TALLER # 1 DE GEOMETRÍA: GEOMETRÍA: FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS PROFESOR: MANUEL SALAZAR JIMENEZ
1) Ejemplo 1: a) Si Juan estudia entonces ganará el año Juan estudia
p ⇒ q p
Conclusión: Juan ganará el año
∴q
Se ha aplicado aplicado la ley del MODUS PONEN. PONEN. b) Si un astro tiene luz propia, entonces es una estrella El astro no es una estrella
p ⇒ q ¬q
__________________________________________________________________ Conclusión: El astro no tiene luz propia ∴ ¬ p Se ha aplicado aplicado la ley del MODUS TOLLENDO TOLLENS. TOLLENS. c) Si es un buen estudiante entonces p ⇒ q Si es buen profesional ganará un buen salario
será
buen
profesional q ⇒ r
Conclusión: Si es buen estudiante entonces ganará un buen salario ∴ p ⇒ r Se ha aplicado la ley del SILOGISMO.
2) Utilice las reglas de inferencia para obtener una deducción lógica de las siguientes proposiciones: p ⇒ ( p ∧ r ) q ⇒ r ( pvq ) ⇒ r ¬r p
a)
pvq __________ __
∴
b)
_________ ∴
c) _________
∴
1
( p ∨ q ) ⇒ r ¬r d) _________ ∴
q ⇒ ¬ p ¬ p ⇒ r d) __________ ∴
s ⇒ ¬t ¬t ⇒ ¬r e) _________ ∴
3) Utilice las reglas de inferencia para obtener una deducción lógica de la proposición que se indica, a partir de las proposiciones dadas: Deducir c Deducir ¬t
a)
1) r ⇒ ¬t 2) s ⇒ r 3) s 4) ? 5)
?
b)
1)a ⇒ (b ∧ d ) 2) (b ∧ d ) ⇒ c 3) a 4) ? 5)
?
4) Se da un conjunto S de elementos llamados abejas. Ciertos subconjuntos de S se llaman enjambres, de modo que todo enjambre contiene abejas. Los siguientes axiomas caracterizan a abejas y enjambres:
a) b) c) d)
Axioma 1: Cada enjambre es una colección de abejas. Axioma 2: Dos enjambres distintos tienen una y solo una abeja en común. Axioma 3: Cada abeja pertenece a dos y solamente dos enjambres. Axioma 4: Hay exactamente cuatro enjambres.
Deduzca los siguientes teoremas: • • •
Teorema 1: Hay exactamente 6 abejas. Teorema 2: Hay exactamente tres abejas en cada enjambre. Teorema 3: Para cada abeja existe exactamente otra abeja que no pertenece al enjambre al que pertenece la primera.
5) Considérese cierta colección (finita y no vacía) P de personas y ciertos clubes formados por estas personas, siendo un club (no vacío) un conjunto de personas organizadas para cierto fin común. Nuestros términos básicos son la colección P de gente y los clubes a los cuales estas personas pertenecen. Respecto a estas personas y a sus clubes suponemos: • • •
Postulado 1: Toda persona de P es un miembro al menos de un club. Postulado 2: Para cada par de personas de P hay uno y solo un club al cual ambas pertenecen. Postulado 3: Para cada club hay uno y solo un club conjugado. De estos postulados dedúzcanse los siguientes teoremas:
•
Teorema 1: Toda persona de P es un miembro al menos de dos clubes.
2
•
Teorema 2: Todo club contiene al menos dos miembros. • Teorema 3: P contiene al menos cuatro personas • Teorema 4: Hay al menos seis clubes. • Teorema 5: Ningún club contiene más de dos miembros. 6) Utilizando los mismos términos básicos que en el problema 2. supongamos: • • •
Postulado 1. Cualesquiera dos clubes distintos tienen uno y solo un miembro en común. Postulado 2: Cada persona de P pertenece a dos y solo dos clubes. Postulado 3: Hay exactamente cuatro clubes. De estos postulados dedúzcanse los siguientes teoremas:
• • •
Teorema 1: Hay exactamente seis personas en P. Teorema 2. Hay exactamente tres personas en cada club. Teorema 3: Para cada persona de P hay exactamente otra persona en P que nos del mismo club.
7) Demostrar los siguientes teoremas de la teoría deductiva: ↔
• • • • • •
↔
↔
Si C y D son puntos de la recta AB entonces las rectas AB y CD son idénticas. Cada segmento contiene infinitos puntos. Si dos planos tienen dos puntos en común entonces su intersección es la recta determinada por dichos puntos. Si una recta intercepta un plano que no la contiene, entonces la intersección es un punto. Dados una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un solo plano que contenga a los dos. Si dos rectas se interceptan, su unión queda en exactamente un plano.
8) La recta I intercepta al plano II en el punto P, pero no esta en II. La recta m esta en el plano II pero no contiene al punto P. ¿Será posible que la recta I intercepte a m? Explique su respuesta. 9) “Si los ángulos de la base de un triángulo son iguales, entonces es isósceles.” ¿Cuál es el contrarrecíproco de esta preposición? ↔
10) sobre la siguiente recta AB :
→
•
¿Pertenece A al rayo AB ?
•
¿Pertenece A a AB ?
3
•
¿ x ∈ AB ?
¿ A ∈ BX ? 11) sean A, B y C puntos colineales. ¿Cuáles de los siguientes enunciados pueden ser verdaderos? Justificando la respuesta. •
• • • •
C está entre A y B y B esta entre A y C. B esta entre C y A y B esta entre A y C. A esta entre B y C y C esta entre A y B. ¿Sí tres puntos son colineales, cuantos de ellos no están entre los otros dos?
12) una recta
↔
y un plano P tienen dos puntos p y q comunes; ¿Qué puede
AB
↔
concluirse acerca de AB
y P? ¿Por qué?
13) Se sabe que tres puntos A, B y C están en un plano I y los mismos tres puntos A, B y C están en un plano II. ¿Se podría concluir que son el mismo plano? 14) Indique sí los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique la respuesta. • • • • • •
Si tres puntos son colineales, entonces son coplanares. Si tres puntos son coplanares, entonces son colineales. Si dos rectas son coplanarias, entonces se cortan en un solo punto. Si dos rectas se cortan, entonces son coplanarias. Dos puntos algunas veces son colineales. Tres puntos colineales nunca están contenidos en un único plano.
15) Sí A, B y C son puntos distintos, no colineales, ¡ cuantas rectas determinan? Identifíquelas. 16) Sí C esta entre A y B y E esta entre C y B. ¿Cuantas semirrectas determinan? Identifíquelas. 17) Dados A, B y C puntos distintos. Cuantos segmentos determinan, en los siguientes casos: • •
Si son colineales. Si no lo son.
18) Sean A y B puntos distintos. Indicar para cada una de l as siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. •
¿Es AB = BA ?
•
¿Es AB = BA ?
→
↔
•
→
↔
¿Es AB = BA ?
4
19) Si P y Q son puntos distintos, P, Q ∈ I 1 , P, Q ∈ I 2
¿Qué puede afirmarse de
I 1 y I 2 ? 20) Si I 1 y I 2 son rectas distintas tales que P ∈ I 1 , P ∈ I 2 , Q ∈ I 1 , Q ∈ I 2 . ¿Qué puede afirmarse acerca de P y Q? 21) De la siguiente figura identifique:
•
BC
•
BD
→
→
•
CA
•
AD
•
BC
•
DB
→
→
22) Para cual de las proposiciones siguientes sería un contraejemplo la figura.
•
Cuando todos los lados de un cuadrilátero tienen la misma longitud, todos los ángulos miden lo mismo.
•
Cuando todos los ángulos de un cuadrilátero tienen la misma medida, todos los lados son de igual longitud.
•
Cuando un par de lados de un cuadrilátero es congruente, el segundo par de lados también lo es. 23) Indíquese si la proposición es falsas o verdadera. Si es falsa dese un contraejemplo. •
Dado cualquier ∆ ABC , la bisectriz perpendicular de AB interseca a la bisectriz perpendicular de BC en un punto dentro del triángulo.
5
↔
•
Dado cualquier ∆ ABC , la recta que pasa por A y es perpendicular a BC y la ↔
recta que pasa por B y es perpendicular a AC se intersecan en un punto dentro del triángulo.
24) Escríbase contraejemplos para las siguientes generalizaciones falsas: •
Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, el cuadrilátero es un cuadrado.
•
Si un cuadrilátero tiene cuatro ángulos congruentes, tiene cuatro lados congruentes.
25) Los pares de letras en el siguiente párrafo representan o bien números, o rectas, o segmentos de recta o rayos. Colocar los símbolos apropiados. •
AB + BC = AC. DB contiene los puntos A y C, pero DB no contiene ni el punto A ni el punto C. A pertenece a DB, pero C no.
•
Hacer un dibujo que muestre las posiciones relativas de los cuatro puntos.
26) Si A, B y C son tres puntos de una recta tales que AC + BC = AB, ¿Cual es la →
→
→
→
→
→
intersección de CB y BA ? ¿De AC y AB ? ¿Y la de CA y CB ? ↔
↔
27) Si A, B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B y BD contiene a C, ¿Cuáles de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos? •
B esta entre A y C
•
BC contiene a A.
↔
↔
↔
•
AC = BD ↔
↔
•
AC y BD se intersecan en B Y C solamente. ↔
•
↔
AD y BC no se intersecan. ↔
↔
•
AC es opuesto a DB
Los ejercicios 27-28 se responden de acuerdo a la figura de la derecha. 28)
Dado
∠ A ≅ ∠C
AB
Pruébese
≅ BC
∆CBE ≅ ∆ ABD
6
29) Dado
∠ BDA ≅ ∠ BEC
BD ≅ BE
Pruébese ∆ BDA ≅ ∆ BEC Los ejercicios 29-30 se responden de acuerdo a la figura de la derecha.
AC ≅ BD 30) Dado
∠ A ≅ ∠ D ∠ ACE ≅ ∠ DBF
Pruébese
∆ ACE ≅ ∆ DBF
AC ≅ BD 31) Dado AE ≅ DF ∠ A ≅ ∠ D
Pruébese
∆CAE ≅ ∆ BDF
∠1 ≅ ∠2
32) Dado
∠3 ≅ ∠4
AC ≅ BD
Pruébese AE ≅ BF
∠1 ≅ ∠2
33) Dado PQ ≅ RQ PV ≅ TR
Pruébese QT ≅ QV
HF ⊥ BD 34) Dado HG
⊥ AC
HF ≅ HG
Pruébese AG ≅ DF
7
AB ≅ CB ≅ 35) Dado ED EF ∠1 ≅ ∠2 ∠3 ≅ ∠4
Pruébese AD ≅ CF
36) Dado
FE ≅ FD ∠FEY ≅ ∠FDR
Pruébese EY ≅ DR Pruébese EY ≅ DR
37)
Dado
O es el punto medio de BC ∆ AOB
Pruébese
Es isósceles con OA ≅ OB
∆ AOC Es isósceles.
38) Dado: ABCE tiene AB ≅ BC ∆ BDF Es isósceles con BF ≅ BD →
→
BF bisecta a
Pruébese
∠ ABD
y BD biseca a
∠CBF
∆ ABF ≅ ∆CBD
→
39) Dado OB biseca a ∠ AOC →
OC bisecta a ∠ BOD
Pruébese ∠ AOB ≅ ∠COD
8
40) Dado ∆ AEC ≅ ∆ DFB Pruébese ∆ ABE ≅ ∆ DCF
41) Dado
B es el punto medio de AC ∠1 ≅ ∠2 ∠3 ≅ ∠4
FB
Pruébese
42) Dado
≅
GB
FD ≅ GE
∠FGH y ∠ IHG
son ángulos rectos
∠1 ≅ ∠ 2
∆ IHG ≅ ∆FGH
Pruébese
43) Dado: ABCD es un cuadrilátero con todos los lados de la misma longitud. ∠1 ≅ ∠ 2 W, X, Y, Z son puntos medios de los lados.
Pruébese
∆ BWX ≅ ∆ DZY
→
44) Dado AB ⊥ OE , O es el punto medio de AB ∠ DAO ≅ ∠CBO ∠1 ≅ ∠2
9
∆ AOD ≅ ∆ BOC
Pruébese
45) Dado
∠ BAX ≅ ∠ DAX ∠ BCY ≅ ∠ DCY
Pruébese BC ≅ DC
46) Dado
AE ≅ DE BE ≅ CE
Pruébese AB ≅ CD
→
47) Dado
BC biseca a ∠ ABD ∠1 ≅ ∠ 2 Pruébese ∆ ABC ≅ ∆ DBC
48) Dado
Pruébese
m∠1 = m∠2 m∠5 = m∠6
AD=AB
10
49) Dado AB = CD, BD = CE Pruébese AC = CE
∠1 ≅ ∠2
DA ⊥ AC
50) Dado
EB ⊥ AC FC ⊥ AC
B es punto medio de AC AD ≅ CF
Pruébese
51) Pruebe que la altura a la base de un triangulo isósceles también es la bisectriz del ángulo del vértice. 52) En la siguiente figura SW y RV son medianas del ∆ RST , SL = 4, SW=6 y RV = 9. Encuentre RL
AB ≅ BC 53) Dado
DG
⊥ AB
EF ⊥ BC BD ≅ BE
Pruébese
∆ AGD ≅ ∆CFE
11
54) Dado
∠1 ≅ ∠2
AD ≅ EC
Pruébese ∆ ABE ≅ ∆ BCD
55) Dado ∆ ABC , es equilátero AF ≅ BD ≅ CE Pruébese ∆ I ≅ ∆ II ≅ ∆ III
56) Dado ∆ ABC , es equilátero, AF , BD y CE Son extensiones de los lados del ∆ ABC ∠1 ≅ ∠2 ≅ ∠3 Pruébese
57) Dado
Pruébese
58) Dado Pruébese
∆ I ≅ ∆ II ≅ ∆ III
AD = BC AC = BD AK = BN AG = BH KG = NH.
∠m ≅ ∠ n
AC ≅ BC
12
59) Se da un triángulo isósceles ABC de base BC ; se prolongan los lados BA y CA en una misma longitud AE = AD ( E sobre BA, D sobre CA). • •
Probar que los triángulos DBA y ECA son iguales. Se lleva sobre AB y AC , AB’=AC ’, ( B’ sobre AB y C ’ sobre AC), se trazan CB ’ y BC’ que se cortan en O. Demostrar que los triángulos BB’O y CC ’O son iguales
60) Dados los triángulos ∆ ABC y ∆ MNP tales que AC ≅ MP, BC ≅ NP y la mediana AD es congruente con la mediana MQ entonces el ∆ ABC ≅ ∆ MNP .
61) En un triangulo ∆ ABC , AB ≅ AC . Se trazan las medianas BD y CE relativas a los lados congruentes, los cuales se cortan en el punto I. •
Pruébese que ∆ BIC y ∆ DIE son isósceles.
•
Comparar
∆ BIE y ∆ DIC
62) Demostrar que si dos rectas se cortan, las bisectrices de los cuatro ángulos forman dos rectas perpendiculares.
63) En un triangulo ∆ ABC se traza la bisectriz AD del ángulo ∠ BAC , se toma en AD
los puntos E y F tales que AE ≅ AB y AF ≅ AC . Demostrar que BF ≅ CE . 64) Para los triángulos ∆ ABC y ∆ A' B' C ' se tiene que
∠ B ≅ ∠ B ' y BC ≅ B ' C '
y las
bisectrices BE ≅ B ' E ' . Mostrar que ∆ ABC ≅ ∆ A' B' C ' .
65) Dados los puntos A, C, D y E están alineados con A-E-D y A-D-C . B es un punto ↔
que no esta en AC , tal que AB = AC, EB= DB y AE = CD. Pruébese que ∠ ABE ≅ ∠ DBC . 66) En el triangulo ∆ ABC , ∠ A ≅ ∠ B , El punto P bisecta AB, PM y PN están trazadas de modo que ∠ BPM ≅ ∠ APN .Demuéstrese que BM = AN
67) Demuestre cada uno de los siguientes casos: •
La mediana de la base de un triangulo isósceles bisecta al ángulo del vértice.
•
Sí la bisectriz de un ángulo de un triangulo es también la altura del lado opuesto, Entonces los otros dos lados del triangulo son congruentes.
•
Si una mediana de un lado de un triangulo es también la altura sobre ese l ado, Entonces el triangulo es isósceles.
13
•
En un triángulo isósceles, las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes.
CONSTRUCCIONES
68) Construir un triangulo isósceles conociendo: • • • • • • •
La base y la altura. La base y un ángulo adyacente. La base y un lado. La base y el ángulo opuesto. El perímetro y la base. El perímetro y la altura. La altura y uno de los lados iguales.
69) Construir un triangulo equilátero conociendo: • • •
El lado El perímetro La altura
70) construir un triangulo rectángulo, conociendo: • • •
La hipotenusa y un cateto. La hipotenusa y un ángulo agudo. La hipotenusa y el punto de intersección de las medianas.
14
