Homewok 19 April 2012 Andri S. Husein (
[email protected])
1
|
1
Persamaa ersamaan n Diferen Diferensia siall Fungsi ungsi Legen Legendre dre
Fungsi pembangkit Persamaan Diferensial Legendre dinyatakan dinyatakan sebagai
√1 −
1 = 2xt + t2
∞
P n (x)tn ,
|t| < 1
n=0
(1)
Jika kita sekarang mendiferensialkan (1) terhadap variable x, maka : ∂ ∂x
atau
√1 −
1 = (1 2xt + t2
−
t = 2xt + t2 )3/2
∞
(1
2
− 2xt + t )
∞
P n (x)tn
(2)
n=0
∞
n
P n (x)t + t
n=0
P n (x)tn = 0
(3)
n=0
Persamaan (3) bila diuraikan, akan diperoleh ∞
∞
n
P n (x)t
n=0
−
∞
n+1
2xP n (x)t
+
n=0
∞
n=0
∞
n+1
P n+1 (x)t
−
P n (x)t
−
n=0
Penggeseran batas sigma, untuk suku pertama n diperoleh
∞
n+2
2xP n (x)t
n+1
n=0
+
(4)
n=0
→ n + 1, dan suku ke tiga tiga dengan dengan n → n − 1, ∞
P n (x)tn+1 = 0
∞
n+1
P n−1 (x)t
n=0
−
P n (x)tn+1 = 0
(5)
n=0
Untuk harha n tertentu, Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai : P n +1 (x) + P n −1 (x) = 2 xP n (x) + P n (x)
(6)
Mengingat Persamaan rekursi: (2n + 1)xP n (x) = ( n + 1)P n+1 (x) + nP n 1 (x),
n = 1, 2, 3,...
−
(7)
dan dari Persamaan (6) dapat dijabarkan P.D fungsi Legendre menjadi : (1) Pers.(7) didiferensialk didiferensialkan an terhadap x dan dikalikan dengan 2 yaiitu, d 2 (2n + 1)xP n (x) = (n + 1)P n+1 (x) + nP n−1 (x) dx
2(n + 1)P n+1 (x) + 2 nP n 1 (x) = 2(2n + 1)xP n (x) + 2(2n + 1)P n (x) −
Fisika Matematika I Phy. Dept. Univ. of Sebelas Maret
|
(8)
Homewok 19 April 2012 Andri S. Husein (
[email protected])
2
|
(2) Pers.(6) dikali dengan (2n + 1),
(2n + 1)P n+1 (x) + (2 n + 1)P n 1 (x) = 2(2n + 1)xP n (x) + (2 n + 1)P n (x) −
(9)
Bila Pers.(8) dikurangi Pers.(9), diperoleh, P n +1 (x)
n−1 (x)
− P
= (2n + 1)P n (x)
(10)
(3) Bila Pers.(6) ditambah dengan Pers.(10) diperoleh
2P n+1 (x) = 2(n + 1)P n (x) + 2 xP n (x) atau P n +1 (x) = (n + 1)P n (x) + xP n (x)
(11)
(4) Dan bila Pers.(6) dikurangi Per.(10) diperoleh P n −1 (x) =
−nP (x) + xP (x) n
(12)
n
Kemudian Pers.(12) dikalikan dengan x diperoleh xP n −1 (x) =
2
−nxP (x) + x P (x) (13) Dan bila Pers.(11) indeks n diubah menjadi n − 1 dan suku-suku nya disusun kembali, n
n
diperoleh
xP n −1 (x) = P n (x)
n−1 (x)
(14)
− nP
(5) Maka hasil dari pengurangan dari Pers.(14) dengan Pers.(13) diperoleh 0 = (1
2
− x )P (x) + nxP (x) − nP
n−1 (x)
n
n
(15)
(6) Bila Pers.(15) didiferensialkan terhadap x dan kemudian P n 1 (x) di substitusikan dengan menggunakan Pers.(12) diperoleh
−
(1 atau
2
n
n
n
2
− x )P (x) − 2xP (x) + nxP (x) + nP (x) + n P (x) − nxP (x) = 0 (1
2
n
n
n
n
− x )P (x) − 2xP (x) + +n(n + 1)P (x) = 0 n
n
(16)
Pers.(16) merupakan persamaan diferensial orde dua fungsi Legendre. Kita sekarang dapat melihat bahwa polinomial P n (x) yang dihasilkan dari ekspansi Pers.(1) memenuhi persamaan diferensial fungsi Legendre sehingga formula Rodrigues atau polinomial Legendre adalah bentuk penyelesaian dari P.D fungsi Legendre.
Fisika Matematika I Phy. Dept. Univ. of Sebelas Maret
|
Homewok 19 April 2012 Andri S. Husein (
[email protected])
3
|
2
Penyelesaian P.D Legendre Associated
Persamaan diferensial orde dua fungsi Legendre associated yang dinyatakan oleh Pers.(17) adalah : 1 d dΘ sin θ + l(l + 1) sin θ dθ dθ atau Pers.(18) sebagai berikut
− sin
2
θ
Θ=0
(17)
dΘ m2 (1 2w + l(l + 1) Θ=0 (18) dw w2 Salah satu cara untuk menyelesaikan Legendre associated pada Pers.(18) adalah dengan menyelesaikan Persamaan Legendre dan kemudian mengubah P.D Legendre menjadi Legendre associated dengan mendiferensialkan fungsi Legendre yang dinyatakan pada Pers.(19) m kali terhadap w.
−
d2 Θ w ) 2 dw
m2
2
−
d2 Θ (1 w ) 2 dw Dengan bantuan formula Leibniz 2
−
dn (A(x)B (x)) = dxn
n
−
− 2w ddwΘ + l(l + 1)Θ = 0 n−1
ds A(x) s B (x), dxn−s dx
d n s
s=0
n
s
(19)
=
n! (n s)!s!
−
Kita diferensialkan (19) m kali, yaitu dm (1 dxm
Bila 1
−w
2
−
d2 Θl (w) w ) dw2 2
−
dΘl (w) 2w + l(l + 1)Θl (w) = 0 dw
(20)
= B (w) dan Θl (w) = A(x) maka dengan menggunakan formula Leibniz diperoleh
dm (1 dwm
2
− w )Θ
l
=
m! (1 0!m!
m! d dm−1 2 + (1 w ) m−1 Θl 1!(m 1)! dw dw 2 m! d dm−2 2 + (1 w ) m−2 Θl = (1 2!(m 2)! dw2 dw m(m 1) dm−2 + ( 2) m−2 Θl 2 dw
−
−
−
−
−
dm Θl w ) dwm
−
dm Θl w ) dwm
− −
= (1 dm−1 2mw m−1 Θl dw
−
−
dm Θl w ) dwm 2
− m(m −
dm−2 1) m−2 Θl dw
2
−
dm−1 2m m−1 Θl dw
2
(21)
dan dm dwm
− 2wΘ
l
=
−
dm 2w m Θl dw
−
dm−1 2m m−1 Θl dw
Fisika Matematika I Phy. Dept. Univ. of Sebelas Maret
|
(22)
Homewok 19 April 2012 Andri S. Husein (
[email protected])
4
|
Bila Pers.(21) dan Pers.(22) di masukkan ke dalam Pers.(20) diperoleh (1
2
− w )u − 2w(m + 1)u + (l − m)(l + m + 1)u = 0
(23)
dimana
≡
u
dm Θl (w) dwm
(24)
Pers.(23) adalah bukti self adjoint. Untuk membuatnya menjadi selft-adjoint, kita menggantikan u(w) dengan ekspresi v(w) = (1
m/2
2
−w )
u(w) = (1
−w
2
m m/2 d Θl ) dwm
(25)
atau u(w) = v (w)(1
2
m/2
−
−w )
Turunan pertama dan kedua u(w) terhadap w dari Pers.(25) adalah mvw u = v + 1 w2
−
1
−w
2
m/2
−
mv m(m + 2)w2 v 2mwv + + u = v + 1 w2 1 w2 (1 w2 )2
−
−
−
(26)
1
−w
2
m/2
−
(27)
Kemudian bila Pers.(26) dan (27) di substitusikan ke dalam Pers.(23), maka menjadi (1
2
− w )v − 2wv +
l(l + 1)
m2 v=0 1 w2
− −
(28)
Pers.(28) merupakan persamaan yang sama dengan (18) yaitu P.D Legendre associated. Jadi, penyelesaian dari P.D fungsi Legendre associated dapat dinyatakan sebagai Θm l
= v(x) = (1
2
m/2
−w )
u(w) = (1
2
−w )
m/2
dm Θl (w) dwm
(29)
dimana Θl (w) adalah penyelesaian P.D Legendre dalam bantuk deret seperti pada Pers.(13) atau dalam bentuk polinom Legendre dl Θl (w) = n (w 2 l 2 l! dw
1
l
− 1)
Fisika Matematika I Phy. Dept. Univ. of Sebelas Maret
|
(30)
