Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” GUÍA DE NUMEROS COMPLEJOS I) UNIDAD IMAGINARIA: Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a –1.
−1 , ya
Para eso definimos el símbolo i para indicar un número tal que: i² = – 1 ó i= −1 Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones. Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones: Ecuación x–3=1
Resolución
N
Z
Q
I
R
x+2=1 x∙2=1 x² + 1 = 0 Ejercicio 2: Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) x² + 4 = 0
b) x² + 5 = 0
c) x² – 10 = 2 x²
d) – x² – 9 = 0
e) 9 x² + 16 = 0
f) ( x + 5 )² = 10 x
h) ( x – 2 ) ( – x – 2 ) = 20
i) ( x – 8 )² = – 16 x
g)
1 −1 = 1 x² + 4
j) 3 ( 2 – 2 x ) = ( x – 4 ) ( x – 2 )
k) ( 2 x² – 1 )² = ( 1 + 2 x ) ( 1 – 2 x ) – 1
Potencias de la Unidad Imaginaria: Veamos algunas de ellas: i0 = 1 i1 = i i 2 = −1 i 3 = i 2 .i = −1.i = −i
i5 = i4 ⋅ i =1⋅ i = i
i 6 = i 4 ⋅ i 2 =1( −1) = −1
i 7 = i 4 ⋅ i 3 =1( − i ) = −i
i 8 = i 4 ⋅ i 4 = 1 ⋅1 = 1 i9 = i8 ⋅ i =1⋅ i = i
i 4 = i 2 ⋅ i 2 = ( −1)( −1) =1
i 4 n =1 i 4 n +1 = i i 4 n +2 = −1 i 4 n +3 = −i
Etc…
Ejercicio 3: Completen las potencias de i: a) i 127 =
e) i 94 =
i) i 33 .i 11 =
b) i 44 =
f) ( i 12 ) 4 =
j) i 2022 : i 3 =
c) i 242 =
g) ( i 3 ) 5 =
k) x + 1 = i 27
d) i 69 =
h) ( i 9 ) 27 =
l) x – i = i −3
II) NUMEROS COMPLEJOS Definición: A toda expresión en la forma “ a + b.i ”, donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria la llamaremos NÚMERO COMPLEJO. Notas: Al conjunto COMPLE de todos losmplejos números CJOSROLa)NUMEROS ( complejos, los denotaremos con la letra
.
Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” b) A cada número complejo lo denotaremos con la letra “z”, así: z = a + b i, o bien z = b i + a, con a∈ℜ y b∈ℜ. c) Si z = a + b i entonces llamaremos PARTE REAL al valor “a” y se denotará como Re(z)=a. Y llamaremos PARTE IMAGINARIA al valor “b”, denotado como Im(z)=b. d) Si Re(z)=0 se dice que z es un número IMAGINARIO PURO. Si Im(z)=0 se dice que z es un número REAL. e) Definición: (Igualdad de Complejos) Dos números complejos Z1 y Z2 son iguales siempre que Re(z1) = Re(z2) y Im(z1) = Im(z2) Los Números Complejos se pueden expresar de varias formas: Forma binomica: Es la manera como se han presentado hasta ahora: Ejemplos: Z1 = 2 + 3 i; Z2 = (1/3) – i; Z3 = – (1/2) i + 9;
Z4 = 2;
Z5 = 10 i
Forma canonica o de par ordenado: Se colocan, entre paréntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del complejo en cuestión. Ejemplos: Z1 = (2, 3); Z2 = (1/3,– 1); Z3 = (9, – 1/2); Z4 = (2, 0); Z5 = (0, 10) Forma trigonométrica o polar (Será explicada más adelante) Ejercicio 4: Completen la siguiente tabla: Número Complejo Z 5+3i
2–
Parte Real Re (z)
Parte Imaginaria Im(z)
2
8
–4
2/3
0
4
4
0
¿es complejo, real o imaginario puro?
3 i
5i
III) CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes: * El conjugado de z es z = a – bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es inverso aditivo) * El opuesto de z es – z = – a – bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas) Ej: z1 = – 1 – 2 i z1 = – 1 + 2 i – z1 = 1 + 2 i z2 = 4 i z2 = – 4 i – z2 = – 4 i z3 = 6 z3 = 6 – z3 = – 6 Ejercicio 5: Completen el siguiente cuadro: z
–z
z
⅔+¾ i 2–6 i –7+
3 i
–3 –
5 i
2–½ i
IV) REPRESENTACIÓN GRAFICA: El plano complejo es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO). Notas:
Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados como puntos o como vectores: EJE IMAGINARIO
EJE IMAGINARIO
Z1
Z1
Z2
Z3
Z2
Z3
EJE REAL
EJE REAL
Z4.
Z4.
Z5. Z5. (Complejos representados como puntos) (Complejos representados como vectores) Ejercicio 6: Representar los siguientes números complejos: z 3 = 2 – 3i z1 = – 1 – i z2 = – 3 + 2 i V) MÓDULO DE UN COMPLEJO: Se llama módulo de un número complejo a la longitud del vector que lo representa. Su notación será “
z
”, “
r
”ó“ρ”.
EJE IMAGINARIO z=a+bi b . . . . . .
Ejemplo: halla el módulo de z = − 3 + 4 i
. .
EJE REAL
z = ( −3) 2 + 4 2 = 9 +16 = 25
a
Por lo tanto: z =5
Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i
b) –3 + ½ i
c) ⅔ + i
VI) ARGUMENTO DE UN COMPLEJO: Se llama argumento del complejo z = a + bi al ángulo
θ
d) – 1 – i
EJE IMAGINARIO
que forman el vector que representa a z y el
semieje positivo real. Lo denotaremos así: Arg(z). El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre sí por un número enteros de vueltas: Arg(z) = θ + 2kπ, con k ∈ Z
z=a+bi b . . . . .θ . . EJE REAL a
Llamaremos argumento principal al que esta comprendido entre [0,2π) , o sea una vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo: Senθ = b ⇒ θ = arcSen b Cosθ = a ⇒ θ = arcCos a Tgθ = b ⇒ θ = arcTg b ρ ρ ρ ρ a a
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS En los siguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números complejos:
Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” Suma:
(2+3i)+(1–5i)
= (2+1)+(3–5)i =
3–2i
Resta:
(2+3i)–(1–5i)
=
1+8i
( 2 – 1 ) + ( 3 –(–5) i) =
Multiplicación: ( 2 + 3 i ) . ( 1 – 5 i ) = 2 . 1 + 2 . (–5i) + 3 i.1 + 3i .(–5i) = = 2 – 10 i + 3 i – 15 i² = 17 – 7 i (recordar que i² = –1) División: Para resolver la división de dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo: 2 + 3i 1 − 5i
=
2 + 3i 1 + 5i . 1 − 5i 1 + 5i
=
2 + 10i + 3i + 15i ² 1² − (5i )²
−13 +13i = 1 + 25
=
-
1 1 + i 2 2
Multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera. Ejercicio 8: Consideren los complejos: z1 = –2 + i resuelvan las siguientes operaciones:
;
z2 = 3 + 5 i ;
z3 = 4 – i
;
z2 = – 4 i ;
z3 = 7 + 2 i
y
a) z1 + z 2 – z 3 = b) z1 + z 2 – z 3 = c) z1 – z 3 = d) 5. z 3 = e) ( z1 + z 2 ). z 3 = f) (– z1 + z 2 ).( z1 – z 3 ) = g) z1 . z 2 – z 3 = h) ( z 3 )² = Ejercicio 9: Consideren los complejos: resuelvan las siguientes divisiones: z2 z1 z3 = = = a) b) c) z1 z3 z2
z1 = 3 – i
d)
z2 = z3
e) 16.
z3 z2
=
f)
y
1 = z1
EJERCICIÓS 1) Adición y Sustracción de Números Complejos: a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) = b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) = c) ( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) = 3 7 7 1 3 i ) + (– + i ) + ( − − i) = 5 4 10 4 10 2 4 3 2 1 28 3 e) ( + i ) + ( − i ) + ( + i ) + (− − i ) = 5 3 4 15 4 15 2 3 i 3 i 2 2 + )+( − )+( + i) + ( − i) = f) ( 2 2 2 2 2 2
R: ( 22, 10) R: ( 9 , 7 ) R: ( 0 )
d) ( – 8 +
R: (– 10 + i ) R: ( – i ) R: (
3+ 2
2) Multiplicación y División de Números Complejos: a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) =
R: ( 156 i )
b) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =
R: ( – 29 )
c) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) =
R: ( 2 )
3 4 d) – i. i = 5 3
R: (4/5)
)
Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” e) (
2+ 3
i) . (
3+ 2
i)=
R: (5 i )
2 2 2 + i ).( + 4i ).( − i) = f) ( 2 3 2
R: ( 1 + 6 i )
g) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) =
R: ( – 1 + 3 i )
h) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) =
R: ( – i )
i) (4 + 2 i ) : i =
R: ( 2 – 4 i )
1 2 2 1 j) (– + i ) : ( + i ) = 4 5 5 4
R: ( i )
k) (
2 + 3 i)
:(
2− 3
i)=
1 5
R: (– +
2 6 i) 5
3) Potencia de Números Complejos: a) i 60 = b) i 602 = c) i 77 = d) i 104 = 257 e) ( – i ) = f) ( – i ) 13 = g) ( 1 + i )² = h) ( 4 – 3 i)² =
(R: 2i) (R: 7 – 24 i)
2 1 + i )² = 5 2 2 3 j) ( + i )² = 7 5
9 2 + i) 100 5 341 12 + i) (R: – 1225 35
i) (
(R: –
4) Ejercicios combinados en C: a)
(1 + 2i )².i 47 = (3 − 2i ) − (2 + i )
i −253 (3 + 2i ) − (3 − 2i ) b) = (4 + 2i ) + (−2 + i )
c)
( 2 + i ) −1 .(2 + i )² = i 39 .(3 − 2i )
d)
2 − 2i ³ − 2i + = 3 − i5 1− i
e)
f)
2i (1 + i )² + = (1 − i )² 2i
(
2 2 + i )² = 2 2 1−i
CONTROL NÚMEROS COMPLEJOS 1) Dados los números complejos siguiente: z1 = 3 − 3i
z 2 = −4 + 4 3i 1 z 3 = − 3i 2
(R:
1 3 + i) 2 2
(R:
−5 +i ) 13
(R:
− 7 + 4i ) 13
Scuola Italiana Di Copiapó “Giuseppe Verdi” Realiza las siguientes operaciones con ellos, indicando por separado la parte real y la parte imaginaria del resultado. a) z1 + z 2 d) z1 / z 2
b) z1 − z 2 e) z1 + z 3
c) z1 ∙z 2 f) z1 ∙ z 3 + z 2 z1 ∙ z 2 g) z14 h) z 3 5 i) z3 2) Comprueba si el complejo 2 − i es una solución de la ecuación x 2 −2∙x −1 = 0 sin necesidad de resolver la ecuación 3) Determina el valor de “a” para que el complejo
a + 6i sea 2 −i
a) Un número real b) Un imaginario puro c) Esté situado en la bisectriz del segundo cuadrante 4) Resuelva las ecuaciones: a) (−2 + i) z = 3 + i . b) (2 + i)(1 + i ) = 2 + z i .
5) Realizar las siguientes operaciones con números complejos en forma binaria y representa gráficamente el resultado. 5 4
a) + 2 i ⋅ ( − 1 + 4 i )
b)
3 − 4i 5 + 2i
6) Realiza las siguientes operaciones primero en forma binómica y luego en forma polar, y comprueba que los resultados coinciden. a) ( − 2 − 2i ) ⋅ (2 − 2 2i )
b)
3 i 4 3 − 2i
− 10 −
c)
(−
2 + 2i
7) Realiza las siguientes operaciones combinadas con números complejos. a)
[ ( 4 − 3i ) − (3 − (3 + 3 ) i )] ⋅ 5[ 3 − 4i] ]
(1 + 3i ) b)
2 − 4i ⋅ 3 + i 3 − 3 + 3i
2
2
)3
