Guia Matematicas

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S E R A N I M I L E R P

E R R E T S M I E R M P I B

Matemáticas Guía didáctica 4 créditos

O E D R N T S U E G M E I S B O I R A N O I C U L O S

S A I O D S E R M U I C T E L R U M

Titulaciones

Ciclos

1

Ingeniero en Administración Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras Hoteleras ¡ Economista ¡

¡

2

¡ ¡ ¡

Ingeniero en en Administración en Banca y Finanzas Ingeniero en Contabilidad Contabilidad y Auditoría Ingeniero en Administración Administración de Empresas Ingeniero en Administración Administración en Gestión Pública

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


Departamento de Química Sección Físico Química y Matemáticas

Matemáticas Guía didáctica 4 créditos

Titulaciones ¡

Ingeniero en Administración de Empresas Empresas Turísticas Turísticas y Hoteleras Hoteleras

¡

Economista

¡

Ingeniero en Administración en Banca y Finanzas

¡

Ingeniero en Contabilidad y Auditoría

¡

Ingeniero en Administración de Empresas

¡

Ingeniero en Administración en Gestión Pública

O I R A N O I C U L O S


Ciclo I

II

Autora:

MSc. Katty Vanessa Celi Sánchez

Asesoría virtual: 19103

O E D R N T S U E G M E I S B

www.utpl.edu.ec

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MATEMÁTICAS Guía didáctica Katty Vanessa Celi Sánchez UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Maquetación y diseño digital:

Ediloja Cía. Ltda. Telefax: 593 - 7 - 2611418 San Cayetano Alto s/n www.ediloja.com.ec [email protected] Loja-Ecuador Tercera edición ISBN digital-978-9942-04-407-5

Esta versión impresa, ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons Ecuador 3.0 de reconocimiento reconocimiento -no comercial- sin obras derivadas; la cual permite copiar, copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras mientras se reconozca reconozca la autoría original, original, no se utilice utilice con fines comerciales ni se realicen realicen http://www.creativecommons.or ativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/e g/licences/by-nc-nd/3.0/ecc obras derivadas. http://www.cre

21 de noviembre, 2013

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2. Índice

2. Índice ................. .................. .................. .................. .................. .................. ................. .................. ..............

4

3. Introducción.............................................................................................................................................

6

4. Bibliografía .................. .................. .................. .................. ................. .................. .................. .................

7

4.1.

Básica ............................... .................................... .................................... ...................................

7

4.2. Complementaria .................................. .................................... .................................... ...........

7

5. Orientaciones generales para el estudio ................ .................. .................. .................. ....... 6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias ................

9 10

PRIMER BIMESTRE

6.1.

Competencias genéricas................................ .................................... ...................................

10

6.2.

Planificación para el trabajo del alumno ............................... .................................... .....

11

6.3.

Sistema de evaluación de la asignatura (primero y segundo bimestre) ..............

13

6.4.

Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias...........................

14

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA .................................... .................................... .................

14

1.1.

Números reales............................... .................................... .................................... .................

14

1.2. Exponentes ................................ .................................... .................................... .......................

15

1.3.

Radicales ............................... .................................... .................................... .............................

16

1.4.

Operaciones básicas con polinomios ...............................................................................

1.5.

Expresiones racionales ................................... .................................... ...................................

25

Autoevaluación 1 ................................. .................................... .................................... .......................

29

UNIDAD 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES .................................... .................................... ...........

16

30

2.1.

Ecuaciones .................................. .................................... .................................... .......................

30

2.2.

Desigualdades................................. .................................... ................................... ..................

41

Autoevaluación 2 ................................. .................................... .................................... .......................

47




E C I D N Í

SEGUNDO BIMESTRE

6.3.

Competencias genéricas................................ .................................... ...................................

48

6.4.

Planificación para el trabajo del alumno ............................... .................................... .....

49

6.5.

Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias...........................

52

UNIDAD 3. APLICACIÓN DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES ............................... .......................

52

3.1.

52

Algunos casos de aplicación para ecuaciones y desigualdades...............................

Autoevaluación 3 ................................. .................................... .................................... .......................

UNIDAD 4. FUNCIONES Y GRÁFICAS ..................................................................................................

61

62

4.1.

Sistema de coordenadas cartesianas y líneas rectas.................................. .................

4.2.

Ecuaciones de rectas ................................. .................................... .................................... .....

63

4.3.

Funciones.................................... .................................... ................................... ........................

64

Autoevaluación 4 ................................. .................................... .................................... .......................

82


62

UNIDAD 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................ .................................... .....

83

5.1.

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.................................... .................

83

5.2.

Soluciones de un sistema de ecuaciones ............................... .................................... .....

84

5.3.

Aplicación: método Gauss–Jordan....................................................................................

85

Autoevaluación 5 ................................. .................................... .................................... .......................

88

7. Solucionario ................. .................. .................. .................. ................. .................. .................. .................

89

8. Recursos educativos multimedia.................. .................. .................. .................. ................. .....


95



E C I D N Í

Guía didáctica: Matemáticas

3. Introducción Las Matemáticas constituyen hoy por hoy una de las herramientas básicas en el desarrollo profesional de cualquier ser humano, sin embargo, el aprendizaje de esta ciencia exige una clara comprensión y aplicación de las definiciones, propiedades, leyes y principios; por lo que es necesario que usted se encuentre en condiciones no solo de manejar números sino también la conceptualización necesaria para su comprensión. La asignatura de Matemáticas tiene cuatro créditos y corresponde a las materias genéricas necesarias para la aprobación de su carrera, se denomina de esta manera porque es común en el Área Administrativa y constituye la base para su formación y la consecución de las competencias genéricas. Con la presente materia se pretende que usted pueda adquirir los fundamentos matemáticos básicos, necesarios en las carreras de: Administración de Empresas, Administración en Banca Finanzas, Administración en Gestión Pública, Contabilidad y Auditoría, Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras; por ello, su programación se centra en el análisis de conceptos, estructuras, reglas, métodos, aplicaciones, interpretaciones y habilidades, que faciliten la comprensión de los contenidos de esta asignatura. La programación está dividida en cinco unidades, que se encuentran agrupadas en dos bimestres: el primer bimestre inicia con un análisis de los fundamentos básicos del álgebra, para lo cual se requiere el manejo de álgebra elemental que podrá revisar en el capítulo 0 del texto básico, luego analizaremos ecuaciones y desigualdades, incluyendo algunas ecuaciones no lineales, ecuaciones con literales, cuadráticas y desigualdades con valor absoluto. Para el segundo bimestre iniciaremos con la aplicación de los contenidos revisados en el primer bimestre haciendo mayor énfasis en ecuaciones y desigualdades, analizaremos funciones, en sus diferentes tipos y su representación gráfica y finalmente revisaremos los sistemas de ecuaciones lineales. Se ha incluido una variedad de aplicaciones de modo tal que pueda observar cómo utilizar las matemáticas que está aprendiendo; varias de ellas fueron tomadas del texto básico y complementarios escogidos para esta asignatura, en ellos encontrará más aplicaciones que de seguro fortalecerán su aprendizaje. Adicionalmente usted podrá practicar con la ayuda de las cinco autoevaluaciones incluidas, y cuya solución se presenta en las páginas finales del presente material de estudio. La educación a distancia es fundamentalmente un proceso autónomo y muy sacrificado, pero se puede transformar en algo más sencillo y agradable, cuando las actividades se realizan de manera responsable, ordenada y secuencial.

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4. Bibliografía 4.1. Básica Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W. (2008). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson Educación. Este libro ha sido seleccionado como texto básico para la presente asignatura por varias razones, entre las principales se puede destacar las siguientes: §

Contiene temas de actualidad y aplicaciones a situaciones reales para las carreras de Administración de Empresas, Administración en Banca Finanzas, Administración en Gestión Pública, Contabilidad y Auditoría, Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras.

§

Posee una excelente presentación y un método muy didáctico que facilitará la comprensión de los temas seleccionados para esta materia.

§

Cada tema cuenta al finalizar con ejercicios propuestos y autoevaluaciones, que podrá desarrollar para fortalecer y evaluar los conocimientos adquiridos, su resolución la podrá contrastar con el solucionario que se encuentra en las páginas finales de este texto.

Celi, K. (2012). Guía didáctica de Matemáticas. Loja–Ecuador: EDILOJA. Corresponde a la guía didáctica que, como su nombre lo indica, lo guiará a través del proceso de aprendizaje. Este material le permitirá identificar la secuencia con la que se estudiarán los temas considerados en la asignatura de Matemáticas, facilitando, potenciando y activando sus conocimientos en esta ciencia. §

Contiene una breve introducción a cada tema, cerca de 100 ejemplos desarrollados paso a paso, gráficas, ejercicios de retroalimentación y aplicaciones, que le permitirán una mejor comprensión del tema.

§

Adicionalmente encontrará actividades recomendadas y autoevaluaciones; algunas de estas actividades recomendadas tendrán relación con el texto básico, las autoevaluaciones por su lado se encuentran al final de cada unidad y las soluciones en las páginas finales de la guía.

§

Adjunto a esta guía, encontrará las evaluaciones a distancia, este documento puede utilizarlo como un borrador, puesto que las soluciones deberá ingresarlas en el Entorno Virtual de Aprendizaje en las fechas indicadas en su calendario académico.

4.2. Complementaria Soo, Tang T. (2004). Matemáticas para administración y economía. México: Gengage Learning Editores S.A. Este texto complementario ha sido escogido porque le permitirá reforzar el aprendizaje, sobre todo en lo que a aplicaciones en su área de estudio se refiere, ya que al inicio de cada unidad y tema presenta ejemplos prácticos que le permitirán relacionar la aplicación de esta ciencia a situaciones prácticas, luego continúa con la presentación de conceptos, reglas (de ser necesario) y ejemplos resueltos paso a paso. 7




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Al igual que su texto básico encontrará al final de cada tema varios ejercicios propuestos, con los cuales podrá poner en práctica los conocimientos adquiridos y resolver problemas con temáticas diferentes, que no han sido incluidos en el texto básico o su guía didáctica. Matamoros, V. (2004). Algebra Básica. Ecuador: Cosmos. Este texto, también complementario, presenta una serie de conceptos y ejercicios para cada una de las unidades incluidas en la presente guía, si bien es cierto, no profundiza su análisis en la aplicación de los contenidos a problemáticas del área de las carreras administrativas, puede ser utilizarlo como medio de consulta y orientación general por el sinnúmero de ejercicios resueltos y presentación de leyes y procedimientos para la resolución de casos.





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5. Orientaciones generales para el estudio Estimado(a) estudiante, para que usted pueda tener un verdadero conocimiento y de el adecuado seguimiento a la asignatura de Matemáticas, se recomienda emprender en las siguientes orientaciones con la finalidad de mejorar su aprendizaje: •

Los materiales necesarios para realizar el estudio de Matemáticas, son: el texto básico, la guía didáctica que le orientará en su aprendizaje y las evaluaciones a distancia. Es conveniente trabajar de manera paralela con el texto y la guía didáctica.

•

Para aprender la ciencia de las matemáticas es necesario además que cuente con los materiales básicos que le permitan el desarrollo de ejercicios, tenga siempre a mano un cuaderno cuadriculado, un lápiz y borrador.

•

Programe un horario de estudio, y dedique al menos 4 horas semanales al estudio de esta materia.

•

Lea la resolución de un ejercicio, luego trabaje mediante los ejemplos ilustrativos y los problemas resueltos, finalmente realice las actividades complementarias, recomendadas y autoevaluaciones que se encuentran en cada unidad.

•

Aborde el estudio de cada uno de los temas de manera secuencial asegurando la comprensión de cada uno de los conceptos y su aplicación.

•

Antes de emprender en un nuevo tema o unidad, se recomienda tener comprendido el esquema anterior. Si no es así, repase nuevamente y/o consulte con su profesor los temas de dificultad.

•

Elabore sus trabajos a distancia de manera paulatina con la finalidad de evitar acumulaciones, recuerde que son dos, uno por cada bimestre y que su presentación es obligatoria, se realiza en las fechas indicadas en su calendario académico y son entregados a la Universidad a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA).

•

Recuerde que usted dispone de 8 semanas en cada bimestre, utilice 6 para estudio autónomo, desarrollo de las autoevaluaciones y evaluación a distancia, y 2 semanas de repaso para la prueba presencial.

•

No dude en comunicarse con el profesor tutor si tiene dificultades en su autoaprendizaje. Encuentre el horario de tutorías y los datos de contacto en la hoja principal de sus evaluaciones a distancia.

•

La universidad ha implementado el campus virtual donde además de ingresar sus evaluaciones a distancia, usted encontrará asesoría para su materia, material en digital y la posibilidad de interactuar con el profesor y compañeros. Acceda a través de www.utpl.edu.ec.

•

Se ha incluido en esta guía la “planificación para el trabajo del alumno”, revísela, es importante para programar su estudio. Nota importante:

Por su participación en ciertas actividades del EVA en cada bimestre, usted podrá obtener un punto que complementará la nota obtenida en la evaluación a distancia; esto quiere decir que si obtiene en la misma menos de 6 puntos podrá incrementar su nota (hasta 6 puntos) por medio de la participación y los ejercicios que su tutor(a) le propondrá en el EVA.

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6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias PRIMER BIMESTRE


6.1. Competencias genéricas •

Adquirir hábitos y técnicas de estudio eficaces.

•

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

•

Capacidad de aplicar conocimientos en la práctica.

•

Capacidad de investigación.

•

Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.

•

Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua.

•

Capacidad para identificar, planear y resolver los problemas.

•

Capacidad de adaptación al cambio.

•

Capacidad para tomar decisiones.

•

Capacidad de trabajo en equipo.

•

Habilidades interpersonales.

•

Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes.

•

Habilidad para trabajar en forma autónoma.

•

Compromiso con la calidad.

•

Compromiso ético.

•

Motivación del logro.




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A O M V A I R T G A T O N N E I O R R O C

E J A Z I D N E R P A E D S E D A D I V I T C A

e a l s e u , . d n s o t s e o s s l a n s o 1 e é r c d a e u c i e i a e i a d s . d d o b s s e l s a c f í d c i p s a a á a . o s e o c i 0 t í a u l d d o d s e b e í t m á c l í d i t d e a d u i t n l o a u o n l a n a t u l g u p c e t e u g o o n á m p e u t t s r u d a l q e n e r t r i x s c o n u i o . t e t i u a e d p í e f s e g e i v s r l n d m p m s u e d s t i e n l l o e o . a r i a e s e a a o q A . a m a í d d e e p d m d i c c n m c c í c a o r s s A c V s y o 2 l í d n s u s l e o e V e o E o e o n m a s c o e l t a i s i o g a d E i t e j c t . e n e i l s t c l u d c n a l i r l s , n v a a e t e e n ó o n f e u i 1 r d o e e i e a o s r e a n d b t m s l a a r u n l u s g 4 . p d n c e c a a i n o n a e d p i q e á y o s n i s o l r a o y s d i e o e a u c n o g s n t d p 7 i ó a l . e e o d c n o i a d c e a á c , s 2 c a l y s a b d d c l s r ó a d u a l t i v a ú u s i e e i a a á e l u u r 2 l c o n o i c t g t i v e i c a ú c l u a a a p o v r l t c l d b r p e n t r e x t o t a a s c i n a e r d e r o i a c c c r c e s s s t e u s i t y d i r o e r c u i e l i o a á a c s e s u s c n t u á o s e c t a r n a v b a i v t t r e x d d t a e s b e a e p r i a a o v e l n e n e n n D e a i a y i L u R e e t O l t p d D e u s l d I r h P C e R e d

. . n n o ó o ó i i d i d i c c u u c c t t a s r s a e e e r e t t o o t i t i n n u u a e a e e d 7 e d s 8 s a d a d a a s r n a r n s a r o a a r o h h o o m h 4 m h 4 e e S 4 y S 4 y s o l u a e s t s e . e l o d p A d V s s m a E l a e n t o l o e i n c e c d e i y n a s l a e d i o e n c s r d e e n i s . d p t n a a o s i e s i o c d t . i a s d i n 2 c d v a m a i i o y r t e d e c j t n c s 1 e u s ó a o s a t s l o i e v s l a e c l e d l a s e s s e a s u a d u a i l a v a d p i s m e v e n e R e o t R u R e t

1

1

n o ó i d i c u c t a s 6 e r e t y o t n 5 u i , e a 4 a e d n s d a a s s a n a r m a r o e o h s r m h 4 o e S 4 y p

4 5 6 7 8 9 a s s s c e e o i o a t t n e n s á c s t i u o o l t r u o i n i l á o d c i c l a a r r s s s e a a a v d l s s u d a b e i o u r l Y u l n a e e a c e a c o c a r e l S u t a r a c e e a c o a m c i E c i n n v o n l t e s ó e s d i s r e s l s N S e u d i o á i e a t n s n a a a d d d a E r e l l i c O S r c v a c o c m o o I a n d c i i t a D l n n n r t i d ó t ó n c O m e n a ó á n z o C A e ó a e i a s l a á i i i f n r u o o o r D e T r r r A c i c c c I / c a p d c d a c F c D l n d o L u d u u m a l u a l s s s t N s U s s s ó l l a a i d A E e C e e e o u c o c o u o u e e e e c a S T d E n n n S c f U e c c S c d n n n s c l o : t . . o i o i o . o i o i o e u a N a 2 G i i u l I u 1 2 3 d d d c c c c c c . . . O i D S s a a a g a i a a a d o 3 3 o C n A E e u u u 3 . . . s r s u u u l t e b 1 1 U D D n c c c 1 . . . c c c a n o E E E 2 I 2 2 E E E u I D a i c . . . . . . i . N g . 2 a 1 4 . 2 . 3 . . 5 . 6 . s 1 . . U u 1 1 1 1 1 1 2 2 e . . . . . c . . . E 2 2 2 2 2 2 D 2 2 . . 1 2 . . 2 2

E D E S J E A R Z I O D D N A E C I R P D A N I

2

a r a p o d a y u c s e e d n a i o . o c s e d a d u o t c a é e d l m r a l e v u e l g o i s a s s e U e r d

3

1

2





s a l g e r e s l d a s a c o i . p l i s t p o a l s y r o s e l v a e l i o c n o s n i e r e r c a a e u f i c r a D e p

S A I S C A N C I E Í F T C E E P P M S O E C

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E C I D N Í


6.3. Sistema de evaluación de la asignatura (primero y segundo bimestre) Formas de evaluación

2. Heteroevaluación * n ó i c a u l a v e o t u A . 1

Competencia: criterio Comportamiento ético s cumplimiento, puntualidad, e d responsabilidad u t i t c esfuerzo e interés en los trabajos A

Evaluación a distancia **

o y a s n e e d e t r a P

a v i t e j b o e t r a P x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n ó i c a u l a v e o C . 3



x

x

s e contribución en el trabajo d a colaborativo y de equipo d i l i b presentación, orden y ortografía a h


x

x

emite juicios de valor argumentadamente s o t investigación (cita fuentes de n e i consulta) m i c o aporta con criterios y soluciones n o c análisis y profundidad en el desarrollo

x

x

x

x

x

x

x

x


x

x

de temas

Puntaje

a v i t e j b o a b e u r P

x

Creatividad e iniciativa

pORCENTAJE

Evaluación presencial A V E l e n e n ó i c c a r e t n I

respeto a las personas y a las normas de comunicación

Dominio del contenido


e e d j a a i z g i e t d n a e r r t s p E a

x

x

x

x

10% 20% 30%

2

4

TOTAL

6

o t n u a a * p l n * * ) 1 a t ó a i e c i o l c a m p u n i l a x m t á o a s v i c M ( e d

70%

14

20 puntos

l e n e y s s e e l a d i a c d i n v e i t s A c e r V A p E

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

*

Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje. ** Recuerde que la evaluación a distancia consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo centro universitario. *** Su tutor(a) le planteará una o más actividades en el EVA que serán calificadas por un punto en total. Este solo computará para complementar la nota del trabajo a distancia, es decir, si Ud. logra menos de seis puntos en el mismo podrá aumentar dicha nota (hasta completar los 6 puntos) con esas ac tividades en el EVA.

Señor estudiante: Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.

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6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias Estimado estudiante, antes de iniciar con el desarrollo del primer bimestre, es necesario que usted tenga en cuenta que temas como números reales y operaciones básicas con expresiones algebraicas, ya han sido estudiados por usted en el bachillerato, sin embargo se ha considerado necesario su revisión.



UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

Estimado estudiante, en este momento daremos inicio a la primera unidad, con la que usted recordará aquellos conocimientos que seguramente ya los estudió en el bachillerato, sin embargo, se ha considerado necesario realizar un repaso. Si tiene suficientes conocimientos referente a: números reales, operaciones básicas con polinomios, ecuaciones y desigualdades, desarrolle las autoevaluaciones y compruebe sus respuestas al final, si estas coinciden ¡Felicitaciones! , está en aptitud para el desarrollo de las evaluaciones a distancia y presenciales correspondientes al I bimestre.

El dominio de las matemáticas es fundamental para su desarrollo profesional, sin embargo este dominio se logrará cuando se aclaren los conceptos básicos de esta ciencia, por lo que iniciaremos con un breve repaso de algebra:



1.1. Números reales

Los números 1, 2, 3, 4,... se usan para contar y son los primeros que se aprenden en la primaria, a estos les llamamos: números naturales. Esta sucesión de números es infinita y se encuentra representada por la letra N, así:

Los números naturales junto al 0 y los enteros negativos, forman el conjunto de los números enteros, que está representado por la letra Z, de la siguiente manera:

RECUERDE: El conjunto de los números naturales es un subconjunto (o parte) de los números enteros.

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El conjunto de los números racionales, por su parte, consiste en números formados por todas las fracciones, con la restricción de que el denominador sea diferente de cero, algunos ejemplos son: etc. Se encuentra representado por la letra Q. RECUERDE: La división entre cero, no está definida en matemáticas.

Estos números racionales también pueden mostrarse de manera decimal; para lo cual su resultado debe ser que sus cifras decimales sean periódicas o exactas, así:




RECUERDE: Los números enteros son un subconjunto de los números racionales. SABE USTED ¿POR QUÉ?, porque todo entero tiene como denominador la unidad.

Ahora, ¿dónde quedan aquellos números fraccionarios que presentan decimales inexactos y noperiódicos?, a estos les corresponde el conjunto de números irracionales; ejemplos generales de este tipo de números son π y e, a este conjunto se lo representa con la letra Q’. Algunos ejemplos de este tipo de números son:

Revise el apartado 0.2 Algunas propiedades de los números reales de su texto básico en la página 3; además de una breve explicación de las propiedades encontrará ejemplos prácticos que más adelante nos serán de utilidad.

1.2. Exponentes Estimado estudiante la multiplicación de un número o símbolo por sí mismo, ya sea 2, 3, 4 o más, puede abreviarse, para ello simplemente utilizamos exponentes, tal cual como se lo detalla a continuación: ; donde a es la base y m el exponente

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E C I D N Í


Ejemplo 1:


Ejemplo 2:

RECUERDE: Algunos autores dicen que

no está definido. Sin embargo,


es una definición consistente y a menudo útil. O E D R N T S U E G M E I S B

1.3. Radicales Por el lado contrario a los exponentes, se encuentran los radicales, en los que podemos expresar a como cúbica

. Para este caso el valor de n nos indicará si trabajaremos con una raíz cuadrada , raíz cuadrática , etc.

, raíz

RECUERDE: En cualquier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero, y si el exponente contiene una raíz par, la base no puede ser negativa.

Las leyes básicas de los exponentes y radicales se encuentran en la página 10 de su texto básico. Revíselos antes de continuar.

1.4. Operaciones básicas con polinomios Los polinomios son el resultado de la combinación de números y símbolos, mediante una o más operaciones básicas, como: adición, sustracción, multiplicación, etc. Algunos ejemplos que podemos citar son: ü

ü

ü

Cuando el polinomio contiene un solo término se denomina monomio. Aquel que contiene exactamente dos términos se llama binomio y el que contiene tres términos se denomina trinomio:

16



E C I D N Í


Monomios:


ü

ü

ü


Binomios: ü


ü

ü

Trinomios:


ü ü

ü

RECUERDE: En general una expresión que contiene más de un término se denomina multinomio.

A continuación estudiaremos las operaciones que se pueden realizar con polinomios: 1.4.1. Adición y sustracción de polinomios Ejemplo 3:

Si queremos sumar

con

, podemos optar por el siguiente procedimiento: +

(1) Eliminamos signos de agrupación: (2) Ordenamos: (3) Reducimos términos semejantes:

= = =

17


E C I D N Í


RECUERDE: Los términos semejantes son aquellos que solo difieren por sus coeficientes numéricos. Ejemplo 4:

Si queremos a procedimiento:

restar

, será necesario seguir el siguiente

-



(1) Eliminamos signos de agrupación: O E D R N T S U E G M E I S B

(2) Ordenamos: (3) Reducimos términos semejantes:

RECUERDE: Al eliminar los signos de agrupación en la resta, el paréntesis se encuentra precedido por el signo (-), hará que todos los elementos que lo precedan cambie su signo.

1.4.2. Multiplicación de polinomios Si usted desea encontrar la solución de multiplicar siguiente:

, por

, el procedimiento sería el

Ejemplo 5:

(1) Usamos la propiedad distributiva: (2) Nuevamente aplicamos la propiedad ¶ distributiva: (3) Realizamos las operaciones indicadas:

(4) Ordenamos: (5) Reducimos términos semejantes: 1.4.3. Eliminación de símbolos de agrupación

18



E C I D N Í


Ejemplo 6:


Para simplificar la expresión citada, realizaremos el siguiente procedimiento:

(1) Eliminar signos de agrupación más internos, los paréntesis: E R R E T S M I E R M P I B

(2) Eliminar ahora los corchetes, desarrollando la operación requerida para cada caso:


(3) Reducimos los términos semejantes que se encuentran dentro de las llaves: (4) Eliminar ahora las llaves, desarrollando la multiplicación indicada:


Veamos más ejemplos: Ejemplo 7:


Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

19

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Ejemplo 10:



Más ejemplos resueltos paso a paso, de operaciones básicas con polinomios encontrará en su texto básico entre las páginas 14 y 19.

1.4.4. Factorización Si dos o más expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dicen que son fac tores de la expresión que se obtuvo como producto. El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se denomina factorización de la expresión, a continuación examinaremos ciertos métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1.4.4.1. Factor común Existe cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o más letras, o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para todos ellos.

Para su factorización tomamos el coeficiente numérico de menor valor (6 en este caso), porque se encuentra contenido en el resto de términos, y las letras a y b que son comunes en todo el polinomio, con lo que obtenemos lo siguiente:

RECUERDE: En factor común usted también puede agrupar uno o varios términos para optar por este tipo de factorización. Vea el Ejemplo 11.

Ejemplo 11:

Para su factorización, usted deberá agrupar los términos que contienen algún factor común, con la condición de que estos grupos deberán ser de igual número de términos, luego simplemente en cada grupo desarrollamos el procedimiento antes indicado, de esta manera:

20



E C I D N Í



Otra manera de agrupar podría ser:



Como puede observar, el resultado es el mismo.

¿El resultado es el mismo con ambos procedimientos?, ¿verdad que si? , entonces empecemos a desarrollar más ejercicios referentes al tema, encontrará varios enunciados para su aplicación en el texto básico, en el capítulo 0, página 21 y su resultado al final del texto. ¡Éxitos en su desarrollo!


1.4.4.2. Suma y diferencia de potencias iguales Es necesario que usted considere que dentro de los productos notables tenemos la diferencia de cuadrados, la misma que para ser factorada se la descompone en el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas. Ejemplo 12:

Un caso particular de analizar es la factorización de suma o diferencia de cubos, para lo que le aconsejamos tener presente siempre lo siguiente: ü

ü

Ejemplo 13:

¡Listo!, veamos ahora más casos de factoreo.

21


E C I D N Í


1.4.4.3. Factorización de trinomios y polinomios Los trinomios cuadrados perfectos, por ejemplo, están conformados por dos términos que son cuadrados perfectos y positivos, el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores. Ejemplo 14:


(1) Verificamos que tenga las características de un trinomio perfecto, es decir que posea dos términos que son cuadrados perfectos positivos y un tercer término que corresponde al doble producto de las raíces de los anteriores:


(2) Las raíces de los dos términos que son cuadrados per fectos positivos las elevamos al cuadrado, considerando el signo del término que corresponde al doble producto de estas raíces, de esta manera obtenemos el resultado: Pero existen trinomios que pueden ser factorados a pesar de no poseer estas características, pero para los cuales será necesario un procedimiento diferente, como por ejemplo trinomios cuyo resultado sean dos factores: Ejemplo 15: CASO 1:

(1) Encontramos dos factores del término constante 6, cuya suma sea el coeficiente de ; es decir, 5:


Estos dos términos pueden ser: -2 y -3

(2) Dividimos al primer término en dos grupos y le agregamos los términos encontrados en el paso anterior y obtenemos la respuesta: Ejemplo 16: CASO 2:

22


E C I D N Í


(1) Encontramos dos factores del producto una suma igual a 11:

y

Estos dos factores pueden ser 9 y 2


(2) Reemplazamos el segundo término por los dos factores encontrados:


(3) Factorizamos: (4) Extraemos a

como factor común:

¿El procedimiento le ha resultado complicado? veamos ahora otra manera de cómo resolver este tipo de trinomios.


Ejemplo 17: CASO 3:

(1)

Encontramos dos factores que al multiplicarse por sí Estos dos factores pueden ser para el mismo den el primer y tercer término: primer caso; y para el segundo, tal que:

(2)

La suma del resultado de multiplicar en cruz ambos factores debe ser igual al segundo término:

Al multiplicar en cruz los factores y sumar su resultado, tenemos:

corresponde al segundo término del trinomio.

23


E C I D N Í


(3)

El resultado se encontrará expresado por multiplicación de los factores encontrados, así:

la


1.4.4.4. Productos especiales Existen ciertos productos especiales que pueden obtenerse a partir de la propiedad distributiva y son útiles al multiplicar expresiones algebraicas, estos son: Productos especiales


(propiedad distributiva) 1.


2. 3. (cuadrado de un binomio)


4. (cuadrado de un binomio) 5. (producto de suma o diferencia) 6.


(cubo de un binomio) 7. (cubo de un binomio) 8. RECUERDE: Para solucionar un producto especial, únicamente se seguirán las 8 reglas. Ejemplo 18:

Aplicación de una de las reglas, para resolución de productos especiales:

¿Qué regla aplicamos? La regla 7.

La aplicación de estas reglas las puede encontrar en la página 17 de su texto básico, existen varios ejemplos desarrollados sobre el tema.

24

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1.5. Expresiones racionales


Una expresión racional es una combinación de variables y constantes que posee la forma:

Donde

y

son polinomios y

.

Dado que las variables incluidas en las expresiones algebraicas representan números reales, las propiedades de los números reales se aplican también a las expresiones algebraicas. A continuación se presenta la solución de las operaciones más comunes con este tipo de expresiones: 1.5.1. Simplificación de expresiones racionales Una expresión racional está simplificada cuando ha sido reducida a su mínima expresión, esto es cuando tanto el numerador como el denominador no tienen factores comunes distintos de 1 y -1.



Ejemplo 19:

Simplifique la siguiente expresión algebraica:


(1) Ordenamos los polinomios:

(2) Factorizamos por completo el numerador y denominador:

(3) Simplificamos los primeros términos comunes visibles, iniciamos con :

(4) Simplificamos otros términos comunes, en este caso consideramos el factor 2:

(5) Para finalizar podemos cambiar los signos con la finalidad de eliminar el signo negativo en el término del denominador:

25

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Revise cuidadosamente el llamado de atención que se encuentra en la página 23 de su texto básico; cancelaciones incorrectas como las que aquí se indican, pueden causar confusión en el desarrollo y aprendizaje de la materia.

1.5.2. Multiplicación y división de expresiones racionales


1.5.2.1. Multiplicación de expresiones racionales Para multiplicar expresionesalgebraicas, simplemente vamos a multiplicar numeradoresy denominadores entre sí, para facilitar la multiplicación se puede iniciar simplificando, si es posible, los factores comunes que se presenten. Ejemplo 20:


(1) Multiplicamos numeradores y denominadores entre sí:


(2) Simplificamos los términos comunes:

1.5.2.2. División de expresiones racionales 1.5.2.2.1. División de un multinomio entre un monomio Para resolver este tipo de ejercicios, bastará con dividir cada término del multinomio por el monomio. Ejemplo 21:

(1) Usamos la propiedad distributiva:

(2) Dividimos - simplificamos cada uno de los términos:

26

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1.5.2.2.2. División larga Una vez que usted ha comprendido el procedimiento para dividir un multinomio entre un monomio, se encontrará apto para de realizar divisiones entre polinomios o división larga, a continuación estudie el procedimiento para su resolución: RECUERDE: Para dividir un polinomio, el grado del divisor debe ser menor o igual que el del dividendo. Ejemplo 22:




(1) Ordenamos los dividendos en forma decreciente respecto de la misma variable, si el polinomio está incompleto es conveniente dejar un espacio en blanco:


(2) Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, y el resultado es el primer dividendo del cociente; luego multiplicamos este término por todo el divisor y el resultado lo restamos del dividendo (es necesario que cambie el signo):


(3) Repetimos el procedimiento anterior, pero en esta ocasión para el resultado que obtuvimos en el dividendo:

(4) Expresamos el resultado:

Otro ejemplo de división larga:

27

E C I D N Í


Ejemplo 23:




Respuesta: Los subtemas incluidos dentro del tema división de expresiones racionales, no se encuentran desarrollados en su texto básico, pero se ha considerado pertinente su inclusión. Resuelva las actividades recomendadas a continuación con el fin de practicar más sobre el tema.


ACTIVIDADes RECOMENDADAs


Desarrolle los ejercicios del 46 al 56 de la página 19 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 0.4. Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

28

E C I D N Í


Autoevaluación 1

Estimado estudiante escriba dentro del paréntesis una V o una F según considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantean. (Realice el procedimiento, en los casos que sea necesario). 1.

(

)

2.

(

)

El valor de la expresión

3.

(

)

El siguiente polinomio es completo:

4.

(

)

De

(

)

En la siguiente expresión entonces el valor de y será 2

6.

(

)

El siguiente polinomio es homogéneo :

(

)

8.

(

)

9.

(

)

10. (

)

, cuando

La expresión

,


,

restar

5.

7.


, , es igual a

, obtenemos ; cuando


,

;

;

;

,



se refiere a un polinomio ordenado.

; se trata de un polinomio descendente.

Trabajar con entusiasmo e ilusión favorece el aprendizaje, ¡adelante y éxitos en su tarea emprendida!

29

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UNIDAD 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES


2.1. Ecuaciones 2.1.1. Ecuaciones lineales Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por el signo igual, dichas expresiones pueden contener variables ya sea una o varias, y la resolución consiste en encontrar el valor de dichas variables. A las ecuaciones lineales también se las conoce como ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado uno ya que, como puede observar, la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera:

Ejemplo 24:


(2) Aplicamos la propiedad distributiva: (3) Simplificamos: (4) Multiplicamos y eliminamos paréntesis: (5) Reducimos términos semejantes:

a ambos lados:

(7) Por último dividimos entre


(1) Eliminamos las fracciones, para ello podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por un mínimo común múltiplo de los denominadores, para este caso :

(6) Restamos


a ambos lados:

30

E C I D N Í



Para continuar con el estudio de ecuaciones lea detenidamente la página 28 de su texto básico, los temas correspondientes a: “Ecuaciones equivalentes” y “Operaciones que pueden producir ecuaciones equivalentes”.

A continuación algunos ejemplos de ecuaciones lineales:


Ejemplo 25:


Ejemplo 26:


Ejemplo 27:

31

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Ejemplo 28:



2.1.2. Ecuaciones con literales Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras y, generalmente, se utilizan las primeras del alfabeto: mientras que para las incógnitas continuamos con las letras finales Ejemplo 29:

(1) Ordenamos los elementos de tal manera que nos permitan factorar favorablemente: (2) Aplicamos factor común:

32

E C I D N Í


(3) Despejamos en función de

:


(4) Finalmente simplificamos: Ejemplo 30:



Ejemplo 31:


Ejemplo 32:

33

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2.1.3. Ecuaciones cuadráticas


Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Donde

y

son números reales y

.

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas, escogerlo dependerá del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver, a continuación revisamos los más comunes: 2.1.3.1. Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización Resolver una ecuación cuadrática mediante factorización, consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios y luego buscar el valor de de cada binomio. Ejemplo 33:


(1) Buscamos dos números que multipliquen y den el valor de y que a la vez sumen y el valor sea igual a :

(2) Despejamos cada uno de los factores respecto a



:

Veamos otros ejemplos: Ejemplo 34:

2.1.3.2. Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Para resolver una ecuación cuadrática mediante éste método, la ecuación tiene que estar en su forma: 34

E C I D N Í


Donde


.

Ejemplo 35:

(1) Como debe ser , dividimos por la constante de decir por :


, es


(2) Pasamos la constante al lado opuesto:


(3) A cada lado sumamos la mitad del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado:


(4) Factorizamos, (como podrá observar factoramos el trinomio cuadrado perfecto): (5) Eliminamos el exponente con radicales:

(6) Evaluamos los posibles resultados:

2.1.3.3. Solución de ecuaciones cuadráticas con el uso de la fórmula cuadrática Para resolver, mediante este método, hay que sustituir los valores de a la siguiente fórmula:

,

y

de la ecuación cuadrática

35

E C I D N Í


Ejemplo 36:

(1) Considerando que , y remplazamos estos valores en la fórmula general:


;


(2) Resolvemos primero lo que se encuentra dentro del radical: (3) Evaluamos los posibles resultados:


2.1.4. Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Ejemplo 37:



(1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales: (2) Multiplicamos por (-1) ambos miembros de la ecuación para eliminar el signo negativo: (3) Elevamos al cuadrado los dos miembros:

(4) Se resuelve la ecuación obtenida:

Ejemplo 38:

36

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Ejemplo 39:



Ejemplo 40:

37

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2.1.5. Ecuaciones fraccionarias Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 41:




Ejemplo 42:


Ejemplo 43:

38

E C I D N Í





Ejemplo 44:



2.1.6. Ecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es:

Es importante considerar este argumento ya que lo usamos para resolver ecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 45:

Si

, entonces

ó y

39

E C I D N Í


Cuando hablamos de ecuaciones con valor absoluto, tenemos la forma:

Donde

y


es un número positivo.

Ejemplo 46: E R R E T S M I E R M P I B

(1) Dado que es la distancia entre la ecuación y el cero, calcularemos la ecuación tanto para 5 como para -5:

(a) (b)


(2) Resolvemos cada ecuación hasta encontrar el valor de , para (a):


(3) Para (b):


Ejemplo 47:

(1) Calculamos la ecuación tanto para 11 como para -11:

(a) (b)

(2) Resolvemos cada ecuación hasta encontrar el valor de , para (a):

(3) Para (b):

Ejemplo 48:

40

E C I D N Í




Ejemplo 49:


Ejemplo 50:


2.2. Desigualdades Una desigualdad es similar a una ecuación, en este caso las dos expresiones están separadas por un símbolo que indica cómo una expresión se relaciona con la otra. Puede mostrar una relación en la que una expresión es mayor o igual que la otra, o simplemente mayor o viceversa. 2.2.1. Introducción a los intervalos Al hablar de intervalos es importante distinguir dos grupos de ellos, los primeros están conformados por intervalos finitos y los segundos por intervalos infinitos.

41

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Los intervalos finitos pueden ser: abiertos, cerrados o semiabiertos: Intervalo

Abierto

Concepto


Gráfica

Ningún extremo está incluido en el intervalo.


Cerrado

Los extremos están incluidos en el intervalo.


Semiabierto


También se los conoce como semicerrados, solo se incluye a uno de sus extremos en el intervalo.


Semiabierto

Revisemos ahora la figura 1.12, 1.13 y 1.14, en las páginas 56 y 57 de su texto básico para conocer los diferentes tipos de intervalos que podemos encontrar. encontrar.

Ejemplo 51:

Intervalos abiertos:

42

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Ejemplo 52:


Intervalos cerrados:



Ejemplo 53:

Intervalos semiabiertos:


Ejemplo 54:

Resolución de una desigualdad:1

(1) Su resolución es muy similar a la de una ecuación, solo es necesario tener en cuenta las operaciones que generarán un cambio en el sentido de la desigualdad 1. Iniciamos agrupando los términos en función a su semejanza: 1

Una desigualdad generalmente cambia cambia de sentido cuando: (a) se multiplican sus dos miembros por por un mismo factor factor negativo y (b) se dividen sus dos miembros entre un mismo divisor negativo.

43

E C I D N Í


(2) Reducimos términos semejantes:


(3) Dividimos entre -3 a cada miembro (Nótese que cambió el sentido de la desigualdad):


La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por:

) -2


2.2.2. Desigualdades con valor absoluto La resolución de desigualdades con valor absoluto corresponde a las siguientes reglas básicas a aplicarse: Tipo de Solución desigualdad

1.


2. 3. 4.


o o

Es necesario el análisis de las reglas para las desigualdades que se encuentra en la página 54 y 55 de su texto básico.

Ejemplo 55:

En función a las reglas indicadas previamente, aplicaremos la número 3, entonces tenemos que:

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E C I D N Í




La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por: O E D R N T S U E G M E I S B

Ejemplo 56:


En función a las reglas indicadas previamente, aplicaremos la número 2, entonces tenemos que:


La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por:

45

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Ejemplo 57:




Ejemplo 58:



Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto resueltos paso a paso los encontrará desde la página 60 a la 65 de su texto básico.


Desarrolle los siguientes ejercicios: •

11, 13, 17 y 31 de la página 58 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.2.

•


Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

46

E C I D N Í


Autoevaluación 2

Utilizando las reglas incluidas en esta unidad para la resolución de desigualdades con valor absoluto, desarrolle los siguientes enunciados:



11.

12. O E D R N T S U E G M E I S B

13.


14.

15.


16.

17.

18.

19.

20. Ahora compruebe sus resultados al final de la guía, ahí encontrará el solucionario

47

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SEGUNDO BIMESTRE

6.3. Competencias genéricas •

Adquirir hábitos y técnicas de estudio eficaces.

•

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

•

Capacidad de aplicar conocimientos en la práctica.

•

Capacidad de investigación.

•

Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.

•

Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua.

•

Capacidad para identificar, planear y resolver los problemas.

•

Capacidad de adaptación al cambio.

•

Capacidad para tomar decisiones.

•

Capacidad de trabajo en equipo.

•

Habilidades interpersonales.

•

Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes.

•

Habilidad para trabajar en forma autónoma.

•

Compromiso con la calidad.

•

Compromiso ético.

•

Motivación del logro.




48

E C I D N Í


A O M I A V R T G A T O N N E I O R R O C


2 4 r y y o 1 o p n s e i d ó J a d u e i . n s t d c a c n a a s a s e r a m r r e m t a e o o S h u o t n e 4 a h i s . a c i a t l c e á d d s i o d a d i í n u g e t e n t o n c e s s o e r l e p a u l q e i t d c a 3 r p d a y d a i e n L u

o m o c s a e c n s i o e t c o i d d c a a á d a i d c l l i l l d a t p a a e a u g í u d e i s d e g . o s n d u e ó y s o c c i i s s n o e á r c e u p l n s b o o l o o d i e s t r c e e t x a a e v a n u t r l c e l e s e s a e b r a e e r n O p d p e

u s e d 3 n ó i c a u l a v e o t u . a a c a i l t c e l l á d o i r r d a a s í e u D g

. A V E l e n e e ú t c a r e t n I

1

1

2

3 4

a h s e o t l n e e d c o o d n l u e a e d u a q c s . e o A s i i V v c n E e r u l e y n a e y n u s e g o r o d a s r i c u l s u c e c e n D r i

. l a u t r i v a í r o t u t a l e d e p i c i t r a P

e d s s o c a i c f í i t c á e m p s e t e s s e a n m o e i c t a a b r a . a r p d g s a s a i d a d n l a r u e s o a i b v a d e l a R e c

5 6


a d n u g e s a l e d . o i a l l c o r r n a t a s s i e d d a l e n n ó o i c c a e l u i c a i n v I e



7

s e n Y o i S c E s a N a e u n c n O I o s E u i C c e a r r a d A s e a a v U e l u d p s C S l n o c e a a E n E s o S i e u E D ó c e i r d O m g a a i e D A c s D a n u r I T / N D c e c a ó i N s Ó L i l e d p c E e I A p e e a s T d C U a c d d o i N a A G e l s I s n a p n O d i C S d e ó ó a i i P C n I d L E s . c a c U P D o a 1 a s d . c c A a l l i . l : c a i 1 3 p s u p 1 . o i A g A 3 D n . . s A 2 u e 1 . . D g D 1 1 I l . . N A y 3 3 U . 1 . 3

o n m u l a l e d o j a b a r t l e a r a p n ó i c a c i f i n a l P . 4 . 6




l a s y n é s s o v i a a o s r i m u s e t y . c i e a f a s s c l o r b s r e e e o o p s s o n d j r c o o a e d n l i d t i c l e á e p a i ó n c d a a v a l s u u o e e i a o m c i g r c m m e u t e a s p l a e s e e x e r n o e m R e r f d d

s e n o i c a l a s z o i e t S n s r n A a u e S g S r c E r A o e I S R : m a s s A P c C S i a o t l l N C A í I M r E Í F E R r e T C E E c d a r n E E L a o P P D E a r i n T i e i t M S N O c s e O E Ó I H m n g a C a a C Y x n r A S e . y n fi a s R ó y p o T A r i a S s C e a r I I c c e a l T fi c i N b i I Í c S i m t r a t t í s n M R n o n r e f o a D U d n n c u t fi A T I i

: S A a n Z l e a N a s r l A s a y o t s N p , o I s a o F n r o i d c u c ó i Y i e c s g m e d r A r ó ó e s l n C v e i s o N i i n d l t o A á n c e e n B n e s i d ó a t N s i m o y t E e s e a c s s e g N d a n p e a c y a . Ó e s d fi s I d l i p a n á C v t n e A i o r l e ó t : l n e e d g i R c e s , a A r e c s i a Í T r a n a o r m o t l ó s S M l a a r i e e o I c i i c r d O o l N r a I c r fi t a p e i c N a c r l d n M n a n i u e O s l s o D l a n a n C e p t n e r m A P fi fi E D a i

. n ó i c a z i n a g r o

49

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4 4 r y y o 3 o p n s e i d ó a d u e i n s t d c a c n a a s e s a r a m r a o o t r e m e S h u o t n e 4 a h i s


. a a a c e i c h i t d a t c l c , s e s s á o t e á o t l n o i e s o d l d d x u c í e a e i d i s p d s s c s d e c f e í d t i a . o e s , e o a t a c m l í o d u d d a á e e u e a d i í s j n l u u a o n u m p e g u e t l s g e l d . q m e r e i e e e u o i t e d t e a o t s . v v s s r d s i n t 3 d u c l o a i r i a t a a o n y a e q n . o s a í c l d c c c e p r n s e l á s . A m a a 2 . o i s s e n o V e o A e o b m c s t o r t s i o e d a E o r l i t c r t o j e l a c . u a l V l l s n a v a a t p t r u e r e a n n e e n e i E s a x t b d u a a t a l ó n r u l í s p é i e l e . a n t o i c q e p d s l y n e e r p d o a i l o e l n b a e e a n d g s a c n t d a c e a c e e d u e s a i d e ó l r m l l ú u y l a i a e t a d n ú s n a r 4 e . e a t l t g o c o a e t p n o r c v r i p d e o v r n d n a u r e s r e i a i a a e c o a u o r u i i o s i s u c e e t y d i r c a l o u l t v s s s v b a a i d n e m s c m t e s c r a e c o e a l e n e á b r o e n o u t a n D e n P R e c C v L u R b O p c D e c a I r i e 1

2

3

4

5 6

7 8



9

s s s e a e o t l e r t s a u n a s t e l í . . e p o n l S l a n s n r s o c n . e A y ó ó u z i o o i s i i s C n d s p b r t c i a r c I a c e ó s y o n r e n F n n i t s a h v s a u o s a c u Á i u n l c f f e a f i s s d n s l a R s i a a t e e e u s e a a v s r n á s G t i s a f n n n i e d t s l r c f n e n u n a b o o c a S a Y a u s a e i n o e o v c i e n s i e e n s e p c c S c i c d c i O m ó r l e u i e t e s a a s d s m a e E a l l s s s s d e n s i D c a á n e I T s s o / N d r e e e e n l o o d i o e s a o a a a n n i N s O a i r r d i o s n n n n g i n o í u s c e l r c e a E e I n n o o o o n i o a i o p t a T i i i i n e a . T . i T d C e n u o c t a a g r e l c c c c c o r 1 2 l c p r d c e s m N a N d n p n m m a . . s s s s i n n n n e y c o r e 6 6 o d a i r . . e e e e n u u u u O i U o u C S T t r R O f F F F F o D C n F n e i . 1 . n n n n f u s o . . . . . . 1 . . . . : e d a n 3 3 o o o o c U 4 4 i s . . i i i i s c 1 i 1 . 2 . 3 . . 5 . 6 . 4 . 2 . 3 . 4 . i d 4 c c c c e 1 a f 6 s m 1 . 1 . 1 . . 1 . 1 . . 6 . 6 . 6 . D d r n e n n n n á e 3 o 3 A a . 3 . 3 . . 3 . 3 . . 3 . 3 . 3 . e n u u u u t r 3 n o 4 4 4 F F F F O g 4 4 4 4 i o D 4 4 4 D I m s P i c . . . . . . . a c 1 N e 2 t 1 . a . 3 . 4 . 5 . 6 . t u n . U i s c 1 3 . c u 3 . . 3 . 3 . 3 . 3 . e S r 4 E F 4 4 4 4 4 4 . . . 1 2 . . 3 . 4 4 4


e s d u s s a o c p fi i t a s r o g l y a s i c e n n o e r i e c f i n u D f



. s o d a t l u s e r

: S A S S E A I S R A P C N C I M E Í F E T C E E E P P D M S N O E Ó I s o C C l A e y R d s T o o c S I m i t r í N I a s d c M i l a D p t s A A e

e o t d n a e i m m o i t c a e l r c a r e a d p s s a o i t a o g e t l d a e e m r o t d n o c s e e t í s n s . a e l o i d , a c e s i i o r e l t a á m n l a o s s o r e m e i r s a r e p t c i c s o a r e e m m p d d e

s a m e l b o r p s : a e l A d e Í R n d O ó i n T c ó I u i D s l r o U s e A v a i n l Y e . D s n o e d s e A l n e s D o y I d o s i c L i c I o t o a B m á r e i z i A a m T z e c n n i t a a N l i O t a n g r fi o C U m

: A s C I a l L a e B l Ú e d P t a r e N n e i Ó I m c n T a c a S i n . t fi E í G r c y s a c N r e i l E a l b b n N i a t ú p Ó I m a n s C x o A e c e n R y n i ó o T r i c S a I a c c a i z fi N I i m t r n M n o a e f g D d n r o A I i

50

E C I D N Í




4 r 6 y o y o p 5 e i n d ó . s d u e i a s t c . n a s d c a n a r e s a r a a o o m h t r e m e u o t n e S 4 a h i s

4 y 7 . o n a i n e d ó a d u e i c t m s s d c e a a r e s r a S o o r t t h u o e n 4 a h i

4 y 8 o n a i n e d ó a d u e i c t m s s d c e a a r e s r a S o o r t t h u o e n 4 a h i

a a c e i . h t d o a c l , s e c s s i o t e s o á l n a e s o d i d á l c í e a e d i n s s f b p d c s c e d o . i ó . s a o t í i a c m l o , e í o t c á d d e e a e a d i u n l x j a u u m a n m p e g e e u t u s l t q d . e e r i e e e u o s t i t t a e a v u v s d s n v u i d s c l o a t s i a e a o a e q n . o s í c d e l c c p r n e á s . a A m a a d l s o o e o V o b e d m c s o i t s i A t o E o r . n i c r t o j e l a c l u a l n t e r a a a u n V n l e . u r E t b e v s a x e a t n g u a t a l ó n r u d í e . s l e i a é p t l i c e y n e e r p d e q a p d s l o s i a d a l o n b a s a a t i d g c e d e l e e c n l e a y n a d l . u e s r m i u l l a a u e e a t a a ú a d n e i s o e l r t n g a e o t v t p c n o r c n r i p a e v r n d U i r e o r e o e a a s e n c i r i o s s i y t e r a c i u a u t n v s s m s c m o m a l b d l t s u e v t r a i e c t c s a a u i e u e b r o e n o u n e e n a e l L q R O p c D e c a I D r i P R e c C d

u s e t e . e l d p A V s m E e t o l e c n e y n i a e d i n c s e n e d p a a t s i s a d i d v m a i t e t n c s ó a s o i l a c l a e s l u s i a v a d e v o R e t

1

1

s e d a d s i o n l u a s s a o l d e a d n s o i o c d i a l n e e r t s n o s o i o c c d i s c a r i o l e d j e s 5 e u t a y a s v e p 4 l e , e s R 3 u a s m e 1 R e t

2 3

S E L A E N I L S E N e I d s O S a C A s a O m U m e D T I / C e t N s E s E e E i s S T d D e l N a S s a o l d e O i A n C n M a i L n U E s T ó S i c e I c S u n o : i 5 d c o a D r t u c A I n E D I . N 1 . U 5 E D E S J E A R Z I O D D N A E C I R P D A N I

4

5 6

7 8

9




s e : n s e o l i c a . a e n n u l i a c d e s r e e o n J d o s i a c s u m a a e u t c a G s i e c s e i o n d n d ú o u s t n é e a ó d m i M s e c : u n e t s l ó n i o S o s i c i a . c 1 c u i . l 2 l o . p S 5 a . . 2 3 . . 5 5


n e s e u l s e a e e d i n d s l n a s ó i m e n c e a . t o a s i i c r r s a m e o a f r r s u c a a U e l c

S A I S C A N C I E Í F T C E E P P M S O E C

51

E C I D N Í


6.5. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias Estimado estudiante, antes de iniciar con el desarrollo del segundo bimestre, es necesario que usted tenga en cuenta que una vez analizados los diferentes tipos de ecuaciones y desigualdades, lo importante ahora es que usted aprenda a aplicar este tema en casos particulares a su desar rollo profesional, por ello es necesario que practique conforme avance con su estudio, repita varias veces los ejercicios planteados y compruebe su procedimiento.

UNIDAD 3. APLICACIÓN DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES




Estimado estudiante daremos inicio ahora al segundo bimestre, para lo cual se han programado tres unidades. Es importante que realice repasos continuos conforme avancemos con el estudio, esto garantizará su aprendizaje. ¿Está listo?, muy bien, entonces iniciemos con algunas aplicaciones de la última unidad que vimos en el primer bimestre.


3.1. Algunos casos de aplicación para ecuaciones y desigualdades Diferentes son las situaciones en las que usted podrá aplicar tanto ecuaciones como desigualdades. Su utilización le permitirá resolver problemas prácticos, para lo cual será necesario que usted traduzca estas situaciones y/o problemas a símbolos matemáticos.

A lo largo de la lectura de su texto básico notará que varias aplicaciones de matemáticas se desarrollan para algunos de los temas analizados, por ejemplo en la página 47 a 50 encontrará algunas aplicaciones de ecuaciones, mientras que en las páginas 58 a 60 de desigualdades.

Analizaremos a continuación solo algunos casos de estos, referentes a su formación profesional. Iniciaremos con la aplicación de ecuaciones: 3.1.1. Aplicación de ecuaciones Seguramente recordará aquellos problemas en los que mediante la utilización de ecuaciones se pedía encontrar las edades particulares de ciertas personas, veamos uno de estos ejemplos antes de iniciar con las aplicaciones relacionadas a su formación profesional. Ejemplo 59:

Jorge tiene 6 años más que Claudia, hace 12 años la edad de Claudia era ½ de la edad actual de Jorge. ¿Cuántos años tiene cada uno? En base a los datos iniciales tenemos:

52


E C I D N Í


Corresponde a la edad actual de Claudia.


Corresponde a la edad actual de Jorge. Corresponde a la edad que tenía Claudia hace 12 años. Entonces, tomando como referencia la explicación del problema, podemos plantear la ecuación de la siguiente manera:



E inferir en los resultados: Edad actual de Claudia. Edad actual de Jorge.


Edad que tenía Claudia hace 12 años. 3.1.1.1. Pasos para resolver una aplicación de ecuaciones Como no es posible contar con un procedimiento general para la resolución de problemas mediante la aplicación de ecuaciones, a continuación se resumen seis pasos básicos para la resolución de este tipo de ejercicios: 1.

Lea y analice el problema planteado cuidadosamente y cuantas veces sea necesario con el fin de lograr comprender el objeto de análisis.

2.

Identifique la o las incógnitas, es decir el valor desconocido. Además separe y anote los datos, variables y cantidades conocidas planteadas en el problema y determine la relación de estas con la incógnita.

3.

Represente la incógnita mediante variables, para ello generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario: , , ; pero en función a su conveniencia puede representarlo con letras que impliquen el significado de la variable, por ejemplo: p=precio, q= cantidad, t=tiempo, etc.

4.

Escriba una ecuación que refleje exactamente las condiciones del problema, para ello puede utilizar técnicas que faciliten su planteamiento como por ejemplo preguntarse: ¿A qué es igual el precio? O simplemente enunciados que revelen un concepto, como: la utilidad total es igual a los ingresos totales menos los costos totales.

53

E C I D N Í


5.

Desarrolle las operaciones indicadas en la ecuación, para ello tome como referencia los contenidos analizados en la unidad 2 de esta guía didáctica.

6.

Finalmente es recomendable que verifique la solución final, esta debe corresponder también a la realidad que intenta resolver, por ejemplo: si analizamos una ecuación sobre la variable”tiempo” la respuesta jamás podrá corresponder a un valor negativo.

Ejemplo 60:

Ventas.- Por temporada cierto almacén liquida su mercadería con un 40% de descuento para todos sus productos. Si el precio de uno de sus artículos es de 86 dólares, ¿cuál era su precio antes de la liquidación? Al leer el problema claramente podemos identificar que la variable incógnita es el precio del artículo antes de la liquidación, para representarlo vamos a utilizar la variable ; otros datos generados en el problema indican que existe un descuento del 40% y que el precio actual es de 86 dólares; traducimos estos datos matemáticamente: Precio inicial – Descuento = Precio actual




Resolvemos la ecuación:


Es decir, el precio inicial del artículo era de 143,33 dólares, el cual luego de liquidarlo con una rebaja del 40%, se vende actualmente en 86 dólares: dólares Ejemplo 61:

Inversión.- Un inversionista coloca 25000 dólares en dos partes. Una parte la coloca en una institución A, con una ganancia del 9%, y el resto en una institución B, con una ganancia del 15%. ¿Cuánto debe invertir en cada institución para obtener una ganancia de 3500 dólares después de un año? Es claro que la pregunta a resolver equivale a decidir cómo debe el inversionista colocar su dinero en las instituciones de modo tal que al final del año se genere 3500 dólares. Para representar a la incógnita supondremos que al valor a invertir en la institución A se la denotará con la variable x, y la diferencia, es decir, corresponderá a la inversión a realizar en la institución B. Una vez identificadas las variables para cada institución será necesario incluir la ganancia que cada una generará, es decir:2 2 Igual que en el caso anterior, tome en cuenta que es necesario dividir los porcentajes por 100.

54

E C I D N Í


Institución A: Institución B: Si sabemos que la suma de las ganancias de ambas instituciones al final debe ser 3500 dólares, la ecuación será:





Como representa la cantidad de dinero invertida en la institución A, quiere decir que se invertirá 4166,67 dólares mientras que en la institución B, se invertirá un total de 20833,33 dólares. Al comprobar estos datos tenemos que:

Ejemplo 62:

Inversiones.- Un persona desea invertir $100000 y desea recibir un ingreso anual de $10000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 5% o con mayor riesgo al 9% con bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $8000? Traducimos el problema a símbolos matemáticos, planteamos primero la ecuación para bonos del gobierno, asumimos que es la cantidad invertida. 3

3

¿Por qué dividimos a 5 y 9 para 100? Lo hacemos porque, como recordará, estos valores dados en el ejercicio son porcentajes.

55


E C I D N Í


Planteamos la segunda ecuación para bonos hipotecarios:

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser anteriores y las igualamos a este valor.

, unificamos las ecuaciones





Esta persona deberá invertir hipotecarios para obtener

en bonos del gobierno y y minimizar sus riesgos.

en bonos

Ahora es importante reflexionar sobre los valores obtenidos, ¿debe distribuirse de esa manera las inversiones? Resolveremos esta interrogante con una breve y simple comprobación:

Ejemplo 63:

Precios.- Un comerciante sabe que si cobra p dólares por docena de huevos, el número de huevos vendidos por semana será de total será

millones de docenas, donde

. Entonces su ingreso semanal

millones de dólares. El costo para la industria de producir

docenas de huevos por semana está dado por

millones de

millones de dólares. ¿A qué precio

debe vender los huevos este comerciante para obtener una utilidad de

millones?

56



E C I D N Í


El problema ya nos ha indicado las ecuaciones tanto para el ingreso como para los costos; recordará usted que la utilidad o beneficio 4 es lo que nos queda luego de haber restado los costos a los ingresos, para lo que plantearemos la siguiente ecuación:



Recuerde que el comerciante desea saber el precio al que deberá vender los huevos para obtener una utilidad de $0,25 millones, entonces reemplacemos este valor en la ecuación:

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación utilizando la fórmula cuadrática.



ó

4

Esta ecuación es básica en el estudio y aplicación de su formación profesional, donde UT representa la utilidad total, la misma que se encuentra al restar el ingreso total (IT) del costo total (CT). Tenga presente que el ingreso total (IT) , es el que se obtiene por cada unidad vendida y se expresa en términos monetarios al igual que la utilidad y el costo, para calcularlo simplemente se multiplica la cantidad vendida (q) y el precio (p) , así: IT=pq. Por el lado contrario, el costo total (CT), es aquel costo en el que se incurre para la venta de un producto, existen dos costos que deben ser sumados: el costo fijo (CF) y el costo variable (CV ); el primero, como su nombre lo indica, es fijo y por lo tanto permanece constante, el segundo varía en función a la cantidad de productos que se venden, quedando la fórmula así: CT=CF+CVq.

57

E C I D N Í


Para interpretar los resultados, partimos de las condiciones iniciales, en que p=2+ ; con lo que, cuando =1 , tenemos que p=1 , mientras que cuando =0,5, p=1,5 . Esto nos permite concluir que el comerciante tiene dos opciones; la primera es cobrar $1 por docena, y vender 1 millón de docenas, o en la segunda que cobrará 1,50 por docena, y venderá 0,5 millones de docenas; cualquiera que fuese la decisión del comerciante en ambos casos el obtendrá una utilidad de $0,25 millones por semana.


3.1.2. Aplicación de desigualdades Al igual que las ecuaciones las desigualdades nos permiten solucionar problemas y/o situaciones, utilizando símbolos matemáticos solo que, en este caso y partiendo del concepto de desigualdad, los planteamientos se elaborarán en torno a condiciones diferentes entre los elementos, es decir establecen que uno es menor a otro o viceversa. Se han planteado el siguiente ejemplo con la finalidad de una mejor comprensión del tema: Ejemplo 64:

Utilidades.- Una compañía que fabrica televisores, gasta en mano de obra y materiales televisor. Los costos fijos por otro lado son de . El precio de venta al público es de televisor, ¿cuántos televisores deberá vender para que la compañía obtenga utilidades?

por por

Un ejemplo anterior referente a aplicación de ecuaciones, ya nos permitió conocer cómo está compuesta la utilidad y/o beneficio en una empresa.

donde:

Ahora plantee la desigualdad considerando que la restricción se refiere a que la compañía obtenga utilidades, es decir .

Resolvemos la desigualdad

58




E C I D N Í


Con el resultado concluimos que la compañía deberá vender al menos 251 televisores para obtener utilidad.

Es momento de trabajar compruebe el resultado, reemplace demuestre que a esa cantidad .

, en la ecuación original y

Ejemplo 65:

Utilidades.- Para una compañía que fabrica calefones, el costo combinado de mano de obra y material es de 42 dólares por calefón. Los costos fijos son 140000 dólares. Si el precio de venta de cada calefón es de 70 dólares, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades? Es necesario reflexionar sobre el hecho de que una compañía generará utilidades cuando al restar a sus ingresos los costos, el valor de la utilidad sea mayor a cero, es decir, Entonces dado que




la desigualdad será: O I R A N O I C U L O S


Deben venderse al menos 5001 calefones, para que la compañía obtenga utilidades. Ejemplo 66:

Ingreso.- Suponga que los consumidores comprarán unidades de un producto al precio de dólares por cada una. ¿Cuál es el número mínimo que deben venderse para que el ingreso por ventas sea mayor que $5000? Con los conceptos que previamente habíamos revisado para resolver el ejercicio de utilidad, sabemos que el ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad . Partiendo del concepto y considerando los datos proporcionados en el problema, planteamos:

59

E C I D N Í


Dado que el precio es igual a


, obtenemos:

El ejemplo nos da la restricción de que el valor del ingreso debe ser mayor a 5000 dólares, con lo que finalmente la desigualdad quedaría así:



Por lo tanto deberán venderse mínimo 4901 unidades para obtener un ingreso mayor a 5000 dólares.


Desarrolle los siguientes problemas de aplicación: •


•

1, 5 y 7 de las páginas 60 - 61 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.3.

Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

60


E C I D N Í


Autoevaluación 3

Desarrolle las aplicaciones siguientes, considere que pueden corresponder tanto a desigualdades como a ecuaciones: 1.

Una persona presta $6000 en dos partes; la primera al 12% y la segunda al 15% en el mismo tiempo. Si en total recibió $825 de intereses, ¿cuánto recibió de intereses por cada parte?

2.

Una persona tiene en total $3000 en dos cuentas de ahorro diferentes que le producen respectivamente, el 18% y 21%. Si en un año recibe $594 por intereses, ¿qué cantidad de dinero tiene invertido en cada cuenta?

3.

Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $22 por unidad. Si los costos fijos son $95000 y se vende cada unidad en $30, ¿cuántas unidades deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $50000?

4.

A un concierto asistieron 600 personas. Los boletos para sillas tuvieron un valor de $5 por persona y los de graderías en cambio costaron $2. Al final la recaudación por entradas ascendió a $2400. ¿Cuántas personas asistieron a las graderías?

5.

La compañía IRC fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo es de $80000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $60000.

6.

Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son de $120000 al mes y el alimento se vende a $134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?

7.

Una persona desea invertir $20000 en dos empresas de modo que el ingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga el 6% anual; la otra que tiene mayor riesgo paga 7½% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada empresa?

8.

Para una compañía que fabrica microondas, el costo de mano de obra y materia prima es de $21 por microondas. Los costos fijos son $70000. Si el precio de venta de cada microonda es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

9.

La compañía ABC fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

61





E C I D N Í


UNIDAD 4. FUNCIONES Y GRÁFICAS


4.1. Sistema de coordenadas cartesianas y líneas rectas 4.1.1. Pendiente de una recta Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. La pendiente está definida como el cambio o diferencia en el eje dividido por el respectivo cambio en el eje , entre 2 puntos de la recta:

Dados dos puntos calcula como

y , la diferencia en es , mientras que el cambio en se . Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Al desarrollar los ejercicios, usted se encontrará con diferentes pendientes, veamos algunos de estos casos, al menos los más comunes:

Pendiente positiva

Pendiente negativa

Cuando la recta es creciente, es decir cuando al aumentar los valores de aumentan los de su pendiente es positiva, en la expresión analítica ..

Cuando la recta es decreciente, es decir, cuando al aumentar los valores de , disminuyen los de , su pendiente es negativa, en la expresión analítica ...




62

E C I D N Í



En su texto básico en la página 117, revise las figuras: 3.1, 3.2 y 3.3; le mostrarán algunas gráficas referente al tema de pendiente de una recta. ¿Los revisó?, ¿ha comprendido el tema?, compruébelo desarrollando la actividad recomendada a continuación.


ACTIVIDADES RECOMENDADAS

1.

2.

Revise la figura 3.4 de la página 118 de su texto básico, notará que en ella se encuentra representada una recta precio–cantidad. ¿Qué puede decir usted al respecto? Analice los cambios que se encuentran presentados en los puntos de la recta, considerando la razón de cambio de con respecto a . De la página 123 de su texto básico desarrolle los ejercicios 41, 43, 45 y 47, con el que usted podrá graficar las rectas y determinar si estas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

4.2. Ecuaciones de rectas La ecuación de una recta se encuentra dada por la forma

Donde, el valor de corresponde a la pendiente de la recta y es el coeficiente de posición. La pendiente5 permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Existen diferentes formas de ecuaciones para rectas, aquí algunos ejemplos: Forma punto–pendiente:

Forma pendiente 5 intersección:

Forma lineal general:

Recta vertical: Recta horizontal:

Si revisa su texto básico, en las páginas 118 a 122, encontrará ejemplos desarrollados paso a paso para cada una de las formas de ecuaciones para rectas.

63



E C I D N Í


4.3. Funciones Una función expresa la idea de que una cantidad depende de otra o de que está determinada por otra. Está compuesta por números de entrada (dominio) y números de salida (rango), considerando que a cada entrada siempre le corresponderá un único número de salida.



Revise la página 100 de su texto básico, la cual inicia con la definición de la Prueba de la recta vertical, ponga especial énfasis en las figuras aquí presentadas, elabore sus propias gráficas de modo tal que logre practicar este concepto.

Actividades recomendadas:

Una vez revisado el texto, observe detenidamente las siguientes gráficas e indique si representan o no una función:


Revise nuevamente su texto básico en la página 100, verifique las respuestas repasando una vez más los conceptos y los ejemplos en esta sección planteados. 4.3.1. Dominio y rango de una función

4.3.1.1. Dominio de una función El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Ejemplo 67:

Si tenemos:

podrá tomar cualquier valor, es decir el dominio consistirá en todos los números reales. 64


E C I D N Í


Ejemplo 68:

Por otro lado, si tenemos:

En este caso, el dominio de la función corresponderá a aquellos valores que den como resultado de la función a un número real. Es así que, si por ejemplo, asignamos un valor negativo, estaremos intentando resolver una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; por lo tanto para encontrar el dominio de funciones con radicales optaremos así:

Por lo tanto, el dominio de la función consistirá en todos los números reales, mayores o iguales que cero. Ejemplo 69:

El tercer caso a analizar corresponde a las funciones fraccionarias, para lo cual bastará con tener presente que una fracción jamás deberá tener por denominador al cero, ya que de ser así la expresión sería indeterminada.

Al igualar el denominador a cero, tenemos:





Por lo tanto, el dominio de la función consistirá en todos los números reales excepto el 4.3.1.2. Rango de una función El rango de una función se encuentra determinado por todos los valores de salida. Corresponden a la variable dependiente. Ejemplo 70:

Como , se encuentra elevado al cuadrado, independiente del valor que se le asigne sea este positivo o negativo, los valores de salida o resultados de la función siempre serán positivos; por lo tanto, el rango de esta función estará conformado por el cero y todos los números positivos.

65

E C I D N Í


4.3.2. Algebra de funciones


4.3.2.1. Operaciones básicas de funciones Sean

y

dos funciones, definimos: Suma:


Diferencia: Producto:

Cociente:

El dominio de dominio de

,


; para

,y

es la intersección del dominio de

es la intersección del dominio de

con el dominio de

con el dominio de

. El

sin los números para los que

. Ejemplo 71:

Considere las funciones

y

siguientes:5


La suma, diferencia, producto y cociente de estas funciones serían: Suma: Diferencia: Producto:

Cociente:

Pero las gráficas: ¿qué forma tienen? , vamos inténtelo, tome papel y lápiz y empiece a trazar los puntos de las funciones, ¿lo realizó? , ¡perfecto! , entonces verifiquemos su trabajo, las gráficas se encuentran trazadas a continuación: 5


Fernández, J. C. VITUTOR, Tipo de Funciones, [en línea]. Disponible en: http://www.vitutor.com/fun/2/c_8.html. [Consulta 09-06-2009]

66

E C I D N Í


Suma

Resta



Producto

Cociente



4.3.2.2. Composición de funciones

RECUERDE: La combinación de funciones nos lleva también a funciones compuestas.

Los valores de deberán estar en el dominio de estar en el dominio de para .

para

, y que los valores de

deberán

Ejemplo 72:

Considerando las funciones

y

del ejemplo anterior:

67

E C I D N Í


Tenemos:




En cambio para:



Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras, las funciones también pueden ser combinadas para formar nuevas funciones. Más sobre estos temas, puede revisar en las páginas 86-89, de su texto básico.

4.3.2.3. Simetría6 Quizá intentó revisar este tema en su texto básico en el que, lastimosamente, no ha sido incluido, sin embargo, por su importancia se ha incorporado en esta sección, así como también al tema de Traslaciones.

6

Fernández, J. C. VITUTOR, Simetría de una función; [en línea]. Disponible en: http://www.vitutor.com/fun/5/c_3.html. [Consulta 09-06-2009]

68

E C I D N Í



Simetría con respecto al eje

Una función

Simetría con re

Simetría con respecto al origen

es simétrica respecto del eje de ordenadas si esta es una función par, es decir:



Ejemplo 73:



En cambio, una función

es simétrica respecto al origen si esta es una función impar, es decir:

Ejemplo 74:

69

E C I D N Í


4.3.2.4. Traslaciones Las traslaciones pueden ser horizontales o verticales, e inclusive una combinación de ambos, veamos algunos ejemplos para comprender el tema. 4.3.2.4.1. Traslaciones horizontales Dada una función función al sustituir

por

, cuando hablamos de traslaciones, estudiaremos cómo varía la gráfica de la y es un número entero.

Ejemplo 75:



Si partimos de la función: O E D R N T S U E G M E I S B O I R A N O I C U L O S

Efectos de aplicar traslaciones:


4.3.2.4.2. Traslaciones verticales Dada una función , en el caso de traslaciones verticales, en cambio estudiaremos también cómo varía la función pero sumando una constante a la función .

70

E C I D N Í


Ejemplo 76:


Si partimos de la misma función del ejemplo anterior:



Efectos de aplicar traslaciones:



4.3.3. Funciones lineales El uso de funciones lineales dentro de las carreras del área administrativa, así como la aplicación de otro tipo de funciones como cuadráticas e inclusive sistemas de ecuaciones, nos permiten determinar, entre otras cosas: los niveles de producción de una compañía, por ejemplo, las curvas de oferta y demanda y con ellas el punto de equilibrio, además de las curvas podemos determinar las ecuaciones de oferta y demanda, el Ingreso máximo, efecto de impuestos, etc.

Donde

y

son constantes

Iniciaremos con las funciones lineales, y para ello utilizaremos un problema sobre DEMANDA DE MERCADO: Ejemplo 77:

Analicemos la demanda del detergente de marca A, a diferentes precios y por un determinado consumidor, bajo las condición “ceteris paribus”8 A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual

71

E C I D N Í


de un comprador, se confecciona la tabla de demanda. Observamos que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir. Precio

Cantidad demandada

2

10

4

8

6

6

8

4

10

2




Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda.



Cada punto del plano de coordenadas , muestra un precio y una cantidad que será demandada; al unirlos se obtiene la curva de la demanda del detergente A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios.

Cantidad demanda = f (precio por unidad) La demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante.

Revise más aplicaciones en las páginas 124 a 128 de su texto básico; se ha desarrollado temas de aplicación de funciones.

72

E C I D N Í


Ejemplo 78:

Dos puntos

sobre la función lineal de la demanda son

y

. Determine la

función de demanda , a qué precio se dará una demanda de 20000 unidades. Calcule la pendiente de la función y finalmente grafíquela.


Solución: E R R E T S M I E R M P I B

Empezamos calculando la pendiente por medio de la fórmula de los dos puntos, obteniéndose:


Sustituimos el valor de

Ahora sustituimos

para determinar la función de demanda, se obtiene:

en la ecuación anterior, y resolvemos para



:

Es decir, se demandarán 20000 unidades a un precio de 3.67 dólares. Para realizar, finalmente, la gráfica de esta función es importante recordar que el valor de la pendiente resulto: -7500, lo que implica, que por cada dólar que aumente el precio de la unidad, la demanda disminuirá en 7500 unidades.

73

E C I D N Í




Ejemplo 79:

Suponga dos puntos sobre la función lineal de oferta y . Con estos datos determine la función de oferta , el precio al cual el productor ofrecerá 500 unidades. Trace la función e interprete su pendiente. Solución:

Para el cálculo de la pendiente utilizamos nuevamente la fórmula de los dos puntos:



Utilizamos el valor de la pendiente y de los puntos para obtener la función de oferta:

Sustituimos

, para obtener el precio correspondiente a este valor:

74

E C I D N Í


Con este resultado concluimos que el productor está dispuesto a ofrecer a la venta 300 unidades, si el precio de la unidad que se ofrece en el mercado es de 6 dólares. Si consideramos la pendiente de 50 y trazamos la curva, observamos la relación directa entre el precio y la cantidad, es decir, a medida que aumenta el precio, el productor estará dispuesto a ofrecer más de su producto.





75

E C I D N Í



Desarrolle los siguientes problemas; con ellos usted aplicará el concepto de funciones lineales, gráficas y su aplicación al concepto de Equilibrio de mercado:


PROBLEMA 1: Se ha determinado que para cierto artículo la demanda semanal, se relaciona con el precio (en dólares) de acuerdo a la siguiente función: , donde: . La oferta semanal también es función lineal del precio , y está expresada por: . ¿Cuál es el precio en el que la oferta es igual a la demanda? Trace las gráficas en el mismo plano.


PROBLEMA 2: Para cierto juguete la demanda semanal, mediante la ecuación: , donde: lineal del precio , y está expresada por: igual a la demanda? Trace las gráficas en el mismo plano.


se relaciona con el precio en dólares . La oferta semanal también es función . ¿Cuál es el precio en el que la oferta es

4.3.4. Funciones cuadráticas

Donde

,

y


son constantes y


Observe las gráficas generales de una función cuadrática que se presenta en Figura 3.19 en la página 131 del texto básico.

Ejemplo 80:

Suponga que la función de demanda de un producto particular es:

Donde se expresa en unidades y en pesos. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde es una función de o sea . ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?, ¿Cuántas unidades serán demandadas a ese precio? Y, finalmente, grafique la función de ingreso. Solución:

Para iniciar la solución a este ejercicio, tenga en cuenta que el ingreso total, es resultado del producto entre el precio y la cantidad vendida, es decir:

Dado que el ejercicio plantea que

debe estar en función de

, tenemos:

76

E C I D N Í



Resolvemos por factorización:


y O E D R N T S U E G M E I S B

y Así, las intersecciones del eje

con la parábola son 0 y 30:



Ejemplo 81:

Suponga que la función de oferta para bolígrafos está dada por: ; donde es el precio unitario al mayoreo, dado en dólares; representa la cantidad que el proveedor pondrá en el mercado, es decir las unidades que estará dispuesto a vender a un precio determinado. ¿Cuál será el precio mínimo para el cual el proveedor colocará los bolígrafos en el mercado? Solución:

Para resolver este ejercicios grafiquemos la función e interpretemos lo que observamos en ella.

77

E C I D N Í




La intersección en el eje que representa el precio, se da en un valor de 3 dólares, a partir de este valor el productor ofertará sus productos en el mercado. 4.3.5. Funciones polinomiales Si una función f está definida por:

Donde , son números reales llama una función polinomial de grado .

y

es un entero no negativo, entonces,

se

A continuación algunos ejemplos de funciones polinomiales: ; es una función polinomial de grado 5.

2.

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

3.

Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2.

4.

Una función cúbica, es una función polinomial de grado 3.



Ejemplo 82:

1.


4.3.6. Funciones racionales Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales se llama función racional, así:

En este tipo de funciones, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de g.

78

E C I D N Í


Ejemplo 83:

El dominio de está formado por todos los números reales excepto el (-1); además podemos identificar las intercepciones de esta función, con respecto al eje y, es (-3), esto es: ; mientras que con el eje

es

; cuando:



.

4.3.7. Otras funciones especiales y sus gráficas A continuación se presentarán algunas funciones especiales, de las cuales si bien es cierto no es necesario su dominio, sí es indispensable que tenga presente su concepción básica, las gráficas y más ejercicios de aplicación puede revisarlos en la unidad 2, de su texto básico. 4.3.7.1. Funciones constantes Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

ADVERTENCIA:



siempre pertenece a los números reales. Ejemplo 84:

Cualquiera que fuese el valor que se asigne a Supongamos entonces que , entonces:


, el valor de la función seguirá siendo el mismo.

Como puede observar el valor de la función es constante. 4.3.7.2. Funciones definidas por partes Algunas funciones, de acuerdo a su estructura, difieren del criterio para los valores de la variable independiente (variable “ ”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas.

79

E C I D N Í


Ejemplo 85:



De acuerdo con los criterios planteados en la función, realizaremos algunos ejercicios: 1. Cuando

, de acuerdo al criterio planteado en la función:

, diremos que O E D R N T S U E G M E I S B

. 2. De acuerdo con el criterio de la función, la imagen de 4 no está definida. 3. Cuando

, de acuerdo con el criterio de la función se tiene que , de esta manera

, luego

.


4.

De acuerdo con el criterio de la función, obtendríamos

.

5. De acuerdo con el criterio de la función se tiene que

, como

, entonces

4.3.7.3. Funciones con valor absoluto La función valor absoluto en cuenta el signo.


, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener

De acuerdo con la definición, puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de , corresponden a los no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.

80

E C I D N Í


Ejemplo 86:


-

3


+


4.3.7.4. Funciones inversas Si es una función uno a uno, considerada como el conjunto de pares ordenados , entonces existe una función denominada inversa de , donde es el conjunto de pares ordenados definido mediante: Si y solo si

RECUERDE: El dominio de , es el rango de es el dominio de .

, y el rango de

,

81



E C I D N Í


Autoevaluación 4


Dadas las siguientes funciones, encuentre su inversa: 1.


2.

3.


4.


5.

6.


7.

8.

¿Culminó con la actividad?, muy bien, entonces es momento de comprobar su procedimiento, diríjase al solucionario que se encuentra al final de la presente guía y compruebe sus resultados.

82

E C I D N Í


UNIDAD 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Hablamos de un sistema de ecuaciones lineales cuando poseemos un conjunto de n variables y m ecuaciones, así:



RECUERDE: Los números reales se llaman los coeficientes del sistema, donde y , indican la posición de estos números dentro del sistema o la matriz. Este sistema de ecuaciones puede ser expresado en forma matricial, con lo que obtenemos:



Primero la matriz de coeficientes

Ahora dos matrices columnas a las que llamaremos


y

:

Ejemplo 87:

Exprese el siguiente sistema de ecuaciones lineales de manera matricial:

83

E C I D N Í


Solución


5.2. Soluciones de un sistema de ecuaciones Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, es necesario encontrar un conjunto de números ordenados que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema.

RECUERDE: No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución, inclusive algunos pueden tener una solución única, infinidad de soluciones o sistemas sin solución. A continuación se describe, paso a paso, la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con solución única: 5.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales: solución única Antes de iniciar con los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con solución única, es importante determinar si el sistema arrojará al final este tipo de solución, para ello podemos utilizar el siguiente criterio detallado a continuación. Considerando el sistema:

Tiene solución única si y solo si:

Ejemplo 88:

Consideremos el sistema:

Como

Entonces concluimos que el sistema tiene una única solución.

84




E C I D N Í


Ejemplo 89:


Consideremos el sistema:

Como


Entonces concluimos que el sistema tiene una única solución.


¿Cuál es la gráfica de este sistema? Revise la figura 3.29, 3.30 y 3.31 en la página 139, de su texto básico, ahí encontrará tres gráficas, identifique cuál de ellas corresponde a este sistema de ecuaciones lineales y reflexione sobre los dos gráficos restantes.


5.3. Aplicación: método Gauss–Jordan El método de eliminación de Gauss-Jordan, consiste en llegar a un sistema “escalonado” transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. Ejemplo 90:

Resolver el siguiente sistema:

(1) Observe que ambas ecuaciones se tiene a , y por lo tanto, multiplicamos a la primera ecuación por -2: (2) Resolvemos las operaciones indicadas:

85


E C I D N Í


(3)Sustituimos , en cualquier ecuación de las planteadas en el sistema para encontrar el valor de :



(4)Por lo tanto la solución del sistema es:


Para reforzar el aprendizaje en este tema, revise la página 139 de su texto básico. O I R A N O I C U L O S

Ejemplo 91:


Por lo tanto

86

E C I D N Í




Desarrolle la siguiente actividad detallada a continuación: •

Resuelva los ejercicios: 1, 3, 5, 7 y 11, de la página 146 de su texto básico. Si tiene problemas en la resolución de alguna de estas actividades recuerde que puede contactarse con su profesor tutor por cualquiera de los medios destinados por la universidad para este fin (EVA, correo electrónico o telefónicamente en función al horario de tutorías).




87

E C I D N Í


Autoevaluación 5

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, recuerde que pueden tener una única solución, infinidad de soluciones o ninguna solución:



1.

2.


3.


4.


5.

6.

7.

8.

88

E C I D N Í



7. Solucionario PRIMER BIMESTRE


Autoevaluación Autoeval uación 1 Pregunta

Respuesta

1.

v

2.

v

3.

v

4.

v

5.

v

6.

f

7.

v

8.

v

9.

v

10.

v



89

E C I D N Í



Autoevaluación Autoeval uación 2 Pregunta

Respuesta

1.


2.


3. 4.


5. y 6. y


7. 8.

9. 10.

90

E C I D N Í


SEGUNDO BIMESTRE


Autoevaluación 3 Pregunta

Respuesta

1.

$300 y $525

2.

$1200 y $1800

3.

18125

4.

200 personas asistieron a graderías

5.

Deben venderse 35000 unidades

6.

13077 toneladas

7.

$4000 al 6% y $16000 al 7½%

8.

Al menos deberán vender 5001 microondas

9.

Al menos 120001 unidades




91

E C I D N Í




Respuesta


1.


2.


3.


4. No es función

5.

6.

92

E C I D N Í




Respuesta


7.


8.



93

E C I D N Í



Respuesta

1.

,

2.

,

3.

,



,

4.

,

5.

,

,


,

6.

,

7.

,

8.

,



(Footnotes) 1 Una desigualdad generalmente cambia de sentido cuando: (a) se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo y (b) se dividen sus dos miembros entre un mismo divisor negativo. KC/gg/2012-07-19/87 digital/jclg/2013-11-20

94

E C I D N Í



8. Recursos educativos multimedia

Videoconferencias Primer Bimestre


Diapositivas Primer Bimestre

1. Ecuaciones fraccionarias y con radicales

1. Ecuaciones fraccionarias y con radicales

2. Ecuaciones cuadráticas.

2. Ecuaciones cuadráticas.



95

Guia Matematicas

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