FUNCTII ELEMENTARE IN R 1 Functia constanta f : R → R , f(x) = c; Imf = {c}, Gf = {(x, c) x ∈ R}
2 Functia identica
f : R → R , f(x) = x; Imf = R, Gf = {(x, x) x ∈ R} -interpretarea geometrica a graficului functiei identice este prima bisectoare -functie strict crescatoare, bijectiva, inversabila.
3 Functia putere a ) f : R → R, f(x) = x n pentru n - impar : Imf = R, strict descrescatoare pentru n - par : Imf = (0,+∞), pt x ∈ (-∞,0) strict dercrescatoare pt x ∈ (0,+∞) strict crescatoare m
b) f : R → R , f(x) = x n ; Imf = (0,+∞) c) f : R → R, f(x) = x α Imf = (0,+∞) f : Df → R, f(x) = n x pentru n - par : Df = [0,+∞) Imf = [0,+∞) strict crescatoare, bijectiva, inversabila. pentru n - impar : Df = R Imf = R strict crescatoare, bijectiva, inversabila.
4 Functia radical 5 Functia polinomiala Cazuri particulare • Functia polinomiala de gradul I f(x)=ax+b functie bijectiva, inversabila a>0 – strict crescatoare; a<0 – strict descrescatoare Gf – o dreapta b Gf ∩ OX = A − ,0 f : R → R, f(x) = a n x2na + an -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0
Gf Gf ∩ OX ⇒ =f (Bx()0,=b0) ; ∩ OY pt n impar exista cel putin un punct de intersectie Gf ∩ OY ⇒ f (0) = a 0 ;
• Functia polinomiala de gradul II Semnul functiei de gradul II:Intre radacinile ecuatiei f(x)=0 semnul este opus lui a; In afara radacinilor acelasi semn cu a; f(x) = ax 2 + bx + c ∆ Imf : pt a > 0 Imf = − ,+∞ 4a ∆ pt a < 0 Imf = - ∞, - 4a b Monotonie pt a > 0 : x ∈ - ∞,- - strict descrescotoare 2a b x ∈ - ,+∞ - strict crescatoare 2a b pt a < 0 x ∈ - ∞,- - strict crescotoare 2a b x ∈ - ,+∞ - strict descrescatoare 2a Gf ∩ OX : ∆ > 0 ⇒ A(x 1 ,0), B(x 2 ,0) ∆ = 0 ⇒ A(x 1 ,0) ∆ < 0 ⇒ Gf ∩ OX = Φ;
6 Functia exponentiala f : R → (0,+∞), f(x) = a x pentru a > 1 - strict crescatoare, bijectiva si inversabila; - lim a x = 0 x →- ∞
- lim a x = +∞ x → +∞
- Semidreapta negativa OX ' asimptota orizontala spre - ∞ - Gf ∩ OX = φ ; Gf ∩ OY = A(0,1);
pentru 0 < a < 1 - strict descrescatoare, bijectiva si inversabila - lim a x = + ∞ x →- ∞
- lim a x = 0 x → +∞
- Semidreapta pozitiva OX asimptota orizontala spre + ∞ - Gf ∩ OX = φ ; Gf ∩ OY = A(0,1); Functia exponentiala este convexa;
7 Functia logaritm f : (0,+∞) → R, f(x) = log a x . prntru a > 0 - strict crescatoare, bijectiva si inversabila - lim f(x) = -∞, lim f(x) = +∞ x →0
x → +∞
- semidreapta negativa OY ' asimptota verticala prntru 0 < a < 1 - strict crescatoare, bijectiva si inversabila - lim f(x) = +∞, lim f(x) = −∞ x →0
x → +∞
Functia logaritm este concava. Gf ∩ OX = A(1,0), Gf ∩ OY = φ .
8 Functia rationala p(x) q(x) p, q - functii polinomiale Df = R - { x i / x i ∈ R, q(x i ) = 0}
f : Df → R, f(x) =
9 Functii trigonometrice sin : R → [-1,1] cos : R → [−1, 1]
π tg : R - (2k + 1) → R 2 ctg : R - { kπ } → R
Gsin ∩ OY = O(0,0) Gcos ∩ OY = B(0,1) π Gtg ∩ OX = A k kπ + ,0 2 π Gctg ∩ OX = A k kπ + ,0 sin, tg, ctg - functii impare2 Gtg-∩functie OY = para O(0,0) cos Gctg = φsin si cos T = 2∩ π OY pentru T = π pentru tg si ctg Gsin ∩ OX = A k (kπ ,0)
π Gcos ∩ OX = A k kπ + ,0 2 Gtg are o infinitate de asimptote verticale.Toate dreptele verticale care trec prin punctele 2kπ +1. Gctg are o infinitate de asimptote verticale.Toate dreptele verticale care trec prin punctele kπ . π π pe intervalul − , tangenta strict crescatoare 2 2 pe intervalul (0, π ) cotangenta strict descrescatoare
10 Functii trigonometrice inverse π π arcsin : [-1,1] → − , 2 2 π π arctg : R → − , 2 2 arccos : [-1,1] → [ 0, π ] arcctg : R → (0, π arcsin(-x)=-arcsinx arctg(-x)=-arctgx arccos(-x)=π -arccosx arcctg(-x)=π -arcctgx arcsin,arctg-strict crescatoare arccos,arcctg-strict descrescatoare
