PRÁCTICA Nº 03 (Divisibilidad)
7.
Halla un número de tres cifras que sea múltiplo de 5 y que deje el mismo resto al ser dividido por 6, 8, 9 y 11. Da como respuesta el producto de sus cifras.
1.
F1N1 – 2008
¿Cuántos números enteros entre el 1 y el 100 son múltiplos de 6, pero no de 9?
a) 0 d) 315
b) 15 e) 360
c) 45
F1N1 – 2006 a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
8.
Consideremos el número N = 111 … 111 formado por 2008
dígitos iguales a 1. Calcula el resto que se obtiene al dividir
2.
La profesora le pide a Raúl que diga en voz alta un número natural x, a continuación, la profesora escribe en la
N entre 2002.
pizarra los números: x+2, 2x+2 y 4x+4. ¿Para cuántos valores de x se cumple que el promedio de los números escritos en la pizarra es un múltiplo del número que dijo Raúl?
a) 1 d) 1111
F1N1 – 2006 a) 0 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
F1N1 – 2008 b) 110 e) 2001
c) 1001
9. Ariel escribe los números desde el 1 hasta el 200. Bernardo elimina todos los números cuya suma de sus cifras es 12 y, de los restantes, Carlos elimina aquellos que son múltiplos de 12. Halla la cantidad de números que quedaron al final.
3.
F1N1 – 2008
Halla el valor de K, sabiendo que es un número entero que a) 185 d) 173
cumple 1335 +1105 + 845 +275 = k5
b) 172 e) 175
c) 180
F1N1 – 2007 a) 134
b) 144
d) 164
e) 174
10. ¿Cuál es el menor múltiplo de 125 cuya suma de cifras es
c) 154
125? Da como respuesta la suma de las 4 cifras de dicho número que están más a la derecha.
F1N1 – 2008 4.
¿Cuál es el menor número de la forma aabbccc que es múltiplo de 836? Da como respuesta la suma de sus cifras.
a) 29
b) 14
d) 18
e) 21
c) 17
F1N1 – 2007 a) 14
b) 16
d) 20
e) 22
d) 18
11. Carlos vende cubos mágicos por mayor. Los vende en cajas que contienen exactamente 12 cubos. Si dispone de 500 cajas vacías y N cubos. ¿En cuál de los siguientes casos le
5.
Si N = 20082008, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
faltan cubos para tener un número exacto de cajas llenas de
falsa?
cubos?
F1N1 – 2009
F1N1 – 2008 a) N es múltiplo de 2008.
a) N = 1524
b) N = 5124
b) N no es múltiplo de 9. c) N + 1 es un número compuesto.
d) N = 1452
e) N = 2514
d) N2 es un múltiplo de 7.
12. ¿Cuántos números capicúas de 5 dígitos no son múltiplos
e) N es múltiplo de 8.
6.
c) N = 5412
de 5? Aclaración: Un número capicúa es aquel que leído de
En un juego infantil se van diciendo números consecutivos del 1 al 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 ó un número que termina en 3. El juego termina cuando se llega al número 100. ¿Cuántas veces se aplaudió durante el juego?
F1N1 – 2008 a) 10
b) 33
d) 43
e) 47
c) 39
izquierda a derecha es el mismo que leído de derecha a izquierda, por ejemplo, 1221 y 34043 son capicúas.
F1N1 – 2009 a) 720 d) 576
b) 900 e) 800
c) 729
ADICIONALES
13. ¿Cuál es el menor número de 6 dígitos distintos que es múltiplo de 8? Da como respuesta la suma de los dígitos de
1.
dicho número. a) 19
b) 20
d) 22
e) 23
Los enteros positivos m y n satisfacen 15m = 20n. Entonces es posible afirmar, con certeza, que mn es múltiplo de:
c) 21
a) 5
b) 10
d) 15
e) 20
c) 12
14. En un año, el máximo números de meses que tienen cinco domingos es: a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
2.
c) 5
¿Cuántos números enteros positivos menores que 900 son múltiplos de 7 y terminan en 7? a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
15. Luis compró una revista en E.E.U.U. a $ 9,63 y pago con un billete de $ 10.00. ¿De cuántas maneras puede recibir la
3.
devolución de 37 centavos en monedas, de denominación
es:
de 1, 5, 10 y 25 centavos?. Supongamos que hay muchas
a) 0
b) 1
monedas de cada tipo.
d) 6
e) 8
a) 10
b) 12
c) 3
c) 15
4. d) 24
1111111111 22222
El resto de la división por 9 de
Considere los 2161 productos
e) 30
0 2160 2160 , 1 2159 , 2 2158 2158 , ..., 2160 2160 0 . ¿Cuántos de ellos son los múltiplos de 2160?
16. ¿Para cuantos enteros positivos m el número
2004
m2 2
es un
a) 2
b) 3
c) 12
d) 13
e) 2161
entero positivo?
5. a) uno
b) dos
d) cuatro
e) más de cuatro
c) tres
17. Ana digito correctamente un múltiplo de 7 muy grande, de
El número
6.
a) 5
b) 1
d) 4
e) 6
a) 15
d) 6
e) 7
c) 5
d) 1983
e) 1984
c) 27 e) 16
Sea N un número natural que tiene 20 divisores compuestos (b –a)
a
(a + 1) b
La suma de las cifras de N es:
19. Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: el
c) 1982
b) 9
N=a
los otros cuatro. ¿Cuál es ese número? a) 20 b) 24 c) 28 d) 38 e) 42
b) 1981
ab 2 .cd
y cuya descomposición canónica es:
18. Uno de los cinco números a seguir es divisor de la suma de
a) 1980
y
d) 18
7.
producto de los elementos de cualquier subconjunto de S = {1; 2; … ; 2010}, con n elementos, es múltiplo de 2010. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar n? F1N1 – 2008
c) 3
Hallar “a + b + c + d”, si: abcd 99
cifras 1, una cifra n y 2005 cifras 2. ¿Cuál es el valor de n? b) 4
al ser divido entre 4, 9 y 25 deja como
residuos 3, 4 y 8. Hallar a
4010 cifras. De izquierda a derecha, las cifras son son 2004
a) 3
2abbc
8.
a) 13
b) 12
d) 10
e) 9
c) 11
¿En qué cifra termina la suma de todos los números de la forma nmnm1 que son múltiplos de 3? a) 3
b) 4
d) 0
e) 2
c) 1
5.
A un congreso internacional de matemática asistieron 520 personas. Se sabe que 310 personas son sudamericanas y
PRÁCTICA Nº 04
que la cantidad de peruanos es la mitad de los que no son sudamericanos. ¿Cuántos peruanos asistieron al congreso?
(Conjuntos) 1.
F1N1 – 2009 a) 100 d) 111
En un grupo de 120 alumnas de una institución educativa, 48 alumnas han nacido en la costa, 28 han nacido en la sierra y el resto han nacido en la selva; 62 tienen tienen ojos negros y las otras ojos pardos. Existen 15 alumnas nacidas en la costa que tienen ojos negros y 31 alumnas nacidas en la selva que
6.
a) 40 d) 46
c) 45
El director de un colegio salió de vacaciones a la ciudad de
Se hizo una encuesta a 200 secretarias. De ellas, 40 eran
Arequipa. Durante sus días de vacaciones se cumplió lo
limeñas, 50 eran arequipeñas y 90 dominan el idioma inglés; de estas últimas, 65 no son limeñas y 60 no son
siguiente:
arequipeñas. ¿Cuántas de las secretarias no son limeñas ni arequipeñas ni dominan el idioma inglés?
- Llovió siete veces en la mañana o en la tarde. - Cuando llovió en la tarde estuvo clara la mañana. - Hubo cinco tardes claras y seis mañanas claras.
F1N1 – 2005
3.
b) 42 e) 50
c) 12 7.
2.
¿Cuántos elementos del conjunto {10; 11; 12; … ; 99}
F1N1 – 2009
F1N1 – 2004 b) 11 e) 14
d) 115
cumplen que la suma de sus dígitos es un número par ?
tienen ojos negros. ¿Cuántas alumnas nacidas en la sierra de ojos pardos hay en el grupo?
a) 10 d) 13
b) 105 e) 91
a) 35
b) 110
d) 105
e) 75
¿Cuántos días estuvo de vacaciones el director?
c) 90
F1N2 – 2004 a) 8 d) 10
En un salón de clases hay 35 estudiantes. De ellos se sabe que: 8.
• Siete varones aprobaron Matemática.
b) 9 e) 30
c) 15
Considera el conjunto A = {1; 2; 3; … ; 2003}. ¿Cuántos
subconjuntos tiene A tales que la suma de sus elementos elementos sea 2 007 000?
• Seis varones aprobaron Lenguaje. • Cinco varones y ocho mujeres mujeres no aprobaron ninguno de
los dos cursos. • Dieciséis son estudiantes varones. • Cinco estudiantes aprobaron los dos cursos. • Once estudiantes aprobaron solo el curso de Matemática. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Lenguaje?
F1N1 – 2005
4.
a) 7
b) 2
d) 5
e) 8
c) 6
F1N2 – 2004
9.
a) Ninguno
b) 3
d) 1 002
e) 2 003
c) 4
Sea B un subconjunto del conjunto conjunto {1; 2; 3; … ; 20} tal que
si a y b pertenecen a B, entonces a + b es un número compuesto. Halla el mayor número de elementos que puede tener B
F1N2 – 2008
Un grupo de 64 turistas visita la ciudad de Moquegua. La cantidad de turistas que visitaron Omate es el doble de los que visitaron Ubinas, y la cantidad de turistas que visitaron solo Ubinas es igual a los que no visitaron ni Omate ni Ubinas. Si 8 turistas visitaron visitaron Omate y Ubinas ¿cuántos visitaron sólo Omate?
a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
10. En un salón de clases de 50 alumnos, 24 no trajeron el libro
de comunicación y 28 no trajeron el libro de matemática. Si
F1N1 – 2006 a) 8
b) 12
d) 32
e) 40
c) 16
14 estudiantes no trajeron el libro de matemática ni el de comunicación, ¿cuántos estudiantes trajeron solamente un libro?
F1N2 – 2009
a) 14
b) 28
d) 30
e) 20
c) 24
ADICIONALES
11. ¿Cuál es el menor entero positivo n para tal que cualquier
subconjunto de n elementos de {1, 2, 3, … ,20} contiene dos
01. Si A = {
números cuya diferencia es 8?
a) 2
b) 8
d) 13
e) 15
2 1 6 2 ; ; ; ; .... 0,4 }. Halle n(A) 3 2 5 3
a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
c) 12
02. De un grupo de turistas, 9 conocen Trujillo o Cuzco pero no 12. Con tres cifras distintas a, b, c es posible formar 6 números
de dos cifras distintas. ¿Cuántos conjuntos { a, b, c } son tales que la suma de los 6 números formados es 484?
Ayacucho; de estos 9, 8 conocen Cuzco y 4 Trujillo. Además, 25 han visitado Ayacucho o Trujillo, 7 conocen Cuzco pero no Trujillo y 2 han visitado Trujillo y Ayacucho pero no Cuzco. Si 4 turistas visitaron las tres ciudades.
a) uno
b) dos
c) tres
d) cuatro
e) más de cuatro
13. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener sumando
pares de números distintos del conjunto {1; 2; … ; 2006}?
¿Cuántos turistas habían en total? a) 26
b) 27
d) 29
e) 30
c) 28
03. En una reunión de la tercera edad, se realiza una encuesta
a 56 abuelitas sobre sus preferencias en el lavado planchado y en la cocina, obteniéndose:
a) 2006
b) 2007
d) 4011
e) 4012
De la que tiene menos de 70 años, a 12 les gusta lavar,
c) 4009
a 6 sólo cocinar y 8 sólo planchar De las que tienen 70 años o más, a 5 les gusta cocinar
pero no planchar , a 10 sólo lavar y a 4 sólo planchar 14. Un subconjunto de {1, 2, 3, …, 20} es superpar cuando
cualquier par de sus elementos tiene producto par. La mayor cantidad de elementos de un subconjunto superpar es: es: a) 3
b) 4
d) 7
e) 11
c) 6
15. Para cada subconjunto A de {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, sea p( A A)
el producto de sus elementos. Por ejemplo, p({1;2;4;5}) = 40 A) = 10! = 1 2 3 10 . Por convención, p 1. La e p( A 10
suma de todos los 2 productos p( A A) es igual a: a) 2
11
b) 11!
d) 211!
c) 11
11
Si a 5 abuelitas no les gusta realizar ninguna de las tres actividades y a ninguna abuelita que le gusta lavar, le gusta planchar. ¿A cuántas abuelitas les gusta planchar? a) 16
b) 18
d) 21
e) 22
c) 20
04. Dado el conjunto A = { – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}, ¿cuántos
subconjuntos de A poseen 3 elementos cuya suma es positiva? a) 12
b) 13
d) 15
e) 16
c) 14
e) 112! 05. En una reunión donde asistieron 50 personas:
16. ¿Cuál es la mayor cantidad de números que podemos elegir
del conjunto
1,2,3,,20
para que ninguno de ellos sea
el doble de otro? a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
5 mujeres mujeres tienen 17 años. años.
14 mujeres no tiene 18 años.
16 mujeres no tienen 17 años.
10 varones no tienen ni 17 ni 18 años. ¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años?
a) 17
b) 18
d) 20
e) 21
c) 19
