APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE TUGAS 1 : NILAI AWAL SYARAT BATAS
Nama Kelompok : 1. Siti Azizah
(060497)
2. Sri Handayani
(060449)
3. Su Sullisti stiyowa yowatti Haps apsari ari
(06050 60505) 5)
Polinom Pol inom Legend Leg endre re Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk
dengan l adalah konstanta. Persamaan differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial tersebut adalah dalam bentuk polinomial yang dikenal sebagai polinom Legendre. Misalkan solusi untuk y y berbentuk deret pangkat dalam x
turunan pertama dan keduanya adalah
Bila koefisien koefisien dari masing-masi masing-masing ng suku pangkat x tersebut tersebut dijumlahka dijumlahkan, n, masing-masi masing-masing ng harus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya
yang memberikan nilai konstanta a:
Sedangkan dari koefisien xn diperoleh
Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu
Artinya untuk n genap, koefisien an dapat dinyatakan dalam a0, sedangkan untuk suku yang ganjil dapat dapat dinyat dinyataka akan n dalam dalam a1. Deng Dengan an demi demiki kian an solu solusi si dari dari pers persam amaan aan Lege Legend ndre re dapa dapatt dinyatakan dalam a0 dan a1:
Deret tersebut konvergen untuk x2 < 1 sedangkan bila x2 = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen. divergen. Dalam banyak penggunaa penggunaannya nnya di bidang bidang Fisika, Fisika, x adalah nilai cosinus dari suatu sudut q dan konstanta l adalah bilangan bulat bukan negatif. Tinjau kasus untuk l = 0. Untuk kasus ini deret a1 dapat dituliskan menjadi:
x+2!3!x2+4!5!x5+6!7!x7+…
yang bersifat divergen. Sedangkan untuk deret a0 dituliskan menjadi 1- 0 + 0 - 0 + ... yang artinya bersifat konvergen.
Untuk l = 1, deret a0 bersifat divergen (pada x2 = 1) sedangkan a1 bersifat konvergen. Secara umum dapat digeneralisasi bahwa untuk nilai l tertentu, tertentu, salah satu deret bersifat konvergen sementara deret yang satunya lagi divergen pada x2 = 1. Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y y, misalnya untuk l = 0 → y = a0; untuk l = 1→ y = a1 x dan seterusnya. Masing-masing mempunyai konstanta a0 ATAU a1. Jika konstanta tersebut dipilih sedemikian agar diperoleh nilai y = 1 untuk x x = 1, maka diperoleh suatu suku banyak yang dinamakan POLINOM POLINOM LEGENDRE, yang dituliskan dituliskan sebagai P l l( x x). Misalkan untuk l = 0, maka y = a0. Agar y y = 1, maka artinya a0 = 1. Dinyatakan P 0( x x) = 1. Untuk l = 1 telah diperoleh bahwa y = a1 x. Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a1 = 1 sehingga dinyatakan P 1( x x) = x. Untuk l =2 =2 telah diperoleh bahwa y= a0.(1-3x2) Agar Agar y y = 1 untuk x = 1, maka artinya a0 = -12 sehingga dinyatakan P 2( x x) =-121-3x2=123x2-1
Dengan cara yang sama dapat diperoleh ungkapan untuk P 3( x x), P 4( x x) dan seterusnya. Berikut ini adalah polinom Legendre untuk beberapa nilai l :
Polinom Legendre P l l( x x) tersebut sering disebut juga sebagai FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA. Terdapat juga FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA yang merupakan solusi untuk setiap l yang berupa deret tak hingga. Fungsi jenis kedua ini biasanya biasanya dilambangkan dilambangkan dengan Ql ( x x) namun penggunaannya tidak sesering fungsi jenis pertama. Plot fungsi Legendre jenis pertama untuk l = 2, 3, 4 dan 5.
Fungsi Pembangkit untuk Polinom Legendre Fungsi berikut ini dinamakan fungsi pembangkit untuk polinom Legendre : Φ
x,h=(1-2xh+h2)-12
untuk h<1
Fungsi tersebut bila diuraikan dalam deret pangkat menghasilkan: Φ
x,h=(1-2xh+h2)-12=1+122xh-h2+12322!(2xh-h2)2+…
=
1+122xh-h2+38(2xh-h2)2+…
=
1+xh-12h2+384x2h2-4xh3+h4+…
=
1+xh+h232x212+…= P0x+hP1x+h2P2x+ P0x+hP1x+h2P2x+…=l=O∞hlPl(x) …=l=O∞hlPl(x)
Polinom P l l( x x) tersebut bila dihitung untuk nilai x=1 akan memberikan Φ
x,h=(1-2h+h2)-12= 11-h2=11-h=1+h+h2+…
P01+P11+h2P21+…
dengan dengan demiki demikian an harusl haruslah ah terpenu terpenuhi hi bahwa bahwa (1) =1
l
yang merupa merupakan kan sifat sifat polino polinom m P yang
Legendre. Legendre. Dapat ditunjukk ditunjukkan an pula bahwa polinom polinom P l l( x tersebut memenuhi memenuhi persamaan persamaan x) tersebut Legendre. Hubungan rekursif pada polinom Legendre:
Hubung Hubungan an rekurs rekursif if tersebu tersebutt dapat dapat diguna digunakan kan untuk untuk mencari mencari polino polinom m Legend Legendre re untuk untuk l tertentu bila diketahui polinom dengan l yang lebih kecil. Misalnya, karena P0x=1 dan P1x=x maka: 2P2x=3xP1x-1P0x=3s2-1→P2x=12(3x2-1)
Contoh penggunaan polinom legendre dan fungsi pembangkit dalam persoalan elektrostatik: Potensial elektrostatik pada jarak d dari sebuah muatan titik adalah V=kqd
Dapat dinyatakan
d= R-r=R2-2Rrcosθ+r2=R1-2rRcosθ+r R-r=R2-2Rrcosθ+r2=R1-2rRcosθ+rR2 R2
Maka V=kqd=kqR1-2 cosθrR+rR2-12
Kunt Kuntit itas as dala dalam m kuru kurung ng siku siku ters terseb ebut ut memp mempun unya yaii bent bentuk uk yang yang sama sama deng dengan an fung fungsi si pembangkit Φ , sehingga V=kqd=kqR
Φ
dengan
Φ
Φ
dituliskan:
=
cosθ,rR merupakan merupakan fungsi fungsi pembangki pembangkitt polinom polinom Legendre. Legendre. Maka dapat
V=kqd=kqR
Φ=
kqRl=0∞rRlP1cosθ
Jika terdapat banyak beberapa muatan qi pada posisi ri maka potensial oleh salah satu muatan
qi adalah Vi=kqiRl=0∞riRlP1(cosθi)=kqil=0∞rilP1(cosθ1)Rl+1
dan potensial total akibat seluruh muatan adalah V=iVi=kiqil=0∞rilP1(cosθi)Rl+1
