MAKALAH SEMINAR P OL OL I N OM OM L E G E N D R E
Oleh : RAHMAWATI ULFAH ( K1313060 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET 2016
ii
HALAMAN PERSETUJUAN
POLINOM LEGENDRE ” telah disetujui oleh Makalah seminar dengan judul “ POLINOM
pembimbing seminar matematika untuk dipertahankan dihadapan tim penguji seminar
ii
HALAMAN PERSETUJUAN
POLINOM LEGENDRE ” telah disetujui oleh Makalah seminar dengan judul “ POLINOM
pembimbing seminar matematika untuk dipertahankan dihadapan tim penguji seminar matematika Program Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret Surakarta pada :
Hari
:
Tanggal
:
Mei 2016
Pembimbing
Henny Ekana Chrisnawati,S.Si,M.Pd
NIP. 197306021998022001
ii
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Seminar ini telah dipertahankan dihadapan Tim Penguji Seminar Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima
ii
HALAMAN PERSETUJUAN
POLINOM LEGENDRE ” telah disetujui oleh Makalah seminar dengan judul “ POLINOM
pembimbing seminar matematika untuk dipertahankan dihadapan tim penguji seminar matematika Program Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret Surakarta pada :
Hari
:
Tanggal
:
Mei 2016
Pembimbing
Henny Ekana Chrisnawati,S.Si,M.Pd
NIP. 197306021998022001
ii
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Seminar ini telah dipertahankan dihadapan Tim Penguji Seminar Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Seminar ini telah dipertahankan dihadapan Tim Penguji Seminar Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima untuk memenuhi persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan.
Hari
:
Tanggal
:
Penguji Seminar
: Henny Ekana Chrisnawati,S.Si,M.Pd
Mei 2016
Mengetahui, Ketua Program Studi
Penguji
Pendidikan Matematika
Dr. Budi Usodo, M.Pd
Henny Ekana Chrisnawati, S.Si, M.Pd
NIP. 19680517 19903 1 002
NIP. 19730602 199802 2 001
iii
iv
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan kehadiran Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat,
taufik,
serta
hidayah-Nya
sehingga
penulis
menyelesaikan penulisan makalah seminar matematika pendidikan ini.
dapat
iv
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan kehadiran Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat,
taufik,
serta
hidayah-Nya
sehingga
penulis
dapat
menyelesaikan penulisan makalah seminar matematika pendidikan ini. Penulis menyadari bahwa terselesaikannya penulisan makalah ini tidak terlepas dari bimbingan, saran, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang snagat membantu dalam menyelesaikan makalah ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada segenap pihak, antara lain : 1. Ibu Henny Ekana Chrisnawati,S.Si,M.Pd sebagai dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, kepercayaan, saran dan kemudahan yang sangat membantu dalam penulisan makalah seminar ini. 2. Orang tua yang selalu memberikan do’a restu, kasih sayang serta dukungan yang tak terhingga. 3. Teman-teman seperjuangan di pendidikan matematika angkatan 2013. 4. Semua pihak yang telah membantu yang tidak disebutkan satu persatu. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi penulis pada khususnya dan bagi pembaca pada umumnya dan dapat memberikan sedikit kontribusi serta masukan bagi dunia matematika.
iv
v
DAFTAR ISTILAH
No
Simbol
Arti Turunan pertama dari fungsi
terhadap variabel
v
DAFTAR ISTILAH
No
Simbol
1
2
3 4 5
6
7
8 9 10
Arti Turunan pertama dari fungsi
terhadap variabel
yang disajikan pula dalam bentuk Turunan kedua dari fungsi
terhadap
yang disajikan pula dalam bentuk Turunan ke-n dari fungsi
variabel
terhadap variabel yang disajikan pula dalam bentuk Polinom Legendre dengan orde p dalam variabel x
dibaca kombinasi r dari k, ) (
yang dirumuskan
Besaran potensial di titik P oleh distribusi muatan Jarak dari titik P pada muatan titik ke-i
v
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
i
HALAMAN PERSETUJUAN
ii
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
i
HALAMAN PERSETUJUAN
ii
HALAMAN PENGESAHAN
iii
KATA PENGANTAR
iv
DAFTAR ISTILAH
v
DAFTAR ISI
vi
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
1
B. Rumusan Masalah
2
C. Pembatasan Masalah
2
D. Tujuan Penulisan
2
BAB II. PEMBAHASAN MASALAH A. Materi Pendukung
3
B. Pembahasan
8
BAB III. PENUTUP A. Kesimpulan
23
B. Saran
24
DAFTAR PUSTAKA
25
vi
1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Matematika merupakan pengetahuan yang sangat penting bagi kehidupan dan
1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Matematika merupakan pengetahuan yang sangat penting bagi kehidupan dan salah satu cabang pengetahuan yang banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan. Permasalahan yang dimaksud bukan hanya permasalahan yang terkait dengan matematika itu sendiri, melainkan juga permasalahan di bidang atau cabang ilmu pengetahuan lain yang membutuhkan konsep matematika dalam penyelesaiannya. Matematika memiliki beberapa cabang seperti aljabar, geometri, statistika, terapan dan lain-lain. Cabang matematika yang sangat terkait dengan kehidupan sehari-hari yaitu matematika terapan. Pada cabang terapan salah satu konsep matematika yang sering digunakan adalah persamaan differensial. Persamaan differensial sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dibidang fisika dan teknik. Persamaan differensial terdiri atas beberapa jenis, secara garis besar dibagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Pada persamaan differensial biasa terdapat beberapa persamaan khusus yaitu persamaan
differensial
Euler,
persamaan
differensial
Bessel,
persamaan
differensial Hypergeometrik, persamaan differensial Legendre dan lain-lain. Solusi-solusi dari persamaan differensial yang telah disebutkan diatas sering memberikan fungsi khas yang banyak digunakan dalam matematika terapan seperti fungsi Bessel , fungsi Euler , polinomial Legendre, polinomial Hermit dan fungsi hypergeometrik . Salah satu fungsi khas yang sering digunakan adalah polinomial Legendre yang banyak digunakan dalam mekanika kuantum dalam kajian atom hidrogen dan elektrostatistik. Pada kajian ini akan dibahas tentang proses penurunan polinom Legendre dari persamaan differensial Legendre dan beberapa sifat polinom Legendre beserta contoh aplikasi penggunaan polinom Legendre.
2
Pembahasan mengenai polinomial Legendre berserta sifat-sifatnya belum dibahas dalam perkuliahan sehingga perlu kiranya dilakukan pembahasan
2
Pembahasan mengenai polinomial Legendre berserta sifat-sifatnya belum dibahas dalam perkuliahan sehingga perlu kiranya dilakukan pembahasan mengenai
polinomial Legendre dan
sifat-sifatnya
serta
contoh
aplikasi
penggunaan polinomial Legendre. B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1. Bagaimana penurunan polinomial Legendre dari persamaan differensial Legendre ? 2. Bagaimana sifat-sifat polinomial Legendre ? 3. Bagaimana contoh penerapan polinomial Legendre ? C. Pembatasan Masalah
Agar masalah yang dibicarakan tidak terlalu luas, maka dalam makalah ini pembahasan dibatasi hanya pada polinomial Legendre jenis pertama dan sifat-sifat umum dari polinom Legendre. D. Tujuan penulisan
Berdasarkan perumusan masalah diatas, maka tujuan dari penulisan makal ah ini adalah sebagai berikut : 1. Mengetahui proses penurunan polinomial Legendre dari persamaan differensial Legendre. 2. Mengetahui sifat-sifat polinomial Legendre. 3. Mengetahui contoh penerapan polinomial Legendre.
3
BAB II
3
BAB II PEMBAHASAN A. Materi Pendukung
Pada materi pendukung ini akan dibahas mengenai beberapa definisi dan teorema-teorema yang berkaitan dengan persamaan differensial diantaranya definisi persamaan differensial Legendre, titik ordinal (titik biasa), solusi deret pangkat orde dua disekitar titik ordinal (titik biasa) yang akan digunakan sebagai landasan penulisan makalah seminar ini. 1. Persamaan Differensial Legendre Definisi 2.1
Persamaan differensial Legendre adalah persamaan differensial orde dua yang berbentuk :
dengan konstanta real. (W.W.Bell,:42) 2. Solusi Deret Pangkat Persamaan Differensial Orde Dua
Pada pembahasan ini, pembahasan dibatasi untuk persamaan differensial orde dua dengan koefisien variabel yang berbentuk sebagai berikut :
dengan
...........................(2.1)
adalah fungsi polinomial dalam variabel
memiliki faktor yang sama.
yang tidak
4
Definisi 2.2
4
Definisi 2.2
Fungsi
analitik di
jika
dapat dinyatakan dalam deret kusasa
(Earl A.Coddington & Robert Carlson,1995:130) Definisi 2.3
Titik
disebut titik ordiner (titik biasa) persamaan differensial (2.1) apabila
dan analitik di . (William E.Boyce,2001:238)
Teorema 2.1
Jika
adalah titik ordiner persamaan differensial (2.1) , maka persamaan
differensial tersebut memiliki dua solusi deret tak trivial yang bebas linier dalam bentuk deret pangkat :
Yang konvergen pada interval
| |
dengan
(Erwin Kreyszig,2011:172)
Bukti : Perhatikan bahwa jika maka
dan analitik di
adalah titik ordiner persamaan differensial (2.1) artinya
dan dapat diuraikan menjadi
deret kuasa yaitu
∑ untuk || , ........(1)
5
dan
∑ untuk || ...........(2)
5
∑ untuk || ...........(2)
dan
||
persamaan (1) dan (2) secara khusus berlaku untuk
dan analitik
*+
. Karena
di
dengan
maka
dan
terdeferensial untuk setiap ||, artinya dan kontinu untuk setiap || , sehingga terdapat fungsi sebagai solusi dari persamaan (2.1) yang memenuhi , dan
Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa fungsi
analitik di
yang konvergen
| | | | ∑ ∑ | | | | | |
pada interval Klaim
dengan
fungsi
analitik
dengan
.
di
yang
konvergen
pada
interval
.
Untuk membuktikan klaim diatas maka akan ditunjukkan untuk
dengan
,
Perhatikan bahwa
konvergen absolute. Jika
maka
analitik di
, akibatnya pernyataan fungsi
yang konvergen pada interval
Jadi, fungsi analitik di
dengan
terjadi.
yang konvergen pada interval
dengan
.
Kemudian, jelas bahwa persamaan (2.1) memiliki 2 buah solusi. Telah dibuktikan bahwa fungsi
adalah solusi pertama dari persamaan (2.1). Selanjutnya dapat
ditentukan fungsi dengan fungsi
adalah solusi kedua dari persamaan (2.1) yang bebas linear
. Misal fungsi
adalah solusi kedua dari persamaan (2.1) yang
bebas linear dengan fungsi
, akan ditunjukkan bahwa
dapat dituliskan dalam
bentuk deret kuasa
dan konvergen pada interval
dengan
.
6
Karena
adalah solusi dari persamaan (2.1) maka
terdeferensial sebanyak 2
kali. Jika persamaan (2.1) diturunkan akan memberikan
dalam
dan
6
Karena
adalah solusi dari persamaan (2.1) maka
terdeferensial sebanyak 2
∑ | | | | ./ || || ∑ ∑ kali. Jika persamaan (2.1) diturunkan akan memberikan
dalam
dan
.Selanjutnya, jika persamaan (2.1) diturunkan sebanyak n kali maka w dapat
diekspansikan
dalam
deret
taylor
yaitu
.
Sehingga,hanya perlu ditunjukan jari-jari kekonvergenan dari deret diatas adalah Karena
maka
dan
.
. Misal,
Selanjutnya, karena
dan
analitik di
maka untuk
dan
Misal
dan
, sehingga diperoleh untuk
berlaku
, maka
,
,.......... ,
Analog untuk
Selanjutnya bentuk persamaan differensia Misal
adalah solusi dari persamaan (**) yang memenuhi .
Secara
umum,
dengan
pada
.........(**)
dan
dan
dapat
dan
dituliskan
dalam
adalah konstanta yang bergantung
dan turunannya. Hal tersebut juga berlaku untuk
melibatkan turunan dari
dan
di .
Dengan menggunakan .
dan
Deret
yang
Taylor
dengan
dari
memberikan
fungsi
disekitar
adalah
, sedangkan deret taylor dari fungsi
disekitar adalah
dengan
.
7
Perhatikan
|| || || =>
=>
,
7
|| || || ∑
Perhatikan
=>
=>
Selanjutnya, dengan mensubsitusikan fungsi ,
dan
,
pada persamaan (**)
diperoleh
Misal
, maka
dan
sehingga
=>
Tulis
, dengan memanfaatkan jari-jari kekonvergenan pertama,
diperoleh
./
, akibatnya
Dengan
∑ ∑, Sehingga diperoleh
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +
8
Sehingga,
8
Sehingga,
Karena
maka
, akibatnya
.
Sehingga , berdasarkan tes rasio diperoleh jari-jari kekonvergenan dari
∑ ∑ ./ ∑ ∑ | | ∑ ∑ || adalah
.
Karena
dan
fungsi
konvergen
maka
deret
konvergen absolute. . Jika
maka berlaku konvergen di
, karena r sembarang dengan
maka
.
B. Pembahasan Masalah
1. Polinomial Legendre
Dalam pembahasan ini akan dibahas mengenai cara penurunan polinom Legendre dari persamaan differensial Legendre. Berdasarkan definisi 2.3 diketahui bahwa persamaan differensial Legendre berbentuk
Karena untuk diperoleh maka merupakan titik
ordiner dari persamaan differensial Legendre, sehingga berdasarkan teorema (2.1) persamaan differensial tersebut memiliki 2 buah solusi yang saling bebas dan berbentuk disekitar titik ordiner
:
9
9
Sehinga diperoleh
∑ ............(1) ∑ ∑........(2)
Subsitusikan persamaan (1) dan persamaan (2) pada persamaan (2.1) diperoleh :
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑, - ∑, - ∑, - ..............(3)
Dari persamaan (3) diperoleh persamaan rekursif sebagai berikut :
10
, untuk n=0,1,2,...
(4)
10
, untuk n=0,1,2,...
(4)
Sehingga didapatkan
,
76 7 6
6 7[ ] dan dalam belum untuk umum
,-, ,-,
, k=1,2,3,.......
, =1,2,3,.......
sehingga diperoleh solusi umum dari persamaan differensial Legendre adalah
∑ ∑ , -, , -, ,-, , -, Dengan
adalah sembarang konstanta real. Sehingga,
,-,
11
,-,
11
,-, adalah dua buah solusi dari persamaan differensial Legendre yang saling bebas karena
bukan merupakan suatu konstanta atau tidak sebanding. Selanjutnya,
jika parameter p dalam persamaan differensial Legendre adalah bilangan bulat tak
negatif dan
maka ruas kanan pada persamaan (4) adalah 0 (nol) sehingga .
Akibatnya : 1.
Jika p genap maka fungsi dalam x
2.
Jika p ganjil maka fungsi dalam x
akan tereduksi menjadi polinomial derajat p
akan tereduksi menjadi polinomial derajat p
Polinomial yang diperoleh ketika p genap maupun p ganjil dikenal dengan fungsi Legendre jenis pertama atau lebih dikenal dengan polinomial Legendre. Kemudian dari persamaan (4) diperoleh
Sehingga untuk
, nilai
didefinisikan
yang
Pendifinisian tersebut dilakukan agar Sehingga,
dapat dinyatakan dalam
untuk sembarang nilai p.
12
6 76 7
12
6 76 7 Sehingga
yang merupakan penyelesaian dari persamaan differensial
Legendre dapat dinyatakan dalam bentuk umum yaitu :
dengan
untuk genap dan
Definisi :
Polinom Legendre jenis pertama orde-p
untuk ganjil.
adalah solusi dari persamaan
differensial Legendre yang didefenisikan sebagai berikut
Berikut ini adalah beberapa polinom Legendre orde-p :
2. Sifat-Sifat Polinomial Legendre
Sebelum dibahas tentang sifat-sifat pada polinomial Legendre maka akan dikenalkan terlebih dahulu fungsi generating dari polinomial Legendre jenis pertama :
13
Teorema 2.2
13
Teorema 2.2
|| || √ √ ∑ || | | Fungsi
disebut fungsi generating (fungsi pembangkit)
untuk polinom Legendre jenis pertama orde- . Bukti :
Akan dibuktikan
Dengan menggunakan deret binomial tak hingga diperoleh
() . /. / () . /. / ()
Misal
maka akan ditentukan koefiesien dari
untuk
sehingga diperoleh
akibatnya
, artinya jika genap maka nilai dapat dipilih antara
ganjil maka nilai
dapat dipilih antara
. Perhatikan bahwa
. Sehingga, koefiesien dari
adalah sebagai berikut
14
∑
Selanjutnya, total koefisien dari koefisien
secara umum dapat dinyatakan dalam dengan
sedangkan jika
jika
14
∑ ∑23 ∑ ∑ √ Selanjutnya, total koefisien dari
koefisien
=
dan
jika p ganjil. Misal
secara umum dapat dinyatakan dalam dengan
maka koefisien
jika p genap
adalah
,
=
dengan
jika p genap dan
,
jika p ganjil. Memperhatikan bahwa
persamaan terakhir yang diperoleh adalah polinom Legendre dengan orde p maka
Jadi,
√ ∑ merupakan fungsi generating dari polinom Legendre
jenis satu.
Teorema 2.3
a. b. c. d. e. f.
Bukti :
a.
Bukti :
Akan dibuktikan Perhatikan untuk
, berdasarkan teorema 2.2 berlaku
15
√
15
√
∑ ∑ ∑
Agar persamaan terakhir benar untuk sembarang
√ dari
||
maka koefisien
harus sama dengan 1 sehingga haruslah
sembarang nilai p.
untuk
Jadi, b.
Bukti :
Akan dibuktikan
Perhatikan untuk
, berdasarkan teorema 2.2 berlaku
∑ ∑ ∑
Agar persamaan terakhir benar untuk sembarang
||
maka haruslah
untuk sembarang nilai p.
Jadi, c.
Bukti :
Akan dibuktikan
Perhatikan bahwa
adalah solusi dari persamaan differensial Legendre
sehingga memenuhi
Subsitusikan
ke persamaan diatas diperoleh
16
16
√ ∑
Jadi,
d.
Bukti :
Akan dibuktikan
Perhatikan bahwa
adalah solusi dari persamaan differensial Legendre
sehingga memenuhi
Subsitusikan
ke persamaan diatas diperoleh
Jadi,
e.
Bukti :
Akan dibuktikan
Perhatikan untuk
, berdasarkan teorema 2.2 berlaku
17
/./ ./ . . . / / ∑
17
. / ./. / ./ ./ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Dari persaman terakhir, dengan menyamakan suku-suku yang bersesuaian dari
dan
kedua ruas diperoleh
Jadi, f.
Bukti :
Akan dibuktikan
Berdasarkan poin (e) telah dibuktikan bahwa
.
Jadi,
Teorema 2.3
∫
Bukti :
∫ ∫ ∫ Akan
dibuktikan
dan
Akan ditunjukkan
18
Memperhatikan bahwa
dan
memenuhi :
dan
adalah polinomial Legendre maka
18
Memperhatikan bahwa
dan
adalah polinomial Legendre maka
dan
memenuhi :
Atau dapat dituliskan dalam
0 1 .................( 0 1.................( Diperoleh
0 1 0 1
..............(5)
..............(6)
Dengan mengurangkan persamaan (6) ke persamaan (5) didapatkan
6 7 6 7 , - Karena
0 1 0 1
maka
* 6 7 6 7 + Integralkan kedua ruas dengan batasan
||
diperoleh
, 6 7 6 7
19
-
19
- ∫ , 0 1 0 1 ∫ 0 1 ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∑ √ ∑ √ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 0 1 ∑ ∫ , ∑ ∫ ,∑ ∫ ,∑ ∫ 0 1 ∑ ∫ 0 1 ∑ ∫ 0 1
..........................(karena
Jadi,
Akan ditunjukkan
Berdasarkan teorema 2.2 berlaku
20
∑ ∫ ∑
20
∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑
Dengan menyamakan suku-suku yang bersesuaian diperoleh
Jadi,
∫
∫
3. Contoh Aplikasi penggunaan Polinom Legendre
Polinomial Legendre banyak muncul dalam bidang fisika maupun teknik, diantaranya yaitu a) Mengembangkan normal multipole ekspansi b) Potensial listrik pada jarak tertentu dari sebuah muatan titik c) Menentukan muatan terinduksi pada bola metal oleh sebuah muatan titik q Dalam pembahasan ini, akan dibahas mengenai contoh penggunaan polinom Legendre dalam mengembangkan normal multipole ekspansi muatan titik. Multipole
ekspansi
adalah
suatu
metode
yang
digunakan
untuk
mengestimasi potensial dari sebuah distribusi muatan atau muatan-muatan titik selain perhitungan secara langsung menggunakan hukum Gauss, hukum Coulomb dan persamaan Laplace. Potensial di titik P oleh muatan-muatan titik dinyatakan sebagai berikut
∑
dengan
P
Gambar 1
r
21
Memperhatikan
21
Memperhatikan
|| || √ √ || || √
Misalkan
dan
dengan
jika P berada jauh dari muatan-muatan titik, sehingga
dimana untuk
merupakan fungsi pembangkit dari polinom legendre , akibatnya
Sehingga
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4 5 Selanjutnya, pada multipole ekspansi terdapat uraian kutub ganda potensial V dalam deret pangkat, meliputi : a. Suku monopole ( n = 0 ) adalah suku pertama dari bentuk umum ekspansi multipole b. Suku dipole ( n = 1 ) adalah suku kedua dari bentuk umum ekspansi multipole
22
c. Suku quadrapole ( n = 2 ) adalah suku ketiga dari bentuk umum ekspansi multipole
22
c. Suku quadrapole ( n = 2 ) adalah suku ketiga dari bentuk umum ekspansi multipole d. Suku oktopole ( n = 3 ) adalah suku keempat dari bentuk umum ekspansi multipole e. dll Sehingga dari ekspansi multipole untuk muatan titik yang telah dijabarkan diatas dapat dengan mudah ditentukan besarnya kontribusi potensial yang dihasilkan masing-masing suku terhadap potensial V, yaitu : 1. Suku Monopole Suku monopole merupakan suku pertama dari ekspansi diatas merupakan suku yang memberikan kontribusi terbesar atas potensial jika total muatan tidak sama dengan nol (0) yang dinyatakan dalam:
2. Suku dipole
Jika total dari muatan sama dengan 0 (nol), maka kontribusi potensial pada titik yang menonjol berasal dari suku kedua yang disebut sebagai suku dipole, yaitu :
3. Suku Quadrapole
Kontribusi suku ini pada potensial V dinyatakan oleh :
4 5
Untuk kontribusi dari suku-suku yang lain seperti octapole akan mudah ditentukan dengan memanfaatkan ekspansi multipole diatas.
23
BAB III PENUTUP
23
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN
1. Polinomial Legendre diperoleh dari solusi persamaan differensial Legendre yang berbentuk
disekitar titik ordinernya yaitu x = 0 dengan menggunakan metode deret pangkat tak hingga. Selanjutnya, polinom legendre dengan orde p yang disimbolkan dengan
didefinisikan dengan
2. Sifat-sifat Polinomial Legendre adalah sebagai berikut : a. b. c. d. e. f. g. h.
∫ ∫
, jika p≠l , jika p=l
3. Polinomial Legendre banyak digunakan dalam cabang matematika terapan terutama di bidang Fisika dan Teknik, contohnya yaitu pada normal multipole ekspansi untuk menghitung potensial listrik dari muatan titik dan bentuk bentuk potensial untuk suku monopole, dipole dan lain-lain yang dirumuskan dengan
4 5
24
B. SARAN
24
B. SARAN
Dalam makalah ini penulis membahas tentang proses penurunan polinom Legendre dari persamaan differensial Legendre dan beberapa sifat polinom Legendre beserta contoh aplikasi penggunaan polinom Legendre. Sebagai saran, penulis menganjurkan kepada pembaca untuk mempelajari fungsi-fungsi khas lai n seperti fungsi hypergeometrik dan polinomial hermit yang banyak digunakan pada matematika terapan. Selanjutnya dapat pula dilakukan pembahasan tentang fungsi legendre jenis-2 dan aplikasi dari polinom legendre yang lain maupun aplikasi dari persamaan legendre itu sendiri pada bidang lain.
25
DAFTAR PUSTAKA
