Tarea
6. Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes, entonces Ac y B c son independientes.
Probabilidad condicional 1. Cierto autom´ ovil deportivo est´ a equipado con transmisi´ on autom´ atica o con transmisi´on manual, y se puede adquirir en uno de cuatro colores. Las probabilidades relevantes de las diversas combinaciones de tipo de transmisi´on y color son las sigientes: Tipo de Transmisi´ on A M
Blanco 0.15 0.15
Azul 0.10 0.05
Negro 0.10 0.15
Rojo 0.10 0.20
A={Transmisi´ on autom´ atica}, B={negro} y C={blanco}.
7. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y tres negras, y una segunda bolsa contiene tres blancas y cinco negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda bolsa. ¿Cu´al es la pribabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa? 8. Los pozos de petr´ oleo perforados en la regi´on A tienen una probabilidad de 0.2 de producir. Los pozos perforados en la regi´on B tienen una probabilidad de 0.09. Se perfora un pozo en cada regi´on. Suponga que los pozos producen de manera independiente.
a) Calcule P (A), P (B) y P (A ∩ B)
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que ambos pozos produzcan?
b) Calcule P (A|B) y P (B|A) y explique qu´e representa cada una de esas probabilidades.
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno produzca?
c) Calcule e interprete P (A|C) y P (A|C ′ )
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos uno produzca?
2. En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, que la tenga en la tapa es de 0.03 y que otras presenten una fisura en el costado y tapa es de 0.01. ¿Cu´al es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en el costado, dado que tiene una fisura en la tapa? ¿Cu´al es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en la tapa, dado que tiene una fisura en el costado? 3. La probabilidad de que un vuelo normalmente programado salga a tiempo es P (D)=0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P (A)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P (D ∩ A)=0.78. Encontrar la probabilidad de que: a) llegue a tiempo, dado que sali´ o a tiempo b) saliera a tiempo, dado que lleg´ o a tiempo c) si nos dan la informaci´ on de que el vuelo no sali´ oa tiempo, ¿Cu´ al es la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que no sali´ o a tiempo? 4. Se tiene una caja de fusibles que contiene 20 unidades de las cuales 5 est´ an defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se separan de la caja uno despu´es del otro sin reemplazar el primero. ¿Cu´ al es la probabilidad de que ambos fusibles esten defectuosos? 5. Siendo A1 , A2 y B tres sucesos tales que A1 ∩ A2 = φ, demostrar que P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B)
9. Tres m´aquinas A, B y C producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, de total de las piezas producidas en una fabrica. Los porcentajes de producci´on defectuosa de estas m´aquinas son: 3 %, 4 % y 5 %. a) seleccionamos una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuosas b) tomamos al azar una pieza y resulta ser defectuosa, calcula la probabilidad de haber sido producida por la m´aquina B. c) ¿qu´e m´aquina tiene mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Variables aleatorias discretas y Funciones de Probabilidad 10. Tres autom´ oviles se seleccionan al azar y cada uno se clasifica como equipado con motor diesel (S) o no diesel (F) (por lo cual los resultados son SSS, SSF, etc.). Si X =n´ umero de autom´ oviles con motor diesel, enumere cada resultado del espacio muestral ρ con su respectivo valor X asociado. 11. D´e tres ejemplos de variable aleatoria de Bernoulli. 12. Un taller de servicios para autom´ oviles sabe que el 45 % de las afinaciones se efect´ ua en autom´ oviles de cuatro cil´ındros, 40 % en autom´ oviles de seis cil´ındros y 15 % en autom´ oviles de ocho cil´ındros. Sea X =n´ umero de cil´ındros del siguiente autom´ ovil que se afinar´a.
a) ¿Cual es la funci´ on de probabilidad de masa de X? b) Dibuje una gr´ afica lineal y un histograma de probabilidad a partir de la funci´ on de probabilidad de masa del inciso a). 13. Sea X =n´ umero de neum´aticos con baja presi´ on de un autom´ ovil seleccionado al azar. a) ¿Cu´al de las siguientes tres funciones p(x) es una funci´ on de probabilidad de masa leg´ıtima para X y por qu´e no se permiten las otras dos? X p(x) p(x) p(x)
0 0.3 0.4 0.4
1 0.2 0.1 0.1
2 0.1 0.1 0.2
3 0.05 0.1 0.1
4 0.05 0.3 0.3
b) Para la funci´ on de probabilidad de masa leg´ıtima del inciso a), calcule P (2 ≤ X ≤ 4), P (X ≤ 2) y P (X 6= 0). c) Si p(x) = c(5 − x) para x = 0, 1, ..., 4, ¿Cu´al es el P4 valor de c? (Sugerencia: x=0 p(x) = 1) 14. Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis l´ıneas telef´onicas. Simbolicemos con X el n´ umero de l´ıneas en uso en un momento espec´ıfico. Supongamos que la funci´ on de probabilidad de masa de X est´ a dada en la tabla siguiente: X p(x)
0 0.1
1 0.15
2 0.2
3 0.25
4 0.2
5 0.06
6 0.04
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos a) {A lo m´as 3 l´ıneas est´ an en uso} b) {Menos de 3 l´ıneas est´ an en uso} c) {Por lo menos 3 l´ıneas est´ an en uso} d ) {Entre 2 y 5 l´ıneas est´ an en uso} e) Calcule y grafique la funci´ on distributiva acumulada
0; x<1 0,3; 1 ≤ x<3 0,4; 3 ≤ x < 4 F (x) = 0,45; 4 ≤ x < 6 0,6; 6 ≤ x < 12 1; 12 ≤ x
a) ¿Cu´al es la funci´ on de probabilidad de masa de X? b) Calcule P (3 ≤ X ≤ 6) y P (4 ≤ X) 16. Un embarque de siete televisores contiene dos unidades defectuosas. Un hotel hace una compra al azar de tres de los televisores. Si x es el n´ umero de unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribuci´on de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gr´afica como histograma de probabilidad. 17. Un distribuidor de aparatos electrodom´esticos vende tres modelos diferentes de congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9 y 19.1 pies c´ ubicas de espacio de almacenaje. Sea X =cantidad de espacio de almacenaje de un congelador comprado por el siguiente cliente. Supongamos que X tiene una funci´ on de probabilidad de masa: X p(x)
13.5 0.2
15.9 0.5
19.1 0.3
a) Calcule E(X), E(X 2 ) y V (X) b) Si el precio de un congelador con capacidad de X pies c´ ubicos es 25X−8.5,¿Cu´al es el precio esperado por el cliente que va a comprar un congelador? c) ¿Cu´al es la varianza del precio 25X−8.5 pagado por el cliente? d ) Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la capacidad real es h(X) = X−0.01X 2. ¿Cu´al es la capacidad real esperada del congelador comprado por el siguiente cliente? 18. Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Sea X el n´ umero de caras que ocurren. Encuentre: a) la distribuci´ on p(x) de X y E(X)
15. Una compa˜ nia de seguros ofrece a sus tenedores de b) la gr´afica de probabilidad y el histograma p´ olizas varias opciones diferentes para el pago de pric) la desviaci´on estandar de X mas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X =n´ umero de meses entre pagos sucesivos. La funci´ on de dis19. Suponga que E(X) = 5 y E[X(X − 1)] =27.5 ¿Cu´al tribuci´on acumulada de X es como sigue: es: a) E(X 2 )? (Sugerencia:E[X(X −1)] = E[X 2 −X] = E(X 2 ) − E(X)) b) V(X)
c) la relaci´on general entre las cantidades E(X), E[X(X − 1)] y V(X)?
Distribuciones de Probabilidad para variables aleatorias discretas 20. Calcule las siguientes probabilidades binomiales directamente de la f´ormula para b(x;n,p) a) b(3;8,0.6) b) b(5;8,0.6) c) P(3 ≤ X ≤ 5), n=8, p=0.6 d ) P(1 ≤ X), n=12, p=0.1 21. Una compa nia que produce cristal fino sabe por experiencia que 10 % de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificarse como de segunda. a) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qu´e tan probable es que s´olo una sea de segunda? b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? 22. Veinte por ciento de todos los tel´efonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando todav´ıa est´ a vigente su garant´ıa. De ´estos, 60 % pueden ser reparados y el otro 40 % debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una compa nia compra 10 de estos tel´efonos, ¿Cu´ al es la probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garant´ıa? 23. Un jugador de basquetbol est´ a a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. a) Sea X=1 si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X. b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el n´ umero de puntos anotados. ¿Tiene una distribuci´ on de Bernoulli? si es as´ı, encuentre la probabilidad de ´exito. Si no, explique por qu´e. c) Determine la media y varianza de Y. 24. Si X ∼Geom(p), ¿Cu´ al es el valor mas probable de X? a) 0 b) 1/p c) p d) 1
e) (1-p)/p2 25. Supongamos que la probabilidad de que un cohete alcance un objetivo es p =0.35, y el cohete se dispara repetidamente hasta alcanzar el objetivo. a) Encuentre el n´ umero esperado E(x) de cohetes que ser´an disparados. b) Determine P(X=7) c) Calcule la varianza 26. Para una distribuci´ on geom´etrica, se sabe que el valor esperado o valor medio esta dado como µx = E(X) = 1 p . Explique los casos cuando: a) p → 1 b) p → 0 27. Suponga que hay 300 errores de impresi´on distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 500 p´ aginas. Encuentre la probabilidad P de que una p´ agina dada contega: a) exactamente 2 errores de impresi´on b) 2 o m´as errores de impresi´on
