Guia 2o Secundaria Matematicas

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

1

ESO

Números enteros

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula Unidad 1

Números enteros

Desde un punto de vista histórico, la formalización del concepto de número negativo ha sido un proceso de lentitud sorprendente. Los árabes aprendieron de los hindúes las reglas para operar con enteros, pero no los consideraban números, sino restas indicadas. En Europa no aparecen hasta el siglo XV, y aún no se reconocen como números. Se aceptaba la existencia de cantidades negativas que se definían por oposición a la positiva, pero los números solo podían ser positivos. Euler, en el siglo XVIII, es el primero en darles estatus de números al tratar de demostrar que (−1) ⋅ (−1) = 1. Este hecho parece sugerir que el concepto de número entero no es intuitivo, y, por tanto, deberá tratarse con detenimiento para que los alumnos se familiaricen progresivamente con él. Partimos de la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales para describir situaciones en las que existe un nivel de referencia al que asignamos el cero. Se recuerda a los alumnos la representación de los números enteros en la recta numérica, lo que suelen asimilar con facilidad, y permite introducir de forma intuitiva los conceptos de números opuestos y valor absoluto, así como la relación de orden. Después abordamos las operaciones elementales, en las que los alumnos encuentran muchas dificultades, ya que su proceso entra en contradicción con los procedimientos de cálculo que han mecanizado tras muchos cursos operando con naturales. Resulta útil insistir en el cálculo mental, realizando muchos ejercicios sencillos que contribuyan a que adquieran destreza. Una vez que los alumnos sean capaces de realizar correctamente los cálculos más sencillos se pasará a la realización de operaciones combinadas, para lo cual recordaremos la jerarquía de las operaciones que ya aplicaron el curso pasado con los números naturales. Por supuesto, no podemos olvidar la importancia de dotar de significación a los conceptos introducidos a través del análisis de situaciones reales y la resolución de problemas de contexto que contribuyan a la adquisición de competencias.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Adquirir soltura en la realización de las operaciones elementales con números enteros.

1.1 Identificar números enteros reconociendo sus características fundamentales: signo y valor absoluto.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.2 Ordenar y comparar números enteros. 1.3 Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con enteros. 1.4 Realizar operaciones combinadas con enteros, respetando la jerarquía de las operaciones y expresando correctamente el proceso de resolución. 2. Reconocer la necesidad de utilizar los números enteros para describir situaciones y resolver problemas.

2.1 Interpretar el significado del cero y de los números positivos y negativos en diferentes situaciones de la vida cotidiana.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

2.2 Resolver problemas en los que intervengan números enteros, utilizando, si es necesario, la representación en la recta de datos y soluciones.

CONTENIDOS

2

• Números enteros

• Suma de números enteros

• Representación en la recta numérica

• Resta de enteros

• Opuesto de un número entero

• Multiplicación de números enteros

• Valor absoluto de un número entero

• División exacta de números enteros

• Comparación de números enteros

• Operaciones combinadas con números enteros

Unidad 1

Números enteros

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Todos los contenidos de esta unidad han sido estudiados en el primer curso, aunque probablemente no estén asimilados por la mayoría de los alumnos. Sí debemos asegurarnos, para empezar, de que reconocen situaciones en las que se emplean los números enteros y que saben representarlos en la recta numérica. Por otro lado, deben recordar la jerarquía de las operaciones, que en el primer curso han aplicado fundamentalmente en operaciones con naturales.

2. Previsión de dificultades Algunos alumnos encuentran dificultades en la ordenación de números negativos, pero, en general, lo que más difícil les resulta es la suma y la resta de números con distinto signo.

3. Vinculación con otras áreas Los números enteros aparecen como base en los cálculos de todas las ciencias tanto naturales como sociales; por ejemplo, en física, en el estudio de movimientos en sentidos opuestos o en las escalas de temperatura; en química encontramos iones positivos y negativos; en geografía, en la medida de altitudes y profundidades y en el empleo de coordenadas; en historia, en las fechas antes y después de Cristo, etcétera.

4. Esquema general de la unidad

En el primer epígrafe se definen los números enteros y se representan sobre la recta numérica. A partir de dicha recta se introducen de forma intuitiva los conceptos de números opuestos y valor absoluto, así como la comparación y ordenación de enteros. En el siguiente epígrafe se recuerdan las reglas para sumar y restar enteros, y la simplificación de paréntesis.

Números opuestos

NÚMEROS ENTEROS

Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone situaciones reales para reflexionar sobre los distintos significados del cero como ausencia de una magnitud o como origen de una escala y sobre la necesidad del empleo de números negativos.

Por último, se repasa la regla de los signos para multiplicar y dividir enteros, y la jerarquía de las operaciones para realizar operaciones combinadas.

Representación en la recta numérica

Valor absoluto Comparación de enteros

Reglas Operaciones básicas Jerarquía

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias. Números enteros 2.ª y 3.ª Suma y resta de números enteros 4.ª Multiplicación y división de números enteros 5.ª y 6.ª Operaciones combinadas con números enteros 7.ª y 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª y 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Números enteros

Unidad 1

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y resolución de problemas.

Competencia para la interacción con el mundo físico A través de la aplicación de los números enteros a diversas situaciones de la vida cotidiana se trabaja la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos, y, al relacionarlos con diversos entornos naturales, la de medio natural y desarrollo sostenible. Asimismo, al estudiar la aplicación de los números enteros a la medición del tiempo y la física se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadana Esta competencia se trabaja utilizando los números enteros para comprender varios contextos económicos y financieros, como el ahorro familiar, la Bolsa o los movimientos en una cuenta corriente. Se trabaja así la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Con las actividades de razonamiento sobre la aplicación de los números enteros a contextos nuevos se desarrolla la subcompetencia de construcción del conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de juegos matemáticos de aprendizaje de las operaciones de números enteros desarrolla esta competencia, por cuanto potencian el trabajo en equipo, que se enmarca en la subcompetencia de liderazgo.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

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Unidad 1

Números enteros


TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis, conocer y aplicar de manera eficaz las reglas de funcionamiento del sistema de la lengua.

– Reflexiona sobre los términos “natural”, “entero” y “relativo” y expresa su opinión. Actividad 20 – Comprende la utilización de las letras para designar números. Pon a prueba tus competencias 56

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.

– Relaciona la medida del tiempo con las matemáticas y lo expresa utilizando números enteros. Pon a prueba tus competencias 60

Seguir determinados procesos de pensamiento (como la inducción y la deducción).

– Comprende la estructura del sistema de numeración romano y razona sobre ella. Actividad 56

Resolución de problemas

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

– Opera con números enteros. Toda la unidad – Aplica los números enteros a distintos contextos para resolver problemas cotidianos. Desarrolla tus competencias Actividades 7, 12, 21, 28 a 32 y 50 a 55 Pon a prueba tus competencias 58 y 59

Aplicación del método científico en diferentes contextos

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Utiliza los números enteros para explicar diferentes fenómenos de la ciencia y la vida cotidiana. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 7, 12, 21 y 50 a 55 Pon a prueba tus competencias 58 a 61

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Comprende la importancia de los números enteros en la numeración y la medición del tiempo. Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias 56 y 60

Medio natural y desarrollo sostenible

Adquirir un compromiso activo en la conservación de los recursos y la diversidad natural.

– Valora la importancia de varios entornos por su antigüedad, altitud, etc., utilizando enteros. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 50, 53 y 54

Social y ciudadana

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos

Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, modos de organización y funcionamiento.

– Comprende la relación entre los números y la economía, tanto en un nivel doméstico como en una perspectiva más amplia. Actividades 7, 12, 21 y 52

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net Actividades 18 y 49. Interactivos, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red. Pon a prueba tus competencias

Construcción del conocimiento

Ser capaz de aplicar nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos.

– Aplica los números enteros a problemas de razonamiento y demuestra conocimiento de la importancia del número cero. Pon a prueba tus competencias 58 y 59

Liderazgo

Saber organizar el trabajo en equipo: gestionar tiempos y tareas.

– Juega en equipo con deportividad, controlando el tiempo y con espíritu de cooperación y aprendizaje. Aprende a pensar con matemáticas

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

Reflexión sobre el lenguaje

Razonamiento y argumentación

Matemática

Interacción con el mundo físico

Aprender a aprender

Autonomía e iniciativa personal

Números enteros

Unidad 1

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural: actividad 20 • Educación para la salud: actividad 51 • Educación para la convivencia: Aprende a pensar… con matemáticas, Juego de la espiral

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 3: Números enteros. Ecuaciones Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO SM

– Unidad 2. Números enteros • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 1: Divisibilidad. Números enteros – Unidad II. Números enteros • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas – “Aprende a no perder puntos” y “Las cuentas claras”

Otros

Internet

SM

• Capítulo “La segunda noche” de El diablo de los números, de H. M. Enzensberger. Editorial Siruela www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd01

Otros

Páginas de ejercicios interactivos: www.e-sm.net/2esomatmrd02

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatmrd03

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Unidad 1

• Dominós con operaciones y resultados • Cartas de números para ordenar y operar con números enteros de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur • Cartas ¿Quién tiene…?, de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur

Números enteros

Sugerencias didácticas Entrada Tanto el texto de entrada como las actividades de la sección “Desarrolla tus competencias” ilustran situaciones de aplicación de los números enteros en contextos reales, lo que contribuye a que nuestros alumnos desarrollen la competencia para la interacción con el mundo físico (subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos) y la competencia matemática (subcompetencia de resolución de problemas). Proponemos realizar las actividades de ambas secciones de forma oral, para no tener que invertir demasiado tiempo, ya que, tal como se ha indicado en la temporalización, sugerimos estudiar el primer epígrafe en la misma sesión. En cuanto a la entrada, se pueden pedir uno o dos voluntarios para leer el texto y las cuestiones en voz alta, así como para contestar. La primera actividad les guía para que expresen distancias empleando números positivos y negativos, lo que seguramente harán sin dificultad, pues están familiarizados con este tipo de ejercicios. En la segunda actividad se les pide que citen otras dos situaciones en las que se empleen números con signo. Se puede hacer una puesta en común a modo de lluvia de ideas y después guiarles para que reflexionen sobre lo que tienen en común todas estas situaciones, que es la existencia de un nivel de referencia al que asignamos el cero. El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias Como estas actividades son algo más complejas, si queremos resolverlas de forma oral, deberemos dar a los alumnos un tiempo para que lean individualmente las actividades y piensen las respuestas antes de hacer una puesta en común. 1. La primera actividad comienza pidiendo a los alumnos que busquen las diferencias entre el sistema de numeración romano y nuestro sistema decimal. Seguramente muchos alumnos solo apunten como diferencia que en uno se utilizan letras y en el otro números. Debemos indicarles que esta no es la diferencia fundamental, pues, al fin y al cabo, tanto letras como números son símbolos, y si ningún alumno aporta la idea, les iremos dando pistas hasta que lleguen al carácter aditivo del sistema romano y al posicional del sistema decimal. Al final de la unidad, en la sección “Pon a prueba tus competencias”, la actividad 56 profundiza en estos conceptos. En el último apartado deben reflexionar sobre el significado que tiene un cero en una determinada posición en un número expresado en el sistema decimal. Se pretende llegar a la idea de que un cero no siempre significa ausencia de una magnitud. 2. Mediante la observación de la regla y el termómetro se pueden ver similitudes y diferencias en cuanto al significado del cero: en ambos, el cero es el origen de una escala, pero al medir longitudes no tiene sentido considerar longitudes negativas, mientras que en el caso de

la temperatura sí, puesto que la referencia tomada es el punto de congelación del agua y existen temperaturas inferiores. El tema de la medición de temperaturas se amplía al final de la unidad con la comparación entre las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvin en la actividad 61 de la sección “Pon a prueba tus competencias”. 3. Nuestra forma de indicar las fechas, tomando como referencia el año del nacimiento de Cristo, permite hacer un paralelismo con el empleo de números enteros, las fechas posteriores a Cristo serían las positivas y las anteriores a Cristo las negativas, con la salvedad de que no existe un año 0. Sobre este tema se profundiza al final de la unidad en la actividad 60 de la sección “Pon a prueba tus competencias”. 4. Esta actividad retoma la medida de altitudes y profundidades tomando como referencia el nivel del agua, que ya se ha tratado en la entrada. La actividad puede enriquecerse pidiéndoles que ubiquen en un mapa el Everest y la fosa de las Marianas.

1. Números enteros • En este epígrafe se pretende formalizar los conceptos que ya han estado empleando de forma intuitiva en las secciones anteriores. El concepto central a partir del cual se introducen todos los demás es la representación en la recta numérica. Se puede comenzar dibujando la recta en la pizarra e indicar sobre ella un número que no sea el 0. A continuación se señalan distintos números y los alumnos tienen que averiguar cuáles son. Conviene que algunos de los números señalados sean opuestos. • Para comprender el significado de opuesto de un número utilizaremos la noción de simetría implícita en la recta numérica. Podemos emplear ejemplos como el siguiente: “Ana y Ángel entran en un edificio. Ana sube hasta la planta 2 y Ángel baja hasta la planta −2: ambos están a la misma distancia de la entrada”. Esta propiedad, la distancia al 0, que es común en los números opuestos, es el valor absoluto. • Para introducir la relación de orden se pueden comparar en primer lugar dos números naturales, viendo que el mayor se encuentra más a la derecha en la recta numérica. A continuación se extiende esta definición a los números negativos. A los alumnos les cuesta asimilar la idea de que entre dos números negativos es mayor el que menor absoluto tiene, por lo que se puede acompañar la explicación con ejemplos que resulten intuitivos: “Un buzo se encuentra a −2 m, y otro, a −4 m. ¿Quién está más arriba?”, o “Pedro debe 4 € y Alberto debe 8 €. ¿Quién tiene más dinero?”. En la realización de ejercicios tenemos que asegurarnos de que los alumnos emplean correctamente los símbolos < y >. Podemos enseñarles el truco de que el lado abierto señala al número mayor.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 4, 22, 24 a 26 y 28 a 31

Medio

5 a 7, 23, 27 y 32

Números enteros

Unidad 1

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Sugerencias didácticas

2. Suma y resta de números enteros • El texto opta por escribir desde el principio los números positivos sin su signo. Esto tiene la ventaja de simplificar las expresiones, pero puede confundir a algún alumno, por lo que sería importante aclararlo con varios ejemplos. • En vez de explicar sin más las reglas para sumar enteros, conviene introducirlas utilizando la recta numérica: sumar gráficamente consiste en situarnos en la recta en la posición del primer sumando y desplazarnos tantas posiciones como indique el valor absoluto del segundo sumando, hacia la derecha si es positivo o hacia la izquierda si es negativo. Podemos acompañar esta interpretación gráfica de la suma con ejemplos. Suele resultar útil la asociación del signo más con “tener” una cantidad de dinero y del signo menos con “deber” una cantidad, por ejemplo: “Si tienes 5 euros y debes 7, puedes cancelar parte de la deuda y aún debes 2 €; por tanto, 5 + (−7) = −2”; “si debes 2 euros a una persona y 3 euros a otra, en total debes 5 euros; por tanto, −2 + (−3) = −5”. • En cuanto a la resta, empezaremos viendo su interpretación gráfica en el caso de resta de naturales con el minuendo mayor que el sustraendo, por ejemplo, 6 − 4. Al plantearlo es importante insistir en que aquí el signo menos está expresando la resta, no el signo del 4, es decir, que estamos restando dos números positivos. Al realizar la resta gráficamente verán que restar cambia el sentido, es decir, que restar es lo mismo que sumar el opuesto: 6 − 4 = 6 + (−4). Después generalizaremos a los demás casos. Para explicar la resta utilizando la asociación de tener o deber dinero, la operación 12 − (−9) se explicaría así: “Si tienes 12 euros y te perdonan una deuda de 9, es como si te estuvieran dando 9 euros para cancelarla”. • A continuación se estudia la simplificación de paréntesis. Para que los alumnos vean que si el paréntesis está precedido de un menos hay que cambiar los signos, es útil resolver la operación de las dos formas posibles: resolviendo primero las operaciones del interior del paréntesis y quitando el paréntesis. • Para afianzar estos contenidos es conveniente realizar muchos ejercicios sencillos para que mecanicen los procedimientos antes de pasar a realizar ejercicios más complicados. Se pueden emplear juegos de cartas, dominós o competiciones de cálculo mental.


8 a 10 y 37

Medio

11, 12 y 33 a 36

3. Multiplicación y división de números enteros • En general, los alumnos recuerdan bien la regla de los signos. Se puede razonar cada caso de la siguiente forma:

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Unidad 1

Números enteros

Ya saben que 2 ⋅ 3 quiere decir sumar el 2 tres veces (2 ⋅ 3 = 2 + 2 + 2 = 6), y que es igual que 3 ⋅ 2 (3 ⋅ 2 = 3 + 3 = 6). Aplicando esto al producto de números de distinto signo: (−2) ⋅ 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 = 2 ⋅ (−3). Como vemos, (−2) ⋅ 3 es el opuesto de 2 ⋅ 3; entonces, (−2) ⋅ (−3) es el opuesto de 2 ⋅ (−3), es decir, 6. • En cuanto a las operaciones combinadas, a pesar de que la jerarquía de las operaciones es la misma que con números naturales, encuentran mucha más dificultad, pues la presencia de los signos menos y los paréntesis asociados les confunde visualmente y prestan menos atención al orden de las operaciones. Conviene comenzar con ejercicios cortos y sencillos, en los que la operación que está escrita en primer lugar no sea la primera que debe realizarse, por ejemplo: −7 + 3 ⋅ 2. Nuevamente los juegos y las competiciones pueden resultar de mucha ayuda para que adquieran destreza.


13 a 15, 38 a 40 y 42

Medio

16 a 21, 41 y 43 a 49

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 50 a 55 son problemas de enunciado que facilitan el desarrollo de competencias, principalmente la lingüística, la matemática y la de interacción con el mundo físico. La actividad 50 puede utilizarse además para introducir la historia de las matemáticas, proponiendo pequeñas investigaciones sobre los matemáticos que cita, lo que suele ser un elemento muy motivador en el aula. La actividad 5 puede ser un buen instrumento para la educación para la salud, ya que debería ir acompañada de una pequeña reflexión sobre los riesgos de las dietas no supervisadas por un médico.

Pon a prueba tus competencias 56. Los sistemas de numeración En cuanto a los contenidos matemáticos, esta actividad trata de afianzar un concepto propio de la unidad, que es el significado e importancia del cero, que también se trabaja en diferentes contextos en las siguientes actividades. Por otro lado, los alumnos van a emplear además un elemento matemático propio de la estadística, el cálculo de la media, para comparar los sistemas de numeración. Dentro de la competencia en la interacción con el mundo físico, la actividad contribuye a la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico, pues los alumnos concluirán que el sistema de numeración decimal es mucho más práctico. Este aspecto podría


complementarse realizando una pequeña investigación sobre el origen histórico del sistema de numeración decimal, lo que es especialmente interesante si tenemos alumnos hindúes o musulmanes en el aula.

que aplicar la fórmula de conversión de Fahrenheit a Celsius, con lo que aparecerán cálculos de cierta complejidad; por esto se aconseja que el alumno la realice por escrito en su cuaderno.

Podemos realizar la actividad por parejas, al menos la lectura y reflexión sobre las preguntas, aunque luego redacten individualmente las respuestas, en clase o en casa.

La investigación sobre los países que emplean la escala Fahrenheit tendrán que realizarla en casa si no se dispone de ordenadores o material bibliográfico adecuado en el aula. Esta actividad tiene el valor añadido de tratar un aspecto intercultural, y también puede dar lugar a una reflexión sobre los inconvenientes de que no se empleen las mismas unidades en todos los países.

57. Diagrama cartesiano Esta actividad puede realizarse de forma oral, salvo el apartado c. Se ve aquí una nueva aplicación de los números enteros, en los diagramas cartesianos. La mayoría de los alumnos recordarán estos conceptos del curso pasado, y suelen resultarles motivadores, pues tienen cierto aspecto lúdico. Encontraremos sin embargo que algunos alumnos confunden el orden de las coordenadas. Esta es una buena ocasión de eliminar dichos errores antes de llegar a la unidad de funciones. 58. Los asientos de un teatro Se retoma aquí la idea de comparar los números enteros con otros códigos que persiguen también indicar posiciones simétricas respecto a un origen. En este caso existe una “posición 0”, pero no un elemento cero, del mismo modo que en las fechas no existe el año cero. La actividad puede realizarse de forma oral, dando a los alumnos un tiempo para leerla y pensar las respuestas antes de ponerlas en común. Si se desea enriquecer la actividad, se pueden numerar los asientos de la clase de las distintas formas que se plantean para los asientos del teatro. 59. Plano de calles Los objetivos que persigue esta actividad son los mismos que en la anterior, y también puede realizarse de forma oral. En este caso se analizan dos formas de numerar las calles dependiendo del lugar elegido como referencia. En una de ellas tiene sentido que haya una calle 0, y en otra no.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indique, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos. En la primera de ellas, por ser un juego en equipo, se está fomentando además la autonomía e iniciativa personal y la educación para la convivencia. Para el juego de la espiral convendría facilitar al alumno el tablero ampliado y plastificado. Es preferible que hagamos nosotros las parejas para que no se junten en ninguna dos alumnos con dificultades.

60. El tiempo cronológico Esta actividad puede realizarse de forma oral, aunque dejando tiempo suficiente al alumno para reflexionar individualmente sobre las diferentes cuestiones y pensar cómo razonar y argumentar sus respuestas. La actividad tiene también un contenido cultural importante por hacer referencia a diferentes personajes y momentos históricos de interés. Se puede incentivar la curiosidad del alumno poniendo como actividad voluntaria documentarse en casa y compartir la información con los compañeros en la siguiente clase. 61. Temperaturas y escalas En esta actividad se trabaja con contenidos de Física: las diferentes escalas de temperatura, los cambios de estado y el cero absoluto. Desde el punto de vista matemático, además de volver a reflexionar sobre el 0 como origen de una escala, tienen

Síntesis de la unidad Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para ello es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquemaresumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. Conviene que incluyan la jerarquía de las operaciones. Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizarse para jugar en grupo.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.

Números enteros

Unidad 1

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Actividades de refuerzo Unidad 1

Números enteros

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Comprender el sentido de los números negativos. • Representar correctamente los números enteros en la recta numérica. • Operar con números enteros aplicando la regla de los signos y respetando la jerarquía de las operaciones. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante el uso de esquemas, dibujos y reglas mnemotécnicas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Juego del 100 (4 jugadores o 2 equipos de 2 jugadores) Cada equipo, alternativamente, lanza un dado 4 veces y anota los resultados. Cada equipo tacha todos los números del tablero que haya podido obtener enlazando los números obtenidos mediante 3 operaciones (+, −, ⋅, :). Por ejemplo, si han salido 3, 3, 2, 5, se pueden tachar los siguientes números: (3 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5) = 19 (3 ⋅ 5) − (3 ⋅ 2) = 9 (5 − 2) ⋅ 3 ⋅ 3 = 27

(3 + 3 + 2) ⋅ 5 = 40 (3 ⋅ 2 ⋅ 5) : 3 = 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Gana el equipo que ha tachado más números.

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

(Variación: en el tablero se pueden escribir 50 números positivos y 50 negativos).

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) −3

b) −5 ºC

d) −22 m y 2 m

c) −10 m

e) 50 € y −20 €

4. a) 14 − 15 − 2 + 12 = 9 b) 9 ⋅ 3 − 2 + 12 = 37 c) 14 − 13 + 12 = 13 d) 14 − 15 − 20 = −21

2. a) 55 m

e) 9 ⋅ (+1) + 12 = 21 62 m 0m −7 m b) 55 − (−7) = 62 m c) Se encuentra a 31 m de Ana, o sea, a 24 m. 3. a) Verdadero

Operamos los mismos números, pero como cambia el orden de operaciones, cambia el resultado. 5. Se reparten 90 + 130 = 220 € Alberto: 110 € Berta: 15 + 110 − 25 = 100 € Carolina: 10 + 25 = 35 € 6. 80 + 13 − 30 + 5 = 68. Vive en el piso 68

b) Falso, siempre positivo c) Verdadero d) Falso, el primero y el opuesto del segundo e) Verdadero

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 1

Números enteros

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1

Números enteros

1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) He dejado el coche en el tercer sótano del aparcamiento. b) Este invierno fue muy frío, ya que llegamos a estar a 5 ºC de temperatura bajo cero. c) Mi hermano mayor salió 10 metros más atrás que yo porque me dio ventaja en la carrera. d) Pedro ha hecho un pozo de 22 metros y ha colgado el cubo a 2 metros de altura. e) Tengo 50 euros, pero le debo 20 a mi hermana. 2. Lee el texto y contesta: “Este verano, mientras jugaba con mi cometa en la playa vi un ultraligero volando a 55 metros de altura, pero Ana no lo vio porque estaba buceando a 7 metros de profundidad”. a) Haz un esquema representando la escena. b) ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el ultraligero y Ana? c) Si mi cometa está a la mitad de distancia entre el ultraligero y Ana, ¿a qué altura se encuentra? 3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El opuesto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario. b) El valor absoluto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario. c) Cuando representas un número y su opuesto en la recta, ambos quedan a la misma distancia del cero. d) Restar dos números enteros es lo mismo que realizar la suma del opuesto del primero con el opuesto del segundo. e) Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, multiplico los números y pongo signo negativo. 4. Resuelve y compara los resultados: a) 6 + 8 − 5 ⋅ 3 − 2 + 3 ⋅ 4 b) (6 + 8 − 5) ⋅ 3 − 2 + 3 ⋅ 4 c) 6 + 8 − (5 ⋅ 3 − 2) + 3 ⋅ 4 d) 6 + 8 − 5 ⋅ 3 − (2 + 3) ⋅ 4 e) (6 + 8 − 5) ⋅ (3 − 2) + 3 ⋅ 4 5. Alberto tiene ahorrados 90 euros, y su abuelo, para las fiestas del pueblo, le da 130 euros con la condición de que reparta todo el dinero resultante con su hermana Berta. Ella, a su vez, tenía ahorrados 15 euros, pero le debía 25 a su amiga Carolina. Como Carolina solo tenía 10 euros para pasar las fiestas, Berta decidió devolverle los 25 euros. ¿Cuánto dinero tendrá cada uno después de repartir la propina del abuelo y saldar las deudas pendientes?

Página fotocopiable

6. Juan coge el ascensor en el piso 80 del Empire State Building, sube 13 pisos a recoger a Marta; luego, ambos bajan 30 pisos en busca de Luis y se dirigen a casa de Lucía, cinco pisos más arriba. ¿En qué piso vive Lucía?

Números enteros

Unidad 1

11

Actividades de ampliación Unidad 1

Números enteros

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son acertijos, juegos y curiosidades matemáticas con las que se pretende que los alumnos profundicen en el tema de una forma más lúdica, aunque no exenta de dificultad.

ACTIVIDAD DE GRUPO Se trata de resolver por grupos, en el menor tiempo posible, un cuadrado mágico. Y ¿qué es un cuadrado mágico? Pues podríamos decir que un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. Normalmente, los números que se utilizan para rellenarlo son consecutivos, aunque pueden no serlo, y el cuadrado puede ser tan grande como queramos. Nosotros proponemos dos cuadrados mágicos de tres por tres utilizando: Los números naturales del 0 al 8 (ambos inclusive). Los números enteros −3, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 7. A continuación se dan ambos resueltos: 0

7

−1

7

2

3

1

2

3

0

4

8

5

−3

4

5

6

1

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) (7 + 3 − 5) ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 24 b) 7 + 3 − (5 ⋅ 2 + 4) ⋅ 3 − 1 + 3 = −30 c) 7 + (3 − 5 ⋅ 2) + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 14 d) 7 + 3 − (5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3) − 1 + 3 = −10 e) 7 + (3 − 5 ) ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 17 2. a) −500 + 150 − 275 + 325 = −300 A 300 m de profundidad

3. No falta ningún céntimo, hay un error de cálculo. Cuando el dueño les rebaja 5 céntimos, cada uno ha pagado 25 : 3 = 8,33333… céntimos por la chocolatina, más el céntimo que recuperan hacen 9,3333…, que al multiplicar por 3 ya no son 27, sino 27,99999…, es decir, 28, que más los 2 que sobraron hacen los 30 céntimos iniciales. 4. Tarda 18 días, pues cada día y noche sube 1 m, pero el último día sube tres, hasta llegar a los 20 m, y no cae.

2000 + 1000 − 1500 = 1500 A 1500 m de distancia de la costa b) −500 + 150 − 275 = 625 m de profundidad 2000 + 1000 = 3000 m de distancia de la costa

5.

4

1 3

6 5

2 6. 1945 − (1500 − 110 − 43 + 300 − 55 − 2) = 355 euros

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 1

Números enteros


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1

Números enteros

1. Coloca el paréntesis donde corresponda: a) 7 + 3 − 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 24 b) 7 + 3 − 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = −30 c) 7 + 3 − 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 14 d) 7 + 3 − 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = −10 e) 7 + 3 − 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 − 1 + 3 = 17 2. Lee el siguiente texto y contesta a las preguntas: “Los ingenieros que han construido un nuevo submarino quieren estudiar sus prestaciones, para lo cual realizan la siguiente prueba: Salen del puerto navegando en superficie y al llegar a 2 kilómetros de la costa comienzan a sumergirse hasta 500 metros. Después ascienden 150 metros y permanecen así durante 5 minutos. A continuación vuelven a descender 275 metros más, toman nuevos datos y navegan a dicha profundidad 1 kilómetro alejándose de la costa. Finalmente, ascienden 325 metros y se acercan 1 kilómetro y medio más a la costa”. a) ¿A qué distancia y profundidad acabaron los ensayos? b) ¿Cuáles fueron la máxima profundidad y la máxima distancia con respecto a la costa? 3. Tres amigos comparten una chocolatina que les cuesta 30 céntimos, por lo que cada uno pone 10 céntimos. Cuando van a pagar, el dueño les rebaja 5 céntimos, y cada uno toma 1 céntimo y dejan 2 en un fondo común. Más tarde hacen cuentas y concluyen que cada uno ha puesto 10 céntimos, menos 1 céntimo que han recuperado, equivalen a 9 céntimos por persona. Como son tres, eso hace 27 céntimos, y los 2 del fondo común hacen 29 céntimos. ¿Dónde está el céntimo que falta? 4. Un caracol sube por un palo de 20 metros de altura, ascendiendo 3 metros durante el día y resbalando 2 metros por la noche. ¿Cuánto tarda en llegar a la punta del palo? 5. Con seis bolas de billar, numeradas del 1 al 6, ¿será posible construir un triángulo invertido como el de la figura, utilizando todas las bolas, de tal modo que el valor de las bolas inferiores sea la diferencia en valor absoluto de las dos bolas superiores?

6. Los movimientos de la cuenta corriente de Laura durante el mes pasado fueron los siguientes: un ingreso de 1500 euros de su paga mensual; cobraron dos recibos: uno de 110 euros de comunidad y otro de 43 euros del teléfono; un ingreso de un trabajo extra de 300 euros; gastó 55 euros en compras con la tarjeta y el banco le cobró 2 euros por el mantenimiento de su cuenta.


Al finalizar el mes tenía en su cuenta 1945 euros. ¿Cuál era el saldo al principio?

Números enteros

Unidad 1

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 1

Números enteros

APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Escribe el número entero que representa las siguientes situaciones: a) 3 grados bajo cero

b) Debo 2000 euros

c) 25 metros de profundidad

d) 80 metros de altura

e) 6 metros a la derecha

f) 3000 años antes de Cristo

2. Ubica en una recta numérica los siguientes enteros: −1

0

−3

4

2

1

−2

3. Compara uno a uno los elementos de los conjuntos A y B e indica, en cada caso, la relación de orden existente utilizando los símbolos < o >. A = {−15, 4, 0, −7, −3}

B = {−5, −6, −2, −100, −1}

4. Halla el valor absoluto de 2, −2, 3 y −1. Explica qué sentido tiene dicho valor. 5. Resuelve las siguientes operaciones: a) 6 − (−4)

b) −8 − (−12) + 10 + (−13) − (−15)

c) −4 ⋅ (−8)

d) −4 + 8

e) 800 + (−468)

f) 5 + (−3) + 10

g) (−2) ⋅ 6

h) 3 ⋅ (−7)

i) −24 : (−3)

j) 30 : (−15)

6. Resuelve las siguientes operaciones: a) 3 − 5 ⋅ 6 + 4 : 2

b) −45 ⋅ 2 − 14 : (−7) + 6 ⋅ (−3)

c) 6 − 5 ⋅ 7 + 100 : 25 − 4

d) −63 : (−9) + 12 ⋅ 3 − 15

7. Resuelve la siguiente operación: −7 − {−3 [−5 (1 − 9) + 4] − 6} + 8 8. ¿Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 a. C.) hasta la caída del Imperio romano de Occidente (año 395 d. C.). ¿Y desde la caída del Imperio romano de Occidente hasta el descubrimiento de América en 1492?


9. Un explorador se ha perdido en el desierto. Para intentar salir avanza 100 km hacia el norte; después, 75 km al oeste. Tras desorientarse, sin darse cuenta se desplaza 50 km al sur y 25 al este. Por fin encuentra a un tuareg que le indica que debe desplazarse 150 km al norte. ¿Cuánto se ha desplazado para salir desde que comenzó? Estudia por un lado lo que se mueve en dirección este-oeste, y por otro, en dirección sur-norte.

14

10. Un chico se mueve con un monopatín. Al principio está situado a 7 metros a mi derecha, luego se aleja hacia la derecha 23 metros, retrocede 36 metros y vuelve a avanzar otros 20 metros. A continuación, se mueve hacia la derecha la mitad de la distancia que le separa en ese momento de mí y, finalmente, retrocede hacia la izquierda el doble de la distancia que le separaba de mí al principio. Escribe el algoritmo (operación) que representa el movimiento completo e indica qué distancia nos separa a los dos y en qué sentido. Utiliza el signo + para indicar la derecha y el signo − para indicar la izquierda.

Unidad 1

Números enteros

Propuesta de evaluación Unidad 1

Números enteros

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) −3 ºC d) 80 m 2

–3

–2

–1

0

1

2

b) −2000 €

c) −25 m

e) 6 m

f) −3000 años

4

3. −15 < −5 4 > −6 0 > −2 −7 > −100 −3 < −1 4. |2| = 2

|−2| = 2

|3| = 3

|−1| = 1

El 2 y el −2 están a la misma distancia del 0; el 2 está a la derecha del 0, y el −2, a su izquierda. El 3 dista tres unidades a la derecha del 0, y el −1 dista una a su izquierda. 5. a) 6 + 4 = 10 c) 32

b) −8 + 12 + 10 − 13 + 15 = 16 d) 4

e) 800 − 468 = 332

f) 5 − 3 + 10 = 12

g) −12

h) −21

i) 8

j) −2

6. a) 3 − 30 + 2 = −25 c) 6 − 35 + 4 − 4 = −29

b) −106 d) 7 + 36 − 15 = 28

7. −7 − {−3[−5(−8) + 4] − 6} + 8 = −7 − {−3[40 + 4] − 6} + 8 = −7 − {−3[44] − 6} + 8 = −7 − {−132 − 6} + 8 = = −7 + 138 + 8 = 139 8. 395 − (−44) = 439 años entre la muerte de Julio César y la caída del Imperio romano 1492 − 395 = 1097 años entre la caída del Imperio romano y el descubrimiento de América 9. Dirección vertical: +100 − 50 + 150 = 200. Se desplaza 200 km al norte. Dirección horizontal: −75 + 25 = −50 km. Se desplaza 50 km al oeste. 10. +7 + 23 − 36 + 20 + (+7 + 23 − 36 + 20) : 2 − 7 ⋅ 2 = +7 + 23 −36 + 20 + 14 : 2 − 14 = = +7 + 23 − 36 + 20 + 7 − 14 = +7 El chico del monopatín acabó su movimiento y se situó exactamente a 7 m a mi derecha.

Números enteros

Unidad 1

15

Unidad 1

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

Números enteros

Observar y analizar el lenguaje, conocer y aplicar de manera eficaz las reglas de funcionamiento del sistema de la lengua.

– Reflexiona y opina sobre sobre los términos “natural”, “entero” y “relativo”. Actividad 20 – Comprende la utilización de las letras para designar números. Pon a prueba tus competencias: 56


– Opera con números enteros. Toda la unidad – Aplica los números enteros a distintos contextos. Desarrolla tus competencias Actividades 7, 12, 21, 28 a 32 y 50 a 55 Pon a prueba tus competencias: 58 y 59

Matemática Razonamiento y argumentación

Interpretar y expresar distintos tipos de información. Seguir determinados procesos de pensamiento.

– Relaciona la medida del tiempo con las matemáticas. Pon a prueba tus competencias: 60 – Comprende la estructura del sistema de numeración romano y razona sobre ella. Actividad 56

Interacción con el mundo físico Aplicación del método científico en diferentes contextos

Conocer y manejar el lenguaje científico en diferentes contextos.

– Utiliza los números enteros para explicar fenómenos de la ciencia y la vida cotidiana. Entrada. Desarrolla tus competencias. Actividades 7, 12, 21 y 50 a 55, y 58 a 61

Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico


– Comprende la importancia de los números enteros en la medición del tiempo. Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: 56 y 60

Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible


– Valora la importancia de varios entornos naturales utilizando números enteros. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 50, 53 y 54

Social y ciudadana Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos

Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, modos de organización y funcionamiento.

– Comprende la relación entre los números y la economía, tanto en un nivel doméstico como en una perspectiva más amplia. Actividades 7, 12, 21 y 52

Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net Actividades 18 y 49. Interactivos. Síntesis. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red. Pon a prueba tus competencias

Aprender a aprender Construcción del conocimiento

Aplica nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos.

– Aplica los números enteros y sabe de la importancia del número cero. Pon a prueba tus competencias: 58 y 59


– Juega en equipo con deportividad. Aprende a pensar con matemáticas

Lingüística Reflexión sobre el lenguaje

Matemática Resolución de problemas

Autonomía e iniciativa personal Liderazgo

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

16

COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA


U N I DA D

2

ESO

Fracciones y decimales

2 CONTENIDO


7




Esta unidad está dedicada también a la ampliación del campo numérico para poder expresar partes de una cantidad entera, para lo cual se introducen primero las fracciones y después los decimales, estudiándose la relación entre ellos, como formas diferentes de expresar un mismo número racional. Se trata de una de las unidades que podríamos considerar básicas dentro de los contenidos de segundo de ESO. Es imprescindible que los alumnos afiancen las técnicas de cálculo con fracciones y decimales, para lo cual los ejercicios sencillos de cálculo mental pueden ser una buena herramienta de trabajo. Como en las operaciones en cualquier otro conjunto numérico, la jerarquía de operadores aritméticos y el uso de paréntesis resultan fundamentales. Es importante que se insista en este punto una vez más. Las aproximaciones decimales tienen una gran importancia teórica y a la vez entrañan cierta dificultad; el tratamiento que se dé en este curso puede ser muy superficial si el nivel del grupo es bajo, o de mayor profundidad si los alumnos están más preparados. En lo que se refiere a la resolución de problemas, los alumnos han de ser capaces de relacionar las operaciones que han estudiado con distintas situaciones para poder resolver problemas de la vida cotidiana. En este punto es muy importante que valoren los resultados numéricos obtenidos y aproximen así las soluciones al orden de unidades adecuado. Es imprescindible, asimismo, insistir en la adecuada expresión oral y escrita de los resultados obtenidos y del proceso seguido en la resolución de problemas.


OBJETIVOS 1. Operar con agilidad y corrección con números racionales, tanto en forma fraccionaria como decimal, utilizando cada una de estas expresiones cuando sea más conveniente.

1.1 Operar con fracciones con agilidad y corrección, reduciendo a común denominador cuando sea necesario. 1.2 Realizar operaciones combinadas con fracciones utilizando correctamente la jerarquía de las operaciones. 1.3 Encontrar la expresión decimal de una fracción, así como la expresión fraccionaria de un decimal, clasificando los distintos tipos de números decimales. 1.4 Operar con agilidad y corrección con números decimales. 1.5 Aproximar números decimales por truncamiento y por redondeo estimando el error cometido.

2. Valorar la utilidad de las fracciones y los decimales para describir situaciones y resolver problemas.


2.1 Resolver problemas empleando fracciones, utilizando si es necesario las representaciones gráficas para interpretar datos y soluciones.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

2.2 Resolver problemas empleando números decimales y valorando el orden de aproximación adecuado para expresar las soluciones.

CONTENIDOS • Fracciones equivalentes • Fracción irreducible • Suma, resta, multiplicación y división de fracciones

2

• Suma, resta, multiplicación y división de números decimales • Número decimal correspondiente a una fracción • Paso de decimal a fracción

• Operaciones combinadas con fracciones

• Aproximación, truncamiento y redondeo

• Fracciones decimales y números decimales

• Error de una aproximación

• Representación y ordenación de decimales

• Estimación

Unidad 2



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos La mayoría de los contenidos de esta unidad han sido estudiados en el primer curso, aunque seguramente no estén asimilados por la mayoría de los alumnos. En cuanto a las fracciones, debemos asegurarnos de que reconocen su representación gráfica y de que tienen soltura en el cálculo del mínimo común múltiplo, hallándolo mentalmente en casos sencillos. Para una buena comprensión de los números decimales es necesaria una reflexión previa sobre nuestro sistema de numeración posicional.

2. Previsión de dificultades En este curso, algunos alumnos tienen todavía dificultades para sumar y restar fracciones con distinto denominador, en especial suelen cometer errores cuando tienen que expresar un número entero en forma de fracción. En las operaciones combinadas encuentran más dificultad que con números enteros, pues el hecho de trabajar simultáneamente con numeradores y denominadores les confunde visualmente y prestan menos atención al orden de las operaciones. En la multiplicación y división existe la dificultad de su interpretación, que no es la misma que en los enteros. En cuanto a los números decimales, la operación que más les cuesta es la división en la que el divisor es un número decimal. La conversión de decimal en fracción es un procedimiento poco intuitivo en el que también encuentran dificultad.

3. Vinculación con otras áreas Los números racionales aparecen como base en los cálculos de todas las ciencias. La relación más evidente se da con el área de Ciencias de la Naturaleza, en la que se estudia el Sistema Métrico Decimal y cobra especial importancia la aproximación en relación con la precisión de los aparatos de medida.

La unidad comienza recordando los conceptos de fracción, fracciones equivalentes y fracción irreducible. Enlazando con el concepto de fracciones equivalentes se introduce la reducción a común denominador para después aplicarlo en las sumas y restas. Después se explica el significado de la multiplicación como el cálculo de la fracción de una fracción, y se obtiene el cuadrado y el cubo de una fracción.

FRACCIONES

4. Esquema general de la unidad Fracciones equivalentes Operaciones

La división se estudia a partir del concepto de fracción inversa. A continuación se recuerda la jerarquía de las operaciones Representación

Después se repasan las operaciones con decimales, suma, resta, multiplicación y división, y la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. En el siguiente epígrafe se estudia la relación entre fracciones y decimales. También se hace una breve referencia a la expresión decimal de los números irracionales. La unidad se cierra con un estudio elemental de la aproximación y estimación. Anexa a esta unidad se encuentra la sección ”Matemáticas y Sociedad”, en la que se trata la historia del Sistema Métrico Decimal.

DECIMALES

Partiendo de las fracciones decimales, se definen los números decimales y se estudia su representación en la recta numérica y la ordenación.

Comparación Operaciones Fracción generatriz Aproximación

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Números fraccionarios 2.ª Suma y resta de fracciones 3.ª Multiplicación y división de fracciones 4.ª Operaciones combinadas con fracciones 5.ª Números decimales. Operaciones con decimales 6.ª Números decimales y fracciones 7.ª Aproximación y estimación 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias 10.ª Matemáticas y sociedad: el Sistema Métrico Decimal


Unidad 2

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias”, “Pon a prueba tus competencias” y “Matemáticas y sociedad”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y resolución de problemas.

Competencia para la interacción con el mundo físico Mediante la aplicación de las fracciones y los números decimales a la comprensión de la tecnología, por una parte, y de las unidades de medida en diferentes países se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico. Por otra parte, a través de la estimación de medidas se trabaja la aplicación del método científico en diferentes contextos.

Competencia social y ciudadana En la sección “Matemáticas y sociedad” se trata el desarrollo del Sistema Métrico Decimal. A través de su estudio se reconoce la importancia histórica de este hecho y así se trabaja la subcompetencia de desarrollo personal y social.

Competencia cultural y artística En las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias” se analizan varios cuadros y edificios emblemáticos desde el punto de vista matemático, relacionándolos con las fracciones y los números decimales. Al establecer este vínculo y facilitar el conocimiento del arte a través de las matemáticas, se trabaja la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Por otra parte, en la sección “Matemáticas y sociedad” se incentiva la curiosidad y el gusto por aprender, y de este modo se desarrolla la subcompetencia de construcción del conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal La realización de juegos matemáticos de aprendizaje de las operaciones de fracciones y decimales desarrolla esta competencia, por cuanto potencian el trabajo en equipo, que se enmarca en la subcompetencia de liderazgo.


4

Unidad 2




COMPETENCIA

1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción


SUBCOMPETENCIA

er

Comunicación escrita


er

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

Matemática


– Lee y comprende textos sobre historia de la ciencia, y sabe extraer de ellos la información oportuna para resolver problemas. Matemáticas y sociedad – Resuelve problemas con fracciones y decimales identificando los datos necesarios. Toda la unidad – Aplica nociones geométricas al cálculo de fracciones y decimales. Actividades 13, 19, 26, 43, 53 y 70


Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Escoge el mejor modo de realizar estimaciones cuando no se conocen todos los datos o no se dan de modo inmediato. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 13, 18, 19, 34, 38, 51 y 53 Pon a prueba tus competencias 91 a 95


Realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas.

– Utiliza fracciones y decimales para realizar estimaciones de cantidades de la vida cotidiana. Desarrolla tus competencias. Actividad 51


– Comprende la aplicación de las fracciones y los números decimales a las distintas unidades de medida en varios países y su desarrollo histórico. Pon a prueba tus competencias 91, 93 y 95 Matemáticas y sociedad

Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia.

– Aplica las fracciones y los decimales a la comprensión de la ciencia y la tecnología. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividad 34 Pon a prueba tus competencias 92 y 95


Social y ciudadana

Desarrollo personal y social

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Comprende la importancia histórica del desarrollo del Sistema Métrico Decimal. Matemáticas y sociedad

Cultural y artística

Patrimonio cultural y artístico

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural.

– Conoce cuadros y edificios relevantes y comprende su relación con las matemáticas. Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias 94





Mostrar curiosidad y gusto por aprender.

– Muestra interés por la historia más allá de lo estrictamente matemático. Matemáticas y sociedad

Liderazgo



Aprender a aprender Autonomía e iniciativa personal

– Visita la página librosvivos.net Actividades 7, 27, 46 y 52. Interactivos, Investiga, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red


Unidad 2

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural: Pon a prueba tus competencias, actividad 93; Matemáticas y Sociedad • Educación para la convivencia: Aprende a pensar con matemáticas, Resta de divisores • Educación para el medioambiente: entrada de la unidad


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 2: Fracciones y decimales Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO Bibliográficos

– Unidad 3. Números fraccionarios y decimales SM

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 2: Números fraccionarios y decimales • Cuadernos de resolución de problemas I – Resuelve un problema sencillo: problemas 1 y 2 • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Equilibra la balanza”, “Viaja y cambia” , “Dos en la carretera”, “La nave que olvidó las unidades” y “Te llevamos al huerto”

Otros

SM

• Capítulos “La tercera noche” y “La novena noche”, de El diablo de los números, de H. M. Enzensberger. Editorial Siruela www.smconectados.com www.librosvivos.net

Internet

Unidades del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd04 www.e-sm.net/2esomatmrd05 Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd06 Página AAA Math con contenidos, ejercicios interactivos y juegos: www.e-sm.net/2esomatmrd07

Otros materiales


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Unidad 2

• Dominós con fracciones y decimales • Instrumentos de medida con distintas precisiones • Calculadora


Sugerencias didácticas Entrada En la primera cuestión se les pide que expresen qué parte representa una placa de todo el panel. En general, los alumnos no tendrán dificultades en contestar mediante una fracción, pues están familiarizados con este tipo de ejercicios. En la segunda cuestión hay varios aspectos interesantes que se pueden comentar al poner en común las respuestas. Por un lado, en vez de dividir directamente el precio total entre el número de placas, se puede simplificar primero la expresión fraccionaria, la operación es más sencilla y además estaremos adelantando el concepto de fracciones equivalentes. Por otro lado, el resultado es un número periódico, así que podemos ver si conocen este tipo de números. También se puede explicar que las cantidades de dinero se deben redondear siempre a las centésimas, ya que nuestra moneda más pequeña es el céntimo. En la tercera cuestión se les pide nuevamente una fracción. Conviene que nos aseguremos de que la simplifiquen. El mapa conceptual puede emplearse para una exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias 1. La primera actividad es muy interesante porque muestra dos aplicaciones de las fracciones. La primera de ellas es la que ya se ha visto en las actividades de la entrada, expresar una parte de un conjunto continuo (el tablero de ajedrez). En cambio, los alumnos no están tan familiarizados con la utilización de las fracciones para expresar una parte de un conjunto discreto (el conjunto de fichas). 2. La segunda actividad es muy rica desde el punto de vista procedimental. En el primer apartado se pide a los alumnos una estimación, algo que les resulta bastante difícil. Podemos pedir varias respuestas y después, tras el último apartado, comprobaremos cuál era más acertada. Antes de hacer el segundo apartado habrá que recordar el concepto de escala. Los alumnos deben medir para comparar las dimensiones reales con las indicadas, y así calcular la escala. La actividad requiere precisión en la medición. Para que puedan hacer el último apartado recordaremos primero el concepto de superficie y las fórmulas para calcular el área del cuadrado, el círculo y el rectángulo. En el caso del círculo interviene el número π, por lo que podemos adelantar su carácter de decimal ilimitado no periódico. Una vez calculadas las superficies pintadas de negro en cada cuadro, se pueden comparar con las superficies totales para ver si las estimaciones del primer apartado eran acertadas. 3. Los alumnos no suelen tener dificultades para situar números decimales en una escala, pero sí con las fracciones. Se les puede orientar, por ejemplo, en el apartado a, con la pregunta “la temperatura es 37 grados enteros más, ¿qué parte de un grado?”.

1. Números fraccionarios • Para comenzar se les puede plantear un reto, que busquen en cinco minutos el mayor número de formas diferentes de dividir un rectángulo en ocho partes iguales. Hay multitud de respuestas, y a partir de ellas se puede preguntar: “¿Qué tiene en común en todas ellas uno de los trozos?”. La respuesta es que en todas ellas el área de un trozo es un octavo del área total. • Después se les puede pedir que representen las fraccio3 11 8 nes , y , para que deduzcan cuándo una fracción 8 8 8 expresa una cantidad menor, mayor o igual que la unidad. • A continuación se explica la notación de números mixtos para las fracciones impropias. Su utilidad es que muestra entre qué dos enteros se encuentra la fracción. Es interesante por su aplicación en situaciones cotidianas, por ejemplo, cuando pedimos en el mercado un kilo y cuarto de un producto. • El concepto de fracciones equivalentes es clave. Gráficamente tienen que entender que si dividimos una figura en el doble, triple… número de partes, pero también consideramos el doble, triple… número de ellas, estaremos considerando la misma fracción. Numéricamente tienen que ver que al multiplicar y dividir el numerador por el mismo número obtenemos la misma expresión decimal. • En cuanto a la igualdad del producto de extremos y el producto de medios, los alumnos suelen estar familiarizados con ella. Podemos tratar de que comprendan por qué se produce, a la vista de lo tratado en el punto anterior. • Es importante que los alumnos adquieran agilidad en el proceso de amplificación, que emplearán en la suma y resta de fracciones con distinto denominador, y de simplificación, que deberán emplear no solo al expresar los resultados, sino también durante el proceso de las operaciones combinadas para facilitar los cálculos.


1 a 4, 7, 53, 54, 57 a 59, 61 y 62

Medio

5, 6, 55, 56 y 63

2. Suma y resta de fracciones • Conviene comenzar practicando el cálculo mental del mínimo común múltiplo. Una vez adquirida suficiente destreza, el procedimiento de reducción a común denominador no debería entrañar grandes dificultades si han entendido bien las fracciones equivalentes. • A continuación se aplica este procedimiento de reducción a común denominador en la suma y resta de fracciones. Es interesante utilizar al principio ejemplos muy sencillos para poder ilustrar el procedimiento gráficamente. Conviene incluir en estos ejemplos números enteros. • Otra aplicación de la reducción a común denominador es la ordenación de fracciones, que, aunque no se cita en el epígrafe, sí aparece en las actividades 65 y 66. • Para que mecanicen los procedimientos es conveniente realizar muchos ejercicios sencillos. Se pueden emplear juegos de cartas, dominós o competiciones de cálculo mental.


Unidad 2

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ACTIVIDADES POR NIVEL


Básico

8 a 11, 64, 65 y 67

Básico

20, 21, 60, 67, 68 y 71 a 73

Medio

12, 13 y 66

Medio

22, 24 a 27, 69 y 74 a 76

Alto

23 y 77

3. Multiplicación de fracciones • Podemos comenzar con el producto de un entero por una 5 fracción, por ejemplo, 2⋅ , que se puede interpretar como 3 5 5 5 2⋅ 5 dos veces , es decir, + = . 3 3 3 3 • A continuación les preguntaremos qué significa una mul2 5 tiplicación de fracciones, por ejemplo, ⋅ . 7 3 • Veremos que la mayoría de los alumnos recuerdan bien la regla para realizar la operación, pero no conocen su significado, que es el cálculo de la fracción de una fracción. Partir de esta idea nos permite deducir gráficamente el algoritmo y ver ejemplos de aplicación en situaciones cotidianas. • Debemos insistir en que simplifiquen siempre que sea posible para conseguir operaciones más sencillas. En el caso de la multiplicación debemos acostumbrarles a simplificar antes de operar, al menos en casos sencillos, por 3 5 5 ejemplo: ⋅ = . 4 3 4 • Como un adelanto de la unidad siguiente, “Potencias y raíces”, se estudia aquí el cálculo del cuadrado y del cubo de una fracción. En vez de explicárselo directamente, podemos intentar que deduzcan ellos el procedimiento partiendo de ejemplos sencillos.


14 a 16 y 68

Medio

17 a 19, 70 y 76

4. División de fracciones • Podemos comenzar anotando en la pizarra: 2 3⋅ ? =1 ⋅ ? =1 5 Después plantearemos la siguiente cuestión: “¿Cómo podemos convertir la división 9 : 3 en una multiplicación?”. Así deduciremos que la división de dos fracciones se puede convertir en la multiplicación de una de ellas por la inversa de la otra. Una vez visto el algoritmo de la división, debemos reflexionar sobre su significado. Lo podemos ver en ejemplos 1 1 sencillos como “¿Cuántas veces cabe en ?”. 4 2 • En cuanto a las operaciones combinadas, los alumnos ya conocen la jerarquía de las operaciones, pero con las fracciones cometen muchos más errores, por lo que es necesario que practiquen mucho. Además, en esta unidad aparecen dos casos que es posible que nunca hayan visto: las divisiones expresadas como “fracciones sobre fracciones” y los paréntesis elevados a una potencia.

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Unidad 2


5. Números decimales • Podemos comenzar dibujando en la pizarra un rectángulo dividido en 10 partes iguales y pedirles que expresen de dos formas distintas la cantidad que representa una o varias de esas partes. De ese modo pueden ver que los números decimales no son sino otra notación diferente para las fracciones decimales. • A continuación se pueden proponer ejercicios en los que tengan que situar números decimales en la recta numérica, introduciéndose como novedad los decimales negativos. • A partir de la recta introduciremos la relación de orden, tal como hicimos con los enteros. Algunos alumnos pueden encontrar dificultades cuando los números decimales a comparar no tienen el mismo número de cifras decimales; lo verán mejor si se añaden ceros al que tenga menos cifras decimales.


28 y 29

Medio

30 a 34 y 78

6. Operaciones con decimales • Los alumnos están trabajando estas operaciones desde primaria, y en general, solo tienen problemas con la división, así que se puede empezar explicando esta mediante un ejemplo, y en las demás, proponer ejercicios directamente y pedirles en la puesta en común que expliquen ellos cómo se realizan.


35 a 36 y 79 a 81

Medio

37 y 38

7. Números decimales y fracciones • Se puede comenzar poniendo en la pizarra distintas fracciones y una tabla con cuatro columnas: número entero, decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto, para que los alumnos expresen las fracciones en forma de números decimales y clasifiquen estos. • Como contenido de ampliación se puede reflexionar sobre el tipo de fracciones que generan decimales exactos. Si en el denominador de la fracción es divisor de 10 o de una potencia de 10, podré encontrar una fracción decimal equivalente y, por tanto, la expresión decimal será exacta. • En cuanto al paso de decimal a fracción sería interesante, antes de dar la regla, ver con ejemplos de dónde procede (eliminar la parte decimal).


• Podemos ver por qué 2 tiene infinitos decimales buscando con la calculadora números decimales cuyo cuadrado sea cada vez más próximo a 2. En cuanto al número π podemos decirles que en la realidad no existe la circunferencia perfecta, que nos podemos aproximar a ella mediante polígonos que tienen cada vez más lados, y que ese proceso de aproximación no termina nunca.


39 a 42, 45 y 82

Medio

42, 45, 46 y 83

Alto

43 y 44

8. Aproximación y estimación • Se puede comenzar realizando la actividad 50 o una similar para averiguar si su calculadora trunca o redondea. Normalmente, en el aula nos encontraremos con calculadoras de ambos tipos. • Es interesante utilizar la recta numérica para explicar el procedimiento de redondeo, pues consiste en elegir, entre las aproximaciones por defecto o por exceso, la más próxima.


47, 48 y 50

Medio

46, 49, 52 y 83

Alto

51 y 85

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 86 a 90 son problemas de enunciado, que facilitan el desarrollo de competencias.

Pon a prueba tus competencias 91. Temperaturas mínimas

93. Volumen y capacidad Esta actividad es interesante porque conecta con otra parte de las matemáticas que abordarán más adelante en el curso. También tiene el valor añadido de tratar un aspecto intercultural, y puede dar lugar a una reflexión sobre los inconvenientes de que no se empleen las mismas unidades en todos los países. 94. Rascacielos Además de las competencias matemática y de interacción con el mundo físico, trabajadas con el resto de actividades de esta sección, aquí se desarrolla la competencia cultural y artística. Se puede pedir a los alumnos, como actividad extra de carácter voluntario, que busquen más información sobre los edificios nombrados, y una fotografía de la Sagrada Familia, ya que no aparece ninguna en la página. 95. Unidades de tiempo astronómicas Es una actividad bastante compleja, en la que intervienen conceptos de Astronomía y de Biología, que exige diferentes procedimientos matemáticos: el redondeo, la estimación, el cálculo con proporciones. Puede ser apropiada para el trabajo en grupo, cuidando que en estos grupos haya alumnos con diferentes niveles de capacidad.

Autoevaluación Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indique, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Las dos primeras actividades pueden plantearse como un reto, dejar varios días antes de dar la respuesta e intentar motivar a los alumnos para que se esfuercen en resolverlas. Para la última hay que elegir cuidadosamente las parejas.

Síntesis de la unidad • Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para ello es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en que el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos.

Matemáticas y sociedad

Esta actividad presenta cierta dificultad porque los alumnos no están acostumbrados a trabajar con números decimales negativos.

• Esta sección es un valioso instrumento para el desarrollo de competencias, especialmente la lingüística y la de interacción con el mundo físico.

Por otro lado, se les pide que elaboren una gráfica. Será necesario orientarles en cómo elegir una escala adecuada a los datos.

• Se puede pedir a algunos alumnos que lean el texto en voz alta e intercalando breves explicaciones o aclaraciones, y lanzar preguntas para asegurarse de la comprensión del mismo. Puede ser interesante organizar grupos para el trabajo en las cuestiones.

92. Gasolinera Es una actividad muy interesante, pues muestra un ejemplo muy cotidiano de aplicación del redondeo. Es adecuada para la realización con calculadora.

• También se pueden proponer como actividad extra para casa pequeñas investigaciones sobre los diferentes aspectos tratados.



Unidad 2

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: interpretar el significado de una fracción y realizar operaciones básicas con fracciones; operar correctamente con números decimales, identificar un número decimal con la expresión fraccionaria correspondiente y realizar aproximaciones y redondeos. • Conviene hacerles ver que la jerarquía de las operaciones es la misma que la establecida para los números enteros. • Hay que insistir en el hecho de realizar operaciones con números decimales con rigor. • Se deben explicar con detalle las diferencias entre los distintos tipos de números decimales para su clasificación adecuada. • Es importante que aprendan la relación entre números decimales y fracciones.

ACTIVIDAD DE GRUPO Buscando la unidad Dividimos la clase en grupos de 4 o 5 alumnos. Cada grupo construirá 62 cartas distribuidas de la siguiente forma: 2 1 1 2 en las que escribimos 3 en las que escribimos 3 en las que escribimos 3 2 3 4 en las que escribimos

1 4

4 en las que escribimos

3 4


1 6


5 6


1 8


7 8


1 9


8 9

Se reparten tres cartas a cada uno de los integrantes del grupo. Cada uno de ellos deberá sumar el valor de sus cartas y decidir si pide una carta más del mazo, pudiendo tomar hasta dos. El objetivo es acercarse lo más posible a la unidad. Una vez que nadie pide más cartas, cada uno muestra las suyas y se determina quién se ha acercado más, obteniendo el ganador dos puntos. Los que se pasaron pierden dos puntos, y los demás ni ganan ni pierden. Gana finalmente el que en un número determinado de jugadas obtiene mayor puntuación.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 5 Equivalentes

1. a)

2.

3.

b)

2 10

c)

9 o dos kilos y cuarto 4

3 15

5. a) 80,42 d) 210,437 g) 1,326 Cervantes.

c) 137,834 f) 32,277 i) 250

0,25

6. 0,75

1 de tarta 6

4. 9 litros de refrescos y 12 litros de agua

b) 814,26 e) 13,3168 h) 9,342

0,151

0,001 1,008

0,05

1

0,15 0,235

0,50


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Unidad 2





1. Expresa en forma de fracción:

¿Cómo son las fracciones que has obtenido?

2. El padre de Juan se puso a hacer una barbacoa y le encargó a Juan comprar 1 kilogramo y medio de salchichas. Sin embargo, a última hora se presentaron más invitados y hubo que comprar tres cuartos de kilo más de salchichas. ¿Cuántos kilogramos de salchichas acabó cocinando al final el padre de Juan?

3. Al final de la barbacoa, la madre de Juan repartió equitativamente una tarta entre los nueve asistentes, pero tres de ellos rehusaron la invitación, así que cuando llegaron el tío y la tía de Juan, aún pudieron comer algo de tarta. ¿Qué porción de la tarta comió su tía si su trozo era igual que el de su tío y acabaron con la tarta?

2 de refrescos y la cuarta parte del agua. Si 6 en total sobraron exactamente 6 litros de bebidas, la misma cantidad de cada tipo, ¿qué cantidad de refrescos y de agua había al principio?

4. Respecto a las bebidas, al final de la barbacoa sobraron los

5. Busca las soluciones de las operaciones, y forma con las letras asociadas a ellas el nombre de un famoso escritor. a) 23,34 + 57,08

b) 890,78 − 76,52

c) 114,654 + 23,18

d) 457,33 − 246,893

e) 0,56 ⋅ 23,78

f) 15,9 ⋅ 2,03

g) 30,498 : 23

h) 46,71 ⋅ 0,2

i) 150 : 0,6

C

80,42

T

1,326

A

102,103

O

2,067

N

0,05

T

26,772

B

34,05

I

17,23

V

210,437

D

2.500

I

105,02

A

13,3168

J

25

E

9,342

R

137,834

N

32,277

G

28,182

E

814,26

E

315,04

S

250

6. Une los números decimales empezando por el menor hasta el mayor y descubre la figura. 0,25 0,75

0,151

0,001 1,008


0,05

1

0,15 0,235

0,50


Unidad 2

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación, relacionadas con los números decimales, con operaciones entre los mismos y con las fracciones; otras están relacionadas con curiosidades matemáticas. Algunas adelantan planteamientos que el alumno encontrará en unidades posteriores con los que puede empezar a familiarizarse, y otras, simplemente, le hacen reflexionar sobre la facilidad de la resolución de problemas que, a priori, parecen más complicados. También se propone una actividad teórica incluyendo una pequeña demostración. Aunque este tipo de actividades resulten de excesiva complejidad para algunos alumnos, son muy importantes para la formación matemática de aquellos otros que puedan asimilarlas: el establecimiento de propiedades generales y su demostración son la base de todas las teorías matemáticas. En el caso de la actividad de grupo, se presenta una curiosidad matemática que se convierte pronto en un rompecabezas, y es entonces cuando más complicado parece, cuando se empieza a pensar y a estar más cerca de la solución.

ACTIVIDAD DE GRUPO Quebrados singulares El juego trata de simplificar y amplificar fracciones, pero con una condición: que en la fracción aparezcan las nueve cifras significativas. Aparentemente simple, pero solo aparentemente. Por ello conviene que lo trabajen en grupo para que se apoyen y se estimulen los razonamientos colectivos. También pueden trabajarlo en casa e incluso buscar información en internet. Como pista diremos que fue Y. Perelman, ilustre matemático, el que propuso y resolvió el “quebradero de cabeza” que aquí se presenta: 6.729 . En él se ha utilizado una vez cada una de las nueve cifras 13.485 significativas, es decir, las cifras del 1 al 9, ambas inclusive. Este quebrado, como es fácil comprobar, es exactamente 1 1 1 1 1 1 1 1 igual a . ¿Podríais, siguiendo este modelo, componer con las nueve cifras los quebrados , , , , , , y ?”. 2 3 4 5 6 7 8 9

“Fijaos ahora atentamente en el siguiente quebrado:

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Si en la descomposición en factores primos del denominador aparece solo el 2 o el 5, el decimal correspondiente es exacto. Si en la descomposición en factores primos del denominador no aparecen ni el 2 ni el 5, el decimal es periódico puro. Si en la descomposición en factores primos del denominador aparecen el 2 o el 5 y algún otro factor, entonces el decimal es periódico mixto. 2. a)

a c < ⇒ ad < bc ⇒ ab + ad < ab + bc ⇒ b d ⇒ a(b + d)< b(a + c)

Análogamente: a c < ⇒ ad < cb ⇒ ad + cd < cb + cd ⇒ b d ⇒ d(a + c)< c(b + d) ⇒

b)

1 2

a+ c c < b+ d d

3. 7.200 € 4. 125 5. Está contenido en las estipulaciones del padre que o no andaba muy bien en aritmética, o quiso dar a sus hijos algo en que pensar. La suma de las fracciones 1 1 1 , y no da como resultado la unidad, como tendría 2 3 9 que ocurrir si se quiere que no sobre nada, sino que es 17 igual a . Dicha unidad se consigue al añadir el came18 llo del anciano sabio. De esta manera se puede hacer el reparto y que sobre un camello, que es el que recupera el sabio amigo. 6. a) 2

b) 2

c) 6

7. 15.943,79 €


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Unidad 2





1. Ya sabes cómo encontrar el decimal que corresponde a una fracción. ¿Podrías saber qué tipo de decimal corresponde a una fracción observando su denominador? Para ayudarte, completa la siguiente tabla. Fracción

Decimal

Tipo de decimal

Descomposición en factores primos del denominador

1 5 2 3 5 6 Añade algunas filas más para diferentes fracciones:

1 3 1 4 5 3 23 4 1 7 , , , , , , , , , . 10 20 22 9 12 50 16 11 13 15

a c a a+ c c a+c 2. a) Demuestra que si b y d son enteros positivos tales que < , entonces < < (es decir, b d b b+ d d b+d está entre las dos fracciones). 3 4 b) Utiliza esta propiedad para encontrar una fracción entre y . 5 9 a a+c Indicación. Primero tienes que demostrar que < , o lo que es lo mismo, a(b + d) < b(a + c). Después b b+d

puedes demostrar la segunda parte de la desigualdad:

a+c c < . b+d d

3. El Sr. Gómez decide repartir sus ahorros en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto, Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a sus derechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado a partes iguales. Jorge, que es el padrino de María, le da a esta la mitad de lo que le corresponde a él, y entonces María recibe en total 8.000 euros. ¿Con cuánto se quedó el Sr. Gómez? 4. ¿Cuál es el número que aumentado en los dos quintos de sus

2 es igual a 145? 5

5. LA HERENCIA DE LOS 17 CAMELLOS

6. Determina cuál es la vigésima cifra decimal de estos números cuando los expresamos como decimales: 45 123 123 a) b) c) 33 999 990 7. Un agricultor compra una parcela rectangular de 62,50 metros de largo y 23,80 metros de ancho a 45,50 euros/metro cuadrado, y tres años después la vende a 59,80 euros/metro cuadrado. Si durante ese tiempo la parcela le ha ocasionado unos gastos de mantenimiento de 5.327,46 euros, ¿qué ganancia obtiene en el proceso? Fracciones y decimales

Unidad 2


“Un jeque árabe dejó al morir a sus tres hijos una herencia de 17 hermosos camellos, especificando que habían de repartirla de la siguiente manera: al mayor, la mitad de los camellos; al mediano, la tercera parte, y al menor, la novena parte. Los jóvenes herederos estaban desesperados, ya que, evidentemente, no podían repartir los 17 camellos de esta manera sin partir en dos alguno. Buscaron finalmente los consejos de un anciano y sabio amigo que les prometió su ayuda. Al día siguiente, su amigo se presentó en la cuadra llevando un camello de su propiedad. Lo juntó a los 17 y dijo a los hermanos que ya podían proceder al reparto. El mayor se llevó la mitad de los 18, o sea, 9; el mediano, un tercio de los 18, es decir, 6, y por último, el pequeño, un noveno de los 18, o sea, 2. Cuando ya se hubieron llevado los 17 primeros camellos, el anciano, tranquilamente, cogió de las bridas a su camello y se marchó sonriéndose”. ¿Cuál es el truco?

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN


Unidad 2 APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Calcula en cada caso la fracción irreducible: 18 30 a) b) 54 42

c)

112 144

d)

60 48

2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. 2 5

1 3

5 6

3 4

7 15

3. Realiza las siguientes operaciones simplificando siempre que puedas. a)

3 ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 2 1⎞ b) ⋅⎜⎜⎜2+ ⎟⎟⎟− :⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ 4 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 5 6 ⎟⎠

1 2 1 3 7 + + + − 2 3 5 4 12

⎛ 1⎞ 5 1 7 c) ⎜⎜⎜3+ ⎟⎟⎟ − ⋅ + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 2 12 2

4. Mi abuelo tiene una huerta de 900 metros cuadrados de superficie. Este año ha plantado la tercera parte con tomates y las dos quintas partes del resto con lechugas. ¿Qué superficie de la huerta queda libre?

5. Resuelve las siguientes operaciones. a) 2,13 ⋅ (7,89 − 3,025)

b) (6,81 + 9,235) : 0,25

6. Fíjate en los siguientes números decimales. 125 , −102 , 2,3 0,6 −1 176 , 2,03 125 , −0,3 0,65 2 −2,75 a) Agrúpalos en decimales exactos, decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos. b) Ordénalos de menor a mayor.

7. Expresa los siguientes números decimales en forma de fracción. a) 1,75

b) 2,3

c) 4,056

d) 5,012

e) 9,21

c) −3,03775

d) 11,5082

e) −0,9092

8. Redondea las siguientes cifras a la centésima. b) 0,949 857


a) 9,2345

9. Una cooperativa compra en un pueblo un terreno de 12.327,58 metros cuadrados a 189,11 euros el metro cuadrado para construir un complejo rural con 15 apartamentos bioclimáticos. La construcción de cada uno, sin contar el terreno, supone un coste medio de 63.842,91 euros. ¿A cuánto debe vender cada apartamento, si quiere obtener un beneficio del 15% para financiar una escuela rural infantil anexa? (Redondea el resultado).

14

Unidad 2




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)

2.

1 3

b)

5 7

c)

7 9

d)

5 4

1 2 5 7 3 5 < < < < < 3 5 12 15 4 6

3. a) b)

1 2 1 3 7 30 40 12 45 35 72 6 + + + − = + + + − = = 2 3 5 4 12 60 60 60 60 60 60 5 3 ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎟ 2 ⎛⎜ 2 1 ⎞⎟⎟ 3 7 2 7 7 12 49− 48 1 = ⋅⎜2+ ⎟− :⎜ − ⎟= ⋅ − : = − = 28 28 4 ⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ 5 ⎜⎜⎝ 5 6 ⎟⎠ 4 3 5 30 4 7

⎛ 1 ⎞ 5 1 7 49 5 7 147−10+7 7 144 c) ⎜⎜⎜3+ ⎟⎟⎟ − ⋅ + = − + = = =12 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 2 12 4 6 12 12 12 2

4. Tomates:

1 de 900 = 300 m2 3

Lechugas:

2 de 600 = 240 m2 5

Libre: 900 − 300 − 240 = 360 m2

5. a) 2,13 ⋅ (7,89 − 3,025) = 2,13 ⋅ 4,865 = 10,36245

b) (6,81 + 9,235) : 0,25 = 16,045 : 0,25 = 64,18

6. a) Decimales exactos: 1,25; −1,02; −1; 2,03; 0,65; 2; −2,75 Periódicos puros: 2,3 ; 0,6; −0,3 Periódicos mixtos: 176 , ; 125 , b) −2, 75 < −1,02 < −1 < −0,3 < 0,65 < 0,6 < 1,25 < 125 , < 176 , < 2,03 < 2,3

7. a)

7 4

8. a) 9,23

b)

7 3

b) 0,95

c)

2.008 495

c) −3,04

d)

827 165

d) 11,51

e)

304 33

e) −0,91

9. Por el terreno paga: 12.327,58 ⋅ 189,11 = 2.331.268,654 € Por los apartamentos paga: 15 ⋅ 63.842,91 = 957.643,65 € Inversión total : 3.288.912,304 € Dinero que tiene que obtener en la venta: 1,15 ⋅ 3.288.912,304 = 3.782.249,15 € Precio de venta al público de un apartamento: 3.782.249,15 : 15 = 252.149,9433 € El precio de venta de cada apartamento debe ser de 252.150 €


Unidad 2

15

Unidad 2

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO


Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Escoge el mejor modo de realizar estimaciones. Entrada. Desarrolla tus competencias. Actividades 13, 18, 19, 34, 38, 51 y 53. Pon a prueba tus competencias 91 a 95


– Resuelve problemas con fracciones y decimales identificando los datos necesarios. Toda la unidad – Aplica nociones geométricas al cálculo de fracciones y decimales. Actividades 13, 19, 26, 43, 53 y 70

Realizar predicciones y obtener conclusiones basadas en datos y pruebas y contrastar las soluciones.

– Utiliza fracciones y decimales para realizar estimaciones




Matemática


Matemática

Razonamiento y argumentación Interacción con el mundo físico


Social y ciudadana

Desarrollo personal y social Cultural y artística

Patrimonio cultural y artístico Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información Aprender a aprender

Construcción del conocimiento Autonomía e iniciativa personal

Liderazgo

de cantidades de la vida cotidiana. Desarrolla tus competencias. Actividad 51 – Aplica las fracciones y los decimales a las unidades de

medida. Pon a prueba tus competencias 91, 93 y 95. Matemáticas y sociedad


– Aplica las fracciones y los decimales a la comprensión de

Saber la realidad histórica y social del mundo y su evolución.

– Comprende la importancia histórica del desarrollo del Sistema Métrico Decimal. Matemáticas y sociedad

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural.

– Conoce cuadros y edificios relevantes y su relación con las matemáticas. Desarrolla tus competencias. Pon a prueba tus competencias: 94

Buscar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 7, 27, 46 y 52. Interactivos, Investiga, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red


– Muestra interés por la historia más allá de lo estrictamente matemático. Matemáticas y sociedad


– Juega en equipo con deportividad. Aprende a pensar con matemáticas

la ciencia y la tecnología. Entrada. Desarrolla tus competencias. Actividad 34. Pon a prueba tus competencias 92 y 95


CON NO TOTALMENTE DIFICULTAD (2 puntos) (3 puntos)



16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

3

ESO

Potencias y raíces

2 CONTENIDO


7


Potencias y raíces

Unidad 3


Potencias y raíces

En esta unidad se introducen las potencias de base entera o fraccionaria y exponente natural, lo cual supone una generalización del concepto de potencia adquirido por los alumnos a lo largo del currículo. Inicialmente, tenemos el aspecto manipulativo de las potencias que comprende la expresión de un producto de varios números iguales en forma de potencia y el cálculo del valor de dicho producto. Puesto que en las unidades anteriores se ha trabajado con números negativos, tanto enteros como fraccionarios, es lógico considerar aquí productos de factores repetidos en los cuales el factor que se repite es un número negativo. Las propiedades de las potencias se introducen mediante ejemplos concretos. La generalización y expresión de estas propiedades mediante letras es un modo de iniciar el trabajo algebraico que se abordará en la unidad siguiente. Un punto novedoso respecto del curso anterior es la representación de medidas y cantidades mediante el uso de la notación científica. Este contenido es fundamental para que los alumnos relacionen las matemáticas y el ámbito científico que les rodea y para que también observen que distintos conceptos, en este caso potencias y números decimales, se pueden usar conjuntamente para producir un nuevo concepto matemático. Por lo que respecta al cálculo de raíces cuadradas, se debe incidir en el significado de las raíces no exactas, acotando su valor entre dos números decimales y aumentando la precisión añadiendo cada vez un decimal más. También es importante reflexionar sobre el número de raíces de un número entero. Como siempre, es la aplicación de todos estos contenidos a la resolución de problemas lo que permitirá a los alumnos desarrollar sus competencias, poniendo en práctica la lectura comprensiva, la reflexión sobre situaciones susceptibles de ser formuladas en lenguaje matemático, el establecimiento de un plan de trabajo, la valoración de las soluciones obtenidas y el desarrollo de la confianza en las propias capacidades para usar y disfrutar de las matemáticas.


OBJETIVOS 1. Utilizar las propiedades de las potencias para simplificar expresiones numéricas en las que intervengan números enteros y fracciones.

1.1 Identificar las potencias de base entera y exponente natural reconociendo la base y el exponente de la potencia y calculando su valor. 1.2 Expresar como única potencia los productos y cocientes de potencias de la misma base o con el mismo exponente, así como las potencias de potencias.

2. Valorar la utilidad de la notación científica para expresar con claridad números grandes y poder compararlos con facilidad.

3. Comprender el concepto de raíz cuadrada y utilizarlo para calcular y estimar raíces.


2.1 Expresar números grandes en notación científica. 2.2 Ordenar números escritos en notación científica y realizar operaciones sencillas con ellos. 3.1 Calcular raíces cuadradas exactas de números enteros, reconociendo la inexistencia de raíz en el caso de radicando negativo.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

3.2 Estimar raíces cuadradas no exactas con el orden de aproximación requerido.

CONTENIDOS • Potencia

• Notación científica

• Base y exponente de una potencia

• Cuadrados perfectos. Raíz cuadrada exacta

• Potencias de base entera y exponente natural

• Valores aproximados de una raíz cuadrada

• Potencias de base fraccionaria y exponente natural

• Raíz cuadrada entera

• Producto y cociente de potencias de la misma base

• Resto de una raíz cuadrada

• Potencia de una potencia y de un producto

• Número de raíces

• Jerarquía de las operaciones 2

Unidad 3

Potencias y raíces


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En el primer curso se han estudiado las potencias y la raíz cuadrada, trabajando solo con números naturales. Para abordar el cálculo de potencias de base entera o fraccionaria es necesario que los alumnos recuerden la regla de los signos en la multiplicación y el algoritmo para multiplicar fracciones. Antes de introducir la notación científica debemos asegurarnos de que los alumnos tienen soltura en la multiplicación por la unidad seguida de ceros, que han visto en la unidad anterior. Para obtener las aproximaciones de una raíz cuadrada no exacta es necesario que entiendan el concepto de aproximación decimal.

2. Previsión de dificultades Lo que más difícil resulta a los alumnos es el trabajo con potencias con base negativa. Es necesario incidir en el correcto uso de los paréntesis para diferenciar las potencias de base negativa de las potencias de base positiva precedidas por un signo negativo. Esto les resulta especialmente complicado en las operaciones combinadas. El proceso de generalización de las propiedades de las potencias y su expresión algebraica requiere un esfuerzo de abstracción que resulta complicado a algunos alumnos. En cuanto a las raíces, suelen olvidar la raíz negativa. También hay que insistir en la no existencia de las raíces de radicandos negativos.

3. Vinculación con otras áreas En esta unidad, la notación científica permite una vinculación inmediata con el área de Ciencias de la Naturaleza. Así, en Física es imprescindible para medir distancias en el universo; en Química, para trabajar con átomos y moléculas, y en Biología, para poder hacer recuentos celulares, por ejemplo. El estudio de la raíz no exacta permite introducir el número de oro, presente en multitud de situaciones de las ciencias y también del arte, lo que posibilita establecer también una relación con el área de Educación Plástica y Visual.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza recordando el concepto de potencia y sus elementos, base y exponente, para aplicarlos al caso en que la base es entera o fraccionaria.

Se recuerda la jerarquía de las operaciones y se realizan algunas operaciones combinadas muy sencillas de números enteros incluyendo potencias.

POTENCIAS

A continuación se deducen las propiedades de las potencias a partir de ejemplos concretos: producto y cociente de potencias de la misma base, potencia de una potencia y potencia de un producto.

Base entera

En el siguiente epígrafe se explica la notación científica para números grandes. En cuanto a las raíces, se comienza recordando la definición de raíz cuadrada. En el caso de las raíces no exactas se obtienen sus aproximaciones decimales mediante acotaciones sucesivas y se define la raíz entera y el resto.

Esta unidad se cierra con la sección “Resolución de problemas”, en la que se trabajan estrategias de organización de la información del enunciado.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Potencias

Propiedades Notificación científica

RAÍCES CUADRADAS

A continuación se estudia el número de raíces, dos si el radicando es positivo, una si el radicando es cero y ninguna si el radicando es negativo.

Base fraccionaria

Raíces exactas Aproximaciones Número de raíces

2.ª Potencias de números enteros y fraccionarios 3.ª Propiedades de las potencias 4.ª Notación científica 5.ª Raíz cuadrada 6.ª Actividades de consolidación y aplicación 7.ª Pon a prueba tus competencias 8.ª Resolución de problemas

Potencias y raíces

Unidad 3

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Asimismo, en esta unidad se hace un énfasis especial en esta subcompetencia en la sección “Resolución de problemas”, que se orienta a la lectura del enunciado y la organización de la información para resolver un problema.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico Mediante el estudio de la notación científica y su aplicación a distintos campos de la ciencia y la vida cotidiana se trabaja la aplicación del método científico en diferentes contextos. Por otra parte, en la entrada y las actividades se estudian las potencias en el contexto del cuerpo humano, la división celular y las bacterias, lo que permite trabajar la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable. Por último, las actividades contextualizadas en la biodiversidad y el medioambiente trabajan la subcompetencia de medio natural y desarrollo sostenible.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. Asimismo, mediante el estudio de las unidades de almacenamiento se trabaja otra vertiente de la misma subcompetencia.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Por otra parte, en la sección “Resolución de problemas” se realiza un trabajo intensivo de esta competencia, tanto en el conocimiento del propio proceso de aprendizaje como en el manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal De nuevo en la sección “Resolución de problemas” se trabaja esta competencia, en su vertiente de planificación y realización de proyectos, por cuanto las técnicas para afrontar los problemas matemáticos conllevan necesariamente una labor de estructuración, imaginación, resistencia a la frustración y resolución.


4

Unidad 3

Potencias y raíces



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA


Lingüística

– Lee con detenimiento y es capaz de extraer datos tanto implícitos como explícitos en el texto. Entrada. Pon a prueba tus competencias 77 Resolución de problemas

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Aplica con éxito técnicas de resolución de problemas para enfrentarse a situaciones nuevas. Desarrolla tus competencias Actividades 37 y 64 Pon a prueba tus competencias 76 Resolución de problemas

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Aplica las potencias y las raíces a la resolución de problemas de la ciencia y la vida cotidiana. Toda la unidad

Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).

– Interpreta la información en distintos formatos (textos, tablas, gráficos, etc.) y la traduce a lenguaje matemático. Desarrolla tus competencias Actividades 68 y 76. Resolución de problemas


Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos.

– Aplica la notación científica para resolver problemas de diferentes campos. Actividades 37 a 39, 67 y 68 Pon a prueba tus competencias 74 y 77

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Comprende la aplicación de las potencias a la división de células y bacterias, y la asocia con el proceso reproductivo y las enfermedades. Entrada. Pon a prueba tus competencias 77



– Muestra valoración y respeto por la naturaleza. Desarrolla tus competencias Actividades 38 y 39 Pon a prueba tus competencias 74 y 75


– Visita la página librosvivos.net Actividades 9, 13, 27, 35, 62 y RP15. Interactivos, Investiga, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

Conocer los distintos canales y soportes de información.

– Domina las unidades de almacenamiento y comprende su relación con las potencias. Pon a prueba tus competencias 73

Conocimiento del propio proceso de aprendizaje

Tomar conciencia de nuestra manera de aprender.

– Decide qué técnicas de resolución de problemas le son más apropiadas. Resolución de problemas

Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento

Desarrollar experiencias de aprendizaje que fomenten las habilidades individuales para la resolución de problemas.

– Aprovecha y aplica las técnicas de resolución de problemas. Resolución de problemas

Planificación y realización de proyectos

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y aplicarlas.


Comunicación escrita

Matemática

Uso de elementos y herramientas matemáticos


Aprender a aprender


DESEMPEÑO 4.º nivel de concreción

Leer, buscar, recopilar y procesar información.



DESCRIPTOR 3.er nivel de concreción


Potencias y raíces

Unidad 3

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación sexual y afectiva: entrada de la unidad • Educación intercultural: actividad 37 • Educación para el medioambiente: actividades 38 y 39 • Educación para la salud: actividades 71 y 77 • Educación para el desarrollo: “Pon a prueba tus competencias”, actividades 76 y 77


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 1: Números naturales Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 4. Potencias y raíces • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 1: Divisibilidad. Números enteros SM

– Unidad III. Potencias y raíces • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 2: Números fraccionarios y decimales – Unidad I. Números fraccionarios – Unidad II. Números decimales • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I – Actividades 19 y 20: “Cuadrados redondos y otros productos” y “En busca de las raíces”

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd09

Otros

Página para repasar las potencias: www.e-sm.net/2esomatmrd10 Aplicación de GenMagic: www.e-sm.net/2esomatmrd11

Otros materiales

• Calculadora • Bingos y dominós sobre propiedades de las potencias • Cartas ¿Quién tiene…?, de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur. Textos científicos con datos en notación científica • Vídeo Powers of Ten, disponible en www.e-sm.net/2esomatmrd12

6

Unidad 3

Potencias y raíces

Sugerencias didácticas Entrada La fotografía es espectacular y sirve para llamar la atención sobre el texto, cuyo tema, la división celular en el desarrollo embrionario, también es atractivo para la mayoría de los alumnos. Se pueden pedir uno o dos voluntarios para leer el texto y las cuestiones en voz alta. Antes de dejar contestar a los más rápidos, podemos aconsejar a quienes tengan más dificultad que elaboren un diagrama en el que vayan anotando las células obtenidas en cada división. La segunda cuestión debería resultarles sencilla, pues están familiarizados con las potencias de base y exponente naturales. El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias 1. La primera actividad es muy similar a las realizadas en la sección anterior. Lo más importante es que valoren el proceso de generalización, que permite calcular el número de antepasados para cualquier generación. 2. La mayoría de los alumnos reconocerán rápidamente el 64 como el cuadrado de 8. Podemos aprovechar para ver si conocen la notación de raíz cuadrada. También podemos preguntar qué otros números totales de olivos podríamos tener en plantaciones cuadradas, para generar la lista de los cuadrados perfectos. 3. Similar a la anterior, pero esta vez tienen que calcular el cuadrado de un número y una superficie, lo que siempre es interesante, pues el concepto de superficie no está asimilado por muchos de nuestros alumnos.

1. Potencias • Los alumnos están familiarizados con las potencias de base y exponente natural, así que podemos comenzar con ejercicios en los que tengan que expresar productos en forma de potencia y otros en los que tengan que calcular potencias. Se pueden poner algunos ejercicios de verdadero o falso que incluyan errores de este tipo: 23 = 6. • A continuación podemos escribir potencias de base negativa, en una columna de exponente par y en otra de exponente impar, para que deduzcan que en las primeras el resultado es positivo, y en las segundas, negativo. • Es importante insistir en que, si la base de una potencia es negativa, se debe escribir entre paréntesis. Se pueden proponer ejercicios en los que tengan que calcular potencias de base negativa y potencias de base positiva precedidas por un signo negativo. • A continuación se les puede proponer el cálculo de potencias de base fraccionaria aplicando la definición, para que ellos deduzcan que se pueden hallar también calculando la potencia del numerador y la del denominador.

Debemos insistir en que al escribir potencias de fracciones es obligatorio utilizar paréntesis, mostrando con ejemplos que si no se hace así, se confunden con fracciones en las que solo el numerador está elevado a la potencia.


1 y 53

Medio

2 a 9, 52, 54 y 55

2. Producto y cociente de potencias de la misma base • Se pueden proponer actividades guiadas, como la 14, para que los alumnos deduzcan las propiedades del producto y del cociente de potencias de la misma base, de momento con bases naturales, que, por otro lado, muchos recordarán de cursos anteriores. • A continuación se pueden hacer ejercicios en los que se apliquen las propiedades deducidas, pero ahora en potencias de base entera o fraccionaria. En los casos de bases negativas y fraccionarias hay que volver a insistir en la obligatoriedad del paréntesis • El significado del exponente 0 se puede deducir indicando que calculen el cociente 32 : 32 de dos modos: calculando las potencias y dividiendo, y aplicando la propiedad recién estudiada. • En cuanto al significado del exponente negativo, se puede deducir dividiendo potencias de la misma base en las que el exponente del dividendo sea menor que el del divisor. Consideramos este contenido de ampliación, y con la mayoría de los alumnos será más adecuado posponerlo para el curso siguiente, pues ahora todavía no han asimilado bien el trabajo con bases negativas, y tener también signos negativos en los exponentes les confunde mucho.

ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

10 a 17, 56 y 57

3. Potencia de una potencia y de un producto • Los alumnos pueden deducir cómo se calcula la potencia de un producto. Primero tienen que aplicar la definición de potencia, y después, el producto de potencias de la misma base. Conviene hacer varios ejemplos en los que la base sea negativa para que vean que hay que escribir correctamente los paréntesis. • En cuanto a la potencia de un producto, hacer varios ejemplos de dos formas: operando primero en el interior del paréntesis o aplicando la definición de potencia al producto. Después, es interesante que utilicen la propiedad deducida en los dos sentidos: para expresar la potencia de un producto como el producto de las potencias de los factores y también para expresar un producto de potencias de igual exponente como una única potencia.

Potencias y raíces

Unidad 3

7


• En las operaciones combinadas, la mayor dificultad es que confunden potencias precedidas por un signo menos con potencias de base negativa. Una vez más hay que insistir en la importancia de los paréntesis.


18 a 21, 24 y 58

Medio

22, 23, 25 a 27 y 59 a 63

4. Notación científica • Se puede comenzar pidiendo a los alumnos que ordenen números muy grandes, por ejemplo, las masas de los planetas del sistema solar, para que vean que es necesario utilizar una notación más práctica. • A continuación se les dice que la nueva notación se basa en las potencias de 10 y se realizan varios ejercicios. • Una vez explicada la notación científica, se pueden expresar con ella los números de los primeros ejemplos para que vean que ahora es muchísimo más sencillo ordenarlos y compararlos. Debemos insistir en la importancia de que el número decimal tenga una sola cifra entera para que podamos apreciar a simple vista si dos números son o no del mismo orden de magnitud. • Por último, realizaremos multiplicaciones y divisiones con números en notación científica planteando cuestiones como “¿Cuántas veces es más pesado Júpiter que la Tierra?”.


28 a 32, 35, 65 y 66

Medio

33, 34, 36 a 39, 67 y 68

5. Raíz cuadrada de números naturales y enteros • Se puede comenzar proponiendo ejercicios de cálculo mental en los que tengan que averiguar la base de un cuadrado perfecto, por ejemplo, ? 2 = 25, y reescribir las igualdades utilizando la raíz cuadrada. • La raíz cuadrada se llama así en referencia al cuadrado geométrico. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos, siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado del cuadrado. • Para ver que la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado se pueden poner en una columna los números del 1 al 12, y en otra, sus cuadrados, y señalar con flechas que para ir de la primera columna a la segunda hay que elevar al cuadrado, y para ir de la segunda a la primera hay que extraer la raíz cuadrada. • En cuanto a la raíz cuadrada no exacta, hay que explicar el concepto cuidadosamente, porque algunos alumnos piensan que solo existen raíces cuadradas exactas. Se puede explicar que buscamos un número que elevado al cuadrado se parezca al radicando “todo lo que necesitemos”. Se les puede plantear como un reto, por ejemplo, buscamos un número de una sola cifra cuyo cuadrado se parezca lo más posible a 32, a continuación buscamos un número con un decimal, y así sucesivamente. 8

Unidad 3

Potencias y raíces

• El concepto de resto se puede ver gráficamente como el número de puntos que sobran para formar el mayor cuadrado posible • En cuanto al número de raíces, el epígrafe opta por considerar que los enteros positivos tienen dos raíces cuadradas 4 =±2, por coherencia con la definición dada, aunque en cursos posteriores es más frecuente denotar con 4 la raíz positiva y con − 4 la negativa. • Es muy importante insistir en la no existencia de la raíz cuadrada de números negativos. Para ello se retomarán las potencias de base negativa y, una vez más, hay que incidir en la importancia de los paréntesis.


40, 41 y 69

Medio

42 a 51 y 70

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 64, 71 y 72 son problemas de enunciado que facilitan el desarrollo de competencias, principalmente la lingüística, la matemática y la de interacción con el mundo físico.

Pon a prueba tus competencias 73. Memoria digital La actividad aprovecha que las unidades de almacenamiento de los dispositivos digitales son potencias de 2 para enmarcar el trabajo con potencias en un contexto altamente motivador para al alumno, fomentando la competencia digital a la vez que la matemática. Desde el punto de vista matemático han de emplear el cálculo de la potencia de una potencia y la división de potencias de la misma base. El enunciado del segundo apartado puede resultarles complejo. Podemos guiarles para que comprendan que lo que tienen que calcular es el número de fotos que caben en la tarjeta si son de baja resolución (número máximo) o de alta resolución (número mínimo). También podemos indicarles que antes de operar conviertan todos los datos a bytes. 74. El colibrí Sería interesante indicar a los alumnos que utilicen las potencias de 10, no solo para expresar el resultado en notación científica, sino también en el proceso de resolución para facilitar los cálculos. De este modo, la secuencia de operaciones que tendrían que hacer es 103 · 2 · 3 · 10 · 24 · 6 · 10. 75. Embalses de Navarra Esta es una actividad bastante compleja desde el punto de vista matemático, pues exige la utilización de variados elementos: medidas devolumen y capacidad, notación científica, porcentajes…


En el primer apartado conviene recordar a los alumnos que el número decimal en notación científica debe tener una sola cifra entera, pues si no se limitarán a multiplicar las capacidades de la tabla por 109.

La misma estrategia se puede utilizar en el tercer apartado. La actividad puede utilizarse para la Educación para el desarrollo si se les guía a obtener conclusiones y establecer un pequeño debate.

Para el segundo apartado, dado que en este curso todavía no han estudiado proporcionalidad, sería conveniente recordarles cómo calcular los porcentajes.

Autoevaluación

Las respuestas del apartado 4b se pueden poner en común a modo de lluvia de ideas e iniciar un pequeño debate, con el fin de desarrollar la competencia en la interacción con el mundo físico, en la subcompetencia de medio natural y desarrollo sostenible. La última propuesta les pide que se documenten en internet, por lo que, si no se dispone de ordenador en el aula, tendrán que realizarla en casa. 76. Distribución de la población mundial Esta actividad exige, además del trabajo con potencias, la interpretación de gráficos, el cálculo de superficies y el manejo del concepto de escala. En el apartado 1 conviene especificar que empleen la notación científica para expresar las poblaciones. En el apartado 2, seguramente muchos alumnos necesiten que se les aclare cómo obtener la superficie a partir del número de habitantes y la densidad, con preguntas como la siguiente: “Si hay 3760 millones de habitantes en Asia, ¿cuántos kilómetros cuadrados de superficie debe tener Asia para que haya 80 habitantes por kilómetro cuadrado?”. Para el apartado 3 habrá que recordarles el concepto de escala. Conviene que expresen las superficies en centímetros cuadrados antes de dividirlas por el factor de escala, porque si no se encontrarán con una potencia de exponente negativo. La actividad puede utilizarse para la Educación para el desarrollo si se les guía a obtener conclusiones y establecer un pequeño debate. 77. El agua y el cólera En el primer apartado se les indica que operen en notación científica. Van a obtener resultados que no están expresados en notación científica y deberán convertirlos. Conviene que veamos con ellos cómo hacer esto sin necesidad de escribir primero el número en la notación ordinaria: 40% de 7 millones = 4 · 10 · 7 · 106 : 102 = 28 · 105 = = 2,8 · 106 En el segundo apartado se les puede sugerir que hagan un diagrama con las tres primeras divisiones de las bacterias, que generalicen obteniendo la regla para cualquier número de pasos y que calculen cuántos de estos pasos se darían en 5 horas.

Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indique, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Las actividades “Las anillas” y “Relojes de arena” son problemas de estrategia de considerable dificultad. Podemos plantearlos como un reto y estimularles para que perseveren en la búsqueda de soluciones. La actividad “Del 1 al 9” no es difícil de conseguir por tanteo. En la actividad “Tres cifras”, seguramente llegarán pron4 to a la solución 44 . Pueden introducir el número en la calculadora y verán que es tan grande que da error.

Síntesis de la unidad • Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para ello es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. • Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado.

Resolución de problemas • Se muestran mediante ejemplos diferentes técnicas para organizar la información: el subrayado, los esquemas, los dibujos, las tablas y los diagramas de árbol, y se proponen numerosos ejercicios. • Puesto que en la temporalización solo hemos previsto dedicar una sesión a esta sección, y dado que no requieren contenidos nuevos de ninguna unidad en concreto, deberían irse proponiendo para casa a lo largo del curso.


Potencias y raíces

Unidad 3

9

Actividades de refuerzo

Potencias y raíces

Unidad 3 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían conseguir son: • Trabajar con potencias de números enteros. • Hallar el signo de la potencia en función del de la base y del tipo de exponente (par o impar). • Operar con potencias. • Identificar a1 con a, y a0 con 1. • Conocer el concepto de raíz cuadrada y aplicarlo a la resolución de problemas sencillos. • Calcular por tanteo la raíz entera de un número y la aproximación decimal de la raíz cuadrada de un número.

ACTIVIDAD DE GRUPO Triángulo de potencias Organizaremos la clase en grupos y cada uno de ellos intentará encontrar el máximo número de soluciones correctas en el menor tiempo posible. Distribuye las potencias de 2 (21, 22, 23, 24, 25 y 26) formando un triángulo invertido. En ese triángulo debe cumplirse que cada número situado debajo de dos círculos sea el cociente de los números de esos dos círculos que están encima de él, tocándolo. Ese cociente se considera siempre del número mayor dividido por el número menor. Hay cuatro soluciones diferentes, junto con otras cuatro que son las respectivas posiciones simétricas. Búscalas todas y anótalas en un papel. Carrera de raíces Se divide la clase en pequeños grupos de 2 o 3 alumnos. El profesor propone una raíz y cada grupo deberá aproximarse lo más posible por tanteo al resultado correcto, sin hacer la raíz ni utilizar la calculadora. Gana el grupo que más se aproxima y más rápidamente lo hace.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

1

2

3

4

1

4

0

9

2

9

6 8

3 4

1 7

5 6

2

7

1

8

4 6 4

6

7

6

2

7

4

2

2

5

5

9

2

1

5

1 1

6

4

8

4

0

c) −8

0

d) −1 3. a) 484 = 22 ⋅112 = 2 ⋅ 11 = 22 b) 256 = 44 = 42 = 16

4

1

2. a) −27 b) −125

9

9 9

8

2

3

5

2 4

c) 1024 = 210 = 25 = 32 d) 2025 = 34 ⋅52 = 32 ⋅ 5 = 45 4. a) 27, 24, 104, 108, 102 b) 32, 35, 155, 152, 302 d) 63, 33, 37, 32, 36


10

Unidad 3

Potencias y raíces



Potencias y raíces

1. Completa el crucigrama. HORIZONTALES 1. Cubo de 16; 35 : 32 2.

81 ; 28 : 22; (3 ⋅ 5)2

3. 34 ⋅ 30; año del primer centenario del descubrimiento de América. 4. (42)0; 42, 91

1

3

4

5

6

7

8

1

5. 7; (44 : 2)2

2

6. 2 ; (3 ⋅ 7) ; 529

3

7. 132; 52 en orden inverso

4

8. (22)1; (3 ⋅ 10)2; 43 : 42

5

VERTICALES

7

1. 73 : 7; 441

8

1

2

2

6

2. Nada; 25 : 24 ⋅ 22; 71; (23)2 3. 312; 72 4. 24 ⋅ 22; (3 ⋅ 4)2; 32 ⋅ 30 5. 414 : 412; 24 − 42 6. 155 : 153; 16 ; 0 7. (32)3; 52 8. Cuadrado de 23; (2 ⋅ 9)2 2. Adivinando potencias. En los siguientes apartados te proponemos algunas pistas para adivinar a qué potencia nos referimos. ¿Puedes encontrarla? a) Es una potencia de base −3. Es negativa. Tiene dos cifras. b) Es una potencia de base −5. Tiene tres cifras. Es negativa. c) Es una potencia par. Es negativa. Tiene una cifra. d) Es una potencia impar. Es negativa. Tiene una cifra.

3. Calculando raíces cuadradas exactas. Un método muy sencillo para calcular raíces cuadradas cuando son exactas es utilizar la descomposición en factores primos. Por ejemplo, si quiero calcular la raíz de 324, solo tengo que descomponer 324 en factores primos y obtendré 324 = 22 ⋅ 34 Ahora, para calcular la raíz cuadrada solo tenemos que dividir entre dos los exponentes de los factores, en este caso 2 y 4. Y así obtenemos: 324 = 22 ⋅ 34 = 2⋅ 32 =18 Calcula usando este método las siguientes raíces. a) 484

b) 256

c) 1.024

d) 2.025

a) 27 b) 3

2

c) 6

3

:23

⋅ 54

( )2

: 106

⋅ 33

⋅ 55

:153

⋅ 22

:23

⋅ 34

:35

( )3


4. Completa las siguientes cadenas de operaciones con potencias.

Potencias y raíces

Unidad 3

11


Potencias y raíces

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El estudio de potencias y raíces cuadradas ofrece ciertas posibilidades para trabajar con aquellos alumnos con un nivel más avanzado. En este sentido se proponen ejercicios con varias líneas de trabajo diferentes. Se pueden tratar problemas en los que se estudie cómo se comportan las potencias con una base determinada a medida que aumentamos el exponente. El objetivo es presentar un acercamiento muy elemental al concepto de límite y al estudio de la función exponencial. Por otro lado, esta es una unidad en la que se tratan solamente las operaciones más básicas de potencias; por ello, otra posible línea de trabajo dentro de la ampliación son los problemas en los que se resuelven operaciones más complicadas que las tratadas en el texto. Se proponen aquí algunos casos. Este tipo de ejercicios pueden resultar interesantes para preparar mejor a los alumnos para cursos posteriores.

ACTIVIDAD DE GRUPO ¿Quién es el más rápido? Calculando raíces exactas. Vamos a competir por grupos para ver quién puede calcular raíces exactas más rápidamente. Antes de comenzar hay que enseñar a los alumnos algunos trucos para tantear cuál puede ser la raíz cuadrada de un número: si estudiamos las primeras cifras del cuadrado, podemos calcular inmediatamente la primera cifra de la raíz; observando la última cifra del cuadrado podemos limitar los casos para la última cifra de la raíz. Una vez se han seleccionado unos pocos casos posibles, se comprueba cuál es el correcto. Al principio se proponen casos sencillos de cuadrados de enteros con dos cifras: 1.225, 1.764, 3.969, 5.776, 5.929…, y a medida que los alumnos mejoran estas técnicas de tanteo, se puede aumentar la dificultad. El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a desarrollar sus propias estrategias para resolver problemas y que se acostumbren a establecer hipótesis y comprobarlas. Además, la organización del trabajo en grupos para realizar más rápido varias comprobaciones resulta también un buen aprendizaje para ellos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 1 1 1 1 1. a) En cada paso recorremos , , , , , respecti2 4 8 16 32 vamente. En total recorreremos

31 km. 32

5. Probando tenemos 35 = 243, 36 = 729 y 53 = 125. La potencia buscada es 729. 6. Evidentemente, debe ser un número de dos cifras que acabe en 1, 5 o 6. Probando, sale que es el 76.

b) Se acerca a 0. 7.

2. a) 2−1

12 , ⋅107 ⋅6⋅106

(2⋅10 ) 5

2

=

12 , ⋅6 107 ⋅106 ⋅ = 1,8 ⋅ 103 = 1.800 22 1010

b) 3 8. 1

3. 54 ⋅ 33 4. a) 64 b) 8.192 c) 67.108.864 d) 263


12

Unidad 3

Potencias y raíces



Potencias y raíces

1. Potencias de base racional. La paradoja de Zenón. En el siglo V antes de Cristo, un filósofo griego, Zenón de Elea, quiso demostrar que el movimiento no existe, y para ello razonó de la siguiente manera: “Si quiero ir de A a B, primero debo recorrer la mitad de la distancia AB. Después, la mitad de lo que queda; después, la mitad del resto… y así sucesivamente. El proceso ha de repetirse infinitas veces y, por tanto, el tiempo que se requiere es infinito. En conclusión, nunca llegaré a B”. Supongamos que queremos recorrer una distancia de 1 kilómetro. a) ¿Qué distancia recorreremos en cada paso siguiendo el proceso descrito por Zenón? Expresa el resultado con un número racional. Calcula la distancia que recorre en los 5 primeros pasos. ⎛ 1⎞ b) ¿A qué valor se acerca ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ si tomamos valores muy grandes de n? ⎜⎝ 2 ⎟⎠ n

(Observación: en el curso que viene aprenderás a calcular el valor de algunas sumas infinitas como la de este problema). 2. Escribe el resultado en forma de potencia única. a)

2⋅(−2)2 ⋅ 8 ⋅(22 )3 4 ⋅ 24 ⋅16⋅ 23

b)

123 ⋅ (−4)5 ⋅ 182 (−27)2 ⋅ (−512)2

3. Escribe el resultado lo más simplificado posible. 5n+1 ⋅ 5n+3 25n : 81n−1 32n−3 ⋅ 9n+1 4. Una leyenda asegura que el inventor del ajedrez pidió al rey Sirham de la India el trigo que se consiguiera poniendo un grano en el primer cuadrado del tablero, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, y así sucesivamente hasta completar los 64 cuadrados del tablero de ajedrez. a) ¿Cuántos granos de trigo habrá que poner en la casilla 8? b) ¿Y en la casilla 16? c) ¿Y en la casilla 31? d) ¿Cuántos granos de trigo habría que poner en el último cuadrado? Expresa este resultado en forma de potencia. 5. Tenemos una potencia de 3 de tres cifras y una potencia de 5 también de tres cifras. Si la cifra de las decenas de la potencia de 5 coincide con la cifra de las decenas de la potencia de 3, ¿de qué potencia de 3 estamos hablando? 6. Todos hemos advertido que al multiplicar por sí mismo un número terminado en 1 o 5, el producto acaba en la misma cifra. Menos conocido es el mismo resultado para todo número acabado en 6. Por tanto, toda potencia de un número acabado en 6 termina asimismo en 6, y análogamente ocurre para 1 y 5. Por ejemplo: 3.786258 termina en 6.

3579 termina en 5.

3.241132 termina en 1.


Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 puede ser aplicada también a algunos números de dos cifras, es decir, que si elevamos dichos números a otro número, el resultado acabará en esas dos cifras. Uno de ellos es el 25, ¿sabrías decir cuál es el otro? 7. Efectúa la siguiente operación pasando previamente a notación científica. 12.000.000⋅ 6.000.000 (200.000)2 8. Si elevamos 100 a la 100ª potencia y dividimos el resultado entre 11, ¿cuál es el resto? Potencias y raíces

Unidad 3

13


Potencias y raíces

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Calcula las siguientes potencias: ⎛ 1⎞ c) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

⎛ 5⎞ d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

6

a) (−2)

b) −7

3

3

⎛2⎞ f) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

4

⎛ 7⎞ h) −⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

0

e) −(−3)

3

2

g) (−12)

2

2. Un tren de mercancías arrastra 60 vagones. Cada vagón lleva un contenedor para transporte ferroviario en el que caben 60 palés. En cada palé hay 60 cajas. Dentro de cada caja hay 60 bolsas, y en cada bolsa, 60 paquetes conteniendo cada uno 60 lapiceros. Expresa en forma de potencia el número de lapiceros que transporta el tren de mercancías. 3. Expresa en forma de potencia única y calcula: a) 23 ⋅ 22

b) (−2)3 ⋅ (−2)2

c) (−15)2 : (−3)2

d) ((−5)2 )2

e) −(−3)3 ⋅ (−3)2

f) 105 : 52

⎛ ⎞ g) ⎜⎜ 3 ⋅ 5 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝ 5 3 ⎟⎠

h) 73 ⋅ 72 : 74

5

4. Escribe el valor que falta para que se verifiquen las siguientes igualdades: ⎛ 64 ⎞ a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 16 ⎟⎠

⎛ ⎞ b) ⎜⎜ 81⎟⎟⎟ = 33 ⎜⎜⎝ ⎟⎠ 3

=2

4

⎛ ⎞⎟ c) ⎜⎜ ⎟ = 5−2 ⎜⎜⎝125 ⎟⎟⎠ 2

⎛ 35 ⎞ d) ⎜⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ = 81 ⎜⎝ 3 ⎟⎠

5. El depósito de agua de una cierta localidad costera tiene forma cúbica y una capacidad de 4.096 metros cúbicos. Si en verano la población se multiplica por ocho y queremos ampliar dicho depósito, ¿cuáles deberán ser las nuevas medidas? 6. Expresa las siguientes cantidades en notación científica, redondeando a las centésimas: a) 15.340.000

b) 345.680.000

c) 2.872.193.001

d) 12.067.800

7. Resuelve las operaciones indicadas y expresa su resultado en notación científica. a) 6,4 ⋅ 105 ⋅ 3,2 ⋅ 106

b) 15 ⋅ 1012 : 3 ⋅ 105

8. El número de Avogadro, aproximadamente 6 ⋅ 1023, es la cantidad de moléculas que hay en un mol de una sustancia, o dicho de otra manera, un mol de una sustancia son 6 ⋅ 1023 moléculas. Calcula cuántas moléculas hay en 15 moles.


9. Calcula las raíces cuadradas de estos números enteros e indica todas las posibles soluciones.

10. Determina por tanteo la raíz cuadrada de los siguientes números naturales, aproximando el resultado a las centésimas.

14

Unidad 3

a) 3.600

a) 87

b) 576

b) 115 Potencias y raíces

c) −10.000

c) 12

d) 441

d) 55

e) 32.400


Potencias y raíces

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) −8 e) 27

1 64

625 16

b) −49

c)

f) 1

g) 144

h) −

b) (−2)5 = −32

c) 52 = 25

d) (−5)4 = 625

f) 25 = 32

g) 15 = 1

h) 75 : 74 = 71 = 7

c) 2,87 ⋅ 109

d) 1,21 ⋅ 107

d)

49 9

2. 606 lapiceros 3. a) 25 = 32 e) −(−3)5 = 243 ⎛ ⎞ 4. a) ⎜⎜ 64 ⎟⎟⎟ = 24 ⎜⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛ ⎞ c) ⎜⎜ 5 ⎟⎟⎟ = 5−2 ⎜⎜125 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛ ⎞ b) ⎜⎜ 81⎟⎟⎟ = 33 ⎜⎜ 27 ⎟ ⎝ ⎠ 3

⎛ 5⎞ d) ⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ = 81 ⎜⎜ 33 ⎟ ⎝ ⎠ 2

5. Capacidad: 4096 ⋅ 8 = 212 ⋅ 23 = 215 6. a) 1,53 ⋅ 107

Arista: 25

b) 3,46 ⋅ 108

7. a) 6,4 ⋅ 105 ⋅ 3,2 ⋅ 106 = (6,4 ⋅ 3,2) ⋅ (105 ⋅ 106) = 20,48 ⋅ 1011 = 2,048 ⋅ 1012 b) 15 ⋅ 1012 : 3 ⋅ 105 = (15 : 3) ⋅ (1012 : 105) = 5 ⋅ 107 8. 15 ⋅ 6 ⋅ 1023 = 90 ⋅ 1023 = 9 ⋅ 1024 moléculas b) 24

c) −100

9,34 < 87 < 9,44

9,322 < 87 < 9,332

87 = 9,32

b) 102 < 115 < 112

10,72 < 115 < 10,82

1,722 < 115 < 10,732

115 = 10,72

c) 32 < 12 < 42

3,42 < 12 < 3,52

3,462 < 12 < 3,472

12 = 3,46

d) 72 <55 < 82

7,42 < 55 < 7,52

7,412 < 55 < 7,422

55 = 7,41

9. a) 60

10. a) 92 < 87 < 102

d) 21

e) 180

Potencias y raíces

Unidad 3

15

Unidad 3

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

Potencias y raíces

Leer, buscar, recopilar y procesar información.

– Es capaz de extraer datos implícitos y explícitos en un texto. Entrada. Pon a prueba tus competencias 77. Resolución de problemas

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Aplica con éxito técnicas de resolución de problemas para enfrentarse a situaciones nuevas. Desarrolla tus competencias. Actividades 37 y 64. Pon a prueba tus competencias. Resolución de problemas


– Aplica las potencias y las raíces a la resolución de problemas de la ciencia y la vida cotidiana. Toda la unidad

Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).

– Interpreta y traduce la información a lenguaje matemático. Desarrolla tus competencias. Actividades 68 y 76. Resolución de problemas


– Aplica la notación científica para resolver problemas de diferentes campos. Actividades 37 a 39, 67 y 68 Pon a prueba tus competencias 74 y 77


– Aplica las potencias a la división de células y bacterias, y la asocia con el proceso reproductivo. Entrada. Pon a prueba tus competencias 77

Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible


– Muestra valoración y respeto por la naturaleza. Desarrolla tus competencias. Actividades 38 y 39 .Pon a prueba tus competencias 74 y 75


Conocer los distintos canales y soportes de información.

– Domina las unidades de almacenamiento y comprende su relación con las potencias. Pon a prueba tus competencias 73

Tomar conciencia de nuestra manera de aprender.

– Decide qué técnicas de resolución de problemas le son más apropiadas. Resolución de problemas

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y aplicarlas.


Lingüística Comunicación escrita


Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos

Interacción con el mundo físico Aplicación del método científico en diferentes contextos Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico

Aprender a aprender Conocimiento del propio proceso de aprendizaje Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

4

ESO

Expresiones algebraicas

2 CONTENIDO


7




Unidad 4

El lenguaje algebraico es una de las grandes herramientas matemáticas sin las cuales sería imposible concebir la matemática moderna, el lenguaje en el que se desarrollan las grandes ramas, desde el análisis hasta la geometría; es, sin duda, el lenguaje de los objetos designados a través de letras. Para los alumnos de segundo de ESO, este es el primer acercamiento al lenguaje algebraico propiamente dicho. Aunque en primero se han visto algunas nociones básicas de las operaciones con monomios, las justas para iniciar el estudio de ecuaciones de primer grado, es ahora cuando se introducen el concepto de polinomio y las operaciones con polinomios. Es importante que se estudie con detenimiento cómo en muchas circunstancias de la vida ordinaria o en otras materias se usan letras para designar cantidades que a priori se desconocen o que pueden ser variables. Esta idea es básica para el tratamiento en unidades posteriores tanto de ecuaciones como del concepto de función. El nuevo lenguaje no resulta habitualmente sencillo para los alumnos, pues implica un gran grado de abstracción y atención visual. Es importante que se trate cada nuevo contenido con el suficiente detenimiento, especialmente aquellos que se refieren a las operaciones con polinomios. Como ocurre con otros muchos contenidos de la materia, la destreza en el uso del lenguaje algebraico y de las operaciones con polinomios en particular se adquiere con la práctica. Una vez más resultan muy útiles en este sentido los ejercicios de cálculo mental, que en el caso de operaciones con polinomios deben ser muy sencillos (no olvidemos que estamos empezando). Igualmente se pueden plantear ejercicios orales para identificar el grado de polinomios, su número de términos o los diferentes coeficientes.


OBJETIVOS 1. Utilizar el lenguaje algebraico para expresar condiciones o relaciones entre cantidades desconocidas o variables.

1.1 Traducir enunciados verbales sencillos al lenguaje algebraico. 1.2 Reconocer monomios y polinomios identificando sus elementos. 1.3 Calcular el valor numérico de un polinomio dados los valores de las variables.

2. Operar correctamente con expresiones algebraicas sencillas.

3. Valorar la utilidad del lenguaje algebraico.


• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico

2.1 Sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios sencillos.

• Social y ciudadana

2.2 Aplicar las fórmulas notables para calcular, en casos sencillos, el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y el producto de una suma por una diferencia.

• Aprender a aprender

3.1 Interpretar y elaborar, utilizando el lenguaje algebraico, informaciones sencillas relacionadas con las ciencias o con la vida cotidiana.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Lenguaje algebraico

• Valor numérico de una expresión algebraica

• Monomios

• Suma y resta de polinomios

• Partes de un monomio: coeficiente y parte literal

• Multiplicación de polinomios

• Grado de un monomio

• Potencia de una expresión algebraica

• Monomios semejantes • Polinomios • Grado de un polinomio 2

Unidad 4


• Fórmulas notables: cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia y producto de una suma por una diferencia


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En el primer curso se han estudiado la suma y resta de monomios y el producto por una constante, aunque no debe darse por supuesto que los alumnos los aplican correctamente. Para calcular productos y potencias de expresiones algebraicas es necesario que los alumnos apliquen las propiedades de las potencias y la propiedad distributiva.

2. Previsión de dificultades A muchos alumnos de este curso les resulta difícil el proceso de abstracción que supone el trabajo algebraico; sin embargo, sí pueden asimilar la parte mecánica de la realización de operaciones. Para ello deben hacer un esfuerzo por mantener la concentración y por ser ordenados y metódicos.

3. Vinculación con otras áreas Esta unidad es fundamentalmente instrumental, en el sentido de que proporciona herramientas para describir fenómenos y resolver problemas tanto de matemáticas como de las ciencias naturales y sociales.

La entrada, la sección “Desarrolla tus competencias” y el primer epígrafe de la unidad introducen al lenguaje algebraico mediante ejemplos sencillos de traducción desde el lenguaje verbal. Seguidamente se presentan las expresiones algebraicas más sencillas, los monomios y polinomios, describiéndose sus elementos y características: coeficiente, parte literal y grado. A continuación se define el valor numérico de una expresión algebraica. Se presentan después las operaciones, suma, resta y multiplicación, primero con monomios y después con polinomios muy sencillos. En el último epígrafe se define la potencia de una expresión algebraica y se introducen las fórmulas notables, que se aplican únicamente a casos sencillos.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS


Valor numérico Monomios

Suma y resta Multiplicación

Polinomios

Potencias Fórmulas notables

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Desarrolla tus competencias 2.ª El lenguaje algebraico 3.ª Expresiones algebraicas: monomios y polinomios, valor numérico 4.ª y 5.ª Operaciones con expresiones algebraicas 6.ª Fórmulas notables 7.ª y 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª y 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 4

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Por otra parte, en esta unidad se trabaja de forma especial la subcompetencia de reflexión sobre el lenguaje a través de la relación entre el lenguaje natural y el matemático, que es particularmente relevante en álgebra.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad, y en especial en la sección “Pon a prueba tus competencias”, se trabaja la aplicación del álgebra a problemas relativamente especializados como la logística o el cálculo de intereses. Con ello se desarrolla la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico, en su vertiente de hallar soluciones eficaces a problemas científico-tecnológicos.

Competencia social y ciudadana Aunque de forma más puntual, en esta unidad se trabaja la comprensión de los intereses bancarios y las nociones de capital, tipo nominal y plazo de un depósito, en este caso desde una perspectiva algebraica más que analítica. En este contexto se puede trabajar la comprensión del funcionamiento de los bancos, y por tanto la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, en su vertiente de conocer el funcionamiento de la sociedad.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Asimismo, en la sección “Pon a prueba tus competencias” se plantean problemas en contextos nuevos que van más allá de la aplicación directa de la teoría y requieren un esfuerzo de adaptación y un interés más allá de lo estrictamente matemático. Se trabaja así la subcompetencia de construcción del conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal Debido al carácter particularmente abstracto del álgebra, esta unidad requiere un trabajo especial de conceptualización, tenacidad, reflexión, ensayo y error y resistencia a la frustración, que cada alumno debe realizar individualmente para alcanzar el grado de comprensión requerido. Por ello se considera que la unidad en su conjunto contribuye a fomentar la subcompetencia de desarrollo de la autonomía personal.


4

Unidad 4




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA


Lingüística

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





– Traduce expresiones del lenguaje natural al algebraico, y a la inversa. Texto de entrada Actividades 1 a 7 y 37 a 39



– Utiliza razonamientos geométricos para resolver problemas algebraicos. Desarrolla tus competencias Actividades 23, 30, 31 y 46 Pon a prueba tus competencias 3



– Domina las operaciones con expresiones algebraicas y las aplica a la resolución de problemas matemáticos y cotidianos. Toda la unidad

Matemática




– Aplica el álgebra a la resolución de problemas de ámbito científico-tecnológico, como la logística y el cálculo de intereses. Desarrolla tus competencias Actividad 14 Pon a prueba tus competencias 1 y 2

Social y ciudadana


Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento.

– Comprende los intereses bancarios y las nociones de capital, tipo nominal y plazo de un depósito. Pon a prueba tus competencias 1


– Visita la página librosvivos.net Actividades 4, 13, 22 y 29. Interactivos. Síntesis. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

Obtener información, relacionarla e integrarla con los conocimientos previos y con la propia experiencia para generar nuevos conocimientos.

– Partiendo de los conocimientos adquiridos, profundiza y es capaz de resolver problemas en contextos nuevos. Pon a prueba tus competencias 1 a 3 Aprende a pensar con matemáticas


– Demuestra interés y curiosidad por las aplicaciones del álgebra más allá de los planteamientos inmediatos. Pon a prueba tus competencias 1 a 3 Aprende a pensar con matemáticas


Aprender a aprender



Desarrollar la responsabilidad y la perseverancia. Autonomía e iniciativa personal

Desarrollo de la autonomía personal

Desarrollar la autocrítica, la tolerancia a la frustración, la capacidad de demorar la satisfacción inmediata y el espíritu de superación.

– Realiza el trabajo individual necesario para alcanzar el nivel de abstracción propio del álgebra, mostrando tenacidad y resistencia a la frustración. Toda la unidad


Unidad 4

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural: entrada, nota al margen de la sección “Desarrolla tus competencias” • Educación para la comunicación: “Desarrolla tus competencias”, actividad 4 • Educación para la igualdad: actividad 14 • Educación para la ciudadanía: actividad 14, “Pon a prueba tus competencias”, 1 y 2


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 3: Números enteros. Ecuaciones Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado Bibliográficos

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 3: Ecuaciones y sistemas – Unidad I. Expresiones algebraicas

SM

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Matemáticas en vena” • Cuadernos de investigaciones matemáticas. 2.º de ESO – Unidad 2. Símbolos y reglas para comunicarse • Cuaderno de resolución de problemas I – Actividad 12: Suma literal • Iniciación al álgebra. M. Socas (editor). Editorial Síntesis. Colección Cultura y Matemáticas Otros

SM

• Ideas y actividades para enseñar álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis. Colección Cultura y Matemáticas www.smconectados.com www.librosvivos.net

Internet

Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd12 Otros

Unidad interactiva del proyecto Cidead www.e-sm.net/2esomatmrd13 Recurso interactivo de Averroes (red telemática educativa de Andalucía):

Otros materiales


6

Unidad 4

• Capítulos “La quinta noche” y “La sexta noche”, de El diablo de los números, de H. M. Enzensberger. Editorial Siruela • Dominós de expresiones algebraicas y perímetros y pistas de álgebra de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur


Sugerencias didácticas Entrada La fotografía muestra una serie de jeroglíficos egipcios para ilustrar un texto que trata sobre la utilización de símbolos para expresar ideas y que conduce a una idea fundamental en el tema: la utilización de las letras para representar cantidades desconocidas. Así se inicia el trabajo en la subcompetencia de reflexión sobre el lenguaje, que será fundamental a lo largo de toda la unidad. En la primera actividad se debe encontrar la traducción al lenguaje algebraico de un enunciado que expresa una relación entre dos variables. Es posible que los alumnos no estén familiarizados con el trabajo con dos variables y necesiten cierta orientación. Se puede plantear como actividad complementaria el cálculo de los pares de valores x e y que verifican la relación dada, reflexionar sobre el carácter variable de dichos valores y sobre que, dado uno de ellos, el otro queda determinado. La segunda actividad muestra una utilización diferente de las letras, esta vez para designar números en vez de variables, poniendo como ejemplo el número π. Las dos fórmulas que se piden son las del perímetro y el área del círculo. Con ellas se puede incidir en la diferencia entre variable (el radio) y constante (π). El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias 1. La primera actividad resulta motivadora a los alumnos por su carácter lúdico y no tiene mucha dificultad. Si se desea, se puede pedir a los alumnos que codifiquen y decodifiquen otros mensajes con el código dado por el ejercicio o con otros códigos de su invención. Como conclusión se puede conducir a los alumnos a una pequeña reflexión y debate sobre los diferentes códigos que empleamos para transmitir información (numéricos, verbales, simbólicos…). 2. En esta actividad, las letras representan longitudes. Los dos primeros apartados son sencillos, pero el último tiene más dificultad, pues requiere el empleo de fracciones. 3. Para realizar esta actividad deben recordar las fórmulas de las áreas del rectángulo, del cuadrado y del triángulo. Van a tener que realizar operaciones sencillas con las variables. 4. Esta actividad retoma el tema de los símbolos tratado en la entrada. Es una actividad sencilla que puede realizarse de forma oral. Además de las actividades, se puede utilizar como recurso didáctico la nota al margen sobre el origen árabe de la palabra álgebra, que tiene interés por su carácter intercultural. Se puede proponer una pequeña investigación para ampliar el tema.

1. El lenguaje algebraico • La traducción al lenguaje algebraico es un contenido fundamental para comprender la utilidad del álgebra en la descripción de situaciones y en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana o con otras ciencias. • Es preciso, por tanto, que realicemos numerosos ejemplos y que lleguen a automatizar los casos más sencillos: “el doble de”, “el cuadrado de”, etcétera. Podemos empezar proponiendo enunciados referentes a números concretos y después generalizar. Por ejemplo: el doble de 3 es 2 · 3, el doble de 5 es 2 · 5, el doble del número x es 2 · x = 2x. • Es importante prestar atención a aquellos ejemplos relacionados con la prioridad de las operaciones, viendo cómo se expresa esta en los enunciados. Por ejemplo: no es lo mismo la suma de los cuadrados que el cuadrado de la suma. • Puesto que en el curso pasado el contacto de los alumnos con el lenguaje algebraico ha sido fundamentalmente a través de las ecuaciones, tienden a confundir las expresiones algebraicas con ecuaciones. Nos podemos encontrar que, dado un ejercicio en el que deben escribir una expresión algebraica, nos pregunten si tienen que “resolverlo”. Es importante aclarar con numerosos ejemplos en qué casos tenemos ecuaciones y en qué casos no, e insistir en que cuando se tiene una expresión algebraica que no es una igualdad, lo único que podemos hacer es calcular su valor si sabemos el valor de las variables, y que en ese proceso emplearemos el signo igual con un sentido distinto al que tiene en las ecuaciones.


1 a 4, 31 a 34 y 38

Medio

5 a 7, 36, 37 y 39

2. Expresiones algebraicas • Podemos presentar los monomios como las expresiones algebraicas más sencillas y que más se utilizan. Tras explicar la definición podemos proponer ejercicios en los que tengan que identificar los monomios entre otras expresiones algebraicas de un solo término. • Es muy importante que quede clara la terminología referente a los monomios: coeficiente, parte literal, monomios semejantes, para poder explicar las operaciones en el epígrafe siguiente. • El concepto de valor numérico no suele resultar difícil para los alumnos, pero sí suelen cometer errores al calcularlo, sobre todo al sustituir números negativos. Es importante insistir en la importancia de escribir el paréntesis en las potencias de base negativa y prestar atención a si el exponente es par o impar, y también en la jerarquía de las operaciones, pues a veces multiplicarán primero por el coeficiente y después calcularán la potencia.


Unidad 4

7



1 a 4, 40 a 42 y 44

Medio

6, 7, 43, 45 y 46

3. Operaciones con expresiones algebraicas • Para que ellos deduzcan cómo sumar y restar monomios semejantes podemos comenzar escribiendo en la pizarra sumas y restas numéricas en las que se pueda extraer factor común. Por ejemplo: 4·5+3·5=

·5

Después realizaremos actividades del mismo tipo, pero con variables: 4x + 3x =

x

También podemos poner ejemplos en los que se sustituyan las variables por objetos: 4 naranjas más 3 naranjas son 7 naranjas. • Al restar polinomios nos encontraremos una vez más con que los alumnos olvidan que para quitar un paréntesis precedido por un signo menos hay que cambiar el signo de todos los términos que haya en su interior. Podemos relacionar esto con la definición de resta que vimos con los enteros: restar es sumar el opuesto, y si lo vemos conveniente, poner ejemplos numéricos. • Para que entiendan la multiplicación de monomios es necesario reflexionar sobre la propiedad conmutativa: ya que podemos multiplicar en el orden que queramos, multiplicaremos coeficientes por coeficientes y variables por variables. Al multiplicar variables iguales tenemos que hacerles ver que se trata de potencias de la misma base, y, por tanto, se suman los exponentes. • Para que vean que para multiplicar polinomios hay que multiplicar cada uno de los términos del primero por cada uno de los del segundo, podemos poner primero un ejemplo numérico: (2 + 3) · (4 + 5), y resolverlo de las dos formas, primero resolviendo los paréntesis, 5 · 9 = 45, y después aplicando dos veces la propiedad distributiva: 2 · (4 + 5) + 3 · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45 • Conviene que adquieran agilidad en la realización de multiplicaciones entre polinomios sencillos, principalmente monomios y binomios. Si como contenido de ampliación se quiere proponer multiplicaciones entre polinomios de más términos, convendría enseñarles una distribución más adecuada de los polinomios, uno encima de otro, dejando huecos para los monomios que falten, de modo que al final los monomios semejantes queden uno encima del otro para facilitar su suma.


15, 17, 18, 47 y 48

Medio

16, 19 a 23 y 49 a 51

4. Fórmulas notables • Podemos comenzar trabajando con potencias de monomios. Calcularemos dos o tres ejemplos empleando la 8

Unidad 4


definición de potencia para que los alumnos lleguen a la conclusión de que hay que calcular, por un lado, la potencia del coeficiente y, por otro, la potencia de la variable, multiplicando exponentes. Después conviene realizar numerosos ejercicios de este tipo para mecanizar el procedimiento, lo que evitará que cometan errores más adelante al aplicar las fórmulas notables. • A continuación calcularemos el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y la suma por diferencia paso a paso, para deducir las fórmulas. Después debemos convencerles de la importancia de aprender estas fórmulas de memoria, porque estas potencias aparecen con tanta frecuencia que es más práctico conocer las fórmulas que realizar las multiplicaciones. Conviene que memoricen tanto las fórmulas como su enunciado verbal (“cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo…”). • Es interesante utilizar las demostraciones geométricas, como la que se muestra en el margen para el cuadrado de la suma. Existen demostraciones similares para los otros dos productos notables; el ejercicio 30 muestra la del producto de una suma por una diferencia.


24 y 52

Medio

25 a 29 y 54 a 57

Alto

30

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para el cierre de la unidad, que sirvan para sintetizar lo aprendido antes de abordar las actividades de la sección “Pon a prueba tus competencias”.

Pon a prueba tus competencias 1. El interés bancario Como se puede ver en la tabla de la página 5, esta actividad es muy rica desde el punto de vista del desarrollo de competencias básicas, aunque destacaremos aquí la competencia social y ciudadana, pues comprender el funcionamiento de los intereses bancarios es básico para comprender nuestras sociedades. Podría ser interesante deducir con ellos la fórmula, adelantándonos a la unidad de proporcionalidad. Si no lo creemos conveniente, podemos al menos razonar con ellos algunos aspectos, como que el interés generado es mayor cuanto mayor es el capital depositado, el tiempo y el tipo nominal anual. Respecto a este último, decirles que varía de un depósito a otro y que es el dinero que te da el banco por depositar 100 euros durante un año. Podemos pedir a los alumnos que busquen en internet tipos de interés vigentes en diferentes entidades bancarias y para diferentes productos.


También sería bueno reflexionar con ellos por qué a los bancos les interesa que les “prestemos” nuestro dinero aunque nos tengan que pagar unos intereses. En la segunda actividad van a practicar el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica. Debemos insistirles en que al sustituir el tipo nominal, solo deben escribir el número, no el símbolo del porcentaje, pues el 100 ya está dividiendo en la fórmula. La tercera cuestión se corresponde con una ecuación, que tienen que resolver por tanteo, sustituyendo las distintas opciones para ver cuál es solución. Podemos pedirles que planteen dicha ecuación y aprovechar para volver a insistir en la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. 2. Tarifas de transporte por carretera

En la primera se realizaría la lectura y reflexión individual sobre las cuestiones, y en la segunda se formarían parejas o grupos de tres o cuatro alumnos para poner en común las soluciones.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indiquen, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

En esta actividad, los alumnos van a desarrollar especialmente la competencia en la interacción con el mundo físico, aplicando las matemáticas para tomar decisiones relacionadas con la logística.

También puede utilizarse como actividad de coevaluación, resolviendo cada uno la suya y después intercambiándola con un compañero para su corrección.

Es una actividad compleja en la que tienen que analizar y procesar mucha información.

Aprende a pensar... con matemáticas

En el primer apartado se pide una fórmula que contenga toda la información sobre la tarifa de la primera empresa. Seguramente muchos alumnos necesiten ayuda. Se les puede decir que empiecen pensando cuánto costaría con dicha empresa transportar 1 kilogramo de mercancía a 1 kilómetro; a continuación, que piensen el precio para 2 kilogramos y 3 kilómetros, y después, que generalicen a x kilogramos e y kilómetros. Una vez obtenida la fórmula, se puede comparar con la información verbal para que valoren el lenguaje algebraico por ser mucho más breve y, a la vez, universal. El segundo apartado debería ser más asequible una vez realizado el primero. Para finalizar, el último apartado da sentido a todos los anteriores, pues vamos a utilizar nuestras fórmulas para ver qué empresa nos conviene elegir en cada pedido. Este es un ejemplo muy claro de la utilidad de las matemáticas para la toma de decisiones. 3. Perímetro y área de una zona ajardinada Esta actividad es muy completa desde el punto de vista matemático porque combina contenidos propios de la unidad con contenidos de geometría. En cuanto al álgebra, los alumnos van a tener que expresar en el lenguaje algebraico relaciones dadas en forma verbal o visual, operar con expresiones algebraicas y calcular valores numéricos. En cuanto a la geometría, van a calcular perímetros y áreas de figuras compuestas. Por último, toda la información obtenida va a servir, igual que en la actividad anterior, para tomar decisiones y resolver cuestiones de logística. La actividad es bastante compleja, y seguramente un número importante de alumnos necesite ayuda para resolver las cuestiones. Podemos fomentar que los alumnos con más capacidad ayuden a los que tienen más dificultad organizando la actividad en dos fases.

Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes. La primera actividad, “Cuadrados de cerillas”, es muy motivadora por su carácter lúdico. Una opción interesante es llevar cerillas a la clase para que puedan resolver el ejercicio de un modo manipulativo. La actividad “Los seis toneles” es un problema muy adecuado para resolver por tanteo o por prueba y error. Es enriquecedor para la clase pedir a los alumnos que lo resuelvan que pongan en común la estrategia seguida. La actividad “La decisión más difícil” es un acertijo en cuya resolución puede ser útil el empleo de esquemas de árbol para organizar la información.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para ello es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquemaresumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. Una idea para utilizar el resumen como recurso didáctico es proponer a los alumnos que asignen las actividades realizadas a lo largo de la unidad al apartado del resumen al que correspondan. Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizarse las tarjetas para jugar en grupo.



Unidad 4

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Usar el lenguaje algebraico para expresar relaciones entre variables y situaciones de la vida cotidiana. • Reconocer y usar las expresiones algebraicas y calcular su valor para un determinado valor numérico. • Distinguir los elementos básicos de los monomios y polinomios y realizar operaciones con ellos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Memory algebraico Dividimos la clase en cinco grupos. Cada grupo hará un listado de 20 expresiones verbales junto con su traducción al lenguaje algebraico. Una vez que hayamos corregido los listados, se los devolveremos y cada grupo elaborará sobre una cartulina de color 40 cartas cuadradas. En 20 de esas cartas se escribirán los diferentes enunciados, y en las 20 restantes, las expresiones algebraicas. De esta forma tendremos 5 juegos diferentes de 20 parejas. Entregaremos un juego por grupo (diferente al que hayan elaborado), mezclarán las cartas y las colocarán boca abajo. Los alumnos irán levantando por turno dos cartas; si coincide el enunciado con su expresión algebraica, el alumno se quedará con la pareja y volverá a levantar dos cartas; en caso contrario las colocará boca abajo en el mismo sitio y pasará el turno al siguiente jugador. Ganará el alumno que más parejas consiga. Dados de polinomios Se organizan grupos de cuatro o cinco personas que competirán unos con otros. Antes de comenzar el campeonato, cada grupo debe fabricarse un dado de polinomios: con cartulina se construye un dado en cuyas caras figuren los siguientes monomios: x3, x2, −x2, x, −x, 1. Por turnos, cada grupo lanza el “dado de polinomios” dos veces y un dado ordinario también dos veces. Con los valores obtenidos por los dos dados se formará un polinomio: las puntuaciones obtenidas con el dado ordinario serán los coeficientes que multiplicarán los valores obtenidos con el otro dado. Una vez se ha obtenido un primer polinomio, se repite la operación y se obtiene un segundo. Los distintos grupos se intercambian los polinomios obtenidos y deben calcular la suma, la resta y el producto de ambos. Se trata de ver qué grupo es más rápido en estos cálculos. Se puede variar el nivel de dificultad de la actividad simplificando o complicando los monomios del dado o ampliando el número de lanzamientos, para conseguir trinomios…

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Miguel: x b) Pedro: x − 2 c) Luis: (x − 2) − 2 = x − 4 d) Araceli: 28 + x e) Manuel: (28 + x) − 1 = x + 27 2. Grado 2: (2x − y)2 Grado 3: 3x2 − 2x2 − x2 + a2 Grado 4: a4 − ab (1 − a) ⋅ 2a3 Grado 5: xy3 − 3x2y + 2y5

3. a) 0 b) 9 c) 0

1 + ab

ab + bc + ac

2xy2 + 2x2y

y3 − 8y

5xy3 − 13a4

(2 − ab) ⋅ ab

4. a) 3x3 + 6x − 9 b) 3x3 + 3x2 + 3x − 14 c) x5 + 4x3 + 11x2 + x − 6 d) −x3 + 2x2 − 4x + 11 e) 3x3 + 3x2 + 9x − 10 f) x5 + 4x3 + 11x2 − 3x + 10

x2y3 − 3x2y + 2y5


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Unidad 4



ACTIVIDADES de REFUERZO


Unidad 4

1. Traduce al lenguaje algebraico las edades actuales de Miguel, sus hermanos y sus padres. Años de Miguel.

x

Su hermano Pedro es dos años más pequeño. Luis, el más pequeño, tiene dos años menos que Pedro. Araceli, la madre, tenía 28 años cuando nació Miguel. Manuel, el padre, tiene un año menos que Araceli.

2. Marca en azul los polinomios de grado 2, en rojo los de grado 3, en verde los de grado 4 y en naranja los de grado 5. x2y3 − 3x2y + 2y5 xy3 − 3x2y + 2y5

(2x − y)2 a − ab 4

y3 − 8y

ab + bc + ac

1 + ab

3x2 − 2x2 − x2 + a2

5xy3 − 13a4

2xy2 + 2x2y

(2 − ab) ⋅ ab

(1 − a) ⋅ 2a3

3. Marca el valor numérico correcto en cada caso. a)

b)

a = −2

c)

x = 3, y = −1

x = −4, y = 2

→

→

→ a3 − 3a + 2

(x + 2y)2

2x2 − 3y − 12

→

→

→

→

→

→

→

→

→

16

0

6

9

3

6

20

0

10

4. Sumando polinomios. Vamos a practicar un pequeño truco para sumar y restar polinomios de forma más sencilla. Para ello sumaremos dos polinomios, por ejemplo, x4 + 3x3 − 4x2 + 8 y x3 + 6x2 − 7x + 10.

Tenemos que empezar a colocar los polinomios por la derecha, y si falta algún término, colocaremos un cero en su lugar. Una vez colocados los polinomios, sumamos los términos semejantes. Para restar los polinomios, los colocamos del mismo modo, solo que cambiamos de signo el polinomio precedido por el signo menos.

x4

+ 3x3

− 4x2

+

+

+

x3

+ 6x2

− 7x

+ 10

x4

+ 4x3

+ 2x2

− 7x

+

2

x4

+ 3x3

− 4x2

+

+

8

+

−x3

− 6x2

+ 7x

− 10

x4

+ 2x3

−10x2

+ 7x

−

0

0

8

2

Usando este método, calcula las siguientes sumas y restas de polinomios. a) (x3 + x2 + x + 1) + (2x3 − x2 + 5x − 10)

b) (3x3 − 4x2 + 6x − 12) + (7x2 − 3x − 2)

c) (x5 − 2x3 + 11x2 − x + 2) + (6x3 + 2x − 8)

d) (x3 + x2 + x + 1) − (2x3 − x2 + 5x − 10)

e) (3x3 − 4x2 + 6x − 12) − (7x2 − 3x − 2)

f) (x5 − 2x3 + 11x2 − x + 2) − (6x3 + 2x − 8) Expresiones algebraicas

Unidad 4


Colocamos los polinomios en dos filas de tal manera que queden alineados en columnas los términos semejantes.

11

Actividades de ampliación


Unidad 4

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El estudio del lenguaje algebraico se inicia en 2. º de ESO y, a partir de aquí, cada año se profundiza en su uso, puesto que es una imprescindible herramienta matemática. Por ello hay muchas posibilidades para trabajar esta unidad con los alumnos con un nivel más avanzado, y se pueden plantear ejercicios análogos a los vistos en el texto, pero con polinomios con más términos o con términos más complicados o mayor número de variables. Los ejercicios que se presentan en esta sección surgen a partir de esta idea. La actividad en grupo propuesta tiene como objetivo que los alumnos comiencen a familiarizarse con las demostraciones en matemáticas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Demostraciones con cartulina Pediremos a los alumnos que traigan al aula cartulinas de colores. Con ellas y con ayuda de las demostraciones que vienen en las direcciones del margen de la página 91 del libro de texto, les pediremos que hagan un mural en el que desarrollen paso a paso la demostración de la suma por diferencia. Podemos pedirles que hallen por sí mismos las fórmulas del cubo de una suma y de una diferencia, aplicando la definición de potencia. Una vez que tengan las fórmulas demostrarán, con ayuda de cubos y ortoedros, la fórmula de la suma.

a 2b

b 2a

a3

a 2b

b 2a

b3

b 2a

a 2b

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La fórmula general es:

3. a)

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc es decir, la suma de los cuadrados de cada término más todos los posibles dobles productos. a) x4 + 9x2 + 16 + 6x3 + 8x2 + 24x

(a + b)2 −(a−b)2 = 4

=

a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab−b2 4ab = = ab 4 4

b) 3.611.903

b) x + 4x + 1 + 4x + 2x + 4x 6

4

4

3

4. a) 1 2. La fórmula general es: a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd es decir, la suma de los cuadrados de cada término más todos los posibles dobles productos. a) x4 + 9x2 + y2 + 16 + 6x3 + 2x2y + 8x2 + 6xy + 24x + 8y b) x y + 4y + 9x + 1 + 4xy + 6x y + 2xy + 12xy + + 4y + 6x 2 2

2

2

2

2

b) 3.249

d) Si tomamos b = a + 1, tenemos: a2 + (a + 1)2 + a2 (a + 1)2 = = a2 + a2 + 2a + 1 + a4 + 2a3 + a2 = (a2 + a + 1)2 5. a) x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 b) x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1


12

Unidad 4


c) 961




1. Vamos a buscar una fórmula para encontrar el cuadrado de un trinomio: desarrolla la expresión (a + b + c)2, agrupa términos semejantes encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados. a) (x2 + 3x + 4)2

b) (x3 + 2x + 1)2

2. Más difícil todavía. Desarrolla la expresión (a + b + c + d)2, encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados. a) (x2 + 3x + y + 4)2

b) (xy + 2y + 3x + 1)2

3. En 1856 se editó en Francia un libro muy curioso: Tabla de los cuadrados de los números 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números… Compuesta por Alejandro Cossar. Desde nuestro punto de vista resulta bastante ridícula semejante publicación, ¿verdad? Sin embargo, no se trata de una original forma de pasatiempos, la utilidad de este tipo de tablas consistía en que permitían transformar productos en sumas y realizar productos de valores grandes más ágilmente. Evidentemente, en aquella época no había calculadoras. El mecanismo consistía en utilizar igualdades como esta: ab =

(a + b)2 −(a− b)2 4

a) ¿Sabrías demostrar esta igualdad? b) Utiliza la igualdad para calcular 2.479 ⋅ 1.457 empleando los datos: (2.479 + 1.457)2 = 15.492.096

(2.479 − 1.457)2 = 1.044.484

c) Realiza la misma operación directamente. ¿Cómo te ha resultado más corto? 4. Se considera la expresión algebraica a2 + b2 + (ab)2. a) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 0, b = 1. b) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 7, b = 8. c) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 5, b = 6. d) Demuestra que la expresión dada resulta siempre un cuadrado perfecto si a y b son dos valores consecutivos. (Indicación: intenta expresarla como el cuadrado de un trinomio). 5. El binomio de Newton es una fórmula general que nos permite desarrollar potencias de cualquier exponente de un binomio. Empecemos tanteando los casos más sencillos. a) Ya conoces la fórmula del cuadrado de una suma: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy, y en la actividad de grupo has desarrollado el cubo de una suma. ¿Podrías encontrar una fórmula para desarrollar el cubo de una suma (x + y)4? b) La fórmula del binomio de Newton es la siguiente: ⎛ n ⎞⎟ n−1 1 ⎛ n ⎟⎞ n 0 ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ (x + y )n = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ x 0 y +⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ x1y n−1 +⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ x 2 y n−2 +…+⎜⎜⎜ ⎟ x y +⎜⎜⎜ ⎟⎟ x y ⎝ n⎠ ⎝ n−1⎟⎠ ⎝2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝0⎠

donde los coeficientes son:


⎛ n ⎞⎟ n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅ 3⋅ 2⋅1 ⎜⎜ ⎟= ⎜⎝ k ⎟⎠ ⎡(n− k)⋅(n −k −1)⋅ 3⋅⋅ 2⋅1⎤ ⋅ ⎡k ⋅(k −1)⋅(k −2)⋅ 3⋅ 2⋅1⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 6⋅5⋅ 4⋅ 3⋅2⋅1 Fíjate en un ejemplo de cómo se calcula un coeficiente 6 = =15 4 (2⋅1)⋅(4⋅ 3⋅2⋅1)

()

Aplica la fórmula del binomio de Newton para calcular (x + 1)5, (x + 1)6. Expresiones algebraicas

Unidad 4

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN


Unidad 4 APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) Un número par. b) La mitad de un número por su quinta parte. c) La altura de la torre de la iglesia, que es 10 metros mayor que el doble de mi casa. d) El padre de Carmen tiene el triple de años que ella menos 5 años. e) La suma de los cuadrados de dos números. 2. En un centro de trabajo se ha realizado una campaña de donación de sangre. El primer día se consiguieron 5 litros más que el segundo, mientras que en el segundo día se obtuvieron 3 menos que en el tercero. Si en el cuarto y último día se donó la tercera parte de litros que en el tercero, expresa en lenguaje algebraico la cantidad de litros diarios que se recogieron en función de lo que se donó el tercer día. 3. Calcula el valor numérico de la expresión x2y − 2xy2 + xy + 3x − 2y para x = −2 e y = 3. 4. Simplifica las expresiones agrupando términos. a) x3 − 5x2 + 3x2 − 7x3 + 6x − 8 + 2x b) − 4ab + 5b2 + 7a2b + 13ab − 10a2b − 15a2 5. Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios. a) (3x2 − 5x + 7) + (15 + 2x − 7x2) ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ b) ⎜⎜ x − x −8⎟⎟+⎜⎜ 7 x + 3 x +13⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜⎝ 3 5 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 3 5 ⎠

c) (x2y − 4xy + 7) − (3x2y + 5xy − 10) d) (3 − 7x + 6x2 − 9x3) − (5x3 + 6x2 − 9x + 9) e) (11a − 5b + ab) − (3ab + 7b − 5a) + (−10b + 3ab + 9a) 6. Escribe sin paréntesis y simplifica. a) 3(5x + 7) + (9 − 6x) b) (x2 − 5x + 17) − 2(3 − 4x2) − 6(5x + 9)


7. Calcula los siguientes productos. a) 5x2(2 − 3x + 7x2) b) (−5ab)( a − 3b + 5b2) c) (2 − 4x)(3x + 8)

14

8. Desarrolla los siguientes cuadrados. a) (3x − 5)2 b) (10a + 30b)2 c) (7 − 6y)2 9. Halla los siguientes productos. a) (11x − 2z)(11x + 2z) b) (7a − 3b)(7a + 3b) Unidad 4




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) 2x b)

x x x2 ⋅ = 2 5 10

c) Casa: x

Torre: 2x + 10

d) Carmen: x

Padre: 3x − 5

e) x + y 2

2

2. Primer día: (x − 3) + 5 = x + 2 Segundo día: x − 3 Tercer día: x Cuarto día:

x 3

3. (− 2)2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 32 + (−2) ⋅ 3 + 3 ⋅ (−2) − 2 ⋅ 3 = 12 + 36 − 6 − 6 − 6 = 30 4. a) − 2x3 − 2x2 + 8x − 8 b) −3a2b − 15a2 + 5b2 + 9ab 5. a) −4x2 − 3x + 22 b)

8 x2 2x + +5 3 5

c) −2x2y − 9xy + 17 d) −14x3 + 2x − 6 e) ab + 15a − 22b 6. a) 15x + 21 + 9 − 6x = 9x + 30 b) x2 − 5x + 17 − 6 + 8x2 − 30x − 54 = 9x2 − 35x − 37 7. a) 10x2 − 6x3 + 32x4 b) −5a2b + 15ab2 − 25ab3 c) 6x + 16 − 12x2 − 32x = −12x2 − 26x + 16 8. a) 9x2 − 30x + 25 b) 100a2 + 600ab + 900b2 c) 49 − 84y + 36y2 9. a) 121x2 − 4z2 b) 49a2 − 9b2


Unidad 4

15

Unidad 4

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO



Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis, conocer y aplicar las reglas del sistema de la lengua.


Realizar razonamientos para solucionar problemas u obtener información.


Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones cotidianas.

Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico



Conocer y comprender los valores de las sociedades democráticas, sus fundamentos, modos de organización y funcionamiento.



Actividades 4, 13, 22 y 29. Interactivos, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red


– Partiendo de los conocimientos adquiridos, profundiza y

– Traduce expresiones del lenguaje natural al algebraico, y

a la inversa. Texto de entrada. Actividades 1 a 7 y 37 a 39 – Utiliza razonamientos geométricos para resolver


– Domina las operaciones con expresiones algebraicas y

las aplica a la resolución de problemas matemáticos y cotidianos. Toda la unidad – Aplica el álgebra a la resolución de problemas de ámbito

científico-tecnológico, como la logística y el cálculo de intereses. Desarrolla tus competencias. Actividad 14. Pon a prueba tus competencias 1 y 2 – Comprende los intereses bancarios y las nociones de

capital, tipo nominal y plazo de un depósito. Pon a prueba tus competencias 1 – Visita la página librosvivos.net.

es capaz de resolver problemas en contextos nuevos. Pon a prueba tus competencias 1 a 3 Aprende a pensar con matemáticas – Demuestra interés y curiosidad por las aplicaciones del


Autonomía e iniciativa personal Desarrollo de la autonomía personal

problemas algebraicos. Desarrolla tus competencias Actividades 23, 30, 31 y 46 Pon a prueba tus competencias 3

Desarrollar la responsabilidad y la perseverancia.

álgebra más allá de los planteamientos inmediatos. Pon a prueba tus competencias 1 a 3 Aprende a pensar con matemáticas – Realiza el trabajo individual necesario para alcanzar el

nivel de abstracción propio del álgebra, mostrando tenacidad y resistencia a la frustración. Toda la unidad





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

5

ESO

Ecuaciones de primer grado

2 CONTENIDO


7




Unidad 5

En esta unidad se estudian las ecuaciones de primer grado, su resolución y su aplicación para resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias. Algunos conceptos se han trabajado en el curso anterior; sin embargo, conviene comenzar desde el principio, pues a menudo se encuentran procedimientos mal adquiridos y conceptos olvidados. Es importante evitar que los alumnos traspongan términos sin comprender lo que hacen, deben entender que el proceso de resolución de ecuaciones consiste en obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas mediante la realización de la misma operación en ambos miembros de la ecuación. Una vez asegurada la adquisición de las técnicas básicas de resolución de ecuaciones, es aconsejable que los alumnos practiquen de manera reiterada y con dificultad creciente, a fin de ir superando los obstáculos que surjan y afianzando los procedimientos. La resolución de problemas supone una dificultad añadida para los alumnos de este nivel. Conviene empezar con problemas sencillos intentando afianzar los primeros pasos y estimar si la progresión se deja para cursos posteriores.


OBJETIVOS 1. Reconocer una ecuación, identificar los elementos que la caracterizan y obtener ecuaciones equivalentes.

1.1 Reconocer una ecuación como una igualdad algebraica que solo se cumple para algunos valores de la variable. 1.2 Identificar los miembros, los términos, la incógnita, el grado y la solución de una ecuación. 1.3 Obtener ecuaciones equivalentes a una dada mediante la realización de la misma operación en ambos miembros.

2. Resolver ecuaciones de primer grado con corrección. 3. Valorar la utilidad de las ecuaciones de primer grado para resolver problemas.

2.1 Resolver ecuaciones de primer grado mediante la obtención de ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas. 3.1 Resolver problemas sencillos relacionados con la vida cotidiana o con otras ciencias, mediante ecuaciones de primer grado.

CONTENIDOS • Ecuaciones • Términos y miembros de una ecuación • Solución de una ecuación • Grado de una ecuación • Transformación de ecuaciones mediante la suma o resta de un número • Transformación de ecuaciones mediante la multiplicación o división por un número • Transformación de ecuaciones mediante la suma o resta de un término en x • Resolución de ecuaciones de primer grado • Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis • Resolución de ecuaciones de primer grado con fracciones • Resolución de problemas mediante ecuaciones

2

Unidad 5



• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En el primer curso, los alumnos han resuelto ecuaciones de primer grado muy sencillas, sin paréntesis ni denominadores. Para resolver ecuaciones con paréntesis deben aplicar con soltura la propiedad distributiva, y para resolver ecuaciones con fracciones deben tener agilidad en el cálculo del mínimo común múltiplo.

2. Previsión de dificultades Lo que más difícil resulta a los alumnos es quitar correctamente paréntesis y denominadores precedidos por un signo menos.

3. Vinculación con otras áreas Las ecuaciones de primer grado son un elemento imprescindible en las Matemáticas de toda la secundaria y en el resto de las áreas, ya que se aplican a la resolución de todo tipo de problemas, movimientos, interés bancario, etc.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza recordando el concepto de ecuación y nombrando sus elementos: miembros, términos e incógnitas. Después se define la solución y el grado de una ecuación.

En los siguientes epígrafes se muestra paso a paso, mediante ejemplos, el proceso de resolución de ecuaciones con paréntesis y con denominadores. Por último se dan los pasos para resolver problemas mediante ecuaciones y se ilustran mediante ejemplos.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones:

Ecuaciones ECUACIONES DE PRIMER GRADO

A continuación se explican los procedimientos para obtener ecuaciones equivalentes a una dada: suma o resta de un número, multiplicación o división por un número y suma o resta de un término en x. En la resolución de ecuaciones se emplean explícitamente estos procedimientos, evitándose la trasposición directa de términos.

Elementos Solución Grado Transformación de ecuaciones

Resolución

Ecuaciones con paréntesis Ecuaciones con fracciones

Problemas

Proceso de resolución

1.ª Desarrolla tus competencias. Ecuaciones 2.ª y 3.ª Transformación y resolución de ecuaciones 4.ª Ecuaciones con paréntesis 5.ª Ecuaciones con fracciones 6.ª y 7.ª Resolución de problemas 8.ª y 9.ª Actividades de consolidación y aplicación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 5

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Además de lo anterior, en esta unidad se trabaja de forma especial la subcompetencia de reflexión sobre el lenguaje a través de la relación entre el lenguaje natural y el matemático, al traducir entre ambos los enunciados de los problemas sobre ecuaciones.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Esta unidad es de carácter instrumental, por lo que se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En esta unidad se desarrolla la competencia de interacción con el mundo físico desde dos perspectivas: por una parte, se estudian diversas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado a la ciencia y la vida cotidiana. Con ello se trabaja la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos. Por otra parte, determinados problemas están contextualizados en temas nutricionales, lo que permite profundizar en estos aspectos y contribuir a que los alumnos se conciencien sobre ellos. De este modo se trabaja la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Competencia cultural y artística En la sección “Pon a prueba tus competencias” se emplean las ecuaciones de primer grado en el contexto de algunos de los mayores rascacielos del mundo. De este modo se contribuye a conocer las características y ubicación de estos edificios, y se trabaja la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. Asimismo, para superar la abstracción de los planteamientos formales de las ecuaciones, estas se introducen utilizando las balanzas como metáfora. La correcta interpretación y aplicación de esta metáfora supone un trabajo de organización y relación de la información, que se enmarca dentro de la misma subcompetencia.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Además de lo anterior, a lo largo de la unidad se trabajan otras dos vertientes de esta competencia: por una parte, en muchas actividades se pide al alumno un esfuerzo de razonamiento inverso al habitual y con cierta dosis de originalidad, lo que trabaja la subcompetencia de construcción del conocimiento. Por otra parte, también se espera del alumno que sea capaz de producir sus propios enunciados, lo que supone una labor de comprensión y una experiencia de aprendizaje más profunda. Se trabaja así el manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.


4

Unidad 5




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA


Lingüística

– Traduce expresiones, y en concreto ecuaciones de primer grado, entre el lenguaje natural y el algebraico. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 33, 53 y 57 Pon a prueba tus competencias 70

Interpretar y expresar conclaridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.

– Comprende la analogía entre balanzas y ecuaciones y sabe trabajar con ella. Desarrolla tus competencias. Epígrafe 2


– Utiliza razonamientos geométricos para resolver problemas con ecuaciones de primer grado. Actividades 63, 64 y 66

Comprender y elaborar cadenas argumentales identificando ideas fundamentales.

– Comprende los pasos de resolución de las ecuaciones de primer grado. Actividades 22, 23, 44, 55, 57 y 59 Pon a prueba tus competencias 70



– Resuelve ecuaciones de primer grado y las aplicas a problemas matemáticos y cotidianos. Toda la unidad



– Aplica las ecuaciones a distintos contextos. Resuelve. Actividades 65 a 69 Pon a prueba tus competencias 72



– Demuestra comprensión y concienciación sobre la necesidad de una dieta equilibrada. – Actividades 68 y 69


Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural, y desarrollar el interés por participar en la vida cultural.

– Reconoce los rascacielos como patrimonio artístico y muestra interés por conocer más sobre ellos. Pon a prueba tus competencias 72


– Visita la página librosvivos.net Actividades 17 y 32. Interactivos, Investiga, Síntesis. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

Organizar la información, relacionarla y sintetizarla.

– Interpreta y aplica correctamente las balanzas como metáfora de las ecuaciones. Desarrolla tus competencias. Epígrafe 2


Potenciar el pensamiento creativo propio.

– Realiza razonamientos inversos, partiendo de datos distintos de los habituales. Desarrolla tus competencias Actividades 9, 29, 31, 34, 55 Pon a prueba tus competencias, 71

Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento


– Plantea sus propios enunciados de problemas. Actividades 41 y 62 Pon a prueba tus competencias 70


Matemática



DESEMPEÑO 4.º nivel de concreción




DESCRIPTOR 3.er nivel de concreción


Aprender a aprender


Unidad 5

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural: ilustración al margen de la sección “Desarrolla tus competencias”, actividad 72 • Educación para la salud: actividades 68 y 69 • Educación para la convivencia: actividad 70


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 3: Números enteros. Ecuaciones Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO SM

– Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado • Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 3: Ecuaciones y sistemas – Unidad II. Ecuaciones de primer grado • Cuaderno de investigaciones matemáticas. 2.º de ESO – Unidad 2. Símbolos y reglas para comunicarse • Cuaderno de resolución de problemas I

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net

Internet

Unidad del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd16 Recurso interactivo de Averroes (red telemática educativa de Andalucía): Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd17 Página donde podemos bajar una aplicación de Excel para resolver ecuaciones de primer grado:

Otros materiales


6

Unidad 5

• Balanzas y pesas para explicar la obtención de ecuaciones equivalentes • Bingos, dominós o tarjetas para emparejar ecuaciones con sus soluciones


Sugerencias didácticas Entrada A lo largo de toda la unidad se fomenta la subcompetencia lingüística de reflexión sobre el lenguaje, mediante la relación entre el lenguaje natural y el algebraico. El texto presenta la resolución de ecuaciones de una forma que puede resultar motivadora para los alumnos, como el proceso de “desenmascarar” la x. La primera cuestión presenta tres ecuaciones sencillas para resolver mentalmente, por tanteo. Puede ser interesante traducir dichas ecuaciones. Por ejemplo, en la primera ecuación buscamos un número que sumado a 15 dé 35. En la segunda cuestión deben poner ejemplos de la utilización de letras diferentes a la x para representar un número desconocido. Los alumnos conocen al menos las fórmulas de cálculo de áreas. El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias La utilización de las balanzas como metáfora de las ecuaciones es un recurso clásico, muy útil para presentar a los alumnos de un modo visual las reglas de la suma y el producto para obtener ecuaciones equivalentes. Es muy interesante llevar al aula una balanza de verdad, y hacer que los alumnos participen, quitando y poniendo pesas para resolver ecuaciones similares a las que proponen las actividades. 1. En la primera actividad verán que, si se quita material de uno de los platos, han de quitarlo también del otro para que la balanza quede equilibrada. La conclusión para las ecuaciones es que si se resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente. 2. En la segunda actividad ven que si se triplica el material de una balanza, deben triplicar el de la otra. Por tanto, si se multiplican los dos miembros de una ecuación por el mismo número, se obtiene una ecuación equivalente. 3. En esta actividad deben deducir lo que pesa uno de los objetos. Seguramente encontrarán la solución de un modo intuitivo. Podemos pedirles que expliquen el proceso de resolución para que se den cuenta de que han aplicado, de modo más o menos consciente, las reglas de la suma y el producto. 4. En esta actividad se hace por fin explícita la asociación entre las balanzas y las ecuaciones. Además de las actividades, se puede utilizar como recurso didáctico la nota al margen sobre Bhaskara, que tiene interés por su carácter intercultural. Se puede proponer una pequeña investigación para ampliar el tema.

1. Ecuaciones

Solo hay una opción para poner en el cuadro y que se cumpla la ecuación. A partir de aquí escribiremos la ecuación con la notación habitual: 2x + 3 = 11, y caracterizaremos las ecuaciones como igualdades que solo se cumplen para un valor de la variable, a la que llamamos incógnita porque es lo que nos preguntamos, lo que queremos saber. • Es importante que sepan que no todas las igualdades algebraicas son ecuaciones. Para ello escribiremos ahora una identidad fácil de reconocer, como 2x + x = 3x, para que vean que se cumplen para cualquier valor de la variable. • A continuación introduciremos la notación específica sobre las partes de la ecuación: la solución, el grado etcétera. • Conviene también realizar ejercicios en los que comprueben, por sustitución, si un valor propuesto es o no solución de una ecuación. • Les adelantaremos que el número de soluciones es como máximo el grado de la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con las que vamos a trabajar en este curso pueden tener una solución o ninguna. Un ejemplo de ecuación sin solución sería 0x = 10.


1 a 5 y 39 a 42

Medio

6y7

2. Transformación y resolución de ecuaciones • Para explicar la regla de la suma y del producto podemos volver a utilizar la balanza. • Debemos evitar que traspongan términos sin entender por qué (“lo que está sumando pasa restando”), porque después cometen errores como, por ejemplo, al despejar una variable, cambiar de signo el coeficiente. • Hay que acostumbrar a los alumnos a ser ordenados y a seguir los pasos indicados en la resolución de ecuaciones. Es muy conveniente que escriban los pasos uno debajo del otro, pues así es más fácil seguir el proceso sin que olviden o transcriban mal algún término. • Es muy importante que todos los alumnos adquieran destreza en estas primeras ecuaciones, antes de introducir en los epígrafes siguientes las ecuaciones con paréntesis y con fracciones. Para ello resultan útiles los juegos con bingos, dominós o tarjetas para emparejar ecuaciones con sus soluciones.


10 a 12 y 43

Medio

13 a 17, 44, 45 y 47

Alto

46

• Podemos comenzar escribiendo en la pizarra igualdades para completar, como, por ejemplo: 2 ⋅ ? + 3 = 11 Ecuaciones de primer grado

Unidad 5

7


3. Ecuaciones con paréntesis • Conviene comenzar recordando la propiedad distributiva con ejemplos numéricos, prestando especial atención a los casos en los que el número que multiplica al paréntesis es negativo.

• Para plantear la ecuación adecuada hay que comprender bien la relación entre la incógnita y los otros datos. Muchas veces ayuda organizar la información en forma de tabla, en especial en los problemas de edades.

• En algunos ejercicios podemos pedirles que comprueben la solución, para que no olviden el significado de lo que están haciendo. Además, al comprobar la solución se genera una operación combinada en la que volver trabajar la prioridad de las operaciones.

• Es importante orientar al alumno a que compruebe la solución o al menos reflexione sobre su validez, y exigirle que redacte una frase que responda a la pregunta del problema sin olvidar poner las unidades adecuadas.

ACTIVIDADES POR NIVEL 18 a 23, 48 y 49

Medio

4. Ecuaciones con fracciones • Comenzaremos recordando la igualdad de los productos en cruz en las fracciones equivalentes, para poder aplicarlo en las ecuaciones en las que solo hay una fracción en cada miembro de la ecuación. • En los ejercicios en los que hay más de una fracción en cada término es preciso eliminar los denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo. La mayor dificultad surge cuando una de las fracciones está precedida por el signo menos. Debemos aconsejarles para empezar que escriban correctamente este signo, alineado con la línea de fracción, pues eso ayuda visualmente a que no asocien ese signo únicamente con el primer número del numerador. Es importante realizar numerosos ejercicios de este tipo. • Otro error que cometen a veces es no multiplicar por el mínimo común múltiplo en los dos miembros o no multiplicar los números enteros. Hay que recordar, utilizando de nuevo las balanzas si es necesario, cómo aplicar correctamente la regla del producto. • En algunos ejercicios podemos pedirles que comprueben la solución. Así volverán a operar con fracciones y a trabajar la prioridad de las operaciones.


24, 25 y 50

Medio

26 a 32, 51 y 52

5. Resolución de problemas • Este epígrafe da sentido a la unidad, pues la resolución de problemas es la principal aplicación de las ecuaciones. Al mismo tiempo, es el más complejo para los alumnos, aunque si se ha adquirido suficiente destreza en la traducción al lenguaje algebraico, su aprendizaje será más sencillo. • Debemos insistir en la importancia de seguir cuidadosamente los pasos propuestos. • Es importante exigirles que, cuando elijan la incógnita, lo especifiquen de forma correcta: mediante una frase, dos puntos o una flecha (no un igual), y haciendo referencia 8

siempre a un número. Por ejemplo, “x: edad de Juan”, y no “x = Juan”.

Unidad 5


• Es conveniente acordar unas normas para organizar los pasos de resolución en el cuaderno de clase.


33, 53 y 54

Medio

34 a 38 y 55 a 69

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para el cierre de la unidad. Podemos destacar, por su interés didáctico, los problemas 68 y 69, por tratarse de actividades muy completas en cuanto al tratamiento de las competencias básicas, ya que exigen del alumno un esfuerzo importante en el procesamiento de la información, y además, por su contexto relacionado con la nutrición, contribuyen a que los alumnos se conciencien de su importancia. De este modo se trabaja, dentro de la competencia en la interacción con el mundo físico, la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Pon a prueba tus competencias 70. Juego de adivinar un número Esta es una actividad altamente motivadora para los alumnos por tratar sobre trucos matemáticos. Se puede empezar con el libro cerrado, sin indicarles que van a realizar esta actividad, mostrándoles el truco, y después invitarles a que descubran por qué funciona. El análisis del truco de ejemplo muestra la utilidad del lenguaje algebraico para generalizar procesos. La primera actividad pide a los alumnos que sigan la misma estrategia para comprender el funcionamiento de otro truco: traducir al lenguaje algebraico cada paso. La segunda actividad es muy interesante porque al pedir al alumno que invente sus propios trucos matemáticos, se le obliga a seguir el proceso inverso al seguido en la resolución de ecuaciones: partir de la solución y llegar a la ecuación. Se puede utilizar además para fomentar la interacción entre los alumnos, pidiendo que prueben sus trucos con los compañeros.


71. Examen tipo test El interés de esta actividad estriba en que está contextualizada en el entorno escolar, lo que la hace especialmente significativa para el alumno. Si llamamos x al número de aciertos, la ecuación necesaria para resolver el problema es: 0,5x − 0,25 · (20 − x) = 7, que tiene la peculiaridad de los coeficientes decimales. Podemos aconsejarles que multipliquen todos los términos de la ecuación por 100 para simplificarla, procedimiento que ya han utilizado si han realizado la actividad 46. Lo mejor es que quiten primero el paréntesis; si no es así debemos estar atentos a que no cometan un error bastante habitual: que en el segundo término multipliquen por 100 tanto el 0,25 como el paréntesis. Si se desea, se puede preguntar a continuación qué nota habría sacado Eva si hubiera dejado en blanco las preguntas en las que ha fallado, para dar así pie a una pequeña reflexión sobre la forma adecuada de realizar un test en el que se penalicen los errores, es decir, contestar únicamente a las preguntas de cuya respuesta estemos completamente seguros. 72. Rascacielos El contexto de esta actividad, los rascacielos más altos del mundo, ya apareció en la unidad 3, en la actividad 94, en la que también se hablaba de los tres primeros edificios. Si se desea, se puede revisar aquella para recordar lo que se aprendió entonces. En esta ocasión, en vez de trabajar con las dimensiones de los rascacielos, lo haremos con las relaciones entre ellas.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indique, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos. Debemos plantear estas actividades como un reto, no dar la solución rápidamente, y pedir a los alumnos que las vayan resolviendo o que tampoco lo hagan.

Debemos animar a todos a que perseveren, investiguen, tanteen… Si vemos a algún alumno muy “atascado”, podemos darle alguna pista o pauta para comenzar. La primera actividad, “Regalo envenenado”, no es más que un problema de edades, pero redactado a modo de acertijo. Podemos recordar a los alumnos la utilidad de organizar los datos en una tabla, asignando una columna al presente y otra al momento en que por fin Marta tendrá su ordenador. Para la resolución del cuadrado mágico existen al menos dos estrategias algebraicas. Una consiste en sumar las expresiones algebraicas de dos filas o de una fila y una columna, preferentemente las más sencillas, y obtener así una ecuación. Otra consiste en dar valores a la x y sustituir en cada casilla hasta ver que se obtiene efectivamente un cuadrado mágico. Es posible que algunos alumnos lo resuelvan por tanteo, lo que resulta muy laborioso, aunque se pueden acotar las posibilidades observando qué casillas son iguales, consecutivas, etcétera. En cuanto a la actividad “Tonel de vino”, encontraremos que los alumnos con más facilidad para el cálculo mental la resolverán por tanteo, mientras que otros recurrirán al lenguaje algebraico. A los alumnos que se bloqueen ante el enunciado podemos aclarárselo si siguen sin comprenderlo tras dejarles un tiempo: el peso del tonel más el peso del vino es de 35 kg, y el peso del tonel más el peso de la mitad del vino es de 19 kg. La “suma misteriosa”. A los alumnos que no den con ella podemos indicarles como pista que J tiene que ser par y que no olviden las “llevadas”.

Síntesis de la unidad • Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, por lo que es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. • Una idea para utilizar el resumen como recurso didáctico es proponer a los alumnos que asignen las actividades realizadas a lo largo de la unidad al apartado del resumen al que correspondan. • Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizar las tarjetas para jugar en grupo.



Unidad 5

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es necesario que los alumnos adquieran las técnicas básicas para resolver ecuaciones. Con este fin se proponen actividades variadas y con un enfoque diferente al del libro de texto. Si el profesor lo estima conveniente, algunas pueden realizarse en grupo no muy grande, de tres o cuatro alumnos como mucho.

ACTIVIDAD DE GRUPO Adivinar números Se pide a los alumnos que realicen las siguientes operaciones: Pensar un número cualquiera. Sumarle 2. Multiplicar el resultado por 3. Restarle 5. Restar el número pensado. Multiplicar por 2. Y por último, restarle 1. Luego, el profesor le pide a cada alumno su resultado y, al obtener la respuesta, les dice al instante su número inicial, lo que les producirá cierta sorpresa. Tras el asombro inicial, se explica la utilidad de las ecuaciones en este tipo de “trucos” y se les invita a descubrir el “truco algebraico”. Una vez revelado que este consiste en restar una unidad al número final y dividir entre cuatro, ya que la ecuación final era: 4x + 1, se les invita por grupos a inventar nuevos trucos siguiendo distintas rutas numéricas y algebraicas, proponiendo a los otros grupos que las descubran.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. A con III D con I 2.

B con VI

C con IV

E con V

F con II

2x = 6 y 2 = 17 − x 5 5 − x = 14 + 2x y x + 9 = 6

2x − 5 = 3 y 3(6 − x) = 6 8x + 13 = −75 y x + 3 = −8 3. a) 2x − 7 = 13 2x = 13 + 7 2x = 20 20 x= x = 10 2 b) 4x + 3 = 9 + 2x 4x − 2x = 9 − 3 2x = 6 6 x= x=3 2 c) x + x − 10 = 14 − x x + x + x = 14 + 10 24 x= 3x = 24 x=8 3

4.

H W R G B N J Ñ H V X A Z D R T

J E A S U K X T U M W N J E I S

M Q K M E I O S E A D P A G F L

I N C O G N I T A M W E U U E O

P E J I R E D A R S J A K T Q R

T T O H A M U O S E L M E H U T

Y Y U H D M F S O D E Y A F I E

X Z E A O K R L A I M S Q U V C

A S D Y O M Z D H Q Y A U G A A

R R E T E T U J R E I I I A L I


10

Unidad 5


E T U S C O E F I C I E N T E J

D G O R D R M B N R S T F O N C

R H S U R E U I R A E O S D T S

F K Q A E T G H D Q P I S A E S

S O L U C I O N E O T I F N E T

G L A A D R B H I U D R Q S F G




1. Relaciona cada ecuación con su solución. a) 3x = −27

I) x = 36

b) 5x + 1 = 46

II) x = 2

c) 4x + 3 = x − 3 x d) =12 3

III) x = −9

e) 2(x − 5) = 4

V) x = 7

f) x + 6 − 7x = −6

VI) x = 9

IV) x = −2

2. Colorea de un mismo color las parejas de ecuaciones equivalentes. 2x =6 5 2x + 8 = 13

5 − x = 14 + 2x

2 = 17 − x

2x − 5 = 3

8x + 13 = −75

x + 3 = −8

x+9=6

3(6 − x) = 6

3. Completa la siguiente tabla. 5x + 3 = 21 − x

5x + x = 21 − 3

6x = 18

x=

18 6

2x − 7 = 13

= 13 +

2x = 20

x=

20

4x +

=

4x − 2x = 9 − 3

+ 2x

x + x − 10 = 14 − x

x+

x=3

=6

x=

4. Encuentra en esta sopa de letras las palabras relacionadas con esta unidad que se indican a continuación: incógnita, grado, coeficiente, igualdad, equivalente, solución. Explica el significado de cada una. Si no lo recuerdas, consulta el libro de texto. J E A S U K X T U M W N J E I S

M Q K M E I O S E A D P A G F L

I N C O G N I T A M W E U U E O

P E J I R E D A R S J A K T Q R

T T O H A M U O S E L M E H U T

Y Y U H D M F S O D E Y A F I E

X Z E A O K R L A I M S Q U V C

A S D Y O M Z D H Q Y A U G A A

R R E T E T U J R E I I I A L I

E T U S C O E F I C I E N T E J

D G O R D R M B N R S T F O N C

R H S U R E U I R A E O S D T S

F K Q A E T G H D Q P I S A E S

S O L U C I O N E O T I F N E T

G L A A D R B H I U D R Q S F G



H W R G B N J Ñ H V X A Z D R T

Unidad 5

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Las ecuaciones son una poderosa herramienta para resolver problemas de cualquier ámbito, y más específicamente en los campos científico y técnico. Se presenta aquí una pequeña colección de ellos para aquellos alumnos que hayan demostrado tener buenas aptitudes con los problemas del libro de texto y tengan interés en llegar un poco más lejos. Los problemas propuestos son, en algún caso, típicos y, en otros, curiosos, con la intención de despertar dicho interés. Sería interesante adelantar el concepto de sucesión y proponer ejercicios donde los alumnos tendrán que adivinar los términos siguientes a una secuencia. Con esta misma idea, la actividad propuesta como ampliación consiste en la investigación sobre la sucesión de Fibonacci.

ACTIVIDAD DE GRUPO Investigación Para los alumnos avanzados realizaremos una actividad adelantando conceptos de cursos posteriores, las sucesiones. Comenzaremos definiendo lo que es una sucesión a través de ejemplos para después centrarnos en la sucesión de Fibonacci. a) La sucesión empieza con dos unos. b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término se construye sumando el séptimo y el octavo. c) La sucesión es infinita. Así, la sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229… Llevaremos a los alumnos a la biblioteca, los organizaremos en grupos y les pediremos que busquen información sobre esta sucesión: término general, relación con el arte, presencia en la naturaleza, etc.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 69 kg de café de 4,50 € y 231 kg de café de 7,75 € 2. 2.046,03 € 3. 63.000 m = 63 km 4. 3 cm 5. 5 6. 145 7. Se encontrarán en el número 34.


12

Unidad 5





1. (Problema de mezclas) Se quiere mezclar café de 4,50 euros/kilogramo con café de 7,75 euros/kilogramo produciendo un café que se venderá a 6 euros por kilogramo. ¿Qué cantidad de cada café hay que mezclar si se quieren vender 500 kilogramos de la mezcla? 2. (Problema económico) Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en febrero. ¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros? 3. (Problema de ciencias de la Tierra) Un terremoto emite una onda primaria que viaja a 5000 metros/segundo por tierra y otra secundaria que viaja a 2.900 metros/segundo. La diferencia de tiempo entre la llegada de ambas ondas permite a las estaciones sismológicas determinar el epicentro del terremoto. Supón que una estación midió 30 segundos entre la llegada de las ondas. ¿A qué distancia está el epicentro? 4. (Problema geométrico) En una cartulina de 12 × 9 centímetros se quiere pintar una cruz de anchura uniforme. Halla el ancho de la cruz si está formada por dos bandas, horizontal y vertical, que se cortan en perpendicular de lado a lado de la cartulina y es exactamente la mitad de la superficie total de la misma. 5. Las tres balanzas están equilibradas. ¿Cuántas

son necesarias para igualar el peso a

?

6. ¿Cuántos puntos son necesarios para hacer la figura 10? Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

7. Plis y Plas son dos pulgas que van como locas la una al encuentro de la otra. Plis empieza en el número 0 y da brincos de longitud 2, y Plas empieza en el número 85 y da saltos de longitud 3. Si empiezan a la vez a saltar y dan los saltos a la vez, ¿en qué número se encontrarán? Plis 1

2

82

83

84

85


0

Plas


Unidad 5

13



APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. En las siguientes ecuaciones, di si es correcta o no la solución dada. a) x + 5 = 1

(x = −4)

b) 10 − x = x

(x = 10)

c) 7 + x − 2 = 5 − x

(x = 0)

d) 15 − 7x = 4x

(x = −5)

2. Indica qué transformaciones se han hecho para transformar la primera ecuación en la segunda. a) 3x + 26 = x

2x = −26

b) 2 − 6x = 5 − 2x

−4x = 3

3. En las siguientes ecuaciones, identifica las que son equivalentes. a) x − 7 = 3

b) 3x + 14 = −40

c) 2x = −36

d) 10x = 100

e) 5 − x = x − 6

f) 2x = 11

4. Resuelve las siguientes ecuaciones simplificando si es necesario. 5 b) x =15 9 27 d) 3 x = 5

a) 3x − 9 = 10 + 2x − 1 c) 11 − x + 5 = −2x − 3 5. Halla la solución de las siguientes ecuaciones. a) 2x + 3(x − 1) = 4x + 7

b) 5x + 1 − 2(x − 3) = 2x + 3(4x − 5)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones simplificando cuando sea necesario. a)

x +5 2(x −3) +7= +3 10 5

b) 1+

x + 4 5 x + 2 3(x −2) − + =2 6 12 4

7. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la mediana tiene 18 años menos que la mayor. ¿Cuál es la edad de cada una? 8. Halla un número cuyo doble más su triple es 150. 9. Si el lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el segundo lado es un cuarto del perímetro y el tercer lado mide 5 centímetros, ¿cuál es el perímetro?


10. Calcula el valor de x, sabiendo que el área de la figura es de 19 centímetros cuadrados.

14

2 x

5 Unidad 5




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Sí

b) No

2. a) 3x + 26 = x

c) Sí

d) No

3x − x = −26

2x = −26

−6x + 2x = 5 − 2

−4x = 3

3. a y d

bye

eyf

4. a) 3x − 9 = 10 + 2x − 1

3x − 2x = 10 − 1 + 9

x = 18

5x = 15 ⋅ 9

x=

135 5

x=

9 5

b) 2 − 6x = 5 − 2x

5 b) x =15 9 c) −x + 2x = −3 − 11 − 5

d) 3 x =

x = −19

27 5

x=

5. a) 2x + 3x − 3 = 4x + 7 b) 5x + 1 − 2x + 6 = 2x + 12 x − 15 6. a) x + 5 + 70 = 4x − 12 + 30

27 15

2x + 3x − 4x = 7 + 3

x = 10

5x − 2x − 2x − 12x = − 15 − 1 − 6

−11x = −22

x − 4x = − 12 + 30 − 5 − 70

b) 12 + 2x + 8 − 5x − 2 + 9x − 18 = 24 7. Mayor: x + 20

x = 27

−3x = −87 + 30

2x − 5x + 9x = 24 − 12 − 8 + 2 + 18

Mediana: (x + 20) − 18 = x + 2

x + 20 + x + 2 + x = 88

x = 22

Mayor: 42 años

Mediana: 24 años

x=2

−3x = −57 6x = 24

x = 19

x=4

Pequeña: x Pequeña: 22 años

8. Sea x el número: 2x + 3x = 150

x = 30.

El número es 30.

9. Sea x el perímetro: x x Lados: 5, , 3 4 x x + +5 = x 3 4

x = 12

El perímetro mide 12 cm.

10. 5(x − 2) + 4 = 19 5x − 10 + 4 = 19 5x = 25 x=5


Unidad 5

15

Unidad 5 Ecuaciones de primer grado



DESCRIPTOR Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis, conocer y aplicar las reglas de funcionamiento del sistema de la lengua. Realizar razonamientos para solucionar problemas u obtener información. Comprender y elaborar cadenas argumentales identificando las ideas fundamentales.


Conocer y utilizar elementos matemáticos en situaciones cotidianas.


Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar situaciones diversas.

Cultural y artística Patrimonio cultural y artístico

Conocer el patrimonio cultural, y mostrar interés por participar en la vida cultural.


Organizar la información, relacionarla y sintetizarla.

Social y ciudadana Desarrollo personal y social


DESEMPEÑO – Traduce expresiones y ecuaciones de primer grado entre

el lenguaje natural y el algebraico. Entrada. Desarrolla tus competencias Actividades 33, 53 y 57 Pon a prueba tus competencias 70 – Utiliza razonamientos geométricos para resolver

problemas con ecuaciones de primer grado. Actividades 63, 64 y 66 – Comprende los pasos de resolución de las ecuaciones de

primer grado. Actividades 22, 23, 44, 55, 57 y 59 Pon a prueba tus competencias 70 – Resuelve ecuaciones de primer grado y las aplica a

problemas matemáticos y cotidianos. Toda la unidad – Aplica las ecuaciones a distintos contextos.

Actividades 65 a 69 Pon a prueba tus competencias 72 – Reconoce los rascacielos como patrimonio artístico y

muestra interés por conocer más sobre ellos. Pon a prueba tus competencias 72 – Interpreta y aplica correctamente las balanzas como

metáfora de las ecuaciones. Desarrolla tus competencias. Epígrafe 2 – Comprende la importancia histórica del desarrollo del

Sistema Métrico Decimal. Matemáticas y sociedad – Realiza razonamientos inversos, partiendo de datos


Potenciar el pensamiento creativo propio.

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento


distintos de los habituales. Desarrolla tus competencias Actividades 9, 29, 31, 34, 55 Pon a prueba tus competencias 71 – Plantea sus propios enunciados de problemas.

Actividades 41 y 62 Pon a prueba tus competencias 70





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

6

ESO

Proporcionalidad. Porcentajes

2 CONTENIDO


7




Los alumnos ya conocen los conceptos de razón y proporción, identifican magnitudes directamente proporcionales y aplican el cálculo de porcentajes. En esta unidad se refrescan los conceptos anteriores y se completa el aprendizaje de la proporcionalidad numérica introduciendo los repartos directamente proporcionales y las magnitudes inversamente proporcionales. La proporcionalidad no solo hay que trabajarla desde el punto de vista de algoritmos, sino que donde más se debe insistir es en sus aplicaciones a las ciencias y a la vida cotidiana, como los repartos proporcionales, el tanto por ciento y las variaciones porcentuales. El método para el aprendizaje de los contenidos sobre la relación de proporcionalidad inversa sigue las mismas pautas que en la proporcionalidad directa. En un primer momento se introduce la constante de proporcionalidad, analizando sus propiedades a través del estudio de un ejemplo concreto, y se completan tablas de datos inversamente proporcionales. A continuación se introduce la resolución de problemas. Los contenidos desarrollados a lo largo de la unidad se prestan fácilmente y de forma adecuada a ser aplicados en ejemplos concretos y cercanos al alumno. Se debe hacer hincapié también en el uso de la terminología adecuada para expresar la resolución de los problemas, y potenciar tanto la comprensión de la realidad como la capacidad para manifestar ideas y relaciones entre magnitudes.


OBJETIVOS 1. Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y utilizarlas para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana.

1.1 Identificar si cuatro números forman una proporción y calcular sus términos. 1.2 Resolver problemas de proporcionalidad directa estableciendo una proporción o por reducción a la unidad. 1.3 Calcular repartos directamente proporcionales.

• Matemática

1.4 Reconocer magnitudes inversamente proporcionales y calcular la constante de proporcionalidad inversa.


1.5 Resolver problemas de proporcionalidad inversa empleando la constante de proporcionalidad inversa. 2. Aplicar los porcentajes para elaborar e interpretar informaciones y para resolver problemas.


• Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

2.1 Expresar una razón en forma de porcentaje, fracción o número decimal. 2.2 Resolver problemas de la vida cotidiana o de las ciencias en los que intervengan porcentajes.

CONTENIDOS • Magnitudes directamente proporcionales

• Porcentajes

• Razón de proporcionalidad directa

• Notación fraccionaria, decimal y porcentual de una razón

• Proporción. Productos cruzados

• Cálculo del porcentaje de una cantidad

• Resolución de problemas de proporcionalidad directa mediante proporciones • Resolución de problemas de proporcionalidad directa por reducción a la unidad • Repartos directamente proporcionales 2

Unidad 6


• Cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales mediante el tanto por uno • Cálculo de la cantidad total dado el porcentaje • Cálculo del porcentaje que relaciona dos cantidades


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para que los alumnos realicen un aprendizaje significativo de los contenidos de la unidad es preciso que dominen el concepto de fracción equivalente y la resolución de ecuaciones sencillas.

2. Previsión de dificultades Los alumnos tienen dificultad para distinguir si la relación entre dos magnitudes es directa o inversamente proporcional. Para solventarlo conviene que les planteemos siempre preguntas del estilo “si se duplica la magnitud A, ¿qué pasa con la B?”, y que vean por ellos mismos que en el caso de proporcionalidad directa, cuando una magnitud se multiplica por un número, la otra también queda multiplicada por el mismo número, y que cuando manejamos magnitudes inversas pasa lo contrario: al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por el mismo número. Los alumnos también encuentran dificultades en la resolución de problemas de porcentajes en los que la incógnita es la cantidad total o el propio porcentaje.

3. Vinculación con otras áreas La relación de proporcionalidad entre magnitudes está presente en algunos fenómenos de las ciencias y la tecnología, como la masa y el peso, el espacio recorrido por un cuerpo durante un tiempo a velocidad constante o el tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia fija y la velocidad que lleva. Los aumentos y disminuciones suelen expresarse en forma de porcentaje en todas las áreas, en particular encontraremos numerosos ejemplos en Geografía.

4. Esquema general de la unidad Se estudian en esta unidad las magnitudes proporcionales. En primer lugar se define la relación de proporcionalidad directa y los conceptos de razón y proporción, estudiándose la propiedad fundamental de las proporciones: la igualdad de los productos cruzados. En el apartado siguiente se aplican estas nociones a la resolución de problemas sobre magnitudes directamente proporcionales. Se muestran mediante ejemplos dos métodos de resolución: el establecimiento de proporciones y la reducción a la unidad. Después se introducen los problemas de repartos proporcionales.

PROPORCIONALIDAD. PORCENTAJES

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

Razones y proporciones

Porcentajes

A continuación se abordan los porcentajes, como una de las notaciones para expresar una razón, junto con la fraccionaria y la decimal, y se resuelven distintos tipos de problemas: de aumentos y disminuciones porcentuales, de cálculo de la cantidad total conocido el porcentaje y de cálculo del porcentaje que relaciona dos cantidades. Para finalizar, se caracteriza la relación de proporcionalidad inversa y se aplica a la resolución de problemas.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias 2.ª Proporcionalidad directa 3.ª Problemas de proporcionalidad directa 4.ª Porcentajes. Problemas de porcentajes 5.ª Proporcionalidad inversa 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 6

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se trabajan las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico Dado el carácter aplicado de la proporcionalidad, esta competencia cobra una relevancia especial. Se desarrolla en la unidad desde tres perspectivas: por una parte, se estudian diversas aplicaciones de proporcionalidad y el cálculo de porcentajes a la vida cotidiana. Con ello se trabaja la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos. Por otra parte, tanto la entrada como determinados problemas están contextualizados en la consecución de una dieta saludable y otros temas nutricionales, lo que permite profundizar en estos aspectos y contribuir a que los alumnos se conciencien sobre ellos. De este modo se trabaja la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable. Por último, en numerosas actividades se utiliza la proporcionalidad para analizar con espíritu crítico las ofertas publicitarias, lo que se enmarca dentro de la misma subcompetencia.

Competencia social y ciudadana A lo largo de toda la unidad se plantean varias actividades de aplicación de la proporcionalidad a la comprensión y la gestión de la economía doméstica (descuentos en compras, planificación de viajes, aumento del alquiler, etc.). A través de estos contextos se trabaja la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, en su vertiente de conocer el funcionamiento de la sociedad. Por otra parte, mediante algunas actividades relacionadas con las señales de tráfico se trabaja la seguridad vial, que se encuadra en la misma subcompetencia.


Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Además de lo anterior, el análisis de las ofertas contribuye a desarrollar el pensamiento crítico, con lo que también se trabaja la subcompetencia de construcción del conocimiento.


4

Unidad 6




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Matemática


Estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones y analizar críticamente los resultados.

– Analiza desde un punto de vista matemático las ofertas y descuentos. Actividades 23, 47, 56 y 60 a 62 Pon a prueba tus competencias 68 y 69



– Resuelve problemas de proporcionalidad y porcentajes y los aplica a contextos cotidianos. Toda la unidad


Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información.

– Interpreta datos suministrados en distintas formas (dibujos, gráficos, tablas, etc.) y los traduce a lenguaje matemático. Desarrolla tus competencias Actividades 39 y 47 Pon a prueba tus competencias 65 a 70



– Aplica la proporcionalidad y los porcentajes a distintos contextos científicos y técnicos. Desarrolla tus competencias Actividades 10, 16, 29, 44 y 45 Pon a prueba tus competencias 67


– Comprende la importancia de la información nutricional para una dieta equilibrada. Entrada Desarrolla tus competencias Actividad 18

Demostrar espíritu crítico en la observación de la realidad y en el análisis de los mensajes informativos y publicitarios.

– Formula reflexiones críticas sobre las ofertas publicitarias y los descuentos. Margen (epígrafe 4) Actividades 5, 19, 22, 23, 47, 58, 61 y 62 Pon a prueba tus competencias 66 y 69


– Comprende la gestión de la economía doméstica y lo demuestra razonando de forma consistente. Actividades 19, 28, 47 y 53 Pon a prueba tus competencias 66, 68 y 69

Practicar la ciudadanía democrática a través del ejercicio de los derechos y deberes propios y ajenos.

– Conoce las señales de tráfico y las valora como elemento de seguridad vial. Actividad 44 Pon a prueba tus competencias 65



– Visita la página librosvivos.net Actividades 4, 9, 15, 20 y 32. Interactivos. Investiga. Síntesis. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red


Desarrollar el pensamiento crítico y analítico.

– Demuestra juicio crítico al analizar ofertas potencialmente engañosas. Actividades 23, 47, 56, 60 y 62 Pon a prueba tus competencias 68 y 69

Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable

Social y ciudadana


Aprender a aprender



Unidad 6

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para la salud: entrada de la unidad, sección “Desarrolla tus competencias” • Educación ciudadana: nota al margen de la página 125, actividades 56, 60, 66 y 69 • Educación vial: “Pon a prueba tus competencias”, actividades 65 y 68 • Educación del consumidor: actividades 17, 19, 22, 23, 53, 58 a 62, 66 y 69


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadística” Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 5. Proporcionalidad SM

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO. N.º 4. “Proporcionalidad, funciones y estadística” – Unidad I. Proporcionalidad numérica • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Viaja y cambia”, “¿Chollos o camelos?” y “El sol más rentable” • Cuaderno de investigaciones matemáticas. 2.º de ESO – Unidad 3. Proporcionalidad y realidad

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd19

Otros

Páginas de ejercicios interactivos: www.e-sm.net/2esomatmrd20

Otros materiales


6

Unidad 6

• Calculadora • Hoja de cálculo y programas como WIRIS para calcular porcentajes y completar tablas • Prensa diaria y revistas • Dominó de porcentajes, de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur


Sugerencias didácticas Entrada Tanto la entrada como la sección “Desarrolla tus competencias” tratan sobre las características de una dieta equilibrada. De este modo favorecen la adquisición de la competencia en la interacción con el mundo físico en la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable. Desde el punto de vista matemático, el estudio de la dieta es muy adecuado para introducir la unidad, ya que una dieta es o no equilibrada en función de las proporciones de los diferentes alimentos que intervienen en ella. En la primera cuestión se pide expresar razones en forma de porcentaje, y en la segunda, realizar un cálculo de proporcionalidad directa. La mayoría de los alumnos podrán resolver las cuestiones sin muchas dificultades. Es interesante poner en común los diferentes procedimientos de resolución, ya que algunos alumnos utilizarán la reducción a la unidad, otros establecerán proporciones o utilizarán la regla de tres. El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias Esta actividad es muy rica desde el punto de vista competencial. Dentro de la interacción con el mundo físico, además de la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable, también se está trabajando la utilización del método científico en diferentes contextos. Desde el punto de vista de la competencia matemática, la actividad es interesante no solo por la utilización de la proporcionalidad, sino también porque requiere que el alumno interprete y procese la información dada mediante la pirámide. Sería muy interesante que cada alumno analice su propia dieta, utilizando las recomendaciones de la pirámide y las que cita la página web a la que se hace referencia en “En la red”.

1. Proporcionalidad directa • Se puede comenzar escribiendo en la pizarra una tabla con dos magnitudes cuya proporcionalidad sea fácilmente reconocible, por ejemplo, la del ejercicio resuelto 1. Dar algunos valores de la tabla y pedir que la completen. A partir de ella se introduce la caracterización de la proporcionalidad directa: si una magnitud se multiplica o divide por un número, la otra también; y, como consecuencia, los cocientes entre pares de valores son constantes. • Al definir la razón de proporcionalidad, se puede hacer ver que esta es otra aplicación de las fracciones. En cada situación de proporcionalidad directa, la razón de proporcionalidad tiene un significado importante que merece la pena analizar. Por ejemplo, si estudiamos el espacio recorrido por un vehículo en diferentes tiempos, la razón es la velocidad del vehículo; si estudiamos el precio de un producto en función de su peso, la razón nos

indicará el precio por kilogramo, etcétera. Las actividades 2 y 3 tratan este aspecto. • A continuación podemos ver la igualdad de los productos en cruz y realizar numerosos ejercicios de cálculo mental en los que tengan que comprobar si dos razones forman una proporción, como en la actividad 36, o en los que tengan que hallar el término que falta, como en la actividad 37. • Por último, sería útil analizar pares de magnitudes para que reconozcan las que son directamente proporcionales, tal como propone la actividad 1. De este modo comprobarán que hay magnitudes que no guardan ninguna proporción y también podremos preparar el camino para las magnitudes inversamente proporcionales.


2 a 4, 36 y 37

Medio

1, 5, 6, 33, 34, 38 y 39

2. Problemas de proporcionalidad directa • Debemos insistir en que, antes de plantear el problema, analicen la relación entre magnitudes para comprobar si es de proporcionalidad directa, preguntándose si a doble de una le corresponde doble de la otra. Si no, existe el peligro de que mecanicen el procedimiento de resolución y lo apliquen cuando las magnitudes sean inversamente proporcionales o no sean proporcionales. • A continuación resolveremos varios ejemplos de las dos formas: estableciendo proporciones y por reducción a la unidad, para que vean que el procedimiento matemático seguido es en realidad el mismo. • Podemos dar a los alumnos unas pautas para organizar en el cuaderno la resolución de estos problemas. Primero escribirán las magnitudes que intervienen indicando si existe proporcionalidad directa, por ejemplo, mediante una D. A continuación anotarán los datos, para lo que pueden utilizar los típicos diagramas de flechas. Después plantearán la proporción, aplicarán la igualdad de los productos cruzados y despejarán la incógnita. Es importante insistir en que no se salten ningún paso (tenderán a despejar directamente del diagrama) para que no pierdan de vista los conceptos matemáticos que están utilizando y para evitar errores cuando tratemos las magnitudes inversamente proporcionales. • A continuación trataremos los problemas de repartos proporcionales. Además de utilizar el procedimiento que ilustra el epígrafe, basado en las proporciones, también podemos resolverlos por reducción a la unidad, que resultará un método más intuitivo para muchos alumnos. En el ejercicio resuelto 5, por ejemplo, bastaría con calcular el dinero que corresponde a cada euro jugado. • Los problemas 43 a 47 son muy interesantes desde el punto de vista competencial. Los procedimientos matemáticos que requieren son los propios del epígrafe, pero exigen un mayor esfuerzo en el análisis del enunciado, por lo que los hemos clasificado como de nivel alto. Proporcionalidad. Porcentajes

Unidad 6

7



8 y 41

Medio

7y9 43 a 47

Alto

3. Porcentajes • Podemos comenzar escribiendo en la pizarra proporciones en las que una de las razones tenga denominador 100 y en las que falte algún elemento. Hemos de indicar que dicha razón de denominador 100 es lo que conocemos como porcentaje o tanto por ciento. • A continuación veremos todas las notaciones para expresar esta razón: en forma de fracción, en forma de número decimal o en forma de porcentaje. Podemos utilizar tablas en las que demos una de las tres notaciones y ellos tengan que completar con las otras dos. • Conviene que mecanicen el cálculo del porcentaje de una cantidad. Para ello plantearemos varias proporciones, calcularemos los porcentajes utilizando la igualdad de los productos cruzados y a continuación deduciremos la regla.


11 a 15, 48 y 49

Medio

16

4. Problemas de porcentajes • Conviene que los alumnos se acostumbren a resolver los problemas de aumentos y disminuciones porcentuales del r % empleando los índices de variación (1 ± r/100), no solo por ser el procedimiento más práctico, sino porque también les permitirá trabajar de forma sencilla con porcentajes encadenados. • Los alumnos resuelven con facilidad problemas en los que tienen que calcular el porcentaje de una cantidad, pero no ocurre lo mismo con los problemas en los que se tiene que calcular la cantidad total o el porcentaje. Es necesario realizar varios ejemplos. Existen diversos métodos, pero en general, un método que se puede aplicar de forma sistemática sea cual sea la incógnita es plantear una proporción en la que una de las razones compare parte y total, y en la otra el denominador sea 100.


17 y 21

Medio

18 a 20, 40, 52 a 56 y 58

Alto

22, 23, 57 y 60 a 62

5. Proporcionalidad inversa • Podemos empezar escribiendo en la pizarra una tabla de dos magnitudes inversamente proporcionales, por ejemplo, la que presenta el epígrafe, en la que haya dos de los datos relacionados y sea preciso completar los demás. A partir de ahí caracterizaremos la proporcionalidad inver8

Unidad 6


sa y definiremos la constante de proporcionalidad inversa. Insistiremos en que ahora no se llama razón, puesto que no es una razón, sino un producto. • En la resolución de problemas seguiremos las mismas pautas dadas en el caso de los problemas de proporcionalidad inversa. Primero escribirán las magnitudes que intervienen indicando si existe proporcionalidad inversa, por ejemplo, mediante una I. A continuación anotarán los datos, para lo que pueden utilizar los típicos diagramas de flechas. Después plantearán la igualdad de los productos. Hay que insistir en que lo que es constante es el producto del valor de una de las magnitudes por el correspondiente de la otra.


24 y 25

Medio

26 a 32, 63 y 64

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para el cierre de la unidad. Sería interesante ir intercalando problemas de proporcionalidad directa e inversa, para que tengan que decidir la estrategia a seguir en cada caso.

Pon a prueba tus competencias 65. Señales de tráfico En esta actividad se trabaja con el concepto de pendiente, a través de las señales de tráfico. Primero deben comprender el significado de una pendiente expresada en forma de porcentaje con ayuda del esquema y explicarlo en el primer apartado: “Indica cuánto se asciende verticalmente por cada 100 m que se avanza en horizontal”. A continuación deben elaborar esquemas similares para las otras pendientes indicadas. En el último apartado se muestra otra forma de indicar la pendiente, mediante el ángulo. Deben representar la pendiente de 45º y ver que corresponde a un 100%. Se puede completar la actividad pidiendo a los alumnos que expresen las pendientes en forma decimal, que no es sino el tanto por uno, y elaboren esquemas similares a los de los porcentajes; ahora la primera pendiente sería 0,13 y significaría subir 0,13 m por cada metro que se avanza en horizontal. Podemos pedir a los alumnos que dibujen rectas de pendiente 1, 2, 1/2…, adelantando así el concepto de pendiente de una recta, que verán en la siguiente unidad en la representación de funciones de proporcionalidad directa y funciones afines. 66. Tarifas de teléfono El interés de esta actividad estriba en su contexto, las tarifas de los móviles, que es muy cercano al alumno, lo que la hace especialmente significativa.


En el primer apartado verán que la relación precio-duración de las llamadas solo es proporcional dentro de cada paquete. En los siguientes apartados utilizarán los porcentajes para comparar los paquetes, viendo el aumento en precio y en tiempo de un paquete a otro, lo que ayuda a clarificar y valorar la oferta. Se puede concluir con una pequeña reflexión de la conveniencia de analizar cuidadosamente las tarifas para poder controlar el gasto o para elegir la que más nos conviene, y valorar cómo las matemáticas nos ayudan a ser críticos y a tomar razonadamente nuestras decisiones. 67. Climograma En esta actividad verán una vez más la utilidad de las matemáticas en los contextos científicos, en este caso en el análisis de un climograma. Es posible que hayan visto alguna vez gráficos de este tipo en Ciencias Sociales. En cualquier caso es conveniente aclarar que el gráfico da doble información: indica las precipitaciones mediante las barras, y las temperaturas mediante el gráfico lineal. Las cuestiones se centran en las precipitaciones. Primero se les pide calcular el total de precipitaciones caídas en ese año y después se van a utilizar los porcentajes para comparar las lluvias caídas en diferentes meses. Una vez más se ve la utilidad de los porcentajes para analizar la información. Si se desea, se puede ampliar el tema de la interpretación de un climograma. Se les puede dar estas pautas: • Con respecto a las precipitaciones, debemos fijarnos en si hay máximos y mínimos, y cuándo se dan. • Con respecto a las temperaturas, debemos ver cuál es el mes más cálido y cuál el más frío, indicar la diferencia de temperatura entre ellos y ver si hay otros máximos o mínimos. • También hay que indicar si existen períodos de aridez y si se dan en verano o en invierno. Estos períodos se reconocen porque el gráfico de las precipitaciones está por debajo de la curva de las temperaturas. Fijándonos en estas características podemos ver el tipo de clima, que en este caso sería mediterráneo. 68. Carnet de conducir Esta actividad permite que el alumno valore las matemáticas como herramienta en la toma de decisiones, pues nos va a permitir comparar dos ofertas y ver cuál es más conveniente. Estas situaciones en las que en el precio hay una parte fija, la matrícula, y una parte proporcional, dependiendo del número de clases, es muy corriente y se retomará cuando veamos en la unidad siguiente las funciones afines. Si se desea, se puede adelantar este concepto pidiendo que realicen una gráfica en la que se represente el precio en función del número de clases, para que vean que es una recta que no pasa por el origen de coordenadas.

69. Presupuesto Esta actividad es similar a la anterior en el sentido de que también se van a tener que analizar, utilizando las herramientas propias de la proporcionalidad, las diferentes opciones para un viaje. En los primeros apartados se les pide expresar algunos detalles de las ofertas en forma de porcentaje, proporción o razón, y en los últimos se les pide calcular el coste concreto de cada opción para la familia descrita en la actividad y para otra de cuatro adultos. 70. Baloncesto En el contexto de la información deportiva, y en particular en el baloncesto, es muy frecuente encontrarnos con porcentajes. La razón es su utilidad para comparar. Por ejemplo, si decimos que Navarro ha encestado 78 triples de los 198 intentos, y Prigioni, 36 de los 107, no es tan fácil extraer conclusiones como si expresamos ambas razones en forma de porcentaje. 71. Bacterias El tema de la división de las bacterias ya se vio en la actividad 77 de la unidad 3, “Potencias y raíces”. Aquí se retoma para ver que las magnitudes número de bacterias y tiempo no son proporcionales. Es importante que los alumnos vean que existen otro tipo de relaciones entre las magnitudes. Se pueden comparar, utilizando gráficas, los dos tipos de crecimiento, lineal y exponencial, para que vean que este último es mucho más rápido.

Autoevaluación Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indiquen, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos. Debemos animar a todos a que perseveren, investiguen, tanteen… Si vemos a algún alumno muy “atascado”, podemos darle alguna pista o pauta para comenzar.

Síntesis de la unidad • Es necesario que los alumnos elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. • Una idea para utilizar el resumen es proponer a los alumnos que asignen las actividades realizadas a lo largo de la unidad al apartado del resumen al que correspondan.



Unidad 6

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Reconocer y distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales, así como distinguir la razón y la constante de proporcionalidad. • Relacionar proporciones, porcentajes, fracciones y números decimales, y hallar el término desconocido en una proporción. • Resolver problemas cotidianos donde intervenga la proporcionalidad. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante esquemas o dibujos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Proporciones en CSI Juguemos a ser antropólogos, arqueólogos o médicos forenses. El caso es que uno de estos científicos ha encontrado un metacarpiano del pulgar que medía 4,5 centímetros. ¿Podrías ayudarle a determinar el resto de medidas corporales? ¿Cuánto medía esa persona? Si al lado de dicho hueso se encontró un fémur que medía 45 centímetros y un húmero de 38 centímetros, ¿de cuántas personas diferentes se encontraron restos? Con este juego se pretende trabajar la idea de proporcionalidad en el cuerpo humano. Puede completarse si se consiguen ilustraciones de esqueletos de animales o de dinosaurios, para así poder comparar y adornar la historia del hallazgo de los huesos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. I) 2,25

II) 1,5

III) 1,2

IV) 5

V) 1,5

Proporción áurea 2. 3 huevos y medio 1,75 yogures de limón 8,75 vasos de azúcar 525 g de harina 1,75 sobres de levadura 3. Sobrevivió un 71,6 % de los árboles. Sí se mantendrá el bosque en pie.

4. Hay que pintar 16 cuadrados representando la parte de María, 24 representando la de Rubén y 32 representando la de Marta. 5. 12,5 6. A Manuel le quedaron 33,33 m. 7. 1,13 €/L 8. Tardarán 7,20 horas, es decir, 7 horas y 12 minutos.


10

Unidad 6





Unidad 6

1. Calcula la constante de proporcionalidad, directa o inversa según el caso, de cada una de las situaciones. Busca la letra que corresponde a cada razón y encontrarás el nombre de una proporción muy conocida. I.

Por 3 kilos de naranjas hemos pagado 6,75 euros.

II. Para hacer un bizcocho se emplean 3 partes de leche por 2 de harina. III. Con 6 kilos de pienso alimentamos a 5 reses.

A: 2,25

V. 3 pintores pintan una casa en 2 días.

II

III

IV

E. 5 R: 1,2

IV. En 4 horas hemos recorrido 20 kilómetros a velocidad constante.

I

A: 1,5

U: 1,5

V Para 4 personas:

2. Cristina quiere hacer un bizcocho de limón según la siguiente receta. ¿Qué cantidad de cada producto necesitará si quiere hacer el bizcocho de limón para siete personas?

✓ 2 huevos ✓ 1 yogur de limón ✓ 5 vasos de azúcar ✓ 300 g de harina ✓ 1 sobre de levadura

3. De vez en cuando conviene talar algún árbol viejo, enfermo o seco en los bosques para prevenir incendios. Por otra parte, se sabe que, para que el bosque se mantenga, es necesario que la tala deje en pie más del 60 % de los árboles iniciales. En un bosque de 10.560 árboles se talaron 3.000 para controlar una plaga de grafiosis. ¿Qué porcentaje de árboles sobrevivió? ¿Se mantendrá en pie el bosque? 4. María, Rubén y Marta, de 2, 3 y 4 años, se han quedado solos unos instantes que han aprovechado para trocear en 72 partes la tarta de cumpleaños de Marta. Su madre quiere repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Puedes ayudarla? (Usa un color para los trozos que corresponden a cada niño).

5. ¿Cuál es el 20 % de la cuarta parte de 250?

7. Durante el primer semestre del año, el precio de la gasolina descendió un 7 %, y durante el segundo trimestre aumentó un 11 %. Si al comenzar el año el precio era de 1,09 euros/litro, ¿cuál fue el precio final? 8. Tres obreros han cavado una zanja en varias jornadas, sumando en total 12 horas de trabajo. Al día siguiente se necesita cavar una zanja igual con dos obreros más que se han incorporado de las vacaciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en cavarla? Proporcionalidad. Porcentajes

Unidad 6


6. Ana cortó la tercera parte de una tela de 100 metros para hacer varios disfraces y, a continuación, Carmen volvió a cortar el 33,3 % de la longitud inicial de la tela para hacer unas pancartas. ¿Cuántos metros de tela le quedaron a Manuel para sus decorados de teatro?

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, algunas son problemas de ampliación, otras son curiosidades matemáticas o actividades de investigación. El alumno debería no solo resolver las actividades, sino también relacionarlas con la unidad tratada, ampliarlas o plantear actividades del mismo tipo.

ACTIVIDAD DE GRUPO Euclides de Alejandría (siglo III a. C.), en el libro II de su tratado Los Elementos, trata por primera vez de la “media y extrema razón”, “proporción armónica”, “proporción áurea” o “regla de oro”. Efectivamente, una de las razones o proporciones matemáticas más importantes, útiles e interesantes es la razón áurea. Matemáticamente nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos: “Busca dos segmentos (A y B) tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor”. A A+ B = 1,618 034… = B A Dicha razón-proporción se encuentra en múltiples lugares a nuestro alrededor y en eso consiste la actividad. Se invita a los alumnos a encontrar la razón áurea en los objetos que les rodean. Por ejemplo: cuadros, esculturas, tarjetas bancarias, folios DIN A4, construcciones humanas o, incluso, como se observa en el dibujo contiguo, en el propio cuerpo humano.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La catedral de Sevilla mide 94 m. La catedral de Estrasburgo mide 132 m. La razón es 1,4.

6. 1 pintor pinta 90 m2 en 5 h. 10 h 1 pintor pinta 1 m2 en 90 3 pintores pintan 1 m2 en

2. Directamente proporcional. 2.790 €, 3.870 € y 4.140 €, respectivamente.

10 h. 90⋅ 3

3 pintores pintan 135 m2 en

10⋅135 =5h 90⋅ 3

3. Ejercicio resuelto. 4. 5 máquinas trabajando 1 h fabrican 600 tornillos.

1 5 1 7. Por segar queda: 1− − = . 3 8 24

En segar el terreno tarda:

1 máquina trabajando 1 h fabrica 120 tornillos.

24 ⋅ 2,4 = 57,6 h = 57 h 36 min.

4 máquinas trabajando 1 h fabrican 480 tornillos. 4 máquinas trabajando 24 h fabrican 11.520 tornillos. 5. Ejercicio resuelto.

8.

Alumnos 04-05: 27.886 + 7.158 = 35.044 Alumnos 05-06: 26.582 + 6.516 = 33.098 Pérdida de alumnos: 35.004 − 33.098 = 1.946 Porcentaje de pérdida:

1.946 ⋅ 100 = 5,55 % 35.044


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Unidad 6





1. La catedral de Ulm (Alemania) es la más alta del mundo y mide 161 metros. La razón de las alturas entre las catedrales de Ulm y de Sevilla es de 1,713, y la de las alturas de las catedrales de Ulm y de Estrasburgo (Francia) es de 1,22. ¿Qué altura tiene la catedral de Sevilla? ¿Y la de Estrasburgo? ¿Cuál es la razón entre las alturas de las catedrales de Sevilla y de Estrasburgo? 2. El Gobierno regional reparte una ayuda de 10.800 euros a tres agricultores por daños producidos por el granizo. El primero comunica la pérdida de 31 toneladas de cosecha; el segundo, de 43, y el tercero, de 46. ¿Cómo debe ser el reparto? ¿Cuánto recibirá cada uno? 3. (Problemas de proporcionalidad compuesta) En una granja, para alimentar a 30 cerdos durante 10 días se necesitan 450 kilos de pienso. ¿Cuánto pienso será necesario para alimentar a 50 durante un mes? Aplicamos el método de reducción a la unidad. 450 kilos de pienso para 30 cerdos suponen

450 = 15 kilos por cerdo durante 10 días. 30

15 = 1,5 kilos de pienso por cerdo al día 10

Por tanto, 1,5 ⋅ 50 ⋅ 30 (un mes) = 2.250 kilos de pienso Se necesitarán 2250 kilos de pienso. 4. Cinco máquinas trabajando 16 horas diarias fabrican 9.600 tornillos. ¿Cuántos tornillos fabricarán 4 máquinas trabajando 24 horas al día? 5. Ocho obreros realizan una obra en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 10 horas diarias? 8 ⋅ 5 ⋅ 8 = 320 horas en total emplean los 8 obreros en 5 días trabajando 8 horas diarias. 4 ⋅ 10 = 40 horas diarias en total trabajan los 4 obreros. 320 Por tanto, los 4 obreros necesitarán = 8 días. 40 Tardarán 8 días. 6. Dos pintores emplean 5 horas en pintar un muro de 6 metros de alto por 15 de largo. Para pintar un muro de 5 metros de alto por 27 de largo se han contratado 3 pintores. ¿Cuánto tardarán en pintarlo? 5 1 de un terreno, y su hijo, de ese terreno. El hombre necesita 2 horas y 24 minutos 8 3 para segar lo que le falta. ¿En que tiempo habría segado solo todo el terreno?

7. Un hombre ha segado

8. ¡Cuidado con las noticias de prensa! Educación (Tribuna de Salamanca; 22 de abril de 2006) Las universidades de Salamanca –la pública y la Pontificia– han perdido entre las dos un 11,34 % del alumnado en el curso 2005-2006 con respecto al año anterior. La Universidad de Salamanca reúne a 26.582 alumnos frente a los 27.886 del período anterior (−4,68 %), mientras que la Pontificia de Salamanca concentra 6.516 alumnos, un 6,66 % menos que en 2004-2005, cuando matriculó a 7.158 alumnos. ¿Estás seguro de que perdieron ese porcentaje de alumnado?. Proporcionalidad. Porcentajes

Unidad 6


Las universidades pierden más de un 11 % del alumnado

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APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Determina si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o si no hay relación de proporcionalidad entre ellas (NP): a) Cantidad de comida en la despensa y número de personas que puedo invitar a comer. b) Velocidad a la que voy en mi bicicleta y tiempo que tardo en llegar a un sitio. c) Número de pie que calzo y número del portal de la casa donde vivo. d) Velocidad de un coche y probabilidad de tener un accidente. 2. Calcula el término que falta en cada tabla y determina, en cada caso, si se trata de magnitudes directamente proporcionales o de magnitudes inversamente proporcionales: A

30

B

30

15

10

C

30

15

90

D

90

45

10

3. En un comercio ofertan tres unidades de un producto al precio de dos y pagamos 8,30 euros. En otro comercio, pagando 11,20 euros, que es el precio de tres unidades del mismo producto, nos darían cuatro unidades. ¿En cuál de los dos es más barato dicho producto? 4. Una fábrica emplea 7 robots para montar 105 vehículos diarios. ¿Cuántos vehículos montarán hoy, que, por razones de mantenimiento, solo funcionan 5 de ellos? ¿Y si, además, un problema eléctrico deja solo un robot operativo? 5. ¿Cuál es el 35 % de 130? ¿Y el 130 % de 35? 6. Alberto ha calculado que el 32 % de su sueldo debe destinarlo a pagar la hipoteca de su vivienda, y el 45 % a gastos fijos, como alimentación, luz, agua, gas y teléfono. Si su sueldo es de 1546 euros mensuales, ¿cuánto dinero puede dedicar a ahorrar o para otros gastos? 7. Las últimas lluvias han dejado en el valle 34 hectómetros cúbicos de agua que se recogerá en un pantano. Dicha cantidad supone el 12 % de la capacidad total del pantano. Si en este momento hay 260,50 hectómetros cúbicos almacenados, ¿cuántos hectómetros cúbicos faltarán para llenar el pantano cuando se haya embalsado el agua esperada? ¿Qué cantidad de agua habrá que desembalsar?


8. Un grifo que arroja 15 litros de agua por minuto tarda 2 horas y 10 minutos en llenar un depósito. ¿Cuál debería ser el caudal para que el depósito se llenase en hora y media?

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9. Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito de combustible prácticamente vacío y el cuentakilómetros marcando 21.876. Echa 47 litros de gasolina y sigue su viaje. Cuando el depósito está a punto de agotarse, mira de nuevo el cuentakilómetros, que marca 22.519. ¿Cuánta gasolina consume a los 100 kilómetros dicho vehículo? 10. Reparte 2.480 de forma directamente proporcional a 4, 6 y 10.

Unidad 6


Propuesta de evaluación


Unidad 6

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) DP

b) IP

c) NP

2. Inversamente proporcionales

d) NP Directamente proporcionales

A

30

15

10

C

30

15

10

B

30

60

90

D

90

45

30

3. En el primero de los comercios es más barato, ya que el precio de un producto es de 2,77 €, mientras que en el segundo es de 2,80 €. 4.

Vehículos

105

x

7

5

105

x

7

1

Robots

Vehículos Robots

105 x 105⋅5 = = 75 vehículos x= 7 5 7

105 x 105⋅1 = = 15 vehículos x= 7 1 7

5. 45,5 en ambos casos 6. Para ahorro y otros gastos dedica el 23 %. 23 % de 1.546: x =

7.

34 12 = x 100

x=

23⋅1.546 = 355,58 € 100

34⋅100 = 288,33 12

La capacidad del pantano es de 288,33 hm3. Para llenarlo hacen falta 288,33 − 260,50 = 22,83 hm3. Sobran: 34 − 22,83 = 11,17 hm3. 8. x =

15⋅2,16 = 21,6 L/min 15 ,

9. Con 70 L recorre 22.519 − 21.876 = 643 km. Litros

47

x

Kilómetros

7

100

47 x 47⋅100 = = 7,30 L cada 100 km x= 643 100 643

10.

Total Cantidad

x

y

z

2480

Partes

4

6

10

20

x=

2.480⋅ 4 = 496 20

y=

2.480⋅6 = 744 20

z=

x y z 2.480 = = = 4 6 10 20 2.480⋅10 =1.240 20


Unidad 6

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Unidad 6

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO



Estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones y analizar críticamente los resultados.

– Analiza matemáticamente las ofertas y descuentos.



– Resuelve problemas de proporcionalidad y porcentajes y


Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información.

Actividades 23, 47, 56 y 60 a 62 Pon a prueba tus competencias 68 y 69 los aplica a contextos cotidianos. Toda la unidad – Interpreta datos suministrados en distintas formas y los

traduce a lenguaje matemático. Desarrolla tus competencias. Actividades 39 y 47 Pon a prueba tus competencias 65 a 70 – Aplica la proporcionalidad y los porcentajes a distintos


Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable


Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos. Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento. Demostrar espíritu crítico en la observación de la realidad y en el análisis de los mensajes informativos y publicitarios. Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento. Practicar la ciudadanía democrática a través del ejercicio de los derechos y deberes propios y ajenos.


contextos científicos y técnicos. Desarrolla tus competencias Actividades 10, 16, 29, 44 y 45 Pon a prueba tus competencias 67 – Comprende la importancia de la información nutricional

para una dieta equilibrada. Actividad 18 Entrada. Desarrolla tus competencias – Formula reflexiones críticas sobre las ofertas publicitarias

y los descuentos. Margen (epígrafe 4) Actividades 5, 19, 22, 23, 47, 58, 60, 61 y 62 Pon a prueba tus competencias 66, 68 y 69 – Comprende la gestión de la economía doméstica y lo

demuestra razonando de forma consistente. Actividades 19, 28, 47 y 53 Pon a prueba tus competencias 66, 68 y 69 – Conoce las señales de tráfico y las valora como elemento

de seguridad vial. Actividad 44. Pon a prueba tus competencias 65 – Visita la página librosvivos.net.

Buscar información con distintas técnicas

según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Actividades 4, 9, 15, 20 y 32. Interactivos, Investiga, Síntesis, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

7

ESO

Funciones

2 CONTENIDO


7



Funciones

Esta unidad se dedica al estudio de las funciones y supone un avance en el aprendizaje de los alumnos para describir fenómenos presentados en forma de tablas o gráficamente. El curso pasado se trabajó la construcción de gráficas a partir de tablas y la lectura e interpretación de gráficas. En este curso se define el concepto de función y se estudian sus propiedades de un modo intuitivo, mediante la gráfica. También se inicia el estudio de funciones elementales con las funciones de proporcionalidad directa, las funciones afines y las funciones de proporcionalidad inversa. Como las gráficas están presentes en multitud de áreas y fenómenos de la vida cotidiana y sirven para representar e interpretar la relación existente entre dos magnitudes de una manera clara y visual, trataremos de utilizar ejemplos extraídos del mundo que nos rodea, en especial de los medios de comunicación. Existen multitud de programas informáticos que permiten representar funciones. En la unidad se propone el trabajo con el programa GeoGebra con actividades que posibiliten al alumno desarrollar su competencia en el tratamiento de la información y competencia digital.


OBJETIVOS 1. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una fórmula o mediante un enunciado.

1.1 Construir e interpretar gráficas dadas por tablas o fórmulas.

2. Utilizar el lenguaje adecuado para describir una gráfica.

2.1 Estudiar la continuidad de una función, indicando los puntos de discontinuidad.

1.2 Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas.

2.2 Indicar los puntos de corte con los ejes de una función dada por su gráfica o por una ecuación de primer grado. 2.3 Indicar entre qué valores de la variable independiente la función es creciente o decreciente. 2.4 Indicar los máximos y mínimos de una función dada por su gráfica. 3. Identificar, analizar y representar funciones de proporcionalidad directa, funciones afines y funciones de proporcionalidad inversa.


3.1 Reconocer las funciones de proporcionalidad directa, afines y de proporcionalidad inversa dadas a través de un enunciado, una fórmula o una gráfica.

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

3.2 Construir la gráfica de una función de proporcionalidad directa, afín o de proporcionalidad inversa a partir de su fórmula. 3.3 Construir gráficas de funciones utilizando el programa GeoGebra.

CONTENIDOS

2

• Función, variable independiente, variable dependiente, imagen

• Continuidad. Puntos de discontinuidad

• Fórmula de una función

• Funciones crecientes, decrecientes y constantes

• Tabla de valores de una función

• Máximos y mínimos

• Coordenadas cartesianas. Abscisa y ordenada

• Función de proporcionalidad directa

• Representación de puntos en el plano

• Función afín

• Representación de funciones en el plano

• Función de proporcionalidad inversa

Unidad 7

Funciones

• Puntos de corte con los ejes


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para calcular los valores de la variable dependiente a través de la fórmula de la función, los alumnos deben comprender el significado del valor numérico de una expresión algebraica y dominar la jerarquía de las operaciones. También deben tener soltura con la transcripción al lenguaje algebraico para obtener la fórmula de funciones sencillas a través de un enunciado concreto. Además deben recordar la caracterización de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

2. Previsión de dificultades Algunos alumnos intercambian la abscisa y la ordenada al representar o al hacer referencia a un punto, en especial cuando se trata de puntos en los ejes de coordenadas. Al estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, los alumnos no entienden por qué hay que hacer referencia al eje de abscisas. Para ello deberemos hacer numerosos ejemplos que representen situaciones cotidianas. En la representación de funciones de proporcionalidad inversa se debe prestar especial atención a los valores cercanos al cero, pues suelen dibujar mal la gráfica haciendo que corte al eje. Experimentando con la calculadora se les puede demostrar cómo, a medida que nos acercamos al cero, la función es cada vez más grande, pero no está definida para x = 0.

3. Vinculación con otras áreas Podemos encontrar ejemplos de funciones en todas las áreas del currículo y en situaciones cotidianas. De hecho, en multitud de disciplinas se trata de encontrar modelos funcionales que describan diferentes fenómenos, para poder extraer conclusiones y hacer predicciones.


Continuidad

La unidad comienza definiendo el concepto de función y examinando cómo esta puede definirse mediante fórmulas, tablas de valores y gráficas.

Como ejemplos de funciones elementales se estudian la de proporcionalidad directa, la afín y la de proporcionalidad inversa.

FUNCIONES

Después se estudian las propiedades globales: continuidad y discontinuidad, puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

Propiedades globales

Cortes con los ejes Crecimiento Máximos y mínimos Proporcionalidad directa

Funciones elementales

La unidad se cierra con la representación de funciones mediante el programa GeoGebra.

Función afín Proporcionalidad inversa

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Funciones: fórmulas y tablas de valores 2.ª Funciones: gráficas 3.ª Continuidad y discontinuidad. Puntos de corte con los ejes 4.ª Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos 5.ª Funciones de proporcionalidad directa 6.ª Funciones afines 7.ª Funciones de proporcionalidad inversa 8.ª Gráficas con el programa GeoGebra 9.ª Actividades de consolidación y aplicación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Funciones

Unidad 7

3



Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Por la naturaleza de su contenido, esta unidad se desarrolla de una manera muy práctica y con ejemplos de la vida cotidiana, a la vez que se introducen y manejan los conceptos básicos de las funciones. Por ello, se trabajan especialmente las subcompetencias de: razonamiento y argumentación y de uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En la unidad aparecen varios ejemplos y ejercicios que permiten desarrollar aspectos relacionados con esta competencia. En particular la interpretación de gráficas de fenómenos naturales induce a trabajar la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos, la elaboración de una receta se relaciona con la de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable y, por último, el análisis de la demanda energética puede llevar a una reflexión sobre el medio natural y desarrollo sostenible.

Competencia social y ciudadana A partir de una pequeña investigación de tipo histórico que se propone, se trabaja la subcompetencia de desarrollo social y personal. La actividad sobre el cambio de divisas se relaciona con la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y la de uso de herramientas tecnológicas, a partir del uso de GeoGebra.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia de autonomía e iniciativa personal El trabajo de construir un gnomon casero permite trabajar la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos.


4

Unidad 7

Funciones



COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO






Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información.




Formular hipótesis y prevenir consecuencias sobre los problemas relevantes en situaciones reales o simuladas.

– Interpreta correctamente gráficas de contenido físico, razona sobre las causas de su forma y evolución y extrae conclusiones. Desarrolla tus competencias, 2 Ejercicio resuelto (página 143) Pon a prueba tus competencias 82



– Reflexiona sobre la elaboración de los alimentos y la importancia de la utilización equilibrada de los nutrientes. Actividad 28


Tener unos hábitos de consumo responsable en la vida cotidiana.

– Entiende el significado de la demanda energética instantánea y reflexiona sobre cómo controlar el consumo que representa. Ejemplo epígrafe 4 (página 146)


Conocer la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Conoce hechos y personajes clave en la historia de las matemáticas. Pon a prueba tus competencias 83-6



– Comprende en qué consiste el cambio de divisas. Pon a prueba tus competencias 81


– Visita la página librosvivos.net. Actividades 6, 13, 29, 31 y 37. Interactivos (epígrafe 1). Síntesis de la unidad. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 2 a 7) Pon a prueba tus competencias 81-3 y 83-6

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Analiza información en forma de tablas o gráficas y extrae de ella los datos necesarios. Actividades y ejemplos con funciones en forma de tabla o gráfica

Uso de las herramientas tecnológicas

Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y para resolver problemas reales.

– Maneja GeoGebra para representar y analizar funciones. Epígrafe 8

Planificación y desarrollo de proyectos

Analizar las posibilidades y limitaciones para emprender un proyecto.

– Fabrica un gnomon casero y lo utiliza para realizar una investigación dirigida. Pon a prueba tus competencias 83

Matemática


Social y ciudadana




– Interpreta correctamente enunciados y situaciones de la vida real y encuentra la expresión funcional que los representa. Ejemplos con contexto de la unidad Actividades 7, 12, 18, 19, 25, 28, 30, 32, 64 a 67, 68, 73 a 75 Pon a prueba tus competencias

Funciones

Unidad 7

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación del consumidor: actividades 7, 18, 19, 79 y 81 • Educación para la convivencia: Aprende a pensar con matemáticas, juego “El último gana”


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, gráficas y estadística – Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 9. Gráficas y funciones SM

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, funciones y estadística – Unidad II. Funciones • Cuadernos de matemáticas para la vida. 2º de ESO – “El Museo del Prado” • Cuadernos de investigaciones matemáticas. 2º de ESO – Unidad 6. Funciones a nuestro alrededor – Unidad 7. Representando curvas

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad interactiva del proyecto CIDEAD:

Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd22 Unidad interactiva de Educarex:

Otros materiales


6

Unidad 7

• Dominó de funciones, de Materiales para construir las Matemáticas en la ESO. Proyecto Sur • Programa GeoGebra

Funciones

Sugerencias didácticas Entrada El texto hace referencia a las balanzas de las tiendas que, al pesar un producto, calculan su precio. En las actividades se trabaja con casos particulares. En la primera se pide calcular el precio dados el peso y el precio por kilogramo del producto; y en la segunda, conocidos el peso y el precio, hay que calcular el precio por kilogramo. Tras la realización de las actividades podemos pedir a los alumnos que expliquen cómo funcionan las balanzas, qué información contiene el código que introduce el tendero y qué operaciones realiza la balanza para dar el resultado.

valores que salen dependen de los que hayamos metido (variable dependiente). • A continuación podemos escribir en la pizarra varias tablas de dos columnas, una con el encabezado x y otra con el encabezado f(x), con números relacionados mediante funciones sencillas (el mismo número más tres, el doble, el doble menos uno, el cuadrado, etcétera) para que ellos traten de averiguar la fórmula. Volver a insistir aquí en el sentido de la notación f(x). • Debemos indicar que las funciones no siempre tienen fórmula conocida, aunque sobre este aspecto se vuelve en el epígrafe siguiente.

Para ilustrar la idea de que las funciones son como máquinas podemos dibujar una caja en la pizarra con una etiqueta en la que se indique un tipo de producto, una flecha de entrada en la que se lea “peso” y una flecha de salida en la que se lea “precio”.

• A continuación recordaremos la representación de puntos en el plano. Hay que insistir en el orden de las coordenadas, pues algunos alumnos las intercambian al representar o al hacer referencia a un punto, en especial cuando se trata de puntos en los ejes de coordenadas.

También podemos preguntarles qué tipo de relación hay entre el peso y el precio de un producto, y cuando lleguen a la idea de que son directamente proporcionales, decirles que la función de proporcionalidad directa es una de las funciones elementales que se estudian en la unidad.

• Se puede organizar una variante del juego de los barquitos empleando abscisas y ordenadas en vez de letras y números.

Desarrolla tus competencias 1. La primera actividad continúa con el trabajo con balanzas, con lo que, si han comprendido la sección anterior, no tendrán problemas para resolver las actividades. La primera cuestión es trivial. El precio no puede ser proporcional al número de piezas porque entonces en los casos A y C se tendría el mismo precio. Antes de resolver las siguientes cuestiones deben observar con cuidado la escala de las balanzas para darse cuenta de que están graduadas de 100 en 100 gramos y que el peso máximo que pueden indicar es de 1 kilogramo. Tras trabajar en esos casos particulares podemos pedirles que generalicen, calculando el precio de x manzanas, para introducir el concepto de fórmula de una función, sobre el que se va a trabajar en el primer epígrafe. 2. En esta actividad se muestran las gráficas tiempo-espacio correspondientes a dos participantes en una carrera. En general, los alumnos no tendrán dificultad para interpretar las gráficas y contestar a las cuestiones. Podemos preguntarles si creen que esta función corresponde a una fórmula, para ir introduciendo la diferencia entre las funciones teóricas con fórmula conocida y las empíricas, en las que solo disponemos de los datos a representar.

1. Funciones: fórmulas y tablas de valores


1 a 5 y 46 a 48

Medio

6, 7 y 50

Alto

49 y 51

2. Funciones: gráficas • Una vez asimilada la representación de puntos en un sistema de coordenadas, la representación de funciones no debería tener mayores dificultades. • Si la función viene dada por una fórmula, hay que indicar a los alumnos que deben elaborar primero una tabla. Ellos suelen preguntar si pueden dar los valores que quieren, les cuesta entender que al dar a la variable independiente valores diferentes obtienen puntos distintos, pero de una misma gráfica. Para que lo vean podemos dividir la clase en dos grupos, y darles una función afín para representar especificando unos valores diferentes para cada grupo, para que luego comparen por parejas las gráficas obtenidas. • Ejemplos como el del ejercicio resuelto 4 nos permiten explicar que, con frecuencia, al estudiar fenómenos reales, las relaciones entre las variables son tan complejas que no tienen fórmula, y que solamente se puede elaborar su gráfica a partir de tablas de valores.


8 a 10, 13, 52 y 55

Medio

11, 12, 53 y 54

• El epígrafe comienza definiendo el concepto de función, con el que ya han trabajado en la sección anterior. Podemos retomar la analogía con la máquina transformadora de números para aclarar la notación: si la función se llama f, el número 3 se transforma en f(3) y un número cualquiera x se transforma en f(x).

• Para estudiar las propiedades globales es preferible utilizar ejemplos de funciones en contextos reales, pues nos dan información relevante sobre el fenómeno que estudiamos.

• Continuando con la analogía, en la máquina metemos los valores que queremos (variable independiente), pero los

• Para introducir el concepto de continuidad podemos proponer un enunciado correspondiente a una función no

3. Propiedades de las funciones I

Funciones

Unidad 7

7


continua para que elaboren la gráfica, como el que se da en el epígrafe. Tenemos que insistir en la importancia de utilizar adecuadamente los puntos huecos en las discontinuidades para que la gráfica se pueda interpretar de forma inequívoca. • Al estudiar los puntos de corte con los ejes debemos realizar numerosos ejemplos sobre la gráfica y asegurarnos de que no intercambian las coordenadas, antes de pasar a calcularlos a partir de la fórmula. Puesto que los alumnos solo saben resolver ecuaciones de primer grado, este último ejercicio solamente puede proponerse para funciones de proporcionalidad directa o afines, o, en todo caso, para otro tipo de funciones de fórmula muy sencilla cuyos puntos de corte con el eje de abscisas puedan calcular fácilmente por tanteo.


14 y 15

Medio

16 a 19 y 56 a 58

6. Funciones afines • Podemos comenzar escribiendo la tabla de una función afín sencilla, por ejemplo, f(x) = 2x + 1, para que los alumnos deduzcan su fórmula y elaboren su gráfica. • A continuación podemos proponer dos ejemplos, uno con la constante positiva y otro con la constante negativa, para que vean que la primera es creciente, y la segunda, decreciente. • También, mediante ejemplos, mostraremos a los alumnos el significado de k (la pendiente de la recta) y de n (la ordenada en el origen). • Por último, es importante que vean que en numerosas situaciones de la vida cotidiana aparecen funciones afines, tal como se ve en el ejemplo del epígrafe y en los de las actividades.


68

Medio

30 a 32, 67 y 69

4. Propiedades de las funciones II • Estos conceptos resultan bastante intuitivos para los alumnos cuando se aplican en funciones en un contexto real. Es importante poner varios ejemplos de este tipo antes de realizar ejercicios con funciones abstractas, porque si no, los alumnos no entienden por qué hay que hacer referencia al eje de abscisas.


59

Medio

20 a 24, 61 y 62 60

Alto

5. Funciones de proporcionalidad directa • Debemos comenzar repasando el concepto de proporcionalidad directa. Podemos pedir a los alumnos que citen ejemplos de magnitudes directamente proporcionales. Para algunos de estos ejemplos podemos elaborar tablas de valores, deducir la fórmula y representar las gráficas. • Seguramente todos los ejemplos propuestos hasta este momento tengan constante de proporcionalidad positiva. Debemos proponer nosotros ahora algún ejemplo con constante de proporcionalidad negativa para que vean que la gráfica entonces es decreciente. • Dibujando varias rectas sobre los mismos ejes, también podemos ver la relación entre la constante de proporcionalidad y la inclinación de las rectas. Les explicaremos que esta constante es la pendiente de las rectas y que indica cuántas unidades aumenta o disminuye la variable dependiente al aumentar en una unidad la variable independiente.


8

Básico

63 y 65

Medio

25 a 29, 64 y 66

Unidad 7

Funciones

7. Funciones de proporcionalidad inversa • Debemos comenzar repasando el concepto de proporcionalidad inversa. Puede ser útil trabajar con tablas de valores para que las completen sabiendo que la relación es de proporcionalidad inversa. Hemos de insistir en la idea de que el producto de todos los pares de valores es la constante de proporcionalidad inversa. • Podemos pedir a los alumnos que piensen ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales o que los busquen en la unidad anterior. Para algunos de estos ejemplos podemos elaborar tablas de valores, deducir la fórmula y representar las gráficas. • En la mayoría de los ejemplos procedentes de contextos reales, como el del epígrafe, la función solo tendrá sentido para x positivas. Debemos trabajar también con alguna función teórica, como la de la actividad 33, para que vean las dos ramas de la hipérbola. • Se debe prestar especial atención a los valores cercanos al cero, pues los alumnos suelen dibujar mal la gráfica, haciendo que corte el eje de ordenadas. Experimentando con la calculadora pueden ver cómo, a medida que nos acercamos al cero, la función es cada vez más grande, pero no está definida para x = 0. • Se puede trabajar con varias gráficas para que vean que cuanto mayor es la constante, más abierta es la gráfica, es decir, que se separa más de los ejes.


33, 36, 37 y 70 a 72

Medio

34, 35, 38 y 73 a 75

8. Gráficas con el programa GeoGebra • Esta sesión deberá impartirse en el aula de informática. Los alumnos pueden trabajar de forma autónoma, utili-


zando el libro de texto a modo de manual, pues cada ejemplo está explicado paso a paso y acompañado de imágenes de las pantallas y del menú del programa. • Se les puede pedir que guarden las actividades propuestas con su nombre (ejemplo actividad39mariagonzalez.ggb (opción “Guarda” en el menú “Archivo”) para poder revisarlas posteriormente.


39 a 43 y 76 a 78

Medio

44 y 45

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para el cierre de la unidad, que sirvan para sintetizar lo aprendido antes de abordar las actividades de la sección “Pon a prueba tus competencias”.

Pon a prueba tus competencias 79. Rebajas Para que los alumnos encuentren fácilmente la fórmula que permite obtener los precios rebajados o aumentados es conveniente que utilicen índices de variación. Se puede hacer una reflexión sobre la utilidad de las funciones para mecanizar un procedimiento. La fórmula de una función permite programar una máquina para calcular los nuevos precios. 80. Desplazamiento de un tren En los desplazamientos a velocidad constante existe una relación de proporcionalidad directa entre el espacio recorrido y el tiempo en la que la constante de proporcionalidad es precisamente la velocidad. 81. Cambios de divisas Los cambios de divisas también son funciones de proporcionalidad directa en las que la constante de proporcionalidad es el tipo de cambio. 82. Registro de temperaturas Esta actividad muestra un ejemplo de función experimental cuyos datos no obedecen a una fórmula conocida. Es preciso que sean cuidadosos en la elección de la escala para poder comparar adecuadamente las dos gráficas. 83. Gnomon Dadas sus características, lo más sencillo es que esta actividad se proponga como tarea para casa. Pueden organizarse grupos de trabajo. Hay que insistir en la importancia de ser muy precisos en la medición de la longitud de la sombra. A pesar de ello, al

representar la gráfica longitud-tiempo encontrarán que los puntos no se ajustan exactamente a una recta. Debemos indicar que dibujen la recta que mejor aproxime todos los puntos y utilicen la pendiente de esta para calcular la constante. En el apartado 6 conviene facilitar a los alumnos un guion de los puntos sobre los que queremos que se informen y especificarles en qué forma deben elaborar la información, para que el trabajo sea personal y no un simple ejercicio de “corta y pega”. 84. Trayecto de un coche Debemos exigirles precisión en la realización de los gráficos, lo que en esta actividad concreta requiere la elección cuidadosa de la escala.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indiquen, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar. También puede utilizarse como actividad de coevaluación, resolviendo cada uno la suya y después intercambiándola con un compañero para su corrección.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos.

Síntesis de la unidad Es importante que los alumnos elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. Una idea para utilizar el resumen como recurso didáctico es proponer a los alumnos que asignen las actividades realizadas a lo largo de la unidad al apartado del resumen al que correspondan. Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizarse las tarjetas para jugar en grupo.


Funciones

Unidad 7

9


Funciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Conocer el concepto de función y construir e interpretar gráficas. • Identificar características y elementos de una función: puntos de corte con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos. • Resolver problemas usando relaciones funcionales. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante esquemas o dibujos. Los alumnos deberán dibujar de forma adecuada gráficas correspondientes a funciones y, al menos de forma intuitiva, saberlas interpretar.

ACTIVIDAD DE GRUPO Buscando funciones La actividad consiste en buscar gráficas de funciones en los medios de comunicación e interpretarlas. Dividimos la clase en grupos y cada miembro del grupo puede traer una gráfica (de la sección de economía, deportes o política, por ejemplo), se fotocopian y se reparten a los otros grupos de manera que todos los grupos tengan todas las gráficas. Cabe también la posibilidad de utilizar gráficas aparecidas en otras asignaturas (Ciencias Sociales y Naturales, fundamentalmente), de forma que la actividad sea más interdisciplinaria. Se trata entonces de obtener la mayor cantidad posible de información de cada gráfica (magnitudes que intervienen, máximos, mínimos, crecimiento, etcétera) e incluso, si es posible, y la información disponible lo permite, intentar buscar explicación al comportamiento de dichas gráficas.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Empezando por el extremo inferior izquierdo, las coordenadas son:

Y

3.

(−2, −3); (−2, 4); (2, 4); (2, 3); (−1, 3);

1

(−1, 2); (1, 2); (1, 1); (−1, 1); (−1, −3).

O

1

X

2. a) Consumo de electricidad en España a lo largo del día. b) Es una función, ya que a cada hora le corresponde un único consumo eléctrico; pero no es de proporcionalidad, ya que no existe proporción, ni directa ni inversa, entre la hora del día y el consumo. c) Es continua porque a lo largo del día siempre existe consumo eléctrico; el consumo será mayor o menor, pero existe todo el tiempo. d) El consumo es máximo justo antes de la hora de comer y de cenar, y mínimo por la noche. e) Crece a lo largo de la mañana hasta el máximo a la hora de la comida, luego decrece ligeramente para volver a crecer enseguida a la hora de la cena y primera hora de la noche (horario de máxima audiencia en la televisión), para descender bruscamente a medida que nos vamos a dormir y dejamos de necesitar la energía eléctrica.

a) Sí porque se puede dibujar de un solo trazo b) Creciente entre x = 0 y x = 3, y entre x = 4 y x = 5 Constante entre x = −3 y x = 0, y entre x = 3 y x=y 4. a) II b) IV c) I d) III


10

Unidad 7

Funciones



Funciones

Unidad 7

1. Indica las coordenadas de los vértices que forman la siguiente letra. Y

1 O

1

X

2. Observa detenidamente durante un tiempo la gráfica y luego responde a las preguntas (te puedes inventar otras preguntas y hacérselas a tus compañeros). 40.000

Mega Watt.

35.000

30.000

25.000

22 23 24 1

5

10

15

20

24 1 2 3

Horas

a) ¿A qué situación podría corresponder dicha gráfica? b) ¿Es una función? ¿De proporcionalidad? c) ¿Por qué es una gráfica continua? d) Explica razonadamente qué crees que ocurre en los máximos y mínimos de la función. e) ¿Cuándo crece y cuándo decrece? ¿Por qué? 3. Una araña terrestre tiene su nido en el punto (−3, −3) y ve una hormiga en el punto (5, 2); primero avanza horizontalmente hasta (0, −3); luego, en diagonal hasta (3, 1); después, en horizontal hasta (4, 1), y por último, en diagonal hasta donde está la hormiga. Representa en unos ejes de coordenadas el recorrido de la araña. a) ¿Has dibujado una función continua? ¿Por qué? b) Indica dónde es creciente y dónde constante. 4. Asocia cada fórmula de las siguientes con la gráfica que le corresponda.

I)

b) y =

Y

II)

1 O

3 x+3 2

c) y = −x + 1

Y

III)

X

O

IV)

Y

1

1 1

d) y = x + 1

1

X

O

Y

1 1

X

O

1

Funciones

X

Unidad 7


a) y = −x + 2

11


Funciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se pretende que el alumno afiance los conceptos fundamentales y sepa obtener toda la información que le aporta una gráfica. Es deseable que sepa representar en forma de gráfica, fácilmente entendible, los datos que aparecen en un enunciado. Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

ACTIVIDAD DE GRUPO En el circuito Dividimos a los alumnos en pequeños grupos de 2 o 3 personas. Cada grupo dibuja el trazado de un circuito de motos o de coches sencillo y se lo pasa a otro grupo, que deberá dibujar la gráfica cualitativa aproximada que muestre la relación de la velocidad con respecto al tiempo en una vuelta (mejor que no sea la primera vuelta), tal y como muestra el ejemplo: Gráfica v/t

Y

Circuito

Salida

O

X

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La función y = x es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. A medida que aumenta el coeficiente de x, la pendiente aumenta; si añadimos términos, la pendiente inicial no varía, pero obtenemos rectas paralelas a la primera.

Y

3. 1

2

2 O

3 X

2

Por ejemplo, y = x + 2 pasa por (0, 2) e y = x − 3 pasa por (0, −3). 2. Puntos y minutos. Anotación de los dos equipos de un partido de baloncesto.

4. a) A tuvo los mismos gastos que F. A y B tuvieron los mismos ingresos. b) Gastos: A = F < E < D < B < C

Sí, son funciones, ya que a cada minuto le corresponde un único tanteador. No existe proporcionalidad. Porque durante todo el partido existe tanteo, incluso aunque este sea 0 a 0. Crece permanentemente. No puede haber decrecimiento, ya que esto querría decir que a ese equipo le han quitado puntos, lo cual no es posible.

Ingresos: A = B < C < D < E < F 5. F = 1,8C + 32 y C = 0,55F − 17,78. La persona tendrá 37,22 ºC. 6.

Personas x Horas

Diferencia

110 a 100. A-B

20 15 10 5 O

1

Y

4

5

10 20 25 50 100

Unidad 7

Funciones

4

2

1

10 O 10

50 100 X


12

5

Se trata de una función de proporcionalidad inversa de ecua100 ción: y = x

50 Minutos

2

y 100 50 25 20 10

100

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

c) F ahorró más.



Funciones

1. Representa la función y = x. A continuación, modifícala (por ejemplo, y = 2x e y = x + 1) y representa la nueva función. Compárala con la primera y extrae conclusiones. 2. Observa la gráfica detenidamente durante un tiempo y luego responde a las preguntas. 120

A B

Puntos

100

A B

80 60 40 20

O

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Minuto

a) ¿Qué magnitudes se relacionan? ¿A qué situación podría corresponder dicha gráfica? b) ¿Son funciones? ¿De proporcionalidad? c) ¿Por qué es una gráfica continua? d) ¿Cuándo crece y cuándo decrece? ¿Por qué? e) ¿Cuál fue el resultado final? A partir de los datos que puedes obtener en las gráficas, realiza una nueva en la que representes la diferencia de puntos a favor de A a lo largo del tiempo. 3. Dibuja una función de manera que al trazar una paralela al eje de abscisas por el punto (0, 2) corte a la función en tres puntos. ¿Podrías dibujar otra función que dé tres puntos de corte al trazar la paralela al eje de ordenadas por el punto (4, 0)? 4. Se muestran en la siguiente gráfica los gastos e ingresos de 6 familias en un año. Responde a las siguientes cuestiones.

Gastos

B

a) ¿Qué familias tuvieron los mismos gastos? ¿Y los mismos ingresos?

C

b) Ordena las familias por orden de menor a mayor gasto, y después, de menores a mayores ingresos. D

1

O 1

A

E F

c) ¿Qué familia consiguió ahorrar más?

Ingresos

Halla una función que pase de una escala a la otra y recíprocamente. Si una persona tiene 100 ºF, ¿qué temperatura tendrá en grados Celsius? 6. Para realizar cierto trabajo son necesarias 100 horas. Elabora una tabla que exprese el número de horas que corresponde a cada una según el número de personas que realicen el trabajo. ¿De qué tipo de función se trata? Halla la función y represéntala. Funciones

Unidad 7


5. En la escala Fahrenheit, el agua se congela a 32 ºF y hierve a 212 ºF, mientras que en la Celsius lo hace a 0 ºC y 100 ºC, respectivamente.

13


Funciones

APELLIDOS: CURSO:

1. La siguiente gráfica refleja el perfil de una excursión de montaña. ¿Cuánto duró la excursión? ¿Cuál fue el punto más alto del recorrido? A las tres horas y media de empezar la excursión encontramos un manantial. ¿A qué altitud se encontraba? Llegamos por la tarde al refugio de montaña situado a 900 metros de altitud, pero ¿a qué hora?

GRUPO:

Altitud (m)

FECHA:

NOMBRE:

1100 1000 900 700 600

8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 Hora del día

2. La gráfica de una función de proporcionalidad directa pasa por los puntos A(3; 2,25) y B(4, 3). Halla la fórmula. 3. El gradiente geotérmico es la variación de temperatura que se produce al aumentar la profundidad en la corteza terrestre y tiene un valor de 0,03 ºC/m. Una mina de diamantes en Sudáfrica tiene una profundidad de 1 kilómetro. a) Realiza una tabla de valores que relacione la profundidad con la temperatura. b) Representa gráficamente los valores de temperatura que se alcanzan a medida que un minero desciende hasta el corredor más profundo de dicha mina partiendo de una temperatura de 25 ºC en la entrada. c) Escribe la fórmula de la función que da la temperatura en función de la profundidad. d) ¿De qué función se trata? 4. Observa la siguiente gráfica.

Y

a) Señala los puntos de discontinuidad si los tuviera. 1

c) ¿En qué tramos crece y decrece?

O

5. La siguiente gráfica corresponde al nivel del agua del río Ebro a su paso por Zaragoza a lo largo de la última semana del mes de noviembre. ¿Cuál es la altura máxima a la que llegó el agua esa semana? ¿Qué día llevaba menos agua el río?

Nivel Río Ebro en Zaragoza (m)

b) Indica los puntos de corte con los ejes.

X

1

2 1 L

M

X

J

V


6. Una función viene dada por la fórmula y = −5x + 8. Haz la representación gráfica.

14

7. Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por hora. a) ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arrojara 360 litros por hora? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? c) Escribe la función asociada.

Unidad 7

Funciones

S

D


Funciones

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. La excursión duró 10 horas. El punto más alto es 1.100 m. A una altitud de 700 m. Llegamos al refugio a las 17.00 horas. 2.

x

3

4

y

2,25

3

La constante de proporcionalidad es

b)

Profundidad (m)

0

250

500

750

1.000

Temperatura (ºC)

25

32,5

40

47,5

55

Temperatura (ºC)

3. a)

3 = 0,75. La función es y = 0,75x. 4

c) T (x) = 25 + 0,03 x d) Función afín

40 20

O –200 –600 –1000 Profundidad (m)

4. a) Es discontinua en x = 2. b) Eje de abscisas: (−4, 0), (−1, 0) y (3, 0)

Eje de ordenadas: (0, 3)

c) Creciente: entre x = −6 y x = −3, entre x = −1 y x = 0 Decreciente: entre x = −2 y x = −1, entre x = 0 y x = 6 5. La altura máxima fue de 1 m. El sábado. 6.

Y

2 O

2

X

7. a) Tardará 6 horas en llenarse. b) k = 180 : 12 = 15 c) y = 15 x

Funciones

Unidad 7

15

Unidad 7 Funciones

Matemática

Razonamiento y argumentación Matemática

Uso de elementos y herramientas matemáticos Interacción con el mundo físico

Aplicación del método científico en diferentes contextos Interacción con el mundo físico

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable Interacción con el mundo físico

Medio natural y desarrollo sostenible Social y ciudadana

Desarrollo personal y social Social y ciudadana

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información Tratamiento de la información y competencia digital

Uso de herramientas tecnológicas Autonomía e iniciativa personal


DESEMPEÑO

DESCRIPTOR Realizar razonamientos para solucionar problemas u obtener información. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones cotidianas. Formular hipótesis y prevenir consecuencias sobre los problemas relevantes en situaciones reales o simuladas. Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Interpreta correctamente enunciados y situaciones de la vida real y encuentra la expresión funcional que los representa. Ejemplos con contexto de la unidad Actividades 7, 12, 18, 19, 25, 28, 30, 32, 64 a 68 y 73 a 75 Pon a prueba tus competencias

– Interpreta correctamente gráficas de contenido físico, razona sobre las causas de su forma y evolución y extrae conclusiones. Desarrolla tus competencias, 2. Pon a prueba tus competencias 82

– Reflexiona sobre la elaboración de los alimentos y la importancia de la utilización equilibrada de los nutrientes. Actividad 28

Tener unos hábitos de consumo responsable en la vida cotidiana.

– Entiende el significado de la demanda energética instantánea y reflexiona sobre cómo controlar el consumo que representa. Ejemplo del epígrafe 4 (página 146)


– Conoce hechos y personajes clave en la historia de las matemáticas. Pon a prueba tus competencias 83-6

Conocer y comprender los valores de la democracia, sus fundamentos, modos de organización y funcionamiento.

– Comprende en qué consiste el cambio de divisas. Pon a prueba tus competencias 81

– Visita la página librosvivos.net. Buscar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Hacer uso de los recursos tecnológicos para aplicarlos en diferentes entornos. Analizar las posibilidades y limitaciones para emprender un proyecto.

Actividades 6, 13, 29, 31 y 37. Interactivos

– Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 2 a 7) Pon a prueba tus competencias 81-3 y 83-6

– Maneja GeoGebra para representar y analizar funciones. Epígrafe 8

– Fabrica un gnomon casero y lo utiliza para realizar una investigación dirigida. Pon a prueba tus competencias 83





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

8

ESO

Estadística y probabilidad

2 CONTENIDO


7



Unidad 8



El origen de la estadística se remonta a los comienzos de la historia, puesto que cuando se forman las primeras sociedades surge la necesidad de saber cuántos habitantes tienen, con cuántos bienes cuentan, etcétera. Hoy en día, la estadística es de gran importancia debido a su universalidad, ya que es la herramienta básica en la investigación científica y social y está presente de forma cotidiana en los medios de comunicación en informaciones de todo tipo, deportivas, políticas, sociológicas… Ya han pasado los tiempos en que era tedioso el cálculo de los parámetros estadísticos con interminables sumas en tablas aparentemente infinitas. Hoy, las calculadoras y los ordenadores facilitan a los alumnos esta ardua tarea, por lo que se pueden abordar con ellos estudios estadísticos sobre aspectos de su interés con muestras considerablemente significativas. Ligada íntimamente a la estadística, la probabilidad también tiene multitud de aplicaciones, por lo que no debemos limitarnos a que los alumnos la asocien a los juegos de azar. Por medio de la teoría de la probabilidad se abordan, por ejemplo, el cálculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronósticos económicos, políticos y del tiempo, y, sobre todo, proporciona valiosas herramientas en la toma de decisiones. En definitiva, las aplicaciones de la estadística y la probabilidad proporcionan una buena oportunidad para mostrar a los alumnos la utilidad de las matemáticas para resolver problemas reales, siempre que su enseñanza se lleve a cabo mediante una metodología heurística y activa, enfatizando la experimentación y la resolución de problemas.


OBJETIVOS 1. Organizar los datos de una variable e interpretar el comportamiento de la muestra o población a través de medidas estadísticas o de gráficos.

1.1 Reconocer en un estudio estadístico la población, la muestra y la variable. 1.2 Hacer el recuento de una serie de datos estadísticos y organizarlos en tablas de frecuencias

• Matemática

1.3 Elaborar e interpretar diagramas de barras y de sectores.


1.4 Calcular la moda, la media, la mediana y el rango de un conjunto de datos. 2. Observar el comportamiento de determinados sucesos aleatorios e intentar predecir con ayuda de la probabilidad las situaciones de incertidumbre.


2.1 Asociar a un experimento aleatorio su espacio muestral y hallar el suceso correspondiente a un enunciado referido a dicho experimento.

• Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

2.2 Calcular la probabilidad de un suceso usando la regla de Laplace.

CONTENIDOS • Población y muestra

• Sucesos elementales y compuestos

• Variables cualitativas y cuantitativas

• Espacio muestral

• Frecuencias absolutas, relativas y acumuladas

• Frecuencia absoluta y relativa de un suceso

• Diagramas de barras y de sectores.

• Probabilidad

• Medidas de centralización: media aritmética, mediana y moda

• Sucesos equiprobables

• Medidas de dispersión: recorrido o rango • Experimentos aleatorios y deterministas

2

Unidad 8


• Regla de Laplace


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Todos los contenidos de esta unidad han sido estudiados en el primer curso, salvo el rango. Los alumnos deben dominar el cálculo de porcentajes y el empleo del transportador de ángulos para la elaboración de diagramas de sectores. Es necesario que tengan cierta destreza en el empleo de la calculadora y en la hoja de cálculo Excel. En cuanto a la probabilidad, deben ser ágiles en la simplificación de fracciones.

2. Previsión de dificultades Algunos alumnos encuentran dificultades para elaborar las gráficas con limpieza y precisión, hemos de ser exigentes en este aspecto. También les cuesta comprender la notación algebraica empleada para definir los conceptos del tema, en la que se encuentran por primera vez con subíndices.

3. Vinculación con otras áreas Como se ha dicho en la introducción, la estadística y la probabilidad son herramientas utilizadas por todas las ciencias. En este curso es fácil encontrar ejemplos sobre todo en las áreas de Ciencias Sociales y Ciencias de la Naturaleza.

4. Esquema general de la unidad Se comienza definiendo los elementos de un estudio estadístico: población, muestra y variable estadística, así como clasificando estas últimas. A continuación se muestra cómo organizar los datos en tablas, definiéndose las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas, y expresándose las relativas en forma de porcentaje.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Variable estadística

Sucesos

Tablas de frecuencias

Probabilidad Regla de Laplace

En el siguiente epígrafe se estudian los diagramas de barras y de sectores, mostrándose ejemplos realizados con el programa Excel.

Medidas estadísticas

La parte de estadística finaliza con el estudio de las medidas estadísticas: media, mediana y moda (medidas de centralización), y rango (medida de dispersión).

Gráficos estadísticos

El estudio de probabilidad comienza con las definiciones de experimento aleatorio, sucesos elementales y compuestos, espacio muestral y frecuencias absoluta y relativa de un suceso. La frecuencia relativa es el nexo con la estadística y sirve para definir la probabilidad. Para finalizar se calcula la probabilidad de experimentos en los que los sucesos elementales son equiprobables mediante la regla de Laplace.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Población. Variables estadísticas. Frecuencias 2.ª y 3.ª Representación gráfica. Gráficos con Excel 4.ª Medidas estadísticas 5.ª Probabilidad. Regla de Laplace 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 8

3



Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Dado el contenido muy aplicado de la unidad, se trabajan de forma más intensa las subcompetencias de: resolución de problemas y de uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En la unidad aparecen varios ejemplos y ejercicios que permiten desarrollar aspectos relacionados con esta competencia. En particular la interpretación de tablas y gráficos estadísticos de fenómenos naturales induce a trabajar la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos y la reflexión sobre la aplicación de la estadística al desarrollo físico del cuerpo se puede incluir en la de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Competencia social y ciudadana Los datos estadísticos referidos a diferentes problemas de tipo social, educativo, humano, permiten trabajar la subcompetencia de desarrollo social y personal. La actividad sobre la elección de delegado se relaciona con la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y, por último, el gráfico de distribución de pobreza en el mundo posibilita el profundizar la subcompetencia de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y la de uso de herramientas tecnológicas, a partir del uso de Excel.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Además, las actividades que proponen el diseño, elaboración y análisis de una encuesta, trabajan la subcompetencia de construcción del conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal La elaboración de una encuesta por parte del alumno, hace que trabaje la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos.


4

Unidad 8




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO






Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad mediante medidas matemáticas.


Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas.


Identificar preguntas o problemas relevantes sobre situaciones reales o simuladas.

– Interpreta la información estadística sobre fenómenos naturales, extrae conclusiones e identifica problemas. Desarrolla tus competencias. Lateral página 168



– Reflexiona sobre las diferencias del desarrollo físico entre sexos, utilizando los datos proporcionados por la estadística. Desarrolla tus competencias



– Utiliza la información estadística para conocer y reflexionar sobre la realidad social de su entorno. Ejemplo inferior página 168 Actividades 6, 7, 13, 33, 37, 48, 51 y 53


Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, modos de organización y funcionamiento.

– Comprende la importancia de la representatividad en democracia, también en el ámbito de la actividad escolar. Actividad 43

Compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social

Ser conscientes del dolor ajeno.

– Conoce y reflexiona sobre la distribución de la pobreza en el mundo. Actividad 33


– Visita la página librosvivos.net. Actividades 3, 12, 18 y 21. Interactivos (epígrafe 4), Paso a paso, Síntesis de la unidad, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (desarrolla tus competencias, epígrafes 1 a 4)


– Analiza información en forma de tablas o gráficas y extrae de ella los datos necesarios. Actividades y ejemplos con estadística y probabilidad en forma de tabla o gráfica



– Utiliza Excel para realizar cálculos y crear gráficos estadísticos. Gráficos con Excel (epígrafe 2)



Matemática


Social y ciudadana


Aprender a aprender




Conocer y poner en práctica las fases del desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Aplica técnicas estadísticas y probabilísticas para el recuento y la expresión de datos reales en forma de tabla o gráficos. Toda la unidad

– Elabora una encuesta reflexionando sobre su estructura y composición y analiza con sentido crítico sus resultados. Actividades 5 y 8


Unidad 8

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para el medioambiente: actividad 5 • Educación para la ciudadanía: actividad 43 • Educación para la convivencia: Aprende a pensar… con matemáticas, El juego de la media


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores – Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, gráficas y estadística Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 10. Estadística unidimensional SM

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, funciones y estadística – Unidad III. Estadística • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “La suerte de los números”, “Hoteles, ¿Cuánto contaminamos?”, “Residuos inteligentes”, “Bosques en llamas” • Cuadernos de investigaciones matemáticas. 2º de ESO – Unidad 8. ¿Aprobando con los dados? – Unidad 9. Estadística y economía

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd24 Aplicaciones interactivas de estadística y probabilidad, de aulademate.com:

Otros materiales


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Unidad 8

• Calculadora • Hoja de cálculo Excel • Barajas de cartas, dados, ruletas o bolas de colores


Sugerencias didácticas Entrada El texto muestra una de las aplicaciones de más vigencia de la estadística, el control de calidad, en la que es necesaria la elección de una muestra. La cuestión de cómo realizar la elección no es trivial. De hecho, un muestreo adecuado es crítico para poder inferir resultados. Seguramente los alumnos propondrán que el muestreo sea aleatorio. También se deberían tener en cuenta otros factores, puesto que para que la muestra sea representativa debe mantener la heterogeneidad de la población en cuanto a las características que sean relevantes para la investigación, por ejemplo, que contenga vehículos de los diferentes modelos, de las diferentes fábricas si las hay, o de diferentes cadenas de producción dentro de la misma fábrica, etcétera.

Desarrolla tus competencias Toda la sección se desarrolla en torno a unas tablas de datos de alturas de los chicos y chicas de un curso de 2.º de ESO. 1. Esta actividad pretende extraer unas conclusiones previas antes de tratar los datos. Primero se reflexiona sobre la conveniencia de tratar por separado los datos de los chicos y los de las chicas, y a continuación se pregunta por el número total de datos y por el número de valores distintos, lo que exige un primer recuento de los mismos. 2. Habría que reflexionar con los alumnos acerca de las diferentes interpretaciones de la pregunta, por ejemplo, qué grupo contiene a la persona más alta, qué grupo tiene mayor media de estatura, qué grupo contiene más personas con estatura por encima de la media de todo el curso… 3. Esta actividad retoma el tema de la elección de muestras. Se les puede indicar que, para que la muestra sea representativa de la población, debería mantener los porcentajes de chicos y chicas que haya en ella. 4. Se presentan ahora los datos agrupados en intervalos de 10 cm de amplitud, acompañados de un diagrama de barras. Resulta evidente que cuando se tienen datos tan numerosos y dispersos, es muy útil agruparlos. Se puede pedir como actividad complementaria que agrupen los datos por separado en los chicos y las chicas, y hagan el diagrama para ver qué conclusiones se pueden extraer.

1. Población. Variables estadísticas. Frecuencias • Se introducen en el epígrafe las características generales de un estudio estadístico: la población, la muestra, el tipo de variable… Conviene aclarar estos aspectos con numerosos ejemplos. • Resulta muy interesante la nota al margen sobre los diferentes motivos por los que a veces es necesario elegir una muestra.

• Para explicar la elaboración de tablas de frecuencias se puede hacer una encuesta rápida en clase, por ejemplo, sobre el número de hermanos o alguna otra variable que no presente demasiados valores para que el ejercicio sea sencillo, y hacer con ellos el recuento de datos y el cálculo de las frecuencias y los porcentajes. • Es importante insistir en la relación entre las frecuencias relativas y los porcentajes, para que vean que son dos formas distintas de expresar la razón entre la frecuencia de un valor concreto y el total de datos, en forma decimal o en forma de porcentaje. • Para que vean la utilidad de las frecuencias acumuladas se pueden hacer preguntas como las siguientes: ¿cuántos alumnos tienen menos de 2 hermanos?, ¿qué porcentaje representan? • Es necesario que exijamos a los alumnos que comprueben que la suma de las frecuencias absolutas es el número total de datos, al igual que la última frecuencia acumulada; que la suma de las frecuencias relativas es 1, al igual que la última frecuencia relativa acumulada, y que la suma de los porcentajes es 100, al igual que el último porcentaje acumulado. En ocasiones, estas igualdades no se cumplirán estrictamente cuando en las frecuencias relativas aparezcan decimales periódicos que haya que redondear.


1, 4, 25 y 26

Medio

2, 3, 5, 27, 28 y 30

Alto

29

2. Representación gráfica. Gráficos con Excel • Aunque los diagramas de barras les resultan familiares, conviene insistir en que, antes de comenzar, analicen los valores de las frecuencias que tienen que representar para que elijan una escala adecuada. • En cuanto a los diagramas de sectores, el cálculo del número de grados que tiene cada sector se puede hacer aplicando los porcentajes o aplicando la frecuencia relativa, en forma decimal o en forma de fracción. Es interesante reflexionar sobre la equivalencia de dichos procedimientos. • En particular, cuando la frecuencia relativa genera un número periódico, lo más adecuado es trabajar directamente con la fracción. Por ejemplo, si la frecuencia absoluta de un dato es 7 y el total de datos es 30, si los alumnos calculan la frecuencia relativa y redondean, cometerán un error, mientras que si calculan (7/30)⋅360 obtendrán un resultado exacto. • A la hora de su trazado, debemos asegurarnos de que los alumnos saben utilizar adecuadamente el transportador de ángulos. • También es importante insistir en que la información relevante en el diagrama de sectores es el valor de la variable que representa cada sector, que podemos rotular sobre el mismo o indicar con una leyenda, y en todo caso Estadística y probabilidad

Unidad 8

7


el porcentaje asociado, pues algunos alumnos tienden a indicar sobre el sector el número de grados. • El trabajo con Excel es muy motivador para los alumnos y resulta sencillo gracias a la utilización de los asistentes.


6

Medio

7, 8 y 31 a 33

tabla de frecuencias absolutas y relativas. Como tenemos un número considerable de datos, las frecuencias relativas se aproximarán a 1/6, así introduciremos la definición experimental de probabilidad.


16 a 18, 39 y 40

Medio

41

9 y 34

Alto

5. Regla de Laplace 3. Medidas estadísticas • Se puede comenzar indicando mediante un esquema los dos grandes tipos de medidas estadísticas y señalando las que se van a estudiar este curso: medidas de centralización (media, mediana y moda) y medidas de dispersión (rango). • Cuando el número de datos es numeroso, hay que insistir en la conveniencia de organizar los datos en tablas de frecuencias. Para el cálculo de la media añadiremos una columna con los productos xi · fi, y para hallar la mediana emplearemos las frecuencias acumuladas. • En cuanto a la moda, el propio significado en el lenguaje coloquial de la palabra moda ayuda a los alumnos a recordar su interpretación. Conviene poner ejemplos de distribuciones bimodales o plurimodales, y señalar que si todos los elementos tienen la misma frecuencia, decimos que la distribución no tiene moda. • El rango o recorrido es, a diferencia de las anteriores, una medida de dispersión. Para que vean su utilidad podemos ponerles un ejemplo cercano a ellos: en dos grupos de 2.º de ESO, la nota media en un examen de Matemáticas ha sido 6, pero en uno de ellos el rango es 3, y en otro, 10. ¿Qué conclusión podemos extraer?


10 a 13

Medio

14, 15, 35 y 36

Alto

• Podemos comenzar repartiendo un dado a cada alumno y haciéndoles las siguientes cuestiones: “Antes de lanzar el dado, ¿podemos saber qué número va a salir?, ¿podemos saber cuáles son los posibles resultados?”. Esto nos permitirá establecer la diferencia entre experimento determinista y aleatorio, e introducir los conceptos de suceso y espacio muestral, así como la notación que emplearemos. • También podemos preguntarles: “¿Qué resultados me sirven si quiero que salga par?”. Así podremos explicar la diferencia entre suceso elemental (cada uno de los números que contiene el dado) y compuesto (el conjunto de números que cumplen una condición). • A continuación les pediremos que lancen el dado 20 veces y que anoten los resultados. Elaboraremos entre todos la Unidad 8

• Como ya se comentó en la introducción, no debemos limitarnos a que los alumnos asocien la probabilidad únicamente con los juegos de azar. Podemos proponer un trabajo de investigación en grupo sobre las diferentes aplicaciones de la probabilidad, asignando a cada grupo un ámbito: medicina, economía, política, meteorología, física, estudios de mercado, control de calidad, etcétera.


19, 23 y 24

Medio

20 a 22 y 42 a 46

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para realizar tras el último epígrafe.

37 y 38

4. Probabilidad

8

• Los alumnos aplican de forma intuitiva la regla de Laplace. Tenemos que asegurarnos de que entiendan la relación con la probabilidad experimental que se vio en el epígrafe anterior: la probabilidad que calculamos mediante la regla de Laplace es el valor al que tenderá la frecuencia relativa de ese suceso al ir aumentando el número de experimentos.


Pon a prueba tus competencias 47. Baterías En esta actividad se pide a los alumnos no solo que calculen las medidas estadísticas estudiadas en la unidad, sino que además las utilicen para extraer conclusiones. Los alumnos están familiarizados con el significado de la media. Debemos indicarles que traten de utilizar en sus argumentaciones la información aportada por todos los parámetros. 48. Operaciones En esta actividad se pide a los alumnos, entre otras cuestiones, la elaboración de un diagrama de barras y uno de sectores. Hemos de exigirles limpieza y precisión. La última cuestión puede utilizarse para reflexionar sobre la importancia de nuestro sistema de seguridad social.


49. Gráficos conjuntos La actividad presenta un tipo de diagramas de barras distinto a los estudiados anteriormente, pues muestra de forma conjunta los datos correspondientes a dos años consecutivos. Los alumnos comprobarán la utilidad de estos gráficos para ver la evolución en el tiempo de los diferentes valores de la variable. 50. Diagramas de sectores conjuntos Del mismo modo que en la actividad anterior, se muestra aquí otro ejemplo del estudio conjunto de dos distribuciones de frecuencias, esta vez mediante diagramas de sectores. Se puede preguntar a los alumnos por qué creen que es interesante comparar los datos de alfabetización en hombres y mujeres, dando pie a la reflexión y a un pequeño debate sobre las situaciones de desigualdad en hombres y mujeres. 51. Censo en Aragón En esta actividad deben elaborar en total cuatro diagramas de barras y tres diagramas de sectores, por lo que necesitarán bastante tiempo. Si se quiere agilizar su desarrollo, se puede realizar en grupo. 52. Medidas estadísticas En esta actividad, además de elaborar la tabla de frecuencias completa y calcular todas las medidas estadísticas, van a estudiar la influencia sobre estas de la variación de los datos. 72. Servicio de urgencias El interés de esta actividad reside en la relación entre la estadística y la probabilidad. Los alumnos han de interpretar correctamente la información dada por el enunciado, para lo que será necesario organizarla en forma de tabla.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indique, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos. La primera actividad es relativamente sencilla, la mayoría de los alumnos llegará enseguida a la conclusión de que cogiendo tres calcetines hay necesariamente dos del mismo color. Esta es una aplicación del principio de Dirichlet o del palomar (si hay más palomas que palomares, necesariamente hay dos palomas en el mismo palomar). Se pueden dar otros ejemplos de aplicación: si hay trece personas en un grupo, por lo menos dos cumplen los años en el mismo mes. En el “juego de la media”, además de utilizar el recuento de datos para calcular la media y ver quién gana, se pueden calcular las frecuencias relativas para ver su aproximación a las probabilidades de cada valor. El último juego se resuelve por ensayo y error. No está relacionado con los contenidos de la unidad.

Síntesis de la unidad • Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, por lo que es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. • Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizar las tarjetas para jugar en grupo.



Unidad 8

9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Reconocer los elementos básicos de un estudio estadístico y representar gráficamente los datos. • Conocer las medidas estadísticas. Media, moda, mediana y rango. • Reconocer un experimento aleatorio y hallar el espacio muestral y los sucesos. • Conocer la probabilidad y usar la regla de Laplace. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante esquemas o dibujos, así como con situaciones de la vida real.

ACTIVIDAD DE GRUPO Carrera de coches Este juego es una carrera entre 11 coches que están numerados del 2 al 12. Los números de los vehículos corresponden a la suma de las caras de todos los resultados posibles cuando se lanzan dos dados. REGLAS

Tirada

• Lanza dos dados y suma los valores de las caras superiores.

10

• Coloca una X en la columna correspondiente al coche que indica la suma de los dados en la hoja de registro de la carrera. Debes empezar desde la parte inferior de la tabla. La meta se encuentra en la parte superior.

9

• Por turno, se siguen lanzando los dados y marcando una X en el número que indican estos.

6

• El ganador es el primero que llegue a la posición 10.

4

Después de varias carreras se discuten en el grupo los resultados. ¿Qué coche ha ganado más veces? ¿Ha sido una carrera justa?

3

Meta

8 7 5

2 1 Salida

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Cualitativa 2. a y b)

b) y c) Cuantitativas

3. a) Variable cuantitativa

Color

fi

Fi

hi

%

Blanco

4

4

1/3 = 0,333

33

Gris

5

9

5/12 = 0,416

42

1/4 = 0,25

25

A rayas

3

12

N.º de hijos fi

c) El color de mayor frecuencia es el gris. d) Para el blanco: 120º

b) media: 2,4

Fi

hi

2

2/12 = 0,16 5/12 = 0,41

1

2

2

5

7

3

4

11

1/3 = 0,33

5

1

12

1/12 = 0,08

12

0,99 1

25%

Para el gris: 150º

33%

4. El más alto mide 1,75 cm, y el más bajo, 1,50 cm. Rango: 1,75 − 1,50 = 0,25 cm.

Para las rayas: = 90º

42%

5. Los casos favorables son siempre 1. 1 P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = . Casos posibles = 4 4


10

Unidad 8


moda: 2




Observa la imagen y responde a las cuestiones que se plantean en los cuatro primeros problemas. Somos 5 hermanos/as

Somos 3 hermanos/as

Soy hijo/a único

Somos 2 hermanos/as

1,75 1,70 1,65 1,60 1,55 1,50

0

1. Completa la siguiente tabla indicando si los caracteres son cualitativos o cuantitativos, y en su caso, indica si la variable estadística es discreta o continua. Variable

Tipo de variable

a) Sexo de los chicos que aparecen en la imagen. b) Lo que mide en cm cada chico. c) El número de hermanos que son en su familia. 2. ¿Cuáles son los colores de sus jerséis? a) Realiza una tabla de frecuencias con los colores de sus jerséis. Se sugiere el siguiente formato. Color del jersey (xi)

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia relativa (hi)

b) Utilizando un formato de tabla como la que se adjunta añadiendo una columna, calcula el porcentaje de alumnos que llevan jerséis de color blanco, gris y a rayas. c) ¿Podrías indicar cuál es el color de moda? d) Realiza el diagrama de sectores de esta distribución de datos. 3. Ahora estudiamos el número total de hijos que tienen sus padres. a) Indica de qué tipo es la variable que se va a estudiar. Realiza la tabla de frecuencias correspondiente a esta variable. b) Calcula la media y la moda. 4. Observa sus estaturas. ¿Cuánto mide el más alto? ¿Cuánto mide el más bajo? ¿Qué rango tiene esta variable? 5. Realizamos la siguiente experiencia, hacemos girar la flecha y observamos en qué número se detiene.

2

1

3

4

Para ello, recuerda la ley de Laplace: P(S) =

Sucesos elementales

número de casosfavorablesa S número total de casosposibles

Salir un … = …

Casos favorables (…….) = …. P(..…) = …

Salir un … = …

Casos favorables (..…..) = … P(..…) = …

Salir un … = …

Casos favorables (….…) = …. P(…..) = …

Salir un … = …

Casos favorables (…….) = …. P(..…) = …

La suma de todos los casos favorables = casos posibles Casos posibles = …..

………………….


Unidad 8


Completa las columnas segunda, tercera y cuarta de la siguiente tabla.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se intentará que los alumnos profundicen en la terminología estadística y que reflexionen sobre aspectos relacionados con la probabilidad. Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Actividades en la red Puedes usar la red para buscar información sobre el origen de algunas palabras relacionadas con la probabilidad que se usan con frecuencia y sobre cómo se entretenían en la Antigüedad con juegos tan clásicos como los dados y las cartas. Utiliza para ello cualquier buscador, por ejemplo, Google o Yahoo. También puedes investigar en una biblioteca o en una hemeroteca. a) La palabra “aleatorio” se aplica a todo aquello que depende de la suerte o del azar. Averigua de qué palabra latina procede y qué significa la frase Alea jacta est, y quién y cuándo la pronunció. b) Los romanos eran muy aficionados al juego de los dados, con dados muy similares a los actuales. Consigue información sobre cómo llamaban a los dados y cómo eran. c) Uno de los juegos más antiguos es el de la taba. Busca información sobre sus comienzos, qué es la taba y cuál es el origen de su nombre. d) El nombre árabe de la flor de azahar dio origen a la palabra azar. ¿Qué relación existe entre estos dos términos aparentemente tan distintos? e) ¿De dónde procede el término “baraja”?

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 probabilidad de llegar a B. 8

1. Tenía razón el primer estudiante, ya que para que se cumplan las condiciones propuestas por los estadísticos, la única solución posible es que haya una sola flor de cada color en el jardín. Con lo que la afirmación del primer estudiante también será cierta.

3. a) P(B) =

2. Cualquier jugador podría razonar: la probabilidad de 1 que mi número aparezca en un dado es de , pero como 6 3 los dados son tres, las probabilidades deben ser de ; 6 por tanto, el juego es justo. Sin embargo, esta suposición es falsa. De las 216 maneras igualmente probables en que pueden ser arrojados los dados, ganarás en 91 casos y perderás en los otros 125.

4. No, de ninguna manera. Con frecuencia, las correlaciones estadísticas no reflejan causas y efectos. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y como es natural, es más probable que la mayoría de los accidentes se produzcan a estas velocidades.

1 3 1 b) P(A) = , P(C) = y P(D) = 8 8 4 Sí, la guarida B es la de acceso menos probable.

Todo lo contrario. El clima segoviano es tan beneficioso para los tuberculosos que muchos acuden allí para restablecerse. Naturalmente, esta es la causa de que aumenten allí los fallecimientos provocados por esta enfermedad. No, desde luego. El estudio se hizo sobre escolares sin discriminar por edades. Todo cuanto se demostró en él es que los niños mayores, cuyos pies son más grandes, leen, evidentemente, mejor que los más pequeños.


12

Unidad 8





1. En un jardín hay flores rojas, amarillas y azules. Dos estadísticos visitaron un día el jardín acompañados

de dos estudiantes de lógica. Tras pasear los cuatro un rato por el jardín, el primer estadístico comentó: “Siempre que cojas tres flores del jardín, una de ellas será amarilla”, a lo cual contestó el otro estadístico: “No solo eso, siempre que cojas tres flores de este jardín, seguro que una será roja”. Los estudiantes que oyeron los comentarios entraron en discusión, ya que uno de ellos aseguró: “Pues entonces, cada vez que cojamos tres flores, seguro que una es azul”, a lo cual el otro estudiante contestó: “Eso es totalmente imposible”. ¿Qué estudiante tenía razón y por qué? 2. Juego de trileros. En el tablero hay seis cuadrados marcados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se invita a los jugadores a

colocar tanto dinero como deseen en cualquiera de estos cuadrados. Se arrojan entonces tres dados. Si el número que se ha elegido aparece en un solo dado, uno recupera el dinero de la apuesta más una cantidad igual. Si el número aparece en dos de los dados, uno recupera el dinero apostado más dos veces esa misma cantidad. Si el número aparece en tres dados, uno recupera el dinero más tres veces la misma cantidad. Se da por sentado que si el número no aparece en ninguno de los dados, el dueño se queda con nuestro dinero. Para aclararlo por medio de un ejemplo, supongamos que apuestas 1 euro al número 6. Si un dado muestra un 6, recuperas tu euro más otro (2 euros en total). Si hay dos dados que muestren un 6, recuperas tu euro y ganas dos más (3 euros en total). Si los dados que muestran un 6 son los tres dados lanzados, entonces recuperas tu euro y ganas otros 3 euros más (4 euros en total). ¿Es el juego favorable al dueño o al jugador? 3. En Ratolandia vive el ratón Eugenio, que tiene fama de ser un genio

y se ha construido una madriguera con cuatro guaridas como la del gráfico que se adjunta, y después de mucho pensar decidió guardar sus provisiones de queso en su guarida B. Tiene como vecina a una ratita llamada Calista, que se cree muy lista y le quiere robar el queso entrando una sola vez a la madriguera, ahora que Eugenio se ha ido a ver a su novia Minnie. Contesta a las siguientes preguntas.

D

a) ¿Qué probabilidad tiene Calista de conseguir el queso? b) Realmente, ¿Eugenio ha actuado como corresponde a su fama?, ¿ha guardado el queso en el sitio más seguro? Razona la respuesta.

B A

C

4. Para acabar, ¡ojito con la estadística!

La estadística, que se ocupa de la obtención, organización y análisis de la información numérica, tiene cada vez un papel más importante en el mundo sumamente complejo de nuestros días. Los ciudadanos de a pie sufren tal bombardeo de datos que pueden verse incapaces de tomar decisiones inteligentes. Aunque en un principio la estadística surge a partir de la elaboración de censos, actualmente se extiende su aplicación a numerosos campos, como la agricultura, la biología, la psicología, la enseñanza, etcétera.

• Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen entre vehículos que ruedan a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 150 kilómetros por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad? • Si las estadísticas mostrasen que la mortalidad por tuberculosis es mayor en Segovia que en las demás provincias, ¿significaría esto que el clima segoviano favorece el contagio tuberculoso? • Un reciente estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pies grandes saben leer mejor que los de pies pequeños. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la capacidad de lectura de los niños? Estadística y probabilidad

Unidad 8


Hay muchas personas que, por carencia de sentido crítico de carácter estadístico, se impresionan muy fácilmente por coincidencias sorprendentes que a la luz de la teoría de la probabilidad y de la estadística nada tienen de sorprendentes. Daremos algunos ejemplos estrafalarios del uso impropio de datos (el gran arte de “mentir” con estadísticas) que habrán de alertaros sobre ciertos errores comunes. Razona la falacia de la siguiente noticia:

13



APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Para controlar la población de anchoas del mar Cantábrico, un barco pesquero-científico realiza una pesca selectiva. Para ello lanza las redes y captura 2.441 ejemplares de dicho pez. Los científicos toman datos de sus pesos y medidas. ¿Cuál es la población? ¿Cuál es la muestra? ¿Cuáles son los caracteres estadísticos? 2. Los resultados relativos a la longitud del pez en el estudio que se llevó a cabo en el problema anterior se reflejan en la siguiente tabla: Longitud (cm)

22-20 20-18 18-16 16-14 14-12 12-10

10-8

8-6

6-4

Marca (cm)

21

19

17

15

13

11

9

7

5

N.º de ejemplares

43

109

433

716

635

320

115

54

16

Realiza un diagrama de barras que refleje dichos datos. 3. Una fábrica de coches ha realizado pruebas de consumo entre sus vehículos, y los resultados, medidos en litros cada 100 kilómetros, han sido: 6,5 6,6 6,9 6,8 6,8

7 7 7,2 7,1 6,6

7,1 7 6,6 7,1 7,2

6,8 7,2 7 7,3 7,1

6,7 6,7 6,8 6,5 6,7

7 7,3 6,8 6,7 6,8

6,7 6,5 7,2 7 6,9

7,1 7 6,9 7,4 7

6,8 7,1 7 6,9 7,1

6,9 7,4 6,9 6,9 7,3

a) Elabora una tabla de frecuencias absolutas, relativas, porcentajes y todas las acumuladas correspondientes. b) ¿Cuál fue el consumo medio de dichos vehículos? c) Calcula la mediana, la moda y el rango. 4. Se han representado las actividades que realizan 28 vecinos de una comunidad. Utilizando el gráfico, realiza una tabla de frecuencias.

Fotografía 18% Informática 18%

Pilates 35%

Decoración 29%

5. Para celebrar su cumpleaños, Elena ha llevado a clase una bolsa de caramelos de los cuales 10 son de naranja, 13 de fresa, 9 de limón y 8 de menta. El reparto se realiza metiendo la mano en la bolsa y sacando un caramelo al azar. a) ¿Es un experimento aleatorio? Página fotocopiable

b) Juan mete la mano en la bolsa de los caramelos que ha traído Elena. ¿Cuáles son los sucesos posibles?

14

c) ¿Tienen todos los sucesos la misma probabilidad de ocurrir? 6. En un juego de dominó se extrae una ficha. Calcula la probabilidad de que: a) La suma de sus puntos sea par.

b) La suma de sus puntos sea impar.

c) Sea una ficha doble.

d) La suma de sus puntos sea mayor que 7.

Unidad 8




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Población: todas las anchoas localizadas en el mar Cantábrico. Muestra: los 2.441 ejemplares capturados de dicho pez. Caracteres estadísticos: peso y medidas que se toman de todos y cada uno de los ejemplares. 2.

N.º ejemplares

800 600 400 200

21 19 17 15 13 11 9

3. a) Consumo

7

5

fi

Fi

hi

Hi

pi

Pi

xi ⋅ fi

6,5

3

3

0,06

0,06

6%

6%

19,5

6,6

3

6

0,06

0,12

6%

12 %

19,8

6,7

5

11

0,1

0,22

10 %

22 %

33,5

6,8

7

18

0,14

0,36

14 %

36 %

47,6

6,9

7

25

0,14

0,5

14 %

50 %

48,3

7

9

34

0,18

0,68

18 %

68 %

63

7,1

7

41

0,14

0,82

14 %

82 %

49,7

7,2

4

45

0,08

0,9

8%

90 %

28,8

7,3

3

48

0,06

0,96

6%

96 %

21,9

7,4

2

50

0,04

1

4%

100 %

14,8

50 b) Consumo medio: c) Mediana: 6,95 4.

1

100 %

346,9

346,9 = 0,75 = 6,94 litros por cada 100 kilómetros 50 Moda: 7 Rango: 7,4 − 6,5 = 0,9

Nª de personas fi

Fi

Fotografía

5

5

Informática

5

10

Decoración

8

18

Pilates

10

28

5. a) Sí, es un experimento aleatorio. b) Sacar uno de fresa, sacar uno de naranja, sacar uno de limón o sacar uno de menta. c) No todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir; es más fácil que saque un caramelo de fresa, ya que hay más de este sabor en la bolsa. 4 7 1 c) P(ficha doble) = 4

6. a) P(sumar par) =

b) P(sumar impar) = d) P(sumar > 7) =

3 7

9 28


Unidad 8

15

Unidad 8 Estadística y probabilidad

Matemática

Resolución de problemas. Uso de elementos y herramientas matemáticos Interacción con el mundo físico



Social y ciudadana


Usar las técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar la realidad matemáticamente. Conocer y utilizar los elementos matemáticos en distintas situaciones. Identificar preguntas o problemas relevantes sobre situaciones reales o simuladas. Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.


Social y ciudadana

Compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información Tratamiento de la información y competencia digital

Uso de herramientas tecnológicas Aprender a aprender

Construcción del conocimiento Autonomía e iniciativa personal


DESEMPEÑO

DESCRIPTOR

Ser conscientes del dolor ajeno.

– Aplica técnicas estadísticas y probabilísticas para el recuento y la expresión de datos reales en forma de tabla o gráficos. Toda la unidad

– Interpreta la información estadística sobre fenómenos naturales, extrae conclusiones e identifica problemas. Desarrolla tus competencias. Lateral de página 168

– Reflexiona sobre las diferencias del desarrollo físico entre sexos, utilizando los datos proporcionados por la estadística. Desarrolla tus competencias

– Utiliza la información estadística para conocer y reflexionar sobre la realidad social de su entorno. Ejemplo inferior de página 168 Actividades 6, 7, 13, 33, 37, 48, 51 y 53

– Conoce y reflexiona sobre la distribución de la pobreza en el mundo. Actividad 33

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión. Hacer uso de los recursos tecnológicos y para aplicarlos en diferentes entornos. Obtener información y, a partir de conocimientos previos y la experiencia, generar nuevos conocimientos Desarrollar un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Analiza información en forma de tablas o gráficas y extrae de ella los datos necesarios. Actividades y ejemplos con tablas o gráficas

– Utiliza Excel para realizar cálculos y crear gráficos estadísticos. Gráficos con Excel (epígrafe 2)

– Elabora una encuesta reflexionando sobre su estructura y composición, y analiza con sentido crítico sus resultados. Actividades 5 y 8





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

9

ESO

Semejanza. Teorema de Tales

2 CONTENIDO


7



Unidad 9



En este tema abordamos el concepto de semejanza, que está presente en multitud de actuaciones de la vida de nuestros alumnos. Todos se han hecho fotos, fotocopias con sus ampliaciones y reducciones; han trabajado con mapas, planos, callejeros, etc., por lo que el concepto intuitivo de semejanza lo tienen claro, así como el conocimiento de la igualdad entre las formas. Aparece continuamente en el mundo de la imagen, del diseño gráfico, en la moda, en el arte, donde la proporcionalidad y la semejanza entre formas suelen estar relacionadas con el concepto de belleza y armonía. Lo que puede resultar más difícil para los alumnos es, a través de la observación de una figura semejante (foto, plano, fotocopia, etc.), determinar su tamaño en la realidad, pasar de la percepción a la concreción. No es de extrañar que les ocurra esto, ya que en muchos casos los propios adultos tenemos dificultad en concretar las medidas reales de planos y maquetas. Dentro de la unidad, el alumno construirá figuras semejantes a una dada que guarden las proporciones adecuadas a la razón de semejanza que se establezca. Es importante que trabajen siempre con material de dibujo y realicen sus gráficos de modo preciso. El teorema de Tales permitirá al alumno calcular distancias a puntos inaccesibles en situaciones reales, una de las aplicaciones más importantes de la semejanza.

OBJETIVOS


1. Comprender y aplicar el concepto de razón de semejanza.

1.1 Identificar polígonos semejantes y calcular la razón de semejanza.


1.2 Construir polígonos semejantes con una razón de semejanza determinada. • Matemática

2. Comprender el concepto de escala y aplicarlo para interpretar planos y mapas.

1.3 Relacionar perímetros y áreas de figuras semejantes.

• Interacción con el mundo físico

2.1 Aplicar la escala numérica o gráfica de planos y mapas para obtener las distancias reales correspondientes a las representadas y viceversa.


2.2 Realizar planos a escala. 3. Comprender y aplicar el teorema de Tales.

3.1 Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales o proporcionales.

• Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

3.2 Aplicar el teorema de Tales y la semejanza de los triángulos en posición de Tales para resolver problemas.

CONTENIDOS • Polígonos semejantes

• Triángulos en posición de Tales

• Razón de semejanza

• Utilización del teorema de Tales para obtener medidas

• Construcción de polígonos semejantes

• División de un segmento en partes iguales

• Perímetro y área de figuras semejantes

• División de un segmento en partes proporcionales

• Escala numérica y escala gráfica

• Resolución de problemas de cálculo de distancias a puntos inaccesibles

• Teorema de Tales

2

Unidad 9



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En cursos anteriores, los alumnos han trabajado con escalas, pero no debemos dar por supuesto que tienen asimilado el concepto. Es imprescindible que dominen la proporcionalidad numérica, que es la herramienta utilizada a lo largo de toda la unidad; que manejen con soltura el compás, la escuadra y el cartabón, y que utilicen correctamente las unidades de longitud y superficie.

2. Previsión de dificultades Los alumnos no suelen tener dificultad en percibir a través de la vista la semejanza entre figuras, pero a la hora de representar o analizar la relación existente entre ellas pueden encontrar dificultades. Deben abordar este tema siempre con ayuda de material de dibujo, regla, compás, transportador, etc., para realizar la representación gráfica adecuada en cada caso con las medidas pertinentes.

3. Vinculación con otras áreas La proporción geométrica está presente en el mundo del arte y en la observación de las medidas de la naturaleza. Basta recordar algunos ejemplos de la presencia de la proporción más conocida, la proporción áurea: Partenón, concha del Nautilus, La Gioconda.


SEMEJANZA

En el primer epígrafe se establece cuándo dos polígonos son semejantes, se define la razón de semejanza y se explica el procedimiento de construcción geométrica de polígonos semejantes. A partir de la definición de razón de semejanza se deduce la razón entre los perímetros y las áreas de figuras semejantes. A continuación se estudia una de las principales aplicaciones de la semejanza, los planos y mapas, siendo la razón de semejanza la escala, que puede expresarse de forma numérica y gráfica y que se aplicará para calcular las distancias reales a partir de las distancias en el plano o mapa y viceversa. Después se enuncia el teorema de Tales, y se deduce la semejanza de los triángulos en posición de Tales. Los dos últimos epígrafes se dedican a las aplicaciones prácticas del teorema de Tales: la división de un segmento en partes iguales o proporcionales y el cálculo de distancias a puntos inaccesibles en situaciones reales.

Razón de semejanza Construcción de polígonos semejantes Perímetros y áreas Escala, planos y mapas TEOREMA DE TALES División de un segmento Triángulos en posición de Tales Resolución de problemas

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Semejanza. Razón de semejanza 2.ª Construcción de polígonos semejantes. Perímetro y área de figuras semejantes 3.ª Planos y escalas 4.ª Teorema de Tales. Triángulos en posición de Tales 5.ª División de un segmento en partes iguales y proporcionales 6.ª y 7.ª Resolución de problemas 8.ª y 9.ª Actividades de consolidación y aplicación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 9

3



Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Dado el contenido muy aplicado de la unidad, se trabajan de forma más intensa las subcompetencias de resolución de problemas y de uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En la unidad aparecen varios ejemplos y ejercicios que permiten desarrollar aspectos relacionados con esta competencia. En particular, la interpretación y resolución de problemas de cálculo de distancias inaccesibles inducen a trabajar la subcompetencia de aplicación del método científico en diferentes contextos.

Competencia social y ciudadana La actividad sobre la norma DIN para el tamaño del papel es un ejemplo de cooperación internacional que se relaciona con la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia cultural y artística La actividad sobre la utilización de la geometría en una obra de Kandinsky permite trabajar la subcompetencia de sensibilidad artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas, a partir del uso de GeoGebra.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Además, las actividades que proponen el diseño y construcción de escalímetros y otros dispositivos trabajan la subcompetencia de construcción del conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal La fabricación de diferentes elementos por parte del alumno y la toma de decisiones hacen que trabaje la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos.


4

Unidad 9




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO










Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Interpreta y resuelve problemas de distancias inaccesibles utilizando las reglas de la semejanza. Actividades 41 a 45, 64 a 66 y 74



– Comprende la importancia de la normalización como ejemplo de cooperación internacional. Pon a prueba tus competencias 76

Sensibilidad artística

Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Reconoce la influencia de las matemáticas en la obra de Kandinsky. Pon a prueba tus competencias Aprende a pensar con matemáticas: Mosaicos


– Visita la página librosvivos.net. Actividades 5, 19 y 34. Síntesis de la unidad, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 1 a 7)


– Analiza información en forma de mapas y planos. Actividades y ejemplos con planos y mapas



– Utiliza GeoGebra para realizar cálculos y demostraciones geométricas. Actividades 69 y 70





Matemática


Social y ciudadana



Aprender a aprender



– Utiliza el concepto de escala, tanto numérica como gráfica, para representar adecuadamente la realidad mediante planos, mapas y maquetas. Epígrafe 3. Actividades 15 a 22, 52, 53 y 71 a 73 Pon a prueba tus competencias 77 y 78

– Construye un dispositivo sencillo para comprobar el teorema de Tales. Desarrolla tus competencias, 2 – Elige la opción más adecuada entre varias posibles. Actividad 22 – Construye escalímetros siguiendo las indicaciones dadas y comprueba su eficacia y utilidad. Pon a prueba tus competencias 79


Unidad 9

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores. • Educación para la convivencia: mediante la realización de trabajos en grupo • Educación intercultural: empleando mapas de los lugares de procedencia de los alumnos • Educación para la ciudadanía: planos de diferentes distritos para comparar recursos, equipaciones, etc.


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” – Unidad I. Sistema Métrico Decimal • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 8. Medida

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 8. Teoremas de Tales y de Pitágoras. Semejanza • Cuaderno de matemáticas. 2.º de ESO. N.º 5: “Geometría y medida en el plano” – Unidad IV. Semejanza • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Diseña tu ruta”, “Números en casa”, “Alturas inaccesibles” y “El local perfecto” • Cuadernos de investigaciones matemáticas. 2º de ESO – Unidad 3. Proporcionalidad y realidad

Otros

Internet

SM

• VV. AA.: Las matemáticas de la vida cotidiana, Addison-Wesley / Ediciones de la UAM, Madrid, 2006. El capítulo 16 está dedicado al crecimiento y la forma, donde podremos encontrar aplicaciones curiosas y motivadoras de la semejanza. www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidades del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd26

Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd27 Unidad interactiva del proyecto CIDEAD:

Otros materiales


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Unidad 9

• Mapas, planos y maquetas • Material de dibujo: compás, regla, escuadra y cartabón • Programa GeoGebra para la construcción de polígonos semejantes y la demostración numérica del teorema de Tales (actividades 69 y 70)


Sugerencias didácticas Entrada El puente de la fotografía ilustra perfectamente el teorema de Tales y en particular la relación de semejanza entre los triángulos en posición de Tales. Los alumnos no tendrán dificultad para reconocer el paralelismo entre los tirantes del puente, pero quizá sí para resolver la segunda cuestión, pues es probable que no recuerden el concepto de semejanza. Podemos darles una primera definición intuitiva: dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, es decir, son ampliaciones y reducciones las unas de las otras. Después podemos preguntarles qué dos condiciones se deben cumplir en los triángulos para que sean semejantes e irles guiando para que deduzcan que han de tener los ángulos iguales y los lados proporcionales. Con esto aclarado, los alumnos podrán analizar por qué los triángulos del puente son efectivamente semejantes. También se puede aprovechar para analizar otra situación de semejanza, la existente entre el puente en la realidad y el puente en la fotografía. Esto nos puede servir para introducir el concepto de escala, que se trabajará en la primera actividad de la siguiente sección.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad nos servirá para detectar si tienen adquirido el concepto de escala. En el primer apartado, a partir de las medidas reales de un campo de fútbol tendrán que realizar una representación a escala, para lo que deberán calcular previamente las dimensiones del dibujo. Si no recuerdan cómo hacerlo, podemos hacerles ver que no es más que una aplicación de la proporcionalidad directa, y que la escala 1:750 no es más que otra notación para 1 expresar que la razón de proporcionalidad es . 750

ginal y varias copias de la misma, entre las que haya ampliaciones y reducciones, y también otras en las que el objeto esté deformado porque se haya modificado en diferente proporción el largo y el ancho. Les indicaremos que sobre el original tomen cuatro o cinco puntos clave y los unan formando un polígono, y que dibujen el polígono “homólogo” en las copias. Sobre dicho polígono medirán ángulos y lados homólogos y extraerán sus propias conclusiones. En las figuras que sí sean semejantes calcularán además la razón de semejanza y comprobarán que esta es mayor que 1 en el caso de las ampliaciones y menor que 1 en el caso de las reducciones. • El procedimiento de construcción de polígonos semejantes se basa en el teorema de Tales, aunque no es necesario todavía hacer referencia a él. En cuanto al procedimiento, podemos hacer notar a los alumnos que, una vez trazado el punto A' a la distancia deseada, los otros puntos se pueden obtener mediante el trazado de paralelas, no es necesario volver a tomar las medidas multiplicadas por k. Además de la construcción de polígonos a mano, utilizando material de dibujo, es interesante que utilicen también el programa GeoGebra, como se propone en la actividad 69.


1 a 7, 47, 48 y 50

Medio

46, 49, 51 y 69

2. Perímetro y área de figuras semejantes

En el segundo apartado deben medir en el dibujo y utilizar la escala para averiguar las medidas reales. Si han comprendido el apartado anterior, no deberían tener dificultades en este.

• Mediante la realización de ejercicios sencillos como el del epígrafe, en los que se calcule el perímetro y el área de figuras semejantes, los alumnos pueden deducir que la razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza, mientras que la razón entre las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.

2. Se trata de una experiencia de investigación que puede resultar muy motivadora para los alumnos y que tiene el valor añadido de su carácter manipulativo.

• Puede ser interesante ampliar la información pidiéndoles que deduzcan la razón entre los volúmenes en el caso de las maquetas.

Al tener que obtener información, en este caso de un modo empírico a través de la medición, relacionarla e integrarla, estarán construyendo su conocimiento a partir de la propia experiencia, desarrollando su competencia en aprender a aprender.


1 a 7, 47, 48 y 50

Medio

46, 49, 51 y 69

Por otro lado, al exigir cierta planificación y organización, estaremos contribuyendo a la autonomía e iniciativa personal de nuestros alumnos.

3. Planos y escalas

Puede proponerse su realización en grupos de tres o cuatro alumnos.

• Hay que insistir en que los problemas de cálculo con escalas no son más que problemas de proporcionalidad directa.

Además de la proporcionalidad entre lados, se puede hacer notar la igualdad de los ángulos homólogos.

• Se pueden analizar con los alumnos las diferentes formas de resolver estos problemas. Por ejemplo, para una escala 1:75, se puede pasar de las distancias en el plano a las reales dividiendo entre 75, y de las distancias reales a las del plano multiplicando por 75, tal como se hace en el epígrafe, o bien se puede plantear la proporción: 1 distancia en el mapa . = 75 distancia real

1. Semejanza. Razón de semejanza • Una idea para que los alumnos trabajen de forma práctica y manipulativa los conceptos de este epígrafe es distribuirles una imagen de un objeto que considerarán el ori-


Unidad 9

7


• Resulta motivador el trabajo con mapas y planos de lugares del entorno del alumno, por ejemplo, un mapa de su ciudad, un plano de la zona en la que está su instituto o colegio, etcétera.


28, 29 y 58

Medio

59 a 61


15 a 19

Medio

20 a 22, 53 y 54

4. Teorema de Tales • El teorema de Tales es, junto al de Pitágoras, uno de los más importantes en geometría por sus múltiples aplicaciones. • Se puede comenzar contando la anécdota de cómo midió Tales la altura de la Gran Pirámide (ver el tema clave en librosvivos.net) y, sobre un esquema de los triángulos formados, escribir las proporciones. • A continuación se enunciará el teorema en su forma general. Es importante que los alumnos lo comprendan y lo memoricen. • Es muy interesante la demostración numérica del teorema mediante el programa GeoGebra que propone la actividad 70. • Para afianzar los contenidos es útil realizar numerosos ejercicios sencillos, en los que el elemento desconocido de la proporción se pueda calcular mentalmente.


23 y 56

Medio

24, 25, 27, 55, 57 y 70

Alto

26

5. Triángulos en posición de Tales • En el epígrafe se demuestra de forma detallada la semejanza de los triángulos en posición de Tales. Dependiendo del nivel de la clase, no sería necesario entrar en tanto detalle, y se podría comprobar simplemente en algún ejemplo dicha semejanza. • Como ejemplos de triángulos en posición de Tales se puede hacer referencia al puente del Alamillo de la fotografía de la entrada, y a los triángulos formados por las alturas y las sombras cuando Tales midió la Gran Pirámide. • Hay que tener cuidado con un error que cometen habitualmente, que es igualar la razón entre los segmentos formados en las rectas paralelas a la proporción establecida por el teorema de Tales. Por ejemplo, en la acti15 , 3 vidad 61a: ≠ . 2 BC • Hay que insistir en que para calcular BC tienen que aplicar la semejanza de los triángulos en posición de Tales, por lo que una proporción correcta sería, por ejemplo, 2 4 = . 3 BC 8

Unidad 9


6. División de un segmento • Esta es una de las aplicaciones del teorema de Tales. Una vez vistos los procedimientos, conviene que razonen la proporcionalidad de los segmentos utilizando en su razonamiento la relación entre los triángulos formados, que están en posición de Tales. • Es interesante utilizar la división de un segmento en partes iguales para representar fracciones sobre la recta numérica, como en la actividad 33. • Debemos insistir en la limpieza y la precisión en la realización de los dibujos.


30, 31 y 62

Medio

32 a 40 y 63

7. Resolución de problemas • En este epígrafe se resuelven problemas de cálculo de distancias inaccesibles, la aplicación más importante del teorema de Tales. • Debemos recordar los pasos en la resolución de problemas. En este caso, en el análisis del enunciado es importante hacer un dibujo de los triángulos semejantes que se formen, señalando convenientemente las medidas conocidas con sus unidades y la incógnita. A partir del dibujo se planteará la proporción que permitirá resolver el problema.


41, 42, 64 y 65

Medio

66 a 68

Actividades de consolidación y aplicación En las sugerencias didácticas de cada epígrafe se han citado ya, clasificadas por nivel, todas estas actividades. Puede optarse por ir realizando todas las actividades de cada epígrafe a lo largo de las explicaciones o bien reservar algunas para realizar tras el último epígrafe.

Pon a prueba tus competencias 76. Las hojas DIN Si empleamos la actividad para reflexionar sobre la importancia de la normalización como ejemplo de cooperación internacional, estaremos contribuyendo al desarrollo de la competencia social y ciudadana de nuestros alumnos.


Podemos promover un debate sobre la necesidad de la normalización no solo en el tamaño de papel, sino también en otros muchos ámbitos, y se les puede pedir una pequeña investigación sobre la historia y el funcionamiento de la ISO (Organización Internacional para la Estandarización). Desde el punto de vista matemático el estudio de las hojas DIN tiene el interés añadido de que la razón de semejanza entre el largo y el ancho es la raíz de 2. En la primera actividad calcularán dicha razón dividiendo directamente las medidas, por lo que obtendrán una aproximación decimal de 2 , aunque todavía no se lo adelantaremos. En el segundo apartado deben calcular la razón entre las áreas, que es 2. Teniendo en cuenta estas dos cuestiones, los alumnos deberán deducir en el apartado 3 que la razón de semejanza es 2 . En el último apartado se plantea un caso práctico en el que deben elegir el formato de papel adecuado para hacer una fotocopia. En las fotocopiadoras, la razón de las ampliaciones o reducciones se suele expresar en porcentajes, como ya se vio en la actividad 4. Los alumnos tendrán también que convertir correctamente los datos, dados en centímetros, a milímetros. 77. El pueblo de Juan En esta actividad se trabaja sobre todo la subcompetencia matemática de uso de elementos y herramientas matemáticos, ya que va a exigir la utilización de la razón de semejanza, la escala, la razón entre los perímetros y la razón entre las áreas de figuras semejantes. En el segundo apartado tienen que realizar un dibujo a escala, hemos de insistir en la importancia de la precisión y la limpieza.

Para la realización del último apartado se necesitará un metro o una cinta métrica. Tendremos que insistir en la importancia de la precisión en las medidas y en la realización de los dibujos.


Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos Con la actividad “Mosaicos” estaremos fomentando la competencia cultural y artística del alumno.

Síntesis de la unidad

Al igual que en la anterior, en esta actividad se trabaja el uso de elementos y herramientas matemáticos. En este caso no solo intervienen elementos relacionados con la semejanza, como la escala numérica y los triángulos en posición de Tales, sino también otros como las fracciones, los porcentajes y la velocidad.

Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para lo cual es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. Conviene que incluyan la jerarquía de las operaciones.

Tiene el interés añadido de su aspecto manipulativo, pues en varios apartados han de tomar medidas para obtener la información necesaria.

Una idea para utilizar el resumen es proponer a los alumnos que asignen las actividades realizadas a lo largo de la unidad al apartado del resumen al que correspondan.

59. Construcción de un escalímetro

Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizarse las tarjetas para jugar en grupo.

78. La Diagonal de Barcelona

Esta actividad, como todas las que exigen un esfuerzo especial de planificación, contribuye a la autonomía e iniciativa personal del alumno. Sería interesante llevar a clase escalímetros para que los alumnos los observen.



Unidad 9

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Reconocer cuándo dos figuras son semejantes. • Construir figuras semejantes. • Aplicar y manejar con soltura el teorema de Tales. Para ello se recomienda el uso de la regla y que los alumnos dibujen o esquematicen los enunciados. Puede ser interesante que el profesor fotocopie una misma figura a distintos aumentos y la reparta entre los alumnos para que estos traten de calcular la razón de semejanza. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante esquemas o dibujos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Días de fotos… Hoy están a la orden del día las cámaras fotográficas digitales. Se puede proponer como actividad de clase hacerse fotos de ellos, al lado de la pizarra, de los pupitres, de la mesa del profesor, de sus sillas, de la pared, etc., y como conocen su estatura, determinen lo que miden cada uno de los objetos, previo cálculo de la escala de la foto que habrán impreso con el ordenador. Esta actividad puede llevarse fuera del aula para calcular la altura aproximada de edificios, puentes, monumentos, etc.


D’ 4 cm

D

2 cm

C’

C A B B’

2. a) Medida en cm de la chica en la ilustración Medida real de la chica en cm 2 b)

170

Escala 2:170; 1:85

Farola

Niño

Árbol

Medida en cm en la ilustración

4

1,5

3

Medida en cm en la realidad

340 = 3 m 40 cm

127,5 1 m 28 cm

255 = 2 m 55 cm

3. 5,25 m 4. Carolina es cinco veces más grande que la figura del cuadro. 5. No, debería cobrar 180 € ya que pasa de pintar 4 m2 a pintar 36 m2, es decir, 9 veces más. 6. r = 2; y = 2,5 cm; x = 3 cm


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Unidad 9





1. Construye un rombo que sea el doble del de la figura. Para ello sigue estos pasos: 2 cm

1.º Dibuja un rombo de 2 cm de lado como el de la figura.

D C

A

2.º Prolonga con la regla desde A los segmentos AD, AC y AB.

B

3.º Con el compás haciendo centro en A y tomando como radio el doble de AD, AC y AB, marca sobre las rectas que has prolongado para obtener los vértices D', C', B', que con A formarán un rombo el doble del dado. 4.º Por último, comprueba con la regla que todos sus lados miden 4 cm. 2. Observa el dibujo adjunto. Sabiendo que la chica mide 1,70 cm, calcula: a) Escala a la que se ha hecho la ilustración. Para ello, completa la tabla. Recuerda que para calcular la escala, lo primero que se debe hacer es utilizar la misma unidad de medida para la dimensión real y la de la ilustración o plano. También has de tener en cuenta que la escala es una razón cuyo valor es: Medida en la ilustración A = B Medida en la realidad Se escribe A : B y se lee “A es a B”. Medida en cm de la chica en la ilustración (A)

Medida real de la chica en cm

Escala

(B)

(A):(B) (Simplificar al máximo)

b) Utilizando la escala de la ilustración que has calculado, determina qué altura tienen la farola, el niño y el árbol de la ilustración. Para ello, completa la tabla. Recuerda que:

Medida en la ilustración A B = . Entonces, medida de la realidad = ⋅ medida de la ilustración. B Medida en la realidad A

Farola

Niño

Árbol

Medida en cm en la ilustración Medida en cm en la realidad 3. Juan mide 1,75 metros y a cierta hora del día, cuando se pone en la orilla de un arroyo que pasa por su pueblo, su sombra mide lo mismo que la anchura de este. Si a esa hora clava un palo de 1,20 metros en el suelo, el palo proyecta una sombra de 3,60 metros. ¿Qué anchura tiene el arroyo? 4. Visitando un museo, la madre de Carolina le dice a su hija que se parece a una niña de un cuadro. Si Carolina mide 1,50 metros de altura, y la niña del cuadro, 30 centímetros, ¿cuál es la razón de semejanza entre sus alturas?

6. Determina los valores de x e y del triángulo A’B’C’de la figura que se adjunta, sabiendo que es semejante al triángulo ABC. ¿Qué relación de semejanza existe entre el mayor y el menor?

C

4 cm

C’

5 cm

y

2 cm A

6 cm

B

A’


x

B’

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5. Pedro es pintor y cobra por superficie pintada. El año pasado cobró 20 euros por pintar un cuadrado de 2 metros de lado. ¿Debería cobrar este año 60 euros por pintar un cuadrado de 6 metros de lado? Explica tu respuesta.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades; unas son de ampliación, y otras, de curiosidades matemáticas. En esta unidad y, en general, en toda la parte de geometría es muy útil usar los elementos de dibujo para representar las distintas figuras y cuerpos geométricos de la mejor manera y con la mayor exactitud posible. Un buen dibujo permite calcular, al menos aproximadamente, el resultado del problema, aunque lógicamente eso debe ser corroborado por el cálculo, para lo cual es importante saber manejar con cierta soltura la calculadora. Con estas actividades de ampliación se trata de dar tanta importancia al proceso como al resultado, así como a la presentación o al razonamiento utilizado.

ACTIVIDAD DE GRUPO El uso de la escuadra y el cartabón, junto con el de la regla, el compás y el transportador, nos servirá para aplicar con rigor y precisión el teorema de Tales, así como para esquematizar el enunciado de un problema y prever resultados en aras de comprobar a posteriori el grado de exactitud. Para trabajar el tema de “Semejanzas y triángulos” podemos proponer a nuestro alumnado que haga una sencilla maqueta a escala del aula o del centro. Dado que no estamos en clase de Tecnología o Educación Plástica, no debemos centrarnos en que el resultado sea más o menos estético, antes bien nos fijaremos en las medidas y en las proporciones. Dependiendo del nivel y de la habilidad de los alumnos, se le podrá exigir a cada grupo un mejor acabado de la maqueta. Para su realización no es necesario utilizar madera o láminas de corcho; podrán utilizar cartón y cartulinas, fomentando su recuperación de otros trabajos o de embalajes de casa; con lo que, al mismo tiempo, contribuiremos al reciclado de materiales, al respeto por el medioambiente y al desarrollo de una actitud no consumista.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. El método se basa en considerar que los rayos procedentes del Sol son paralelos debido a la enorme distancia a la que nos encontramos de él, comparada con las pequeñas distancias que queremos medir. Por análogo razonamiento, no podemos usar este método con la luz de una farola, ya que no podemos considerar paralelos los rayos procedentes de la misma.

4. a) S =

3+ 6 ⋅ 2,6; S =117 , cm2 2

S' =

12 + 6 · 5,2; S = 46,8 cm2 A 2

3.

180 , 2 = ⇒h=9 h 10 Les queda por construir 1 metro de pozo.

D

3 C 6

Unidad 9


h’

6

3

B’ 12

c)

6 3

6 3

6 3

12

d) 9

9

3

9

5. 44 m 6. 28 m 7. AB = 4,5 cm

AC = 9 cm

BC = 6 cm


12

h

C’

S' = 4;⇒ k' = 4 S b)

2. Si en el caso anterior se habla del “método de las sombras”, ahora se trata del “método de la visual”. La forma de proceder es la siguiente: tumbados en el suelo, miramos al lugar cuya altura queremos determinar. Esa línea imaginaria es la “visual”. En ese momento, un ayudante coloca el bastón, de altura conocida, entre el objeto y nosotros, y lo aproxima o lo aleja hasta que la punta superior del mismo se interpone justo en la línea de nuestra visual. En ese momento se detiene y es cuando tomamos medidas de las distancias entre el lugar donde estábamos tumbados, el bastón y la base del edificio. A partir de ahí ya podemos establecer la semejanza entre triángulos.

6

D’


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 9 Semejanza. Teorema de Tales 1. Seguro que has utilizado el método de las sombras para calcular la altura de un edificio, un árbol o una torre, comparando su sombra con tu propia sombra o la de un bastón o un palo. Sin embargo, ¿podrías explicar en qué hecho se basa dicho método? ¿Sería posible usar el mismo procedimiento por la noche utilizando la sombra producida por la luz de una farola? 2. ¿Se te ocurre un método para calcular la altura de un edificio sin recurrir al método de las sombras, pero utilizando el bastón? Explica cómo lo harías. 3. En casa de Ana están construyendo un pozo circular de 5 metros de radio y quieren que tenga 10 metros de profundidad. Ana, que mide 1,80 cm, observa que si se sitúa a 2 m del borde puede unir su visual del borde superior del pozo y del borde inferior, si dicha visual se encuentra en un plano que contiene al diámetro y es perpendicular al pozo. ¿Habrán terminado ya de construir los 10 metros de fondo? Razona la respuesta.

1,80 m

5m 2m

3 cm

4. Dado el trapecio isósceles de la figura: a) Dibuja un trapecio semejante que sea el doble de grande. Calcula sus áreas. ¿Cuál sería la razón k' entre las áreas del mayor y del menor de los trapecios?

3 cm

b) Realiza gráficamente la división en k' trapecios como el de la figura del apartado a.

6 cm

c) Construye un hexágono regular de lado 6 cm y comprueba que su superficie es ocho veces la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del hexágono en los ocho trapecios. d) Construye un triángulo equilátero de lado 9 cm y comprueba que su superficie es el triple que la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del hexágono en los tres trapecios. 5. Julio quiere saber la altura de una torre y observa que en la visual del punto más alto de la misma se encuentran alineadas las copas de dos árboles, uno de 4 m que se halla a 800 m de la torre y otro de 14 m ubicado a 600 m de la torre. ¿Qué altura tiene esta? 6. María, que mide 1,75 cm, para calcular la altura del edificio mide las sombras que proyectan ella y el edificio a determinada hora del día. Observa que la diferencia que existe entre las sombras es de 15 veces la suya. ¿Qué altura tiene el edificio?

A 4 cm

C

E 3 cm

6 cm

D

B


7. Si ABC y CDE son dos triángulos opuestos por el vértice con las medidas que se dan del triángulo CDE y 2 sabiendo que CE = BE y que AB es paralelo a ED, 5 calcula la longitud de AB, BC y AC.


Unidad 9

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APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. ¿Cuántos triángulos semejantes puedes ver en la figura? ¿En qué te basas para decir que lo son?

2. Construye una figura semejante a esta con razón de semejanza 1,5.

3. Dibuja un segmento de 5 centímetros de longitud y divídelo en 7 partes iguales. 4. Los lados desiguales de dos triángulos isósceles semejantes miden, respectivamente, 21 y 35 centímetros. Si el área del menor es de 315 centímetros cuadrados, ¿cuál es el área del mayor? 5. En un mapa cuya escala en centímetros es de 1:125.000, el pico Tres Mares dista 3,8 centímetros del nacimiento del río Aguas Claras. ¿Qué distancia hay entre ambos lugares? 6. Carlos es muy aficionado a las motos y quiere hacer una maqueta a escala 1:24 en milímetros de la que usó Jorge Lorenzo durante la temporada 2010. Dicha moto medía 2.050 milímetros de longitud y 1.125 milímetros de altura. ¿Cuáles serán las dimensiones de la maqueta de Carlos? r’

7. Siendo la recta r paralela a r’, calcula el valor de x.

r

4 cm 2 cm x

6 cm


27 m

14

1,80 m

4m

8. Calcula la altura del edificio de la figura.

1,65 m

9. Dado un hexágono regular de lado 6 cm: a) ¿Cuánto mide el lado de otro hexágono semejante si la razón de semejanza entre aquel y este es de 3 es a 4? b) Calcula sus perímetros. ¿Qué razón existe entre ellos? Unidad 9




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Nueve triángulos semejantes, pues todos son rectángulos; los catetos y las hipotenusas, paralelos entre sí, y los ángulos respectivos son también iguales. 2.

3.

7 cm

5 cm

25 5 4. La razón de semejanza de los lados es . El área del triángulo mayor es de 315⋅ = 375 cm2. 9 3 5. La distancia real al pico Tres Mares es de 3,8 ⋅ 125.000 = 475.000 cm = 4,75 km. 6. Longitud: 2.050 : 24 = 85,42 mm Altura: 1.125 : 24 = 46,87 mm

7.

2 4 = x 6

x = 3 cm

x 28,65 = 2,20 165 ,

8. x

x = 38,2 m

El edificio mide 40 m. 2,2 m

1,80 m 27 m

1,65 m

1,80 m

9. a) 8 cm b) Perímetro del hexágono dado: 36 cm. Perímetro del hexágono semejante: 48 cm. Razón:

3 4


Unidad 9

15

Unidad 9 Semejanza. Teorema de Tales

Matemática

Resolución de problemas Matemática


Aplicación del método científico en diferentes contextos Social y ciudadana


Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Utiliza el concepto de escala, tanto numérica como gráfica, para representar adecuadamente la realidad mediante planos, mapas y maquetas. Epígrafe 3. Actividades 15 a 22, 52, 53 y 71 a 73 Pon a prueba tus competencias 77 y 78


– Interpreta y resuelve problemas de distancias inaccesibles utilizando las reglas de la semejanza.

Conocer y comprender los valores de la democracia, sus fundamentos, organización y funcionamiento.

– Comprende la importancia de la normalización como ejemplo de cooperación internacional.

Sensibilidad artística

Comprender y valorar diferentes manifestaciones culturales y artísticas.




DESEMPEÑO

DESCRIPTOR

Actividades 41 a 45, 64 a 66 y 74

Pon a prueba tus competencias 76

– Reconoce la influencia de las matemáticas en la obra de Kandinsky. Pon a prueba tus competencias Aprende a pensar con matemáticas: Mosaicos

– Visita la página librosvivos.net.



Uso de herramientas tecnológicas Aprender a aprender


Actividades 5, 19 y 34. Síntesis de la unidad. Autoevaluación

– Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 1 a 7)

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión. Hacer uso de los recursos tecnológicos para aplicarlos en diferentes entornos.

– Analiza información en forma de mapas y planos. Actividades y ejemplos con planos y mapas

– Utiliza GeoGebra para realizar cálculos y demostraciones geométricas. Actividades 69 y 70

Obtener información y, a partir de conocimientos previos y la experiencia, generar nuevos conocimientos.

– Construye un dispositivo sencillo para comprobar el teorema de Tales. Desarrolla tus competencias 2 – Elige la opción más adecuada entre varias posibles.

Realizar el desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Construye escalímetros siguiendo las indicaciones dadas y comprueba su eficacia y utilidad.

Actividad 22 Autonomía e iniciativa personal


Pon a prueba tus competencias 79





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

10

ESO

Teorema de Pitágoras

2 CONTENIDO


7



Unidad 10



Los triángulos tienen una importancia suprema en geometría, pues todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Por otro lado, podemos encontrar triángulos en muchas de las estructuras que construye el ser humano, debido a que son indeformables. La unidad comienza repasando las propiedades más importantes de los lados y los ángulos del triángulo, así como su clasificación. Dado que se va a trabajar con ángulos, se repasa a continuación el sistema sexagesimal, cuya creación se atribuye a los sumerios, y que se emplea también para la medida del tiempo. Tras estos preámbulos se aborda el teorema de Pitágoras, uno de los más famosos resultados de las matemáticas, mostrándose una de sus demostraciones geométricas y numerosos ejemplos de su aplicación al cálculo de distancias. La sección “Matemáticas y sociedad” muestra otra de las aplicaciones del teorema de Pitágoras: la construcción del rectángulo áureo, de tanta importancia en el arte.


OBJETIVOS 1. Conocer las principales propiedades y la clasificación de los triángulos.


1.1 Comprobar que los ángulos de un triángulo suman 180º. 1.2 Comprobar que la suma de dos lados de un triángulo es siempre mayor que el tercer lado. 1.3 Clasificar triángulos según sus ángulos y según sus lados. 1.4 Saber que en un triángulo el lado mayor se opone al ángulo mayor.

2. Realizar con soltura conversiones de unidades y operaciones en el sistema sexagesimal.

2.1 Convertir una medida de tiempo y de ángulo de forma incompleja a compleja, y viceversa. 2.2 Sumar, restar, multiplicar y dividir por un número natural medidas de tiempo y ángulos.

3. Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras.

• Matemática • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

3.1 Comprobar el teorema de Pitágoras. 3.2 Aplicar el teorema de Pitágoras al cálculo de distancias en ejercicios y en problemas de la vida cotidiana.

CONTENIDOS • Suma de los ángulos de un triángulo

• Catetos e hipotenusa en un triángulo rectángulo

• Suma de dos lados de un triángulo

• Teorema de Pitágoras. Interpretación y demostración

• Clasificación de los triángulos según sus ángulos

• Cálculo de distancias desconocidas a través del teorema de Pitágoras

• Clasificación de los triángulos según sus lados • Relaciones entre los lados y los ángulos • Sistema decimal y sistema sexagesimal • Conversión de medidas de tiempo y de ángulos de la forma incompleja a compleja, y viceversa • Operaciones con medidas del sistema sexagesimal: suma y resta, multiplicación y división por un natural

2

Unidad 10


• Aplicación del teorema de Pitágoras a la resolución de problemas • El rectángulo áureo • Vitrubio y las proporciones del cuerpo humano


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para aplicar el teorema de Pitágoras es necesario que los alumnos comprendan el concepto de raíz cuadrada, tanto en el caso de raíces exactas como en el de las aproximaciones. Por otro lado, una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras es el cálculo de medidas desconocidas en figuras planas, por ello es preciso que los alumnos reconozcan los elementos de las principales figuras planas. También es importante que dominen la conversión entre unidades de longitud y superficie.

2. Previsión de dificultades Aunque el sistema sexagesimal ya se estudió el curso pasado, algunos alumnos tienen dificultades, sobre todo en el paso de forma incompleja a compleja cuando el número tiene cifras decimales; por ejemplo, interpretan 7,32º como 7º 32'. Para evitarlo es necesario hacer una reflexión previa sobre nuestro sistema de numeración decimal. En cuanto al teorema de Pitágoras, en la unidad se demuestra aplicando razonamientos geométricos; a los alumnos les costará comprenderlo, ya que es la primera vez que se enfrentan a una demostración en geometría. Por otro lado, al aplicar el teorema cometen errores de expresión; por ejemplo, siguen escribiendo el superíndice del cuadrado aunque ya estén aplicando la raíz cuadrada.

3. Vinculación con otras áreas Hay una conexión clara con el área de Educación Plástica y Visual, en la que también se trabaja con ángulos y triángulos, y a través del estudio de la razón áurea y la proporción en el arte. Por otro lado, el sistema sexagesimal está presente en casi todas las disciplinas, especialmente en Ciencias de la Naturaleza cuando surge la necesidad de medir el tiempo. En Tecnología, en el estudio de estructuras aparece el triángulo, con frecuencia rectángulo. En relación con la Historia se puede estudiar el origen del sistema sexagesimal y la historia de los pitagóricos.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza estudiando las principales propiedades del triángulo: los ángulos suman 180o, la suma de dos lados es menor que el tercer lado, al lado mayor se opone el ángulo mayor, y a lados iguales, ángulos opuestos iguales; y también se recuerdan las dos clasificaciones de los triángulos, en función de sus ángulos y de sus lados. Después se estudia el sistema sexagesimal, la conversión de medidas entre la forma incompleja y la compleja, y las operaciones básicas en forma compleja: suma, resta, y multiplicación y división por un número natural. A continuación se presenta el teorema de Pitágoras, y se demuestra mediante uno de los llamados puzles pitagóricos. En los dos últimos epígrafes se muestran las aplicaciones del teorema, primero para el cálculo de distancias en polígonos y después para la resolución de problemas en situaciones reales.

MEDIDA

El triángulo Lados

Sistema sexagesimal Tiempo

Ángulos TEOREMA DE PITÁGORAS

Demostración

Aplicaciones Cálculo de distancias

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Desarrolla tus competencias 2.ª Triángulos 3.ª y 4.ª Sistema sexagesimal. Operaciones 5.ª Teorema de Pitágoras. Aplicaciones 6.ª Resolución de problemas 7.ª y 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias 10.ª Matemáticas y sociedad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 10

3



Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.

Competencia para la interacción con el mundo físico A través de algunas actividades se trabajan algunas facetas de la esta competencia, si bien no es la más destacable dentro de la unidad.

Competencia social y ciudadana Las referencias históricas presentes en la unidad permiten tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social. Asimismo, los problemas relacionados con la señalización viaria sirven para reflexionar dentro de la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia cultural y artística Las referencias a obras emblemáticas del patrimonio cultural y artístico, así como las actividades sobre los diferentes cánones de belleza, permiten tratar la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y la de uso de las herramientas tecnológicas, a partir del uso de GeoGebra.


Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de una actividad en la que los compañeros son la parte sustancial potencia el trabajo en equipo, que se enmarca en la subcompetencia de liderazgo.


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Unidad 10




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Matemática


Comprender y elaborar cadenas argumentales identificando ideas fundamentales.







– Utiliza el teorema de Pitágoras y otros elementos de geometría plana para resolver problemas de la vida cotidiana en diferentes contextos. Toda la unidad, especialmente la sección de resolución de problemas



– Conoce hechos y personajes clave de la historia de las matemáticas. Desarrolla tus competencias: lateral – Sitúa obras arquitectónicas en su época y contexto histórico. Pon a prueba tus competencias 73 y 74



– Interpreta correctamente y comprende la necesidad de tener en cuenta la señalización de peligro en el caso de pendientes y desniveles. Actividades 66 y 71


– Reconoce las pirámides de Gizeh, la Torre de Pisa y el Partenón de Atenas como patrimonio histórico y artístico de la humanidad. Pon a prueba tus competencias 73 y 74 Matemáticas y sociedad, 2

Valorar la importancia que los valores estéticos tienen en la vida cotidiana de la persona y de las sociedades.

– Conoce el concepto de canon de belleza y los ejemplos dados por la razón áurea y el canon de Vitrubio. Matemáticas y sociedad


– Visita la página librosvivos.net. Actividades 18, 23 y 30. Investiga. Síntesis de la unidad. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 1 a 5)


– Analiza información en forma de esquemas, mapas y planos. Toda la unidad



– Utiliza GeoGebra para realizar cálculos y demostraciones geométricas. Actividad 62

Liderazgo


– Realiza actividades en las que ha de colaborar con sus compañeros. Matemáticas y sociedad: actividad 2

Social y ciudadana


– Comprende la justificación geométrica del teorema de Pitágoras. Epígrafe 4




Unidad 10

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación vial: actividad 66 • Educación intercultural: trabajo con mapas de los distintos lugares de procedencia de los alumnos • Educación para la ciudadanía: trabajo con planos que muestren recursos y equipamientos • Educación para la convivencia: “Matemáticas y sociedad”, actividad 2


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” Bibliográficos

– Unidad II. Perímetros y áreas de figuras planas Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 8. Teoremas de Tales y Pitágoras. Semejanza • Cuaderno de matemáticas. 2.º de ESO. N.º 1: “Geometría y medida en el plano” – Unidad III. Teorema de Pitágoras • Cuaderno de resolución de problemas I – Actividades 38, “Un cuadro torcido”, y 44, “Molinillo”

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Animación sobre la historia del sistema sexagesimal:

Internet

www.e-sm.net/2esomatmrd29 Ejercicios interactivos del sistema sexagesimal: Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd30 Página con rompecabezas y puzles pitagóricos: www.e-sm.net/2esomatmrd31 Unidad interactiva de Educarex sobre aplicaciones del teorema de Pitágoras:

Otros materiales


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Unidad 10

• Vídeo “Pitágoras, más que un teorema”, del programa Universo matemático • Transportador de ángulos, cronómetros, relojes… • Programa GeoGebra para el trabajo con triángulos rectángulos (actividad 62)


Sugerencias didácticas Entrada La primera cuestión pide al alumno que explique cómo dividir el triángulo formado por el tobogán y el suelo en dos triángulos rectángulos. La mayoría de los alumnos recordarán el concepto de triángulo rectángulo y no tendrán dificultad para contestar. La segunda cuestión requiere de la utilización del teorema de Pitágoras, que los alumnos en general no conocen, por no ser un contenido propio de primero, aunque algunos libros lo incluyen. Podemos dejar la pregunta abierta y decirles que en la unidad vamos a estudiar el teorema de Pitágoras, que nos permitirá realizar este tipo de cálculos.

Desarrolla tus competencias 1. El texto muestra el método empleado por los egipcios para construir triángulos rectángulos, utilizando lo que actualmente conocemos como terna pitagórica: (3, 4, 5). Podemos pedir a los alumnos que comprueben esta relación dibujando un triángulo rectángulo de catetos de 3 y 4 centímetros de longitud y que comprueben que la hipotenusa mide efectivamente 5 centímetros. Para contestar a las preguntas que se plantean solo tienen que aplicar el concepto de semejanza estudiado en la unidad anterior, obteniendo las ternas (6, 8, 10) y (12, 16, 20). En la actividad 63 se retoma el tema de las ternas pitagóricas. 2. En esta actividad se estudian los triángulos de la escuadra y el cartabón. En el primer apartado, los alumnos deben darse cuenta de que ambos triángulos son rectángulos y de que en la escuadra los catetos son iguales y los ángulos agudos también, mientras que en el cartabón los catetos son diferentes y al mayor de ellos se opone el ángulo mayor. Comprobaremos si los alumnos recuerdan el nombre de estos tipos de triángulos: isósceles y escaleno. En el segundo apartado veremos si los alumnos recuerdan que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, pues tienen que utilizar esta relación para deducir cuánto vale cada ángulo de la escuadra y del cartabón. El tercer apartado guía a los alumnos para que deduzcan numéricamente el teorema de Pitágoras. Conviene permitir que utilicen la calculadora para que no empleen demasiado tiempo en realizar las operaciones y se puedan centrar en el análisis de los resultados.

• Para que vean que no siempre se puede formar un triángulo con tres segmentos, podemos darles, o pedirles que recorten ellos, listones de cartón de distintas longitudes para que vean en qué casos pueden formar triángulos y en qué casos no • Tras ver la relación entre los lados y los ángulos (al lado mayor se opone el ángulo mayor), se puede reflexionar sobre la relación entre las dos clasificaciones de los triángulos. Por ejemplo, un triángulo equilátero siempre es acutángulo, un triángulo rectángulo nunca puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno, etcétera.


1, 2 y 4

Medio

3, 5, 6 y 36

Alto

7

2. Medidas de ángulos y tiempo • Podemos comenzar poniendo ejercicios de conversión de medidas del sistema métrico decimal de forma compleja a incompleja y viceversa. Por ejemplo: 2 km 3 hm = 2,3 km, para que vean que la conversión es sencilla porque la relación entre los múltiplos y submúltiplos es decimal, al igual que nuestro sistema de numeración. A continuación podemos poner el ejemplo de 3,2 h e insistir en que ahora no tenemos el mismo caso, ya que 3,2 h no son 3 h 2 minutos porque el sistema de unidades que empleamos para el tiempo no es decimal, sino sexagesimal. • Hay que señalar que se emplean símbolos diferentes para el minuto y el segundo cuando nos referimos a las unidades de tiempo (min, s) y cuando nos referimos a las unidades de medida de ángulos (', "). • Cuando convertimos a forma incompleja una cantidad expresada en segundos, hay que indicarles que al realizar las divisiones no extraigan decimales, sino que consideren la información que nos da el resto. • También podemos enseñar a los alumnos a realizar las conversiones entre la forma compleja e incompleja utilizando la tecla º ' " de la calculadora, así podemos pedirles que utilicen la calculadora para autocorregir sus ejercicios.


8 a 11, 37 y 38

Medio

12 a 14

1. Triángulos • Podemos comenzar resaltando la importancia de los triángulos en geometría, haciendo ver a los alumnos que todos los polígonos están formados por triángulos y además los encontramos en muchas estructuras debido a que son indeformables. • Para que comprueben que la suma de todos los ángulos del triángulo es 180º pueden realizar la experiencia que muestra el epígrafe. Dibujarán un triángulo y señalarán sus ángulos con colores diferentes. A continuación recortarán los ángulos y los superpondrán obteniendo un ángulo llano.

3. Operaciones con medidas de ángulos y tiempo • En general, los alumnos recuerdan la suma, la resta y el producto por un natural del curso anterior, así que podemos comenzar escribiendo un ejercicio de cada operación en la pizarra y pidiendo voluntarios para salir a resolverlos explicando a los compañeros el procedimiento que siguen. En la suma y en la multiplicación elegiremos ejercicios en los que se obtenga en el resultado alguna canTeorema de Pitágoras

Unidad 10

7


tidad mayor o igual que 60 para que reduzcan a la unidad superior. En la resta elegiremos un caso en el que tanto en los segundos como en los minutos el minuendo sea menor que el sustraendo. • La división por un natural es la única operación que estudian por primera vez. Es muy importante que dejen suficiente espacio entre las diferentes unidades y que sean muy ordenados.


15 a 18 y 39

Medio

19 y 20

4. Teorema de Pitágoras • Para empezar, debemos asegurarnos de que los alumnos diferencian los catetos de la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Debemos poner ejemplos con diferentes orientaciones de los triángulos, pues los alumnos están acostumbrados a que el triángulo rectángulo se presente con uno de los catetos alineado con la horizontal y algunos se confunden cuando esta disposición cambia. • En cuanto a la demostración geométrica que presenta el epígrafe, se puede plantear a modo de puzle. Se prepararía para cada pareja o grupo: el triángulo rectángulo, dos cuadrados de los construidos sobre el cateto menor, y las cuatro piezas en que se divide el cuadrado construido sobre el cateto mayor. La indicación sería construir con las piezas un triángulo rectángulo y los cuadrados construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa. Tras montar el puzle se les debe pedir que extraigan una conclusión sobre las áreas de dichos cuadrados para conducirles al enunciado del teorema de Pitágoras. Existen otros puzles similares en la página web citada en la programación www.e-sm.net/2esomatmrd31. • Cuando escriban abreviadamente el teorema en los ejercicios debemos evitar que empleen la letra h para la hipotenusa, pues es la letra que solemos emplear para designar la altura. • Debemos mostrarles con ejemplos cómo expresar correctamente el procedimiento seguido al aplicar el teorema de Pitágoras, para evitar que hagan las operaciones sueltas o que cometan errores de expresión como, por ejemplo, seguir escribiendo el índice del cuadrado cuando ya están extrayendo la raíz cuadrada. • Puesto que en la unidad 2, “Potencias y raíces”, no les hemos explicado el algoritmo de obtención de la raíz cuadrada, conviene realizar, sobre todo al principio, ejercicios en los que las raíces sean exactas. En los demás casos tendremos que permitirles la utilización de la calculadora o bien pedirles que dejen la raíz indicada o que hagan una estimación.


21 a 23, 40 y 42

Medio

24, 41, 43 y 44

Alto

8

Unidad 10

45


5. Aplicaciones geométricas • Para comenzar, podemos proponer una actividad en la que tengan que “buscar” triángulos rectángulos en diferentes figuras geométricas. Aprovecharemos la puesta en común para asegurarnos de que nombran correctamente los elementos geométricos, pidiéndoles que describan los triángulos rectángulos hallados. Por ejemplo, en un rombo obtenemos cuatro triángulos rectángulos, la hipotenusa de uno de ellos es el lado del rombo, y los catetos son la mitad de las diagonales. • Hay que destacar que, si bien todos los polígonos regulares de n lados se dividen en n triángulos isósceles, el hexágono tiene además la peculiaridad de que los triángulos en que se divide son equiláteros. Esto se puede razonar viendo que el ángulo que forman dos radios del hexágono es un sexto del ángulo completo, es decir, 60º. • Aprovecharemos también el epígrafe para que los alumnos recuerden las fórmulas de las áreas de los polígonos, y la conversión de las unidades de superficie. Estos contenidos volverán a aplicarse en la unidad 11 cuando calculen el área de cuerpos geométricos.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico Alto

25 a 30 y 46 a 51 31 y 52 a 57

6. Resolución de problemas • Este epígrafe muestra numerosos ejemplos de la aplicación del teorema de Pitágoras a la resolución de problemas en diferentes contextos. • Debemos recordar los pasos en la resolución de problemas. En este caso, en el análisis del enunciado es importante hacer un dibujo e identificar los triángulos rectángulos que se formen, señalando convenientemente las medidas conocidas con sus unidades y la incógnita. A partir del dibujo se planteará el teorema de Pitágoras, que permitirá resolver el problema.

ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

32 a 35 y 58 a 61

Actividades de consolidación y aplicación Además de las actividades sugeridas a lo largo de los epígrafes, se proponen otras, muy interesantes para profundizar en los contenidos, y que se enmarcan en las secciones “Actividades con GeoGebra” y “Un paso más”. Destacaremos aquí algunas de ellas. La actividad 62 es un ejercicio muy dirigido con el programa GeoGebra, mediante el cual se comprueba que todo triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo. Los alumnos podrán realizar la actividad sin dificultad, puesto que todos los pasos están indicados con mucha claridad y acompañados por imágenes de los iconos del programa.


La actividad 63 nos muestra un método de obtención de ternas pitagóricas. Resulta muy interesante para retomar el tema de las expresiones algebraicas. Se puede hacer una pequeña reflexión sobre la notación, indicando que, cuando las variables toman valores naturales, se suele emplear preferentemente la letra n, y si son varias, la m y la n. Otro ejemplo de esto lo vieron al estudiar las propiedades de las potencias. La actividad 71 es muy interesante en cuanto al desarrollo de la competencia en la interacción con el medio físico. Requiere la interpretación adecuada de la escala gráfica y de un plano de curvas de nivel.

Pon a prueba tus competencias 73. Las pirámides de Guiza Esta actividad fomenta el desarrollo de la competencia cultural y artística del alumno. Desde el punto de vista matemático, los alumnos deben conocer el concepto de apotema de la pirámide, que, aunque se estudia en el primer curso, al menos en este proyecto Múltiplo, es probable que muchos alumnos no hayan visto o no recuerden. Sería interesante disponer de una pirámide para explicar el concepto. Por otro lado, se retoma el concepto de proporcionalidad, estudiado en la unidad anterior. 74. La torre de Pisa Al igual que en la unidad anterior, se trabaja la competencia cultural y artística. En cuanto a los elementos matemáticos, además de las características geométricas como altura, inclinación y diámetro, interviene la conversión de unidades, pues las medidas se dan en brazos y pies pisanos.


Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del

conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos.

Síntesis de la unidad • Los alumnos deben desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje, para lo cual es necesario que elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos. • Otra idea es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el título de cada uno de los apartados del resumen, y por el otro, actividades o cuestiones muy sencillas de cálculo mental relacionadas con ese apartado. De esta forma repasan el trabajo realizado y reflexionan sobre los conceptos y procedimientos adquiridos, y además pueden utilizarse las tarjetas para jugar en grupo.

Matemáticas y sociedad En este caso, la sección presenta el tema “Geometría, cuerpos y proporción”. Desde el punto de vista matemático tiene el interés de retomar la proporcionalidad aplicándose además el teorema de Pitágoras para el cálculo de la proporción áurea; y, por otro lado, tiene el valor de fomentar la competencia cultural y artística. En cuanto al apartado 1, una manera de que asimilen las características del rectángulo áureo sería que practicaran su construcción con regla y compás. También es interesante que vean que muchos rectángulos de nuestra vida cotidiana, como el DNI, son áureos. Esto podrían hacerlo dibujando el contorno del DNI en el cuaderno y a continuación dibujando el cuadrado y el arco, o bien midiendo sus dimensiones y hallando la razón. En cuanto a la igualdad de la razón entre el lado largo y el corto y la razón entre la suma de los dos lados y el lado largo, su demostración es muy compleja, pues requiere el trabajo con radicales, pero sí se les puede pedir que lo comprueben numéricamente con ayuda de la calculadora. En lo referente a las proporciones identificadas por Vitrubio, sobre las que se trabaja en las actividades 1 y 2, lo más importante es la reflexión sobre la arbitrariedad de los cánones de belleza y sobre los problemas que pueden ocasionar sobre la autoestima y la salud de las personas.



Unidad 10

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que debemos intentar que consigan nuestros alumnos son: • Pasar cantidades en sistema sexagesimal de forma compleja a incompleja. • Efectuar sumas de tiempos y de ángulos en forma compleja. • Realizar multiplicaciones de tiempos y de ángulos por un número entero en forma compleja. • Aplicar y manejar con soltura el teorema de Pitágoras. Sería también deseable que restasen y dividiesen, pero como presumiblemente les puede costar un poco más, y algunos de ellos mostrarán gran dificultad en conseguirlo, podría ser suficiente si restan y dividen tiempos y ángulos, previamente puestos en forma incompleja, y una vez obtenido el resultado, los vuelven a poner en forma compleja. Al fin y al cabo, habríamos conseguido el objetivo de restar y dividir tiempos y ángulos, aunque fuese por una vía indirecta, y estos alumnos con mayores dificultades llegarían al mismo objetivo que los demás, pero siguiendo otro camino, lo que puede ser interesante a nivel pedagógico y metodológico. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándole a comprenderlos mediante esquemas o dibujos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Concurso sexagesimal Con el grupo dividido en dos, cada subgrupo prepara el enunciado y la solución de una batería de ocho ejercicios para que los resuelva el otro. Los ejercicios serán: uno de pasar de complejo a incomplejo; otro, de incomplejo a complejo; el tercero, de suma de tiempos; el cuarto, de suma de ángulos; el quinto y el sexto, de multiplicación de tiempos y ángulos por un natural, respectivamente; el séptimo, de restar tiempos, y el octavo, de dividir ángulos. Una vez redactados, se intercambian los enunciados y se guardan las soluciones. Cada grupo deberá resolver correctamente los ejercicios propuestos por el otro. Los seis primeros ejercicios han de resolverse de la forma explicada en el libro, y los dos últimos, por el método que quieran. Los dos primeros tienen un valor de medio punto; los cuatro siguientes, de un punto, y los dos últimos, de dos puntos, pero por cada error se resta medio punto. Al final se corrigen los ejercicios entre todos (después de la corrección se pueden comprobar con la calculadora, así también se familiarizan con su manejo), y gana el grupo que mejor lo haya hecho.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 6 ⋅ 3.600 + 25 ⋅ 60 + 13 = 23.113 segundos

9. Que cumplen el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52 o 9 + 16 = 25

2. 42' 53"

Si los multiplicamos por 2, siguen formando una terna pitagórica: 62 + 82 = 102 o 36 + 64 = 100.

3. 2 h 36 min 4 s

Si los elevamos al cuadrado, ya no forman la terna pitagórica: 92 + 162 ≠ 252 u 81 + 256 ≠ 625.

4. 76º 30' 4" 10. Aplicando Pitágoras: 5. 92º 48' 16" 6. (39 min 43 s) ⋅ 5 = 195 min 215 s = 3 h 18 min 35 s 7. 1.508 s = 25 min 8 s de diferencia entre ambos corredores

d2 = 152 + 202 = 625, luego d = 25 cm 11. Aplicando Pitágoras, 32 = 1,52 + x2. 9−2,25 = 2,598 m 2,60 m

8. Quedan 270º, luego la porción de tarta medida en grados y minutos equivale a 33º 45'.


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Unidad 10





1. Transforma en forma incompleja esta expresión de tiempo escrita en forma compleja: 6 horas 25 minutos y 13 segundos.

2. Escribe la siguiente expresión angular en forma compleja: 2.573"

3. Juan camina 1 hora 27 minutos y 36 segundos, descansa durante tres cuartos de hora y sigue caminando 23 minutos y 28 segundos más. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que comenzó su paseo?

4. Efectúa la siguiente suma de ángulos: 13º 33’43"+ 62º 56’21"

5. Efectúa la siguiente multiplicación: (23º 12’4") ⋅ 4

6. Una máquina realiza el montaje de una pieza de un coche en treinta y nueve minutos y cuarenta y tres segundos. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido después de montar cinco piezas cada una en un coche distinto?

7. El ganador de una etapa ciclista invirtió en el recorrido 4 horas 39 minutos y 15 segundos, mientras que el último clasificado en dicha etapa tardó 5 horas 4 minutos y 23 segundos. ¿Qué tiempo separó a ambos corredores?

8. Después de que su familia comiera un cuarto de su tarta de cumpleaños, Isabel repartió lo que quedaba de la misma entre los ocho amigos que invitó a su fiesta. ¿Qué porción de tarta (medida como ángulo) les correspondió a cada uno suponiendo que la tarta fuera circular?

9. Los números 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica. ¿Qué quiere decir eso? ¿Realmente forman una terna pitagórica? Compruébalo. Si multiplicamos los números por dos, ¿seguirán formando una terna pitagórica? ¿Y si los elevamos al cuadrado?

11. ¿Hasta qué altura llegará una escalera de 3 metros de largo que se apoya contra una pared y está separada de ella 1,5 metros?


Unidad 10


10. Determina la diagonal de un rectángulo que tiene como longitudes de los lados menor y mayor 15 y 20 centímetros, respectivamente.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas. Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. Para trabajar con ángulos es necesaria una calculadora científica, que pueda trabajar en sistema sexagesimal. En esta unidad y, en general, en toda la parte de geometría es muy útil usar los elementos de dibujo para representar las distintas figuras de la mejor manera y con la mayor exactitud posible. Un buen dibujo permite calcular, al menos aproximadamente, el resultado del problema, aunque lógicamente eso debe ser corroborado por el cálculo, para lo cual es importante saber manejar con cierta soltura la calculadora. Con estas actividades de ampliación se trata de dar tanta importancia al proceso como al resultado, así como a la presentación o al razonamiento utilizado. En función del nivel de los alumnos, podremos exigir cada vez más perfección en todo el proceso.

ACTIVIDAD DE GRUPO Persecución alrededor del mundo Seguro que nuestros alumnos han oído alguna vez en alguna película al comandante de una nave (barco o avión) dar sus coordenadas por radio, y viene a ser algo así: “42º 6' Norte; 5º 36' Oeste”. Pues bien, ¿qué es eso?, ¿qué quiere decir? Vamos a trabajar con ellos este concepto, si bien esta actividad puede elaborarse también desde el área de Naturales o desde la de Sociales (Geografía). Para ello será necesario un mapamundi en el que figuren los paralelos y los meridianos, aunque también se puede jugar en un espacio más reducido, restringiéndose a África, a España o a su propia comunidad autónoma o incluso provincia. Lo primero que habrá que hacer será explicarles brevemente qué es la latitud (Norte o Sur) y la longitud (Este u Oeste) y el porqué de dichas divisiones. A continuación, hacemos un par de grupos y cada uno traza una ruta de tres o cuatro etapas alrededor del mundo, partiendo del mismo punto y calculando las coordenadas geográficas tanto del desplazamiento como del punto de destino. El paso siguiente es seguir la pista del grupo contrario. Uno de los equipos comunica el desplazamiento producido desde el punto de partida, y el otro equipo debe dar las nuevas coordenadas del lugar donde se encuentran. Si las dan correctamente, pasan a la siguiente etapa; si eso no ocurre, pasa el turno al otro equipo. Un simulacro de etapa se juega en la primera actividad de ampliación.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Para bajar 9 min 12 s (es decir, 552 s) en 24 meses, la media de mejora mensual debe ser de 23 s. El atleta está a 20 min 13 s del récord de Gebrselassie. En el decimosexto mes, la marca del atleta debería ser de 2 h 18 min 4 s; por tanto, estaría a 14 min 5 s del récord del mundo. 2. Si el trapecio es rectángulo, dos de sus ángulos valen 90º, y, por ser un cuadrilátero, la suma de sus ángulos internos vale 360º. El ángulo obtuso mide 144º 39' 45".

5. Llamando x a la distancia recorrida por ambos, la ardilla se encontrará a (15 − x) m del árbol al ser cazada. Se forma así un triángulo de cateto vertical 5 m, hipotenusa x y cateto horizontal (15 − x) m. Por tanto, x2 = 52 + (15 − x)2 y x = 8,33 m. Luego se encuentran a 15 − 8,33 = 6,66 m. 6. Se forma un triángulo de lados a (cateto vertical) y b (hipotenusa), y sobre el suelo (cateto horizontal), una distancia de c = 6 m. Hay que resolver el sistema:

3. 100º 26' 40" mide cada ángulo, ya que la suma total es de 720º.

a + b =16 ⎪⎫⎬de solución b = 9,125 m y a = 6,875 m b2 = a2 + 62 ⎪⎪⎭

4. 9 h 36 min = 9,6 horas.

La altura es de 6,875 m.

En una hora, la aguja pequeña recorre 360º : 12 = 30º; por tanto, en 9,6 horas habrá recorrido 288º. Por otra parte, la aguja grande, en un minuto, recorre 360º : 60 = 6º, de manera que en 36 min recorrió 216º. Por tanto, el ángulo que forman será la diferencia de las dos medidas anteriores: 288º −216º = 72º.


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1. Un atleta cuya marca en maratón es de 2 horas 24 minutos y 12 segundos se propone bajar en dos años su marca a 2 horas y cuarto, para lo cual elabora, junto con su preparador físico, un plan de entrenamiento. ¿Qué mejora mensual debe conseguir para cumplir su objetivo? El récord mundial de la prueba está en poder del etíope Haile Gebrselassie desde septiembre de 2008 en Berlín, donde consiguió la marca de 2 horas 3 minutos 59 segundos. ¿A qué distancia se encuentra actualmente nuestro atleta de dicho récord? Si cumple el plan previsto, ¿a qué distancia del récord se encontrará el decimosexto mes del entrenamiento?

2. El ángulo agudo de un trapecio rectángulo mide 35º 20’15". ¿Cuánto valen los otros ángulos?

3. Tres ángulos de un hexágono miden 102º 35’, 150º 20’y 165º 45’, y los otros tres ángulos son iguales. ¿Cuánto mide cada uno?

4. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 9 horas y 36 minutos?

5. Seguramente habrás oído decir que las matemáticas son un lenguaje universal. Hay algo de cierto en esta afirmación. A continuación se propone un problema atribuido a Bhaskara Akaria que aparece en un libro hindú del siglo XII d. C. Trata de resolverlo. “Un águila se encontraba en la copa de un árbol en cuya base estaba la cueva de una ardilla. El águila observó a la ardilla parada a 15 metros de distancia de la base del árbol. La ardilla corrió hacia el árbol y el águila avanzó en línea recta hasta alcanzar a la ardilla, antes de que esta llegara a su cueva. Si la altura del árbol es de 5 metros y la ardilla y el águila recorrieron distancias iguales hasta encontrarse, ¿a cuántos metros de la cueva se encontraron?”.

6. Intenta ahora resolver también este otro problema de Bhaskara Akaria:


“Si un bambú de 16 metros de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca el suelo a 6 metros de distancia de la base, ¿a qué altura a partir del suelo fue quebrado el bambú?”.


Unidad 10

13



APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. ¿Cuántas horas hay en una semana? ¿Cuántos minutos son tres horas y cuarto?

2. ¿Cuántos grados son tres cuartos de circunferencia? En un reloj, ¿qué ángulo forman las agujas cuando una está en el 12 y la otra en el 2?

3. ¿Cuántos segundos son 1 hora 16 minutos y 3 segundos?

4. Pasa a grados, minutos y segundos 5.637".

5. Efectúa las operaciones: a) 2 h 48 min 39 s + 1 h 34 min 51 s

b) 3 ⋅ (9 h 27 min 13 s + 3 h 52 min 43 s)

c) (12 h 23 min 6 s − 8 h 34 min 12 s) : 3

d) 34º 29' 32" + 17º 45' 40"

e) 4 ⋅ (34º 28' 46" − 29º 33' 53")

f) (87º 9' 33" + 27º 41' 57") : 6

6. Una escalera apoyada contra la pared forma con ella un ángulo de 20º 13’16". ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

7. En el Gran Premio de Francia de 2006, Fernando Alonso quedó segundo a poco más de 10 segundos del vencedor, Michael Schumacher, que invirtió en dar las 70 vueltas al circuito 1 h 32 min 7 s, mientras que Pedro Martínez de la Rosa quedó séptimo a 49 segundos del vencedor. ¿Qué tiempo hizo Pedro Martínez de la Rosa? ¿Cuál fue el tiempo medio por vuelta de Fernando Alonso, teniendo en cuenta que paró dos veces a repostar y cambiar neumáticos, y que en cada parada perdió 32 y 34 segundos, respectivamente?

8. Marta está haciendo volar su cometa. Cuando la cometa se enreda a 16 metros de altura con la veleta de la torre del campanario de la iglesia, Marta observa que ha dejado correr 28 metros de cordel. ¿A qué distancia se encuentra Marta de la base de la torre?


9. ¿Cuál es el perímetro de un trapecio isósceles cuya base mayor mide 20 centímetros; su base menor, 14 cm, y ambas están separadas 4 cm?

14

10. La base de una caja de metal tiene forma de octágono regular de 8 cm de lado. Determina la apotema de dicha base.

Unidad 10




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Hay 7 ⋅ 24 = 168 horas. Son 3 ⋅ 60 + 15 = 195 minutos.

3 2. Son ⋅ 360º = 270º. 4

Cada división horaria del reloj son

360 = 30º, luego hay una distancia de 60º. 12

3. 1 ⋅ 3.600 + 16 ⋅ 60 + 3 = 4.563 segundos

4. 1º 33' 57"

5. a) 4 h 23 min 30 s

b) 39 h 59 min 48 s

c) 1 h 16 min 18 s

d) 52º 15' 12"

e) 19º 39' 32"

f) 19º 08' 35"

6. La escalera forma un ángulo de 90º − 20º 13' 16" = 69º 46' 44" con el suelo.

7. Pedro Martínez de la Rosa hizo un tiempo de 1 hora 32 minutos 56 segundos. Fernando Alonso tardó 1 hora 32 minutos 17 segundos en dar las vueltas. Si quitamos los 66 segundos que permaneció parado, el coche estuvo en marcha 1 hora 31 minutos y 11 segundos, luego el tiempo medio que necesitó para dar una vuelta, descontadas las paradas, fue de poco más de 1 minuto y 18 segundos.

8. Aplicando el teorema de Pitágoras, c = 282 −162 = 22,98 m de la base de la torre.

9. Al ser isósceles, tiene dos lados iguales cuya longitud calculamos con el teorema de Pitágoras: a= 42 + 32 = 5 El perímetro del trapecio isósceles mencionado es de 5 + 5 + 14 + 20 = 44 cm.

⎛l⎞ 10. Aplicando Pitágoras, a = l2 −⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 64−16 = 6,93 cm. ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2


Unidad 10

15

Unidad 10 Teorema de Pitágoras

Matemática


Resolución de problemas Uso de elementos y herramientas matemáticos

Social y ciudadana


DESEMPEÑO

DESCRIPTOR Realizar argumentaciones identificando ideas fundamentales.

– Comprende la justificación geométrica del teorema de Pitágoras. Epígrafe 4


– Utiliza el teorema de Pitágoras y otros elementos de geometría plana para resolver problemas de la vida cotidiana en diferentes contextos. Toda la unidad, especialmente la sección de resolución de problemas


– Conoce hechos y personajes clave de la historia de las matemáticas. Desarrolla tus competencias: lateral – Sitúa obras arquitectónicas en su época y contexto histórico. Pon a prueba tus competencias, 73 y 74 – Interpreta correctamente y comprende la necesidad de tener en cuenta la señalización de peligro en el caso de pendientes y desniveles.



– Reconoce las pirámides de Gizeh, la Torre de Pisa y el Partenón de Atenas como patrimonio histórico y artístico de la humanidad. Matemáticas y sociedad, 2


Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural, y desarrollar el interés por participar en la vida cultural. Reconocer la importancia que los valores estéticos tienen en la vida cotidiana de las personas y de las sociedades.

– Conoce el concepto de canon de belleza y los ejemplos dados por la razón áurea y el canon de Vitrubio.

Social y ciudadana





Uso de las herramientas tecnológicas Autonomía e iniciativa personal

Liderazgo

Actividades 66 y 71

Pon a prueba tus competencias, 73 y 74

Matemáticas y sociedad

– Visita la página

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

. Actividades 18, 23 y 30. Investiga, Síntesis de la unidad, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red (epígrafes 1 a 5)

– Analiza información en forma de esquemas, mapas y planos. Toda la unidad

Usar los recursos tecnológicos para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas.

– Utiliza GeoGebra para realizar cálculos y demostraciones geométricas. Actividad 62


– Realiza actividades en las que colabora con sus compañeros. Matemáticas y sociedad, 2





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

11

ESO

Cuerpos geométricos

2 CONTENIDO


7



Unidad 11



En la naturaleza aparecen con mucha frecuencia las formas poliédricas, las estructuras de cristalización de minerales o del agua cuando se solidifica, los paneles de abejas, los granos de polen, los virus, etcétera. Lo mismo ocurre con los cuerpos de revolución: los astros, los átomos y muchas células tienen forma esférica; los tallos de las plantas y los vasos sanguíneos son cilíndricos; las copas de muchos árboles, los dientes, espinas o picos tienen forma cónica. En el arte, tanto en la escultura como en la pintura o en la arquitectura, tenemos exponentes de gran interés donde los alumnos pueden investigar este tipo de figuras. Sobre todo en la arquitectura, pues es casi imposible encontrar una obra arquitectónica en la que no se observen poliedros o cuerpos de revolución. También en nuestro entorno más cercano encontramos envases tanto de líquidos como de sólidos que se ajustan a formas poliédricas, sobre todo ortoédricas, por la facilidad de su acoplamiento para ser embaladas, pero existen otras muchas, si lo que se quiere es obtener un impacto estético en el embalaje. Es un tema muy apropiado para que los alumnos realicen trabajos de investigación. También sería muy útil algún trabajo manipulativo, como construcción de maquetas con figuras geométricas dando rienda suelta a su creatividad.

OBJETIVOS 1. Conocer los elementos y propiedades de los poliedros, clasificarlos y valorarlos por su presencia en el mundo que nos rodea.



1.1 Reconocer los elementos básicos de los poliedros e indicar su desarrollo plano. 1.2 Identificar y clasificar poliedros. 1.3 Encontrar los planos de simetría de un poliedro.

• Matemática

1.4 Obtener el poliedro dual a uno dado.

• Interacción con el mundo físico

2. Conocer, comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de prismas y pirámides.

2.1 Calcular áreas de prismas y pirámides.


3. Conocer los elementos y propiedades de los cuerpos de revolución, clasificarlos y valorarlos por su presencia en el mundo que nos rodea.

3.1 Reconocer los elementos básicos de los cuerpos de revolución e indicar su desarrollo plano.

4. Conocer, comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de cuerpos de revolución.

4.1 Calcular áreas de cilindros, conos y esferas.

• Cultura y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

3.2 Identificar y clasificar los cuerpos de revolución.

CONTENIDOS • Poliedros. Elementos

• Prismas. Tipos de prismas

• Ángulos diedros y ángulos poliedros

• Área del prisma

• Desarrollo plano de un poliedro

• Pirámides. Tipos de pirámides

• Clasificación de los poliedros por el número de caras

• Área de la pirámide

• Poliedros cóncavos y convexos

• Cuerpos de revolución

• Familias de poliedros: poliedros regulares convexos, pirámides, prismas, antiprismas, deltaedros, poliedros arquimedianos, poliedros de Catalan, poliedros estrellados

2

• Elementos de cilindros, conos y esferas • Desarrollo plano y área del cilindro

• Plano de simetría de un poliedro

• Desarrollo plano y área del cono

• Poliedros duales

• Elementos, secciones y área de la esfera

Unidad 11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para reconocer y clasificar los cuerpos geométricos es necesario que los alumnos dominen los elementos básicos de la geometría plana, tales como clasificación de triángulos y cuadriláteros y las relaciones angulares. También tienen que manejar con soltura el teorema de Pitágoras, para aplicarlo al cálculo de elementos desconocidos en poliedros y cuerpos redondos.

2. Previsión de dificultades Los alumnos presentarán dificultades con la visión espacial, unido a que les resulta complicado representar en el plano figuras tridimensionales.

3. Vinculación con otras áreas Como hemos visto en la introducción, la geometría espacial está relacionada especialmente con las áreas de Ciencias de la Naturaleza y Educación Plástica y Visual, aunque podemos encontrar otras conexiones, con Tecnología, en la representación de las vistas, o con Geografía, en el estudio de la esfera terrestre.

La unidad comienza definiendo el poliedro y sus elementos básicos. Después se clasifican por el número de caras (tetraedro, pentaedro…) y por los ángulos diedros (cóncavos y convexos), y se presentan algunas familias de poliedros (regulares, prismas, pirámides, antiprismas…). El siguiente epígrafe se dedica a un estudio elemental de la simetría y dualización en los poliedros. Se estudian después con detalle los prismas y pirámides, y a través de sus desarrollos planos se deducen las fórmulas para calcular sus áreas. Por último se estudian el cilindro, el cono y la esfera. En el cilindro y el cono se deduce la fórmula del área a partir de los desarrollos planos; en la esfera, como esto no es posible, se relaciona su fórmula con la del círculo.

POLIEDROS Clasiﬁcaciones CUERPOS GEOMÉTRICOS


Simetría y dualización

Por el número de caras Por los ángulos diedros Familias de poliedros

Prismas y pirámides

CUERPOS DE REVOLUCIÓN Cálculo de áreas Cilindros

Conos

Esfera

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en doce sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Poliedros. Elementos 2.ª Tipos de poliedros 3.ª Simetría y dualización 4.ª Prismas. Área 5.ª Pirámides. Área 6.ª Cuerpos de revolución 7.ª Cilindro. Área 8.ª Cono. Área 9.ª Esfera. Área 10.ª y 11.ª Actividades de consolidación y aplicación 12.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 11

3




Competencia para la interacción con el mundo físico A través de una actividad que trabaja las dimensiones de la Tierra y otros cuerpos celestes considerados como esferas, se trata la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadana La referencia a Rubik posibilita el trabajo de la subcompetencia de desarrollo personal y social.

Competencia cultural y artística Las actividades de construcción y análisis de desarrollos de cuerpos geométricos y maquetas hacen posible trabajar la subcompetencia de expresión artística. Asimismo, las actividades de reconocimiento de cuerpos geométricos en diferentes obras arquitectónicas trabajan directamente la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico.



Competencia de autonomía e iniciativa personal La construcción guiada de una maqueta se enmarca en la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos.


4

Unidad 11




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO






Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones utilizando vocabulario matemático.






Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico


– Es consciente de las dimensiones absolutas de la Tierra, la Luna y otros cuerpos del sistema solar. Actividad 51

Social y ciudadana



– Identifica a Rubik como un personaje clave en la popularización del razonamiento y de los juegos matemáticos. Texto de entrada

Expresión artística

Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad para expresar de forma personal ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos.

– Construye o analiza cuerpos geométricos a partir de su desarrollo plano. Actividades 24, 43 y 58 – Identifica las piezas de una maqueta o reconstruye la imagen de esta a partir de las mismas. Pon a prueba tus competencias 8 – Construye maquetas a escala. Pon a prueba tus competencias 90-3



– Conoce y sitúa espacial y temporalmente al escultor Eduardo Chillida y su obra. Desarrolla tus competencias 2 – Valora y reconoce edificios singulares como parte del patrimonio artístico y cultural. Pon a prueba tus competencias



– Visita la página librosvivos.net. Actividades 6, 12, 29 y 40. Interactivos. Síntesis de la unidad. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red



– Sigue correctamente las fases de la construcción de una maqueta. Pon a prueba tus competencias 90-3

Matemática




– Interpreta correctamente la información contenida en planos y la traduce a valores numéricos. Desarrolla tus competencias 3 – Conoce los diferentes cuerpos geométricos y sus elementos y los identifica y utiliza para resolver problemas de la vida cotidiana en diferentes contextos. Toda la unidad, especialmente la sección de problemas – Identifica elementos de simetría en objetos cotidianos. Epígrafe 3 (lateral). Actividad 16


Unidad 11

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación del consumidor: actividad 3, desarrolla tus competencias • Educación para la convivencia: actividades en grupo citadas en las sugerencias didácticas


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” – Unidad 8. Cuerpos geométricos • Cuadernos de refuerzo “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 6. Cuerpos geométricos Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” SM

– Unidad 8. Cuerpos geométricos • Cuaderno de matemáticas. 2.º de ESO. N.º 6: “Geometría y medida en el espacio” • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – Poliedros • Cuaderno de resolución de problemas I – Actividad 43: Un problema piramidal • Cuaderno de investigaciones matemáticas. 2.º de ESO – Arquitectura y cuerpos geométricos

Otros

Internet

SM

• FERRER MUÑOZ, JOSÉ LUIS: Superficies poliédricas. Thomson Paraninfo, Madrid, 2000

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidades didácticas del proyecto Descartes: www.e-sm.net/2esomatmrd33

Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd34 Unidad didáctica del proyecto CIDEAD:

Otros materiales


6

Unidad 11

• Set de cuerpos geométricos • Desarrollos planos de cuerpos geométricos


Sugerencias didácticas Entrada Se utiliza el cubo de Rubik como elemento motivador para introducir la geometría del espacio. Sería interesante llevar cubos de Rubik a clase para apoyar las explicaciones. Podemos aprovechar para resaltar la utilidad de muchos juegos y pasatiempos para desarrollar las capacidades matemáticas y preguntarles qué otros juegos conocen. La primera cuestión será sencilla para la mayoría de los alumnos, pues están familiarizados con el cubo y es fácil para ellos ver que sus caras son cuadrados. Se puede aprovechar para pedirles que expresen el resultado en metros cuadrados para así repasar la conversión de unidades de superficie. En la siguiente cuestión, al preguntar cuántas pegatinas son necesarias para llenar las caras de un cubo, estamos incidiendo en el concepto de superficie. Siempre es útil asociar dicho concepto a situaciones prácticas como “recubrir”, “pintar”, “empapelar”… Por otro lado, la pregunta puede resultarles compleja, quizá necesiten orientación.

Desarrolla tus competencias 1. Este tipo de actividades en las que se relaciona un cuerpo geométrico con su desarrollo plano son fundamentales para que los alumnos comiencen a aplicar los conceptos estudiados en geometría plana, como el cálculo de áreas, en el nuevo contexto tridimensional. Algunos alumnos en este nivel tienen muchas dificultades de visión espacial. Nos daremos cuenta de que a estos alumnos les resulta complicado incluso hacer la traslación de las medidas del dibujo de la bolsa al del desarrollo. Se les puede pedir que calquen el desarrollo en un papel e intenten volver a “montar” la bolsa. 2. El enunciado de esta actividad incluye terminología específica de la geometría del espacio (cara, arista, vértice, prisma…) que es posible que no todos los alumnos conozcan, así que sería conveniente detenernos un poco a aclarar conceptos. Volveremos a encontrar aquí alumnos que tienen dificultad de visualizar la escultura. La actividad se puede emplear como recurso para el desarrollo de la competencia cultural y artística. Se les puede pedir, por ejemplo, que busquen información sobre otras obras de Chillida. 3. La actividad muestra una de las situaciones prácticas citadas antes que resultan útiles para comprender el concepto de área. Su realización tiene cierta complejidad, por lo que exige una planificación. Se les puede ayudar a establecer los pasos a seguir: 1.º Determinar la superficie total que hay que pintar. 2.º Calcular los botes de pintura necesarios. Para el cálculo de la superficie conviene que hagan un boceto de la habitación en tres dimensiones y que después vuelvan a las representaciones en el plano dibujando las paredes, con la puerta y la ventana, y el techo, e indicando las medidas. Algunas de las medidas las da el enunciado directamente y otras tienen que obtenerse midiendo en el plano y utilizando el concepto de escala. Han de estar atentos a tomar en el plano las medidas correctas, que son las interiores.

4. Para hacer esta actividad han de recordar el área del círculo y la longitud de la circunferencia y razonar a partir de ellas cómo calcular el área del semicírculo y la longitud de la semicircunferencia.

1. Poliedros. Elementos • Es interesante llevar al aula una colección de cuerpos geométricos, para que identifiquen cuáles son poliedros y cuenten sus aristas, caras y vértices. • También podemos llevar o pedir a los alumnos que lleven fotografías de poliedros de nuestro entorno. • Los conceptos de ángulo diedro y ángulo poliedro no son sencillos por la dificultad que encuentran los alumnos en interpretar las representaciones planas de cuerpos tridimensionales. Resulta útil apoyar nuestra explicación con desarrollos de poliedros en cartulina, que nosotros podamos doblar y desdoblar. • Como ya se ha dicho, el que los alumnos asocien los poliedros con su desarrollo plano es fundamental. Podemos pedirles que construyan cuerpos geométricos utilizando los desarrollos que pueden encontrar en la página web que se cita en el margen.


1, 2, 5, 53 y 56

Medio

4, 54 y 55

Alto

3

2. Tipos de poliedros • El estudio que se hace aquí de los tipos de poliedros es muy exhaustivo. Sin embargo, en función del nivel de los alumnos, no es imprescindible que aprendan de memoria todas estas clasificaciones, sino que bastaría con que conocieran las principales familias de poliedros: los poliedros regulares, los prismas y las pirámides. • En cuanto a los poliedros convexos y cóncavos, la actividad 9 hace referencia a otro criterio para diferenciarlos: los poliedros convexos pueden apoyarse en todas sus caras, mientras que los cóncavos no. • El epígrafe es adecuado para proponer a los alumnos investigaciones sobre los diferentes tipos de poliedros, estudiando sus características y buscando su presencia a nuestro alrededor, en el arte, en la ciencia, etcétera. • Una vez más es muy útil que los alumnos construyan poliedros en papel o cartulina, pues el acercamiento manipulativo ayuda mucho a asimilar los conceptos. Se pueden utilizar los poliedros construidos para decorar la clase.


7y8

Medio

9 a 12 y 57 a 59

Alto

60 y 61


Unidad 11

7


3. Simetría y dualización • Para introducir el concepto de plano de simetría podemos realizar experiencias con poliedros y espejos. • Para este curso podemos limitarnos a iniciar el estudio de la simetría y la dualización pidiendo a los alumnos que dibujen los planos de simetría y los poliedros duales en casos sencillos. • Un trabajo interesante que se puede proponer a los alumnos es investigar cuáles son los duales de los poliedros regulares. Averiguarán que el tetraedro es autodual, que el cubo y el octaedro y el dodecaedro y el icosaedro son parejas duales. Se les puede pedir que construyan maquetas de estas parejas utilizando un material transparente para la exterior.


• Si se proponen ejercicios en los que tengan que aplicar el teorema de Pitágoras, conviene comenzar por casos en los que la apotema de la base, la de la pirámide y la altura formen una terna pitagórica. Si no, tendremos que permitirles el empleo de la calculadora para hallar la raíz cuadrada.


22

Medio

23 a 29

Alto

66 y 67

13 a 16, 62 y 63

Medio

6. Cuerpos de revolución

4. Prismas • Debemos comenzar con actividades que permitan al alumno asimilar las características y los tipos de prismas. Una vez más es muy conveniente utilizar prismas de algún set de cuerpos geométricos o prismas construidos por los propios alumnos.

• Un proyecto interesante que se puede realizar es la fabricación de dispositivos para visualizar cómo se generan los cuerpos de revolución, mediante un listón de madera al que pegaríamos el rectángulo, el triángulo rectángulo o el semicírculo, y al que acoplaríamos un pequeño motor.

• También podemos pedir a los alumnos que traigan a clase fotografías de prismas presentes en nuestro entorno.

• Para explicar los elementos de los cuerpos de revolución conviene contar con modelos.

• Para que comprendan cómo calcular el área de un prisma es fundamental que relacionen este con su desarrollo plano, es decir, que sepan cuántas caras lo forman y cuál es la forma de estas. Una vez realizado este paso, el ejercicio no es más que un ejercicio de cálculo de áreas de polígonos como los que ya han realizado en el curso anterior y en la unidad 10 de este curso.

• Es interesante pedirles que busquen fotografías de cuerpos de revolución en nuestro entorno, en el arte o en la ciencia.

• Es muy interesante que realicen el cálculo de áreas de objetos reales con forma de prisma, como los construidos por ellos en sesiones anteriores con cajas de zapatos, envases y otros objetos que puedan traer al aula. El ejercicio exige que identifiquen y tomen las medidas necesarias.


17 y 20

Medio

18, 19, 21, 64 y 65

5. Pirámides. Área • Es fundamental que los alumnos diferencien la apotema de la pirámide de la altura, pues si no, en ocasiones utilizarán erróneamente esta última en el cálculo de áreas. En muchos de los sets de cuerpos geométricos que existen en el mercado la pirámide incorpora el triángulo rectángulo formado por la apotema de la base, la apotema de la pirámide y la altura, lo que resulta muy útil, pues a muchos alumnos les cuesta interpretar el dibujo en el plano. Si no se dispone de este recurso, se puede construir la pirámide en papel transparente y marcar mediante palillos las tres distancias. 8

• También es interesante que calculen el área de pirámides construidas por ellos a partir de su desarrollo plano, en las que tengan que tomar las medidas, pues es una forma de afianzar que la altura de los triángulos que forman las caras laterales es la apotema de la pirámide.

Unidad 11



30, 68 y 69

Medio

31 a 33

7. Cilindros. Área • Sería conveniente comenzar repasando las fórmulas del área del círculo y la longitud de la circunferencia. • Es fundamental que los alumnos aprendan a deducir la fórmula del área del cilindro a partir del análisis de su desarrollo plano, y que no se limiten a memorizarla. • Son muy útiles los ejercicios manipulativos en los que los alumnos tengan que calcular el área de objetos de forma cilíndrica como botes de refrescos o cilindros construidos por ellos mismos, lo que requiere que realicen las mediciones.


34, 35 y 40

Medio

36 a 39, 70 y 71

8. Conos. Área • Al igual que en el estudio de la pirámide, en el cono es fundamental que los alumnos asimilen la relación entre


la generatriz, la altura y el radio, para lo cual se pueden utilizar recursos similares a los vistos en aquel epígrafe. • Para deducir la fórmula del área lateral del cono hay que obtener primero la del área de un sector circular en función del radio. Este procedimiento puede resultar tedioso y complicado para estos alumnos, que no están acostumbrados a las demostraciones teóricas, por lo que podemos considerarlo un contenido de ampliación. Para que recuerden la fórmula podemos enseñarles un procedimiento más intuitivo: asociar el sector circular con un triángulo en el que la altura sería la generatriz, y la base, el perímetro de la circunferencia, 2πr. • Son muy útiles los ejercicios manipulativos en los que los alumnos tengan que calcular el área de objetos de forma cónica como cucuruchos o conos construidos por ellos mismos, lo que requiere que realicen las mediciones. • Al igual que en las pirámides, hay que tener en cuenta que los alumnos necesitarán utilizar la calculadora cuando empleen el teorema de Pitágoras para calcular la generatriz a partir de la altura o viceversa.


41 y 72 a 74

Medio

42, 75 y 76

Alto

43

9. Esferas. Área • Para trabajar las secciones de la esfera podemos utilizar pelotas de tenis y pedir a los alumnos que señalen cada una de ellas. • La fórmula del área no se puede deducir fácilmente, al no tener la esfera desarrollo plano. Se puede deducir relacionando el área de la esfera con la del menor cilindro circunscrito, tal como propone la actividad 78, o bien realizar experiencias para comprobar la fórmula de modo empírico.


44

Medio

45 a 52 y 77

Alto

78

Actividades de consolidación y aplicación Además de las actividades que ya se han sugerido en cada epígrafe, se proponen otras agrupadas en dos secciones: “Un paso más” y “Problemas”, que son muy interesantes para profundizar y aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad.

Pon a prueba tus competencias 89. Maquetas y construcción Al analizarse las piezas que forman una maqueta se está volviendo a incidir en la relación entre la geometría espacial y la del plano. El primer apartado es sencillo, puesto que tienen los dibujos tanto de la maqueta como de las piezas, y solo han de relacionarlas. En el segundo apartado tienen ellos que dibujar las piezas a partir del dibujo en perspectiva. Esto les suele costar más, aunque han realizado ejercicios similares a lo largo de la unidad y también, seguramente, en el área de tecnología. En el tercer apartado se pide el ejercicio inverso, pasar de las piezas al croquis en perspectiva. El cuarto apartado va enfocado al desarrollo de las competencias cultural y artística y de tratamiento de la información y competencia digital. 90. Edificios, áreas y desarrollos Esta actividad tiene objetivos similares a la actividad anterior, pero es más completa y de mayor dificultad. Tiene especial interés la construcción de la maqueta que propone la actividad 3, pues, como ya se ha dicho anteriormente, el trabajo manipulativo es muy importante para la comprensión de la geometría espacial. El apartado 4 es un problema de cálculo de áreas en el que tienen que aplicar el teorema de Pitágoras. Debido a las grandes dimensiones de la pirámide, conviene que la actividad se realice con calculadora.

Autoevaluación Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se indiquen, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades se trabaja la competencia de aprender a aprender, en la subcompetencia de construcción del conocimiento, al poner al alumno en situación de aplicar los nuevos conocimientos en contextos diferentes, en este caso lúdicos.

Síntesis de la unidad Es importante que los alumnos elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que hagan un mapa conceptual, mucho más visual, que contenga únicamente las ideas clave y en el que se indiquen de forma explícita las relaciones entre los conceptos.



Unidad 11

9

Actividades de refuerzo


Unidad 11 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Identificar elementos básicos de poliedros y cuerpos de revolución: caras, vértices, aristas, ángulos diedros y poliedros, y planos de simetría. • Conocer y entender la clasificación de los poliedros y de los cuerpos de revolución, así como, en su caso, sus desarrollos planos. • Obtener las áreas lateral y total de diferentes cuerpos geométricos y aplicar los resultados obtenidos a la resolución de problemas de la vida cotidiana. A los alumnos con necesidad de refuerzo hay que plantearles problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esquemas o dibujos. En esta unidad es especialmente importante la representación de las figuras y sería deseable que, además, se hiciese de manera lo más precisa posible. También es interesante que en el aula se disponga de los distintos cuerpos geométricos para que el alumno pueda visualizar sobre ellos líneas y medidas, o en su defecto, hacer referencia a objetos o lugares próximos que puedan identificarse con los cuerpos geométricos estudiados.

ACTIVIDAD DE GRUPO Mide tu entorno La actividad consiste en hallar, por grupos, las áreas de los objetos de su entorno con una peculiaridad: deben hacerlo sin regla (o casi). Se trata de medir a palmos, pasos o pies, de manera que al principio de la actividad o previamente en casa, cada alumno debe medirse su palmo, su paso y su pie, o cualquier otra dimensión corporal que se le ocurra y sea útil (no vale, por ejemplo, medirse el perímetro craneal). A partir de esas medidas, y ya sin ningún tipo de regla o metro, deben averiguar cuál es la superficie de las paredes y del suelo de la clase, o de su mesa, o del pasillo del centro, o de un balón, realizando, claro está, los cálculos necesarios. El objeto debe ser medido por cada miembro del grupo para, posteriormente, comprobar si coinciden unas medidas con otras. Al final de la actividad se pueden repetir las medidas y los cálculos para ver qué grupo se ha acercado más a la medida real. Es una actividad muy dinámica y entretenida, y en función del grupo, puede limitarse a medir objetos del aula o incluso a medir aquellos otros que estén fuera del centro.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

b) CARA, ARISTA, VÉRTICE c) DODECAEDRO, OCTAEDRO, TETRAEDRO, HEXAEDRO O CUBO 2.

O O O T N U P T A E

N A D R O O S I H T

E R D E D R B E R R

C E O E C E X U I A

I C V A A A A R C E

T T R O E S E T T D

R A C D A R O D C R

E D R S L A N L R O

V O A T S I R A I O

3. Alateral = 2.955,84 cm2 4. a) Base

b)

Generatriz Radio Altura

•

Generatriz

•

Radio

Alateral = 99π = 311 cm2

Alateral = 24π = 75,4 cm2

Fig.

N.º de bases

Área de una base

Área total de las bases

N.º de caras

Suma de las áreas de las caras laterales

Área total de la figura

A

2

20 cm2

40 cm2

4

2 ⋅ 5 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 ⋅ 4 = 180 cm2

220 cm2

C

2

6,9 cm2

13,8 cm2

3

3 ⋅ 4 ⋅ 10 = 120 cm2

133,8 cm2

2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 10 251,3 cm2

351,8 cm2

B

2

D

1

16π

2

100,5 cm

254,4 cm2 81π π ⋅ 9 ⋅ 15 424,1 cm2 Centímetros cuadrados necesarios para forrar las cuatro figuras:


10

Altura

•

D S P L A N O N S T

1. a) PLANO, PUNTO, RECTA

Unidad 11


678,5 cm2 1.384,1




Unidad 11

1. Encuentra en la sopa de letras de la derecha:

D S P L A N O N S T

a) Tres elementos básicos de geometría. b) Tres elementos básicos de un poliedro. c) El nombre de 4 poliedros regulares; uno de ellos se ha incluido dos veces, pero con distinto nombre. ¿Cuál?

O O O T N U P T A E

N A D R O O S I H T

E R D E D R B E R R

C E O E C E X U I A

I C V A A A A R C E

T T R O E S E T T D

R A C D A R O D C R

E D R S L A N L R O

V O A T S I R A I O

2. Nos han regalado cuatro figuras decorativas como las del dibujo, pero no nos gustan por su color y las vamos a forrar de papel con un diseño propio.

10 cm

15 cm

H

10 cm 4 cm 4 cm

5 cm

4 cm

4 cm

9 cm 4 cm

Si usamos para forrarlas papel A4 de 21 cm de ancho por 29,7 cm de alto, ¿qué cantidad de papel necesitamos como mínimo? Desarrolla cada una de las figuras indicando las medidas de sus elementos principales y unidades, y copia y rellena después la siguiente tabla para calcular la superficie de papel necesaria para recubrirlas. Fig.

N.º de bases

Área de una base

Área total de las bases

N.º de bases

Área de una Área total de las base bases

N.º de caras

Suma de las áreas de las caras laterales


Observa el desarrollo lateral, escribe la fórmula de sus superficies y calcúlala.


A C Fig. B D Centímetros cuadrados necesarios para forrar las cuatro figuras:

N.º hojas:

1hoja ⋅ ............................ cm2 = ………….. hojas …………… hojas 21⋅ 29,7

3. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 16 decímetros de lado y 6 decímetros de altura? 4. Señala los elementos más importantes de estas figuras y calcula su área total. b) Página fotocopiable

a)

5 cm 4 cm •

3 cm

•

•

15 cm

3 cm Cuerpos geométricos

Unidad 11

11



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que tienen un nivel bueno e interés por la asignatura suelen disfrutar con la geometría. Esta les ofrece la oportunidad de investigar figuras, observar cómo pueden inscribirse unos poliedros en otros, los que resultan de cortar por un plano un poliedro, y cómo calcular las áreas o longitudes de las caras y segmentos resultantes de estas transformaciones. Además, los alumnos no deben conformarse con utilizar las fórmulas de las distintas áreas, sino que, dentro de sus posibilidades y nivel, se debe intentar que las deduzcan por el conocimiento preciso de los elementos y las propiedades de las figuras a las que se aplican. En consecuencia, se les pueden plantear ejercicios de razonamiento en los que relacionen conocimientos y a través de los cuales puedan descubrir el porqué de algunas fórmulas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Creando puzles Se puede proponer que creen puzles con policubos de dos, tres o más alturas, y con el número de piezas que cada uno quiera, para que desarrollen su capacidad espacial.

El mayor cuerpo geométrico A partir de una hoja de papel cuadriculado igual para todos, se propone realizar el objeto (prisma, pirámide, cilindro y cono) de mayor superficie posible. Para ello es necesario que los alumnos dispongan de los desarrollos de los distintos cuerpos geométricos, de un lápiz, de pegamento y de unas tijeras. El hecho de que el papel sea cuadriculado facilitará el cálculo de la superficie, si bien se debe recomendar a los alumnos que consideren las distintas opciones antes de empezar a cortar y calculen, con el material del que disponen, qué figura les conviene y qué dimensiones tendrá la de área máxima. Evidentemente, dado que no saben todavía maximizar funciones, deberán hacerlo por tanteo. En el mismo sentido, se reparten cordeles de una longitud dada (por ejemplo, un metro) y se pide que, con la ayuda de los desarrollos de cuerpos geométricos, hallen el que puedan delimitar con mayor superficie.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Atotal = 393,6 cm2 b) Atotal = 254,4 cm2 2. 1.385,15 m2 de vidrio 3. a) Coste total de las baldosas: 11.553,81 €. b) Coste de la pintura: 240 €. 4. 85.889,16 m2 de tela habría precisado para envolver la pirámide. 5. Teniendo en cuenta solamente la superficie del papel y no la forma del mismo, podríamos envolver exactamente el cilindro y nos sobraría papel en el caso de la caja. 6. 5.893,88 cm2


12

Unidad 11





1. El prisma hexagonal de la figura tiene una de sus bases determinada por ABCDEF, hexágono regular de lado 6 cm y altura 10 cm. a) Si se corta por un plano perpendicular a la base que pasa por B y E, queda dividido en dos poliedros iguales. Determina el área total de uno de los poliedros resultantes.

F

E D

A B

C

b) Si ahora cortáramos el mismo prisma por un plano perpendicular a las bases que pasara por B y D, quedaría dividido en dos poliedros, uno de base triangular y otro de base pentagonal. Calcula la superficie total del poliedro de base triangular.

2. Una gran cúpula semiesférica de 20 m de radio cubre un invernadero hecho de cristal que tiene forma de pirámide recta de base cuadrada que queda inscrita en la semiesfera. Calcula la cantidad de vidrio necesaria para su construcción.

3. Se desea construir una piscina de 25 m de largo por 15 m de ancho. Su corte vertical (está en el dibujo) en el sitio menos profundo cubre 1 m, y en el más profundo, 4 m.

25 m

4m

1m

a) Si se desea enlosar la parte interior con unas baldosas que cuestan a 20 € el metro cuadrado, ¿cuánto nos costará el total de baldosas necesarias? b) ¿Cuánto costará pintar los laterales de la piscina si se utiliza una pintura especial cuyo precio es de 6 euros por litro, y con un litro se pueden pintar 5 m2?

4. El artista estadounidense de origen búlgaro Christo Javacheff (“Christo”) se hizo muy famoso por envolver grandes objetos y edificios con tela. Llegó a hacerlo con el Pont Neuf de París en 1985, o con el Reichstag de Berlín en 1995. ¿Cuántos metros cuadrados de tela habría necesitado para envolver la pirámide (de base cuadrada) de Keops, que mide 230,35 metros de lado y 146,60 metros de altura? 5. Tenemos el papel justo para envolver un balón de 20 centímetros de radio. ¿Podríamos envolver con ese mismo papel un cilindro de 20 centímetros de altura y 20 centímetros de radio? ¿Y una caja de 10 centímetros de alta, 20 centímetros de ancha y 30 centímetros de larga?


70 cm

6. ¿Cuánta tela se necesitará para forrar el tentetieso de la figura?

40 cm


Unidad 11

13



APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Nombra los elementos siguientes que se indican.

•

2. ¿Cuál es el área total de este prisma? 5 cm 30 cm

3. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide cuadrada de 15 metros de altura y de 10 metros de lado de la base? 4. ¿Cuál es el área de un cono de 2 metros de generatriz y 1 metro de radio? 5. ¿Cuáles son el radio y la altura de un cilindro si la segunda triplica al primero y su área total es exactamente de 226,08 centímetros cuadrados? 6. A Ana se le ha caído el balón de baloncesto al estanque del parque. En términos geométricos, ¿cómo llamarías a la porción de balón que emerge? 7. Suponiendo la Tierra como una esfera perfecta, ¿cuál sería su superficie sabiendo que la longitud del Ecuador es de 40.075 kilómetros?


8. ¿Qué superficie allana, cada vez que da una vuelta, el cilindro de una apisonadora cuyo eje mide 2,5 metros y tiene 1,5 metros de diámetro?

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9. El obelisco del faraón Ramsés II procedente de Luxor y ubicado desde el 22 de octubre de 1836 en la plaza de la Concordia, de París, tiene una altura de 22,83 metros. El extremo superior, con forma de pirámide, recibía el nombre de piramidión y, en origen, se cubría de bronce u oro. Las caras del prisma del obelisco están cubiertas de jeroglíficos donde se narran las hazañas del mencionado faraón. Si el obelisco tiene base cuadrada de 2 metros y la altura del piramidión es la décima parte del total del obelisco, calcula: a) La superficie de la lámina de oro que se utiliza. b) La superficie que ocupan los jeroglíficos. Unidad 11




SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.

Vértice Arista Apotema de la pirámide

Altura de la pirámide •

2. Se trata de un prisma recto cuadrangular. Por tanto: A= 2⋅(52 )+ 4 ⋅(5⋅15) = 50 + 600 = 650 cm2 3. La apotema de la pirámide vale: a= 152 + 52 = 250 = 5 10 cm. Por tanto: A=102 + 4 ⋅

10⋅5 10 =100+100 2 = 24142 , cm2 2

4. La altura del cono se calcula a partir de la generatriz y el radio: h= 22 −12 = 3 cm. Y el área total será: A= π ⋅12 + π ⋅1⋅ 3 = π(1+ 3 ) = 8,58 cm2. 5. Dadas las condiciones del problema, se tiene: ⎪⎧⎪ A = 2πR 2 + 2πR ⋅ h ⎪⎨ ⇒ A = 2πR 2 + 2πR ⋅2R = 6πR 2 ⇒ 6πR R 2 = 226,08 ⇒ R = 3,46 cm, h = 2R = 6,92 cm ⎪⎪ h = 2R ⎪⎩ 6. Se trata de un casquete esférico.

7. A partir de la longitud del Ecuador se obtiene el radio: L = 2πR ⇒ R =

L 40.075 = = 6.378,13 km. 2π 2π

Así, la superficie de la Tierra será: A = 4πR 2 = 4⋅ 314 , ⋅6.378,132 = 510.947.611 km2. 8. El eje del cilindro es su altura, y hay que calcular el área lateral de dicho cilindro: A = 2πR ⋅ h = π ⋅ D ⋅ h = 314 , ⋅15 , ⋅2,5 =1178 , cm2, donde D es el diámetro del cilindro. 9. a) La superficie buscada es el área lateral de una pirámide cuadrangular de altura 2,283 m y lado de la base 2 m: A= 22 + 4 ⋅ 2,2832 +12 = 4 + 4 ⋅2,492 =13,968 m2 de lámina de oro hacen falta. b) Los jeroglíficos ocupan la superficie lateral de un prisma cuadrangular de lado de la base 2 m y altura 20,547 m: A= 4 ⋅2⋅20,547 =164,376 m2 .


Unidad 11

15

Unidad 11 Cuerpos geométricos

Matemática




Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico Social y ciudadana


DESCRIPTOR

Interpretar y expresar distintos tipos de información con vocabulario matemático. Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad. Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

DESEMPEÑO – Interpreta correctamente la información contenida en planos y la traduce a valores numéricos. Desarrolla tus competencias, 3

– Conoce los diferentes cuerpos geométricos y sus elementos y los identifica y utiliza para resolver problemas de la vida cotidiana. Toda la unidad, especialmente la sección de problemas – Identifica elementos de simetría en objetos cotidianos. Epígrafe 3 (lateral). Actividad 16

– Es consciente de las dimensiones absolutas de la Tierra, la Luna y otros cuerpos del sistema solar. Actividad 51

– Identifica a Rubik como un personaje clave en la popularización de los juegos matemáticos. Texto de entrada

– Construye cuerpos geométricos a partir de su desarrollo. Cultural y artística



Actividades 24, 43 y 58

– Identifica las piezas de una maqueta o reconstruye la imagen de esta a partir de las mismas. Pon a prueba tus competencias 89

– Construye maquetas a escala. Pon a prueba tus competencias 90-3.




Obtención, transformación y comunicación de la información Autonomía e iniciativa personal


Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural, y desarrollar el interés por participar en la vida cultural. Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Desarrollar un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Conoce al escultor Eduardo Chillida y su obra. Desarrolla tus competencias, 2

– Valora y reconoce edificios singulares como parte del patrimonio artístico y cultural. Pon a prueba tus competencias.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 6, 12, 29 y 40. Interactivos, Autoevaluación

– Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

– Sigue correctamente las fases de la construcción de una maqueta. Pon a prueba tus competencias 90-3





16


ESO

SOLUCIONARIO

2


U N I DA D

12

ESO

Volumen de cuerpos geométricos

2 CONTENIDO


7



Unidad 12



Al cálculo de volúmenes de los cuerpos geométricos le han dedicado su estudio grandes científicos: – Una demostración de que el volumen del cono es igual a un tercio del volumen del cilindro que lo contiene se le atribuye a Eudoxo (400 a. C). – Euclides (330 a. C.), en sus Elementos, demostró que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro. Arquímedes (200 a. C.) demostró a su vez que esa constante de proporcionalidad estaba relacionada con el número π. – Cavalieri (1635), con su teoría de lo indivisible, encontró simple y rápidamente el volumen de varias figuras geométricas entre las que se hallaba la esfera. Todas estas investigaciones han servido para que actualmente realicemos el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos con facilidad. La aplicación del cálculo de volúmenes es evidente. Por un lado, hoy día casi todos los productos se venden envasados, y la fabricación de los envases requiere del cálculo de su capacidad y volumen. También en el mundo de la tecnología, la arquitectura y la escultura son imprescindibles estos conceptos. Es importante que los alumnos sean conscientes de ello. Se deben repasar las unidades de volumen y capacidad, y cómo están relacionadas. Una buena comprensión del concepto de unidad de volumen basta para comprender cómo calcular el volumen del ortoedro. A partir de él, aplicando el principio de Cavalieri se deducen las fórmulas del volumen del prisma y del cilindro. El volumen de la pirámide, del cono y de la esfera se pueden calcular experimentalmente mediante recipientes que podamos llenar de agua para comparar volúmenes. De este modo evitaremos el aprendizaje meramente memorístico de las fórmulas.

OBJETIVOS 1. Comprender los conceptos de volumen y capacidad, y la relación entre ellos, así como entre sus unidades.



1.1 Convertir unidades de volumen y capacidad a sus múltiplos y submúltiplos. 1.2 Convertir adecuadamente unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa.

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana

2. Comprender y conocer el concepto de medida de volumen y capacidad, utilizar las fórmulas para el cálculo de estas en cuerpos geométricos, así como resolver problemas de aplicación de las mismas.

2.1 Cálculo del volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

• Cultural y artística

2.2 Cálculo del volumen de cuerpos compuestos.

• Aprender a aprender

• Tratamiento de la información y competencia digital

CONTENIDOS

2

• Volumen de un cuerpo

• Volumen de un cilindro

• Unidades de volumen

• Descomposición de un prisma triangular en pirámides

• Relación entre las unidades de capacidad y de volumen

• Volumen de una pirámide

• Volumen de un ortoedro

• Volumen de un cono

• Principio de Cavalieri

• Volumen de una esfera

• Volumen de un prisma

• Volumen de cuerpos compuestos

Unidad 12



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Los alumnos deben tener soltura en la conversión de unidades de volumen y capacidad. También deben conocer las propiedades y elementos fundamentales de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

2. Previsión de dificultades Aunque los alumnos ya conocen de cursos anteriores los cambios de unidades de longitud, superficie y volumen, les cuesta identificar la relación entre volumen y capacidad. Por otro lado, como en la unidad se indica una gran cantidad de fórmulas, conviene, en la medida que sea posible, enseñar a los alumnos cómo se deducen, para evitar aprendizajes memorísticos.

3. Vinculación con otras áreas La relación más evidente se da con las áreas de Ciencias de la Naturaleza y Educación Plástica y Visual, por la presencia de cuerpos geométricos en nuestro entorno y en el arte.

4. Esquema general de la unidad La introducción y la sección “Desarrolla tus competencias” proponen actividades encaminadas a la comprensión del concepto de volumen. En el primer epígrafe se define dicho concepto, se revisan las unidades de volumen y su relación con las de capacidad, y se deduce la fórmula del volumen del ortoedro mediante su división en cubos.

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Unidades Volumen

A continuación se presenta el principio de Cavalieri, lo que permite generalizar la fórmula anterior a cualquier prisma y al cilindro.

Capacidad

Fórmulas Prisma y cilindro Pirámide y cono Esfera

Después se aborda el cálculo de volúmenes de pirámides y conos. Para ello se descompone un prisma triangular en tres pirámides de igual volumen, demostrándose que el volumen de la pirámide es el tercio del prisma, lo cual se extiende al cono utilizando nuevamente el principio de Cavalieri. Por último se deduce experimentalmente el volumen de una esfera de radio r, comparándolo con el del cilindro de radio r y altura 2r, y se calcula el volumen de cuerpos compuestos.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias 2.ª Unidades de volumen y capacidad. Volumen de un ortoedro 3.ª Volumen de un prisma y de un cilindro 4.ª Volumen de una pirámide y de un cono 5.ª Volumen de una esfera y de cuerpos compuestos 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 12

3




Competencia para la interacción con el mundo físico Las actividades sobre almacenaje y empaquetamiento de volúmenes están directamente relacionadas con la subcompetencia aplicación del método científico en diferentes contextos. Por otra parte, la definición del concepto de caudal permite trabajar la subcompetencia de medio natural y desarrollo sostenible.

Competencia social y ciudadana El tratamiento de las unidades de volumen y capacidad permite reflexionar sobre la cooperación internacional, tratando la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia cultural y artística Las actividades de construcción y análisis de desarrollos de cuerpos geométricos hacen posible trabajar la subcompetencia de expresión artística. Asimismo, las actividades de reconocimiento de cuerpos geométricos en las pirámides de Egipto tratan directamente con la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico.




4

Unidad 12




COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO





Matemática


Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones utilizando vocabulario matemático.






Identificar preguntas o problemas relevantes sobre situaciones reales o simuladas.

– Entiende que los procesos de almacenaje requieren de una reflexión científica y son básicos para la economía. Desarrolla tus competencias, 2 y lateral Pon a prueba tus competencias 57


Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

– Entiende el concepto de caudal de una corriente y comprende cómo se puede ver afectada por la actividad humana. Texto y actividades de entrada



– Reconoce los sistemas de unidades como un ejemplo de cooperación internacional. Epígrafe 1



– Construye o analiza cuerpos geométricos a partir de su desarrollo plano. Actividades 20 y 34



– Valora y reconoce las pirámides de Egipto como parte del patrimonio artístico y cultural. Pon a prueba tus competencias 56



– Visita la página librosvivos.net. Actividades 9, 16, 21 y 29. Síntesis de la unidad, Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

Conocimiento del propio proceso de aprendizaje (metacognición)

Hacer un seguimiento de los logros, los retos y las dificultades en el aprendizaje.

– Valora el nivel de aprendizaje alcanzado. Actividades de razonamiento y comunicación de la unidad


Social y ciudadana



Aprender a aprender

– Comprende el principio de Cavalieri y las justificaciones teóricas de algunos resultados de la unidad basadas en él. Epígrafes 2 y 3 – Conoce los diferentes cuerpos geométricos y sus elementos y los identifica y utiliza para resolver problemas de la vida cotidiana en diferentes contextos. – Desarrolla la visión espacial para resolver problemas con cuerpos geométricos. Toda la unidad, especialmente la sección de Un paso más


Unidad 12

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación del consumidor: actividad 52 • Educación para el medioambiente: actividades 53 y 55 y “Deme un ortoedro de leche”


MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: Medida Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO

Bibliográficos

– Unidad 8. Cuerpos geométricos SM

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida en el espacio • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – El local perfecto • Cuaderno de resolución de problemas I – Actividad 43: Un problema piramidal • Cuaderno de investigaciones matemáticas. 2.º de ESO – Arquitectura y cuerpos geométricos

Otros

Internet

SM

• DEL OLMO, M. A.; MORENO, M. F., Y GIL, F.: Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Síntesis, Madrid, 1993. www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad didáctica del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/2esomatmrd36 Unidad didáctica del proyecto CIDEAD:

Otros materiales


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Unidad 12

• Vídeo “Área y volumen”, de la serie Ojo matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida en España por Metrovideo España • Cuerpos geométricos que puedan rellenarse para comprobar las equivalencias entre los volúmenes • Decímetro cúbico desmontable, botellas, envases de cartón, etcétera


Sugerencias didácticas Entrada El texto elegido para introducir la unidad explica cómo se determina el caudal del río. Es un concepto bastante complejo, por lo que sería conveniente explicarlo utilizando dibujos. También habrá que recordar cómo se calcula el volumen de un prisma. Una vez que los alumnos hayan comprendido el concepto de caudal y el procedimiento de cálculo, el primer ejercicio propone su aplicación a un caso concreto. Para realizar el segundo ejercicio, los alumnos tendrán que recordar la equivalencia entre las unidades de volumen y las de capacidad. El mapa conceptual puede emplearse para una primera exploración no formal sobre los conceptos previos, permitiéndonos, mediante el diálogo con el grupo, hacernos una primera idea de qué recuerdan del curso pasado.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad pretende una primera aproximación al concepto de volumen. Los dos primeros apartados pueden resultar complicados para aquellos alumnos con más dificultades de visión espacial. Tras la realización de la actividad podemos asociar unas dimensiones a los cubos para que ellos relacionen con la medición del volumen. Por ejemplo, si la arista del cubo es de 1 centímetro, su volumen es de 1 centímetro cúbico, y el volumen del cuerpo será de tantos centímetros cúbicos como cubos contenga. 2. Esta actividad va en la misma línea que la anterior, de trabajar sobre el concepto de volumen, pero ahora en un contexto real. En su realización, los alumnos van a tener que examinar las relaciones de divisibilidad existentes entre las dimensiones del contenedor y las de la caja, y también realizar un dibujo. 3. Otra vez se insiste en el concepto de volumen como el número de veces que cabe un cubo en un cuerpo. Para la resolución del primer apartado se les puede indicar que hagan un dibujo. Al poner en común las respuestas conviene insistir en el hecho de que doble arista no supone doble volumen, y hacer una reflexión sobre la relación entre estas variables, ligadas mediante una potencia cúbica. Sobre este tema se vuelve en la actividad 7 del primer epígrafe. En el segundo apartado, muchos alumnos necesitarán cierta orientación. Podemos guiarles mediante dibujos hasta que concluyan que lo que tienen que buscar es el número cuyo cubo sea lo más parecido posible a 6.200. Podemos permitirles que utilicen la calculadora para hallar este número por tanteo. Para finalizar, si lo creemos conveniente, podemos establecer una analogía con la raíz cuadrada, y decirles que este número que han hallado es la raíz cúbica entera de 6.200. 4. La estimación siempre es un proceso complicado, sobre todo cuando no se tiene experiencia, como en su caso. Para la lata y el balón les indicaremos que consideren el ortoedro más pequeño en el que se pueden encerrar. En vez de considerar el tamaño de los dibujos, como indi-

ca el enunciado, puede ser interesante llevar a clase objetos reales y estimar su volumen a partir de la medida de sus dimensiones.

1. Ortoedros • Para que entiendan por qué cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la siguiente es muy útil el empleo de policubos. Si no se dispone de ellos, se pueden emplear dibujos en perspectiva. • Es muy útil el empleo de un decímetro cúbico de base desmontable que pueda llenarse con el agua de una jarra de 1 litro, para que vean la equivalencia entre el decímetro cúbico y el litro. Si no se dispone de uno, se puede construir con cartulina y, en vez de emplear agua, utilizar arena o serrín. • Para recordar estos conceptos les podemos pedir que dibujen en su cuaderno una escalera con 21 escalones. En el escalón superior colocarán el kilómetro cúbico y, descendiendo de tres en tres escalones, irán colocando las demás unidades. En la misma escalera colocarán las unidades de capacidad, partiendo de la equivalencia entre el decímetro cúbico y el litro, para que vean que el kilolitro coincide con el metro cúbico, y el mililitro, con el centímetro cúbico. • En cuanto al cálculo del volumen del ortoedro, es deseable trabajar de forma manipulativa llenando cajas con cubos más pequeños. Los alumnos no deben quedarse en el cálculo del volumen multiplicando las tres longitudes, sino que es importante que lleguen a la fórmula V = Abase ⋅ h. Para ello les pediremos que recubran con cubos la base y que después, en una esquina de la caja, coloquen cubos, unos sobre otros hasta alcanzar la altura.


1, 2 y 5

Medio

3, 4, 6 a 9 y 30 a 34

2. Volumen de un prisma y de un cilindro • Es conveniente que comprueben de un modo empírico el principio de Cavalieri, para lo que resultan útiles los cuerpos geométricos desmontables. Si no se dispone de ellos, se puede pedir a los alumnos que construyan en grupos un ortoedro, un prisma (por ejemplo, de base pentagonal) y un cilindro sin base superior, proporcionándoles nosotros los desarrollos planos adecuados para que los cuerpos tengan la misma altura y la misma superficie básica. Después comprobarán que tienen el mismo volumen rellenándolos con serrín o algún otro material.


10 a 12

Medio

13 a 16 y 35 a 39

Alto

40 y 41


Unidad 12

7


3. Volumen de una pirámide y de un cono • Se puede comenzar realizando la actividad 20 para que los alumnos comprueben por sí mismos la descomposición del prisma en tres pirámides. Sería conveniente proporcionarles los desarrollos ampliados y listos para recortar. • Otra manera de que comprendan que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma de igual base y altura es utilizar cuerpos geométricos rellenables. Con ellos también podrán comprobar la igualdad de volúmenes del cono y la pirámide de igual base y altura. Tal como se ha dicho anteriormente, si no se dispone de este material, se puede construir con los alumnos. • En aquellos ejercicios en los que tengan que calcular la altura a partir de la apotema de la pirámide o de la generatriz del cono empleando el teorema de Pitágoras será necesario que empleen la calculadora.


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Medio

18 a 21

Alto

43 a 45

4. Volumen de una esfera y de cuerpos compuestos • Sería muy interesante realizar la comprobación experimental de la fórmula del volumen de la esfera que viene en el epígrafe, para lo cual se necesita un vaso cilíndrico graduado. Se puede realizar a modo de experiencia magistral o bien organizar su realización en grupo por los alumnos. • Antes de comenzar a calcular volúmenes de cuerpos compuestos, conviene realizar alguna actividad de síntesis de todo lo aprendido, como, por ejemplo, organizar en una tabla las fórmulas de volumen de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas. Aunque hemos insistido en su deducción razonada, también es importante que memoricen las fórmulas.


22

Medio

23 y 47

Alto

49. El propósito del problema es analizar la relación entre el diámetro y el volumen de la esfera. Tiene bastante dificultad porque al ser un problema sin datos numéricos exige trabajar con expresiones algebraicas, para lo que la mayoría de los alumnos necesitarán ayuda. Conviene que les orientemos a utilizar índices de variación para expresar las variaciones porcentuales. 50. Este problema no exige cálculos complejos, pero sí cierto esfuerzo en el razonamiento y la argumentación. Sería interesante disponer de probetas graduadas similares a las del problema o, si no, al menos utilizar recipientes cilíndricos y cónicos e ir llenándolos para que los alumnos observen la velocidad con que sube el nivel del agua, constante en el cilíndrico y decreciente en el cónico. 51. Esta actividad tiene el valor añadido de precisar la toma de medidas y utilizar la escala para obtener los datos necesarios para el cálculo del volumen. A algunos alumnos les resultará difícil visualizar la piscina dividida en prismas de base triangular; podemos ayudarles haciendo un boceto tridimensional de la piscina o bien pidiéndole que lo haga a algún alumno que tenga facilidad. 52. Se revisa aquí el concepto de proporcionalidad. Se trata de una actividad sencilla, pues solo requiere el cálculo del volumen de los listones, que son ortoedros, y después calcular las razones precio/cm3. 53. La actividad trabaja la competencia en la interacción con el mundo físico. Desde el punto de vista matemático es una actividad sencilla: primero tienen que calcular el volumen del cilindro utilizando los datos de la ilustración, y después, dividir la cilindrada entre el volumen calculado. 54. Es un problema sencillo en el que únicamente tienen que restar los volúmenes de los cilindros exterior e interior. Se puede sacar más partido a la actividad estudiando la expresión algebraica que resulta de la resta de los volúmenes y extrayendo los factores comunes. Llamando R al radio exterior y r al interior, se tendría: V = πR2h = πr2h = π(R2 – r2)h, expresión que se corresponde con el producto del área de la corona circular por la altura, y que nos da una forma más sencilla de calcular el volumen de un tubo hueco. 55. Esta actividad, que matemáticamente solo exige el cálculo de volúmenes, puede dar pie a una reflexión sobre eficiencia energética, un aspecto importante en la educación ambiental.

24, 25 y 46

Pon a prueba tus competencias Actividades de consolidación y aplicación Además de las actividades que ya se han sugerido en cada epígrafe, se proponen otras agrupadas en la sección “Un paso más”. 48. Esta actividad es bastante compleja. Los alumnos tienen que calcular el área de un sector circular y relacionarla con la fórmula πrg para obtener el radio. Después tienen que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura a partir de la generatriz y el radio. 8

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56. Las grandes pirámides de Egipto En esta actividad se trabaja especialmente la competencia cultural y artística, al fomentar que los alumnos conozcan y valoren más las pirámides de Egipto y también que aprecien la geometría como elemento de la cultura presente en todas las civilizaciones a lo largo de la historia. Para agilizar la actividad conviene que los alumnos realicen los cálculos con la calculadora. El primer apartado analiza cómo varía el volumen de una pirámide al duplicarse el lado de la base y la altura.


En el segundo apartado vuelve a analizarse la relación entre el volumen y las dimensiones de las pirámides, esta vez en el contexto de una reproducción a escala. El tercer apartado hace mención a Herodoto, lo que nos sirve para hacer ver a los alumnos que las matemáticas han sido cuestión de interés para los estudiosos de diferentes ámbitos a lo largo de los siglos. Podría ser interesante pedir a los alumnos que amplíen información sobre este historiador. Para finalizar se examina un aspecto que no se ha tratado a lo largo de la unidad, el ángulo que forman las caras y las bases, y su dependencia de la arista básica y de la altura de la pirámide. 57. Aprovechamiento del espacio Esta actividad analiza distintas disposiciones de envases. En la segunda parte del primer apartado es posible que algunos alumnos piensen que pueden determinar la longitud del lado BC a partir del diámetro, igual que han hecho con AB y AC. Tenemos que indicarles que observen cuidadosamente para que se den cuenta de que existen tramos ligeramente inferiores al diámetro, y que para calcular de forma exacta la medida hay que aplicar el teorema de Pitágoras. En el segundo apartado se analizan dos aspectos diferentes a tener en cuenta a la hora de elegir un empaquetado: por un lado, el aprovechamiento del volumen disponible y, por otro, la superficie de cartón necesaria para construir las cajas. Este apartado debe conducir a la conclusión de que empleando envases en forma de ortoedro se aprovecha el volumen al máximo. Para finalizar se puede establecer una reflexión general sobre la importancia del almacenaje en logística.

Autoevaluación Las actividades de “Autoevaluación” son un medio de trabajar la competencia de aprender a aprender, en las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Se puede elaborar una ficha para que resuman los resultados de la autoevaluación de cada unidad, en la que se

indiquen, para aquellos ejercicios que hayan hecho mal, el apartado y las actividades del libro que deben repasar. También puede utilizarse como actividad de coevaluación, resolviendo cada uno la suya y después intercambiándola con un compañero para su corrección.

Aprende a pensar... con matemáticas Se presentan aquí dos tipos de grafos de los poliedros regulares: primero, los grafos usuales a los que están acostumbrados, que utilizan la perspectiva para conseguir dar sensación de volumen, y a continuación, los llamados mapas planos, que son grafos en los que las aristas no se cortan. Para dibujar el mapa plano de un poliedro regular, miramos de frente a una cara, y dibujamos la cara o vértice que veamos en el interior de la cara opuesta. Luego dibujaremos aristas desde el objeto central uniendo los vértices que estaban unidos en el poliedro original. Podrán entenderlo mejor si asignan una letra a cada vértice.

Síntesis de la unidad Es importante que los alumnos elaboren de forma personal sus esquemas. Por ello, partiendo del esquema-resumen del libro, se les puede pedir que elaboren uno que contenga únicamente las ideas clave. En cuanto a las unidades de volumen y capacidad, puede bastar con la idea de que cambian de 1.000 en 1.000 y con la equivalencia entre decímetro cúbico y litro. En cuanto a los volúmenes, convendría presentar la información de modo que se haga evidente que se emplea la misma fórmula para prisma y cilindro y para pirámide. Puede ser interesante que añadan al esquema las fórmulas de las áreas estudiadas en la unidad anterior. Una idea para que memoricen las fórmulas es que fabriquen tarjetas para repasar, que tengan por un lado el dibujo de la figura geométrica con sus dimensiones identificadas mediante letras, y por el otro, las fórmulas para el cálculo del área y del volumen.



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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que el alumnado debería alcanzar son: • Distinguir los conceptos de capacidad y de volumen. • Recordar las fórmulas básicas de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. Es importante comenzar trabajando con los cambios de unidades y la transformación de unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa. Hay que intentar que, a la hora de recordar fórmulas, se den cuenta de que a partir de una sencilla (volumen = área de la base × altura) y conocidas las áreas de los polígonos y del círculo, podemos ir obteniendo el resto de las fórmulas con ligeras variaciones y sin memorizar. Algún alumno puede presentar dificultades por falta de visión espacial, por lo que es recomendable tener a mano una colección de cuerpos geométricos sobre los que podamos indicar qué es la altura, el radio o la generatriz, y hacerles ver que, por ejemplo, cuando tumbamos un cilindro, la altura pasa de verse verticalmente a verse horizontalmente, y que no por eso deja de ser la altura. Aunque siempre es importante tener soltura a la hora de operar, en esta unidad podemos sacrificar este aspecto para incidir más en el proceso y en la aplicación correcta de la fórmula, por lo que sería conveniente que empleasen la calculadora y aprendiesen su uso correcto.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción de cuerpos geométricos Partiendo del desarrollo sobre cartulina de distintos cuerpos geométricos (prisma, pirámide, cilindro y cono), los alumnos pueden construirlos de manera que vayan familiarizándose con las caras, las aristas, el radio, la base y las distintas medidas que luego necesitarán a la hora de realizar los cálculos. Así, al acabar esta actividad, cada uno dispondrá, además, de los cuatro cuerpos geométricos básicos, muy útiles a la hora de resolver problemas.


4. Por un razonamiento análogo al anterior, se deduce que se trataría de la carrera de “octavo de litro”.

•

5. V = l2 ⋅ h = 25 ⋅ 8 = 200 cm3

h ap

6. V = πr2 ⋅ h = 25 ⋅ 8 = 200 cm3

•

En el prisma no hay confusión, ya que la altura del mismo coincide con la de sus caras; en este caso, la apotema designa el segmento que une el centro de la base regular con la mitad de un lado. 2. La altura es h =

V 256π = =16 cm. πr 2 16π

1 6⋅ 3,46 7. El volumen es V = ⋅ ⋅10 = 34,6 cm3. 3 2

ap

h

• •

•

3. Si un litro son 1.000 cm 3, un cuarto de litro serán 250 cm3; es decir, esta expresión se refiere a la carrera de 250 cm3.

En la pirámide, la altura de la cara lateral se denomina “apotema de la pirámide” y nos permite no confundir “alturas”. 8. Tienen el mismo volumen.


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1. Dibuja en el prisma de base pentagonal su altura y la apotema de una de sus bases.

2. Traza la altura en el siguiente cilindro. Calcula su valor sabiendo que el radio de la base mide 4 cm y el cilindro tiene un volumen de 256π2 cm3.

3. En el motociclismo se usa alguna vez la expresión “la carrera del cuarto de litro”. Dicha expresión hace referencia a la capacidad del cilindro o de los cilindros de la moto. Como puedes imaginar, el cilindro de la moto recibe su nombre precisamente por su forma. Si suponemos que estas motos solo tienen un cilindro, ¿cuál sería el volumen del mismo? 4. ¿Qué denominación se dará entonces a la carrera de 125 cm3? 5. ¿Cuál es el volumen de un prisma de 8 centímetros de altura y de base cuadrada de 5 centímetros de lado? 6. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de 8 centímetros de altura cuya base tiene un área de 25 centímetros cuadrados? 7. Dibuja con precisión en la pirámide de base hexagonal su altura y la de una de las caras, y determina su volumen si su altura es de 10 cm y su base tiene de lado 4 cm.


8. ¿Qué figura tiene más volumen, un cono de 20 centímetros de altura y cuya base mide 8 centímetros de radio, o una pirámide de base cuadrada de 8 centímetros de lado y 62,80 centímetros de altura?


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación, y otras, de curiosidades matemáticas. Damos por hecho que el alumnado que realice estas actividades domina las bases de la geometría y del cálculo, por lo que insistiremos en menor medida en la comprobación de las operaciones y en la aplicación de las fórmulas, priorizando, en este caso, la observación del proceso mental desarrollado por el alumnado hasta llegar a la solución. Se trata, en definitiva, de comprobar su capacidad de razonamiento y de obtener resultados usando caminos diferentes a los expuestos en clase.

ACTIVIDAD DE GRUPO Se proporcionarán a estos alumnos distintos objetos y se les pedirá que hallen sus respectivos volúmenes. Este simple hecho supone en algunos casos un problema nuevo y de difícil solución, ya que, por lo general, los alumnos están acostumbrados a trabajar con enunciados de problemas o dibujos de cuerpos geométricos, pero no con los objetos de la realidad. Por ejemplo, calcular el volumen de un balón cuyo radio es de 15 centímetros no supone ninguna dificultad para este tipo de alumnado, pero darles el balón y una regla y preguntarles su volumen puede resultar un pequeño quebradero de cabeza a la hora de obtener el radio con precisión. Lo mismo puede ocurrir con otros objetos, como conos y pirámides, y la obtención de la altura de los mismos, ya que lo inmediato es hallar, no la altura, sino la apotema.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. No será posible establecer esta equivalencia con recipientes cuyas paredes sean muy gruesas.

5. No obtendrías el mismo volumen; en este caso, el volumen es de 954,92 cm3.

2. Por inmersión, tal y como hizo Arquímedes, recogiendo el líquido desplazado por el cuerpo sumergido y midiendo el volumen de este en una probeta.

6. Esta actividad se basa en la primera. El volumen total de la esfera referida resulta ser de 33.510,32 cm3; si el grosor del recipiente esférico fuera despreciable, la capacidad sería de 33.510,32 mL o de 33,51 L; pero como no es así, la capacidad del mismo se reduce a 4.188,79 cm3 o a 4,18 L.

3. La fórmula sigue siendo válida, pero hay que tener cuidado al tomar la altura: • •

•

•

Obsérvese que al reducir el espacio interior a la mitad (el radio externo es de 20 cm, frente al interno, que es de 10 cm), la capacidad se reduce a ¡¡¡la octava parte!!!

10 cm 20 cm

4. 1.432,39 cm3


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1. En general, establecemos la equivalencia entre volumen y capacidad así: 1 decímetro cúbico = 1 litro

o

1 metro cúbico = 1.000 litros

o

1 centímetro cúbico = 1 mililitro

Definimos volumen de un cuerpo como la cantidad de espacio que ocupa, y capacidad, como la cantidad de líquido que puede contener un recipiente de un determinado volumen. Sin embargo, ¿se te ocurre algún caso en el que esta equivalencia no sea posible? 2. Hasta ahora has trabajado con cuerpos geométricos muy concretos, pero en la naturaleza y a tu alrededor la mayoría de los objetos no tienen una forma geométrica sencilla o bien son totalmente irregulares, a pesar de lo cual siguen teniendo volumen, ya que ocupan un cierto espacio. ¿Cómo podrías hallar el volumen de estos cuerpos? (Pista: Seguro que cuando lo averigües exclamas: “¡Eureka!”). 3. Está claro que en un prisma recto el volumen es: área de la base × altura; sin embargo, ¿cómo crees que será el volumen en un prisma oblicuo?

Prisma recto

Prisma oblicuo

4. Tienes una cartulina de 30 centímetros de largo por 20 centímetros de ancho y la enrollas para formar un cilindro tal y como indica la figura. ¿Cuál será el volumen del cilindro obtenido?

20 cm

20 cm

30 cm

5. ¿Obtendrías el mismo volumen si enrollases el cilindro anterior en el otro sentido, es decir con una altura de 30 cm?


6. ¿Cuáles son el volumen y la capacidad de una esfera hueca de 10 centímetros de grosor y 20 centímetros de radio?


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APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Un prisma cuya base mide 25 centímetros cuadrados tiene una altura de 15 centímetros. ¿Cuál es su volumen? 2. ¿Cuál es el volumen de un prisma de base hexagonal de 10 centímetros de lado y 35 centímetros de altura? 3. ¿Cuánto mide el lado de una pirámide de base cuadrada de 192 decímetros cúbicos de volumen y 90 centímetros de altura? 4. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de 45 centímetros de radio y 5 metros de altura? 5. Un cilindro tiene un volumen de 33.689 cm3 y mide 6 centímetros de altura. ¿Cuál es el radio de su base? 6. ¿Cuál debe ser la altura de un cono de 1 litro de capacidad si deseamos que dicha altura coincida con el diámetro de la base? 7. ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos de una esfera de 1,8 decímetros de radio? 8. ¿Cuál es el volumen de una esfera cuya superficie mide 1 metro cuadrado? 9. ¿Cuál es el grosor de un CD si su diámetro es de 12 centímetros y una caja que contiene 25 discos compactos tiene un volumen de 1.980 centímetros cúbicos? 10. Un obelisco de base cuadrada y 2,5 metros de lado mide 15 metros de altura. ¿Cuál es su volumen si la altura de la parte piramidal es la mitad de la altura de la parte prismática?


11. ¿Qué cantidad de aluminio se necesita para fabricar una esfera hueca de metro y medio de diámetro y 30 centímetros de grosor, si un centímetro cúbico de aluminio pesa 2,7 gramos?

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Propuesta de evaluación


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SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. V = Abase ⋅ h = 25 ⋅ 15 = 375 cm3 2. Apotema de la base: a= 100−25 = 75 = 8,66 cm. Área de la base: Abase = Vprisma = Abase ⋅ h = 259,8 ⋅ 35 = 9.093,266 cm3

p ⋅ a 6⋅10⋅ 8,66 = = 259,8 cm2 2 2

3Vpirámide 1 1 3⋅192 3. Vpirámide = Abase ⋅ h = l2 ⋅ h ⇒ l = = = 8 dm = 80 cm 3 3 h 9 4. Vcilindro = π ⋅ r2 ⋅ h = 3,14 ⋅ 0,452 ⋅ 5 = 3,18 m3

2 5. Vcilindro = π ⋅ r ⋅ h ⇒ r =

6. Vcono =

3.369 v = =13,37 cm 314 , ⋅6 π⋅h

3V 3⋅1.000 π ⋅ r 2 ⋅ h π ⋅ r 2 ⋅2r = ⇒ r = 3 cono = 3 = 7,81 cm 3 3 2π 314 , ⋅2

Por tanto, la altura h = 2 ⋅ r = 15,62 cm 4 4 , ⋅183 = 24.416,64 cm3 7. Vesfera = πr 3 = ⋅ 314 3 3 4 Vesfera = πr 3 3 8. A Aesfera = 4πr 2 → r = esfera = 0,28 4π 9. Vcilindro = π ⋅ r 2 ⋅ h ⇒ h =

Vcilindro π⋅r 2

=

⎪⎫⎪ ⎪⎪ 4 ⎪ , ⋅0,283 = 0,092 cm3 ⎬ ⇒Vesfera = ⋅ 314 ⎪⎪ 3 ⎪⎪ ⎪⎭

1980 =17,52 cm 314 , ⋅6 2

Como hay 25 CD, el grosor del CD mencionado es de

h 17,52 = = 0,7 cm = 7 mm. 25 25

10. Parte prismática: Altura h = 10 m Vprisma = Abase ⋅ h = 2,52 ⋅10 = 62,5 m3 Parte piramidal: Altura h = 5 m

1 1 Vpiramide = Abase ⋅ h = 2,52 ⋅5 =10,416 m3 3 3 Por tanto, el volumen total del obelisco es: Vtotal = 62,5 + 10,42 = 72,92 m3 4 4 11. Esfera grande: r = 75 cm, luego Vesfera = πr 3 = ⋅ 314 , ⋅753 =177 , ⋅106 cm3 3 3 4 4 Esfera pequeña: r = 45 cm, luego Vesfera = πr 3 = ⋅ 314 , ⋅ 453 = 3,82⋅105 cm3 3 3 Volumen del casquete esférico: Vcasquete = 1,77 ⋅ 106 + 0,382 ⋅ 106 = 1,39 ⋅ 106 cm3 Cantidad de aluminio: 1,39 ⋅ 106 ⋅ 2,7 ⋅ 10−3 = 3.753 kg


Unidad 12

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Unidad 12 Volumen de cuerpos geométricos

Matemática





Medio natural y desarrollo sostenible Social y ciudadana

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos Cultural y artística

Expresión artística Cultural y artística

Patrimonio cultural y artístico Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información Aprender a aprender


DESEMPEÑO

DESCRIPTOR Interpretar y expresar con claridad informaciones, argumentaciones y datos utilizando vocabulario matemático.

– Comprende el principio de Cavalieri y las justificaciones teóricas de resultados de la unidad basadas en él.


– Conoce los diferentes cuerpos geométricos y sus elementos, y los identifica y utiliza para resolver problemas de la vida cotidiana en diferentes contextos. – Desarrolla la visión espacial para resolver problemas con cuerpos geométricos. Toda la unidad, especialmente Un paso más

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Identificar preguntas o problemas relevantes sobre situaciones reales o simuladas.

Epígrafes 2 y 3

– Entiende que los procesos de almacenaje requieren de una reflexión científica y son básicos para la economía. Desarrolla tus competencias, 2 y lateral Pon a prueba tus competencias, 57

Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

– Entiende el concepto de caudal de una corriente y comprende cómo se puede ver afectada por la actividad humana.

Conocer y comprender los valores de la democracia, sus fundamentos, organización y funcionamiento.

– Reconoce los sistemas de unidades como un ejemplo de cooperación internacional.

Tener iniciativa, imaginación y creatividad para expresar ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos.

– Construye o analiza cuerpos geométricos a partir de su desarrollo plano.

Conocer las instituciones, manifestaciones y obras del patrimonio cultural, y mostrar el interés por participar en la vida cultural.

– Valora y reconoce las pirámides de Egipto como parte del patrimonio artístico y cultural.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Hacer un seguimiento de los logros, los retos y las dificultades en el aprendizaje.

Texto y actividades de entrada

Epígrafe 1

Actividades 20 y 34

Pon a prueba tus competencias, 56

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 9, 16, 21 y 29. Síntesis. Autoevaluación

– Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

– Valora el nivel de aprendizaje alcanzado. Actividades de razonamiento y comunicación de la unidad





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ESO

SOLUCIONARIO

2

Guia 2o Secundaria Matematicas

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