CUPRINS
Pag.
Capitolul 1. Noţiuni generale despre funcţii Noţiunea de funcţie ……………………………………………… 2 Graficul unei funcţii ………………………………………………5 Paritatea funcţiilor ……………………………………………….. 5 Monotonia funcţiilor ……………………………….…………….. ……………………………….…………….. 6 Valori extreme ale ale unei funcţii. Funcţie mărginită mărginită ……………….7 Bijectivitate Bijectivitate ………………………………… ………………………………………………………. ……………………. 9 Inversabilitate Inversabilitate ………………………………… ……………………………………………………..9 …………………..9 Operaţii cu funcţii ………………………………………………. 10 Compunerea funcţiilor …………………………………………... 11
Capitolul 2. Funcţii particulare Funcţia de gradul I ……………………………………………… 13 Funcţia de gradul al doilea ……………………………………… 14 Alte funcţii numerice …………………………………………… 15 Funcţia exponenţială ……………………………………………. 17 Funcţia logaritmică ……………………………………………... 18 Funcţia trigonometrică directă ………………………………….. 19 Funcţia trigonometrică inversă ………………………………….. 21
1
FUNCŢII DEFINIŢIE. NOTAŢIE. două mulţimi mulţimi nevide nevide.. Spunem Spunem că am defini definitt o funcţie pe DEFINIŢIE. Fie A şi B două mulţimea A cu valori în B dacă printr-un procedeu oarecare facem ca fiecărui element x ∈ A să-I corespundă un singur element y ∈ B.
NOTAŢIE. O funcţie definită pe A cu valori în B se notează f : A → B (citim “f definită pe A cu valori în B”). Uneori o funcţie se notează simbolic A → B, x → y = ƒ(x)(citim: (x)(citim: “ƒ de x”), unde y este imaginea elementului x din A prin funcţia ƒ sau încă valoarea funcţiei ƒ în x. Elementul x se numeşte argument al funcţiei sau variabilă independentă
Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie a funcţiei ƒ. B se numeşte mulţimea în care funcţia ia valori sau codomeniul funcţiei ƒ. Dacă ƒ este o funcţie de la A la B, atunci se mai spune că ƒ este o aplicaţie de la A la B. De obicei funcţiile se notează cu litere mici ƒ, g, h, … Mulţimea funcţiilor de la A la B se notează cu F (A, B). 1. A = domeniul de definiţie; 2. B = codomeniul;
Legea f care leagă cele două mulţimi.
MODURI DE A DEFINI O FUNCŢIE. Indiferent de modul în care este definită o funcţie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează: caracterizează: domeniul de definiţie, codomeniul şi legea de corespondenţă .
1. FUNCŢII FUNCŢII DEFINIT DEFINITE E SINTET SINTETIC IC corespund acelor funcţii f : A→ B pentru care se indică fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B. Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeţi, fie cu ajutorul tabelului tabelului de valori sau printr-un tablou . Acest mod de a defini o funcţie se utilizează când A este o mulţime finită. EXEMPLE. 1) Fie f : {1, 2, 3} → {a,b} definită prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b. În diagrama cu săgeţi sunt reprezentate mulţimile prin diagrame, iar legea de corespondenţă prin săgeţi. A B Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic Element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeţi că din fiecare element din A pleacă o singură săgeată. Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenţă înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai multe săgeţi sau niciuna. 2
Aceeaşi funcţie o putem defini utilizănd tabelul de valori. Acesta Acesta este format format din două două lin linii. ii. În prima linie linie se trec elemete elemetele le mulţimii mulţimii pe care care este definită funcţia, iar în a doua linie valorile funcţiei în aceste elemente. Pentru cazul analizat tabelul arată astfel: x y = f (x)
1
2
3
a
a
b
2) Funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definită prin ƒ(1) = 3, ƒ(2) = 1, ƒ(3) = 4, ƒ(4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în rpima linie avem domeniul de definiţie,
ƒ =
1 2 3 4 3 1 4 2
iar în linia a doua sunt valorile funcţiei în punctele domeniului (3 este valoarea lui ƒ în x = 1, 1 este valoarea lui ƒ în x = 2, etc.). O astfel de funcţie funcţie se numeşte permutare permutare de gradul patru. OBSERVAŢIE. Nu putem defini sintetic o funcţie al cărui domeniu de definiţie are o infinitate de elemente.
2. FUNCŢII DEFINITE ANALITIC. Funcţiile ƒ : A→ B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprietăţi sunt sunt funcţii definite analitic. Corespondenţa ƒ leagă între ele elementul arbitrar x din A de imaginea i maginea sa ƒ(x). asociază fiecărui număr număr EXEMPLE. 1) Fie funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = x2. Această funcţie asociază real x patratul lui, x 2. 2) Funcţia ƒ : Z → Z, ƒ(x) = x - 1, dacă x este par x + 1, dacă x este impar, este exemplu de funcţie definită prin două formule. Funcţiile definite prin mai multe formule se numesc funcţii multiforme. cazul funcţiilor funcţiilor multiforme, multiforme, fiecare fiecare formulă formulă este valabilă valabilă pe o anumită anumită OBSERVAŢIE. În cazul submulţime a lui A şi deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia şi aceluiaş element. Cea mai frecventă frecventă reprezentare reprezentare a unei funcţii în matematică matematică este printr-o formulă. formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiţie şi ale domeniului valorilor nu pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunzătoare. corespunzătoare. De exemplu: y = 3x – 2. Când asupra domeniului de definiţie nu s-au făcut ipoteze speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în corespondenţă o anumită valoare. În cazul funcţiei y = 3x – 2, domeniul de definiţie este alcătuit din mulţimea numerelor reale.
DEFINIŢIE. Fie ƒ : A → B, g : C → D două funcţii; ƒ, g sunt funcţii egale (ƒ = g) dacă: 1) A = C (funcţii (funcţiile le au acela acelaşi şi domeniu domeniu de de definiţie definiţie), ), 2) B = D (funcţii (funcţiile le au au acelaş acelaşii codome codomeniu) niu) şi (punctual, func iile coincid). coincid). 3) ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ A (punctual,
IMAGINEA UNEI UNEI FUNCŢII. PREIMAGINEA PREIMAGINEA UNEI FUNCŢII. FUNCŢII. 3
Fie ƒ : A → B. Din definiţia funcţiei, fiecărui fiecărui element element x ∈ A I se asociază prin funcţia ƒ un unic element ƒ(x) ∈ B, numit imaginea lui x prin ƒ sau valoarea funcţiei ƒ în x. numeşte imaginea lui A’ prin ƒ, notată cu ƒ(A’), DEFINIŢIE. Fie ƒ : A → B, iar A’ ⊂ A. Se numeşte submulţimea lui B formată din elementele care sunt imagini prin ƒ a cel puţin unui element din A’. Deci, ƒ(A’) = {ƒ(x) x ∈ A’} sau ƒ(A’) = {y ∈ B ∃ x ∈ A’ astfel încât ƒ(x) = y}.
EXEMPLE. Considerăm funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} → {a,b,c,d} dată prin diagrama cu săgeţi. Fie A’ = {1, 2, 3}. Atunci ƒ(A’) = {ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3)} = {a,c} A
B
DEFINIŢIE. Fie ƒ : A → B. Se numeşte imagine a funcţiei ƒ, notată Imƒ sau ƒ(A), partea lui B constituită din toate imaginile elementelor lui A. Deci, Imƒ = V(A) = {ƒ(x) x ∈ A} sau Imƒ = {y ∈ B ∃ x ∈ A astfel încât ƒ(x) = y}.
EXEMPLE. În funcţia ƒ : {-1, 0, 1, 2} → {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul diagramei cu săgeţi. Atunci Imƒ = {ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2)} = {a, b, c} ⊂ B. numeştee imaginea DEFINIŢIE. Fie ƒ : A → B. Se numeşt recip recipro rocă că a une uneii părţ părţii B’ a lui B, notată ƒ-1(B’), submulţimea lui A formată din acele elemente ale căror imagini prin ƒ aparţin lui B’. Deci, ƒ-1 B’ = x ∈A ƒ x ∈ B’ .
A
B
EXEMPLE. Se consideră funcţia ƒ : {-1, 0, 1, 2} → {1, 2, 3} definită prin diagrama cu săgeţi. În acest caz, ƒ-1({1}) = {0}, deoarece ƒ(0) = 1; ƒ-1({2}) = {-1, 1} pentru că ƒ(-1) = ƒ(1) = 2; ƒ-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece ƒ(-1) = 2, ƒ(0) = 1, ƒ(1) = 2. A
B
GRAFICUL UNEI FUNCŢII. 4
DEFINIŢIE. Fie o funcţie ƒ : A → B. Se numeşte graficul funcţiei ƒ mulţimea de cupluri Gƒ = {(x, ƒ(x)) x ∈ A} = {(x, y) x ∈ A, y = ƒ(x)}. Se observă că G ƒ ⊆ A x B.
EXEMPLE. 1) Fie funcţia ƒ : A → B, definită prin diagrama alăturată. Graficul funcţiei ƒ este mulţimea Gƒ = {(1, a), (2, a), (3, b)}. 1) valori.
A → B Fie funcţia numerică ƒ : A → B definită prin tabelul de
x
-1
0
1
2
ƒ(x)
2
3
-2
0
În acest caz, graficul lui ƒ este mulţimea Gƒ = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.
REPREZENTAREA GRAFICÃ A UNEI FUNCŢII NUMERICE. Dacă funcţia ƒ : A → B este o funcţie numerică, atunci la produsul cartezian A x B ⊆ R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul planul în care se consideră un reper reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulţimea R x R se reprezintă geometric prin planul planul cartezian, se poate deduce deduce că: graficul funcţiei numerice se reprezintă geometric printr-o anumită submulţime a planului. Această submulţime a planului se numeşte reprezentarea geometrică a graficului funcţiei. Reprezentarea Reprezentarea grafică a unei funcţii ƒ : A → B este, în general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcţiei ƒ şi notată Cƒ = {M (x, y) x ∈ A, y = ƒ(x)}. Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcţii vom spune simplu graficul funcţiei ƒ.
EXEMPLE. Funcţia ƒ : {-1, 0, 1} → R, ƒ(x) = 2x are graficul Gƒ = {(-1, -2), (0, 0), (1, 2)}, iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).
FUNCŢII PARE. FUNCŢII IMPARE. DEFINIŢIE. D ⊂ R se numeşte mulţime simetrică dacă ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Fie ƒ : D → R, D simetrică ƒ s.n. funcţie pară ∀ x∈ D ƒ(-x) = ƒ(x) ƒ s.n. funcţie impară ∀ x∈ D ƒ (-x) = -ƒ(x) OBSERVAŢII. ƒ pară ⇔ Gf simetric faţă de Oy ƒ impară ⇔ Gf simetric faţă de O (originea axelor). 5
MONOTONIA FUNCŢIILOR. Fie ƒ : A → R, o funcţie de variabilă reală şi I ⊆ A.
DEFINIŢIE. Funcţia ƒ este strict crescătoare pe I dacă: Funcţia ƒ este strict descrescătoare pe I dacă: (∀)x1, x2 ∈ I x1 < x2
(∀)x1, x2 ∈ I
⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2)
x1 < x2
⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2)
O funcţie ƒ strict crescătoare pe I sau strict descrescătoare pe I se numeşte strict monotonă pe I.
DEFINIŢIE. Funcţia ƒ este crescătoare pe I dacă: (∀)x1, x2 ∈ I x1 < x2
⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2)
Funcţia ƒ este descrescătoare pe I dacă: (∀)x1, x2 ∈ I
⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2)
x1 < x2
O funcţie ƒ crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numeşte monotonă pe I. Dacă ƒ este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiţie ) spunem simplu că funcţia ƒ este strict mnotonă (sau monotonă) fără a mai indica mulţimea. A studia monotonia unei funcţii ƒ : A → R revine la a preciza submulţimile lui A pe care ƒ este strict crescătoare (crescătoare) şi submulţimile lui A pe care ƒ este strict descrescătoare (descrescătoare). Pentru studiul monotoniei unei funcţii numerice ƒ : A → R, se utilizează raportul: cu x1, x2 ∈ A, x1≠ x2, numit raportul de variaţie asociat (x2) - (x1) funcţiei ƒ şi numerelor x1, x2. x2 - x1 Diferenţa Diferenţa x2 – x1 se numeşte variaţia argumentului , iar diferenţa ƒ(x2) - ƒ(x1) se numeşte asociat lui ƒ şi numerelor x 1, x2 este raportul variţia funcţiei. Prin urmare raportul de variaţie asociat dintre variaţia funcţiei şi variaţia argumentului. Are loc următoarea:
TEOREMÃ. Fie ƒ : A → R o funcţie numerică şi I ⊂ A. Atunci:
ƒ este strict crescătoare (crescătoare) pe I ⇔ ƒ(x2) - ƒ(x1) > (≥ ) 0, x2 - x1
(∀)x1, x2 ∈ I x1≠ x2;
ƒ este strict descrescătoare (descrescătoare) pe I ⇔ ƒ(x2) - ƒ(x1) < (≤ ) 0, (∀)x1, x2 ∈ I x2 - x1 x1≠ x2;
6
VALORI EXTREME EXTREME ALE UNEI FUNCŢII. FUNCŢII. FUNCŢIE MÃRGINITÃ. MÃRGINITÃ. Fie funcţia numerică ƒ : A → R, I ⊆ A. DEFINIŢIE. Dacă există x0 ∈ I astfel încât ƒ(x) ≤ ƒ(x0), ∀x ∈ I, atunci ƒ(x0) se numeşte maximul funcţiei pe mulţimea I şi scriem ƒ(x0) = maxƒ(x). Punctul x0 pentru care se obţine valoarea maximă a lui ƒ pe I se numeşte punct de maxim pentru funcţia pe I.(fig. 1) Dacă există x 1 ∈ I astfel încât ƒ(x) ≥ ƒ(x1), ∀x ∈ I, atunci ƒ(x1) se numeşte minimul funcţiei pe mulţimea I şi scriem ƒ(x1) = minƒ(x). Punctul x1 pentru care se obţine valoarea minimă a lui ƒ pe I se numeşte punct de minim pentru funcţia pe I.(fig. 2)
Fig. 1
Fig. 2
Valoarea maximă sau minimă a lui ƒ pe I se numeşte valoarea extremă a funcţiei pe I . Punctul x0 de maxim sau x 1 de minim se numeşte punct de extrem pentru funcţia pe I.
EXEMPLE. Funcţia ƒ definită prin tabelul de valori are valoarea maximă egală cu 8 şi se atinge pentru x = -6. Deci max ƒ = ƒ(-6)= x -6 -4 -1 0 1 2 = 8. Punctul x = -6 este punct de maxim 8 3 -1 -5 0 1 pentru funcţie. Valoarea minimă a lui ƒ ƒ(x) este egală cu –5 şi se obţine pentru x = 0. Deci min ƒ = ƒ(0) = -5. Punctu Punctull x= 0 este punct punctul ul de minim minim al funcţi funcţiei. ei. În final, final, valor valorile ile extreme ale funcţiei sunt –5 şi 8, iar punctele de extrem sunt 0 şi respectiv –6. DEFINITIE. (MARGINIREA UNEI FUNCTII). O functie numerica ƒ: A → R se numeste marginită dacă există două numere reale m, M a.î. m ≤ M, ∀ x∈A.
Semn Semnif ific icaţ aţia ia geom geomet etri rică că a unei unei func funcţi ţiii mărgin mărgintite tite este este aceea aceea că grafic graficul ul funcţi funcţiei ei este este cuprins cuprins între dreptele dreptele orizont orizontale ale y = m, y = M. (fig. 3)
7
Fig. 3 BIJECTIVITATE FUNCTIA INJECTIVA DEFINITIE. O functie ƒ: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca orice element din B este imaginea prin ƒ a el mult unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y ∈ B ecuatia ƒ (x) = y are cel ,ult o solutie x ∈ A. Altfel spus, functia ƒ este injective daca si numai daca doua elemente diferite oarecare din A au imagini diferite in B prin ƒ, adica
∀ x1, x2 ∈ A ƒ este injectiva ⇔
⇒ ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)
x1 = x2
ƒ: A → B este injectiva ⇔
∀ x1, x2 ∈ A ⇒ x1 = x 2 ƒ(x1) = ƒ(x2)
Aceasta ultima echivalenta va fi utilizata pentru a proba ca o functie este injective. Pe diagrama cu sageti o functie este injective daca in fiecare element al codomeniului ajunge cel mult o sageata. Utilizand graficul unei functii, se poate stabili daca functia este injective ducand prin fiecare punct punct al codomeniu codomeniului lui o paralela paralela la axa Ox. Daca aceasta aceasta taie graficul graficul in cel mult un punct, functia este injective. Pentru a arata ca o functie ƒ: A → B nu este injective este sufficient sa aratam ca exista doua elemente x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 pntru care ƒ(x1) = ƒ(x2).
OBSERVAŢIE. ƒ este injectiva ⇔ ƒ(X – Y) = ƒ(X) - ƒ(Y), ∀X,Y⊆ A EXEMPLU. Să se arate că funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 3x este injectivă. Fie x1, x 2 ∈R pentru care ƒ (x1)= ƒ (x2). Avem achivalenţa 3x 1=3x2, deci x 1=x2, de unde rezultă că ƒ este injectivă.
FUNCTIA SURJECTIVA DEFINITIE. O functie ƒ: A → B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie), daca orice element din B este imaginea prin ƒ a cel putin unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y ∈ b ecuatia ƒ (x) = y are cel putin o solutiw x ∈ A. Din ultima echivalenta se deduce ca: ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A astfel incat ƒ(x) = y. Altfel spus, functia ƒ este surjectiva ƒ: A → B este surjectiva ⇔ ƒ (A) =B, adica Im ƒ = B.
Pe diagrama cu sageti o funtie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata. Graficul unei functii poate preciza preciza daca functia este este surjectiva. Daca orice paralela la Ox dusa dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct. O functie ƒ: A → B nu este surjectiva daca exista y ∈ B astfel incat ∀ x ∈ A, ƒ (x) ≠ y. 8
EXEMPLU. Funcţia ƒ : R →R, ƒ(x) = 3x este surjectivă, deoarece ∀ y ∈R, ∃ x ∈R a.î. ƒ(x) = y ⇔ 3x= y ⇔ x= y/3.
FUNCTIA BIJECTIVA
DEFINITIE. O functie ƒ: A → B se numeste functie bijectiva ( sau simplu biejctie), daca este atat injective cat si surjectiva. Altfel spus functia ƒ: A → B este functie bijectiva ⇔∀ y ∈ B, ∃ ! x ∈ A astfel incat ƒ(x) = y. Simbolul ∃ ! Inseamna “exista si este unic”. Pe diagrama cu sageti o functi este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact exact o sageata. sageata. Se mai spune despre functia functia bijectiva bijectiva ca este o corespon corespondent dentaa “one to one” (“unu la unu”). O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la ax Ox dusa printrun punct al codomeniului taie graficul in exact un punct. EXEMPLU. Functia ƒ: R → R , ƒ(x) = 3x este bijectiva.
INVERSABILITATE FUNCTIA INVERSA Daca ƒ: A → B este bijectiva, atunci pentru orice element y ∈ B exista exact un element x din A astfel incat ƒ(x) = y, ceea ce inseamna ca x = ƒ-1 (y) (adica preimaginea elementului y este elementul x). bijectiva. Se numeste functie inversa a functiei ƒ, DEFINITIE. Fie ƒ: A → B o functie bijectiva. functia g : B → A, care asociaza fiecarui element y din B elementul unic x din A astfel incat ƒ(x) = y.
NOTAŢIE. Pentru functia g utilizam notatia ƒ-1 (citim “f la minus unu”). O functie ƒ care are inversa se spune ca este invesabila. Functia ƒ se numeste functie directa, iar ƒ-1 functie inversa (a lui ƒ). OBSERVAŢII. 1) Sa remarcam ca functia ƒ-1: B → A exista daca ƒ: A → B este bijectiva. 2) Functia ƒ-1 are ca domeniu domeniu de definitie definitie codomeniul codomeniul functiei functiei directe, directe, iar drept codomen codomeniu, iu, domeniul de definitie al functiei directe. 3) Daca ƒ este bijectiva, atunci ƒ-1 este bijectiva si avem ( ƒ-1 ) -1 = ƒ. 4) Pentru a construi construi diagrama diagrama cu sageti sageti a lui ƒ-1 , schimbam sensul sagetilor de pe diagrama cu sageti a lui ƒ. (Se spune ca ƒ-1 actioneaza “invers” decat ƒ .) Schema de “functionare” a lui ƒ si ƒ-1 este redata mai jos.
x∈A
B∋y
5) Nu conte onteaz azaa cu cum se se note noteaz azaa arg arguument mentuul lu lui ƒ-1 . De aceea, vom prefera pe x in locul lui y. 9
OPERATII CU FUNCTII DEFINIŢIE. Fie A, B ⊆ R. O functie ƒ : A → B se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala . EXEMPLU. ƒ : Z → R, ƒ(x) = 3x+1 DEFINIŢIE. 1) Functia ƒ + g : A → R definita prin (ƒ + g ) (x) = ƒ (x) + g (x), ∀ x ∈ A, se numeste suma dintre functia ƒ si functia g. 2) Functia ƒ ∗ g : A → R definita prin (ƒ ∗ g ) (x) = ƒ (x) g (x), ∀ x ∈ A, se numeste produsul dintre functia ƒ si functia g. 3) Functia ƒ / g : A – { x g (x) = 0 } → R definita prin (ƒ / g ) (x) = ƒ(x) / g (x), ∀ x ∈ A, g (x) ≠ 0 se numeste catul dintre functia ƒ si functia g. OBSERVAŢII. 1) Se defineste produdul dintre un numar real α si o functie ƒ : A → R, ca fiind functia α ƒ : A → R, (α ƒ ) (x) = α ƒ (x), ∀ x ∈ A. 2) Daca ƒ , g : A → R,atunci definim diferenta dintre functia ƒ si functia g ca fiind functia ƒ - g : A → R, (ƒ - g ) (x) = ƒ(x) – g ), unde – g g (x), ∀ x ∈ A. De fapt , diferenta ƒ - g este suma ƒ + (- g g ), = (-1) g. 3x+1, g(x) = -x +3. Atunci ƒ + g, ƒ - g, ƒg : R → R prin (ƒ EXEMPLU. Fie ƒ, g : R → R, ƒ(x) = 3x+1, + g )(x) = ƒ (x) + g(x) = 3x + 1 – x +3 = 2x + 4. ( ƒ - g)(x) = ƒ(x) – g(x) = 3x+1 –x – 3 = 4x – 2. (ƒg)(x) = ƒ(x)g(x) = (3x + 1)(-3 + 1) = -3x2+8x+3.
PROPRIETATI ALE ADUNARII FUNCTIILOR Fie ℑ (A, R) multimea functiilor definite definite pe A cu valori in R. Atunci are loc urmatoarea: loc proprietatile: proprietatile: TEOREMÃ. Pentru operatia de adunare pe ℑ (A, R) au loc g + h ), ∀ƒ, g , h ∈ ℑ (A, R) (adunarea functiilor este asociativa); 1) (ƒ + g ) + h = ƒ + ( g 2) ƒ + g = g + ƒ , ∀ƒ, g ∈ ℑ (A, R) (adunarea functiilor este comutativa); 3) exista functia 0 ∈ ℑ (A, R), 0(x) = 0, ∀ x ∈ A astfel incat ƒ + 0 = 0 + ƒ = ƒ, ∀ƒ ∈ ℑ (A, R) (0 se numeste functie nula si este element neutru pentru adunarea functiilor); 4) ∀ƒ ∈ ℑ (A, R), ∃ (-ƒ) ∈ ℑ (A, R) astfel incat ƒ + (-ƒ) = (-ƒ) + ƒ = 0 ( orice functie ƒ are o -
PROPRIETATI ALE INMULTIRII FUNCTIILOR TEOREMÃ . Pentru operatia de inmultire pe ℑ (A, R), au loc proprietatile: (ƒ * g ) * h = ƒ * ( g * h), ∀ƒ, g , h ∈ ℑ (A, R) (inmultirea functiilor este asociativa); ƒ * g = g * ƒ , ∀ƒ, g ∈ ℑ (A, R) (inmultirea functiilor este comutativa); exista functia 1 ∈ ℑ (A, R), 1(x) = 1, ∀ x ∈ A astfel incat ƒ * 1 = 1 * ƒ = ƒ, ∀ƒ ∈ ℑ (A, R) (1 se numeste functia unitate e multimea A . PROPOZIŢIE. Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea pe ℑ (A, R), adica ƒ * ( g g + h = + h ∀ h∈ℑ A R . 10
COMPUNEREA FUNCŢIILOR. O altă operaţie care se poate efectua efectua asupra a două funcţii este cea de compunere. compunere. Die ƒ : A → B, g : B → C, două funcţi cu următoarea particularitate: particularitate: codomeniul lui ƒ este egal cu domeniul lui g. Cu ajutorul ajutorul acestor acestor funcţii funcţii se poate poate construi construi o altă funcţie funcţie h : A → C. Funcţia Funcţia h astfel astfel definită se notează g ο ƒ (citim “g compus cu ƒ”) şi reprezintă compunerea funcţiei g cu ƒ (în această această ordine). ordine). Funcţia Funcţia go ƒ are domeniul lui ƒ (prima funcţie care acţionează în această compunere) şi codomeniul lui g (ultima care acţionează în compunere).
DEFINIŢIE. Fie A, B, C mulţimi nevide şi funcţiile ƒ : A → B, g : B → C. Se numeşte compusa funcţiei g cu funcţia (sau funcţia compusă din ƒ şi g), considerată în această ordine, funcţia notată go ƒ , definită astfel: go : A C , (go )(x) = g( (x)), ∀x ∈ A. OBSERVAŢII. 1) Funcţia compusă go ƒ a două funcţii ƒ, g nu poate fi definită decât dacă codomeniul lui ƒ coincide cu domeniul de definiţie a lui g. 2) Dacă ƒ : A → B, g : B → A, atunci atunci are sens fog şi gof. În general general însă gof ≠ fog. PROPRIETÃŢI ALE COMPUNERII FUNCŢIILOR. 1. Asociativitatea ∀ ƒ, g , h ∈ ℑ avem fo(goh) = (fog)oh 2. Comutativitatea ∃ ƒ, g ∈ ℑ a.î. ƒog ≠ goƒ 3. Element neutru ∃ o funcţie 1 A ∈ ℑ a.î. ∀ ƒ ∈ ℑ avem ƒo1A = 1Aoƒ = ƒ; 1A : A → A; 1A(x) = x (funcţie identică) 4. Elemente simetrizabile Nu toate funcţiile admit inverse! Funcţia inversă: ƒ : A → B, g : B → C; g s.n inversa lui ƒ dacă fog = 1 B; goƒ = 1A(notaţie: g = ƒ-1) Proprietăti: a) g = ƒ-1 ⇔ (goƒ)(x) = x (ƒog)(x) = x; b) ƒ-1(ƒ(x)) = x ∀x ∈ A ƒ(ƒ-1(x)) = x ∀x ∈ B; c) ƒ inversabilă ⇔ ƒ injecţie
11
TEOREMA. 1) Dacă ƒ, g sunt funcţii pare, atunci go este o funcţie pară (Compunerea a două funcţii pare este o funcţie pară). 2) Dacă
ƒ şi g sunt funcţii impare, atunci go este funcţie impară. (Compunearea a două
funcţii impare este o funcţie impară). 3) Dacă
ƒ si g au parităti diferite, atunci go este o funcţie pară.
4) Dacă
ƒ şi g au aceiaşi monotonie, atunci go este crescătoare. (Compunearea a două
funcţii de aceiaşi monotonie este o funcţie crescătoare). 5) Dacă
ƒ şi g au monotonii diferite, atunci go este descrescătoare. (Compunerea a două
6) Dacă
ƒ şi g sunt bijective, atunci go este bijectivă. (Compunerea a două funcţii bijective
funcţii de monotonie diferită este o funcţie descrescătoare).
este o funcţie bijectivă). Compunerea a doua funcţii inversabile ƒ şi g este o funcţie inversabilă.
12
FUNCŢII PARTICULARE FUNCŢIA DE GRADUL I : R R, (x) = ax ax + b, a, b R DEFINIŢIE. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax + b, a, b ∈ R se numeşte funcţie afină. Dacă a ≠ 0, atunci ƒ se numeşte funcţie de gradul întâi de coeficienţi a, b. Dacă a ≠ 0 şi b = 0 atunci ƒ se numeşte funcţie liniară (ƒ(x) = ax). Pentru funcţia de gradul întâi, ax se numeşte termenul de gradul întâi , iar b, termenul liber al funcţiei. Ecua ia ax + b = 0 se se numeşte numeşte ecua ecua ia ataş ataşat atăă fun funcc iei iei .
OBSERVAŢIE. a,b∈R
Funcţia de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienţii
MONOTONIA FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI TEOREMÃ. Funcţia de gradul întâi ƒ : R → R, ƒ(x) = ax +b , a ≠ o este: 1) strict crescătoare daca a > 0 2) strict descrescătoare dacă a < 0 precizează monotonia monotonia funcţiei de gradul întâi. întâi. OBSERVAŢII. 1. Semnul lui a precizează 2. Ecuaţia Ecuaţia y = ax + b reprezintă reprezintă o pantă pantă a ≠ 0 (o dreapă obligă – neparalelă cu axa Ox sau cu axa Oy).
SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI TEOREMÃ. Funcţia de gradul întâi ƒ : R → R, ƒ(x) = ax + b, a ≠ 0 are zeroul x = -b/a, iar semnul funcţiei este dat în tabelul de semn x
ƒ(x)
-∞
∞
-b/a semn contrar lui a
0
acelaşi semn cu a
Numărul x = -b/a este rădăcina ecuaţiei ataşate ax + b = 0. Spunem că până în rădăcină, adică pentru x < -b/a, ƒ are semn contrar lui a, iar dincolo de rădăcină rădăcină adică adică entru x > -b/a are semnul semnul lui a.
GRAFICUL FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI Graficul funcţiei de gradul întâi este o dreaptă oblică de ecuaţie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare două puncte care aparţin graficului. BIJEC BIJECTI TIVIT VITAT ATEA EA ŞI INVE INVERS RSAB ABIL ILIT ITAT ATEA EA FUNC FUNCŢI ŢIEI EI DE GRAD GRADUL UL ÎNTÂ ÎNTÂI. I. COMPUNEREA FUNCŢIILOR DE GRADUL ÎNTÂI. TEOREMÃ. 1) Funcţia ƒ : R → R, ƒ (x) = ax + b, a ≠ 0 este bijectivă. 2) Inversa funcţiei ƒ este funcţia ƒ-1 : R → R, ƒ-1(x) = (x-b)/a. 3) Dacă g : R → R, g(x) = cx + d, c ≠ 0, atunci go ƒ : R → R, (goƒ)(x) = acx + bc + d. (Compunerea a două funcţii de gradul întâi este o funcţie de gradul întâi).
13
FUNCŢIA DE GRADUL AL DOILEA. : R R , (x) = ax2 + bx + c, a, b, c
R, a
0.
DEFINIŢIE. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 se numeşte funcţie de gradul al doilea (sau funcţie pătratică) cu coeficienţii a, b, c. Pentru funcţia de gradul al doilea ax 2 se numeşte termenul de gradul doi (sau pătratic), bx termenul de gradul întâi (sau liniar), iar c termenul liber. Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 se numeşte ecuaţia ataşată funcţiei ƒ (x) = ax2 + bx + c, iar ∆ = b2 – 4ac discriminantul ecuaţiei îl numim pentru funcţie discriminantul funcţiei. este bine determinată determinată dacă se cunosc coeficienţii coeficienţii ORSERVAŢII. 1. Funcţia de gradul al doilea este a ≠ 0, b, c. 2. Condiţia a ≠ 0 este esenţială în definiţia funcţiei deoarece dacă a = 0 se obţine ecuaţia afină. 3. Cum do domeniul şi şi co codomeniul lu lui ƒ coincid cu R, funcţia de gradul al doilea doilea este o funcţie funcţie numerică. În loc de ƒ(x) = ax2 + bx + c vom scrie y = ax 2 + bx + c.
MONOTONIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA TEOREMÃ. Fie funcţia de gradul doi ƒ : R → R, ƒ(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. 1) Dacă a > 0, atunci ƒ este strict descrescătoare pe (- ∞ , -b/2a] ƒ este strict descrescătoare pe [-b/2a, ∞) x -∞ -b/2a Tabelul de variaţie a funcţieie este: -∆ /4a ƒ(x) ∞ 2) Dacă a < 0, atunci
ƒ este strict crescătoare pe (-∞ , -b/2a] ƒ este strict descrescătoare pe [-b/2a, ∞ ) x -∞ -b/2a
Tabelul de variaţie a funcţiei este:
ƒ(x)
∞
∞ ∞
∞
-∆ /4a
∞
ƒ(x) = a(x = b/2a) 2 - ∆ /4a se numeşte forma canonică a funcţiei de gradul doi. SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. TEOREMÃ. Fie : R → R, ƒ(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. 1) Dacă ∆ > 0, atunci ecuaţia ataşată lui ƒ are două rădăcini reale distincte x 1 < x2, iar semnul lui ƒ este cel al lui a în afara rădăcinilor şi semn contrar lui a între rădăcini: r ădăcini: x -∞ x1 x2 ∞
ƒ(x)
semnul lui a
0 semn contrar lui a 0
semnul lui a
∆ = 0, atunci ecuaţia ataşată lui ƒ are două rădăcini reale egale x 1 = x2 = -b/2a, iar semnul funcţiei ƒ este cel al lui a pe R/{-b/2a}. x -∞ -b/2a ∞
2) Dacă
14
3) Dacă
∆ < 0, atunci ecuaţia ataşată lui ƒ nu are rădăcini reale, iar semnul funcţiei ƒ este
semnul lui a pe R.
-∞
x
ƒ(x)
∞ semnul lui a
ALTE FUNCŢII NUMERICE. FUNCŢIA PUTERE CU EXPONENT NATURAL. DEFINIŢIE. Funcţia ƒ : R → R, (x) = xn, n∈ N* se numeşte funcţia putere de exponent n PROPRIEŢÃŢI. FUNCŢI FUNCŢIA A MONOTO MONOTONIA NIA ƒ(x) = x2k , k ∈ N*
ƒ(x) = x2k+1, k ∈ N*
TABEL TABEL PARITA PARITATE TE BIJECT BIJECTIVÃ IVÃ SIMETR SIMETRIA IA DE VARIEŢIE GRAFICULUI
strict descrescătoare x -∞ 0 ∞ pe (-∞, 0) strict crescătoare ƒ(x) ∞ 0 ∞ pe [0, ∞ ) strict crescătoare
-∞
0
∞
ƒ(x) ∞
0
∞
x
pară ƒ(-x) = ƒ(x)
nu
faţă de Oy
impară ƒ(-x) = -ƒ(x)
da
faţă de O
FUNCŢIA RADICAL. DEFINŢIE. Funcţia ƒ : R → R, (x) = 2n + 1 x, n∈ N*, se numeşte funcţia radical de ordin impar. Funcţia ƒ : [0, ∞ ) → [0, ∞ ), (x) = 2n x, n∈ N*, se numeşte funcţia radical de ordin ar. PROPRIETÃŢI. FUNCŢI FUNCŢIA A MONOTO MONOTONIA NIA ƒ(x) = 2n√x, n ∈ N*
strict crescătoare
ƒ(x) = 2n + 1√x, strict crescătoare n ∈ N*
TABEL TABEL PARITA PARITATE TE BIJECT BIJECTIVÃ IVÃ SIMETR SIMETRIA IA DE VARIEŢIE GRAFICULUI 0
∞
ƒ(x) 0
∞
-∞
∞
ƒ(x) ∞
∞
x
x
nu
impară
da
da
nu
faţă de O
15
FUNCŢIA : R R*, (x) = 1/x . MONO MONOTO TONI NIA A
TABE TABEL L DE VARIEŢIE
strict descrescătoare pe intervalele (-∞ , 0) , (0, ∞)
x
-∞
ƒ(x) 0
-∞
0
∞
∞
0
PARI PARITA TATE TE
BIJE BIJECT CTIV IVÃ Ã
impară ƒ(-x) = -ƒ(x)
SIMET SIMETRI RIA A GRAFICULUI
da
faţă de O
FUNCŢIA OMOGRAFICÃ. DEFINIŢIE. Funcţia ƒ : R – {-d/c}→ R – {a/c}, (x) = (ax + b) / (ax + d) , a, b, c, d ∈R, c bc ≠ 0 se se num numee te fun func ia omo rafi rafică că. ≠ 0 ad – bc PROPRIETÃŢI. SEMNUL SEMNUL MONOTONIA MONOTONIA LUI ad - bc +
-
strict crescătoare pe intervalele (-∞, -d/c), (-d/c, ∞ ) strict descrescătoare pe intervalele (-∞, -d/c), (-d/c, ∞ )
TABEL TABEL DE VARIEŢIE -∞
x
ƒ(x)
a/c
x
-∞
ƒ(x)
a/c
∞
-d/c ∞
BIJECTIVÃ BIJECTIVÃ
-∞
a/c
-d/c
∞
-∞
∞
SIMETRIA SIMETRIA GRAFICULUI
da
faţă de punctul (-d/c, a/c)
da
faţă de punctul (-d/c, a/c)
a/c
FUNCŢIA MODUL. DEFINIŢIE. Funcţia ƒ : R → [0, ∞ ), (x) = x =
x, x 0 se numeşte funcţia modul. -x, x < 0
PROPRIETÃŢI. MONOTO MONOTONIA NIA strict descrescătoare pe (-∞ , 0] strict crescătoare pe [0, ∞ )
TABEL TABEL DE VARIEŢIE -∞
0
∞
ƒ(x) ∞
0
∞
x
PARITA PARITATE TE pară
BIJECT BIJECTIVÃ IVÃ
SIMETR SIMETRIA IA GRAFICULUI
nu
faţă de Oy
FUNCŢIA PARTE ÎNTREAGÃ ŞI PARTE FRACŢIONARÃ.
ƒ ( x) =
: R Z, (x) = [x] ………………. -2, x∈[-2, -1] -1, x∈[-1, 0) 0, x∈[0, 1) 1, x∈[1, 2) 2, x∈[2, 3) ………………
: R [0, 1), (x) = {x} = x – [x] ……………… x + 2, x∈[-2, 1) x + 1, x∈[-1, 0) x, x∈[0, 1) ƒ(x) = x – 1, x∈[1, 2) x – 2, x∈[2, 3) ……………….
16
FUNCŢIA EXPONENŢIALÃ. DEFINIŢIE. Fie a > 0, a exponenţială de bază a.
1. Funcţia : R (0, ), (x) = ax, se numeşte funcţia
Baza a este este diferit diferităă de 1 pentru pentru că în caz contr contrar ar ƒ(x) = 1x = 1 este OBSERVAŢII. !. Baza considerată constantă şi nu este considerată ca o funcţie exponenţială. 2. A nu nu se se co confunda fu funcţia ex exponenţiala ƒ(x) = ax, a>0, a ≠ 1 cu functia g(x) = x a, ∀ x∈R. Pentru prima funcţie a este baza baza x puterii a care este constanta, in timp ce pentru a doua funcţie a este exponentul puterii axa care este constant.
GRAFICUL FUNCŢIEI EXPONENŢIALE. Graficul funcţiei exopnenţiale se trasează în două cazuri: 1. Baza a ∈ (0, 1) (spunem că baza este subunitară ). În aces acestt caz caz graf grafic icul ul func funcţi ţiei ei este este situ situat at deas deasup upra ra axei axei Ox şi intersectează axa Oy în (0, 1). Graficul funcţiei exponenţiale exponenţiale cu baz bazăă subu subuni nita tară ră este este din din ce în ce mai mai apro apropi piat at de axel axelee coordonate, cu cât baza este mai mică. 2. Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară ). În acest caz graficul funcţiei este situat deasupra axei Ox şi intersectează axa axa Oy în (0, (0, 1). 1). Graf Grafic icul ul funcţi funcţiei ei expon exponen enţi ţial alee cu bază bază subunitară este din ce în ce mai apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mare. PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIEI EXPONENŢIALE. 1) Funcţia exponenţială exponenţială face să-I corespundă sumei sumei a două numere reale produsul valorilor valorilor corespunzătoare corespunzătoare ale funcţiei, adică: (x1+x2) = (x1) (x2), x1, x2 R.
OBSERVAŢII. ƒ(x1 – x2) = ƒ(x1) / ƒ(x2); ƒ(cx1) = (ƒ(x1))c x1 x2 1 2 x1 x2 1 2 Pentru a > 1, a < a x < x ; Pentru 0 < a < 1, a < a x > x . OBSERVAŢIE. ⇔ ⇔ 3) Funcţia MONOTONIA FUNCŢIEI EXPONENŢIALE. 2) exponenţială este şi deci bijectivă inversabilă. Dacă a > 0,FUNCŢIEI atunci ƒ(x) =EXPONENŢIALE. ax este strict crescătoare; SEMNUL a )strict 0; descrescătoare. ∀ a∈ 0(0,< ∞ ∀ a∈ (0, 1) şi x∈(-∞, 0), atunci ƒ(x) = ax ∈ (1,∞) x∈(0,∞), atunci ƒ(x) = ax ∈ (0, 1) ∀ a > 1 şi x∈(-∞ , 0), atunci ƒ(x) = ax ∈ (0, 1) x∈(0, ∞), atunci ƒ(x) = ax ∈(1, ∞ )
FUNCŢIA LOGARITMICÃ. LOGARITMICÃ. DEFINIŢIA LOGARITMULUI UNUI NUMÃR POZITIV. Fie a > 0, a ≠ 1 şi x > 0. Se numeşte logaritmul numărului x în baza a , şi se notează log ax, numărul real y definit prin: 17 = lo ax ⇔ ay = x.
defini logaritmul logaritmul unui număr număr real negativ x, deoarece deoarece a y > 0, OBSERVAŢII. 1. Nu se poate defini ∀y ∈R. 2. alogax = x (identitatea logaritmică fundamentală.)
DEFINIŢIE. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia g : (0, ∞ ) → R, definită prin g(x) = log ax se numeşte func ia logaritm logaritmică ică de bază bază a. a. GRAFICUL FUNCŢIEI LOGARITMICE . Graficul funcţiei logaritmice se trasează în două cazuri: 1. Baza a ∈ (0, 1) (spunem că baza este subunitară ). În acest caz graficul funcţiei intersectează axa Ox în punctele de coor coordo dona nate te (0, (0, 1), 1), care care este este sime simetr tric icul ul,, în rapo raport rt cu prim primaa bisectoare, punctului (0, 1) în care graficul funcţiei exponenţiale inters int ersect ecteaz eazăă axa axa Oy. Grafic Graficul ul funcţi funcţiei ei logari logaritmi tmice ce cu bază bază subunitară este din ce în ce mai apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mică. 2. Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară ). În acest caz caz graf grafic icul ul func funcţi ţiei ei inte inters rsec ecte teaz azăă axa axa Ox în punc puncte tele le de coor coordo dona nate te (0, (0, 1), 1), care care este este sime simetr tric icul ul,, în rapo raport rt cu prim primaa bisectoare, punctului (0, 1) în care graficul funcţiei exponenţiale intersectează axa Oy. PROPRIETÃTI ALE FUNCŢIEI LOGARITMICE. 1) Funcţia logaritmică face să-I corespundă corespundă produsului a două numere numere reale pozitive suma valorilor corespunzătoare corespunzătoare ale func iei, adică: adică: g(x1x2) = g(x1) + g(x2) , x1, x2 > 0.
OBSERVAŢII. g(x1 / x2) = g(x1) – g(x2), ∀ x1, x2 > 0; ƒ(x1α ) = α ƒ (x1), ∀x1 > 0. OBSERVAŢIE! loga1 = 0. Logaritmul lui 1 în orice bază este egal cu 0. 2) Func ia logaritmic logaritmicăă este inversa inversa func func iei exponen exponen iale. iale.
OBSERVAŢIE. Din faptul că g este bijectivă avem echivalenţa: log ax = logay ⇔ x = y. MONOTONIA FUNCŢIEI LOGARITMICE. Dacă a > 1, atunci g(x) = log ax este strict crescătoare. 0 < a < 1, atunci g(x) = log ax este strict descrescătoare. OBSERVAŢIE. Pentru a > 1, log ax1 < logax2 ⇔ x1 < x2 Pentru 0 < a< 1, log ax1 < logax2 ⇔ x1 > x2.
FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE. 18
FUNCŢIE PERIODICÃ DEFINIŢIE. O funcţie ƒ : R → R se numeşte periodică dacă există un număr real T a.î. ƒ(x + T) = ƒ(x), ∀x ∈R. Numărul T ≠ 0 se numeşte perioadă a funcţiei . Dacă printre numerele nenule pozitive T există un cel mai mic număr pozitiv T*, atunci acesta se va numi erio erioad adaa rinc rincii ală ală a func func iei iei .
EXEMPLU. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) =
1, x ∈ Z 0, x ∈ R – Z
este periodică periodică,, de perioadă perioadă principală T* = 1
FUNCŢIILE SINUS ŞI COSINUS. DEFINIŢIE. Cosinusul lui α (notat cos α ) este abscisa punctului M α , adică cos α = xα . Sinusul lui α (notat sin α ) este ordonata punctului M α , adică sin α = yα . Aşadar avem funcţiile sin : R R, sin şi cos : R R, cos . OBSERVAŢII. cos 0 = 1, sin 0 = 0 cos π /2 = 0, sin π /2 = 1 cos π = -1, sin π = 0 cos 3π /2 = 0, sin 3 π /2 = -1
PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIILOR SINUS ŞI COSINUS. P1: -1 ≤ sin α ≤ 1, -1 ≤ cos α ≤ 1, ∀ α ∈ R. P2: Formula fundamentală a trigonometriei: trigonometriei: sin2α + cos2α = 1, ∀ α ∈ R. P3: Periodicitatea funcţiilor funcţiilor sin şi cos: sin(α + 2k π ) = sin α , cos(α + 2k π ) = cos α , sin şi cos au au perioada perioada principală principală T* = 2 π ). ∀ α ∈ R,∀k ∈Z (Funcţiile sin Funcţia sinus sinus este impară impară,, adică sin(- α ) = -sin α , P4: Paritatea Paritatea funcţiil funcţiilor or sin şi şi cos: Funcţia ∀ α ∈ R Funcţia Funcţia cosinus cosinus este este pară, adică adică cos(- α ) = cos α , ∀ α ∈FuR.ncţia sin P5: Semnul funcţiilor sin şi cos: cos P6: Monotonia funcţiilor sinus şi cosinus: Cadranul Funcţi Funcţia a sinus sinus este este strict crescătoare interv ervale alele le [0, π /2], /2], [3π /2. 2π ] şi strict crescătoare pe int pe intervalul descrescătoare I + +(π /2, 3π /2). Vom marca acest fapt prin tabelul: II +CadranI II III IV III - sin Funcţia cosinus este strict descrescătoare pe intervalul [0, π ] şi este strict crescătoare pe intervalul [π , 2π ]. Vom marca monotonia monotonia acestei acestei funcţii prin tabelul: tabelul: Cadran sin
I
II
III
IV
19
FUNCŢIA TANGENTÃ ŞI COTANGENTÃ . DEFINIŢIE. Tangenta lui α ∈ R – {(2k + 1) π /2 k ∈ Z} (notată tg α ) este egală cu raportul dintre sin α şi cos α , adică: tg = sin / cos . Cotangenta lui α ∈ R – {k π k ∈ Z} (notată ctg α ) este egală cu raportul dintre cos α şi sin α , adică: ctg = cos / sin . PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIILOR TANGENTÃ ŞI COTANGENTÃ. P1: Periodicitatea funcţiilor tg şi ctg: tg(α + k π ) = tg α , ∀ α ∈ R – {(2l + 1) π /2 l∈ Z}, ctg(α + k π ) = ctg α , ∀ α ∈ R – {lπ l∈ Z} (Funcţia tg şi ctg au periodicitatea principală T* = π ) P2: Paritatea funcţiilor tg şi ctg: Funcţiile tg şi ctg sunt impare, impare, adică: tg(- α ) = -tg α , ∀ α ≠ (2k + 1)π /2, k ∈Z; ctg(-α ) = -ctg α , ∀ α ≠ k π , k ∈ Z. P3: Semnul funcţiei funcţiei tg şi ctg: Funcţia
tg ctg
Cadranul I
+
+
II
-
-
III
+
+
P4: Monotonia funcţiilor tg şi ctg: Funcţia tangentă este strict crescătoare pe (-π /2, π /2) şi marcăm aceasta în tablelul: x -π /2 0 π /2 tg x Funcţia cotangentă este strict descrescătoare pe (0, π ) şi vom indica aceasta prin tabelul: x 0 π
FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE. 20
FUNCŢIA ARCSIN. NOTAŢIE. g: [-1, 1] → [-π /2, π /1], g(x) = arcsin x. (arsin este inversa funcţiei sin) PROPRIETÃŢI. 1. Funcţia arcsin ia cea mai mică valoare - π /2 pentru x = -1 (arcsin(-1) = - π /2). 2. Funcţia arcsin ia cea mai mare valoare
π /2 pentru x = 1 (arcsin 1 = π /2).
3. Funcţi Funcţiaa arcsi arcsinn nu este este perio periodic dică. ă. impară. Arcsin(-x) = -arcsinx, ∀x∈ R. 4. Funcţia arcsin este impară. 5. Graf Grafic icul ul func funcţi ţiei ei arcs arcsin in.. 6. Monotonia Monotonia funcţiei funcţiei arcsin. arcsin. Deoarece Deoarece funcţia funcţia directă directă
ƒ: [-π /2, π /2] → [-1, 1], ƒ(x) = sin x este strict crescătoare rezultă că şi funcţia inversă este la fel. funcţiei arcsin. arcsin. Dacă x ∈ [-1, 0], 7. Semnul funcţiei atunci arcsin x ≤ 0, iar pentru x ∈ [0, 1], arcsin x ≥ 0.
FUNCŢIA ARCCOS. NOTAŢIE. g: [-1, 1] → [0, π ], g(x) = arccos x. (arccos este inversa funcţiei cos) PROPRIETÃŢI. 1. Funcţia Funcţia arccos arccos ia cea cea mai mică valoa valoare re 0 pentru pentru x = 1, deoarece deoarece arccos arccos 1 = 0. 2. Funcţia arccos ia cea mai mare valoare
π pentru x = -1.
3. Funcţi Funcţiaa arcc arccos os nu nu este este peri periodi odică. că. 4. Funcţia Funcţia arccos arccos nu este nici nici pară, pară, nici nici impară. impară. Are loc loc relaţia: relaţia: arccos(-x) = π - arccos x, ∀ x∈ -1 1 5. Graf Grafic icul ul func funcţi ţiei ei arcc arccos os.. 6. Monoto Monotonia nia funcţi funcţiei ei arcco arccos. s. Cum funcţi funcţiaa directă ƒ : [0, π ] → [-1, 1], ƒ(x) = cos x este strict descrescătoare pe [0, π ] rezultă că şi inversa g are aceeaşi proprietate pe [-1, 1]. funcţiei arccos. arccos. Dacă x ∈ [-1, 1], 7. Semnul funcţiei 8. Atunci arccos x
≥ 0.
FUNCŢIA ARCTG. 21
NOTAŢIE. g : R → (-π /2, π /2), g(x) = arctg x (arctg este inversa funcţiei tg) PROPRIETÃŢI. 1. Funcţia Funcţia arctg arctg este mărgini mărginită, tă, dar nu ia cea cea mai mică mică sau cea cea mai mare valoa valoare. re. 2. Funcţia arctg este impară, deoarece arctg(-x) = -arctg x,
∀ x ∈ R.
3. Funcţi Funcţiaa arctg arctg nu este este period periodică ică.. 4. Graf Grafic icul ul fun funcţ cţie ieii arctg arctg.. 5. Monoto Monotonia nia funcţi funcţiei ei arctg. arctg. Funcţi Funcţiaa este este strict crescătoare pe R 6. Semnul funcţiei funcţiei arctg. arctg. Dacă x ≤ 0,
atunci arctg x ≤ 0, iar dacă x > 0, avem arcth x >0.
FUNCŢIA ARCCTG. NOTAŢIE. g: R → (0, π ), g(x) = arcctg x. (arcctg este invesra funcţiei ctg) PROPRIETÃŢI. 1. Funcţia Funcţia arcctg arcctg este este mărginită, mărginită, dar dar nu ia cea mai mai mică sau sau cea mai mai mare valoare valoare.. 2. Funcţia Funcţia arcctg arcctg nu este nici pară nici impară. impară. Mai precis: Arcct -x = π - arcct x, ∀ x ∈ 3. Funcţi Funcţiaa arcc arcctg tg nu este este perio periodic dică. ă. 4. Graf Grafic icul ul func funcţi ţiei ei arcc arcctg tg.. 5. Monoto Monotonia nia funcţi funcţiei ei arcctg arcctg.. Funcţia are aceiaşi monotonie ca şi funcţia funcţia directă. directă. Deci este strict descrescătoare. descrescătoare. 6. Semn Semnul ul fun funcţ cţie ieii arcc arcctg tg.. Dacă x∈ R, atunci arcctg x > 0.
22
Bibliografie: 1.
“Mat “Matem emat atic ică, ă, manu manual al pent pentru ru clas clasaa a-I a-IXX-a, a, prof profil il M1, M1,
M2”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2000. 2.
“Matematică, manual pentru clasa a-X-a algebră,
profil M1”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2001. 3.
Materie predată de domnul profesor, Cristian
Alexandrescu în anii şcolari 2000 – 2001 şi 2001 – 2002
23
