OPTIMASI FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS TANPA KENDALA Seperti telah dijelaskan sebelumnya, perilaku dari suatu variabel tidak hanya dipengaruhi lebih dari satu variabel. Untuk itulah proses mencari nilai optimasi dari suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel menjadi lebih kompleks dibandingkan optimasi dengan hanya satu variabel bebas. Dalam sub bab ini, pembahasan difokuskan pada masalah optimasi tanpa kendala yang artinya di dalam mencapai optimasi dari fungsi tersebut tidak ada kendala (constraint) yang dihadapi. Jika suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dinyatakan dengan persamaan :
y = f(x1, x2, x3, ......, xn) Optimasi diperoleh dengan 1. Necessary Condition (Syarat perlu) atau first order condition (FOC) Dilakukan dengan menentukan turunan pertama dari fungsi untuk setiap variabel bebas harus sama dengan 0 Δy f 0 x1 Δx1 Δy Δx2 Δy
Δx3 . . . . Δy Δxn
f
f
f
x2
x3
xn
0
0
0
Dari syarat perlu ini akan diperoleh nilai xi yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi y 2.
Sufficient Condition (Syarat cukup) atau second order condion (SOC) Pengujian maksimum atau minimum dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini :
fx1x1 fx2x1 H f x3x1 ...... fxnx1
f x1x2
f x1x3
.....
f x3x2
f x3x3
.....
f xnx2
f xnx3
f x2x2 ........
f x1xn f x2xn
f x2c3
.....
........
..... .......
f x3xn ....... f xnxn
Keputusan maksimum atau minimum suatu fungsi dilakukan dengan kriteria : Jika ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ……. Maka fungsi relatif maksimum Jika ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, ……. Maka fungsi relatif minimum Dimana ∆1 = f x1x1
f ∆2 = x1x1 f x2x1
f x1x2
f x1x1
f x1x2
f x1x3
f x3x2
f x3x3
∆3 = f x2x1 f x3x1
f x2x2
f x2x2
f x2x3
Contoh soal : Diketahui suatu fungsi dinyatakan dengan y = 2x12 + 4x22 – 2x1x2 – 1000x1 - 4000x2
Pertanyaan : Tentukan apakah fungsi tersebut fungsi maksimum atau fungsi minimum dan tentukan berapa nilai minimum atau maksimum dari fungsi tersebut.
Penyelesaian : NC Karena ada dua variabel bebas ada dua turunan pertama yang harus dicari yaitu : Δy Δx1
f
x1
0
Δy Δx2
f
x2
0
fx1 = 4x1 – 2x2 – 1000 = 0 4x1 – 2x2 = 1000 …………………. 1)
fx2 = 8x2 – 2x1 - 4000 = 0 -2x1 + 8x2 = 4000 ………………… 2) Eliminasi persamaam (1) dan (2) 4x1 – 2x2 = 1000 x 1 4x1 – 2x2 = 1000 -2x1 + 8x2 = -4000 x 2 -4x1 + 16x2 = 8000 + 14x2 = 9000 x2 = 642,86 4x1 – 2x2 = 1000 4x1 – 2(642,86) = 1000 4x1 – 1285,72 = 1000 x1 = 571,43 SC dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini
f H x1x1 fx2x1
fx1x2
fx2x2
fx1 = 4x1 – 2x2 – 1000 fx1x1 = 4 fx1x2 = -2
f H x1x2 f x2x1
fx2 = 8x2 – 2x1 - 4000 fx2x1 = - 2 fx2x2 = 8
f x1x2 f
4 2 x2x2 2 8
∆1 = f x1x1 4 ∆2 =
fx1x1 fx1x2 4 2 (4 x8) (2 x 2) 32 4 28 f f x2x1 x2x2 2 8
∆1 > 0, ∆2 > 0 sehingga titik ekstrim (0,0) menghasilkan fungsi minimum.
Nilai minimum dari fungsi adalah : y = 2x12 + 4x22 – 2x1x2 – 1000x1 + 4000x2 = 2(571,43)2 + 4(642,86)2 – 2(571,43)( 642,86) – 1000(571,43) + 4000(642,86) =2469409,39
Contoh soal : Diketahui fungsi Z = 2x2 + 4xy – x2y – 4x
Pertanyaan : Tentukan apakah fungsi tersebut fungsi maksimum atau fungsi minimum dan berapa nilai optimal dari fungsi tersebut.
Penyelesaian : NC Karena ada dua variabel bebas ada dua turunan pertama yang harus dicari yaitu : Δy Δy f 0 f 0 y x Δy Δx1
fx = 4x + 4y - 2xy – 4 = 0 4x + 4y - 2xy = 4 …………………… 1) fy = 4x - x² = 0
.......…………………..... 2)
Dari persamaan 2) 4x - x² = 0 x(4 - x) = 0 x1 = 0 4 – x2 = 0 x2 = 4 Dengan mensubstitusikan x1 = 0 dan x2 = 4 ke persamaan 1) diperoleh : x1 = 0 4x + 4y - 2xy = 4 4(0) + 4y - 2(0)y = 4 4y = 4 y = 1 Jadi titik ekstrim pertama terjadi pada koordinat (0, 1) x1 = 4 4x + 4y - 2xy = 4 4(4) + 4y - 2(4)y = 4 16 + 4y – 8y = 4 4y – 8y = 4 - 16 -4y = -12 y = 3 Jadi titik ekstrim kedua terjadi pada koordinat (4, 3) SC dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini
fxx fxy fyx fyy
H
fx = 4x + 4y - 2xy – 4 fxx = 4 – 2y fxy = 4 – 2x
fy = 4x - x² fyx = 4 – 2x fyy = 0
Determinan hessian untuk titik ekstrim (0, 1) fxx = 4 – 2y = 4 – 2(1) = 2 fxy = 4 – 2x = 4 – 2(0) = 4
fyx = 4 – 2x = 4 – 2(0) = 4 fyy = 0
fxx fxy 2 4 fyx fyy 4 0
H
∆1 = f xx 2 ∆2 =
f xx f yx
f
xy 2 4 (2.0) (4.4) 16 4 0 f yy
∆1 > 0, ∆2 < 0 sehingga titik ini bukan titik maksimum/minimum Determinan hessian untuk titik ekstrim (4, 3) fxx = 4 – 2y = 4 – 2(3) = -2 fxy = 4 – 2x = 4 – 2(4) = -4
fyx = 4 – 2x = 4 – 2(4) = -4 fyy = 0
fxx fxy 2 4 fyx fyy 4 0
H
∆1 = f xx 2
f ∆2 = xx f yx
f xy f yy
-2 -4 -4
0
(2.0) (-4. - 4) 16
∆1 < 0, ∆2 < 0 sehingga titik ini bukan titik maksimum/minimum Dari pengujian sufficient condition (SC) diatas dapat dibuktikan bahwa titik ekstrim (0, 1) dan (4, 3) tidak menghasilkan fungsi maksimum atau fungsi minimum. Pada prinsipnya untuk mencari nilai variabel bebas yang memaksimumkan atau minimumkan dari variabel terikatnya tergantung dari informasi yang diberikan dari kondisi necessary condition (NC) tersebut. Dengan kata lain tidak ada aturan yang baku untuk mendapatkan nilai-nilai variabel bebas artinya bisa melalui prinsip substitusi .
LATIHAN-LATIHAN Carilah nilai ekstim (maksimum atau minimum) dari soal berikut ini. Lakukan pembuktian dan hitung besarnya nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi berikut ini. 1.
Z = 3x² + 2y² - xy – 4x – 7y + 12
2.
Z = 8x – 2x² + 10xy – 12y² + 6y
3.
Z = 120x – 2,5x² - 5xy – 2,8y² + 200y
4.
Z = 5x² - 30x + 4xy – 3y² + 7y
5.
Z = 6x² + 2y² + 6xy – 120x – 64y + 400
6.
Z = 3x² - 6xy + 9y² + 12x – 48y + 66
7.
Z = 4x² + 4y² - 12x + 24y + 40
8.
Z = 2x1 – 8x1x2 – 2x2² + 10x3² - 4x2x3
9.
Z = 2x12 - 2x2² - 2x3² + 100
10. Z = 3x1² - 9x1x2 + 9x2² + 12x2x3 + 18x3²
Aplikasi optimasi fungsi lebih dari satu varaibel bebas tanpa kendala Prosedur aplikasi optimasi lebih dari satu variabel bebas tanpa kendala pada dasarnya sama dengan kasus optimasi dengan satu variabel bebas. Perbedaannya hanya pada masalah teknik perhitungan yang sifatnya lebih kompleks (lebih rumit). Berikut beberapa contoh kasus optimasi lebih dari satu variabel bebas tanpa kendala.
Contoh kasus fungsi penjualan Sebuah perusahaan penghasil obat sakit kepala ingin memperkenalkan produknya melalui iklan di radio dan televisi. Jika fungsi penjualan dinyatakan sebagai berikut : S = 50.000X + 40.000Y – 10X2 – 20Y2 – 10XY Di mana S adalah banyaknya obat yang terjual x adalah biaya iklan di televisi, y adalah biaya iklan di radio.
Pertanyaan Hitunglah banyaknya uang yang harus dibayarkan untuk memasang iklan di televisi dan radio tersebut jika penjualan yang diinginkan maksimum.
Penyelesaian : Necessary Condition (NC)
fx = 50000 – 20x – 10y = 0 50000 = 20x + 10y …………………….. 1) fy = 40000 – 40y – 10x = 0 40000 = 10x + 40y ……………………… 2) Eliminasi persamaan 1 dan 2 dengan menghilangkan x diperoleh 20x + 10y = 50.000 x(1) 10x + 40y = 40.000 x(2)
20x + 10y = 50.000,20x + 80y = 80.000,0 – 70y = -30.000 y = 428,57
20x + 10(428,57) = 50.000 20x + 4.285,7
= 50.000
20x
= 50.000 – 4.285,7
20x
= 45714,3
x
= 2285,71
Jadi titik ekstrim terjadi pada koordinat ( 2285,71 ; 428,57) SC dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini
fxx fxy fyx fyy
H
fx = 50000 – 20x – 10y fxx = -20 fxy = -10 fy = 40000 – 40y – 10x fyx = -10 fyy = -40
fxx fxy 20 10 fyx fyy 10 40
H ∆1 =
f xx 20
∆2 =
f xx fyx
fxy - 20 - 10 (-20. - 40) (-10. - 10) 800 - 100 700 - 10 - 40 fyy
∆1 < 0, ∆2 > 0 sehingga titik ekstrim (2285,71; 428,57) menghasilkan penjualan maksimum
Nilai maksimum dari penjualan S = 50.000X + 40.000Y – 10X2 – 20Y2 – 10XY = 50.000(2285,71) + 40.000(428,57) – 10(2285,71)2 – 20(428,57)2 – 10(2285,71)(428,57) = 114.285.500 + 17.142.800 – 52.244.702,04 – 3.673.444,898 – 9.795.867,347 = 65.714.285,71
LATIHAN-LATIHAN 1. Fungsi penjualan seorang produsen dari kegiatan menjual dua macam barang ditunjukkan dengan fungsi S = 5x2 + 10y2 + 50xy – 2500y – 15000x Pertanyaan : a. Tentukan berapa output X dan Y yang harus dijual agar penjualan maksimum! b. Buktikan bahwa fungsi Sales tersebut adalah fungsi maksimum! c. Hitung besarnya sales maksimum tersebut 2. Penerimaan total produsen yang menjual dua macam barang dinyatakan dengan persamaan berikut : TR = 60000x + 30000y - 20x² - 20y² - 20xy Pertanyaan : a. Tentukan berapa output X dan Y yang harus dijual agar penjualan maksimum b. Buktikan bahwa fungsi penerimaan total produsen maksimum c. Hitung besarnya sales maksimum tersebut 3. Seorang produsen yang memiliki 2 pabrik memiliki struktur biaya seperti ditunjukkan persamaan : Pabrik 1 TC1 = 10Q1² Pabrik 2 TC2 = 10Q2² Jika permintaan pasar yang dihadapi ditunjukkan dengan fungsi P = 700 – 5Q dimana Q = Q1 + Q2 Pertanyaan : a. Tentukan bagaimana fungsi keuntungan (profit)nya b. Hitung tingkat harga dan kuantitas yang memaksimumkan kentungan produsen dan jumlah barnag yang diproduksi di masingmasing pabrik
c.
Buktikan bahwa kentungan tersebut maksimum dan hitung besarnya keuntungan maksimum yang diperoleh produsen
4. Seorang produsen monopoli menghadapi permintaan pasar yang ditunjukkan dengan persamaan : Pasar 1 : P1 = 100 – 4Q1 Pasar 2 : P2 = 300 – 6Q2 Dengan struktur biaya TC = 2,5Q² + 10Q + 100 dimana Q = Q1 + Q2 Pertanyaan : a. Tentukan fungsi keuntungan (profit) jika monopolis menerapkan harga yang berbeda untuk masing-masing pasar b. Tentukan tingkat harga dan kuantitas untuk masing-masing pasar yang memaksimumkan keuntungan produsen monopoli c. Buktikan bahwa keuntungan yang diperoleh produsen monopoli tersebut maksimum dan hitung berapa besarnya keuntungan maksimum yang diperoleh. 5. Seorang produsen yang menjual dua jenis barang menghadapi fungsi permintaan yang ditunjukkan dengan persamaan Q1 = 200 – 8P1 – 2P2 Q2 = 180 – 4P1 – 3P2 Pertanyaan : a. Tentukan berapa harga dari masing-masing produk yang akan memaksimumkan penerimaan total produsen b. Buktikan bahwa penerimaan total produsen maksimum dan hitung berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut. c. Hitung berapa masing-masing barang yang harus terjual pada kondisi penerimaan total maksimum
