Universidad Abierta Para Adultos A dultos (UAPA)
Escuela de educación Participante: Jacqueline Peralta Sosa Matricula:
14-4359
Asignatura: GEOMETRIA I
Facilitador: Mái!a M"n#e$
Tema: Tarea Tarea I Fecha: 17-03- 2016
Santia%o R&' Actividades de la unidad I
1) De la historia de geometría escribe: a) ¿Quiénes desarrollaron la forma primitiva de la geometría? b) ¿De dnde se deriva la palabra geometría? Proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir
c) ¿!n "ué consiste el tratado de !uclides denominado #!lementos$ % como est& estructurado? Es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclidescerca del 300 a ! en "le#andr$a %os Elementos es considerado uno de los libros de te&to más divulgados en la 'istoria y el segundo en nmero de ediciones publicadas después de la iblia (más de *000) +urante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se e&ig$a el conocimiento de este te&to "n 'oy se utilia por algunos educadores como introducci-n básica de la geometr$a En estos trece volmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema a&iomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una .orma sencilla y l-gica dan lugar a la /eometr$a euclidiana Elementos está .ormado por trece libros, los seis primeros dedicados a la plana elemental, los tres siguientes a la teor$a de los nmeros, el décimo a los inconmensurables y los tres ltimos a la geometr$a de los cuerpos s-lidos +espués de más de dos mil aos no 'an perdido nada de su precisi-n ni de su vigencia, aunque algunos de sus a&iomas no son e&clusivos y es posible construir otros sistemas matemáticos y otras geometr$as utiliando postulados di.erentes Es lo que ocurre con el célebre quinto postulado de Euclides, sobre rectas paralelas en la
geometr$a plana, la renuncia del cual dio origen en el siglo 121 a las geometr$as no euclideanas4 (no planas)
'rincipios fundamentales En el primer libro, Euclides desarrolla 56 proposiciones a partir de 73 de.iniciones (como punto, l$nea y super.icie), 8 postulados y 8 nociones comunes (a&iomas) Entre estas proposiciones se encuentra una demostraci-n del teorema de Pitágoras
(as nociones comunes de !lementos son: * !osas iguales a una misma cosa son iguales entre s$ 7 9i se aaden iguales a iguales, los todos son iguales 3 9i se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales 5 %as cosas que coinciden una con otra son iguales entre s$ 8 El todo es mayor que la parte
(os postulados de (os !lementos son: * :na l$nea recta puede ser dibu#ada uniendo dos puntos cualquiera 7 :n segmento de l$nea recta se puede e&tender inde.inidamente en una l$nea recta 3 +ado un segmento de l$nea recta, puede dibu#arse un c$rculo con cualquier centro y distancia 5 ;odos los ángulos rectos son iguales entre s$ 8 Postulado de las paralelas 9i una l$nea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos
!ste ltimo postulado puede ser interpretado como: Por un punto e&terior a una recta, se puede traar una nica paralela Estos principios básicos re.le#an el interés de Euclides por la geometr$a constructiva, al igual que los matemáticos griegos y 'elen$sticos contemporáneos
*ontenido " pesar de tratarse de un traba#o sobre geometr$a, el libro incluye resultados que 'oy se pueden clasi.icar dentro de la teor$a de los nmeros Euclides decide describir los resultados en teor$a de nmeros dentro de la geometr$a porque no pudo desarrollar una apro&imaci-n constructiva a la aritmética
!l contenido de los libros es el siguiente: %ibros * al 5 tratan sobre geometr$a plana %ibros 8 al *0 tratan sobre raones y proporciones %ibros ** al *3 tratan sobre geometr$a de s-lidos
+) Describe los postulados de !uclides % cu&l es la controversia del , postulados? Euclides construye su argumentaci-n basándose en un con#unto de a&iomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llam- postulados . %os .amosos cinco postulados de Euclides, que o.recemos a continuaci-n, son<
I-. +ados dos puntos se pueden traar una recta que los une
II-. !ualquier segmento puede ser prolongado de .orma continua en una recta ilimitada en la misma direcci-n
III-. 9e puede traar una circun.erencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera
I,-. ;odos los ángulos rectos son iguales
,-. 9i una recta, al cortar a otras dos, .orma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas inde.inidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos
Este a&ioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunci- más tarde as$< => Por un punto e&terior a una recta se puede traar una nica paralela
Este a&ioma, que al parecer no satis.ac$a al propio Euclides, 'a sido el más controvertido y dio pie en los siglos 1=222 y 121 al nacimiento de la geometr$a no> Eucl$deas -
*ontroversia del , postulados? Entre los postulados en los que Euclides se apoya 'ay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio ?o se pon$a en duda su veracidad, pero tal y como aparece e&presado en la obra, muc'os consideran que seguramente pod$a deducirse del resto de postulados +urante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la /eometr$a será determinar si el = postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra
/) *ompleta correctamente las siguientes cuestionantes: a) ¿Qué son términos primitivos? @ay conceptos geométricos que no pueden de.inirse 9on ideas .ormadas en nuestra mente a través de la observaci-n del entorno y solamente podemos 'acer representaciones concretas de ellas
!spacio Es el con#unto universo de la geometr$a En él se encuentran todos los demás elementos +entro de él determinamos cuerpos geométricos como ca#as, planetas, es.eras, etcétera 9u s$mbolo es<
'unto El punto tiene posici-n en el espacio 9u representaci-n más cercana es el ori.icio que de#a un al.iler en una 'o#a de papel o un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor En el espacio 'ay in.initos puntos %os identi.icaremos con una letra mayscula y para
reconocerlos usaremos
'or e0emplo: " se lee punto ", & A se lee punto A 9i unimos di.erentes puntos, obtendremos l$neas que pueden ser curvas, rectas, mi&tas o poligonales 9on curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direccionesB rectas, si llevan la misma direcci-nB mitas, si meclan ambasB y poligonales, si están .ormadas solamente por troos de rectas
2ecta %a representaci-n más cercana de la recta es un 'ilo tenso o la marca que de#a un lápi en un papel Es in.inita, porque sus e&tremos son ilimitados y en ella 'ay in.initos puntos %a identi.icaremos con el dibu#o<
:na recta puede tener direcci-n 'oriontal, vertical u oblicua<
%as rectas se nombran con dos letras maysculas y sobre ellas se anota su s$mbolo
'or e0emplo:
, se lee recta " ;ambién se usa una % - una C, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas =eamos<
% es una recta vertical
'lano %o más parecido a este elemento del espacio es una 'o#a de papel, pero lo di.erencia con ésta, el 'ec'o que es ilimitado y no tiene grosor
El plano es una super.icie in.inita, .ormada por in.initos puntos que siguen una misma direcci-n, es decir, 'ay rectas que quedan totalmente incluidas en ella El s$mbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompaado de, por lo menos, tres puntos
,eamos este e0emplo:
Este dibu#o será una representaci-n del plano "C; y lo simboliaremos %as paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la super.icie de una laguna, son representaciones de planos Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener .iguras geométricas
3a% planos hori4ontales5 verticales % oblicuos!uando en una super.icie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva :na representaci-n de esto ser$a una bandera .lameando
b) ¿Qué relacin ha% entre ellos? ;ienen las siguientes relaciones
+e Drden Pertenencia !ongruencia
c) ¿!-mo se pueden ordenar las partes d) ¿*mo se relacionan entre sí los términos m&s primitivos?
9e relacionan de la siguiente manera< 6rden5 una relaci-n ternaria entre puntosB 'ertenencia5 tres relaciones binarias, una de ellas entre puntos y rectas, otra entre
puntos y planos, y otra entre rectas y planosB *ongruencia5 dos relaciones binarias, una entre segmentos y otra entre ángulos
e)
¿Cuál es la diferencia entre segmento, rayo, semirrecta, plano y semiplano?
7I'68 8!;
DI9!2!*IA En geometr$a, es un .ragmento de recta que está comprendido entre dos puntos - también es la porci-n de recta limitada por dos puntos, llamados e&tremos
2A=6
:n rayo es una l$nea con punto de inicio pero sin punto .inal
8!
(va 'acia el in.inito) 9i marcamos nuestra recta de.iniendo s-lo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta El punto D, divide nuestra recta en dos partes, .ormando dos semirrectas Es importante saber que el punto D, no pertenece a las semirrectas, sino es s-lo la .rontera entre las dos semirrectas
'(A6
El plano es una super.icie in.inita que está .ormada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar .iguras geométricas
8!
como< triángulos, rombos, cuadrados, entre muc'as otras %lamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas " la recta que da lugar a que se .ormen los dos semiplanos, la llamamos .rontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos
f) ¿Qué son puntos colineales de un segmento? %a noci-n de puntos colineales aparece en la geometr$a para denominar a los puntos que se sitan en la misma recta Para comprender el concepto con precisi-n, pues, debemos saber qué es un punto en geometr$a y qué es una recta
>) 2eali4a un an&lisis del enfo"ue de ir@off9egn su en.oque %os dos ltimos elementos en la ecuaci-n de irF'o.. pueden ser .ácilmente medidos, al menos en un nivel rudimentario El mismo irF'o.. someti- a prueba la ecuaci-n diseando un vaso que tenga un gran valor de bellea en su opini-n porque solo un nmero muy limitado de elementos (solo 3 curvas distintas) se necesitaron para crear un resultado altamente sistemático El método de irF'o.. 'a sido aplicado a una ca.etera 'ec'a en la .ábrica Cosent'al Esta ca.etera consiste en varias docenas de elementos pict-ricosB con lo que irF'o.. probablemente encontrar$a su bellea estética in.erior a la de su propia creaci-n %as décadas siguientes vieron, principalmente en "lemania, una larga serie de estudios en que los investigadores reun$an patrones por la reuni-n de componentes simples, median sus comple#idad y lo sistemáticos que eran, y e&aminaban 'asta que punto encontraban bellas estas imágenes los individuos que participaban en la prueba 9in embargo, estas investigaciones no se mostraron muy .ruct$.eras Poca gente encontrbellas las .iguras simples, y en lo que se re.iere a obras de arte reales, es di.$cil medir los parámetros de irF'o.. en ellas @oy en d$a, la corriente principal de investigaci-n tiende a ver la bellea no como una propiedad de los ob#etos, sino o bien como una sensaci-n vinculada a la percepci-n, o alternativamente como un mensa#e ;anto uno como otro paradigma serán tratados más adelante En mi opini-n los componentes simples serán llamados as por no tener una comple#idad de la .orma dentro de un ob#eto, incluso irF'o.. a.irma que mediante mas comple#idad que la .orma tenga, mas valor estético poseerá pero, a veces la
simplicidad no atribuye a lo bello para muc'as personas, debido a que se atribuye lo bello de un ob#eto mediante una sensaci-n perceptual totalmente sub#etiva
) !nuncia los postulados de la recta5 ra%os5 semi.ra%os % segmentos'ostulado de la separacin del plano +ada una recta m y un plano que la contiene, los puntos del plano que no están en m .orman dos con#untos tales que< !ada con#unto del plano es un con#unto conve&o 9i un punto C está en uno de los con#untos y un punto 9 está en el otro, entonces el segmento C9 interseca a la recta m
'ostulado de la separacin del espacio %os puntos del espacio que no están en un plano dado .orman dos con#untos denominados semiespacios, tales que< %os dos con#untos uno a cada lado del plano son conve&os 9i un punto C está en uno de los con#untos y un punto 9 está en el otro, entonces el segmento C9 interseca al plano en un punto
B) Describe los postulados de separacin del plano % el espacioa) ", ! y !+ son tres segmentos consecutivos de una misma recta +etermine la longitud de cada uno de ellos sabiendo que "G 8&>*0, !G 3&HI, !+G 7&H5 y "+G700 cm
b) En la siguiente .igura el segmento "G J ! y "!G 80 cm +etermine *K", ">! y 3!
c) 9obre una recta se toman los puntos consecutivos ", , !, + de modo que "G3!, !+ G5", "+ G 370 @alla ! d) En una recta se ubican los puntos consecutivos ", , !, + y E 9e sabe que ! es 7 veces ", !+ es dos veces +E y "E es *7 !alcula +
Citos
ota: trate de todos modos de 'acer la ltima parte pero no pude
