probabilidades

UNIDAD III

PROBABILIDADES  Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

CPA Oscar Noé López Cordón , MsC [email protected] Guatemala, 31 de agosto 201

CONTENIDO PROBABILIDADES !e"#n#c#ones $%s#cas &eglas de las Pro'a'#l#dades para dos o m%s e(entos  Apl#cac#ón Pr%ct#ca DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES )#pos de !#str#'uc#ones !#str#'uc#ón $#nom#al 

 Apl#cac#ón !#str#'uc#ón $#nom#al $#nom#al

!#str#'uc#ón Normal





 Apl#cac#ón !#str#'uc#ón Normal Normal

DE!INICIONES DE!INICION ES B"SICAS *a+ 3 "ormas de calcular o est#mar pro'a'#l#dades

-n"o.ue O'/et#(o



)am'#én llamado Pro'a'#lst#co Cl%s#co, se emplea cuando los espac#os muestrales t#enen resultados #gualmente pro'a'les

-n"o.ue -mpr#co o de -per#mentos



e 'asa en la "recuenc#a relat#(a de ocurrenc#a de un e(ento con respecto a un gran n4mero de ensa+os repet#dos

-n"o.ue u'/et#(o



5t#l#za est#mac#ones personales de pro'a'#l#dad 'asada en el grado de con"#anza

DE!INICIONES B"SICAS 

De#$n$c$%n Cl&s$ca de Pro'a'$l$dad( La pro'a'#l#dad .ue se presente un determ#nado e(ento o suceso es #gual al coc#ente del n4mero de casos "a(ora'les a este suceso entre el n4mero total de casos pos#'les P 6 7 8 n 6 casos o e(entos "a(ora'les  casos pos#'les



Pág. 18 (No. 37)

Pro'a'$l$dad )aem&$ca( Cons#ste en proporc#onar un modelo matem%t#co adecuado a la descr#pc#ón e #nterpretac#ón de c#erta clase de "enómenos o'ser(ados

Oras De#$n$c$ones Imporanes( 

E*per$meno( -s una acc#ón med#ante la cual se o't#ene un resultado + la o'ser(ac#ón de d#c7o resultado



E*per$meno Aleaor$o( -s un eper#mento cu+o resultado no se puede predec#r con eact#tud



S+ceso o E,eno S$mple( -s cada uno de los resultados pos#'les de un eper#mento



Espac$o )+esral( -s el con/unto de sucesos s#mples de un eper#mento

Oras De#$n$c$ones Imporanes( 

E,eno Comp+eso( -s el e(ento "ormado por (ar#os e(entos s#mples



E,eno Conrar$o o Complemenar$o( -ste se epresa como la pro'a'#l#dad de "racaso o no9é#to



E,eno o S+ceso C$ero O -erdadero( Pág. 18 (No. 39) la Conoc#do como e(ento determ#n#sta + se epresa como pro'a'#l#dad de é#to de cual.u#er suceso s#mple dentro del espac#o muestral



Pág. 18 (No. E,eno o S+ceso Impos$'le N+lo/ 38) La #mpos#'le ocurrenc#a de alg4n suceso o e(ento

CONCLUSI5N LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES UN NU)ERO POSITI-O CO)PRENDIDO ENTRE CERO Y UNO O Y 0/. El res+lado del c&lc+lo de +na pro'a'$l$dad s$empre es pos$$,o 1CERO ES )ENOR O I2UAL 3UE LA PROBABILIDAD Y ESTA ES I2UAL O )ENOR 3UE UNO4. LA SU)ATORIA DE LAS PROBABILIDADES DEL ESPACIO )UESTRAL ES I2UAL A LA UNIDAD 0/.

RE2LAS DE LAS PROBABILIDADES PROBABILIDAD DE DOS O )"S E-ENTOS(

-(entos Mutuamente -clu+entes -(entos Parc#almente -clu+entes -(entos :ndepend#entes -(entos !epend#entes 

E,enos )++amene E*cl+6enes( on tam'#én llamados -(entos !#s/untos !os o m%s e(entos son cons#derados mutuamente eclu+entes s# estos no pueden ocurr#r s#mult%neamente ;al m#smo t#empo<, es dec#r, la ocurrenc#a de cual.u#era de ellos eclu+e la ocurrenc#a de los otros =órmula P ;A o $< 6 P;A< > P;$<

Pág. 18 (No. 40)

Se apl$ca la Regla de Ad$c$%n o S+ma de las Pro'a'$l$dades

-?-MPLO 1< 5n empleado selecc#onado al azar es 7om're o es mu/er ;no puede tener am'os géneros< 2< 5na p#eza "a'r#cada es acepta'le o no lo es La p#eza no puede ser acepta'le e #nacepta'le al m#smo t#empo 3< -n el lanzam#ento de una dado o'tener 5n n4mero @ ó ma+or 6 18 > 28 6 38 6 0 ó 0B 5n n4mero 2 ó menor 18 > 18 6 28 6 033 ó



33B

PA&A &-OL-&  5na m%.u#na autom%t#ca 7aD llena 'olsas de pl%st#co con una com'#nac#ón de "r#/oles, 'rócol# + otras (erduras La ma+ora de las  'olsas cont#enen el peso correcto, aun.ue, como consecuenc#a de la  (ar#ac#ón del tamaEo del "r#/ol + de otras (erduras, un pa.uete podra pesar menos o m%s 5na re(#s#ón de @,000 pa.uetes .ue se llenaron el mes pasado arro/ó los s#gu#entes datos Peso Menos peso Peso at#s"actor#o M%s Peso

E,eno A $ C

No. De Pa7+ees

Pro'a'$l$dad de 7+e oc+rra el e,eno 100 02 1008@000 3,00 F00 300

0

@,000

1000

HCu%l es la pro'a'#l#dad de .ue un pa.uete pese menos o pese masI

E,enos Parc$almene E*cl+6enes( Cuando la ocurrenc#a de uno se traslapa parc#almente con la ocurrenc#a del otro =órmula P ;A 5 $< 6 P;A< > P;$< 9 P ;AJ $<

Pág. 18 (No. 41)

#endo P ;A J $< elementos comunes entre los con/untos A + $

-?-MPLO =lor#da )our#st Comm#ss#on selecc#onó una muestra de 200 tur#stas .ue (#s#taron el estado durante el aEo La encuesta re(eló .ue 120 tur#stas "ueron a !#sne+  Korld + 100 a $usc7 Gardens, cerca de )ampa + 0  (#s#taron am'as atracc#ones HCu%l es la pro'a'#l#dad de .ue una persona selecc#onada 7a+a (#s#tado !#sne+ Korld o $usc7 GardensI P ;A< 6 1208200 6 00 P ;$< 6 1008200 6 00 110 La pro'a'#l#dad no puede ser ma+or .ue uno

Cont#nuac#ón La epl#cac#ón es .ue muc7os tur#stas (#s#taron am'as atracc#ones turst#cas + se les est% contando dos (eces 5na re(#s#ón de las respuestas re(eló .ue 0 de los 200 encuestados (#s#tó am'as atracc#ones P ;A J  $< 6 08200 6 030 HCu%l es la pro'a'#l#dad de eleg#r a una persona .ue 7a+a (#s#tado !#sne+ o $usc7 GardensI P ;A< > P;$<  P ;A J $< 6 Pág. 18 (No. 41) 00 >00  030 6 00 ó 0B 

PA&A &-OL-& 

HCu%l es la pro'a'#l#dad de .ue una carta, escog#da al azar, de una 'ara/a con(enc#onal, sea re+ o corazónI



E,enos Independ$enes( !os o m%s e(entos se cons#deran #ndepend#entes s# los e(entos en n#ng4n momento se a"ectan el uno al otro, es dec#r, la ocurrenc#a de uno no a"ecta so're la ocurrenc#a del otro =órmula P;A + $< 6 P;A<  P;$< 6



Pág. 18 (No. 42)

Se apl$ca la Regla de la )+l$pl$cac$%n  e reemplazan, se de(uel(en ;)eto cla(e en el pro'lema<

E,enos Depend$enes( on e(entos depend#entes cuando la ocurrenc#a de uno depende de la ocurrenc#a del otro =órmula P;A + $< 6 P;A<  P;$8A<



Pág. 18 (No. 43)

P;$8A< 6 Pro'a'#l#dad de $ dado .ue +a ocurr#ó  A   #n reemplazo, no se de(uel(en ;teto cla(e en el pro'lema<

-?-MPLO -n una ca/a "uerte de una "#rma de conta'#l#dad, se t#enen 1 compro'antes de depós#tos monetar#os, de los cuales  corresponden al Almacén C#el#to L#ndo,  al Almacén $uen *ogar + el resto al  Almacén La -strella 1 9 # se etraen 3 compro'antes s#n reemplazo, ;no se de(uel(en< 7allar las s#gu#entes pro'a'#l#dades a< ue el tercero sea del Almacén $uen *ogar, s# los dos pr#meros tam'#én lo "ueron  '< ue los tres sean del Almacén $uen *ogar c< ue sea uno de cada almacén 2 9 e etrae un compro'ante + luego se reemplaza, otra etracc#ón se real#za después del reemplazo, 7allar la pro'a'#l#dad ue am'as etracc#ones sean del Almacén La -strella

a) Que el tercero sea del Almacén uen !ogar" s# los dos $r#meros tam%#én lo &ueron. P(1) ' 7 " P(2)  solo usar P (3) ' 1 1

 ' 0.371 * 100 ' + ,, 35.71 % 14

%) Que los tres sean del Almacén uen !ogar P (1"2"3) ' 7 *  *  ' 0.02 * 100 1 1 14

' + ,, 6.25 %

c) Que sea uno de cada almacén P (1"2"3)'

 1

*

7 1

*

4 ' 0.041 * 100 14

' + ,, 4.17 %

2-e e/trae un com$ro%ante  luego se reem$laa" otra e/tracc#n se real#a des$ués del reem$lao" allar la $ro%a%#l#dad a.) Que am%as e/tracc#ones sean del Almacén 5a 6strella. P (1"2) 4 * 4 ' 0.02 * 100 ' + ,, 6.25 % 1 1

 APLICACI5N PR"CTICA 

 A cont#nuac#ón se presenta una ser#e de e/emplos en los cuales se apl#can cada una de las reglas +a #nd#cadas



PROBLEMA No. 1: Cuatro empresas de transporte tienen 3 rutas que cubrir con diferentes buses Empresa  A B C D Total

Ruta 1 3 4 0 5 12

Ruta 2 2 4 4 5 15

Ruta 3 0 3 5 2 10

Total 5 11 9 12 37

# se selecc#ona un %us se u#ere sa%er la s#gu#ente $ro%a%#l#dad a)Seeccionar un bus de a ruta 1 P(A) = 12/37 = 0.3243 o 32.43% R// la probabilidad de seleccionar un bus de la ruta 1 es de 0.3243

b) Seeccionar un bus de a empresa C P(A) = 9/37 = 0.2432 o 24.32% R// la probabilidad de seleccionar un bus de la empresa C es de 0.2432

Continuación …PROBLEMA 1

Empresa  A B C D Total

Ruta 1 3 4 0 5 12

Ruta 2 2 4 4 5 15

Ruta 3 0 3 5 2 10

Total 5 11 9 12 37

c) Seeccionar un bus de a ruta 3 o de a empresa D Como son parciamente e!cu"entes# es decir tienen eementos en com$n " otros no% P(A o ) = P(A) ! P() " P(A) A# $ue sea de la ruta 3 = 10/37 # $ue sea de la empresa % = 12/37 &lemento Com'n entre ambas = 2/37 P(A o ) = 10/37 ! 12/37 " 2/37 = 20/37 P(A o ) = 0.5405 = 54.05%

d)Seeccionar un bus de a ruta 2 que sea soamente de a empresa A A# $ue sea de la ruta 2 # $ue sea de la empresa A P(A ) = 2/37 = 0.0541 = 5.41%

PROBLEMA 2

Compras De % 0%01 a % 100%00 De % 100%01 a % 500%00 De % 500%01 a % 5000%00 Total

&ombre 1*0 120 35 315

'u(er   100 145 12 257

Total 20 25 !7 572

# se selecc#ona una com$ra se u#ere sa%er la s#gu#ente $ro%a%#l#dad a)ue sea de mu(er " de % 0%01 a % 100%00 A# compra de muer # compra de . 0.01 a . 100.00 P(A * ) = 100 / +72 = 0.1748 ó 17.48%

b) ue sea de % 100%01 a % 500%00 P(A) = 2,+/+72 = 0.4,33

c) ue sea de +ombre P(A) = 31+/+72 = 0.5507 o 55.07%

Continuación PROBLEMA 2

Compras

&ombre

Total

'u(er  

0%01 a % 100%00

1*0

100

20

De % 100%01 a % 500%00

120

145

25

De % 500%01 a % 5000%00

35

12

!7

315

257

572

De %

Total

d) ue sea de mu(er , de % 500%01 a % 5000%00 A # compra de muer # compra de . +00.01 a . +000.00 P(A o ) = P(A - ) = P(A) ! P() " P(A) P(A o ) = 2+7/+72 ! 47/+72 " 12/+72 = 292/+72 P(A o ) = 0.5105 ó 51.05%

e) ue sea de +ombre , de % 100%01 a % 500%00 A# compra de ombre # compra de . 100.01 a . +00.00 P(A o ) = P(A - ) = P(A) ! P() " P(A) P(A o ) = 31+/+72 ! 2,+/+72 " 120/+72 = 4,0/+72 P(A o ) = 0.8042 ó 80.42%

PROBLEMA 3 Se tiene a si-uiente informaci,n Ciente

Documentos

 A

5

B

.

C

4 1*

!allar las s#gu#entes $ro%a%#l#dades Sacando documentos sin reempa/o dependientes) a)a probabiidad de sacar un documento que sea de ciente A P(A) = +/1, = 0.3125 ó 31.25%

b) a probabiidad con(unta de sacar 3 documentos que sean de ciente B A# documento # documento C# documento P(A *  * C) P(A *  * C) P(A *  * C)

de cliente  en 1. &traccin de cliente  en 2. &traccin de cliente  en 3. &traccin = P(A)  P(/A)  P(C/A) = 7/1,  ,/1+  +/14 = 210/ 33,0 = 0.0625 ó 6.25%

CONT"N#AC"$N …PROBLEMA 3 Ciente

Documentos

 A

5

B

.

C

4 1*

c) a probabiidad de sacar 3 documentos en e orden si-uiente ciente A# B " C A# documento # documento C# documento P(A *  * C) P(A *  * C) P(A *  * C)

de cliente A en de cliente  en de cliente C en = P(A)  P(/A) = +/1,  7/1+  = 0.041,7

1. &traccin 2. &traccin 3. &traccin  P(C/A) 4/14 = 140/ 33,0

d) Se sacan 3 documentos% a probabiidad de que e tercer documento sea de ciente B# si os dos primeros tambin o fueron A# documento de cliente  # documento de cliente  A *  *a se dieron $ueda C# documento de cliente  P(C/A) = +/14 = 0.3+71

en en de en

1. &traccin 2. &traccin incnita el tercer e5ento 3. &traccin

PROBLE)A No. 8 5na empresa t#ene #n(ers#ones en ttulos pr#(ados, estos est%n clas#"#cados de acuerdo al plazo de (enc#m#ento + casa de 'olsa de  (alores, la #n"ormac#ón es la s#gu#ente a/os meses) 1a3 4a* . a 12 13915

oba 14 35 30 20

Corporaci,n Burs6ti 2. 15 10 :

Capita e 7n8ersiones . 5 22 12

e p#de calcular las s#gu#entes pro'a'#l#dades a< elecc#onar un ttulo de Cap#tal e :n(ers#ones  '< elecc#onar un ttulo con (enc#m#ento de @ a  meses c< elecc#onar un ttulo con (enc#m#ento de 1 a 3, o de  a 12 meses d< elecc#onar un ttulo con (enc#m#ento de 1 meses e< elecc#onar un ttulo de Corporac#ón $urs%t#l con (enc#m#ento de @ a  meses

A) elecc#onar un ttulo de :a$#tal e ;n
DISTRIBUCIONES DE PROBBI!IDDES CP A O%CAR NO& L$PE' COR($N) M%C CPA O%CARNOE*LOPE'COR(ON.COM.+T

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES De#$n$c$%n(



La !#str#'uc#ón de pro'a'#l#dades es un l#stado de las pro'a'#l#dades de todos los pos#'les resultados .ue podran o'tenerse s# el eper#mento se lle(ara a ca'o

T$pos de D$sr$'+c$ones( !#scretas + Cont#nuas 

Las !#scretas t#enen un n4mero l#m#tado de (alores, m#entras .ue en las Cont#nuas la (ar#a'le .ue se est% cons#derando puede tomar cual.u#er (alor dentro de un #nter(alo dado

DISTRIBUCI5N BINO)IAL De#$n$c$%n(  -s una d#str#'uc#ón d#screta de pro'a'#l#dades, conoc#da tam'#én con el nom're de !#str#'uc#ón de $ernoull#, en 7onor al matem%t#co ?aco'o $ernoull# .ue "ue .u#en la der#(ó urge de manera natural cuando los e(entos dependen de una pro'a'#l#dad "#/a de presentarse QpR, + cuando el n4mero de prue'as es l#m#tado Nos pro(ee de un modelo adecuado para muc7as d#str#'uc#ones estadst#cas .ue suceden en la naturaleza, la economa, las "#nanzas, prue'as ps#cológ#cas + educat#(as, etc La d#str#'uc#ón de pro'a'#l#dad '#nom#al se 'asa en el desarrollo del '#nom#o, as n n Pág. 18 (No. ;a > '< 6 ;p > .< 44) dónde  p 6 pro'a'#l#dad de é#to  . 6 pro'a'#l#dad de "racaso  n 6 n4mero de ensa+os

Caracer9s$cas del B$nom$o( 1 -l n4mero de elementos del desarrollo del 2 3 @ 

 '#nom#o es n>1 -n el pr#mer térm#no QpR aparece con un eponente #gual al eponente del '#nom#o + luego d#sm#nu+e de uno en uno -n el segundo térm#no el eponente de Q.R es uno + luego aumenta de uno en uno 7asta tener un eponente #gual al del '#nom#o Los coe"#c#entes de los térm#nos son s#métr#cos La suma de los eponentes de cada térm#no es s#empre #gual a n

 Apl$cac$%n de la D$sr$'+c$%n B$nom$al 1 Cuando los resultados o'ten#dos pueden clas#"#carse

2 3 @ 

en 2 categoras ;d#cotoma< -/es Cursos apro'ados  + repro'ados, artculos de"ectuosos + en 'uen estado, tra'a/adores e"#c#entes + de"#c#entes, m%.u#nas product#(as e #mproduct#(as  Cada #ntento t#ene solamente 2 resultados pos#'les ;é#to o "racaso<   La pro'a'#l#dad del resultado de cual.u#er #ntento permanece "#/o con respecto al t#empo  Los e(entos son estadst#camente #ndepend#entes, es dec#r, el resultado de un e(ento no altera a otro  Cuando la pro'a'#l#dad de "racaso ;.< es #gual a 19p  + p>. es #gual a uno

D"#a$$&& '"& Bn

E:emplo

Pág. 18 (No. 44)

Cont#nuac#ón del e/erc#c#o  '< O'tener menos de 2 artculos con error P; S 2< 6 P;0< > P;1< P; S 2< 6 00@ > 012@ 6 02332 c<

 Al menos  artculos con error P; T < 6 P;< > P;< P; T < 6 003@ > 000@0F 6 00@0F

d< O'tener mas de uno pero no mas de cuatro artculos con error P;1S U @ < 6 P;2< > P;3< > P;@< P;1S U @ < 6 03110@ > 02@ > 0132@ P;1S U @ < 6 02

ESTDI*R+OS DE ! DISTRIBUCI,N DE PROBBI!IDDES BINO-I! Pág. 19 (No. 4-1) PROMEDIO ARITMETICO

X = n * p

VARIANZA

S2 = n * p * q

DESVIACION ESTANDAR 

S = n * p * q

COEFICIENTE DE VARIACION

CV = S X

COEFICIENTE DE SESGO

 b1 =

*

100

q–p S

COEFICIENTE DE CURTOSIS

C = 3 + 1 –  !p*q"

S2

Para Resol,er #  de 18 $roectos de <#<#endas <#olan el cd#go de construcc#n" >cuál es la $ro%a%#l#dad de ue un #ns$ector de <#<#endas" ue selecc#ona aleator#amente a cuatro de ellas" descu%ra ue 1. N#nguna de las casas <#ola el cd#go de construcc#n 2. ?na <#ola el cd#go de construcc#n 3. =os <#olan el cd#go de construcc#n 4. Al menos tres <#olan el cd#go de construcc#n

DISTRIBUCI5N NOR)AL 

6 :@N@:6 AB;6N :@N 65 N@B+6 =6 DISTRIBUCION DE *USS

 #ene algunas $ro$#edades ue la acen a$l#ca%le a un gran nCmero de s#tuac#ones en las ue es necesar#o acer #n&erenc#as med#ante la toma de muestras. :as# se aDusta a las d#str#%uc#ones reales de &recuenc#as o%ser


DISTRIBUCI5N NOR)AL Puede co#nc#d#r mu de cerca con las d#str#%uc#ones de &recuenc#as o%ser
Caana '" *au##

00

00











CRCTERSTICS 1. 5a cur
4. 

el coeFc#ente de sesgo es #gual a cero. (%1'0) Buestra $ocos
CRCTERSTICS . 5a sumator#a del área %aDo la cur
CRCTERSTICS 10.5a med#a ar#tmét#ca mas  menos  ?na des<#ac#n estándar cu%re un 8.2J de los casos (HI"-'8.2J).  =os des<#ac#ones estándar cu%re el 9.4J de los casos (HI2'9.4J).   res des<#ac#ones estándar cu%re el 99.72J de los casos. (HI3'99.72J). 11.) 5a med#a ar#tmét#ca mas o menos una des<#ac#n med#a cu%re el 8J de los datos (HI-=B' 8J) .

RES B0O ! CUR NOR-! ;-NE0O DE ! TB! DE RES 5a ta%la $ro$orc#ona
RES B0O ! CUR NOR-!

 oda el área ' 1

 oda el área ' 100 J

RES B0O ! CUR NOR-!

0.  0 J

0.  0 J

0%3413

; < 91

0%3413

; <1

=Cu6nta 6rea +a" entre a media " ; < 1%45

; < 1%45

ara ; < 1%45  >rea < 0%42*5

=Cu6nta 6rea +a" entre a media " ; < 1%45

42. J

0.42

; < 1%45

=Cu6nta 6rea +a" entre a media " ; < 91%55

Por ser s#métr#ca se lee #gual en la ta%la

 = 1.55

=Cu6nta 6rea +a" entre a media " ; < 9 1%55

43.94 J

0.4394

 =  1.55

Cun9a $"a :a; "n9$"  = 1.25 ;  = <.8

0.3944

L ' -1.2

0.33

L'0.98

0.3944 I 0.33 ------------<.73<

73.09 J

>:uánta área a entre L ' -1.2  L ' -0.98

0.33 0.3944  L ' -1.2

L'-0.98

0.3944 0.33 ------------<.<57

.79 J

>:uánta área a arr#%a (a la dereca" más de) de L ' 1.9 0.000 O 0.470 ---------<.<25<

2. J

0.47 0. L ' 1.9

>Qué
0.47

0.47

9 J  0.9

ara 6rea < 0%4.50 ' , 1.9

>Qué
0.47

0.02

0.02*2'0.0   J

0.47 0.02

9 J  0.9

L ' -1.9

L ' 1.9

E
&>a>?n ENCONTRR PROBBI!IDDES 6l $romed#o ar#tmét#co de los #ngresos de 00 em$resas es de Q10.00 (m#les de Q.) su
=atos H ' 10.00  ' 1 (+a cuadrada de 2) N = >?? # se sa%e ue las
CSOS PRCTICOS @&>a>?n ENCONTRR PROBBI!IDDES 6l $romed#o ar#tmét#co de los #ngresos de 00 em$resas es de Q10.00 (m#les de Q.) su
=atos H ' 10.00  ' 1 (+a cuadrada de 2) N = >?? # se sa%e ue las
Ca-o 1 C!CU!R ! PROBBI!IDD AUE UN !-CN TEN* IN*RESOS ENTRE A 15<  A 16< -I!ES. DE-S INDIAUE AU C  N T I D  D D E E - P R E S  S R E P R E S E N T . DTOS  = 15< NO SE P!IC !I-ITE RE! PORAUE ES E! ORI*EN  = 16<.5 S = 16 =  =16<.515< 24.54% 16



=

< . 6 6 T B !   R E  S

=

<.2454 =

!  P R O B  B I ! I D  D A U E !  S E - P R E S  S T E N *  N  E N T S E N T R E A 15<  A 16< -I!ES ES DE 24.54% !OS 6<< !-CENES POR 24.54% ES I*U!  147 !-CENES. (CNTIDD DE !-CENES)

2r&#$ca Caso 0  6 10

 6 10

8.8

Ca-o 2 :alcular la $ro%a%#l#dad de ue una em$resa tenga #ngresos entre Q 13  Q 10 m#les. L'/-H ' 

134. -10' L ' -0.987 ' 1

-0.97

5uego %uscar área 0.97 en a%la reas ' 0.3340 L ' 33.40J

+, 5a $ro%a%#l#dad ue un almacén tenga #ngresos entre Q13.00  Q10.00 m#les es de L' 33.40J

2r&#$ca Caso  10 13@

33@0B

Ca-o 3 Cua es a probabiidad de que una empresa ten-a in-resos entre 121%00 " 1*5%00 mies a)Datos ?<150 ?<120%50 S<1* ;<@ ;< 120%509150 < 91%:4 aba >reas < 0%4*.1 1*

 '< !atos 610 610 61 V6I

V610910 6 0F 6 0F )a'la %reas 6 033@0 1 Luego sumamos am'as respuestas   0@1 > 033@0 0011 6 011B

La pro'a'#l#dad de .ue un almacén tenga (entas entre 12100 + 100 es de 011B

2r&#$ca Caso 

Ca-o ! :alcular la $ro%a%#l#dad de ue una em$resa
L'

L ' 13. O 10 ' -0.91 6l dato o%ten#do al ser 1 negat#
0.000 (I) 0.318 ' 0.818 * 100 '

81.86%

+es$uesta 5a $ro%a%#l#dad de ue un almacén
2r&#$ca Caso 8

31B

000B

= 0.> 

Ca-o 5 Calcular la pro'a'#l#dad de .ue una empresa tenga #ngresos menores a 1000 m#les, s# la med#a ar#tmét#ca es 1000 + la des(#ac#ón est%ndar es de 100 ;c#"ras en m#les< !A)O  6 1F  6 10  6 1

=W&M5LA V6  

V 6 122 'uscando en Tabla Áreas 6 03 03>   0000 .   0

5):)5X-N!O V 6 1F  10 1 V63B

2r&#$ca Caso  610 6 10

000B 3B

B

Ca-o  Cual es la pro'a'#l#dad de .ue una empresa tenga #ngresos #n"er#ores de 12000 m#les !atos  Y  6 10  6 11F0  6 1 V6I V 6 11F  10 6 91F1 )a'la %reas 1

Zrea 6 0@1F

0000 9 0@1F 6 0021 6 .0

2r&#$ca Caso > 10

120

 2 1B

Ca-o 7

 :ual es la $ro%a%#l#dad ue una em$resa tenga #ngresos maores a Q 170 m#les Da9#   !5R)ULA  H ' 170. V6    H ' 10   ' 1 L' V6 10  10 6 V 6 1212 6 12 )a'la Zreas 6 03FF 1 0000 03FF ;9<

?.0?? La Pro'a'#l#dad de tener #ngresos mas  10 m#les es de 1003B

2r&#$ca Caso F 610

6 10

0?.?

Ca-o  :ual es la $ro%a%#l#dad ue una em$resa tenga #ngresos entre Q 120  QDa9# 13 m#les  H' 120 H' 10  ' 1 +?$u&a L' L'H - H  A) L ' 119. O 10 ' 1

L ' - 1 . 91 a%la reas ' 0 . 4719

) L ' 13. O 10 (-) 1

L ' - 0 . 91 a%la reas ' 0 . 318

+,, rea1 O rea 2

= < . 1533

5a $ro%a%#l#dad de tener #ngresos entre Q 120  Q 13 es de 1.33J

2r&#$ca Caso  1 0 13

12 0 15.33 % 31B @1FB

5

5s

Ca-o 9 Calcular la pro'a'#l#dad .ue un almacén tenga #ngresos entre 13 + 10 m#les  A. Daos V6I 612 6 10 6 1

!5R)ULA  V6    

V6 12  10 6 012 'uscar en Ta'la "reas 6 0223 6 1 B. Daos 6 10 V6 I 6 10 61

223B

!5R)ULA  V6    

V6 10  10 6 12 $uscar en Ta'la "reas 6 03FF 6 3FFB 1 Por d$#erenc$a  Almacenes  Zrea de 13 6 0223 00  011@ 6 0@@  Zrea de 10 6 03FF Por !e"ecto 6 0 Almacenes 011@ 00.F8

2r&#$ca Caso No. G

00.F8

223B

3FFB

e $u%l#ca Para ue los Resol,er &renos de los nue:uál es la $ro%a%#l#dad de ue los &renos del auto ue usted aca%a de com$rar duren a.) Bás de 3"000 m#llas %.) Benos de 33"900 m#llas c.) Benos de 37"00 m#llas d.) 6ntre 3"200  3"900 m#llas ;nd#ue tam%#én ué cant#dad de autos re$resentan

ENCONTRR !ORES :on la #n&ormac#n del $ro%lema anter#or" encuentre el
Da9#F / '   ' 1 H ' 10 =e la &ormula or#g#nal  ' / -H e o%t#ene la s#gu#ente   = S G  a) uscar a%la reas un
 = 154 R/



6ncontrar los #ngresos ue l#m#tan el 0J central de los casos. / ' L I H / ' -0.84 (1) I 10 /'

0.84 (1) I 10

 = 136.56  = 163.44

+, 6l 0J central de las #ngresos estarán com$rend#dos entre Q 13.  Q13.44

ORDENDS B0O ! CUR NOR-!

5a altura de la ordenada ue corres$onde al
=@N=6   R (/) ' Altura de cualu#er $unto N ' NCmero de elementos : ' ;nter
 APL:CAC:WN O&!-NA!A MZ:MA  =eterm#nar el nCmero de em$resas con #ngresos de Q 170.00 m#les



L'/ - H' 

170-10 ' 1.2
 R ' 00 H 4.0 ' 2700 ' 7. ' 8 em$resas 1(2.) 40 8 / 0.4783 ' 31 "$"#a#