TUGAS MATA KULIAH NASAB NAMA KELOMPOK: FITRI VIDYAWATI
(050064)
NIA RACHMAWATI
(060477)
NUR AZIZAH AZIZAH FITRI FITRIANA ANA (060480) (060480) SEMESTER
: VII A
APLIKASI POLINOM LEGENDRE DALAM BIDANG FISIKA.
Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh AdrienMarie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi perluasan potensi Newtonian
Dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor dan masing-masing dan γ adalah sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi Ekspresi memberikan memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial atau potensial Coulomb terkait ke titik muata muatan. n. Perluasan Perluasan menggunak menggunakan an polinomial polinomial Legendre Legendre mungkin mungkin berguna, berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , Di daerah daerah bebas bebas biaya biaya ruang, ruang, dengan dengan menggu menggunak nakan an metode metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana mana adalah adalah sumbu sumbu simetr simetrii dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan
dan
harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah.
Polinomial Legendre dalam perluasan multipole
Gambar 2 Polinomial Polinomial Legendre juga bermanfaat bermanfaat dalam memperluas memperluas fungsi dari bentuk bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):
yang muncul secara alami di multi multipole pole ekspa ekspansi. nsi. Di sisi sisi kiri kiri dari dari persam persamaan aan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi contoh, potensi listrik Φ listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti
Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre
where where we have have define defined d η = a / r < 1 and x = cos θ . di mana mana kita kita tela telah h mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan Perluasan ini digunakan digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertuk bertukar. ar. Perlua Perluasan san ini adalah adalah dasar dasar dari dari interi interior or multi multipole pole ekspansi. 2 Persam Persamaan aan Legend Legendre re adalah adalah (1 − x ) y"−2 xy '+ p( p + 1) = 0 di mana p suatu konsta konstanta nta,, disebu disebutt persam persamaan aan Legend Legendre, re,.. Penyel Penyelesa esaian ian sangat sangat pentin penting g dalam dalam banyak cabang matematik terapan. Sebagai contoh, persamaan Legebdre muncul dalam dalam kajian kajian persam persamaan aan potens potensial ial dalam dalam koordi koordinat nat bola. bola. Jelasl Jelaslah, ah, persam persamaan aan potensial
∂
2
∂ x
v 2
+
∂
2
∂ y
v 2
+
∂
2
v 2
∂ z
=0
dipetakan ke koordinat bola
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = cos θ Menjadi ∂
2
v 2
+
∂r
2∂v
r ∂r
+
1 ∂ 2v 2
r ∂θ
2
+
cot θ ∂v 2
+
r
∂
1 2
2
2
v
r sin θ ∂φ 2
=0
Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari θ berbentuk V = r pθ , dimana merupakan fungsi dari θ saja, kita dapatkan
d 2 Θ d θ 2
+ cot θ
d Θ d θ
+ p ( p + 1)Θ = 0
Dengan menggunakan penggantian peubah x = cosθ dan mengganti θ dengan y, 2 kita peroleh persamaan Legendre: (1 − x ) y"−2 xy '+ p( p + 1) = 0 Jika p bilangan bulat taknegatif, salah satu penyelesaian dari Persamaan diatas di seki sekita tarr titi titik k bias biasaa x0 = 0 berben berbentuk tuk polino polinom. m. Bila Bila dinorm dinormalk alkan an secara secara tepat tepat penyelesaian berbentuk polinom Legendre.