www.matematicon.ro Functii – definitie, proprietati, functii elementare
A. Definitii. Proprietati. 1. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui element x X facem sa-i corespunda un singur element y Y. f
Vom nota y = f(x) sau f: X Y sau X Y. x – se numeste variabila sau argument, y – se numeste valoarea functiei, X – se numeste multimea de definitie Y – se numeste multimea valorilor functiei. 2. Daca X R si Y R vom spune ca f este functie reala de variabila reala. 3. Daca X 1 este o submultime a lui X (X 1 X) functia f 1 definita pe X 1 si egala cu f pe aceasta submultime (f 1 (x) = f(x) ( ) x X 1 ) se numeste restrictia lui f la X 1 . Invers, f se numeste prelungirea lui f 1 pe X. 4. Spunem ca functia f: X Y este strict descrescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem f (x1 ) f (x 2 ) < 0. x1 x 2 5. Spunem ca functia f: X Y este strict crescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem f (x1 ) f (x 2 ) > 0. x1 x 2 6. Spunem ca functia f: X Y este injectiva daca este verificata una din urmatoarele conditii: a) ( ) x 1 , x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) sau b) ( ) x 1 , x 2 X, astfel incat f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 sau c) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie in X. Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele. 7. Spunem ca functia f: X Y este surjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii: a) ( ) y Y, ( ) x X astfel incat f(x) = y sau b) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie in X. c) f(X) = Y 8. O functie f: X Y este bijectiva daca este injectiva si surjectiva. 9. f: X Y este bijectiva ( ) y Y ecuatia f(x) = y are o singura solutie in X. 10. f: X Y este marginita daca exista doua numere reale m, M astfel incat ( ) x X avem m < f(x) < M. www.matematicon.ro
www.matematicon.ro 11. Daca f : X Y si g : Y Z , spunem ca urmatoarea functie notata gof : X Z unde (gof )( x ) g(f ( x )) se numeste compusa functiilor f si g. 12. 1X este functia identica definita pe X: 1x : X X , 1X (x ) x . 13. Spunem ca functia f : X Y este inversabila daca exista o functie g : Y X astfel incat (gof )(x ) 1X (x) si (fog )( y) 1Y ( y) . Inversa functiei f se noteaza cu f 1 . 14. Functia f : X Y este inversabila daca si numai daca f este bijectiva. 15. Functia f : X Y este para daca f(x) = f(-x) ( ) x X (X este o multime simetrica fata de 0). 16. Functia f : X Y este impara daca f(x) = - f(x) ( ) x X (X este o multime simetrica fata de 0). 17. Functia f : X Y este periodica, de perioada T, daca ( ) T R * astfel incat f(x + T) = f(x) ( ) x X. Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro B. Functii elementare Functia
Functia putere f(x) = x n , 2 n N Graficul functiei f a) n par
X (multimea de definitie)
Y (multimea valorilor functiei f)
i) R
a) R daca n este par b) R daca n este impar
y
ii) R O
R
x
Proprietati
a) n par 1. f este descrescatoare pe R si crescatoare pe R 2. f nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f la R si la R sunt functii injective 3. f: R R este surjectiva 4. f: R R nu este bijectiva dar restrictiile f R : R R si f R : R R sunt bijective 5. f: R R este para
b) n impar 1. f este crescatoare pe R 2. f este injectiva pe R 3. f: R R este surjectiva 4. f: R R este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R, f 1 (x) = n x 6. f: R R este impara
b) n impar y
y
O
x
Functia radical f(x) = n x , 2 n, n N Graficul functiei f a) n par
a) R daca n par
a) R daca n par a) n par 1. f este crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R , f 1 (x) = x n
y
O
x
b) n impar
b) R daca n impar
y O
x
b) R daca n impar
b) n impar 1. f este crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R, f 1 (x) = x n 6. f este impara
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro Functia exponentiala f(x) = a x , a > 0, a 1
R
(0, + )
x
a) a > 1 1. f este strict crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + ) R, f 1 (x) = log a x.
x
b) a (0, 1) 1. f este strict descrescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + ) R, f 1 (x) = log a x.
a) a > 1 y
O
b) a (0, 1) y
O
Functia logaritmica f(x) = log a x, a > 0, a 1 a) a > 1 y
O
x
R a) a > 1 1. f este strict crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :R (0, + ), f 1 (x) = a x b) a (0, 1)
b) a (0, 1) y x
O
(0, + )
1. f este strict descrescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 : R (0, + ), f 1 (x) = a x
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro Functia sinus f(x) = sin x
R
[-1, 1]
R
[-1, 1]
R- k
R
x 1
y
-π/2
3π/2
π/2 -1
Functia cosinus f(x) = cos x x 2π
1 π
-- π
- π/2
O π/2
3π/2
y
-1
Functia tangenta f(x) = tg x
2
k Z y
y
-π/2 O
π
π/2
x
3π/2
Functia cotangenta f(x) = ctg x y
y
π O π/2
R- k k Z
2π 3π/2
x
R
1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T= 2k , k Z T * = 2 este perioada principala. 4. f este impara 5. f este marginita 6. Fie sin: , [-1,1] restrictia lui f la 2 2 intervalul , . Avem urmatoarele 2 2 proprietati: a) functia este bijectiva b) inversa functiei este arcsin:[-1,1] , 2 2 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T= 2k , k Z T * = 2 este perioada principala. 4. f este para 5. f este marginita 6. Fie cos: [0, ] [-1,1] restrictia lui f la intervalul [0, ]. Avem urmatoarele proprietati: a) functia este bijectiva b) inversa functiei este arccos:[-1,1] [0, ] 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T = k , k Z T * = este perioada principala. 4. f este impara 5. Fie tg: , R restrictia lui f la 2 2 intervalul , . Avem urmatoarele 2 2 proprietati: a) functia este bijectiva b) inversa functiei este arctg:R , 2 2 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T = k , k Z T * = este perioada principala. 4. f este impara 5. Fie tg: 0, R restrictia lui f la intervalul 0, . Avem urmatoarele proprietati: a) functia este bijectiva b) inversa functiei este arcctg: R 0,
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro Functia arcsinus f(x) = arcsin x y
[-1, 1]
2 , 2
[-1, 1]
[0, ]
1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : [0, ] [-1,1], f 1 (x) = cos x 5. f este marginita
R
, 2 2
1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : , R, f 1 (x) = tg x 2 2 5. f este impara 6. f este marginita
R
0,
1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : 0, R, f 1 (x) = ctg x 5. f este marginita
y π/2
O 1 -1
x
-π/2
1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : , [-1,1], f 1 (x) = sin x 2 2 5. f este impara 6. f este marginita
-1
Functia arccosinus f(x) = arccos x y π π/2 x
-1
O
1
Functia arctangenta f(x) = arctg x y
π/2 O -π/2
x
Functia arccotangenta f(x) = arcctg y π
y
π/2
O
x
www.matematicon.ro
