PROBABILIDADES DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Sea el evento A, el espacio muestral Ω, entonces la probabilidad del evento A
P ( A) =
n( A) n ( Ω)
=
N ° Elementos. EventoA Ev entoA N ° Elementos. EspacioMue stral
es:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos de un espacio muestral la probabilidad de B dado A, es el numero P (B/A) que se define por. Se lee: P ( B / A) =
P ( A B ) P ( A)
“la probabilidad que B ocurra dado que A ha Ocurrido ” Ó“ la probabilidad de B dado A ”.
, P ( A) 0
PARTICIÓN PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL Se denomina partición partición del espacio muestral muestral Ω, a una colección de eventos A !,A",#,A $ que sean e%cl e%cluy uyen ente tes s y cuya cuya unió unión n es el espa espaci cio o mues muestr tral al Ω, es decir decir,, tales tales que verifi verifican can las si&uie si&uiente ntes s condiciones: !) P (Ai) ' , para cada i !, ", #, ") Ai ∩ A* φ ∀i ≠
A1
A2
…
AK
B
Partición de
p robabilidad total) TEOREMA (Regla de la probabilidad Si eventos: A!, A ",#, A$, constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B en Ω.
P (B) = ∑ P (Ai) P (B/Ai)
k
i!
TEOREMA (Regla de Bayes) Si los eventos: A!,A",#,A $ ,constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B de tal que P(B) >
P ( Ai / B) =
P ( Ai ) P ( Bi / Ai )
P ( B)
, i = 1,2,.., k
EJERCICIOS 9: PROBABILIDADES !.
+allar el spacio -uestral de los si&uientes e%perimentos: a) acimiento de un ser umano en relación al se%o. 0A12 3 -451 b) 1esultado de la evaluación nutricional de un menor de edad. 461782 3 8S461782 c) 1esultado del partido de 0óley entre Per9 y Brasil. AA1 3 P181 d) 6ipo de elasticidad de la demanda del producto ;<= >AS67?A @ 7>AS67?A 3 476A17A
".
8e una ca*a que contiene bolas ro*as, blancas y C aDules se e%trae una al aDar. 8eterminar la probabilidad de que sea (a) ro*a, (b) blanca, (c) aDul, (d ) no ro*a (e) ro*a o blanca (a) P (ro*a)
/!C
(b) P (blanca)
/!C
(c) P (aDul)
C/!C
(d) P (no ro*a)
E/!C
(e) P (ro*a o blanca) !/!C F.
n una muestra aleatoria de !" pacientes, se encontró que F de ellos tienen cGncer. H?uGl es la probabilidad de que un paciente ele&ido al aDar: a) H6en&a cGncerI
: P(cGncer) F/!"
b) Ho ten&a cGncerI : P (no cGncer) E/!" .
Sea el e%perimento: ;Se lanDan dos monedas simultGneamente=. +allar: a) l espacio muestral. HSon los resultados mutuamente e%cluyentesI HPor quJI l espacio muestral seria cara y sello b) >a probabilidad de obtener " caras n(b) ! P(b) 33333333 33333333 K (b) c)
>a probabilidad de que la primera moneda arro*e cara. n(c) ! P(c) 33333333 33333333 K (c) "
d) >a probabilidad de obtener ! sello y ! cara "?AB"C8LA
n(d) P(d) 33333333 K (d)
C.
" 33333333
6res electores ele&idos al aDar deben e%presar su opinión favorable o contraria a un proyecto de ley sobre comercio ambulatorio. Si se desi&nan las opiniones por F (favorable) y C (contrario), allar: a) l espacio muestral del e%perimento. HSon los resultados mutuamente e%cluyentesI HPor quJI Lavorable y contrario b) Probabilidad de que dos electores estJn en contra de la propuesta. n(b) " P(b) 33333333 33333333 K (b) M c) Probabilidad de que los F electores estJn en contra o los F electores estGn a favor de la propuesta. n(c) " P(c) 33333333 33333333 K (c) M d) Probabilidad de que por lo menos ! elector se opon&a a la propuesta. n(d) F P(d) 33333333 33333333 K (d) M
.
4na encuesta a ! personas para determinar la influencia de la televisión en el consumo de conservas enlatadas, arro*ó los si&uientes resultados: consumNan conservas d e la marca ;<= que propa&andiDaba la 60O "C consumNan conservas de la marca ;= que no propa&andiDaba la 60O y ! consumNan las dos marcas. Si se eli&e una persona al aDar, calcular la probabilidad de que: a) ?onsuma la marca ;<= b) ?onsuma la marca ;<= o ;=
/! QC/!
c) o consuma nin&una marca de conservas
"C/!
Q. n una muestra de " laboratorios quNmicos, se encontró que ! de ellos utiliDaban sólo insumos importados para la fabricación de sus productosO C utili Daban sólo insumos nacionalesO y " utiliDaban tanto insumos importados como nacionales. Si se eli&e un laboratorio al aDar, allar la probabilidad de que: a) 4tilice insumo nacional.
C/"
b) 4tilice insumos importados o nacionales. c) o utilice ni insumo nacional ni importado.
!Q/" F/"
M. Se llevaron a cabo " entrevistas para determinar la influencia de la edad y se%o en la demanda de un producto ;<=. >os resultados fueron: 8A8 (i)
S < 2 -AS?4>72(-)
L-72 (L)
626A>
" @ "E (!)
"
F @ FE (")
F
"
C
@ E (F)
FC
"
CE
C @ CE ()
"
C
"C
626A>
!"C
QC
"
Si se selecciona una entrevista al aDar. H?uGl es la probabilidad de que: a) ?orresponda a una persona de " a "E aRos de edadI P ( A) =
n( A) n( Ω )
=
60 200
=
0,3
b) ?orresponda a una persona del se%o masculinoI
P ( B) = c)
n( B ) n (Ω )
=
125 200
=
0,625
?orresponda a una persona entre " a "E aRos de edad o del se%o masculinoI P (C ) =
n(C ) n (Ω )
=
40 200
=
0,2
d) ?orresponda a una persona que ten&a entre " a "E aRos de edad o entre F y FE aRos de edadI P ( D ) =
n( D ) n (Ω )
=
116 200
=
0,58
e) ?orresponda a una persona que sea del se%o masculino o femeninoI P ( A) =
f)
n (Ω )
=
200 200
=1
?orresponda a una persona de a E aRos de edad, dado que es del se%o mas P ( A) =
E.
n( A)
n( A) n(Ω)
=
35 200
=
0,175
>a probabilidad de que un sociólo&o entreviste a por lo menos tres familias en un dNa, es ,F. H?uGl es la probabilidad de que entreviste a , ! ó " familias en ese dNaI.
!. n la ?ooperativa de Aorro y ?rJdito San -artNn, la &erencia sabe por e%periencia que la probabilidad de que un socio pa&ue a tiempo su prJstamo es de ,MO ademGs sabe que el C de los prJstamos pa&ados a tiempo an sido para financiar compra de artefactos elJctricos y el C de los prJstamos no pa&ados a tiempo an sido para el mismo fin. ?alcular la probabilidad de que un prJstamo que se aya eco para financiar l a compra de un artefacto elJctrico, no se pa&ue a tiempo. !!. >a mpresa A>P+A estG considerando realiDar un seminario de capacitación. 8e acuerdo con un estudio de mercado, la probabilidad que el seminario ten&a J%ito es ,M si su competencia, la empresa B6A no realiDa un seminario similarO en tanto que la probabilidad de J%ito es ,F si la empresa Beteta realiDa un seminario similar. AdemGs, la empresa A>P+A, estima que ay una probabilidad de , de que la empresa B6A realice el seminario. 8ado que el seminario de A>P+AO tuvo J%ito, H?uGl es la probabilidad que la empresa B6A, aya realiDado el seminarioI
AUTOEVALUACION !.
4n e%perimento consiste en ele&ir tres reciJn nacidos en un ospital de maternidad, en un dNa determinado, y observar si son de se%o masculino (-) o femenino (L). a) numerar todos los elementos del espacio muestral. A T(LLL) O(LL-) O(L-L) O(L--) O(-LL) O(-L-) O(--L) O(---)U b) numerar los elementos contenidos en el suceso que el n9mero de varoncitos nacidos, sea cero. B TLLLU c) ?alcular la probabilidad de encontrar : i) 8os reciJn nacidos del se%o masculino P (i ) =
ii)
n (i ) n ( Ω)
=
8
0,375
n(ii ) n( Ω )
=
3 8
=
0,375
A lo mGs ! nacimiento varón P (iii ) =
iv)
3
Por lo menos ! reciJn nacido del se%o femenino P (ii ) =
iii)
=
n(iii ) n ( Ω)
=
3 8
=
0,375
in&9n reciJn nacido del se%o femenino P (iv ) =
n(iv ) n (Ω )
=
1 8
=
0,125
". Se convocó a un concurso para ocupar la plaDa de 8irección de mpresas de ducación ?ontinua. A dico concurso se presentaron "C especialistas, de las cuales !" profesionales en 2bstetricia, M Administradores y C profesores. Si se selecciona un profesional al aDar para la entrevista. H?uGl es la probabilidad que se eli*aI a) 4n Administrador.
P ( A) =
n( A) n( Ω )
=
8 25
=
0,32
b) 4n Profesional en 2bstetricia o un profesor
P ( B) =
n( B) n( Ω )
=
17 25
=
0,68
c) 4n Administrador o un profesor.
P (C ) =
n(C ) n ( Ω)
=
13 25
=
0,52
F. Se an llevado a cabo numerosos estudios intensivos de la planeación de acer cursos a distancia, especNficamente a niveles tJcnicos. n uno de estos estudios se le pre&untó a ! *óvenes si estaban planeando acceder a este sistema, los cuales Q manifestaron que sN estaban planeando. 4nos meses despuJs se entrevistó a las mismas personas para ver si realmente accedieron a este sistema, M manifestaron que no accedieron a este sistema, sin embar&o ! que no abNan planeado, estGn en estos cursos. +acer la tabulación cruDada. 6otal
a.
6otal -encione un evento simple y ademGs un evento compuesto.
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 b.
?uGl es el complemento de planear acceder a este sistema de estudios a distanciaI
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 c. ?uGl es la probabilidad, de que un *oven ele&ido al aDar aya planeado acceder a este sistemaI VVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV d. ?uGl es la probabilidad que no aya planeado acceder a este sistema y realmente no aya accedidoI VVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV e. Si el encuestado planeó acceder a este sistema. ?uGl es la probabilidad que realmente aya accedidoI ---------------------------
----------------------------
-----------------------------
------------------------
---------------------------
.
----------------------------
-----------------------------
------------------------
?onsultores AmaDónicos, realiDa un estudio de mercado, sobre las tar*etas de crJdito a un &rupo de "! personas entre ombres y mu*eres en una tarde de muco movimiento comercial en el centro de la ciudad. manifestaron que tienen tar*etas de crJdito bancario del 7nterbanO !F, mostraron que tienen tar*eta de crJdito comercial de >a 7nmaculadaO tienen tar*etas de crJdito del Banco de ?rJdito y de la 7nmaculadaO M tienen tar*eta de crJdito del banco ?ontinental, de los cuales el C, tiene de tiendas titoWs -aret. 6otal
6otal a.
?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un transe9nte y que posea tar*eta de crJdito del banco continental. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
b.
?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un entrevistado y que ten&a tar*eta comercial de >a 7nmaculada o de 6itoWs. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
c.
?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un entrevistado y que ten&a tar*eta del 7nterban o de la 7nmaculada. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
d. Supon&a que sabemos que el entrevistado ten&a tar*eta de la 7nmaculada H?uGl es la probabilidad que ten&a tar*eta del ?ontinentalI VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV e.
Si un entrevistado tiene una tar*eta de crJdito comercial de 6itoXs. H?uGl es la probabilidad de no ten&a tar*eta del 7nterbanI VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
