Guia Matematicas 1 er Trimestre.pdf

BIBLIOTECA BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Matemáticas GUÍA DIDÁCTICA La guía didáctica Matemáticas 6, para sexto curso de Primaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana S antillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz . En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Antonio Almodóvar Almodóvar Herráiz Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán

ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina

EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Antonio Almodóvar Almodóvar Herráiz Herráiz

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

A I R A M I R P

Dirección de arte: José Crespo. Proyecto gráfico: Pep Carrió. Ilustración de portada: Leila Méndez. Jefa de proyecto: Rosa Marín. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Desarrollo gráfico: Raúl de Andrés y Jorge Gómez. Dirección técnica: Jorge Mira. Subdirección técnica: José Luis Verdasco. Coordinación técnica: Alejandro Retana. Confección y montaje: Luis Prieto, Jorge Borrego y Raquel Sánchez. Corrección: Cristina Durán y Nuria del Peso. Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas. Fotografías: F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/

J. Latova; EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; ICONOGRA FÍA; NASA/Jacques NASA/Jacques Descloitres, Descloitres, MODIS Land Rapid Response Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK; ARCHIVO SANTILLANA.

© 2015 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid PRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-680-1483-8 Depósito Legal: M-18624-2014 CP: 454649

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A l os legítimos usuarios de la mi sma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fi nes comerciales.

Dirección de arte: José Crespo. Proyecto gráfico: Pep Carrió. Ilustración de portada: Leila Méndez. Jefa de proyecto: Rosa Marín. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Desarrollo gráfico: Raúl de Andrés y Jorge Gómez. Dirección técnica: Jorge Mira. Subdirección técnica: José Luis Verdasco. Coordinación técnica: Alejandro Retana. Confección y montaje: Luis Prieto, Jorge Borrego y Raquel Sánchez. Corrección: Cristina Durán y Nuria del Peso. Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas. Fotografías: F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/

J. Latova; EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; ICONOGRA FÍA; NASA/Jacques NASA/Jacques Descloitres, Descloitres, MODIS Land Rapid Response Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK; ARCHIVO SANTILLANA.

© 2015 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid PRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-680-1483-8 Depósito Legal: M-18624-2014 CP: 454649

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A l os legítimos usuarios de la mi sma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fi nes comerciales.

Índice Así es el libro del alumno .................................. ..................... ........................ ........... 4 Así es la guía didáctica ......................... ............. ........................ ........................ ............ 8 El tratamiento de las las inteligencias múltiples múltiples .............. ............. . 10

Guiones didácticos Mapa de contenidos contenidos ........................... ....................................... ....................... ........... 12 Unidad 1. Números naturales. Operaciones .............. ............. . 14 Unidad Unidad 2. Potencias Potencias y raíz cuadrada cuadrada ....................... ......................... .. 32 Unidad Unidad 3. Números Números enteros enteros .......................... ..................................... ............. .. 50 Unidad Unidad 4. Divisibil Divisibilidad idad....................... ................................... ....................... ............. .. 68 Unidad Unidad 5. Fracciones. Fracciones. Operaciones Operaciones ...................... .......................... .... 86

Así es el libro del alumno El libro Matemáticas 6 consta de 12 unidades organizadas en tres bloques trimestrales. Además de las unidades, en cada trimestre podemos encontrar también: •

•

4 páginas de Tratamiento de la información (donde se trabajan los tipos de gráficos más importantes) y 2 páginas de Repaso trimestral (en las que se trabajan los contenidos más importantes del trimestre).

La estructura de cada unidad es la siguiente:

La doble página inicial

Números naturales. Operaciones

1

Lee, comprende y razona 1

¿Qué es un millón? ¿Cómo se escribe ese número? ¿Cuántas cifras t iene?

2

¿Cuál es el número mayor que conoces? ¿Cómo se lee? ¿Cuántas cifras tiene?

3

¿Puedes escribir otro número mayor que el número de la actividad 2? ¿Cómo lo haces? ¿Podrías escribir otro más grande t odavía?

4

EXPRESIÓN ORAL. En la Antigüedad creían que el número de estrellas en el cielo era incontable. ¿Qué crees que quería decir eso? ¿Puede haber una cantidad incontable?

5

Los números nos sirven para expresar cantidades. ¿Qué otros usos tienen? Pon ejemplos.

SABER HACER TAREA FINAL Elegir un presupuesto

Al final d e la unida d elegirá s el mejor presupuesto para un viaje. Antes, t rabajar ás con los números de más de siete cifras, las operaciones combinadas y los números romanos.

¿Qué sabes ya?

Números de hasta siete cifras

¿Cuántas estrellas hay en el cielo? Las estrellas se agrupan en galaxias, que son grupos de millones de estrellas junto con fragmentos de roca y gas. La estrella más cercana a nuestro planeta es el Sol y los dos están situados en una misma galaxia, que es la Vía Láctea.

CM

DM

UM

C

D

U

Suma

2

0

0

7

8

0

0

5806 1 2 4 7 9 8285

2.007.800

5 2

2.007.800

5 2.000.000 1 7.000 1 800

2.007.800 1

U. de millón

1 7

UM

1 8

C

3.604.059

7.186.002

7.200.000

9423 561 1862

2 7

Multiplicación

División

1 5 7 3 6 0 3 471 9420 94671

4 6 9 5 4 3 0 39 5 1 0 9 08

7.530.906

7.192.000

3 Calcula.

8.329 2

Resta

dos millones siete mil ochocientos

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

Por la noche, cuando miras el cielo, casi todo lo que puedes ver en el firmamento son estrellas que pertenecen a ella. Solamente en nuestra galaxia hay más de 200.000 millones de estrellas. Muchas de ellas son como nuestro Sol y otras incluso son más grandes y brillantes. Se cree que en el universo hay unos 100.000 millones de galaxias, así que el número total de estrellas del universo es un número enorme, mucho mayor de lo que puedas imaginar.

Operaciones con números naturales

U. de millón

316

3 273

Compara los números de la actividad 1 y contesta.

17.965

1

9.687

782

3 450

39.116

2

18.747

5.928 : 38

¿Cuál es el número mayor? ¿Y el menor?

20.347

2

865

22.863 : 56

1

4.516

7

6

.

.

Las unidades didácticas comienzan con una gran ilustración en la que aparece un escenario que introduce el tema de la lectura. En estas lecturas se presentan contextos reales interesantes para los alumnos, muchas veces introducidos a partir de una pregunta-título motivadora. A partir de la información de la lectura y de sus conocimientos previos, los alumnos deberán resolver las preguntas de Lee, comprende y razona. Es destacable dentro de estas preguntas el programa de Expresión oral, con el cual se persigue que los alumnos desarrollen al máximo su competencia lingüística. La Tarea final presenta a los alumnos el proyecto que resolverán al terminar la unidad y su relación con los contenidos que aprenderán. En ¿Qué sabes ya? se trabajan los contenidos y procedimientos más importantes que deben conocer los alumnos para abordar la unidad con éxito. Se les aportan ejemplos resueltos y se proponen distintas actividades.

4

Así es la guía didáctica La guía del profesor se presenta en tres volúmenes trimestrales con el fin de facilitar su uso. En ella se reproduce íntegramente el libro del alumno. Cada unidad está organizada del siguiente modo:


1

NÚMEROS Y OPERACIONES

SABER

Contenidos de la unidad

Relación de los materiales y recursos del proyecto para la unidad didáctica

Banco de recursos para la unidad

Contenidos de la unidad •

Números de hasta nueve cifras.

•

Operaciones con números naturales.

•

Operaciones combinadas.

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

RECURSOS DIGITALES

Programación didáctica de aula

Libromedia

•

•

•

•


Lectura, escritura, descomposición y comparación de números de hasta nueve cifras. Identificación del valor posicional de las cifras de un número de hasta nueve cifras.

•

•

•

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Elegir un presupuesto.

Láminas OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

•

Plan de mejora. Unidad 1.

•

Programa de ampliación. Unidad 1.

Cuaderno del alumno Primer trimestre. Unidad 1.

•

Solución de problemas. Método DECA

Proyecto del primer trimestre.

•

Fichas para el desarrollo de la inteligencia.

•

Manual de uso de la calculadora.

•

Operaciones y problemas.

ES000000000 1167454653_Cno_te

Asociación de enunciados con su resolución correspondiente.

•

Rúbrica. Unidad 1.

Recursos complementarios

Escritura de números del sistema decimal en el sistema romano y viceversa.

Identificación y aplicación de los pasos para resolver un problema.

Evaluación por competencias. Prueba 1.

•

•

Cálculo de operaciones combinadas con números naturales.

•

MATERIAL DE AULA

•

Proyectos de trabajo cooperativo

Aplicación de las propiedades de las operaciones de números naturales.

•

SABER HACER

LibroNet

Evaluación de contenidos. Unidad 1: pruebas de control B y A.

Enseñanzaindividualizada

Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales.

Unidad 1: actividades y recursos.

•

Recursos para la evaluación

Números romanos.

•

CUADERNO

Aprendizaje eficaz

07 0 ica s_ -1_2 9_ a temat 1 4 54 4 00 00 0 01 E S0 00

Técnicas de estudio y preparación de exámenes.

A I R A M I R P

s má t ica Ma te

s c i e

•

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Matemáticas Primer trimestre

s t re

t r i me P ri me r i

A I R A M I

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I

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M I R

P

Proyectos interdisciplinares

I I

TAREA FINAL

•

Programa de educación en valores.

•

Programa de educación emocional.

•

Inteligencias múltiples.

r r i

I

r

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e r t s e i r t r e i r

I

ES0000000001167

•

FORMACIÓN EN VALORES

SABER SER

Valoración de la utilidad de los números naturales y sus operaciones en situaciones reales.

•

Interés por la resolución de problemas.

•

Valoración del trabajo y el esfuerzo personal y de los compañeros.

454653_Cdno_Matemat

cias_6-1_22763.

indd 1

20/02/2015 9:39:16

44 : 25 015 11: 26/01/2

60. indd 1

1_207 as_6 matic Mate 4649_ 66 45 00011 00000 ES0

Sugerencia de temporalización

SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

14

15

000000000

70 5 686- nidad 0 _ 7508.indd

- 5

UNIDAD


1

Propósitos

Enumeración de los objetivos didácticos

3 05 5

Lee, comprende y razona

• Reconocer situaciones reales donde aparecen números. • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades

3

EXPRESIÓN ORAL. En la Antigüedad


U. de millón

CM D M U M

2

Las estrellas se agrupan en galaxias, que son grupos de millones de estrellas juntocon fragmentos de roca ygas. La estrella más cercana a nuestroplaneta es el Sol ylos dos están situados en una misma galaxia, que es la Vía Láctea.

Un millón 5 1.000.000 U. Tiene 7 cifras.

4


Trabajo colectivo sobre la lámina

2

¿Puedes escribir otro número mayor que el número de la actividad 2? ¿Cómo lo haces? ¿Podrías escribir otro más grande todavía?

0

0

7

Recuerde con los alumnos la lectura, escritura, descomposición y comparación de números de hasta 7 cifras. Practique también los algoritmos de la suma, resta, multiplicación y división.

SABER HACER TAREA FINAL Elegirun presupuesto

Al final de la unidad elegirás el mejor presupuesto para un viaje.

1

Antes, trabajarás con los números de más de siete cifras, las operaciones combinadas y los números romanos.

I nt e l i g en c l in g ü í s t i c ia a

D

U

8

0

0

Suma

Resta

5806 2 4 7 9 8285

1

2.007.800 5 2 U. de millón 2.007.800 5 2.000.000 2.007.800

1

7 UM

1

7.000

1

1

8 C

800


1 Descompón cada número y escribe

cómo se lee.

3.604.059

Por la noche, cuandomiras el cielo, casi todolo que puedes ver en elfirmamentoson estrellas que pertenecen a ella.

7.186.002

7.200.000

Solamente en nuestra galaxia haymás de 200.000millones de estrellas. Muchas de ellas son comonuestroSol y otras inclusoson más grandes ybrillantes. Se cree que en el universohayunos 100.000millones de galaxias, así que el númerototal de estrellas del universoes un númeroenorme, muchomayor de lo que puedas imaginar.

7.530.906

7.192.000

9423 7 5 6 1 1862

División

1 5 7 3 6 0 3 471 9420 94671

4 6 95 4 3 0 39 5 1 09 08

• 7 U. de millón 1 2 CM 5 5 7.000.000 1 200.000 Siete millones doscientos mil.

3 Calcula.

316

3

17.965

1

9.687

782

3

y contesta.

39.116

2

18.747

5.928 : 38


8.329

20.347

2

865

22.863 : 56

2 Co mpara los números de la actividad 1

1

4.516

273

R.M. Un número mayor sería 1.000.000.000. Siempre se puede escribir un número más grande que cualquiera que se nos ocurra; basta con sumarle 1.

4

Quería decir que no había un número capaz de expresarlo. Toda cantidad finita puede expresarse con un número.

5

También sirven para expresar orden (ordinales), formar parte de códigos (DNI), transmitir información(criptografía)…

• 7 U. de millón 1 1 CM 1 1 9 DM 1 2 UM 5 5 7.000.000 1 100.000 1 1 90.000 1 2.000 Siete millones ciento noventa y dos mil.

450

6

Número mayor: 999.999.999. Se lee novecientos noventa y nueve millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.Tiene 9 cifras.

7 2 _U _ 7 7 in .

/ /

: :

_U

_ 7 7 .in

7

/

/

:

:

3

Otras formas de empezar Inicie una conversación con sus alumnos sobre las operaciones que conocen y qué signos utilizan para expresar cada una de ellas. Escriba en la pizarra las operaciones que vayan nombrando y pídales que digan todo lo relacionado con ellas (nombres de los términos, características de los signosutilizados paraexpresarlas, propiedades,pruebas…). Anímeles a que entre todos obtengan conclusiones sobre en qué momentos las operaciones con números naturales nos resultan de gran utilidad para poder resolver situaciones que se nos presentan.

Competencias • Competencia lingüística. A la hora de trabajar las preguntas de la lectura y en especial en la de Expresión oral, pida a los alumnos que utilicen términos matemáticos para expresarse y compruebe que lo hacen de forma correcta. • Aprender a aprender. Comente a los alumnos la importancia de asentar bien los conocimientos para progresar. Recuerde con ellos lo que ya sabían sobre los números y las operaciones y señale que en la unidad van a seguir profundizando sobre esos conocimientos.

Número mayor: 7.530.906. Número menor: 3.604.059. • 12.845

• 86.268

• 27.652

• 351.900

• 20.369

• c 5 156

• 19.482

• c 5 408, r 5 15

17 70 5 686- nidad 0 _ 7508.indd

6- 7

3 05 5

Otras opciones para comenzar la unidad

8

Espacio de notas para construir una guía «viva»

Notas

16 000000000

Soluciones de las actividades planteadas

• 7 U. de millón 1 5 CM 1 1 3 DM 1 9 C 1 6 U 5 5 7.000.000 1 500.000 1 1 30.000 1 900 1 6 Siete millones quinientos treinta mil novecientos seis.

2

Multiplicación

• 3 U. de millón 1 6 CM 1 1 4 UM 1 5 D 1 9 U 5 5 3.000.000 1 600.000 1 1 4.000 1 50 1 9 Tres millones seiscientos cuatro mil cincuenta y nueve. • 7 U. de millón 1 1 CM 1 1 8 DM 1 6 UM 1 2 U 5 5 7.000.000 1 100.000 1 1 80.000 1 6.000 1 2 Siete millones ciento ochenta y seis mil dos.


C

1

¿Qué sabes ya?

¿Qué sabes ya?

¿Cuántas estrellas hay en el cielo?

1


3

5

• En el trabajo con números romanos, señale la importancia de comprobar los resultados al pasar de un sistema de numeración a otro.

Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre los números que aparecen y trabaje las actividades en una puesta en común.

¿Qué es un millón? ¿Cómo se escribe ese número? ¿Cuántas cifras tiene?

2

creían que el número de estrellas en el cielo era incontable. ¿Qué crees que quería decir eso? ¿Puede haber una cantidad incontable?

• Trabaje especialmente la lectura, escritura y descomposición de números con ceros intermedios y la comparación de números con gran cantidad de cifras. • Al comenzar a calcular operaciones combinadas, pida a algún alumno que vaya enunciando el orden que se debe seguir y haga que la clase supervise la corrección del proceso.

Trabajo con la lámina inicial y las preguntas asociadas

1

6:37

Competencias básicas trabajadas en la doble página

6: 0

El tratamiento de las inteligencias múltiples En el ámbito educativo, la inteligencia se ha considerado, tradicionalmente, un concepto unitario. Así, se entendía que cualquier alumno podía tener una inteligencia más o menos desarrollada, que se manifestaba en unas capacidades concretas. En el año 1983, el psicólogo Howard Gardner, en su obra Teoría de las inteligencias múltiples, propuso un concepto plural de la inteligencia y estableció la existencia de distintos tipos de inteligencias localizadas en diferentes áreas del cerebro. Gardner también defendió la idea de que estas inteligencias, lejos de ser capacidades innatas e inamovibles, podían desarrollarse si el entorno y la acción educativa ofrecían las condiciones adecuadas para ello. A partir de la obra de Gardner, diversos autores fijaron la existencia de ocho tipos de inteligencias, distintas e independientes entre sí. Por tanto, cada individuo tendrá unas más desarrolladas que otras: un alumno puede destacar por su inteligencia lógico-matemática y otro por su inteligencia lingüística. En ningún caso podremos decir que uno es más inteligente que el otro, puesto que no es posible valorar ningún tipo de inteligencia por encima de las demás. La nueva ley de educación, la LOMCE, plantea la necesidad de mejorar las capacidades y competencias de los alumnos para que puedan actuar adecuada y eficazmente en diferentes situaciones personales y sociales. Para ello, el proyecto Saber Hacer propone actividades y estrategias de trabajo orientadas a estimular el desarrollo de todas las inteligencias. Estas propuestas están planteadas teniendo en cuenta las distintas capacidades y estilos cognitivos de los alumnos. En la guía didáctica se marcan con una etiqueta aquellas actividades o secciones del libro especialmente orientadas al desarrollo de cada una de estas inteligencias: Inteligencia lingüística. Es la habilidad de utilizar el lenguaje oral y escrito eficazmente para informar, persuadir y adquirir nuevos conocimientos. Se evidencia en los alumnos que saben comunicar ideas, memorizan con facilidad y tienen aptitud para el aprendizaje de idiomas.

10

Inteligencia lógico-matemática. Es la capacidad de manejar números, relaciones y patrones lógicos de una manera eficaz. Los alumnos que la han desarrollado tienen facilidad para resolver problemas y realizar cálculos numéricos, así como para razonar científicamente. Inteligencia corporal-kinestésica. Es la habilidad para usar el propio cuerpo y supone destrezas de coordinación, equilibrio, fuerza, flexibilidad y velocidad. Se manifiesta en los alumnos que destacan en actividades deportivas, danza y expresión corporal. Inteligencia espacial. Es la habilidad de percibir la realidad apreciando las relaciones espaciales, de representar gráficamente las ideas y de manifestar sensibilidad al color, la línea y la forma. Se aprecia en los alumnos que utilizan gráficos y esquemas para estudiar, tienen facilidad para elaborar mapas conceptuales y para el dibujo. Inteligencia musical. Es la capacidad de percibir, distinguir, transformar y expresar el ritmo, timbre y tono de los sonidos musicales. Los alumnos que la presentan se sienten atraídos por los sonidos de la naturaleza y por todo tipo de melodías, y disfrutan siguiendo el compás. Inteligencia interpersonal. Es la capacidad de percibir los sentimientos y emociones de los demás, desarrollar empatía y trabajar cooperativamente de un modo efectivo. Está presente en alumnos que establecen relaciones sociales con facilidad y tienen habilidades de liderazgo. Inteligencia intrapersonal. Es la habilidad para tomar conciencia de uno mismo y conocer las propias fortalezas y debilidades actuando consecuentemente. Implica disponer de una autoimagen acertada y de capacidad de reflexión y autodisciplina. Inteligencia naturalista. Es la capacidad de interactuar con la naturaleza, distinguir y clasificar elementos de la flora y la fauna, o rocas y minerales. Incluye habilidades de observación, experimentación y reflexión sobre el entorno. Los alumnos que la tienen desarrollada disfrutan con los trabajos de campo y tienen conciencia medioambiental.

Matemáticas El libro Matemáticas 6, para sexto curso de Primaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO José Antonio Almodóvar Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán Carlos Pérez Saavedra

ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina José María Valera Estévez

EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.

A I R A M I R P

Unidad 1 2

3

4

5

Información y actividades


6

Potencias y raíz cuadrada

Números enteros Divisibilidad

Fracciones. Operaciones

22

38 54

Números de hasta nueve cifras Operaciones con números naturales

Operaciones combinadas Números romanos

Potencias Expresión polinómica de un número Potencias de base 10 Raíz cuadrada Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características Números enteros La recta entera. Comparación

Suma y resta de enteros Coordenadas cartesianas

Cálculo de todos los divisores M.c.m. y m.c.d. Criterios de divisibilidad Problemas de m.c.m. y de m.c.d. Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

70

Reducción a común denominador Comparación de fracciones

88

Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales

Suma y resta de fracciones Multiplicación y división de fracciones

REPASO TRIMESTRAL

6

Números decimales. Operaciones

7

División de números decimales

8

Proporcionalidad y porcentajes

9

10

Medida

Volumen

102

118

132

148

División de decimal entre natural División de natural entre decimal División de decimal entre decimal Tratamiento de la información. Histogramas Proporcionalidad Problemas de porcentajes

Longitud, capacidad y masa Sistema sexagesimal Tratamiento de la información. Histogramas

Aproximaciones y estimaciones

Aproximación de cocientes Expresión decimal de una fracción

Escalas: planos y mapas

Superficie

Volumen con un cubo unidad El metro cúbico. Submúltiplos El metro cúbico. Múltiplos

Volumen de ortoedros y cubos Volumen y capacidad

Áreas de figuras planas Cuerpos geométricos. Poliedros regulares

Áreas de cuerpos geométricos Volúmenes de cuerpos geométricos

REPASO TRIMESTRAL

11

12

Áreas y volúmenes Estadística y probabilidad

164

180

Variables estadísticas. Frecuencias Mediana. Rango Media y moda Probabilidad Tratamiento de la información. Análisis crítico de gráficos

REPASO FINAL PROYECTO FIN DE ETAPA

Descubre las Matemátic as en…

Solución de problemas

Cálculo mental

Saber hacer

Relacionar enunciado y resolución

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Pasos para resolver un problema

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 cifras

Explicar qué se ha calculado

Restar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Buscar datos en varios gráficos

Restar 999, 1.999, ... a números de 4 cifras

Analizar la difusión de una noticia

Sacar conclusiones de un enunciado

Dividir un número natural entre decenas y centenas

Interpretar datos geográficos

Buscar datos en varios textos y gráficos

Calcular la fracción de un número

Elaborar tablas a partir de informaciones

Sumar por compensación: sumar y restar el mismo número

Hacer una tabla

Elegir un presupuesto

Organizar un campamento

Sumar por compensación: restar y sumar el mismo número Determinar la representación gráfica de una situación

Restar por compensación: sumar el mismo número

Estudiar la pureza de una joya

Restar por compensación: restar el mismo número

Representar la situación

Cambiar los datos

Multiplicar un número natural por 2

Analizar acciones de la Bolsa

Anticipar una solución aproximada


Extraer datos de la resolución


Representar datos con dibujos


Entender la etiqueta de un alimento

Escribir preguntas a partir de una tabla o gráfico

Estimar sumas y restas de números decimales aproximando los términos a las unidades

Interpretar información científica

Sumar un número decimal y un natural

Analizar datos hidrológicos

Resolver problemas empezando por el final Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos

Restar un número natural a un decimal

Representar gráficamente la situación Elegir preguntas que se puedan resolver Empezar con problemas más sencillos

Estimar productos aproximando el número decimal a las unidades

Trabajar con densidades

Multiplicar un número decimal por decenas y por centenas

Elegir la solución correcta

Calcular el 10 % de un número

Reducir el problema a otro problema conocido


Determinar varias soluciones


Hacer un diagrama de árbol


Diseñar envases

Realizar un control de calidad

1



SABER


•

Números de hasta nueve cifras.

•

Operaciones con números naturales.

Operaciones combinadas.

•

Números romanos.

•

•

•

•

NÚMEROS Y OPERACIONES •

•

SABER HACER

•

•


TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

FORMACIÓN EN VALORES •

•

14

Lectura, escritura, descomposición y comparación de números de hasta nueve cifras. Identificación del valor posicional de las cifras de un número de hasta nueve cifras. Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales. Aplicación de las propiedades de las operaciones de números naturales. Cálculo de operaciones combinadas con números naturales. Escritura de números del sistema decimal en el sistema romano y viceversa.

Asociación de enunciados con su resolución correspondiente. Identificación y aplicación de los pasos para resolver un problema.

Elegir un presupuesto.

Valoración de la utilidad de los números naturales y sus operaciones en situaciones reales. Interés por la resolución de problemas. Valoración del trabajo y el esfuerzo personal y de los compañeros.

Banco de recursos para la unidad BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

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Recursos para la evaluación •

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MATERIAL DE AULA

•


•

Rúbrica. Unidad 1.

Láminas

Enseñanza individualizada

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

•


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Cuaderno del alumno •

Proyectos de trabajo cooperativo •


Primer trimestre. Unidad 1.

Solución de problemas. Método DECA


Recursos complementarios •


•


•


i

CUADERNO

Aprendizaje eficaz •

a s má t ic e t a M

_ - _ _


re me s t e r t r i P r i m

A I R A M I R P


A I R A M I R P

Proyectos interdisciplinares •

Programa de educación en valores.

•

Programa de educación emocional. 11 7

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t m ti

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7

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1

/

/

1

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•

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i.


Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

15

Propósitos

1


• Reconocer situaciones reales donde aparecen números. • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • Trabaje especialmente la lectura, escritura y descomposición de números con ceros intermedios y la comparación de números con gran cantidad de cifras. • Al comenzar a calcular operaciones combinadas, pida a algún alumno que vaya enunciando el orden que se debe seguir y haga que la clase supervise la corrección del proceso. • En el trabajo con números romanos, señale la importancia de comprobar los resultados al pasar de un sistema de numeración a otro.

¿Cuántas estrellas hay en el cielo?

Trabajo colectivo sobre la lámina

Las estrellas se agrupan en galaxias, que son grupos de millones de estrellas junto con fragmentos de roca y gas. La estrella más cercana a nuestro planeta es el Sol y los dos están situados en una misma galaxia, que es la Vía Láctea.

Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre los números que aparecen y trabaje las actividades en una puesta en común. 1

2

3

4

5

16

Un millón 1.000.000 U. Tiene 7 cifras.

Por la noche, cuando miras el cielo, casi todo lo que puedes ver en el firmamento son estrellas que pertenecen a ella. Solamente en nuestra galaxia hay más de 200.000 millones de estrellas. Muchas de ellas son como nuestro Sol y otras incluso son más grandes y brillantes. Se cree que en el universo hay unos 100.000 millones de galaxias, así que el número total de estrellas del universo es un número enorme, mucho mayor de lo que puedas imaginar.

5

Número mayor: 999.999.999. Se lee novecientos noventa y nueve millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.Tiene 9 cifras. R.M. Un número mayor sería 1.000.000.000. Siempre se puede escribir un número más grande que cualquiera que se nos ocurra; basta con sumarle 1. Quería decir que no había un número capaz de expresarlo. Toda cantidad finita puede expresarse con un número. También sirven para expresar orden (ordinales), formar parte de códigos (DNI), transmitir información (criptografía)…

6

Otras formas de empezar Inicie una conversación con sus alumnos sobre las operaciones que conocen y qué signos utilizan para expresar cada una de ellas. Escriba en la pizarra las operaciones que vayan nombrando y pídales que digan todo lo relacionado con ellas (nombres de los términos, características de los signos utilizados para expresarlas, propiedades, pruebas…). Anímeles a que entre todos obtengan conclusiones sobre en qué momentos las operaciones con números naturales nos resultan de gran utilidad para poder resolver situaciones que se nos presentan.

UNIDAD


¿Qué sabes ya?

¿Qué es un millón? ¿Cómo se escribe ese número? ¿Cuántas cifras tiene?

2


3

¿Puedes escribir otro número mayor que el número de la actividad 2? ¿Cómo lo haces? ¿Podrías escribir otro más grande todavía?

4

EXPRESIÓN ORAL. En la Antigüedad creían que el número de estrellas en el cielo era incontable. ¿Qué crees que quería decir eso? ¿Puede haber una cantidad incontable?

5


Recuerde con los alumnos la lectura, escritura, descomposición y comparación de números de hasta 7 cifras. Practique también los algoritmos de la suma, resta, multiplicación y división.

SABER HACER TAREA FINAL Elegir un presupuesto Al f inal de l a un idad eleg irás el mejor presupuesto para un viaje.

1

Ante s, t raba jará s co n lo s números de más de siete cifras, I nt e l i g en c i a las operaciones l in g ü í st i c a combinadas y los números romanos.

•

•

¿Qué sabes ya?



U. de millón

CM

DM

UM

C

D

U

2

0

0

7

8

0

0

Suma

Resta

5806 479 8285

1 2

2.007.800 5 2 U. de millón 2.007.800 5 2.000.000 2.007.800 1

1 7

UM

1 8

C

1 7.000 1 800

3.604.059

Multiplicación

7.186.002

7.200.000

7.530.906

7.192.000

1 5 7 0 3 47 1 9420 94671 36

•

División 4 6 9 5 0395 08

43 109 •

3 Calcula.

8.329 2

9423 561 1862

2 7



1

4.516

316

3 273 3 450

Compara los números de la actividad 1 y contesta.

17.965

1

9.687

782

39.116

2

18.747

5.928 : 38


20.347

2

865

22.863 : 56

•

7 2

3

Competencias •

•

1

Competencia lingüística. A la hora de trabajar las preguntas de la lectura y en especial en la de Expresión oral, pida a los alumnos que utilicen términos matemáticos para expresarse y compruebe que lo hacen de forma correcta. Aprender a aprender. Comente a los alumnos la importancia de asentar bien los conocimientos para progresar. Recuerde con ellos lo que ya sabían sobre los números y las operaciones y señale que en la unidad van a seguir profundizando sobre esos conocimientos.

3 U. de millón 1 6 CM 1 1 4 UM 1 5 D 1 9 U 5 5 3.000.000 1 600.000 1 1 4.000 1 50 1 9 Tres millones seiscientos cuatro mil cincuenta y nueve. 7 U. de millón 1 1 CM 1 1 8 DM 1 6 UM 1 2 U 5 5 7.000.000 1 100.000 1 1 80.000 1 6.000 1 2 Siete millones ciento ochenta y seis mil dos. 7 U. de millón 1 5 CM 1 1 3 DM 1 9 C 1 6 U 5 5 7.000.000 1 500.000 1 1 30.000 1 900 1 6 Siete millones quinientos treinta mil novecientos seis. 7 U. de millón 1 2 CM 5 5 7.000.000 1 200.000 Siete millones doscientos mil. 7 U. de millón 1 1 CM 1 1 9 DM 1 2 UM 5 5 7.000.000 1 100.000 1 1 90.000 1 2.000 Siete millones ciento noventa y dos mil.

Número mayor: 7.530.906. Número menor: 3.604.059. •

12.845

•

86.268

•

27.652

•

351.900

•

20.369

•

c 5 156

•

19.482

•

c 5 408, r 5 15

Notas

17

Números de hasta nueve cifras

Propósitos Estos son los nueve primeros órdenes de unidades.

• Leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta nueve cifras.

Centena de millón

Decena Unidad Centena Decena Unidad de millar de millar

10 U = 1 D 10 D = 1 C 10 C = 1 UM 10 UM = 1 DM…

Realice numerosas actividades de paso entre las distintas expresiones numéricas (con letras, con cifras, descomposición en forma de suma y en sus órdenes, descripción…) para mejorar la comprensión y el sentido numérico de sus alumnos. Para reforzar.

1U

5

1U

1 UM

5

1.000 U

1 U. de millón 5 1.000.000 U

1D

5

10 U

1 DM

5

10.000 U

1 D. de millón 5 10.000.000 U

1C

5

100 U

1 CM

5

100.000 U

1 C. de millón 5 100.000.000 U

El número 730.508.024 tiene nueve cifras. 730.508.024

5 7

C. de millón

1 3

D. de millón

1 5

CM

1 8

UM

1 2

D

1 4

730.508.024

En el sistema de numeración decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

1

Escribe en tu cuaderno los números anterior y posterior a cada uno. 2.000.000

40.000.000

800.000.000

• 9.999.998 2 10.000.000

9.999.999

69.999.999

499.999.999

• 39.999.999 2 40.000.001

2

• 69.999.998 2 70.000.000 • 499.999.998 2 500.000.000 • 4 U. de millón 1 5 DM 1 1 7 UM 1 1 C 1 9 D 1 3 U Cuatro millones cincuenta y siete mil ciento noventa y tres.

• 8 D. de millón 1 5 U. de millón 1 1 3 CM11 DM19 UM 1 2 U Ochenta y cinco millones trescientos diecinueve mil dos. • 2 C. de millón 1 1 D. de millón 1 1 6 U. de millón 1 5 CM 1 1 3 DM1 4 D 1 7 U Doscientos dieciséis millones quinientos treinta mil cuarenta y siete. • 5 C. de millón 1 3 U. de millón 1 1 9 CM 1 6 DM1 2 C 1 4 U

Descompón cada número y escribe cómo se lee. RECUERDA

• 799.999.999 2 800.000.001

• 3 D. de millón 1 7 U. de millón 1 1 1 CM 1 4 UM 1 2 C 1 7 D Treinta y siete millones ciento cuatro mil doscientos setenta.

5

setecientos treinta millones quinientos ocho mil veinticuatro

• 1.999.999 2 2.000.001

• 9 U. de millón 1 8 CM 1 1 2 DM 1 6 C 1 4 D 1 1 U Nueve millones ochocientos veinte mil seiscientos cuarenta y uno.

U

5 700.000.000 1 30.000.000 1 500.000 1 8.000 1 20 1 4

Actividades

18

Centena de millar

Fíjate en la equivalencia de cada orden con las unidades.

Sugerencias didácticas

2

Unidad de millón

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

• Conocer el valor posicional de las cifras de un número de hasta nueve cifras.

1

Decena de millón

3

.

.

… millones …

mil

…

4.057.193

216.530.047

9.820.641

503.960.204

37.104.270

710.008.506

85.319.002

978.300.290

Escribe con cifras los siguientes números. Tres millones veintiséis mil novecientos setenta. Ocho millones ciento dos mil cuarenta. Setenta y dos millones seiscientos cuatro mil doscientos. Ochocientos quince millones cuatrocientos treinta mil sesenta y siete.

8

Otras actividades • Proponga a sus alumnos distintas actividades para que practiquen la lectura y escritura de números de hasta 9 cifras: – Escriba números parecidos variando la cantidad de ceros intermedios, y haga que los alumnos los lean y descompongan para que aprecien la diferencia entre unos y otros. 344.000.123

344.120.300

123.044.000

– Haga un dictado de números. – Proponga a los alumnos que escriban (y después lean) números que cumplan unas condiciones determinadas. Por ejemplo: un número de 9 cifras con 5 ceros; un número de 8 cifras en el que la cifra de las decenas de millón sea mayor que la de las unidades de millar; un número de 6 cifras con 3 ceros intermedios…

UNIDAD

1 4

5

Compara cada pareja de números. 674.209.503 y 678.051.004

83.150.441 y 83.150.370

715.280.600 y 93.740.205

45.370.904 y 46.000.003

803.126.345 y 802.999.999

12.602.752

1

2 UM

4.060.874

• 9 C. de millón 1 7 D. de millón 1 1 8 U. de millón 1 3 CM 1 1 2 C 1 9 D Novecientos setenta y ocho millones trescientos mil doscientos noventa.

710.000.000

Ordena de mayor a menor cada grupo. 285.103.490 65.790.234

285.073.000 428.190.000

286.640.999 63.999.000

290.640.233

425.200.818

e nc ia I n te l ig l is ta na t u ra

Problemas 7

• 7 C. de millón 1 1 D. de millón 1 1 8 UM 1 5 C 1 6 U Setecientos diez millones ocho mil quinientos seis.

1 D. de millón 1 3 C M

7 C. de millón 1 8 D. de millón 6

Un billón es un millón de millones. ¿Cómo escribirías ese número? ¿Cuál sería su número anterior? ¿Y el posterior?

Piensa y compara en tu cuaderno. 4 U. de millón 1 5 CM

Quinientos tres millones novecientos sesenta mil doscientos cuatro.

SABER MÁS

26.030.792 y 25.814.620

3

Observa la tabla y aproxima al orden indicado.

• 3.026.970

• 72.604.200

• 8.102.040

• 815.430.067

•

.

•

,

•

.

•

.

•

,

•

.

5

•

.

6

• 290.640.233 . 286.640.999 . . 285.103.490 . 285.073.000

A los millares, el diámetro de cada planeta. A los millones, la distancia de cada uno al Sol.

4 Diámetro

Distancia

(km)

al Sol (km)

HAZLO ASÍ

Para aproximar a los millares compara la cifra de las centenas con 5. Para aproximar a los millones compara la cifra de las centenas de millar con 5.

EJEMPLO

Mercurio: 4.880 5.000 57.910.000 58.000.000

Mercurio

4.880

57.910.000

Venus

12.104

108.200. 000

Tierra

12.756

149.600. 000

Marte

6.794

227.940.000

142.984

778.330. 000

Júpiter

li

7

1.475

3.475 1 2.000

3.476 1

1

5.062 1 4.001

8.123 1 2.001

3.582 1 3.001

1.915 1 5.001

7.048 1 6.001

.

•

.

• 5.000; 12.000; 13.000; 7.000; 143.000 • 58.000.000; 108.000.000; 150.000.000; 228.000.000; 778.000.000

Suma 1.001, 2.001, 3.001… a números de cuatro cifras 2.345 1 1.001

•

• 428.190.000 . 425.200.818 . . 65.790.234 . 63.999.000

Cálculo mental

1 2.001

1

Saber más

¿Cómo sumarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Cómo sumarías 4.005? ¿Y 5.006?

9

Se escribe 1.000.000.000.000. Anterior: 999.999.999.999. Posterior: 1.000.000.000.001.

Cálculo mental Otras actividades • Lleve a clase o pida a sus alumnos que traigan periódicos o revistas donde hayan encontrado artículos o noticias en los que aparezcan números de hasta nueve cifras. Pida a cada uno que lea en voz alta el número que haya encontrado y explique para qué lo han utilizado en el artículo. Luego proponga a sus alumnos que escriban en su cuaderno cómo se lee ese número y también su descomposición (tanto en sus órdenes de unidades como en forma de suma). Finalmente escriba algunos de ellos en la pizarra y pídales que los ordenen de mayor a menor, que escriban el número anterior y posterior, etc.

• 3.346

• 9.063

• 10.124

• 6.583

• 6.916

• 13.049

Para sumar 1.002 primero se suma 1.000 y después 2. Para sumar 1.003 primero se suma 1.000 y luego 3. Para sumar 4.005 primero se suma 4.000 y después 5. Para sumar 5.006 primero se suma 5.000 y luego 6.

Notas

19

Operaciones con números naturales Propósitos Recuerda qué relación hay entre estas operaciones:

• Trabajar las operaciones con números naturales y aplicar sus propiedades en distintos contextos.

La suma y la resta 56


87 2 56

alumnos las relaciones entre la suma y la resta y entre la multiplicación y la división exacta. Muestre cómo a partir de unas podemos obtener las otras.

1

5

56

20 : 5

5

4

20 : 4

5 5

(5

1 3) 1 8 5 5 1 (3 1

8)

4

3 (5 1 3) 5 4 3 5 1 4 3 3

27 3 10

5 10 3

27

(2

3 7) 3 5 5 2 3 (7 3

5)

4

3 (5 2

203

52

4

3 3

Una multiplicación y dos divisiones exactas.

Calcula el término que falta en cada operación. 24

1

✱

5

61

95 2 ✱

73

1

✱

5

208

241 2 ✱

5 39 5 87

✱

1 47 5 92

✱ 2 36

5 74

✱

1 53 5 160

✱ 2 68

5 235

24 ✱

5 3 ✱

5

23 3 ✱ ✱ 3 4

5 61

✱

5 61 2

24

5 37

1 47 5 92

✱

5 92 2

47

5 45

1

✱

90

5

161

5 7

522 : ✱

5 18

5 34

✱ : 62

5 185

EJEMPLO

287 : ✱ ✱ : 9

5 236

✱ 3 37

203 2 163 5 40 203 2 40 5 163

5 4 3 5 2

Una suma y dos restas.

EJEMPLO

5 203

3)

Escribe con los tres números dados las operaciones que se indican.

9

Actividades

Propiedad distributiva

56

468

2

Propiedad asociativa

5 31 1

40

En las actividades también se ofrece a los alumnos la propiedad «inversa» de la distributiva: la obtención de factor común, y en Saber más se trabaja aplicándolo a expresiones con más de dos productos.

5 208 2

87 2 31

3 4 5 20

56 1 31

163

Trabaje también las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.

2 • ✱

5

Propiedad conmutativa

Pida también a los alumnos que recuerden cómo se llevan a cabo la prueba de la resta y la prueba de la división (en esta, verifique que tienen en cuenta que deben cumplirse dos condiciones simultáneamente).

• 52 3 9 5 468 468 : 52 5 9 468 : 9 5 52

31

87

Recuerda las propiedades de la suma y la multiplicación:

Para explicar. Recuerde con los

1 • 163 1 40

5

1 31 5

La multiplicación y la división exacta

5 40

5 3 ✱

5 90

✱

5 90

✱ 3 4

5 236

✱

5 236

:5

5 18

:4

5 59

10

73 5 135

• ✱ 5 160 2 53 5 107 • ✱ 5 95 2 39 5 56 • ✱ 5 241 2 87 5 154

Otras actividades

• ✱ 5 74 1 36 5 110

• Ofrezca a los alumnos para que las completen distintas series numéricas formadas a partir de un número origen y cuyos sucesivos términos se obtengan realizando alguna operación (suma, resta, multiplicación y/o división) al término anterior.

• ✱ 5 235 1 68 5 303 • ✱ 5 161 : 23 5 7 • ✱ 5 185 : 37 5 5 • ✱ 5 287 : 7 5 41 • ✱ 5 522 : 18 5 29 • ✱ 5 34 3 9 5 306 • ✱ 5 40 3 62 5 2.480 3 • 4.287

20

• 38

• 3.819

• 204

• 87.754

• 150

• Proponga a los alumnos distintas operaciones en las que los términos estén expresados de distintas maneras, para trabajar así simultáneamente números y operaciones. Por ejemplo: 3 DM 1 4 UM

1 9

U 3 Cuatrocientos diecisiete

Dos mil setecientos tres : 2 C

1 4

D 1 5 U

UNIDAD

1 3

4

Calcula. Después, haz la prueba. 570 : 15

7.300 2 3.481

5.304 : 26

94.263 2 6.509

22.350 : 149

Aplica la propiedad indicada y calcula. 702 Conmutativa

35

1 90

1

(13

Asocia tiva

62

(8

8 3 207

1 39) 1 1 (38

1

48

(6 3 5) 3 20

50)

4 3 (12 3 7)

1 8)

1 4) 3

6 3 (9 2 2)

5

(7 2 5) 3 3

Saca factor común y calcula.

Saca factor común:

Apli ca l a pro pied ad d istr ibut iva «al revé s». Busca el factor que se repite y coloca los otros entre paréntesis separándolos con el signo adecuado. 1

• 4 3 (7 1 8) 5 4 3 7 1 4 3 8 5 5 60 (8 1 4) 3 5 5 8 3 5 1 4 3 5 5 5 60 6 3 (9 2 2) 5 6 3 9 2 6 3 2 5 5 42 (7 2 5) 3 3 5 7 3 3 2 5 3 3 5 5 6

SABER MÁS

HAZLO ASÍ

3 3 4

3 3 5

9 3 2 2 6 3 2

5

3 3 (4

5 (9 2

1 5) 5 3 3

6) 3 2

5 3 3

9

5 27

2

5 6

2 3 6

1 2 3

9

9 3 3

1 5 3

3

3 3 5

1 3 3

8

3 3 4

1 8 3

4

6 3 9 2 6 3 4

7 3 7 2 4 3 7

8 3 7 2 8 3 2

6 3 9 2 2 3 9

• 702 1 90 5 90 1 702 5 792 35 1 146 5 146 1 35 5 181 3 3 89 5 89 3 3 5 267 8 3 207 5 207 3 8 5 1.656 • (13 1 39) 1 48 5 5 13 1 (39 1 48) 5 100 621 (38 1 50) 5 5 (621 38) 1 50 5 150 (6 3 5) 3 20 5 6 3 (5 3 20) 5 5 600 4 3 (12 3 7) 5 (4 3 12) 3 7 5 5 336

3 3 89

146

4 3 (7 Distributiva

5

4

4.672 2 385

1

2

3 3 1 2 3 5 1 2 3 6

4

3 8 2 4 3 2 2 4 3 3

5

• 2 3 (6 1 9) 5 30 • 3 3 (5 1 8) 5 39 • 6 3 (9 2 4) 5 30 • 8 3 (7 2 2) 5 40 • (9 1 5) 3 3 5 42

Razonamiento Piensa, copia y contesta.

• (3 1 8) 3 4 5 44

¿Cuáles de estas expresiones son correctas? Cópialas en tu cuaderno.

• (7 2 4) 3 7 5 21

6 3 (3

1 2) 5 6 3

6 3 (3 2 2)

3

1 6 3

5 6 3

2

3 2 6 3 2

6

1 (3 3

2)

5 6 1 3 3

6 2 (3 3 2)

5 6 2

6

• (6 2 2) 3 9 5 36

1 2

Saber más

3 3 6 2 2

2 3 (3 1 5 1 6) 5 28

¿Tiene la suma la propiedad distributiva respecto de la multiplicación? ¿Y la resta?

4 3 (8 2 2 2 3) 5 12 11

Razonamiento Son correctas: 6 3 (3 1 2) 5 6 3 3 1 6 3 2

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas y pídales que cada uno escriba en una hoja una expresión igual a uno de los miembros de las propiedades (trabaje todas las propiedades a la vez: conmutativa, asociativa y distributiva), por ejemplo: 5 3 (7 1 2). Se intercambiarán las hojas y cada uno tendrá que escribir la expresión de igual resultado que la recibida y qué propiedad ha aplicado; en este caso, se escribiría: 5 3 7 1 5 3 2, propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Más tarde, se volverán a cambiar las hojas y cada uno comprobará si la respuesta de su compañero es correcta.

6 3 (3 2 2) 5 6 3 3 2 6 3 2 La suma y la resta no tienen la propiedad distributiva respecto de la multiplicación (los dibujos amarillo y azul tienen expresiones incorrectas).

Notas

21

Operaciones combinadas Propósitos Para calcular operaciones combinadas, es necesario seguir este orden:

• Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.

1.º Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis. 2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

• Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y hallar su valor.

6

1 (7 2

6

1

6

3) : 2

(3

4:2

1 1) 3

4

12

8


3

3

2

1

(7 2 4) 2 2 2

8 : 2 2 3

2

4 2 3

2

2

1

5

5

1 20

1 20

21

Para explicar. Resuelva paso a paso 6

en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operación en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuál hay que hacer primero.

(3

1 (7 2

3) : 2

1 1) 3

8 : 2 2 3

(7

5 6 1 4

2 4) 2

1 4 3

5

2

: 2

5 6 1 2 5 8

5 4 3 3 2

5 4 2

3

2

5 12 2

2

5 10

1 4 3 5 5 4 2 3 1 20 5 1 1 20 5 21

Al re solv er o pera cion es c ombi nada s, p rime ro c alcu lamo s lo s pa rént esis , después las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y restas.

Muestre la relación entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cómo la prioridad de las operaciones se refleja también en esas frases.

1

Copia en tu cuaderno. Después, calcula y relaciona cada expresión con su resultado. 20 2 5 3 2

30

4) : 2

0

15 2 3 3 4

1 1

49

(20 2 5) 3 2

10

8 2 6

1

4:2

3

(15 2 3) 3 4

1 1

4

98

8 2 6

2

4:2

4

15 2 3 3 (4

1 1)

0

20 3 5

Para reforzar. Escriba en la

2

pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores presentes en ella y las corrijan.

2

2

8 2 (6

1

Piensa qué operación debes hacer primero y calcúlala. 9 2 20 : 4

PRESTA ATENCIÓN

2.º Multiplicaciones y divisiones.

4 3 (7

3.º Sumas y restas.

8

7 2 5

1 8

4

: 2 3 5 2 9

1 6

:4

40 : 8 2 (1

35 : 5 3 6

1.º Paréntesis.

Actividades 1 • 20 2 5 3 2

1 4 3

4 2 3

10

1 4 3

1 6

9 2 (4 6:3

1 3 3

1 1) 1 7 3

1 8 3

1

1 3)

(9 2 4)

1 3 3

3)

10 2 7

1 12

2

(9 2 3) : 2

6

9 : (7 2 6) 2 (2

(5 2 3)

(7

1 1) 1 (8 2

6

:3

2 1

1 5)

3) 3 4

5 10

3

• (20 2 5) 3 2 5 30

8

• 20 3 5 2 2 5 98 • 8 2 (6 1 4) : 2 5 3

Completa los huecos para que los resultados sean ciertos. 1

3 2 5

18

(

2 4)

:2

5

5

10 :

3 3 5 6

2

3

(3

1

)

5 14

12

• 8 2 6 1 4 : 2 5 4 • 8 2 6 2 4 : 2 5 0 • 15 2 3 3 4 1 1 5 4 • (15 2 3) 3 4 1 1 5 49 • 15 2 3 3 (4 1 1) 5 0 2 • 9 2 5

5 4

• 7 3 6 5 42 • 4 3 10 5 40 • 8 1 6 5 14 • 40 : 8 2 4 5 5 2 4 5 1 • 5 1 3 3 6 5 5 1 18 5 23 • 10 2 7 1 4 5 3 1 4 5 7 • 6 : 2 2 1 5 3 2 1 5 2 • 7– 5 1 2 1 6 5 2 1 2 1 6 5 5 4 1 6 5 10

22

Otras actividades • Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos números. Pida a l os alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo: 25 2 9 2 5

8 2 3 3 2

6 3 (4 2 1)

12 : 2 1 1

25 2 (9 2 5)

8 3 3 2 2

6 3 4 2 1

12 : (2 1 1)

(25 2 9) 2 5

8 3 (3 2 2)

6 2 (4 3 1)

(12 : 2) 1 1

Insista una vez más en que es imprescindible aplicar correctamente el orden establecido en la realización de las operaciones para obtener el resultado correcto. Pídales que planteen ejemplos similares por sí mismos.

UNIDAD

1 4

• 4 1 3 3 5 2 9 5 4 1 15 2 9 5 5 19 2 9 5 10

Calcula cada operación combinada. Después, elige y escribe la oración correspondiente. HAZLO ASÍ

• 9 2 5 1 7 3 6 5 9 2 5 1 42 5 5 4 1 42 5 46

9 2 4 2 3

9 2 4 2 3 5 2 A 9 le r esto 4 y al re sult ado le re sto 3.

9 2 (4 2 3)

9 2 (4 2 3) 5 8 A 9 le r esto la d ifere ncia de 4 y 3.

• 6 : 3 1 8 3 2 5 2 1 16 5 18 • 9 : 1 2 7 5 9 2 7 5 2

SABER MÁS

• 8 1 5 3 4 5 8 1 20 5 28

Calcula:

5

9 2 4

1 3

9 2 (4

1

9

3)

(9

1 4 3

3

1 4) 3

3

[8

9 3 (4 2 3)

Los corchetes [ ] se usan para agrupar expresiones en las que haya paréntesis.

Escribe la expresión numérica y calcúlala.

2 (2 1 3)]

: (2

3

9 3 4 2 3

1 1)

• 10 : 5 3 3 4

Multiplico 6 por la diferencia de 3 y 2. Divido 6 entre 3 y al resultado le resto 2.

• Sumo 9 al producto de 4 y 3. • La suma de 9 y 4 la multiplico por 3.

Resuelve el problema de dos formas en tu cuaderno, utilizando cada vez una de las expresiones indicadas.

• Multiplico 9 por 4 y al resultado le resto 3.

Roberto prepara por la mañana 45 bocadillos y vende 38. Por la tarde, prepara 30 y vende 27. ¿Cuántos bocadillos le han quedado sin vender?

1

• Multiplico por 9 la diferencia de 4 y 3.

tarde 1

prepara (

• A 9 le resto 4 y al resultado le sumo 3. • A 9 le resto la suma de 4 y 3.

Problemas

2

5 6

• 2 3 (3 1 4) 5 14

A 6 le re sto la s uma de 3 y 2.

mañana

• 8 1 5 3 2 5 18 • (14 2 4) : 2 5 5

A 6 le sumo 3 y el resultado lo multiplico por 2.

6

1

2

5

5

vende ) 2 (

1

• (6 1 3) 3 2 5 18 • 6 2 (3 1 2) 5 1

)5

• 6 3 (3 2 2) 5 6 Razonamiento

• 6 : 3 2 2 5 0

Piensa y escribe.

6

Copia estas expresiones en tu cuaderno poniendo los paréntesis necesarios para que sean ciertas.

7 2 4

3 3 5 9

2 3 7 4 1 6 : 2

2 6 5 2

• (45 1 30) 2 (38 1 27) 5 5 75 2 65 5 10

5 5

8 2 2

• (45 2 38) 1 (30 2 27) 5 5 7 1 3 5 10

1 5 5 1

Le han quedado sin vender 10 bocadillos. 13

Saber más

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas y facilite a cada una varias tarjetas en las que aparezcan expresiones del tipo: 3 3 4 1 5

(3 3 6) 2 1

9 3 (8 2 4)

19 2 11 2 3

Cada pareja debe inventar el enunciado de una situación problemática que se resuelva mediante la aplicación de dichos cálculos. Posteriormente, se intercambiarán los problemas propuestos y se verificará si se resuelven con las operaciones combinadas correspondientes.

Muestre a los alumnos cómo el corchete es un símbolo con igual significado que el paréntesis y que se usa con el fin de no repetir sucesivos paréntesis seguidos. [8 2 5] : 3 5 3 : 3 5 1

Razonamiento • (7 2 4) 3 3 5 9 • 2 3 (7 2 6) 5 2 • (4 1 6) : 2 5 5 • 8 2 (2 1 5) 5 1

23

Números romanos Propósitos Los romanos utilizaban siete letras mayúsculas para escribir los números. Fíjate en el valor de cada una.

• Conocer el sistema de numeración romano y las reglas para escribir números romanos.

Los números se escriben combinando las letras siguiendo estas reglas:

• Escribir cantidades en números romanos y saber el valor de una cantidad escrita en números romanos.

REGLA DE LA SUMA. Una letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a esta su valor. XV

10

1 5 5

15

LXI

50

1 10 1 1 5 61

REGLA DE LA RESTA. Las letras I, X y C colocadas a la izquierda de cada una de las dos letras de mayor valor que le siguen le restan a esta su valor. IV


5 2 1

5 4

XL

50 2 10

5 40

REGLA DE LA REPETICIÓN. Las letras I, X, C y M se pueden repetir tres veces como máximo. Las letras V, L y D no se pueden repetir.

Para explicar. Recuerde con los

III

alumnos la importancia histórica de los romanos y las numerosas inscripciones en las que aparecen números romanos.

1

1 1 1 1 5

3

CCC

100

1 100 1 100 5 300

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN. Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica por mil su valor. Se utiliza para escribir números mayores o iguales a 4.000. IV

Pida a los alumnos que piensen en cantidades que se escriben en números romanos (en especial, la regla de la resta), como por ejemplo los siglos, los números en algunos relojes...

1

4 3 1.000

5

4.000

VII

7 3 1.000

Aplica las reglas y escribe el valor de cada número romano. Regla de la suma

Practique las reglas de formación de los números romanos y recalque su importancia, haciendo notar los errores que se cometen usualmente al escribir números romanos.

Regla de la resta

XI

LV

CL

IV

XL

CD

CXX

MDC

MMC

IX

XC

CM

Regla de la multiplicación 2

5 7.000

V

VI

IVCCX

XCLV

Escribe en números romanos estas series. 1, 2, 3, … hasta 9.

PRESTA ATENCIÓN

10, 20, 30, … hasta 90.

Actividades

1.000, 2.000, 3.000, … hasta 9.000.

1 Regla de la suma:

3

• 11

• 55

•

• 120

• 1.600

• 2.100

Regla de la resta: • 4 • 40 • 9 • 90

• •

150

400

2 • I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX

• X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC • C, CC, CCC, CD, D, DC, DCC, DCCC, CM • M, MM, MMM, IV, V, VI, VII, VIII, IX

24

• 2.204

• 1.512

• 4.500

• 566

• 12.105

• 492

• 15.035

• 1.099

• 40.142

Aplica las reglas y escribe el valor de cada número. CXXV

DLXVI

MXCIX

IVD

XVXXXV

MDXII

CDXCII

MMCCIV

XIICV

XLCXLII

14

900

Regla de la multiplicación: • 5.000 • 4.210 • 6.000 • 90.055

3 • 125

Piensa bien las reglas que debes aplicar.

100, 200, 300, … hasta 900.

Otras actividades • Recuerde a sus alumnos que para expresar el siglo al que pertenece cierto año utilizamos los números romanos. Explique con un ejemplo cómo se establece el siglo al que pertenece un año: año 1938

19 1 1 5 20

siglo XX

Enuncie diferentes fechas en voz alta para que los alumnos escriban en números romanos el siglo al que pertenecen. • Escriba en la pizarra varios términos de una serie numérica con números romanos, y pida a los alumnos que determinen su regla de formación y escriban algún término más, también en números romanos. Solicíteles que inventen algunas por sí mismos y las propongan a sus compañeros.

UNIDAD

1 4

Escribe en números romanos. HAZLO ASÍ

2.340 5 2.000 1 300 1 40 MM CCC MMCCCXL

2.340

XL

4

578 649 712 935 1.254

1

• DLXXVIII • DCXLIX

4.291 3.875 14.653 26.212 39.106

• DCCXII • CMXXXV • MCCLIV • IVCCXCI

5

Averigua cada letra tapada. El valor del número romano debe cumplir la descripción dada.

Es un número de tres cifras. La suma de sus cifras es 10. XLV

Es el mayor número de tres cifras. MXCIX

• MMMDCCCLXXV

SABER MÁS

• XIVDCLIII

¿Cuál es el valor de este número romano?

• XXVICCXII • XXXIXCVI

XII 5

145

• CMXCIX

Sus cifras son pares. VIDC CCX Problemas 6 6

• CXLV

Escribe en números romanos cuándo nació cada pintor.

999

• VIDCCCXX

6.820

• VIDCCCXL

6.840

• MDXCIX • MDCCXLVI • MCDLXXI • MDCVI

Saber más VELÁ ZQUE Z 1599

GOYA 1746

DURERO 1471

Su valor resulta de multiplicar por mil el número 12.000, es decir, es 12 millones. La doble raya multiplica por un millón el valor del número bajo ella.

REMBRANDT 1606

Cálculo mental Suma 999, 1.999, 2.999… a números de cuatro cifras

2.345 1 999 3.582 1 2.999

1.999

1

1.875

2.000

1

3.875

1

3.874

2

5.062 1 3.999 1.915 1 6.999

8.123 1 4.999 7.048 1 8.999

Cálculo mental • 3.344 • 6.581

¿Cómo sumarías 998? ¿Y 996? ¿Cómo sumarías 2.997? ¿Y 4.995?

15

Competencias • Conciencia y expresión cultural. La numeración romana está presente en numerosos contextos tanto históricos como culturales y artísticos. Muestre a los alumnos la utilidad de su conocimiento y anímeles a aportar distintos ejemplos de usos de dicha numeración. Pídales que calculen el valor de los números romanos presentes en los ejemplos aportados.

• 9.061 • 8.914

• 13.122 • 16.047

Para sumar 998 primero se suma 1.000 y después se resta 2. Para sumar 996, primero se suma 1.000 y luego se resta 4. Para sumar 2.997 primero se suma 3.000 y después se resta 3. Para sumar 4.995 primero se suma 5.000 y luego se resta 5.

Notas

25

Solución de problemas Propósitos

Relacionar enunciado y resolución

• Relacionar el enunciado de un problema con los cálculos que lo resuelven.

Escribe qué resolución corresponde a cada problema y su solución. Juan tenía 4 bolsas con 20 kg de nueces cada una. Vendió el lunes 35 kg y el martes 25 kg. ¿Cuántos kilos le quedaron?


4 A

1

3 20 5 80

80

2 35 5 45

45

1 25 5 70

Para explicar Luisa tenía 35 €, Marta 25 € y Teo 4 bi llet es d e 20 €. ¿ Cuán to dinero tenían los tres juntos?

• Trabaje en común el ejemplo resuelto, pidiendo a los alumnos que digan qué cálculos resolverían cada problema y cuál de las tres opciones dadas corresponde a ellos. • Pídales que resuelvan por sí mismos la actividad propuesta y corríjala en común, detectando si hay dificultades a la hora de comprender y/o resolver alguno de los problemas.

En cada uno de los 4 vagones de un tren iban 20 personas. En una parada bajaron 35 personas y subieron 25. ¿Cuántas personas quedaron?

4 B

2

35

1 25 5 60

80

2 60 5 20

4 C

3

3 20 5 80

3 20 5 80

35

1 25 5 60

80

1 60 5 140

El problema A se resuelve con las operaciones del cartel 2. Solución: Le quedaron 20 kilos. Escribe tú en tu cuaderno la resolución y la solución de los problemas B y C.

1

Actividades • A 2 2, B 2 3 y C 2 1 1 Las relaciones son:

A 2 3, B 2 2 y C 2 1.

Notas

Copia en tu cuaderno, asocia cada problema con su resolución y escribe su solución. 30

Susana envasó 30 kg de manzanas, 20 kg de peras y 40 kg de naranjas. Las puso en bolsas de 5 kg. ¿Cuántas bolsas obtuvo?

A

Carmen tenía 30 €. Gastó 20 € en un libro y su tío le dio 40 € por su cumpleaños. Gastó el dinero que tenía en 5 camisetas de igual precio. ¿Cuánto le costó cada camiseta?

B

En la tienda tenían 30 abrigos. Vendieron 20 y el resto lo repartieron en 5 lotes iguales. ¿Cuánto costaba cada lote si el precio de un abrigo era 40 €?

C

1

2

2

2 20 5 10

10 : 5

3 40 5 80

30

2 20 5 10

10

1 40 5 50

50 : 5

3

5 2

5 10

30

1 20 5 50

50

1 40 5 90

90 : 5

5 18

16

Otras actividades • Divida la clase en grupos y pida a cada grupo que invente un problema de tres operaciones en el que aparezcan tres datos numéricos dados por usted, por ejemplo 37, 25 y 49. Deberán escribir el problema en un papel y las operaciones que lo resuelven en otro aparte. Junte todos los problemas en una hoja y todas las operaciones en otra, ambos descolocados, y entregue una copia a cada grupo. Pídales que realicen un trabajo similar al hecho en esta página, relacionando cada problema con sus cálculos. Corrija después en común.

26

UNIDAD

1

Pasos para resolver un problema

Propósitos • Presentar las cuatro fases de resolución de un problema y aplicarlas en distintos casos.

Paloma sacó 5 entradas para el teatro. Entregó para pagar 3 billetes de 50 € y 2 de 20 €, y le devolvieron 5 €. ¿Cuánto costaba cada entrada?

Para resolver el problema seguimos estos pasos:


1.º Comprende. Pregunta Datos

Para explicar

¿Cuánto costaba cada entrada? Pagó con 3 billetes de 50 € y 2 de 20 €. Le devolvieron 5 €.

• Recuerde con los alumnos los pasos para resolver un problema, que ya conocen de cursos anteriores, y haga hincapié en la importancia del orden a la hora de resolver los problemas. Comente también la importancia de la comprobación, un paso que suelen dejar de lado.

2.º Piensa qué hay que hacer.

1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Paloma. Multiplica el valor de cada billete por el número de ellos y suma los productos. 2.º Hay que hallar el precio total de las entradas. Resta al dinero que entregó, el dinero que le devolvieron. 3.º Hay que hallar el precio de cada entrada. Divide el precio total de las entradas entre el número de entradas que compró. 3.º Calcula.

1.º 3 3 50 1 2 3 20 2.º 190 2 5 5 185 3.º 185 : 5 5 37

5

150 1 40

5

Actividades

190

1 38 3 250

15 5 1.050 9.500 1 1.050 5 10.550 12.045 2 10.550 5 1.495 Quedaron 1.495 litros en el depósito.

4.º Comprueba.

Revisa si está bien hecho.

2 2 3 47

4 3 35 5 140 56 1 94 1 140 5 290 300 2 290 5 10 Le devolvieron 10 €.

Resuelve los problemas siguiendo los pasos adecuados.

2

En un depósito había 12.045 ℓ de agua y se llenaron 38 cisternas de 250 ℓ y 70 bidones de 15 ℓ. ¿Cuántos litros de agua quedaron en el depósito? Álvaro compró una mesa de jardín por 56 €, dos tumbonas de 47 € cada una y cuatro sillones de 35 €. Entregó para pagar 300 €. ¿Cuánto dinero le devolvieron?

5 9.500

70 3

Solución: Cada entrada costaba 37 €.

1

1

3

4

En una fábrica han envasado 10.000 kg de naranjas. De ellos, han puesto 5.680 kg en bolsas de 5 kg y el resto en bolsas de 2 kg. ¿Cuántas bolsas han obtenido en total?

3 10.000 2 5.680 5 4.320

INVENTA. Pide

a un compañero que invente un problema y resuélvelo tú siguiendo los cuatro pasos de esta página.

e nc ia I n te l ig r so na l e i n t ra p

5 94;

17

5.680 : 5 5 1.136 4.320 : 2 5 2.160 1.136 1 2.160 5 3.296 Han obtenido 3.296 bolsas. 4 R. L. (Respuesta Libre).

Notas Competencias • Iniciativa y emprendimiento. Las actividades de invención de problemas son un contexto muy adecuado para desarrollar esta competencia. Indique a los alumnos que deben planificarse, organizar la información que quieran que incluya el problema, comunicarlo adecuadamente a sus compañeros y, después, evaluar cómo lo han hecho. Anímeles a ser creativos y a dar lo mejor de sí mismos.

27

ACTIVI DADES

Propósitos

1

• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Actividades 1

2

• 389.999.999

• 9.999.999

390.000.000

• 100.001

390.000.001

80

365.800.09 2

904.007.600

3

8

3 20

(42

1 7) 1 60

15

3 (2 3 40)

6

3 (4 1

5)

(30

1 7) 3 4

8

3 (9 2

2)

(40

2 15) 3 3

3

3 7 1 3 3 4

4

3 9 1 6 3 9

5

3 8 2 5 3 6

8

3 7 2 2 3 7

VOCABULARIO. Explica

en qué orden se calculan las operaciones combinadas. Después, pon un ejemplo de cada tipo y halla su resultado.

Calcula. 12

El menor número impar de 6 cifras.

2 (9 2

7

3 6 1

8

1

(15 20 9

5)

10

32 : 4

35 : (7

El mayor número par de 8 cifras.

Todos l os n úmero s co mpre ndid os entre 389.999.998 y 390.000.002.

1 25

Saca factor común y calcula.

6

Escribe los números indicados.

El mayor número de 7 cifras.

Asociativa

Distributiva

Escribe en cifras estos números.

El menor número de 9 cifras.

2

20 7

2)

1 3) 3 2 8 3

18 : 3

4

2

2 1 1 7

2 (5 2 2) 3 6

1 12

10

1 8

16 : 8 (6

:4

3 5

:2

2 (7 1 4)

1 (9 2 3) 3 2

1 2) 3 5

• 42.547 42.547 2 38.645 5 3.902 42.547 2 3.902 5 38.645 • 82.828 82.828 1 674 5 83.502 83.502 2 82.828 5 674 • 218.428 218.428 : 538 5 406 218.428 : 406 5 538 • 302 79 3 302 5 23.858 23.858 : 302 5 79

5

• 25 1 80 5 105; 20 3 3 5 60 • 42 1 (7 1 60) 5 109 (15 3 2) 3 40 5 1.200

28

1 1)

Escribe la expresión y calcula. Al d oble de 3 le s umo 4.

4

Calcula. Después, escribe con el resultado y esos dos núm eros las operaciones indicadas. 38.645 1 3.902 Dos restas. 83.502 2 674 Una suma y otra resta. 538 3 406 Dos divisiones exactas. 23.858 : 79 Una multiplicación y otra división.

Resto 1 a un tercio de 9. Resto 1 a un tercio de 9 más 6. 10

Escribe. El valor de los

Con números

números

romanos

XXXI V

XLIX

68

93

CCLXXXI MCM

134

759

DCXX

MCXII

3.765

5.492

XIDL XI

11.590

24.546

VICL

18

• 99.999.998 4

: (9

Calculo el doble de la suma de 3 y 4.

• 9.620.207

• 100.000.000

60.900.340

7 3

• 9 C. de millón 1 4 U. de millón 1 1 7 UM 1 6 C. Novecientos cuatro millones siete mil seiscientos.

3

24.076.410

Cuat rocientos ochenta millones setecientos seis mil ciento noventa.

• 6 D. de millón 1 9 CM 1 3 C 1 1 4 D. Sesenta millones novecientos mil trescientos cuarenta.

• 480.706.190

7.023.508

Nueve millones seiscientos veinte mil doscientos siete.

• 7 U. de millón 1 2 DM 1 3 UM 1 5 C 1 8 U. Siete millones veintitrés mil quinientos ocho.

• 70.243.005

Conmutativa

5.301.987

Setenta millones doscientos cuarenta y tres mil cinco.

• 3 C. de millón 1 6 D. de millón 1 1 5 U. de millón 1 8 CM 1 1 9 D 1 2 U. Trescientos sesenta y cinco millones ochocientos mil noventa y dos.

• 102.098.560

Aplica cada propiedad y calcula.

5

Ciento dos millones noventa y ocho mil quinientos sesenta.

• 5 U. de millón 1 3 CM 1 1 UM 1 9 C 1 8 D 1 7 U. Cinco millones trescientos un mil novecientos ochenta y siete. • 2 D. de millón 1 4 U. de millón 1 1 7 DM 1 6 UM 1 4 C 1 1 D. Veinticuatro millones setenta y seis mil cuatrocientos diez.

2


Otras actividades • Proponga actividades de comparación de dos números en las que estos estén expresados de forma diferente uno del otro (con letras, con cifras, descompuestos…). • Prepare tarjetas iguales numeradas del 0 al 9. Extraiga sucesivamente algunas o todas las tarjetas. Pida a los alumnos que anoten las cifras obtenidas y hallen la descomposición del número que se forma, y escriban cómo se lee. También pueden escribir el número anterior o posterior, comparar los números sucesivos que se obtengan…

UNIDAD

1 • 6 3 4 1 6 3 5 5 54 8 3 9 2 8 3 2 5 56 30 3 4 1 7 3 4 5 148 40 3 3 2 15 3 3 5 75

Problemas 11

Escribe cómo se leen los números del cartel. Después, contesta. Número de habitantes en 2010

12

¿En qué año ocurrió? Escribe. Llegada a América: MCDXCII. Llegada a la Luna: MCMLXIX.

España

47.190.493

Invención de la bombilla: MDCCCLXXIX.

Francia

65.821.885

Invención del microscopio: MDXC.

Portugal Italia

6

• 3 3 (7

1 4) 5 33

• 5 3 (8 2 6) 5 10

11.317.192

• (4

60.742.397

1 6) 3

9 5 90

• (8 2 2) 3 7 5 42

¿Qué país tenía el mayor número de habitantes? ¿Y el menor? ¿Qué países tenían más de 58 millones de habitantes?

7

R. L. (Respuesta Libre).

8

• 8

•7

• 12

•3

• 52

• 72

•2

• 14

• 16

•4

• 22

•4

Aproxima a los millones el número de habitantes de cada país. 9 13

1

• 2 3 3 1 4 5 10 • 2 3 (3

Observa los precios y calcula.

1 4) 5 14

• 9 : 3 2 1 5 2 • (9 Precios

– – – –

10

Entrada de 1 día 7€ Bono de 10 días 55 € Bono de 20 días 95 € Alquiler de patines 2 €/día

e nc ia I n te l ig ne s té s ica a l -k i co r po r

¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que entradas diarias? ¿Y para un bono de 20 días?

11

– Andrea va a ir a patinar 8 días y no tiene patines propios. – Miguel quiere ir 13 días durante las vacaciones. No necesita alquilar patines. – Tomás piensa ir 2 veces a la semana durante 8 semanas. Tiene que alquilar patines.

14

Un trillón es un millón de billones y un billón es un millón de millones. ¿Qué es mayor: un trillón o un billón de millones?

: 3 2 1 5 4

• 34, 281, 620, 6.150, 49, 1.900, 1.112, 11.561 • LXVIII, CXXXIV, MMMDCCLXV, XIDXC, XCIII, DCCLIX, VCDXCII, XXIVDXLVI

Explica qué tipo de entrada le conviene sacar a cada persona y cuánto le costaría ir:

Demuestra tu talento

1 6)

¿?

• Cuarenta y siete millones ciento noventa mil cuatrocientos noventa y tres. Sesenta y cinco millones ochocientos veintiún mil ochocientos ochenta y cinco. Once millones trescientos diecisiete mil ciento noventa y dos. Sesenta millones setecientos cuarenta y dos mil trescientos noventa y siete. • Mayor: Francia, y menor: Portugal.

19

• Francia e Italia. • 47.000.000; 66.000.000; 11.000.000; 61.000.000

Competencias • Competencia social y cívica. La situación de la actividad 13 permite suscitar un debate en clase sobre ideas relacionadas con esta competencia: la práctica de la actividad deportiva, las normas de comportamiento en actividades sociales colectivas, la importancia de analizar las distintas opciones como consumidores… Anime a los alumnos a ejercitar todos estos valores y a exponer sus ideas al respecto.

12

• 1.492 • 1.969 • 1.879 • 1.590

13

• A partir de 8 días (8 3 7 5 56 . 55). El de 20 días, a partir de 14 días (14 3 7 5 98 . 95). • Bono de 10 días. Precio total: 71 €. • Bono de 10 días y 3 entradas. Precio total: 76 €. • Bono de 20 días. Precio total: 127 €.

Demuestra tu talento 14 Ambos

son iguales.

29

SABER HACER

Propósitos

Elegir un presupuesto

• Desarrollar la competencia matemática en problemas reales.

A María y a su familia les encanta la astronomía y han decidido ir a ver una exposición sobre la exploración espacial en un país vecino.

• Repasar contenidos clave. Ida

Actividades pág. 20 1

• Presupuesto 1: 105 3 2 1 (258 1 95) 3 3 5 210 1 1.059 5 1.269

Vuelta

20 Jul 2015

26 Jul 2015

Lunes

Domingo

Número de habitaciones: 1

5

En la agencia de viajes les han preparado varios presupuestos para elegir: Presupuesto 1

Adultos:

• Presupuesto 2: 90 3 2 1 90 : 2 1 1 (258 1 95) 3 3 5 5 180 1 45 1 1.059 5 1.284

2

Niños: 2

Bebés: 0

105 € por persona. Niños hasta 12 años gratis. Presupuesto 2

Edad de los niños: 12

8

90 € por persona. Niños menores de 9 años gratis. Niños de 9 a 12 años pagan la mitad.

Es mejor el presupuesto 1. 2

Además, hay vuelos de ida y vuelta con un importe por persona de 258 € más 95 € de tasas de aeropuerto. En la agencia les dicen que los niños menores de 9 años tienen el vuelo y las tasas incluidos con el precio del hotel.

• Seiscientos nueve mil trescientos ochenta. 6 CM 1 9 UM 1 3 C 1 8 D 5 5 600.000 1 9.000 1 300 1 80 600.000 • Dos millones nueve mil doscientos setenta y uno. 2 U. de millón 1 9 UM 1 2 C 1 1 7 D 1 1 U 5 2.000.000 1 1 9.000 1 200 1 70 1 1 2.000.000

3

1

Averigua qué presupuesto es mejor para la familia de María.

2

Escribe cómo se lee, descompón y aproxima al mayor de sus órdenes los números de la noticia. La exposición fue visitada en Francia por 609.380 personas y en toda Europa, por 2.009.271 personas.

R. L. Pida a los alumnos que se organicen y repartan el trabajo, que lleguen a un acuerdo sobre ese reparto y después preparen la información para exponerla, justificando sus afirmaciones.

3

TRABAJO COOPERATIVO. Cambia

las condiciones y los precios de los dos presupuestos y pide a tu compañero que halle cuál es el mejor. Después, comprueba que lo ha hecho bien.

e nc ia I n te l ig r so na l e i n te r p

20


• 30.705.200. Treinta millones setecientos cinco mil doscientos. • 400.098.003. Cuatrocientos millones noventa y ocho mil tres. • 602.000.180. Seiscientos dos millones ciento ochenta.

2

• 4.080.258; 80.000 y 8 • 38.814.690; 8.000.000 y 800.000 • 582.708.006; 80.000.000 y 8.000 • 829.300.880; 800.000.000, 800 y 80

30

Desarrollo de la competencia matemática • En esta página se pide a los alumnos que ejerciten distintos saberes adquiridos a lo largo de la unidad. El trabajo con una situación real próxima, como la planificación de un viaje, y el análisis de presupuestos les motiva y ayuda a comprender la utilidad de sus conocimientos, desarrollando esta competencia.

1

Escribe cada número y cómo se lee.

4

1 5

UM

1 2

C

476

4 C. de millón 1 9 DM

1 8

UM

1 3

U

6.805

1 1

C

1 8

D

Escribe en cifras. Después, escribe el valor en unidades de las cifras 8 en cada número.

350

Cuatro millones ochenta mil doscientos cincuenta y ocho. Treinta y oc ho m illo nes ocho cien tos catorce mil seiscientos noventa. Quinientos ochenta y dos millones setecientos ocho mil seis.

6

Ochocientos veintinueve millones trescientos mil ochocientos ochenta. 3

1 37.651 1 82.049

6.027

3.953

2

3

59 3

34

246 3

3 70

937

3 850

187

36.873 : 51

86.743 : 285

79.350 : 482

296.985 : 479

18.330 : 390

657.900 : 860

4

5

Averigua el factor desconocido de cada operación. 1

5

105

1 64 5 453

52

2

5

23

2 106 5

48

9

3

5 243

3 30 5 240

342 : :8

5 57 5 208

Problemas

7

8

Un autobús sale de la estación con 46 personas. En la primera parada se bajan 5 personas y suben 12 y en la segunda se bajan 20 y suben 3. ¿Cuántas personas continúan en el autobús? Ester ha comprado 3 cajas de pastas de fresa y 4 cajas de pastas de chocolate. Después, ha repartido las pastas entre las 8 mesas del comedor. ¿Cuántas pastas ha puesto en cada mesa?

6 9

10

11

12

• 576.632

• 177.625

1.208 3 603

7.452 : 36

1

• 2.074

746 3 900

4.903 : 67

93

273.105 2 95.480

581

Divide y haz la prueba.

Calcula. Haz la prueba de las restas. 456.932

3

2.079 5

3

Multiplica.

3 D. de millón 1 7 CM

6 C. de millón 1 2 U. de millón 2

UNIDAD

1

REPASO ACUMULATIVO

En un montacargas han metido 2 cajas de 85 kg cada una y 45 paquetes de 8 kg cada uno. El peso máximo que admite el montacargas es 600 kg. ¿Cuántos kilos más se pueden cargar en él?

7

Elsa compró 16 m de tela roja y 18 m de tela verde. Ha hecho 5 manteles de cada color, todos de 2 m de largo. ¿Cuántos metros de tela le han sobrado?

• 28.084

• 40.670

• 231.370

• 796.450

• 86.100

• 671.400

• 388.773

• 728.424

•

c 5

73, r 5 12

•

c 5

•

c 5

•

c 5

•

c 5

•

c 5

•

c 5

•

c 5

723 164, r 5 302 47 207 304, r 5 103 620, r 5 5 765

•

5

12

•

5 27

•

5

389

•

5 8

•

5

29

•

5 6

•

5

154 •

5 26

46 2 5 5 41; 41 1 12 5 53 53 2 20 5 33; 33 1 3 5 36 Continúan 36 personas.

8

En un colegio hay 3 clases de 5.º y 3 de 6.º, con 24 alumnos en cada clase de 5.º y 26 alumnos en cada clase de 6.º. Hoy han faltado 5 alumnos de 5.º y 4 de 6.º. ¿Cuántos alumnos de 5.º y 6.º han ido hoy al colegio? ¿A qué curso han ido más alumnos?

3 3 16 5 48; 4 3 24 5 96 48 1 96 5 144; 144 : 8 5 18 Ha puesto 18 pastas en cada mesa.

9

Ana tiene la mitad del triple de años de Sara. Luis tiene 32 años, el doble que Sara. ¿Cuántos años tiene Ana?

2 3 85 5 170; 45 3 8 5 360 170 1 360 5 530 600 2 530 5 70 Se pueden cargar 70 kg más.

21

10

16 2 5 3 2 5 6 18 2 5 3 2 5 8 6 1 8 5 14 Le han sobrado 14 m de tela.

Repaso en común 11

• Pida a cada alumno que escriba en un folio tres actividades similares a las trabajadas en la unidad. A continuación, y una vez revisadas, organícelas según criterios de contenidos y forme con ellas una especie de cuadernillo de trabajo donde se recojan las que considere más interesantes, teniendo en cuenta que sean variadas y estén bien planteadas. Puede fotocopiar un ejemplar para cada alumno de la clase y pedir que lo vayan solucionando poco a poco. Después, corrija alguna de las actividades en común en la pizarra.

3 3 24 2 5 5 67 3 3 26 2 4 5 74 67 1 74 5 141 Han ido 141 alumnos. Han ido más de 6.º

12

32 : 2 5 16 Sara tiene 16 años. 3 3 16 : 2 5 24 Ana tiene 24 años. 24 1 16 1 32 5 72 Tienen 72 años entre los tres.

31

2


Contenidos de la unidad SABER


Potencia.

•

Expresión polinómica.

•

Raíz cuadrada.

•

•

•

•


•

•

•

•

SABER HACER

•


TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

TAREA FINAL

•

•

•

•

SABER SER


•

•

32

Escritura de productos de factores iguales en forma de potencia. Reconocimiento de la base y el exponente de una potencia. Lectura, escritura y calculo de potencias. Desarrollo de la expresión polinómica de un número. Escritura de números a partir de su expresión polinómica. Cálculo de la raíz cuadrada de un número. Resolución de problemas aplicando potencias y raíces cuadradas.

Explicación de qué se averigua con unos cálculos dados en una situación. Búsqueda de datos en varios gráficos para resolver problemas.

Interpretación y representación de gráficos lineales de dos características.

Analizar la difusión de una noticia.

Valoración de la utilidad de los números naturales y sus operaciones en situaciones cotidianas. Interés por resolver las actividades de forma clara y ordenada. Valoración del esfuerzo propio y del trabajo en equipo.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •




LibroNet

•


MATERIAL DE AULA

•

Rúbrica. Unidad 2.

•

Láminas

Enseñanza individualizada •


•



Cuaderno del alumno


•



Solución de problemas. Método DECA.

Recursos complementarios •


•


•


i

CUADERNO

Aprendizaje eficaz •

a s má t ic e t a M

_ - _ _


e s t re e r t r i m P r i m

A I R A M I R P


A I R A M I R P


Programa de Educación en valores.

•

Programa de Educación emocional.

11 7


•

_

n _

t m ti

s_ -1_

7

.in

1

/

/

_ t

t i s_ -

_

/

/

1

:

:1

: :

i.


Octubre

Noviembre

Diciembre

33

Propósitos • Reconocer situaciones reales donde aparecen potencias.

2


• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • A la hora de trabajar con potencias, los alumnos a veces cometen errores como multiplicar la base por el exponente o confundir el cuadrado y el cubo de un número con su doble o su triple. Para evitarlos insista en la relación entre productos de factores iguales y sus correspondientes potencias. • También puede resultar complejo el trabajo con la expresión polinómica de un número, sobre todo si no se han entendido bien las potencias de base 10 y su cálculo. Fundamente bien ese cálculo y recuerde la descomposición de un número. • Finalmente, la comprensión del concepto de raíz cuadrada también puede plantear dificultades. Insista en la relación entre el cuadrado de un número y la raíz cuadrada, trabajando ambos de manera simultánea.

Trabajo colectivo sobre la lámina Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre ella y la rapidez de crecimiento de las potencias y trabaje las actividades en común. 1

1 hora: 2 bacterias. 2 horas: 4 bacterias. 3 horas: 8 bacterias.

2

Se han hecho multiplicaciones, podrían expresarse en forma de potencia.

3

Habrá 2 3 16 5 32 bacterias.

4

34

Habrá 512 bacterias. A las 10 horas habrá ya 2 3 512 5 1.014 bacterias. Serán necesarias 10 horas.

¿Por qué hay tantas bacterias? En un litro de agua de mar o en un gramo de tierra fértil es posible encontrar hasta mil millones de bacterias. ¿Cómo es posible que haya tantas? Las bacterias son organismos vivos unicelulares, es decir, están formadas por una sola célula, y se reproducen por división, obteniéndose dos nuevas bacterias iguales a la original cada vez que se dividen. Normalmente el proceso de división puede tardar una o dos horas, pero algunas bacterias, si las condiciones de temperatura y humedad son buenas, pueden llegar a duplicarse en veinte minutos. ¡A ese ritmo, en doce horas y partiendo de una sola bacteria, superarían en número a la población humana actual! 22

Otras formas de empezar • Anime a sus alumnos a que piensen situaciones similares a la propuesta en la página inicial en las que sea necesaria la multiplicación de un factor por sí mismo varias veces. • Pida a los alumnos que aporten ideas para expresar de manera abreviada productos de factores iguales. Deberán también añadir las ventajas e inconvenientes del sistema de expresión que cada uno proponga.

UNIDAD

2

Lee, comprende y razona 5 Corresponde a las 6 horas. 1

Si una bacteria se divide cada hora, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora? ¿Y de 2 horas? ¿Y de 3 horas?

2

¿Qué operaciones has hecho para responder a la actividad 1? ¿Puedes expresarlas de otra forma?

3

Si a las 4 horas en condiciones óptimas hay 2 3 2 3 2 3 2 5 16 bacterias, ¿cuántas habrá a las 5 horas?

4

5

¿Cuántas bacterias habría al cabo de 9 horas? ¿Cuántas horas serían necesarias para que hubiera más de 1.000 bacterias? EXPRESIÓN ORAL. ¿A qué número de horas corresponde el número de bacterias obtenido con la expresión 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2? ¿Cómo lo has averiguado?

Coincide el número de horas con el número de veces que se repite el factor 2.

SABER HACER TAREA FINAL Analizar la difusión de una noticia

¿Qué sabes ya?

Al f inal de l a un idad estudiarás cómo se difunde una noticia por Internet.

Trabaje estas actividades previas para facilitar la resolución de las actividades posteriores con potencias.

Ante s, t raba jará s co n la s potencias, sus aplicaciones y la raíz cuadrada.

1 • Valor: 81.

e nc ia I n te l ig s t ica l ing ü í

Factor que se repite: 3. Veces que se repite: 4. • Valor: 1.024. Factor que se repite: 4. Veces que se repite: 5. • Valor: 16. Factor que se repite: 2. Veces que se repite: 4.

¿Qué sabes ya?

Productos de factores iguales Factores 7 3 7 3 7

5

Factores 10 3 10

Cuadrados y cubos

3 10 3 10

343

4

4

Producto 5

4 4

10.000

4 3 4 1

Calcula y escribe en tu cuaderno. 3 3 3 3 3 3 3

10 3 10 3 10

232

7 3 7

232

• Valor: 1.000. Factor que se repite: 10. Veces que se repite: 3.

4 5 16

Hay 16 cuadrados.

434

3 4 5 64

Hay 64 cubos.

• Valor: 49. Factor que se repite: 7. Veces que se repite: 2.

5 3 5 3 5

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

• Valor: 125. Factor que se repite: 5. Veces que se repite: 3.

Producto

2

Calcula cuántos cuadrados o cubos hay.

2 Cuadrados: 3 3 3

EJEMPLO

5 9.

Cuadrados: 7 3 7 5 49. Cubos: 3 3 3 3 3 5 27. Cubos: 5 3 5 3 5 5 125.

3 3 3 3 3 3 3 5 … Factor que se repite: 3. Veces que se repite: …

23

Notas Competencias • Competencia lingüística. Al trabajar las preguntas relativas a la lectura, y en especial la de Expresión oral, pida a los alumnos que utilicen términos matemáticos para expresarse y anímeles a hacerlo de forma clara y correcta. • Aprender a aprender. Potencie en los alumnos la sensación de progreso y avance en sus conocimientos. Señale que van a trabajar una operación derivada de la multiplicación, la potenciación, y otra relacionada con ella, la radicación. Ambas están fundamentadas en conocimientos anteriores.

35

Potencias

Propósitos Raúl tiene cajas de botes de tomate. En cada caja hay 3 filas con 3 botes en cada una. Las cajas están en paquetes de 3 cajas y Raúl tiene 3 paquetes. ¿Cuántos botes tiene?

• Escribir productos de factores iguales en forma de potencia. • Reconocer la base y el exponente de una potencia.

Número de botes por caja 3 3 3 5 9 Número de botes por paquete 3 3 3 3 3 5 27 Número de botes en total 3 3 3 3 3 3 3 5 81

• Leer, escribir y calcular potencias.

Raúl tiene 81 botes de tomate.


Los productos de factores iguales se expresan en forma de potencia. Las potencias están formadas por una base y un exponente.

Para explicar. Muestre que en la

Potencia

situación planteada tenemos que hallar sucesivos productos de un mismo factor.

3 3 3 3 3 3 3

Exponente: número de veces (4) que se repite el factor.

34

Base: factor que se repite (3). Las potencias anteriores se leen así:

Caracterice las potencias como una forma de expresar productos de factores iguales. Muestre la importancia de no confundir la base y el exponente (a la hora de expresar los productos como potencias) y de calcular correctamente el valor de la potencia (no multiplicar base por exponente). Trabaje la lectura y escritura de potencias haciendo hincapié en el caso especial de cuadrados y cubos. Muestre su relación con los términos geométricos.

3 2

33

3 al cuadrado o 3 elevado a 2.

3 al cubo o 3 elevado a 3.

34

3 a la cuarta o 3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite es el exponente.

1

2

Expresa cada producto como potencia. Después, escribe su base y su exponente. 6 3 6

5 3 5 3 5

2 3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

8 3 8

7 3 7 3 7

8 3 8 3 8 3 8 3 8

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Forma todas las potencias posibles y escribe cómo se leen.

que digan dos números del 1 al 10. Otro alumno saldrá y escribirá la potencia formada con esos dos números (el primero será la base) y su expresión como producto de factores iguales. Despues, dirá cómo se lee.

4

4

2

5 7

3

Exponentes

Bases

Para reforzar. Pida a dos alumnos

Actividades

5

3 6

10

7

Expresa cada potencia con cifras en tu cuaderno y rodea su exponente. Nueve al cuadrado

8 elevado a 7

Dos al cubo

3 elevado a 9

Tres a la octava

7 elevado a 8

Seis a la cuarta

10 elevado a 6

Ocho a la sexta

9 elevado a 5

Piensa y contesta. ¿Cuál es el valor de una potencia de base 1? ¿Y de una potencia de base 0? ¿Cuál es el valor de una potencia cuyo exponente es 1?

24

1 • 62; base: 6, exponente: 2.

• 82; base: 8, exponente: 2. • 53; base: 5, exponente: 3.

Otras actividades

3

• 7 ; base: 7, exponente: 3. • 24; base: 2, exponente: 4. • 85; base: 8, exponente: 5. • 46; base: 4, exponente: 6. • 37; base: 3, exponente: 7. 2 • 42; 4 al cuadrado 3

; 4 al cubo 6 4 ; 4 a la sexta 7 4 ; 4 a la séptima 4

• 52; 5 al cuadrado 53; 5 al cubo 56; 5 a la sexta 57; 5 a la séptima

36

• Prepare tarjetas numeradas del 1 al 10, dos tarjetas con cada número. Extraiga dos de ellas y levántelas, una en cada mano. Los alumnos deberán escribir la potencia correspondiente (tomando como base el número de la mano que usted indique), su expresión en forma de producto, su lectura y su valor numérico. • Escriba en la pizarra los cuadrados de los números 1, 11, 111 y 1.111 12 1; 112 121; 1112 12.321; 1.1112 1.234.321. Posteriormente, pida a sus alumnos que intenten descubrir la regla que siguen los cuadrados de esta serie de números, y que a continuación, sin realizar ningún tipo de operación, escriban en sus cuadernos los cuadrados de los números 11.111, 111.111 y 1.111.111. 5

5

5

5

UNIDAD

2 5


Calcula el valor del cuadrado y el cubo de los números del 1 al 10. PRESTA ATENCIÓN

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados.

12

22

32

42

52

3

3

3

3

53

1

2

3

4


Las potencias de exponente 3 se llaman cubos.

6

Fíjate bien en las bases y exponentes de las potencias. Sin calcular, compara cada pareja y escribe en tu cuaderno la mayor de ellas. 27

24

94 6

5

9

3 • 92; exp.: 2.

Calcula en tu cuaderno: 23

5

3 2 14

4

5 8 3 … 5 …

5 2

7

5 …

¿Qué observas? ¿A qué crees que será igual 22 3 2 6?

Problemas 7

SABER MÁS

23

74

2

•

7

8

; exp.: 7.

3

•

8

• 78; exp.: 8.

4

• 106; exp.: 6.

6

•

•

2

•

3

•

6

•

8

; exp.: 3. ; exp.: 8. ; exp.: 4. ; exp.: 6.

9

3

; exp.: 9.

5

9

; exp.: 5.

4 • El valor de una potencia

Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia.

de base 1 es siempre 1. Si la base es 0, es siempre 0.

En un barrio i hay 9 urbanizaciones. i i Cada urbanización i i tiene i 9 bloques. l En cada bloque l hay 9 rellanos. ll En cada rellano ll hay 9 pisos. i ¿Cuántos pisos i hay en todas las l urbanizaciones? i i

• Una potencia de exponente 1 es siempre igual a la base. 5 Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,

Un club l de ajedrez fue fundado hace 5 años por 3 amigos. i Tuvo éxito i y cada año el l número de socios i era el l triple i l del l año anterior. i ¿Cuántos socios i tiene i ahora ell club? l

49, 64, 81, 100. Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000.

En un videojuego i ell número de pruebas que hay que superar en cada nivel i l es ell doble l de las l del l nivel i l anterior. i Si i en ell nivel i l 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en ell nivel i l 9?

6 • Mayor: 27 (es la de mayor

exponente). • Mayor: 95 (es la de mayor base).

Cálculo mental

• Mayor: 94 (es la de mayor base). 7 • 94

Resta 1.001, 2.001, 3.001… a números de cuatro cifras 2 2.001

3.638

1.638 2 2.000

1.637 2 1

2.345 2 1.001

4.768 2 3.001

8.495 2 6.001

3.514 2 2.001

6.917 2 5.001

9.982 2 7.001

Hay 6.561 pisos.

5 243.

Tiene 243 socios.

9

5 512.

Habrá 512 pruebas.

• 3 • 2

¿Cómo restarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Cómo restarías 3.005? ¿Y 5.006?

5 6.561.

5

Saber más 3

25

4

2 3 2 5 8 3 314

2

16 5 128

7 5 2 5 128

Los resultados son iguales. 2

6

216

2 3 2 5 2

8

5 2

Competencias • Competencia social y cívica. Al realizar los distintos problemas de la actividad 7 puede suscitar un debate o charla en común sobre los distintos temas que se abordan en ella: la convivencia en los barrios y las comunidades de vecinos, los clubs deportivos, los videojuegos… Pida a los alumnos que aporten sus opiniones sobre ellos y haga hincapié en los valores positivos que deben desarrollar en esas situaciones.

Cálculo mental • 1.344

• 1.767

• 2.494

• 1.513

• 1.916

• 2.981

Para restar 1.002 primero se resta 1.000 y después 2. Para restar 1.003, primero se resta 1.000 y luego 3. Para restar 3.005 primero se resta 3.000 y después 5. Para restar 5.006 primero se resta 5.000 y luego 6.

37

Potencias de base 10 Propósitos En la clase de 6.º A han calculado varias potencias de 10.

• Calcular potencias de base 10.

10 1

• Utilizar la relación entre el exponente de una potencia de base 10 y el número de ceros que siguen a la unidad.

5 10 3

10

10 3

5 10 3

10 3 10

10 4

5 10 3

10 3 10 3 10

10

• Escribir números utilizando potencias de base 10.

5 10

2

5 100

¡El exponente y el número de ceros coinciden!

5 1.000 5 10.000

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Sugerencias didácticas 1

Para explicar. Deje clara, para las

Escribe el valor de cada potencia. 10 4

potencias de base 10, la relación entre exponente y número de ceros que siguen a la unidad. Muestre cómo con las potencias de base 10 podemos expresar de forma sencilla números muy grandes. Indique a sus alumnos que muy pronto aprenderán otra utilidad de estas potencias: la expresión polinómica de un número.

2

10 3

100 10

5 5 5

10

100.000 5 10

1.000 5 10

1.000

10

10

Utiliza potencias de base 10 para escribir cada número.

5 547 3 100 5 547 3 10

l e u g i M

• 1.000.000.000 2 •

5 5

•

5 7

•

5 8

•

5 2

•

5 5

•

5 3

•

5 3

•

5 6

•

5 4

3 Un millón 5 106. Un billón

2

10

5 100.000.000

5 10.000

80

90.000

640

392.000

600

400.000

2.700

4.580.000

2.000

3.000.000

91.000

56.300.000

Completa la tabla en tu cuaderno escribiendo los resultados de los análisis de Paula y Miguel utilizando potencias de base 10.

a l u a P

• 1.000.000

1.000.000

4

Actividades • 100.000.000

5

10.000.000

Escribe un millón y un billón como una potencia de base 10.

54.700

• 100.000

5

3

5

10 9

10

Resultados

• 1.000

10 6

100.000

HAZLO ASÍ

el producto de un número por una potencia de base 10. Pida a un alumno que salga a la pizarra y escriba el número equivalente.

10 8

Averigua el exponente de cada potencia. 10

Para reforzar. Escriba en la pizarra

1 • 10.000

10 5

Glóbulos rojos

4.870.000

Glóbulos blancos Glóbulos rojos Glóbulos blancos

Resultados utilizando potencias de base 10

9.500 5.210.000 10.200

26

12 5 10 .

4 • 80 5 8 3 10

Otras actividades

• 600 5 6 3 102 3

• 2.000 5 2 3 10

• 90.000 5 9 3 104 • 400.000 5 4 3 105 • 3.000.000 5 3 3 106 • 640 5 64 3 10 • 2.700 5 27 3 102 • 91.000 5 91 3 103 • 392.000 5 392 3 103 • 4.580.000 5 458 3 104 • 56.300.000 5 563 3 105 5 Paula: 487 3 104; 95 3 102.

Miguel: 521 3 104; 102 3 102.

38

• Explique a los alumnos que en ocasiones es muy útil expresar cantidades mediante potencias de base 10. Proporcióneles ejemplos como la masa de la Luna (7 3 1022 kg), el número de estrellas de la Vía Láctea (2 3 1011 ), la edad del Sol (5 3 109 años), la supercie aproximada de los océanos (4 3 1014 m2 ), los glóbulos rojos en 1 litro de sangre (5 3 1012 )… Puede ser interesante pedirles que expresen algunos de ellos con todas sus cifras para que aprecien mejor la utilidad de las potencias en estos casos.

Expresión polinómica de un número

UNIDAD

2

2

Propósitos Con las potencias de 10 podemos escribir los números. Esta forma de escribirlos se llama expresión polinómica.

• Hallar la expresión polinómica de un número.

Observa cómo se escribe de esa forma el número 27.069. Se descompone y se usan las potencias de 10. 27.069 5

20.000

7.000

1

27.069 5 2 3 10.000 1 7 3 1.000 2 3 10 4

27.069 5

7 3 10 3

1

1

60

1 9

1

6 3 10

1 9

1

6 3 10

1 9

DM 2

UM 7 .

C

D

U

0

6

9

• Escribir números a partir de su expresión polinómica.

Sugerencias didácticas Para explicar. Recuerde con

1

PRESTA ATENCIÓN Descompón el número en primer lugar y ten cuidado con los ceros.

2

los alumnos cómo se realizaba la descomposición de un número en forma de suma. Muestre cómo podemos expresar los sumandos de esa descomposición como el producto de una cifra del número por la potencia de base 10 correspondiente. Señale que cada número tiene una descomposición única y viceversa.

Escribe en tu cuaderno la expresión polinómica de cada número. 198

60.342

3.090.800

3.245

89.071

70.250.230

49.782

209.506

901.600.000

Escribe en tu cuaderno el número correspondiente a cada expresión polinómica. 7 3 10 5

1 6 3

10 4

1 8 3

10 2

1 2 3

10

6

1 3 3

10

5

1 5 3

10 3

1 4 3

10

2 3 10 6

1 1 3

10 5

1 7 3

10 2

1 3

1 5 3

6

9 3 10

8 3 10

7

3 3 10 7

10

4 1 2 3 10

1 1 3 10 2 1 10

5

1 4 3

1

10 3

5

700.000 1 …

1 6 3

10 2

1 … 1 … 1 … 5 …

1 9

Actividades

1 8 3 10

1 • 1 3 102

1 9 3

10 1 8

• 3 3 103 1 2 3 102 1 4 3 10 1 5

Razonamiento

• 4 3 104 1 9 3 103 1 7 3 102 1 1 8 3 10 1 2

Ordena de menor a mayor los números de cada grupo. Fíjate bien en las potencias de 10 y los números que las multiplican.

• 6 3 104 1 3 3 102 1 4 3 10 1 2 9 3 10 5

4 3 10 5

7 3 10 5

• 8 3 104 1 9 3 103 1 7 3 10 1 1 6 3 10 7

6 3 10 9

• 2 3 105 1 9 3 103 1 5 3 102 1 6

6 3 10 8

• 3 3 106 1 9 3 104 1 8 3 102 4 3 10 8

9 3 10 7

1 8 3

10 6

1 5 3

• 7 3 107 1 2 3 105 1 5 3 104 1 2 1 2 3 10 1 3 3 10

10 4

• 9 3 108 1 1 3 106 1 6 3 105 27

2 • 760.825

• 9.305.040 • 2.100.703 • 85.104.609

Otras actividades • Prepare tarjetas numeradas del 0 al 9, y otras de distinto color en las que aparezcan las potencias 10 1, 102, 103... hasta 109. Extraiga varias tarjetas numeradas y anote en la pizarra los números en el orden en que han salido. Saque después la misma cantidad de tarjetas con las potencias de base 10 y pida a los alumnos que escriban la expresión polinómica correspondiente. Después indíqueles que escriban el numero asociado. • También puede sacar tarjetas numeradas y que los alumnos escriban la descomposición polinómica del número formado por las tarjetas.

• 30.020.180

Razonamiento • 4 3 105 < 7 3 105 < 9 3 105 • 6 3 107 < 6 3 108 < 6 3 109 • 9 3 107 1 8 3 106 1 5 3 104 < < 4 3 108

Notas

39

Raíz cuadrada

Propósitos Juan es repostero y quiere cortar una tarta cuadrada en 25 raciones cuadradas iguales. ¿Cuántas raciones habrá en cada lado de la tarta?

• Relacionar cuadrado y raíz cuadrada de un número. • Calcular raíces cuadradas sencillas.

Para hallarlo, hay que buscar el número que multiplicado por sí mismo nos dé 25, es decir, el número cuyo cuadrado es 25.

• Resolver problemas aplicando el cálculo de cuadrados o raíces cuadradas.

Ese número es la raíz cuadrada de 25 y se escribe � 25. 3 3 3 4 3 4

5 3

2

5 9

5 4

2

5 16

5 5

2

5 25


5 3 5

Para explicar. Comente con sus

La raíz cuadrada de 25 es 5.

� 25

alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cuadrada como la operación inversa a hallar el cuadrado y muestre que la raíz es siempre menor que el número, mientras que el cuadrado no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta, solo aquellos que se obtienen al calcular el cuadrado de los números naturales.

5 5

� 25

porque 5 2

5 5

5 25.

En cada lado de la tarta habrá 5 raciones.

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

1

Observa y completa para cada cuadrado en tu cuaderno. Cada lado tiene … cuadrados. En total hay … cuadrados.

Para reforzar. Pida a varios alumnos

El cuadrado de … es …

que salgan a la pizarra y calculen el cuadrado de varios números. Después, obtenga en común la raíz de esos cuadrados, dejando clara la relación entre raíz y cuadrado. Pídales que la verbalicen: «La raíz de … es … porque el cuadrado de … es …».

La raíz cuadrada de … es … 2

32

3

Actividades

4

• Cada lado tiene 6 cuadrados. En total hay 36 cuadrados. El cuadrado de 6 es 36. La raíz cuadrada de 36 es 6. • Cada lado tiene 4 cuadrados. En total hay 16 cuadrados. El cuadrado de 4 es 16. La raíz cuadrada de 16 es 4. 9; � 9

2 • 32

5

• 72

5

• 92

5

• 82

5

• 102

40

49; � 49

5

81; � 81

5

64; � 64

5

7 9 8

100; � 100

5

� 36

5

• � 25

5

3 •

3

5

10

5

6 porque 62

5

5 porque 52

5

36. 25.

�9

72

� 49

92

� 81

82

� 64

� 100

102

Calcula cada raíz en tu cuaderno y explica por qué tiene ese valor.

� 36

� 25

EJEMPLO

� 36

� 49 5 …

�1

� 16

�4

� 64

�9

porque 62 es …

Piensa y contesta. ¿Qué número tiene como raíz cuadrada 0? ¿Y 1?

1 • Cada lado tiene 2 cuadrados.

En total hay 4 cuadrados. El cuadrado de 2 es 4. La raíz cuadrada de 4 es 2.

Halla primero cada cuadrado y después escribe el valor de la raíz.

28

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Pídales que preparen 20 tarjetas iguales y que rotulen en ellas estos números (uno en cada tarjeta): 3 2, 25, 4, 3, � 25, 7, 9, 64, 72, 16, 8, � 16, 42, � 9, 5, � 64, 49, 82, 52 y � 49. Tras mezclar las tarjetas y colocarlas en un montón, uno de los alumnos de la pareja sacara dos tarjetas al azar; si representan el mismo número, se quedara con ellas, y si no, las mezclara otra vez en el montón, pasando el turno al otro jugador. La partida fnalizará cuando ya no queden tarjetas.

UNIDAD

2 5

• � 49 5 7 porque 72 5 49.

Calcula entre qué dos números consecutivos está la raíz cuadrada de cada número.

• � 1 5 1 porque 12 5 1.

HAZLO ASÍ

SABER MÁS

• � 16 5 4 porque 42 5 16.

� 20

¿Cuántos números naturales tienen su raíz cuadrada comprendida entre 7 y 8?

• � 4 5 2 porque 22 5 4.

Probamos con distintos cuadrados hasta encontrar los dos entre los que está el número 20. 62 52 42

5 36;

. 20

5 25;

36 25 5 16; 16

. 20

42

, 20 , 5

2

• � 64 5 8 porque 82 5 64. • � 9 5 3 porque 32 5 9.

, 20

La raíz cuadrada de 20 es mayor que 4 y menor que 5. 4

� 10

� 24

,

� 20

� 75

4

La raíz de 0 es 0. La raíz de 1 es 1.

5

• 3 , � 10 , 4

, 5

� 45

� 50

� 90

• 4 , � 24 , 5 • 8 , � 75 , 9

Problemas 6

2

• 6 , � 45 , 7

Resuelve. Piensa bien antes de calcular.

• 7 , � 50 , 8

Pilar y su abuelo juegan a los barcos dibujando un tablero cuadrado con 100 casillas cuadradas iguales. ¿Cuántas filas de casillas tiene el tablero?

• 9 , � 90 , 10 6

David ha embaldosado una cocina cuadrada con baldosas también cuadradas e iguales. En cada lado de la cocina ha puesto 9 baldosas. ¿Cuántas baldosas ha puesto David en total?

• � 100 5 10 El tablero tiene 10 filas. • 92 5 81 Ha puesto 81 baldosas.

En una fábrica envasan bombones en cajas cuadradas con igual número de bombones por fila y por columna. Tie nen 60 b ombo nes para enva sar. ¿C uánt as f ilas tendrá la caja que usarán? ¿Cuántos bombones quedarán sin envasar?

• 7 , � 60 , 8; 60 2 49 5 11 La caja tendrá 7 filas. Quedarán 11 bombones sin envasar.

El tablero de ajedrez es un cuadrado con 64 casillas cuadradas iguales. ¿Cuántas casillas tiene cada fila?

• � 64 5 8 Cada fila tiene 8 casillas.

Cálculo mental

Saber más

Resta 999, 1.999, 2.999… a números de cuatro cifras

2 999

3.718

2.718 2 1.000

2.719 1 1

2.345 2 999

5.062 2 2.999

7.694 2 4.999

4.582 2 1.999

6.457 2 3.999

8.138 2 6.999

72 5 49 y 82 5 64. Cualquier número entre 49 y 64 (50, 51, …, 63) cumple esa condición. Son 14 números.

¿Cómo restarías 998? ¿Y 996? ¿Cómo restarías 2.997? ¿Y 4.995?

Cálculo mental 29

Otras actividades • Escriba en la pizarra los números del 1 al 10, y debajo, sus cuadrados (12, 22, 32, …, 92, 102 ). Pida a un alumno que diga un número del 1 al 100. Uno de sus compañeros deberá decir si tiene raíz cuadrada exacta o no. Después, otro dirá el valor de la raíz cuadrada de ese número (si es exacta, qué numero es, y si es entera, entre qué dos números está comprendida). Vaya escribiendo en la pizarra las distintas raíces y muestre cómo entre cada dos números podemos encontrar las raíces de varios números.

• 1.346

• 2.063

• 2.695

• 2.583

• 2.458

• 1.139

Para restar 998 primero se resta 1.000 y luego se suma 2. Para restar 996, primero se resta 1.000 y luego se suma 4. Para restar 2.997 primero se resta 3.000 y luego se suma 3. Para restar 4.995 primero se resta 5.000 y luego se suma 5.

Notas

41

Solución de problemas Explicar qué se ha calculado

Propósitos • Explicar qué se halla con un grupo de cálculos dados.

En el restaurante tienen registrados los datos de dos años. Escribe qué se halla con cada grupo de cálculos y la solución. Desayunos


20 13

2 01 4

Desayuno

2

3

Comida

10

11

Cena

12

14

2.000

2.000 s o i c i v r e s e d º . N

1.600

1.500

1.500

1.600

1.300

1.200 800 400 0 2013

2014

Año

A. 3 3 2.200 5 6.600 2 3 1.300 5 2.600 6.600 2 2.600 5 4.000

B. 10 3 2.000 5 20.000 11 3 1.500 5 16.500 20.000 1 16.500 5 36.500

C. 10 3 2.000 5 20.000 11 3 1.500 5 16.500 20.000 2 16.500 5 3.500

D. 1.600 2 1.500 5 100 14 2 12 5 2 100 3 2 5 200

A. 3 3 2.200

Actividades

6.600

Calcula los ingresos por desayunos en 2014.

2 3 1.300 5 2.600

Calcula los ingresos por desayunos en 2013.

6.600 2 2.600

Halla el crecimiento de los ingresos por desayunos.

5

5

4.000

Solución: Entre 2013 y 2014 los ingresos por desayunos crecieron 4.000 €.

1 A. Halla el número total

Escribe en tu cuaderno qué se halla con los otros cálculos.

de habitaciones que tiene el hotel. B. Halla el número de personas que podrían alojarse en las habitaciones dobles libres.

1

Escribe qué se averigua con cada grupo de cálculos. Habitaciones del hotel

Habitaciones ocupadas

50 triples

C. Halla cuántas habitaciones individuales libres hay más que habitaciones triples libres.

250 individuales

D. Halla el número total de habitaciones libres.

Notas

Precio en euros

Cenas

2.200

Para explicar. Trabaje en común

el ejemplo resuelto, mostrando cómo localizar, en la tabla o en el gráfco, los datos que aparecen en cada cálculo y su signifcado. En el caso de varios cálculos consecutivos, indique la utilidad de ir anotando qué se halla con cada uno de los cálculos individuales para comprender mejor el signifcado del cálculo fnal. Si lo estima necesario, trabaje en común el caso B, guiando a l os alumnos cuando sea necesario.

Comidas

30 triples

200 dobles

190 individuales

HOTEL REMANSO

A. 250 B. 200

30

2 170 5 30

3 2 5 60

C. 250 170 dobles

1 200 1 50 5 500

2 190 5 60

50

2 30 5 20

60

2 20 5 40

D. 250

1 200 1 50 5 500

190

1 170 1 30 5 390

500

2 390 5 110

30

Otras actividades • Divida la clase en grupos y pida a cada grupo que intente escribir, para los gráfcos y la tabla de la actividad 1, o bien para los gráfcos de la actividad 2, un nuevo cálculo o grupo de cálculos. Deberán anotar los cálculos en un papel, y en otro, qué se halla con ellos. Los grupos se intercambiarán los papeles con los cálculos y cada grupo escribirá, debajo de los cálculos recibidos, qué se halla con ellos. Más tarde, el grupo inicial comprobará si la pregunta planteada es correcta. Comente algunos de los casos en común, aclarando las posibles discrepancias entre grupos.

42

UNIDAD

2

Buscar datos en varios gráficos

Propósitos

Para celebrar el aniversario del club deportivo han repartido un folleto con informaciones de los últimos años.

• Buscar los datos necesarios para resolver problemas en un texto y/o un gráfico dados.

En un gráfico han puesto los ingresos en euros obtenidos cada año y en otro, los socios que han tenido cada año.

Sugerencias didácticas Para explicar. Formule a los alumnos

N.º de socios cada año

Ingresos en euros por año del club deportivo

Hombres

80.000 78.000 76.000 74.000 72.000 70.000 68.000 66.000 64.000

preguntas sencillas y pídales que digan de qué fuente (texto o gráfico) han obtenido la información para resolverlas. Por ejemplo: ¿Cuántos participantes adultos hubo el martes? ¿Cuántas actividades son para niños o adultos?

Mujeres

240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 2010

2011

2012

2013

2010

2011

2012

2013

Actividades

¿Cuántos socios hubo en el año 2011 más que en el año 2010? Buscamos los datos en el gráfico de barras. Socios en 2010: 120

1 140 5 260

Socios en 2011: 220

1 200 5 420

Diferencia de socios: 420 2 260

Solución: Hubo

160 socios más.

5 160

Busca los datos necesarios en los gráficos y resuelve en tu cuaderno. 1

¿Cuál l fue la l diferencia i i de ingresos i dell año 2010 all 2013?

2

Cada socio i paga all año una cuota de 150 €. Ell resto de iingresos dell club l se obtienen i con lal cuota que se paga en los l torneos deportivos. i ¿Cuántos ingresos i por torneos se obtuvieron i en 2013 más que en 2012?

3

Del l año 2010 all 2013, ¿cuántos socios i mujeres más que hombres tuvo ell club? l ¿Cuánto dinero i obtuvo en totall por ellos? ll

4

¿Entre qué dos años aumentaron más los l ingresos i dell club? l ¿Entre qué dos años aumentó ell número de socios i hombres?

5

2

i INVENTA. Escribe

y resuelve l un problema l en ell que uses algunos l de los l datos de los l gráficos i de arriba. i

1

3 3 (8 2 3) 5 15 Han sacado 15 tiques.

2

25 1 15 5 40 Hubo 40 participantes. 10 3 6 2 5 5 55 El coste de un bono es 55 €. 55 1 (40 2 10) 3 6 5 235 Se recaudaron 235 €.

3 70

25 3 6 5 150 Se recaudaron 150 € más.

4 (5

2 45 5 25;

6 5 36 36 5 3 3 10 1 6 Han sacado 3 bonos y 6 tiques. 3 3 (10 3 6 2 5) 1 6 3 6 5 201 Han costado 201 €.


1 1) 3

5 R. L. 31

Notas Competencias • Iniciativa y emprendimiento. Las actividades de invención de problemas permiten un desarrollo adecuado de esta competencia. Indique a los alumnos que deben planicarse, organizar la información, redactar correctamente el problema, exponerlo adecuadamente a sus compañeros y, después, evaluar la respuesta que han dado.

43

ACTIVI DADES

Propósitos

1

VOCABULARIO. Contesta


7 3 7 3 7

4

• 10

4

9

• 3

• Base: 7; exp.: 5; 16.807

3

3

3, 9, 27, …

,

•

.

•

,

•

.

•

,

•

.

• Es mayor la potencia de base mayor (97 . 37 ). • Es menor la potencia de exponente menor (52 , 57 ). • 105

• 107

• 106

• 108

• 3 3 102

• 29 3 103

• 7 3 104

• 1.702 3 102

• 4 3 103

• 5.047 3 103

• 3 3 103 1 5 3 102 1 6 3 10 1 7 • 1 3 104 1 5 3 103 1 9 3 10 1 4

204.600.070

8 3 10 5

1 3 3

10 2

1 7 3

10

6

1 9 3

10 4

1 3 3

10 2

1 1 3 10

5

1 9 3

10 3

1 8 3

10

1 4 3

8

1 6 3

6

1 3 3

10 5

3 3 10 7 1

10

10

Calcula si puedes cada raíz. Si no puedes, halla entre qué dos números está comprendida.

� 80

Diez elevado a 6.

� 14

� 81

� 49

� 25

� 25

�1

� 62

� 36

Uno elevado a 7. 6

3 10

9

1 4

� 100

Compara en tu cuaderno. 26

105

256 37

10.000

•

30.608.001

607.108

� 34

• 81, 243, 729; 34, 35, 36

• 17; 1

15.094

� 16

729

• 92; 81

7.010.045

Cuatro elevado a 5.

• 16, 32, 64; 24, 25, 26

• 106; 1.000.000

3.567

Escribe el número.

31, 3 2, 3 3, …

11

Nueve al cuadrado.

• 27; 128

10

3

2,2 ,2 ,…

• Base: 9; exp.: 4; 6.561

• Base: 10; exp.: 9; 1.000.000.000

44

2, 4, 8, …

2

Ocho al cubo.

• Base: 3; exp.: 6; 729

9

2

1

Dos a la séptima.

• 45; 1.024

10 9

Escribe con cifras y calcula.

• Base: 11; exp.: 2; 121

8

11

• Base: 1; exp.: 10; 1

• 83; 512

36 2

5.047.000

Escribe la expresión polinómica de cada número.

2 3 10

• Base: 10; exp.: 6; 1.000.000

7

1

94

10

9

Escribe 3 términos más de cada serie. Después, expresa cada término en forma de potencia. 3

5

6

10 6

8

170.200

4.000

Indica cuál es la base y el exponente de cada potencia y calcula su valor.

2

• Base: 2; exp.: 8; 256

5

29.000 70.000

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

75

Cien millones

300

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3

Diez millones

1.000.000

8 3 8 3 8 3 8 3 8

• 6

4

100.000

6 3 6

2

3

Expresa cada número utilizando una potencia de base 10.

10 3 10 3 10 3 10

• Base 2: cuadrados. Base 3: cubos. • 28

8

5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

• Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que se repite ese factor.

• 57

Si dos potencias tienen la misma base y distintos exponentes, ¿cuál de las dos potencias es menor?

Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

• R. M. Una forma de expresar una multiplicación de factores iguales.

• 85

Si dos potencias tienen el mismo exponente y distintas bases, ¿cuál de las dos potencias es mayor?

¿Cómo se llaman las potencias de exponente 2? ¿Y las de exponente 3? 2

• 73

Piensa y contesta. Ayúdate con algún ejemplo si lo necesitas.

¿Qué indica la base de una potencia? ¿Y el exponente?

Actividades

2

7

¿Qué es una potencia?

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

1

y escribe

un ejemplo.

43 107

13 2

10

12

3 5

Piensa y contesta. ¿Cuál es el mayor número cuya raíz cuadrada está comprendida entre 6 y 7? ¿Y el menor?

12 150

32

Otras actividades • Proponga actividades en las que se trabajen simultáneamente las potencias, las raíces y la comparación de números. Pueden ser similares a las siguientes. 93

84

103

23

� 36

103

103 1

3

3

102

1

8

3

10

• Pida a los alumnos que completen los huecos en las siguientes desigualdades. 3

3 , 2

42 . 4

�

, 2

104

UNIDAD

2

• 6 3 105 1 7 3 103 1 1 3 102 1 8

Problemas 13

Piensa y contesta.

14

Manuel parte un tablero en 4 trozos iguales. Después, cada uno de ellos lo parte en otros 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos trozos tendrá después de cinco veces? 1.º

2.º

3.º

• 7 3 106 1 1 3 104 1 4 3 10 1 5

Resuelve.

• 3 3 107 1 6 3 105 1 8 3 103 1 1

En una tienda venden hojas cuadradas para guardar sellos.

• 2 3 108 1 4 3 106 1 6 3 105 1 1 7 3 10

Hay hojas de estos tipos:

2 Hojas con 5 huecos en cada lado. 2 Hojas con 6 huecos en cada lado.

10 • 80.374

Paloma tiene 30 sellos, Lola 36 y Sonia 23. ¿Qué tipo de hoja comprará cada una? ¿Cuántas hojas comprarán? ¿Completarán todas? Rita ha hecho un puzle cuadrado con 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas ha puesto en cada lado del puzle? ¿Cuántas habría puesto si el puzle tuviera 17 piezas menos? 15

2

• 30.109.080

• 2.090.300 11 •

• 1.406.300.000

� 16 5 4

• 3 , � 14 , 4

En el ajedrez participan 32 piezas. Al a caba r un a pa rtid a to das las piez as que quedaban llenaban un cuadrado de 3 casillas de lado. ¿Cuántas piezas fueron eliminadas en la partida?

• � 25 5 5 • 5 , � 34 , 6 • � 81 5 9

Piensa y resuelve.

• � 1 5 1

Una familia ili se está mudando de casa. Los operarios i de la l mudanza han embalado l todas las l cosas en cajas de cartón con forma de cubo.

• � 100 5 10 • � 49 5 7

Cajas obtenidas

• 7 , � 62 , 8

Salón: 21 cajas.

• 8 , � 80 , 9

Cocina: 15 cajas.

• � 25 5 5

Habitaciones: 28 cajas.

• � 36 5 6 12 Mayor: 48. Menor: 37. 13 • 44 Si i colocan l juntas las l cajas del l salón l y de la l cocina i formando un cuadrado, ¿cuántas cajas habrá en el l lado l de ese cuadrado? ¿Y sii juntan las l dell salón l y las l habitaciones? i i ¿Y si i juntan todas las l cajas?

5 256.

Tendrá 256 trozos.

• � 81 5 9. Ha puesto 9 piezas. � 64 5 8. Habría puesto 8 piezas en cada lado.

Si i deciden i juntar todas las l cajas y apilarlas il l formando un cubo, ¿cuántas cajas de altura l tendrá ell cubo?

14 • Paloma: 1 hoja con 6 huecos

por lado. Le sobrarán 6 huecos. Lola: 1 hoja con 6 huecos por lado. No le sobran huecos. Sonia: 1 hoja con 5 huecos por lado. Le sobrarán 2 huecos.

Demuestra tu talento 16

La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de un número es 2. ¿Cuál es ese número?

33

• 32 2 32 5 23 Fueron eliminadas 23 piezas. 15 • 21

Competencias • Competencia social y cívica. En la actividad 15 se plantea una situación próxima a los alumnos: una mudanza. Suscite un debate con los alumnos sobre temas relacionados con ella: qué les gusta de sus casas, qué piensan sobre las mudanzas, en qué tareas podría colaborar un niño a la hora de mudarse… Haga hincapié en la importancia de ser miembros activos y colaboradores en sus familias.

1 15 5 36;

� 36 5 6

Habrá 6 cajas por lado. • 21 1 28 5 49; � 49 5 7 Habrá 7 cajas por lado. • 21 1 15 1 28 5 64; � 64 5 8 Habrá 8 cajas por lado. • 4 3 4 3 4 5 64 El cubo tendrá 4 cajas de altura.

Demuestra tu talento 16 El número es (22 )2

5 16.

45

SABER HACER

Propósitos

Anal izar la d ifu sión de una not icia Una revista científica ha publicado una investigación acerca de cómo se propagan las noticias. Se ha analizado cómo un pequeño grupo de personas pueden influir en el resto. Cuando se realiza una campaña publicitaria o alguien quiere difundir una noticia, Internet puede llegar a ser una herramienta muy útil.

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales. • Repasar contenidos clave.


•

•

•

•

2

•

•

•

•

CORREO GOODMAIL

Mañana: 4 mensajes. 2 días: 16 mensajes. 4 días: 256 mensajes.

De: Sara Asunto: Nueva especie de bacterias He leído que hay bacterias que pueden vivir en los volcanes submarinos. ¡Increíble!

Multiplicando por 4. Serán 256 mensajes. Sexto día: 1.024 mensajes. Séptimo día: 4.096 mensajes. Décimo día: 49 mensajes 5 262.144 mensajes.

1

•

Mañana: 10 mensajes. 2 días: 100 mensajes. 4 días: 10.000 mensajes.

•

¿Cuántas personas conocerían en total la noticia el sexto día? ¿Y el séptimo día?

Sexto día: 100.000 mensajes. Séptimo día: 1.000.000 de mensajes.

Si la noticia se considera importante durante 10 días y todas las personas mandan sus 4 mensajes, ¿cuántos mensajes se enviarán el décimo día?

Décimo día: 109 mensajes 5 5 1.000.000.000 de mensajes. La noticia se difunde a mucha mayor velocidad.

•

•

•

•

2

•

•

46

Noventa y ocho millones ciento cincuenta mil doscientos tres. Ciento veinte millones ocho mil novecientos. Tres millones ochocientos mil setenta. Sesenta millones doscientos un mil ochocientos cuatro. Setecientos seis millones noventa y nueve mil cuatrocientos setenta. 10.000.006. 1 D. de millón 1 1 6 U. 987.654.321. 9 C. de millón 1 1 8 D. de millón 1 7 U. de millón 1 6 CM 1 5 DM 1 1 4 UM 1 3 C 1 2 D 1 1 U

Calcula y contesta.

¿Cómo podrías saber el número de mensajes enviados el quinto día a partir de los enviados el cuarto día? ¿Cuántos serán?

Multiplicando por 10. Serán 10.000 mensajes.

Cinco millones cincuenta mil seis.

Cada uno de ellos al día siguiente se lo envía a otros cuatro, y así sucesivamente.

Si el primer mensaje se envía hoy, ¿cuántos mensajes se enviarán mañana? ¿Y dentro de dos días? ¿Y dentro de cuatro días?

5

2

TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve

con tu compañero y contestad. Responded a las cuestiones de la actividad 1 suponiendo que cada persona envía el mensaje a otras 10 personas. ¿Se difunde la noticia mucho más rápido?


Veamos un ejemplo. Imagina que recibes un correo electrónico en el que te cuentan un descubrimiento científico. En cuanto lo recibes se lo envías a cuatro amigos.


34

Desarrollo de la competencia matemática • En esta página se ofrece a los alumnos un contexto real, muy próximo a ellos, en el que aplicar los conocimientos de la unidad. Esto les ayudará a desarrollar su competencia matemática. El trabajo cooperativo de la actividad 2, con sus procesos asociados de planicación, exposición y comentario nal, incide también en ese desarrollo.

1

2

Escribe cómo se lee cada número.

4

3.800.070

275.286

1

98.150.203

60.201.804

670.140

1

85.718

375 3 850

120.008.900

706.099.470

719.084

2

535.801

4.587 : 59

5

,

12.310.006

.

208. 99

04 .989

,

208.

Escribe cada expresión expresión y calcula.

4

Multiplica 8 por 7 y resta resta 15 al resultado. Divide 24 entre la suma de 2 y 6. 5 6

Calcula. 5 3 4 2 6 3 3 20 2 (4

9.187

6 3 3

00 , 208.200

2

1 2) 3

5

3 2 9 : 3

. 998.991 . 998.99

9 2 (9 2 3 3 2) 3

6

1 2 3

8 2 11

1 1

8 2 (5 2 3) 2 2

2

10 : (6 2 1) 2 1

1

6

Problemas

7

8

En la caja de una tienda hay 18 billetes de 20 € y 7 de 10 €. Un cliente paga un jersey de 40 € con un billete de 50 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja después de esa venta? Mónica envasó su cosecha de 800 kg de manzanas en bolsas de 5 kg. Después, guardó la mitad de las bolsas en cajas de 40 kg cada una. ¿Cuántas cajas obtuvo Mónica?

•

5 9

•

5 0,

5 1

•

5 0

•

5 9,

5 0

•

475.285

•

76.734

•

755.858

•

318.750

•

183.283

•

c 5 77, r 5 44

•

835.195

•

c 5 284, r 5 111

•

(3 1 9) : 2 5 6

•

8 3 (15 2 7) 5 64

•

8 3 7

•

24 : (2 1 6) 5 3

•

24 : 2 1 4 5 16

Divide 24 entre 2 y luego suma 4.

0.000.000 12.3

3

9

10

11

12

9.899.999. 9 U. de millón 1 1 8 CM 1 9 DM 1 9 UM 1 1 9 C 1 9 D 1 9 U.

75.087 : 264

Multiplica 8 por la diferencia diferencia de 15 y 7.

El mayor número de siete cifras cuya cifra 8 vale 800.000 U.

89.789.898

189 3 406

Suma 3 a 9 y divide el resultado resultado entre 2.

El mayor número impar de nueve cifras con todas sus cifras distintas.

Completa cada hueco en tu cuaderno.

199.999

903.104 2 67.909

El menor número par de ocho ocho cifras que acaba en 6.

3

•

Calcula.

5.050.006

Escribe cada número número y halla su descomposición.

UNIDAD 2

2

REPASO ACUMULATIVO

Luis tiene 11 años. Su madre tiene el triple de años que él y su abuelo muchos más. La suma de las edades de los tres es 99 años. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

7

• 6

• 2

• 11

• 14

• 4

• 2

• 1

18 3 20 1 7 3 10 5 430 Habrá 470 €.

8

De los 510 alumnos de un colegio, la mitad son chicos y de ellos un tercio comen en casa. ¿Cuántos chicos del colegio comen en casa?

9

En una tienda han comprado 20 lavadoras a 350 € cada una y han subido su precio 35 €. ¿Cuántas lavadoras, como mínimo, tienen que vender para no perder dinero? ¿Qué beneficio podrán obtener como máximo?

10

800 : 5 5 160 160 : 2 5 80; 80 3 5 5 400 400 : 40 5 10. Obtuvo 10 cajas. 11 3 3 5 33 99 2 (11 1 33) 5 55 Su abuelo tiene 55 años. 5 3 30 2 3 3 10 1 5 5 125 Han gastado 125 €.

11 510

: 2 5 255 255 : 3 5 85 Comen en casa 85 chicos del colegio.

35

12

• Divida a los alumnos de su clase en grupos. Cada uno de ellos realizara realizara un mural sobre los diferentes aspectos trabajados en la unidad: potencias, potencias de base 10, expresión polinómica de un número y raíz cuadrada. En cada uno de los cuatro murales deberán aparecer con claridad los conceptos y procedimientos estudiados con ejemplos que los ilustren, y alguna actividad propuesta y resuelta para exponer al resto de los compañeros. Cada grupo explicará a la clase uno de los cuatro murales, el que usted estime más pertinente. Aproveche para resolver posibles dudas o dicultades que se presenten. presenten.

• 2

430 1 40 5 470

Para pagar una cena, un grupo de 5 amigos pone 30 € cada uno. Les devuelven 3 billetes de 10 € y dejan 5 € de propina. ¿Cuánto dinero han gastado en total?

Repaso en común

2 15 5 41

20 3 350 5 7.000 7.000 : 385 F c 5 18, r 5 70 Deben vender como mínimo 19 lavadoras. 20 3 35 5 700. El beneficio máximo es 700 €.

Notas

47

Tratamiento de la información

Interpretar gráficos lineales de dos características

Propósitos • Interpretar Interpretar grácos lineales de dos características.

Patricia trabaja en una oficina y ha representado en el gráfico el número de correos y llamadas que tuvo cada día de la semana pasada.


Llamadas

Para explicar. Muestre que el

gráco está formado por dos grácos lineales, uno para cada característica. Con él se puede analizar la evolución de cada una de las características y a la vez comparar los valores de las dos en cada momento, permitiendo así un análisis individual de cada variable y un análisis comparativo de las dos.

•

2

El jueves.

•

Pesaba más Roco.

•

•

•

Viernes

Observa el gráfico anterior y contesta.

¿Qué día disminuyeron las llamadas llamadas respecto al día anterior?

•

2

Miércoles Jueves

¿Qué días aumentaron los correos correos respecto al día anterior?

Llamadas: 20. Correos: 12.

El miércoles y el jueves. jueves.

Martes

¿Cuántas llamadas y correos correos hubo el martes?

Más llamadas: martes. Menos correos: viernes.

•

El número de llamadas aumentó del jueves al viernes.

¿Qué día hubo más llamadas? ¿Qué día hubo menos correos?

Actividades •

El viernes tuvo 18 llamadas y 10 correos.

Lunes

1

1

Correos

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

El veterinario ha representado el peso en kilos de dos perros durante varios años. Observa el gráfico y contesta. Trisky Trisky 24

26 22

Trisky: Trisky: 2006, 2008 y 2012. Roco: 2004, 2010.

g k n e o s e P

Trisky: Trisky: 2010. Roco: 2006, 2012.

Roco

20

22

18 14

16

20

18

22

18

24

18

¿Qué perro pesaba más en 2010?

10 6

¿En qué año pesó más cada perro?

2 0

2012 (6 kilos).

2004

2006

2008

Notas

2010

2012

Año

¿En qué años disminuyó el peso de cada perro respecto al año anterior? ¿En qué año fue mayor la diferencia de peso entre Trisky y Roco?

36

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen en diferentes diferentes fuentes (libros de de texto de otras asignaturas, enciclopedias, revistas, Internet…) distintos grácos lineales de dos características para analizarlos en clase. Deberán aportar la fuente de la que procede cada uno. • También puede agruparlos en pequeños grupos y dar a cada grupo una tabla de datos para que los representen representen en un gráco. Deberán determinar determinar por sí mismos la escala de representación. Haga una puesta en común y compare las distintas representaciones representaciones hechas (puede dar la misma tabla o tablas diferentes diferentes a cada grupo).

48

UNIDAD

2

Representar gráficos lineales de dos características

Propósitos • Representar Representar gráfcos lineales de dos dos características.

Pablo ha anotado en la tabla los botes de mermelada de cada clase que gastó cada mes en su nuevo restaurante. Fresa Fresa Fr esa

Ciru Ci ruela ela

Enero

8

10

Febrero

12

6

Marzo

14

18

Abril

18

10

Mayo

16

12

Ciruela


18 s e t 14 o b e 10 d º . N 6

2 0 E

1

F

M

A

My Mes

1 • Febrero, marzo, abril.

ia ige nc i n te l i I n ia l pac i e s p

¿En qué meses gastó menos mermelada de ciruela que en el mes anterior? ¿En qué mes gastó más mermelada de ciruela que de fresa? Haz en tu cuaderno una tabla con los refrescos de cada sabor vendidos por Pablo cada día. Después, copia el gráfico y represéntalos en él.

Martes De cada sabor vendió 3 refrescos menos que el lunes. Miércoles Vendió 27 refrescos de cola y 6 menos de limón. Jueves de cola.

Vendió 15 de limón y 6 más

Viernes Vendió 27 refrescos de cola y 15 menos de limón.

Febrero, abril.

•

Enero, marzo. C ol a

Li món

L

27

21

M

24

18

X

27

21

J

15

21

V

27

12

Limón

27

s o c s 21 e r f e r 15 e d º . 9 N

3 0 L

•

2

Cola

Lunes Vendió 27 refrescos de cola y 21 de limón.

Para explicar. explicar. Indique a los alumnos la importancia de situar correctamente correctamente los puntos de cada una de las características características y después unirlos para obtener un gráfco correcto. Muestre la utilidad de los gráfcos para poder analizar la evolución de manera más sencilla e intuitiva que con la tabla.

Actividades

Copia y completa el gráfico de arriba en tu cuaderno. Después, contesta. ¿En qué meses gastó más mermelada de fresa que en el mes anterior?

2

2

M

X

J

V

¿Qué día vendió menos refrescos de cola? ¿Y más de limón? 27

¿En qué días vendió más refrescos de limón que el día anterior? ¿Qué días vendió más refrescos de cola que de limón?

21

37

15 9 3 0

Competencias • Competencia digital. Las actividades de interpretación y representación de datos en gráfcos lineales de dos características son un contexto en el que es posible, y puede resultar interesante, la aplicación de las TIC. Con distintos programas de representación representación de gráfcos puede tanto aportar gráfcos a los alumnos para que los interpreten, interpreten, como realizar con ellos representaciones. representaciones. También También puede puede realizar análisis análisis sobre la importancia importancia de las escalas escalas en los ejes a la hora de las representaciones representaciones de gráfcos.

L

•

•

•

M

X

J

V

Menos de cola: jueves. Más de limón: lunes, miércoles y jueves. Miércoles. Lunes, martes, miércoles y viernes.

Notas

49

3

Números enteros

Contenidos de la unidad Números enteros.

•

SABER


•

La recta entera.

•

Comparación de números enteros.

•

Suma y resta de números enteros.

Coordenadas cartesianas.

•

•

•

•


•

•

SABER HACER

•

•

•


TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

50


•

Reconocimiento y utilización de los números enteros en situaciones cotidianas. Identificación de números enteros en la recta entera. Representación de números enteros en la recta entera. Comparación y ordenación de números enteros. Resolución de problemas de suma y resta de números enteros. Identificación de las coordenadas cartesianas de puntos. Representación de un punto a partir de sus coordenadas.

Obtención de conclusiones a partir de un enunciado. Búsqueda de datos en textos y gráficos para resolver problemas.

Interpretar datos geográficos.

Valoración de la utilidad de los números enteros en situaciones de la vida diaria. Disposición favorable a la interpretación de información presentada de forma gráfica.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •




LibroNet

•


MATERIAL DE AULA

•

Rúbrica. Unidad 3.

•

Láminas



•



Cuaderno del alumno


•




Recursos complementarios i

•


•


•


CUADERNO

a s má t ic Ma te

_ - _ _

•



A I R A M I R P

Aprendizaje eficaz

A I R A M I R P




•


11 7

_

n _

t m ti

s_ -1_

7

.in

1

/

/

/

/

1

:

:1

: :


•

_ t

_ t i s_ -

i.


Octubre

Noviembre

Diciembre

51

Propósitos

3

• Reconocer situaciones reales donde aparecen números enteros.

Números enteros


Previsión de dificultades • Comprender el concepto de número negativo es en ocasiones dicultoso. Plantee situaciones a los alumnos en las que vean la necesidad de utilizar otros números diferentes a los positivos. • La comparación de números negativos entre sí plantea problemas a algunos alumnos. Realice ejercicios variados, apoyándose en el uso de la recta entera lo que sea necesario, hasta que los alumnos interioricen la situación de los enteros. • La interpretación y representación de puntos en el plano cartesiano suscita dicultades en ocasiones. Trabaje casos diferentes prestando especial atención a los puntos con coordenadas negativas, que suelen ocasionar mayores problemas.

Trabajo colectivo sobre la lámina Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre ella y qué signica la expresión «bajo cero». 1

2

Se miden en grados bajo cero y sobre cero. El cero marca el centro de la escala; es la temperatura de congelación del agua. Tiene lugar en verano. Está por encima de cero. La mínima tiene lugar en invierno. Está por debajo de cero.

3

Es más baja 30 ºC bajo cero. Está más lejos de 0 ºC que 15 ºC.

4

Hay una diferencia de 70 grados entre ambas.

5

Hay una diferencia de 15 grados entre ambas.

52

¿Por qué hay diferentes climas en el mundo? Dos lugares tienen diferentes climas cuando la cantidad de lluvia y las temperaturas son distintas en ellos. Para comparar los datos de ambos se hace la media de un período de 30 años o más. Las zonas próximas al Ecuador son, en general, más cálidas y, a medida que nos acercamos a los polos, el clima suele ser más frío. Hay otros factores, sin embargo, que también influyen en el clima, como la altitud del lugar o su cercanía al mar. Klaipeda, una ciudad a orillas del mar Báltico, y Moscú, capital de Rusia, situada en el interior, tienen la misma latitud. Mientras que Klaipeda tiene veranos muy suaves e inviernos fríos, aunque sin bajar normalmente de 15 ºC bajo cero, en Moscú se superan los 40 ºC a la sombra en verano y los 30 ºC bajo cero en invierno. 38

Otras formas de empezar • Plantee a los alumnos preguntas sobre situaciones en las que solemos utilizar números negativos (sin explicarles aún que son números enteros negativos). Por ejemplo:

2 Cuando estamos en un centro comercial, ¿cómo expresamos las plantas de aparcamiento? ¿Cómo se indican estas plantas en los botones del ascensor?

2 Cuando en invierno hace mucho frio, o la temperatura baja de los cero grados, ¿cómo expresamos dicha temperatura? ¿Cómo se i ndica en el termómetro?

UNIDAD


¿Qué sabes ya?

Las temperaturas de un lugar, ¿en qué se miden? ¿Qué quiere decir que una temperatura está bajo cero o sobre cero?

Trabaje estas actividades como paso previo a abordar el estudio de los números enteros.

SABER HACER

La temperatura máxima en Moscú ¿en qué estación tiene lugar? ¿Está por debajo o por encima de 0 ºC? ¿Y la temperatura mínima?

TAREA FINAL

¿Qué temperatura es más baja: 30 ºC bajo cero o 15 ºC bajo cero? ¿Cuál está más lejos de 0 ºC?

Al f inal de l a un idad interpretarás datos sobre temperaturas.

4

¿Qué diferencia en grados hay entre las temperaturas máxima y mínima en Moscú?

5

EXPRESIÓN ORAL. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre la temperatura mínima en Klaipeda y la mínima en Moscú?

Ante s, t raba jará s co n los números enteros, operarás con ellos y los representarás en la recta numérica.

2

3

1 Punto azul: 5,5.

Interpretar datos geográficos

Punto verde: 6,7. Punto rojo: 7,2. Punto morado: 8,3.

H

5

La primera coordenada es la del eje horizontal, la segunda es la del eje vertical.

3

1,3

2,5

5

1

2

3

A

2

3

7

8

Representa en una recta numérica los siguientes números. 3

1,8

4

Piensa dos números naturales o decimales, uno mayor que el otro. Si los representas en la recta numérica, ¿cuál de los dos está más a la derecha? ¿Ocurre siempre?

1

9

2

3

A (3,

4

5

6

2)

7

B (5,

8

I G

5

Representa en tu cuaderno estos puntos. 4)

H

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4)

Escribe las coordenadas de los puntos C y D en tu cuaderno.

E (2,

1

Notas

9 10

4

2,7

F

2

0

C

1 0

6

J

D

3

Escribe cada número representado.

E

1

B

4

4,5

5

5

Recuerda cómo se representan los números en la recta.

2

4

4 C (7, 1), D (9, 3)

4

2

3

más a la derecha en la recta numérica.

Coordenadas de un punto

5

4,5

3 El número mayor siempre está

Representación de números en la recta

1

2,7

2

¿Qué sabes ya?

0

1,8

2


1

3

(0, 5)

F

(4, 2)

I (6,

G

(5, 0)

J (1,

1) 3)

39

Competencias • Competencia lingüística. Al trabajar las preguntas de la lectura y en especial la de Expresión oral, anime a los alumnos a expresarse de forma clara y correcta, en voz alta y dando razón de su respuesta. • Aprender a aprender. Indique a los alumnos que van a aprender un nuevo tipo de números: los enteros. Recuerde con ellos los tipos de números que han ido aprendiendo hasta ahora y suscite en ellos la idea de progreso y avance en sus conocimientos.

53

Números enteros Propósitos Lucía vive en un edificio con 4 plantas de viviendas y 2 plantas de sótano.

• Conocer los distintos tipos de números enteros.

Fíjate en cómo se indi ca cada planta en el cuadro del ascensor.

• Clasicar números enteros en positivos, negativos o cero.

– La planta baja se indica con el número 0. – Las 4 plantas de viviendas, por encima de la planta 0, se indican con los números 11, 12, 13 y 14.

• Utilizar los números enteros en distintos contextos reales.

– Las 2 plantas de sótano, por debajo de la planta 0, se indican con los números 21 y 22. Los números …, 21,


22,

0, 11, 12, … son números enteros.

Los números enteros positivos son: 11, 12,

13, 14, 15,

Los números enteros negativos son: 21, 22,

Para empezar. Pida a los alumnos

…

23, 24, 25,

…

El número 0 es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

que digan cómo están expresados los pisos en los ascensores que conocen y que comenten por qué creen que se expresan así.

Los números enteros son: …, 24,

23, 22, 21,

0,

11, 1 2, 1 3, 14,

Los números enteros positivos son: 11,

1 2, 13, 14,

Los números enteros negativos son: …,

24, 2 3, 22

…

…

y

2 1.

Para explicar. Indique los números

que representan los pisos: el 0, los números con el signo 1 y los números con el signo 2. Explique que en este caso los signos representan «por encima» y «por debajo» de cero ( en este caso, de la planta baja).

1

Deje clara la clasicación de los enteros en números enteros positivos (que se corresponden con los números naturales), números enteros negativos y el cero. Señale que los números enteros positivos se escriben en ocasiones sin el signo 1.

Clasifica en tu cuaderno los números enteros de cada grupo. PRESTA ATENCIÓN

1 8, 1 7,

Los números enteros positivos también se pueden escribir sin el signo 1.

2 11, 27,

EJEMPLO

2

… Enteros negativos

2 5, 23,

10, 25, 0,

9, 1,

23

134, 234

2 73, 1 43, 220, 212,

40

…

Observa el esquema del ascensor y contesta.

Si Pablo está en la planta 1 1 y sube, ¿a qué pisos puede ir? ¿Qué tipo de números enteros son los que corresponden a los pisos superiores a la planta 0? Jon está en la planta baja. ¿Qué número representa esa planta?

Comente otros contextos en los que también podemos encontrar números enteros: profundidades y altitudes, temperaturas, deudas bancarias… Para reforzar. Pida a los alumnos

Enteros positivos

65, 0,

0,

Carla está en la planta 0 y baja en el ascensor. ¿A qué pisos puede ir? ¿Qué tipo de números enteros son los que corresponden a los pisos inferiores a la planta 0? 40

que planteen y resuelvan otras preguntas propias similares a las actividades trabajadas.

Otras actividades Actividades 1 • Positivos: 18,

17,

9, 1. Negativos: 25, 23, 23. Cero: 0.

• Positivos: 10, 25, 134. Negativos: 211, 27, 234. Cero: 0. • Positivos: 65, 143, 40. Negativos: 273, 220, 212. Cero: 0. 2 • Puede ir al

12

y 13. Son enteros positivos.

• El cero representa esa planta.

54

• Forme varios grupos de alumnos, y pida a cada grupo que haga uno de los siguientes esquemas sobre cartulina. Después, pueden utilizarse como apoyo gráco para actividades colectivas. 2 Panel

de botones del ascensor de un edicio con la planta baja marcada (tendrá 6 plantas por encima de la planta baja y 3 por debajo). Pídales que rotulen los botones adecuadamente.

2 Dibujo

de un termómetro con la marca del cero más gruesa. Pídales que rotulen la escala de las temperaturas.

2 Dibujo

de una mina donde se vean galerías por encima y por debajo de la entrada. Pídales que rotulen la altitud de cada galería.

UNIDAD

3 Problemas 3

• Puede ir al 21 y 22. Son enteros negativos.

¿Qué temperatura marca cada termómetro? Contesta. 3

EJEMPLO 115

110

4

115

5 grados 5 ºC

23

grados 2 3 ºC

110

15

15

0

0

25

25

210

210

115

115

115

110

110

110

15

15

15

0

0

0

25

25

25

210

210

210

3

4

SABER MÁS ¿Qué significa que una cuenta en un banco está en números rojos? ¿Cómo expresarías una deuda en euros con un número entero?

115 110 15

•

110

•

25

•

114

•

23

ºC

ºC ºC

ºC

Punto verde: 1300 m. Punto rojo: 1100 m. Punto morado: 2200 m. Punto amarillo: 2300 m.

Saber más La expresión números rojos indica que el saldo de la cuenta es negativo, es decir, debemos dinero al banco. Las deudas se expresan usando números negativos.

0 25

210

Observa y escribe en qué nivel se encuentra cada punto.

Cálculo mental

1300

m

1200

m

1100

m

• 2

• 4

• 3

• 12

0m

• 2

• 5

• 3

• 5

• 10

• 100

• 10

• 100

• 10

• 40

• 10

• 70

2100

m

2200

m

2300

m

Cálculo mental

Notas

Divide un número natural entre decenas y centenas : 20

600

60 : 10

30 :2

80 : 40

120 : 30

600 : 200

3.600 : 300

60 : 30

250 : 50

900 : 300

3.500 : 700

500 : 50

9.000 : 90

2.000 : 200

40.000 : 400

700 : 70

1.600 : 40

3.000 : 300

42.000 : 600

41

Otras actividades • Proponga el juego de la oca de enteros. Forme grupos de cuatro alumnos y entregue a cada uno el tablero del juego (los números de una parte de la recta entera colocados de menor a mayor) y dos dados. Coloque en las caras de uno de los dados tres pegatinas con el signo 1 y otras tres con el signo 2. El juego consiste en llegar a la casilla 15 partiendo de la 28 (pueden ser otros números). Cada jugador tira en su turno ambos dados y avanza o retrocede tantas casillas como indiquen los dados (2 y 5, retrocede 5 casillas). Si tiene que retroceder más atrás de la casilla 28, deja su fcha en esa casilla y espera al turno siguiente. 28

27

26

25

24

23

22

21

0

11

12

13

14

15

55

La recta entera. Comparación de enteros Propósitos Ayer, Claudia anotó las temperaturas que se alcanzaron en su ciudad por la mañana, por la tarde y por la noche. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Cuál fue la máxima?

• Identicar y representar números enteros en la recta entera. • Comparar y ordenar números enteros.

Mañana 25


14

ºC

22

ºC

1.º Representamos los números en la recta entera.

en la pizarra y represente en ella los números naturales hasta el 10. Haga observar a los alumnos que, dados varios números, es mayor el que se encuentra más a la derecha en la recta.

A la izqu ierda del 0, re prese ntam os l os n úmero s en tero s ne gati vos. A la dere cha del 0, re prese ntam os l os n úmero s en tero s po siti vos. Números enteros negativos

26

25

24

23

22

Números enteros positivos

21

0

11

12

13

14

15

16

17

18

2.º Observamos la posición de los puntos en la recta entera.

Para explicar. Pida a los alumnos

El número menor es el que está situado más a la izquierda. En este caso: 25.

que observen la recta y comente cómo están situados los números enteros: desde cero, hacia la derecha, los positivos, y hacia la izquierda, los negativos. Señale que al igual que ocurría con los naturales, un número es mayor que otro si está más a la derecha que él en la recta numérica. Comente que en los números negativos hay que ser cuidadosos, ya que cuanto mayor es el número que sigue al signo 2, menor es dicho número entero (en este aspecto los alumnos suelen cometer errores).

El número mayor es el que está situado más a la derecha. En este caso: 14.

La temperatura mínima fue 25 ºC y la máxima fue 14 ºC.

1

Copia la recta en tu cuaderno y completa los números que faltan.

28

…

26

25

…

…

22

…

0

11

…

13

…

…

…

3

Busca cada pareja de números y compáralos, escribiendo el signo adecuado.

4

23

22

21

0

11

12

13

14

15

0,

17

Escribe el número anterior y el posterior a cada número: 24,

24

1 3,

16

2

25

Actividades 27, 24, 23, 21,

ºC

Noche

Para averiguar cuál fue la temperatura mínima y la máxima:

Para empezar. Dibuje una recta

1 De izda. a dcha.:

Tarde

19

22, 25.

23

y

13

24

y

22

21

y

24

22

y

25

0y

24

15 y

24

Piensa y escribe dos respuestas distintas en cada caso. Tres números enteros mayores que 24.

Tres números enteros menores que 11.

Tres números enteros menores que 27.

Tres números enteros mayores que 22.

42

12, 14, 15, 18.

2 •

25

y 23

•

12

y 14

•

21

y 11

Otras actividades

•

23

y 21

•

26

y 24

• Prepare tantas tarjetas como alumnos haya, y escriba en cada tarjeta un número entero (por ejemplo, si hay 25 niños, escriba desde 212 hasta 112). Entregue una tarjeta a cada alumno, al azar, y realice las siguientes actividades:

3 •

23 , 13

•

21 . 24

2 Pida

a los alumnos que formen una la, colocándose cada uno en el lugar correspondiente para formar una recta entera.

• 0 . 24 •

24 , 22

•

22 . 25

•

15 . 24

4 R. M. •

•

23, 21

29, 211

56

21,

a un alumno que enseñe su número, e indique que se levanten los niños que tengan el número anterior y posterior.

2 Diga

y 15

y 215

• 0, 21 y 26 •

2 Pida

0 y 13

un número y pida que se levanten los alumnos que tengan un número mayor o menor que él (o los que estén entre dos números dados).

UNIDAD

3 5

Ordena los números según se indica.

5

Ordena de mayor a menor: 1 2,

25

y

2 7.

26

25

24

23

22

21

0

• 0 . 26 . 210

SABER MÁS

1.º Representa los números en la recta entera o imagina cómo están colocados.

27

• 2 . 24 . 26 • 13 . 29 . 211

HAZLO ASÍ

28

3

11

• 4 . 27 . 28

¿Puedes escribir un número que sea el menor de todos los números enteros negativos? ¿Por qué?

12

2.º Escribe los números en el orden en el que están de derecha a izquierda. 12 . 2 5 . 2 7

De mayor a menor

2 6, 24

y2

2 11, 2 9

6

0,

y 13

2 10

2 8,

y

4 y

•

25 , 15 , 8

•

25 , 23 , 11

•

210 , 26 , 0

•

214 , 212 , 10

• Modelos B y C. • Modelos A y D.

26

27

Saber más De menor a mayor

1 5, 25

y8

0,

1 1, 25

y

2 12,

23

2 10

y

26

10 y

No es posible escribir el menor entero negativo ya que el conjunto de los enteros negativos es innito. Siempre es posible escribir un entero negativo más pequeño que cualquiera que consideremos.

2 14

Problemas 6 Resuelve.

La temperatura aconsejable para estos modelos de congelador es de 224 ºC. – ¿Qué modelos de congelador tienen una temperatura inferior a la aconsejable? – ¿Cuáles de ellos tienen una temperatura superior?

Modelo A 2 22 ºC

Modelo B 227 ºC

Modelo C 2 25 ºC

Modelo D 2 23 ºC

Razonamiento • Jaime ha escrito el 22. • Lucía ha escrito el 26.

Razonamiento

• Teo ha escrito el 21.

Lee y averigua qué número es. Jaime ha escrito el menor número comprendido entre 23 y ¿Qué número ha escrito Jaime? Lucía ha escrito el mayor número comprendido entre 27 y ¿Qué número ha escrito Lucía?

• Jon ha escrito el 26.

13.

25.

Notas

Teo ha escrito el mayor número negativo comprendid o entre 29 y ¿Qué número ha escrito Teo?

12.

Jon ha escrito el menor número negativo comprendido entre 27 y ¿Qué número ha escrito Jon?

11.

43

Otras actividades • Entregue a sus alumnos tarjetas de tamaño octavilla y propóngales que cada uno escriba en una cara de la tarjeta un número entero positivo o negativo y en el anverso una letra, de manera que al ordenar correctamente los números que hayan escrito de mayor a menor se forme una palabra. Por ejemplo: «Ordena de mayor a menor para formar el nombre de una ciudad europea». A

O

M

R

24

0

22

13

Una vez elaboradas estas tarjetas se puede jugar colectivamente o por equipos.

57

Suma y resta de enteros Propósitos María, Pablo, Andrea y Jaime han utilizado el ascensor.

• Resolver problemas sencillos utilizando de forma intuitiva la suma y la resta de enteros.

María y Pablo suben. María estaba en el primer piso (11) y sube 2 pisos. Pablo estaba en el segundo sótano (22) y sube 4 pisos. ¿A qué piso llega cada uno? Estaba

Pisos que sube

Llega

María

11

12

13

Pablo

22

14

12

Sugerencias didácticas Para empezar. Dibuje en la pizarra

el esquema del panel del ascensor. Señale un botón primero y después otro (por ejemplo, el 11 y el 22). Pregúnteles si para ir del primero al segundo tienen que subir o bajar y cuántos «saltos» deben llevar a cabo.

María llega al tercer piso y Pablo al segundo. Andrea y Jaime bajan. Andrea estaba en el tercer piso (13) y baja 4 pisos. Jaime estaba en el primer sótano (21) y baja dos pisos. ¿A qué piso llega cada uno?

Para explicar. Trabaje cada uno

de los casos del ascensor mostrando la manera de expresar la variación o el paso del piso inicial al nal. Muestre en cada caso si se sube ( 1 ) o se baja (2 ) y cuántos pisos se sube o se baja para ir de uno a otro. Hemos optado por trabajar los problemas de manera intuitiva, sin recurrir a operaciones matemáticas formales (suma y resta) con enteros.

Estaba

Pisos que baja

Llega

Andrea

13

24

21

Jaime

21

22

23

Andrea llega al primer sótano y Jaime al tercero.

1

Observa el esquema de un aparcamiento y averigua a qué planta irá cada coche. 13 12 11


0

dos números enteros (por ejemplo, 12 y 24). Los alumnos, jándose en el panel del ascensor, deberán traducir esos números a una situación real, calculando el piso nal al que llegan: «Estoy en el piso 12, bajo 4 pisos, llego a la planta 22».

21 22 23

Sube 2 plantas.

Baja 2 plantas.

Sube 3 plantas.

Baja 3 plantas.

Sube 2 plantas.

Baja 3 plantas.

44

Actividades 1 Rojo: planta 0.

Verde: planta 0. Azul: planta 11. Morado: planta 0. Amarillo: planta 22. Naranja: planta 23. 2 • Subió 4 grados.

• Subió 3 grados. • Subió 7 grados. • Habría sido

22

ºC.

3 • Sí, está a 150 m bajo el nivel del

mar. • No, está a 100 m bajo el nivel del mar. • Está a mayor profundidad el pez espada.

58

Otras actividades • Pida a cada alumno que invente un problema similar a los trabajados en esta página: subir o bajar en un ascensor, aumentar o disminuir la temperatura de un lugar, subir o bajar niveles en una mina… Cada uno planteará su problema al resto de la clase, para que lo resuelvan mentalmente y, después, dirá la solución. Si lo cree conveniente, dibuje en la pizarra el esquema de un ascensor, un termómetro o una mina para corregir cada problema propuesto.

UNIDAD

3 2

9 : 00

15 : 00

21 : 00

25

21

12

ºC

ºC

SABER MÁS

• Estará a 150 m bajo el nivel del mar.

Mario debía 85 € y le han prestado 25 € más. ¿Cuánto dinero debe ahora? Expresa las cantidades con un número entero negativo.

ºC

Desde las 9 de la mañana a las 3 de la tarde, la temperatura ¿subió o bajó? ¿Cuántos grados?

• Estará a 200 m bajo el nivel del mar.

Desde las 3 de la tarde a las 9 de la noche, la temperatura ¿subió o bajó? ¿Cuántos grados?

Saber más

¿Cuántos grados subió la temperatura desde las 9 de la mañana hasta las 9 de la noche?

Deuda inicial: 285 €.

Si de las 9 de la mañana a las 9 de la noche la temperatura solo hubiera subido 3 grados, ¿cuál habría sido la temperatura a las 9 de la noche? 3

• Está a menor profundidad el bonito.

Lee y resuelve. Ayer en l a ci udad se a lcan zaro n es tas temp erat uras :

Deuda siguiente: 225 €.


Deuda actual: 2110 €.

Observa la profundidad a la que está cada pez y contesta. 10

m

250

m

2100

m

2150

m

2200

m

2250

m

2300

m

3

Cálculo mental

Pez espada

• 4

• 7

• 20

• 8

• 7

• 20

• 30

• 9

Besugo Bonito

Notas

Merluza

¿Está la merluza a más de 100 m bajo el nivel del mar? ¿Está el besugo a más de 150 m bajo el nivel del mar? ¿Qué pez está a mayor profundidad? ¿Qué pez está a menor profundidad? Si el pez espada asciende 100 m, ¿a qué profundidad estará? Si el bonito desciende 150 m, ¿a qué profundidad estará?

Cálculo mental Calcula la fracción de un número 3 de 20 4

20

60 3 3

15 :4

1 de 20 5

1 de 56 8

2 de 50 5

2 de 12 3

1 de 42 6

1 de 180 9

3 de 40 4

3 de 15 5

45

Otras actividades • Recorte de un periódico la tabla con las temperaturas máximas y mínimas del día anterior en distintas ciudades del mundo, y entregue una copia a cada alumno. Explique el signicado de temperatura máxima y temperatura mínima y plantee problemas para calcular la variación de temperatura en una ciudad encontrar la ciudad que tuvo más variación de temperatura, averiguar la diferencia entre las temperaturas máximas (o mínimas) de dos ciudades dadas, etc. ,

59

Coordenadas cartesianas

Propósitos Observa cómo son los ejes de coordenadas cartesianas:

• Identicar coordenadas de puntos representados en ejes cartesianos.

Cada eje es una recta entera.

• Representar puntos en ejes cartesianos.

12 11

0 24

23

22

21

11

12

13

14

21 22

coordenadas cartesianas son una extensión de las coordenadas en ejes positivos que ya conocían.

(1 3,

1 1)

(23,

22)

(2 1,

1 3)

(12,

23)

23 24

Tercer cua drant e

Cuarto cuadrante

Fíjate en que las coordenadas de un punto son positivas o negativas según el cuadrante en el que se encuentra.

Indique los cuatro cuadrantes o partes que se forman. Recuerde a los alumnos cómo determinar las coordenadas de un punto (trazando una línea imaginaria desde el punto hacia el eje horizontal y luego hacia el vertical) y señale que ahora pueden ser negativas una de ellas o las dos.

1

Escribe en tu cuaderno las coordenadas de cada punto y, después, contesta. 16

E

15

B

14 13

F

Pregunte a los alumnos cuál será el signo de las coordenadas de un punto del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante. Déjeles razonar por sí mismos y comente después en común las conclusiones obtenidas.

A

12 11

0 26 25 24 23 22 21

C

11 12 13 14 15 16 21 22

H

23 24

G

D

25 26

A (…,

…)

E (…,

…)

B (…,

…)

F (…,

…)

C (…,

…)

G (…,

…)

D (…,

…)

H (…,

…)

¿Qué puntos tienen la primera coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Qué puntos tienen la segunda coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿De qué signo son las coordenadas de los puntos del primer cuadrante? ¿Y de los puntos del cuarto?

¿De qué signo son las coordenadas de los puntos del segundo cuadrante? ¿Y de los puntos del tercero?

Actividades

Si un punto tiene sus coordenadas del mismo signo, ¿en qué cuadrante puede estar?

(24, 14); C (24, 22); D (12, 24); E (14, 15); F (22, 12); G (22, 25); H (15, 23) B

• Puntos A y E , primer cuadrante. Puntos D y H, cuarto cuadrante.

13

Ahor a, f íjat e en los punt os q ue ha representado Laura y en las coordenadas de cada uno.

Para explicar. Señale que las

13);

Primer cuadrante 14

Dividen la cuadrícula en cuatro partes llamadas cuadrantes.


1 A (13,

Segundo cuadrante

Son perpendiculares y se cortan en el 0.

2

Obs erva

los ejes de coordenadas de la actividad anterior y escribe tres puntos.

Cuya primera coordenada sea igual a la del punto A. ¿En qué cuadrante está cada uno? Cuya segunda coordenada sea igual a la del punto H. ¿De qué cuadrantes podrías haberlos elegido? 46

• Puntos B y F , segundo cuadrante. Puntos C y G, tercer cuadrante. • Primer cuadrante: positivas las dos. Cuarto cuadrante: positiva la primera y negativa la segunda. • Segundo cuadrante: negativa la primera y positiva la segunda. Tercer cuadrante: negativas las dos. • Puede estar en el primer o en el tercer cuadrante. 2 • R. M. (13,

21), (13, 14),

(13, 23). El primero y el tercero están en el cuarto cuadrante, el segundo está en el primer cuadrante.

60

Otras actividades • Dibuje en una cartulina una cuadrícula grande y trace los ejes cartesianos. Coloque la cartulina en el corcho de clase para hacer, de forma colectiva, las siguientes actividades: 2 Ponga

varias chinchetas en puntos de la cuadrícula para que los alumnos digan sus coordenadas y en qué cuadrante se encuentran.

2 Diga

coordenadas de puntos y pida a los alumnos que claven una chincheta en su lugar.

2 Pida

a los alumnos que coloquen chinchetas en puntos que cumplan una determinada condición. Por ejemplo: que tengan igual la primera coordenada, que la segunda sea 0, que sus dos coordenadas sean negativas…

UNIDAD

3 3

Escribe las coordenadas de cada punto y contesta. Fíjate en que los puntos que están sobre los ejes tienen una coordenada igual a cero. 16

C

15

G

14 13

E

11

B

0

26 25 24 23 22 21

Escribe las coordenadas de los puntos simétricos del punto A ( 12, 23) respecto al eje horizontal y al eje vertical.

3 A (12, 0); B (24, 0); C (0,

15);

(0, 23); E (23, 12); F (15, G (13, 14); H (13, 24) D

A

11 12 13 14 15 16 21 22

D

• R. M. (12, 23), (15, 23), (21, 23). Los dos primeros están en el cuarto cuadrante, el tercero está en el tercer cuadrante.

SABER MÁS

F

12

23

H

24

3

e nc ia I n te l ig c ia l e s pa

12);

• Es igual a cero. • Es igual a cero.

25 26

4

15

¿Cuál es la primera coordenada de los puntos del eje vertical?

14

¿Y la segunda de los puntos que están en el eje horizontal?

13

4

5

Dibuja en un papel cuadriculado unos ejes y representa. (13,

14)

(12,

22)

(25, 0)

(15,

23)

(21,

25)

(0, 16)

(22,

15)

(23,

22)

(0, 23)

(24,

12)

(14, 0)

12 11 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 21

(0, 0)

22 23

Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura.

24

15

25

14 13 12 11

5 Pentágono: (22,

0 28 27 26 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 16 17 18 21

(27, 13); (26, 11); (23, 11). Rectángulo: (17, 14); (13, (13, 11), (17, 11).

25

Razonamiento

12 11

Lee y escribe.

0 26 25 24 23 22 21

14);

Hexágono: (16, 23); (14, 22); (23, 22); (25, 23); (23, 24); (14, 24).

13

El punto verde y el punto amarillo son simétricos respecto al eje horizontal. ¿Cómo son los puntos azul y naranja? ¿Y los puntos verde y rojo?

13); (25, 14);

11 12 13 14 15 16 21

Saber más

22 23

47

Respecto al eje horizontal, su simétrico es ( 12, 13). Respecto al vertical, ( 22, 23).

Razonamiento Competencias • Conciencia y expresión cultural. Las coordenadas cartesianas son el puente de unión entre la Geometría y la Aritmética y tienen una gran importancia en Matemáticas y en diferentes manifestaciones artísticas. Pida a sus alumnos que hagan un diseño artístico de una gura en el plano cartesiano y lo transmitan, mediante las coordenadas de sus vértices, a un compañero. Este deberá reproducir la obra a partir de esas coordenadas.

Los puntos azul y naranja son simétricos respecto al eje vertical. Los puntos verde y rojo no son simétricos respecto a ningún eje.

Notas

61

Solución de problemas Sacar conclusiones de un enunciado

Propósitos • Elegir las conclusiones correctas que se pueden sacar del enunciado de un problema.

Marta quería vender 150 kg de castañas. Las envasó en bolsas de 3 kg y cada una la vendió a 4 €. El viernes vendió 10 bolsas, el sábado 2 bolsas más, y el domingo vendió las que le quedaban.


¿Qué frases de las siguientes son correctas?

Para explicar. Razone en común

A. El sábado vendió 2 bolsas. B. El viernes obtuvo 40 €.

el ejemplo resuelto, mostrando por qué la frase A es falsa. Después, trabaje de forma colectiva las otras tres frases, como preparación para el trabajo individual de las actividades 1 y 2. Corrija cada actividad pidiendo a los alumnos que expliquen por qué cada frase es correcta o errónea.

C. El domingo vendió 8 bolsas. D. Obtuvo en total 200 €.

Fíjate en la frase A. El sábado no vendió 2 bolsas, sino 2 bolsas más que el viernes. El viernes vendió 10, por lo que el sábado vendió 12 bolsas. La frase A es falsa. Averi gua qué ocur re co n el resto de f rase s y copi a en tu cuaderno las verdaderas.

Lee el enunciado, piensa y escribe en tu cuaderno las frases correctas. 1

Actividades 1 Son correctas: A, B, C y F. 2 Son correctas: A, B, E y F.

En un gimnasio hay 5 grupos de aerobic de 10 personas cada uno. En cada uno de los 3 grupos de la mañana hay 7 mujeres y el resto son hombres. En cada grupo de la tarde hay 6 mujeres y 4 hombres.

2

Paula llegó la penúltima en la carrera. Luis llegó antes que Sara y después que Teo. Sara llegó antes que Paula, y Paula llegó antes que Antonio.

Notas

A. Hay 50 personas en aerobic.

A. Teo llegó antes que Luis.

B. Hay 2 grupos por la tarde.

B. Teo llegó el primero.

C. Hay más mujeres que hombres.

C. Sara llegó antes que Antonio.

D. Hay más hombres por la tarde.

D. Sara fue la cuarta.

E. Hay más personas por la tarde.

E. Antonio fue el último.

F. Hay menos mujeres por la tarde.

F. Luis llegó el segundo.

48

Otras actividades • Organice la clase en pequeños grupos y pida a cada uno que redacte un enunciado, similar a los trabajados en esta página, y a partir de él distintas frases correctas e incorrectas (en una hoja aparte anotarán cómo es cada una). Después, los grupos se intercambiarán los enunciados y las frases y cada grupo analizará la corrección de las frases recibidas. Al nal, realice una puesta en común, de manera que los grupos contrasten sus resultados y los comenten.

62

3 Buscar datos en textos y gráficos

• Buscar los datos necesarios para resolver problemas en varios textos y grácos.

Ciudades a mayor altitud (en m) sobre el nivel del mar

5.099

5.000

5.019

4.895

4.692

4.000

Sugerencias didácticas 3.505

3.000 2.000 1.000

AGUA TEMP LADA EN LOS OCÉANOS En los océanos hay una capa superficial de agua templada con una temperatura comprendida entre 12 ºC y 30 ºC. Por debajo de esta capa, el agua tiene temperaturas comprendidas entre 2 2 ºC y 1 5 ºC.

3

Propósitos

Lara ha hecho un trabajo sobre los océanos.

PROFUNDIDAD DE LOS OCÉANOS La profundidad media de los océanos es de aproximadamente 3.900 m. La profundidad máxima se encuentra en la fosa de las Marianas (océano Pacífico), alcanzando los 11.033 m bajo el nivel del mar.

UNIDAD

La Rinconada Wenquan

El Aguilar Colquecheca Ukdungle

¿Cuántos metros hay desde la profundidad máxima de los océanos a la ciudad más alta sobre el nivel del mar?

Para explicar. Comente con

los alumnos las distintas fuentes de información que aparecen, dos textos y un gráco y cómo se nos pueden plantear problemas en los que haya que obtener datos de varias fuentes o incluso problemas en los que las informaciones de textos y grácos nos sirvan para contextualizar y ver si son correctos los datos y los resultados que obtenemos.

Actividades •

Busca los datos en el gráfico y en el primer texto y resuelve en tu cuaderno: Profundidad máxima de los océanos: … Solución: Hay … Ciudad más alta sobre el nivel del mar: …

Profundidad máxima: 11.033 m. Ciudad más alta: 5.099 m. 11.033 2 5.099 5 5.934 Hay 5.934 m de diferencia.

1 5.019 2 3.800 5 1.219 Resuelve los problemas buscando los datos que necesitas en los textos o el gráfico. 1

1.219 1 750 5 1.969

i i l dell mar menos que Wenquan La ciudad A está a 3.800 m sobre ell nivel i i i l y lal ciudad B está a 750 m más que lal ciudad A. ¿A cuántos metros sobre ell nivel i del lmar está lal ciudad B?

2

i i l de un océano era de 18 ºC, y lla temperatura Un día lal temperatura de lal capa superficial i i era de 20 grados menos. ¿Qué temperatura tenía la l capa inferior? i i de lal capa inferior

3

i INVENTA. Escribe

l l textos un problema en el lque haya que buscar datos en los i Después, resuélvelo. l l y/o en el lgráfico.


Está a 1.969 m. 2 Era de

22

ºC.

3 R. L.

Notas 49

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. Las actividades de invención de problemas, en este caso a partir de informaciones procedentes de fuentes variadas, permiten un desarrollo considerable de esta competencia. Indique a los alumnos la importancia de elegir informaciones de fuentes variadas, proponer cuestiones que sea posible resolver, y analizar, ellos mismos, la corrección de su planteamiento.

63

ACTIVI DADES

Propósitos

1


2


2

22

•

14

•

1800

•

2800

De menor a mayor. De mayor a menor.

Escribe un número entero que asocies a cada situación.

De mayor a menor. ¿Cuál es el mayor de todos los números? ¿Cuál es el menor?

El avión voló a 800 m sobre el nivel del mar.

6

Los números mayores que 2 10 y menores que 2 1.

Los buzones de un bloque de pisos están en la planta baja. 3

Los números comprendidos entre 25 y 1 5.

Calca el esquema y dibuja. 130

m

120

m

110

m

7

210

m

220

m

230

m

m

120

m

110

m

Gerardo subió del segundo sótano a la cuarta planta. Después, bajó 5 plantas. ¿A qué planta llegó? Martín bajó del cuarto sótano al sexto sótano. Después, subió tres plantas y más tarde subió otras tres. ¿A qué planta llegó?

Un pez rojo a 10 m bajo el nivel del mar y uno amarillo a 20 m bajo el nivel del m ar. Un pájaro azul a 30 m sobre el nivel del mar y un pájaro verde a 10 m sobre el nivel del mar.

m

220

m

230

m

8

Escribe en tu cuaderno las coordenadas de los puntos de cada recta y contes ta.

¿Qué pájaro y qué pez están a igual distancia del nivel del mar? Explica por qué.

0m 210

Contesta usando un número entero. María bajó de la tercera planta al primer sótano. Después, subió 3 plantas. ¿A qué planta llegó?

0m

3

Piensa y escribe. Los números mayores que 2 3 y menores que 1 3.

Han encontrado un nuevo tipo de pez a 800 m bajo el nivel del mar.

• 0

130

Ordena los números de cada grupo de la actividad 4 según se indica.

La biblioteca está en el cuarto piso.

• R. M. Los números enteros son los números …, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13,… Se utilizan para indicar temperaturas, altura de pisos, metros de profundidad… •

5

La temperatura mínima fue de 2 grados bajo cero.

Actividades 1

Explica qué son los números enteros y di ejemplos de situaciones en las que se utilicen.

VOCABULARIO.

4

Representa en la recta entera y contesta. 24, 2 2,

0,

1 2, 1 5

26, 1 3, 2 5, 23 27, 2 6, 2 8, 16, 29

• El pájaro verde y el pez rojo están a la misma distancia, uno por encima y otro por debajo. El valor de esa distancia, sin tener en cuenta el signo, es 10 en ambos casos.

¿Cuál es el mayor número representado con un punto rojo? ¿Y con un punto azul? ¿Cuál es el menor número representado con un punto verde?

13 12 11 24 23 22 21

11 12 13 14 21 22 23

¿Qué condición cumplen las coordenadas de cada punto de la recta roja? ¿Y las de cada punto de la recta verde? ¿Qué punto de la cuadrícula cumple las dos condiciones? ¿Hay alguno más?

50

4

0

25

15

Otras actividades

• Mayor rojo: 15. • Mayor azul:

13.

• Menor verde: 5

• • •

29.

24 , 22 , 0 , 12 , 15 13 . 23 . 25 . 26 16 . 26 . 27 . 28 . 29

• El mayor es 16. • El menor es 29. 6

•

22, 21,

0, 11, 12

•

29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22

•

24, 23, 22, 21, 13, 14

64

0, 11, 12,

• Dibuje en una hoja de papel esta gura y entregue una copia a cada alumno. Se trata de que averigüen cómo se puede dibujar la gura sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. Los alumnos deberán escribir por orden las coordenadas de los puntos por los que han ido pasando.

UNIDAD

3 7 • Llegó a la planta 12.

Problemas 9

Representa cada instalación en un plano en tu cuaderno.

10

Javier está haciendo un proyecto urbanístico y estas son las coordenadas de los vértices de las instalaciones.

• Llegó a la planta 21.

Resuelve.

• Llegó a la planta 0.

Patricia y Ana están jugando a las cartas. 12

14

25

23

puntos

puntos

puntos

puntos

8 Recta roja: (22,

• Son iguales. • Son iguales en valor, pero de distinto signo.

Un producto está a 5 grados bajo cero. Para consumirlo debe estar a 3 grados. ¿Cuántos grados ha de subir su temperatura? 1 4), ( 11, 14), (1 3, 2 1),

Parque: (25, 2 6), (21, (2 1, 1 1), (25, 11).

26),

(0,

13),

22), (21, 21),

(12, 12). Recta verde: ( 21, 11), (11, 21), (12, 22).

Patricia tiene una carta roja y otra azul, y Ana tiene una morada y una amarilla. ¿Cuántos puntos tiene cada una?

Gimnasio: (1 3, (1 1, 2 1).

3

• El (0, 0). Es único. 9

Un submarino estaba a 150 m bajo el nivel del mar. Primero, descendió 50 m y, después, ascendió 100 m. ¿A qué profundidad está ahora?

15 14 13 12 11

11

Resuelve. 25 24 232221

Ricardo trabaja en la sección de congelados de un supermercado y coloca los productos según la temperatura de conservación que cada uno necesita.

11 12 131415 21 22 23

CONGELADOR 1 2 20 ºC

24

PRODUCTO 1 Entre 222 ºC y 2 18 ºC CONGELADOR 2 212 ºC

CONGELADOR 3 28 ºC

25

PRODUCTO 2 Entre 215 ºC y 25 ºC

10 • Patricia:

puntos. Ana: 11 punto.

PRODUCTO 3 Entre 222 ºC y 2 10 ºC

23

• Ha de subir 8 grados.

¿En qué congeladores puede guardar cada producto? ¿Por qué?

• Está a 100 m por debajo del nivel del mar.

Un producto se debe guardar a una temperatura inferior a 15 grados bajo cero. ¿Hay congelador para guardarlo? ¿Y si se tuviera que guardar a una temperatura superior a 5 grados bajo cero?

11 • Producto 1: congelador 1. Demuestra tu talento 12

¿Cuál es el menor número natural de dos cifras? ¿Cuál es el menor número entero de dos cifras?

¿?

Producto 2: congeladores 2 y 3. Producto 3: congeladores 1 y 2.

51

La temperatura de cada congelador pertenece al intervalo de temperaturas en el que debe estar el producto. • Debe guardarse en el congelador 1. No hay congelador.

Competencias • Competencia social y cívica. En la actividad 11 se ofrece a los alumnos un contexto de la vida real en el que aplicar los números enteros que está relacionado con el consumo y la alimentación. Comente con ellos la importancia de un consumo responsable y de seguir unas normas a la hora de conservar los alimentos para consumirlos en un estado óptimo y evitar problemas de salud.

Demuestra tu talento 12 Menor natural: 10.

Menor entero:

299.

Notas

65

SABER HACER

Propósitos

Interpretar datos geográficos

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

Seguro que has comprobado que la temperatura en tu ciudad varía a lo largo del año, y en algunos casos esa variación puede ser muy grande. La siguiente tabla recoge las temperaturas registradas en julio y en diciembre en algunos lugares de nuestro planeta.

• Repasar contenidos clave.

Lugar

Julio

Diciembre

San Petersburgo

18 ºC

27 ºC

Zaragoza

23 ºC

6 ºC

El Cairo

28 ºC

15 ºC

Desierto de Gobi

38 ºC

243 ºC


2

Compruebe que las representaciones realizadas por los alumnos son correctas. El Azizia: 157 ºC. Vostok: 289 ºC.

3

Hay 146 grados de diferencia.

4

R. L.

Sin embargo, todos estos valores están muy lejos de la temperatura máxima y la mínima registradas en nuestro planeta. La más alta se alca nzó el 13 de septiembre de 1922 en el desierto de El Azizia, en Libia, donde el termómetro llegó a los 57 ºC. En el otro extremo, la temperatura más baja registrada en la Tierra se alcanzó el 21 de julio de 1983; este día el termómetro en la base meteorológica de Vostok, en la Antártida, alcanzó los 89 ºC bajo cero.


2

3

4

•

7.999.998 2 8.000.000

•

18.789.899 2 18.789.901

•

23.899.988 2 23.899.990

•

489.999.998 2 490.000.000

•

800.999.998 2 801.000.000

•

8

•

11

•

39

•

43

•

0

•

54

•

15

•

8

•

Dibuja una recta entera en tu cuaderno y representa en ella las temperaturas de la tabla de arriba.

2

Expresa las temperaturas más extremas registradas en nuestro planeta usando números enteros.

3

Piensa y contesta. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre la temperatura más alta y la más baja registradas en nuestro planeta?

4

3

2

1

; base: 2, exponente: 3

Buscad información sobre las temperaturas máxima y mínima en el año pasado en vuestra localidad o provincia, representadlas en una recta numérica y calculad la diferencia en grados entre una y otra.

2

•

4 ; base: 4, exponente: 2

•

5

•

104; base: 10, exponente: 4

•

4 3 4 3 4; 64

•

5 3

•

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2;

TRABAJO COOPERATIVO. Busca y calcula con tu compañero.

6

; base: 5, exponente: 6


52

5; 25

256

5

6

•

6 3 6 3 6; 216

•

7 3 7 3 7 3

•

7

•

63; 216

•

5

•

105; 100.000

•

2.000; dos mil

•

500.000; quinientos mil

•

7.000.000; siete millones

•

•

•

66

7; 2.401

2

; 49

4

; 625

60.000.400; sesenta millones cuatrocientos 83.000; ochenta y tres mil 2.800.007; dos millones ochocientos mil siete

Desarrollo de la competencia matemática • Ponga de maniesto la aplicación que se hace en esta página de los contenidos trabajados en la unidad. Eso facilitará la interiorización, por parte de los alumnos, de la utilidad de lo aprendido y potenciará el desarrollo de esta competencia. Al valorar el trabajo cooperativo, ponga especial atención en la técnica de exposición de resultados utilizada y la aplicación correcta de los números enteros.

1

Escribe en tu cuaderno el número anterior y el posterior a cada uno.

4

18.789.900

5

23.899.989

6

Calcula. (2

3

(6

2

3)

(7

1

4

9

Escribe el número y cómo se lee. 2

3 10

3

6

3 10

7

1 4 3 10

2

5

3 10

5

8

3 10

4

1 3 3 10

3

5

1

24

7

3 4 1 5 3 3

7

3 10

6

2

3 10

6

1 8 3 10

5

2)

2

4

Diez a la quinta.

1 6 3 2 2 10

3 2 3 2 3

Cinco a la cuarta.

9

2

6

12 : 2

9

4

1

1 8 3 6

5

7

1 2 3 7 2 10

3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

10

� 64

� 16

� 36

3

•

3 , � 11 , 4

•

6 , � 47 , 7

•

8 , � 80 , 9

•

7 , � 62 , 8

� 47

� 80

•

8

•

4

•

6

•

7 3 50 1 3 3 20 5 410 410 2 2,40 5 407,60 El precio era 407,60 €.

11

11 1 35 1 11 5 57 Su padre tendrá 57 años.

� 62

3

5

12 3 18 5 216 3 3 18 1 2 5 56 216 2 56 5 160 Vendieron 160 revistas.

10

� 25

Halla entre qué dos números está cada raíz cuadrada.

� 11

3 10 3 10 3 10

1 7

Calcula.

�9 8

•

Escribe y calcula su v alor.

12

3

8

74

2

Expresa como potencia y escribe su base y su exponente. 2

63

3)

5) : 2

18 : (5 3

1

28

Seis al cubo.

800.999.999

4

52

Siete al cuadrado.

489.999.999

7

Escribe en forma de producto y calcula su valor. 43

7.999.999

2

UNIDAD

3

REPASO ACUMULATIVO

12 156

: 4 5 39 39 : 5 F c 5 7, r 5 4 Quedaron 4 bolsas sin envasar en cajas. No quedó ningún bolígrafo sin envasar en bolsas.

Problemas

9

10

11

12

Esta mañana en un quiosco han recibido 12 cajas con 18 revistas cada una. Por la tarde todavía quedaban sin vender 3 cajas enteras y 2 revistas. ¿Cuántas revistas vendieron por la mañana?

13

Pablo tiene una tienda de deportes. Esta mañana ha pedido 25 camisetas a 21 € cada una y 10 chándales menos, cada uno el triple de caro que una camiseta. ¿Cuánto pagará en total por el pedido?

Para pagar una factura, Leandro entrega 7 billetes de 50 € y 3 billetes de 20 €. Le han devuelto una moneda de 2 € y 2 monedas de 20 céntimos. ¿Cuál era el precio de la factura? Pablo tiene 11 años y su padre tiene 35 más que él. ¿Cuántos años tendrá su padre cuando Pablo tenga el doble de edad que ahora? Miguel envasó 156 bolígrafos en bolsas de 4 y las bolsas obtenidas en cajas de 5. ¿Cuántas bolsas quedaron sin envasar? ¿Y bolígrafos?

13

25 2 10 5 15; 21 3 3 5 63 25 3 21 1 15 3 63 5 1.470 Pagará 1.470 €.

14

31 2 4 5 27 27 3 15 5 405 Corrió 405 km.

Notas 14

Cada día del mes de enero Pablo corrió 15 km, salvo los jueves que tuvo que ir a un cursillo. ¿Cuántos kilómetros corrió Pablo ese mes? 53

Repaso en común • Pida a sus alumnos que inventen tres actividades que correspondan a contenidos trabajados en las tres primeras unidades. Si lo estima pertinente, puede darles una guía asignando contenidos a cada alumno o cada grupo. Una vez terminadas, se las entregarán para que usted pueda diseñar un cuadernillo de trabajo que se entregará a todos para reforzar

los contenidos aprendidos. Incluya en cada una de las páginas del cuadernillo un pequeño registro de autoevaluación que los alumnos completarán una vez corregidas las actividades. Así serán más conscientes de sus aprendizajes y del nivel de su progreso.

67

4

Divisibilidad


SABER


•

Múltiplos y divisores.

•

Criterios de divisibilidad.

•

•

•

•


•

•

•

•

SABER HACER

•


•

•

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

FORMACIÓN EN VALORES •

68

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Reconocimiento y obtención de múltiplos de un número. Reconocimiento y obtención de todos los divisores de un número. Reconocimiento de si un número es divisible por 2, 3, 5, 9 o 10. Distinción de números primos y compuestos. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números. Cálculo del máximo común divisor de dos o más números. Resolución de problemas de m.c.m. y de m.c.d. Elaboración de tablas a partir de distintas informaciones. Realización de tablas para resolver problemas de divisibilidad. Relación de gráficos lineales con tablas y otros gráficos. Realización de un proyecto con gráficos lineales.

Organizar un campamento.

Interés por conocer las relaciones entre los números. Valoración de la utilidad de las Matemáticas para resolver cuestiones cotidianas.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •



Evaluación de contenidos. Unidad 4: controles B y A.

LibroNet

•


MATERIAL DE AULA

•

Rúbrica. Unidad 4.

•

Láminas



•



Cuaderno del alumno


•




Recursos complementarios i

•


•


•


CUADERNO

a s má t ic Ma te

_ - _ _

•



A I R A M I R P

Aprendizaje eficaz

A I R A M I R P




•


11 7

_

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t m ti

s_ -1_

7

.in

1

/

/

/

/

1

:

:1

: :


•

_ t

_ t i s_ -

i.


Octubre

Noviembre

Diciembre

69

Propósitos

4

Divisibilidad

• Reconocer situaciones reales donde aparecen múltiplos y divisores. • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • La distinción entre múltiplo y divisor es confusa para algunos alumnos. Señale que los múltiplos son siempre mayores o iguales que el número, y los divisores, menores o iguales que él. • Al hallar todos los divisores de un número, señale que en cada división exacta obtenemos dos divisores y que hay que dejar de dividir al obtener un cociente menor o igual que el divisor. Algunos alumnos no anotan bien todos los divisores o realizan divisiones innecesarias. • El proceso de cálculo del m.c.m. y del m.c.d. resulta confuso para algunos alumnos. Trate de que los conceptos queden claros y realice ejercicios en común, pidiendo a los alumnos que verbalicen el proceso seguido.

¿De dónde viene la miel? Desde la prehistoria el ser humano ha utilizado la miel como alimento y como sustancia medicinal por sus propiedades. La miel es una sustancia viscosa, de color amarillento y muy dulce, que producen las abejas a partir del néctar de las flores. La almacenan en panales y sirve como alimento a la colmena. Los apicultores cogen los panales y extraen la miel, que se lleva a una planta de tratamiento donde se refina y se envasa en frascos de distintos tamaños. Sonia es apicultora y en su planta de envasado la máquina envasa 1.920 frascos por hora, que luego se agrupan por tamaños: los frascos grandes se agrupan en cajas de una docena y los medianos en cajas de 20 unidades.

Trabajo colectivo sobre la lámina Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre ella y sobre distintas situaciones en las que se realizan agrupamientos de objetos. 1

3 3 12 5 36; 5 3 20 5 100 Ha comprado 36 frascos grandes y 100 frascos medianos.

2

1.920 : 12 5 160 1.920 : 20 5 96 Envasaría 160 cajas de frascos grandes y 96 cajas de frascos medianos.

3

150 : 12 F c 5 12, r 5 6 Hay que pedir 13 cajas. 13 3 12 2 150 5 6 Sobrarán 6 frascos.

70

54

Otras formas de empezar • Muestre una bolsa o una caja y explique que tiene en ella una o varias monedas (o billetes), todas iguales. Plantee con esta situación las siguientes cuestiones, para resolver en común: 2 En

la bolsa hay monedas de 2 €. ¿Cuánto dinero puede haber?

2 En

la bolsa hay billetes de 5 €. En total hay más de 20 € y menos de 80 €. ¿Cuánto dinero puede haber?

2 En

la bolsa hay 46 €. ¿Puede ser en monedas de 2 €? ¿Y en billetes de 10 €?

2 En

la bolsa hay 30 €. ¿En qué monedas puede ser? ¿Y en qué bill etes?

Cambie después las cantidades de dinero, o el valor de las monedas y billetes, para realizar otros ejercicios similares.

UNIDAD


2

3

4

80 : 20

No sobrará ningún frasco. 4 Hay infinitos números, todos SABER HACER

Si la máquina solo envasara frascos de un tipo, ¿cuántas cajas de frascos grandes envasaría cada hora? ¿Y de frascos medianos?

TAREA FINAL

Los pedidos a las tiendas se sirven en cajas enteras. Para comprar 150 frascos grandes, ¿cuántas cajas hay que pedir? ¿Sobrará algún frasco? ¿Y para comprar 80 medianos?

Al f inal de l a un idad organizarás grupos en un campamento.

los que sean múltiplos de 12 y 20 a la vez: 240, 480, 720,…


¿Qué sabes ya? Recuerde con los alumnos los conceptos de múltiplo y divisor y su asociación con la división exacta. Señale que si un número es múltiplo de otro, este es divisor del primero y viceversa. Comente también la definición de número primo y compuesto.

Ante s, t raba jará s muchos contenidos sobre divisibilidad que te ayudarán.

EXPRESIÓN ORAL. ¿Hay algún número de frascos que se pueda envasar tanto en cajas grandes como en cajas pequeñas sin que sobre ningún frasco? ¿Cómo lo has averiguado?


¿Qué sabes ya?

1 • 36 es múltiplo de 3, pero

Múltiplos y divisores

no lo es de 8.

La división 12 : 4 es exacta. 4 3

12 es múltiplo de 4.

4 es divisor de 12.

• 4 no es divisor de 15, pero sí lo es de 28.

12 es divisible por 4.

múltiplo de b. divisor de a. a es divisible por b. a es

Si la división a : b es exacta

1

• 90 es divisible por 5, pero no lo es por 7.

b es

Piensa y contesta. ¿Es 36 múltiplo de 3? ¿Y de 8?

¿Es 90 divisible por 5? ¿Y por 7?

¿Es 4 divisor de 15? ¿Y de 28?

¿Cuántos múltiplos tiene 2? Escribe tres.

• Tiene infinitos múltiplos; 2, 4, 6... 2 La división es exacta. Un número

par distinto de 2 no puede ser primo porque el número 2 siempre es divisor suyo y ese número tendría como mínimo tres divisores: 1, 2 y él mismo.

Números primos y compuestos Un número es primo cuando solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. 2

4

5

Habrá que pedir 4 cajas.

Una tienda ha comprado 3 cajas de frascos grandes y 5 cajas de frascos medianos. ¿Cuántos frascos grandes ha comprado? ¿Y medianos?

12 0

4

Piensa y contesta. Al dividir un número par entre 2, ¿la división es exacta? Un número par distinto de 2 ¿puede ser primo? ¿Por qué?

55

Notas

Competencias • Competencia lingüística. Al trabajar las preguntas relativas a la lectura y en especial la de Expresión oral, pida a los alumnos que utilicen términos matemáticos para expresarse y que lo hagan de forma clara, razonando sus conclusiones. • Aprender a aprender. Potencie en los alumnos la sensación de progreso y avance en sus conocimientos. Muestre que van a trabajar con conceptos relacionados con la división, que les permitirán resolver numerosas situaciones de la vida cotidiana.

71

Cálculo de todos los divisores de un número

Propósitos Ramón quiere repartir 10 sándwiches en bolsas, de manera que en cada bolsa haya el mismo número de sándwiches. No quiere que le sobre ninguno. ¿Cuántos sándwiches puede poner en cada bolsa?

• Calcular todos los divisores de un número. • Resolver problemas calculando divisores de un número.

Para averiguarlo, calcula todos los divisores de 10 así:


1.º Divide 10 entre los números naturales 1, 2, 3, 4, … De cada división que sea exacta obtienes dos divisores: el divisor y el cociente. 2.º Deja de dividir cuando el cociente sea igual o menor que el divisor.

Para explicar. Comente el cuadro

10 00

teórico, realizando con la clase el proceso de obtención de los divisores de 10. Haga hincapié en la importancia de anotar los dos divisores obtenidos en cada división exacta y de detener el proceso de dividir cuando el cociente obtenido sea menor o igual que el divisor.

Div (11) Div (18) Div (31) Div (20) Div (13) Div (30)

2 5

2y5

10 1

3 3

Como 3 3, deja de dividir. 5

No hay divisores.

Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10.

En cada bolsa puede poner 1, 2, 5 o 10 sándwiches.

1

Calcula todos los divisores de cada número y contesta. 14

11 20

2

18 13

31 30

¿Cuáles de estos números son números primos? ¿Cuáles son compuestos?

Contesta y razona tu respuesta. ¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Puedes hallar todos sus divisores? ¿Cuántos divisores tiene un número como mínimo? ¿Cuáles son?

3

Actividades 1, 2, 7, 14. 1, 11. 1, 2, 3, 6, 9, 18. 1, 31. 1, 2, 4, 5, 10, 20. 1, 13. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

10 0

1 y 10

Deje claro a los alumnos que siempre es posible obtener todos los divisores de un número, pero no todos sus múltiplos. Relacione este proceso con el concepto de primo y compuesto, mostrando a los alumnos cómo los números primos tienen solamente dos divisores, la unidad y ellos mismos.

1 Div (14)

1 10

Resuelve. El profesor de Educación Física quiere hacer, con sus 20 alumnos, equipos con el mismo número de personas y que no quede ninguna sola. ¿Cuántos alumnos puede poner en cada equipo?

5

5

Susana quiere poner 15 fotos en su álbum. En cada página quiere poner el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas fotos puede poner en cada página?

5

5

Pablo tiene que enviar 30 libros. Quiere hacer cajas con el mismo número de libros y que no sobre ninguno. ¿Cuántos libros puede poner en cada caja? ¿Cuántas cajas necesitará en cada caso?

5

5

5

• Primos: 11, 13 y 31.

56

• Compuestos: 14, 18, 20 y 30. 2 • No se puede, son infinitos.

Sí se pueden hallar todos sus divisores. • Como mínimo tiene 2, la unidad y él mismo. 3 • Puede poner 1, 2, 4, 5, 10

o 20 alumnos en cada equipo. • Puede poner 1, 3, 5 o 15 fotos en cada página. • Puede hacer 1 caja de 30 libros, 2 cajas de 15 libros, 3 cajas de 10 libros, 5 cajas de 6 libros, 6 cajas de 5 libros, 10 cajas de 3 libros, 15 cajas de 2 libros o 30 cajas de 1 libro.

72

Otras actividades • Puede practicar el proceso de obtención de divisores proponiendo a los alumnos números grandes (de dos cifras, tres cifras o mayores) y pidiéndoles que, con l a ayuda de la calculadora, vayan realizando las sucesivas divisiones y anotando los divisores que obtengan. Al realizar esta actividad, pídales que antes de calcular razonen si pueden conocer algún divisor de manera inmediata (propóngales por ejemplo números pares, números con todas sus cifras iguales, números acabados en cero…). De esta manera, servirá también como introducción a los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad

UNIDAD

4

4

Propósitos Los criterios de divisibilidad son formas de comprobar si un número es divisor de otro.

• Reconocer y utilizar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10.

Un número es divisible por 2 si es un número par. 50 es divisible por 2 porque es par. 71 no lo es porque es impar. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 15 es divisible por 3 porque 1 1 5

5 6,

26 no es divisible por 3 porque 2 1 6


y la división 6 : 3 es exacta.

5 8,

y la división 8 : 3 no es exacta.

Para explicar. Señale la utilidad

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 99 es divisible por 9 porque 9 1 9

5 18,

47 no es divisible por 9 porque 4 1 7

de los criterios de divisibilidad para analizar de manera rápida si un número es divisible por otro. Comente los ejemplos propuestos y pida a los alumnos que aporten otros de cada uno de los criterios. Indique que existen otros criterios para otros números, pero que son en ocasiones muy complejos de aplicar. Indique que al aplicar el criterio determinamos simplemente si ese número es divisible por el otro, pero no el otro divisor asociado (el resultado de la división).

y la división 18 : 9 es exacta.

5 11,

y la división 11 : 9 no es exacta.

Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. 85 es divisible por 5; 54 no lo es. Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. 370 es divisible por 10; 407 no lo es.

1

Piensa y contesta. Si un número es divisible por 2, ¿puede ser su última cifra 3? Si un número es divisible por 10, ¿es divisible por 5? ¿Y al revés?

2

Aplica los criterios de divisibilidad y averigua qué números son divisibles por 2, por 3, por 5, por 9 o por 10.

6

4 40

45

12 90

18

54 27

30

¿Hay algún número que sea divisible por 2, por 3 y por 5 a la vez?

70

¿Hay algún número que sea divisible por 3, por 9 y por 10 a la vez?

60 36

50

Actividades

¿Hay algún número que sea divisible por todos ellos?

1 • No, si es divisible por 2

su última cifra debe ser par. • Si un número es divisible por 10 es divisible por 5 (ya que acaba en 0), pero no a la inversa (los múltiplos de 5 acabados en 5 no son múltiplos de 10).

Cálculo mental

Suma por compensación: suma y resta el mismo número para que el primer sumando sea una decena

14

56

1 27 5 60 1 23 5 83 24

49

1

26

38

1

16

47

1

65

16

1 45

39

1

58

48

1

57

57

1

14

46

1 27

69

1

57

78

1

43

77

1

26

86

1 68

89

1

35

88

1

31

97

1

12

96

1 23

2 Por 2: 6, 4, 12, 54, 70, 40, 90, 60,

18, 30, 36, 50. 57

Por 3: 6, 12, 54, 90, 27, 60, 45, 18, 30, 36. Por 5: 70, 40, 90, 60, 45, 30, 50. Por 9: 54, 90, 27, 45, 18, 36.

Otras actividades

Por 10: 70, 40, 90, 60, 30, 50.

• Plantee a los alumnos las siguientes preguntas para que descubran el criterio de divisibilidad por 6. Después, pídales que escriban los números 42, 54, 60, 87, 96, 108… y lo comprueben.

• 90, 60, 30 • 90 • 90

2 El numero 6 es divisible por 2 y también es divisible por 3. ¿Serán todos los múltiplos de 6 divisibles por 2 y también por 3?

2 ¿Podemos armar que si un número es divisible por 2 y por 3 a la vez, también es divisible por 6?

2 ¿Cómo se enunciaría el criterio de divisibilidad por 6?

Cálculo mental • 75

• 54

• 112

• 61

• 97

• 105

• 71

• 73

• 126

• 121

• 103

• 154

• 124

• 119

• 109

• 119

73

Mínimo común múltiplo Propósitos El autobús azul pasa por la parada Sol cada 6 minutos y el rojo cada 9 minutos. A las 4 de la tarde han coincidido los dos en la parada. ¿Cuántos minutos, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?

• Calcular el m.c.m. de dos o más números. • Resolver problemas muy sencillos de m.c.m.

1.º Como el autobús azul pasa cada 6 minutos y el autobús rojo cada 9, calcula los primeros múltiplos de 6 y 9. Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …


Múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45, … 2.º Busca cuántos minutos han de pasar para que vuelvan a coincidir, es decir, buscamos los múltiplos comunes a ambos números.

Para explicar. Deje claro el concepto

de m.c.m. y trabaje en común el proceso de obtención. Señale la necesidad de escribir correctamente los múltiplos de cada número, sin olvidar ninguno de ellos, y de elegir después, entre los múltiplos comunes a todos los números, el menor de todos distinto de cero. Indique que siempre es posible obtener el m.c.m. de un grupo de números y que su valor es como máximo igual al producto de todos ellos.

Múltiplos comunes de 6 y 9: 0, 18, 36, … 3.º Averigua cuántos minutos como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir, es decir, elige el menor múltiplo común distinto de cero. El menor múltiplo común distinto de 0 es 18. Este número es el mínimo común múltiplo de 6 y 9 y se escribe m.c.m. (6 y 9)

18.

5

El autobús rojo y el azul volverán a coincidir dentro de 18 minutos.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero de ambos números.

1 Calcula.

Para ampliar. En este curso no

hemos abordado la utilización de la descomposición en factores primos para obtener el m.c.m. y el m.c.d. Se ha dedicado especial atención a la comprensión del concepto y la obtención de sus valores a partir de su denición. No obstante, si lo estima adecuado al nivel de su clase, puede llevarla a cabo.

2

RECUERDA

m.c.m. (2 y 5)

m.c.m. (4 y 7)

Busca los múltiplos comunes a los números y elige, entre ellos, el menor distinto de cero.

m.c.m. (3 y 4)

m.c.m. (5 y 8)

m.c.m. (3 y 6)

m.c.m. (3, 6 y 9)

Piensa y calcula. Andr ea v a a casa de s us a buel os c ada 3 dí as y su p rimo David los visita cada 4 días. Hoy han coincidido los dos. ¿Cuántos días como mínimo han de pasar para que ambos vuelvan a coincidir?

3

Piensa y contesta. Pon ejemplos si lo crees necesario. El m.c.m. de dos números ¿puede ser menor que ellos? ¿Puede ser igual a alguno de ellos?

Actividades 1 • m.c.m. (2 y 5)

5

• m.c.m. (3 y 4)

5

• m.c.m. (3 y 6)

5

• m.c.m. (4 y 7)

5

• m.c.m. (5 y 8)

5

10 12 6 28 40

• m.c.m. (3, 6 y 9) 2 m.c.m. (3 y 4)

18

5

12. Tienen que pasar 12 días hasta que coincidan por primera vez. 5

3 • No puede ser menor que ellos,

ya que debe ser múltiplo de ambos. • Puede ser igual al mayor de los dos, en el caso en el que el mayor es múltiplo del menor.

74

58

Otras actividades • Puede plantear a los alumnos actividades como las siguientes para profundizar en el concepto de m.c.m.: El m.c.m. de un grupo de números ¿tiene el mismo valor si cambiamos de orden esos números?

2

¿Cómo hallarías el m.c.m. de un grupo de 4 números?

2

Dados un número y un múltiplo suyo, ¿cuál es el m.c.m. de los dos?

2

Dados un número y un divisor suyo, ¿cuál es el m.c.m. de los dos?

2

Máximo común divisor

UNIDAD

4

4

Propósitos En la clase de Plástica quieren cubrir una cartulina de 16 cm de largo por 12 cm de ancho con fotos cuadradas iguales lo más grandes posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada foto?

• Calcular el m.c.d. de dos o más números.

1.º Como las fotos deben cubrir la cartulina completa, el lado de la foto debe ser un divisor de 16 y de 12. Calcula los divisores de 16 y 12:

• Resolver problemas muy sencillos de m.c.d.

Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 y 16. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.


2.º Como las fotos han de ser cuadradas, su largo será igual que su ancho. Busca los divisores comunes a ambos números.

Para explicar. Siga un proceso

similar al utilizado con el m.c.m., dejando clara la denición y el proceso de obtención. Muestre que como máximo el valor del m.c.d. puede ser igual al menor de los números del grupo.

Divisores comunes de 16 y 12: 1, 2 y 4. 3.º El lado de la foto tiene que ser lo más grande posible. Elige el mayor divisor común de 16 y 12. El mayor divisor común de 16 y 12 es 4. Este número es el máximo común divisor de 16 y 12 y se escribe m.c.d. (16 y 12)

4.

5

El lado de cada foto medirá 4 cm.

Para ampliar. Puede trabajar El máximo común divisor de dos o más números es el mayor divisor común de esos números.

1

2

la obtención del m.c.d. a partir de la descomposición en factores primos.

Calcula.

Actividades

RECUERDA

m.c.d. (8 y 10)

m.c.d. (15 y 27)

Busca todos los divisores de los números, halla los comunes y elige el mayor.

m.c.d. (9 y 15)

m.c.d. (20 y 26)

m.c.d. (10 y 12)

m.c.d. (16, 24 y 32)

Lee y contesta en tu cuaderno. Lucía tiene un bidón con 10 litros de zumo de naranja y otro con 6 litros de zumo de limón. Llena con el zumo de cada bidón, sin mezclarlos, botellas de igual capacidad y no le sobra nada. ¿Qué capacidad tendrán, como máximo, las botellas? ¿Cuántas botellas obtendrá en ese caso?

1 • m.c.d. (8 y 10)

5

• m.c.d. (9 y 15)

5

2 3

• m.c.d. (10 y 12)

5

2

• m.c.d. (15 y 27)

5

• m.c.d. (20 y 26)

5

3 2

• m.c.d. (16, 24 y 32) 2 m.c.d. (10 y 6)

8

5

2. Las botellas tendrán como máximo 2 litros de capacidad. Obtendrá 8 botellas.

Razonamiento

¿Es correcta esta frase? ¿Por qué? Si el máximo común divisor de dos números es 1, esos dos números son primos.

59

5

Razonamiento Es incorrecta; por ejemplo el m.c.d. (8 y 9) 1 y los dos son números compuestos. 5

Otras actividades • Puede plantear a los alumnos actividades similares a las realizadas con el m.c.m.:

Notas

El m.c.d. de un grupo de números ¿tiene el mismo valor si cambiamos de orden esos números?

2

¿Cómo hallarías el m.c.d. de un grupo de 4 números?

2

Dados un número y un múltiplo suyo, ¿cuál es el m.c.d. de los dos?

2

Dados un número y un divisor suyo, ¿cuál es el m.c.d. de los dos?

2

75

Problemas de m.c.m. y de m.c.d.

Propósitos • Resolver problemas reales donde se utilice el m.c.m. y el m.c.d.

Gonzalo tiene tiras rojas de 4 cm y tiras azules de 6 cm. Ha hecho un listón con tiras rojas y otro con tiras azules. Los dos listones tienen la misma longitud y, además, es la menor posible. ¿Cuál es la longitud de los listones?


1.º La longitud del listón debe ser múltiplo de 4 y 6. 2.º La longitud del listón debe ser la menor posible.

Para explicar. Trabaje con los

m.c.m. (4 y 6)

alumnos los dos problemas resueltos. Señale la importancia de entender bien la situación y la pregunta que se nos hace para saber si hay que calcular múltiplos y el m.c.m. o divisores y el m.c.d.

12

5

m.c.m. (4 y 6)

La longitud de los listones es de 12 cm.

Un terreno rectangular de 120 m de largo y 80 m de ancho se divide en parcelas cuadradas lo más grandes posible sin que sobre nada de terreno. ¿Cuánto medirá el lado de cada parcela?

1.º El lado de cada parcela debe ser un divisor de 120 y de 80. 2.º El lado debe ser lo más grande posible.

Haga hincapié en que comprueben si la solución que han obtenido tiene sentido.

m.c.d. (120 y 80) 40 5

m.c.d. (120 y 80) 40 5

El lado de cada parcela medirá 40 m.

Para reforzar. Proponga a los

alumnos que inventen dos situaciones problemáticas que hayan de resolverse calculando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números, por ejemplo, el m.c.m. (2 y 4) y el m.c.d. (3 y 9). Indíqueles que pueden tomar como referencia los enunciados de los problemas de esta doble página.

1

Actividades 1 • m.c.m. (14 y 8)

56 Pasarán 56 segundos. 5

• m.c.d. (12 y 10) 2 Debe poner 2 bebidas en cada bolsa. 5

• m.c.d. (18 y 20) 2 El lado medirá 2 cm. 5

• m.c.m. (8 y 12) 24 Tomará ambas de nuevo dentro de 24 horas.

Piensa y resuelve.

¿Calculo múltiplos o divisores? Un semáforo se pone rojo cada 14 segundos ¿Calculo el máximo y otro semáforo cada 8 segundos. A las 9:30 l os dos s emáf oros esta ban en ro jo. o el mínimo? ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar los dos en rojo por primera vez? Ángela tiene 12 refrescos y 10 zumos. Los coloca en bolsas con igual número de bebidas, todas del mismo tipo, de manera que haya el mayor número posible en cada bolsa y no sobren. ¿Cuántas bebidas debe poner en cada bolsa? Alfredo tiene una tablilla rectangular de 18 cm de largo y 20 cm de ancho. Corta la tablilla en cuadrados iguales lo más grandes posible. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado? Iván tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomarse las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas tomará por primera vez de nuevo las dos medicinas juntas?

60

5

2 • m.c.m. (9 y 12)

36 Han de pasar 36 días. 5

• m.c.d. (16 y 12) 4 Cada trozo medirá 4 cm. 5

• m.c.d. (20 y 15) 5 Cada bandeja pesaba 5 kg, obtuvieron 7 bandejas. 5

• m.c.d. (18, 20 y 14) 2 Cada garrafa tiene 2 litros. 5

3 • ¿Cuál es la mínima cantidad

de dinero que pueden tener? m.c.m. (2 y 5) 10. Pueden tener 10 €. 5

76

Otras actividades • Pida a los alumnos que, en parejas, preparen situaciones problemáticas similares a las de la actividad 3. Deberán preparar un enunciado y anotar, en otra hoja, una pregunta que se resuelva utilizando los conocimientos trabajados en la unidad. Después, pasarán ese enunciado a otra pareja, que preparará una pregunta. Por último, ambas parejas compararán las preguntas preparadas y las comentarán. Realice una puesta en común con algunas de ellas.

UNIDAD

4 2

• ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez? m.c.m. (8, 6 y 10) 120 Pasarán 120 días.

Piensa y resuelve. Antonio i tiene i una tienda i de ropa y calzado. l Cada 12 días se traslada l a otra ciudad i para comprar ropa, y cada 9 días, para comprar calzado. l Hoy ha ido i a la l ciudad i y ha comprado ropa y calzado. l ¿Cuántos días han de pasar hasta que vuelva l a comprar ropa y calzado l a la l vez?

SABER MÁS Calcula el mínimo común múltiplo de estos dos números:

5

m.c.m. (5 y 10)

Marina i tiene i un listón li de madera de 16 cm y otro de 12 cm. Quiere i cortar los l dos listones li en trozos de igual i l tamaño, de manera que no le l sobre nada. ¿Cuál l será la l longitud l i máxima i de cada trozo?

• ¿Cuántos ramos obtendrá? m.c.d. (24 y 20) 4 Cada ramo tendrá 4 flores; obtendrá 11 ramos.

m.c.d. (14 y 21)

5

En una frutería había 20 kg de cerezas y 15 kg de fresas. Hicieron i i bandejas de igual i l peso y tipo i de fruta, todas del l mayor peso posible, i l y no sobró fruta. ¿Cuántas bandejas obtuvieron? i

Saber más

En la l lechería l de Martín hay 3 depósitos, i uno con 18 litros, li otro con 20 y otro con 14. La leche l se envasa en garrafas de igual i l capacidad i y que sea la l mayor posible, i l sin i que sobre. ¿Cuáll es lal capacidad i de cada garrafa? 3

m.c.m. (5 y 10)

m.c.m. (10 y 7)

Roberto y su hermana Tania i tienen i la l misma i cantidad i de dinero. i Roberto solol tiene i monedas de 2 € y Tania i solo l tiene i billetes ill de 5 €. Solución: l i m.c.m. (2 y 5) 5 …

10

5

m.c.d. (14 y 21)

Lee y escribe en tu cuaderno para cada enunciado una pregunta y su solución.

Pregunta: …

4

7

5

70

5

Cálculo mental

…

Natalia li va a clase l de natación i cada 8 días, Luis i cada 6 días y Gema cada 10. Hoy han coincidido i i i los l tres en lal piscina. i i Juan tenía 24 rosas y 20 claveles. l l Quiere i hacer ramos lo l más grandes posible, i l todos con igual i l número de flores, l y todas del l mismo i tipo, i sin i que sobre ninguna. i

• 67

• 48

• 108

• 99

• 89

• 99

• 69

• 102

• 108

• 117

• 130

• 151

• 150

• 121

• 112

• 123

Notas Cálculo mental Suma por compensación: resta y suma el mismo número para que el primer sumando sea una decena

23

53

1 28 5 50 1 31 5 81 13

41

1

26

32

1

16

43

1

65

54

1 45

51

1

38

42

1

57

53

1

16

74

1 28

61

1

47

72

1

45

83

1

47

84

1 67

81

1

69

82

1

39

93

1

19

94

1 29

61

Competencias • Competencia social y cívica. Las situaciones que aparecen en la actividad 4 permiten suscitar una conversación con los alumnos sobre distintos temas relacionados con esta competencia: las compras, el consumo de fruta, el trabajo... Trate de que los alumnos aporten libremente sus ideas al respecto y fomente en ellos la conciencia de un comportamiento responsable en todos los ámbitos.

77


Elaborar tablas a partir de informaciones

• Elaborar tablas a partir de la información dada en distintos textos.

En la clínica veterinaria están estudiando qué animales entre sus pacientes son los más comunes. Tienen una serie de informaciones y quieren expresarlas en forma de tabla para entenderlas mejor. Copia la tabla y complétala en tu cuaderno.

Sugerencias didácticas Para explicar. Lea el texto,

Fueron atendidos 80 mamíferos macho, la mitad de aves crías, 12 reptiles hembra y 30 aves hembra. En total se atendió a 112 hembras, 200 mamíferos, 108 crías, 90 aves y 40 reptiles.

dibuje una tabla vacía en la pizarra y razone en común cuáles son sus cabeceras: los tres tipos de animales y la clasicación por edades. Después, lea de nuevo el texto y rellene de forma colectiva las casillas de los datos que nos dan directamente. Por último, léalo otra vez y pida a los alumnos que vayan calculando cada dato que falta a partir de los ya conocidos y anotados en la tabla. Corrija de forma similar la actividad 1.

Machos Mamíferos

Crías

80

Aves Reptiles

1

Lee, observa y completa la tabla en tu cuaderno. Libros antes de abrir

LIBROS ANTES DE ABRIR

Actividades •

Hembras

Cuentos: 120. Cómics: un cuarto de los cuentos. Teatro: 10 m enos que cómi cs. Poesía: la mitad que cómics.

Libros que quedan

Cuentos

M

H

C

M

80

70

50

Cómics

A

20

30

40

Poesía

R

10

12

18

AA

P

Q

C

120

76

44

T

20

10

10

Cs

30

12

18

P

15

2

13

1

Libros prestados

Teatro

LIBROS PRESTADOS Teatro: la m itad del tota l. Poesía: un quinto de los libros prestados de teatro. Cómics: la suma de los libros de teatro y de poesía prestados. Se prestaron 100 libros en total.

62

Otras actividades Notas

78

• Divida la clase en grupos y pida a cada grupo que escriba una tabla de doble entrada con varias las y columnas y rellene sus huecos con números. Después, deberán elegir algunos de esos números para dejarlos, borrar el resto y sustituirlos por pistas para hallarlos a partir de los que se han dejado. Más tarde, los grupos se intercambiarán las tablas generadas para completarlas. Haga que los grupos comparen sus resultados y corrijan las posibles discrepancias.

UNIDAD

4 Hacer una tabla

4

Propósitos • Resolver problemas realizando una tabla de posibles resultados y eligiendo el correcto.

Se han presentado a un concurso de relatos menos de 20 alumnos. – Contando los alumnos de 2 en 2, sobra 1. – Contando los alumnos de 3 en 3, sobran 2. ¿Cuántos alumnos se han presentado?


Haz una tabla con los datos del problema:

Para explicar. Muestre

– Contando los alumnos de 2 en 2, sobra 1. Al c onta r de 2 en 2 se obti enen los núme ros: 2 3 1, 2 2 3 3, …, y como sobra 1, suma 1 a cada resultado.

a los alumnos el proceso seguido en el ejemplo resuelto y su similitud con el proceso que usaban para calcular el m.c.m. y el m.c.d. Indique que en este caso se trata también de obtener varios grupos de números que cumplen una condición y más tarde elegir los números que aparecen simultáneamente en dichos conjuntos.

3 2,

– Contando los alumnos de 3 en 3, sobran 2. Al c onta r de 3 en 3 se obti enen 3 3 1, 3 3 2, 3 y como sobran 2, suma 2 a cada resultado.

3 3,

…,

Ahor a co mple ta l a ta bla con los núme ros que has obte nido : De 2 en 2

2

3 1 1 1

2

3

sobra 1

3

De 3 en 3

3 1 1 2

5

sobran 2

3 2 1 1

2

5 3

3 2 1 2

8

3 3 1 1

2

3 4 1 1

7 3

3 3 1 2

2

9 3

11

3 4 1 2

11

3 5 1 1

3

3 5 1 2

17

14

La solución es el número que aparece en las dos filas de la tabla porque ese número cumple las dos condiciones del enunciado.

Actividades

En este caso, es el número 11. Solución: Se

1 El número es un múltiplo

de 2 y de 3 comprendido entre 75 y 80. Son 78 personas.

han presentado al concurso de relatos 11 alumnos.

2 El número es un múltiplo de 4 Resuelve estos problemas haciendo una tabla. 1

En un club l de ajedrez hay apuntadas entre 75 y 80 personas. Sii hacemos grupos de 2, no sobra ninguna, i y sii hacemos grupos de 3, tampoco. ¿Cuántas personas son?

2

En una caja hay entre 50 y 80 naranjas. Sii ponemos 4 naranjas en cada frutero, no nos sobra ninguna, i y sii ponemos 7, tampoco. ¿Cuántas naranjas hay en la l caja?

3

Un cuento tiene i menos de 35 páginas. i All agruparlas l de 2 en 2 no sobra ninguna, i al lagruparlas l de 3 en 3 tampoco sobra ninguna i y all agruparlas l de 4 en 4 sobran 2. ¿Cuántas páginas i tiene i ell cuento? ¿Hay más de una solución? l i

4

y de 7 comprendido entre 50 y 80. Hay 56 naranjas.

i INVENTA. Escribe

un problema l similar i il a los l de esta página i en ell que haya que realizar li una tabla. l Después, resuélvelo. l l

3 El número es menor que 35,

múltiplo de 2 y de 3 y también es un múltiplo de 4 más 2. El cuento tiene 6, 18 o 30 páginas; hay más de una solución.


4 R. L.

63

Notas

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. La invención de problemas es un tipo de actividad que favorece en gran medida el desarrollo de la competencia matemática. Anímeles a ser creativos a la hora de inventar los problemas, sin abandonar, eso sí, la corrección a la hora de plantearlos. Más tarde se comprobará que pueden resolverse.

79

ACTIVI DADES

Propósitos

1

7

Contesta. ¿Cómo calcularías los diez primeros múltiplos de 3? Escríbelos.

• Repasar los contenidos básicos de la unidad. 2

Calcula todos los divisores de cada número y contesta. 12

Actividades

17

9

• Multiplicando 3 por los diez primeros números naturales: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.

5

4

1, 2, 3, 4, 6, 12. 1, 17. 1, 2, 19, 38. 1, 2, 7, 14. 1, 13. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

5

42 es … de 7.

9 es … de 90.

8 es … de 24.

60 es … por 5.

60 es … por 6.

40 es … de 8.

11

90

90 F 2, 3, 5, 9, 10.

¿Cuál es el m.c.m. (56 y 7)? ¿Cuál es el m.c.d. (56 y 7)?

75

12

Si un número a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.m. ( a y b )? ¿ Y el m.c. d. ( a y b )?

Busca y escribe.

Piensa y contesta. Si un número es divisible por 10, ¿es también divisible por 2? ¿Y por 5? Pon un ejemplo.

Fíjate en los resultados de la actividad 10 y contesta.

¿Cuál será el m.c.m. (36 y 9)? ¿Y su m.c.d.? 13

Aver igua y co ntes ta. 2

3

5

7

11

Los números 2 y 5 ¿son primos? ¿Cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.? Los números 3 y 11 ¿son primos? ¿Cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.? Si dos números son primos, ¿cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.?

64

18 F 2, 3, 9. 75 F 3, 5.

• 18, 36

• 30

• 45

• 5, 15, 25, 35, 45

Otras actividades

6

Todo número divisible por 10 acaba en 0; por tanto, acaba en cifra par (es divisible por 2) y en 0 (es divisible por 5). Por ejemplo, 80.

7

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son múltiplo de 4 (si son 00, también lo es).

8

R. L.

9

• 30 • 80

• 14

• 24

• 3

• 3

• 2

• 20

¿Es 56 múltiplo de 7?

7

24 F 2, 3.

120 F 2, 3, 5, 10. 180 F 2, 3, 5, 9, 10.

¿Cuál es el m.c.m. (24 y 3)? ¿Y el m.c.d. (24 y 3)?

3

180

Los números menores que 50 que son divisibles por 5 pero no por 10.

50 F 2, 5, 10.

¿Es 24 múltiplo de 3?

56

120

24

Calcula y contesta. 24

Estudia la divisibilidad por 2, por 3, por 5, por 9 y por 10 de cada número.

• 60 es divisible por 6.

• 40 es múltiplo de 8.

80

m.c.d. (8, 38 y 62)

• 8 es divisor de 24.

• 60 es divisible por 5.

10

m.c.d. (15 y 18)

Los números menores que 60 que son divisibles por 2, por 3 y por 5.

6

Calcula.

Usa las palabras múlt iplo , divisor y divisible.

Los números comprendidos entre 20 y 50 que son divisibles por 5 y por 9.

• 42 es múltiplo de 7.

m.c.m. (6, 8 y 12)

m.c.d. (20 y 40)

Los números menores que 40 que son divisibles por 2 y por 9.

• 9 es divisor de 90.

5

10

5

• Son compuestos 12, 38, 14, 24.

4

m.c.m. (10 y 16)

5

5

m.c.m. (7 y 14)

m.c.d. (9 y 12)

18

5

Calcula.

Piensa y completa en tu cuaderno.

50

5

Explica qué es el m.c.m. y el m.c.d. de una pareja de números.

VOCABULAR IO.

m.c.m. (6 y 10)

5

• Son primos 17 y 13. Solo tienen dos divisores.

3

24

¿Cuáles son compuestos? 3

Div (12) Div (17) Div (38) Div (14) Div (13) Div (24)

13

¿Qué números son primos? ¿Por qué?

• Dividiéndolo por los números 1, 2, 3… hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Div (40) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 2

8

38

14 1

Escribe diez múltiplos de 4. En cada uno de ellos fíjate en el número formado por sus dos últimas cifras. Ese número ¿es múltiplo de 4? ¿Cuál crees que es el criterio de divisibilidad por 4?

¿Cómo calcularías todos los divisores de 40? Hállalos.


Calcula y contesta.

• Escriba en la pizarra los números 10 y 21 e indique a los alumnos que calculen su m.c.d. (que es la unidad). Comente que el número 10 no es primo y el número 21 tampoco, pero solo tienen en común el divisor 1. Explique que a estos números se les llama primos entre sí (sean o no primos). A continuación, escriba en la pizarra varias parejas de números, por ejemplo: 6 y 7, 9 y 15, 5 y 11, 8 y 25… Pídales que averigüen en cada caso si son o no primos entre sí y, después, calculen el m.c.d. y el m.c.m. de cada pareja. Hágales observar que el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es el producto de ambos.

UNIDAD

4

11 • Sí, 24 es múltiplo de 3.

Problemas 14

Resuelve.

15

• m.c.m. 5 24; m.c.d.

Piensa y resuelve.

Gerardo tiene que empaquetar 18 cafeteras en cajas, todas con igual número de cafeteras y que no sobre ninguna. ¿De cuántas formas lo puede hacer Gerardo?

• m.c.m. 5 56; m.c.d. 12 • m.c.m.

Resuelve.

5 minutos

Cámara 2

6 minutos

Cámara 4

8 minutos

5 b. 5 9.

m.c.d. (2 y 5) 5 1 m.c.m. (2 y 5) 5 10 • 3 y 11 son primos. m.c.d. (3 y 11) 5 1 m.c.m. (3 y 11) 5 33 • Si a y b son números primos, m.c.d. ( a y b ) 5 1 m.c.m. ( a y b ) 5 a 3 b 14 • 1 caja con 18 cafeteras, 2 cajas

Angi e es tá e stud iand o lo s há bito s de un a nima l y ha c oloc ado cuatro cámaras que hacen una foto cada cierto tiempo. Cámara 3

m.c.d.

5 7.

13 • 2 y 5 son primos.

Yolanda ha partido una pieza de tela, de 20 m de largo por 8 m de ancho, en piezas cuadradas lo más grandes posible y sin que le sobre nada de tela. ¿Cuánto mide el lado de cada pieza?

4 minutos

5 a;

• m.c.m. 5 36; m.c.d.

Paula tiene un reloj que suena cada 30 minutos y otro que suena cada 15 minutos. A las 9 de la mañana los dos relojes han sonado. ¿Cuántos minutos, como mínimo, han de pasar hasta que vuelvan a coincidir?

Cámara 1

5 3.

• Sí, 56 es múltiplo de 7.

Un jardinero quiere colocar 20 rosas, 18 margaritas y 12 claveles en jarrones. En cada jarrón pone el mismo número de flores, todas de igual tipo, y no le sobran. ¿Cuántas flores como máximo puede poner en cada jarrón?

Un cuento tiene entre 100 y 110 páginas. Si las cuentas de 2 en 2, no sobra ninguna, y si las cuentas de 3 en 3, tampoco. ¿Cuántas páginas puede tener el cuento?

16

4

con 9 cafeteras, 3 cajas con 6, 6 cajas con 3, 18 cajas con 1. • Puede tener 102 o 108 páginas. 15 • m.c.d. (20, 18 y 12) 5 2

Puede poner 2 flores.

A la s 8 de l a ma ñana las cuat ro cá mara s ha n co inci dido y han hecho todas una fotografía.

• m.c.m. (30 y 15) 5 30 Deben pasar 30 minutos.

¿Cuántos minutos, como mínimo, pasarán hasta que vuelvan a coincidir las cámaras 1 y 2? ¿Y las cámaras 3 y 4? ¿Cuántos minutos pasarán hasta que coincidan las cámaras 1, 2 y 3? ¿Y las cámaras 2, 3 y 4? ¿A qué hora volverán a coincidir por primera vez las cuatro cámaras?

Demuestra tu talento 17

Si sumas dos números primos, ¿el resultado puede ser primo? ¿Y si los multiplicas? ¿Por qué?

• m.c.d. (20 y 8) 5 4 El lado mide 4 m.


16 • m.c.m. (4 y 6) 5 12

m.c.m. (5, 8) 5 40. Pasarán 12 minutos hasta que coincidan la 1 y la 2, y 40 minutos hasta que lo hagan la 3 y la 4.

¿? 65

Competencias • Competencia social y cívica. En la actividad 16 se plantea una aplicación práctica de la divisibilidad en un contexto motivador para los alumnos: el estudio de la fauna. Entable con ellos un debate sobre este tema en el que aporten sus opiniones sobre cómo compatibilizar el progreso y el respeto al medio ambiente, las medidas para proteger las especies amenazadas, la importancia de su estudio para la conservación… Anímeles a apreciar y valorar la fauna.

• m.c.m. (4, 6 y 5) 5 60 m.c.m. (6, 5 y 8) 5 120 Pasarán 60 minutos hasta que coincidan la 1, 2 y 3, y 120 minutos hasta que lo hagan la 2, 3 y 4. • m.c.m. (4, 6, 5 y 8) 5 120 Coincidirán otra vez todas a las 10 de la mañana.

Demuestra tu talento 17 La suma sí puede ser un número

primo; por ejemplo, 2 y 5 suman 7, que es primo. El producto no puede ser primo, puesto que ambos factores serán divisores.

81

SABER HACER

Propósitos



En el mismo pueblo donde Sara tiene su planta de envasado, una asociación juvenil celebra habitualmente campamentos. Sara a menudo colabora con ellos en las tareas de organización y ayuda a la hora de los juegos, la comida, el alojamiento…



• Asistieron 72 campistas. •

•

2

Puede hacer 1 bolsa con 40 refrescos, 2 bolsas con 20, 4 bolsas con 10, 5 bolsas con 8, 8 bolsas con 5, 10 bolsas con 4, 20 bolsas con 2, o 40 bolsas con 1 refresco.

1

La semana pasada en el campamento hubo entre 70 y 80 campistas. Se hicieron grupos de 2 para una carrera y de 9 para un concurso y nadie quedó sin participar. ¿Cuántos campistas asistieron?

Pondrá 4 bocadillos en cada plato y obtendrá 8 platos.

• Para que el número de grupos sea el mínimo posible, el número de componentes de los grupos debe ser el mayor posible, y divisor de 30 y 18. m.c.d. (30 y 18) 6. Formarán 5 grupos de 6 chicas y 3 grupos de 6 chicos.

Sara tiene 40 botes de refresco y los quiere repartir en bolsas de manera que en cada una haya el mismo número de refrescos. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Para la merienda Sara tiene 20 bocadillos de jamón y 12 bocadillos de jamon york. Quiere hacer platos con el mismo número de bocadillos, todos del mismo tipo, y que no sobre ninguno. Si lo hace de manera que el número de bocadillos sea el máximo posible, ¿cuántos platos obtendrá?

5

•

•

2

Se obtendrán 8 grupos. En cada grupo habrá 6 personas, chicas o chicos.



•

500.000 U y 500 U

•

50.000 U y 5.000 U

•

50.000.000 U y 500.000 U

•

50.000.000 U y 5.000.000 U

•

500.000.000 U y 5.000.000 U

•

2

•

•

•

•

•

82

500.000.000 U, 50.000.000 U y 5.000 U Siete millones quinientos ochenta mil quinientos. Nueve millones trescientos cincuenta y cinco mil trescientos veintiuno. Cincuenta y dos millones quinientos veintitrés mil doscientos. Cincuenta y cinco millones ochocientos noventa mil cuatrocientos. Quinientos setenta y cinco millones novecientos ochenta mil.

Piensa y resuelve.


con tu compañero.

En el campamento de esta semana hay 30 chicas y 18 chicos. Para una actividad se quieren hacer grupos iguales con el mismo número de chicas que de chicos, de manera que el número de grupos total sea el mínimo posible. ¿Cómo pueden hacerlo? ¿Cuántos grupos se obtendrán en total? ¿Cuántas personas habrá en cada grupo?

66

Desarrollo de la competencia matemática • En esta página se ofrece a los alumnos un contexto real, muy próximo a ellos, como son los campamentos. De esta forma apreciarán la aplicación práctica de los saberes aprendidos en la unidad y potenciarán su competencia. Al llevar a cabo el trabajo cooperativo de la actividad 2, pida a los alumnos que tengan en cuenta todas las posibles opciones y razonen de forma adecuada sus respuestas.

1

Escribe el valor de cada cifra 5. 7.580.500

55.890.400

9.355.321

575.980.000

52.523.200

550.365.900

2

Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.

3

Escribe qué número es.

5

6

6 3 10 6

1 4 3

10 4

1 3 3

10 2

2 3 10 7

1 6 3

10 5

1 8 3

10 4

4 3 10 5

1 3 3

10 4

1 2 3

10

8 3 10 6

1 7 3

10 3

1 9 3

10

•

Dibuja una recta entera y representa cada par de números. Después, compáralos. 0y

22

27

14

y

2 11

25

y0

21

28

y

y

22

y

3

24

23

4

Nombra con letras los vértices de cada triángulo y escribe sus coordenadas en tu cuaderno. 14

1 9

5

0

Calcula. (12 (15

2 3 1 4) 3 1 12)

4 3 9 20

:3

1 20

2 2 3

4

2

2 18

:3

:4

24

1 12

1 (8 1 9 2 2) 3 2

18

1 9 3

3

2 15

:3

2 2 3

2

23

22

21

11

12

13

14

21

4

En la planta de envasado de una fábrica, cada hora envasan 1.400 litros de refresco de naranja y 800 litros de limón, todos ellos en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas se llenan en 3 días si la fábrica no para nunca?

24

6

9

10

11

8

Miguel, en un experimento, congeló una sustancia a 27 grados bajo cero. Después, subió su temperatura 15 grados y, más tarde, la bajó 9 grados. ¿Qué temperatura tenía la sustancia al final?

Quinientos cincuenta millones trescientos sesenta y cinco mil novecientos.

•

6.040.300

•

430.025

•

20.680.009

•

8.007.090

•

32

•

69

•

50

•

3

Compruebe que los alumnos representan los números correctamente.

22

Problemas

7

4

13

1 5

11

4

UNIDAD

4

REPASO ACUMULATIVO

12

La luz recorre 300.000 km por segundo. La luz del Sol tarda en llegar del Sol a la Tierra 8 minutos y 20 segundos. ¿Cuál es la distancia en kilómetros de la Tierra al Sol?

•

0 . 22

•

27 , 22

•

14 . 21

•

211 , 24

•

25 , 0

•

28 , 23

Triángulo rojo: (13 , 12), (23, 13), (21, 11). Triángulo verde: (11, 22), (22, 23), (14, 23).

7

A una conferencia fueron 146 hombres y 124 mujeres. Un tercio de los asistentes eran personas mayores de 40 años. ¿Cuántas personas menores de 40 años asistieron? En una tienda compraron 25 portátiles a 790 € cada uno y 95 a 590 €. Después de tres meses, habían vendido 12 portátiles de 790 € y 70 de 590 €. El resto de portátiles los vendieron todos a 650 €. ¿Ganaron o perdieron dinero? ¿Cuántos euros?

(1.400 1 800 ) : 2 5 1.100 1.100 3 24 3 3 5 79.200 Se envasan 79.200 botellas.

8

Tenía 21 ºC bajo cero.

9

8 3 60 1 20 5 500 300.000 3 500 5 150.000.000 El Sol está a 150.000.000 de km.

10 146 1 124 5 270

270 : 3 5 90 270 2 90 5 180

Sara pesa 45 kg, Luis el doble que ella y Teo la quinta parte de la suma de los pesos de Sara y Luis. ¿Cuánto pesan los tres juntos? 67

Asistieron 180 personas menores de 40 años. 11

25 3 790 1 95 3 590 5 75.800 12 3 790 1 70 3 590 5 50.780 (25 2 12 1 95 2 70) 3 650 5 5 24.700

Repaso en común • Divida a los alumnos en grupos y pida a cada grupo que prepare un cuadernillo donde se recojan los conceptos y procedimientos estudiados, cada uno en una página. Determine en común los títulos y contenidos de cada una. Por ejemplo: 1. Múltiplos y divisores: cuándo un número es múltiplo o divisor de otro y un ejemplo de cada caso.

50.780 1 24.700 5 75.480 75.800 2 75.480 5 320 Perdieron 320 €. 12

45 3 2 5 90; (45 1 90) : 5 5 27 45 1 90 1 27 5 162 Los tres juntos pesan 162 kg.

2. Mínimo común múltiplo de dos números: qué es y ejemplo. 3. Máximo común divisor de dos números: qué es y ejemplo.

Notas

4. Números primos y compuestos: qué son y ejemplos. Al fnal, pida a cada grupo que exponga al resto de la clase una de las páginas de su cuadernillo.

83

Tratamiento de la información

Relacionar gráficos lineales con tablas y otros gráficos

Propósitos • Relacionar grácos lineales con tablas y otros grácos.

En la secretaría de un gimnasio han representado en un gráfico el número de socios de cada grupo de edad que han tenido en los últimos meses. También han anotado los datos en una tabla.


Niños

Para explicar. Muestre a los alumnos

90

que la información puede presentarse en múltiples formas y que en este caso van a trabajar los grácos lineales de dos características y su relación con grácos lineales de una característica y grácos de barras de dos características. Señale la utilidad, en algunos casos, de expresar los datos en una tabla como paso intermedio.

s o i c o s e d º . N

A

M

60

30

A

60

90

My

50

40

J

30

90

Jl

40

Adultos

60

30

70

Abril

50 30

Mayo

10 0

Junio M

A

My

J

Jl

Julio

Completa tú la tabla en tu cuaderno.

Actividades N

Marzo

Niños

Mes

1

•

Adultos

Añade una columna a la tabla anterior con el número total de socios cada mes y representa los datos en tu cuaderno en un gráfico lineal de una característica.

270 s o i c o s e d º . N

210 150 90 30 0 M

2

1 Total: 90, 150, 90, 120, 120.

Fruta

J

Jl

Mes

V

Día

e nc ia I n te l ig c ia l e s pa

Flan s 14 a n o s 10 r e p e 6 d º . N 2

0 L

270

My

Representa en tu cuaderno en el gráfico lineal los postres pedidos cada día en un restaurante. Después, contesta. 16 s 14 a n 12 o s 10 r e 8 p e 6 d 4 º . N 2 0

80

A

M

X

J

V

L

M

X

J

¿Entre qué días aumentó el consumo de cada tipo de postre? ¿Qué día hubo más clientes que pidieron postre?

210 68

150 90 30 0

M

A

My

J

Jl

2

• Pida a los alumnos que busquen en fuentes variadas (o genérelos con ellos a partir de programas informáticos) distintos grácos lineales de dos características. Después, pídales que los expresen en grácos lineales de una característica, dando razón de la nueva variable que surge, o bien en grácos de barras de dos características. Pídales que comenten las ventajas e inconvenientes de cada tipo de gráco.

14 10 6

2 0

L •

•

84

Otras actividades

M

X

J

V

Fruta: de miércoles a jueves. Flan: de miércoles a jueves. El lunes, 26 personas pidieron postre.

UNIDAD

4 Realizar un proyecto con gráficos lineales

Propósitos

Vamos a realizar un proyecto usando los gráficos lineales. Seguire mos estos pasos:

• Realizar un proyecto con gráfcos lineales de dos características.

4

1.º Realizar el recuento de los datos y anotarlos en la tabla. 2.º Representarlos en un gráfico lineal de dos características.


3.º Responder a varias preguntas y plantear otras a los compañeros.

1

Para explicar. Recuerde con los alumnos las características de los gráfcos lineales y coménteles que van a aplicarlos en un contexto real y extrayendo los datos a representar de ellos mismos. Trabaje después la interpretación del gráfco obtenido y su expresión equivalente en un gráfco lineal de una característica, o bien en un gráfco de barras de dos características.

Pregunta a tus compañeros y compañeras en qué mes del año cumplen los años. Anota bien los datos y completa la tabla en tu cuaderno. No olvides incluir tus datos. E

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

N

D

Alumnos Alumnas

2

Representa en tu cuaderno los datos en un gráfico lineal de dos características.

26

Alumnos Alumnas

22 s a n o s r e p e d º . N

Actividades

18 14

1 R. L.

10

2 R. L.

6

3 R. L.

2 0

4 R. L. E

3

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

N

D

Fíjate en el gráfico que has representado y contesta.

Notas

¿En qué meses hay más cumpleaños de alumnos? ¿En qué meses hay menos cumpleaños de alumnas? ¿En qué meses hay menos cumpleaños de alumnas que de alumnos? ¿Hay algún mes sin cumpleaños? ¿Y con más de 4 cumpleaños? ¿En qué meses hay más cumpleaños en total? 4

Inventa otras preguntas similares a las de la actividad 3 y plantéalas a tus compañeros. Comprueba que puedan responderse usando el gráfico. 69

Competencias • Competencia digital. Las actividades de trabajo con gráfcos lineales de dos características son un contexto en el que es muy interesante y productiva la aplicación de las TIC. Con distintos programas de representación de gráfcos puede proporcionar gráfcos a los alumnos para que los expresen en otro tipo de gráfcos, como realizar con ellos distintas representaciones y análisis posteriores.

85

5



SABER


•

Reducción a común denominador.

•

Comparación de fracciones.

•

•


Comparación y ordenación de fracciones.

•

Suma de fracciones.

•

Resta de fracciones.

•

Multiplicación de fracciones.

•

División de fracciones.

SABER HACER •

•

•

TAREA FINAL

•

•

•

SABER SER

86


Reducción de fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y del m.c.m.

•

•


Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

•

Cálculo de operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Cálculo de operaciones con fracciones, números mixtos y números naturales. Resolución de problemas con fracciones. Elección de la representación gráfica que corresponde a una situación. Resolución de problemas con fracciones representando la situación.

Estudiar la pureza de una joya.

Interés por conocer las relaciones entre los números. Valoración de la utilidad de las operaciones con fracciones para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.


RECURSOS DIGITALES


LibroMedia •

Recursos para la evaluación •

Evaluación de contenidos. Unidad 5: controles B y A. Primer trimestre: pruebas de control B, A y E.

•


•

Rúbrica. Unidad 5.

LibroNet MATERIAL DE AULA

Láminas

Enseñanza individualizada


•


•


Cuaderno del alumno •






Recursos complementarios

i

•


•


•


CUADERNO

a s má t ic Ma te

_ - _ _

•



A I R A M I R P

Aprendizaje eficaz

A I R A M I R P




•


11 7

_

n _

t m ti

s_ -1_

7

.in

1

/

/

/

/

1

:

:1

: :


•

_ t

_ t i s_ -

i.


Octubre

Noviembre

Diciembre

87

5

Propósitos • Reconocer situaciones reales donde aparecen fracciones.



Previsión de dificultades • Trabaje el concepto de fracciones equivalentes al comienzo de la unidad mostrando cómo reconocerlas y obtenerlas. Indique que hay innitas fracciones equivalentes a una dada. • La reducción de fracciones a común denominador es un proceso fundamental en el que algunos alumnos tienen dicultades. Asegúrese de que todos lo dominan antes de abordar el resto de la unidad. • La realización de operaciones en las que hay números naturales y fracciones puede plantear dicultades. Haga hincapié en que expresen los números naturales como fracciones de denominador la unidad y operen después. • Al realizar operaciones combinadas con fracciones, señale a los alumnos la importancia de tener en cuenta tanto la jerarquía de las operaciones como el correcto cálculo de estas.

Trabajo colectivo sobre la lámina Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Luego, pídales que comenten sus impresiones sobre ella. Plantee después actividades similares con el sistema monetario del euro. 1

1 sestercio

1 5

4

denario.

Se lee un cuarto. Numerador: 1. Denominador: 4. 2

1 denario

3

1 sestercio

4

1 as

88

1 5

4

4 sestercios.

5

4 ases. R. L.

5

sestercio. R. L.

¿Cuánto valían las monedas que usaban los romanos? En la época de los romanos ya se utilizaban monedas en la vida cotidiana. El valor de las monedas dependía del peso y de los tipos de metal que contenía cada moneda. Aunque había monedas de oro, por ejemplo, el áureo, las más utilizadas por los romanos en su vida diaria eran las monedas de plata, bronce y, en menor medida, cobre. El denario era la moneda de plata más grande y con ella se suelen comparar las demás monedas. Otra moneda utilizada era el sestercio, cuyo valor era la cuarta parte de un denario. Una moneda muy común, hecha de bronce, era el as y su valor era 1 de denario, es decir, 1 denario eran 16 ases. 16 70

Otras formas de empezar • Trabaje de forma manipulativa o gráca la de la lámina inicial y las preguntas planteadas. Para ello forme grupos de alumnos, deles varios cuadrados de papel divididos en cuatro partes iguales y cada una de estas cuatro partes en otras cuatro y pídales que, tras leer la lectura, escriban en cada cuadrado pequeño, mediano y grande su equivalencia (cada pequeño es un as, cada mediano un sestercio y cada grande un denario). Después, puede hacer actividades de compra y venta dividiendo algunos de los cuadrados en sus partes más pequeñas.

UNIDAD


Expresa, con una fracción, el valor en denarios que tenía un sestercio. ¿Cómo se lee esa fracción? ¿Cuáles son sus términos?

2

¿Cuántos sestercios valía un denario?

3

¿Cuántos ases valía un sestercio? ¿Cómo lo has averiguado?

4

SABER HACER TAREA FINAL Estudiar la pureza de una joya

EXPRESIÓN ORAL. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un as en sestercios? ¿Cómo lo has hallado? Un áureo valía 25 denarios. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un denario en áureos? ¿Cómo se lee esa fracción?

6

¿Cuántos sestercios valía un áureo? ¿Y ases?

5

6 1 áureo

5

100 sestercios.

1 áureo

5

Trabaje estas actividades para recordar con los alumnos el concepto de fracciones equivalentes y sus procedimientos relacionados (amplificación, simplificación y obtención de la fracción irreducible). 1 •

Fracciones equivalentes

•

Dos fracciones son equivalentes si expresan una misma cantidad. Si al multiplicar sus términos en cruz los resultados coinciden, son equivalentes. 5

8 porque 2 3 12 5 3 3 8 5 24 12

•

Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicando sus términos por un mismo número distinto de cero (amplificación ) o dividiendo los dos términos entre un mismo divisor común (simplificación ). 12 Amplifi cación 8

12 8

5

24 16

5

36 24

12 8

12 8

Simplificación

5

6 4

• 5

3 2

•

Completa en tu cuaderno para que las fracciones sean equivalentes. 3 2

2

5

8 7

20

5

40 14

5

9

35 70

5

•

54 18

•

Obtén fracciones equivalentes a cada una por amplificación y simplificación. 50 40

18 12

28 14

36 100

42 30

• 71

Competencias

3 2

30 5

8 7

20 40

5

35

7

35 5

14 9 3

70

54 5

18

2 R. M.

La fracción equivalente a una dada que no se puede simplificar se llama fracción irreducible. 1

400 ases.

¿Qué sabes ya?

Al f inal de l a un idad estudiarás la pureza de distintas joyas. Antes, aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

¿Qué sabes ya?

2 3

1

5 1 denario

áureo. 25 Se lee un veinticincoavo.


5

5

•

50 40

100 5

18 12

80 36

5

28 14

24 42

42 30

20

6 7

200

84 5

60

2 2

5

18 5

50

21 5

4

3 5

14 5

72 5

5 5

9 5

84 5

36 100

25 5

15

9 5

25

7 5

5

Notas

• Competencia lingüística. Cuando trabaje con los alumnos las preguntas de la lectura, y en especial la de Expresión oral, pídales que razonen de forma clara sus respuestas y que usen términos matemáticos en esas explicaciones. • Aprender a aprender. Recuerde con los alumnos todo lo que ya conocían sobre las fracciones. Deje clara la idea de progreso en el saber mostrándoles que en esta unidad van a aprender a realizar todas las operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.

89

Reducción a común denominador Método del mínimo común múltiplo

Propósitos • Reducir fracciones a común denominador por los dos métodos.

Silvia quiere obtener dos fracciones equivalentes a

5 3 y y 6 8

que tengan ambas el mismo denominador. Observa cómo lo hace.

Sugerencias didácticas 1.º Halla el denominador común.

Para empezar. Recuerde con los

alumnos el método de reducción a común denominador de los productos cruzados. Para explicar. Muestre la importancia

de obtener primero el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común de las fracciones equivalentes, y más tarde obtener los numeradores. Pídales que comprueben que las fracciones obtenidas son equivalentes a las fracciones dadas.

• • • •

2

6 10 21 60 42 63 24 60

y y , ,

•

10 18

•

60

63 18 60

y y

• Productos: m.c.m.:

64 28

• Productos: m.c.m.:

24 36

50 140 15 48

y

5 6

24 : 6

5 4;

4 3 5

5 20

5 6

5

20 24

3 8

24 : 8

5 3;

3 3 3

5 9

3 8

5

9 24

m.c.m. (6 y 8) 5 24

Fracciones equivalentes con el mismo denominador

20 9 y 24 24

Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo. 3 4 y 5 10

5 6 y 14 20

2 4 5 , y 3 7 9

7 9 y 20 30

5 9 y 16 24

2 3 7 , y 5 10 12

42 140

2

Reduce a común denominador por los dos métodos y contesta.

18

y

16 9 y 7 4

RECUERDA

48

Método de reducción de los productos cruzados

35

12 5 y 18 12

¿Qué método crees que es mejor? ¿Por qué?

Multiplica los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra.

63 35 60 64 28

y

3

y 63 28

144 216

y

63 28

15 36

.

Si se reducen a común denominador dos fracciones menores que la unidad, las fracciones que obtienes ¿son siempre menores que la unidad? ¿Qué ocurre si reduces dos fracciones mayores que la unidad?

. 90

y

216

Piensa y contesta. ¿Es posible reducir cuatro fracciones a común denominador? ¿Cómo lo harías? ¿Podrías reducir cualquier grupo de fracciones?

.

72

.

Es mejor, en general, el método del m.c.m. porque los términos de las fracciones equivalentes que se obtienen son menores y eso nos facilitará más tarde el trabajo al operar con fracciones. 3 • Es posible reducir cualquier

grupo. Basta con calcular el m.c.m. de los denominadores y aplicar el método visto. • Las fracciones obtenidas son equivalentes a las dadas y por tanto siguen siendo menores (o mayores) que la unidad.

90

5 3 y 6 8

El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos distinto de cero.

4

36

Divide el denominador común entre el denominador de cada fracción, y multiplica el resultado por el numerador.

RECUERDA

Actividades 1

Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

5 3 y 6 8

1

2.º Obtén el numerador de cada fracción.

Otras actividades • Profundice con los alumnos en la comparación de los dos métodos de reducción a común denominador, pidiéndoles que reduzcan varias parejas de fracciones usando los dos métodos. Por ejemplo: 3 5

y

2

2

7

3

y

7

4

8

15

y

3

7

25

12

y

5

7

18

24

y

5 8

Pídales que aporten sus ideas sobre la mayor o menor facilidad de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones (si son números bajos o no…). Pídales que comprueben que, aunque los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos, pues las fracciones encontradas son equivalentes.

Comparación de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marcos está comparando distintas parejas de fracciones. Para ello mira si tienen algún término igual.

• Comparar fracciones.

Fracciones con igual denominador

Fracciones con igual numerador

Es mayor la fracción que tiene el numerador mayor.

Es mayor la fracción que tiene el denominador menor.

5 7 y 8 8

5 8

,

7 porque 5 , 7 8

8 8 y 3 5

8 3

.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde

8 porque 3 , 5 5

con los alumnos la comparación de fracciones cuando tenían algún término en común. Señale que ahora van a aprender a comparar cualquier grupo de fracciones.

Fracciones con distinto numerador y denominador Primero, se reducen todas las fracciones a común denominador y, después, se comparan los numeradores. 2 4 y 5 6

1

2 5

5

5

20 30

12 30

,

20 30

2 5

,

4 6

Para explicar. Deje claro

el procedimiento a seguir: primero, analizar si existe algún término común, y después, en caso contrario, reducir a común denominador y aplicar entonces la técnica para fracciones con denominador común. Pídales que tengan especial cuidado al ordenar grupos e indique que en el caso en el que aparezcan números naturales o números mixtos, deberán expresar estos como fracciones y comparar después.

Compara en tu cuaderno escribiendo el signo correspondiente. 1 2 y 4 3

2

12 4 y 30 6

2 3 y 7 8

5 1 y 8 6

3 5 y 10 12

7 2 9 , y 15 5 10

5 7 14 , y 8 12 24

Compara. Primero expresa los números naturales y mixtos como fracciones.

HAZLO ASÍ 3y

2

21 y 4 5

12 5 1 8 y 3 3

3

5

2

1 3

15 5 5

15 5 2

.

3 3 1 1

3

12 5 5

3

.

7 3

12 5 7 3

22 2 y 3 7 7

,

8 3

2

1 3

,

8 3

17 7 y 1 4 8

Actividades

Cálculo mental Resta por compensación: suma el mismo número a los dos términos para que el segundo sumando sea una decena

13

63

2 27 5 66 2 30 5 36 13

1 •

54 2 19

72 2 28

42 2 17

43 2 26

47 2 29

64 2 38

51 2 27

52 2 36

78 2 39

85 2 68

84 2 57

71 2 46

81 2 59

93 2 78

95 2 67

99 2 86

• • • 73

2 •

•

Otras actividades • Comente otra forma de comparar dos fracciones con distinto denominador y numerador: multiplicar los términos en cruz y comparar los productos obtenidos. Por ejemplo: 3 5

y

4 7

3

3 7 5 21

4

3 5 5 20

21 . 20

3 F

5

4 .

7

Si lo cree conveniente, razone con los alumnos que hacemos lo mismo que al reducir las dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, aunque, como sabemos que el denominador común será el mismo, podemos comparar los numeradores sin necesidad de hallar dicho denominador.

•

1 4

2 ,

5 8

3 1

.

7 ,

7 12

3 ,

7

8

3 10

5 ,

12

10

24

5 ,

8

20 5 23 ,

17 4

15

.

22 7

2

9 ,

14 5

21 5

•

6

2 5

•

7 15

.

8

Cálculo mental • 35

• 44

• 25

• 17

• 18

• 26

• 24

• 16

• 39

• 17

• 27

• 25

• 22

• 15

• 28

• 13

91

Suma de fracciones Propósitos • Sumar fracciones. • Resolver problemas de suma de fracciones.

Suma

2 1 y 5 4

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a común denominador.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde con los

2 1 y 5 4

alumnos cómo se realizaba la suma de fracciones de igual denominador. Puede trabajarla grácamente si algunos alumnos tienen dicultades.

2 5

5

2.º Sumamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común. 2 5

m.c.m. (5 y 4) 5 20

8 20

1 4

5

Tienen árboles frutales

resuelto, indicando la necesidad de analizar los términos de las fracciones antes de operar. Señale que para poder sumar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. En el caso de suma de fracciones y números naturales, indique que deben expresar estos como fracciones de denominador 1 y operar después.

1

1 4

5

8 20

5 20

1

5

8

1 5 20

5

13 20

5 20

Para explicar. Comente el ejemplo

13 del terreno. 20

Para sumar dos o más fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se suman los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

Suma las fracciones. Fíjate en si sus denominadores son iguales o no. 2 7

2

Llame la atención de los alumnos sobre la importancia de simplicar los resultados de las operaciones.

1

3 7

4 9

1

5 9

3 5

1 6

1

5 8

1

4 6

3 10

6 4

1

2 3

1

3 4

1

1

5 7

1

4 6

Calcula estas sumas de fracciones y números naturales.

2 1.º Escribe cada número natural en forma de fracción con denominador la unidad.

4 3

2.º Suma las fracciones obtenidas. 3

1

2 5

5

3 1

1

2 5

5

15 5

1

2 5

5

17 5

5

1

3 4

5

6 10

1 4

1

3 Resuelve.

3 8

3

1

1 5 1

7 5

• 2 •

• • 3

5 7

31

•

24

9 9

5 1

•

5

•

4

16

•

3 43

•

8 1

1 2

134 21 127

PRESTA ATENCIÓN

Emilio compra filetes de ternera que pesan cinco sextos de kilo y filetes de cerdo que pesan medio kilo. ¿Qué fracción de kilo pesan en total los filetes? ¿Pesan más o menos de un kilo?

Al ope rar co n fra ccione s, simplifica siempre al máximo la fracción del resultado.

74

5

3

5

kg.

Pesan más de 1 kg.

30

19 12

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias sumas de fracciones cambiando el orden de los sumandos y pregunte a los alumnos si piensan que el resultado será el mismo. A continuación, calcúlelas en común y comente al nal que la suma de fracciones también cumple las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo: 3

5 1

7

42

3 4

23

20

4

Pesan en total

92

•

9

11

5

6

•

3 4

1 4

Actividades 1 •

1 6

HAZLO ASÍ

Para reforzar. Plantee a los alumnos

preguntas como las siguientes para que practiquen la suma e investiguen: la suma de dos fracciones menores que la unidad ¿es siempre menor que la unidad? ¿Y si las dos fracciones son mayores que la unidad? La suma de dos fracciones con distintos denominadores ¿puede ser igual a un número natural?


Leandro tiene un terreno con árboles frutales. En dos quintos del terreno tiene naranjos y en un cuarto, manzanos. ¿Qué fracción del terreno tiene árboles frutales?

(

2 3

5 1

3

)

6 9

1

4

y

y

5

6

3 1

2 3

1

7

(

5 3

9 1

4

)

Resta de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marina necesita medio kilo de chocolate negro y tres cuartos de kilo de chocolate blanco. ¿Qué cantidad de chocolate blanco más que de chocolate negro necesita?


1 3 a 2 4

Resta

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, primero las reducimos a común denominador. 1 3 y 2 4 1 2

• Restar fracciones.

5

3 4

m.c.m. (2 y 4) 5 4

2 4

3 4

Necesita

5

Para empezar. Recuerde con los

2.º Restamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común. 2

1 2

3 4

5

2

2 4

5

3 2 2 4

alumnos cómo se realizaba la resta de fracciones de igual denominador.

1 4

5

Para explicar. Comente el ejemplo

resuelto, mostrando las similitudes con la suma, tanto al operar con fracciones como si intervienen números naturales o números mixtos.

3 4

1 de kilo de chocolate blanco más que de chocolate negro. 4

Para reforzar. Entregue a cada

Para restar dos fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se restan los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

2

alumno una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón. Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los alumnos que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para usarla como minuendo.

Resta. Fíjate bien en los términos de cada resta. 6 9

2

5 9

2 7

2

1 9

8 14

2

2 6

5

2

3 7

41 15

2

2

5 8

2

3 8

3 5

2

3 10

7 2

2

10 3

6

2

5 8

19 5

2

3

Calcula en tu cuaderno estas operaciones combinadas con fracciones. Sigue el mismo orden que en las operaciones con números naturales. 2 3

1

12

1 4 2

2

1 2

1 2

3 5

5

2

10

1 2 1

1

2 3

2 3

3

(4

5

1

1 5 2

)

2

1 2

1 2

5

6 5

2

(3

2

2

1

1 2

)

Actividades

5

1 •

•

Razonamiento

Explica y calcula. ¿Cómo harías la resta

8 3

2

3 4

2

7 7 ? ¿Y la resta 2 12 8

2

10 ? 4

2 •

• 75

• •

Otras actividades • Proponga a los alumnos que completen los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada la, columna y diagonal sea siempre el mismo número: 4/8

2/8 5/8

1

10/3

5/3

8/3 6/8

1 9 1 4

• •

11 12

10

2

3

2

Al corregirlos en la pizarra, pida a los alumnos que escriban la suma calculada para averiguar el total común y la suma y resta combinadas para hallar el número de cada casilla.

6

6

32

•

7 43

•

8

• •

11 15 4 5

5 5

12 23

5

30 9

5

20

7 2

1 5

30

Razonamiento • En primer lugar se restarían las dos primeras fracciones y luego al resultado obtenido se restaría la tercera fracción: 23

3

1

•

1 2

6 5

3

21

2 1

19 20

63

5

•

1 2

1 10

11

12

7 2

12

16 5

12

4 5

3

• En primer lugar se expresaría el número mixto como fracción y luego se restarían las dos fracciones: 23 8

10 2

4

3 5

8

93

Multiplicación de fracciones Propósitos En la habitación de Borja, la mitad de una pared está pintada de verde. Borja tiene colgados varios pósteres que cubren tres quintos de la zona verde. ¿Qué fracción de pared cubren los pósteres?

• Multiplicar fracciones. • Resolver problemas de multiplicación de fracciones.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde con los

Zona con pósteres

alumnos cómo se obtenía la fracción de un número. Para explicar. Presente la situación

• 2 •

• 3 •

• • 4 •

• •

32 3

14

1

•

27 7 8

5

3

5

3

7

11 2

35 40

3

13

15 2

• •

1

5 3

5 3 5

5

3 3 1 5 3 2

3 10

5

2

3

45

Calcula en tu cuaderno. 3 5 de 4 8

5 2 de 7 3

5 2 de 6 9

2 3

3

1 5

3

4 6

3 5

3

1 9

3

2 6

3 4

2 10

5 6

3 5

3

4 3

3

7 8

2 9

3

3 8

3

1 6

2 7

3

5 8

3

3 5

Calcula estas multiplicaciones de números naturales y fracciones. RECUERDA

5

3

4 9

5 9

3 6

4 7

3 5 3

Expresa el número natural como una fracción y luego opera.

9

3

3 7

7 8

3 9

6 7

3

2 9

3

7

5

24 35

5

3

6

5

42 40

2 5

3

4

3

6

5

30

32 60

76

14 20 21

Otras actividades • Escriba en la pizarra la expresión a 3 b 5 c. Comente que, al multiplicar dos números naturales (excepto 0 y 1), el producto es mayor que los factores, pero con las fracciones no siempre ocurre así. Escriba varios ejemplos y compruebe en común que: 2 Si b

es un número natural, 3

5

3 2 5

6

5

,

c

siempre es mayor que a.

6

5

3 .

5

es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor que a. Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor que a.

107

3 5

15

2 Si b

5

3 8

Completa en tu cuaderno para que las igualdades sean ciertas. 3

1

3

Ejemplo:

56

2

1 2

Para multiplicar dos o más fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

1

72

3

3 de la pared. 10

Los pósteres cubren

40

4

30

60

37 5

8

157

32 5

6

5

24

2

•

4

13

1

•

8

3

2

2

10

63

4 3

7

42 5

8

2

5

5

6 3

2

45

24

7

7

•

4

3

• 3

1

•

10

•

9

5

27

•

8

3

5

•

21

20

5

94

10

3 5

El denominador es el producto de los dos denominadores.

Actividades •

3 de la pared 10

5

El numerador es el producto de los numeradores.

A la hora de trabajar las operaciones combinadas, señale que la jerarquía de las operaciones es la misma que ya conocían para los números naturales y decimales.

15

3 1 de de la pared 5 2

3 1 3 1 de , es decir, multiplica por 5 2 5 2

Calcula

inicial y muestre cómo se obtiene la solución de forma gráca. Comente que la expresión «tres quintos de un medio» es lo mismo que calcular el producto de ambas fracciones. Señale que en la multiplicación no es necesario reducir las fracciones a común denominador, aunque sí simplicar el resultado obtenido. Muestre que si aparecen números naturales, se siguen expresando estos como fracciones de denominador 1.

1 •

1 de la pared 2

Zona verde

Ejemplos: 4 3

7 3

28 5

3

,

28 3

. 4

5 2

3 3

4

5

15 8

,

15 8

,

5 2

UNIDAD

5 4

Calcula las siguientes operaciones combinadas.

SABER MÁS

HAZLO ASÍ

4 2 de de 30 5 3

1.º Operaciones de los paréntesis. 2.º Multiplicaciones en el orden en que aparecen. 3.º Sumas y restas en el orden de aparición. 2

2 3

2

5

3 5

1 2

( 12

16 24

3

3

1

2

( 38

3 5 1 4

6 24

1

1 6

5

)

3

5

)

2 3 2 6

10 24

2

3 10

5

2 3

2

5

5

2 7

20 30 3 4

2

3

2 6

9 30

5

5

2 3

2

•

8 de 30 15

11 30

¿Qué observas?

6 24

1 4

5

3

3

4

5

•

4 9

4 7

5

12 35

1

3

5

2

8 3

3

1 8

5

8

de kg.

1 18

1 Son de madera de chopo 18 de los bancos. 3

3 2

11 2

2

1 3

3

4 5

2

5 3

1 18

Problemas

Para su cumpleaños, Lola compra pasteles. Tres quintos de los pasteles son de chocolate y cuatro séptimos de los pasteles de chocolate llevan crema. ¿Qué fracción de los pasteles tienen chocolate y crema?

4 5

15

Resta por compensación: resta el mismo número a los dos términos para que el segundo sea una decena 35 2 11

45 2 22

64 2 23

75 2 24

46 2 31

63 2 42

75 2 33

66 2 34

79 2 51

74 2 52

86 2 53

79 2 54

80 2 61

81 2 62

92 2 63

82 2 74

2 3

de 30

de 30

5

4 5

de 20

5 16

516

Ambas expresiones son equivalentes, 4 2 8 ya que de . Calcular 5 5 3 15 varias fracciones de un número consecutivas equivale a hallar el producto de esas fracciones y aplicarlo a ese número.

Cálculo mental

23

de

8

En un parque hay 90 bancos. Cuatro novenos de los bancos son de madera, y de ellos, un octavo es de madera de chopo. ¿Qué fracción de los bancos es de madera de chopo? ¿Cuántos son?

2 23 5 56 2 20 5 36

5 5

Saber más

Una empanada pesaba tres cuartos de kilo y Olga compró la mitad. ¿Qué fracción de kilo pesó el trozo de empanada que compró Olga?

23

de 90

Son de madera de chopo 5 bancos.

5 Resuelve.

59

3

El trozo pesó

5 12

1

3

12 Tienen chocolate y crema 35 de los pasteles.

Calcula:

Haz los cálculos en este orden:

2 3

•

5

5

Cálculo mental 77

• 24

• 23

• 41

• 51

• 15

• 21

• 42

• 32

• 28

• 22

• 33

• 25

• 19

• 19

• 29

• 8

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Cada alumno deberá escribir una operación combinada con sumas, restas y multiplicaciones de fracciones sin paréntesis y otra operación que sí incluya paréntesis. Después, la pasará a su compañero para que la resuelva. Más tarde, cada alumno comprobará que su compañero ha resuelto bien la operación que él le planteó. Compruebe en común algunas de las operaciones y sus resoluciones.

Notas

95

División de fracciones Propósitos Elena tiene una caja con 3 kilos y medio de fresas. Las reparte en cestas de un cuarto de kilo cada una. ¿Cuántas cestas prepara?

• Dividir fracciones. • Resolver problemas de división de fracciones.

Fresas

3 kg y medio

1


Cestas de 4 kg

3

1 2

7 2

1 kg 5 4 cestas

14 cestas

Para explicar. Presente la situación

de forma similar a lo hecho con l a multiplicación, comentando primero la resolución gráca y después su equivalente numérico. Indique que, para dividir, no es necesario reducir a común denominador.

Calcula cuántos

1 7 7 1 hay en , es decir, divide entre 4 2 2 4

El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

7 1 : 2 4

El denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

5

7 3 4 2 3 1

5

28 2

5

14

Elena prepara 14 cestas con fresas.

Deje claro el concepto de fracción inversa y la posibilidad de dividir con el algoritmo usual o multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda.

Para dividir dos fracciones se multiplican sus términos en cruz.

1

Comente que las operaciones combinadas con fracciones siguen la misma jerarquía que las operaciones con naturales.

Calcula estas divisiones. 4 6 : 3 7

2

varias parejas de fracciones (o de número natural y fracción). Pida a los alumnos que dividan la primera fracción entre la segunda. Luego, indique que dividan la segunda fracción entre la primera. Corrija en l a pizarra las dos divisiones obtenidas y pida a los alumnos que expliquen la relación que existe entre ambos resultados: son fracciones i nversas.

3

5

3 8

3 5 : 10 4

7 2 : 11 5

3 2 : 2 3

5 : 6

5

5 24

3 : 8

5

15 16

7 : 9

5

Divide estas fracciones y números naturales. 2 : 5 3

4

4 7 : 9 3

Calcula la fracción que falta y completa en tu cuaderno. 3 : 4


5 2 : 3 6

6 :8 7

4:

1 6

9:

2 3

Halla la fracción inversa de cada fracción dada. HAZLO ASÍ

La fracción inversa se obtiene dividiendo 1 entre la fracción, es decir, cambiando el numerador por el denominador.

3 Fracción 7 inversa

7 3

3 8

5 2

11 7

8 14

78

Actividades 1 •

• 2 •

• 3 • 4 •

• 5 •

96

14 9 6

4

5 6

: :

2

•

22

2

3 5

1

8

5

4 5

1

24 3

28

8 3 7

9 3

4

27 5

32

:

8 7

•

9

:

• 24

•

11

8

3

•

•

3

•

35

•

15

5 5

6

•

25 3

30

•

2

5 14 8

4 21

Otras actividades

9 4

15

2

5

5

16

4 3

7 5

•

12

27 2

• Plantee a los alumnos varios problemas de multiplicación o división de fracciones, para que tomen nota de los datos (si tienen dicultad, puede hacerlo un alumno en la pizarra), elijan la operación correspondiente y los resuelvan. Por ejemplo: 2 Roberto

empaqueta 6 kg de alitas de pollo en bandejas de 3/4 de kilo. ¿Cuántas bandejas puede hacer?

2 Julia

vende en un trozo las tres quintas partes de un queso que pesa 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa el trozo de queso vendido?

2 Celia

empaqueta 2 kg y 3/4 de kg de patatas fritas en bolsas de cuarto de kilo. ¿Cuántas bolsas prepara?

7 12

UNIDAD

5 5

Convierte cada división en una multiplicación y calcula. 3 4 : 8 9

HAZLO ASÍ

6

5

4 5

3

7 3

5

4 5

3 7 3 3

5

SABER MÁS ¿Qué ocurre si divides una fracción por otra fracción menor que la unidad? ¿Cómo es el resultado: mayor o menor que la fracción inicial?

8 6 : 5 11

Otra forma de dividir fracciones es multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda. 4 3 : 5 7

•

12 6 : 7 8

28 15

5 3 : 7 10

• • 6 •

Calcula las siguientes operaciones combinadas.

•

PRESTA ATENCIÓN

8 3

1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones.

7 2

3.º Sumas y restas.

2

3

2 1 : 5 6

•

2 1 : 3 4

• 5 2 : 3 5

(

2

1 6

8 5

)

2

3

2

( 4 : 3 )

1

3 8

11 3 : 8 4

(

2

1 2

)

1

5 6

8 5

8 3

7

7

3 14 6

3

:

5

56

3 1

8

34

•

8

7 Resuelve.

:

Julia li reparte la l mitad i de un bizcocho i en 4 partes iiguales. l ¿Qué fracción i de bizcocho i es cada parte?

7 • 8:

Para adornar dos tartas, Mario i ha utilizado ili tres cuartos de kilo il de fresas y medio i kilo il de cerezas. En cada tarta ha puesto la l misma i cantidad. i ¿Qué cantidad i de fruta ha puesto en cada tarta?

1

5 1

4

•

Lee y contesta. 7 8 8 3

40

44 5

5

5 1

8

6

5

3

3

32 5

3

5 10

2 3

1 2

: 4 5

1 8

•

3 4

: 2 5

1 8

de kg.

3 8

¿Cuáles son esas fracciones?

En cada tarta pone de fresas.

¿Cómo es una respecto de la otra? ¿Ocurre lo mismo siempre con este tipo de fracciones? 79

•

1 2

: 2 5

•

3 8

4

8

de kg

4

1 1

3

1

En cada tarta pone de cerezas.

• Aprender a aprender. Es muy importante para el desarrollo de esta competencia que los alumnos aprecien en las Matemáticas una coherencia y un progreso en la construcción de su conocimiento del área. Comente con ellos cómo han i do avanzando en el estudio de las operaciones con los diferentes tipos de números y cómo las mismas reglas que ya conocían para las operaciones combinadas de naturales se vuelven a aplicar ahora en las fracciones.

8

19

Cada parte es

Isabel ha dividido dos de estas fracciones y ha obtenido como resultado una fracción cuyo numerador y denominador son el cuadrado de un número.

Competencias

3 1

Obtiene 10 mallas completas, le sobran dos tercios de malla, es decir, medio kilo.

Razonamiento

3 5

6

5

24

4

19 5

20

152 5

Tomás reparte 8 kg de mandarinas i en mallas ll de tres cuartos de kilo il cada una. ¿Cuántas mallas ll obtiene? i

7

17 5

40

11

8

50 5

21

9

5

3

150 5

30

2

28 5

6

7

8

15

5

4

7

4 5

1

:

16 5

21

12 2

15

50 5

3

8

30

42

10 3

44 5

96 5

6

5

5

88 5

6

12

5

Problemas

8 7

11 3

5

1 4

de kg

5 5

8

En cada tarta pone de fruta.

5 8

de kg

Saber más El resultado es siempre mayor que la fracción inicial.

Razonamiento • Son las fracciones

8 7

y

7 8

.

• Son fracciones inversas. • Al dividir una fracción entre su inversa, siempre ocurre así.

97


Determinar la representación gráfica de una situación

• Elegir la representación gráca que corresponde a una situación en la que aparecen fracciones.

Mariola es alfarera. Los tres octavos de las vasijas que ha hecho las ha pintado de color rojo, y la mitad de las vasijas rojas las ha adornado después haciendo dibujos con rayas. ¿Qué representación de las siguientes es correcta? ¿Qué fracción del total de vasijas son rojas y tienen rayas?

Sugerencias didácticas Para explicar. Razone en común

el ejemplo resuelto, mostrando por qué la primera y la segunda representaciones no son correctas. Indique que son posibles múltiples representaciones de la situación y que esta es una técnica que nos puede ser útil para entender y resolver algunos problemas con fracciones (como se verá en la página siguiente).

Al resolver problemas con fracciones es útil representarlos. Debes revisar siempre que lo has hecho correctamente. La primera representación no es correcta, ya que se han hecho rayas en los tres octavos rojos, y no en su mitad. En la segunda sí se ha rayado la mitad, pero ha sido de la parte no roja. No es correcta. La tercera representación es la correcta, la que corresponde a la situación del problema. Resuelve tú el problema en tu cuaderno. Haz primero una representación correcta diferente a la de arriba.

Deje que trabajen el resto de actividades por sí solos y después corrija en común.

Averigua qué representaciones corresponden a cada situación y, después, resuelve cada problema.

Actividades •

R. M.

3 8

: 2

1

En una asociación de senderismo, un cuarto de los socios son jubilados. De ellos, tres cuartos son mujeres. ¿Qué fracción de los socios son mujeres jubiladas?

2

Miguel decoró ayer cuatro décimos de los pasteles con naranja. Después, añadió virutas de chocolate a la mitad de los que tenían naranja. ¿Qué fracción de los pasteles es de naranja con virutas de chocolate?

3 5

16

Son rojas con rayas de las vasijas.

3 16

1 Es correcta la representación

central. 3 4

de

1 4

3 5

16

Son mujeres jubiladas de los socios.

3 16

80

2 Son correctas la primera

y la tercera representaciones por la izquierda. 4 10

: 2

4 5

20

Son de naranja con virutas de chocolate

Notas

98

4

20

de los pasteles.

Otras actividades • Entregue a los alumnos distintas representaciones grácas, similares a las trabajadas en esta página, y pídales que inventen y resuelvan problemas que correspondan a cada representación. Después, pídales que dibujen otra representación diferente que corresponda también a cada problema.

UNIDAD

5 2

5

Representar la situación

Propósitos

Virginia compró un ordenador a plazos. Pagó al contado tres quintos del total y todavía le quedan por pagar 180 €. ¿Cuál era el precio del ordenador?

• Realizar representaciones grácas para entender y resolver problemas con fracciones.

Representa el precio total del ordenador mediante un dibujo dividido en 5 partes iguales. Marca la parte que pagó y la parte que le queda por pagar.

Sugerencias didácticas Para explicar. Trabaje en común el

3 5 2 5

ejemplo resuelto, dejando claro que la representación elegida es solo una de las posibles. Señale la utilidad de esta técnica y cómo el objetivo es determinar el valor de cada una de las partes.

Pagó al contado.

5

180

Le queda por pagar.

1.º Calcula el dinero que representa cada parte. 2 partes son 180 €, luego 1 parte serán 180 : 2 5 90 €. 2.º Calcula el precio total del ordenador. Como 1 parte son 90 €, 5 partes serán 90 3 5 5 450 €. Solución: El

Actividades Compruebe que las representaciones que realizan los alumnos son correctas.

precio del ordenador era de 450 €.

1 14 : 2 5 7

Resuelve cada problema representando primero su enunciado. 1

Los dos tercios i de los l componentes de una compañía de teatro son mujeres. Sii en totall hay 14 mujeres, ¿cuántos componentes tiene i la l compañía?

2

En una exposición i i de cuadros hay 64 de paisajes, i y estos representan dos quintos i dell total.l ¿Cuántos cuadros hay en la l exposición? i i

3

Sergio i ha enviado i hoy cuatro novenos de llos correos electrónicos l i que tiene i que enviar i esta semana. Sii todavía le l quedan por enviar i 15 correos, ¿cuántos correos tenía que mandar en totall durante la l semana?

4

Yolanda l es veterinaria i i y hoy ya ha atendido i a tres octavos de llos animales i l que tenía citados. i Sii todavía le l quedan por atender 35, ¿cuántos animales i l en totall tenía citados i hoy?

5

Luis i se ha apuntado a un curso de iinformática i por horas. Ya ha iido a 16 horas de clase l y esta cantidad i representa dos novenos dell totall de horas. ¿De cuántas horas se compone ell curso?

6

i INVENTA. Escribe

un problema l similar i il a los l propuestos en esta página i de forma que representar la l situación i i te ayude a resolverlo. l l

Cada parte son 7 personas. 3 3 7 5 21. La compañía tiene 21 componentes. 2 64 : 2 5 32.

Cada parte son 32 cuadros. 5 3

32 5 160. Hay 160 cuadros.

3 15 : 5 5 3.

Cada parte son 3 correos. 9 5 27. Tenía que mandar 27 correos. 3 3

e nc ia I n te l ig r so na l e i n t ra p 81

4 35 : 5 5 7.

Cada parte son 7 animales. 7 5 56. Tenía citados 56 animales. 8 3

5 16 : 2 5 8.

Cada parte son 8 horas.

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. El desarrollo de esta competencia está ligado, de manera muy directa en Matemáticas, con la i nvención de problemas. Anime a los alumnos a ser creativos a la hora de plantearlos, a presentarlos de formas variadas y en contextos diferentes, siempre de manera correcta y comprobando que su resolución es posible y se puede realizar con la estrategia presentada en la página.

8 5 72. El curso se compone de 72 horas. 9 3

6 R. L.

Notas

99

ACTIVI DADES

Propósitos

1

Copia y calcula.


2 5


1 4

Actividades 1

2

• 3/5

• 23/7

• 3/2

• 7/4

• 51/8

• 77/30

• 4/7

• 5/2

• 1/2

• 7/20

• 55/8

• 4/15

• 8/15

•10/63

• 5/24

• 5/2

• 12/5

• 3/28

R. L.

4

• 7/24

• 8/9

• 40/21

• 14

• 14

• 1/5

5

• • •

7 12 5 17

• • • •

7

8

6 6 1

1

4

9

2

2

14

7

11

2

4

15

61

13

1

3 31

2

7 16

3

3 29 9

:

5

5 2

5

3 4

5

5 2 3

5

5

6

50

5

5

60

79

•

100

1

1

3 5 9

:

13 15

:

6

18

5

36 15 28 3 5

5

5

11 2

1 4

7

2

7 10

3

2

1 8

4 6

3 2

1

2

4 6

1

2 10

1

8 9

2

4 3

3

8

2 5

3

2 7

5 6

3

8 10

5 9

3

3

3 8

3

5 9

2 7

3

3 4

9 7

1

1

(

1 2

9

5 7

5 11

1

5

3 9

10 15

2

5

16 21

9

18 15

5

3 2 2 9

5 2 : 9 7 3

5

3

10

:

11 15

7

3

5

9 11

5

3 15

5

35 27

5

27 50

Calcula. Piensa bien el orden.

1 3

Multiplica. 3

7

2 : 5 9

2 5

2

3 7

)

1 6

3

3

1

3 4 1 4

)

( 15

1

2 3 : 3 5

)

9 5

2

2 8

6 5

2

2 3 : 7 8

3

4 9

Piensa y contesta. Si multiplicas dos fracciones mayores que 1, el resultado ¿puede ser mayor que 1? ¿Y menor?

Explica qué es la fracción inversa de otra dada y cómo se obtiene.

VOCABULARI O.

¿Qué ocurre si las dos fracciones son menores que 1?

Divide. 6 3 : 9 4

2 7

7:

5 3 : 7 8

4 8

Observa el dibujo y calcula qué fracción de tableta es.

8 : 4 10

Calcula. 5 4

2

2 3

5 4

2

( 23

2

2

1 6 1 6

)

3 2

2

2 7

7 4

2

( 25

1

1

1 14

2

13 28

1 3

2

11 60

)

Escribe cada número mixto en forma de fracción y calcula. 3

1 3

1

4 5

5

1 3

4

3 7

2

2 3

3

2 2 : 9 3

3

4 5

Una tableta de chocolate negro y 5 onzas de ese chocolate. Una tableta de chocolate con leche y 2 onzas de ese chocolate. Dos tabletas de chocolate blanco y 1 onza de ese chocolate. 3 onzas de chocolate negro, 1 tableta de chocolate con leche y 1 onza de blanco. 1 tableta de chocolate con leche, 2 onzas de negro y 1 onza de blanco.

29

Otras actividades

6

• Pida a los alumnos que inventen y calculen una suma, una resta, una multiplicación y una división de dos fracciones y de una fracción y un número natural. A continuación, indique a cada alumno que copie en una hoja las ocho operaciones desordenadas, pero sin escribir el signo de la operación realizada, y se la entregue a un compañero. Este deberá averiguar qué operación se ha hecho en cada caso.

7 24

5

2 7

2 5

6

2 6

1

15

• 9y5 6

1

3 6

1

64

• 3 4

3 8

4 6

21

87

5

2 7

1

82

• 5y3 1

6

15

• 4

3

5

62

• 7

•

5

5

• 5

7

2

4:

4

28

60

60

4

5

11

2

11

2

60

10

28

3 5

3 2

1 3 : 8 7

3

5

12

2

3

10

• 4

•

3

12

5

6 7

4 3

5

5

• 2

•

2

14 14 28 18 13 23

5

6

1 3

2

4

5

•

2

1

1 5

Completa los números que faltan para que las igualdades sean ciertas.

( 14

3

3

1

7

18 36 140 135

65 45

1

5

5

2

5

28 27

13 9

UNIDAD

5 Problemas 11

Resuelve.

• 12

9 5

8 2

72

En la primera etapa de una carrera ciclista se recorren dos novenos del total y en la segunda, tres quintos. ¿Qué fracción del camino se recorre entre las dos etapas?

Pablo reparte tres quintos de su colección de monedas antiguas en partes iguales entre sus cuatro nietos. ¿Qué fracción del total de las monedas le corresponde a cada uno?

La bandeja de pasteles pesa tres cuartos de kilo. Tiene pasteles de crema y pasteles de nata. Si un sexto de kilo son de crema, ¿qué fracción de kilo son pasteles de nata?

En un parque, dos quintos de los árboles son castaños. De ellos, un cuarto tienen una plaga. ¿Qué fracción de los árboles del parque son castaños que no tienen plaga?

•

6

360

5

16 2

45

5 1

• 21

La finca 1 la dividió en 8 parcelas iguales y vendió 3 de las parcelas.

•

La finca 2 la dividió en 12 parcelas iguales y vendió 5 de ellas.

3 6

6 2 4

6 5

1 2

¿Qué fracción de terreno ha vendido más de una finca que de otra?

3 5

4

2 1

12 5

2

11 5

2

37 45

del camino.

7 12

de kilo. 3 20

del total. • Son castaños sin plaga de los árboles.

Dos tercios de la parte vendida en la finca 2 se dedicarán a construir chalés y el resto a jardines. ¿Qué fracción de la finca 2 se dedicará a jardines?

13 • Finca 1: Demuestra tu talento

5 8

. Finca 2:

• De la finca 2

El jueves me comí un quinto de las nueces que tenía. El viernes me comí tres cuartos de las nueces que me habían quedado del jueves. El sábado tenía 4 nueces. ¿Cuántas nueces tenía el jueves?

• Ha vendido finca 2. • Ha vendido

(

3

24 19 24

• Se dedicarán • Se dedicarán

3 10

7 12 5

,

8

1

83

• Competencia social y cívica. En la actividad 13 aparece un contexto en el que se pueden plantear debates sobre distintos aspectos relacionados con esta competencia: la explotación de los recursos naturales, el medio rural y sus peculiaridades, la compraventa… Pida a los alumnos que comenten sus impresiones sobre ellos y anímeles a actuar siempre como ciudadanos responsables.

6

12 • A cada uno le corresponden

Un cuarto de la parte vendida en la finca 1 se dedicará a sembrar trigo. ¿Qué fracción de la finca 1 es?

Competencias

5 2

6

1 1

• Son de nata

¿Qué fracción representa la parte que ha vendido en total?

2

5 5

2 6

6

11 • Se recorren

¿De cuál de las dos fincas ha vendido más terreno?

105

11 5

1 1 1

• 11 ¿Qué fracción de cada finca le queda por vender a Alejandro?

21

• Es menor que 1 siempre. 10 • 1

Alejandro tenía dos fincas iguales.

46 5

9 • Es mayor que 1 siempre.

Resuelve.

14

76 5

Piensa y resuelve.

• 11 13

608 5

5

12

.

).

más de la en total.

3 32 5 36

a trigo. a jardines.

Demuestra tu talento Rayado: lo comido el jueves. Punteado: lo comido el viernes.

Cada parte que queda sin puntear ni rayar (4 partes) representa 1 nuez, ya que quedaron 4 nueces sin comer, luego en total había 15 nueces el jueves.

101

SABER HACER

Propósitos

Estudiar la pureza de una joya


Seguro que alguna vez has visto un anillo de oro, y tal vez pensaste que se trataba de oro puro. Normalmente, el oro se mezcla con otros metales. Para medir la pureza de las joyas hechas en oro o plata se utiliza el quilate.


El quilate nos indica la parte de oro que hay en una joya. Un quilate significa que, de cada 24 partes del peso de una joya, 1 parte es de oro y las otras 23 partes son de otros metales con los que se ha mezclado el oro.


• Un quilate es la forma de expresar la fracción de oro que tiene una joya. 1 1 quilate 5

De este modo, si vamos a una joyería y compramos un anillo de oro de 18 quilates, 18 eso significa que son de oro los del peso total de la joya. 24

24

• Oro:

15 24

. Oro:

1

12 24

¿Qué es un quilate? Exprésalo como fracción.

.

¿Qué significa oro de 15 quilates? ¿Y de 12 quilates? ¿Cuál contiene más parte de oro?

Contiene más parte de oro el oro de 15 quilates.

¿De cuántos quilates tiene que ser una joya para que sea toda de oro? Escribe la fracción que lo representa.

• Debe ser de 24 quilates. 24 24 2

8 3

24

18 3

2

5 1

18

5 6;

20 24

54 3

16 24

• 54 3

5 36

ORO 16 quilates 54 g

ORO 20 quilates 18 g

5 15

16 24

3 Resuelve.

Lucía compra una pulsera de oro de 16 quilates cuyo peso es de 54 gramos. Si un gramo de oro puro cuesta 130 €, ¿cuánto cuesta el oro de la pulsera?

5 36

¿Qué parte del peso de la pulsera no es de oro? ¿Cuántos gramos son? 4

36 3 130 5 4.680

No son de oro

8 24


con tu compañero.

Imagina que tú y tu compañero queréis comprar un anillo de oro. En la joyería os dan a elegir entre uno de 18 quilates y otro de 20 quilates, ambos de igual precio. ¿Cuál debéis elegir? ¿Qué necesitaríais saber para elegir el mejor anillo?

El oro cuesta 4.680 €. •

Observa el peso y los quilates de estas joyas y calcula los gramos de oro que contiene cada una. ORO 18 quilates 8g

Los pendientes tienen 6 g de oro, el collar 36 g y el colgante 15 g. 3

Piensa y responde a estas preguntas.

.


54 2 36 5 18 No son de oro 18 g. 4

R. L.


• •

•

•

2

3

84

18 3 2 2 18 : 3 5 36 2 6 5 30 7 1 60 2 3 5 64 9 1 7 2 8 1 25 5 16 2 8 1 25 5 5 8 1 25 5 33 18 2 12 1 5 2 7 5 6 1 5 2 7 5 5 11 2 7 5 4

34; 104; 4 3 4 3 4 3 4 3 4; 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10; 11 3 11 3 11 •

210 , 27 , 23 , 22 , , 14 , 15

•

212 , 211 , 29 , 0 , , 15 , 18

102

Desarrollo de la competencia matemática • El contexto de la página es interesante y ofrece una situación cotidiana en la que aplicar los contenidos trabajados en la unidad. Muestre a los alumnos la utilidad de sus aprendizajes y la posibilidad de su concreción en la vida diaria. Pídales que por parejas planteen actividades similares a las de esta página y resuelva algunas de ellas en común, aprovechando para detectar y corregir posibles conceptos erróneos.

1

Calcula. (14 1 6

4 2 2) 3

2 2 18 : 3

42 : 6 1 12 3 5 2 3

2

UNIDAD

5

REPASO ACUMULATIVO

5

4

Escribe todos los números enteros comprendidos entre 28 y 18.

5

Los diez primeros múltiplos de 5.

18 2 4 3 3 1 25 : 5 2 7

Los diez primeros múltiplos de 10.

•

•

Los divisores de 12.

Copia y completa en tu cuaderno.

Los divisores de 18. Producto

Potencia 6

3 3 3 3 3 3 3

Calcula. m.c.m. (10 y 25)

10 3 10 3 10 3 10

m.c.m. (2, 8 y 15)

6

m.c.d. (20 y 12)

45

m.c.d. (14, 16 y 18) 106 7

113

Estudia la divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 de estos números. 7

3

15

Ordena de menor a mayor cada grupo. 14, 22, 27, 15, 23

y

30

210

15, 212, 29, 18, 211

20 40

270 45

0,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Escribe.

9 1 21 : 3 2 4 3 2 1 25

27, 26, 25, 24, 23, 22, 21,

5

120

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 ,70, 80, 90

•

1, 2, 3, 4, 6, 12

•

1, 2, 3, 6, 9, 18

•

50

•

120

•

4

•

2

Por 2: 20, 270, 120, 30, 40. Por 3: 15, 270, 120, 30, 45, 135.

135

Por 5: 15, 20, 270, 120, 30, 40, 45, 135.

y0

Por 9: 270, 45, 135. Problemas

8

9

10

En la feria de artesanía Paula vendió un total de 60 pulseras. La mitad las vendió a 18 € cada una, un tercio a 15 € y el resto a 9 €. ¿Cuánto recaudó Paula por la venta de las pulseras? Una furgoneta de reparto lleva 24 cajas de refrescos. En 13 cajas lleva 12 refrescos y en el resto, 18 refrescos en cada una. En un supermercado deja un tercio de las cajas. ¿Cuántos refrescos, como máximo, quedan en la furgoneta?

Por 10: 20, 270, 120, 30, 40. 11

12

8

El día 4 se constiparon 16 personas en una clase. Cada día se constiparon el doble de personas que el día anterior. ¿Cuántas personas se constiparon el día 7?

60 2 60 : 2 2 60 : 3 5 10 30 3 18 1 20 3 15 1 10 3 9 5 5 930 Recaudó 930 €.

A las 9 de la mañana la temperatura en Valcorto era de 28 ºC. A las 12 horas era dos grados mayor, a las 15 horas tres grados m ás que a las 12, y a las 21 horas nueve grados menos que a las 15 horas. ¿Qué temperatura había cada hora?

9

24 : 3 5 8 (13 2 8) 3 12 1 11 3 18 5 258 Como máximo quedan 258 refrescos (todas las cajas que deja son de 12 refrescos).

Paco tiene un helecho que riega cada 5 días y un cactus que riega cada 12 días. Hoy ha regado las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días volverá a regar las dos plantas por primera vez? ¿Cuántas veces habrá regado el cactus?

10

m.c.m. (5 y 12) 5 60 Pasarán 60 días hasta que riegue ambas de nuevo. Antes de ese día habrá regado el cactus 11 veces.

85 11

16 3 2 3 2 3 2 5 128 Se constiparon 128 personas.

Repaso en común • Forme grupos de cuatro alumnos y pida a cada grupo que inventen un problema utilizando una o más operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división, y lo resuelvan. Recoja los problemas propuestos y plantee algunos de ellos, para que todos los alumnos los resuelvan en el cuaderno. Uno de los alumnos del grupo que lo inventó lo hará en la pizarra para corregirlo.

12

A las 12 h: 26 ºC. A las 15 h: 23 ºC. A las 21 h: 212 ºC.

Notas

103

Repaso trimestral

Actividades Actividad es 1

• 3 U. de millón 1 4 CM 1 1 5 DM 1 9 C 1 2 U

NÚMEROS

Tres Tres millones cuatrocientos cuatrocientos cincuenta mil novecientos dos.

1


• 7 U. de millón 1 5 DM 1 1 3 UM 1 8 D 1 1 U Siete millones cincuenta y tres mil ochenta y uno.

2

• 6 D. de millón 1 7 CM 1 1 UM 1 5 C

3

4

408.521.207

7.053.081

60.701.500

910.600.040

4 3 4 3 4

9 3 9

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

6 3 6 3 6 3 6

5 3 5 3 5 3 5 3 5

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

Compara y escribe el signo . o , .

1

Sesenta millones setecientos un mil quinientos.

85.026.004

Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

• 8 D. de millón millón 1 5 U. de millón 1 1 2 DM 1 6 UM 1 4 U Ochenta y cinco millones ventiséis mil cuatro.

3.450.902

12

y

15

23

y0

12

y 2 9

22

y 2 6

27

y 2 3

0y

14

15

y 2 5

28

y

Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos. A ( 2 2,

11)

C ( 1 2,

B ( 2 4, 2 3)

• 4 C. de millón 1 8 U. de millón 1 1 5 CM 1 2 DM 1 1 UM 1 2 C 1 7 U

5

Cuatrocientos ocho millones quinientos veintiún mil doscientos siete.

13

15)

( 22, E (

D ( 14, 2 3)

(0, F (0,

0)

G (0, 2 5)

14)

H ( 1 3,

0)

Ordena cada grupo de menor a mayor. mayor. Expresa primero todos los números en forma de fracción. 12 5

11 4

2

2

1 6

10 6

7 3

3

2 7

4

1 2

60 14

• 9 C. de millón millón 1 1 D. de millón 1 1 6

CM

1 4

D

Novecientos diez millones seiscientos mil cuarenta. cuarenta. 2

OPERACIONES

• 43; 4 al cubo

6

4

Calcula.

• 6 ; 6 a la cuarta

95.286

• 92; 9 al cuadrado

104.093 4 3 (7

• 55; 5 a la quinta

20

• 36; 3 a la sexta • 27; 2 a la séptima 3

• •

• •

, ,

7

• •

, ,

• •

. .

. ,

4

86 15

F

C

14 13 12

A

11

E 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 21 22

B

23 24

G

5

• 2, •

5

10 ,

6

• 3

104 10 4

12

2

2

7

4

1 6 60

,

25

11 ,

14

H

,

, 4

7 3 1 2

D

2

1

1

18.089

2

278

6.578

3

897

70.794 : 621

3.075 3 650

2)

18 : 2

10 : 2

(7

2 (5 2

1 2) 3

3

2

41.640 : 382 3)

9:3

8

12

1 2 3

2 6 3

4

(10 : 5)

Calcula estas potencias y raíces. raíces. 74

85

10 7

46

19

�4

�9

� 64

� 25

� 45

93

29

36

64

10 4

�1

� 16

� 100

� 81

� 24

PRIMER TRIMESTRE

Calcula y escribe.

8

9

6

Los tres primeros múltiplos de 9.

Cuatro divisores de 24 y cinco de 40.

Los seis primeros múltiplos de 2.

Todos los divisores de 12 y de 20.

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3, 4 y 8)

m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

• 113.375 •

249.366

•

1.998.750

•

c5

114

•

c 5 109,

•

36

•

7

•

11

•

15

•

19

•

0

Calcula. 7

2 5

3 4

1

7 2

1 3

11 3

7 6

2

15 4

2 2

2 8

3 5

3

3 7

3 4

6 2 : 9 3

13 3

2

8 :2 10

15 2

2

7 5 : 6 12

( 23 : 2)

3

7 4

8

r 5 2

• 2.401; 32.768; 512; 10.000.000; 729; 4.096; 1.296; 1; 10.000 •

PROBLEMAS

• 97.515

2

3

8

5

6 , � 45 , 7

1

4

10

9

4 , � 24 , 5

• 0, 9, 18 • 1, 2, 3, 4; 1, 2, 4, 5, 8

10

Resuelve.

• 0, 2, 4, 6, 8, 10

En una exposición de bonsáis hay 300 árboles. Un tercio son sabinas, y del resto, un cuarto son pinos. ¿Cuántos pinos hay en la exposición?

• 1, 2, 5, 10; 1, 2, 4, 5, 10, 20

Manuel va a su pueblo cada 14 días y Sara, cada 21. Hoy se han visto los dos allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a verse de nuevo en el pueblo? Merche fue a la frutería y compró 2 kg y medio de naranjas, 3 kg de manzanas y tres cuartos de kilo de ciruelas. ¿Qué cantidad de fruta compró en total?

9

En un coche la temperatura temperatura interior es 117 ºC y en la calle es 2 7 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior?

•

20

•

15

•

24

•

1

•

4

•

2

• •

Un puzle cuadrado está formado por 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas hay en cada lado del puzle?

•

Lía quiere repartir en vasos 50 fresas y 30 moras, de manera que en todos los vasos haya el mismo número de frutas, que todas sean del mismo tipo y que no sobre ninguna. ¿Cuántas frutas como máximo puede poner en cada vaso?

• 10

En un colegio había 40 cajas de bolígrafos con 15 bolígrafos cada una. Pasado un trimestre quedaban 27 cajas enteras y faltaban 4 bolígrafos para completar otra. ¿Cuántos bolígrafos se habían utilizado?

•

•

Esta mañana, en la pastelería de Manuel, se han envasado 5 kg y medio de pastas de chocolate y 4 kg y tres cuartos de pastas de crema. ¿Qué cantidad de pastas se ha envasado? •

23

•

20 13 3

2

13

2

1

30 •

2

15

84

2

1 3

5 2 5

46

4

7 4

23 15

12

•

• 1

20

5

30

7

3

3

•

2

•

7

5

83

5

12

2

de 300 5 50 3 Hay 50 pinos. 4

de

m.c.m.(14 y 21) 5 42 Pasarán 42 días. 2

1 2

1 3 1

3 4

5

25 4

5 6

1 4

87

Compró 6 kg y cuarto. •

Es 24 grados mayor.

•

� 81 5 9. Hay 9 piezas.

•

•

m.c.d.(50 y 30) 5 10. Puede tomar como máximo 10 frutas. 40 3 15 5 600 27 3 15 1 11 5 416

600 2 416 5 184 Se habían utilizado 184 bolígrafos. •

5

1 2

1 4

3 4

5

41 4

5 10

1 4

Se han envasado 10 kg y cuarto.

105

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas

Guia Matematicas 1 er Trimestre.pdf

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