Cap IV - Functii Derivabile

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-1

Important introducere in notiunea de derivata : Are sens sa punem problema problema derivatei sau derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate .

Inainte de a incepe studiul derivatei vom fixa urmatoarele urmatoarele entitati : a).

O functie reala f : E → R , E ⊂ R ;

b).

Domeniul de definitie E fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;

c).

Un punct x0 care apartine lui E .

Definitia derivatei unei functii intr-un punct : - Se spune spune ca functia f are derivata in x0 ∈ E daca limita : lim x

x

→

0

f ( x

) − f ( x ) 0

x

x 0

−

−

exista in R .

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu f ( x0 ) si se numeste derivata functiei f in x0 . '

- Deci :

f ( x0 ) = lim → '

x x

0

f x − f ( x0 )

x − x0

.

Definitia derivabilitatii unei functii intr-un punct : - Se spune spune ca functia f este derivabila in x0 ∈ E daca limita : Derivabilitate


-2

lim

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

x → x 0

exista in R si este finita

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu f ( x0 ) si se numeste derivata functiei f in x 0 . '

- Deci :

f ( x0 ) = lim '

f ( x ) − f ( x0 )

x → x 0

.

x − x0

Observatii : - Observam ca daca f are derivata intr-un punct x 0 aceasta poate fi un numar real finit , caz

in care f este derivabila in x 0 , dar poate fi

+∞

sau

−∞

cand spunem ca f are derivata infinita

in x0 ( cand f un este derivabila in x0 ! ) .

Intoducere in studiul derivatelor , derivabilitatii , laterale : - Fie o functie f : E → R si un punct x0 ∈ E ; - Daca

( − ∞ ; x ) ∩ E ≠ Φ 0

sau E ∩ ( x0 ; + ∞

)≠Φ

atunci are sens sa studiem existenta

derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei f in x0 .

Definitia derivatei , derivabilitatii , la stanga : - Se spune spune ca functia f are derivata la stanga in x0 daca limita :

lim

x → x x < x

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

0

0

−

exista in R .

- In acest caz se noteaza limita prin : f s ( x0 ) sau f ( x0 ) . '

'

−

- Se spune spune ca functia f este derivabila la stanga in x 0 daca limita :

f s ( x0 ) = lim → '

x x 0 x < x 0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

exista in R ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita . Derivabilitate


-3

Definitia derivatei , derivabilitatii , la dreapta : - Se spune spune ca functia f are derivata la dreapta in x0 daca limita :

lim →

f ( x ) − f ( x ) 0

x − x

x x 0 x > x 0

0

−

exista in R .

- In acest caz se noteaza limita prin : f d ( x0 ) sau f ( x0 ) . '

'

+

- Se spune spune ca functia f este derivabila la dreapta in x0 daca limita :

f d ( x0 ) = xlim → x '

x > x

0

f ( x ) − f ( x0 )

exista in R ,

x − x0

0

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Fie functia f : E → R si x0 ∈ E , E un interval sau reuniune de intervale , unde x0 nu este extremitate de interval . Se poate da o caracterizare a faptului ca f are derivata ( este derivabila ) in x0 cu

ajutorul derivatelor laterale in x 0 , mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema :

⇔ f are derivate laterale in x0

1). Functia f are derivata in x0

si :

f s ( x0 ) = f d ( x0) = f ( x0) . '

'

2). Functia f este derivabila in x 0

'

⇔ f este derivabila bilateral in x0

si :

f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ∈ R . '

'

0

s

d

'

0

0

Exercitiul nr. 1 : Sa se studieze derivabilitatea functiilor f : R → R in punctele indicate : a). f ( x )

= 2 x + 3 , x = 2 0

;

Derivabilitate


-4

1

b). f ( x )

=

, x = −1 ;

c). f ( x )

= sin 5 x , x =

d). f ( x )

= x3 + x2 , x0 = 1

e). f ( x )

= 3 x2 + 8 , x0 = 1

f). f ( x )

= x − 3 x , x0 = 1

g). f ( x )

= x , x = − 3

h). f ( x )

= x , x = 3

x + 2

0

2

0

π 2

2

i). f ( x )

=

j). f ( x )

= x , x0 = 2

k). f ( x )

= x − 1 , x = 1

l). f ( x )

x

;

, x0 = 1 ; ;

3

;

0

=

;

;

0

1

;

;

0

3

;

1

, x0 = 1 ;

x

m). f ( x )

= 3 x , x = 5

n). f ( x )

= x − 1 , x = 1

o). f ( x )

= x − 3 x + 2 , x = 2

0

0

; ;

2

0

.

Exercitiul nr. 2 : Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in punctele indicate :

 x , x ≥ 0 , x = 0 ; − x , x < 0  1 , x > 0  f ( x ) = sgn x =  0 , x = 0 , x0 = 0  - 1 , x < 0  f ( x ) = min ( 2 x + 1,3 x + 5) , x0 = − 4

a). f : R → R , f ( x ) = 

0

b). f : R → R

,

c). f : R → R

,

d). f : R → R

, f ( x )

= [ x − 1] , x0 = 3

;

e). f : R → R

, f ( x )

= 3 x − 1 , x0 = 1

;

;

;

Derivabilitate


-5

 sin x , x ≤ 0 , x0 = 0 , 0 > x x 

f). f : R → R , f ( x ) = 

g). f : R → R

,

;

, x < 0  e x − 1 f ( x ) =  , x0 = 0 ( ) + ≥ ln 1 , 0 x x 

.

Exercitiul nr. 3 : Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( f : R → R ) , in punctele indicate : a). f ( x )

= x − 1 , x0 = 1

b). f ( x )

= x ⋅ x + 1 , x0 = −1

c). f ( x )

= max( x , x2 ) , x0 = 0

; ; ;

d).

 x x , x0 ≥ 0 , x0 = 0 f ( x ) =   x , x 0 < 0

e).

 3 x + 1 , x ≥ −1  , x0 = −1 f ( x ) =  x + 1  x − 1 , x < −1 

;

;

 cos( x-2) , x > 2 , x0 = 2 = 1 , 2 ≤ x x 

;

g).

 2 x -1 , x0 ≥ 0 f ( x ) =  , x0 = 0  sin x , x0 < 0

;

h).

 x2 + x , x ≤ 0 , x0 = 0 f ( x ) =  2  2 x + x , x > 0

f). f ( x )

.

Exercitiul nr. 4 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x )

= x2 + 5

oricare ar fi x ∈ R .

a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul x0 = 2 . b). Sa se calculeze f ( 2 ) . '

c). Este functia derivabila in punctul x0 = 2 ?

Derivabilitate


-6

Exercitiul nr. 5 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x )

= 5 x

oricare ar fi x ∈ R .

a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul x0 = 0 . b). Sa se calculeze f ( 0 ) . '

c). Este functia derivabila in punctul x0 = 0 ?

Exercitiul nr. 6 : Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele urmatoarele functii sunt derivabile in punctele x 0 specificate . Sa se calculeze derivata f ( x0 ) in fiecare caz in parte : '

a). f : R → R , f ( x )

= x3 − 5 x + 2

b). f : [ 0;1] → R , f ( x )

= arccos( 2 x − 1)

c). f : R → R , f ( x )

= ex ⋅ sin x

d). f : ( − 1;+∞ )

, f ( x )

→R

e). f : R → R , f ( x )

oricare ar fi x ∈ R , x0 = 2 ; oricare ar fi x ∈ [ 0;1] , x 0 =

1 2

;

oricare ar fi x ∈ R , x0 = π ;

= ln( x2 + 3x + 2 )

= sin x sin x

oricare ar fi x ∈ ( − 1;+∞ ) , x 0 = −

1 3

oricare ar fi x ∈ R , x 0 = 0 ;

f). f : R → R ,

, x > 1  e x−1 f ( x ) =  3 , x 0 = 1 2  x − x + 1 , x ≤ 1

g). f : R → R ,

 ln( x 2 + 1 ) , x ≥ 0 f ( x ) =  7 4  x + 5 x , x < 0

, x0 = 0

.

Exercitiul nr. 7 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) = x + 1 + x − 1 oricare ar fi x ∈ R . a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 1 ; b). Sa se calculeze f s (1) si f d (1) ; '

'

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul x0 = 1 ? ; d). Are functia derivata in punctul x0 = 1 ? ;

e). Este functia derivabila in punctul x 0 = 1 ? .

Derivabilitate


-7

Exercitiul nr. 8 : Fie

a). b). c). d). e).

 sin x , x < 0  f : R → R functia definita prin f ( x ) =  x .  1 − x , x ≥ 0  Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0 ; ' ' Sa se calculeze f s ( 0 ) si f d ( 0 ) ; Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul x0 = 0 ? ; Are functia f derivata in punctul x0 = 0 ? ; Este functia f derivabila in punctul x0 = 0 ? .

Exercitiul nr. 9 : Fie f : R \ {1}

→R

functia definita prin

 x  f ( x ) =  ln x  x 23 

, x ∈ ( 0;+∞ ) \ {1} .

, x ≤ 0

a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0

;

b). Sa se calculeze f s ( 0 ) si f d ( 0 ) ; '

'

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul x0 = 0 d). Are functia f derivata in punctul x0 = 0

e). Este functia f derivabila in punctul x0 = 0

? ;

? ; ? .


a). b). c).

1   x ⋅ sin , x ≠ 0 f : R → R functia definita prin f ( x ) =  . x  0 , x = 0 Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0 ; Are functia f derivata in punctul x0 = 0 ? ; Este functia f derivabila in punctul x0 = 0 ? .

Derivabilitate


Fie f : ( a, b )

-8

→R

o functie derivabila intr-un punct x 0 ∈ ( a0 , b0 ) .

Definitia ecuatiei tangentei la grafic : - Graficul functiei f are tangenta in x0 , sau mai corect in punctul ( x0 , f ( x0 ) ) , anume dreapta de ecuatie :

y − f ( x0 ) = m ( x − x0 )

unde m

= f ' ( x0 )

sau

y − f ( x0 ) = f ( x0) ⋅ ( x − x0) . '

Definitie coeficient unghiular al tangentei : - Derivata f ( x 0 ) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui f , in punctul '

( x0 , f ( x0 ) )

.

- Daca f ( x0 ) '

= +∞

sau

−∞

atunci tangenta in ( x0 , f ( x0 ) ) este paralela cu axa Oy .

Definitie punct de intoarcere : - Daca , intr-un punct x 0 , f este continua si avem :

f d ( x0 ) = +∞ si f s ( x0 ) = −∞ sau invers '

'

atunci punctul x 0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui f .

Definitie punct unghiular : - Fie functia f : E → R continua intr-un punct x 0 ∈ E ; - Daca exista ambele derivate laterale , cel putin una dintre ele fiind finita , dar functia un este derivabila in x 0 , atunci se spune ca x 0 este punct unghiular al graficului lui f . - Intr-un punct unghiular cele doua semitangente , la stanga si la dreapta , formeaza un unghi α ∈ ( 0, π ) .

Problema

1 :

- Fie f : E → R si x 0 ∈ D f ;

Derivabilitate


-9

- Graficul functiei f admite tangenta in punctul T ( x0 , f ( x0 ) ) ∈ G f ( neparalela cu axa Oy )

a carei ecuatie este :

y − f ( x0 ) = f ( x 0 ) ⋅ ( x − x0 ) , x ∈ R '

- Daca f ( x0 ) '

- Dreapta y

=0

.

, atunci tangenta este paralela cu axa Ox . In acest caz y

− f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )

= f ( x0 )

.

poate fi tangenta la G f si in cel putin un punct

T 1 ∈ G f , T 1 ≠ T !

Problema

2 :

- Pentru a determina determina ecuatiile tangentelor la graficul unei functii f : E → R paralela cu o directie data m ∈ R , se procedeaza astfel :

•se rezolva ecuatia f ( x ) = m , unde x ∈ D f ; •daca x k ' , k ∈1, n sunt radacinile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la '

'

G f , paralele cu directia data , sunt : y − f ( x'k ) = m ( x − x'k ) , Problema

k ∈1, n .

3 :

- Pentru a determina determina ecuatiile tangentelor duse dintr-un punct P ( α , β ) ∉ G f la graficul

functiei f : E → R , se procedeaza astfel :

•se rezolva ecuatia β − f ( x ) = f ( x ) (α − x ) , x ∈ D f ; •daca x k ' , k ∈1, n sunt zerourile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la G f , duse din punctul P ( α , β ) ∉ G f , sunt : '

'

y − f ( x k ) = f ( x k ) ( x − x k ) ,

k ∈1, n .

'

Problema

4 :

- Graficele a doua functii f , g : E → R sunt tangente daca exista x0 ∈ D f

incat f ( x0 )

= g ( x0 )

si f ( x0 ) '

= g ' ( x0 )

'

 D g '

astfel

, ceea ce inseamna ca functia :

h : E → R , h( x ) = f ( x ) − g ( x ) are proprietatea ca :

{ x ∈ E h ( x ) = 0 } ∩ { x ∈ D

h

'

' h ( x ) = 0

}≠Φ

functia h are cel putin un zero multiplu .

Derivabilitate


- 10

- Daca exista x 0 ∈ E pentru care f ( x0 )

= g ( x0 )

si functiile f si g au derivata in punctul

sunt infinite si egale ( x0 ∉ D f ∪ D g ) , atunci si in acest caz G f si G g sunt tangente x0 si acestea sunt '

'

in punctul ( x0 , f ( x0 ) ) , insa tangenta comuna este paralela cu axa Oy : x

= x0

.

Exercitiul nr. 1 : Sa se scrie ecuatiile tangentei la graficele functiilor f : R → R indicate in punctele

x0 respective : a). f ( x )

= x2 , x0 = 2

c). f ( x )

= ( 2 x +1 ) , x0 = 4 2

; ;

b). f ( x )

= x3 − x , x0 = 1

d). f ( x )

= x2 + 5 , x0 = 2

; ;

Derivabilitate


e). f ( x )

- 11

= sin x , x0 = 0

= x + sin x , x0 = π

f). f ( x )

;

.

Exercitiul nr. 2 : Sa se determine punctele unghiulare sau punctele de intoarcere pt. functiile f : R → R : a). f ( x )

c).

= x x − 2

 f ( x ) =  

, daca x < 1

0 3

( x −1)

b). f ( x )

;

2

, daca x ≥ 1

;

= 3 ( x −1) 2

d). f ( x ) =

x − 1 x + 1

;

.


 x2 − 3 x + 2 , daca x > 0 f : R → R , f ( x ) =  0 , daca x ≤ 0 

. Sa se studieze derivabilitatea lui

f si sa se determine punctele unde tangenta la grafic trece prin origine . Exercitiul nr. 4 : Sa se determine tangentele la graficul de ecuatie y pentru y

= x3 + 1

= ( x +1) 2

care trec prin origine . Idem

.

Exercitiul nr. 5 : Sa se determine a ∈ R a.i. tangenta la graficul functiei f ( x )

=

a x + 1 2

in punctul (1, f (1) )

sa formeze cu directia pozitiva a axei Ox un unghi de 450 .

Exercitiul nr. 6 : Sa se determine tangentele tangentele la graficul functiei f : R − { 0} trece prin punctul A( 2,2 ) .

→ R , f ( x ) =

2 x + 1

x

care

Exercitiul nr. 7 : Fie f : R → R , f ( x )

=

mx x + 1 2

. Sa se determine parametrul real m astfel incat

tangenta la grafic in punctul de abscisa 2 sa fie paralela cu a doua bisectoare ( dreapta y este cunoscuta sub numele de a doua bisectoare ).

= − x

Exercitiul nr. 8 :

Derivabilitate


Fie functiile f ( x )

- 12

= 2ax2 + bx − 1

, g ( x )

=

x + 1 x

. Sa se determine a si b astfel incat

graficele celor doua functii sa admita tangenta comuna in punctul de abscisa 1 .

Exercitiul nr. 9 : 2 2 Fie f , g : R → R , f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = − x − 4 x + m astfel incat graficele functiilor f si g sa admita o tangenta comuna intr-un punct comun . Exercitiul nr. 10 : Scrieti ecuatiile tangentelor la graficul functiilor urmatoare in x 0 :

1 − x

a). f ( x )

=

c). f ( x )

= x2 + 2 x −1 , x0 = 1

1 + x

, x0 = 0

;

;

b). f ( x )

=

d). f ( x )

=

1 x −1

2 1

x

, x0 = 1

, x0 = 2

;

.

Exercitiul nr. 11 : Sa se determine un punct apartinand graficului functiei f : ( 0, ∞ )

→ R , f ( x ) = ln x − 2

in care tangenta la graficul acesteia este paralela cu prima bisectoare a axelor de coordonate .

Exercitiul nr. 12 : Sa se scrie ecuatia tangentei dusa din originea axelor de coordonate , la curba de ecuatie

y = x2 − x +1 . Exercitiul nr. 13 : Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curbele de ecuatii y

= x4 − 4 x3 + 9 x2 − 7 x + 2

si y

= x3

in punctele comune acestora .

Legat de functiile derivabile derivabile are loc urmatorul rezultat important important dat de :

Teorema : Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct . Derivabilitate


- 13

Observatii ( important ) : 1). Functie derivabila intr-un punct 2). Functie continua

⇒

3). Functie discontinua

⇒

functie continua in acel punct .

nu neaparat derivabila in acel punct .

⇒

functie nederivabila .

Concluzie privind derivabilitatea : Se poate pune problema derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca : 1). Functia este definita in acel punct . 2). Functia este continua in acel punct . 3). Functia este derivabila daca :

lim

x → x 0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

exista in R si este finita .

Exercitiul nr. 1 : Sa se determine parametrii reali m , n astfel incat functiile urmatoare sa fie derivabile in punctele indicate : 1). f : R → R ,

 x2 + mx + n , x ≤ 2 f ( x ) =  , x0 = 2 , + > x 2  nx m

;

2). f : R → R ,

1  , x < 0  mx + n , x0 = 0 f ( x ) =  1  , x ≥ 0  x2 − 9 x + 21

;

3). f : R → R , f ( x )

 mx + n , x > 1 , x0 = 1 = 2 + , ≤ 1 x  x 1

;

Derivabilitate


- 14

4). f : R → R ,

 x2 + mx + n , x > 0 , x0 = 0 f ( x ) =  sin , ≤ 0 x x 

5). f : R → R ,

2 x , x ≤ 0  me f ( x ) =  , x0 = 0 sin 2 x + n cos 3 x , x > 0 

6). f : R → R ,

 x4 + mx + 2 , x < 0 , x0 = 0 f ( x ) =  4  n + ln (1 + x ) , x ≥ 0

;

;

.

Exercitiul nr. 2 :

1   x cos , x ≠ 0 Sa se arate ca functia f : R → R , f ( x ) =  x  0 , x = 0 dar un este derivabila in x

=0

este continua in x

=0

.

Exercitiul nr. 3 : Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei f : R → R ,

 x4 , x ∈ Q f ( x ) =  2  2 x , x ∈ R \ Q

.

Fie f : E → R si I un interval din E .

Definitie : Se spune ca functia f este derivabila pe intervalul I daca este derivabila in fiecare punct al intevalului I .

Observatii : 1). Daca f este derivabila pe tot domeniul sau de definitie , vom spune mai simplu , ca f este derivabila , fara alta explicatie legata de multime . 2). Daca notam cu D f submultimea lui E formata din toate punctele x ∈ E cu proprietatea '

Derivabilitate


- 15

ca f este derivabila in punctul x , daca D f

'

= x ∈ E ∃ f ' ( x ) si f ' ( x ) ∈ R

defini pe D f cu valori reale , care asociaza fiecarui punct x '

∈ D f

'

atunci se poate '

numarul real f ( x ) ,

' x ∈ D f , x → f ( x ) ∈ R '

'

Aceasta functie se noteaza cu f si se numeste functia derivata a lui f sau simplu derivata

lui f . '

Procedeul prin care se obtine f din f se numeste derivare . 3). Este clar ca D f ⊆ E . Nu are sens sa se vorbeasca de derivabilitatea unei functii in puncte care nu se afla in domeniul de definitie al functiei . '

Derivabilitate

Cap IV - Functii Derivabile

Recommend Documents