Actividades de la unidad I
1) De la historia de geometría escribe: a) ¿Quiénes desarrollaron la forma primitiva de la geometría? La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes longitudes,, áreas y volúmenes volúmenes.. En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Herodoto Herodoto,, Estrabón y Diodoro Sículo,, Euclides Sículo Euclides,, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática axiomática,, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos. Elementos.
b) ¿De dónde se deriva la palabra geometría?
Su palabra proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir). La geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida del espacio o del plano, fundamentalmente se preocupa de problemas métricos como el cá lculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos o geométricos. El cuerpo geométrico es un cuerpo real considerado tan solo desde el punto de vista de su extensión espacial.. La idea de figura es aun más general espacial general,, pues se abstrae también de su extensión espacial. Así, el espacio tiene tres dimensiones, una superficie solo dos, una recta una y un punto carece de dimensiones. La geometría se ocupa de la forma de un cuerpo independientemente de las demás propiedades del mismo. Por ejemplo, el volumen de una
esfera es 4/3 πr3, aunque dicha esfera sea de cristal, de hierro o una gota de agua.
c) ¿En qué consiste el tratado de Euclides denominado denominado “Elementos” y co mo está estructurado? leme mento ntos s de Euc lide lides s (en griego /stoicheia/ ia/ ) y conocido Los E le griego:: Στοιχεῖα , /stoiche como geometría euclidiana; euclidiana ; en griego : Ευκλειδης Γεωμετρια) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en en Alejandría Alejandría..
A pesar de tratarse tratarse de un trabajo trabajo sobre geometría, geometría, el libro libro incluye resultados resultados que hoy hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. números . Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación aproximació n constructiva a la aritmética aritmética.. El contenido de los libros es el siguiente:
Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana. plana . Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones . Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de los cuerpos sólidos. sólidos .
2) Describe los postulados de Euclides y cuál es la controversia del V postulados?
Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos , escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.1 Los postulados de Los Elementos son: 1. 2. 3. 4. 5.
Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometría: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.
A principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y János Bolyai consideraron la posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, descubriendo la Geometría hiperbólica. Ésta fue la primera geometría no euclídea en aparecer históricamente y Gauss consideró seriamente la posibilidad de que fuera la geometría del espacio en que vivimos, planteando así la cuestión de la estructura geométrica del Universo, que conduciría a la Teoría de la relatividad general de Einstein. Gauss incluso llegó a presentir que la geometría hiperbólica era preferible, porque en ella hay unidades de 9 En términos actuales, estos postulados fueron enunciados por Hilbert en sus axiomas 3) Completa correctamente las siguientes cuestionantes: a)
¿Qué son términos primitivos?
punto, recta y plano. Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas. Es el conjunto universo de la geometría.
El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una
letra de imprenta mayúscula.
La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.
El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una
letra griega.
b) ¿Qué relación hay entre ellos? Los tres conceptos anteriores están relacionados a
través de las relaciones de pertenencia e inclusión:
Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.
Las rectas están incluidas en los planos.
c) ¿Cómo se relacionan entre sí los términos más primitivos? d) ¿Cuál es la diferencia entre segmento, rayo, semirrecta, plano y semiplano? e) ¿Qué son puntos colineales de un segmento? 4) Realiza un análisis del enfoque de Birkoff. 5) Enuncia los postulados de la recta, rayos, semi-rayos y segmentos.
6) Describe los postulados de separación del plano y el espacio. a) AB, BC y CD son tres segmentos consecutivos de una misma recta. Determine la longitud de cada uno de ellos sabiendo que AB= 5x-10, BC= 3x+6, CD= 2x+4 y AD=200 cm. b) En la siguiente figura el segmento AB= 9 BC y AC= 50 cm. Determine 1/AB, AB-BC y 3BC.
c) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB=3BC, CD =4AB, AD = 320. Halla BC. d) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC es 2 veces AB, CD es dos veces DE y AE es 12. Calcula BD
