-1-
LINEAS DE ESPERA. 12.- Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de auto servicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos .El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla, incluyendo al auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de tres automóviles. Otros vehículos vehículos pueden esperar fuera de este espacio. a) ¿ Cuál es la probabil probabilidad idad de que un cliente cliente que llega llega pueda pueda manejar directam directamente ente hasta hasta el espacio frente frente a la ventanill ventanillaa ? b) ¿ Cuál es la probabilidad probabilidad de que un cliente cliente que llega tendrá tendrá que a aguardar fuera del espacio espacio indicado? c) ¿ Cuántos Cuántos espacios espacios deberán deberán propo proporcio rcionar nar enfrente enfrente de la ventan ventanill illaa de manera que que todos todos los clientes clientes que llegan llegan puedan puedan esperar esperar frente a ésta al menos 20 % del tiempo ?. SOLUCIÓN (M/M/) : (DG/ ∞/∞) λ : 10 Clientes/hora = 0.16667 Clientes/minuto
10
Clientes
1 hora
*
hora
= 0.16667 Clientes/minuto
60 minutos
µ : 5 minutos
P0 =
1−
λ µ
=
1−
0.16667 5
= 1 – 0.03333 = 0.96667
P0 = 96.667 % ≈ 96.7 % La probabilidad de que un cliente llegue y pueda manejar directamente hasta el e spacio de la ventanilla es del 96.7 %
a) ρ =
λ µ
=
0.16667 5
= 0.03333
Pn = (1 – ρ) ρn = (1 - 0.03333)*(0.03333) 4 = 0.96667*0.000001 P4 = 0.000001 = 0% Como son tres las ventanillas de atención, la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que aguardar fuera del espacio indicado es del 0 %.
b)
Pn = (1 – ρ) ρn (1 - 0.03333)*(0.03333) (0.03333)
n
=
n
= 0.2
0.2 0.9667
n log(0.03333) = log (0.20689) n =
− 0.68426 − 1.47716
= 0. 46320
n ≈ 1
Los espacios en la ventanilla para que un cliente espere por lo menos el 20 % frente a e lla tiene como óptimo 1 sola ventanilla. 13.- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a a utomóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo a una distribución de Poisson a la tasa de 2 cada 5 segundos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 10 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio de ser necesario. Los empleados quedan 15 minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo tiempo de servicio varía varía en realidad, según una una distribución exponencial. exponencial. Determine lo siguiente : a) La proba probabili bilidad dad de de que el estaci estacionam onamiento iento esté inactivo inactivo.. b) El número esperado de de clientes en espera, pero que que no se les atiende en el momento. momento. c) El tiempo tiempo de espera espera calcul calculando ando hasta hasta que que un cliente cliente pueda pueda hacer hacer su pedido pedido en ventanill ventanilla. a. d) La probabili probabilidad dad de que la linea linea de espera espera sea mayor mayor que la capacidad capacidad de espacio espacio que conduce conduce a la ventanill ventanillaa de servicio servicio de automóviles.
-2-
SOLUCIÓ N (M/M/) : (DG/N/ ∞ ) a) λ : 2/5 Automóviles/hora = 0.4 Automóviles/minuto N = 1 0 µ : 1.5 minutos
ρ= P0 =
λ µ
0.4 1.5
=
= 0.73333
1−ρ
1
N +1 =
1−ρ
− 0.26667 11 1 − 0.26667
=
0.73333 0.99999
= 0.73333
P0 = 73.333 % ≈ 73 % La probabilidad de que el restaurante esté inactivo es del 73 % b)
P1 = (0.26667)*(0.73333) = 0.19556 P2 = (0.26667) 2*(0.73333) = 0.05215 P3 = (0.26667) 3*(0.73333) = 0.01391 P4 = (0.26667) 4*(0.73333) = 0.00371 P5 = (0.26667) 5*(0.73333) = 0.00099 P6 = (0.26667) 6*(0.73333) = 0.00026 P7 = (0.26667) 7*(0.73333) = 0.00007 P8 = (0.26667) 8*(0.73333) = 0.00002 P9 ≥ (0.26667) 9*(0.73333) = 0.00000 λ e f = λ ( P 0 + P 1 … … . + P n ) λ e f = 0 . 4 * ( 0 . 7 3 3 3 3 + 0 . 1 9 5 5 6 + 0 . 0 5 2 1 5 + 0 . 0 1 3 9 1 + 0 . 0 0 3 7 1 +
0.00099+0.00026+0.00007+0.00002+0.000) λ e f = 0 . 4
Ls =
ρ{1 − ( N + 1) ρ N + Nρ N +1 }
(1 − ρ)(1 − ρ N +1 )
Ls =
0.26667 * {1 − (10 + 1) * 0.26667 10 + 10 * 0.2666710 +1 } (1 − 0.26667)(1 − 0.2666710 +1 )
Ls =
0.26667 0.73333
Lq = Ls
+
= 0.36364
λ ef µ
= 0.36364 +
0.4 1.5
= 0.63031
Lq ≈ 1 automóvil. El número esperado de clientes en e spera es de 1 automóvil. c)
Wq =
Lq λ ef
=
0.63031 0.4
= 1.57578 ≈ 1.58 minutos.
El tiempo de espera calculado hasta que un cliente pueda hacer su pedido es de 1.58 minutos, no incluye el tiempo de servicio. d)
Pn =
1−ρ N +1
1−ρ
* ρn
=
1 − 0.26667 * 0.2666711 10 +1 1 − 0.26667
P11 = 73.333 % ≈ 73 %
=
0.73333 0.99999
= 0.73333
-3-
La probabilidad de que la línea de espera se a mayor a la capacidades del 73 % puesto que la capacidad es de 10 automóviles Markov 1.- Formule las siguientes cadenas de Markov: - La probabilidad de una huelga mañana es de 0.80, si persiste la huelga hoy, mientras que la p r ob a b il id a d q u e se t r a ba je m a ñ a n a e s de 0 . 85 s i s e tr a b a j a h oy. a ) E s c ri b a la m a t ri z d e t ra n s ic i ón d e l a c ad e na d e M a rk o v. b) E nc u e n tr e la pr ob a b il id a d d e e s t a bi l id a d d e l s is t e ma . SOLUCIÓN S1 : Huelga. S2 : Trabajo. a) S1
S2
S1 0.80
0.20
S2 0.15
0.85
b)
0.80 x 2 ] 0.15
[x 1
0.20 0.85
= [x 1
x2]
0.80 x 1 + 0.15 x 2 = x 1 0.20 x 1 + 0.85 x 2 = x 2 − 0.20 x 1 + 0.15 x 2 = 0 0.20 x 1 − 0.15 x 2 = 0
x1 + x 2 = 1 x 2 = 1 − x1 − 0.20x 1 + 0.15(1 − x 1 ) = 0 − 0.20 x 1 + 0.15 − 0.15 x 1 = 0 − 0.35 x 1 = −0.15 x1 =
0.15 0.35
x 1 = 0.43
x 2 = 1 − x 1 = 1 − 0.43 x 2 = 0.57 La probabilidad de estabilidad del sistema es (0.43 , 0.57), es decir existe el 43 % de pr o ba b i li d a d d e q ue h a ya h u e lga m a ñ a na a l i gu a l q u e e l 5 7 % de l a p r ob a b il id a d e s q u e s e tr a b a j e . 2 . - S e t i e n e d o s a c c i o n e s . L a s a c c i o n e s 1 s e v e n d e a 1 0 d ó l a r e s o 2 0 d ó la r e s . S i h o y l a s a c c i o n e s 1 s e venden a 10 dólares, hay una posibilidad 0.80 de que mañana se venderán a 10 dólares. Si las acc iones 1 se venden hoy a 20 dólares, hay una probabilidad 0.90 de que mañana se venderán a 20 dólares. Las a c c i o n e s 2 s i e m p r e s e v e n d e n a 1 0 d ó l a r e s o a 2 5 d ó l a r e s . S i e v e n d e n h oy a 1 0 d ó l a r e s h a y u n a p r ob a b il id a d 0 . 8 5 d e q ue m a ña n a s e v e n d a d a 2 5 d ól a r e s . E n p r ome d i o , ¿ Q ué a c c io ne s s e ve n de n a mayor precio ?. Determine e interprete todos los tiempos promedio de primer pasaje. SOLUCIÓN Sean los estados: E1 :las acciones 1 se venden a 10 $. E2 .las acciones 1 se venden a 20 $. 0.80
0.20
0.10
0.90
x=
( 0.5
( 0)
x
0.5 )
0.80
0.20
0.10
0.90
E1= 45% E2= 55% (x,y)P=(x y) 0.8x + 0.1y =x 0.2x + 0.9y =y 0.8x + 0.1 – 0.1x = 0
( 0.5
0.5 )
(1)
x
( 0.45
0.55 )
-4-
-0.3x = -0.1 x = 1/ 3 y =2/3
y = 1-x
Por tanto : 10(1/3)+20(2/3) = 16.667 $. Para la acción 2: E1: las acciones 2 se venden a 10$. E2: las acciones 2 se venden a 25$ 0.90
0.10
0.15
0.85
x=
( 0.5 0.5 )
( 0)
x
( 0.5 0.5 )
0.90 0.10
1
x
0.15 0.85
( 0.52 0.48 )
E1=52% E2=48% 0.9x + 0.15y = x 0.1x + 0.85y = y 0.9x + 0.15 – 0.15x – x = 0 0.25x = -0.15 x = 0.6 y = 0.4 P or t a n to : 0 . 6 ( 1 0 ) + 0. 4( 2 5) = 1 6$ . Las acciones 1 se venden a 20$ siendo este su mayor precio, con un porcentaje de 55% , mientras las acciones 2 se venden a 10$ con su ma yor precio con un porcentaje de 52%. Las acc iones 1 se venden a mayor precio: 16.667 $, 0.667 más que las acciones 2. 3.- Una compañía presenta un nuevo producto al mercado. S i las ventas son altas existe una probabilidad de 0.5 de que se mantendrán a ese nivel el mes siguiente. Si no son altas, la probabilidad de que aumentarán el mes siguiente es solo de 0.2. La compañía tiene la opción de elaborar una c ampaña p u b li c i ta r ia . S i lo h a c e y l a s ve n ta s s on a lt a s , l a pr ob a b il i da d d e q ue s e ma n t e n dr á n a s í e l m e s s igu i e n te aumentará a 0.8. Por otra parte, una ca mpaña publicitaria mientras las ventas son bajas aumentará la p r ob a b il id a d a s ol o 0 . 4 . Si no recurre a la publicidad y las ventas son altas, s e espera que los rendimientos sean 10, si las ventas se mantienen altas e l mes siguiente y 4 si ni sucede esto. Los rendimientos c orrespondientes si el producto empieza con ventas altas son 7 y –2. Rec urriendo a la publicidad se generarán rendimientos d e 7 s i e l p r o d u c t o c o m i e n z a c o n v e n t a s a l t a s y s e m a n t i e n e e n e s e n i v e l y de 6 s i n o o c u r r e e s t o . S i l a s ventas empiezan bajas, los rendimientos son 3 y –5, dependiendo de si las ventas se mantienen altas o n o. Determine la política óptima de la compañía para los 3 meses siguientes y luego los 5 meses siguientes. SOLUCIÓN Sean los estados: S1 : Ventas altas S2 : Ventas bajas Periodo n = 1 mes A c c i ó n k = 1 S i n p u b l ic i d a d E1 1
P
E2
0.5
0.5
0.2
0.8
E1 1
R
10
E2 4
7
2
Acción K = 2 Con publicidad E1 2
P
E2
0.8
0.2
0.4
0.6
E1 2
R
7 3
E2 6 5
-5-
Cálculo de rendimiento esperado: V11 V11 V12 V22
= = = =
0.5 0.5 0.8 0.4
(10) + 0.5 (4) = 7 (10) + 0.5 (4) = 7 (7) + 0.2 (6) = 6.8 (3) + 0.6 (-5) = -1.8
Aplicando las funciones recursivas: f n ( i ) = M á x { V i k } f n ( i ) = M á x { V i k + Σ P i j + f n + 1 ( j ) } Etapa N I 1 2 Etapa N – 1 i 1 2 Etapa N-2 i 1 2
Etapa N-3 i 1 2 Etapa N-4 i 1 2 Etapa N-5 i 1 2 Etapa N-6 i 1 2 Etapa N - 7 i 1 2
K = 1 7 - 0. 2
K = 2 6.8 -1.8
K = 1 7 + 0. 5 ( 7) + 1 0 . 5( 0. 2) = 1 0 . 5 4 - 0 . 2 + 0 . 2 *7 + 0 . 8 * (-0.2)=1.04 K = 1 7 + 0. 5 ( 12 . 3 6 ) + 0 . 5( 1 . 0 4 ) = 1 3 . 7
f n ( i) 7 -0.2 K = 2 6. 8+ 0 . 8 *1 0 + ( 0.2)=12.36 -1.8+0.4*7+0.6(0.2)=0.88
K* 1 1 f N - 1 12 . 3 6
K* 2
1. 0 4
1
K = 2 6. 8+ 0 . 8 ( 1 2 . 3 6 ) + 0 . 2 (1.04)=16.896 1.8+0.4*12.36+ 0.6(1.04)=3.768
f N - 1 16.896
K = 1 7 + 0. 5 ( 16 . 8 9 6 ) + 0 . 5 (3 . 2 2 ) =17.333 - 0 . 2 + 0 . 2 *1 6. 89 6 + 0. 8* (3.22)=6.195
K = 2 6.8+10.8*16.896+0.2 (3.77)=21.071 1.8+0.4*16.998+0.6(3. 22)=7.22
f N - 1 21.071
K = 1 7 + 0. 5 ( 21 . 0 7 1 ) + 0 . 5 (7 . 2 2 ) =21.146 - 0 . 2 + 0 . 2 *2 1. 07 1 + 0. 8* (7.22)=9.79
K = 2 6.8+0.8*21.071+0.2 (7.22)=25.101 1.8+0.4*21.071+0.6(7. 22)=10.96
f N - 1 25.101
K* 2
10.96
2
K = 1 7 + 0. 5 ( 25 . 1 0 1 ) + 0 . 5 (1 0 . 9 6 ) =25.03 - 0 . 2 + 0 . 2 *2 5. 10 1 + 0. 8* (10.96)=13.59
K = 2 6.8+0.8*25.101+ 0.2(10.96) =29.073 1.8+0.4*25.101+0.6(10 .96) =14.816
f N - 1 29.073
K* 2
14.816
2
K = 1 7 + 0. 5 ( 29 . 0 7 3 ) + 0 . 5 (1 4 . 8 1 6 ) =28.94 - 0 . 2 + 0 . 2 *2 9. 07 3 + 0. 8* (14.816)=17.467
K = 2 6.8+0.8*29.073+0.2+ (14.816)=33.022 1.8+0.4*25.101+0.6(14 .816=18.7
K = 1 7 + 0. 5 ( 33 . 0 2 2 ) + 0 . 5 (1 8 . 7 1 9 ) =32.87 - 0 . 2 + 0 . 2 *3 3. 02 2 + 0. 8* (18.0719)=21.78
K = 2 6.8+0.8*33.022+0.2 (18.719)=36.96 1.8+0.4*33.0227+0.6(1 8.79 =22.64
- 0 . 2 + 0 . 2 *1 2. 36 + 0 . 8 * (1.04)=3.104
Para los tres primeros meses, es decir N = 3
3. 7 7
7. 2 2
f N - 1 33 . 0 2 2 18.719
f N - 1 36 . 9 6 22.64
K* 2 2
K* 2 2
K* 2 2
K* 2 2
-6-
En el primer mes debe realizarse publicidad no importa si se tengan ventas altas o bajas, en ambos casos es conveniente realizar la publicidad. En el segundo mes debe hacerse publicidad solo si las ventas son altas. En el tercer mes, no debe rea lizarse publicidad en ningún caso. El beneficio óptimo esperado es: 16.896 $, si en el primer mes las ventas fueron a ltas. 3.77$, si en el primer mes las ventas fueron baja s. Para 5 meses adicionales,
N=8
Durante los 6 primeros meses debe rea lizarse publicidad, sin importar el estado de las ventas. En el séptimo mes se deberá hacer publicidad solo si el estado de ventas es a lto. En el octavo mes no debe realizarse publicidad. El beneficio esperado es de : 36.96 $, si las ventas en el mes inicial fueron altas. 22.64 $, si las ventas en el primer mes fueron baja s. 4.- Al principio de cada año mi automóvil está en buen, regular o mal estado. Un buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con probabilidad de 0.85, regular con probabilidad de 0.10 y mal con probabilidad de 0.05. Un automóvil regular estará regular al principio del año siguiente c on probabilidad 0.70 y mal con probabilidad 0.30. Cuesta 6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regular se puede conseguir por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta y se debe reemplazar de inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el funcionamiento de un buen automóvil y 1500 dólares el de uno regular. ¿ debo reemplazar mi automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar hasta que se descomponga ? Suponga que el costo de funcionamiento de un automóvil durante un año depende del tipo de vehículo que se tiene a la mano al principio del año ( después de llegar cualquier auto nuevo, si es el caso). SOLUCIÓN Sean los estados: S1 = Automóvil en buen estado. S2 = Automóvil en regular estado. S3 = Automóvil en mal estado. Matriz de transición: S1 S2 S3
S1
0.85
0.10
0.05
0
0
0
S2 S3
0
0.70
0.30
6000
8000
0
1
0
0
1000
1500
0
S1 -> V1 = 0
S 2 - > V 2 = 1 4 00
i
:
1
2
3
Vi
:
0
1400
1 0 00
S3 - > V 3 = 1 0 0 0
L o s v a l o r e s f n ( i ) s e d e t e r m i n a n : f 3 ( 1 ) = 0 + 0 . 8 5 * 0 + 0 . 1 0 * 0 + 0 . 0 5 * 0 = 0 f 3 ( 2 ) = 1 4 0 0 + 0 ( 6 0 0 0 ) + 0 . 7 0 * 2 0 0 0 + 0 . 3 0 * 0 = 2 8 0 0 f 3 ( 3 ) = 1 0 0 0 + 1 * ( 1 0 0 0 ) + 0 * 1 5 0 0 + 0 * 0 . 0 = 2 0 0 0 - - f 2 ( 1 ) = 0 + 0 . 8 5 * 0 + 0 . 1 0 * 1 4 0 0 + 0 . 0 5 * 1 0 0 0 = 1 9 0 f 2 ( 2 ) = 1 4 0 0 + 0 * 0 + 0 . 7 0 * 1 4 0 0 + 0 . 3 0 * 1 0 0 0 = 2 6 8 0 f 2 ( 3 ) = 1 0 0 0 + 1 * 0 + 0 * 1 4 0 0 + 0 * 1 0 0 0 = 1 0 0 0 - - f 1 ( 1 ) = 0 + 1 9 0 * 0 . 8 5 + 2 6 8 0 * 0 . 1 0 * 1 0 0 0 + 0 . 0 5 * 0 = 9 2 9 . 5
-7-
f 1 ( 2 ) = 1 4 0 0 + 1 9 0 * 0 + 2 6 8 0 * 0 . 7 0 + 1 0 0 0 * 0 . 3 0 = 3 5 7 6 f 1 ( 3 ) = 1 0 0 0 + 1 9 0 * 1 + 2 6 8 0 * 0 + 1 0 0 0 * 0 . 0 = 1 1 9 0 5 . - U n a e m p r e s a t i e n e u n p r o g r a m a d e a d i e s t r a mi e n t o q u e c o n t e m pl a d o s f a s e s l a f a s e 1 d e t r e s s e m a n a s d e a d ie s tr a m ie n t o e n a u la . L a f a s e 2 d e 3 s e m an a s d e a p re n d iz a j e y a t r a ba j a nd o b a jo s u pe r vi s ió n . Estudios realizados por la empresa han determinado que de la fase de aula 60% pasan a la fase de a p r e n d i z a j e y 4 0 % a b a n d o n a n c o m p l e t a m e n t e e l p r o gr a m a d e l a f a s e d e a p r e n d i z a j e 7 0 % s e g r a d ú a n d e supervisores 10% repiten la fase 2 y 20% quedan fuera del programa. La compañía se ha fi jado un plazo de 9 semanas. Cuántos supervisores espera graduar la compañía si tiene actualmente 45 per sonas en fase de aula y 21 personas en fase de a prendizaje las personas quedan fuera de l programa nunca vuelven. SOLUCIÓNSean los estados: E1 : Abandonar E2 : Adiestramiento en aula. E3 : Trabajando bajo supervisión. E4 : Graduación. Vector inicial x 0 = (0
45
21
x0 = (0
4 5/ 6 6
0) 21/66
0)
Matriz de transición:
x=
0.90
0.10
0.15
0.85
( 0.5
( 0)
x
0.5 )
0.90
0.10
0.15
0.85
( 0.5
0.5 )
1
x
( 0.52
0.48 )
E1 E2 E3 E4
E1 E2 E3 E4
1
0
0
0
0.40
0 0.60
0
0.20
0 0.10
0.70
0
0
0
1
Cadena de Markov: X(3) = x10 x3 6 . - C a d a f a m i l i a n o r t e a me r i c a n a s e p u e d e c l a s i f ic a r c o m o h a b i t a nt e d e z o n a u r b a n a , r u r a l o s u b u r b a n a . D u r a n te u n a ñ o d e t e r m in a d o e l 1 5 % d e t o d a s l a s f a m i l ia s u r b a n a s s e c a m b i a n a u n a z o n a s u b u r b a n a y e l 5 % s e c a m b i a n a u na z o n a r u r a l . T a m b i é n e l 6 % d e l a s f a m i li a s s u b u r b a n a s p a s a n a z o n a u r b a n a y e l 4 5 se mudan a zona rural. Por último el 4% de las familias rurales pasan a una zona rural y el 6% se mudan a una zona suburbana. a)
S i u n a f a mi l ia a c t u a lm e nt e v i ve e n u n a z o na u r b a na . ¿ C u á l e s l a p r ob a b il i da d q u e d e s p ué s d e dos años viva en una zona urbana ? ¿ En z ona suburbana? ¿ En zona rural?
b)
Su p on ga m os q ue e n la a c tu a li d a d e l 4 0 % de la s f a mi li a s vi ve e n z on a u r ba n a , e l 3 5% e n z on a s u bu r ba n a y e l 2 5 % e n z o n a r u ra l . D e s p ué s d e d o s a ñ os ¿ q u é p o r c en t aj e d e l a s f a m il i as norteamericanas vivirá en zona urbana?
-8-
c)
¿ Q u é p r ob l e m a s s e p ue d e n p r e se n t a r s i e s te m o d e l o se u s a r a p a r a pr e d e c i r la d i s t r ib u c i ón f u t u ra de la población de Estados Unidos?
SOLUCIÓN Sean los estados: S1 : familia vive en zona urbana. S2 : familia vive en zona rural. S1 : familia vive en zona suburbana. Periodo n=1año Sea la matriz de transición P : S1 S2 S3
S1
0.80
0.05
0.15
S2
0.04
0.90
0.06
S3
0.06
0.04
0.90
a) Vector inicial x 0 = (1
x = x P = (1 2
0
0
0
2
0)
0)
0.80
0.05
0.15
0.04
0.90
0.06
0.06
0.04
0.90
2
= (0.651 0.091 0.258)
La probabilidad son las siguientes: Z on a u r ba n a
0.651
Z on a r ur a l
(6 5 . 1 % ) 0 . 0 91
Zona suburbana b ) V e c t or i ni c ia l x 0 = ( 0 . 4
x 2 = x 0 P 2 = ( 0. 4 0 . 2 5
0.258
(25.8%)
0.25
0 . 3 5)
0.80
0.05
0.15
0.04
0.90
0.06
0 . 3 5) 0.06
0.04
0.90
(9 % )
E n t on c e s :
Después de 2 años el 31.5 % vivirá en zona urba na. 7.- Se tiene la siguiente matriz de transición:
P=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
4
4
0
0
1
0
0
0
1 3
0
1 2
0
0
0
0
0
0
2 3
= (0.315
0.266 0.419)
-9-
a)
¿ Cuáles estados son transitorios?
b)
¿ Cuáles estados son recurrentes?
c)
Identifique todos los conjuntos cerrados de estados
d)
¿ Es ergódica esta cadena?(demuestre)
e)
¿ A qué se llama distribución de estado estable?
SOLUCIÓN a)
E st ad os t r an si to ri os 6
∑1 l i1 = 1 / 4 + 1 = 5 / 4
1)
> 1
i=
6
∑1 l i 2 = 1 / 4 + 1 / 3 = 7 / 12
2)
< 1
i=
6
3)
∑1 l i3 = 1 = 1
= 1
i=
6
4)
∑1 l i 4 = 1 / 2
< 1
i=
6
5)
∑1 l i5 = 1 = 1
= 1
i=
6
6)
∑1 l i6 = 1 + 2 / 3 = 5 / 3
> 1
i=
Los estados 2 y 4 son transitorios b)
Lo s e s ta d os r e c u rr e n t e s :
Se calculan las probabilidades de los estados a largo plazo para
( x1 x2 x3 x4 x5 x6 )
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
4
4
0
0
1
0
0
0
1 3
x1 = 0
x4 = 0
x2 = ¼
x5 = 0
x3 = 0
x6 = 3/4
0
1 2
0
0
0
0
0
0
2 3
1 ->6 respectivamente:
( x1 x2 x3 x4 x5 x6 )
- 10 -
9.- El valor en el mercado de un automóvil usado se estima en $ 2000. El propie tario cree que puede obtener más que esto, pero está dispuesto a escuchar ofertas de los tres primeros compr adores prospecto que respondan a su anuncio (lo que significa que debe tomar su decisión a más tardar después de que reciba la tercera oferta). Se espera que las ofertas sean de $ 2000, $ 2200, $2400, $2600, con iguales p r ob a b il id a d e s . N a tu r a lm e nt e , c ua n do é l a c e pte u na of e r te , to da s l a s p os t e r ior e s no l e s e r vi r á n má s . S u objetivo es el de fijar un límite aceptable que pueda utilizar cuando reciba cada una de las tres ofertas. Por lo tanto, estos límites pueden ser $ 2000, $ 2200, $2400, $2600. Elabore un plan óptimo para el p r op ie t a r i o de l a u to m óv i l . SOLUCIÓN S1 S2 S3 S4
: : : :
Oferta Oferta Oferta Oferta
de de de de
2000 2200 2400 2600
$. $. $. $.
f(i)=max{vi} P( f 1) = 0 . 2 5 P( f 2) = 0 . 2 5 P( f 3) = 0 . 2 5 P( f 4) = 0 . 2 5 D = $ 2000 f(i) = máx{vi + Σ Pij fn+i(j)} Para la Primera oferta S1 = 2000 + (0.25 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0 * 2600) = 2500 S2 = 2000 + (0 * 2000 + 0.25 * 2200 + 0 * 2400 + 0 * 2600) = 2550 S3 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0.25 * 2400 + 0 * 2600) = 2600 S4 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0.25 * 2600) = 2650 Para la Segunda oferta S1 = 2000 + (0.25 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0 * 2650) = 2625.0 S2 = 2000 + (0 * 2500 + 0.25 * 2550 + 0 * 2600 + 0 * 2650) = 2637.5 S3 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0.25 * 2600 + 0 * 2650) = 2650.0 S4 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0.25 * 2650) = 2662.5 Para la Tercera oferta S1 = 2000 + (0.25 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2656.25 S2 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0.25 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2659.38 S3 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0.25 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2662.50 S4 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0.25 * 2662.5) = 2665.63 El propietario deberá vender su automóvil mínimamente a 2656.25 $, pero se espera una oferta óptima de 2665.63 $ f( 1 ) f( 2 ) f( 3 ) f( 4 )
= = = =
2 00 0 2 20 0 2 40 0 2 60 0
3.-Una investigación recientemente realizada con suscriptora de una revista de viajes, muestr a que el 65% de ellos tienen al menos una tarjeta de c rédito de alguna línea aérea. Comparando estos re sultados con una investigación similar efectuada hace 5 años, los datos indican que 40% de aquellos individuos que no tenían una tarjeta de crédito de alguna línea a érea, obtuvieron posteriormente una, mientras que el 10% de aquellas que poseían alguna de esta s tarjetas, hace 5 años, ya no lo hace n. Considerando que estas tendencias continúen en el futuro, determínese la proporción de suscriptores que poseerán tarjetas de crédito de líneas aéreas: a ) d en tr o de 10 añ os . b) A l a r g o p l a z o SOLUCIÓN Sean los estados: S1 : Suscriptores con tarjeta de crédito. S2 : Suscriptores sin tarjeta de crédito. a) x 0 = [x 1
x2]
x 0 = [0.65 S1 S1 0.90 S2 0.40
0.35 ] S2 0 .10 0 .60
Para n = 10 años
x 10 = P 0 P 10
- 11 -
b b
b
b b
2
x
10
= P P
0.40
0.60
0.85
0.15
0.6
0.4
0.825
0.175
0.7
0.3
4
0.813
0.188
5
0.75 0.806
0.25 0.194
0.775
0.225
3
0.803
0.197
b
7
0.788 0.802
0.213 0.198
0.794
0.206
b
8
0.801
0.199
b
9
0.797 0.8
0.203 0.2
b
10
0.798 0.8
0.202 0.2
0.799
a b 0
0.10
6
b
10
0.90
10
0.201
0.8
= [ 0.65
]
0.2 10
0.90
0.10
0.35 0.40
0.60
= [0.8 , 0.2]
Dentro de 10 años el 80 % de las personas tendrá n tarjeta de crédito y el 20 % de las personas carecerán de ellas. b)
[x 1
0.90 x 2 ] 0.40
0.10 = [x 1 0.60 + 0.40 x 2 = x 1
x2]
0.90 x 1 0.10 x 1 + 0.60 x 2 = x 2
− 0.10 x 1 + 0.40 x 2 = 0 0.10 x 1 − 0.40 x 2 = 0
x1 + x 2 = 1 x 2 = 1 − x1 − 0.10x 1 + 0.40(1 − x 1 ) = 0 − 0.10 x 1 + 0.40 − 0.40 x 1 = 0 − 0.50 x 1 = −0.40 x1 =
0.40 0.50
x 1 = 0.8 x2 x2
7.
1 x1 0 .2
=
−
1
=
0 .8
−
=
A largo plazo se espera que el 80 % te nga la tarjeta de crédito y por ende el 20 % no la tenga. L a s u v a s de l v a l le d e S o n om a , s e c l a s if i c a n c om o s u p e r io r e s , r e gu l a r e s o ma l a s . D e s pu é s d e u na cosecha superior, las probabilidades de tener dura nte el siguiente año, una cosecha superior, regular y mala son de 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. De spués de una cosecha regular, las pr ob a b il i da d e s de q u e l a s ig ui e n te c os e c h a s e a s u p e r i or , r e gu l a r y ma l a s on : 0 . 2 , 0 . 6 0 . 2 . después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior, re gular y mala son de 0 . 1 , 0 . 8 y 0 . 1 . D e t e r m í n e s e l a s p r o b a b i l i d a d e s d e u n a c o s e c h a s u p e r i o r p a r a c a d a un o d e l o s siguientes años, si la cosecha más reciente fue regular.
- 12 -
SOLUCIÓN S1 : Cosecha Superior. S2 : Cosecha Regular. S2 : Cosecha Mala. Para la cosecha más reciente regular tenemos la probabilidad 1 inicialmente. x 0 = [x 1
x3 ]
x2
x 0 = [0
1
S1 S1 0.0
S2 0.8
S3 0.1
0.6
0.2
0.8
0.1
S2 0.2
0] S3 0.2
Para n = 5 años
x 5 = P0 P5 a
b
a b
b
2
b
a b
b
4
a b
b
0.2 )
0.0
0.8
0.2
0.2
0.6
0.2
0.1
0.8
0.1
0.14
2
3
4
5
a b
0.6
0.68
0.18
= = = = =
a b
3
( 0.2
5
0.18
0.64
0.18
0.14
0.68
0.18
0.17
0.64
0.19
0.154
0.664
0.1 82
0.146
0.672
0.182
0.154
0.664
0.182
0.147
0.672
0.181
0.151
0.667
0.1 82
0.153
0.666
0.182
0.151
0.667
0.182
0.153
0.666
0.182
0.152
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
0.152
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
Para el primer año la cosecha supe rior será de 0.14 = 14 % Para el segundo año la cosecha super ior será de 0.154 = 15.4 % Para el tercer año la cosec ha superior será de 0.151 = 15.1 % Para el cuarto año la cosecha s uperior será de 0.152 = 15.2 % Para el quinto año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 %
