Tugas NASB Mutiara Ismi (060479) Marrendy Oktaria (060485) Devi Pratiwi (060491) Kelas A Semester 7
Aplikas Apl ikasii Persam Per samaan aan Diferen Dife rensia siall
(1 – x2) y” – 2xy’ + p (p+1)y = 0 Dimana Dimana p suatu konstanta, konstanta, disebut disebut persamaan persamaan Legendre. Penyelesaian Penyelesaian di atas, sangat penting dalam banyak cabang matematika terapan. Sebagai contoh, persamaan Legendre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam koordinat bola. Jelaslah persamaan potensial ∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2=0 Dipetakan ke koordinat bola x = r sin θ cos ∅ , y = r sin θ sin ∅ , z = cos θ menjadi ∂2V∂r2+2r∂V∂r+1r∂2V∂θ2+cotθ∂Vr2+1r2sin2θ∂2V∂∅2=0 Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari θ berbentuk V = r p θ, dimana θ merupakan fungsi dari θ saja, kita dapatkan d2Θdθ2+cotθ dΘdθ+pp+1Θ=0 Dengan menggunakan menggunakan penggantian penggantian peubah x = cos θ dan menggati θ dengan y, kita peroleh persamaan Legendre seperti di atas.
Aplikas Apl ikasii dari dar i polino pol inomial mial Legend Leg endre re dalam dal am fisika fisi ka
Polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi perluasan potensi Newtonian
dimana r dan r 'adalah 'adalah panjang panjang dari vektor and dan masing-mas masing-masing ing dan γ adalah sudut antara antara kedua vektor. Seri menyatu menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan menggu menggunaka nakan n polino polinomia miall Legendr Legendree mungki mungkin n berguna berguna,, misaln misalnya, ya, ketika ketika mengin menginteg tegras rasika ikan n ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau d istribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan pemecahan persamaan Laplace dari potensi, dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Dimana adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan solusi potensial akan
sumbu (sudut puncak),
dan
harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].
Polinom Poli nomial ial Legend Leg endre re dalam dal am per perlua luasan san multipo mult ipole le
Gambar 2 Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):
yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang titik yang terletak z = pada sumbu z sumbu z pada pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti
r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat Jika jari-jari r dari daripada seorang, dikembangkan dalam polinomial Legendre
di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan dan x = cos cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi.
Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas diperluas dalam polinomial polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi. Menyelesaikan Menyelesaikan Integral Lipat Dua Dengan Metode Trapesium – Gauss Legendre Quadrature Perumusan metode Kudratur Gauss Lagendre ditulis sebagai berikut. I≈-11fb-at+b+a2b-a2dt a dan b adalah harga batas bawah dan batas atas dari integral dan t = akar polinom Legendre. Jika (9) telah dipenuhi, penyelesaian dapat digunakan dengan menggunakan deret -11f(x)dx≈i=1ncifb-ati+b+a2 dimana c1 merupakan koefisien – koefisien polinom Legendre yang didapat dari rumus : ci=-2n+1Pn1xiPn+1(xi) i = 1,2,…,n Pn(x) = Polinom Legendre Sebagai metode pendekatan numerik untuk integral lipat dua digunakan Metode Trapesium untuk mendekati nilai integral pada sisi dalam dari integral lipat dua tersebut. Metode Kuadratur Gauss Legendre digunakan untuk un tuk mendekati nilai integral atas nilai hampiran integral sisi dalam yang telah diperoleh dari metode trapesium. Kasu Ka suss daera da erah h integ int egral ral pada pa da daer da erah ah nonp no npers erseg egii panja pa njang ng Integral lipat dua dapat diselesaikan dengan metode Gauss Legendre Quadrature sebagai berikut: Gx=(dx-cx)fx,dx+f(x,cx)2+i=1n-1fx,cx+ih(x)) 1nabgxd(x)≈b-a2n-11gb-at+b+a2dt ≈(b-a)2n-11db-at+b+a2-cb-at+b+a2*fb-at+b+a2;db-at+b+a2+fb-at+b+a2;cbat+b+a2+i=1n-1fb-at+b+a2;cb-at+b+a2+ihb-at+b+a2
