INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES: SERIE DE POTENCIAS (HERMITE, LEGENDRE CHEBYSHEV)
PROF- MARTINEZ VELDES FABIAN DAVID
GRUPO- 2CM20 ALUMNO-ESTRADA SOUBRAN JUAN MANUEL MEXICO, DISTRITO FEDERAL A 9 DE MAYO DEL 2011
BOLETA: 2010300188
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE El segundo fin de ecuaciones diferenciales ordinarias (1) Esta ecuación diferencial tiene una singularidad irregulares en . Se puede resolver utilizando el método de la serie (2) (3) Por lo tanto, (4) y (5) de
, 2, .... Puesto que (4) es sólo un caso especial de (5), (6)
de
, 1, ....
Las soluciones linealmente independientes son luego (7) (8) Estos se puede hacer en forma cerrada como (9) (10) donde es una función hipergeométrica confluente de primera especie y Hermite . En particular, para , 2, 4, ..., las soluciones pueden ser escritas
es un polinomio de
(11) (12) (13) donde Si
es el erfi función. , Entonces la ecuación diferencial de Hermite se convierte en (14)
que es de la forma
y así tiene solución (15) (16)
Tenemos que determinar la mejor opción para los coeficientes (a n).
() ∑
() ∑
() ∑ ()
Al conectar esta información en la ecuación diferencial se obtiene:
∑ () ∑ ∑
Haciendo cambio de variable k=n-2; k=n-1; k=n
∑() ∑ () ∑
Factorizando
∑()() ( )
()() ()
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. FORMA CANÓNICA Se define como Ecuación Diferencial de Legendre en su forma canónica a: Def.-
( )
cuya solución general es entonces la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes
() () () Como caso particular de estas soluciones si λ = ν (ν+1) con ν = n
∈ N una de dichas soluciones es un
Polinomio de Legendre de orden n. En este caso la solución general toma la forma:
() () () FORMAS MODIFICADAS DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE Las Forma canónica de la ED de Legendre ha sido elegida como tal por la simplicidad en los cálculos de las soluciones. Las Formas Modificadas de la ED de Legendre se obtienen a partir de la Canónica por medio de un cambio de variables que se emplean en demostraciones matemáticas o en aplicaciones físicas.
PRIMERA FORMA MODIFICADA La Ecuación Diferencial de Legendre en la resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales en los Modelos usuales de la Física (Campos Conservativos, Transmisión de Calor, Transmisión de Ondas, etc.) planteadas en Coordenadas Esféricas aparece bajo la primera forma modificada.
Esta forma modificada de la Ecuación de Legendre se obtiene con el cambio de variable x = cos θ
Partiendo de la Ecuación de Legendre canónica
Cambiando de variable x = cos θ
Reemplazando estas expresiones en la ED resulta
que es la ED modificada, cuya solución general será de la forma:
()
∈
si con ν = n N las soluciones con Polinomios de Legendre de orden n tendrán la solución general de la forma:
SEGUNDA FORMA MODIFICADA Una segunda forma modificada se obtiene por translación z = x –a para llevarla a un desarrollo en un V(a). En particular se aplicará este cambio de variable en V(1) para encontrar otras formas de las soluciones de la ED de Legendre .
Partiendo de la ED canónica:
se obtiene la segunda forma de ED modificada:
TERCERA FORMA MODIFICADA Esta tercera forma modificada de la ED de Legendre se emplea en la acotación de raíces de los Polinomios de Legendre.
A partir de la ED modificada
por el cambio de variable
Reemplazando en:
Queda:
Eligiendo
resultando:
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. La ED Legendre
( )
Tomando el coeficiente de la potencia
Que lleva a la Ecuación característica C0 (r) (r – 1) = 0
se forma la Ecuación de Recurrencia
de donde
Para operar con mayor facilidad con la Ecuación de Recurrencia más fácilmente se transforma el segundo término en producto de monomios
Para ello se buscan las raíces de este polinomio de 2º grado
para ello se completa el cuadrado perfecto tomando
()
Queda
Para hallar la Primera y Segunda solución simultáneamente se desarrollará la función y(x, r):
resulta entonces: C0 = C0 arbitrario y no nulo. C1 = 0 válido para la primera solución, y elegido arbitrariamente nulo para la segunda. Además se arrastra
Entonces:
Para obtener la Primera solución y1 se remplaza en y(x,r): r = r 1 = 1
y para la Segunda solución y2 se remplaza en y(x,r): r = r 2 = 0
Estas soluciones y1 e y2 son las funciones de Legendre que generan a la solución general de la Ecuación de Legendre como la combinación lineal :
POLINOMIOS DE LEGENDRE Las funciones de Legendre para ciertos valores particulares de v son Polinomios. En efecto dichas funciones para valores naturales de v se reducen a Polinomios. La constante C 0 se fija de manera tal que dichos Polinomios, llamados de Legendre P n(x) , tengan valor 1 para x = 1.
OBTENCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE. PRIMERA EXPRESIÓN Una primera forma o expresión de los Polinomios de Legendre se deduce de la siguiente manera: I.- En la primera solución y1, si v = n es Natural e Impar se obtiene un Polinomio de orden n pues los coeficientes de la serie se anulan a partir de 2p+1 > n
Con la convención que C 0 : P n(1) = 1 II.- En la segunda solución y2, si ν = n es Natural y Par también se obtiene un Polinomio de orden pues los coeficientes de la serie se anulan a partir de 2p > n
siempre con la convención que C 0 : P n(1) = 1
TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE
ECUACION DIFERENCIAL DE CHEBYSHEV Polinomios de Chebyshev. Los Polinomios de Chebyshev están estrechamente ligados a la teoría de la aproximación de funciones, por lo que parecerían estar fuera de lugar en este trabajo dedicado a las Ecuaciones Diferenciales. No obstante introducimos aquí su tratamiento tanto por sus notables similitudes con los Polinomios de Legendre, como porque una de las principales aplicaciones de ambos la constituye el desarrollo de los filtros eléctricos, o filtros de ondas, de gran importancia en las ramas de la ingeniería eléctrica y electrónica. Esta aplicación la comparten también con las funciones de Bessel, que veremos en el próximo capítulo. La función Cn ( x ) = cos ( n arcos x ) (4.1) en la cual n es cualquier número natural, se conoce como Polinomio de Chebyshev de orden n . Aunque a primera vista no parezca evidente, la función mencionada es en efecto un polinomio en x, finito para todo x ≠ ∞ , como probaremos a continuación.
En primer lugar, si n = 0, es obviamente: C0 ( x ) = cos ( 0 arcos x ) = cos 0 = 1 A su vez, para n = 1, C1 ( x ) = cos ( arcos x ) = x Ahora bien, para calcular los polinomios sucesivos, se puede apelar a la fórmula de recurrrencia que demostraremos a continuación: El Polinomio de orden n es, por definición (4.1): Cn ( x ) = cos ( n arcos x ) Y si llamamos, para simplificar, u = arcos x reemplazando, obtenemos: Cn ( x ) = cos n u (4.2) A su vez, la función inversa de u es: x = cos u (4.3) De acuerdo con la definición dada más arriba, el Polinomio de orden n + 1, será: Cn+1 ( x ) = cos [ ( n + 1 ) u ] = cos ( n u + u ) y el de orden n -1: Cn-1 ( x ) = cos [ ( n - 1 ) u ] = cos ( n u - u )
Al aplicar las conocidas fórmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, las dos últimas igualdades quedan modificadas como sigue: Cn+1 ( x ) = cos u cos nu - sen u sen nu y Cn-1 ( x ) = cos u cos nu + sen u sen nu Al sumar miembro a miembro estas dos igualdades, y despejar luego, se obtiene: Cn+1 ( x ) = 2 cos u cos nu - Cn-1 ( x ) y reemplazando según (4.2) y (4.3): Cn+1 ( x ) = 2 x Cn ( x ) - Cn-1 ( x ) (4.4) A partir de este resultado, es posible determinar, por reiteración, el polinomio que representa a cada una de las funciones de Chebyshev. A continuación, a título de ejemplo, desarrollamos las primeras de ellas: Ya vimos que C0 ( x ) = 1 y C1 ( x ) = x Si aplicamos la fórmula (4.4), obtendremos, sucesivamente:
etc.
Existencia de la Función de Chebyshev para valores de | x | > 1. El rango de existencia de las Funciones de Chebyshev definidas según la (4.1) es -1≤ x ≤ 1,
puesto que la función arcos x no existe para cualquier valor de x de módulo mayor que 1: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. 4.5 Parte 4 – Polinomios de Chebyshev. |x | > 1, Sin embargo, una simple inspección de los polinomios Cn ( x ) muestra que los mismos tienen sentido para cualquier valor no infinito de x . Cabe entonces hacerse la pregunta: ¿Habrá alguna expresión similar a cos ( n arcos x ), que permita extender la validez de las funciones de Chebyshev para cualquier valor de x cuyo módulo sea mayor que 1?. La respuesta es afirmativa. En efecto, la función: γ n ( x ) = ch ( n arch x ) (4.5)
tiene, para x < -1 y x > 1, igual significado que cos ( n cos x ) para -1 < x < 1, como veremos a continuación. Comenzaremos por probar la validez de la expresión siguiente, que nos da el valor del coseno hiperbólico de una suma de dos números: ch(α + β ) = ch α ch β + sh α sh β
Efectivamente:
A continuación, llamaremos arch x = v
∴ x = ch v
Reemplacemos este valor en la (4.5), y obtendremos: γ n ( x ) = ch ( n arch x ) = ch nv
Si n = 0,
∴ ch 0 = 1
Vemos también que si n = 1, entonces γ1 ( x ) = ch v = x Ahora, a partir de la fórmula (4.6), reemplazando α y β por, respectivamente, nv y v, podemos hacer: γ n+1 ( x ) = ch [( n + 1 ) v ] = ch ( nv + v ) = ch nv . ch v + sh nv . sh v
De modo enteramente similar se demuestra la fórmula siguiente, simétrica de la anterior:
γ n -1 ( x ) = ch [( n - 1 ) v ] = ch ( nv - v ) = ch nv . ch v - sh nv . sh v
El resultado de sumar miembro a miembro las dos últimas igualdades es: γ n+1 ( x ) + γ n - 1 ( x ) = 2 ch v . ch nv = 2 x γn ( x ) Despejando γ n+1 ( x ), resulta γ n+1 ( x ) = 2 x γn ( x ) - γ n - 1 ( x )
De aquí se llega a la fórmula de recurrencia siguiente, que, como en el caso anterior, nos permitirá obtener todos los coeficientes, a partir del conocimiento de dos consecutivos: γ n( x ) = 2 x γ n - 1( x ) - γ n - 2( x )
Para terminar, debemos decir que, como no existe el arco coseno hiperbólico de ningún número comprendido entre -1 y 1, tampoco existe la función γ n ( x ) en dicho rango.
BIBLIOGRAFIA: HERMITE Weisstein, Eric W. "La ecuación diferencial de Hermite." Desde MathWorld - Wolfram Web de recursos. Un http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
LEGENDRE NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE Ing. Juan Sacerdoti
http://materias.fi.uba.ar/6118/Material/Leg00.pdf CHEBYSHEV Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Parte IV Polinomios de Chebyshev Ing. Ramón Abascal http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/eulerianas.html
