mide su suma?, ¿por qué?

d

e

c

b a

α

β

δ

γ

2. Una habitación tiene forma de cuadrilátero, pero sus paredes no están cuadradas (no forman ángulos de 90º). Se sabe que los ángulos que forman tres de las cuatro esquinas son de 85º, 95º y 85º. Utilizando un transportador de ángulos, dibuja el cuadrilátero con estos ángulos y mide el cuarto ángulo. ¿Podrías haber calculado el valor del cuarto ángulo sin utilizar el dibujo?

3. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 centímetros, y el lado desigual, 12. Dibuja un triángulo isósceles con estas dimensiones. ¿Cuánto mide su altura sobre el lado desigual? ¿Qué teorema puedes aplicar para obtener este resultado sin el dibujo? Aplicando el mismo método, construye un triángulo isósceles en el que los lados iguales sean de 12 centímetros, y el lado desigual, de 10. 10

5

0

12 cm

4. a) Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 centímetros. ¿Cuánto mide la hipotenusa? c) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera diferente de los anteriores. ¿Son todos los triángulos rectángulos semejantes?


Unidad 8


b) Dibuja un triángulo con los lados el doble que los del anterior. ¿Son semejantes? ¿Por qué?

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos con un nivel relativamente avanzado pueden estar en disposición de enfrentarse a problemas más teóricos e incluso a demostraciones más abstractas. Con ello mejoraremos su preparación para cursos posteriores, y les acercaremos a un enfoque diferente de las matemáticas que posiblemente les resulte muy atractivo. Las actividades que se plantean en este apartado están dirigidas a presentar resultados de cierta complejidad, como son el teorema del cateto y de la altura, y, lo que nos parece más importante, su demostración, un buen ejemplo de cómo aplicar las propiedades de triángulos semejantes. Además se presenta la demostración de la suma de ángulos de un triángulo, que resulta de gran sencillez y belleza. Se pretende que los alumnos lleguen a desarrollar esta demostración por sí mismos, pues esta es la mejor forma de comprender un razonamiento, siempre planteando las indicaciones adecuadas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Realización de un plano del barrio Se organizan grupos de cinco o seis personas y cada uno de ellos debe medir cuatro manzanas del barrio. Previamente, en función del número de grupos que haya, se hace un reparto de las zonas más cercanas al centro. Los alumnos deben tomar medidas en primer lugar. Para ello utilizarán sus propios pasos y, evidentemente, siempre debe ser el mismo alumno el que realice las mediciones y utilizando siempre aproximadamente la misma amplitud de zancada. Cada grupo establecerá cuánto mide esta zancada tipo, y podrá así hacer una estimación de la medida de cada una de las calles. Un compás de pizarra se puede utilizar para medir los ángulos de cada esquina llevando luego esa medida sobre un papel y utilizando un transportador de ángulos. Después de tomar medidas se establece la razón de semejanza que se va a utilizar; para ello, de nuevo todos los grupos deben ponerse de acuerdo y utilizar la misma. Una vez se han terminado todos los planos, se ponen en común y obtenemos un plano de la zona. Se puede exponer en la clase.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS ); por ello, el tercer ángulo tam1. Son semejantes porque ambos tienen un ángulo recto y un ángulo común (el ángulo B bién es igual y los triángulos son semejantes. Podemos establecer la proporción: BC BA

=

BA BH

2. Observando los dos triángulos rectángulos que se forman proyectando sobre el eje vertical, la distancia es 7. 3. Son semejantes porque sus ángulos están entre perpendiculares y, por tanto, son iguales. Podemos establecer la proporción: BH HA

=

HA HC

y E son suplementarios, su suma es 180º. 4. Se tiene B = D , C = E, puesto que son ángulos entre paralelas. Como D, A 5. El cuadrado que se forma es de lado 12 unidades.

9 10 9 5

3


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Unidad 8





1. A partir de la semejanza de triángulos podemos obtener algunos resultados clásicos como el teorema del cateto, cuyo enunciado es el siguiente:

A

Un cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre ella.

B

¿Podrías demostrarlo?

C H

Indicación: los triángulos BAC y BHA son semejantes. A partir de esta semejanza puedes deducir el teorema del cateto para el cateto BA.

2. En el cuadrado de la figura, ¿cuál es la distancia de P a la horizontal? P

S Q 5 R

4

3. Demuestra el teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma. Indicación: con el mismo gráfico que el de la primera actividad debemos demostrar que BHA y AHC son semejantes. ¿Por qué? A partir de esta semejanza puedes deducir el teorema.

4. Demuestra que la suma de ángulos de un triángulo es 180°. ^ D

E^ A^

B^

C^

y D, y C y E son iguales. ¿Por qué? Indicación: observa el dibujo y piensa si los ángulos B

5. Cortamos el rectángulo de la figura, de 16 por 9, en los trozos que se muestran y queremos reordenar las piezas para formar un cuadrado. ¿Es posible? ¿Qué lado tendría? 16 5


9 10


Unidad 8

13



APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

en las siguientes figuras. 1. Calcula el valor del ángulo A a)

b)

A^

70º

A^

^ B

60º

120º

2. Se desea construir una piscina hexagonal en la que dos de sus ángulos miden 140º cada uno, y los otros cuatro son iguales. ¿Cuánto mide cada uno de estos cuatro ángulos? 3. En un hexágono regular se inscribe una estrella de seis puntas. ¿Cuánto mide cada ángulo correspondiente a una punta de la estrella? 4. Se desea construir un patio con forma de triángulo equilátero de 10 metros de lado e instalar en él un sumidero que diste lo mismo de cada una de las esquinas. ¿En qué punto lo haremos? ¿A qué distancia de cada esquina estará? 5. Calcula el lado de un rombo sabiendo que las diagonales miden 6 y 8 centímetros.

13 m

6. Con una escalera de 13 metros, Juan consigue alcanzar la copa de un árbol. Si la base de la escalera se encuentra a 5 metros del tronco del árbol, ¿cuál es la altura de este?

5m


7. Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 centímetros de radio.

14

8. Se tiene un plano a escala 1 : 10.000. ¿A qué distancia en el plano equivalen 15 kilómetros en la realidad? ¿A qué distancia real equivalen 8 centímetros del plano? 9. Calcula el área de un rectángulo semejante a otro cuyos lados miden 12 y 20 centímetros, siendo 2 la razón de semejanza.

Unidad 8




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN es lo que falta hasta 180: A = 180º − (70º + 60º) = 50º . El valor de A = 130º. 1. a) B

= 30º. b) El ángulo interior al triangulo es de 60º. Como el triangulo es rectángulo, sumando se tiene que A

2. Los ángulos interiores de un hexágono suman 720º. 440º 720º − 2 · 140º = 440º; = 110º 4 3.

360º = 60º 6

4. El punto es el circuncentro. Primero calculamos el valor de la altura del triángulo, y a partir de ella, el valor de la x que determina la distancia a cada vértice.

h_x h_x

h

h_x x

Aplicando el teorema de Pitágoras: h2 + 52 = 102; h2 = 100 − 25 ⇒ h = 75 La distancia que es igual a los tres vértices es h − x. Aplicamos de nuevo el teorema de Pitágoras a estos triángulos.

(

)

2

x 2 + 52 = h − x ; x 2 + 25 = 75 + x 2 − 2 x 75; x = La distancia a los vértices es: h − x = 75 −

75 3

75 2 75 10 5 m. = = 3 3 3

5. Se aplica el teorema de Pitágoras a la mitad de cada diagonal: 32 + 42 = L2 ⇒ L = 5 cm. 6. Se aplica el teorema de Pitágoras, siendo la longitud de la escalera la hipotenusa del triángulo. 132 = 52 + h2; h = 169 − 25 = 12 m 7. La diagonal del cuadrado es el diámetro de la circunferencia: L2 + L2 = D2; 2L2 = 36 ⇒ L = 3 2 cm. 8.

1 x = ; x = 0,0015 km; x = 150 cm 10.000 15 1 8 = ; y = 80.000 cm; y = 0,8 km 10.000 y

9. Calculamos la longitud de los lados:

L1 12

= 2 ⇒ L1 = 24 cm;

L2 20

= 2 ⇒ L2 = 40 cm Página fotocopiable

El área será: L1 ⋅ L2 = 24 ⋅ 40 = 960 cm2.


Unidad 8

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U N I DA D

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3

ESO

Cuerpos geométricos

CONTENIDO


7



Unidad 9



Aunque el tratamiento de los cuerpos geométricos es de gran sencillez en la Educación Secundaria, no por ello deja de ser interesante. Se busca fundamentalmente que los alumnos se aproximen al significado de los cuerpos geométricos y sean capaces de establecer una clasificación sencilla de los más habituales. También se propone el estudio de áreas, volúmenes y simetrías de dichos cuerpos. Este apartado tiene enormes aplicaciones en la vida real, y por ello es importante que se propongan ejercicios y problemas en este sentido. Puesto que una de las más importantes aplicaciones del estudio de la geometría de la esfera son las coordenadas sobre la superficie terrestre, puede ser útil que nos detengamos en este punto. Posiblemente, con ello consigamos que se mejore la comprensión de todos los resultados relativos a la esfera como cuerpo redondo, y, por otro lado, es fundamental que los alumnos comprendan las razones geométricas que justifican los husos horarios y otros convencionalismos tan importantes en nuestra vida diaria.

OBJETIVOS


1. Recordar los conceptos esenciales sobre los poliedros y los cuerpos de revolución.

1. Dominar las definiciones de los poliedros y cuerpos de revolución, y resolver problemas sobre ellos.

2. Conocer los elementos de un poliedro, la fórmula de Euler y los poliedros regulares.

2. Resolver problemas de ángulos diedros, sobre la fórmula de Euler y sobre los poliedros regulares en general.

3. Conocer el desarrollo plano, los elementos, el área y el volumen de prismas, pirámides, cilindros y conos.

3. Dominar los prismas, pirámides, cilindros y conos, y saber resolver problemas concretos sobre ellos.

4. Identificar la simetría en los cuerpos geométricos.

4. Trazar ejes y planos de simetría en cuerpos geométricos sencillos.

5. Conocer la esfera, su área y volumen, y las coordenadas geográficas de la Tierra estudiada como esfera.

5. Calcular áreas y volúmenes de esferas; resolver problemas de coordenadas y husos horarios.


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Definición de poliedro • Tipos de poliedros • Cuerpos de revolución • Ángulos en un poliedro • Caras y aristas • Fórmula de Euler • Poliedros regulares: características y tipos • Prismas. Área de un prisma • Diagonal de un ortoedro • Prismas seccionados • Pirámides. Apotema de la pirámide • Área de la pirámide • Tronco de pirámide • El principio de Cavalieri • Volumen de un prisma • Volumen de una pirámide • Volumen del tronco de pirámide • Cilindros. Área de un cilindro

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Unidad 9


• Cilindro seccionado • Cilindro oblicuo • Volumen de un cilindro • Cono. Relaciones entre sus elementos • Área de un cono • Volumen de un cono • Tronco de cono • Área de un tronco de cono • Volumen de un tronco de cono • Esfera. Área • Secciones de la esfera • Volumen de la esfera • Ejes de simetría en cuerpos geométricos • Planos de simetría en cuerpos geométricos • Puntos y líneas imaginarias de la esfera terrestre • Husos horarios • Coordenadas geográficas


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Deberíamos recordar algunas ideas básicas: los conceptos de poliedro, cara, arista y vértice. Es un buen momento para que utilicemos figuras geométricas de cartón o madera, o representaciones por ordenador, para que los alumnos se familiaricen con estos conceptos. El epígrafe 0 está pensado para facilitar este recordatorio. También hay que repasar las áreas de figuras planas simples: triángulos, paralelogramos, trapecios, polígonos regulares, círculo, sector y corona circular… Otro de los puntos más importantes que se deben repasar es el teorema de Pitágoras, que debe conocerse y utilizarse con fluidez, puesto que surgirá de forma constante en el cálculo de áreas y volúmenes.

2. Previsión de dificultades La principal dificultad en esta unidad es la visión espacial; por ello es importante insistir en los desarrollos planos, la fórmula de Euler, el principio de Cavalieri y las simetrías, que tienen en común la necesidad de visualizar el cuerpo geométrico, que suelen generar dificultades. También suelen encontrarse complicaciones en las operaciones con coordenadas geográficas, porque combinan la visión espacial con el sistema sexagesimal.

3. Vinculación con otras áreas El estudio de los cuerpos geométricos tiene dos conexiones inmediatas con otras áreas: en primer lugar, los poliedros y cuerpos redondos se encuentran de forma inmediata en arquitectura (ver Matemáticas y sociedad), biología (moléculas, enlaces), geología (formas de cristales), etc. Y en segundo lugar, la esfera y las coordenadas geográficas se vinculan directamente con geografía, física y la interpretación de mapas en la vida cotidiana.

4. Esquema general de la unidad La entrada y la sección “Desarrolla tus competencias” se basan en el arte y en ejemplos cotidianos para introducir las nociones de cuerpo geométrico, volumen y desarrollo plano. El epígrafe 0 repasa los conceptos básicos sobre cuerpos que los alumnos ya deben conocer. Los epígrafes 1 a 4 están dedicados a los poliedros, sus elementos, áreas y volúmenes. Análogamente, los epígrafes 5 a 7 exponen estos conceptos para los cuerpos redondos. El epígrafe 8 trata la simetría de los cuerpos (ejes y planos). El último epígrafe explica los meridianos, los paralelos y las coordenadas geográficas de la Tierra. La unidad concluye con una sección de “Matemáticas y sociedad” sobre cuerpos geométricos y arquitectura.

POLIEDROS ELEMENTOS

Prismas

ÁREAS Y VOLÚMENES

Pirámides Troncos de pirámide

CUERPOS DE REVOLUCIÓN ELEMENTOS

Cilindros

ÁREAS Y VOLÚMENES

Conos

LA TIERRA

Troncos de cono

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad entre 12 y 13 sesiones:

Esferas

1.ª Recuerda: poliedros y cuerpos de revolución. 2.ª Elementos de un poliedro. Poliedros regulares 3.ª Prismas 4.ª Pirámides 5.ª Volumen de prismas y pirámides 6.ª Cilindros 7.ª Conos 8.ª Esferas 9.ª Ejes y planos de simetría 10.ª La Tierra. Coordenadas geográficas 11.ª Actividades de consolidación y aplicación 12.ª Pon a prueba tus competencias. 13.ª Matemáticas y sociedad (recomendado para trabajo en casa). En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad. Cuerpos geométricos

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos esenciales, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, y al tiempo se trabaja el razonamiento geométrico y la visión espacial, bastante distintos del resto de las matemáticas, por lo que enfatizamos también la subcompetencia de razonamiento y argumentación.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real y de otras ciencias. Asimismo, dado que se trabajan específicamente las coordenadas geográficas, que en sí son una aplicación de las matemáticas al mundo físico, se trabaja de forma activa el descriptor de conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos, de la subcompetencia de aplicación del método científico.

Competencia cultural y artística En esta unidad se trabaja la competencia cultural y artística valorando la aplicación de los cuerpos geométricos en el arte, especialmente en la arquitectura. Con ello se trabaja la subcompetencia de sensibilidad artística: conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular, en especial en su vertiente de disponer de habilidades y actitudes que permitan acceder a diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, al interpretar diagramas, ilustraciones, fotografías y gráficos como fuentes de datos para resolver los problemas.



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Unidad 9




COMPETENCIA er



Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática


DESCRIPTOR

DESEMPEÑO




– Domina los cuerpos geométricos y el cálculo de sus áreas y volúmenes.

SUBCOMPETENCIA er

Razonamiento y argumentación.

Seguir determinados procesos de pensamiento, por ejemplo, inducción y deducción.



– Desarrolla la visión espacial y elabora razonamientos geométricos correctos. – Sabe aplicar las herramientas y habilidades matemáticas aprendidas a problemas concretos de la vida cotidiana y de otras ciencias. Toda la unidad – Conoce los puntos y líneas imaginarias de la esfera terrestre, así como las coordenadas geográficas, como herramientas y lenguaje de conocimiento del mundo físico. Actividad 54 Pon a prueba tus competencias.


Sensibilidad artística: conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular.

Disponer de habilidades y actitudes que permitan acceder a diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Reconoce la aportación de los cuerpos geométricos al lenguaje artístico, en particular la pintura, el diseño y la arquitectura. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 9 y 15 Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Tratamiento de la información y competencia digital

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 13, 19, 27, 33 y 44


Pon a prueba tus competencias.


– Interpreta mapas, gráficos, tablas y diagramas como fuentes de datos para resolver problemas. Desarrolla tus competencias. Actividades 9, 15, 35 y 40 Pon a prueba tus competencias.

Innovación.







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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: “Entrada”, “Pon a prueba tus competencias”, “Matemáticas y sociedad”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO:

Bibliográficos

– N.º 6. Geometría y medida en el espacio Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO. SM

– Unidad 9. Cuerpos geométricos – Unidad 10. Áreas y volúmenes • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO. – N.º 6: Geometría y medida, unidades III y IV • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO. • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Cuerpos geométricos en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales


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Unidad 9

• Representaciones de cuerpos geométricos en madera o plástico, o en animaciones 3D por ordenador. • Papel, tijeras, pegamento y regla para que los alumnos construyan sus propios cuerpos geométricos. • Globo terráqueo y mapamundi con los meridianos y paralelos indicados. • Herramientas informáticas, como GeoGebra, donde trabajar los desarrollos planos.


Sugerencias didácticas Entrada La entrada está concebida para trabajar la competencia cultural y artística desde un punto de vista geométrico: pedimos a los alumnos que identifiquen formas geométricas en un cuadro de Malevich y que sean capaces de apreciar la sombra como un recurso artístico para dar sensación de volumen. Desde el punto de vista matemático, es interesante ver si los alumnos identifican trapecios o bien troncos de cono en el cuadro. Podemos aprovechar para hacerles reflexionar sobre el efecto que producen las sombras, e invitarles a usarlas cuando hagan sus propios dibujos de cuerpos geométricos a lo largo de esta unidad. Por el lado artístico, es interesante que investiguen al pintor Kazimir Malevich y analicen el uso de la geometría en su obra. En concreto, el cuadro Suprematismo contiene múltiples formas geométricas. Si queremos trabajar la competencia artística en más profundidad, podemos mostrarles los cuadros Cuadrado negro y Círculo negro, del mismo pintor, para suscitar el debate de si este tipo de obras se pueden considerar arte, siempre documentándose antes.

Desarrolla tus competencias 1. En esta primera actividad debemos conseguir que los alumnos recuerden los conceptos que han estudiado en cursos anteriores sobre cuerpos geométricos y los apliquen a un objeto cotidiano: los frascos de perfume. Además de clasificarlos desde el punto de vista matemático, podemos trabajar la competencia artística pidiéndoles que analicen las ventajas de utilizar cuerpos geométricos en el diseño de envases (estética, facilidad de fabricación, menores costes, etc.) e incluso que diseñen su propio frasco de perfume geométrico y defiendan por qué se vendería. 2. Esta actividad tiene un carácter más matemático y tiene dos objetivos: por una parte, recordar las unidades de volumen y capacidad y cómo se convierte entre ellas, y por otra, aportar a los alumnos una intuición de cuánto son estas medidas en la vida real, relacionándolas con sus contextos más cercanos (vasos, coches, mochilas, etc.). 3. Por último, en esta actividad se vuelve sobre el diseño de envases para recordar el desarrollo plano de los cuerpos geométricos. Podemos trabajar la competencia artística ampliando la primera actividad con los desarrollos planos y el cálculo de áreas. Se pueden plantear las siguientes cuestiones para que respondan de forma intuitiva: a igualdad de superficie de material, ¿cuál es el cuerpo geométrico con más capacidad? ¿Qué relación tiene esto con los depósitos o la forma de las bombonas? Si la esfera es la forma óptima, ¿por qué se siguen utilizando cilindros para hacer barriles? (Podemos mencionar el apilamiento.)

0. Recuerda. Poliedros y cuerpos de revolución • Este epígrafe se presenta a modo de recordatorio de los conceptos que los alumnos ya deberían conocer de cursos anteriores. Por tanto, no debería presentar especial dificultad para la mayor parte de ellos.

• Sin duda, este tema se presta mucho a ejercicios manipulativos. Podemos plantear los ejercicios más clásicos y sencillos, como son la construcción de un cubo o de sólidos sencillos a partir de su desarrollo en el plano. Siempre son interesantes, sobre todo para los alumnos con mayores dificultades. • También podemos utilizar materiales más sofisticados, como figuras planas de plástico (cuadrados, triángulos equiláteros, pentágonos o hexágonos regulares) que a través de unas gomas permitirán construir diferentes poliedros.


1a3

1. Elementos de un poliedro. Poliedros regulares • Aquí recordaremos los elementos básicos de los poliedros: ángulos, caras, aristas y vértices. Con ello podremos introducir la fórmula de Euler. • Podemos retar a los alumnos más avanzados a inventar un poliedro que no cumpla la fórmula de Euler. • Es interesante que comprendan bien los poliedros regulares y por qué solo hay cinco. Para ello es útil que entren en la página que se recomienda en el margen. También, en la medida de lo posible, es muy didáctico que puedan manipularlos y contar las caras, aristas y vértices. 9. Trabajaremos la competencia de tratamiento de la información, puesto que los alumnos tendrán que obtener información matemática a partir de una fotografía. Asimismo, al hacerles conscientes de la presencia de la geometría en la arquitectura trabajamos la competencia artística. En este sentido, podemos pedirles que busquen más construcciones que utilicen cuerpos geométricos.


4 a 6, 9 y 58

Medias

7, 8 y 57

2. Prismas • Aunque la definición de prisma ya será conocida por los alumnos, merece la pena detenerse para afianzar los conocimientos y expresarlos con más rigor que en cursos anteriores. • Es interesante utilizar el cálculo de la diagonal del ortoedro para que comprendan la aplicación sucesiva del teorema de Pitágoras, que resultará esencial en el cálculo de volúmenes de prismas y pirámides más adelante. • Es importante que los alumnos ejerciten la visión espacial, por lo que debemos animarlos a que seccionen mentalmente los prismas por diferentes planos y después dibujen los resultados que obtienen. 15. Esta actividad está concebida para reforzar las dos competencias que más presencia tienen en la unidad: la de tratamiento de la información y la artística. Trabajamos la primera al dar un diagrama con cotas y pedir al alumno que interprete la información y la transforme


Unidad 9

7


en datos útiles para la resolución del problema. La competencia artística, por su parte, viene dada por el contexto de la actividad; podemos pedir a los alumnos que traigan sus propios objetos con forma de prisma, dibujen su desarrollo plano y calculen la superficie. De este modo serán más conscientes de cómo el diseño utiliza la geometría.


10 a 12 y 61

Medias

14, 60, 62 y 63 15 y 64

Altas

3. Pirámides • Al igual que en el caso del prisma, la pirámide ya es conocida por los alumnos y no será necesario dedicar mucho tiempo a definirla. • Para el cálculo de su área, no obstante, nos encontraremos con dos dificultades: por una parte, el concepto de apotema de la pirámide suele resultarles fácil al inicio, porque al aplicarlo lo confunden con la arista. Y por otra parte, según los datos que proporcionemos, el área de la pirámide puede requerir descomponer el problema en varias fases y aplicar de forma sucesiva el teorema de Pitágoras. Esto les resultará difícil al principio, y, por tanto, debemos proceder paso a paso y asegurarnos de que comprenden cada razonamiento. • Puede resultar útil que los alumnos con más dificultades dibujen el desarrollo plano de la pirámide o el tronco de pirámide antes de realizar el cálculo de su área.


16 a 18 y 65

Medias

20 y 21

4. Volumen de prismas y pirámides • El estudio de volúmenes de cuerpos geométricos reviste cierta complejidad, sobre todo en algunos de los contenidos del epígrafe, como el principio de Cavalieri o aquellos casos que exigen la aplicación reiterada del teorema de Pitágoras para el cálculo de algún parámetro del cuerpo. • Es muy importante que los alumnos se acostumbren a descomponer un cuerpo en varios cuerpos simples para calcular los volúmenes correspondientes tal y como se hacía en el estudio de figuras poligonales. • Existen juegos de figuras geométricas que permiten calcular su volumen llenándolas de agua. Podemos comprobar el principio de Cavalieri utilizándolos en el aula.


22 a 26 y 66 a 68

Medias

28, 72 y 73

Altas

8

Unidad 9

69 y 71


5. El cilindro • El enfoque de este epígrafe es muy similar a los anteriores sobre pirámides y prismas. • Es importante que los alumnos estén totalmente familiarizados con el área del círculo y la longitud de la circunferencia. Si estos conceptos no están del todo asimilados, este es un buen momento para detenerse brevemente y repasarlos. • Insistimos de nuevo en el uso de figuras manipulables, en el entrenamiento de la visión espacial y en la construcción manual de cilindros a partir de su desarrollo plano. 35. En esta actividad trabajamos una vez más la competencia de tratamiento de la información, puesto que los datos deben extraerse de una fotografía con cotas sobreimpresas. Al tiempo, tangencialmente desarrollamos la competencia de interacción con el mundo físico, dado que el problema está contextualizado en un entorno muy familiar para el alumno. Por otra parte, es interesante que consideren un CD como un cilindro, y su caja como un prisma, dado que su altura es tan reducida que resultan atípicos; esto debería contribuir a proporcionarles una perspectiva más amplia sobre los cuerpos geométricos en la vida cotidiana.


29 a 32

Medias

34, 35 y 74

6. El cono • Con este epígrafe se completa el estudio de los cuatro cuerpos geométricos principales, que comparten varias características, como el modo de calcular su volumen. • Es inmediata la analogía del cono con la pirámide, al igual que la del cilindro con el prisma. • Una vez concluido el estudio de estos cuatro cuerpos, podemos pedir a los alumnos que traigan un objeto cotidiano con la forma de cada uno de ellos, lo midan y calculen su área y volumen. Será una actividad entretenida y lúdica que ayudará a fijar los conceptos. 40. En esta actividad se refuerza una vez más la competencia de tratamiento de la información: los alumnos deben interpretar correctamente los datos de la fotografía y abstraerlos para resolver el problema.


36 a 39 y 76

Medias

40 y 75

7. La esfera • La esfera reviste una especial dificultad, dado que los alumnos ya la conocen de forma descriptiva, pero tienen que dar el salto a las fórmulas métricas de área y volumen. • En este sentido, debemos intentar no quedarnos en las fórmulas sin más, sino procurar que comprendan su justificación. Esto no es sencillo para los alumnos menos avanzados, por lo que el profesor debe valorar hasta qué punto es interesante profundizar en ello.




41 a 43 y 47

Medias

45, 46, 48 y 77

8. Ejes y planos de simetría • De nuevo, como en los epígrafes anteriores, se pueden utilizar variados materiales didácticos o incluso fabricarlos con plastilina, cartulina o por ordenador, para ver y manejar las figuras en las tres dimensiones. • Es importante que los alumnos vean cómo se repite la imagen de una figura geométrica al ir girándola alrededor de diferentes ejes. En el caso de trabajar con plastilina se pueden cortar los planos de simetría para entender mejor el concepto.

91. Destacamos esta actividad de la sección porque trabaja intensamente la competencia de interacción con el mundo físico y los contenidos de la unidad. La interpretación de mapas involucra el conocimiento de las coordenadas geográficas, pero también es necesario dominar los cálculos sobre una esfera. Esta actividad es particularmente apta para realizarla en equipos de 3 ó 4 personas. Los alumnos pueden dividirse las tareas como consideren conveniente, y al finalizarlas deberán exponerlas en clase. De este modo trabajaremos las competencias de autonomía, iniciativa personal y aprender a aprender, y tendremos la ocasión de evaluar la capacidad de trabajo en equipo de cada alumno.

Autoevaluación


49 a 52 y 78

Medias

79

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad.

9. La Tierra. Coordenadas geográficas • Nos enfrentamos a un epígrafe con contenidos de gran valor cultural que con toda probabilidad se han tratado en otras áreas, en particular en Ciencias Sociales. Por ello puede ser importante que antes de abordarlo comprobemos el nivel de partida del grupo para no incidir en aspectos conocidos y poder dar un enfoque diferente. • Desde el punto de vista matemático, esta es una aplicación muy útil para profundizar en la geometría de la esfera. Se debe incidir en las razones geométricas que justifican los husos horarios y las coordenadas geográficas. • Resulta muy interesante utilizar recursos como un globo terráqueo o planisferios de diferentes tipos que los propios alumnos pueden conseguir. 54. En esta actividad se trabaja la interacción con el mundo físico de los conceptos matemáticos que se estudian en el epígrafe. Una vez respondidas las preguntas, es interesante ampliar la actividad buscando las ciudades en un mapamundi y, si el tiempo lo permite, localizar una ciudad en el mundo a partir de sus coordenadas lo más rápidamente posible.


53 y 54

Medias

55, 56 y 80 a 82

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan.


Matemáticas y sociedad Cerramos la unidad con una sección sobre la presencia de la geometría en la arquitectura, en este caso clasificando los edificios según los cuerpos geométricos que dominan en ellos.


Resulta motivador y despierta la curiosidad de los alumnos comprobar que los contenidos abstractos que han estudiado tienen una aplicación tan visible y necesaria en la vida cotidiana.

Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

A los alumnos más adelantados podemos proponerles que, además de buscar los edificios mencionados en la actividad, encuentren sus medidas y realicen el cálculo de su área y volumen.


Unidad 9

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS La geometría nos permite la realización de ejercicios manipulativos que a menudo resultan muy útiles desde el punto de vista didáctico. Muchos alumnos tienen grandes dificultades en la comprensión de conceptos abstractos propios de las matemáticas, pero presentan grandes aptitudes para la realización de actividades que precisen cierta destreza manual. El cálculo de áreas y volúmenes es quizá una de las partes de la geometría más cercanas a los alumnos por su utilidad práctica y su aplicación en multitud de situaciones de la vida real. Por ello es sencillo presentar problemas que reflejen situaciones reales, y esta puede ser una estrategia útil para facilitar a los alumnos la comprensión de las fórmulas que trabajamos. Por otra parte, y como en el resto de unidades del bloque de geometría, resulta fundamental que los alumnos realicen la mayor cantidad posible de dibujos; se debe insistir en que inmediatamente después de leer el problema, el siguiente paso es realizar un croquis de la situación y, sobre el mismo, situar los datos y plantear la estrategia que seguirán. El objetivo es que a través de la realización de ejercicios en los que se trabaje con modelos geométricos de cierta sencillez facilitemos el acceso a conceptos más abstractos.

ACTIVIDADES DE GRUPO Recorriendo el mundo Se organizan grupos de cuatro o cinco alumnos. La actividad consiste en que cada grupo prepare una vuelta al mundo. Partiendo desde la ciudad donde viven, deben programar 10 etapas deteniéndose en las ciudades o lugares en los que pararían en una vuelta al mundo. En cada ciudad deben detallar sus coordenadas geográficas, y si es una ciudad del hemisferio norte o sur. Además hay que detallar si en el trayecto de uno a otro punto del recorrido se viaja hacia el este o el oeste y hacia el sur o el norte. Cuando cada grupo haya preparado el itinerario, lo expondrá al resto de los compañeros. Buscando cuerpos geométricos Los alumnos deben organizarse en grupos de cuatro o cinco. Se trata de que cada grupo busque objetos de la vida real (envases en un supermercado, edificios de la zona…) que tengan formas como las que se han estudiado en el texto. Cada grupo debe encontrar al menos 10 objetos diferentes, medir sus dimensiones, calcular el área lateral y el volumen. En aquellos casos en los que los objetos no sean accesibles, en lugar de medirlos se hará una estimación de sus medidas. Se puede pedir a los alumnos que realicen fotos de los objetos y, una vez que todos los grupos tengan sus fotos, seleccionar algunas para presentarlas a algún concurso de fotografía matemática.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Un cubo

8. a) Dos rectángulos de 1,2 por 0,4 m

2. Un tetraedro

Dos rectángulos de 1 por 0,4 m

3. Un dodecaedro

Un rectángulo de 1,2 por 1 m

4. Un octaedro y un icosaedro

En total necesitaremos 2,96 m2 de chapa.

5. a) Las caras laterales son cuatro triángulos isósceles, la base es un cuadrado. b) Área: 122 + 4 ⋅

12 ⋅ 10 2

= 384 cm2

12 ⋅ 8 = 384 cm3 3 2

Volumen:

6. Forma de cilindro. Otros objetos: bidones, tubos, latas de refresco, sombreros de copa, etc.

b) Para cada cajón necesitamos: Dos rectángulos de 0,39 por 0,29 m Dos rectángulos de 0,98 por 0,29 m Un rectángulo de 0,39 por 0,98 m En total necesitaremos 1,18 m2 de chapa. Para, los cuatro cajones hacen falta 4,72 m2. , m3 c) V = 0,29 ⋅ 0,98 ⋅ 0,39 = 011

9. Atetraedro = 4 ⋅ Atriángulo = 27,68 cm2

7. Cero


10

Unidad 9





1. Dibuja sobre un papel seis cuadrados iguales de 3 centímetros de lado. Recórtalos y únelos unos con otros con celo hasta formar un poliedro. ¿Qué figura has obtenido? 2. Dibuja sobre un papel cuatro triángulos equiláteros de 4 centímetros de lado, córtalos y únelos con celo para formar un poliedro. ¿Qué figura has obtenido? 3. Dibuja 12 pentágonos regulares iguales (puedes utilizar una plantilla). Córtalos y únelos con celo para formar un poliedro. ¿Qué figura has obtenido? 4. Dibuja 28 triángulos equiláteros de 4 centímetros de lado y córtalos. Une con celo ocho triángulos hasta formar un poliedro. ¿Qué figura obtienes? ¿Qué figura obtienes si ahora unes los otros 20 triángulos formando un poliedro? 5. Construye una pirámide cuadrangular de lado de la base 12 centímetros y 8 de altura. a) ¿Cuántas caras laterales tiene y qué forma tienen estas caras? ¿Qué forma tiene la base? ¿Podrías dibujar y recortar todas las figuras de las caras laterales y la base para unirlas luego formando el poliedro? b) ¿Cuál es su área y su volumen?

8

8

6

6

6. ¿Qué forma tiene una lata de salsa de tomate en conserva? ¿Qué otros objetos utilizados habitualmente tienen esta misma forma? 7. ¿Cuál será la latitud de una ciudad que está sobre el Ecuador? 8. Deseamos construir una cajonera. Las medidas, en metros, son las siguientes: 0,4 de fondo, 1 de ancho y 1,20 de alto. a) En primer lugar construimos la armazón de la cajonera, es 1m decir, la base en la que colocaremos los cajones. ¿Qué piezas formarán esta base?, ¿qué dimensiones tendrán?, ¿cuántos metros cuadrados de chapa de madera necesitaremos? 1,2 m

b) Queremos que la cajonera tenga cuatro cajones de 29 centímetros de alto, 0,98 metros de ancho y 0,39 metros de fondo. ¿Qué piezas necesitaremos y de qué dimensiones? ¿Cuántos metros cuadrados de chapa de madera necesitaremos?


0,4 m

c) Calcula el volumen que tendremos en cada uno de los cajones. 9. Calcula el área de un tetraedro si el perímetro de su base mide 12 centímetros.


Unidad 9

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Dentro del tema que nos ocupa hay dos puntos que se prestan de manera especial a la profundización: los sólidos regulares y la geometría de la esfera. Los sólidos regulares permiten la propuesta de ejercicios de investigación de gran interés para los alumnos. La historia del descubrimiento de estos cuerpos, así como su significado, es sencilla y, por tanto, puede estar al alcance de los alumnos con un nivel relativamente avanzado. Por otro lado, y puesto que con el estudio de las coordenadas geográficas y de la geometría de la superficie terrestre se inicia de alguna manera el estudio de una geometría no euclídea, se propone para los alumnos con nivel, la profundización en esta geometría tan diferente. El cálculo de áreas y volúmenes ofrece inmensas posibilidades para trabajar con aquellos alumnos que tienen un nivel más avanzado. Desde el punto de vista conceptual, el planteamiento de resultados teóricos sobre los que se fundamentan las técnicas de cálculo puede ser muy interesante.

ACTIVIDADES DE GRUPO Áreas y volúmenes en la historia Los alumnos se organizarán en grupos. Cada uno realizará un trabajo de investigación sobre el cálculo de áreas y volúmenes en diferentes épocas: • En la civilización egipcia • En la civilización mesopotámica • En el mundo griego hasta el año 300 a. C • En el mundo griego a partir de los trabajos de Euclides El objetivo es que se expongan resultados claros y breves, y que con ello los alumnos sean capaces de valorar la preocupación por la geometría en civilizaciones antiguas. En la búsqueda de información pueden utilizar internet. Recordando siempre a los alumnos que la información que se obtiene de internet debe ser contrastada con otras fuentes como enciclopedias, que proporcionen seguridad. Otra forma de asegurar que internet es una buena fuente es tomar únicamente aquello que procede de páginas oficiales.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Ninguna, en la geometría definida no hay rectas paralelas. 2. Como cada uno de los ángulos marcados en el dibujo es recto, la suma de los tres es: 90° + 90° + 90° = 270° 3. Por dos puntos pasa una única recta, por un punto pasan infinitas rectas. En la superficie terrestre, por un polo pasan infinitos meridianos. 4. Comencemos con el caso de los triángulos equiláteros: sus ángulos interiores miden 60° y, por tanto, podemos hacer coincidir en cada vértice 3, 4 ó 5 triángulos (obteniendo el tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente). En el caso del cuadrado, cada ángulo interior mide 90°, así que solo podemos tener tres cuadrados concurriendo en cada vértice, es el caso del cubo.

Es fácil calcular que cada ángulo interior de un pentágono regular mide 108°, con lo que de nuevo en cada vértice sólo podemos tener tres pentágonos y obtenemos así el dodecaedro. Por último, para el hexágono, cada ángulo interior mide 120° y, por tanto, haciendo coincidir tres hexágonos ya habríamos alcanzado la cota que la condición b restringía. En el caso de polígonos de mayor número de lados, los ángulos interiores son mayores y, por tanto, con más motivo no pueden cumplirse las dos condiciones necesarias. 5. Si llamamos A, B y C a las áreas de los segmentos circulares que se definen, se tiene que B = C. Utilizando la propiedad de Hipócrates: A = 2B. Llamando L al área de la luna y T a la del triángulo: T = L + A − B − C = L + A − 2B = L + 2B − 2B = L El área de la luna es de 25 cm2.


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Unidad 9





1. Hasta ahora has estudiado lo que se llama geometría euclídea; en geometría euclídea se cumple lo que se llama el postulado euclídeo de paralelismo: “Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela”. ¿Crees que podríamos inventar una geometría en la que no se cumpliera este resultado? Estudia el siguiente caso: Consideramos una esfera, los puntos de nuestra geometría serán los puntos de la esfera, las rectas serán las circunferencias máximas sobre la esfera, es decir, las circunferencias que resultan de cortar planos que pasan por el centro de la esfera con la propia esfera. Definimos rectas paralelas como aquellas que no se cortan. En la geometría que hemos definido, ¿se cumple el postulado euclídeo de paralelismo? ¿Cuántas rectas paralelas pasan por un punto exterior a una recta? 2. En la geometría que hemos definido en el ejercicio anterior, un triángulo está formado por tres segmentos de recta limitados por tres puntos que no pertenecen a la misma recta (o, lo que es lo mismo, a la misma circunferencia máxima). Tomemos un triángulo cuyos vértices sean el Polo Norte, un punto sobre el Ecuador de longitud 0° y otro punto sobre el Ecuador de longitud 90° O. Si suponemos que los ángulos del triángulo son los que forman en cada vértice las tangentes a cada lado del triángulo, ¿cuánto suman los ángulos interiores de dicho triángulo?

3. En geometría euclídea, un resultado básico es que por dos puntos pasa una única recta. ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos de la geometría de la esfera que acabamos de describir? ¿Cuántas rectas pasan por un solo punto? ¿Puedes poner algún ejemplo de este hecho tomando como rectas los meridianos de la superficie terrestre? 4. ¿Por qué solo existen cinco poliedros regulares? Para responder a esta pregunta, considera los siguientes aspectos. a) Cada vértice debe ser común al menos a tres caras para que podamos formar un poliedro (es imposible que en un vértice coincidan solo dos caras). b) Si sumamos los ángulos interiores de las caras que concurren en cada vértice, la suma debe ser menor de 360°, pues de no ser así, las caras que componen ese vértice formarían un plano y no habría poliedro. Con estas dos condiciones y considerando lo que miden los ángulos interiores de cada tipo de polígono, justifica que solo se pueden construir poliedros regulares con triángulos, cuadrados y pentágonos, y que estos poliedros regulares solo pueden ser los cinco conocidos. 5. Hipócrates de Chios (alrededor del 430 a. C.) trabajó calculando áreas de ciertas figuras circulares. Para ello utilizaba la siguiente propiedad: “Las áreas de segmentos circulares correspondientes al mismo ángulo están en la misma razón que los cuadrados construidos sobre sus cuerdas correspondientes”. (Recuerda que un segmento circular es la región del círculo comprendida entre un arco y su cuerda.)

C

C’

α A

A’


A′ C ′2 = 2 A C Utilizando la propiedad que hemos citado, demuestra que el área de la luna de la figura es igual al área del triángulo. Si el radio del círculo son 5 centímetros, calcula dicha área. Cuerpos geométricos

Unidad 9

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APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Indica el nombre de las siguientes figuras y describe sus elementos más importantes y sus planos de simetría. a)

b)

c)

d)

2. a) Se tiene una pirámide hexagonal regular cuya altura son 8 centímetros, y el lado de la base, 6. Calcula la longitud de la arista lateral. b) Calcula la generatriz de un cono de 3 centímetros de altura cuyo radio de la base mide 4 centímetros. 3. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

6 cm

8 cm

6 cm

6 cm

4. Se desea poner loseta en el suelo de una habitación que tiene las dimensiones que se detallan. Si 1 metro cuadrado de loseta cuesta 15 euros, ¿cuánto hay que gastar para enlosar la habitación? Si además instalamos un rodapié que cuesta 8,50 euros por metro, ¿cuánto pagaremos en total?

2m 1m

2m

3m 8m

5. Calcula las áreas lateral y total de un cono cuyo radio de la base mide 5 centímetros, y su altura, 12. 6. Un arquitecto desea rematar una torre con un tejado con forma de pirámide cuadrangular que quiere recubrir de un material especial. Si la torre tiene planta cuadrangular con 8 metros de lado y la altura del tejado debe ser de 12 metros, ¿cuántos metros cuadrados de material necesitará?


7. Se desea diseñar botes de conserva de forma que su altura sea de 12 centímetros, y su capacidad, de 350 mililitros. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

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8. Se tienen las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Ciudad A: 3,5° E; 48,5° N

Ciudad B: 70,42° O; 33,25° S

Ciudad C: 30° E; 30° N

a) ¿Cuál de ellas está más cerca del Ecuador? ¿Cuál está más lejos? b) ¿Cuál de ellas está en el hemisferio norte y cuál en el sur? c) ¿Cuál de ellas está más cerca del meridiano de Greenwich? Unidad 9




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Cono. Sus elementos son: altura, generatriz, radio de la base. Tiene infinitos planos de simetría (todos aquellos perpendiculares a la base y que pasen por el vértice). b) Esfera. Sus elementos son: radio de la esfera, meridianos, paralelos… Tiene infinitos planos de simetría (todos aquellos que pasen por el centro de la esfera). c) Prisma hexagonal inclinado. Sus elementos son: vértices, aristas, caras, base, apotema de la base y altura. Tiene 12 planos de simetría, que pasan por el centro del hexágono de la base y por vértices opuestos (6) o por el punto medio de sus lados (6). d) Pirámide de base cuadrada truncada. Sus elementos son: aristas, vértices, caras, base mayor, base menor, apotema y pirámide deficiente. Tiene cuatro planos de simetría, que son verticales y pasan por el centro del cuadrado de la base y por vértices opuestos (2) o por el punto medio de sus lados (2). 2. a) a2 = l2 + h2; a = 64 + 36 = 10 cm b) g2 = h2 + r 2; g = 9 + 16 = 5 cm 3. a) Perímetro: 48 cm. Área: 72 cm2 b) Perímetro: 17,9 cm. Área: 10,26 cm2 4. Las losetas cuestan 692,10 €, y el rodapié, 227,37 €. En total pagaremos 919,47 €. 5. Área lateral: 204,2 cm2. Área total: 282,7 cm2 6. 202,39 m2 7. 3,05 cm 8. a) C está más cerca del Ecuador, y A es la que está más lejos. b) A y C están en el hemisferio norte, y B, en el sur.


c) A está más cerca del meridiano de Greenwich.


Unidad 9

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U N I DA D

10

3

ESO

Transformaciones en el plano

CONTENIDO


7




El entorno geométrico en el que se desenvuelve la vida cotidiana no es, en general, estable. En numerosas ocasiones se ve afectado por cambios más o menos básicos que modifican su apariencia. Estos cambios pueden deformar las figuras en mayor o menor medida, pero es habitual que dichos cambios se limiten a variaciones de posición conservando las distancias, los ángulos y, por tanto, la forma. Las transformaciones geométricas que tienen esta propiedad de conservar el tamaño y la forma se denominan movimientos. En esta unidad se estudian diferentes tipos de movimientos: las traslaciones, los giros, las simetrías axiales y las composiciones de los anteriores. El núcleo fundamental de los contenidos se centra en la definición geométrica de las transformaciones, aunque también se realiza una primera aproximación al estudio algebraico de las mismas. Además, se expone el modo de trabajarlas con la herramienta informática GeoGebra. El estudio de los vectores del plano y de sus coordenadas permite establecer las definiciones de traslación en el plano con respecto a un vector guía y su interpretación algebraica con ayuda de las coordenadas de puntos y de vectores. El estudio riguroso de los siete tipos posibles de frisos en la sección “Matemáticas y sociedad” completa esta unidad.

OBJETIVOS


1. Conocer y dominar las traslaciones en el plano y saber trazarlas.

1. Identificar traslaciones. Hallar la figura trasladada por un vector de otra figura dada.

2. Relacionar las traslaciones con su expresión algebraica, los vectores.

2. Calcular las coordenadas de una traslación por un vector.

3. Conocer y dominar los giros en el plano y saber trazarlos.

3. Identificar los giros, su sentido, centro y ángulo. Hallar la figura girada de otra.

4. Comprender las simetrías axiales y saber trazarlas.

4. Identificar las simetrías. Hallar la simétrica de una figura respecto a un eje dado.

5. Saber identificar y trazar la composición de transformaciones en el plano.

5. Hallar la transformada de una figura mediante la composición de dos o más transformaciones.

6. Saber representar transformaciones en el plano utilizando GeoGebra.

6. Resolver problemas concretos de transformaciones utilizando GeoGebra.


• Matemática • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Características de las traslaciones • Dibujo de una traslación • Traslaciones horizontales, verticales y oblicuas • Traslaciones y vectores • Cálculo de las coordenadas de los puntos trasladados • Cálculo del vector de una traslación • Características de los giros • Sentido del giro • Dibujo de un giro • Determinación del centro y el ángulo de un giro • Características de las simetrías axiales

2

Unidad 10


• Dibujo de una simetría • Determinación del eje de una simetría • Conservación y cambio de orientación • Composición de traslaciones • Composición de giros • Composición de simetrías axiales • GeoGebra: dibujar una figura • GeoGebra: trasladar una figura • GeoGebra: girar una figura • GeoGebra: simetría de una figura


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para poder aprovechar adecuadamente los contenidos desarrollados en esta unidad, los alumnos deben dominar los siguientes conceptos y procedimientos: • Sistema de coordenadas rectangulares en el plano. • Sentido de los ángulos positivos y de los ángulos negativos. • Utilización de los instrumentos habituales de dibujo (escuadra, cartabón, compás, transportador).

2. Previsión de dificultades En principio, esta unidad no debería presentar grandes dificultades, dado que los alumnos ya manejan la mayor parte de los conceptos geométricos y dominan suficientemente el álgebra necesaria. Se pueden encontrar complicaciones, no obstante, en la composición de transformaciones; por ello se debe afianzar bien cada transformación por separado e ir aumentando progresivamente la dificultad de las actividades.

3. Vinculación con otras áreas Las conexiones de las transformaciones en el plano con otras materias son múltiples, pero en esta unidad se abordan principalmente dos: por una parte, se estudia su utilización en el arte, en la creación de mosaicos y frisos (la Alhambra, Escher, Klinger, etc.), y por otra, en un epígrafe completo se trabaja su conexión con GeoGebra, la herramienta gratuita de geometría y álgebra, para familiarizar a los alumnos con las matemáticas por ordenador.

4. Esquema general de la unidad La entrada relaciona la Alhambra, Escher y los mosaicos para motivar los contenidos de la unidad. Del mismo modo, en la sección “Desarrolla tus competencias” se plantean tres actividades que invitan a la reflexión sobre la simetría (incluyendo actividades manipulativas con papel y tijeras) y otras transformaciones, con la intención de despertar la curiosidad del alumno e introducirlo en la unidad. Los epígrafes 1 y 2 trabajan las traslaciones, tanto desde el punto de vista gráfico como mediante el uso de vectores.

TRANSFORMACIONES TRASLACIONES

Vector

GIROS

Centro, ángulo, sentido

SIMETRÍAS

Eje, orientación

Los epígrafes 3 y 4 abordan, respectivamente, los giros y las simetrías axiales, con una estructura similar: características, dibujo y elementos. En el epígrafe 5 se expone la composición de transformaciones en casos sencillos: dos traslaciones, dos giros de centros iguales o diferentes y dos simetrías axiales.

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES

El último epígrafe explica de forma práctica y guiada cómo realizar transformaciones en el plano con GeoGebra, para que los alumnos se familiaricen con esta herramienta y sus posibilidades. La unidad concluye con una sección de “Matemáticas y sociedad” sobre los frisos, donde se relaciona el arte con el rigor matemático e invitamos a los alumnos a ir más allá en internet.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad entre ocho y nueve sesiones: 1.ª Traslaciones: características y dibujo 2.ª Traslaciones y vectores 3.ª Giros 4.ª Simetrías axiales 5.ª Composición de transformaciones 6.ª Transformaciones en el plano con GeoGebra 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias 9.ª Matemáticas y sociedad (recomendado para trabajo en casa) En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 10

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos esenciales, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, y al tiempo se trabaja el razonamiento geométrico, en cierto modo diferente del resto de las matemáticas, por lo que enfatizamos también la subcompetencia de razonamiento y argumentación.

Competencia cultural y artística En esta unidad se trabaja con más intensidad la competencia cultural y artística a través de la aplicación de las traslaciones, giros y simetrías en el arte, especialmente en los mosaicos y frisos, a los que se dedica la entrada y la sección “Matemáticas y sociedad”. Con ello se trabaja la subcompetencia de expresión artística: expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos, en especial en su vertiente de conocer y utilizar de forma básica las principales técnicas, recursos y convenciones de los diferentes lenguajes artísticos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, al interpretar diagramas, ilustraciones y fotografías como fuentes de datos para resolver los problemas. Por último, esta competencia cobra especial relevancia al dedicar un epígrafe completo a trabajar los contenidos con GeoGebra, y con ello, el uso de las herramientas tecnológicas, en su descriptor de conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes, en este caso en el ámbito matemático.



4

Unidad 10




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción


Matemática Razonamiento y argumentación.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO



Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Seguir determinados procesos de pensamiento, por ejemplo, inducción y deducción.

– Domina las traslaciones, giros y simetrías, y sus composiciones. – Elabora razonamientos geométricos correctos. – Sabe aplicar las herramientas y habilidades matemáticas aprendidas a problemas concretos de la vida cotidiana y de otras ciencias. Toda la unidad – Valora la aplicación de las transformaciones en el plano a los frisos y mosaicos, y sabe identificarlos y clasificarlos.


Expresión artística: expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos.

– Conoce artistas que han creado frisos y su obra. Conocer y utilizar de forma básica las principales técnicas, recursos y convenciones de los diferentes lenguajes artísticos.

– Emplea materiales manipulativos (papel, corcho…) para visualizar las traslaciones, giros y simetrías. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 12 y 19 Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




Uso de las herramientas tecnológicas.

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

Innovación.



– Visita librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 9, 14 y 23 Pon a prueba tus competencias.



En la red Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad


– Interpreta diagramas, ilustraciones y fotografías como fuentes de datos para resolver problemas. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 5, 11 y 20 Pon a prueba tus competencias. – Aprende a manejar GeoGebra y otros programas útiles para la geometría. Actividades 24 y 25 Epígrafe 6



Unidad 10

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: “Entrada”, “Pon a prueba tus competencias”, “Matemáticas y sociedad”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: – N.º 6. Geometría y medida en el espacio

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 8. Transformaciones geométricas en el plano • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 6: Geometría y medida, unidad II • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II

Otros

Geometría dinámica con papel. Mª Jesús Casado Barrio. Colección 2 Puntos de Proyecto Sur. Es un libro con actividades manuales para que los alumnos construyan por sí mismos la figura transformada de una dada con papel y tijeras. www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Movimientos en el plano en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales


6

Unidad 10

• Instrumentos de dibujo: compás, escuadra, cartabón y transportador de ángulos. • Papel y tijeras para que los alumnos construyan sus propias figuras planas. • GeoGebra, el programa informático de geometría y álgebra, donde trabajar los movimientos en el plano.


Sugerencias didácticas Entrada En esta unidad tiene gran presencia la competencia cultural y artística, como ya se manifiesta desde la entrada. La aplicación de las transformaciones en el plano a los mosaicos y frisos es inmediata, y muchos artistas han trabajado en ellos. La fotografía y el texto de entrada relacionan la Alhambra con Escher y su obra. El análisis del mosaico de Escher que pedimos en las actividades llevará a los alumnos a descubrir de forma intuitiva las traslaciones, los giros y las simetrías. Esto nos servirá como elemento motivador para introducir los conceptos que encontrarán en la unidad. Por su importancia en la relación entre arte y geometría, también debemos pedir a los alumnos que investiguen sobre Escher, lo ubiquen en el tiempo y conozcan sus principales obras. Para ello, podemos pedirles que elaboren un breve informe con sus pinturas y grabados más geométricos, analizándolos siguiendo las mismas pautas con las que han estudiado la fotografía de la entrada.

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad trabajamos, además de la competencia artística, la de tratamiento de la información: los alumnos deben contemplar las letras como elementos geométricos y utilizarlas como diagramas, olvidando por un momento lo que representan para analizarlas desde el punto de vista geométrico. 2. Aquí trabajamos de forma directa la competencia artística: los alumnos deben utilizar material manipulativo (papel y tijeras) para visualizar el concepto de simetría. Puede resultar una actividad lúdica y muy ilustrativa, por lo que merece la pena detenerse en ella y analizar los resultados a los que llegan. Una vez concluida, se pueden colgar los resultados en clase para ir analizándolos a medida que avancemos en la unidad. 3. Por último, trabajaremos nuevamente la competencia de tratamiento de la información: los alumnos deben interpretar los dibujos y describir con sus propias palabras lo que ven. Si no los conocen o recuerdan, podemos sugerirles los términos traslación, giro, simetría y semejanza para que se ayuden de ellos. Aunque la extensión natural de esta actividad es recrearla en GeoGebra, el profesor debe valorar si no es más oportuno reservar este recurso para el epígrafe 6, cuando los alumnos puedan utilizar las transformaciones con más rigor matemático.

1. Las traslaciones • Este primer epígrafe es en realidad un recordatorio o introducción del concepto de traslación. En consecuencia, debemos asegurarnos de que los alumnos han asimilado bien todos los conceptos que se describen antes de avanzar. • De igual modo, dado que los conceptos son bastante sencillos, si el nivel del grupo lo permite, podemos pasar relativamente deprisa por este epígrafe. • Es importante que los alumnos tomen las herramientas de dibujo y practiquen las traslaciones con sus propias manos, porque este es el modo más efectivo de fijar las ideas.

• Asimismo, aunque en el siguiente epígrafe se detalla este aspecto, en este punto podemos comenzar a introducir la noción de vector y cómo determina una traslación. Por el momento basta con que los alumnos sean capaces de trazar la flecha que determina una traslación. 5. En esta actividad trabajaremos la competencia de tratamiento de la información: los alumnos deben ser capaces de extraer los datos a partir del dibujo de un campo de fútbol y un texto, y realizar correctamente los cálculos. También deben darse cuenta de que necesitan el teorema de Pitágoras, sin necesidad de darles la indicación; con ello lograremos que los alumnos de un nivel menos avanzado relacionen los contenidos de diferentes unidades.


1 a 3, 5 y 26 a 28

Medias

4

2. Las traslaciones y los vectores • Es conveniente comenzar con la obtención de puntos trasladados, para continuar con la obtención de los homólogos de segmentos, rectas, triángulos y, finalmente, figuras más complejas. • Es importante que las actividades propuestas en las que se solicita la obtención de puntos o figuras homólogas determinados por coordenadas cartesianas en una traslación se resuelvan tanto de forma geométrica como de forma algebraica. • El método de las traslaciones es una potente herramienta que resuelve gráficamente problemas geométricos. Estos problemas suelen tener gran dificultad, por lo que la mayoría de ellos deben ser propuestos solo a los alumnos más aventajados. • Por último, es muy importante insistir en el problema inverso: el cálculo del vector a partir de una traslación dada. De este modo, los alumnos podrán reconstruir más adelante una sucesión de movimientos en el plano. 11. Esta actividad es importante para trabajar las competencias de tratamiento de la información e interacción con el mundo físico, porque relaciona los planos con los vectores y las traslaciones. Los alumnos deben ser capaces de interpretar el plano, obtener los datos útiles e ignorar los innecesarios, y resolver el problema. Más que la solución a la que lleguen, debemos fijarnos en el procedimiento que siguen; debe ser ordenado y correcto. Si no fuera así, habría que detenerse en este punto hasta asegurarnos de que los alumnos han aprendido a interpretar este tipo de información.


6 a 8, 10, 29 a 31 y 33

Medias

11, 32 y 34


Unidad 10

7


3. Los giros • Conviene comenzar con la obtención de puntos homólogos en un giro de amplitud un ángulo agudo y positivo. Después se pueden obtener los puntos homólogos en giros de amplitud cualquier ángulo, incluso ángulos negativos. • Una vez dominado el procedimiento de la obtención de puntos homólogos se puede pasar a la obtención de los homólogos de segmentos, triángulos y figuras más complejas. • Debemos insistir en que los alumnos no confundan el sentido del giro, así como en la determinación del centro y el ángulo de un giro a partir de su representación. Este procedimiento puede resultar oscuro al principio, pero es importante que lo dominen para que puedan aplicar los giros a situaciones de la realidad. 12. En esta actividad volvemos sobre la competencia artística, que se trabaja recurrentemente en la unidad. El objetivo es que los alumnos visualicen los giros utilizando materiales manipulativos, para lo que necesitarán dibujar y realizar la construcción. Es muy importante que esta actividad, que resulta lúdica y amena para los alumnos, concluya con una reflexión sólida que la relacione con los giros tal como se han estudiado en el epígrafe.


12, 13, 35 a 38, 40 y 41

Medias

15, 16 y 39

4. Las simetrías axiales • Es conveniente comenzar con la obtención de puntos simétricos para continuar con la obtención de los homólogos de segmentos, rectas, triángulos y, finalmente, figuras más complejas. • Las actividades propuestas en las que se solicita la obtención de puntos o figuras homólogas determinados por coordenadas cartesianas se deben resolver tanto de forma geométrica como de forma algebraica. De esta manera, los alumnos pueden observar y comprender la importante relación existente entre la geometría y el álgebra. • Es especialmente importante prestar atención a los cambios de orientación, puesto que luego resultarán muy útiles para identificar qué transformación se ha aplicado a partir de un dibujo dado. • Como ampliación de los contenidos de este epígrafe, se puede proponer la obtención de la figura simétrica de una circunferencia dada. En este ejemplo concreto es conveniente que los alumnos lleguen a comprender, por ellos mismos, que es suficiente con obtener los puntos homólogos del centro y de uno cualquiera de los puntos de la circunferencia. 19. Esta actividad es muy similar a la 12, pero en este caso utilizando la simetría en lugar del giro. Las mismas consideraciones que se hicieron para aquella son aplicables a esta. Puede ser interesante ampliar esta actividad aprovechando el material para realizar consecutivamente una

8

Unidad 10


simetría y un giro, y observar el resultado. Con la reflexión que surja podremos introducir de forma muy natural el siguiente epígrafe. 20. En esta actividad volvemos sobre la competencia de tratamiento de la información: los alumnos deben ser capaces de encontrar los ejes de simetría a partir de fotografías de objetos reales. Una extensión sencilla y muy efectiva es pedirles que cada uno traiga tres objetos cotidianos que tengan simetría bilateral y los exponga en clase.


17 a 20 y 42 a 44

Medias

45 y 46

5. Composición de transformaciones • Para la mayoría de los alumnos, solo se pretende que obtengan figuras homólogas mediante la aplicación de dos transformaciones sucesivas en casos sencillos. Los alumnos más aventajados pueden estudiar qué tipo de transformación se relaciona, por ejemplo, con la aplicación de dos simetrías axiales de ejes paralelos o, aún más complejo, dos simetrías axiales de ejes dos rectas secantes. • Otro de los objetivos del epígrafe es que los alumnos consigan calcular las coordenadas de puntos homólogos mediante la aplicación de transformaciones sucesivas tales como simetrías respecto de los ejes de coordenadas o respecto del origen de coordenadas, o traslaciones de vector guía de coordenadas conocidas. • En cualquier caso, la aplicación de tres o más transformaciones sucesivas complica en gran medida las actividades y no aporta conocimientos importantes. Por tanto, parece suficiente con resolver situaciones en las que intervengan únicamente dos transformaciones sucesivas. 24. Esta actividad trabaja la competencia digital mediante un uso sencillo pero no muy conocido del programa Word. Aparte del contenido matemático, la idea competencial que se subraya aquí es que no siempre es necesario acudir a herramientas especializadas para visualizar una transformación sencilla. Si el tiempo y los recursos lo permiten, es interesante que los alumnos practiquen con Word la tarea que aquí se describe.


21, 22, 47, 48, 50 y 51

Medias

24, 49 y 52

6. Transformaciones en el plano con GeoGebra • Este epígrafe contiene una breve guía para trabajar en GeoGebra los conceptos estudiados en la unidad. Se ha escogido este programa porque es a la vez gratuito, sencillo de usar y muy potente. Además, los usuarios de Cabri observarán muchas similitudes y no encontrarán ninguna dificultad para utilizarlo.


• Naturalmente, solo podemos trabajar este epígrafe con los alumnos utilizando ordenadores. Otra opción interesante es pedirles que lo realicen en casa y después envíen los archivos con el resultado de la actividad 25. • Debemos aprovechar este epígrafe para animar a los alumnos a que investiguen las posibilidades de GeoGebra, por ejemplo, realizando transformaciones sucesivas. Podemos plantearles preguntas como: ¿cuál es el resultado de realizar dos giros consecutivos con distinto centro pero con ángulos que sumen 360º?, para que respondan por ensayo y error con GeoGebra. 25. Con esta actividad se consolidan los conocimientos del epígrafe y se trabaja la competencia digital, en su vertiente de uso de las herramientas tecnológicas. Debemos animar a los alumnos a que hagan sus propias ampliaciones de la actividad. Incluso podemos plantearles una pequeña extensión para realizar en casa: partiendo de una figura asimétrica (sin simetrías bilaterales), ¿es posible volver a la figura original realizando exactamente una traslación, un giro y una simetría axial, no necesariamente en este orden?


25

58. Continuando con la entrada de la unidad, en esta actividad se trabaja la competencia artística a través de los mosaicos. En este caso, se muestra cómo construir teselas que cubran el plano y de nuevo se relaciona este conocimiento con los mosaicos de la Alhambra y con el artista M. C. Escher. El objetivo de la actividad, más allá de desarrollar los conocimientos matemáticos, es doble: por una parte, concienciar a los alumnos sobre la fuerte relación entre la geometría y el arte, y por otra, darles a conocer artistas de diferentes épocas que han utilizado las matemáticas como elementos fundamentales en sus obras. Por último, al final de la actividad pediremos a los alumnos que realicen sus propios mosaicos, reforzando así su creatividad sin perder de vista las matemáticas.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad.

Aprende a pensar... con matemáticas Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias 57. Con esta actividad, aparte de la matemática, trabajamos la competencia de tratamiento de la información e, incidentalmente, la de interacción con el mundo físico. Se observa rápidamente que el mapa no está dividido de la forma usual según los meridianos y paralelos, sino con unos ejes arbitrarios que nos permiten realizar cálculos sencillos con coordenadas y vectores. El eje de la actividad es la interpretación de la información suministrada en el mapa; si se hace correctamente, los cálculos son relativamente sencillos y refuerzan los contenidos de la unidad. Por otra parte, a los alumnos más aventajados podemos pedirles que sustituyan este mapa por uno real, con meridianos y paralelos, y que utilizando los conocimientos de la unidad anterior y buscando las coordenadas en internet realicen los cálculos que se piden en los apartados 1 y 7.

Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.


Matemáticas y sociedad En esta sección se propone un estudio sistemático y riguroso de los siete tipos de frisos posibles y las transformaciones que los dejan invariantes. Cada tipo de friso viene identificado con una cadena de letras R o D, de modo que resulta muy sencillo comprender los conceptos que se exponen. Esta teoría se aplica en las actividades a distintos tipos de frisos: capiteles, grecas de Klinger y otros elementos que los alumnos pueden consultar en internet. Pero el principal interés de las actividades reside en el trabajo de la competencia artística: los alumnos deben utilizar estos conocimientos para crear sus propios diseños con los diferentes modelos de friso, lo que contribuirá a estimular su creatividad y asentar lo aprendido en los epígrafes.


Unidad 10

9

Actividades de refuerzo


Unidad 10

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Para reforzar la enseñanza de los contenidos de esta unidad a aquellos alumnos que no han comprendido, en parte o en la totalidad, el desarrollo del tema, se propone tener en cuenta las siguientes orientaciones, que intentarán cubrir las deficiencias más graves: • Se considera básico que los alumnos entiendan el concepto de las diferentes transformaciones geométricas y dominen los procedimientos que permiten obtener, de forma gráfica, las correspondientes figuras homólogas. Por tanto, es fundamental el aspecto geométrico de los contenidos, quedando el aspecto algebraico en segundo plano. • Es importante insistir a los alumnos en que, para el nivel propuesto para este curso, obtener figuras homólogas en cualquier transformación se reduce a obtener los puntos homólogos de los vértices que determinan dichas figuras. La actividad resuelta 1 intenta hacer patente este aspecto. • Para conseguir que los alumnos dominen estos procedimientos básicos, es importante que resuelvan un buen número de actividades en las que en todos los casos tengan que obtener figuras homólogas, pero con tipos de transformaciones y figuras diversas.

ACTIVIDAD DE GRUPO ¡El que no ponga pierde! Os proponemos el siguiente juego: • Es necesario un tablero de 8 por 8 como los de ajedrez. • Juegan dos personas, las dos con fichas dobles como las colocadas en el tablero de la figura. • El juego consiste en que cada uno de los jugadores, de forma alternativa, debe colocar fichas en el tablero, cubriendo, obviamente, dos cuadrículas vecinas. • Pierde el jugador que no pueda colocar ficha. ¿Podríais indicar una estrategia para ganar siempre? Pensad en alguna de las transformaciones geométricas que habéis estudiado en esta unidad.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 4. a) Figuras resultantes en las simetrías centrales:

1. Resuelto. 2.

a)

e B' B

b) A

B

A'

C

D

A C'

b)

e

B

C'

e D'

C

a)

c)

A

b)

C

C'

E

u u

A' C'

E' D

C O D'

B'

A'

A' B'

C D'

C'

C'

b) Figuras resultantes en los giros: a)

b)

c)

A

B

B'

B' D'

D

A'

B

C A'

B

A

c) B

B D

u

A' B'

A

c) A B O

B'

A'

3. a)

C O

A

B'

A

C' B'

C

A

B

D

C C'

B

O

A

O

B'

B' 0 A' A'

D' C'


10

Unidad 10


A'


ACTIVIDADES de REFUERZO


Unidad 10

1. Dibuja el triángulo simétrico, respecto del eje e, del triángulo ABC. e

A

C B

Solución: Para dibujar una figura simétrica, se comienza hallando los simétricos de los vértices de dicha figura. En una segunda etapa se unen los vértices homólogos hallados para obtener la figura resultante. Primer paso

Segundo paso

e

A

e

A

A'

A'

C

C

C'

C' B'

B

B

B'

2. Para cada una de las siguientes figuras, calcula la simétrica respecto del eje e. a)

b)

e

B

c)

A

A

B

D

C e

e C

3. Para cada una de las siguientes figuras, calcula la trasladada con respecto al vector guía u . a)

b)

A

c)

A

A B

C

u B

C

u

B

E u

D

D

C

a)

b)

A

B

c) A

B

D

C

C A

0

B O

0


Unidad 10


4. Para cada una de las siguientes figuras, calcula la simétrica respecto del centro O y la figura resultante en un giro de centro O y ángulo 45° para la primera, 90° para la segunda y 120° para la tercera.

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Para aquellos alumnos que hayan conseguido adquirir un mayor dominio tanto de los conceptos como de los procedimientos desarrollados en esta unidad, se proponen las siguientes vías de ampliación de sus conocimientos: • El estudio de los elementos invariantes en cada una de las transformaciones geométricas estudiadas. • El estudio del movimiento resultante al aplicar dos transformaciones consecutivas determinadas. • Resolución de otras actividades de tipo geométrico mediante la aplicación del método de las transformaciones. La dificultad de los tres apartados anteriores es creciente. Por ello habrá alumnos a los que solo se les deben proponer las actividades del primer grupo. Los alumnos más aventajados podrán resolver incluso las últimas actividades, aunque es evidente su gran nivel de dificultad.

ACTIVIDAD DE GRUPO ¡El que no ponga pierde! Os proponemos el siguiente juego: • Es necesario un tablero de 8 por 8 como los de ajedrez. • Juegan dos personas, las dos con fichas dobles como las colocadas en el tablero de la figura. • El juego consiste en que cada uno de los jugadores, de forma alternativa, debe colocar fichas en el tablero, cubriendo, obviamente, dos cuadrículas vecinas. • Pierde el jugador que no pueda colocar ficha. ¿Podríais indicar una estrategia para ganar siempre? Pensad en alguna de las transformaciones geométricas que habéis estudiado en esta unidad.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) En las traslaciones de vector guía no nulo no existen puntos invariantes. b) Las rectas paralelas al vector guía quedan invariantes mediante la traslación, aunque no punto a punto. 2. a) Todos los puntos del eje son invariantes. b) El eje es una recta de puntos invariantes. Las rectas perpendiculares al eje son invariantes, pero no punto a punto. 3.

Puntos invariantes

Rectas inv. ptos. Rectas inv. ptos. invariantes no invariantes

S. A.

Los puntos del eje

Eje

Perpendiculares al eje

S. C.

El centro

Ninguna

Rectas que pasan por el centro

El centro

Ninguna si α ≠ 180º, 360º

Ninguna si α ≠ 180º, 360º

Ninguna

Paralelas al vector

G T

Ninguno

4. En los dos casos a y b se obtiene el mismo punto, P‘. La aplicación sucesiva de dos simetrías axiales respecto de rectas paralelas es equivalente a la aplicación de una única traslación de vector guía, el que es perpendicular a las dos rectas, con módulo el doble de la distancia entre ellas y con sentido el que va del primer eje al segundo. 5. En los casos a y b se obtiene el mismo punto, P‘. La aplicación sucesiva de dos simetrías axiales respecto de rectas secantes es equivalente a la aplicación de un único giro de centro el punto de corte de los dos ejes y de ángulo el doble del que forman estos. 6. Al aplicar un giro de centro A y ángulo de 60º a la recta r, se obtiene otra recta que corta a s en el vértice B del triángulo buscado. r' C

r A

B

s


12

Unidad 10





1. Considera una traslación de vector guía u no nulo. a) ¿Hay algún punto que quede invariante en la traslación?, o lo que es lo mismo, ¿existe algún punto cuyo homólogo en la traslación sea el mismo? b) ¿Qué tipos de rectas quedan invariantes en la traslación? ¿Estas rectas están formadas por puntos invariantes o son simplemente rectas invariantes consideradas en su conjunto? 2. Considera una simetría axial de eje e. a) Estudia sus puntos invariantes. b) Estudia sus rectas invariantes y diferencia aquellas que están formadas por puntos invariantes y aquellas que no lo están. 3. Completa la siguiente tabla. Puntos invariantes

Rectas invariantes formadas por puntos invariantes

Rectas invariantes formadas por puntos no invariantes

Simetría axial de eje e Simetría central de centro O Giro de centro O y ángulo ␣ Traslación de vector guía u

4. Las rectas r y s de la figura son paralelas.

b) Halla el homólogo del punto P al aplicarle la traslación de vector con dirección la perpendicular a r y s, con sentido el que va de r hacia s y con módulo el doble de la distancia entre r y s (vector u de la figura).

s

r

a) Halla el homólogo del punto P al aplicarle, en primer lugar, la simetría axial de eje r y, después, la simetría axial de eje s.

u

P

c) ¿Qué conclusión puedes sacar sobre los dos movimientos aplicados en los apartados anteriores? Razona la respuesta. 5. Las rectas r y s de la figura son secantes y forman un ángulo ␣.

b) Halla el homólogo del punto P al aplicarle un giro de centro el punto de corte de r y s, y de ángulo, 2α en sentido horario.

r

P

α

c) ¿Qué conclusión puedes sacar sobre los dos movimientos aplicados en los apartados anteriores? Razona la respuesta. 6. Aplicando el método de los giros, dibuja un triángulo equilátero de forma que uno de sus vértices sea el punto A, y cada uno de los otros dos esté sobre las rectas r y s.

s

r

A

s


Unidad 10


a) Halla el homólogo del punto P al aplicarle, en primer lugar, la simetría axial de eje r y, después, la simetría axial de eje s.

13



APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Dibuja la figura homóloga de la del cuadrilátero de vértices A, B, C y D de la figura. a) Mediante una simetría axial de eje la recta e.

D

e C

A

b) Mediante una simetría central de eje el punto O. c) Mediante traslación de vector guía el u .

O B u

2. Dibuja la figura homóloga de la del cuadrilátero de vértices A, B, C y D del ejercicio anterior mediante un giro de centro el punto O y ángulo 120°. 3. Aplica al cuadrilátero ABCD de la figura del ejercicio 1, primero, una simetría central respecto del punto O y, después, un giro de centro el punto O y amplitud –90°. 4. Halla las coordenadas de los vectores u, v , a y b . Y u a v

1 O

1

b

X

5. Calcula las coordenadas del vector AB sabiendo que A(−2, 3) y B(−1, 4). 6. Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que AB (−2, 4) y B(0, −3). 7. Calcula las coordenadas de los extremos del homólogo del segmento AB después de haberle aplicado una traslación de vector guía u(−2, 1) y sabiendo que A(−2, 3) y B(−1, 0).


8. Calcula las coordenadas del triángulo A‘B‘C‘ homólogo del ABC en una simetría respecto del eje de abscisas sabiendo que A(2, 4), B(0, 3) y C(−1, −1).

14

9. Al aplicar al punto A una simetría axial respecto del eje de ordenadas, primero, y una traslación de vec tor guía u(2, −3) se ha transformado en el punto A′(5, 4). Calcula las coordenadas de A.

Unidad 10




Unidad 10

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)

D

b)

e

C

c)

D

D C D'

C

A

C'

B'

A

A

C'

O D'

B

A' B

A'

B C' A'

B'

u

D'

B'

2.

D C A O

C' B D'

B' A'

3.

D C

C''

A

B' O

B

A'

D'' C' B''

A''

D'

4. u = 3, 2 ; v = 0, −3 ; a = 2, −1 ; b = 1, − 4

( )

(

(

) (

)

(

)

(

)

) ( )

5. AB = −1, 4 − −2, 3 = 11 ,

(

) (

) (

(

) (

) (

)

6. A = 0, −3 − −2, 4 = 2, −7

)

(

) (

) (

)

7. A′ = −2, 3 + −2, 1 = −4, 4 , B′ = −1, 0 + −2,1 = −3,1

(

) (

) (

)

( )

(

)


8. A′ 2, − 4 , B′ 0, −3 , C ′ −1, 1

9. Sea A a, b . Al aplicar simetría axial respecto del eje de ordenadas se obtiene el punto −a, b . Al aplicar a este último punto una traslación de vector guía u = 2, −3 se obtiene A′ −a + 2, b − 3 .

(

)

(

)

Por tanto: −a + 2 = 5 ⇒ a = −3; b − 3 = 4 ⇒ b = 7 ⇒ A(−3, 7)


Unidad 10

15


U N I DA D

11

3

ESO

Funciones

CONTENIDO


7


Funciones

Unidad 11


Funciones

Esta unidad nos acerca al estudio general de las funciones. El concepto de función ha sido presentado con anterioridad en otros cursos, pero a partir de ahora se sistematiza ese conocimiento y se profundiza en los elementos y aplicaciones de las funciones. En esta unidad, los alumnos verán el concepto matemático de función, aprenderán a mirar las funciones para detectar su simetría, periodicidad, continuidad o crecimiento, pero lo más importante es que todo esto debe servir para aprender a interpretar las funciones. Las funciones tienen un interés creciente, ya que son muy utilizadas en medios de comunicación como forma de ilustrar un conjunto de datos o una cierta tendencia; sin embargo, los alumnos deben saber interpretar lo que ven, ya que, según cómo se represente una función, la información puede parecer distorsionada. En general, los conceptos que aparecen a lo largo de la unidad son fáciles de comprender de forma intuitiva, pero presentan cierta complejidad si pretendemos que los alumnos les den alguna explicación matemática.


OBJETIVOS 1. Conocer el concepto de función y las diferentes formas de expresarla.

1. Expresar funciones mediante fórmulas y tablas de valores, cambiar de unas formas a otras y evaluar una función en un punto.

2. Comprender la representación gráfica de funciones y el concepto de continuidad.

2. Saber representar funciones, interpretar gráficas, identificar la continuidad y aplicar todo ello en problemas concretos.

3. Conocer el dominio de las funciones y sus puntos de corte con los ejes.

3. Saber hallar el dominio de una función a partir de su fórmula y calcular sus puntos de corte con los ejes coordenados.

4. Dominar los conceptos de crecimiento, decrecimiento, máximo y mínimo.

4. Calcular los máximos y mínimos de una función y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, y aplicarlo a problemas de la vida real.

CONTENIDOS • Definición de función • Tablas de valores y fórmulas • Funciones y magnitudes • Representación de funciones • Continuidad y discontinuidad • Dominio de una función • Puntos de corte con los ejes • Crecimiento y decrecimiento de una función • Máximos y mínimos

2

Unidad 11

Funciones


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Los alumnos ya saben de otros cursos representar funciones a partir de tablas, las coordenadas cartesianas e interpretar gráficas sencillas, por lo que mediante la sección “Desarrolla tus competencias” o con cualquier gráfica podemos refrescar dichos conceptos. Importa que desde el primer momento reconozcan que una función es una relación de dependencia entre dos magnitudes, una está en función de otra, una depende de otra, y deberán distinguir cuál depende de cuál. También deben recordar los distintos conjuntos de números estudiados durante el curso para poder seguir determinados razonamientos teóricos y resolver algunas de las actividades propuestas.

2. Previsión de dificultades Esta unidad debería resultar relativamente sencilla para los alumnos, dado que muchos conceptos ya han sido trabajados en cursos anteriores (aun intuitivamente). La única dificultad reseñable es la elección correcta de la variable dependiente y la independiente, porque es un punto que suele costarles y condiciona la correcta resolución de un ejercicio dado. Llevado al caso general, es muy importante que en esta unidad insistamos en que relacionen las funciones con su interpretación y no se queden en el mecanismo matemático sin más.

3. Vinculación con otras áreas Las funciones se caracterizan precisamente por su presencia en todas las áreas del conocimiento: aparecen en economía (gráficas de indicadores como el IPC), física y química (relación entre magnitudes, como espacio, tiempo o velocidad), geografía (gráficos demográficos, funciones de crecimiento poblacional), etc. Es especialmente reseñable su utilidad en la vida cotidiana, porque las funciones son la base para modelizar cualquier fenómeno cotidiano; como los resultados deportivos, el precio del carburante, las entradas de cine o teatro, o el coste variable de las fotocopias según el número de ellas que se solicite.

4. Esquema general de la unidad La entrada motiva las funciones a partir de un contexto atractivo para los alumnos: los instrumentos de medición de los aviones y las magnitudes que miden. Más específicamente, en la sección “Desarrolla tus competencias” se motiva la introducción de las gráficas y las funciones a partir de un ejemplo cotidiano. El primer epígrafe desarrolla el concepto de función y su representación mediante tablas y fórmulas.

FUNCIONES

A continuación, en el epígrafe 2 se expone la representación gráfica de funciones y, de forma intuitiva, las nociones de continuidad y discontinuidad.

REPRES. NUMÉRICA

SIGNIFICADO

Fórmulas

El tercer epígrafe extiende el estudio de las funciones a su dominio y puntos de corte con los ejes. Por último, en el cuarto epígrafe se trabaja el crecimiento y decrecimiento de las funciones, así como sus máximos y mínimos, a partir de su representación gráfica.

REPRES. GRÁFICA

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en seis sesiones: 1.ª Concepto de función 2.ª Representación gráfica de funciones 3.ª Dominio y puntos de corte con los ejes 4.ª Crecimiento y decrecimiento 5.ª Actividades de consolidación y aplicación 6.ª Pon a prueba tus competencias

Tablas

Trazado Continuidad Puntos de corte Crecimiento Máximos y mínimos

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Funciones

Unidad 11

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos esenciales, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, y al tiempo se trabajan las numerosas aplicaciones de las funciones en la vida cotidiana, por lo que también enfatizamos la subcompetencia de resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento a la realidad.

Competencia para la interacción con el mundo físico Debido a la gran aplicabilidad de los conceptos que se tratan en esta unidad, se trabaja la competencia de interacción con el mundo físico en su vertiente de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Competencia social y ciudadana Dado que las herramientas que se trabajan en esta unidad están fuertemente ligadas al entorno del alumno y a la resolución de problemas de la vida cotidiana, y puesto que se incluyen numerosas actividades relacionadas con ella, su estudio contribuye a trabajar esta competencia en su vertiente de conocer y comprender los valores en que se asienta la sociedad, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, dado que la representación gráfica de las funciones y su interpretación constituyen en sí un lenguaje de comunicación de información que se trata intensivamente en esta unidad.



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Unidad 11

Funciones



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO







Matemática


Social y ciudadana

Resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento a la realidad.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.


Aplicar soluciones técnicas a problemas científicotecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento.

– Domina el concepto de función, las formas de expresarla y representarla, así como sus conceptos fundamentales: dominio, puntos de corte, crecimiento, máximos y mínimos. – Sabe aplicar las funciones y las habilidades matemáticas aprendidas a problemas concretos de la vida cotidiana y de otras ciencias. Toda la unidad – Identifica situaciones científicas y cotidianas donde se requiere la aplicación de las funciones y sabe hacerlo de manera eficiente y resolutiva. Entrada Desarrolla tus competencias. Actividades 13 y 24 Pon a prueba tus competencias. – Comprende el funcionamiento de aspectos cotidianos de la sociedad utilizando las funciones como herramienta. Entrada Actividades 12 y 21 Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Tratamiento de la información y competencia digital

En la red Pon a prueba tus competencias. – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 4 y 19




– Interpreta y representa gráficas de funciones como modo de comunicación de información y representación de la realidad. Desarrolla tus competencias. Actividades 12 y 21 Ejercicios resueltos 4 y 10 Pon a prueba tus competencias.

Innovación.






Funciones

Unidad 11

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación en comunicación y para el desarrollo: “Entrada”, “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 4. Proporcionalidad, funciones y estadística. Unidad II Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 11. Funciones • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO – N.º 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones. Unidad III • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

www.e-sm.net/3esomatmrd01 Funciones y gráficas en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd12

Otros materiales

• Gráficas obtenidas en otras materias cursadas por el alumno para trabajar la interdisciplinariedad. • Hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para practicar el manejo de funciones relacionando tablas de valores con sus gráficas. • GeoGebra, el programa informático de geometría y álgebra, donde trabajar con gráficas de funciones. • Material de dibujo: regla, papel cuadriculado, etc.

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Unidad 11

Funciones

Sugerencias didácticas Entrada El contexto que se trata en la entrada, el panel de instrumentos de navegación de un avión, es una forma de motivar a los alumnos hacia el concepto de variación de una magnitud respecto a otra, es decir, la función. Con esto se introducen de forma intuitiva los contenidos que se tratarán en la unidad. La tercera actividad de la entrada lleva esta aproximación a un contexto más cercano a los alumnos, el cuadro de mandos de un coche. Una vez identifiquen instrumentos como el velocímetro, el cuentarrevoluciones, etc., podemos preguntarles si se mantienen siempre constantes o si varían, y si lo hacen, de qué depende esta variación. En esta entrada es suficiente con que los alumnos terminen concluyendo que se pueden relacionar las diferentes magnitudes (velocidad, revoluciones, temperatura, etc.) con el tiempo, y que recuerden de otros cursos y materias que estas magnitudes se pueden representar gráficamente. En la siguiente sección haremos un recordatorio un poco más detallado de este hecho.

Desarrolla tus competencias 1. Partimos de un contexto muy cercano, el lanzamiento vertical de una piedra, tanto que el experimento se puede realizar en la práctica (¡con cuidado!). Al realizar paso a paso la actividad, podemos ver cómo las funciones surgen de forma natural: la altura y la velocidad en función del tiempo, e incluso la velocidad en función de la altura. De este modo, aparte de adquirir de forma intuitiva los conocimientos matemáticos que se trabajarán con más rigor en la unidad (crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, etc.), estaremos trabajando la competencia de interacción con el mundo físico y la transversalidad con la física. El objetivo que debemos alcanzar en esta actividad es que los alumnos recuerden las nociones de función y su representación gráfica, aunque sea de manera informal, y que comprendan que su aplicación a la realidad es inmediata y está a su alrededor.

1. Concepto de función • Poniendo suficientes ejemplos, debe quedar claro que una función es una relación de dependencia entre dos magnitudes de manera que una de ellas depende de la otra. La primera, lógicamente, es la dependiente (y), y la otra será, por tanto, la independiente (x). • Normalmente, si una de las magnitudes es el tiempo, esa será la independiente, ya que este transcurre indiferente a lo que ocurre a su alrededor. Conviene que esto quede muy claro, porque una mala elección de variables condiciona todo el desarrollo del problema. Además, es conveniente que los alumnos escriban cada variable al comienzo de este. • En esta fase, el manejo de tablas para representar funciones (o algunos valores de ellas) es muy importante, porque ayuda a comprender el concepto abstracto par-

tiendo de casos concretos. Asimismo, más adelante serán un buen punto de apoyo para realizar la representación gráfica. • También hay que recordarles que, si una relación cumple que tiene dos imágenes para un mismo valor, entonces nunca puede ser una función. Es un concepto sencillo, pero lo olvidan con facilidad. • Por último, debemos insistir en que comprendan la expresión de una función mediante una fórmula algebraica, porque es la forma en la que se encontrará con más frecuencia. Para ello podemos darles tablas y pedirles que averigüen la fórmula de la función que arroja esos valores. Habiendo visto la unidad de sucesiones y el bloque de álgebra, ya tienen las herramientas suficientes para asimilar este conocimiento; solo es necesario hacerles ver cómo se aplica en este caso. 24. Aquí trabajaremos la interacción con el mundo físico, ya que aplicamos las funciones a una realidad cercana a los alumnos: el consumo de gasolina de un coche. Para fijar el concepto, podemos pedirles que averigüen el consumo del coche de su familia o el de un modelo que les guste, y que utilizando ese dato respondan a las mismas preguntas de la actividad. ¿Qué conclusiones obtienen al comparar los datos? ¿Un aumento de un litro en el consumo se traduce en un aumento proporcional de los litros para recorrer un kilómetro? Es una buena ocasión para recordar la proporcionalidad y relacionarla con las funciones.


1 a 3, 5, 22 y 23

Medias

6, 24 y 43

2. Representación gráfica de funciones • En principio, los alumnos no encuentran grandes dificultades para llegar a la representación gráfica cuando parten de la tabla. Pueden encontrar un pequeño obstáculo al decidir si los puntos se pueden unir o no, pero deben obtener la ayuda de la lectura y el análisis del enunciado. Suelen encontrar más dificultades si son ellos los que tienen que deducir la expresión algebraica y hacer la tabla de valores, por lo que en estos casos habrá que orientarles más. • Respecto a las formas de expresar la función, debemos indicarles que, en realidad, hay cuatro maneras de decir lo mismo y que cada una tiene sus ventajas e inconvenientes, por lo que conviene tener las cuatro formas en cuenta: – Enunciado: nos sitúa bien en el problema, pero suele ser demasiado concreto. No nos permite una visión general. – Expresión algebraica: permite generalizar, pero es demasiado abstracta como para poder sacar conclusiones. – Tabla de valores: aporta mucha información, lo que puede despistar e impedirnos tener una visión clara. – Gráfica: es muy clara e ilustrativa y fácil de interpretar, pero también muy fácil de manipular, y puede inducir a conclusiones erróneas si no nos fijamos detenidamente en toda la información que contiene.

Funciones

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• La continuidad y discontinuidad de las funciones puede presentar algún problema, sobre todo porque en este nivel aún no dominan las funciones definidas a trozos. Por ello es recomendable quedarnos en la expresión gráfica de este tipo de funciones. • Por último, cuando los alumnos ya sepan representar gráficas a mano, es recomendable ayudarse de programas como GeoGebra o WIRIS para que ellos mismos verifiquen la corrección de sus actividades y puedan explorar más allá dibujando otras funciones. 12. Mediante esta actividad, los alumnos pueden utilizar las funciones para cuantificar algo tan cotidiano para ellos como es el crecimiento. Nos sirve para trabajar la competencia matemática, pero también la de tratamiento de la información, dado que tienen que relacionar varias de las formas de expresar una función, entenderlas como diferentes maneras de presentar una misma información e interpretarlas para responder a las preguntas. Asimismo, podemos pedirles que traigan las medidas de sus hermanos o primos pequeños, y entre toda la clase hacer la tabla y la gráfica de una función salida de su propia experiencia; con ello trabajaremos la competencia social. (Tomaremos la media cuando haya más de una persona con la misma edad.) Es interesante dibujarla en los mismos ejes que la gráfica de la actividad y pedirles que interpreten qué significan los tramos en los que una gráfica está por encima de la otra.


7 a 10, 25 a 27, 29 y 30

Medias

11, 12, 28, 31 y 42

3. Dominio y puntos de corte con los ejes • ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? Esos valores constituyen el dominio. ¿Qué valores puede tomar la variable dependiente? Esos valores forman el recorrido. Muchas veces, la respuesta es intuitiva, pero otras habrá que hacer algún razonamiento matemático para dar con la respuesta, sobre todo cuando la función se nos presente no en forma de enunciado, sino de expresión algebraica. • Los puntos de corte con los ejes resultan inmediatos en la representación gráfica, y, por tanto, debemos partir de ella para después avanzar hacia el modo algebraico de calcularlos. Es importante que comprendan por qué cuando x = 0 obtienen el corte con el eje de ordenadas, y cuando f(x) = 0, el corte con el eje de abscisas. Aunque nos parezca muy intuitiva, esta es precisamente la relación entre la expresión algebraica y la representación gráfica que más les cuesta y que, por tanto, debemos trabajar más intensamente. 13. En esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico mediante la aplicación directa de las funciones a varios contextos cotidianos. El hecho de que sepan reconocer el dominio de una función en una situación de la vida real es un buen indicador de que han comprendido el concepto. Podemos extenderla fácilmente pidiéndoles que propongan ellos

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Funciones

mismos otras situaciones donde aparezcan funciones y calculen su dominio; dado que no se trata de una operación matemática complicada, no importa que las funciones que se les ocurran sean muy complejas (por ejemplo, la temperatura de un meteorito en función de la distancia a la Tierra puede ser muy compleja, pero su dominio y recorrido son muy simples: todas las distancias y temperaturas posibles).


13, 15, 16, 32 y 34 a 36

Medias

14, 33, 41 y 44

4. Crecimiento y decrecimiento • Para los alumnos es fácil ver a partir de la gráfica de la función si esta crece en un intervalo (asciende) o decrece (desciende), si tiene un máximo en un punto (es el más alto de su entorno) o tiene un mínimo (es el más bajo de la zona). • Debemos recordarles que, a efectos de crecimiento y decrecimiento, la gráfica se lee de izquierda a derecha. • El contenido del epígrafe, por tanto, debe resultar sencillo para los alumnos. Únicamente hay que insistir en la diferencia entre máximo (o mínimo) absoluto y relativo, poniendo para ello numerosos ejemplos. • Para los alumnos de más nivel, se puede formular la actividad 20 de forma más general como una versión simplificada del teorema de Rolle: si una función es continua en un intervalo y toma el mismo valor en sus dos extremos, entonces tiene al menos un máximo o un mínimo dentro del intervalo (dejamos aparte las funciones constantes como caso particular). ¿Por qué es así? La demostración por reducción al absurdo es sencilla: si no lo tuviera, sería siempre creciente o decreciente, y al ser continua no cumpliría que el valor en ambos extremos coincide. 21. De nuevo trabajamos la competencia de tratamiento de la información con esta actividad, dado que pedimos a los alumnos que obtengan los datos que necesitan interpretando los dibujos de unos termómetros, y que con esos datos resuelvan el problema. Por otra parte, la actividad se puede ampliar fácilmente para trabajar la competencia social: podemos pedir a los alumnos que tomen su propia temperatura cada media hora durante una tarde, que luego dibujen la gráfica de las temperaturas, determinen los máximos y mínimos y concluyan. ¿Coincide el máximo de la temperatura entre los distintos alumnos, o hay dos grupos diferenciados? (Debería observarse que hay tres cronotipos: los matutinos, en los que la temperatura alcanza su máximo antes; los vespertinos, en los que se alcanza unas dos horas después, y un tipo intermedio en el que no se aprecia un máximo claro.)


17, 18, 21, 37 y 38

Medias

20, 39 y 40


Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 41 a 44 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, independientemente de su epígrafe. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias 45. En esta actividad se introduce un concepto económico relativamente sencillo, pero probablemente desconocido para muchos alumnos: el IPC. Desde el punto de vista de la competencia social y ciudadana, lo interesante en esta actividad es que investiguen en qué consiste este índice, qué mide y para qué se utiliza (el incremento salarial, la subida de los alquileres, etc.). La relación con las matemáticas viene dada por la propia actividad. Es importante que esta investigación la lleven a cabo ellos mismos, para que asimilen este concepto y aprendan a interpretar correctamente el IPC actual. 53. Esta actividad se puede aprovechar de varios modos desde el punto de vista competencial, y por esta razón ha sido escogida como la más representativa de la sección. Por una parte, la competencia matemática está presente en toda la actividad. Los alumnos deberán recordar los ángulos y la proporcionalidad de las unidades anteriores, y utilizar conjuntamente ambos conceptos para resolver las cuestiones matemáticas de la actividad. En segundo lugar, la relación con la vida cotidiana permite que trabajemos la competencia de interacción con el mundo físico. De hecho, si los alumnos encuentran dificultades para visualizar la posición exacta de las manecillas de un reloj (por ejemplo, las 5.20), podemos traer un reloj, ponerlo a las 0.00 e ir dando vueltas al minutero hasta alcanzar la hora que buscamos. De este modo podemos hacer que observen empíricamente cómo los ángulos entre las manecillas crecen y decrecen en la realidad. La competencia de tratamiento de la información se trabaja mediante la interpretación de los relojes como fuente de datos, por una parte, y a través de la expre-

sión de los grados que forman sus manecillas en gráficos cartesianos, por otra. Respecto a lo segundo, podemos invitar a los alumnos a una reflexión: ¿Por qué aparecen “picos” en 0° y 180°, y no es redondeada la curva? Es interesante que investiguen e intenten formular la respuesta en sus propios términos; por ejemplo: el ángulo entre las manecillas aumenta o disminuye linealmente según pasa el tiempo, y, por tanto, el gráfico tiene que estar formado por segmentos, que solo se pueden cortar formando “picos”; si formasen un máximo o mínimo redondeado, significaría que el reloj se ralentiza cuando las agujas se acercan, lo que no ocurre. Por último, dada la extensión de la actividad, puede resultar oportuno plantearla como un trabajo en equipo. Cada grupo, de tres o cuatro alumnos, tiene que repartirse las tareas como le parezca mejor, y después debe presentar sus conclusiones de manera conjunta al resto de la clase. De este modo podemos observar cómo interactúan en grupo, y así evaluar la competencia social y la de autonomía e iniciativa personal.




Funciones

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Funciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS La sencillez de los conceptos trabajados hace que el único concepto que pueda necesitar un refuerzo sea el de función como relación entre magnitudes. Para abordarlo se utilizan ejemplos (kilogramos de manzanas y precio que tengo que pagar, tiempo que tarda un coche en recorrer determinada distancia y velocidad que lleva, u otros menos evidentes como la relación entre la subida del petróleo y el aumento del precio de los alimentos…) y que luego sean los propios alumnos quienes aporten otros ejemplos nuevos. Podemos empezar a trabajar con las propuestas de funciones que nos hagan los alumnos. Siempre les resulta más fácil obtener conclusiones desde la función expresada como gráfica, por lo que intentaremos hacerlo así. También es conveniente llevar un periódico o una revista, a poder ser de un tema que les guste a ellos (deportes, motor, naturaleza…), donde aparezca alguna gráfica de una función, e interpretarla con ellos.

ACTIVIDAD DE GRUPO El campeonato de motociclismo La siguiente propuesta obliga a pensar, razonar, discutir… sobre la relación entre variables. Se trata de la variación de la velocidad de una motocicleta al dar una vuelta al circuito que está a su lado. A

V

Circuito

A

A

¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? ¿Por qué tiene esa forma la gráfica? ¿Cómo sería la gráfica correspondiente a tres vueltas? ¿Cómo se modificaría la gráfica si después del punto A la moto parase a cambiar neumáticos? A continuación podemos proponer el dibujo de otros tres circuitos, para que por parejas intenten hallar las gráficas correspondientes a cada uno de ellos.

A

A

A

¿En qué punto de los tres circuitos la velocidad será menor? Si los tres tienen la misma longitud, ¿se tardará el mismo tiempo en dar una vuelta a cada circuito? ¿Cuál sería el circuito ideal para circular con mayor rapidez?

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 4. a) 40 m

1. a) Chicos, 35 kg, y chicas, 30 kg b) Entre los 11 y los 14 años

b) En el primer tramo de bajada

c) El peso medio de chicos y chicas a esa edad es igual.

c) 15 m

2. a) C

b) A

c) B = C > A

d) Respuesta libre

3. No es una función: dos figuras de igual perímetro pueden tener distintas áreas (por ejemplo, un cuadrado y un círculo de perímetro 4π).

d) Algo menos de 10 min e) −25 m


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Funciones



Funciones

Masa (kg)

1. Estas gráficas muestran el peso medio de los alumnos de un centro escolar, desde los 3 hasta los 18 años. 70 60 50 40 30 20 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Edad (años)

a) Di cuál es el peso medio de los chicos y de las chicas a los 9 años. b) ¿Cuándo pesan más las chicas que los chicos? c) ¿Qué significan los puntos de intersección de las dos gráficas?

Espacio (m)

2. Estas tres gráficas describen de forma aproximada el comportamiento de tres atletas en una carrera de 400 metros. 400

A

C

B

300 200 100 0

10

20

30

40

50

60

70 Tiempo (s)

a) ¿Cuál de los tres salió a más velocidad? b) ¿Quién ganó? c) ¿Cuáles eran las posiciones a mitad de carrera? d) Imagina que eres un periodista deportivo y redacta la crónica de la carrera. 3. ¿La relación entre el perímetro de una figura y su área es una función? Indicación: coge una hoja de papel cuadriculado y dibuja distintas figuras, luego anota el perímetro y el área – los cuadraditos– de cada una de ellas y compara los resultados. 4. Un halcón tiene su nido con un polluelo a 22 metros de altura, en lo alto de la copa de un pino. Sale de él y durante 10 minutos va ascendiendo lenta y uniformemente hasta los 40 metros de altura, permaneciendo allí un cuarto de hora, y luego durante otros 5 minutos baja a razón de 5 metros por minuto. En esa altura permanece cinco minutos más, momento en el cual ve en el suelo una paloma y se lanza en picado sobre ella. La paloma se da cuenta de la acción del halcón y emprende el vuelo, pero no puede evitar el encuentro con la rapaz, que se produce a 2 metros del suelo. El halcón coge a su presa en ese punto y, ascendiendo poco a poco debido al peso de la paloma, se dirige a su nido, donde llega tres cuartos de hora después de haberlo abandonado. Representa la función tiempo-altura. a) ¿A qué altura estaba el halcón 23 minutos después de salir de su nido? Página fotocopiable

b) ¿Cuándo fue más rápido el halcón, en el primer tramo de subida o en el primer tramo de bajada? c) ¿Desde qué altura vio el halcón a la paloma? d) ¿Cuánto tiempo tardó el halcón cargado con su presa en regresar al nido? e) ¿Cuál fue la variación de altura entre el minuto 18 y el 32?

Funciones

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Funciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Las posibilidades de trabajar con funciones complejas (cuadráticas, logarítmicas, radicales…) son muy numerosas, pero tampoco se trata de adelantar materia que verán el próximo curso. Sin embargo, sí que podemos presentar alguna de estas funciones y que vayan haciendo tablas de valores y representándolas, pero sin entrar en más explicaciones. De la misma manera se les puede presentar alguna gráfica estadística para que comparen diferencias y semejanzas entre ambas, cosa que además les resultará útil, ya que la siguiente unidad trata sobre ello. Por otra parte, los medios de comunicación nos surten abundantemente de gráficas de funciones que pueden servir para que las vayan interpretando, y si en el caso de las actividades de refuerzo nos conformábamos con buscar en las páginas deportivas, ahora podemos ampliar el campo de acción a las de economía, política, sociedad… Finalmente podemos darles la oportunidad de realizar por grupos algún trabajo de investigación orientado y que luego lo presenten por medio de gráficas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Un poco de etimología Podemos proponer que investiguen el uso de la palabra “función”, puesto que es muy común en nuestro lenguaje. Vamos a intentar aproximar todas sus acepciones y establecer relaciones entre ellas; en definitiva, vamos a intentar poner unas acepciones en función de otras. Sí que es cierto que algunas relaciones pueden resultar muy tenues, pero aquí lo que importa es el camino, la búsqueda, más que las conclusiones. Algunas de las funciones cuya relación con el concepto matemático de función hay que buscar son: • Función de teatro • Funcionario • Funcionamiento de una máquina • Funcionalismo La lista de términos no acaba aquí. Como ayuda, podemos decir que la palabra “función” viene del latín functionem, que significa cumplimiento, ejecución, de manera que nuestra función matemática viene a ser como una máquina que cumple o ejecuta un programa prefijado que da un resultado distinto según lo que hayamos introducido primero. Otra propuesta curiosa sería buscar al primero que empleó la expresión f(x) para designar las funciones. También podemos ayudarles indicando que no fue Leibniz.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La gráfica curvilínea corresponde al movimiento del tren; la que es horizontal, a Carolina; la que comienza a los 10 s, a Antonio, y la que parte a los 20 s, a Pedro.

4. Debemos representar los beneficios en función de los gastos. a) Sí

a) Antonio, Carolina y Pedro

b) No

b) Aproximadamente, 40 metros

c) Alrededor de 300.000 €

c) Suponiendo que t = 14 s, v = 5,35 m/s d) Jorge no se sube al tren, solo llevaba a Pedro en la moto. ⎛ 25 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎟⎟ y ⎜⎜10, 1 ⎟⎟⎟ 2. K = 100, n = 3, ⎜⎜⎜4, ⎜ ⎜⎝ 16 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 3. 200 días; 5 g/m2

5. Debemos representar la velocidad en función del tiempo. a) 108 m/s b) 1,4 s c) 2,3 < t < 3,6


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Unidad 11

Funciones



Funciones

1. Un tren arranca de la estación y va ganando velocidad poco a poco. Antonio se ha despistado 10 segundos despidiéndose de su novia y debe correr para alcanzarlo y entrar en él por la puerta trasera que aún está abierta. Carolina está a 75 metros de la salida en el momento en que arranca el tren y decide esperarlo y montarse cuando pase por delante de ella. A Pedro le trae su amigo Jorge en moto, pero el tráfico ha hecho que lleguen tarde 20 segundos, por lo que sigue en la moto, que le acerca hasta el tren, y se sube a este en marcha. Interpreta la gráfica. Espacio (m)

a) ¿En qué orden se incorporan al tren? b) ¿Qué distancia ha recorrido el tren en 10 segundos? c) ¿Qué velocidad lleva el tren cuando lo coge Carolina? d) ¿Cuándo y dónde se incorpora Jorge al tren?

200 150 100 50 0

K , halla los valores de K y n xn para completar la tabla.

2. Dada la función y =

x

1

y

100

10

5

2

15

20

25 Tiempo (s)

4 1 10

25 2

3. La esperanza de vida de una rata es inversamente proporcional al cuadrado de la densidad de veneno matarratas que se distribuye alrededor de una casa. Cuando la densidad de matarratas es de 1 gramo por metro cuadrado, la esperanza de vida es de 50 días. Averigua cuántos días sobrevivirá una rata si la densidad de matarratas es de medio gramo por metro cuadrado. Si quiero reducir la esperanza de vida a dos días, ¿qué cantidad de veneno tendré que poner? 4. Una gran empresa incrementa mensualmente sus gastos en publicidad consiguiendo a su vez récords mensuales de ingresos. Mes

Gastos (miles de €)

Ingresos (miles de €)

1

100

280

2

200

450

3

300

560

4

400

630

5

500

680

6

600

720

7

700

740

Indicación: Dibuja una gráfica que describa esta información y considera el beneficio como ingresos menos gastos. a) ¿Es una buena inversión el gasto de 200.000 euros al mes en publicidad? b) ¿Es una buena inversión el gasto de 700.000 euros al mes en publicidad? c) ¿Cuál es el gasto mensual en publicidad más beneficioso?

Utiliza una representación gráfica para hallar: a) La velocidad máxima que alcanza el cohete. b) El tiempo que necesita para acelerar hasta conseguir una velocidad de 70 metros por segundo. c) El intervalo de tiempo en que el cohete vuela a más de 100 metros por segundo.

Funciones

Unidad 11


5. La velocidad de un cohete en función del tiempo tras el lanzamiento viene dada por v ⴝ 54t ⴚ 2t3.

13


Funciones

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. De las siguientes relaciones, di cuáles son funciones. a) Un número y el doble de ese número b) Un número y la raíz cuadrada de ese número c) La altura sobre el nivel del mar y la presión atmosférica 2. ¿Cuál de estas tablas de valores no corresponde a una función? x

1

3

5

7

9

x

2

4

4

6

8

y

−5

−7

−9

−11

−13

y

8

9

10

11

12

3. ¿Cuál de estas expresiones analíticas corresponde a una función? Di su dominio. a) 3 x = 2 y − 5

b) 2 x 2 + 3 = 2 x

4. Indica cuál es el dominio y el recorrido de la función, en qué intervalo es creciente y en qué punto tiene un máximo.

Y 1 O

5. Representa la función y =

1

X

3 x + 5 . Estudia su continuidad, crecimiento y decrecimiento. Di cuál es su 2

dominio. 6. Juan se ha comprado un coche que le ha costado 15.540 euros. ¿Cuándo deberá venderlo si quiere obtener al menos 6.000 euros y sabe que sufre una depreciación de un 15% cada año? 7. El número de asistentes a un torneo de tenis durante los cinco días que duró viene dado por la siguiente tabla. Haz la representación gráfica. ¿Podemos unir los puntos? ¿Cuál será el recorrido de la función? Día

1

2

3

4

5

N.º de asistentes

650

600

1.100

1.800

2.500


8. A medida que ascendemos, la temperatura desciende un grado cada 200 metros. La temperatura media a nivel del mar en una región es de 16 °C. ¿En qué intervalo de altitudes será más probable encontrar una determinada flor cuya temperatura óptima de crecimiento es de 7 °C? Haz la tabla de valores y la gráfica. ¿Cuál es la variable independiente? 9. Estudia las características de esta gráfica: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, dominio, etc.

14

Unidad 11

Y 1 O

Funciones

1

Y


Funciones

Unidad 11

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Son funciones la a y la c. No es función la relación entre un número y su raíz cuadrada, porque para un valor de x tiene dos imágenes. 2. La segunda tabla de valores no corresponde a una función, ya que para x = 4 existen dos posibles valores de y. 3. a) Es una función cuyo dominio es R. b) No es una función, puesto que no hay variable dependiente. Es una ecuación de segundo grado. 4. Dominio: [−2, 1) ∪ (1, 9] Recorrido: [−2, 4] Crece en (−2, 1) ∪ (5, 8) Máximo en (8, 4) 5. La función es siempre continua y creciente. Su dominio es R. Y 3 y=—x+5 2

1 O

1

X

6. Antes de que pasen 6 años desde el momento de la compra. (La función de precio es p = 15.540 · 0,85t.)

N.º espectadores

7. Gráfica del torneo de tenis: 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 0

1

3

2

4

5

6 Día

No se pueden unir los puntos, ya que no puede haber valores intermedios; es decir, los espectadores no van acudiendo progresivamente al partido entre el día dos y el tres, sino que entran todos al tiempo. Recorrido: [600, 2.500]

Altitud (m)

0

200

400

600

1.000

1.400

1.600

1.800

2.000

Temp. (°C)

16

15

14

13

11

9

8

7


8.

La zona más probable para encontrar la flor es entre 1.700 y 1.900 metros de altitud. 9. Dominio: [–3, 2] ∪ (4, 14]. Recorrido: [–2, 3]. Creciente: (4, 8) ∪ (10, 12). Decreciente: (8, 10). Máximo: (8, 3). Mínimo: (10, –2).

Funciones

Unidad 11

15


U N I DA D

12

3

ESO

Funciones lineales y afines

CONTENIDO


7



Unidad 12



No por ser las más elementales, las funciones afines son menos frecuentes. Son fáciles de detectar y manejar por el alumno, por lo que su comprensión no le resulta muy complicada. Debe ser capaz de desmenuzar el significado profundo de la función, los elementos de la misma, su interpretación, y sepa calcular sus elementos: la pendiente, la ordenada en el origen, etc. La unidad comienza con el caso más sencillo de función afín: la función lineal, sin término independiente, que ya describe una gran variedad de fenómenos cotidianos. Al estudiarla enfatizaremos su relación con la proporcionalidad, que el alumno ya ha trabajado y en este nivel debería dominar razonablemente. Con un poco de paciencia y muchos ejemplos sencillos, el alumno podrá representar gráficamente funciones de la forma y = mx + n, reconocer sucesos que se ajusten a funciones afines, identificar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta y predecir si dos rectas serán paralelas, secantes o coincidentes. Los cálculos para hallar la pendiente o para obtener la ecuación de una recta son muy simples, por lo que los alumnos deberán sistematizarlos al tiempo que captan su significado.

OBJETIVOS


1. Recordar las funciones lineales, sus características y su relación con la proporcionalidad.

1. Identificar funciones lineales, hallar su constante de proporcionalidad y saber aplicarlas a problemas concretos de la vida cotidiana.

2. Representar gráficamente las funciones lineales y comprender el concepto de pendiente.

2. Ser capaz de dibujar funciones lineales, calcular su pendiente y saber interpretarla.

3. Comprender las funciones afines como generalización de las funciones lineales y saber cuándo aplicarlas.

3. Identificar las funciones afines, calcular sus parámetros, interpretarlos y saber aplicar todo ello a problemas cotidianos.

4. Representar gráficamente las funciones afines y entender su relación con las lineales.

4. Dibujar funciones afines, calcular su pendiente y ordenada en el origen y ser capaz de interpretarlas.

5. Representar funciones lineales y afines con Excel y GeoGebra.

5. Utilizar los programas Excel y GeoGebra para dibujar funciones lineales y afines a partir de una tabla de valores o de su fórmula.

6. Comprender la ecuación de una recta y su relación con las funciones lineales y afines.

6. Saber determinar la ecuación de una recta e identificar en ella la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes.


• Matemática • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Las funciones lineales. Características • Las funciones lineales y la proporcionalidad • Gráfica de las funciones lineales. Características • Pendiente de una función lineal • Interpretación gráfica de la pendiente • Las funciones afines. Características • Funciones afines, funciones constantes y funciones lineales • Gráfica de las funciones afines • Relación entre funciones lineales y afines 2

Unidad 12


• Pendiente de una función afín • Gráficas con Excel • Gráficas con GeoGebra • Ecuación de la recta • Punto de corte con el eje de abscisas • Punto de corte con el eje de ordenadas. Ordenada en el origen • Pendiente • Determinación de la ecuación de una recta


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Los alumnos deben recordar algo que han visto a lo largo del curso, como es la proporcionalidad directa e inversa: cuándo dos magnitudes son proporcionales y cómo hallar la constante de proporcionalidad. Al fin y al cabo, lo que vamos a hacer es representar gráficamente y expresar algebraicamente este tipo de relaciones entre magnitudes. También es importante repasar las posiciones de una recta en el plano y las coordenadas de un punto, así como los elementos y características de una función, vistos en la unidad anterior.

2. Previsión de dificultades Dado que los conceptos matemáticos que se exponen en esta unidad no entrañan una gran complejidad y son en buena medida ya conocidos por los alumnos, no es esperable que encuentren grandes dificultades. La complicación aparece en la aplicación de las funciones lineales y afines a la realidad, y especialmente en el proceso inverso: saber cuándo deben usarse, identificar sus elementos y ser capaces de resolver problemas partiendo de un enunciado contextualizado. Por esta razón, debemos insistir en este tipo de problemas e incitar a los alumnos a buscar las funciones lineales y afines a su alrededor.

3. Vinculación con otras áreas Como caso particular de las funciones, ya vistas en la unidad anterior, las funciones lineales y afines se caracterizan por su amplia aplicación en la vida cotidiana y en otras ciencias: cambio de divisas, relación entre grados Celsius y Fahrenheit, lectura de una factura de gas, y cualquier situación que involucre importes fijos y variables, como los salarios o las comisiones en los bancos. En esta línea, es deseable que los propios alumnos aporten gráficas de otras materias para estudiarlas en clase de matemáticas con los conocimientos de esta unidad.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con una entrada y la sección “Desarrolla tus competencias” orientadas a interpretar los fenómenos de la naturaleza mediante funciones lineales. FUNCIONES Los primeros dos epígrafes tratan las funciones lineales y su representación gráfica. En ellos se explica su relación con la proporcionalidad, así como el significado de la pendiente y cómo hallarla. Análogamente, los epígrafes 3 y 4 explican las funciones afines y su representación gráfica, detallando cómo las lineales y constantes son casos particulares. Se trabajan sus elementos: la pendiente y la ordenada en el origen.

LINEALES

Pendiente Gráfica AFINES

El epígrafe 5 está dedicado a la representación de las funciones anteriores mediante Excel y GeoGebra, de un modo sencillo y paso a paso. Por último, el epígrafe 6 hace una primera incursión en las ecuaciones de la recta, desarrollando cómo hallarla en su forma más simple (y = mx + n) a partir de dos puntos o de la pendiente y la ordenada en el origen.

y = mx

y = mx + n Pendiente y ordenada en el origen Gráfica

REPRESENTACIÓN POR ORDENADOR

5. Temporalización

Excel GeoGebra

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Funciones lineales 2.ª Gráfica de las funciones lineales 3.ª Funciones afines 4.ª Gráfica de las funciones afines 5.ª Gráficas de funciones con ordenador 6.ª Ecuación de la recta 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 12

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos esenciales, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, y al tiempo se trabajan las numerosas aplicaciones de las funciones lineales y afines en la vida cotidiana, por lo que también enfatizamos la subcompetencia de resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento a la realidad.

Competencia para la interacción con el mundo físico Por la naturaleza de las herramientas que se estudian en esta unidad, de gran aplicabilidad, se trabaja la competencia de interacción con el mundo físico en su vertiente de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral. Por otra parte, el dominio de las funciones lineales y afines en contextos reales favorece también el trabajo de esta competencia en el sentido de conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, dado que la representación gráfica de las funciones y su interpretación constituyen en sí un lenguaje de comunicación de información que se trata intensivamente en esta unidad. Por otra parte, al dedicarse un epígrafe completo a la representación de funciones por ordenador con Excel y GeoGebra, se trabaja también el uso de herramientas tecnológicas, en lo que concierne a hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales.



4

Unidad 12




COMPETENCIA er


DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





er


– Domina las funciones lineales y afines, sus elementos y características. – Sabe representar gráficamente las funciones lineales y afines. – Sabe aplicar las funciones y las habilidades matemáticas aprendidas a problemas concretos de la vida cotidiana y de otras ciencias.




Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

– Identifica situaciones científicas y cotidianas donde se requiere la aplicación de las funciones lineales y afines, y sabe hacerlo de manera eficiente y resolutiva.



Entrada


Toda la unidad

– Domina las funciones lineales y afines y sus gráficas como lenguaje científico para expresar situaciones de la vida cotidiana. Desarrolla tus competencias. Actividades 15, 28 y 52 Pon a prueba tus competencias. – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.




En la red Aprende a pensar con matemáticas. – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 19 y 41 Pon a prueba tus competencias.


– Interpreta y representa gráficas de funciones lineales y afines como modo de comunicación de información y representación de la realidad. Desarrolla tus competencias. Actividades 15 y 28 Pon a prueba tus competencias.

Uso de herramientas tecnológicas.

Innovación. Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos.

Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales. Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

– Utiliza Excel y GeoGebra para representar gráficas de funciones, interpretar los resultados y resolver problemas concretos. Epígrafe 5



Unidad 12

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: “Pon a prueba tus competencias”. • Educación para el desarrollo: actividades 28 y 52, “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO:

Bibliográficos

– N.º 4. Proporcionalidad, funciones y estadística. Unidad II Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO. SM

– Unidad 12. Funciones lineales • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones. – Unidad IV. Funciones lineales • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO. • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Números racionales en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales


6

Unidad 12

• Gráficas de funciones lineales o afines sacadas de la prensa o de otras materias. • Funciones lineales que el alumno halle en su entorno: comercios, facturas de la luz, etc. • Material de dibujo: regla, papel cuadriculado, etc. • Herramientas informáticas como Excel y GeoGebra.


Sugerencias didácticas Entrada La fotografía y el texto de la entrada están pensados para captar la atención de los alumnos y, mediante un contexto comprensible y cercano, introducirlos en los contenidos que trabajarán en la unidad. En concreto, la diferencia entre la velocidad de la luz y la del sonido al producirse un rayo es un fenómeno que sin duda habrán observado. Podemos también recordarles los fuegos artificiales, que contemplados a cierta distancia producen el mismo efecto. Las actividades de la entrada son sencillas y sirven como recordatorio del concepto de proporcionalidad, que será clave para comprender las funciones lineales. Desde el punto de vista competencial, por tanto, estamos trabajando la interacción con el mundo físico al relacionar los fenómenos de la naturaleza con las matemáticas que los alumnos ya dominan. Asimismo, se trabaja la transversalidad con la física, ya que tienen que manejar las ecuaciones elementales de velocidad, espacio y tiempo para resolver las actividades. Podemos, por tanto, pedirles que intenten solucionarlas sin ayuda, y de este modo evaluar hasta qué punto han adquirido las competencias mencionadas y motivarles para iniciar la unidad.

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad utilizamos los conocimientos matemáticos de funciones y de la esfera terrestre que los alumnos ya han adquirido en unidades anteriores, y partiendo de ellos profundizamos en la competencia de interacción con el mundo físico y de tratamiento de la información. Para ello, pedimos a los alumnos que realicen cálculos sencillos, que interpreten dos gráficas y que sean capaces de relacionar ambas cosas. Se puede ampliar pidiéndoles que, una vez averiguada la gráfica correcta, la copien en su cuaderno y en los mismos ejes tracen las rectas correspondientes a otros puntos de la Tierra, por ejemplo, su municipio y varias capitales de los dos hemisferios (las longitudes de los paralelos deberemos dárselas, puesto que calcularlas requiere el uso del coseno, que aún no conocen). Las rectas que obtendrán serán distintas funciones lineales, lo que ayudará a prepararlos para los contenidos de esta unidad. 2. Para reforzar la actividad anterior y el desarrollo de las competencias de interacción con el mundo físico y de tratamiento de la información, en esta actividad continuamos trabajando con la Tierra y las funciones, pero en esta ocasión en el contexto de su giro alrededor del Sol.

1. Funciones lineales • Son numerosas las funciones lineales en la vida cotidiana, por lo que se pueden representar algunas de ellas y compararlas viendo qué tienen todas en común. • Lo más importante de este epígrafe es que logremos que los alumnos perciban que las funciones lineales no son más que otra forma de representar la noción de proporcionalidad directa, que ya conocen. Partiendo de este pun-

to, más adelante podremos avanzar con facilidad hacia las funciones afines. • En este sentido, este epígrafe introductorio debe servirnos sobre todo como recordatorio de la proporcionalidad y para introducir la notación f(x) = mx, que no les sorprenderá porque ya han trabajado la forma algebraica de las funciones en la unidad anterior. • Es importante que recalquemos que la m de la función es la constante de proporcionalidad, porque más adelante la identificaremos como la pendiente y es necesario que relacionen estos dos conceptos. También debemos insistir en que todas las funciones lineales pasan por el origen (en este sentido se ha concebido la actividad 7). • No es esperable, en suma, que los alumnos encuentren muchas dificultades en este epígrafe.


1 a 7 y 43 a 45

Medias

8, 46 y 47

2. Gráfica de las funciones lineales • Los alumnos ya han trabajado las gráficas de funciones en general en la unidad anterior, e incluso han dibujado funciones lineales sin llamarlas por este nombre, por lo que este caso particular no les sorprenderá. • No obstante, si el nivel de la clase lo requiere, podemos apoyarnos de nuevo en el uso de tablas de puntos de la función para afianzar los conceptos. • El concepto de pendiente como inclinación de la recta es muy intuitivo y fácil de asimilar. Su determinación matemática tampoco implica gran complejidad, a pesar de lo cual, si presentamos la pendiente de una recta como: m=

y −y Δy = 2 1 Δx x2 − x1

pueden confundirse, por lo que conviene dejar este aspecto más algebraico para el final de la unidad. • En este caso hay que recordarles que, si la pendiente es decreciente, el signo será negativo, y si es creciente, será positivo. • También debemos insistir en que hagan el ejercicio inverso: a partir de una gráfica deben obtener la pendiente y la expresión algebraica de la función lineal. Para ello debemos poner numerosos ejemplos. 15. Esta actividad trabaja simultáneamente las competencias de tratamiento de la información y de interacción con el mundo físico. La primera se desarrolla al pedir a los alumnos que extraigan información de la vida real a partir de gráficas, la transformen en datos útiles, sepan aplicarla para resolver problemas cotidianos e incluso vayan más allá y generen su propia representación componiendo las que se proporcionan. La segunda surge de la aplicación de las funciones lineales al contexto cotidiano del cambio de divisas. Dado que estos datos corresponden a una fecha dada y las divisas habrán fluctuado, podemos pedirles que busquen el tipo de cambio al día de hoy y respondan a las Funciones lineales y afines

Unidad 12

7


mismas preguntas. Al dibujar la gráfica, ¿queda por encima o por debajo de la que viene en el libro? ¿Qué significa en cada caso?


9 a 14 y 48 a 50

Medias

15 y 51

3. Funciones afines • De la misma manera que en los epígrafes anteriores, podemos empezar comparando distintas funciones de la forma y = mx + n entre sí y con las funciones lineales. • A partir de las funciones y de los ejemplos que hemos trabajado con anterioridad, podemos introducir el concepto de término fijo. Si antes habíamos presentado como ejemplo el precio de un producto (a más kilogramos comprados, mayor importe), ahora podemos considerar un fijo (un salario formado por una parte fija y otra variable). Ese fijo es n, la ordenada en el origen. • Una vez clara la distinción entre las funciones lineales y afines y los conceptos de pendiente y ordenada en el origen, podemos pasar a analizar el modo en que unas son casos particulares de otras: si m = 0, tenemos una función constante; si n = 0, una función lineal, y si ambos son distintos de cero, el caso general, una función afín. • Por último, debemos tener en cuenta (y hacer notar a los alumnos) que en otros contextos pueden encontrar otra nomenclatura, en la que el término “función afín” no se utiliza, “función lineal” engloba a ambas, y “función de proporcionalidad directa” alude a f(x) = mx. 52. En esta actividad trabajamos la interacción con el mundo físico mediante el análisis de la factura del gas. Podemos pedir a los alumnos que traigan sus propias facturas y que extraigan de ellas las funciones afines correspondientes, de modo que vean la aplicación de este contenido matemático a una realidad concreta y cotidiana.


16, 17, 20 y 21

Medias

18, 22, 52 y 53

4. Gráfica de las funciones afines • Tras haber trabajado las gráficas de las funciones lineales, este epígrafe no debería presentar dificultades: tan solo se trata de desplazar verticalmente la recta f(x) = mx tantas unidades como la ordenada en el origen, n. • Del mismo modo, debemos hacerles ver que la pendiente de las funciones afines es la misma m que en las funciones lineales. • Por tanto, si logramos que dominen pronto la representación gráfica de estas funciones, el objetivo de este epígrafe puede convertirse en la interpretación casi inmediata de una función afín sea cual sea la forma en la que se presente. • Así, podemos jugar a dibujar una recta y preguntarles para que respondan de forma inmediata: ¿Cuál es el sig8

Unidad 12


no de la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada en el origen? ¿Pasa por el origen de coordenadas? ¿Cuáles son dos puntos de esta recta? • Lo anterior, naturalmente, también podemos hacerlo escribiendo la ecuación algebraica de una función afín y realizando las mismas preguntas. 28. Continuando con la línea competencial de esta unidad, aquí de nuevo trabajamos la interacción con el mundo físico y el tratamiento de la información. La primera aparece de forma natural al enmarcarse la actividad en un contexto de la vida real, donde muchos sueldos constan de una parte fija y otra variable (en especial en los trabajos de perfil más comercial). El tratamiento de la información, por su parte, es el proceso que los alumnos deben seguir para resolver el problema: leer un texto, interpretarlo y obtener los datos necesarios, transformarlos en una forma útil (la función afín), aplicarlos y transformarlos de nuevo en forma de tabla, y finalmente representarlos en una gráfica. Con este proceso garantizamos que comprenden la utilidad de manejar la información en sus diferentes formas.


23 a 27 y 54 a 56

Medias

28, 57 y 58

5. Gráficas de funciones con ordenador • Este epígrafe se aparta por un momento de la exposición teórica de contenidos matemáticos para desarrollar la manera de representar funciones afines con la ayuda de un ordenador. • Naturalmente, es necesario disponer de ordenadores para realizar este epígrafe, que, por otra parte, no debería llevar más de una hora. Si no fuera el caso, igualmente recomendamos que los alumnos intenten trabajarlo en casa. • Para trabajar este contenido es buena idea dejar la iniciativa a los alumnos, que suelen estar muy familiarizados con la informática, y adoptar un papel de asesor: plantear la tarea e ir por los ordenadores resolviendo dudas y verificando que los resultados son correctos. • Todo este contenido sirve para trabajar la competencia digital de forma natural, dado que se utilizan herramientas tecnológicas para resolver con facilidad problemas que normalmente serían más costosos. • Este hecho puede hacer que algunos alumnos se despreocupen de la base matemática que hay detrás. Por ello es importante no abordarlo hasta que los contenidos estén afianzados. • Por último, podemos animar a los alumnos con más nivel a que investiguen la representación de otras funciones con GeoGebra. Pueden tomarlas de la unidad anterior o simplemente inventarlas, pero es importante que analicen el resultado y lo comprendan.


29 a 34


6. Ecuación de la recta • La unidad concluye con una introducción más formal a la ecuación de la recta, caracterizando sus elementos y realizando todos los cálculos de manera algebraica. • Así, si antes hemos calculado la pendiente como el número de unidades que sube o baja la recta por cada unidad que avanza en el eje X, ahora debemos dar la fórmula rigurosa para calcularla. • Lo mismo es aplicable a los puntos de corte con los ejes: debemos hacer que comprendan por qué surgen de la solución de f(x) = 0 y al evaluar f(0). • En todo caso, con el dominio del álgebra que se ha trabajado ya en este curso y el tratamiento más intuitivo de los conceptos de los epígrafes anteriores, esta formalización de los conceptos no les resultará excesivamente complicada. • Por último, no debemos olvidar explicar el método para obtener la ecuación de la recta a partir de dos puntos mediante un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Es un método que utilizarán en muchos ámbitos más adelante, especialmente en geometría.


35 a 39

Medias

40, 42, 56 y 57

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias 66. Tomamos esta actividad como representativa de la sección porque consolida todos los conocimientos mate-

máticos de la unidad, y al tiempo trabaja las dos competencias con más presencia en este tema: interacción con el mundo físico y tratamiento de la información. El contexto resultará muy familiar a los alumnos y, más allá de los cálculos matemáticos, podemos pedirles que propongan otros ejemplos de productos que lleven un coste fijo y otro variable, y que, por tanto, requieran de funciones afines (o afines por tramos) para calcular su precio. Por otra parte, dada la cantidad de datos y el proceso de transformación de ellos que se pide, podemos aprovechar la actividad para evaluar en qué medida han aprendido a interpretar la información, convertirla en datos útiles y emplearlos para obtener conclusiones válidas. De este modo estaremos valorando si a lo largo de la unidad han desarrollado su competencia de tratamiento de la información, en su vertiente de organizarla, analizarla y transformarla.





Unidad 12

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Evidentemente, las funciones lineales y afines les resultan a los alumnos más fáciles de entender que otras que se verán más adelante; sin embargo, es importante que tengan los conceptos básicos (pendiente, ordenada en el origen, paralelismo…) muy claros, ya que los utilizarán en lo sucesivo con frecuencia. Como siempre, intentaremos partir del mundo que les rodea y de su propia experiencia para acercarnos a dichos conceptos, y sobre todo para averiguar si hay errores en la adquisición de los mismos. Si algunas de las actividades de refuerzo les resultan todavía complicadas, puede ser interesante que trabajen por parejas con compañeros que actúen como guías.

ACTIVIDAD DE GRUPO Funciones afines a tu alrededor Formamos grupos de cuatro o cinco alumnos que busquen ejemplos de funciones afines en otros campos del saber y los presenten en clase. Como orientación podemos dar algunas pistas y repartir una materia a cada grupo. a) En física: relacionar altitud y temperatura o tiempo que tarda en recibirse un sonido y distancia a la que se encuentra el emisor. b) En economía: relacionar el precio del producto y los ingresos obtenidos. c) En química: buscar información sobre la temperatura y la velocidad con que reaccionan dos compuestos químicos; si quieren ir más lejos, investigar al químico sueco Svante Arrhenius (1859-1927). d) En biología: buscar información sobre cómo influye la temperatura ambiental en la temperatura corporal de los animales, recordando que hay animales de sangre fría y de sangre caliente. e) En medicina: relacionar la edad y el número de pulsaciones de una persona. f) En ciencias sociales: relacionar el nivel de vida de un país y su tasa de natalidad.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a)

c)

Y 1

O

X

Lineal

c)

Y

1

X

1

O

1

d)

Y

O

b)

Y

1

1 1

X

Afín

X

Y

1

1 O

d)

Y

X

O

1 1

X

O

X 1

Lineal

1 ⇒ creciente 2 g(x); m = −2 ⇒ decreciente

2. f(x); m =

1 h(x); m = − ⇒ decreciente 2 s(x); m =

2 ⇒ creciente 3

4. Vendedor A: fijo, 300 €; comisiones, 6% Vendedor B: fijo, 450 €; comisiones, 4% 5. a) eCristina = 17,5 km; eCarlos = 18 km b) Al principio, Cristina sacó ventaja a Carlos, pero en total, Carlos hizo más kilómetros que Cristina. Luego en algún momento tuvo que adelantarla, y en ese punto se volvieron a encontrar.


Unidad 12

1

O

X

Afín

b)

10

Y

1

1

1

O

3. a)

Y





1. A continuación te presentamos unas funciones definidas a partir de sus tablas. Represéntalas e indica cuáles son afines y cuáles son además lineales. a)

x

y

−2

b)

x

y

2

−2

−1

1

0

c)

x

y

−1

−3

0

1

0

2

1

−1

2

−2

d)

x

y

5

−1

−2

−2

4

2

4

3

−1

3

3

6

4

5

1

1

4

8

6

7

2

0

5

10

2. Calcula el valor de la pendiente de cada una de las siguientes funciones afines y, a partir de su valor, indica si son crecientes o decrecientes.

Y s(x) f(x)

1 O

X

1 h(x) g(x)

3. Sin realizar ningún tipo de cálculo, dibuja sobre los siguientes ejes de coordenadas las funciones definidas a partir de su pendiente y su ordenada en el origen. 1 a) m = 0, n = 2 b) m = −2, n = 0 c) m = , n = −1 d) m = −3, n = 4 4 Y

Y

Y

Y

1

1

1

1

X

O

1

X

4. La gráfica adjunta representa el sueldo que percibiría un trabajador en una tienda de venta de coches. Sabemos que su sueldo está formado por un fijo y unas comisiones que se perciben en función de las ventas realizadas. ¿Puedes definir en cada caso el fijo y las comisiones que percibiría el vendedor?

O

1

X

O

1

X

1.000 800 B

600

A

400 200 0

2.000 4.000

6.000 8.000 10.000 Ventas (€)

5. Cristina es capaz de correr tanto como Carlos, pero en el entrenamiento de la semana pasada ocurrió algo curioso. Cristina corrió las dos horas y media que duró el entrenamiento a 7 kilómetros por hora, mientras que Carlos la primera media hora corrió a 6; después, una hora a 7, y la última hora, a 8 kilómetros por hora. a) ¿Qué distancia recorrió cada uno? b) Aparte de en la salida, ¿volvieron a estar juntos en algún momento del entrenamiento?


Unidad 12


1

Sueldo (€)

O

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Para los alumnos de ampliación buscaremos ejercicios más abstractos o con datos menos inmediatos que les obliguen a poner en juego todos sus conocimientos y otros que deberán ir adquiriendo por el camino. Podemos utilizar funciones procedentes de otras materias para que vayan familiarizándose con ellas. Dada la relativa sencillez de esta unidad, es conveniente dejarlos un poco a su aire para que aprendan de sus propios errores y, únicamente cuando lleguen a un callejón sin salida, reconducirles.

ACTIVIDAD DE GRUPO Funciones afines a tu alrededor Formamos grupos de cuatro o cinco alumnos que busquen ejemplos de funciones afines en otros campos del saber y los presenten en clase. Como orientación podemos dar algunas pistas y repartir una materia a cada grupo. a) En física: relacionar altitud y temperatura o tiempo que tarda en recibirse un sonido y distancia a la que se encuentra el emisor. b) En economía: relacionar el precio del producto y los ingresos obtenidos. c) En química: buscar información sobre la temperatura y la velocidad con que reaccionan dos compuestos químicos; si quieren ir más lejos, investigar al químico sueco Svante Arrhenius (1859-1927). d) En biología: buscar información sobre cómo influye la temperatura ambiental en la temperatura corporal de los animales, recordando que hay animales de sangre fría y de sangre caliente. e) En medicina: relacionar la edad y el número de pulsaciones de una persona. f) En ciencias sociales: relacionar el nivel de vida de un país y su tasa de natalidad. Por otra parte, ya estarán cansados de utilizar términos como ejes de coordenadas, abscisa, variable… y sabrán que muchos de esos términos los introdujo Leibniz. ¿Pero saben exactamente qué quieren decir? ¿Saben que existen coordenadas geográficas, que el término abscisión tiene también un sentido médico, y que también existen rectas paralelas en la Tierra? Un equipo adicional puede dedicarse a seleccionar los términos clave de esta unidad y la anterior, buscar su etimología y explicarla a la clase.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. A partir de la gráfica:

6. Hay que resolver el sistema:

a) g(23) = 145 €

⎪⎧⎪15 ⋅ tvuelta = 25 ⋅ tida 9 ⇒ tida = h = 1 h 7 min 30 s ⎨ ⎪⎪t + t 8 = 3 vuelta ⎩ ida

AC → −

4 3

CB →

5 2

1 3. Pendiente: − . Ordenada en el origen: 3 2 4. m = 2, c = 3 5. a) La dependencia no es lineal, sino cuadrática. b) k = 0,092

Cuando hayan transcurrido 1 h 7 min 30 s. 7. 150 m y 350 m 500 400 300

50t

1 5

e2 =

2. AB →

Espacio (m)

b) g(v) = 600 € ⇒ v = 114 km/h

e1 =

200

10t

100 0

10

20

30

40

50 Tiempo (s)


12

Unidad 12





1. Algunos conductores tratan de estimar el gasto anual (g en euros) en reparaciones o revisiones de su coche con relación a su velocidad media de conducción (v en kilómetros por hora), con la ecuación: g(v) = 5v + 30 Dibuja la gráfica para 0 < v < 160 y a partir de ella halla: a) El precio estimado de las revisiones o reparaciones de un chico que conduce su motocicleta con una velocidad media de 23 kilómetros por hora. b) La velocidad media de un conductor cuyo gasto anual en reparaciones y revisiones es de 600 euros. 2. Halla la pendiente de AB, AC y CB. Y 6 5 A 4 3 2 1 0

B

C 1 2 3 4 5 6 X

3. Dibuja la recta de ecuación x ⴙ 2y ⴚ 6 ⴝ 0 y di cuál es su pendiente y su ordenada en el origen. 4. La siguiente tabla muestra las medidas realizadas durante un experimento de dos variables q y t. q

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t

3,85

5,0

6,1

7,0

7,75

9,1

Uno de los científicos del equipo intuye que las dos variables están relacionadas por una función del tipo t = mq + c, con m y c constantes. a) Dibuja los valores de los puntos obtenidos y la recta que mejor se ajuste a dichos puntos. Para ello, dibuja q en el eje horizontal con 4 centímetros por unidad, y t en el eje vertical con 2 centímetros por unidad. b) Halla la pendiente y la ordenada en el origen, y de ahí, estima los valores de m y c. 5. Dos ingenieros de una importante fábrica de automóviles miden la potencia P (kilovatios) que requiere un coche para viajar a determinadas velocidades v (kilómetros por hora). Estos son sus resultados. v (km/h)

40

60

80

100

120

140

P (kW)

13,5

30,5

54

84,5

122

166

Francisco cree que la fórmula correcta que relaciona P y v es de la forma P = mv + n. Carlos cree que la fórmula es P = kv . Después de estudiar los datos, Carlos advierte que la fórmula de Francisco no puede ser correcta. Explica por qué no lo es. Para ello: a) Representa los datos en una gráfica. b) Dibuja aproximadamente la recta que mejor se ajuste a los datos, confirma que la fórmula de Carlos es la correcta y estima el valor de k.

Dibuja una gráfica espacio-tiempo que indique un viaje de ida y vuelta en esas 3 horas. ¿Cuándo debe volver el barco para que no consuma todo su combustible y quede a la deriva? 7. Un ciclista hace 500 metros en 22 segundos a una velocidad al principio de 10 metros por segundo y más tarde de 50 metros por segundo. ¿Cuántos metros hizo a cada velocidad? (Resuelve el problema por intersección de rectas y luego comprueba el resultado resolviendo el sistema de ecuaciones.) Funciones lineales y afines

Unidad 12


6. Un barco fluvial navega con una velocidad de 20 kilómetros por hora con el agua en calma, pero hoy el río baja con una velocidad de 5 kilómetros por hora. El barco sólo tiene combustible para tres horas de navegación y sale de puerto a favor de la corriente.

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN


Unidad 12 APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Di si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales, o no guardan ningún tipo de proporcionalidad entre sí. a) El perímetro y el área de una figura. b) El número de obreros y el tiempo empleado en terminar una obra. c) La distancia que separa dos ciudades y el tiempo que se tarda en recorrerla. 2. Halla la expresión analítica que relaciona las variables de la tabla de valores. x

2

3

4

5

y

9

14

19

24

3. Elabora un enunciado que se ajuste a la expresión analítica y =

x + 3. 2

4. Di cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función y por qué. a) 5 x 2 + 3 = 2 x b) 3 x = 2 y − 5 c) ( x + 1) = x 2 + 1 + 2 x 2

5. Representa la función y ⴝ 3x ⴙ 6 indicando cuáles son su pendiente y su ordenada en el origen. 6. Un obrero tiene un sueldo fijo de 600 euros y por cada hora extra trabajada de más cobra 50 euros hasta un máximo de 6 horas extras. Expresa la función de forma analítica, represéntala y di cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen.

7. Un peregrino apunta los kilómetros andados cada hora tal y como se ve en la tabla de valores. Representa la función teniendo en cuenta que los seis primeros kilómetros los hizo en coche. Di cuál es la pendiente y a qué distancia del punto de partida se encontrará a las 9 horas de salir. Horas

1

2

3

4

5

Kilómetros

4

8

12

16

20

8. Suponiendo que el precio de un litro de gasolina sea de 1,20 euros: a) Haz una tabla de valores que relacione litros y coste. Página fotocopiable

b) Escribe la función asociada.

14

c) Representa la función. d) Si un coche tiene un depósito de forma cúbica de 2,5 decímetros de arista, ¿cuánto dinero costará llenarlo? e) ¿Cuántos litros repostó un conductor que gastó 44,50 euros?

Unidad 12




Unidad 12

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) No proporcionales b) Inversamente proporcionales c) Directamente proporcionales 2. y = 5x – 1 3. Por ejemplo: “El padre de Andrés se compromete a dar a su hijo 50 céntimos de euro por cada punto obtenido en sus exámenes, y además, tres euros siempre que el examen esté aprobado”. 4. La segunda es una función, ya que relaciona dos variables de modo que para cada valor de x sólo existe un valor correspondiente de y. La primera es una ecuación, y la tercera, una identidad. 5. Pendiente: m = 3. Ordenada en el origen: n = 6

Y

1 O

X

1

Sueldo (€)

6. y = 50x + 600. Pendiente: m = 50. Ordenada en el origen: n = 600 1.000 900 800 700 600 500 0

1

2

3

4

5 6 Tiempo (h)

7. m = 4, n = 6. Distancia a las 9 horas: 42 km Distancia (km)

50 40 30 20 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 Tiempo (h)

8. a) Tabla de valores:

x (L)

1

2

3

4

...

10

...

20

...

y (€)

1,20

2,40

3,60

4,80

...

12,00

...

24,00

... Página fotocopiable

b) y = 1,2x c) Se trata de una función lineal con pendiente 1,2. d) (2,5 dm)3 = 15,625 dm3 = 15,625 L, cuyo precio son 18,75 €. e) Repostó 37 litros aproximadamente.


Unidad 12

15


U N I DA D

13

3

ESO

Estadística

CONTENIDO


7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *(También la podrás encontrar en el CD Programación.)

Estadística

Unidad 13


Estadística

En esta unidad se desarrollan los conceptos y procedimientos que permiten extraer conclusiones después de analizar un conjunto de datos previamente obtenidos sobre cualquier tema de interés. Este es precisamente el objeto de la estadística: el tratamiento de la información y su posterior análisis. Puede que los alumnos conozcan alguno de los conceptos y procedimientos que aquí se exponen. Sin embargo, se recomienda que se estudien todos y cada uno de ellos, ya que en ocasiones, los alumnos no han conseguido dominar de forma satisfactoria, o han podido olvidar, dichos contenidos. Por último, en esta unidad se trabaja de forma natural el uso de las hojas de cálculo, como Excel, y de la calculadora, puesto que son herramientas básicas sin las que el estudio de la estadística perdería gran parte de su sentido.

OBJETIVOS


1. Dominar los conceptos básicos de la estadística: población, muestra, variable y frecuencias absoluta y relativa.

1. Identificar muestras, caracterizar variables estadísticas y calcular frecuencias absolutas y relativas sin acumular y acumuladas.

2. Representar gráficamente los datos estadísticos, utilizando medios informáticos cuando es conveniente.

2. Elaborar diagramas de barras y de sectores, histogramas y polígonos de frecuencias, y saber interpretar la información dada en estos formatos. Ser capaz de utilizar para ello programas como Excel.


• Matemática • Interacción con el mundo físico

3. Comprender las medidas de posición central y no central.

3. Saber calcular e interpretar la media, la mediana, la moda y los cuartiles de una serie de datos.

4. Dominar las medidas de dispersión.

4. Saber calcular e interpretar el rango, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Ser capaz de aplicarlos para valorar la fiabilidad de las medidas de posición central.

5. Utilizar las herramientas informáticas más comunes para calcular medidas estadísticas.

5. Saber calcular todos los parámetros estadísticos estudiados utilizando programas como Excel o la calculadora científica.

• Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Población, muestra y muestreo • Variables estadísticas • Frecuencia absoluta, frecuencia relativa y porcentajes • Frecuencias y porcentajes acumulados • Diagrama de barras y de sectores • Construcción de gráficos con Excel • Intervalos de clase y marcas de clase • Histograma. Polígono de frecuencias • Medidas estadísticas de posición y de dispersión

2

Unidad 13

Estadística

• Media aritmética, mediana y moda • Cuantiles y cuartiles • Máximo, mínimo y rango • Desviación media, varianza y desviación típica • Relación entre media y desviación típica • Agrupación de los datos • Coeficiente de variación • Cálculos con Excel • Cálculo de la media y la desviación típica con la calculadora


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos El conjunto de contenidos que se consideran necesarios para asegurar un seguimiento adecuado de los temas desarrollados en esta unidad está formado por: • La expresión de una parte en relación con el total mediante un tanto por ciento o un tanto por uno. • El cálculo del punto medio de un intervalo determinado por dos números reales. • La determinación de la frecuencia absoluta con la que se repite un dato determinado en un cierto conjunto. • El cálculo de la media aritmética de un conjunto de números reales no tabulados.

2. Previsión de dificultades La estadística supone una forma de pensar ligeramente distinta del resto de las matemáticas, por lo que debemos acompañar a los alumnos en este cambio de enfoque. Las principales dificultades se suelen encontrar al trabajar con datos agrupados en intervalos (tanto sus tablas de frecuencias como sus parámetros estadísticos), en las medidas de dispersión y su interpretación, y, en menor grado, en los percentiles. Afortunadamente, todas estas nociones surgen de la observación de la vida cotidiana, por lo que no resulta complicado partir de contextos reales para explicarlos.

3. Vinculación con otras áreas La interdisciplinariedad de la estadística es precisamente uno de sus rasgos definitorios, de modo que las conexiones con otras áreas y en especial con la vida cotidiana son inmediatas: comprensión de encuestas, interpretación de tablas y gráficos sobre geografía, demografía, biología, geología, climatología…; detección de falacias en argumentaciones (por ejemplo, en artículos de prensa o noticias de televisión), etc.

4. Esquema general de la unidad La unidad pivota en gran medida en torno a las aplicaciones de la estadística, desde la entrada y la sección “Desarrolla tus competencias”, que motivan los contenidos a partir de cuatro actividades sobre las elecciones democráticas. Los primeros dos epígrafes explican los conceptos fundamentales de la estadística: población, muestra, variables, frecuencias absolutas y relativas. A continuación, los epígrafes 3 y 4 describen los gráficos estadísticos más comunes (diagramas de barras y de sectores, histogramas y polígonos de frecuencias) y cómo construirlos en Excel e interpretarlos, así como la agrupación de datos y las marcas de clase. Los epígrafes 5 a 8 constituyen el núcleo y explican las medidas de posición central, no central y dispersión.

ESTADÍSTICA ELEMENTOS

Población Muestra Variable estadística

REPRESENTACIÓN

Por último, el epígrafe 9 cierra la unidad con el uso de Excel y la calculadora para hallar todas las medidas estadísticas.

Diagrama de barras Diagrama de sectores Histograma

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve o diez sesiones:

MEDIDAS ESTADÍSTICAS

1.ª Población, muestra, muestreo y variables

De posición De dispersión

2.ª Valores, frecuencias y tablas 3.ª Diagramas de barras y de sectores (utilizando Excel si es posible) 4.ª Agrupación de datos. Histogramas 5.ª Medidas de posición central (media, mediana, moda) y no central (cuartiles) 6.ª Medidas de dispersión (rango, desviación típica, varianza, coeficiente de variación) y sus aplicaciones 7.ª Cálculo de medidas estadísticas con Excel y calculadora (opcional, pero recomendado) 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª y 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad

Estadística

Unidad 13

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos nuevos, de una rama bastante distinta, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos. Al mismo tiempo, la misma esencia de la estadística, que surge de la observación de la vida cotidiana, impulsa de forma natural el desarrollo de la subcompetencia de resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento a la realidad.

Competencia para la interacción con el mundo físico Dado que la estadística es una rama anclada en el mundo físico que se utiliza de forma constante en otras ciencias para describir e interpretar la realidad, se trabaja esta competencia en su vertiente de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Competencia social y ciudadana La estadística tiene su origen en la observación de los datos de la sociedad, y esta es precisamente una de sus principales aplicaciones. Por ello, la unidad está concebida para desarrollar esta competencia a través de contextos y actividades que conciencien al alumno sobre la sociedad en la que vive, como las elecciones, los accidentes de tráfico o las diferencias demográficas con los países menos desarrollados. Se trabajan, por tanto, las subcompetencias de desarrollo personal y social y participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, dado que las actividades están orientadas a capturar e interpretar los datos disponibles sobre múltiples aspectos de la vida cotidiana y las ciencias sociales y de la naturaleza. Por último, al dedicarse un epígrafe completo y varias secciones a trabajar la estadística con Excel, se desarrolla también el uso de herramientas tecnológicas, en lo que concierne a hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales.

Competencia para aprender a aprender Por el carácter crítico con la realidad que la estadística tiene o debería tener, su estudio incentiva el desarrollo de la competencia para aprender a aprender en su aspecto de construcción del conocimiento, en particular a través de su vertiente de desarrollar el pensamiento crítico y analítico.


Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar En el proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 13

Estadística



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica...).

– Domina los principales conceptos estadísticos.



Toda la unidad


Aplicar soluciones técnicas a problemas científicotecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.




Desarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar críticamente sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivas.

Social y ciudadana

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento.

– Conoce los gráficos estadísticos más comunes. – Sabe aplicar la estadística para comprender, operar e interpretar datos de la realidad.

– Identifica situaciones científicas y cotidianas que requieran de la estadística para su comprensión y resolución, y hacerlo de forma rigurosa. Entrada Desarrolla tus competencias Actividades 14, 27, 28 y 42 Pon a prueba tus competencias – Utiliza la estadística para juzgar con espíritu crítico la validez de los argumentos. Entrada Desarrolla tus competencias Actividad 45 Pon a prueba tus competencias – Comprende el sistema democrático y cómo utilizar la estadística para garantizar su funcionamiento. Entrada Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.






– Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividad 9


Aprender a aprender

En la red

Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales.


Desarrollar el pensamiento crítico y analítico.

Innovación.


– Utiliza Excel como herramienta para calcular medidas estadísticas y realizar representaciones gráficas de problemas concretos. Epígrafes 3 y 9 Pon a prueba tus competencias – Valora con juicio crítico las afirmaciones de los medios de comunicación. Pon a prueba tus competencias – Resuelve problemas no guiados que requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas

Estadística

Unidad 13

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: "Entrada", "Desarrolla tus competencias", "Pon a prueba tus competencias". • Educación medioambiental: "Pon a prueba tus competencias". • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.


– N.º 4. Proporcionalidad, funciones y estadística. Unidad III Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 13. Estadística unidimensional • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 4: Estadística y probabilidad – Unidad I. Estadística • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

www.e-sm.net/3esomatmrd01 Estadística en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd14

Otros materiales

• Calculadora científica con funciones estadísticas.

6

Unidad 13

• Hojas de cálculo como Excel, que permiten trabajar con tablas de datos y realizar gráficos. • Noticias extraídas de la prensa que permitan hacer patente la importancia de la estadística en la vida cotidiana, especialmente si las aportan los propios alumnos. • Informes y tablas extraídos de páginas web de organismos oficiales (INE, ministerios, ONU, Eurostat), empresas y otras entidades, para que los alumnos trabajen con los datos que contienen.

Estadística

Sugerencias didácticas Entrada Por su naturaleza, esta unidad está íntimamente ligada a la realidad, dado que la estadística surge de la observación de fenómenos cotidianos, a diferencia de otras ramas de las matemáticas. En particular, la estadística tiene una aplicación muy relevante en las elecciones, lo que aprovecharemos en esta unidad para que los alumnos trabajen la competencia social y ciudadana partiendo de las matemáticas. En este sentido está planteada la entrada, con un texto que explica la razón de ser de la estadística y dos preguntas para que los alumnos reflexionen de forma intuitiva sobre los conceptos de sondeo, muestra representativa e incluso la forma de plantear una encuesta para que resulte insesgada. Existe la opinión bastante extendida de que la estadística es poco científica y muy manipulable, cuando en realidad es su mal uso lo que se debe criticar. Debemos, por tanto, dar un tratamiento muy riguroso a esta unidad desde la misma entrada; para ello, recomendamos analizar las respuestas de los alumnos a las preguntas planteadas y criticarlas constructivamente desde un punto de vista científico.

Desarrolla tus competencias 1. En esta primera actividad trabajamos varias competencias, entre las que destacamos la social y ciudadana. El contexto son unas elecciones y los sondeos que se han realizado, y debemos conseguir que los alumnos adquieran la intuición de que es necesario aportar un rigor matemático en ellos para garantizar la fiabilidad de la información obtenida. 2. En esta actividad, basada en el mismo contexto, enfatizamos la competencia de tratamiento de la información. Debemos conseguir que los alumnos propongan la mejor manera de presentar los datos para que resulten legibles y claros, y que sean capaces de explicar su decisión. Si el tiempo lo permite, podemos pedirles que busquen datos de las últimas elecciones en su municipio o comunidad, y que los presenten en la forma que hayan elegido utilizando una hoja de cálculo. 3. Por último, esta actividad trabaja de nuevo la competencia social y ciudadana. Debemos lograr que los alumnos reflexionen sobre el proceso de toma de datos y que lleguen por sus propios medios al concepto de sesgo, para concluir explicándoles esta noción.

1. Población, muestra, muestreo y variables • Si lo considera adecuado, el profesor puede ampliar la información sobre el papel que juegan las muestras en los estudios estadísticos. Puede insistir en que uno de los principales objetivos de la estadística es extraer conclusiones generales de la población partiendo de los resultados obtenidos en la muestra. Los procedimientos y herramientas que permiten tal extracción están, sin embargo, fuera de los contenidos marcados para este curso debido a su complejidad. • Ante todo, se considera imprescindible que el alumno maneje con claridad y corrección el vocabulario básico

que utiliza la ciencia estadística, y en particular los conceptos de variable cualitativa y cuantitativa, y sus subtipos.


1 a 4 y 39

Medias

5

2. Valores, frecuencias y tablas • Las tablas de frecuencia deben incluir las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y los porcentajes. También está incluido el estudio de las frecuencias acumuladas, dado que no presentan mayor complejidad. • Los alumnos deben aprender a leer e interpretar las tablas. Deben ser capaces de responder a preguntas del tipo: ¿cuántos elementos valen una cierta cantidad?, o ¿qué porcentaje de datos cumplen una cierta propiedad? • Es importante que asimilen bien la estructura de la tabla de frecuencias, porque será la base de todo el desarrollo de la unidad. Por ello debemos insistir hasta que sean capaces de construir desde cero una tabla completa, ordenada y correcta, lo que se considera un objetivo básico. • En este sentido, debemos insistir en que las frecuencias relativas siempre suman 1, y los porcentajes, 100, como dato de control que puede ayudarles.


6 a 8, 40 y 41

Medias

10

3. Diagramas de barras y de sectores. Uso de Excel • Aunque las reglas no son fijas, es habitual utilizar un tipo de gráfico estadístico según el tipo de datos que se esté utilizando. Así, es normal que se sigan las siguientes reglas: – Para datos cualitativos se utiliza normalmente el diagrama de sectores. – Para datos cuantitativos y referidos a varias series se suele utilizar el diagrama de barras adosadas. • Aunque en el epígrafe sólo se presentan los tipos de gráficos antes enumerados, según el nivel de la clase, el profesor puede considerar conveniente presentar otros tipos, como el pictograma, los diagramas en tres dimensiones, etc. Su realización no presenta mayor dificultad, pero hay que recordar a los alumnos algunas buenas prácticas recomendables al elaborar un gráfico que se olvidan con demasiada facilidad: – Indicar siempre qué magnitud se está representando en cada eje de un gráfico de barras (año, edad, estatura, etc.). – Incluir una leyenda si existe algún riesgo de confusión en un diagrama de barras, y siempre en un diagrama de sectores (salvo que esté indicado en los mismos sectores). – Si las cifras son muy elevadas, no escribirlas desarrolladas (1.000.000, 2.000.000, etc.), sino abreviadas

Estadística

Unidad 13

7


(1, 2, etc.), y añadir la unidad en el rótulo del eje: beneficios (millones de euros). – Ante todo, debe primar la claridad. Por tanto, se deben omitir los elementos que puedan hacer poco legible el gráfico. • Por otra parte, en este epígrafe se introduce el uso de Excel para realizar diagramas de barras y sectores, se trabaja, por tanto, la competencia digital mediante el uso de herramientas tecnológicas. 14. En esta actividad podemos trabajar la competencia de interacción con el mundo físico, puesto que relacionamos la estadística con el consumo de agua, que es un contexto cercano al alumno. Así, podemos pedirle que haga una valoración sobre el porcentaje de agua que se pierde, o sobre la fracción del total que supone el uso doméstico y las implicaciones en el ahorro de agua que esto tiene para cada uno de nosotros. 42. En la misma línea, con esta actividad podemos pedir a los alumnos que averigüen qué es un estudio de mercadotecnia, cuándo se utiliza y para qué. Con ello adquirirán conciencia de cómo funciona el proceso de comercialización de un producto y trabajarán varias competencias básicas.


11, 12, 14 y 42

Medias

13

4. Agrupación de datos. El histograma

• Es importante que los alumnos comprendan el sentido general de las medidas de posición central. Deben saber interpretar los valores y asumir que pueden ser utilizados, como representantes de todos los datos. • Es básico que el alumno comprenda que existen tipos de datos para los que la mediana y la media aritmética no tienen sentido o, simplemente, no se pueden calcular. En estos casos, la moda puede utilizarse como representante de los datos. • Al utilizar las marcas de clase para la obtención de la media de datos agrupados en intervalos, se produce un determinado error. Los alumnos deben comprender que es conveniente asumir dicho error, debido a la facilidad que se obtiene a la hora de realizar los cálculos.


19 a 23, 47 y 48

Medias

49

6. Medidas de posición no central: los cuartiles • Es frecuente que los alumnos tengan dificultad para comprender el concepto de percentil al inicio. Por tanto, conviene comenzar con la mediana. Para ello, el mejor modo es tomar 50 datos (por ejemplo, los del ejercicio resuelto 13), escribirlos en orden creciente y tomar el del centro. Como 50 es par, habrá que tomar la media de los dos centrales.

• Debe quedar claro que, para el caso de datos agrupados en intervalos, se considera que todos los incluidos en una misma clase tienen el mismo valor, precisamente su marca, y que este hecho provocará la aparición de pequeños errores, pero que, sin embargo, se facilitará en gran medida la realización de los cálculos.

• A partir de aquí es más fácil abstraerse hasta el concepto de cuartil y después el de percentil, utilizando las frecuencias acumuladas.

• También debemos hacerles ver que el histograma no tiene más dificultad que un diagrama de barras con los datos agrupados en el eje X, y que el polígono de frecuencias sólo es otro modo de representar los mismos datos.

27. Esta actividad relaciona los cuartiles con la demografía a través de la observación de una pirámide de edad. Su interpretación no es inmediata para los alumnos, por lo que probablemente deberemos guiarles paso a paso. El objetivo, más allá de los cálculos matemáticos, es que comprendan este tipo de gráficos, su utilidad y cómo contribuyen las matemáticas, trabajando con ello la interacción con el mundo físico y el tratamiento de la información.

• Si el nivel de la clase lo permite y no crea confusión, podemos mencionar que habitualmente se toma la media como marca de clase, pero que no siempre ha de ser así. Si se presentan datos atípicos, en ocasiones se toma la mediana por ser más representativa. 45. Aquí trabajamos la competencia social y ciudadana al relacionar la interpretación de gráficos con la esperanza de vida en diferentes países europeos. Podemos extenderla pidiendo a los alumnos que busquen datos demográficos sobre otros países e invitarles a realizar una reflexión social partiendo de la estadística. En Eurostat están disponibles, por ejemplo, datos sobre natalidad y mortalidad, desigualdad entre hombres y mujeres, etc.

ACTIVIDADES

8

5. Medidas de posición central: media, mediana y moda

Básicas

15 a 17, 43 y 44

Medias

18, 45 y 46

Unidad 13

Estadística

• Si la definición de percentil aún les resulta abstracta, podemos acudir a la menos rigurosa: “el percentil n es el dato que deja a su izquierda el n% de los datos”.


24 a 26

Medias

27

7. Medidas de dispersión: rango y desviación típica • Es importante que los alumnos comprendan el sentido general de las medidas de dispersión. Deben saber interpretar los valores, comprendiendo que dan información sobre la mayor separación o concentración de los datos. También deben dar una interpretación a los resultados obtenidos.


• Debemos recordar una vez más el error que siempre se comete al utilizar las marcas de clase en la obtención de la varianza o la desviación típica.


• Una vez que el profesor considere que los alumnos están suficientemente adiestrados en la realización de los cálculos necesarios, se considera conveniente la utilización de la calculadora científica o la hoja de cálculo para obtener el valor de las medidas de dispersión.

Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

28. Aunque desde el punto de vista matemático esta actividad no presenta una gran complejidad, nos sirve para trabajar la competencia de interacción con el mundo físico, puesto que el contexto es la cotización bursátil de una empresa. Dado que probablemente no lo sabrán, podemos aprovechar para explicar a los alumnos en qué consiste este concepto, pedirles que busquen la cotización de otras empresas en el periódico o en internet y que realicen los mismos cálculos sobre ellas.



28 a 30 y 50

Medias

31, 51 y 52

8. Aplicaciones a la desviación típica • Los porcentajes de datos incluidos en los intervalos de la forma (x − nS, x + nS) son siempre aproximados. En todo caso, las aproximaciones son buenas para distribuciones simétricas y con una única moda. • El coeficiente de variación es una cantidad sin dimensión, ya que es el cociente de dos cantidades que se expresan en la misma unidad. Por tanto, es independiente de las unidades elegidas y, por ello, puede utilizarse para comparar dos distribuciones cuyos datos están expresados en unidades diferentes. • Los alumnos deben ser capaces de dar una interpretación, aunque sea muy general, de la distribución estadística que estén manejando. Para ello deben calcular previamente la media aritmética y de la desviación típica.

61. Con esta actividad a página completa, aparte de la matemática, trabajamos las competencias social y ciudadana y de tratamiento de la información. Aunque ya se han mencionado en la unidad, aquí se trabaja la lectura de las pirámides de edad como medio para comprender la estructura demográfica de un país. Debemos aprovechar esta actividad para promover una reflexión entre los alumnos sobre las desigualdades entre los países más y menos desarrollados, partiendo de datos rigurosos y no de estereotipos. Por ello es importante que pongamos el énfasis en las preguntas 3 a 5, pidiendo incluso a los alumnos que expongan sus reflexiones por escrito, acompañadas de datos objetivos y sólidamente argumentadas. 62. Aquí trabajamos las competencias de interacción con el mundo físico y de tratamiento de la información mediante la interpretación de climogramas. Debemos animar a los alumnos a que relacionen los resultados de la actividad con lugares concretos del mundo, para que vean una de las muchas aplicaciones prácticas de la estadística en la vida real.



32 y 33

Medias

53

9. Las medidas estadísticas y las herramientas de cálculo • Este epígrafe está orientado a la utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para hallar las medidas estadísticas aprendidas en la unidad. • Es importante que los alumnos dominen la teoría antes de acostumbrarse a realizar los cálculos de este modo. • En este epígrafe, como es claro, se trabaja intensamente la competencia digital y de tratamiento de la información.


34 a 37

Medias

38



Estadística

Unidad 13

9


Estadística

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Para aquellos alumnos que no han conseguido adquirir un dominio mínimo de los conceptos y procedimientos desarrollados en la unidad, se propone el siguiente esquema de actuación con vistas a su recuperación: • Insistir en el vocabulario básico que utiliza el método estadístico. Los alumnos deben diferenciar entre población y muestra, así como identificar los caracteres estadísticos y sus tipos y modalidades. • Elaborar tablas de frecuencias de datos simples. • Elaborar e interpretar gráficos estadísticos, diagramas de barras y diagramas de sectores. • Calcular e interpretar la media aritmética de datos aislados o tabulados. • Calcular la varianza y la desviación típica en casos muy sencillos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Elaboración de una encuesta Los pasos y fases que hay que seguir para elaborar una encuesta son: • Elegir el tema que se va a investigar y formular el cuestionario. Las preguntas deben ser pocas, claras, y, sobre todo, se debe elaborar un cuestionario fácil de responder. • Recoger los datos. • Organizar la información obtenida mediante tablas y gráficos estadísticos. • Analizar y escribir los resultados y las conclusiones. Se debe elaborar un pequeño informe que, además, debe ser comunicado al conjunto de compañeros. Es conveniente que el estudio se refiera a algún tema de su interés directo. Algunos ejemplos pueden ser: hábitos de lectura, grado de utilización de la biblioteca del centro docente o municipal, hábitos de reciclaje de basuras en las viviendas de los alumnos, aficiones deportivas o musicales, etc.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

Población

Variable

Compañeros de la clase

N.º de calzado

Tipo

Valores

4. a) N.º de veces: x i

Cuant. Desde el número discreta 34 hasta el 44

Jóvenes que viven en esa localidad

Rock, popular, Tipo de Cualit. bakalao, música nominal clásica… De 15 a 55 cm. Truchas Cuant. Se pueden Longitud en el río continua agrupar. De 0 a 300. Personas en N.º de Cuant. Se pueden salas de cine personas discreta agrupar. 2. Tres alumnos tienen los ojos verdes, veintiuno tienen los ojos marrones y seis tienen los ojos azules. Miles de habitantes

3.

5.050 5.000 4.950 4.900 4.850 4.800 4.750 4.700 4.650

fi

hi

Porcentajes

fi ⴢ hi

0

3

0,125

12,5%

0

1

9

0,375

37,5%

9

2

9

0,375

37,5%

18

3

3

0,125

12,5%

9

24

1

100%

36

b) Doce alumnos han ido dos o más veces al cine. Representan el 50% del total. c) x = 15 , 5. a) x = 5, s = 2,94 b) x = 5, s = 2,24 Están más concentrados los datos de la segunda serie.

1970

1990

1980

2000

Año


10

Unidad 13

Estadística



Estadística

1. Indica la población y el carácter estadístico que se pretende observar y su tipo y posibles valores. Población

Variable

Tipo de variable

Valores

Número de calzado que gastan los compañeros de la clase. Aficiones musicales de los jóvenes de una localidad. Longitud de las truchas que habitan en un río. Número de personas que hay en las diferentes salas de un cine en un día determinado. 2. Interpreta el siguiente diagrama de sectores que señala el color de ojos de los 30 alumnos de una clase.

Verdes 10%

Azules 20% Marrones 70%

3. La siguiente tabla muestra la población de un cierto país según los censos publicados en los años 1970, 1980, 1990 y 2000. Representa los datos mediante un diagrama de barras. Año

1970

1980

1990

2000

Población en miles

4.800

4.950

4.975

5.025

4. Los siguientes datos se refieren al número de veces que han ido al cine, en el último mes, un grupo de 24 personas. 0 1 2 1 2 2 1 2 3 1 3 2 0 1 1 2 3 1 2 1 1 0 2 2 a) Completa la tabla. b) ¿Cuántos alumnos han ido dos o más veces al cine? ¿Qué porcentaje representan? c) Calcula la media aritmética. N.º de veces: xi

fi

hi

Porcentajes

fi ⴢ xi

0

3

0,125

12,5%

0

1 2

5. Dadas las siguientes listas de calificaciones, calcula la media y la varianza de cada una de ellas e indica cuál te parece más concentrada. a) 2, 4, 9 b) 2, 4, 6, 8 Estadística

Unidad 13


3

11


Estadística

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Como vías de ampliación de los contenidos para aquellos alumnos con un mayor nivel de comprensión y asimilación de los conceptos y procedimientos desarrollados en esta unidad, se pueden proponer: • Resolución de actividades en las que sea necesario un mayor dominio de las fórmulas que establecen los parámetros estadísticos. • Resolución de actividades en las que haya que relacionar contenidos de esta unidad con otros de unidades anteriores. • Insistir en la interpretación de tablas y gráficos estadísticos. • Para los alumnos más aventajados, resolver actividades como las indicadas en el apartado anterior, pero referidas a datos agrupados en intervalos. En estos casos, el alumno deberá establecer proporciones adecuadas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Elaboración de una encuesta Los pasos y fases que hay que seguir para elaborar una encuesta son: • Elegir el tema que se va a investigar y formular el cuestionario. Las preguntas deben ser pocas y, sobre todo, se debe elaborar un cuestionario fácil de responder. • Recoger los datos. • Organizar la información obtenida mediante tablas y gráficos estadísticos. Se deben elaborar tablas de frecuencias y diagramas de barras y de sectores, y, en su caso, histogramas. • Analizar y escribir los resultados y las conclusiones. Se debe elaborar un pequeño informe que, además, debe ser comunicado al conjunto de compañeros. Es conveniente que el estudio se refiera a algún tema de su interés directo. Algunos ejemplos pueden ser: hábitos de lectura, grado de utilización de la biblioteca del centro docente o municipal, hábitos de reciclaje de basuras en las viviendas de los alumnos, aficiones deportivas o musicales, etc.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) x =

75 = 15 5

5. a) 85 jóvenes, 45 chicas y 40 chicos b) 45; de ellos, 25 son chicas, y 20, chicos.

75 + 9 b) x = = 14 6 2. x =

3.

4.

4⋅4+6⋅6 = 5,2 4+6

∑ (x V =

i

−x

)

n

=

c) De los 40 chicos, 5 quieren ir a la playa, lo que representa el 12,5% del total. De las 45 chicas, 10 quieren ir a la playa, lo que representa el 22,2% del total.

∑

xi2

n

2

=

∑

+ x 2 − 2x

xi2 +

∑ n

xi

∑

=

x2 − n

∑

xi2

n

∑ x = (a + a ) ⋅ n = a + a a) x = i

n

b) x =

n

1

2n

3 + 300 = 1515 , 2

n

1

2

∑

2 ⋅ xi ⋅ x

− x2

6. a) x = 30, s = =

35.900 − 900 = 296,67 = 17,22 30

b) (x − 2s, x + 2s) = (−4,44; 64,44) . En este intervalo entra el 100% de los datos. 7. a) x = 10,3; s = 22,84 = 4,8 b) (x − 2s, x + 2s) = (0,7; 19,9) En este intervalo entra el: 8,56 + 12 + 24 + 7,68 ⋅ 100 = 96,74% de los datos. 54

En CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de aplicación.

12

Unidad 13

Estadística



Estadística

1. La suma de cinco números es 75. a) Calcula el valor de la media aritmética de dichos números. b) Si a la lista se añade un nuevo número de valor 9, ¿cuánto vale la nueva media aritmética? 2. La media aritmética de un grupo de cuatro números es 4, y la media aritmética de otro grupo de seis números es 6. ¿Cuál es la media de todos esos números? 3. Como sabes, para calcular la varianza de un conjunto de n datos aislados x1, x2 , x3 , ..., xn se puede utilizar

∑( x la fórmula V =

− x)

2

i

∑x o bien la fórmula V =

2 i

− x2. n n Partiendo de la primera y utilizando los procedimientos algebraicos que conoces, demuestra que ambas fórmulas son iguales. 4. a) Demuestra que la media aritmética de los n primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma del primero y del último. b) Calcula la media aritmética de los primeros 100 múltiplos de 3. 5. El siguiente diagrama de barras adosadas muestra las preferencias de un grupo de jóvenes, diferenciando chicos y chicas, sobre el lugar donde se van a pasar las vacaciones. 30 25 20 15 10 5 0

chicas chicos

Montaña

Playa

Circuito turístico

a) ¿A cuántos jóvenes en total se les ha preguntado?, ¿a cuántos chicos y cuántas chicas? b) ¿Cuántos jóvenes quieren ir a realizar un circuito turístico?, ¿cuántos chicos y cuántas chicas? c) ¿Qué porcentaje del total de chicos quiere ir a la playa?, ¿y del de chicas? 6. Se consideran los siguientes números en progresión aritmética: 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 a) Calcula la media y la desviación típica de dichos números. b) Calcula el porcentaje de datos que entran dentro del intervalo (x − 2s, x + 2s) .

Intervalos

Frecuencias absolutas

0≤x<5

10

5 ≤ x < 10

12

10 ≤ x < 15

24

15 ≤ x < 20

8


7. Teniendo en cuenta los números que aparecen en la siguiente tabla de datos agrupados, calcula el porcentaje de datos que entran dentro del intervalo ( x − 2s, x + 2s) . Ten en cuenta que será necesario que realices ciertas proporciones adecuadas.

Estadística

Unidad 13

13


Estadística

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. En cada uno de los siguientes casos, indica cuál es la población del estudio y, razonando la respuesta, si consideras que es necesario elegir una muestra. a) Las preferencias políticas de los habitantes mayores de edad de una cierta comunidad autónoma. b) El tiempo que tardan en recuperar las pulsaciones normales los alumnos y las alumnas de una clase después de haber corrido durante 15 minutos. c) El tiempo que duran 50 pilas de una cierta marca. d) El tiempo que duran cargadas 10 baterías de teléfono de una misma marca. 2. En una provincia de 1.725.000 habitantes, 375.000 viven en zona rural; 725.000, en el centro de una ciudad, y el resto, en el cinturón de una ciudad. Se quiere realizar una encuesta, para lo que se va a elegir una muestra de 345 personas. Calcula cuántas personas de la muestra deben vivir en cada una de las zonas indicadas. 3. Se está realizando un estudio del color de los ojos, la talla, el peso y el sexo de los nacidos durante la última semana en un hospital. ¿De qué tipo es cada variable? Indica en cada caso los posibles valores. 4. Se ha preguntado a 25 conductores sobre la velocidad que en ningún caso sobrepasan y se han obtenido los siguientes resultados (en kilómetros por hora). 100 140 120 130 120 130 120 120 120 150 120 130 120 130 100 120 130 120 120 120 140 110 120 130 110 Elabora una tabla completa de frecuencias de datos simples. 5. El siguiente diagrama de sectores representa el porcentaje de votos obtenidos por cada uno de los cuatro alumnos que se han presentado a las elecciones al Consejo escolar. Sabiendo que han votado 600 alumnos, calcula el número de votos obtenido por cada uno de los aspirantes.

Nazaret 30%

Elena 25%

Pablo 30% Javier 15%

6. Las calificaciones de Cayetana en los cinco exámenes de Geografía y en los seis de Cultura clásica que ha realizado durante un curso han sido las siguientes. • Geografía: 6, 6, 8, 7 y 8 Página fotocopiable

• Cultura clásica: 5, 8, 7, 6, 6 y 7

14

a) Calcula la media y la varianza para la materia de Geografía. b) Calcula la moda y la mediana para cada una de las materias. 7. Calcula la media y la desviación típica de los datos de la actividad 4.

Unidad 13

Estadística


Estadística

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) La población la forman todos los mayores de edad que viven en esa comunidad autónoma. Dado que dicha población es muy numerosa, es necesario elegir una muestra para realizar el estudio. b) La población está formada por los alumnos y las alumnas de esa clase. No es necesario elegir una muestra, ya que se pueden observar todos los elementos de la población. c) La población la forman las 50 pilas. No es necesario elegir una muestra porque, aunque para observar un elemento es necesario dejarlo inservible, se puede prescindir de 50 pilas. d) La población está formada por las 10 baterías. No es necesario elegir una muestra, ya que se pueden observar todos los elementos de la población. 2. Para que se mantenga la proporción de habitantes que viven en cada una de las zonas se deberán elegir: 375.000 x = ⇒ x = 75 personas • Zona rural: 1.725.000 345 725000 x = ⇒ x = 145 personas • Centro ciudad: 1725000 345 625.000 x = ⇒ x = 125 personas • Cinturón ciudad: 1.725.000 345

4.

Variable

Tipo

Valores

Color de los ojos

Cualitativo

Negro, marrón, verde, azul

Talla

Cuantitativo

Entre 45 y 55 cm

Peso

Cuantitativo

Entre 1.500 y 5.500 g

Sexo

Cualitativo

Femenino, masculino

Valores

fi

hi

Porcentajes

100

2

0,08

8%

110

2

0,08

8%

120

12

0,48

48%

130

6

0,24

24%

140

2

0,08

8%

150

1

0,04

4%

25

1

100%

5. Nazaret: 0,3 · 600 = 180 votos Elena: 0,25 · 600 = 150 votos 6. a) xgeo = 7; Vgeo = b) Mgeo = 7; Mogeo

Pablo: 0,3 · 600 = 180 votos Javier: 0,15 · 600 = 90 votos

2 ⋅ (6 − 7)2 + 2 ⋅ (8 − 7)2 + (7 − 7)2 = 0,8 5 6+7 = 6,5 ; MoC.C. = 6 y 7 (bimodal) = 6 y 8 (bimodal). MC.C. = 2


3.

7. Media: 122,8. Desviación típica: 11,14.

Estadística

Unidad 13

15


U N I DA D

14

3

ESO

Probabilidad

CONTENIDO


7



Probabilidad

Los fenómenos aleatorios están presentes en la vida cotidiana de los alumnos: el tiempo que tardará en llegar el próximo autobús, el número de centímetros que se va a crecer en el presente curso o el tiempo atmosférico que hará mañana. Todas estas situaciones tienen algo importante en común: no podemos predecir su resultado antes de que se produzcan, y se contraponen, de forma obvia, a la mayoría de las leyes físicas y químicas que se estudian en las ciencias de la naturaleza, como el tiempo que tarda un móvil en recorrer una cierta distancia con una cierta velocidad, el volumen que ocupa cierto gas en ciertas condiciones, o los productos que se obtendrán al hacer reaccionar dos productos químicos determinados, ya que sus resultados siempre son predecibles. Se trata de situaciones muy variadas, pero que tienen algo en común: varias posibilidades que son regidas por las leyes del azar. Lo importante es poder cuantificar de alguna forma la mayor o menor facilidad que tiene cada posibilidad. El estudio del cálculo de probabilidades nace a partir del estudio de los juegos de azar. No conviene, por ello, desechar totalmente situaciones relacionadas con dados, cartas o lotería. La ley de Laplace se estudia como una herramienta importante que permite asignar probabilidades teóricas, aunque para su utilización exige determinadas condiciones que obligatoriamente han de cumplirse. Por otro lado, esta unidad permite trabajar la obtención de probabilidades experimentales mediante la generación de números aleatorios por ordenador, lo que suele reflejar la realidad y es en la práctica la herramienta más utilizada.

OBJETIVOS


1. Conocer los conceptos básicos de la probabilidad: experimentos, espacio muestral y sucesos aleatorios.

1. Identificar y clasificar los sucesos de un experimento, calcular espacios muestrales y sucesos, así como casos favorables y posibles.

2. Comprender el concepto de probabilidad de un suceso y su relación con la frecuencia relativa.

2. Saber calcular probabilidades experimentales a partir de frecuencias relativas.

3. Dominar la ley de Laplace y sus aplicaciones.

3. Aplicar la definición formal para calcular probabilidades en problemas concretos, interpretando los datos del enunciado.

4. Comprender los experimentos aleatorios compuestos y la regla del producto.

4. Saber aplicar la regla del producto para realizar recuentos y calcular probabilidades en casos de experimentos compuestos.

CONTENIDOS • Experimentos aleatorios. Resultados • Sucesos elementales y compuestos • Casos posibles y casos favorables • Frecuencia absoluta y frecuencia relativa • Probabilidad experimental de un suceso • Ley de Laplace • Aplicaciones de la ley de Laplace • Experimentos aleatorios compuestos • Cálculo de la probabilidad

2

Unidad 14

Probabilidad


• Lingüística • Matemática • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para poder seguir el desarrollo de los contenidos de esta unidad, es muy importante que los alumnos sepan expresar, de diferentes formas, la relación entre una cantidad parcial y su total. En particular, se debe dominar la utilización de las fracciones, los porcentajes y los tantos por uno como expresión de una parte. Las técnicas básicas relacionadas con las fracciones (fracciones equivalentes, comparación de fracciones y operaciones con fracciones) tienen gran importancia en el desarrollo de los contenidos de este tema, debido a que la expresión principal de una probabilidad es mediante una fracción. La interpretación de la probabilidad experimental, dependiente de la frecuencia, hace que el dominio de los conceptos estadísticos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa, desarrollados en la unidad anterior, sea necesario para el seguimiento de esta unidad.

2. Previsión de dificultades Esta unidad no debería resultar complicada, dado que se trata de una aproximación sencilla a la probabilidad y todos los conceptos son asequibles. No obstante, los alumnos pueden tener dificultades al abordar problemas de experimentos aleatorios compuestos. Por ello debemos acompañarlos paso a paso, describiendo el espacio muestral y apoyándonos en los diagramas de árbol. Por otra parte, es importante insistir en que la probabilidad parte de experimentos de la realidad, y, por tanto, debemos motivar los resultados con ejemplos cotidianos, realizándolos empíricamente con los alumnos usando dados, cartas, monedas, etc., para que interioricen los conceptos.

3. Vinculación con otras áreas La probabilidad es una rama de gran aplicación en casi todas las materias, aunque no siempre en el nivel de los alumnos; podemos citar la herencia genética (probabilidad de nacer mujer), la economía y el análisis de riesgos (probabilidad de que la bolsa suba o baje) o la meteorología y la climatología (probabilidad de precipitación), entre otras muchas. No obstante, la aplicación más antigua y común son los juegos de azar, que además resultan muy intuitivos y visuales para los alumnos.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con la entrada y la sección “Desarrolla tus competencias”, donde se exponen juegos a partir de los cuales se introduce la noción de probabilidad y se motiva a los alumnos para los conceptos que van a trabajar. El primer epígrafe presenta los conceptos básicos de la probabilidad: experimento, espacio muestral, suceso, casos posibles y favorables, que serán necesarios para la unidad. A continuación, los epígrafes 2 y 3 describen el cálculo de la probabilidad desde sus dos vertientes: la experimental (basada en la frecuencia relativa) y la teórica (la ley de Laplace), basándose siempre en ejemplos cotidianos. Por último, el epígrafe 4 cierra la unidad describiendo el cálculo de probabilidades en los experimentos aleatorios compuestos, lo que requiere introducir la regla del producto y los diagramas de árbol.

PROBABILIDAD

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

PROBABILIDAD EXPERIMENTAL

Espacio muestral Sucesos Frecuencias Probabilidad por aprox.

LEY DE LAPLACE

EXPERIMENTOS COMPUESTOS

Diagrama de árbol

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en seis sesiones: 1.ª Experimentos aleatorios 2.ª Probabilidad experimental 3.ª Ley de Laplace y aplicaciones 4.ª Experimentos aleatorios compuestos 5.ª Actividades de consolidación y aplicación 6.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Probabilidad

Unidad 14

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los indicadores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, en esta unidad se presentan conceptos matemáticos nuevos y muy específicos, por lo que destacamos la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos. Por otra parte, la probabilidad está presente en la vida cotidiana y, por tanto, impulsa de forma natural el desarrollo de la subcompetencia de resolución de problemas: relacionar y aplicar el conocimiento a la realidad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Asimismo, en la unidad se trabaja repetidas veces la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información, dado que en gran medida está orientada a tomar información de los textos y de la vida real, para transformarla en datos que permitan resolver problemas concretos. Por último, dada la naturaleza de la probabilidad experimental, que requiere de la utilización de calculadoras u ordenadores para su cálculo, se desarrolla también el uso de herramientas tecnológicas, en lo que concierne a hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales.

Competencia para aprender a aprender Los problemas relacionados con la probabilidad tienen en común precisamente su disparidad de contextos, lo que con frecuencia obliga al alumno a reflexionar y elaborar estrategias fuera de los esquemas predefinidos. Así, se trabaja la competencia para aprender a aprender en su aspecto de construcción del conocimiento, en concreto a través de sus vertientes de ser capaz de aplicar nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos y potenciar el pensamiento creativo propio.



4

Unidad 14

Probabilidad



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Lingüística

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae datos de una lectura, determina cuáles son relevantes y los emplea en la resolución de problemas reales. Desarrolla tus competencias. Actividades 14 y 22 Pon a prueba tus competencias.

Matemática



Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).




– Calcula probabilidades de forma experimental y teórica. – Sabe aplicar la probabilidad para comprender, operar e interpretar problemas concretos de la realidad. Toda la unidad – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Pon a prueba tus competencias.


Aprender a aprender


– Domina los principales conceptos de probabilidad.


Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales.

– Utiliza Excel y la calculadora como herramienta para calcular probabilidades.

Ser capaz de aplicar nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos.

– Reflexiona y desarrolla estrategias fuera de los esquemas predefinidos para resolver problemas relacionados con probabilidad.



Actividades 4 a 6 y 14 Potenciar el pensamiento creativo propio.

Innovación.

Actividades 49 y 50


Pon a prueba tus competencias. Aprende a pensar con matemáticas.

– Resuelve problemas no guiados que requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas

Probabilidad

Unidad 14

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: “Desarrolla tus competencias”, actividad 17, “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.



– N.º 4. Proporcionalidad, funciones y estadística. Unidad III Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 14. Probabilidad • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 4: Estadística y probabilidad – Unidad II. Probabilidad • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II www.smconectados.com

Internet

SM


Otros

Probabilidad en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatmrd15

Otros materiales

• Dados, monedas, cartas, chinchetas y otros elementos para realizar experimentos aleatorios empíricos.

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Unidad 14

• Calculadora científica para generar números aleatorios. • Hojas de cálculo como Excel para simular experimentos mediante números aleatorios. • Noticias extraídas de la prensa que favorezcan la posible valoración crítica de situaciones relacionadas con el azar y la probabilidad.

Probabilidad

Sugerencias didácticas Entrada La entrada de esta unidad debe servirnos como recordatorio de las nociones elementales de probabilidad que los alumnos ya tendrán de cursos anteriores. También debe resultarnos un medio para introducir los elementos clásicos que solemos utilizar para comprender los conceptos probabilísticos (dados de diferentes formas con resultados equiprobables). A lo largo de toda la unidad será interesante disponer de este tipo de dados para comprobar experimentalmente algunos de los conceptos. En la entrada también se pide a los alumnos que respondan a cuestiones para las que aún no tienen las herramientas rigurosas. Con esto se pretende motivar que lleguen de manera informal a conceptos como espacio muestral, probabilidad o experimento compuesto. Durante la unidad volveremos sobre estos conceptos con más rigor matemático y podremos pedir entonces a los alumnos que echen un nuevo vistazo a la entrada, que les parecerá ya casi trivial. Por último, la aproximación a la probabilidad, tanto en la entrada como en toda la unidad, intenta ser lúdica dentro de lo posible, para que resulte cercana a los alumnos y despierte su interés.

Desarrolla tus competencias Estas actividades están concebidas para ser realizadas por parejas y su intención es trabajar de forma lúdica e intuitiva el concepto de probabilidad en sucesos simples y compuestos. Al tratarse de un juego, es esperable que los alumnos sientan curiosidad y quieran dar con la estrategia óptima. Para ello, probablemente escriban todos los resultados posibles y cuenten a mano cuáles son más frecuentes, lo que no es otra cosa que la ley de Laplace sin formalizar. Si no recuerdan qué es un diagrama de árbol, podemos ayudarles dándoles una indicación sencilla al respecto. Aunque quizá parezca que la inversión de tiempo es grande, puede bastar jugar durante cinco minutos y reflexionar durante otros diez para que un grupo con un nivel no muy elevado se introduzca de manera informal en los conceptos de la probabilidad y esté más predispuesto a afrontar la unidad. Mejor que realizar los juegos imaginariamente es jugarlos en la realidad; el deseo de hallar la estrategia óptima es una inversión de tiempo que hará que no olviden lo que hayan aprendido. Por último, para trabajar su competencia lingüística es recomendable que dejemos que los alumnos lean las instrucciones por sí mismos, las interpreten y las pongan en práctica. La comprensión lectora es un beneficio competencial que puede trabajarse de manera tangencial en estas actividades.

1. Los experimentos aleatorios • Es aconsejable presentar situaciones aleatorias variadas y relacionadas con las ciencias y la vida cotidiana: juegos de azar, tiempo de espera de un autobús, número de accidentes de tráfico semanales, tiempo atmosférico, efectividad de una vacuna, etc.

• Se pueden proponer situaciones aleatorias en las que el espacio muestral pueda expresarse mediante formas diferentes. Por ejemplo, si se considera la experiencia de lanzar al aire dos monedas, los espacios {dos caras, dos cruces, una cara y una cruz} y {CC, CX, XC, XX} son diferentes, aunque los dos pueden ser considerados como espacios muestrales. La importante diferencia es que el segundo será mucho más adecuado para, en epígrafes posteriores, poder cuantificar la facilidad o dificultad de que un determinado suceso ocurra. • Es importante que al concluir este epígrafe los alumnos hayan formalizado los conceptos de experimento aleatorio (y previsible o determinista, por oposición), suceso elemental y compuesto, resultado, espacio muestral, caso posible y caso favorable. Con estos conceptos bien asimilados formalmente, el resto de la unidad resultará sencilla. 4 a 6. En estas actividades pretendemos que los alumnos vayan más allá de los cálculos matemáticos habituales y reflexionen sobre los conceptos que están aprendiendo. En la actividad 5, por ejemplo, un alumno puede quedarse en algo tan simple como “es cierto” o avanzar hacia una respuesta más elaborada, como establecer un paralelismo con la lotería (cuando compras un décimo, tienes dos posibilidades: que te toque o que no te toque), que se pregunte cuál es la probabilidad de cada resultado y que casi llegue a la noción de esperanza matemática. En todo caso, lo que debemos valorar es el proceso de pensamiento de los alumnos, más que la corrección del resultado final de la reflexión. Con todo ello habremos trabajado la competencia de aprender a aprender. 22. Aquí trabajaremos la competencia lingüística, al interpretar los enunciados textuales, interpretarlos y convertirlos en experimentos sobre los que se pueden afirmar o negar propiedades matemáticas. Es interesante analizar los casos en los que se equivoquen respecto a la respuesta esperada. ¿Se deben al desconocimiento del concepto matemático, o más bien a una mala comprensión lingüística? Si es así, ¿hay ambigüedad en el enunciado? Más allá de las matemáticas, lo importante, desde el punto de vista competencial, es evaluar la comprensión lingüística de los alumnos.


1 a 3, 7 y 22 a 24

Medias

4a6

2. Probabilidad experimental • Los alumnos deben comprender que existen muchas situaciones en las que no podemos calcular la probabilidad de forma analítica, debido a que no se puede contar con un espacio muestral de sucesos equiprobables, y, por tanto, se deben buscar otras formas de asignar probabilidades a los sucesos aleatorios. Este es, en realidad, el caso más frecuente cuando se utiliza la probabilidad en aplicaciones industriales.

Probabilidad

Unidad 14

7


• Las frecuencias relativas de un suceso, cuando el experimento se ha realizado un número suficientemente grande de veces, pueden ser utilizadas como probabilidades. Interpretando la ley de los grandes números de forma experimental, podemos definir la probabilidad de un suceso como el límite de su frecuencia relativa al repetir el experimento un número infinito de veces. Esta aproximación empírica es muy visual, pero necesita ser acompañada de ejemplos concretos, como el ejercicio resuelto 5. • El núcleo de contenidos correspondientes a la obtención de números aleatorios y la simulación de experimentos no es necesario que sea considerado como básico. Sin embargo, es interesante que los alumnos vean ejemplos de simulación de experimentos que permiten asignar probabilidades y que conciban la probabilidad de esta manera. 49 y 50. Estas dos actividades aprovechan los contenidos del epígrafe para trabajar la competencia digital, tanto el uso de la calculadora como la hoja de cálculo. Es importante que los alumnos las realicen, porque en la práctica son la base para el cálculo de probabilidades en la vida real y constituyen el precursor de las simulaciones de Montecarlo. En este caso, por tanto, el trabajo de la competencia digital tiene una aplicación inmediata a la vida cotidiana; debemos llamar su atención sobre esta forma de calcular probabilidades simuladas para que puedan realizar experimentos más complejos sin necesidad de tirar un dado o una moneda un millar de veces.


8, 9 y 25 a 27

Medias

10 y 48 a 50

3. Ley de Laplace. Aplicaciones • En este epígrafe se desarrolla uno de los contenidos clave del tema: la regla de Laplace y su aplicación. Es muy importante que los alumnos asuman que, para poder aplicar esta regla, se debe tener la absoluta seguridad de que los sucesos elementales que integran un determinado espacio muestral son equiprobables. • El profesor puede valorar, en función del nivel de sus alumnos, la conveniencia de hacer ver que la utilización de la regla de Laplace como definición de probabilidad entraña una importante dificultad: en la propia definición se utiliza la palabra equiprobable. Sin embargo, es evidente que se trata de un buen procedimiento que permite asignar probabilidades teóricas. • En este epígrafe también se aborda la posibilidad de aplicar la ley de Laplace a sucesos no equiprobables reformulando los sucesos para que cumplan esta condición, como en el ejercicio resuelto 7. Debemos llamar la atención de los alumnos sobre esta posibilidad, que no siempre estará disponible, pero que debe hacerles reflexionar sobre cómo se escogen los sucesos en experimentos más complejos. 14. En línea con las actividades 4 a 6, esta ha sido concebida para trabajar la competencia lingüística (puesto que los alumnos deben leer e interpretar correctamente lo que les preguntamos) y, sobre todo, la de aprender a aprender. La actividad los invita a una reflexión sobre 8

Unidad 14

Probabilidad

lo aleatorio de la meteorología, y debería conducirles al pensamiento de que no todo lo medible es predecible. Ante todo, debemos evaluar su proceso de razonamiento y evaluar su capacidad de argumentar con coherencia sobre la relación entre las matemáticas que están estudiando y su aplicación a la vida real, en este caso a la meteorología.


11 a 13, 15, 17 y 28

Medias

14 y 16

4. Experimentos aleatorios compuestos • Conviene caracterizar los experimentos compuestos como la repetición de experimentos simples. Esto facilita a los alumnos la comprensión de la regla del producto. • La utilización de los diagramas de árbol para describir los experimentos compuestos se vuelve una herramienta indispensable para la comprensión de los contenidos. Debemos insistir en que los alumnos los construyan en casos simples, para que se acostumbren a su uso. • También debemos proponer ejemplos de experimentos compuestos en que los sucesos sean independientes, de forma que la regla del producto sea aplicable directamente. En este nivel no es necesario definir el concepto de independencia, únicamente debemos limitarnos a ser cuidadosos con los ejemplos.


18 a 21 y 29 a 37

Medias

38 a 47, 49 y 50

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, dado el carácter incremental de los conocimientos que se presentan en los cuatro epígrafes, las actividades 29 a 50 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Pon a prueba tus competencias Como una de las aplicaciones más intuitivas y sencillas de la probabilidad para los alumnos, manteniendo la línea de la unidad se han escogido los juegos como contexto para esta sección. La novedad respecto a la unidad es que se introducen los conceptos de ganancias y pérdidas, y mediante ellos, la


esperanza matemática. Para mantener un enfoque adecuado a la edad de los alumnos, es importante que enfaticemos que en todos los juegos de azar sin excepción la esperanza matemática es negativa; es decir, el juego a la larga acarrea pérdidas. Los juegos ficticios que se plantean en las primeras actividades están diseñados para que comprendan el concepto de esperanza matemática y es preferible resolverlos por equipos y de manera teórica. De este modo, además de la competencia matemática, estaremos desarrollando el trabajo colaborativo. Las actividades 4 a 6 aluden a casos reales o posibles: una quiniela, la ruleta y un sorteo. Recomendamos, si es posible, reforzar la resolución teórica de estas actividades utilizando una hoja de cálculo para simular resultados. Así podremos, por ejemplo, calcular las pérdidas previsibles al jugar 10.000 veces a la ruleta, extendiendo la actividad 5 b. Con ello estaremos trabajando al tiempo la competencia digital y reforzando la idea de que “la banca gana”. (Nota: En la ruleta hay que prestar atención: si gana el jugador, su ganancia no es de 360 euros, sino de 350, porque hay que restar la apuesta de 10 euros que ha realizado. Si no lo hacemos, la esperanza matemática saldría igual a 0, lo que no es cierto.) La actividad 6 se puede reformular de varias maneras para adaptarla a una realidad cercana al caso particular de nuestros alumnos: si quieren irse de viaje de fin de curso y van a vender papeletas, deben calcular la esperanza matemática para saber de qué margen real disponen. Podemos retarlos a que elaboren sistemas cada vez más complejos, con premios de diferentes valores, y que calculen en cada caso la esperanza matemática y, como consecuencia, el beneficio que obtendrían al realizar el sorteo. Es especialmente interesante el caso de los premios desiertos (como el 0 en la ruleta), porque alteran la esperanza de forma muy llamativa.

En suma, debemos aprovechar esta actividad para que los alumnos agudicen el ingenio, pero planteando los juegos en equipo hábilmente para que sean colaborativos y no competitivos. Si lo hacemos así, el desarrollo competencial puede ser muy provechoso tanto desde el punto de vista matemático como desde el digital, el social o el de trabajo en equipo.




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9


Probabilidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En un primer momento, comprender los conceptos relacionados con el cálculo de probabilidades puede entrañar cierta dificultad para gran parte de los alumnos. Es conveniente, por tanto, proponer situaciones muy sencillas que permitan asimilar las nociones de forma correcta. En este sentido, se propone el siguiente guión para trabajar con los alumnos que no han comprendido, en parte o en su totalidad, el desarrollo de la unidad. • Distinguir de forma clara los experimentos que son aleatorios de los que no lo son. • Establecer espacios de sucesos equiprobables. • Aplicar la regla de Laplace para asignar probabilidades teóricas. • Asignar probabilidades experimentales cuando no es posible aplicar la regla de Laplace.

ACTIVIDAD DE GRUPO Calcular una probabilidad experimental Se divide la clase en grupos de tres alumnos y se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar cinco monedas al aire. El objetivo es asignar la probabilidad a los sucesos: A: obtener todo caras. B: obtener una sola cara. C: obtener dos caras y tres cruces. Cada grupo realiza el experimento 30 veces y anota en cuántas de ellas ha obtenido cinco caras, en cuántas una cara y cuatro cruces, y en cuántas dos caras y tres cruces. De esta forma, cada grupo asigna probabilidades a cada suceso. Seguidamente se suman los resultados obtenidos por todos los grupos y se asignan nuevas probabilidades. a) ¿Qué probabilidades serán más exactas? ¿Las de los grupos? ¿Las del total de la clase? ¿Por qué? b) A la vista de los resultados y sin necesidad de lanzar más veces las monedas, ¿qué probabilidad asignaríais a los siguientes sucesos? D: obtener tres caras y dos cruces. E: obtener cuatro caras y una cruz. F: obtener todo cruces. c) ¿Cuánto suman las probabilidades de los sucesos A, B, C, D, E y F? ¿Por qué?

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) No aleatorio d) Aleatorio

b) Aleatorio

c) No aleatorio

e) No aleatorio

f) Aleatorio

g) Aleatorio 1 c) P(Apr.) = 0,75 3 3. a) Lo más probable es que 980 ordenadores sean correctos. P(c) = 0,98. 2. a) P(Chica) = 0,5

b) P(Atlet.) =

b) Lo más probable es que 995 ordenadores funcionen. P(f) = 0,995. 4. 1.ª bolsa: P(b) = 0,5 2.ª bolsa: P(b) = 0,99

5. a)

N.º de lanzamientos

fi

hi

100

25

0,25

200

56

0,28

300

92

0,3067

400

128

0,32

500

165

0,33

b) Se puede asignar la probabilidad experimental: P(verde) =

165 = 0,33 500


10

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Probabilidad



Probabilidad

1. En cada uno de los siguientes casos, indica si se trata de situaciones de tipo aleatorio. a) Medir el área de un cuadrado de 2 cm de lado. b) Lanzar una chincheta sobre la mesa y observar si cae con la punta hacia arriba. c) Medir la masa de una piedra de volumen y densidad conocidos. d) Lanzar un dado tetraédrico (cuatro caras numeradas del 1 al 4) y observar si se obtiene un número inferior a 3. e) Observar el coste de una llamada telefónica sabiendo el tiempo exacto que ha durado. f) Aplicar un tratamiento médico a un fumador con una enfermedad respiratoria y observar si se cura. g) Observar si el primer alumno que entra por la mañana en una clase es chico o chica. 2. Calcula la probabilidad del suceso que se indica en cada uno de los siguientes casos. a) Los alumnos de un colegio son, exactamente, la mitad chicas y la mitad chicos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno al azar sea chica? b) En un grupo de amigos y amigas, la tercera parte hace atletismo; la tercera parte, natación, y la tercera parte, baloncesto. Si se elige un amigo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga atletismo? c) Alejandro se sabe 9 de las 12 preguntas que entran para un examen de Historia. El profesor sorteará una de las preguntas que deberán ser contestadas por los alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que Alejandro apruebe el examen? 3. En una fábrica de montaje de ordenadores, el 98% de los aparatos que se montan son considerados correctos, el 1,5% tiene un pequeño defecto que no impide su correcto funcionamiento y el 0,5% restante tiene un defecto que los hace inservibles. Durante un mes se han fabricado 1.000 ordenadores. a) ¿Cuántos ordenadores cabría esperar que fuesen totalmente correctos? En consecuencia, ¿cuál es la probabilidad de que elegido un ordenador al azar sea totalmente correcto? b) ¿Cuántos ordenadores cabría esperar que funcionasen? En consecuencia, ¿cuál es la probabilidad de que elegido un ordenador al azar funcione? 4. Una bolsa contiene una bola blanca y una bola negra, y otra bolsa contiene cien bolas blancas y una negra. Se extrae una bola de cada bolsa. ¿Es igual la probabilidad de extraer bola blanca en ambas bolsas? Indica el valor de las dos probabilidades. 5. Se mueve la aguja de la ruleta de la figura. Se anotan las frecuencias absolutas del suceso “salir color verde” después de 100, 200, 300, 400 y 500 lanzamientos, y se obtiene la siguiente tabla.

Blanco Verde Rojo Azul

Frecuencia absoluta

100

25

200

56

300

92

400

128

500

165

Frecuencia relativa


Negro

Número de lanzamientos

a) Completa la tabla. b) ¿A qué número tiende la probabilidad del suceso “obtener color verde”?

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Como actividades que se pueden proponer a los alumnos con un mayor dominio de los contenidos y procedimientos de esta unidad, se pueden citar: • Determinar espacios muestrales algo más complicados. • Situaciones de dos extracciones en las que haya que escribir, de forma previa, todas las posibilidades que se pueden dar y distinguiendo entre extracciones con reemplazamiento y extracciones sin reemplazamiento. • Utilizar la interpretación frecuentista de la probabilidad para determinar la composición esperada de un espacio muestral. • Aplicar, en casos algo más complicados o en diferentes contextos, la regla de Laplace. • Plantear alguna situación más en la que se deba identificar la frecuencia relativa con la probabilidad.

ACTIVIDAD DE GRUPO Loterías y Apuestas del Estado Podemos sacar un poco de la rutina al grupo proponiendo a los alumnos que mayores capacidades hayan desarrollado el estudio de las probabilidades de ganar en algunos de los juegos de azar más conocidos e institucionalizados: • Quiniela • Primitiva • Lotería nacional Para ello deberemos explicar al grupo la mecánica de cada uno de estos juegos. Posteriormente, también deben hacer una comparativa entre el precio de la apuesta, el premio y la probabilidad del mismo, y, utilizando lo aprendido en la sección “Pon a prueba tus competencias”, calcular su esperanza matemática.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) {0, 1, 2, 3}. No son equiprobables. b) {CC, CX, XC, XX}. Son equiprobables. 1 4 b) P(BB) = 3 9 c) Experimento equivalente al de a.

2. a) P(BB) =

3. a) {CCC CCX CXC XCC XXC XCX CXX XXX} 4 b) P (Al menos dos caras) = = 0,5 8 4. a) Se espera que se introduzcan en la nueva bolsa 9 bolas blancas, 27 negras y 36 amarillas. b) P(B) =

9 = 0125 , 72

c) P(N ∪ A) =

63 = 0,875 72

d) Suman 1, ya que se trata de dos sucesos contrarios.

6 15 ; P(S < 7) = P(S > 7) = 36 36 15 bolas blancas, 15 negras y 6 verdes. 15 6 21 b) P(B ) = P(S < 7 ∪ S = 7) = + = 36 36 36

5. a) P(S = 7) =

6. a) Hay 50 provincias más Ceuta y Melilla, de las que 24 24 son costeras. Por tanto: P( A) = = 0,46 52 3 4 b) P(B) = c) P(C) = = 0,058 = 0,077 52 52 7. a) Cuadrados perfectos.

b)

6 50

10 4 b) P(R) = = 0,25 = 01 , 40 40 1 13 c) P(O ∩ R) = = 0,025 d) P(O ∪ R) = = 0,325 40 40 P(O) + P(R) − P(O ∩ R) = 0,25 + 01 , − 0,025 = P(O ∪ R)

8. a) P(O) =


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Probabilidad



Probabilidad

1. a) Escribe todos los sucesos elementales del espacio muestral correspondiente a observar el número de caras obtenidas al lanzar al aire tres monedas. ¿Se trata de un espacio de sucesos equiprobables? b) Escribe todos los sucesos elementales del espacio muestral correspondiente a observar los resultados obtenidos al lanzar al aire una moneda dos veces. ¿Se trata de un espacio de sucesos equiprobables? 2. Una bolsa contiene dos bolas blancas y una negra. Calcula la probabilidad de que al extraer dos de ellas resulten ser las dos blancas en los siguientes casos. a) Las extracciones se realizan sin reemplazamiento, es decir, después de extraer la primera bola, se extrae la segunda sin devolver la primera extraída a la bolsa. b) Las extracciones se realizan con reemplazamiento, es decir, después de extraer la primera bola, se devuelve a la bolsa y a continuación se extrae la segunda. c) La extracción se realiza de una sola vez, es decir, se extraen las dos bolas a la vez. 3. En el experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces, se pide: a) Determinar el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos dos caras? 4. En un saco hay muchas bolas blancas, negras y amarillas en una proporción 1 : 3 : 4. Se sacan al azar 72 bolas y se introducen en una bolsa más pequeña. Seguidamente se saca una bola de la bolsa pequeña. a) ¿Qué composición de bolas se espera que haya en la nueva bolsa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea negra o amarilla? d) ¿Cuánto suman las probabilidades de los sucesos correspondientes a los dos apartados anteriores? ¿Por qué? 5. Se lanzan dos dados sobre la mesa. Si la suma de las puntuaciones obtenidas es superior a 7, se introduce en una bolsa una bola blanca; si la suma es inferior a 7, se introduce una bola negra, y si es exactamente igual a 7, se introduce una bola verde. Se realiza este experimento 36 veces, de forma que se tienen 36 bolas en la bolsa. Finalmente, se extrae una bola de la bolsa. a) ¿Cuál es la composición esperada de la bolsa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída no sea blanca? 6. Utiliza un mapa de España para resolver el siguiente ejercicio. Se elige al azar una de las provincias españolas. Se supone que entran en el bombo todas las provincias más las ciudades de Ceuta y Melilla. a) Calcula la probabilidad de que la provincia sea costera. b) Calcula la probabilidad de que la provincia pertenezca a un archipiélago. c) Calcula la probabilidad de que la provincia pertenezca a una comunidad autónoma formada por dos provincias. 7. a) Escribe cinco números que tengan exactamente tres divisores. ¿Qué propiedad cumplen todos ellos? b) Se elige un número entero positivo menor o igual que 50. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente tres divisores?

a) O: “Salir oro”

b) R: “Salir rey”

c) O ∩ R


8. Se extrae al azar una carta de una baraja española. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos. d) O ∪ R

Compara los resultados de P(O ∪ R) y de P(O) + P(R) − P(O ∩ R).

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APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles no. a) En una bolsa hay monedas de uno y dos euros. Extraer tantas monedas como sean necesarias hasta que aparezca, por primera vez, una de dos euros. b) Observar el tiempo que transcurre entre la llegada de dos autobuses consecutivos a una parada. c) Calcular la distancia que recorre una bicicleta sabiendo que sus ruedas, que tienen 65 centímetros de radio, han dado 100 vueltas completas. 2. Una bolsa contiene tres bolas blancas y una negra. Se extraen de una vez dos bolas y se observa su color. Explica la razón por la que se trata de una experiencia aleatoria y escribe su espacio muestral. 3. En una clase hay 15 chicas y 10 chicos, y se quiere elegir al azar a uno de ellos como representante. Interesa saber si el representante elegido es chico o chica. a) ¿Crees que el espacio muestral {chico, chica} es un espacio de sucesos equiprobables? b) Escribe un espacio muestral de esta experiencia aleatoria que sea de sucesos equiprobables. 4. Para cada una de las siguientes experiencias aleatorias, indica un ejemplo de suceso seguro, uno de suceso imposible y un ejemplo de una pareja de sucesos contrarios. a) En un grupo de tres chicas y dos chicos, elegir al azar tres de ellos. b) Lanzar al aire tres monedas. 5. Se lanza un dado al aire y se consideran los siguientes sucesos. A: “Obtener un múltiplo de 2”

B: “Obtener un múltiplo de 3”

Escribe los sucesos elementales que corresponden a cada uno de los siguientes sucesos. a) A

b) B

c) A

d) B

e) A ∪ B

f) A ∩ B

g) A ∩ B

6. Se mueve la aguja de la ruleta que aparece en la figura. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a) Obtener un número par y azul. b) Obtener un número impar y blanco. c) Obtener un número impar o azul. d) Obtener un número par o blanco.

h) A ∩ B 11

12 1

10 9

2

8

3 4

7 6

5


7. Al pasar la inspección técnica de vehículos (ITV) de un coche con ocho años de antigüedad pueden darse tres situaciones: que sea considerado adecuado para la circulación, con probabilidad 0,72; que tenga un pequeño defecto que no le impide circular, con probabilidad 0,15, y que sea rechazado por tener un defecto grave que le impide circular.

14

a) Calcula la probabilidad de que se dé este último caso. b) Calcula la probabilidad de que el coche no sea rechazado. 8. En una caja hay bolas blancas y negras. Sabiendo que hay el doble de blancas que de negras, calcula la probabilidad de que al extraer una bola resulte ser negra.

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Probabilidad


Probabilidad

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Es un experimento aleatorio, ya que, a priori, no se puede conocer su resultado. b) Experimento aleatorio. c) Sin necesidad de realizar físicamente el experimento, se puede calcular su resultado mediante fórmulas matemáticas. No es un experimento aleatorio. 2. Se trata de una experiencia aleatoria, ya que no se puede predecir su resultado.

{

}

Un espacio muestral de sucesos no equiprobables podría ser: BB, BN .

{

}

Un espacio muestral de sucesos equiprobables podría ser: B1B2 , B1B3 , B2B3 , B1N, B2N, B3N . 3. a) {Chico, chica} no es un espacio de sucesos equiprobables, ya que las probabilidades de elegir chico o chica son diferentes debido a que no hay el mismo número de cada sexo. ⎪⎧⎪ Chica1 ⎪⎪ ⎪⎪ Chica6 b) Un espacio de sucesos equiprobables podría ser: ⎨ Chica11 ⎪⎪ ⎪⎪ Chico1 ⎪⎪ Chico6 ⎪⎩

Chica2 Chica7 Chica12 Chico2 Chico7

Chica3 Chica8 8 Chica13 Chico3 Ch hico8

Chica4 Chica9 Chica14 Chico4 Chico9

Chica5 ⎪⎫⎪ ⎪ Chica10 ⎪⎪ ⎪ Chica a15 ⎬ ⎪ Chico5 ⎪⎪⎪ Chico10 ⎪⎪⎪⎭

4. a) Suceso seguro: que haya al menos una chica. Suceso imposible: que los tres sean chicos. Sucesos contrarios: que las tres sean chicas y que al menos haya un chico. b) Suceso seguro: número de caras diferente al de cruces. Suceso imposible: número de caras igual al de cruces. Sucesos contrarios: que haya tres caras y que al menos haya una cruz.

{

}

{ }

5. a) A = 2, 4, 6

{

b) B = 3, 6

}

e) A ∪ B = 2, 3, 4, 6

{}

f) A ∩ B = 6

{

}

{

c) A = 1, 3, 5

{

}

d) B = 1, 2, 4, 5

}

g) A ∩ B = 1, 2, 3, 4, 5

{ }

h) A ∩ B = 1, 5

6. a) P( A) =

Casos favorables 2 1 = = = 0167 , 12 6 Casosposibles

b) P(B) =

Casos favorables 3 1 = = = 0,25 12 4 Casosposibles

c) P(C) =

Casos favorables 8 2 = = = 0,667 Casosposibles 12 3

d) P(D) =

Casos favorables 9 3 = = = 0,75 Casosposibles 12 4

7. A: Adecuado para circular

B: Con pequeño defecto

C: Con defecto grave

P( A) = 0,72 ; P(B) = 0,15 a) P(C) = 1 − P( A) − P(B) = 1 − 0,72 − 015 , = 013 , b) P(No searechazado) = 1 − P(C) = 1 − 013 , = 0,87 1 2 , P(B) = 3 3 Página fotocopiable

8. P(B) = 2P(N); P(B) + P(N) = 1 ⇒ 3P (N) = 1 ⇒ P(N) =

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Guia 3o Secundaria Matematicas

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