ELEMENTOS Y TÉRMINOS GEOMÉTRICOS INTRODUCCIÓN A través de los rasgos dejados por el hombre, se nota que él tenía ciertas nociones de geometría, esto se puede ver en la forma que tenían sus cuevas, sus herramientas de casa, sin saber que era geometría ya empleaban en sus construcciones formas de algunas figuras geométricas trazados por los elementos básicos de geometría.
Horizontal: Como la línea horizonte.
B) PUNTO El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor. En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos usaremos lA lA se lee punto A
C) LINEA Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
Como el hilo del plomo. Oblicua:
Cuando es distinta a las dos anteriores. Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota un símbolo. Por ejemplo: AB se lee recta AB Veamos: A
B L
También se usa una L o una R, especialmente en los casos en deben distinguirse varias rectas. SEMI-RECTA Es una recta L, cualquier punto P de esta recta lo divide en dos partes, cada una de la cuales se llama semi recta P
L
RAYO Parte de la recta, posee punto de origen “A” y es ilimitado en “B”
Curva
A
B
AB
Poligonal Mixta
SEGMENTO DE RECTA Porción de recta comprendida entre dos puntos, los cuales son los extremos.
D) RECTA La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: recta y plano.
A
A) ESPACIO
1º Secundaria
B
AB
Geometría
22
Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etc. Su símbolo es E.
Recta
La identificaremos con el dibujo Una recta puede tener dirección:
Vertical:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA A) ESPACIO
Por ejemplo:
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.
Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor. El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella. El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado.
B) AXIOMA Es una proposición evidente por si misma y no necesita demostración. Ejemplo:
Si a=2
y
a=b
=>
b=2
C) TEOREMA Proposición que mediante un razonamiento se hace evidente y consta de 2 partes: Hipótesis y tesis. Ejemplo: Sea el triángulo rectángulo ABC cuyos tres lados son a, b y c, se cumple que: B
P
Puntos y rectas: A) Vamos a determinar un punto del espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él? o ¿cuántas rectas pertenece ese punto?
Conclusión: Es la misma: “Por un punto del plano pasan infinitas rectas” B) Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor. A
B
Conclusión: “Dos puntos del espacio determinan una sola recta” TÉRMINOS MATEMÁTICOS A) PROPOSICIÓN Es un enunciado de una conclusión y tiene un solo valor de verdad puede ser verdadero o falso. Ejemplo:
2+2=5
(F)
A
a
b
C
TEOREMA DE PITÁGORAS c2 = a2 + b2 D) COROLARIO Es un proposición que se deduce de un teorema ya demostrado. Ejemplo: Si (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2, en ella se deduce que
(a - b) 2 = (b - a) 2
E) POSTULADO Proposición que sin ser evidente se admite su demostración. Ejemplo: - La recta es indefinida en sus dos sentidos - Por dos puntos pasa una recta y sólo una. - Pon un punto pasan infinitas rectas. - Toda porción de recta contiene infinitos puntos. F) LEMA Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar un teorema principal. Ejemplo: Para demostrar el área de un cuadrado, debemos demostrar primero el LEMA que dice “un cuadrado es un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales G) ESCOLIO Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado. Ejemplo: Todo número real “x” elevado al cuadrado excepto cero es mayor que cero. X2 > 0 H) HIPÓTESIS
1º Secundaria
<=>
X=0
Geometría
22
Hay planos horizontales, verticales y oblicuos. Cuando en una pequeña superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es una curva. Una representación de esto sería una bandera flameando. Analizando.
c
Punto de partida de una demostración lógica a partir de la cual se propone alcanzar la solución. INTERSECCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS FUNDAMENTO TEÓRICO 1. Intersección.- Es un conjunto de punto o puntos donde dos o más figuras geométricas se cortan. Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano. F
M
R
Recta y circunferencia tangentes entre si (1 pto. de intersección)
S
Recta y circunferencia secantes entre si (2 ptos. de intersección)
N (a)
(c)
(b)
En la figura (a) las rectas M y N se intersectan en un punto. En (b), R intersecta a la figura F en dos puntos y para (c), la intersección de S y la figura L, es de tres puntos. En todos los casos anteriores diremos que las figuras son secantes, se cortan en 1, 2 ó 3 puntos respectivamente.
No se intersecan (0 ptos. de intersección)
C. Veamos algunos gráficos de intersección entre un triángulo y una circunferencia.
2. Líneas Convexas.- Son aquellas que se intersecan con alguna recta, en un máximo de dos puntos.
22 1 punto
1
2 puntos
1 puntos 3 punto
2 1
2 4 puntos
2
1 1 2
3. Líneas no Convexas.- Si alguna recta secante determina sobre ellas, más de dos puntos de corte. 1 1 2
3
2
5 puntos
6 puntos
Notamos que, el mínimo número de puntos de intersección (diferente de cero) entre estas figuras, es 1 y el máximo: 6 4. MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE 4.1 MNPC de “n” rectas secantes
3
4
MNPC= n(n-1)/2
1 2
3
1
2 3
4
Observaciones: A. Dos rectas contenidas en un mismo plano y que no se intersecan, reciben el nombre de paralelas.
B. Una recta y una circunferencia, pueden ser:
4.2 MNPC para “n” circunferencias Secantes Geometría
1º Secundaria
MNPC= n(n-1) Se intersecan, como máximo, en un número de puntos equivalentes al doble del número de lados del menor. Asi por ejemplo: 1 triángulo y 1 cuadrilátero.
4.3 MNPC para “n” triángulos MNPC= 3n(n-1)
2x3=6
1 cuadrilátero y 1 pentágono. 4.4 MNPC para “n” ángulos MNPC= 2n(n-1)
2x 4=8
1 cuadrilátero y 1 circunferencia 4.5 MNPC para “n” cuadriláteros convexos 2x 4=8
La circunferencia se considera como un polígono de infinitos lados.
4.8 MNPC paralelas
4.6 MNPC para “n” pentágonos convexos
de n rectas secantes con p
MNPC= 5n(n-1)
MNPC = p . n
EN GENERAL: n polígonos convexos de L lados cada uno, se cortan como máximo en: MNPC= L . n(n-1)
Ejemplo 1. ¿En cuántos puntos se cortan, como máximo, 10 icoságonos convexos? Solución. n = 10 L = 20
p= 4 n= 5 MNPC = p . n MNPC = 4 . 5 = 20
4.9 MNPC de n circunferencias y m rectas
número de polígonos número de lados
MNPC = 2.m.n 8 circunferencias 2 secantes MNPC = 2.2.8 = 32
MNPC = L.n(n-1) 4.10 MNPC circunferencias
MNPC = 20.10(10 -1) = 1800
de
n
triángulos
y
c
MNPC = 6.n.c
Ejemplo 2. ¿En cuántos se intersecan, como máximo, 5 octógonos convexos?
10 triángulos 5 circunferencias MNPC = 6.10.5 = 300
Solución.
4.7 MNPC de dos polígonos de diferente número
4.11 MNPC secantes
1º Secundaria
de n triángulos y p rectas
Geometría
22
MNPC= 4n(n-1)
A) 15 rectas secantes B) 20 circunferencias C) 18 triángulos D) 22cuadriláteros convexos E) 50 pentágonos convexos F) 35 ángulos G) 16 octógonos convexos H) 32 elipses secantes I) 10 parábolas secantes
MNPC = 2.n.p 2 triángulos 3 rectas MNPC = 2.2.3 = 12
4.12 MNPC de n elipses secantes MNPC = 2n(n-1) 3 elipses MNPC = 2.3(3-1) = 12
4.13 MNPC de n parábolas secantes MNPC = 2n(n-1) Para 2 parábolas MNPC = 2.2(2-1) = 4
Problema explicativo Hallar el MNPC entre 11 rectas y 5 triángulos, al cortarse todas estas figuras todas estas figuras entre si.
02. Hallar el MNPC de: A) 8 rectas secantes y 6 circunferencias B) 12 rectas secantes con 8 triángulos C) 6 circunferencias con 5 triángulos D) 5 triángulos con 8 cuadriláteros E) 10 cuadriláteros con 5 octógonos F) 5 decágonos con 15 dodecágonos. 03. Hallar el MNPC entre 10 rectas y 5 circunferencias, al cortarse todas estas figuras entre si.
A) Las 11 rectas, por si solas = 55 ptos.
B) Los 5 triángulos entre si: MNPC =3.5(5 - 1) = 60 ptos. C) Las 11 secantes a los 5 triángulos 2 . 11 . 5 = 110 ptos. Número de triángulos
a) 65 b) 120 e) n.a.
c) 145
d) 165
22
11(11-1) 2
MNPC =
04. Hallar el MNPC entre 11 secantes y 5 triángulos al cortarse todas estas figuras entre si.
Número de secantes Número de ptos entre 1 secante y 1 triángulo
Luego, sumando los resultados: 55 + 60 + 110 = 225 MNPC = 225 ptos.
a) 225 e) 205
b) 125
c) 115
d) 175
05. Hallar el MNPC entre 11 circunferencias y 8 triángulos al intersectarse todas estas figuras entre si. a) 726 e) 278
b) 706
c) 806
d) 906
06. Hallar el MNPC entre 21 rectas secantes, 15 circunferencias y 12 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre si. a) 4110 e)n.a.
b)4100 c)4001 d)4020
07. Hallar el MNPC entre 21 triángulos y 10 cuadriláteros convexos, todos secantes entre si.
Practica de clase 01. Hallar el MNPC de:
a) 2080
b) 2888
c) 1880 d) 2780 e)2880
08. Hallar el MNPC entre 6 cuadriláteros convexos, 11 pentágonos convexos y 21
Geometría 1º Secundaria
octógonos convexos, al intersectarse todas estas figuras entre si. A) 7414
B) 7604 C) 6704 D) 4706 E) N.A.
09. Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas secantes y 6 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre si. A) 360
B) 340 C) 350
D) 370
E) 330
10. Hallar el MNPC entre 5 octógonos y 10 icoságonos, todos convexos.
A) 1052 B) 1050
C) 1080 D) 1082
E) N.A.
19. Calcular el MNPC de 20 rectas secantes, 10 circunferencias, 8 triángulos y 5 cuadrados. A) 2540 B) 2542
C) 2548 D) 2500 E) N.A.
20. ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de 6 circunferencias y 8 pentágonos? A) 100
B) 150
C) 200
D) 300
E) N.A.
A)2670 B)2770 C) 2760 D)2870 E)N.A
A) 1311
B) 1312 C) 1213 D) 1321 E) N.A.
12. Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas paralelas, 12 rectas secantes y 16 circunferencias secantes. A) 1311
B) 1312 C) 1213 D) 1321 E) N.A.
13. Hallar el MNPC de 20 elipses secantes A) 350
B) 360
C) 380
D) 200
E) N.A.
14. Hallar el MNPC de 20 circunferencias secantes y 50 rectas secantes A) 150
B) 200 C) 350 D) 300
15. Determinar el MNPC de secantes y 25 circunferencias.
E) N.A. 18
rectas
PRACTICA DOMICILIARIA 01. Hallar el MNPC de: A) 9 rectas secantes y 10 circunferencias B) 7 rectas secantes y 8 triángulos C) 10 rectas secantes y 12 cuadriláteros convexos D) 5 triángulos y 8 octógonos convexos E) 6 cuadriláteros y 8 circunferencias F) 12 hexágonos y 10 pentágonos G) 30 decágonos y 8 nonágonos secantes 02. Hallar el MNPC de: A) 20 rectas secantes B) 16 circunferencias C) 45 triángulos D) 18 cuadriláteros E) 25 pentágonos convexos F) 36 octógonos convexos 03. Hallar el MNPC de 10 rectas secantes entre 5 circunferencias.
A)1650 B)1652 C)1653 D) 1650 E)N.A. 16. Si se quitan 4 rectas de un grupo de rectas secantes, los puntos de intersección disminuyen en 26. Calcular los puntos de intersección del sistema.
A) 165
B) 175
C) 200
D) 185
E) N.A.
04. Hallar el MNPC de 10 rectas secantes entre 5 circunferencias. A) 4720 B) 6320 C) 3960 D) 8640 E) 7205
A) 36
B) 37
C) 38
D) 39
E) N.A.
17. Hallar el MNPC de 10 cuadriláteros y 5 circunferencias. A) 750 B) 760 C) 780 D) 800 E) N.A. 18. Encontrar el MNPC de 13 circunferencias secantes, 7 rectas secantes y 21 rectas paralelas.
05. 7 rectas secantes, 8 circunferencias y 9 triángulos, se cortan como en: A) 963
B) 693 C) 396
1º Secundaria
D) 973
E) N.A.
Geometría
22
11. Hallar el MNPC entre 10 rectas secantes, 6 triángulos y 11 cuadriláteros convexos.
06. 5 ángulos y 8 circunferencias se cortan como máximo en: B) 160 C) 216
D) 296
FUNDAMENTO TEÓRICO
E) 246
07. 7 rectas paralelas, 6 rectas secantes y 12 pentágonos, se cortan como máximo en: A) 1029
B) 928
SEGMENTO.- Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura.
C) 1129 D) 1309 E) N.A. A
08. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 5 octógonos y 6 decágonos convexos. A) 460
B) 480
C) 940
D) 840
E) N.A.
09. Se tienen n triángulos secantes. Si se quitan 3 triángulos, el número máximo de puntos de corte, disminuye en 54. Hallar n A) 10
B) 6
C) 7
D) 5
Se denota: AB o BA, los puntos A y B son los extremos. Si la longitud AB es 10 unidades, podemos escribir: AB = 10 o m AB = 10 SEGMENTO CONGRUENTES.- Son aquellos que tienen igual longitud. El segmento AB de la figura.
E) 8
B
08. Hallar el máximo número de puntos de corte entre n elipses y 2n rectas todas secantes. A) 4n(3n-1) B) 3n(4n-1) D) 3n(4n+1) E) 4n(n+1)
B
C) 2n(n+2)
C
A
D
Así AB y CD, son congruentes. Se escribe: AB – CD O simplemente: AB - CD PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- Es aquel que lo divide en dos congruentes. Se dice que dicho punto biseca al segmento. M es punto medio de AB. AM = MB AM = MB = AB/2 A
M
B
PUNTOS COLINEALES.- Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo los puntos A, B, C, D. L A
B
C
D
Además los puntos A, B, C y D son consecutivos.
OPERACIONES CON SEGMENTOS El hombre de la pre historia con sus conceptos vagos de número y de la medida es probable que contara con los dedos u
OPERACIONES CON SEGMENTOS Postulado: El total es igual a la suma de sus partes. Tenemos:
Geometría
1º Secundaria
22
A) 136
otros objetos y que midiera las longitudes con ciertas líneas.
MR 2
MN = NR = B
C
M AB + BC = AC
N
R
d
Postulado: “El total es igual a la suma de sus partes”.
MN = NR = MR 2
d
JK = KL = d J
K
L RS = ST
PQ + QR + RS = PS
R A
B
C D
E
F
AB +BC+CD+DE+EF=AF AB + BE = AE AC + CD + DE = AE BD + DF = BF
S
T
Problemas explicativos 01. Se tiene los puntos colineales consecutivos A, B, C, D; tales que AD = 24, AC = 16 y A B= A D B
A) 3
C) 6
D
D) 3,6
E) 5
02. Los puntos A, B, C y D son consecutivos cumpliendo la relación: 4AB - BD - 2 DC = 4 Hallar AD. Si AB = 3 y AC = 5
También podemos efectuar diferencias: MN = MT - NT NT = MT - MN Observaciones En algunos gráficos, se va a representar las longitudes de los segmentos con letras, usualmente minúsculas.
x
B) 4
C C
A) 5 E) 7
B) 6
C) 8
D) 9
AB = x
A
B a
P
b Q
PR = PQ + Q R PR = a + b
R n
x
F G = EG - EF FG = n - x
E
F
G
2a A
A B = 2B C
a B
En aquellos congruentes:
BC = a A B = 2a
C casos
de
y
segmentos
Geometría 1º Secundaria
22
A
PRACTICA EN CLASE
08. Sobre una recta se toman los puntos P, Q, R, T; tal que PQ=3, PR=5 y 4PQ-QT-2RT=4 Calcular PT
01. Calcular PR, si RQ - PR = 14 3 0
A) 8
Q
B) 10
C) 12
B
) 1u
B) 2u
D) 14
E) 11
C
D
C) 3u
D) 4u
A
E) 5u
03. Si “M” es punto medio de PQ, “Q” es punto medio de PR y PM=5, Calcular “PR”.
M
P
15
Q
C) 20
B)
04. En la figura se cumple: AC - AB = 12. Si “T” es punto medio de BC, Calcular TC.
A) 5
B
B) 6
T
C) 12
C
D) 8
A) 5
B) 4
Q
B) 13
M
C) 14
R
D) 17
E) 9
B) 100
C) 80
D) 95
S
A) 45
=
BC 3
=
B) 42
CD 5
=
C) 48
DE 7
E) 18
E) 110
=
DE = 51
D) 36
E) 49
E) 9
11. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos: A, A E B, 4
C, D y E. Si AD + BE = Calcular BD. A) 4
B) 8
C) 7
20 ;
D) 100
.
E) 28
12. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E; con la siguiente condición: AC + BD + CE = 324
B
D 7
=
A E 1 1
Hallar AE B) 29
C) 124
D) 64
E) 128
13. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D son tales que AD =18, BD =13 y AC = 12. Hallar BC
07. Sobre una recta se ubican los puntos colineales y consecutivos: A, B, C, D y E. Hallar BE, si: AB 2
D) 7
Sobre una recta se ubican los puntos A, B, y C. Donde AC =60 y 2AB = BC, hallar AB A) 20 B) 28 C) 30 D) 40 E) 32
m;
06. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D Hallar AD, si AC=60 ; AD+CD=140 A) 75
C) 8
10.
A) 198
A) 12
E) 9
09. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se ubican P y Q punto medios de AB y CD respectivamente. Hallar PQ, si de AC + BD =24
05. Calcular PM si PS=30, y QS=18 PR=22 y “M” es punto medio de QR. P
D) 7
B D=
R
A) 10 E) 30
D) 25
A
C) 8
R
02. Calcular BC, si AB=14u y BD=18u, además “C” es punto medio de AD. A
B) 4
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 5
14. P, Q y R son tres puntos consecutivos de una recta PQ = 2 QR + 1 y PR = 31. Hallar QR. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 8 15. A, C, D y E son tres puntos colineales y consecutivos tal que D sea un punto medio de CE y AC + AE = 50. Hallar AD A) 25
B) 12.5
C) 50
D) 20
E) 25.5
Geometría 1º Secundaria
22
P
A) 5
c m
16. Calcular BC, si AD = 10, AC = 7 y BD = 8 B
A) 2
C
B) 3
C) 4
D
D) 5
A) 3
E) 6
A) 1
17 B
C
D
26
B) 11
C) 10
D) 8
E) 6
B
A) 1
C
B) 2
D
C) 3
D) 0.5
E) 1,5
19. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, si M y N son puntos medios de AC y BD respectivamente y además AB + CD = 18m. Calcular la longitud de MN. A) 8m
B) 9m
C) 6m
D) 10m
E) N.A.
B 2
=
B
C 3
=
C
D 4
=
D
E
5
21. En una recta se tienen consecutivos A, B, C siendo AC + AB Hallar A) 3
5 3
D) 4 cm E)
B) 1
D) 21
C) 3
M
E) 27
D) 5
B
E) 6
C
B) 10
C) 14
N
D) 5
D
E) 4
27. De la figura, calcular BC si AB = 2
BC 3
=
CD 5
B
, AD = 30
C
D
BC, A) 6
C) 2
E) 2
26. Calcular MN si AC + BD =20, M y N son puntos medios.
los puntos
A B B C B) 1/6
C) 23
A
=
D) 2,5
25. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que AD = 10 y AC = BD = 6. Calcular BC
A) 8
C) 2 cm
E) ½
24. Una hormiga camina sobre una línea recta del punto A hacia el punto B, si al llegar al punto M (M es el punto medio de AB) decide retroceder hasta el punto P y se da cuenta que la distancia de P hasta M es la cuarta parte de la distancia de P hasta B. Calcular AB si la hormiga a recorrido 72 m. A)108m B) 36m C)18m D)54m E) N.A.
A
AE = 28cm. Calcular BC A) 6 cm B) 8 cm N.A.
C) 1,5
B) 19
A) 2
20. Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E de manera que: A
B) 1,2
A) 25
18. Calcular BC, si AC = BD = 3 y AD = 5 A
D) 1/3
23. A, B, C, son puntos colineales y consecutivos tales que: 7AB = 8BC y AC = 45. Hallar BC.
15
A) 4
C) 2
22. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E de modo que AE=36, BD=9, AC=23 y AB-DE=5
17. Calcular BC.
A
B) 1/6
D) 1/3
E) 1/2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
28.Hallar AE si AC = 8 , BE = 10 y BC = 2 A
A) 8
B
B) 14
C
C) 16
E
D) 12
E) 13
Geometría 1º Secundaria
22
A
21. En una recta se tienen los puntos 5 consecutivos A, B, C siendo 3 BC, Hallar AC + AB =
29. Si CD = 2AB y BC = 5 Calcular la distancia de los puntos medios de AB y CD B
A) 15
B) 20
C
A
D
C) 30
D) 35
A) 1
E) 40
B) 2
C) 3
D) 4
A) 2
E) 10
01. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm. Calcular BC D) 10cm E) 11cm
02. P, Q, y R son puntos consecutivos de una recta. Tales que PQ = RQ + 22. Si M es punto medio de PR. Calcular MQ. A) 22
B) 11 C) 33
D) 5,5
B) 70
C) 75
D) 80
E) 72
04. En la figura NR = MN - 2 = RS - 3 NS = ST y MT = 106. Calcular NR.
M A) 19
N B) 19,2
R
S C) 20
T D) 20,2
E) N.A.
05.
Calcular PU, si ER = RU = 2PE PR + EU = 112 08. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. AC = 12 , BD = 16 y AD = 31 Calcular BC P
A) 60
E
B) 70
C) 80
R
D) 90
U
D
C) 3
E
D) 4
E) 5
B B) 3
E C) 4
C D) 5
D E) N.A.
08. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. AC = 12 , BD = 16 y AD = 31 Calcular BC A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 09. P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta. PR + QS = 20 y PS = 27 Calcular QR A) 3 B) 7 C) 5 D) 9 E) 4 10. Dado los puntos colineales A, B y C. AC = 27 y 5 AB = 4 BC. Calcular AB. A) 12
E) 2,75
03. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. AB = 2 BC, CD = 3 AB y D es punto medio de BE. Calcular AE, sabiendo además que AD + BE = 115 A) 90
C
B) 2
A
PRACTICA DOMICILIARIA
A) 7cm B8cm C) 9cm
B
07. Calcular EC, si: BE = 10, AB = BC , AE = ED , BD = 32
30. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de modo que B es punto medio de AE ; AE = 20 y AC = 3CD. Hallar BC A) 5
Calcular AC, si AB = BC, CD = DE BD = 4 y BE = 7
B) 15
C) 11
D) 10
E) 9
11. A, B, y C son puntos colineales y consecutivos, y M punto medio de AC. Si AB = 18 y BC = 10. Calcular MB A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12. P, Q, R y S son puntos colineales y consecutivos. QR = RS = 2 PQ y PR + QS = 168. Calcular PS A) 140 B) 160 C) 170 D) 150 E) 4 13. A, B, y C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB y N punto medio de BC. Calcular AC, si MN=28 y AB = 32. A) 56 B) 54 C) 52 D) 58 E) 50 14. A, M, Q, B y C son puntos colineales y consecutivos; MQ = 5 AM = MB, AQ = QC y MC = 16. Calcular BC A) 9
B) 10
E) 100
C) 12
D) 11
E) 8
Geometría 1º Secundaria
22
A
06.
15. A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos, AB = BC; CD = DE, CE = 36 y BD = 60. Calcular AE B) 105
C) 110 D) 115
E) 120 A) 3
16. F, A, y G son puntos colineales y consecutivos, FA - AG = 12; y M punto medio de FG. Calcular MA A) 6
B) 8
C) 7
D) 5
E) 4
17. A, S, O, N y D son puntos colineales y consecutivos, ON=DN+3, AS=OS, OS=ON+1 y AD+SN = 48. Calcular AD A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
19. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos AD = 60, CD = 15 y AB . CD = BC . AD Calcular BC A) 8 B) 7 C) 9 D) 10 E) 6 20. A, B, C, D, E y F son puntos colineales y consecutivos: AC + BD + CE + DF = AF + 12. Calcular BE A) 4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 18 21. A, B, C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB y N punto medio de BC. Calcular MN. Si BC = 36 y AN = 84 C) 36
D) 34
D) 8
E) 9
25. Dado los puntos colineales y consecutivos: A, R, P, se sabe que AP = 20 y 2(AR) + 3(RP) + 4(AP) = 122 . Calcular AR A) 18 B) 16 C) 14 D) 20 E) 19 26. E, F, M, A, J son puntos colineales y consecutivos; AJ = AM - 1, EM = 30, AF = EM - 10 y JM = AF + 5. Calcular EF A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 27. A, B y C son puntos consecutivos de una recta AB = 40 y BC = 20. Se ubican M, N y R puntos medios de AB, BC y MN respectivamente. Calcular la longitud de RB A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
28. A, B y C son puntos colineales y consecutivos AC = 15 y 2AB + 3BC = 37. Calcular BC A) 5
B) 7
C) 8
D) 6
E) 9
29. P, Q y R son puntos colineales y consecutivos PR = 12. Calcular la distancia entre los puntos medios de PQ y QR A) 4
B) 39
C) 6
E) 34
18. P, Q, R, y S son puntos colineales y consecutivos PQ = 2X, QR = 3X, RS = 4X - 1, PS = 71. Calcular RS A) 31 B) 33 C) 36 D) 35 E) 37
A) 51
B) 4
B) 8
C) 3
D) 6
E) 5
E) 38
22. M, N, R y T son puntos colineales y consecutivos; R punto medio de MT, MN = 2NR - 7 y 2MN + 3NR + 4RT = 53. Calcular NR. A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 7 23. A, M, B, N y C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB, y N punto medio de BC. Si ¨AN = 12 y MN = 9. Calcular NC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
30. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos AC + BD = AD + 12. Calcular BC A) 6
B) 10
C) 18
D) 16
E) 12
31. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que AB = 8, BC = 12, luego se toma el punto medio F de AC. Calcular BF. A) 1
B) 2
C) 1,5
D) 0,5
E) 3
Geometría 1º Secundaria
22
A) 100
24. A, B, C, y D son puntos colineales y consecutivos; que determinan tres segmentos congruentes. Calcular AD. Si 2AB = 3BD + 4AD = 60
32. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, tal que AB = a, BC = 3a y AC= 24. Encontrar BC. A) 12
B) 14
C) 8
D) 18
E) 6
Es una figura geométrica formada por dos rayos que tiene el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen común vértice del ángulo.
33. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que BC = 7, AC + BD = 33. Calcular AD. B) 20
C) 26
D) 16
E) 13
34. Se ubican los puntos A, B, C, D sobre una línea recta tal que B es punto medio de AD, además AD = 2CD + 28. Calcular BC. A) 14
) 16
C) 12
D) 8
E) 7
35. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que AC + BD + AD = 54 y BC = 8. Encontrar AD A) 18
B) 32
C) 25
D) 27
E) 23
SISTEMA DE MEDIDAS SEXAGESIMALES Es el sistema de medidas más utilizado en el mundo para las aplicaciones de ingeniería, topografía y navegación. En este sistema definimos al ángulo como la enésima parte de 360, es decir: n/360. La unidad de medida es el Grado Sexagesimal (°). EQUIVALENCIAS: 1° < > 60’ 1’ < > 60´’ 1° < > 3600’’ Ejemplo 01: Un ángulo mide 80°, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos. 80° = 79° + 1° 80° = 79° + 60’ 80° = 79° + 59’ + 1’ 80° = 79° + 59’ + 60’’ Rpta. 80° = 79°59’60”. Ejemplo 02: Un ángulo mide 56,125°, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos. 56,25° = 56° + 0,125° 56,25° = 56° + 0,125°.1 56,25° 56,25° 56,25° 56,25°
= = = =
56° 56° 56° 56°
+ + + +
60'
0,125°. 7,5’ 1° 7’ + 0,5’ 7’ + 0,5’.1
60"
56,25° = 56° + 7’ + 0,5’ . 56,25° = 56° + 7’ + 30° 1' Rpta. 56° 7’ 30°
Ejemplo 03: Convertir 37º46’48’’ a grados sexagesimales. 37°46’48” = 37° 46’ 48”.1
ANGULO
37°46’48”
=
37° 46’ 48”.
37°46’48” 37°46’48”
= =
37° 46’ 0,8’ 37° 46,8’.1
37°46’48” 37°46’48”
= =
37° 46,8’. 37° 0,78° 60'
1º Secundaria
1' 60"
1°
Geometría
22
A) 25
37°46’48” =
37,78°
Ángulos Consecutivos: Se denominan así a dos o más ángulos que son adyacentes con su inmediato.
CLASIFICACIÓN DE ANGULOS a) Según sus medidas: Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90° .
Angulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayo que 90° y menor que 180°.
22
Angulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°
Ángulos Opuestos por el Vértice: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.
c) Según la suma de sus medidas. Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°.
Ángulo Llano: Es aquel ángulo que mide 180°. Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°. Angulo de una vuelta: Es aquel ángulo que mide 360°.
b) Según la posición de sus lados: Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distinto lado de un lado común.
Geometría 1º Secundaria
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con sus lados, ángulos de igual medida.
De acuerdo a las fórmulas aprendidas: a) (175 veces S-impar) 180° - 150°= 30° b) (278 veces C- par) 90° - 50° = 40° c) SSSCCSSC40° = SSSCCSS (50°) = SSSCC (50°) = SSS (50°) = 130°. d) Finalmente, se obtiene: 30° + 40° + 130° = 200°. 4) Halla el valor de “x” en la siguiente gráfica:
TEOREMAS IMPORTANTES Si: C = complemento y S = suplemento, entonces, se cumple que: 1° Cuando “n” es impar”
Resolución: Por ser un ángulo de una vuelta, se tiene: x + 2x + x + 30° + 100° + 110° = 360° 4x = 360° - 240° = 120° x = 30°
CCCCC.....CC α = 90° − α "n"veces
SSSSS ... SSS α = 180° - α
PRACTICA EN CLASE
2° Cuando “n” es par:
1. 54º57’36’’ 2. 95º42’59’’ 3. 5º36’ 4. 146º35’34’’ 5. 62º28’42’’ 6. 57º25’15’’
CCCCC...CC C α = α " n "veces
SSSSS...SS
α
=α
" n"veces
Ejemplos: 1) Halla el complemento del complemento del complemento de 65°.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
CCC (65°) = CC (25°) = C (65°) = 25°
7. 8. 9. 10. 11. 12.
45,600º (26,53/2)º 158, 58º 169,211º 585,18º 12, 525º
1. La medida del complemento de 63º 2. La medida del suplemento de 147° 3. El complemento del suplemento de 158°
SSSS (78°) = SSS (102°) = SS (78°)
4. El suplemento del complemento de 26°
= 78°
3) Calcula:
5.
SSSS ...S150° +CCCC ...C50°| + SSSCCSSC 40°
175 veces Resolución:
26,345º 55,2º 189,25º 54, 30º 175,325º 365,0185º
03. Calcular:
Resolución: Sea: Suplemento = S, entonces:
= S (102°)
9º31’16’’ 39º29’18’’ 274º32’25’’ 167º36’28’’ 146º59’47’’ 290º38’50’’
02. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados, minutos y segundo sexagesimales.
Resolución: Sea: Complemento = C, entonces:
2) Halla el suplemento del suplemento del suplemento de 78°.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
El C
1 S 100° (el complemento de la 2
mitad del suplemento de 100º)
278 veces
1º Secundaria
Geometría
22
01. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados sexagesimales.
"n"veces
2C18º (La raíz cuadrada del doble 07. El doble de la medida del suplemento del
del complemento)
doble de la un ángulo medida del la medida ángulo. a) 6º d) 10º
7. Sα - Cα + 10° 8.
3S150º 5C72°
9. SC (4x) 04. Resolver: a) ¿Qué Ángulo gira el minutero de un reloj en 36 minutos? b) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en 18 minutos? c) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en72 minutos? d) La mitad de un ángulo es igual a cinco veces la medida de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo? e) Uno de los ángulos formados por dos rectas que se cortan mide 36º36’ ¿Cuánto mide el ángulo? f) ¿Cuál es el suplemento de un ángulo cuyo complemento es el cuádruple del ángulo? g) La diferencia de dos ángulos complementarios es de 64º26’, determina el valor del ángulo mayor. h) Halla el complemento del suplemento de un ángulo de 125º24’. i)
¿Cuánto mide el ángulo que mide igual que su complemento?
j) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 10º para agregarle al otro, este último ángulo resulta ser 5 veces lo que queda del primero. ¿Cuánto mide cada ángulo? k) Dos ángulos complementarios son entre si como 8 y 12. ¿Cuánto mide los ángulos? 05. Calcular el valor de “α” en: α + Cα + CCα CCCα + CCCCα= 215 a) 20º b) 15º c) 40º d) 30º e) N.A. 06. La diferencia de las medidas de los complementos de dos ángulos es 40 y la suma de las medidas de sus suplementos es 260º. Hallar la medida del menor. a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 70°
medida del complemento de es igual a 38 averiguar la complemento de la mitad de del suplemento de dicho b) 5º
c) 4º e) N.A.
08. Las medidas de dos ángulos son como 2:3 y las medidas de sus complementos son como 6:7. Calcular la relación que existe entre las medidas de sus suplementos. a) 2:3 b) 6:7 c) 3:4 d) 10:13 e) 15:16 09. La suma de las medidas de los complementos de tres ángulos es 140. Hallar el suplemento de la suma de sus medidas. a) 50º b) 40º c) 45º d) 35º e) 30º 10. La diferencia de un ángulo y su suplemento es igual al triple de su complemento. Hallar el ángulo. a) 30º b) 70º c) 90º d) 60º e) 30º 11. ¿Cuánto valdrá un ángulo si el doble de su complemento es igual al complemento de su mitad? a) 10º b) 20º c) 30º d) 60º e) 80º 12. Si el complemento y el suplemento del suplemento del complemento de un ángulo mide 20º. Hallar el suplemento del complemento del complemento del suplemento de dicho ángulo. a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 13.
Si a un ángulo s ele resta su complemento, el nuevo ángulo es igual a la cuarta parte del suplemento del original. Hallar el suplemento del ángulo original. a) 75º b) 45º c) 120º d) 30º e) 60º
14. La suma del complemento de un ángulo más el suplemento de otro ángulo es 200º. Hallar el suplemento del ángulo de la suma de ambos. a) 40º b) 70º c) 60º d) 140º e) 50º 15. La suma de las inversas de las medidas de dos ángulos complementarios es 1/20. Hallar el mayor de los ángulos. a) 60º b) 30º c) 75º Geometría
1º Secundaria
22
6.
e) 15º
ˆB 16. Se tienen los ángulos consecutivos A O y
ˆ C de manera que la suma de los BO
ˆ OB y AOC es 80º. A ˆM Calcular el ángulo AOM , siendo O ángulos
bisectriz del ángulo BOC. a) 0º b) 20º d) 60º
c) 40º e) 80º
17. La suma de las medidas de dos ángulos es 80º y el complemento de la medida del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcular la diferencia de las medidas de dicho ángulos. a) 30º b) 60º c) 45º d) 80º e) 85º 18. Si la relación del complemento de un ángulo “α” entre el suplemento de un ángulo “β” es igual a la relación del suplemento de “α” entre el complemento de “β”, Halla la suma de dichos ángulos. a) 60° b) 90° c) 180° d) 270° e) 360°
a) 10° d) 40°
b) 20°
c) 30° e) N.A.
25. Calcula la medida de un ángulo sabiendo que el doble del complemento de la mitad del suplemento del triple del complemento de la mitad de dicho ángulo es igual a 150°. a) 40° b) 60° c) 80° d) 100° e) 140° PRACTICA DOMICILIARIA 01. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°. a) 1°
b) 2°
c) 3°
d) 4°
e) N.A.
02. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo. a) 80°
b) 45°
c) 15°
d) 60°
e) N.A.
19. En las siguiente relación, hallar “β“:
sss . sss........ s(β) = 17º 9005288 veces
a) 17° b) 73° c) 163° d) 117° e) 180° 20. El complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo. ¿Cuál es su valor? a) 15° b) 60° c) 30° d) 150° e) 90° 21. ¿Cuánto mide el ángulo que equivale a los 5/3 de su complemento? a) 56°15’ b) 25° c) 40°30’ d) 33° e) 48°25’ 22.
La suma del complemento más el suplemento de la medida de cierto ángulo es igual a 130°. Calcular la medida de dicho ángulo. a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°
23. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10. a) 60° b) 50° c) 40° d) 80° e) 90° 24. Si C = complemento. Calcular “x” en: Cx + CC2x + CCC3x = 160°
03. La suma del complemento de un ángulo “α” con el suplemento de un ángulo doble es igual a 3/2 del complemento de un ángulo “β” y α - β= 24°. Calcular el complemento del ángulo “α”. a) 36°
b) 18°
c) 24°
d) 45°
e) 38
04. Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10. a) 80°
b) 75°
c) 70°
d) 95°
e) 69°
05. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. Hallar la medida del ángulo. a) 54° d) 27°
b) 36°
c) 44° e) 58°
06. Si a la medida de un ángulo se le resta dos grados más que a la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del
Geometría 1º Secundaria
22
d) 75º
suplemento del ángulo, disminuido en un grado. ¿Cuánto mide dicho ángulo? b) 49°
d) 47°
e) N.A.
b) 30°
d) 120°
a) 80°
c) 10°
c) 15° e) 75°
b) 40°
d) 60°
c) 50° e) 70°
11. Si el suplemento del suplemento del suplemento de la medida de un ángulo se la añade el complemento del complemento del complemento del doble de la medida de dicho ángulo, se obtiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Calcular dicho ángulo. a) 60°
b) 45°
d) 55°
c) 30° e) 50°
12. Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10. a) 80° d) 95°
b) 75°
c) 70° e) 69°
13. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°.
a) 54° d) 27°
b) 36°
c) 44° e) 58°
19. La diferencia entre el suplemento de un ángulo y el cuádruplo de su complemento es el doble de su complemento. Halla el ángulo. a) 72° b) 42° c) 32° d) 52° e) 62°
10. De que ángulo se debe restar su complemento para obtener 10°. a) 30°
e) N.A.
18. La diferencia entre el suplemento y el complemento de α es igual al séxtuplo de α. Calcula el suplemento del complemento de α. a) 106 b) 105 c) 110 d) 130 e) 140
09. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar dicho ángulo.
d) 60°
c) 15°
15. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. La medida del ángulo es:
e) N.A.
b) 45°
b) 45°
d) 60°
08. La diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo “α”, es igual a 6 veces el ángulo “α”. Hallar dicho ángulo. a) 30° b) 90° c) 60°
a) 80°
e) N.A.
14. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo.
e) 45°
d) 15°
d) 4°
c) 3°
c) 50°
07. La tercera parte de la mitad del suplemento de la medida de un ángulo excede de 2 a los 3/5 del complemento de la medida del mismo ángulo. a) 60°
b) 2°
20. La diferencia de los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Halla la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. a) 5° b) 15° c) 18° d) 20° e) 25° 21. Calcula el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3; 5 y 7, sabiendo que el complemento de la suma de dichos ángulos es 15°. a) 5° b) 15° c) 25° d) 35° e) 40° 22. Si a uno de los ángulos adyacentes suplementarios se le disminuye 20° para agregárselo al otro, éste resulta ser 8 veces lo que queda del primero. Halla el suplemento del menor. a) 40° b) 140° c) 50° d) 130° e) N.A. 23. Halla el menor de dos ángulos conociendo que uno de ellos excede en 10° al complemento del segundo y además el
Geometría 1º Secundaria
22
a) 48°
a) 1°
segundo ángulo es igual a la mitad del suplemento del primer ángulo. a) 10° b) 15° c) 20° d) 30° e) N.A. 24. Un ángulo mide los 2/5 de un ángulo llano y otro ángulo mide los 5/9 de un ángulo recto. Calcula el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 29° b) 32° c) 58° d) 72° e) 96° 25. Cuatro rayos forman en torno a un punto y en un mismo plano, cuatro ángulos cuyas medidas son proporcionales a los números 1; 2; 3 y 4. Determina el ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos menores. a) 27° b) 36° c) 48° d) 54° e) 72°
22
Geometría 1º Secundaria
Rectas Paralelas Dos o más rectas son paralelas si no tienen ningún punto común.
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Rectas Secantes Rectas Perpendiculares Dos o más rectas son secantes si Dos rectas son secantes y tienen un punto en común perpendiculares cuando su entre ellas, pueden ser oblicuas intersección forma un ángulo recto o perpendiculares (90°).
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTE Dados dos rectas: L1 y L2, intersecadas por una recta L3:
Caso 01
Se generan los siguientes ángulos: Alternos Conjugados Los ángulos que se encuentran La suma de dos ángulos dentro de las paralelas se conjugados miden 180°. Los denominan alternos internos y que están dentro de las los que están fuera alternos paralelas son conjugados externos. Se caracterizan internos y los que están fuera porque tienen igual medida de ella conjugados externos - alternos internos: - Conjugados internos: ∠3=∠5 ∠ 3 + ∠ 6 = ∠ 4 + ∠ 5 = 180° ∠4= ∠6 - Conjugados externos: - alternos externos: ∠ 1 + ∠ 8 = ∠ 2 + ∠ 7 = 180° ∠1=∠7 ∠2=∠8
ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES 1° Ángulos de lados paralelos Caso 02
Caso 03
Geometría 1º Secundaria
22
Correspondientes La medida de estos ángulos son iguales. ∠1=∠5 ∠2=∠6 ∠4=∠8 ∠3=∠7
Caso 03
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
22
Caso 01
ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES 2° Ángulos de lados perpendiculares Caso 02
Geometría 1º Secundaria
PRACTICA EN CLASE 01. Calcula el valor de: “θ”, si: L1 // L2.
02. Si: L1 // L2, calcula el valor de “x”.
07. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC que se diferencian en 38°. Calcula la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB. 08. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Siendo: 2(AOB) = 3(COD); AOD = 92° y BOD = 76°. Halla la medida del ángulo BOC. 09. Halla BOZ, si: AOB – BOC = 30°
10. Si: L1 // L2, calcula: x/y. 03. En la gráfica, L1 // L2, calcula “x”.
49 11. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2. 04. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2.
12. Calcula “θ”, si: L1 // L2. 05. Halla: “β”, si: L1 // L2.
13. En la gráfica L1 // L2, halla “x”. 06. Calcula “x”, si: L1 // L2.
14. Halla: x + y + z, si: L1 // L2.
Geometría 1º Secundaria
19.
Si: L1 // L2, halla el valor de “x”.
20. Halla el menor ángulo que forman L3 y L4, si: L1 // L2. 15. Halla “x”, si: θ - α = 20° y L1 // L2.
PRACTICA DOMICILIARIA 01. Según el gráfico, calcula “x”, si: L1 // L2.
17. Halla el valor de “α”, si: L1 // L2.
a) 100°
b) 120°
d) 90° 100° 18. Si: L1 // L2, calcula el complemento de “θ”.
c) 80° e)
02. Según el gráfico, calcula el valor de ”x”, si: L1 // L2.
a) 110° d) 140°
b) 120 ° c) 130° e) 150°
Geometría 1º Secundaria
49
16. Halla “x”, si: L1 // L2.
03. En la figura, L1 // L2, calcula “x”.
a) 36°
b) 40°
d) 56°
07. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x - y”.
c) 52°
e) 38°
04. En la figura, L1 // L2, calcula “x”.
a) 20°
b) 30°
d) 50°
c) 40°
e) 60°
08. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x”.
b) 105°
d) 124°
e) 127°
c) 120°
05. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula “x”.
a) 25°
b) 30°
d) 40°
c) 35° e) 20°
09. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x”.
a) 45° d) 24°
b) 50°
c) 48°
e) 40° a) 60°
06. Calcula “x”, si: L1 // L2.
d) 40°
b) 50°
c) 30°
e) 80°
10. Según el gráfico: L1 // L2, calcula “x”.
a) 60° d) 50°
b) 70° e) 65°
c) 80° a) 80° d) 120°
b) 90° e) 150°
c) 70°
Geometría 1º Secundaria
49
a) 118°
11. Según el gráfico: L1 // L2, calcula “x”.
15. Si L1 // L2. Hallar:
(y − x) 3
35°
L1
x y
L2
30°
a) 10° d) 25°
b) 15°
c) 20°
e) 30°
12. En el gráfico mostrado, L1 // L2, calcula “x”.
a) 5 d) 10
b) 6 e) N.A.
16. En la figura Calcular “x”
m
c) 7
mostrada,
L1
α
α
m
L1//L2.
3β 2β
n
n
θ
θ
L2
a) 100° d) 180° a) 110° d) 108°
b) 100° c) 105°
b)
17. En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2
e) 96°
w
3x
x
w
a) 36° d) 20°
L1
α
β
13. Si: L1 // L2, calcula “x”.
135°
c) 140° e) 200°
α
β
L2
b) 40° e) N. A.
c) 50°
18. Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el valor de “x”:
L1 a) 10° d) 34°
b) 22°
c) 32°
e) 28
14. Del gráfico, calcular el valor de “x”. Si L1 // L2: 5α
L1
θ θ
α α 130°
x a) 10°
b) c) 20° e) N. A.
d) 30°
x
L2 15°
19. Si L1 // L2. Hallar “x”
L1 3α
a) 10° d) 80°
4α
b) 50° e) N.A.
L2
3x
c) 70°
2x x°
L2
Geometría 1º Secundaria
49
x
a) 15° b) 18° c) 12° d) 20° e) 30° 20. Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° + d° = 140°. a
∧
24. En la figura XX' // YY ' . Hallar x .
30°
X
x
α
L1
X'
b x°
α
Y
c
L2
d
a) 30° d) 60°
b) 40° e) 70°
b) 60° d) 120°
25. En
α
la
figura
mostrada
XX' // YY ' .
Determinar: α + β.
X
L1
c) 90° e) 150°
c) 50°
21. Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2.
3x/2
Y'
30° a) 30°
120°
35°
X'
α β
L2
a) 144° d) 136°
b) 154 e) 146°
Y
c) 134°
a) 175° c) 65°
150° b) 185° d) 155° e) 95
Y'
22. Si XX' // YY ' .Hallar β - α. 100°
X
100°
X'
α β Y
38°
a) 72° d) -32° 23.
En
b) 32° e) -10°
la
figura,
perpendicular a
Y'
c) 10°
AB // EF ; DE
es
AC y α y β son
entre sí como 2 es a 7. Hallar β - α. B A
D
α
a) 100° d) 60°
E
C
F b) 80° e) 40°
β
c) 0
Geometría 1º Secundaria
49
x
TRIÁNGULO Definición: Es una figura geométrica o polígono que posee tres lados.
B
á n g u lo s la d o
C
Elementos: Los elementos del triángulo son los siguientes: a) Vértices : A, B y C b) Lados : AB, BC y AC. c) Ángulos : ∠ BAC, ∠ ABC y ∠ BCA. d) Perímetro : AB + BC + AC. Clasificación: Se clasifican de acuerdo: 1) A las medidas de sus lados: Son los siguientes: a) Equilátero: Es un triángulo cuyos tres lados son congruentes y sus tres ángulos también. Se le conoce como triángulo equiángulo.
b) Isósceles: Es un triángulo en la que dos de sus lados son congruentes, el lado desigual se llama base. Los ángulos en la base son también congruentes.
a) Rectángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
cateto
A
2) A las medidas de sus ángulos: Son los siguientes:
la d o
hipotenusa
cateto
b) Acutángulo: Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos, es decir que, cada ángulo mide más de cero grados y menos de 90 grados sexagesimales.
c) Obtusángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.
ω base
90° < ω < 180°
c) Escaleno: Es un triángulo cuyos lados y ángulos son de diferente medida, es decir, no son congruentes.
Geometría 1º Secundaria
49
la d o
PRÁCTICA EN CLASE 01) Observa cada uno de los siguientes triángulos y completa la tabla:
02) Clasifica cada triángulo, según las medidas de sus lados.
B
16
12 20
C
A
a) Vértices: ................
13
b) Lados: ...............
13 13
c) Ángulos: ...............
5
3
49
N
4 M
P a) Vértices: ..............
1 22
7 2 0÷ 0,2
b) Lados: ...............
5
3
c) Ángulos: ...............
I
x+87
x+123
x+78
H
J
1 8 2 7÷ 6 3
a) Vértices: ............... b) Lados: ..............
33 + 2
841
c) Ángulos: ..............
Geometría 1º Secundaria
03) Observa los triángulos rectángulos, y completa como se te indica:
06) Si la base de un triángulo isósceles mide 39 cm, halla su perímetro.
9x + 62
C AB = Cateto BC = Cateto AC = Hipotenusa A
3x + 33 07)
B
N
En un triángulo equilátero, su perímetro mide 210 m, halla la medida de cada lado.
P MN = _________ MP = _________ NP = _________
10x + 120
M
S RS = _________ RT = _________ ST = _________ R
08) Determina el perímetro del triángulo equilátero, de acuerdo a la gráfica siguiente:
T
12x - 26
7x + 19
49
V
9x + 1
T
TW = _________ VW = _________ TV = __________
W
04) En un triángulo isósceles, según la gráfica, halla el valor del lado desigual.
3x + 14
2x + 19
09)
Determina el lado mayor del siguiente triángulo escaleno, cuyo perímetro es de 96 cm: 2x + 29
10) Halla la medida del lado menor, si el valor del lado mayor es de 53 cm. 7x - 3
16 + x
05) Halla el valor del perímetro del siguiente triángulo escaleno, si “x” es igual a 17 cm. 2x + 65
3x - 25
4x - 79
3x + 78
9x - 22 6x + 4
11) En el siguiente triángulo rectángulo isósceles, determina la medida de la hipotenusa.
4x + 97
Geometría 1º Secundaria
x + 78
2x – 32 4x + 21
2x + 6
2x + 23
12) En el siguiente triángulo rectángulo, la medida de uno de sus catetos es la mitad de la hipotenusa. Halla la medida del otro cateto.
x +6
DESAFÍO EN CLASE 01) En un triángulo isósceles, según la gráfica, halla el valor de la base.
3x + 9
3x - 3 7x - 30
4x - 15
2x - 9 8x - 28
13) En el siguiente triángulo rectángulo determina el valor de la hipotenusa, si uno de los catetos es el triple del otro.
49
12x + 3
21x - 15
13x + 19
14) El lado opuesto del ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo isósceles es el quíntuplo del otro. Halla la medida de su perímetro.
x + 23
3x + 16
02) De acuerdo a la gráfica, halla la longitud del lado desigual. 7 x+9 5
1 x + 22 10 3 27 x+ 4 2
03) Halla el valor del perímetro del triángulo escaleno, si: x = 19 m.
x + 23 15) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 3; 4. Halla el valor de la hipotenusa.
4x - 20
3x - 13
5x - 19
04) Determina el valor del perímetro del siguiente triángulo, si: x = 3/8.
Geometría 1º Secundaria
16x + 15
24x + 21
7x - 18
64x + 9
05) Si la base de un triángulo isósceles mide 72 cm, halla su perímetro.
4x + 9
8x - 3
3
10) Determina el lado del menor del siguiente triángulo escaleno, cuyo perímetro es de 135 cm.
8x + 25 3x + 25
4x + 18 4x + 43
8x + 2
5
17x + 92- 7
07) En un triángulo equilátero, su perímetro mide 180 m. Halla la medida de cada lado.
11) Halla el lado mayor del siguiente triángulo, cuyo perímetro mide 112 cm. 8x - 27
7x + 19
49
06) La base de un triángulo isósceles mide 150 cm. Halla su perímetro.
6x - 12
9x - 48
12) Halla la medida del lado menor, si el valor del lado mayor del siguiente triángulo mide 64 cm. 8x - 10 6x + 9
7x - 73 08) En el triángulo equilátero de la gráfica, el perímetro mide 243 m. Determina la medida de cada lado.
7x + 1
13) Halla la medida del lado mayor, si el valor del lado menor es de 59 cm. 8x + 12 7x + 19
13x - 36
09) Halla el perímetro del triángulo equilátero de la gráfica:
9x + 5
14) En un triángulo rectángulo isósceles, determina la medida de la hipotenusa.
Geometría 1º Secundaria
7x + 8 6x + 13
13x + 5
5x - 8
4(2x + 1) 13x - 8
15) Halla la medida de la hipotenusa, en el siguiente triángulo rectángulo isósceles: 90 – 7x
50x – 2x
96 – 6x
16) En el siguiente triángulo rectángulo, la medida de uno de sus catetos es la mitad de la hipotenusa. Halla la medida del otro cateto.
49
10x + 3
4(x + 7)
3x + 9
17) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 4 a 5. Halla el valor de la hipotenusa.
TRIÁNGULOS II 3x + 7
4x - 3
5x 18) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 2 a 5. Determina el valor de la hipotenusa.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, es decir, que no pertenecen a una misma recta, se llama triángulo ABC a la figura formada por la reunión de los segmento AB, BC y AC.
PROPIEDADES 01. Suma de ángulos interiores: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Geometría 1º Secundaria
P
α
B
x°
θ
x=
θ
α + β + θ = 180°
A
02) Ángulo exterior: En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes al ángulo exterior.
α
β
θ
β
C
D
05) Ángulo formado por dos bisectrices interiores: En todo triángulo, el ángulo agudo formado por las bisectrices exteriores de dos ángulos mide 90° menos la mitad de la medida del tercer ángulo.
x°
α α
x° = α + β 03) Ángulo formado por dos bisectrices interiores: En todo triángulo, el ángulo obtuso formado por as bisectrices interiores de dos de sus ángulos mide 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo.
β
α α
θ 2
x°
β
θ x = 90° −
β
θ 2
49
β
B θ
α A
α
x°
β
θ x = 90° + 2
β C
04) Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior: En todo triángulo, el ángulo agudo formado por una bisectriz interior de un ángulo y una bisectriz exterior de otro ángulo mide la mitad de la medida del tercer ángulo.
PRÁCTICA EN CLASE 01) En el triángulo ABC, ¿cuánto mide el ángulo B?
Geometría 1º Secundaria
B
x
60°
x° x+20°
A
x – 26°
C
70°
02) Calcula el valor de “θ”.
50°
07) Calcula el valor de “α”, si:
θ 110°
78°
150°
α 36°
69°
03) De acuerdo a la siguiente gráfica, 08) Calcula la medida de uno de los ángulos exteriores de un triángulo equilátero.
α
09) Calcula la medida de uno de los ángulos exteriores de un triángulo rectángulo isósceles, diferente al ángulo recto.
170° 160°
04) Calcula el valor de “β”, en la siguiente gráfica, si: AB = BC:
10) Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2; 3 y 4. Calcula la medida del menor.
B 100°
β
A
C
05) Calcula el valor de “θ”, si PQ = QR.
12) En un triángulo ABC, m∠ A = 70° y m∠ B = 60°. Si se traza la altura BH, calcula la m∠ HBC.
P
Q
θ
30°
06) Calcula el valor de “x”, en la siguiente figura:
11) En un triángulo ABC, m∠ A = 20° y m∠ C = 32°. Si se traza la bisectriz interior BD, calcula la m∠ BDC.
R
13) En un triángulo PQR, m∠ P = 40° y m∠ R = 80°. Si se traza la bisectriz exterior QF, calcula la m∠ QFR.
14) En la figura: AB = BC y CE = CD. Calcula el valor de “x”.
Geometría 1º Secundaria
49
calcula el valor de “α“.
E
x A
D
C
x°
1 4 0°
1 5 0°
120° B
21) Calcula el valor de “θ”, en: 15) Si: AB = BC y CD = CE, calcula el valor de “θ”. B D
1 2 0°
7 0°
θ
E
C
16) Si: AB = BC = CD, calcula el valor de “x”, en la siguiente figura:
22) Calcula el valor de “α”, en la siguiente gráfica:
D C
1 7 0°
α
39° 76°
x°
A
B
17) En un triángulo ABC, equilátero, F es un punto de AC, tal que el ángulo ABF mida el triple del ángulo FBC. Calcula la m∠ FBC.
23) Si: AB = BC = CD = DE = EF, calcula el valor de “x”.
B
18) En un triángulo ABC, m∠ A = 26° y m∠ B = 84°. Si se traza la bisectriz interior CD, calcula la m∠ BDC.
D
x°
A C
E
F
19) Si: AB = BC = CD, calcula el valor de “α”.
24) Si: AC = BC = CD, calcula el valor de “x”. B B
5α
70° A
C
α
D A
20) Calcula “x”, en la figura siguiente:
D
x° 40' C
Geometría 1º Secundaria
49
A
θ
42°
25) Calcula el valor de “α”, si ABC es equilátero. Además: CD = AB.
04) Calcula EF:
D
3α+1 2° 2α
A
9
5 E
F
a) 10° d) 13°
b) 11° e) 14°
c) 12°
DESAFÍO EN CLASE 05) Calcula: PQ.
01) Calcula el valor de “x”, en:
B 53°
x°
A
65°
P
10 Q
a) 56° d) 35°
b) 55° e) N. A.
C
6
c) 65°
02) Calcula el valor de “x”, si: AB = AD y AC = AE.
a) 10 d) 4
e) 3
b) 6
c) 5
06) Calcula el valor de “x”. C 44° B
x° A
a) 80° d)100°
36°
21° E
D
b) 124° e) N. A.
c) 40°
a) 24° d) 42°
e) 18°
b) 23°
c) 20°
07) Calcula el valor de “m”:
03) Calcula el valor de “θ”, en:
2m + 30
θ
72°
a) 72° d) 68°
b) 78°
α α
68°
c) 140° e) N. A.
a) 7 d) 10
5m + 12
e) 11
b) 8
c) 9
Geometría 1º Secundaria
49
65°
08) Calcula el valor de “n”:
13) En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Calcula m∠ C, si: m∠ BDC = 120° y m∠ A = 81°. a) 20° d) 23°
3n - 7
α α
b) 11
c) 12
09) Calcula el valor de “x”, si L1 es bisectriz del ángulo P. Además: PA = 12 – 2x, y PB = 3 + x. P
a) 16° d) 38°
b) 52° e) N. A.
c) 71°
15) En un triángulo ABC, la m∠ A = 57° y m∠ C = 39°. Si se traza la altura BH y la bisectriz interior BD, halla la m∠ HBD. a) 6 d) 3
e) 2
b) 5
c)4
16) En la figura, calcula el valor de “x”, si: AB = BC = BD. A
B L1 A
a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
10) Las medidas de los ángulos de un triángulo son tres números consecutivos. Calcula la medida del menor. a) 30 d) 59
b)60
c) 45 e) 61
11) ABC es un triángulo y R un punto de AC; tal que: AB = BR = RC y m∠ ABR = 32°. Calcula: m∠ C. a) 56° d) 59°
b) 57° e) 60°
c) 58°
12) En un triángulo, m∠ A = 74° y m∠ B = 60°. Si se traza la altura BH, calcula la m∠ HBC. a) 30° d) 20°
b) 33° e) N. A.
c) 44°
D
X C
a) 30° d) 20°
B
b) 60° e) N. A.
c) 90°
17) En un triángulo ABC, calcula la medida del ángulo B si las bisectrices de los ángulos interiores A y C forman un ángulo que mide 120°. a) 20° d) 30°
e) 50°
b) 40°
c) 60°
18) R es un punto interior a un cuadrado ABCD y el triángulo ARD es equilátero. Calcula m∠ RBC. a) 15° d) 60°
b) 20° e) N. A.
c) 30°
Geometría 1º Secundaria
49
e) 20
c) 22°
14) En un triángulo ABC, m∠ A = 30° y m∠ C = 112°. Si se traza la bisectriz exterior BF, calcula m∠ BFC.
n + 13
a) 10 d) 7
b) 21° e) 19°
19) Dado el triángulo ABC, si A = 5x; B = 3x y C = 4x, halla la medida de cada uno de dichos ángulos. a) 45°;60°;75° b) 30°;60°;90° c) 15°;75°;90° d) 50°;60;70°
e) 270
23) Halla el valor de “α”, en:
20) Calcula la medida de cada uno de los ángulos internos del siguiente triángulo: a) 37°;60°;83° b) 53°;65°;63° c) 45°;76°;59° d) 48°;75°;57°
α− x
20°-x a) 10°
80°-3α
b) 20°
c) 25°
d) 30°
e) 40°
24) Halla el valor de “α”, si:
B
α+20°
β θ
120° C
143°
21) Si: β = 118°30’ y θ = 123°15’; calcula la medida del ángulo mayor de los ángulos internos A, B y C, del triángulo ABC.
β
α+10°
α a) 50°
b) 60°
c) 30°
49
α
A
d) 45°
e) 55°
B
θ
A
C
a) 61°45’ d) 56°45’
b) 61°30’ e) 63°
c) 62°
25) En la figura, halla: “x”, si: m∠ BAD = 35°. B
22) Calcula: a + b + c + d + e. en:
105° 30°
b a
e a) 60
A
c
b) 90
a) 10° d) 25°
d c) 120
d) 180
C
D
b) 15°
c) 20°
e) 30°
26) Halla el valor de “x”, en:
Geometría 1º Secundaria
x°
105° 95°
b) 20°
c) 15°
e) 40°
49
a) 10° d) 35°
Geometría 1º Secundaria
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO I
M
MEDIANA
R
Definición: Es el segmento de recta
θ
H
θ N
que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
BISECTRIZ
B
EXTERIOR:
Es
el
segmento que divide a un ángulo externo en medidas iguales.
M
β
C
A
β
E
β
β A
A
F
R
E
H N
P
φ M
BISECTRIZ
φ
φ Q
φ
En el triángulo, existen dos bisectrices, a saber: BISECTRIZ
INTERIOR:
Es
el
segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales. P
θ θ A
E
Q
Geometría 1º Secundaria
49
E
PRÁCTICA EN CLASE 01) Si:
es mediana y
06)
es bisectriz exterior del triángulo ATM, halla: “γ”.
= 9 cm, halla
“x”.
N B
γ T 100 º 30º
A A
02) Si:
N
2x + 1
M
C
es mediana y QR = 24 cm.
Halla “x”.
07)
es mediana. Halla: “γ”, si: NP = 18 cm. P
Q y + 24
N
E Q
E
P
R
08) Si: es bisectriz, halla “x”.
cm; halla MC.
49
03) Si:
es mediana y AM + AC 0 42
B B 80º
E
A A
40º
xº
C
M
C
09) En un triángulo ABC: m∠ B = 50º y 04) Halla “α”, si:
es bisectriz.
m∠ C
=
40º.
Luego
bisectriz interior
Q
trazar
la
Halla: m∠ AEB.
10) En un triángulo PQR: m∠ P = 20º y m∠ 40º. Luego trazar la bisectriz P
αº
35 º
interior
85º
. Halla: m∠ QFR.
R
F
DESAFIO EN CLASE 05) En el gráfico
es bisectriz exterior
del triángulo ARQ. Halla: “φ “.
01) Grafica el triángulo ABC: m∠ R = 40º. Luego traza la bisectriz interior . Halla: m∠ AEC.
R
02) Grafica el triángulo PQR y traza la A
36º
104º
Q
φ
mediana E
. Halla QM, si:
= 24
cm.
Geometría 1º Secundaria
03) Si:
es bisectriz, halla “x”.
B
B 78º xº
E
26º
A
04) Halla “x”, si:
6 0º
3 8º
A
xº
E
C
C
09) Halla: “α”, si
bisectriz.
es bisectriz exterior.
B
F
xº
50º
34º
C
F
05) Si:
es mediana, halla “x”.
115º
35º
A
α
D
E
10) Halla: “x”, si
es bisectriz exterior.
B
P
13 Xº
M
49
A
3x + 1 B
A
06)Si:
C
86º
es mediana y QR=30 cm, halla:
“x”.
44º
A
C
Q
11) Halla “x”, si: QE es bisectriz. X + 1
P
Q
N
R
07) Si:
es bisectriz, halla “α”.
P
xº
44 º
B
31º
R
12) Halla “x”, si AE es bisectriz.
E
A
68 º
E
α
B
C
92 º E xº
08) Halla “x”, si:
es bisectriz exterior.
A
44 º
C
13) Halla “x”, si: EN es bisectriz exterior del triángulo ALE.
Geometría 1º Secundaria
Definición: Es el segmento trazado
E
desde
un
vértice
en
forma
perpendicular al lado opuesto de un A
xº
16º
24º L
triángulo.
N
B
14) Si: BD es bisectriz del triángulo ABC, halla “x”.
B A
C
H
es la altura del triángulo ABC
A
relativa a
40º xº
D
. F
C
15) Si: BF es bisectriz, halla “x”. F 38º
26º
xº
C E
es
la
altura
relativa a
B
L
N
del
triángulo
ENF
. L
16) Si: CF es bisectriz, halla: “x”. N
24 º
C
A
es A
xº
33 º F
B
E
la
altura
relativa a
del
triángulo
AEL
. H Q
P
R
es la altura del triángulo PQR relativa al lado
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
.
MEDIATRIZ
II. ALTURA
Geometría 1º Secundaria
49
A
Definición: Es la recta perpendicular
01) Si EQ es altura, halla “x”.
que pasa por el punto medio de un
E
segmento de recta.
xº
L 50º
A
E
L
02) Si LH es altura, halla: “α - β”.
F
M
42º Q
70º
es mediatriz de
β
.
α
36º L1
B
03) L es mediatriz de PF, halla “x”.
M
L
E 100º
C
xº 50º F
P
es mediatriz del lado BC.
49
A
Q
n1
04) L es mediatriz de AB y AB = 28 cm, halla “x”. B
R
P
X
L
es mediatriz relativa a
del
P
triángulo PQR. B
C
A
m
05) En el gráfico NH es altura del triángulo RMN, halla “x”. A
C
H M
es mediatriz relativa al lado AC del triángulo ABC.
xº R
28º
42º N
06) Grafica el triángulo ABC, tal que:
PRÁCTICA EN CLASE
m∠ A = 48º y m∠ B = 74º. Halla la medida del menor ángulo formado por el lado BC y la mediatriz de AC.
Geometría 1º Secundaria
B
07) Graficar el triángulo PQM y la altura
76º
PH. Si: m∠ Q = 64º y m∠ M = 46º;
xº
halla el ángulo formado por PH y PQ.
64º
A
08) Grafica el triángulo AEF tal que: m∠ A = 36º y m∠ E = 108º; luego traza la altura EH. Halla el ángulo
C
L
04) Halla “x”, si: n es mediatriz de AB. B
formado por EH y EF.
54º
n
09) Grafica el triángulo ABC, tal que: m∠ C = 30º; luego traza la altura
xº
A
68º
C
CH. Halla el ángulo formado por BC y CH.
05) Si: AH es altura, halla “x - y”.
10) Grafica el triángulo PQR tal que:
E
m∠ P = 54º y m∠ Q = 78º; luego
80º H
traza la mediatriz de QR. Halla el ángulo
formado
por
la
mediatriz y el lado PR.
xº yº
A
DESAFÍO EN CLASE
49
menor
70º
N
06) Halla “x”, si: L es mediatriz de BE.
01) Si BN es altura, Halla “θ”.
B L
45 º
B
θ A
80 º
30º
xº
E
C
07) Si: CN es altura, halla “x - y”. A
70º
C
N
B N
02) Halla “x”, si: FM es altura: M
54º
yº
E
A
46º
xº
C
xº A
42º
36º
03) Halla “x”, si: L es mediatriz de AC.
08) L es mediatriz de BE, halla “α”.
Geometría 1º Secundaria
B
E 22 º
xº 84 º
A
α
38º
A
B
P
L
C
H
14) En el gráfico, L es mediatriz de AC,
09) AF es altura del triángulo AMN, halla
halla: “x”.
el suplemento de “x”.
B
F
L
78 º xº
M
A
63 º
A
xº 23º
2 7º
C
N
10) Halla “x”, si L es mediatriz de AB.
15) Halla “x”, si AM es mediana y BC = 22 cm.
B
B º 24
M C
A
A
11) Halla el complemento de “α”.
16)
49
xº
28º E
x+3 C
Halla
“x”,
si
CN
es
altura
del
triángulo ABC. 3α
N 128º
α
B xº
11) Halla el complemento de “α”.
A
46º
28º
C
3α
17) Halla “θ”, si L es mediatriz de BC. 128 º
α
C θ
12) Halla: “θ”.
A
3θ 38º
162º
2θ B
P
L
18) Grafica el triángulo ABC, tal que:
θ
m∠ A = 35º; m∠ B = 110º y AB = 10 cm, luego halla BC.
13) Halla “x”, si BH es altura.
Geometría 1º Secundaria
19) Grafica el triángulo ABC, tal que: AB = 6
MISCELÁNEA
cm = BC, y m∠ B = 60º, luego halla AC. 20) Si “a” es paralela a AC, halla “x”. B
01) A, B y C son tres puntos colineales y consecutivos. Además: AC = 52 y
106 º
4AB = 9BC, calcula BC.
26 º
A
C
02) A, B, C y D son puntos colineales y a
consecutivos. Además: BC = CD =
xº
2AB y AC + BD = 56, calcula AD.
21) Halla “x”, de acuerdo a la gráfica. 03)
º 16
Calcula
el
suplemento
complemento de 53º.
04)
del
Calcula
el complemento de la mitad del
24 º xº
suplemento de 70º.
º 30
05) Calcula el complemento del doble del suplemento de 150º.
triángulo ABC. B
06)
xº yº
49
22) Halla: “x - y”, Si BH es altura del
Calcula
la
diferencia
entre
las
medidas de un ángulo de 70º y su complemento. 42 º
31º
A
H
C
23) ¿Cómo se llama la línea “n” para el
07) En la figura, calcula el valor de “x”, si el complemento de “α” mide 38º.
triángulo ABC? B
x
α
6
n
cm
08) Calcula el valor de “x”, si: m // n. 6 cm
A
C
α 24) Halla “x”, si AM es mediana del
x+
n
3
M
A
α β β
triángulo ABC. B
m
09) A, B, C y D son puntos colineales y 17
consecutivos. Calcula BC, si: AD = C
17 cm y AC + BD = 21.
Geometría 1º Secundaria
10) M, N, R y T son puntos colineales y
21) “β” y “φ ” son un par lineal, cuyas
consecutivos. Si: MR = RT, MN =
medidas
2NR - 7, y 2MN + 3NR + 4RT = 53,
¿Cuánto mide “β”, sabiendo que es
calcula NR.
mayor que “φ ”.
11) ¿A cuánto segundos sexagesimales equivales: 2º32’45”?
se
diferencian
en
26º.
22) El doble de un ángulo, más el triple de su complemento, resulta 200º. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
12) Expresa en minutos sexagesimales: 3º44’28” + 10832”.
23) Calcula la medida de un ángulo, si su
13) Sabiendo que: a + b = = 70, calcula: a’b” + b’a”.
complemento y suplemento suman 218º.
14) Calcula: 24) El doble del complemento de un 15) Calcula el suplemento del triple de la mitad del complemento del doble de 40º.
ángulo, más el triple del suplemento del mismo ángulo, resulta 320º. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
49 16) La diferencia entre las medidas de dos
ángulos
complementarios
es
24º, ¿cuánto mide el mayor? 17)
Las
medidas
suplementarios
de se
dos
El
mayor
de
ángulos
diferencian
dos
colineales y consecutivos. Si: AC + BD + CE + DF = BE + 24, calcula AF.
en
32º. ¿Cuánto mide el menor? 18)
25) A, B, C, D, E y F son puntos
26) A, B y C son puntos colineales y consecutivos. Si AB = 40 cm y BC = 20 cm, calcula RB. Además: M, N y
ángulos
complementarios mide el doble del menor, ¿cuánto mide el menor?
R son puntos medios de AB, BC y AC, respectivamente. 27) Si: A, M, Q, N y B son puntos
19) Uno de dos ángulos suplementarios mide cuatro veces el otro. ¿Cuánto mide el menor?
colineales
y
consecutivos,
calcula
AQ. Además: AM = MQ, QN = NB, MN = 8 m y MB = 14. 28) Si: I, D, U, A, L y B son puntos
20) “α” y “θ” son un par lineal. El complemento
de
“α”
mide
72º.
¿Cuánto mide el complemento de
colineales y consecutivos, calcula UL. Además: UA = DU - 1, LC * ID = 9, ID = DU, AL = LC.
θ/2?
Geometría 1º Secundaria
29) Calcula el valor de “x”, si p //q.
34) En la figura: L1 // L2, AF es bisectriz del
p
∠ xAy,
y,
m∠ BxA
=
128º,
entonces halla el valor de la m∠ xFA. L1
A
80º
30) Calcula el valor de “α”, si m //n. α
B
m
12 8º
q
140 º
L2
x
F
35) En la figura: m∠ AED = 125º. Halla:
70 º
m∠ A + m∠ B + m∠ C + m∠ D.
130 º
D
A
n E
31)
Dos
rectas
paralelas
son
intersecadas por una secante; si las
C B
medidas de dos ángulos conjugados internos son entre sí como 5 es a 4,
49
halla el menor de ellos. 32) Dos ángulos conjugados externos, entre paralelas, miden: (4x + 8º) y (3x + 39º), respectivamente. Halla el valor de “x”. 33) En el cuadrilátero ABCD: AC es bisectriz del ∠ BAD. Si “x” está en centímetros, halla el perímetro del cuadrilátero.
B 3x
5 +1 2x
5
C 17
A
x+
2x +1 5
D
Geometría 1º Secundaria
