ALGEBRA CLS aXIIa LEGI DE COMPOZITIE Definitie :Fie A o multime se numeste lege de compozitie pe A o regula prin care la oricare doua elemente x, y ∈ A asociem un element tot din A numit x compus cu y si notat in diverse moduri xoy , x ∗ y , x y e.t.c. PARTE STABILA Definitie:Fie A o multime si ,,o” o lege pe multimea A. B⊂A spunem ca B e parte stabila a lui A in raport cu legea,,o” daca ∀x, y ∈ B atunci xoy ∈ B Exemple: Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 1) Sa se demonstreze ca (2, ∞) e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” (2, ∞) e parte stabila daca ∀x, y ∈ (2, ∞) atunci xoy ∈ (2, ∞) Fie x, y ∈ (2, ∞) adica x, y>2 sa demonstam ca xoy>2 xoy>2 ⇔ xy-2x-2y+6>2 ⇔ xy-2x-2y+4>0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)>0 ⇔ (x-2)(y-2)>0 dar x>2 si y>2 rezulta (x-2)(y-2)>0 deci (2, ∞) e parte stabila 2) Sa se demonstreze ca R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” R\{2}e parte stabila daca ∀x, y ∈ R \{2} atunci xoy ∈ R \{2} Fie x, y ∈ R \{2} adica x, y ≠ 2 sa demonstam ca xoy ≠ 2 Presupun xoy=2 ⇔ xy-2x-2y+6=2 ⇔ xy-2x-2y+4=0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)=0 ⇔ (x2)(y-2)=0 dar x ≠ 2 si y ≠ 2 rezulta (x-2)(y-2) ≠ 0 deci R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” 3) Sa se demonstreze ca multimea H=(1,3) e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” H e parte stabila daca ∀x, y ∈ H atunci xoy ∈ H x ∈ H ⇔ 1
⎧ ⎫ 0 1− x ⎞ ⎛ x ⎪ ⎜ ⎟ 4) fie M = ⎨ A( x) = ⎜ 0 0 0 ⎟ / x ∈ R ⎪⎬ sa se demonstreze ca M e parte stabila a ⎪ ⎪ ⎜1 − x 0 x ⎟⎠ ⎝ ⎩ ⎭
lui M3(R) in raport cu inmultirea matricelor M e parte stabila daca ∀A( x), A( y ) ∈ M atunci si A( x) ⋅ A( y ) ∈ M 0 1 − x ⎞⎛ y 0 1 − y ⎞ ⎛ 1 − x − y + 2 xy 0 x + y − 2 xy ⎞ ⎛ x ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A( x) ⋅ A( y ) = ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 0 0 ⎟=⎜ 0 0 0 ⎟ = A(1 − x − y + 2 xy ) ⎜1 − x 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ x ⎠⎝ 1 − y 0 y ⎠ ⎝ x + y − 2 xy 0 1 − x − y + 2 xy ⎟⎠ ⎝ rezulta A( x) ⋅ A( y ) ∈ M
TABLA LEGII DE COMPOZITIE se poate face doar daca multimea pe care e definita legea e multime finita *
a1
a2
a3
a4
a1 a1*a1 a1*a2 a1*a3 a1*a4 a2 a2*a1 a2*a2 a2*a3 a2*a4 a3 a3*a1 a3*a2 a3*a3 a3*a4 a4 a4*a1 a4*a2 a4*a3 a4*a4
PROPRIETATI: ASOCIATIVITATE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e asociativa daca (xoy)oz=xo(yoz) ∀x, y, z ∈ A COMUTATIVITATE :Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e comutativa daca xoy=yox ∀x, y ∈ A ELEMENT NEUTRU : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea are element neutru daca exista e ∈ A astfel incat xoe=eox=x ∀x ∈ A Teorema: Elementul neutru daca exista e unic Observatie: in general pentru legile definite pe multime de numere egalitatea avand loc ∀x ∈ A identificam coeficientii lui x din cei doi membrii
ELEMENTE SIMETRIZABILE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A care are element neutru . Spunem ca x ∈ A e simetrizabil daca ∃x ' ∈ A astfel incat xox’=x’ox=e in acest caz x’ se numeste simetricul lui x Teorema: Daca x e simetrizabil simetricul lui x’ e unic Observatie : Pentru legile definite pe multimi de numere prcedez astfel : • plec de la xox’=e • scot pe x’ in functie de x • pentru expresia gasita pun conditia sa existe si sa faca parte din multimea pe care e definita legea Exemplu:1)Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabile Rezolvare : Elementul neutru: xoe=eox=x ∀x ∈ R xe-2x-2e+6=x ∀x ∈ R identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x ∈ R e simetrizabil daca ∃x ' ∈ R astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x≠2
lui e
x’(x-2)=2x-3
2x − 3 ∈R x−2 2x − 3 x' = x−2
cum
x' =
2x − 3 x−2
punand condita sa existe rezulta
rezulta ca orice element x ≠ 2 e simetrizabil , simetricul
Exemplu:2)Pe Z def legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabile. Rezolvare :elementul neutru: xoe=eox=x ∀x ∈ Z xe-2x-2e+6=x ∀x ∈ Z identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x ∈ Z e simetrizabil daca ∃x ' ∈ Z astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x≠2
x’(x-2)=2x-3
punem conditia ca si
x' =
2x − 3 ∈Z x−2
2x − 3 x−2 2+
punand condita sa existe rezulta 1 ∈ Z deci x-2 divide pe 1 x−2
rezulta x-2=1 sau x-2=-1 deci elementele simetrizabile sunt 3 si 1 OBSERVATIE:pentru legile definite pe multimi finite la care se poate construi tabla legii de compozitie proprietatile se pot vedea din tabla astfel: • comutativitate:daca tabla e simetrica fata de diagonala principala • elementul neutru : e elementul pe linia caruia se regasesc elementele multimi neschimbate • elementele simetrizabile :sunt elementele pe linia carora gaseste elementul neutru
MONOIZI,GRUPURI. Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid comutativ daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru • comutativa Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru • orice element e simetrizabil Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup comutativ (abelian) daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru • orice element e simetrizabil • comutativa Definitie:Fie (G,o)un grup a ∈ G se numeste ordinul lui a si se noteaza ord(a) cel mai mic numar natural n cu proprietatea ca a14 o a4 o244 a..... o3a = e unde e e de n ori
elementul neutru.Daca nu exista n cu aceasta proprietate atunci a are ordinul infinit Definitie:Fie (G,o)un grup M⊂G spunem ca (M,o) e subgrup al lui (G,o) daca: • M e parte stabila a lui G in raport cu legea ,,o” • ∀x ∈ M simetricul lui x ' ∈ M Teorema: daca (M,o) e subgrup al lui (G,o) atunci M cu legea indusa are structura de grup Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste morfism intre cele doua grupuri o functie f : G → H cu proprietatea f ( xoy ) = f ( x) ∗ f ( y ) ∀x, y ∈ G
Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste izomorfism intre cele doua grupuri o functie f : G → H cu proprietatile 1) f ( xoy ) = f ( x) ∗ f ( y ) ∀x, y ∈ G 2) f e bijectiva Propritate : f : G → H izomorfism intre (G,o) si ( H,∗) atunci f(e1)= e2 unde e1 este elementul neutru al lui (G,o) si e2 e elementul neutru al lui ( H,∗) INELE,CORPURI Definitie:( A,+, ⋅ )are structura de inel daca : 1) (A,+) grup abelian 2) (A, ⋅ ) monoid 3) inmultirea e distributiva fata de adunare adica x ⋅ (y+z)=x ⋅ y+x ⋅ z si (y+z) ⋅ x=y ⋅ x+z ⋅ x ∀ x,y,z ∈A Definitie :Daca in plus inmultirea e si comutativa se numeste inel comutativ Definitie :Elementul neutru de la + se numeste zeroul inelului ( 0 ) Definitie :Elementul neutru de la a doua lege este elementul unitate al inelului 1 Definitie :Elementele simetrizabile in raport cu a doua lege de compozitie se numesc elemente inversabile in inel sau unitatile inelului Definitie: x,y ∈A se numesc divizori ai lui zero in inel daca x,y ≠ 0 astfel incat x ⋅ y= 0 Definitie: un inel fara divizori ai lui zero se numeste inel integru Definitie: un inel comutativ fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate Definitie: un inel in care 1 ≠ 0 si ∀ x ∈A x ≠ 0 e invesabil (adica simetrizabil in raport cu a doua lege de compozitie )se numeste corp Observatie : un corp nu are divizori ai lui zero Definitie:Fie (A,+, ⋅ ) (B,*, o) doua inele se numeste morfism de inele o functie f:A → B cu proprietatile : 1) f(x+y)=f(x)*f(y) ∀ x,y ∈A 2) f(x ⋅ y)=f(x)of(y) ∀ x,y ∈A 3) f(1)=f(1’) unde 1 este unitatea primului inel si 1’este unitate celui de-al doilea inel Definitie: un morfism de inele se numeste izomorfism daca in plus fuctia e si bijectiva Analog pentru morfism si izomorfism de corpuri INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n Zn
Fie n ∈N* n ≥2 un numar natural fixat definim 0ˆ =multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 0 (clasa lui 0) 1ˆ =multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 1 (clasa lui 1) 2ˆ =multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 2 (clasa lui 2) …………….. n−1=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul n-1 (clasa lui n-1) Multimea acestor clase de resturi o notam cu Zn={ 0ˆ , 1ˆ , 2ˆ ,…, n−1} numita multimea claselor de resturi modulo n Pe aceasta multime definim doua legi de compozitie : Adunarea: xˆ + yˆ = restul impartirii lui x+y la n Inmultirea ; xˆ ⋅ yˆ = restul impartirii lui x ⋅ y la n Proprietatile adunarii: • asociativitate • comutativitate • element neutru 0ˆ • orice element e simetrizabil fata de + adica are un opus −a = n − a Proprietatile inmultirii: • asociativitate • comutativitate • element neutru 1ˆ • nu orice element e simetrzabil singurele elemente • inversabile in Zn sunt numerele prime cu n (Zn, +, ⋅ )are structura de inel numit inelul claselor de resturi modulo n Observatie: • daca n e numar prim (Zn, +, ⋅ ) are structura de corp • pentru un sistem cu coeficienti in Zn se poate aplica regula lui Cramer doar daca determinantul sistemului e numar prim cu n • pentru o matrice coeficienti in Zn exista inversa ei doar doar daca determinantul matricei e numar prim cu n A-1=(detA)-1 ⋅ A* • pentru polinoame cu coeficienti in Zn doar daca n e numar prim se poate face impartirea
PROGRESII ARITMETICE Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r) Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e medie aritmetica intre a si c adica b =
a+c 2
an=a1+(n-1)r Sn=
n(2a1 + (n − 1)r ) 2
unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
PROGRESII GEOMETRICE Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q). Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b = ac . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac an=a1qn-1 (q n − 1) Sn= a1 unde am notat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an q −1
PROBABILITATI
Probabilitatea=
nr.cazurifavorabile nr.cazuriposibile
LOGARITMI log a b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. log a b exista doar pentru a > 0, b > 0, a ≠ 1
log a a b = b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris
ca log in orice baza vreau) log a b = c revine la b = a c logab+ logac= loga(bc) b c
logab- logac= loga( ) logabp=p logab
1 log a b p 1 log a b = log b a
log a p b =
a loga b = b
daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac ⇒ b>c daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac ⇒ b
EXPONENTIALA
a x a y = a x+ y ax = a x− y y a 1 = a−x x a
(a ) x
y
= a x⋅ y
COMBINARI Permutari de n se noteaza Pn Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente Aranjamente de n luate cate k se noteaza Ank Ank =
n! reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente ce se (n − k ) !
pot forma dintr-o multime cu n elemente Combinari de n luate cate k se noteaza Cnk Cnk =
n! reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k elemente ce k !(n − k )!
se pot forma dintr-o multime cu n elemente. Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente
este Cnk FUNCTII Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g ⎧ y = f ( x) ⎩ y = g ( x)
se rezolva sistemul ⎨
Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. Inversa functiei f: Daca f ( x) = y atunci f −1 ( y ) = x Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.
Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie. Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei , graficul functiei nu taie axa Oy. FUNCTIA DE GRADUL DOI −b −Δ
Varful parabolei este V ⎛⎜ , ⎞⎟ ⎝ 2a 4a ⎠ -daca a > 0 varful este punct de minim −Δ este valoare minima iar 4a
−b punct de 2a
minim
-daca a<0 varful este punct de maxim −Δ este valoare maxima iar 4a
−b punct de 2a
maxim
Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are Δ = 0 Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are ⎧Δ < 0 ⎨ ⎩a > 0
Relatiile lui Viette Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini x1 , x2 au loc relatiile: −b ⎧ ⎪⎪ x1 + x2 = a ⎨ ⎪ x ⋅x = c ⎪⎩ 1 2 a
Observatie x + x2 = ( x1 + x2 ) 2 1
2
Ecuatia cu radacini x1 , x2
2
2
c ⎛ −b ⎞ − 2 x1 x2 = ⎜ ⎟ − 2 a ⎝ a ⎠ 2 este x − Sx + P = 0 unde S = x1 + x2 iar
P = x1 ⋅ x2
o o o o o o o
Conditia Conditia Conditia Conditia Conditia Conditia Conditia
ca a 2 + bx + c ≥ 0 ∀x ∈ este Δ ≤ 0, a > 0 este Δ ≤ 0, a < 0 ca a 2 + bx + c ≤ 0 ∀x ∈ 2 este Δ < 0, a > 0 ca a + bx + c > 0 ∀x ∈ ca a 2 + bx + c < 0 ∀x ∈ este Δ < 0, a < 0 2 ca ecuatia a + bx + c = 0 sa aibe doua solutii reale este Δ > 0 ca ecuatia a 2 + bx + c = 0 sa aibe doua solutii egale este Δ = 0 ca ecuatia a 2 + bx + c = 0 sa nu aibe solutii reale este Δ < 0
VECTORI IN PLAN r
r
r
r
Modulul vectorului v = a ⋅ i + b ⋅ j este v = a 2 + b 2 r
r
r
ur
r
ur
r
r
Produsul scalar a doi vectori v = a ⋅ i + b ⋅ j si w = c ⋅ i + d ⋅ j este r ur v⋅ w = a⋅c + b⋅d
r
r
r
r
Suma a doi vectori v = a ⋅ i + b ⋅ j si w = c ⋅ i + d ⋅ j este r ur r r v + w = (a + c)i + (b + d ) j
r
r
doi vectori v si u sunt coliniri Conditia ca doi vectori sa fie coliniari r r daca exista a numar real astfel incat v = ar⋅ u r r r r r Daca vectorii sunt dati sub forma v = a ⋅ i + b ⋅ j si u = c ⋅ i + d ⋅ j conditia de a b = c d si B( xB , yB )
coliniaritate revine la
uuur
r
r
Daca A( xA , y A ) atunci AB = ( xB − x A ) ⋅ i + ( yB − y A ) ⋅ j uuur r r Daca A( xA , y A ) vectorul de pozitie al lui A este OA = x A ⋅ i + y A ⋅ j se mai uuv noteaza rA
TRIGONOMETRIE x sinx
π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o) 1 1 2 3
0 0
2
cos x
1
tgx
0
ctgx
Nu exista
3 2 1 3 3
2 2 2 1
3
1
1 3
| cos(180o − x) = − cos x sin(90o − x) = cos x | cos(90o − x) = sin x sin 2 x + cos 2 x = 1 oricare ar fi x real sin(180o − x) = sin x
tgx =
sin x cos x
|
ctgx =
cos x sin x
2 1 2
0 Nu exista 0
GEOMETRIE x
y
1
Ecuatia dreptei AB : x A y A 1 = 0 xB
yB 1
Panta dreptei AB o daca stiu doua puncte panta este mAB =
y A − yB x A − xB
o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta
−a o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este b
o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este y − y A = m( x − x A ) Conditia de paralelism a doua drepte d1 d 2 ⇔ md = md 1
2
| AB |= ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2
Distanta dintre doua puncte mijlocul segmentului AB este M (
x A + xB y A + y B , ) 2 2 xA
yA 1 yB 1 = 0 yC 1
Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare xB xC
Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul facut de ecuatiile lor. Aria triunghiului ABC este Aria triunghiului S ABC =
S ABC =
Δ 2
unde
xA
yA 1
Δ = xB xC
yB 1 yC 1
baza ⋅ inaltimea 2
Aria triunghiului echilateral cu latura l este: S =
l2 3 4
In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza Aria triunghiului ABC (Heron) S ABC = p( p − a )( p − b)( p − c) unde p=
a+b+c 2
Aria triunghiului ABC=
BC ⋅ AC ⋅ sin C BC ⋅ AB ⋅ sin B AB ⋅ AC ⋅ sin A = = 2 2 2
Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2 Teorema cosinusului
BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos( Aˆ ) ) AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos( B) ) AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ BC ⋅ AC ⋅ cos(C )
Teorema sinusurilor
BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C
unde
R raza cercului
circumscris triunghiului Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are ecuatia y=x. A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are ecuatia y=-x. Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri congruente. In trunghiul dreptunghic sin =
Cateta _ opusa ipotenuza
cos =
Cateta _ alaturata ipotenuza
CONDITII DE EXISTENTA E ( x)
E ( x) ≥ 0
exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta log a E ( x) ; E ( x) > 0 ; a > 0 ; a ≠ 1 daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0. 3
E ( x)
arcsin E ( x) arccos E ( x) tgE ( x)
−1 ≤ E ( x) ≤ 1 −1 ≤ E ( x) ≤ 1
E ( x) ≠
π 2
+ 2 kπ
domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.
FORMULE SUBIECTUL III f e continua in a daca lim f ( x) = lim f ( x) = f(a) x
a
x
a
f ( x) − f ( a ) = f '(a) x−a Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa a este y − f (a ) = f '(a)( x − a) Panta tangentei la grafic in punctul a este f '(a) Monotonie fie f : D → R unde D ⊂ R D interval f derivabila pe D 1) daca f '( x) ≤ 0 ∀x ∈ D atunci f e monoton descrescatoare pe D 2) daca f '( x) ≥ 0 ∀x ∈ D atunci f e monoton crescatoare pe D 3) daca f '( x) < 0 ∀x ∈ D atunci f e strict descrescatoare pe D 4) daca f '( x) > 0 ∀x ∈ D atunci f e strict crescatoare pe D Punctele de extrem ale unei functii se determina din semnul derivatei Convexitate,concavitate fie f :[a, b] → R de doua ori derivabila pe [a,b] 1)daca f "( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) atunci f e convexa pe [a,b] 2)daca f "( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b) atunci f e concava pe [a,b] ASIMPTOTE Asimptote verticale : Daca lim f ( x) = ±∞ spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la stanga Definitie lim x→a
x
a
Daca lim f ( x) = ±∞ spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la dreapta x
a
Asimptote orinzontale Daca lim f ( x) = a , a ∈ R spunem ca dreapta y=a e asimptota orizontala la x →∞
∞ ; analog la −∞ . Asimptote oblice f ( x) Daca lim = m si lim( f ( x) − mx) = n cu m, n ∈ R , spunem ca graficul lui x →∞ x →∞ x f are asimptota oblica la ∞ dreapta y=mx+n ; analog la −∞ F primitiva a lui f daca F ' = f Daca f e continua atunci f admite primitive b
Daca
f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a, b] atunci
∫ a
b
f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx a
b
Aria marginita de graficul functiei f axa Ox si dreptele x=a,x=b este
∫
f ( x) dx
a
Volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei b
f :[a, b] → R este π ∫ f 2 ( x)dx a
FORMULE DE DERIVARE
( xn ) = n ⋅ xn−1
x =1
(a )
(e )
x ,
x ,
= a x ⋅ ln a
( )
1
,
x =
( sin x )
( ) 3
2 x
( x2 ) = 2 ⋅ x 1
,
x =
( x) = n
3 3 x2
( arctgx )
(f
=
,
,
1 x
=
=
1
,
( arccos x )
1 − x2
1 1 + x2 ,
=
n
x n −1
( f − g)
= f , ⋅ g + f ⋅ g,
= ,
=
−1 1 − x2
−1 1 + x2
1 x ln a ,
= f , − g, ,
,
,
( arcctgx )
( log a x )
+ g ) = f , + g,
( f ⋅g)
1
,
n
,
( arcsin x )
,
,
= ex
= cos x ( cos x ), = − sin x 1 , ( tgx ) = 2 ( ctgx ), = −12 cos x sin x
( ln x )
( x3 ) = 3 ⋅ x 2
,
,
,
(a ⋅ f )
,
⎛f ⎞ f , ⋅ g − f ⋅ g, ⎜ ⎟ = g2 ⎝g⎠
= a⋅ f ,
a, = 0
FORMULE DE INTEGRARE
∫ adx = ax + C x a +1 + C pentru a ≠ -1 a +1 ln ax + b 1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ ax + b dx = a + C e ax ax ax x x x ∫ e dx = e + C ∫ e dx = a + C ∫ a dx = ln a + C cos ax ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin axdx = − a + C sin ax ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos axdx = a + C ∫ tgxdx = − ln cos x + C a ∫ x dx =
∫ ctgxdx = ln sin x + C 1 ∫ sin x dx = −ctgx + C 2
1
∫ cos
2
x
dx = tgx + C
1 1 x dx = arctg + C 2 a a +a x−a 1 1 ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
∫x
2
∫x
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x 1 dx = ln x 2 + a + C +a 2 1 dx = ln x + x 2 + a 2 + C 2 2 x +a 1 dx = ln x + x 2 − a 2 + C 2 2 x −a 1 x dx = arcsin + C a a2 − x2 x dx = x 2 + a + C 2 x +a x dx = − a − x 2 + C 2 a−x
LIMITE DE FUNCTII Dreapta reala incheiata R = R ∪ {−∞, +∞} Operatii pe R , ∞ + ∞ = ∞ ∞ ± a = ∞ −∞ − ∞ = −∞ −∞ ± a = −∞ ⎧ ∞ daca, a > 0 ⎧−∞ daca, a > 0 , −∞ ⋅ a = ⎨ ∞⋅a = ⎨ ⎩−∞ daca, a < 0 ⎩+∞ daca, a < 0 ∞ ⋅ ∞ = ∞ , ∞ ⋅ (−∞) = −∞ , (−∞) ⋅ (−∞) = ∞ 1 1 1 =0 , = −∞ , = +∞ ±∞ −0 +0
CAZURI DE NEDETERMINARE 0 0
±∞ ±∞
0 ⋅ ±∞
∞−∞
1∞ 00 ∞ 0
REGULI PENTRU LIMITELE FUNCTIILOR ELEMENTARE Teorema: lim (ax n + bx n−1 + cx n− 2 + ...) = lim (ax n ) = ±∞ x →±∞
x →±∞
n −1
ax + bx + ... ax ) = lim p p −1 α x + β x + ... x→±∞ α x p n
lim (
x →±∞
arctg ∞ =
π
n
arctg- ∞ =-
π
arcctg- ∞ = π
arcctg ∞ =0 2 2 ⎧ ∞, pt.a > 1 ⎧−∞, pt.a > 1 loga0= ⎨ loga ∞ = ⎨ ⎩−∞, pt.a < 1 ⎩ ∞, pt.a < 1
cazuri particulare ln ∞ = ∞ ⎧∞, pt.a > 1 ⎩ 0, pt.a < 1
a∞=⎨
ln 0 = −∞ ⎧ 0, pt.a > 1 a- ∞ = ⎨ ⎩∞, pt.a < 1
REZOLVAREA CAZURILOR DE NEDERMINARE 1)
0 sau aplic regula lui L’Hospital 0
sau folosim urmatoarele limite remarcabile : daca lim f(x)=0 atunci x→a
lim x→a
sin f ( x) tgf ( x) arcsin f ( x) arctgf ( x) = 1 lim = 1 lim = 1 lim =1 x → a x → a x → a f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
(1 + f ( x) ) − 1 = p ln(1 + f ( x)) a f ( x) − 1 = ln a lim = 1 lim lim x→a x→a x→a f ( x) f ( x) f ( x) ±∞ 2) daca x tinde la ±∞ scot factor comun fortat puterea cea mai ±∞ p
mare , daca nu merge aplic regula lui L’Hospital ATENTIE daca x tinde la −∞ x2 = x = − x
daca x tinde la ∞ 3) ±∞ ⋅ 0
din f ⋅ g scriu
x2 = x = x
f g sau 1 1 g f
rezulta cazul
0 sau 0
∞ ∞
4) ∞ − ∞ daca apar radicali amplific cu conjugata sau scot factor comun fortat puterea cea mai mare ∞ 5) 1 folosim urmatoarea limita remarcabila daca lim f(x)=0 atunci x→a
lim (1 + f ( x) ) x→a
1 f ( x)
=e
6,7) 00 si ∞ 0 folosim ca
f g = e g ln f
OPERATII CU VECTORI
1) ADUNAREA VECTORILOR -REGULA PARALELOGRAMULUI Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine,iar suma lor e diagonala paraleogramului avandu-i pe cei doi vectori ca laturi ,si originea comuna cu cei doi vectori :
-REGULA TRIUNGHIULUI Se aseaza cei doi vectori unul cu originea in extremitatea celuilalt(de exemplu v cu originea in extremitatea lui u),suma celor doi vectori este latura triunghiului format de cei doi vectori ,avand aeeasi origine cu u si aceeasi extremitate cu v.
2)SCADEREA VECTORILOR Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine ,iar diferenta lor este a treia latura a triunghiului ,orientat catre descazut(cel din care scazi).
POLINOAME
Impartirea polinoamelor Teorema impartirii cu rest D=I⋅C+R D=deimpartit I=impartitor C=catul R=restul gradul restului
Conditia ca un polinom sa aibe pe a radacina dubla f∈K[X] spunem ca a∈K e radacina dubla pentru f daca doua dintre radacinile polinomului sunt egale cu a ( x1=x2=a ) ⇔ f se divide cu (x-a)2 ⇔ f(a)=f ‘(a)=0 Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini intregi Daca f ∈Z[X] si are radacini intregi atunci ele sunt divizori ai termenului liber Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini rationale p Daca f ∈Z[X] are radacini rationale (de forma q ) atunci p e divizor
al termenului liber iar q e divizor al coeficientului dominant Conditia ca un polinom cu coeficienti rationali sa aibe radacini de forma a + b Daca f∈Q[X] si are radacina a+ b atunci are si radacina a- b Conditia ca un polinom cu coeficienti reali sa aibe radacini complexe nereale Daca f∈R[X] si are radacina a+ib atunci are si radacina a-ib Rezolvarea unei ecuatii de grad mai mare sau egal cu 3 In general pentru rezolvarea unei ec de grad mai mare sau egal cu trei caut o radacina a (eventual folosind teoremele anterioare) si daca gasesc radacina a fac imparirea cu X-a . Restul trebuie sa dea 0 , si folosind teorema impartirii cu rest practic reusesc descompunerea in doua polinoame unul de grad 1 si unul cu un grad mai putin decat cel initial Divizibilitatea polinoamelor Definitie Fie f,g∈K[X] spunem ca f se divide cu g sau ca g divide pe f ,daca restul impartirii lui f la g este 0 Teorema : Fie f,g∈K[X] f se divide cu g ⇔ orice radacina a lui g e radacina pentru f Relatiile lui Viette ec de gr III ax3+bx2+cx+d=0 unde a,b,c,d∈C a≠0
−b ⎧ x x x + + = 1 2 3 ⎪ a ⎪ c ⎪ ⎨ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a ⎪ −d ⎪ x1 x2 x3 = ⎪ a ⎩
Observatie 1 2
c ⎛ −b ⎞ ( x1 + x2 + x3 ) 2 − 2( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = ⎜ ⎟ − 2 2 2 2 x1 + x2 + x3 = a ⎝ a ⎠ Observatie 2 3 3 3 Pentru x1 + x2 + x3
procedam astfel
3 2 x1 radacina deci verifica ecuatia ax1 + bx1 + cx1 + d = 0 (1) 3 2 x2 radacina deci verifica ecuatia ax2 + bx2 + cx2 + d = 0 (2) 3 2 x radacina deci verifica ecuatia ax3 + bx3 + cx3 + d = 0 (3)
3
adunand relatiile obtinem 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a( x1 + x2 + x3 ) +b( x1 + x2 + x3 )+c( x1 + x2 + x3 )+3d=0 aflam pe x1 + x2 + x3 ec de gr IV ax4+bx3+cx2+dx+e=0 unde a,b,c,d,e∈C a≠0
−b ⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = ⎪ a ⎪ ⎪x x + x x + x x + x x + x x + x x = c ⎪ 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 a ⎨ ⎪ x x x + x x x + x x x + x x x = −d ⎪ 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 a ⎪ e ⎪ x1 x2 x3 x4 = a ⎩ Observatie x12 + x22 + x32 + x42 = 2
c ⎛ −b ⎞ ( x1 + x2 + x3 + x4 ) − 2( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x1 x4 + x4 x3 + x2 x4 ) = ⎜ ⎟ − 2 a ⎝ a ⎠ 2
MATRICE Inmultirea matricelor
⎛a b ⎜ A⋅ B = ⎜ d e ⎜g h ⎝
c⎞ ⎛ p q r⎞ ⎟ ⎟ ⎜ f ⎟⋅⎜ s t u ⎟ i ⎟⎠ ⎜⎝ w v z ⎟⎠
Am impartit matricele asttfel: -prima in linii a doua in coloane Vom inmultii linia 1 din matricea A cu col1 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col2 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col3 din B Ele reprezilnat linia 1 a matricei podus La fel linia a2a a lui A pe rand cu fiecare col din B Apoi linia a3a a lui A cu fiec col din B ⎛a b c ⎞ ⎛ p q r⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A⋅ B = ⎜ d e f ⎟⋅⎜ s t u ⎟ ⎜g h i ⎟ ⎜w v z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎛ linia1_ A col1_ B linia1_ A col 2 _ B linia1_ A col 3 _ B ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ linia 2 _ A col1_ B linia 2 _ A col 2 _ B linia 2 _ A col 3 _ B ⎟ ⎜ linia3 _ A col1_ B linia3 _ A col 2 _ B linia3 _ A col 3 _ B ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a b c ⎞ ⎛ p q r ⎞ ⎛ ap + bs + cw aq + bt + cv ar + bu + cz ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A ⋅ B = ⎜ d e f ⎟ ⋅ ⎜ s t u ⎟ = ⎜ dp + es + fw dq + et + fv dr + eu + fz ⎟ ⎜ g h i ⎟ ⎜ w v z ⎟ ⎜ gp + hs + iw gq + ht + iv gr + hu + iz ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Matricele I 2 , I 3 , O2 si O3
⎛1 I2 = ⎜ ⎝0
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ I3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ 0⎞ ⎛0 0⎞ O = ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜0 0 1⎟ 1 ⎠ si ⎝ ⎠ ⎝0 0⎠ n n propreitatile I 2 = I 2 , I 3 = I 3 ,
⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ O3 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
Ele au I 2 ⋅ X = X ⋅ I 2 = X pentru orice matrice X patratica de ordin 2 I 3 ⋅ X = X ⋅ I 3 = X pentru orice matrice X patratica de ordin 3
INVERSA UNEI MATRICE O matrice patratica e inversabila daca si numai daca are determinantul diferit de 0 Inversei unei matrice : Inversa unei matrice A se noteaza A-1 si are proprietatea A⋅A-1=A-1⋅A=In Pentru calculul inversei se procedeaza astfel -calculez determinantul matricei care trebuie sa dea nenul -calculez transpusa matricei A notata At matrice care se obtine din matricea A schimband liniile cu colanele ( adica linia1 devine col 1, linia2 devine coloana 2, etc) -calculez matricea adjuncta notata A∗ formata din comlementii algebrici ai matricei A calculati in matricea transpusa ⎛ δ11 δ 21 δ 31 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ δ12 δ 22 δ 32 ⎟ ⎜δ δ 23 δ 33 ⎟⎠ Adica A∗= ⎝ 13 pt matricea de ordin 3
⎛ δ11 δ 21 ⎞ ⎜ ⎟ ∗ ⎝ δ12 δ 22 ⎠ si A = pt matricea de ordin 2 unde
δ ij = (−1)i + j ⋅
(determinantul obtinut din matricea A taind linia i si coloana j) 1 - aflu inversa A-1= det A A∗ Exemplu1: ⎛ 3 4⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 2 3⎠ detA=9-8=1 ⎛ 3 2⎞ At = ⎜ ⎟ ⎝ 4 3⎠
⎛ (−1)1+1 3 (−1)1+ 2 4 ⎞ A* = ⎜ 2 +1 2+ 2 ⎟ ⎝ ( −1) 2 (−1) 3 ⎠ 1 A-1= det A A∗
⎛ 3 −4 ⎞ A* = ⎜ ⎟ ⎝ −2 3 ⎠
⎛ 3 −4 ⎞ A−1 = A* = ⎜ ⎟ ⎝ −2 3 ⎠ cum detA=1 rezulta
Exemplul2:
⎛1 2 ⎜ A = ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝ det(A)=1 ⎛1 0 ⎜ At = ⎜ 2 1 ⎜3 2 ⎝
3⎞ ⎟ 2⎟ 1 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠
⎛ 2 1 ⎜ (−1) 2 ⎜ ⎜ 0 A* = ⎜ (−1)3 2 ⎜ ⎜ ⎜ (−1) 4 0 ⎜ 1 ⎝ ⎛ 1 −2 ⎜ * A = ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝
0 1
(−1)3
2 0 3 1
0 1
(−1) 4
1 0 3 1
0 0
(−1)5
1 0 2 0
2 1⎞ ⎟ 3 2⎟ 1 0⎟ ⎟ ( −1)5 3 2⎟ ⎟ 1 0⎟ 6 ( −1) 2 1 ⎟⎠
(−1) 4
1⎞ ⎟ −2 ⎟ 1 ⎟⎠
⎛ 1 −2 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ * * A = A = A = ⎜ 0 1 −2 ⎟ det ( A ) ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ −1
DETERMINANTI Determinant de ordin doi a b = ad − bc c d Determinant de ordin trei
Regula a b d e g h
lui Saruss pt calculul determinantilor c f i
Se a d g
copiaza primele doua linii b c e f h i
a b d e
c f
Deci det A= a ⋅ e ⋅ i + d ⋅ h ⋅ c + g ⋅ b ⋅ f − g ⋅ e ⋅ c − a ⋅ h ⋅ f − d ⋅ b ⋅ i
Aplicatiile determinantilor in geometrie x y 1
xA Ecuatia dreptei AB :
xB
yA 1 = 0 yB 1 xA xB
Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare
Aria triunghiului ABC este
S ABC =
Δ 2
unde
xC
yA 1 yB 1 = 0 yC 1 xA Δ = xB xC
yA 1 yB 1 yC 1
SISTEME
Natura unui system
• • • •
Un sistem poate fi: sistem incompatibil (adica nu are solutii) sistem compatibil (adica are solutii) compatibil determinat (adica are solutie unica) compatibil nedeterminat (adica are o infinitate de solutii)
Conditia ca un sistem sa fie compatibil determinat Un sistem e compatibil determinat daca are determinantul diferit de 0 Metoda lui Cramer-pentru rezolvarea unui sistem compatibil determinat
Daca A este matricea coeficientilor daca detA≠0 sistemul e compatibil determinat si pot aplica regula lui Cramer Δy Δz Δx adica x= det A y= det A z= det A ,e.t.c … Δ x =det obtinut din matricea A inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi ;analog Δ y , e.t.c.
