INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE APATZINGAN
MATERIA: MATEMÁTICAS
UNIDAD: III CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
NOMBRE DEL MAESTRO: DAVID MORENO ESQUIVEL
NOMBRE DEL ALUMNO: CERVANTES PEÑALOZA NAYELI
04/NOVIEMBRE/2010
3.
1 CURVAS EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES
Una curva plana es un conjunto de pares ordenados junto con sus ecuaciones paramétricas y donde y son funciones continuas de en un intervalo . Esta definición puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curva en el espacio es un conjunto de todas las ternas ordenadas junto con sus ecuaciones paramétricas y donde son funciones continuas de en un intervalo . Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de función asigna vectores a números reales.
Definición de función vectorial Una función de la forma
(plano) o (espacio) es una función vectorial, vectorial, donde las funciones componentes , y son funciones del parámetro . Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como 〈 〉 o 〈 〉. Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por y
tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras. Hay que asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales , y . Todas son funciones de la variable real , pero es un vector, mientras que , y son números reales (para cada valor específico de ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro , que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector de posición
3.
1 CURVAS EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES
Una curva plana es un conjunto de pares ordenados junto con sus ecuaciones paramétricas y donde y son funciones continuas de en un intervalo . Esta definición puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curva en el espacio es un conjunto de todas las ternas ordenadas junto con sus ecuaciones paramétricas y donde son funciones continuas de en un intervalo . Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de función asigna vectores a números reales.
Definición de función vectorial Una función de la forma
(plano) o (espacio) es una función vectorial, vectorial, donde las funciones componentes , y son funciones del parámetro . Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como 〈 〉 o 〈 〉. Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por y
tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras. Hay que asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales , y . Todas son funciones de la variable real , pero es un vector, mientras que , y son números reales (para cada valor específico de ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro , que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector de posición
coincide con el punto o de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura. La punta de la flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t . A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes , y . Por ejemplo, el dominio de es el intervalo (0,1].
√
EJEMPLO 1. TRAZADO DE UNA CURVA PLANA Dibujar la curva plana representada por la función vectorial ,
Solución. A partir del vector de posición , se pueden dar las ecuaciones paramétricas cos t y sent y y Despejando utilizando la identidad se obtiene la ecuación rectangular La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura. La curva está orientada en el sentido de las manecillas del reloj . Es decir, cuando t aumenta de 0 a 2π, el vector de posición se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse.
EJEMPLO 2. TRAZADO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial ,
Solución. De las dos primeras ecuaciones paramétricas se obtiene
y ,
Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z . Para localizar este cilindro en la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica . A medida que t crece de 0 a 4π, el punto sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. hélice.
En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, su representación por medio de una
función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por
se usa simplemente la función vectorial dada por
Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar aun conjunto de ecuaciones paramétricas. EJEMPLO 3. REPRESENTACIÓN
DE UNA GRÁFICA MEDIANTE UNA FUNCIÓN
VECTORIAL
Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide , . Después, hallar una función vectorial que y el cilindro parabólico represente la gráfica.
Solución. En la figura se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el ejemplo 3, una opción natural para el parámetro es . Con esta opción, se usa la ecuación dada para obtener . Entonces . Como la curva se encuentra sobre el plano xy, hay que elegir para z la raíz cuadrada positiva. Así se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes.
x=t, y La función vectorial resultante es
,
(función vectorial) De los puntos (-2,4,0) y (2,4,0) que se muestran en la figura, se ve que la curva es trazada a medida que t crece de -2 a 2.
NOTA: Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersección de dos superficies en el espacio.
3.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función
Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodosconocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x =1, usamos dos conjuntos de valores x , uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestralos correspondientes valores de f (x ). x se acerca al 1 por la izquierda x
0,9
f ( x )
2,71
0,99
0,999
2,9701 2,997001
f (x ) se acerca al 3
x se acerca al 1 por la derecha
1 ¿?
1,001
1,01
3,003001 3,0301
1,1 3,31
f (x ) se acerca al 3
La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f , factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f (x ) se aproxima arbitrariamente
a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f (x ) cuando x tiende a a es L, y escribimos Definición de límite de una función Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f (x ) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una
, si para tal que
si entonces Esta definición indica que los valores de f (x ) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a , si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a . En la definición no se menciona nada acerca del valor de f (x ) cuando x = a ; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista. Ejemplos 1. 1) Utilicemos la definición para demostrar que Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier si si
entonces
si
entonces
si
entonces
Entonces, si tomamos Tomando
,
existe una
entonces
tal que (A)
se cumple la proposición (A). Esto demuestra que luego, para esos valores de y
los números
x que pertenecen al intervalo abierto
verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene: entonces Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x .
2) Demostrar usando la definición de límite que Como la funciónestá definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto, si
entonces
si
entonces
si
entonces
si
entonces
si
entonces
(B)
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, entonces,
por lo tanto,
se obtiene que, si
entonces
De la proposición (B) Si tomamos
se cumple
la proposición (B), lo que demuestra que Ejercicios propuestos 1. Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado. 1) 2) 3) 4) Con la finalidad de calcular los límites de funcionesde una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10. Teorema 1. Límite de una función lineal. Sea entonces
Ejemplo 2.
donde m y b son dos números reales cualesquiera y,
Teorema 2. Límite de una función constante. Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces
Ejemplo 3.
Teorema 3. Límite de una función identidad. Sea
, entonces
Ejemplo 4.
Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones. Si
y
, entonces
Ejemplo 5.
Sean,
y
entonces, y
Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones. Si
entonces:
Teorema 6. Límite del producto de dos funciones. Si
y
, entonces
Ejemplo 6.
Sean,
y
entonces,
Teorema 7. Límite del producto de n funciones.
Si
entonces
Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función. Si
y n es cualquier número entero positivo, entonces
Ejemplo 7.
Sea, entonces, Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones. Si
y
, entonces
Ejemplo 8.
Sean, y entonces, Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función. Si n es un número entero positivo y
, entonces
con la restricción que si n es par, L > 0. Ejemplo 9.
Sea,
entonces
Teorema 12. Límite del logaritmo de una función. Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y
Ejemplo 10.
Calcule: aplicando el teorema 2.12. Apliquemos el teorema exigido:
entonces
Sin aplicar el teorema: Teorema 11. Unicidad del límite de una función. Si y entonces, Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único. Infinitésimo La función f es un infinitésimo en el punto a si y sólo si Ejemplos 10.
1) La función f (x ) = x es un infinitésimo en 0 pues 2) La función g (x ) = x – 1 es un infinitésimo en 1 porque 3) La función h (x ) = sen x es un infinitésimo en 0 ya que 4) La función m (x ) = 4-2x es un infinitésimo en 2 pues 5) La función r (x ) = cos x es un infinitésimo en porque Infinitésimos equivalentes. Dos infinitésimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el límite de su cociente es la unidad.
Cuando en un límite, un infinitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitésimo equivalente. La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al infinitésimo de menor orden. Infinitésimos más frecuentes en 0.
Ejemplos 11.
1)
2)
3)
4) Ejercicios propuestos 2. Calcule los siguientes límites: 1)
2)
6)
3) 8)
11) Límite por la izquierda.
4)
5)
9)
10)
12)
13)
Sea f definida en cada número del intervalo abierto El límite de f (x ), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe una
si para cualquier tal que
si Límite por la derecha.
sin importar que tan pequeña sea, existe entonces
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto El límite de f (x ), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe una
si para cualquier tal que si
sin importar que tan pequeña sea, existe entonces
Teorema 12. El existe y es igual a L, si y sólo si, iguales a L.
y
existen y son
Funciones que crecen sin límite Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a , excepto posiblemente en a mismo. La función f (x ) crece sin límite, cuando x se aproxima al número a , lo cual se escribe existe una tal que: si
si para cualquier N > 0
entonces f (x ) > N
Ejemplo 13.
Supongamos que f es la función definida por función se muestra en la figura siguiente.
La gráfica de esta
El comportamiento de la función f es que crece sin límite cuando x se acerca al número cero por la izquierda o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el límite de f (x ) es menos infinito cuando x tiende al número 0, lo que se indica mediante la siguiente notación: Funciones que decrecen sin límite. Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a , excepto posiblemente en a mismo. La función f (x ) decrece sin límite, cuando x se aproxima al número a , lo cual se escribe 0 existe una tal que si Ejemplo 14.
entonces f (x ) < N
si para cualquier N <
Supongamos que f es la función definida por la ecuación de f se muestra en la figura siguiente.
La gráfica
A partir de la gráfica se observa que el comportamiento de la función f es que decrece sin límite cuando x se acerca a "0" por la izquierda o por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el límite de f (x ) es menos infinito cuando x tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera:
Ahora consideremos la función h definida por la ecuación de h se presenta en la figura 4.
La gráfica
El comportamiento de h cuando x se acerca al número 1 por la izquierda es diferente a su comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha. Cuando se acerca al 1 por la izquierda h (x ) decrece sin límite, mientras que cuando x se acerca al 1 por la derecha h (x ) crece sin límite. Estos comportamientos de h lo escribimos de las siguientes maneras: y Ejemplos 15.
Determine el límite analíticamente y apoye la respuesta trazando la gráfica de la función. 1) Solución: La gráfica de la función
es mostrada a continuación.
En la gráfica se observa que cuando x se acerca al número 2 por la derecha g (x ) crece sin límite. 2) Solución
La gráfica de la función
es mostrada en la figura 6.
Observemos que f (x ) decrece sin límite cuando x se acerca al 0 por la izquierda. 3) Solución:
La gráfica de la función
se muestra en la figura 7:
Observando la gráfica podemos verificar que cuando x se acerca al número -2 por la derecha, f (x ) decrece sin límite. Límites indeterminados. Los límites indeterminados que estudiaremos en éste capítulo son: La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales que función
tiene la forma indeterminada
y
entonces la
en a .
La manera de resolver los límites indeterminados dos:
será explicada mediante
Ejemplos 16.
1) Calcular Se tiene que
y
entonces,
Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así:
Por lo tanto, 2) Calcular Aquí tenemos: y luego, En éste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada de
dicha conjugada es:
luego se resuelve el límite resultante, así:
Por lo tanto, La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales que
y
entonces la
función es indeterminada con la forma La forma de resolver éstos límites será explicada mediante dos ejemplos. Ejemplos 17
1. Calcular Es evidente que
y
por lo tanto,
Para resolver éste límite dividimos el numerador y el denominador entre la x de mayor exponente, así:
Por lo tanto, 2) Calcular En este caso
entre
y
, por lo tanto,
Para resolver, dividamos el numerador y el denominador pues éste es la potencia de x de mayor exponente, así:
Por lo tanto, La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales que función es indeterminada de la forma límites será explicado con ejemplos.
y
entonces la La manera de resolver éstos
Ejemplos 18
1) Calcular Como y entonces, resolver éste límite racionalizamos, así:
Para
Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x , así:
que se
Por lo tanto, 2) Calcular Como: y entonces, Para resolver éste límite racionalizamos, así:
El límite se transformó en otro indeterminado de la forma que se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que en el caso que nos ocupa es así:
Por lo tanto, Teorema 23. Teorema de estricción o del encaje . Si
para todo x en un intervalo abierto que contiene a a ,
excepto en el propio a y si Ejemplo 2.19.
entonces
Sean f , g y h las funciones definidas por Las gráficas de estas funciones están trazadas en la figura 8.
y
Las gráficas de h , f y g son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres funciones están definidas en x = 3. También se observa que Además,
y
Por lo
tanto, de acuerdo al teorema de estricción Ejercicios propuestos 3 Calcule los siguientes límites. 1)
2)
3)
4)
5) 6)
recuerde que:
7) 8)
recuerde que: 9)
10)
11) 12) 13) Dadas las funciones indicadas, calcule el límite señalado si existe, sino existe establezca la razón.
14)
15) Utilice el teorema de estricción para determinar el límite. 16)
si
17) 18)
para toda x dado que
dado que
para toda x en el intervalo para toda x en el intervalo
Continuidad de una función. Función continua en un número. Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente: i. f (a ) existe; ii.
existe;
iii. Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a , entonces se dice que la función f es discontinua en a . Ejemplos 20.
1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.
La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x = 2, por lo tanto, f (2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que existe y es igual a 4. Veamos si esto es cierto:
Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero existe, se dice que f presenta una discontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que la nueva función es continua en a . Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial. La discontinuidad de la función es removible, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente función:
La función F es continua en 2, puesto que, y 2) Sea g la función definida por mostrada en la figura 10.
La gráfica de la función es
La gráfica de g se rompe en el punto donde definida en dicho punto. Además,
pues la función no está y
luego,
no existe. Por lo tanto, i)
no está definida.
ii)
no existe.
Entonces, la función g es discontinua en
y la discontinuidad es esencial
porque no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad infinita. 3) Sea h la función definida por
La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura:
Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2. i) g (2) = 3 ii) y , por lo tanto, no existe. Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial. 3.3 DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL r ´ t lím t 0
r t t r t t
Para todo t en que el límite exista. Si r´ (c) existe, se dice que r es derivable en c. Si r´ (c) existe para todo c en el intervalo abierto, se dice que r es derivable en el intervalo I. La derivilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados, considerando límites laterales. Aparte de la notación anterior se emplean otras notaciones para representar la derivada de una función vectorial. Tal como se muestran a continuación: Dr t ,
d dt
r t ,
dr dt
La derivación de funciones vectoriales puede efectuarse componente a componente . Para convencerse de ello, basta considerar la función: y aplicar la definición de derivada, con r t f t i g t j lo que se obtiene:
3.4
3.4 INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES Sea R(u) = R1 (u)i + R2 (u)j + R3 (u)k un vector función de una sola variable escalar u, en donde R 1 (u), R2 (u), R3 (u), se suponen continuas en un intervalo dado. En estas condiciones:
Se llama integral indefinida de R(u).
Si existe un vector S(u) de forma que
se verifica que
en donde C es un vector constante arbitrario independiente de u.
La integral definida entre los límites de u = a y u = b es
Integración de funciones vectoriales Si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por: " r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k Ejemplo: Si R(t) = 6t2 i + 4e-2tj +8 cos 4tk Entonces " r(t) dt = [6t2 dt]i + [ " 4e-2t dt]j + [ "8 cos 4t dt]k
= [2t3 + c1]i + [-2e-2t +c2]j + [ "2 sen 4t + c3]k = 2t3i-2e-2tj + 2sen 4tk +C Ejercicios: 3.-r(t)=ti+ 2tj + cos tk, t "0 z y x 15.- r(t) = < t cos t - sen t, t + cos t =e2t (2t + 1)i + ½ e-2tj + 1/2et2k +C 3.5 LONGITUD DE UN ARCO En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b] , la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1) En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
(2) Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3) En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta. [editar] Deducción de la fórmula para funciones de una variable
Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b . Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx , de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx , y cada cociente incremental Δy i / Δx i se
transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
3.6 VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas. Vector tangente unitario r´ (t)T = r’ (t) /
Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra. Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia. Definición del Vector Tangente Unitario:
Sea c : [a , b] → R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los ordenes). Supongamos que c’(t) ≠ 0 para todo t. El vector Es tangente a c en el punto c(t) y puesto que │T(t) )│ = 1, T se denomina vector tangente unitario de c Ejemplo 1.Si
… c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)
Encontrar el vector tangente unitario. Solución:
.. c’(t) = (−2 sen t , 2 cos t, 1) Por lo tanto, el vector tangente unitario es: Definición de Vector Normal Principal (unitario):
Sea C una curva suave representada por c en un intervalo abierto I. Si T’(t) ≠ 0, el vector normal principal en t se define como: Ejemplo 2.Hallar el vector Normal principal para la hélice:
… c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) Solución: Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es:
T’(t) viene dada por: T’(t) = ( −2 cos t, −2 sen t, 0) Como
│T’(t) │ = = se sigue que el vector normal principal es:
N(t) = ½ (−2 cos t , −2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0) Consideremos un tercer vector: Definición de vector Binormal: El vector Binormal es un vector unitario perpendicular a T y a N definido por: B=THN
Ejemplo 3.Hallar el vector Binormal principal para la hélice: … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) Solución: B== Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoria Vector tangente unitario La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t). Vector normal unitario Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura. Vector binormal unitario El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.
3.7 CURVATURA La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto. ¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una
circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R) El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia). En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva. Torsión La curvatura de las curvas en el espacio (por ejemplo la hélice, cuya imagen es similar a un muelle) se define de manera similar (el radio será el de una esfera) a la curvatura de las curvas en el plano, pero en este caso la curvatura se llama torsión. La torsión mide la variación de la dirección del plano osculador. Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano mas próximo a la curva que pasa por ese punto. Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores (uno en cada punto). Curvatura de una superficie El concepto es similar. La curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto. En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos (este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales, pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva). Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz) la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura será máxima (igual a 1 / R, siendo R el radio de la circunferencia). Para calcular la curvatura en una dirección que forma un ángulo a con respecto a una de las direcciones de curvatura máxima o mínima, aplicamos la fórmula: ka = k1 cos2 a + k2 cos2 a Algunas superficies tienen algunos puntos en los que la curvatura, en ese punto, es la misma sea cual sea la dirección. Esos puntos se llaman puntos umbilicales. En la esfera todos los puntos son puntos umbilicales, el elipsoide con los tres ejes distintos, tiene 4 puntos umbilicales.
