Funcţii continue Continuitatea punctualǎ Introducere în continuitate Are sens sǎ punem problema continuitǎţii sau discontinuitǎţii unei funcţii într-un punct dacǎ si numai dacǎ acel punct face parte din domeniul de definiţie al funcţiei studiate .
Continuitatea unei funcţii într-un punct Înainte de a începe studiul continuitǎţii vom fixa urmatoarele entitǎţi : a).
O functie reala f : D → R , D ⊂ R ;
b).
Domeniul de definitie D fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;
c).
Un punct a care apartine lui D .
Ne punem urmatoarea problema : compararea comportarii functiei f in jurul punctului a cu
valoarea f ( a ) .
Definitia continuitatii - Fie o functie f : D → R si un punct a din domeniul de definitie D , a ∈ D ; - Spunem ca functia f este continua in punctul a daca f are limita in a si :
lim f ( x ) = f ( a ) x →a
f ( x ) = f (lim x) Aceasta egalitate se mai scrie : lim x →a x →a Adica “ o functie comuta cu limita “ - proprietate ce va fi extinsa si la alte functii decat cea identica : contiunitatea functiilor compuse . Definitia continuitatii: - O functie f : D → R este discontinua in punctul a ∈ D daca nu este continua in acest punct - Punctul x = a se numeste punct de discontinuitate pentru functie . Observatii: 1) In punctul in care functia nu este definita nu are sens sa se puna problema continuitatii sau discontinuitatii .
2). Problema continuitatii unei functii se pune numai in punctele domeniului de definitie al functiei .
Definitia continuitatii utilizand sirurile
:
- Functia f : D → R este continua in punctul a ∈ D daca si numai daca pentru orice sir:
xn → a , xn ∈ E
avem
f ( xn ) → f ( a
)
.
Continuitate pe un interval Definitia continuitatii pe un interval : - Se spune ca o functie f : D → R este continua pe un interval I ⊆ D daca este continua in fiecare punct din I . - Daca functia f este continua pe tot domeniul de definitie , atunci se spune simplu ca f este continua , fara a mai indica multimea pe care f are aceasta proprietate . - Find data o functie f : D → R , multimea punctelor din D in care f este continua se numeste domeniul de continuitate al functiei f .
Teorema : Functiile elementare sunt functii continue . - Functiile elementare : polinomiale , rationale , functia radical , functia putere , functia exponentiala , functia logaritmica , functiile trigonometrice directe , functiile trigonometrice inverse sunt functii continue deoarece limita acestora intr-un punct a din domeniul de definitie se obtine
f ( x ) = f ( a ) , ceea ce exprima faptul ca o astfel de functie este inlocuind pe x cu a , adica lim x →a continua intr-un punct arbitrar din domeniul de definitie .
Continuitate laterala Intoducere in studiul continuitatii laterale : - Fie o functie f : D → R si un punct a ∈ D ; - Daca ( − ∞; a ) ∩ D ≠ Φ sau D ∩ ( a;+∞) ≠ Φ atunci are sens sa studiem limita la stanga , respective la dreapta , a functiei f in a .
Definitia continuitatii la stanga : - Spunem ca functia f este continua la stanga in punctul a daca :
f ( a − 0 ) = f s ( a ) = lim f ( x ) x→a x< a
are sens , exista si
f ( a − 0 ) = f s ( a ) = lim f ( x ) = f ( a ) x →a x
.
Definitia continuitatii la dreapta : - Spunem ca functia f este continua la dreapta in punctul a daca :
f ( a + 0 ) = f d ( a ) = lim f ( x ) x→a x >a
are sens , exista si
f ( a + 0 ) = f d ( a ) = lim f ( x ) = f ( a ) x →a x>a
.
Teorema continuitatii intr-un punct cu ajutorul continuitatii laterale : - Functia f : D → R este continua in punctul a ∈ D daca si numai daca f este continua la stanga si la dreapta in a :
f ( a − 0) = f ( a + 0) = f ( a ) sau :
f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a ) lim x →a x →a x
x>a
Definitia continuitatii la capetele domeniului de definitie : - Fie functia f : [ a; b ] → R , a < b ; - La capetele domeniului de definitie , respectiv in punctele a si b , continuitatea acesteia se defineste astfel : •
f este continua in a , daca f este continua la dreapta in a , adica : f ( a + 0 ) = f d ( a ) = lim f ( x ) = f ( a ) x →a x>a
•
f este continua in b , daca f este continua la stanga in b , adica : f ( b − 0) = f s ( b ) = lim f ( x ) = f ( b ) x →b x
Puncte de discontinuitate Introducere in notiunea de punct de discontinuitate : - Daca functia f nu este continua in punctul a ea se numeste discontinua in acel punct . - Punctele de discontinuitate se impart in doua categorii : - puncte de discontinuitate de prima speta ; - puncte de discontinuitate de a doua speta .
Fie o functie f : D → R si a ∈ D un punct de discontinuitate a lui f : Definitia punctului de discontinuitate de prima speta : - Punctul de discontinuitate a se numeste punct de discontinuitate de prima speta daca functia f are limitele laterale finite in a iar in acest punct avem una din situatiile : 1).
f ( a − 0 ) ≠ f ( a + 0 ) ; ( limitele laterale nu sunt egale )
f ( a − 0 ) = f ( a + 0) ≠ f ( a ) ; ( limitele laterale sunt egale dar diferite de 2). valoarea functiei in punctul respectiv ) 3).
f ( a − 0 ) ≠ f ( a ) sau f ( a + 0 ) ≠ f ( a ) .
Definitia punctului de discontinuitate de speta a doua : - Punctul de discontinuitate a se numeste punct de discontinuitate de speta a doua daca cel putin una dintre limitele laterale ale lui f in a , daca are sens , nu exista sau este infinita .
Observatie privind clasificarea punctelor de discontinuitate : - Punctele de discontinuitate ale functiei , care nu sunt de prima speta se numesc puncte de discontinuitate de speta a doua .
Prelungirea prin continuitate a unei functii Definitia prelungirii prin continuitate a functiei intr-un punct : - Fie o functie f : D − { a} → R , f continua pe D ; - Fie a un numar real care nu apartine lui D ;
f ( x ) = l , si este finita; - Exista limita functiei f , cand x tinde la a : lim x →a - Atunci functia :
f ( x ) , x ∈ D − { a} g : D ∪ { a} → R , g ( x ) = l , x=a este continua in a si se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a . ~
- Vom nota functia g = f ; - O astfel de prelungire daca exista este unica .
Observatie important : Daca f : - nu are limita in a sau - are limita infinita in a atunci : f nu poate fi prelungita prin continuitate in a .
Concluzii finale privind continuitatea punctuala - Este clar ca limita unei functii intr-un punct a nu este acelasi lucru cu
continuitatea acesteia in a .
- Din definitiile celor doua notiuni si din teoremele de caracterizare vom observa ca : 1). Limita se calculeaza in punctele de acumulare ale domeniului , iar continuitatea se studiaza in punctele din domeniul de definitie . 2). Continuitatea inseamna ca limita functiei este egala cu valoarea acesteia in punctul respectiv ( pentru cazul in care punctul este de acumulare ) . 3). Pentru limita unei functii toate caracterizarile echivalente exclud punctul a , in timp ce caracterizarile continuitatii nu exclud punctul a .
- Daca o functie este discontinua la dreapta ( stanga ) in a , atunci functia
este discontinua in a .
- Functiile elementare sunt functii continue . - Fie I ⊂ R , I un interval , f : I → R ; - Atunci functia f este continua daca si numai daca graficul lui f este neintrerupt ( adica se poate trasa neridicand creionul de pe hartie ) .
Exercitii Exercitiul nr. 1 : Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate : a).
x3 , f : R → R , f ( x) = 2 3x ,
b).
f : R → R , f ( x) =
c).
sin x , f : R → R , f ( x) = x 1 ,
x ≤3 , a =3 x >3
;
x − 16 , ≠ x 4 , a=4 x −4 , x =4 8 2
x ≠0
;
, a=0 .
x =0
Exercitiul nr. 2 : Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate : a).
f : R → R , f ( x) =
b).
f : R → R , f ( x) =
x - 5x + 1 , x ≤ 2 , a = 2 −5 , x > 2 2
x x
2
−1 , x >1 , a =1 ; −1
-x + 3 , x ≤ 1
sin ( x − 1) , x ≠1 x −1 , a =1 ; c). f : R → R , f ( x ) = , x =1 -1 d).
f : R → R , f ( x) =
e).
f : R → R , f ( x ) = [ x2 ] , a = 3 .
1
e ( x −2 ) , x ≠ 2 , a = 2 0 , x =2 −
2
;
− 2 x2 + x , x ≤ 1 , a =1 . f). f : R → R , f ( x ) = , > x − 2 x 1
;
Exercitiul nr. 3 : Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate : a).
f : ( − 1;1) → R , f ( x ) =
4 x sin x , x ∈ ( 0;1)
3 x + 2 x , x ∈ ( − 1;0]
, a=0 ;
2x + 3 x − 1 , x ∈ [ − 2;0] 2 , a = 0, a = 2, a = 3 ; b). f : [ − 2;2 ) ∪ { 3} → R , f ( x ) = 5 x + 1 , x ∈ ( 0;2 ) 6 , x=3 1 , x ≠ −2 , a = −2 ; c). f : R → R , f ( x ) = x + 2 3 , x = −2 sin x , x≠0 , a=0 ; d). f : R → R , f ( x ) = x 1 , x = 0 1 x sin , x ≠ 0 , a=0 ; e). f : R → R , f ( x ) = x 1 , x=0 e− x1 f). f : R → R , f ( x ) = 1 x x −1 2
, x ≤1 , x >1
, a =1 ;
1+ 3x +1 2 , x ≠ −2 , a = −2 ; g). f : R → R , f ( x ) = 0 , x = −2 ex + x − 1 h). f : R → R , f ( x ) = 1 x x −1
, x ≤1 , x >1
, a =1 ;
sin ( x − 1) , x ∈ ( − 1;1) x2 − 1 1 , x =1 , a =1 . i). f : ( − 1; ∞ ) → R , f ( x ) = 2 1 x − 2 , x >1
Exercitiul nr. 4 : Determinati parametrul real m , astfel incat functia f sa fie continua in punctul a unde : a).
, x ∈ [ 0;1] x +1 f ( x) = , a =1 ; 3mx + 3 , x ∈ (1;2]
x2 + m , x ≤ 2 , a=2 ; b). f ( x ) = mx , x > 2 1 ( x x + ) , x ∈ R* , a = 0 c). f ( x ) = sin x e ; m , x=0
x2 + 2mx d). f ( x ) = 3 3 x +m
, x ≤1 , x >1
, a =1 ;
x2 , x ∈ R* , a=0 ; e). f ( x ) = m , x=0 e- x 1−1 , x < −1 , a = −1 ; f). f ( x ) = 3 x + m , x ≥ −1 2
g). f ( x ) = h).
1 x , x ≠ 0 , a=0 ; x m , x=0
, x ≤1 2mx + 1 f ( x) = , a =1 ; 2 mx + 3mx , x > 1
m ( x2 − 9 ) , x ≤ −3 , a = −3 ; i). f ( x ) = x + 3 mx + 2 , x > −3 j).
3mx + m − 1 f ( x) = 2 x + mx − 2
m ( x2 − 25 ) k). f ( x ) = x −5 - 3mx + 1 mx 2 + 1 l). f ( x ) = 2mx + 3
, x≤2 , x>2 , x>5
, a=2 ;
, a=5 ;
, x≤5 , x ≥1 , a =1 ; , x <1
m sin ( x + 1) , x > −1 2 , a = −1 ; m). f ( x ) = x + 4 x + 3 2mx + 1 , x ≤ −1 (1+ mx ) 1x , x > 0 , a=0 . n). f ( x ) = x + e , x≤0 Exercitiul nr. 5 : Determinati parametrii reali a, b , astfel incat functia f sa fie continua in punctele indicate :
1 3 ax + 1 , x > 2 1 1 , x= , x0 = a). f : R → R , f ( x ) = b ; 2 2 1 x − 3 , x < 2 ln (1 + 2 x ) , x>0 ax 2 , x = 0 , x0 = 0 . b). f : R → R , f ( x ) = 2− + , x<0 x ax b Exercitiul nr. 6 : Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :
1 , x>0 a). f : R → R , f ( x ) = 0 , x = 0 ; ( functia signum (semn)) −1 , x < 0 1 sin , x ≠ 0 b). f : R → R , f ( x ) = ; x 0 , x = 0 c).
f : [ 0; ∞ ) → R , f ( x ) = [ x] ; ( functia parte intreaga )
1 , x≠0 d). f : R → R , f ( x ) = x . 0 , x = 0
Exercitiul nr. 7 : Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :
x2 + 5 , x > 1 a). f : R → R , f ( x ) = ; 3 , x ≤ 1 1 1 sin , x ≠ 0 b). f : R → R , f ( x ) = x ; x 0 , x=0 c).
-x + 3 , x ≥ −2 f : R → R , f ( x) = ; , x < −2 1
1 cos , x ≠ 0 d). f : R → R , f ( x ) = ; x 0 , x = 0 e).
f : [ 0;1] → R , f ( x ) = [ 3x ] ;
f).
1 , x ∈Q f : R → R , f ( x) = . 0 , x∈R − Q
Exercitiul nr. 8 : Sa se studieze continuitatea laterala pentru functiile si punctele indicate :
x2 − 3 x , x ≤ 1 , a =1 ; a). f : R → R , f ( x ) = 3 x + 1 , x > 1 b).
f : R → R , f ( x ) = [ 3x] , a = ±
1 ; 2
e x1−1 , x ≠ 1 , a =1 ; c). f : R → R , f ( x ) = 1 , x = 1 3 x 2 − 5 x , x > −1 , a = −1 ; d). f : R → R , f ( x ) = - 3 x + 1 , x ≤ −1 x2 + x + 1 , x ≥ 0 f : R → R ( ) f x = , a=0 e). , 2 x1 , x < 0
1 − , x>2 e x −2 2 , x=2 , a=2 ; f). f : R → R , f ( x ) = sin ( x − 2) 1+ , x<2 x−2 g).
f : [1;3] → R , f ( x ) = [ x2 ] , a = 2 ;
2x −1 − 1 , x <1 , a =1 . h). f : R → R , f ( x ) = x − 1 ln (1 + x ) , x ≥ 1 Exercitiul nr. 9 : Sa se studieze daca functiile urmatoare pot fi prelungite prin continuitate in punctele indicate :
tg ( x − 1) , a =1 ; x −1
a).
f : R − {1} → R , f ( x ) =
b).
f : R* → R , f ( x ) = (1+ x ) 2 x , a = 0 ;
c).
f : R − { 2} → R , f ( x ) =
d).
f : R − {1} → R , f ( x ) = ( x +1) 2 sin
e).
f : R* → R , f ( x ) = x cos
f).
1 f : R* → R , f ( x ) = x , a = 0 ; x
g).
f : R − {1} → R , f ( x ) = cos
h).
f : ( − 1; ∞ ) − { 0} → R , f ( x ) = (1+ x ) x , a = 0 ;
i).
f : ( 0; ∞ ) → R , f ( x ) =
j).
f :R → R ,
1
1 , a=2 ; ( x − 2) 2 1 , a = −1 ; x +1
1 , a=0 ; x
1 , a =1 ; x −1 1
*
f ( x) =
x , a=0 ; x − ln x
2 x + sin
x +1
1 x
, a=0
.
Proprietati generale ale finctiilor continue Operatii cu functii continue Urmatoarea teorema da o caracterizare punctuala a operatiilor uzuale cu functii continue : Teorema continuitatea intr-un punct : - Fie f , g : D → R doua functii continue in a ; - Atunci :
1). ∀ α , β ∈ R , functia
αf + βg este continua in a ;
2).
f ⋅ g este continua in a ;
3).
f este continua in a , cu conditia : g ( a ) ≠ 0 ; g
4).
f este continua in a ;
5). max ( f , g ) , min ( f , g ) sunt continue in a . In mod similar ne vom referi si la continuitatea pe o multime : Teorema continuitatea pe o multime : - Fie f , g : D → R doua functii continue pe multimea A ⊆ D ; - Atunci :
1). ∀ α , β ∈ R , functia
αf + βg este continua pe A ;
f ⋅ g este continua pe A ; f 3). este continua pe A , cu conditia : g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ A ; g 2).
4).
f este continua pe A ;
5). max ( f , g ) , min ( f , g ) sunt continue pe A .
Proprietati ale functiilor continue
Proprietatea 1 Teorema : Teorema urmatoare exprima proprietatea functiilor continue de a comuta cu limitele : - Se considera f : E → F , g : F → G ; - Fie a un punct de acumulare al lui E ( un neaparat din E ) ; - Daca :
f ( x) = b ∈ F 1). lim x →a 2). g este continua in b ,
atunci :
(
g ( f ( x ) ) = g lim f ( x ) lim x →a x →a
)
Proprietatea 2 Teorema de continuitate a f-tiilor compuse :
1). Fie : - f : E → F o functie continua in a ∈ E si g : G → H . - f ( E) ⊂ G ; - g continua in f ( a ) = b . Atunci functia :
g f : E → H este continua in a .
2). Daca : atunci :
- functia f este continua pe E - iar g este continua pe f ( E ) ,
g f este continua pe E .
Proprietatea 3 Teorema de marginire locala a unei f-tii continue : - Daca f : E → R este o functie continua intr-un punct a ∈ E atunci : exista o vecinatate a punctului pe care f este marginita .
Proprietatea 4:
Teorema pentru semnul unei functii continue , nenule , intr-un punct : - Daca f : E → R este continua in a si f ( a ) ≠ 0 atunci : exista o vecinatate a lui a pe care f nu-si schimba semnul .
Proprietatea 5 a valorilor intermediare ( a lui DARBOUX) : - Functiile continue au proprietatea remarcabila de a transforma un interval oarecare tot intr-un interval . - Aceasta proprietate este cunoscuta sub numele de proprietatea lui Darboux . - Nu este caracteristica numai functiilor continue .
Proprietatea lui DARBOUX Definitia proprietatii lui DARBOUX : - Fie E un interval ; - Se spune ca functia f : E → R are proprietatea lui Darboux pe intervalul E daca : - pentru orice puncte a < b din E - si oricare numar real exista
λ situat intre f ( a ) si f ( b )
cel putin un punct xλ din intervalul ( a; b ) astfel incat : f ( xλ ) = λ
.
Observatii referitoare la proprietatea lui DARBOUX : 1). O functie care are proprietatea lui Darboux pe un interval , nu poate sari de la o valoare la alta fara sa treaca prin toate valorile intermediare , adica daca ia doua valori distincte , atunci ia toate valorile cuprinse intre ele . 2). Proprietatea lui Darboux o au si functiile care un sunt continue .
λ este o valoare intermediara intre f ( a ) si f ( b ) , atunci xλ ∈ ( a; b ) si nu xλ ∈ I − ( a; b ) , adica xλ este un punct situat intre a si b si nu oricum din I . 4). Proprietatea formulata altfel : pentru λ valoare intermediara intre f ( a ) si f ( b ) , ecuatia f ( x ) = λ , are cel putin o solutie xλ in intervalul ( a; b ) . 3). Trebuie observat ca daca
Teorema :
- Daca f : I → R are proprietatea lui Darboux , - Si daca exista una din limitele laterale intr-un punct x0 ∈ I Atunci aceasta limita este egala cu f ( x0 ) . Corolar : 1). Daca f : I → R are proprietatea lui Darboux , atunci ea nu are nici un punct de discontinuitate de prima speta . 2). Daca f : I → R are un punct de discontinuitate de prima speta , atunci f nu are proprietatea lui Darboux .
Teorema : Orice functie continua definita pe un interval , are proprietatea lui Darboux . Teorema lui Cauchy: Orice functie continua f : [ a; b ] → R , f ( a ) ≠ f ( b ) ,are proprietatea lui Darboux pe [ a; b ] . Corolar : - Fie I ⊆ E un interval si f : E → R o functie continua . atunci : - Multimea f ( I ) este un interval . Enuntul de mai sus spune ca o functie continua “ duce “ un interval tot intr-un interval .sau altfel spus : O functie f : I → R , unde I interval , are proprietatea lui Darboux daca si numai daca imaginea oricarui interval J ⊂ I este tot un interval .
Proprietatile functiilor continue pe un interval inchis Observatii referitoare la continuitate pe un interval : - O functie f : [ a; b ] → R se spune ca este continua pe intervalul inchis [ a; b ] daca : 1).
f este continua in toate punctele intervalului deschis ( a; b )
2).
f este continua la dreapta in x = a si este continua la stanga in x = b .
si
Functiile continue pe un interval inchis poseda proprietati remarcabile pe care le vom studia in continuare : Teorema Weierstrass :
- Fie f : [ a; b ] → R o functie continua . Atunci f este marginita si mai mult isi atinge marginile pe acest interval . Corolar 1 : - Fie f : [ a; b ] → R o functie continua pentru care f ( a ) ⋅ f ( b ) ≤ 0 . Atunci exista cel putin
un punct c ∈ [ a; b] astfel incat f ( c ) = 0 . Observatii privitoare la Corolarul 1 :
1 ). Concluzia din corolar se poate reformula spunand ca ecuatia f ( x ) = 0 are cel putin o
solutie in intervalul [ a; b ] .
2 ). Daca f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 atunci exista cel putin un element c ∈ ( a; b ) astfel incat f ( c ) = 0 . 3 ). Daca f este strict monotona , atunci solutia este unica ( deoarece f este injectiva ) .
Corolar 2: Criteriu ca o functie continua sa aiba un punct fix : - Fie f : [ a; b ] → [ a; b ] o functie continua . Atunci ecuatia x − f ( x ) = 0 are cel putin o
solutie in [ a; b ] . O astfel de solutie se numeste punct fix pentru f . Corolar 3 semnul unei functii :
- Fie f : I → R , I un interval , f o functie continua , care un se anuleaza pe I . Atunci f are acelasi semn pe tot intervalul . Corolar 4 : - Fie f : R → R o functie continua pentru care :
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
atunci functia se anuleaza cel putin o data pe R .
si
lim f ( x ) = +∞
x → +∞
Exercitii Exercitiul nr. 1 : Sa se precizeze care din functiile f : R → R de mai jos are proprietatea lui Darboux pe domeniul de definitie :
1 , x>0 a). f ( x ) = 0 , x = 0 ; −1 , x < 0
x2 − 12 , x ≤ 1 b). f ( x ) = ; 0 , x >1 c).
f ( x ) = [ x] ;
sin x , x≠0 d). f ( x ) = x ; 1 , x = 0 3 − x , x ∈Q e). f ( x ) = 2 ; x , x ∈ R − Q f).
f ( x ) = ex + sin x
g).
f ( x ) = x2 − 1
; ;
2x , x ≥ 0 h). f ( x ) = ; x + 1 , x < 0 i).
2x − 3 , x < 1 f ( x) = ; x − 2 , x ≥ 1
1 x−2 , x>2 1 , x<2 . j). f ( x ) = 2 − x 4 3 , x=2 Exercitiul nr. 2 : Sa se arate ca ecuatiile de mai jos admit cel putin o radacina in intervalul indicat : a). x5 + x 2 − 1 = 0 b).
(x
, [ - 1;1]
− 1 ) e x + x = 0 , [ 0;1]
c). sin 2 x − cos x = 0 , d). x13 + 7 x3 − 5 = 0 x
[ 0;π ]
, x>0
x
3 4 3 e). + = , [ 0;1] 7 7 2 f).
(1 − x ) cos x = sin x
, [ 0;1]
π 2
g). x + ln x = 0 , x ∈ 0; h). x ⋅ 2x − 1 = 0
, x ∈ ( 0;1)
n i). x ⋅ sin x − 1 = 0
j). x 2 − 2 x
π , x ∈ 0; , n ∈ N * 2
, [ 3;4]
[ − 2;2] l). x + x + 1 , [ − 1;0] m). x − 1 , [ 0;2] . k). 4 − x2 , 2
