Ști tiaați
că... că. ..??
Ştiaţi că Pitagora considera cunoştinţele muzicale ca făcând parte din domeniul matematicii şi în mod special din teoria numerelor? „Sunetele armonioase, spunea Pitagora, sunt produse de rapoartele exprimate în numere întregi şi cu cât aloarea numerică a raportului este mai mică cu atât sunetul este mai frumos!. "uântul #cifră! deriă din cuântul #ş$i%fr! care în lim&a ara&ă înseamnă zero. "uântul #alge&ră! deriă tot dintr'un cuânt ara&( #el'g$e%&r!, folosit pentru prima oară de matematicianul ara& )l'*arism la + în titlul cărţii sale. "ifrele ara&e au fost introduse în occidentul creştin la milocul secolului al /'lea, de către 0er&ert d1)urillac $care în anul 222 a deenit papă, su& numele de Silestru al 33'lea. Pentru a putea cunoaşte primele 44 zecimale ale lui 5 e suficient să reţineţi ersurile( „)şa e uşor a scrie orişicare 6n sim&ol creat din multe zecimale! 7umărul literelor fiecărui cuânt dă aloarea lui 58,494:2;<::+
Ştiţi cât de mare este numărul ;<9? =acă am aea o carte cu ;<9 foi, atunci grosimea cărţii ar fi de 9+-+9mai mare decât distanţa de la pământ la lună. $)m considerat că 4- foi au grosimea de 4 mm, iar distanţa de la Pământ la >ună de +9--- m% Ştiaţi că există o teoremă în geometrie care poate fi căutată pe internet cu numele unui matematician român? @ste teorema lui Pompeiu $matematician român 4+A B 42:9%. "ăutaţi'oC DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD EaFaşii foloseau o metodă de înmulţire a numerelor diferită de cea pe care o ştim noi astăzi. @i utilizau un sistem de numărare în &aza ;- şi aeau doar trei sim&oluri prin care scriau numerele( punctul $4%, linia $:% şi scoica $-%, com&inaţia dintre acestea generând restul numerelor.
6ngGiul drept
=upă mărturiile greceşti, se pare că egiptenii au fost primii geometri( Herodot ne spune că regele Sesostri a dat fiecăruia câte un lot de formă pătrată. =ar cum construiau egiptenii pătrate şi, în particular, ungGiuri drepte? Eulţi cercetători cred că ei cunoşteau ceea ce azi numim teorema lui Pitagora. Eai &ine zis, ştiau să'i folosească reciproca( ştiau că un triungGi cu laturi de , 9, : unităţi are un ungGi drept între laturile mai scurte. @ra atunci uşor să'l construiască folosind o sfoară de lungime 4; cu noduri din 4 în 4.Pentru triungGiuri dreptungGice mai mari sau mai mici se prelungeau sau scurtau laturile unuia standard. I asemenea construcţie denotă o cunoaştere adâncă a unei idei geometrice fundamentale( ungGiul drept. =e fapt, ce este ungGiul drept? Primul răspuns care, &ănuiesc, ă ine în minte( „un ungGi de 2- de grade!, e şi cel mai nepotriit. 7u numai pentru că se &azează pe o conenţie $măsurarea în grade% pe care nu toţi o adoptă $ecGii egipteni în nici un caz%, ci şi pentru că introduce în definiţie un o&iect matematic extrem de complicat( măsura. 7ici răspunsul „un sfert de cerc! nu e mai &un pentru că foloseşte cercul a cărui definiţie presupune şi ea măsura. Jn fine, dacă spuneţi „ungGi făcut de două drepte perpendiculare! am să ă între& ce sunt perpendicularele, cercul icios pândeşte... I&seraţia fundamentală e că un triungGi cu un ungGi drept se poate răsturna peste una dintre catete $să zicem peste cea mică% o&ţinându'se un ungGi egal. 7oul triungGi se poate răsturna peste cateta cea mare, o&ţinând un nou triungGi
egal. =upă încă două astfel de răsturnări cădem peste triungGiul iniţial. )ltfel spus, un ungGi drept e unul egal cu suplementul său. 3ată că nu e neoie de măsură pentru a'l defini. =ar sunt toate ungGiurile drepte egale între ele? Kre&uie să fie aşa, altfel nu am putea spune apoi că toate au 2- de grade. =ar demonstraţia acestui fapt nu e deloc uşoară. @uclid n'a făcut'o, e pro&a&il că nu o ştia, sau i s'a părut de ordinul eidenţei, a preferat să dea acest enunţ ca axiomă. =ar nu e aşa, iar prima idee de demonstraţie apare la Proclus $94;'9+:%. ) doua între&are naturală( există ungGiuri drepte? =acă da, cum se construiesc $fără raportor, am conenit că nu rem încă să măsurăm%. )ici răspunsul e simplu şi se &azează pe proprietatea de simetrie despre care aminteam înainte. Se ia un segment ar&itrar, se trasează cercuri cu aceeaşi descGidere a compasului cu centrele în capetele segmentului, dreapta care uneşte cele două intersecţii e perpendiculară pe segmentul dat în cGiar milocul lui. 3ată deci că existenţa ungGiurilor drepte nu are nimic a face cu măsura şi nu este o proprietate euclidiană. 6ngGiuri drepte există în toate geometriile, în toate lumile, fie ele euclidiene, eliptice $adică pe sferă% sau Giper&olice $pe planul lui >o&acesi%.
Li&onacci >eonardo din Pisa, cunoscut drept Li&onacci, a fost pro&a&il singurul matematician european remarca&il între anii -- şi 4--. S'a născut la Pisa, în 44+-, dar a fost educat în nordul )fricii, în actuala )lgerie, unde tatăl său aea un post diplomatic. "ălătorind prin lumea ara&ă, s'a conins de aantaele sistemului matematic ara& faţă de cel roman şi l'a popularizat în @uropa în lucrarea sa >i&er a&aci, "artea socotelilor, scrisă imediat după întoarcerea la Pisa, în 4;-;. "artea a aut un mare impact asupra dezoltării economice a regiunii, ea demonstrând aantaele ţinerii conta&ilităţii, a conersiei unităţilor de măsură, a calculelor do&ânzilor etc. cu noul sistem de numeraţie. "u toate acestea, noul sistem, cel zecimal, nu s'a răspândit deplin decât după aproape trei sute de ani, o dată cu inentarea tiparului. Se ştie că Li&onacci a scris mai multe cărţi, dar, cum pe remea aceea, tiparul încă nu exista, cărţile erau copiate de mână, în puţine exemplare şi unele au dispărut. )u auns însă până la noi "artea pătratelor $despre ecuaţii în numere întregi, diofantice cum le spunem aziM este socotită contri&uţia cea mai importantă în teoria numerelor de la =iofantus până la Lermat%, Practica geometriei $un compendiu de geometrie şi trigonometrie% şi Llos $soluţiile unor pro&leme propuse de NoGann din Palermo, de la curtea lui Lrederic al 33'lea, împăratul Sfântului 3mperiu roman de apus. =intre cărţile lui pierdute, se ştie că una se ocupa cu
aplicaţiile aritmeticii în calculele comerciale, iar alta conţinea comentarii la @lementele lui @uclid, în special o discuţie asupra numerelor iraţionale din perspectiă alge&rică, nu geometrică, aşa cum găsim la @uclid. Jn ultimii săi zece ani de iaţă, începând din 4;9-, drept recunoaştere a meritelor sale, Li&onacci a primit un salariu din partea oraşului Pisa, dar încă înainte fusese recunoscut de împărat care oise să'l cunoască atunci când a izitat Pisa. 3nfluenţa lui Li&onacci nu a fost atât de mare pe cât ar fi meritat descoperirile sale dintre care multe au rămas necunoscute reme îndelungată, fiind redescoperite şi atri&uite altor autori. Şi astăzi, pentru multă lume, numele său este legat de pro&lema înmulţirii iepurilor pe care el a formulat'o aşa( Presupunând că gestaţia la iepuri durează o lună şi că femela rămâne gestantă la ârsta de o lună, presupunând că de fiecare dată dă naştere unei perecGi mascul femelă, câte perecGi de iepuri om aea pe ; ianuarie 4;- dacă pornim cu o perecGe de nou născuţi pe 4 ianuarie 4;-;? 7umărul de perecGi de iepuri creşte după regula 4, 4, ;, , :, +, 4, ;4, 9, :: etc. )cesta este şirul lui Li&onacci în care fiecare termen e suma celor doi dinainte. Jn 4A-, )&raGam de Eoire, un matematician francez, a descoperit că şirul lui Li&onacci este legat de proporţia de aur , numărul s egal cu umătatea lui 4 plus radical din :. )nume, al n' lea termen al şirului este numărul natural cel mai apropiat de s la n pe radical din :.
Eatematica în paşi de dans =eoarece între matematică şi muzică este o strânsă legătură, iar muzica este ingredientul nelipsit atunci când ine or&a de dans, este firesc să ne gândim că matematica şi arta dansului nu sunt tocmai străine una de alta. "e face un începător atunci când înaţă să danseze als? 7umără paşii( 4, ;, , 4, ;, , 4, ;, , ... în ritmul muzicii. =eci mişcările specifice alsului formează un şir ale cărui elemente se repetă din în . =e o&icei, mişcările mai accentuate sunt cele care cad pe timpii accentuaţi ai muzicii. Jn cazul alsului, mişcările accentuate sunt cele corespunzătoare cifrei 4. 3ar în cazul dansatorilor profesionişti, traiectoriile descrise de aceştia pe podea în timpul dansului formează figuri geometrice complexe. Eatematica se găseşte în ritm, în împărţirea dansatorilor pe grupe, în folosirea spaţiului sau în forma şi succesiunea mişcărilor pe care le face un dansator. Putem astfel spune că matematica este implicată în toate aspectele dansului. =e aceea, mai multe instituţii educaţionale din întreaga lume au început să folosească acest lucru într'o manieră interdisciplinară. Pornind de la legătura dansului cu matematica, profesorii americani *arl ScGaffer şi @ri Stern au înfiinţat organizaţia EatG =ance, care are ca scop promoarea matematicii şi dansului ca fiind o actiitate creatiă unitară, şi nu două discipline separate. @i consideră că ideile matematice sunt mai atractie, mai uşor de înţeles şi de reţinut atunci când sunt exprimate prin intermediul propriului nostru corp.
=e exemplu, să edem cum putem o&ţine un dans pornind de la numele cuia. Irice cuânt este format din ocale şi consoane. Pentru fiecare ocală om &ate o dată din palme, pentru fiecare consoană om loi o dată cu palmele pe coapse, iar prima literă a numelui o om accentua printr'o loitură mai sonoră. =acă repetăm numele de mai multe ori la rând, o&ţinem o succesiune de mişcări şi un ritm specific acelui nume. Pentru a crea un ritm mai complex, putem alătura doi participanţi care'şi „dansează! numele simultan, începând în acelaşi moment şi aând acelaşi tempo. 6rmărindu'i, ne putem între&a după câte mişcări or face amândoi o mişcare accentuată în acelaşi timp $exceptând mişcarea accentuată de la început%? Se introduce astfel noţiunea de „cel mai mic multiplu comun! $ritmul a două nume cu lungimea de 9, respecti < litere, a aea mişcări accentuate simultan după 4; mişcări, 4; fiind cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 şi <%.
Oătăile palmelor din exemplul de mai sus pot fi înlocuite cu mişcări de dans din ce în ce mai complexe, până la o&ţinerea unui dans în toată regula. I altă metodă de a o&ţine un dans matematic este aceea care presupune folosirea unei panglici lungi şi implică mai mulţi participanţi. Scopul este ca dansatorii să construiască forme geometrice cu autorul panglicii care uneşte corpurile lor, făcând prin dans tranziţia între diersele forme geometrice. =e exemplu, participanţii încep cu un pătrat, continuă cu un triungGi dreptungGic, apoi cu un trapez isoscel şi încGeie prin apariţia unui Gexagon.
=ansul este o formă de expresie prin mişcarea corpului. 3ar corpul uman este simetric, poate de aceea preferăm, din punct de edere estetic, mişcările simetrice. Jn dans se întâlnesc toate tipurile de simetrie, maoritatea fiind puse cel mai &ine în eidenţă printr'un grup de dansatori şi un conducător. Puteţi încerca următorul exerciţiu( alegeţi un lider şi cel puţin participanţi, unde liderul poate fi poziţionat cu faţa sau cu spatele spre restul grupului. >iderul tre&uie să numească un tip de simetrie, apoi să execute o mişcare simplă $cum ar fi să ridice o mână%. "ei din restul grupului tre&uie să execute mişcarea liderului, dar în mod simetric faţă de acesta. =ansul se poate continua cu mişcări din ce în ce mai complexe, apoi alternând tipurile de simetrie.
Oineînţeles, toate cele enumerate mai sus sunt doar câtea modalităţi prin care se poate eidenţia legătura matematicii cu dansul. Pe celelalte le puteţi descoperi singuri dacă, data
iitoare când ă confruntaţi cu un concept matematic, ă eţi între&a( „Iare cum aş putea dansa asta?!
@minescu şi matematica în metaforă
Earele poet al culturii noastre a fost puternic atras de cunoştinţele ştiinţifice ale timpului său, acestea deenind uneori cGiar izor al propriei creaţii. Eanuscrisele eminesciene impresionează prin arietatea domeniilor a&ordate, dar şi prin gradul de ela&orare a informaţiilor ştiinţifice, cuprinzând însemnări referitoare la matematică, fizică, astronomie sau ştiinţe naturale. S'au găsit scrieri care ilustrează preocupările lui pentru studiul, înţelegerea şi interpretarea unor concepte importante ale matematicii. Jn anul 422 a apărut la @ditura )cademiei omâne olumul al /Q'lea din „Iperele lui EiGai @minescu!, su& îngriirea lui Petru "reţia şi =imitrie Qatamaniuc. Kextele din acest olum
sunt împărţite în două secţiuni( Lragmentarium şi )ddena. >a rândul lor, textele din Lragmentarium sunt împărţite şi ele în trei secţiuni. Printre textele din prima secţiune se găsesc şi cele referitoare la matematică, astronomie, fizică şi ştiinţe naturale. Jn textele redactate în primăara şi ara anului 4++, poetul foloseşte „un lim&a de maximă concentrare, adesea criptic!. )cestea „pot constitui importanţă şi interes pentru şcoala matematică românească!, deoarece în aceste însemnări @minescu „matematizează cele mai ariate domenii ale actiităţii umane!. @l afirmă că matematica este „>im&a uniersală, lim&a de formule, adică de fracţiuni ale celor trei unităţi ( timp, spaţiu şi mişcare !. Jn capitolul „@ducaţie şi înăţământ! sunt însemnări despre „Iperaţii aritmetice!, efectuând aceste operaţii după modelul timpului. >a paginile 4AA şi 4A+ găsim operaţii de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire. =e exemplu(
Poetului nu'i sunt străine nici fracţiile, „multiplicarea fracţiilor!, fracţii ecGialente, operaţii cu fracţii. @l este preocupat de înţelegerea fenomenului matematic şi cGiar a matematizării celor mai ariate domenii ale actiităţii umane. eferindu'se la numărul 4 spune că „cine a zis 4 a zis toată seria infinită a numerelor!. =espre alge&ră spune că „)lge&ra n'a putut să se iească decât după ce literele au fost descărcate de rolul de'a însemna numere concrete!. Jn opinia lui, „Eatematica este o a&stracţiune a mecanicii!.
Jn capitolul „@lemente de calcul diferenţial!, ocupându'se de raportul dintre finit şi infinit, face o serie de însemnări caracteristice profunzimii gândirii sale. =e exemplu( „Irice mărime finită faţă cu infinitul este zero. =e aceea sentimentul de adîncă nimicnicie care ne cuprinde faţă cu 6niersul!. „I mărime concretă adunată c'o mărime infinită dă o mărime infinită!. „I mărime concretă din care se scade o mărime infinită dă un rest negati în infinit!. „I mărime concretă multiplicată c'o mărime infinită creşte în progresiunea mărimii infinite!. „I mărime concretă diizată printr'o mărime infinită dă zero!. Jn „Keoria ecuaţiunii! interpretează fenomenele umane prin ecuaţii matematice astfel( „Irice moment din iaţa uniersului e ecuaţiunea momentului următor!. „Irice moment din prezent e ecuaţiunea momentului trecut!. „7u cunoaştem decât raporturi dintre finit şi finit'ecuaţiunea!. „ecuaţiunea fizică( frumuseţea! „ecuaţiunea socială( ecGitatea! „ecuaţiunea psiGologică( lupta şi economia! „ecuaţiunea intelectuală( omnilateralitatea, cultura ! „ecuaţiunea comercială( preţul fix! „ecuaţiunea comercială( do&ânda legală! 7ăzuinţa sa supremă este „ Keoria ecuaţiunii uniersale !. 3nfluenţa matematicii în gândirea eminesciană este ilustrată în următoarele ersuri( „3ar colo &atrînul dascăl, cu'a lui Gaină roasă'n coate, Jntr'un calcul fără capăt tot socoate şi socoate '''''''''''''''''''''''''''''''''''' 6niersul fără margini e în degetul cel mic, "ăci su& frunte'i iitorul şi trecutul se încGeagă 7oaptea'adînc'a eciniciei el în şiruri o dezleagăM
Precum )tlas în ecGime spriinea cerul pe umăr )şa el spriină lumea şi ecia într'un număr. '''''''''''''''''''''''''''''''''''' Şi din roiuri luminoase izorând din infinit, Sunt atrase în iaţă de un dor nemărginit, '''''''''''''''''''''''''''''''''''' Euşti de'o zi pe'o lume mică de se măsoară cu cotul, Jn aceea nemărginire ne'nârtim uitând cu totul. '''''''''''''''''''''''''''''''''''' 6nul e în toţiM tot astfel precum una e în toateM =easupra tuturora se ridică cine poate.! $„Scrisoarea 3!% „"apul greu cădea pe &ancă, păreau toate'n infinitM! $„Scrisoarea 33!% „Pân'a nu aunge'n culmea dulcii muzice de sfereM! $„Scrisoarea Q!% Sfera în uniersul poetului este infinită, cu&ul este finit. Poezia „0lossă! seamănă cu o demonstraţie matematică, în care trecutul exprimă ipoteza, iitorul este concluzia, iar zădărnicia este demonstraţia. „Qiitorul şi trecutul Sunt a filei două feţe Qede'n capăt începutul "ine ştie să le'neţeM Kot ce'a fost ori o să fie Jn prezent le'aem pe toate, =ar de'a lor zădărnicie Ke întrea&ă şi socoate.! @xistă în arta poetică mici poeme de formă fixă( sonetul, rondelul şi trioletul în care matematica oacă un rol fix. @minescu s'a înscris şi în rândul celor mai mari sonetişti, cu arGicunoscutul sonet „S'a stins iaţa...! $Sonetul este un mic poem de 49 ersuri de aceeaşi măsură, cu ersuri de 44 sila&e, cele 49 ersuri alcătuiesc 9 strofe, primele două fiind
catrene şi ultimele terţine. "atrenele au numai două rime, aceleaşi în am&ele strofe, terţinele au în total trei rime%. @minescu a reunit poezia cu ştiinţele naturii şi istoria şi de aceea poeziile lui ne oferă un orizont mult mai ast pe care sufletul omenesc îl cuprinde şi'l apropie.
