ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA FUNCTII DERIVABILE t c Definitie n u Fie f : D → R si x0 ∈ D punct de acumulare. p n f ( x ) − f ( x0 ) u - ▪Daca exista limita functiei in r x − x0 t n i i i punctul x0 , numim valoarea acestei limite derivata t c functiei f in punctul x si o notam f ' ( x ) . 0 0 n u f ▪Daca f ' ( x ) exista si este finita, spunem ca f este i 0 e n derivabila in x0 . u ' a t ▪Daca f ( x0 ) = ±∞ , functia f nu este derivabila in a v x i 0 , dar are derivata in acest punct. r e D
Teorema Daca f este derivabila in x0 , atunci f este continua in acest punct. Consecinta O functie nu este derivabila in punctele de discontinuitate. Observatie Reciproca acestei teoreme nu este adevarata. Exista functii continue intr-un punct care nu sunt derivabile in acest punct. Exemplu f : R → R , f ( x ) = 3 x este continua in punctul x 0 = 0 , dar nu este derivabila in acest punct, pentru ca
Deci:
'
f ( x0 )
=
lim
f ( x) − f ( x0 )
lim
x →0
x − x0
x → x0
f ( x ) − f (0)
e l a Derivata stanga r e Fie f : D → R si x0 ∈ D punct de acumulare. t a l ▪Daca exista limita stanga a functiei e t a f ( x ) − f ( x0 ) v i x − x0 r e D in punctul x0 , numim valoarea acestei limite
x
= lim x →0
3
x
x
= lim
x →0 3
1 x 2
= ∞ ⇒ f ' ( x0 ) = ∞
Derivata dreapta Fie f : D → R si x0 ∈ D punct de acumulare. f ( x ) − f ( x0 ) ▪Daca exista limita dreapta a functiei x − x0 in punctul x0 , numim valoarea v aloarea acestei acestei limite derivata '
dreapta a functiei f in punctul x0 si o notam f d ( x0 ) .
derivata stanga a functiei f in punctul x0 si
'
▪ Daca f d ( x0 ) exista si este finita, spunem ca f este
' o notam f s ( x0 ) .
derivabila la dreapta in x0 .
'
▪ Daca f s ( x0 ) exista si este finita, spunem ca f este derivabila la stanga in x0 . Deci:
' f s x( 0 ) =
Deci:
f d ' x( 0 ) =
f x( ) − f x( 0 ) lim x x0 x − x 0
f x( ) − f x( 0 ) lim x x0 x − x 0 →
x> x0
→
x< x0
1
Teorema Functia f are derivata in punctul de acumulare x0 ⇔ f are derivate laterale egale in acest punct. Consecinta f este derivabila in punctul de acumulare x0 ⇔ f s' ( xo ) = f d ' ( x0 ) ∈R (finite)
a c i r t e m o e g a e r a t e r p r e t n I t c n u p n u r t n i i e t a v i r e d a
Fie f : I → R unde I este un interval si x0 ∈I punct interior intervalului.Presupunem ca f este continua in x0 . ▪Daca f este derivabila in x0 , graficul functiei are in punctul M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) tangenta a carei panta este f ' ( x0 ) .
Ecuatia tangentei este: y − f ( x 0 ) = f ' ( x0 )( x − x 0 ) . ▪Daca f ' ( x 0 )
= ±∞ , graficul functiei are in punctul
M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) tangenta verticala, de ecuatie x
= x0 .
Punctul x0 este un punct de inflexiune al graficului. ▪Daca f s' ( x0 ) = ±∞si f d ' ( x0 ) = ∞(derivate laterale infinite si diferite), graficul functiei are in punctul M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) semitangenta verticala. Punctul x0 se numeste punct de d e intoarcere al graficului.
▪Daca f s' ( x 0 ) ≠ f d ' ( x 0 ) si cel putin una din derivatele laterale laterale este finita, graficul functiei are in punctul M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) doua semitangente distincte(formeaza distincte(formeaza un unghi). Punctul x0 se numeste punct unghiular al
graficului
2
i i t c n u f i e n u a t a v i r e e D m i t l u m o e p e l i b a v i r e d i i t c n u f u c i i t a r e p O
Fie f : D → R si E ⊂ D o submultime cu toate punctele de acumulare. Definitie Spunem ca f este derivabila pe E daca f este derivabila in orice punct din multimea E. Definitie Functia f ' : E →R , ∀ x ∈E → f ' ( x ) ∈R se numeste derivata lui f pe E; operatia prin care se obtine f ' din f se numeste derivare. d erivare. Observatie Derivata functiei intr-un punct este un numar real, iar derivata functiei pe o multime este o functie.
Fie f : D → R , g : D → R si E ⊂ D o submultime cu toate punctele de acumulare. Teorema(derivarea Teorema(derivarea sumei si a produsului) f si fg sunt derivabile pe E si: Daca f si g sunt derivabile pe E atunci functiile f + g , f − g , α ' ' ' ( f ± g ) ' = f ' ± g ' ; (α + fg ' . f ) = α f ' , α ∈R constanta; ( fg ) = f g Teorema( derivarea catului) Daca f si g sunt derivabile pe E iar g ( x) ≠ 0, ∀x ∈E atunci functia
f este derivabila pe E si g
'
' f f g − fg ' = 2 g g
Teorema(derivarea Teorema(derivarea functiei compuse) Fie f : I → J si g : J → R , unde I si J sunt intervale . Daca f este derivabila pe I iar g g este derivabila pe J atunci functia g f este derivabila pe I si ( g ( f ( x )) ) ' = g ' ( f ( x )) ⋅ f ' ( x ), ∀ x ∈I sau ( g ( f ) ) ' = g ' ( f ) ⋅ f ' . Teorema(derivarea Teorema(derivarea functiei inverse) Fie f : I → J, unde I, J sunt intervale, o functie continua si bijectiva. Daca f este derivabila pe I si f ' ( x) ≠ 0, ∀ x ∈I atunci f −1 este derivabila pe J si ( f −1 ) ' ( y )
=
1
f ' ( x )
unde f ( x ) = y
,∀ y ∈J ,
⇔ x = f −1 ( y ), ∀ x ∈I, y ∈J. Deci( f −1 ) ' =
3
1
f ( f −1 ) '
.
r o i r e p u s n i d r o e d e t a v i r e D
Derivata de ordinul doi Fie f : D → R o functie derivabila pe multimea E ⊂ D si f ' : E →R derivata lui f . ▪Spunem ca f este de doua ori derivabila in punctul pu nctul de acumulare x0 ∈E daca f este derivabila in x0 , '
adica exista lim
f ' ( x) − f ' ( x0 ) x − x 0
x → x0
si este finita. Valoarea acestei acestei limite se numeste derivata de ordinul doi a
"
f ( x 0 )
lui f in x 0 si se noteaza
.
Deci:
f
"
(
▪Spunem ca f este de doua ori derivabila pe multimea E daca functia
f
'
este derivabila pe E. Notam cu
"
functia derivata a lui
f
"
f
'
si o numim derivata a doua a lui f (sau derivata de ordinul doi). Deci
=(
f
Derivata de ordinul n, n ∈N f ( 0 ) = f (derivata de ordinul zero); f (1)
f f (3)
f
( 2)
= f
'
) '
'
.
(derivata de ordinul intii sau prima derivata);
= f = ( f "
)
' '
;
= ( f ( 2) ) ; ... ; f ( n) = ( f ( n−1) ) . '
'
Daca o functie f este de n ori derivabila pe E, ∀n ∈N , vom spune ca f este indefinit derivabila pe E. Functiile elementare sunt indefinit derivabile pe domeniul lor de derivabilitate. Aplicatie (determinarea (determinarea ordinului de multiplicitate al unei radacini pentru functiile polinomiale) Numarul a ∈ R este radacina multipla de ordinul k , k ∈N * a functiei polinomiale f
⇔
'
( k − 1)
"
( k )
f (a) = 0, f (a) = 0, f (a) = 0, . . f . , (a) = 0 s f i (a ) ≠ 0
Formule utile ( n) 1 = ( −1) n ⋅ n! , ∀n ∈ N unde x ∈ R − {a} ( x − a ) n +1 x − a
n
( fg ) ( n) = ∑ C nk f (n−k ) g (k ) , ∀n ∈ N k −0
4
*
.
(Leibniz)
( f ± g ) ( n ) = f ( n ) ± g ( n ) , ∀n ∈N ( n) (α f ) = α f ( n ) , ∀n ∈N, unde α ∈R constanta
REGULI DE DERIVARE '
( f ± g ) ' = f ' ± g '
1 − g ' = g g 2 ( g ( f ) ) ' = g ' ( f ) ⋅ f '
' (α f ) = α f ' , α ∈R ct . ( fg ) ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g ' '
f f ' ⋅ g − f ⋅ g ' = 2 g g
− ( f 1 ) '
=
1
f ' ( f −1 )
TABEL CU DERIVATELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE Functia c x
Derivata 0 1
x n , n ∈N *
nx
n −1
x r , r ∈R
rx
r −1
1 x
−1
Domeniul de definitie R R R cel puţin ( 0, ∞) R *
x
1
[0, )
( 0, ∞)
R
R *
1 x
( 0, ∞)
( 0, ∞)
1 x ln a
( 0, ∞)
( 0, ∞)
ex
R R R R
R R R R
x 2
∞
Domeniul de derivabilitate R R R cel puţin ( 0, ∞) R *
2 x 3
x
1
3
3 ln x log log a x (a
> 0, a ≠ 1)
e x x
a (a
> 0, a ≠ 1)
x
2
x
a ln a
sin x
cos co s x
cos co s x
− sin sin x 5
tg x
1
2
c o s x ctg x
−1
sin 2 x
arcsin x
s a u 1 + tg
2
R
x
(
sau − 1 + ctg 2 x
π − + kπ k ∈ Z 2
{k π π k ∈Z}
)
R −
1 1 − x
arccos x
−1
arctg x
π − + kπ k ∈ Z 2
{k π π k ∈Z}
R −
[−1, 1]
(
[−1, 1]
(
1, 1)
−
2
1 − x
1, 1)
−
2
1 1 + x 2 −1 1 + x 2
arcctg x
R
R
R
R
R
TABEL CU DERIVATELE FUNCŢIILOR COMPUSE
Functia
Derivata
u
u'
nu n −1 ⋅ u '
u n , n ∈N *
u >0 u ≠0
u r , r ∈R
1
u 3
−u'
≥0
1 2 u 1
u
⋅ u'
u
>0
⋅ u'
u
≠0
u
>0
u
>0
3
ln u
u u
log log a u
a
3 u2 u'
>0
u u' u ln a
>0
> 0, a ≠ 1
eu
eu ⋅ u ' a
au
> 0, a ≠ 1
a u ln a ⋅ u ' cos u ⋅ u '
sin u
cos u
arcsin u
u
u2
u
ctg u
>0 u ≠0
ru r −1 ⋅ u '
u
tg u
Domeniul de derivabilitate
cos cos u
sin sin u
≠0
≠0
−1 ≤ u ≤ 1
− sin u ⋅ u ' 1
sau (1 + tg 2 u ) ⋅ u' ⋅ u' sau
cos cos 2 u −1 ⋅ u' sau sau − 1 + ctg ctg 2 u ⋅ u ' 2 sin sin u
(
1 1−u
6
2
)
⋅ u'
cos cos u
≠0
sin sin u
≠0
−1 < u < 1
arccos u
uv
−1 ⋅ u ' 1 −u 2
−1 ≤ u ≤ 1
arctg u
1
arcctg u
1+u2 −1
u
>0
1+u2 u
v
⋅ u' ⋅ u'
⋅ v ' ⋅ ln u + v ⋅ u v−1 ⋅ u '
7
−1 < u < 1
u
>0
