UNIVERSITETI PËR BIZNES DHE TEKNOLOGJI FAKULTET FAKU LTETII PËR MENAXHMEN MENAXHMENT, T, BIZNES DHE DHE EKONOMI
Armend SHABANI
CALCULUS (versioni i parë)
Prishtinë, 2007
1 Numrat e plotë. Veprimet me thyesa Të njehsohet vlera e shprehjeve: 2) 2 {( 21 21) ( 11 11) ( 6) 6) ( 8) 8) ( 4) 4)}. Shembulli 1. ( 2)
Zgjidhja. ( 2) 2) 2 {( 21 21) ( 11 11) ( 6) 6) ( 8) 8) ( 4) 4)}
2 2 { 21 11 6 8 4 } 2 2( 26 26) 2 52 50. Shembulli 2. [3 (21 ( 4 )] [24 ( 12) 36 7]. Zgjidhja. [3 (21 ( 4 )] [24 ( 12) 36 7]
[3 21 4 ] [24 12 36 7] 28 ( 7) 28 7 21. Shembulli 3. 2 ( 1)2 3 ( 2) 3 ( 2) ( 3) 2. Zgjidhja. 2 ( 1)2 3 ( 2) 3 ( 2) ( 3) 2
2 ( 1) 1) ( 1) 1 ) 3 ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 3) 3 ) ( 3) 3) 2 3 ( 8) ( 2) 9 2 24 18 20 24 4 . Shembulli 4. ( 4 (7 ( 5)) ( 6). Zgjidhja. ( 4 (7 ( 5)) ( 6)
( 4 7 5) 6 ( 9 7) 6 2 6 8.
1 Numrat e plotë. Veprimet me thyesa Të njehsohet vlera e shprehjeve: 2) 2 {( 21 21) ( 11 11) ( 6) 6) ( 8) 8) ( 4) 4)}. Shembulli 1. ( 2)
Zgjidhja. ( 2) 2) 2 {( 21 21) ( 11 11) ( 6) 6) ( 8) 8) ( 4) 4)}
2 2 { 21 11 6 8 4 } 2 2( 26 26) 2 52 50. Shembulli 2. [3 (21 ( 4 )] [24 ( 12) 36 7]. Zgjidhja. [3 (21 ( 4 )] [24 ( 12) 36 7]
[3 21 4 ] [24 12 36 7] 28 ( 7) 28 7 21. Shembulli 3. 2 ( 1)2 3 ( 2) 3 ( 2) ( 3) 2. Zgjidhja. 2 ( 1)2 3 ( 2) 3 ( 2) ( 3) 2
2 ( 1) 1) ( 1) 1 ) 3 ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 2) 2 ) ( 3) 3 ) ( 3) 3) 2 3 ( 8) ( 2) 9 2 24 18 20 24 4 . Shembulli 4. ( 4 (7 ( 5)) ( 6). Zgjidhja. ( 4 (7 ( 5)) ( 6)
( 4 7 5) 6 ( 9 7) 6 2 6 8.
NUMRAT E PLOTE. VEPRIMET ME THYESA
2 2
2
2
1 2 3 Shembulli 5. . 2 3 2 Zgjidhja. 2
2
2
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 4 9 2 3 2 2 2 3 3 2 2 4 9 4
9 1 4 4 9 9 9 16 81 81 25 81 81 56 28 14 . 36 36 36 36 18 9 2
1 2 3 Shembulli 6 . 4 2 ( 3) 2 2 . 3 3 2
Zgjidhja. 2
1 9 7 8 3 2 4 2 ( 3) 2 2 4 9 3 4 3 3 2 3
9
7 8 78 15 9 18 18 18 5 23 . 3 3 3 3
11 2 Shembulli 7. 11 2
8 3 : 17 . 8 7 3
Zgjidhja. 11 8 33 16 17 17 17 17 6 17 17 7 7 1 2 3 : 17 6 : : 6 : . 11 8 7 33 16 7 49 7 6 49 7 49 17 49 7 2 3 6 6
1 1 1 1 56 34 1 Shembulli 8. : . 1 1 3 12 10 12 3 10 Zgjidhja.
1 1 1 1 6 5 4 3 1 7 5 6 3 4 1 30 12 12 30 12 12. : 1 1 3 1 0 3 3 1 3 3 12 1 12 3 10 12 30 30 12
CALCULUS
3
30 7 12 1 7 7 12 7 4 28 12 12 . 30 13 3 12 13 3 13 3 13 1 13
3 5 3 5 6 3 5 14 6 Shembulli 9. . 5 5 21 4 2 Zgjidhja. 3 5 33 45 35 462 225 35 237 35 3 6 3 5 5 14 6 5 14 6 70 6 70 6 84 5 5 79 5 79 5 5 5 21 4 2 4 2 4 2 4 2 237 1 237 237 8 237 2 474 . 2 6 12 74 5 395 395 12 395 3 1185 4 2 8 Shembulli 10.
(7.3 2.9) . 2.2
Zgjidhja. Mënyra e parë:
Kryejmë veprimet me numra dhjetor. (7.3 2.9) 4.4 2.5 2 2.5 5 . 2.2 2.2 Mënyra e dytë:
Numrat dhjetor së pari i shndërrojmë në thyesa e pastaj kryejmë veprimet me thyesa.
73 29 25 73 29 25 44 25 44 25 10 10 10 10 10 10 10 10 10 44 25 50 5 . 10 22 22 22 22 10 10 22 10 10
10
1 0.5 1.7 2 Shembulli 11. . 7 : 0.2 5
10
10
NUMRAT E PLOTE. VEPRIMET ME THYESA
4
Zgjidhja. 1 1.7 0.5 2 7 : 0.2 5
17 1 5 17 5 5 12 5 12 5 10 2 10 10 10 10 10 100 7 2 7 10 7 10 70 : 5 10
60 10 100 70
6 70
3 35
5
2
.
Detyra për ushtrime Të njehsohet vlera e shprehjeve: 1. ( 14 (17 ( 15))) ( 3). 2. ( ( 12) ( 3) ( 5)). 3. ( 11) ( 2) ( 6)). 4. 2( 3 4( (3) ( 5)) 6). 5. 3( 2 4((2) ( 12)) ( 12) 7). 6. (2 ( 3))(3 ( 4)) 3 2( ( 2) ( 4)) 1. 7. 2( 1)2 2( 3)2 3( 2) 3 4( 1) 3. 8. ( 2)2 ( 2)2 3 2 23. 9. ( 2 3( 2) 2 ) (4( 1) 5 2( 2) 3 ). 10. ( 1 2( 3) 2 ) (2( 2) 3 3( 3) 2 ). 2
2
1 2 1 11. . 3 3 9 2
2
2
1 2 1 12. 2 2 ( 3)2 . 2 3 9 3
1 1 13. ( 2)3 3 ( 2)3 1 ( 3) 2. 3 2 14.
1 1 1 . 2 3 6
15.
1 1 1 2 . 3 5 10
10
10
CALCULUS
1 7 5 16. 2 3 1 . 1 7 3 2 3 1 2 1 17. 2 5 : . 1 1 15 15 5 1
2 2 1 1 13 7 3 7 1 18. : . 1 1 4 1 1 21 21 2 5 2 2 1 3 26 1 1 2 13 19. 1 . 1 2 2 2 3 1 : 13 39 5 (2.9 4.6) 2.4 . 2.5
20. 21.
(2.3 ( 2.5 ( 2.2)) 1.2 . 1.5 : 1.3
22.
(1.4 ( 1.5 ( 1.2)) 3.2 . 0.5 : 0.3
5
2 Shprehjet algjebrike 1. VEPRIMET ME SHPREHJE THYESORE Veprimet me thyesa të përgjithshme algjebrike .
1)
p
p t
q t
q
, ( q, t 0) – vlera e thyesës nuk ndryshon nëse numëruesi
dhe emëruesi shumëzohen me të njëjtin polinom (numër) të ndryshme nga zero. 2)
p
p : t
q : t
q
, ( q, t 0) – vlera e thyesës nuk ndryshon nëse numëruesi
dhe emëruesi pjesëtohen me të njëjtin polinom (numër) të ndryshëm nga zero. 3)
p r
q r
pq r
, r 0 – tek shuma (zbritja) e dy thyesave me emërues
të njëjtë, numëruesit e thyesave të dhëna mblidhen (zbriten) kurse emëruesi mbetet i njëjtë. 4)
p r
p r
q s
qs
, ( q 0, s 0) – tek prodhimi i thyesave numëruesit dhe
emëruesit e shumëzohen. 5)
thyesave
të
dhëna
p r p s : , ( q, r, s 0) – herësi i dy thyesave është i barabartë me q s q r
prodhimin e thyesës së parë me vlerën reciproke të thyesës së dytë.
CALCULUS
7
Të thjeshtohen thyesat 2
6a b
Shembulli 1.
21ab
.
3
Zgjidhja. 2
6a b 21ab
3
2a 7b
2
. 4 xy
Shembulli 2.
2
2
16 x y
3
.
Zgjidhja. 4 xy 2
2
16 x y
3
y 4 xy
2
1
.
4 xy
2
12 x p
Shembulli 3.
3
18 xpq
.
Zgjidhja. 2
12 x p
3
18 xpq
2 xp
2
.
3q
( a 3)( x y)
Shembulli 4.
3
( a 3) ( x y) 2
2
.
Zgjidhja. ( a 3)( x y)
3
2 2 ( a 3) ( x y)
Shembulli 5.
x y a 3 2 x
y
.
y 3z 6z
x
Zgjidhja. 2 x
y
y 3z 6z
x
2 x y 3 x
y 6z x
6 6
1.
20 x5 y 4 Shembulli 6. 16 x y : . 2 3 x y 2
3
SHPREHJET ALGJEBRIKE
8
Zgjidhja. 2 2 20 x5 y 4 3x y 3x y 2 3 2 3 16 x y 16 x y : 16 x y 2 3 4 5 4 3 x y 20 x y 20 x y 2
3
16 x y 3 x y 2
3
2
20 x y 5
4x 3 y 4
4
5x y 5
43
4
4
52a 2 b 3 39a 4 b 6 : Shembulli 7. 4 3 7 69 x y 92 x y
5x
12 5x
.
91a 3 b . 2 115 xy
Zgjidhja.
52a 2 b 3 39a 4 b 6 : 4 3 7 69 x y 92 x y
91a 3 b 52 a 2b 3 92 x 3 y 7 52 92 91 a 5b 4 x 3 y 7 . 2 4 4 6 4 6 5 3 69 x y 39 a b 69 39 1155 a b x y 115 xy
3ab 14 x 2 y ab Shembulli 8. : 2 . 2 4 12 xy a b xy Zgjidhja.
3ab 14 x 2 y ab 3ab 14 x 2 y xy 2 3 14 abx 3 y 3 14 x 2 y 2 7 x 2 y 2 . : 2 2 2 3 2 2 2 4 xy 12 a b ab 4 12 a b xy 16 a b 8a b 4 xy 12a b xy x3 y 2 p pxy Shembulli 9. 2 2 : 2 2 . p xy x p Zgjidhja.
x3 y 2 p pxy 2 2: 2 2 p xy x p
x 3 y 2 p x 2 p 2 x 2 xp x 3 . 2 2 p xy pxy p y y
Shembulli 10.
3
5
9
x
x
.
x
Zgjidhja. 3
x
5
9
x
x
3 5 9
x
Shembulli 11.
7
x 3 4
x
. x 1 4
.
Zgjidhja. x 3 4
x 1 4
x 3 1 ( x 1) 4
x 3 x 1 4
4 4
1.
CALCULUS
9
2 x 3
Shembulli 12.
2x 5
4b
4b
2x 7
4b
.
Zgjidhja. 2 x 3 4b
2x 5
2x 7
4b
4b
4a 3b
Shembulli 13.
10
2x 3 2x 5 2 x 7 4b
2a b 5
2 x 15
.
4b
.
Zgjidhja. 4a 3b 10
2a b
4 a 3b 2(2 a b)
5
10 1
Shembulli 14.
6a
3b
a b 2
1 2
6 ab
4 a 3 b 4 a 2b 10
5b 10
b 2
.
2
.
2
Zgjidhja. 1 6a
1 3b
2 2 a b
2
6 ab
2
2b 2a a 2
6ab
2 2 2 b 1 2 a 1 1 ( a b )
6 ab
6 ab
2
2
.
2
x 2 y
Shembulli 15.
2
2 2 2 b 2a a b
2
x y
2x 3y
xy
2
.
Zgjidhja. x 2 y x 2 y
2x 3 y
xy2
y ( x 2 y) x(2 x 3 y) x2 y 2
2 y 2 2 x 2 2 xy 2
x y
2
Shembulli 16 .
2 x 1
x
yx 2 y 2 x 3 xy 2
2
x2 y 2
.
1 2x
2
x2 x
.
Zgjidhja. 2 x 1
x
1 2x
2
6 x 2 x 1
x2 x
2
2 x
2
.
2 x(2 x 1) 1 2 x( x 2) 2x
2
4 x 2 x 1 2 x 4 x 2
2
2x
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
10
2. ZBËRTHIMI I POLINOMIT NË FAKTORË Së pari përkujtojmë se shprehjet 3x 2 x , x 2
1 x 3, x 3 x 1, x 7 x 2 2
paraqesin polinome. Shprehja
n n 1 p ( x) an x an 1 x ... a1 x a0 ,
ku a0 , a1 ,..., an janë numra realë quhet polinom. Ligjet dhe formulat për zbërthimin e polinomit në faktor:
1. Ligji distributiv – faktori i përbashkët nxirret para kllapave ab ac a (b c).
2. Grupimi i anëtarëve
ax ay bx by ax bx ay by ( a b) x ( a b) y (a b)( x y).
3. Katrori i shumës
( a b ) ( a b )( a b ) a 2 ab b . 2
4. Katrori i ndryshimit
2
( a b) ( a b)( a b) a 2 ab b . 2
5. Ndryshimi i katrorëve 6. Kubi i shumës
2
2
2
a b (a b)( a b). 2
2
( a b) ( a b)( a b)( a b) a 3a b 3ab b . 3
7. Kubi i ndryshimit 8. Shuma e kubeve
3
2
3
3
3 3 2 2 a b ( a b)(a ab b ) 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ).
Le të vërtetojmë disa nga formulat e mësipërme: Shembulli 1. Tregojmë se ( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 . Zgjidhja. ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 2
3
(a b) ( a b)( a b)( a b) a 3a b 3ab b .
9. Ndryshimi i kubeve
3
2
2
2
a 3 2a 2 b ab 2 ba 2 2ab 2 b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 . Shembulli 2 . Tregojmë se ( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 .
2
2
3
CALCULUS
11
Zgjidhja. ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 3
2
2
2
(a 2 2ab b 2 )(a b) a 3 a 2b 2 ab 2 ab 2 ab 2 b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 . ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 3
2
2
2
Shembulli 3. Tregojmë se a 2 b 2 (a b)( a b). Zgjidhja. ( a b)( a b) a a a b b a b b a ab ba b 2
2
a 2 b2 . Shembulli 4. Tregojmë se a 3 b3 (a b)( a 2 ab b 2 ). Zgjidhja. ( a b)( a ab b ) a a b ab ba ab b 2
2
3
2
2
2
2
3
a 3 b3 . Shembulli 5. Tregojmë se a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) Zgjidhja. ( a b)( a ab b ) a a b ab ba ab b 2
2
3
2
2
2
2
3
a3 b3 . Shembulli 6. Zbërtheni shprehjen (1 2 x) 3 . Zgjidhja. (1 2 x) 1 3 1 3 1 2 x 3 1 (2 x) (2 x) 3
3
3
2
2
2
1 6 x 3 4 x 2 8 x 3 . Shembulli 7. Të faktorizohet shprehja 13 x 3 . Zgjidhja. 1 x (1 x)(1 1 x x ) (1 x)(1 x x ). 3
3
2
2
Të zbatohen formulat e mësipërme.
x
Shembulli 8.
y
Zgjidhja.
y
: ( x y ) x
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
12
x 2 y 2 ( x y ) x 2 y 2 x y 1 ( x y )( x y ) x y . : ( ) : x y ( x y ) ( xy) xy 1 xy x y y x xy x 2 Shembulli 9. 1 2 y
: ( x y).
Zgjidhja. 2 2 x 2 ( y x)( y x) 1 y x yx 1 : ( ) : ( ) . x y x y 2 2 2 2 y y y x y y
1 1 1 1 : 2 2 . a b a b
Shembulli 10. Zgjidhja.
2 2 2 2 ba a b 1 1 1 1 ba b a 2 : 2 2 : 2 2 ab ab ab b a 2 a b a b
ba
2
ab
ab
2
(b a )(b a)
a
Shembulli 11.
ab b
ba
.
b
2
ab
ab
a ab 2
ab
.
Zgjidhja. a ab b
2
b a ab 2
ab ab
a
1
a ab 2
a (a b)
2
ab(a b)
a b a b
2
Shembulli 12.
b
b (a b )
a b (a b)(a b) 2
2
2
a ab 3
2
a b a b ab 2
ab
2
ab(a b) 2b
ab
2
2a
2
ab( a b)
2a
b( a b)
.
Zgjidhja 1
a ab 2
2b
a ab 3
1
a ( a b)
2
ab a b ab 2
2
2b
a( a b)( a b)
1
a (a b)
ab ab( a b)
2 2 2 2 ba b 2b (a 2ab b )
ab(a b)( a b)
2b
a (a b ) 2
ab ab(a b)
b( a b) 2b ( a b) 2
ab( a b)( a b)
ba b 2b a 2ab b 2
2
2
2
ab( a b)( a b)
2
2
.
CALCULUS
13
ab a 2 a (b a ) 1 ab(a b)( a b) ab( a b)( a b) b( a b) Shembulli 13 .
ab a
.
3b 1 . 2 3 b b 1 b 1 b 1 :
Zgjidhja
3b 3b ab a 1 1 : 2 3 2 2 2 b b 1 b 1 b 1 b b 1 b 1 (b 1)( b b 1 1 ) ab a
:
1 3b 2 2 b b 1 b 1 (b 1)( b b 1) ab a
:
b 2 b 1 3b : 2 2 b b 1 (b 1)(b b 1) ab a ab a
b 2b 1 2
:
b b 1 (b 1)(b 2 b 1) 2
ab a b b 1 2
(b 1)(b b 1) 2
b 2b 1 2
(ab a)(b 1)
b 2 2b 1
a(b 1)(b 1)
b 2 2b 1
Shembulli 14. 1 a
2 a( b 1)
b 2 2b 1
1 1 : 1 2 1 a 1 a
2 2 a( b 2 b 1 1 )
b 2 2b 1
.
Zgjidhja. 2 1 1 (1 a)(1 a) 1 1 a 1 1 a : 1 : 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 1 a 2
1 a 1 a 2
1 a
2
2a
2
2a
1 a 16 x x
x 4 2
2
1 a
(1 a)(1 a)
Shembulli 15 .
Zgjidhja.
2
2
1 a
2
2a
2
1 1 a
1 a . 3 2x 2 x
2 3x
x2
.
1 a 1
2
a.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
14
16 x x
x 4 2
2
3 2x 2 x
16 x x
2 3x
x2
( x 2)( x 2) 2)
2
( x 2)( x 2)
3 2x
2
16 x x
( x 2)
2 3x
x2
3 2x
x 2
16 x x
2 3x
x2
2
( x 2)( x 2) 2)
3 2x
x2
2 3x
x2
16 x x ( x 2)(3 2 x) ( x 2)( 2 3 x) 2
( x 2)( x 2) 16 x x (3 x 2 x 6 4 x) ( 2 x 3 x 4 6 x) 2
2
( x 2)( x 2) 16 x x (7 x 2 x 6) (8 x 3 x 4) 2
2
2
( x 2)( x 2) 16 x x 7 x 2 x 6 8 x 3 x 4 2
2
2
x2
2
( x 2)( x 2) 5x 1 0 ax 5a 2 2 ax ax a x
Shembulli 16 .
( x 2)( x 2)
1
x2
2 ax x a : 2 2 a x a x a x
.
.
Zgjidhja. 5x 10 ax 5a 2 2 ax ax a x
2 ax x a : 2 2 a x a x a x
5a a 5x 10 x 2ax x : a x a x ( a x )( a x ) a x a x ( a x )(a x )
5a(a x) 5 x( a x) 10 ax a( a x) x( a x) 2 ax : ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x a x 5a 2 5ax 5 xa 5 x 2 10 ax a 2 ax xa x 2 2ax : (a x)( a x) ( a x)( a x) 2 5a 2 10 10ax 5 x ( a x)( a x) : 2 2 ( ) ( ) a x a x a 2 ax x
5( a 2 ax x ) 2
2
a 2ax x 2
Shembulli 17. Zgjidhja.
2
4a
5( a x) ( a x) 2
10ab 25b
2
2
2
.. 25b
2
4 a 10 ab 2
2a 5b
5b 2a
.
CALCULUS
4a
15
2
10ab 25b
2
4a
25b
2
4 a 10 ab 2
2
5b(2 a 5b)
25b
2a
2
2a 5b
5b 2a
10ab( 2 a 5b) 8a 125b 4 a (2 ( 2 a 5b) 25 25b (2 (2 a 5 b) 3
2
2
10ab(2 a 5b) 8a 125b 8a 20 a b 50 ab 125b 3
3
2
2
3
10ab(2 a 5b) 20a b 50 ab 2
5b
2
3
5b
2a 4 a 5b 25 2 5b 2 a(2 a 5b) 2 a 5 b( 2 a 5 b)5 b
3
2a
2 a( 2 a 5b)
2
10ab(2 a 5b)
Shembulli 18.
10 ab( 2 a 5b)
2
10 ab( 2 a 5b) 1
x 6 x 9 2
2
x 9 2
1.
1
x 6x 9 2
.
Zgjidhja. 1
x 6 x 9 2
2
x 9 2
1
x 6x 9 2
1 ( x 3) 3)
( x 3) 2( x 3)( x 3) ( x 3) 2
( x 3) ( x 3) 2
2 ( x 3) 3)( x 3) 3)
2
2
2 2 2 2 2 2 x 2 x 3 3 2( x 3 ) x 2 x 3 3
( x 3) ( x 3) 2
2
x 6 x 9 2 x 18 x 6 x 9 2
2
2
2
( x 3) 3) ( x 3) 3) 2
3a 2b
Shembulli 19.
3a 2b 2 2 9a 4b 9a 4b 2
2
2
3a 2b 3a 2b . 2 2 9a 4b 9 a 4b 2
2
4x
2
( x 3) 3) ( x 3) 3) 2
2
.
1 ( x 3) 3)
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
16
Zgjidhja. 3a 2b
3a 2b 2 2 9a 4b 9a 4b 2
2
(3a 2b) (3a 2b) 2
3a 2b
2
(3a 2b)(3a 2b) 3a 2b 2 2 2 2 2 2 2 2 9 a 4b (9 a 4b ) (9 a 4 b ) 9 a 4b 2
(9 a 4b )(9 a 4 b )
2
2
2
2
2
(3a) 2(3a)( 2b) ( 2 b) ((3 a) 2(3 a)( 2 b) ( 2 b) ) 2
2
2
2
(3a 2b)(3a 2b) (9a ) 2(9 a )( ) (4b ) (4 (4 b ) ((9 a ) 2 9 a 2 9 a 4 b ( 4 b ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(9a 4b )(9 a 4b ) 2
2
2
2
(3a) 2(3a)( 2b) ( 2 b) (3 a) 2(3 a)( 2 b) ( 2 b) 2
2
2
(3a 2b)(3a 2b) (9a ) 2(9 a )( ) (4b ) (4 (4 b ) (9 a ) 2 9 a 4 b (4 b ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(3a 2 b)(9 a 4b ) 2
2
12ab 12ab 24ab 2 2 (3a 2b)(3a 2b) 9 4 a b 2 2 2 2 72a b 72a b 14 a 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (9a 4b )(9 a 4b ) (9 a 4 b )(9 a 4 b ) 24ab(9a 2 4b 2 )(9 a 2 4b 2 ) 9 a 2 4 b 2 . 2 2 2 2 6 ab 144a b (9a 4b ) Shembulli 20.
x 1 4 x x 3
1 2 x 1
2x 4 x 4 x 1 2
.
Zgjidhja. x 1 4 x x 3
1 2x 1
2x 2
x 1 x (2 x 1)( 2 x 1)
1 2 x 1
x 1 2 x( 4 x 1)
1 2 x 1
2x (2 x 1) 1)
2x (2 ( 2 x 1)
2
(2 x 1)( x 1) x( 2c 1)(2 x 1) x( 2 x 1) 2 x 2 x(2 x 1) ( 2 x 1)
2 x 2 x x 1 x( 4 x 1) 2 x (2 x 1) 2
2
x (2 x 1) 2 ( 2 x 1) 2 x x 1 4 x x 4 x 2 x 3
4x 4x 1
2
2
3
x(2 x 1) ( 2 x 1) 2
2
1 x( 2 x 1) (2 x 1) 2
.
2
2
2
2
CALCULUS
17
Detyra për ushtrime Të thjeshtohen thyesat
1. 4.
2
6ac 3
14a bc
4ab c
2.
;
( a b)( x 1)
3
2
x( a 2 y )
5.
;
3
7 ab p
3.
;
2
12a b c
2
3( a b) ( x 1)
2
3
2
.
21abp
2 2 x y ( x 1)
6.
;
2a 4ay
3
7 x y ( x 2 x 1) 2
3
2
;
Kryeni veprimet me polinome:
7. a) 8. a) 9. a) c)
2a b 4 1 9a
3
x x
6
b)
;
2
b)
;
4 1 x
2
2
xx
2
x(2 x 2 x 3)
; b
x 1
x 1 3
1
x 6 x 9 2
x 1
4 x x 3
1
2
x 9 2
1 2x 1
x 4 x
x 1 x x 3
1
3a
2
2b 3a 6 ab
x
2
x 36 2
x x 1 2
x 6x 9 2x
4x 4x 1 2
x 1 x6
x y 2
x y
x y 2
y x
.
( x 3) 25
c)
;
2x 1
x6
(2 x 4)( x 1) 2
.
;
.
1 2
c)
;
2
( x x 1)( x 1)
;
;
b)
;
2 3 1 3x x : 12. a) 2 3 x x 1 x 1 x 1 2
2a
2
2 1 x x 2 x 2 c) 1 ; x 1 2 x 1 2 x 2
1
x 4 x
x 1
2
2 x
11. a)
3a 2b
2
3a 1
10. a) b)
x 3 x y 3 y 2 y 1 y 1 y 1 4
x 1
x 1
;
ab ac b . d) 2 a a bc b 2
;
x y 2
b)
2
1 6m 9m
x y 4
2
:
4
1 18m 81m 2
4
.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
18
( a b)
ab
3ab 2 ( a b)
13. a)
3a 2b
3
ab
1
9 a 4b 2
a b 14. a) 2 :
a
a ab b
b
3a 2b 2 2 9a 4b
b)
;
2
2
ab
2
; 2 a ab b
2 1 1 2a 3a 2 1 . b) a 3 2 a a 1 a 1 a 1 1 a
Të thjeshtohen shprehjet:
15.
3 y ((2 y 1) y 1) y(1 y y ) y y .
16.
2 x a a (1 2 x ) ( a x( x a)).
17.
(2 x ( x 1) ( x 3)2 x 2 x )(3 x) 3 x .
18.
( x 1)(1 x x x x ) ( x 1)(1 x x x x ) .
19.
( x y z )( x y ) ( y x z )( z x) ( z x y)( y z) .
20.
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) .
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
4
5
2
Të thjeshtohen shprehjet:
21.
( y 2)( y 2) ( y 3)( y 3) y(2 y 1) 4 .
22.
(5a b 1)(5a b 1) 24( a 1) b 1 .
23.
( x 2 y ) ( x 2 y ) .
24.
(2 x 1)(2 x 1)(4 x 1).
25.
(a b c ) ( a b c) .
26.
(a 2b c) ( a 2b c) .
27.
( x y ) ( x y) .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
1 1 28. b y b y . 2 2
29.
(a b c ) ( a b c) . 3
3
2
3
4
3a 2b 3a 2b . 2 2 9a 4b 9 a 4b 2
2
CALCULUS
30.
19
(a b) 2 ac 2( a b) 2bc ( c 1) . 2
2
Të kryhen veprimet me shprehjet algjebrike: x y 2
31.
2
ab
b
x y x y
x xy
4x 4 y
2
32.
7 x 7 y 2
x y
2
x y
2
2
34.
2
4
36.
14a b
a b
2
2
2
2
3
2
3
21a b 2
35. 37.
. 2
4 xy 2
2 xy x y 2
a b 4
a 2ab b 2
2
46.
2
3
2
3
3
2
x y
4
x y 2 xy xy x 2
3 y
2
x xy 4
x y 2 y
3
3
2
x y 2
x x y y x 2
43.
. 2
45.
.
y 3
41.
.
2
m ( a c) m ac m a 2
( mn n ) 2
9cx
3
16ab
2
1
x xy 2
2
2
3
a ab 2
4by
2
3ax
2
.
. 2
x xy y
2
2
a b
a 2ab b a ab b
2
.
a b 3
2
.
3
ab(a b)
2
2
15 x 15 y
3
2
2
3 x 3 y
a b
m n
cxy
2 x 2 y
2
:
2
2ab
mn m
3
2
3
m m(a b) ab m c
3
47.
34.
.
( x 3 xy( x y) y )( x y )
2
m n
2
( x y ( x y ))( x y )
4
44.
39.
.
4
2
42.
a b 2(a b) : . 2 a bc abc
3
x y
2
40.
33.
.
x xy
10 x y
a b
3
: ( x y ).
2
2
33.
2
x y 4 y 2
38.
3
.
3
2
5 xy
a
ab
3
.
ab ad ba ad . bc cd bc cd 2 2 2 2 a b ab x y 2 xy
x y 2
.
2y 2 xy 4 y . 2 4 2 y 2 x xy ( x y)( x 4)
2
a b 3
3
.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
20
1
48.
ab 1
1
1
a b a. 1 b a b a b
49.
a 1
a
1
bc 1
b2 c2 a 2 1 2bc
bc 2
2 1 1 x 4 50. 2 . 2 2 4 x x x 4 x 16 x 16 4 x x 4 2
(a b) 2 ( a b) 2 1 1 4 2 2 4 ab ab ( ab ( a b) )(( a b) ab) . 51. 3 3 ( a b) 3ab( a b) ( a b) 3 ab( a b) y 2 x 2 m n x mn . 52. 2 2 2 m n x y n m y
53.
3 2 x 9 y x x 3 y
x 3y 2 2 2 2 9 y x x 3 xy 3 xy x
x x 54. 2 2 2 ( x y) x y
55.
( a b)
a
56.
a
ab
y 2 2 xy x 2 y . 2 x x y
3a b a a . 2 2 2 b a ab ( a b) b ab
1 y xy
2
2ab
2ab a b . 2 2 2 2 b a ab ba a b
x y x y x . 2 2 x x y ( x y ) xy y x y 2
57.
2
.
.
3 Barazimet lineare 1. BARAZIMET LINEARE ME NJË TË PANJOHUR Barazimi (ekuacioni) (1)
ax b
paraqet formën e përgjithshme të barazimit linear me një të panjohur. Në relacionin (1) e panjohura është x. Numri z është zgjidhje e barazimit (1) nëse a z b. Nëse
a0
barazimi (1) ka vetëm një zgjidhje
x
b a
.
b
Vërtetë a b. a
Nëse a 0 dhe b 0 merret 0 x b, b 0, gjë që nuk është e mundur. Në këtë rast themi se barazimi (1) nuk ka zgjidhje (ose themi se është i pamundur). Nëse a 0, b 0, merret 0 x 0 dhe këtë barazim e plotëson çdo numër real x. Në këtë rast themi se barazimi (1) ka pakufi shumë zgjidhje (ose themi se barazimi është i pacaktuar). Të zgjidhen barazimet: Shembulli 1. x 4 2 x 7. Zgjidhja.
BARAZIMET LINEARE
22
Përkujtojmë se gjatë zgjidhjes së barazimeve, të panjohurat i vendosim në njërën anë të barazimit (zakonisht në anëne majtë) dhe të njohurat në anën tjetër. x 4 2 x 7 x 2 x 4 7
x 11 x 11.
Prova. 11 4 2 11 7 15 22 7 15 15.
Shembulli 2. ( x 3) 2( x 1) 5. Zgjidhja. ( x 3) 2( x 1) 5
x 3 2 x 2 5
x 5 5 x 0 x 0.
Shembulli 3. 3 x ( x 2) 12( x 3). Zgjidhja. 3 x ( x 2) 12( x 3) 3 x x 2 12 x 36 2 x 2 12 x 36
2 36 12 x 2 x 10 x 34
x
34 10
17 5
. 1
3
2
2
Shembulli 4. 4 y ( y 1) Zgjidhja. 4 y
1 2
( y 1)
3 2
y
y.
CALCULUS
23
4 y
1
4 y
1
y
1
y
3
2 2
2
2 4 y 2
y
3 2
y
2
8 y y 3 y
y
1 2
1 2
1
2
1 4
.
Shembulli 5.
x 1 3
x
x 1 4
x
. 2
Zgjidhja. Të dy anët e barazimit
x 1 3
x
x 1 4
x 2
i shumëzojmë me
shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 2,3,4 e që është 12. Merret: x 1 3
x
x 1 4
x 2
12
4( x 1) 12 x 3( x 1) 6 x 4 x 4 12 x 3 x 3 6 x
8 x 4 9 x 3 17 x 7 x
7 17
.
Shembulli 6.
3 x 1 5
2( x 1)
1
3 x ( x 3). 2 5
Zgjidhja. 3 x 1 5
2( x 1)
1
3 x ( x 3) | 10 2 5
2(3 x 1) 10 2( x 1) 5 x 2 3( x 3) 6 x 2 20( x 1) 5 x 6( x 3)
BARAZIMET LINEARE
24
6 x 2 20 x 20 5 x 6 x 18 26 x 18 x 18 27 x 36
x
36 27
4
. 3
Shembulli 7. x
2 3
x
1 4
Shembulli 8. x 7
.
x
3
x
3 x 2 x 5 x 3
x 7
1 4
3
x
1 4
12
4
3 20
2
2
x.
x 2
.
x 2
x
x 7
7
2
20 x 3
x
3
3
2 x 3 x
1
2
Zgjidhja.
Zgjidhja. 2
3
7 | (1)
7 | 2
x 14 .
Shembulli 9. x
1 2
x6
1 2
x
1 3
x 4 6
6 x 3 x 2 x 6
x 6
10
x 60.
3
x 4.
Shembulli 10.
x 8
x 4
Zgjidhja.
Zgjidhja. x
1
10
x 8
x 4
x 12
0
3 x 6 x 2 x 24 7 x 24
0
0 | 24
7 x 0 |: 7 .
Pra x 0.
x 12
.
CALCULUS
25
Shembulli 11.
x 1 5
x2 3
1 5
.
3( x 1) 5( x 2)
15 3 x 3 5 x 10 15
3 x 2
15
3 4
1 15
15
1
3 1 x 2 3 4 5
4
3 1 x 2 3 4 5
3 x 4
1
1
4
4
x 2 5
x2 5
180
20(3 x 4) 45 1 36( x 2) 60 x 80 45 36 x 72 60 x 36 x 72 80 45 24 x 37
x
37 24
3 x 2
x 12
12 x 2 6 .
4
Zgjidhja.
9
12
1 18 1
18
36
7
.
Shembulli 13.
3 x 4
9 x 6 3 x 2
x 1
3 3
x
3(3 x 2) 3 x 2
8 x 14 |: 8
x
1
12
8 x 13 1
8
3 x 1 . 4 12 18
Shembulli 12.
1
3 x 3 5 x 10 1
14
2
Zgjidhja.
Zgjidhja.
x
x
.
Pra x
8 12
2
. 3
BARAZIMET LINEARE
26
x
Shembulli 14. 1
2 3 3
2x 1
2
3 x 1 1 2 5
4
Zgjidhja. 3 x 2 3 1
2 x
5
3 x 1 1 2 5
4
6 x 5 4(3 x 2) 3
3 1
x 2
1
5 12 x 8 3 12 x 8 3
5(6 x 5) 3 30 x 25 3
x 2
x 2
1 1 6
2(12 x 8) 2(30 x 25) 3 x 6 24 x 16 60 x 50 3 x 6 24 x 60 x 3 x 6 16 50 81 x 72 |: 81
x
72 81
8
. 9
Shembulli 15. 2 x 1 3( x 1)( x 1) (3 x 2)( x 1). Zgjidhja. 2 x 1 3( x 1)( x 1) (3 x 2)( x 1) 2 x 1 3( x 1) 3 x 3 x 2 x 2 2
2
2 x 1 3 x 3 3 x x 2 2
2
2 x 3 x 3 x x 2 3 1 2
3 x 0
x 0.
2
CALCULUS
27
Shembulli 16. (2 x 1) 2 (3 x 1) 2 13 x 2 12. Zgjidhja. (2 x 1) (3 x 1) 13 x 12 2
2
2
4 x 4 x 1 9 x 6 x 1 13 x 12 2
2
2
13 x 2 x 13 x 12 2 2
2
2 x 10 10
x
2
5. 1
Shembulli 17.
3x
x
3
2 2
x
1
2
1 3 x 6
3
12
2 3 1.
Zgjidhja. 1
3x
x
3
2 2
2 x 2 3 6
2
3x 2 2 2
2 x
x
1
3x 2 4
1 3 x
3
6
2 3
12
1 3 x 6
1 3x 6
1
x 2 3 12
x2 36
1
1| 36
6(2 x) 9(3 x 2) 6(1 3 x) ( x 2) 36 12 6 x 27 x 18 6 18 x x 2 36 14 x 46
x
46 14
23 7
. 1
Shembulli 18.
3 x
x
x 3
2 5
Zgjidhja. 1
3 x 2 5
x
x 3
5
x 2
11 15
0
x
2 11 0 5 15
BARAZIMET LINEARE
28
2 x 3 x
2 3 x 2 5
x 1 10
x 1 10
6 5
x
x
5x 6 5
11 15
x
11
6
15
x
11 15
0
0
0 | 30
3( x 1) 30 x 5 x 22 0 3 x 3 25 x 22 28 x 19. Pra x
19 28
.
Gjatë zgjidhjes së disa llojeve të barazimeve zbatohet ekuivalenca vijuese: A B
0 A 0 B 0.
Duke zbatuar ekuivalencën e mësipërme të zgjidhen barazimet: Shembulli 19.
x 1 x 2
0.
Zgjidhja. x 1 x 2
0 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 x 1.
Shembulli 20.
x 4 x 1 2
0.
Zgjidhja. x 4 x 1 2
0 x 4 0 x 2 1 0 x 4.
Shembulli 21.
x( x 3) x 9 2
0.
Zgjidhja. x ( x 3)
0 x( x 3) 0 x 2 9 0
x 9 ( x 0 ose x 3 0) ( x 3)( x 3) 0 2
CALCULUS
29
( x 0 ose x 3 0) ( x 3 0, x 3 0) ( x 0 ose x 3) ( x 3, x 3) x 0. Shembulli 22.
3 x 1 2 x
1.
Zgjidhja. 3 x 1
2 x 2 x 3
3x 1
1
2 x
2 x
1 0
3x 1 2 x 2 x
0 3
0 2 x 3 0 2 x 0 x . 2
Shembulli 23.
7 x 1 2 x
2.
Zgjidhja. 7 x 1
2
2 x 5 x 5
2 x
7 x 1 2 x
20
7 x 1 4 2 x 2 x
0
0 5 x 5 0 2 x 0 x 1.
Shembulli 24.
3 x 1
x 3
2x
x 3
.
Zgjidhja. 3 x 1
2x
3x 1
2x
0
x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 0 x 1 0 x 3 0 x 3
x 1 x 3 x 1.
Të zgjidhen barazimet: Shembulli 25.
x 1 x 3
x 3 x 1
Zgjidhja. x 1 x 3
x 3 x 1
2
( x 1) ( x 3)( x 3) 2
( x 3)( x 1)
2
2.
3 x 1 2 x
x 3
0
BARAZIMET LINEARE
30
x 2 x 1 x 9 2
2
( x 3)( x 1)
2 | ( x 3)( x 1), x 3, x 1.
2 x 2 x 8 2( x 3)( x 1) 2
2 x 2 x 8 2( x 3 x x 3) 2
2
2 x 2 x 8 2 x 4 x 6 2
2
6 x 6 8 1 x . 3 2 x 1
Shembulli 26.
2 x 3
3 x 1
3x 2
2 0.
Zgjidhja. 2 x 1
3 x 1
20
2 x 3 3 x 2 (2 x 1)(3 x 2) (2 x 3)(3 x 1) 2(2 x 3)(3 x 2) (2 x 3)(3 x 2)
0
6 x 4 x 3 x 2 6 x 2 x 9 x 3 2(6 x 4 x 9 x 6) 2
2
2
(2 x 3)(3 x 2) 12 x 18 x 5 12 x 26 x 12 2
2
(2 x 3)(3 x 2)
7 8
.
Shembulli 27.
1 x 2 x( x 2)
5 x 2x 4x 2
1
x2
Zgjidhja. 1 x 2 x( x 2) 1 x 2 x( x 2)
5 x 2x 4x 2
5 x 2 x( x 2)
1
x2 1
x2
0
(1 x)( x 2) (5 x)( x 2) 2 x( x 2) 2 x( x 2)( x 2)
3
2
2
3
0 | (2 x 3)(3 x 2), x , x
8 x 7 0.
x
0
0
.
CALCULUS
31
( x 2)(1 x (5 x)) 2 x 4 x 2
2 x( x 2)( x 2) ( x 2)(1 x 5 x) 2 x 4 x
0
2
2 x( x 2)( x 2)
0
4 x 8 2 x 2 4 x 0 2 x( x 2)( x 2) 2 x 2 8 0 | 2 x( x 2)( x 2), x 0, x 2, x 2 2 x( x 2)( x 2)
2 x 2 8 0 |: ( 2) prej nga merret x 2 4 0.
Por x 2 4 0 d.m.th. barazimi nuk ka zgjidhje.
2. ZBATIMI I BARAZIMEVE LINEARE Detyra 28. Një numër është për 24 më i madh se numri i dytë. Nëse
dihet se shuma e tyre është 100, të caktohen ata numra. Zgjidhja.
Le të jetë x numri i parë. Meqë numri x është për 24 më i madh se numri i dytë atëherë numri i dytë do të jetë x 24. Meqë shuma e këtyre dy numrave do të jetë 100 merret x ( x 24) 100 2 x 124 prej nga x 62. Pra, numri i parë është 62, kurse numri i dytë është 62 24 48. Detyra 29. Udhëtari i drejtohet bariut që ruante delet me këto fjalë: “O bari me 100 dele ....”
Bariu ia ktheu: “Nuk janë 100, por sikur të ishin edhe kaq, edhe sa gjysma e tyre, edhe sa çereku i tyre, me mua së bashku do të bënin 100 ”.
Sa dele ka bariu? Zgjidhja.
Le të shënojmë me x – numrin e deleve, dhe le të paraqesim në gjuhën e matematikës atë që tha bariu. ... po të ishin edhe kaq ...,d.m.th. x x
BARAZIMET LINEARE
32
1
... edhe sa gjysma e tyre ..., d.m.th. x x x 2
1
1
2
4
... edhe sa çereku i tyre, d.m.th. x x x x 1
1
2
4
... me mua së bashku, pra x x x x 1 do të bënin 100. D.m.th. merret barazimi x x
1
x
2 x
2
2
x x 4
4 4
4
x 1 100
99
8 x 2 x x 11 x
1
99
99
Pas zgjidhjes merret x 36. Pra, bariu kishte 36 dele. Detyra 30. Mbishkrimi në varrin e matematikanit të njohur të kohës
antike Diofantin ka këtë përmbajtje: “Udhëtarë, Diofanti, një të gjashtën e jetës së tij e kaloi në fëmijëri pa brenga. Një të dymbëdhjetën e kaloi në rini. Një të shtatën e kaloi në martesë pa fëmijë. Pasi kaluan edhe pesë vite, u gëzua për lindjen e djalit i cili për fat të keq jetoi vetëm sa gjysma e të atit. I pikëlluar thellë për të birin vdiq katër vite pas tij ”
Sa vite jetoi Diofanti? Zgjidhja.
Le të shënojmë me x – numrin e viteve që jetoi Diofanti. Merret barazimi: x
x 6
x 12
x 7
5
Pas zgjidhjes merret
x 2
4 .
x 84.
Pra, Diofanti jetoi 84 vite.
CALCULUS
33
Detyra 31. Është dhënë thyesa
3 5
.
a) Cilin numër duhet t’ia shtojmë numëruesit dhe
emëruesit që të merret thyesa
9 10
?
b) Cilin numër duhet t’ia shtojmë thyesës që të merret
thyesa
9 10
?
Zgjidhja. a) Le të jetë x – numri që duhet shtuar numëruesit dhe emëruesit.
Merret barazimi: 3 x 5 x
9 10
10(3 x) 9(5 x) 30 10 x 45 9 x
x 15.
b) Le të jetë x – numri që duhet shtuar thyesës. Merret: 3 5
x
x x
9 10 3 10
9 10
.
3 5
BARAZIMET LINEARE
34
Detyra për ushtrime
Të zgjidhen barazimet:
1. 2 3 x 5. 2.
3 x 4 2 x 6.
3. x 3 3x 1. 4.
2 x (2 x 3) 4 x 1 2 x 3 (7 2 x).
5.
0.2 ( x 1) 0.5(3 x 9)
6.
x 3
2x 1 6
7. 7 2 x 8. 9.
3 x 1 5
7 9 x
10. 11.
x 5 4
x
3
1 3 x 13 x
x7 2
3
7x
5
4 2
2 x 1 3
2
x 3 x 3
3
.
11( x 3) 6
.
6
2 x 1
7
x 2
3x 1
31x 10
4.
x6 5 . 2
2
x
3x 1
3.
2x 7
1
6 x 3
x6
5
x
15.
7x
2( x 3)
3 y 1
14.
2
2
1
2
7
3( x 1)
2
2.
1 .
12. x
13.
3
2 x 1 7 x. 9
4
1
x
1 5 x 24
2.
2
6 x 12
3 x 4 2
3.
1
. 3
CALCULUS
16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
2 x 9 2 x 5 4 x 1
x 4 x 1 2 x 1
35
1 8 x 16 6 x 5 4 x 3 1 4 x 6
3x 2
12(2 x 1)
5 x 8x 4x
7 3x 3 4x
18 x 30 x 2
8 x 12
2
x3
8x
2x 8
.
1
4 8x 7
x 1
. 6
x 1 2 x( x 2)
12 x 30 x 21 16 x 9 2
3(2 x 1) 4x 9 2
1 12 x 20 x 2
1
x 4x 4 2
1
.
2
1
2
x 4
5 x 20
11x 5
6x 4
3 x 12
1
2
2.
5x
3x
0. 3( x 1)
18 x 50 2
1
x 5x 6 2
.
1 6x
0.
0.
24. Një numër është për 18 më i madh se numri tjetër. Nëse shuma e tyre është 62, të caktohen numrat. 25. Shuma e tre numrave është 63. Numri i parë është dy herë më i madh se numri i dytë, kurse numri i tretë është gjashtë herë më i madh se numri i parë. Të cakrohen të tre numrat. 26. Shuma e tre numrave të njëpasnjëshëm është 69. Të caktohen ata numra. 27. Një numër është për 11 më i madh se numri tjetër. Të caktohen të dy numrat nëse trefishi i numrit të madh është për 4 më i madh se katërfishi i numrit të vogël. 28. Të caktohen të gjitha dyshet e numrave të plotë shuma dhe prodhimi janë të barabartë.
( x, y )
për të cilët
4 Fuqizimi dhe rrënjëzimi 1. FUQIA ME EKSPONENTË NUMËR TË PLOTË Le të njehsojmë prodhimin 3 3 3 3 . Vërejmë se numri 3 është përdorur katër herë si faktor. Duke kryer shumëzimin përfundojmë se 3 3 3 3 81. Një mënyrë më e përshtatshme për të shënuar prodhimin 3 3 3 3 është 34. Pra 3 3 3 3 3. 4
Shënimi 34 lexohet: 3 në fuqinë e 4-të Numri 3 quhet baza e fuqisë 34. Numri 4 quhet eksponenti i fuqisë 34. Në shprehjen 34 numri 4 tregon se sa herë baza 3 është përdorur si faktor. Kështu 3 3 3 3 - paraqet formën e zgjeruar 4
3
- paraqet formën e fuqisë
81
- paraqet formën standarde.
Duke u bazuar në shembullin e mësipërm, arrijmë tek rasti i përgjithshëm:
Le të jetë n N . Për çdo numër real
a kemi:
a a a ... a. n
n faktor
Në këtë rast numri a paraqet bazën kurse numri n-fuqinë.
CALCULUS
37
Shembulli 1. Shprehjet vijuese të paraqiten në formë të fuqisë: a) 2 2 2 2 2 ; c)
e)
3 4
1 1 1
;
b)
2 2 2
d) 3 3 ... 3;
;
n faktor
1 1
1
3 3
3
1 1 1 4 4 4
... ;
f ) ... .
m faktor
t faktor
Zgjidhja. a) Vërejmë se baza (numri) 2 është përdorur si faktor pesë herë. Pra kemi 2 22 22 2 . 5
b) Numri
1 2
është përdorur tri herë si faktor, pra kemi 3
1 . 2 2 2 2
1 1 1
c)
Numri
3 4
është përdorur një herë si faktor, prandaj 1
3 . 4 4 3
d) Numri 3 është përdorur n herë si faktor, prandaj 3 3 ... 3 3 . n
n faktor
e)
Numri
1 3
është përdorur m herë si faktor, prandaj m
1 3 3 ... 3 3 . m faktor f )
Numri
1 4
është përdorur t herë si faktor, prandaj
1
1
1
t
... . 4 4 4 4 t faktor
1
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
38
Shembulli 2. Shprehjet vijuese të paraqiten në formën e zgjeruar. 1
a) 3 ;
b) (2 ) 5 ;
1 c) ; 3
d) 4 n ;
e) 5m ;
f ) (6 ) s .
6
Zgjidhja. a) Meqë baza është 3 kurse fuqia 6 , atëherë numri 3 do të jetë 6 herë faktor, prandaj 3 3 3 3 3 3 3. 6
b) Numri 2 do të jetë 5 herë faktor, prandaj (2) ( 2) (2) ( 2) ( 2) ( 2). 5
c)
4 3
Numri do të jetë një herë faktor, prandaj 1
4 4 . 3 3
d) Numri 4 do të jetë n herë faktor, prandaj 4 4 4 ... 4. n
n faktor
e)
Numri 5 do të jetë m -herë faktor, pra 5 5 5 ... 5. m
m faktor
f )
Numri 6 do të jetë s -herë faktor, prandaj ( 6) ( 6) (6) ... ( 6) . s
s faktor
CALCULUS
39
Detyra plotësuese Shprehjet vijuese të paraqiten në formë të fuqisë:
1.
1 1 1 1
1
1
1
3
3
3
2. 1 1 1
.
4 4 4 4
3.
.
0.7 0.7 0.7 0.7 0.7.
4. (0.4) (0.4) ( 0.4). 5. . 3 3 3 3 3 3 3 2
6.
1 1
1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
1 1 1 7. ... . 3 3 3
... .
n faktor
m faktor
Shprehjet vijuese të paraqiten në formën e zgjeruar. 4
3
1 9. . 3
8. (2 ) 5 . 1
10. (0.5) 2 .
1 11. 1 . 2
14.
15. (3) ns .
n
7 12. . 3
3 13. . 2
n 1
6 .
Në shembujt e mëparshëm pamë se: 1
3 3 . 4 4 Po ashtu 1
4 4 . 3 3
Përfundojmë se:
Për çdo numër real a vlen: a a. 1
Shembulli 3. Njehsoni: a) 17 ; Zgjidhja. Kemi:
1 1 1 1 1 1. a) 17 1 1 7 faktor
b) ( 1) 6 ;
c) ( 1) 7 .
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
40
b) ( 1) 6 ( 1) (1) (1) (1) (1) (1) 1.
1
1
1
c) (1) 7 (1) (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 6 ( 1) 1 ( 1) 1.
6 faktor
Përfundojmë se 1 1, n
për çfarëdo numri natyror n.
( 1) 1, n
nëse n është numër natyror çift.
( 1) 1, n
nëse n është numër natyror tek.
Shembulli 4. Le të njehsojmë: a) (3)4 ,
b) ( 3) 3 .
Zgjidhja. a) Numrin (3)4 e paraqesim në formën e zgjeruar. Merret: ( 3) ( 3) (3) (3) ( 3) 4
(1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3
(1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 3 3 ( 1) 4 3 4 Pak më sipër pamë se ( 1) 4 1. Prandaj (3) 3 . 4
4
b) Ngjashëm veprojmë me numrin ( 3) 3 . Merret: ( 3) ( 3) (3) ( 3) ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3 3
(1) ( 1) ( 1) 3 3 3 ( 1) 3 3 3 Meqë ( 1) 3 1 përfundojmë se: ( 3) 1 3 3 . 3
3
3
Japim këtë përgjithësim:
Nëse n është numër natyror çift, (a) n a n . Nëse n është numër natyror tek, (a) n a n .
CALCULUS
41
Shembulli 5. Njehsoni: a) 115 ;
b) 112 ;
c) ( 1)15 ;
d) (1)14 ;
e) ( 1)13 ;
f ) ( 1)12 ;
g ) 112 ( 1)11 ( 1)10 ;
h) 14 ( 1)3 ( 1)1 ( 1) 7 . Zgjidhja. a) Meqë 1 në çfarëdo fuqie është 1 atëherë 115 1. b) 112 1. c) Meqë 15 është numër tek, dhe meqë 1 i ngritur në fuqinë numër tek është 1 kemi ( 1)15 1. d) ( 1)14 1. e) (1)13 ( 1) 1. f ) ( 1)12 1. g ) 112 (1)11 ( 1)10 1 ( 1) 1 1 1 1 3. h) 14 ( 1)3 ( 1)1 ( 1) 7 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 2. Shembulli 6. Njehsoni: a) (2 ) 3 ; 3
1 d) ; 4
b) (2 ) 4 ;
c) ( 2) 5 ;
2
1 f ) ; 3
4
3 e) ; 2
g ) ( 2)3 ( 2) 4 ( 3) 4 ( 3) 3 ; 3
2
1
1 1 1 h) 1 1 ; 2 2 2 2
2
3
1 1 1 1 i) . 4 4 2 2 Zgjidhja. a) Meqë 3 është numër tek kemi ( 2) 3 23 8. b) Meqë 4 është numër çift kemi ( 2) 4 2 4 2 2 2 2 16. c) (2)5 ( 25 ) 2 5 32.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
42 3
3
1 1 1 1 1 1 d) . 4 4 4 64 4 4 2
2
3 3 9 3 3 e) . 2 2 4 2 2 4
4
1 1 1 1 1 1 1 1 . f ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
g) ( 2) 3 ( 2) 4 ( 3) 4 ( 3) 3 2 3 2 4 3 4 ( 3 3 ) 8 16 81 27 30. 3
2
1
3
2
1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 3 1 h) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27 9 1 27 9 2 1 4 27 18 4 5 . 8
4
2
8
8
8
2 3 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i) 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2
1 1
1
1
1
1
4 4
4
8
8
16
1 16
1 2
1 18 16
9 16
1
2
4
8
1 16
1
1
4
4
1 16
2 4
.
Detyra plotësuese Njehsoni:
16. 113.
17. 110.
18. (1)7 .
19. (1) 6 .
20. (1)5 .
21. (1) 4 .
22. 14 ( 1) 3 ( 1) 2 .
23. 18 ( 1) 9 ( 1) ( 1) 3.
Njehsoni
24. (3) 2 .
25. (2 ) 5 .
27. (0.5) 2 .
1 28. . 4
26. (3)3 .
3
3
1 29. . 2 3
30. (2) ( 2) ( 3) 3 . 2
3
3
2
2
2
1 3 1 31. 1 . 2 2 4
CALCULUS
43
Shembulli 7. Njehsoni 2 2 . 3
4
Zgjidhja.
2) (2 2 2 2) 2. 2 2 (2 2 2 2 2 2 2 2 3
4
3 faktor
D.m.th. 2 2 2 3
4
4 faktor
3 4
7 faktor
27 .
Në përgjithësi vlen:
Për çdo numër realë a vlen: a m a n a m n , m, n N . Shembulli 8. Të njehsohet prodhimi i fuqive: a) 33 35 ;
b) 42 43 ;
c) 52 54 ;
d) x 2 x9 ;
e) a a 9 ;
f ) ( a b) ( a b) 4 ;
x g ) 2
3
2
x y h) 3
x ; 2
0
Zgjidhja. Zbatojmë vetinë e mësipërme: a) 33 35 335 38. b) 42 43 4 23 45. c) 52 54 52 4 56. d) x 2 x9 x 29 x11 . e) Meqë a1 a, prandaj a a 9 a1 a 9 a19 a10 . f ) ( a b) ( a b) 4 ( a b)1 ( a b) 4 ( a b)14 ( a b) 5.
x g ) 2
3
2
x x 2 2
x y h) 3
0
3 2
5
5
x . 2
x y x y 3 3
0 5
5
x y . 3
5
x y . 3
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
44
Detyra plotësuese Njehsoni:
32.
33. 2 25.
3 3 . 2
1
35. A3 A5 . x 38. 3
5
36. 2
( a 1) ( a 1) . 2
x y 39. 2
x . 3
3
0
34.
2 2 .
37.
( a b) ( a b).
40.
( x 1) ( x 1) .
0
1
2
5
x y . 2
0
0
Mbani në mend Prodhimi x 2 x5 është baraz me x 7 . Por x 7 mund të paraqitet edhe në forma të tjera, p.sh. 7 2 4 7 3 4 7 6 x x x x , x x x , x x x .
Në disa raste, mënyra e shënimit lehtëson njehsimet me fuqi. P.sh. nëse duam të njehsojmë 29 këtë mund ta bëjmë si vijon: 2 2 9
33 3
23 23 23 8 8 8 64 8 512.
Provoni të njehsoni 29 duke njehsuar prodhimin 22 27. Shembulli 9. Njehsoni: a) 28 ;
b) 210 ;
c) 35 ;
d) 37 ;
e) 24 32 ;
f ) 43 32.
Zgjidhja. a) 28 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 16 16 256. 16
16
b) 210 28 2 2 256 4 1024. c) 35 32 21 32 32 3 9 9 3 81 3 243. d) 37 35 32 243 9 2187. e) 24 32 2 2 2 2 32 4 4 9 16 9 144. f ) 43 3 2 4 21 32 4 2 4 9 16 36 576. Shembulli 10. Shprehjet e dhëna të shprehen si fuqi me bazë 2. a) 64 2 3 ;
Zgjidhja.
b) 16 128;
c) 100 28.
CALCULUS
45
a) 64 23 16 4 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4 23 2 9. b) 16 128 16 2 64 2 4 2 2 6 2 416 2 11. c) Nëse këtë rast mundohem ta zgjidhim sikur rastet paraprake do të vërejmë se një gjë e tillë është e pamundur sepse numrat 100,28 nuk mund të shprehen si fuqi të numrit 2. Prandaj, së pari mbledhim numrat e dhënë dhe rezultatin që merret e paraqesim në formë të fuqive të numrit 2. 100 28 128 2 64 2 4 16 2 2 2 2 . 2
4
7
Shembulli 11. Shprehjet e dhëna të shprehen si fuqi me bazë 3. a) 27 32 ;
b) 81 35 ;
c) 60 21.
Zgjidhja. Veprojmë si në shembullin paraprak. a) 27 32 33 3 2 35. b) 81 35 9 9 35 3 2 3 2 35 3 2 2 5 3 9. c) 60 21 81 9 9 3 2 3 2 3 2 2 3 4. Shembulli 12. Shprehjet e dhëna të shprehen si prodhim i fuqive me bazë 2 dhe 3. a) 36 72;
b) 108 36;
c) 64 6 12.
Zgjidhja. a) Së pari, pasi ta shprehim numrin 36 në faktor të thjesht merret: 36 2 3 . 2
2
Ngjashëm veprojmë me numrin 72. Merret: 72 2 3 . 3
2
Prandaj, 36 72 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 . 2
2
3
2
2
3
2
2
5
4
b) Meqë 108 36 3 22 3 2 3 2 2 3 3; 36 2 2 32 , atëherë 36
108 36 2 3 2 3 2 3 . 2
3
2
2
4
5
c) Meqë 64 2 6 ; 6 2 3; 12 2 2 3 merret: 64 6 12 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 . 6
2
6
2
9
2
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
46
Detyra plotësuese Njehsoni:
41.
2.
7
42.
2.
43.
4.
45.
3.
8
46.
2 3.
47.
3 2 ;
9
3
3
4
4
44.
3.
48.
2 2 3 .
6
0
3
2
Shprehjet e dhëna të shprehen si fuqi me bazën 2.
49. 16 2 5. 52. 64 32.
50. 8 23. 53. 64 32.
51. 128 128. 54. 30 34.
Shprehjet e dhëna të shprehen si fuqi me bazën 3.
55. 58.
56. 9 34. 59. 27 81.
81 3. 27 81.
57. 60.
243 3 . 3
50 31.
Shprehjet e dhëna të shprehen si prodhim të fuqive me bazë 2 dhe 3.
61. 64.
62. 48 27. 65. 144 12.
24 9. 24 27 36.
63. 48 54. 66. 18 36.
Shembulli 13. Të njehsohet herësi 45 : 4 3. Zgjidhja. Kemi 4 : 4 5
3
4
5
4
3
44 4 4 4 444
4 2.
D.m.th. 4 :4 5
3
4
5
4
3
453 4 2.
Në përgjithësi vlen:
Le të jetë a numër real i ndryshëm nga 0 dhe am an
m, n N . Vlen:
a m n .
Në qoftë se në rregullën e mësipërme merret m n atëherë do të kemi: a
Meqë
mm
a
m
am
.
CALCULUS
47
a
mm
a0
dhe a
m
a
m
1
atëherë përfundojmë se:
Për çdo numër real a të ndryshëm nga 0 ven: a 0 1. Shembulli 14. Të njehsohet herësi i fuqive: a)
2
7
2
4
;
b) 36 :3;
c) a 5 : a 2 ;
e) (a b) 4 : ( a b) 3 ;
a2 a2 f ) : . 3 3
3
d) a11 : a;
0
Zgjidhja. a)
2
7
2
4
274 23.
b) 36 : 3 36 : 31 361 35. c) a 5 : a2 a52 a3 . d) a11 : a a11 : a1 a111 a10 . e) ( a b) 4 : ( a b) 3 ( a b) 43 ( a b)1 a b. 3
0
3
3
a2 a2 a2 a2 f ) : :1 . 3 3 3 3 Detyra plotësuese Njehsoni:
67. 70.
2
6
2
4
5
68.
.
(ax)
9
( ax)
8
.
71.
3
2
3
69.
.
(b x)
4
(b x)
4
.
12
5
a :a .
ab 72. 2
5
1
ab : . 2
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
48 4
0
a2 a2 73. : . 4 4
x y 74. 3
5
x y . 3
:
Shembulli 15 . Njehsoni: a) 47 : 4 3 ;
b) 65 : 6 4 ;
c) 162 : 43.
Zgjidhja. a) 47 : 4 3 473 4 4 4 2 4 2 16 16 256. b) 65 : 64 654 61 6. c) 16 : 4 2
3
16 4
2
3
16 16 4
3
4 4 2
2
4
4 4 2
2
4
4 21 41 4.
Detyra plotësuese Njehsoni: 7
75.
4 4
2
78.
16 4
2
.
.
76.
6 :6 .
79.
64
5
4
6
67.
7 :7 .
80.
81
2
.
6
9
3
3
8
.
Shembulli 16 . Njehsoni a) (43 )2 .
b) (43 )4 .
Çfarë mund të konkludojmë ? Zgjidhja. a) (4 ) 4 4 4 3 2
3
3
3 3
432 4 6.
2 mbledhes
4 b) (4 ) 4 4 4 4 3 4
3
3
3
3
3 3 3 3 4 mbledhes
4 34 412.
4 faktor
Për çdo numër real a vlen: n mbledhes
... a a (a ) a a m n
m
m
m
m m m... m
a m n , m, n N.
n faktor
Shembulli 17 . Fuqizoni fuqitë:
a) (32 )5 ;
b) ( a 2 ) 4 ;
c) ( a 5 ) 0 ;
d ) ( x5 )1 ;
CALCULUS
49 3
x 3 g) . 3
f ) (( x y )3 ) 2 ;
e) ( A1 )16 ; Zgjidhja. a) (32 )5 325 310. b) ( a 2 ) 4 a 24 a8 . c) (a 5 ) 0 a 50 a 0 1. d) ( x 5 )1 x51 x5 . e) ( A1 )16 A116 A16 .
f ) (( x y ) 3 ) 2 ( x y) 32 ( x y) 6 . 3
x 3 x 3 3 x 9 g ) . 3 3 3 Shembulli 18. Të shkruhen si fuqi me bazën a shprehjet: a) (a 5 a 4 )3 ;
b) a (a 2 )5 ; 2 3 4 4 a ( a a a )
3 2
(a )
c)
2 3
(a )
d)
;
12
a
.
Zgjidhja. a) (a 5 a 4 )3 ( a 54 )3 ( a9 ) 3 a93 a27 . b) a ( a 2 )5 a a 2 5 a a10 a110 a11 . 3 2
c)
(a )
2 3
(a )
a
a
2 3
a
6
a
6
a (a a a ) 2
d)
3 2
3
4 4
12
a 66 a 0 1. a (a
a
2 3 4 4
)
12
a
9 4
a( a ) 12
a
a a
36
12
a
a
37 12
a
a3712 a 25 .
Detyra plotësuese Fuqizoni fuqitë:
81.
4 2
(3 ) .
82.
5 0
(2 ) .
83.
6 1
(2 ) .
84.
0 4
(5 ) .
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
50 4
85.
x 3 86. . 2
(( a b) ) . 2 2
87.
88.
(( x 1) ) . 1 2
((a 1) ) . 0 1
Të shkruhen si fuqi me me bazën a shprehjet:
89.
(a a ) .
92.
(a )
1
90.
5 4
5 3 3 5
(a )
93.
.
91.
(a a ) . 2
7 5
0 1 4 5 a (a a ) a
a a 6
7
(a a ) . 0
a a
9
a a
0
0
94.
.
1 0
9
.
Shembulli 19. Të njehsohet (2 3)3 . Çfarë mund të konkludojmë ? Zgjidhja. (2 3) (2 3)(2 3)(2 3) (2 2 2)(3 3 3) 2 3 . 3
3
3
Në përgjithësi vlen (a b) ( a b) (a b) ... ( a b) ( a a ... a) ( b b ... b) a b . n
n
n faktor të ab
n faktor të asë
n
n faktor të bsë
Përfundojmë se:
Për çdo dy numra realë a, b vlen: ( a b) a b , n N . n
n
n
Shembulli 20. Shprehjet vijuese të paraqiten në formë të prodhimit të fuqive: a) (23 34 )5 ;
c) ( 2 x 3 y 5 z 7 )3 .
b) (2ab 2 c3 ) 4 ;
Zgjidhja. a) (23 34 ) 5 (23 ) 5 (34 ) 5 2 35 3 45 215 3 20. b) (2ab 2 c3 )4 2 4 a 4 (b2 ) 4 ( c3 ) 4 2 4 a4 b24 c34 2 4 a4 b8 c12 . c) (2 x 3 y 5 z 7 )3 ( 2) 3 ( x3 ) 3 ( y 5 ) 3 ( z 7 ) 3 ( 2) 3 x33 y53 z7 3
(2)3 x9 y15 z 21. Detyra plotësuese Shprehjet vijuese të paraqiten në formë të prodhimit të fuqive:
95.
(2 3 ) .
98.
(( x y ) ( x y) ) .
4
2 3
2
3 4
96.
(2 xy z ) .
99.
(3 4 5 7 9 ) .
2
4
97. (3 x 2 5 y 3 ) 4 .
3 5
3
2
1
0 5
100.
(2 3 5 7 ) . 2
3
4 5
CALCULUS
51 4
3 Shembulli 21. Fuqia të paraqitet si herës i fuqive. Çfarë mund 2 të konkludojmë ? Zgjidhja. 4
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4. Kemi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
Në përgjithësi kemi: n faktor të a së
n
a a a a a ... a an a ... ... n . b b b b b b b b n faktor të
a
n faktor të bsë
b
Përfundojmë se:
Për çdo dy numra realë a, b ashtu që
b 0,
vlen:
n
an a n , n N . b b
Shembulli 22. Të kryhen fuqizimet: 5
5
23 a) 4 ; 3
4 x 2 b) 3 ; 3 y
4
( x 2 y) 2 c) . 3 ( x 2 y )
Zgjidhja. 5
23 (23 )5 235 215 a) 4 4 5 45 20 . (3 ) 3 3 3 5
4 x 2 (4 x 2 )5 45 ( x 2 ) 5 4 5 x 25 4 5 x10 b) 3 5 5 35 5 15 . 3 5 3 5 (3 y ) 3 ( y ) 3 y 3 y 3 y 4
2 4 2 4 8 ( x 2 y) 2 (( x 2 y) ) ( x 2 y) ( x 2 y) c) . 3 3 4 34 12 ( 2 ) (( 2 ) ) ( 2 ) ( 2 ) x y x y x y x y
Shembulli 23. Njehsoni 3
1 1 2 3
3
a) 2 : 3 ;
3
1 36 b) 1 : . 5 10
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
52
Zgjidhja.
1 a) 2 2
3
3
1 5 :3 3 2
3
3
3
3
3
27 10 5 10 5 3 3 3 : : ; 3 64 3 2 3 2 10 4 4
1 2 1 36 6 36 6 10 b) 1 : : 5 10 5 10 5 1 36 6 3
3
3
3
3
3
3 ( 1) 1 2 1 3 . 27 3 6 3
Detyra plotësuese Të kryhen veprimet me fuqi:
101.
4 7
2 5
(2 ) : (3 ) . 5
( x a) 2 . 104. 3 ( ) x a 4
1 3 107. 1 : 1
3
4
3 2 109. 1 4
3
4
4 x 2 y 4 103. . 5 5 z
3
0
7 4 85 106. 6 . 3
25 102. 4 . 3
2
x 7 105. 8 . y
4
1 2 1 3 108. 1 2 . 5 4
5
.
5
1 :2 . 3
Shembulli 24. Të njehsohet konkludojmë ?
5
3 1 4 110. 2 : 2 . 2 herësi
3
5
4 :4 .
Çfarë
mund
të
Zgjidhja. Në bazë të vetisë së mësuar më parë kemi: 4 :4 3
5
4
3
4
5
435 4 2.
Por, ky rezultat paraqet risi në detyrat tona. Deri më tani patëm raste vetëm kur eksponenti është pozitiv. Pra, sa është 42 ? Le të shqyrtojmë edhe një herë shprehjen 43 : 4 5.
CALCULUS
53
4 :4 3
5
4
3
4
5
444 44 4 4 4
1
44
1 4
2
.
Pra 4 :4 4 3
5
2
dhe 1
4 :4 3
Prandaj kemi 42
1 4
2
5
4
2
.
.
Përfundojmë se:
Për çdo numër real a të ndryshëm nga zero vlen: a
n
1
a
n
, n N .
Shembulli 25. A është i saktë pohimi 23 (2) 3 ? Zgjidhja. Meqë 23
1 2
3
1 8
dhe ( 2) 3
1 ( 2)
3
1 8
përfundojmë se pohimi
është i saktë. Shënim: Provoni të kuptoni pse në përgjithësi nuk vlen pohimi
a n ( a) n ? Shembulli 26. Të njehsohet: 13 n 3
a) (2
) ;
Zgjidhja. a) (213n ) 3 2(13n)( 3) 23 9 n 29 n3. b)
x n x
9
2 n 3
x n 9(2 n3) x n92 n3 x n6 .
Detyra plotësuese Të kryhen veprimet me fuqi:
b)
x x
n 9
2 n 3
.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
54
111.
4
5
4
9
112.
.
4 xy
117.
x
7
1 n 2
2
118.
) .
2
2
3
4
3
(2 ) (3 )
n 3
4
119.
.
n4
113.
.
(3 ) (2 )
115.
.
(3
2
3
114. 3 2 4 4 x y
x
3
( a b)
5
. 1
.
4 x 1 y 1 116. 2 . 2 xy
.
2 n 4 3n 3 5 n 2 110. n1 n1 n3 . 2 3 5
2
n2
4
( a b)
3n
Të thjeshtohen shprehjet: 10 3 6 (5 ) 3
Shembulli 27.
6
4 4
5
(( 12) ) 5 4 4
3 ( 7)
12
1
.
0
Zgjidhja. 10 3 6 (5 ) 3
6
((12) )
5
4 4
3
3 ( 7)
12
6
1
5
( 12) 5 16
2 3 5 8
3
2 5 3 2 3 5 3
11
3 4 5 16
16
5
12
0
16
3
5
6
5
16
11
1
(2 ) 3 3 5 2 16
16
2 ( 7) (3 )
12
36 5 5316 12 1 16 (3 4) 5 3 2
31
2 3 5
8
11
2 3
16 1
32
1 2
16
24
13
5
12
1 1 4
3
5
3 5
2
(4 ) 49 (9 )
3
2 3
4
(4 ) 49 (9 ) 2 3
2 3 3
6
6
4
2 3 3
(2 ) (3 ) 2
3
2 1
2
2 ( 1) 7 3
2
2
2
12
Zgjidhja.
23
3
4
4
(7 ) 9 2
6
4
Shembulli 29.
4
2
2
3
12
3
2
3
6
3
4
2( 1)
24
2 1
27 x ( y ) ( z ) 3
2
2 7 3 3
4
6
4
6
7 4 9 2
23( 12 ) 36 4 215 32.
81 x y ( z ) 7
2( 3)
1 2
.
32
2 3 5
Zgjidhja. 2 (7) (3 )
8
1
.
2 1
2
2
2 3
4
2 3
12
13
2832 31115 513 (12) 2 24 3 4 5 1 Shembulli 28.
3
16
44
5 12 3 1
4( 4 )
( 1) 12 5
2 3 5
3
5
2 2 3 3 5 5
8
1
6
( 12)
3
31
13
12
(2 5) 3 (2 3) 5
4 4
5
4
3
11
3
15
.
5
13
5
12
CALCULUS
81 x
55
4 2 4 3 2 ( 1) 4 3 y 3 ( z 2 ) 1 3 x y z 3 x y z 3 7 3( 2 ) 12 7 6 2 3 2 7 1 2 z 27 x ( y ) ( z ) 3 x y x y z
4
3 x 4(7) y 3 ( 6) z 2 ( 2) 3 x 3 y 3 z 4 . 3
a 2 a 5 Shembulli 30. 4 : 7 . b b Zgjidhja. a
3
2
a 2 a 5 a 2 (a 5 ) 3 a 2 a 5 ( 3) a 2 a15 b 4 4 : 7 4 : 7 3 4 : 7 ( 3) 4 : 21 a15 b b b b b b b (b ) b
2 21 a b
a b 15
4
21
a 215 b 21(4 ) a 17 b 25 .
Shembulli 31. Të thjeshtohet shprehja A
x 3 y 2 ( x 1 y 3 ) 4 x ( y 3 ) 2
( x y ) ( x y ) 3 2
2
3 2
1
dhe të njehsohet vlera e saj nëse x 4, y . 2
Zgjidhja. x y ( x y ) x ( y ) 3
A
2
3
4
3
( x y ) ( x y ) 3 2
2
2
4
x y x y 3
1
12
3 2
x y 6
x y x y 4
6
2
6
x
2
x y (x ) ( y ) x ( y ) 3
2
1 4
3
4
3
2
(x ) ( y ) x ( y ) 2
2
3 2
2
3 2
3 4 1
y 2 12 6 x 0 y 20 6 12 42 6 6 x y x y
x 6 y 20( 12) x6 y 8 . Meqë x 4, y
1 2
merret
8
1 1 2 2 1 1 1 A (46 ) 6 (2 1 ) 8 6 2 8 2 6 12 2 4 4 . 4 4 (2 ) 2 2 16 2 8
8
Shembulli 32. Të thjeshtohet shprehja 1 x x 2 1 x 1 1 x 2 . 2 1 1 1 x x 1 x 2 x 1 1 x
Zgjidhja.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
56
x x 1 x 1 x 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x 1 x 2
1
x3 1 x 1 x 2 x 2 2 1 1 2 x x x x 2 x x 2
1
1 1 1 1 1 x 2 x x x 12 1 1 12 2 1 1 1 1 x x x x x
x 1 x x3 1 x( x 1) x 1 2 2 1 x x x 1 x 2 x 1 x 1 x
( x 1)( x 2 x 1) x( x 1) x 1 2 2 1 ( 1) x x x x 1 2 x x 1 ( x 1) x x 1 x 2 2 x 1 x x 2 3 x 1 . ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
CALCULUS
57
2. RRËNJËZIMI – FUQIA ME EKSPONENT NUMËR RACIONAL Le të jetë a numër real dhe n numër natyror. Zgjidhja e barazimit (1)
x n a
sipas x (nëse ekziston) quhet rrënjë e n – të e numrit a. Shënohet (2)
n x ( n a ) a
(këtu supozohet se
n
a
ekziston).
Nëse a është numër i çfarëdoshëm real, atëherë (3)
2 a | a |
Nëse
a0
dhe
m, n
numra natyrorë, atëherë m m an a . n
Le të jetë
a, b
numra realë pozitiv dhe
(4) m, n
numra natyrorë,
atëherë n
n
ab a b
an b
(5)
n
a
n
b
(6)
n
Shembulli 1. Njehsoni: a) b)
36 4 49 3 8 5 32 3 1 13 1; 16 9
3
1 27
3 64 25 (3) 2 ;
25 3 c) 8 ( 9 3 27 5 32). 36 Zgjidhja.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
58
36 4 49 3 8 5 32 1 3
a)
13
1 6 4 7 3 2 3 5 2 5 1 ( 1) 6 28 2 2 2 36.
16
b)
9
3
1 27
64 25 (3) 2
3
16
3
9 4 3
3
1
27
3 4 3 5 | 3 |
1
4 5 3 3. 3
25
25 3 3 8 ( 9 3 27 5 32) (2) 3 (3 3 (3) 3 5 (2) 5 36 36
c)
101 5 (2) (3(3)(2)) . 6 6
Njehsoni: Shembulli 3. a)
8 32;
b) 3 6 2 8;
c)
x m
2
Zgjidhja. a)
8 32
4 2 16 2 4 2 16 2 2 2 4 2
8( 2 ) 2 8 2 16. b) 3 6 2 8 3 2 3 2 4 2 3 2 3 2 4 2 6( 2) 2 3 2
12 2 3 24 3. c)
x
m 2
x m2 x m 2 x m 2 x m 2 m 2 x 2 m ( x m )2 | x m | .
1 1 2 13 23 3 3 Shembulli 4. 3 2 3 6 2 3 .
Zgjidhja. 1 2 1 2 13 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 6 2 ( 3 2)( 3 6 2 )
( 3 3 3 2)( 3 32 3 3 3 2 3 2 2 ) ( 3 3)3 ( 3 2) 3 5.
x m 2 .
CALCULUS
59
Të racionalizohet emëruesi i thyesave: 1
Shembulli 5. a)
b)
;
3
10 5
c)
;
1 3
3
2
d)
;
5
7
.
Zgjidhja. 1
a)
b)
c)
d)
1
3 10
3 5
5 1 3
10 5
3
3
3
7
3
3
2
3
10 5
2 5;
5
3 3
4
7
4
3
9
7
3
2 7 5
7
; 5
4
2 7 7
5
1
Shembulli 6. a)
9 3
3
5
;
3
2
3
5
7
2
5
2 5
3
3
2
5
1
3
3
5
2 5
3
7 2
4
.
b)
;
3 2 3
2
c)
;
1 2 3 1
.
Zgjidhja. a)
b)
c)
1 7 2 3 2 3
1
2
1 2 3 1
7 2
7 2
7 2
3 2 3 2
3 2 3 2
1
2 3 1
2 3 1 2 3 1
7 2 ( 7 2)( 7 2) (3 2)
2
(3 2)(3 2)
2 3 1 (2 3) 1 2
7 2 ( 7) 2 2
2
9 6 2 2 3 ( 2) 2
2 3 1 12 1
2
7 2
3
11 6 2
2 3 1 11
.
7
.
.
7 4 1 12 . 5 2 3 5 11 5 14 5 1
Shembulli 7. Zgjidhja.
7 4 1 12 5 2 3 5 11 5 14 5 1
12 5 1 7 5 2 4 3 5 1 5 2 5 2 3 5 3 5 11 5 14 5 1 5 1
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
60
12 5 12 7 5 14 12 4 5 5 1 5 4 9 5
1 11 5 14
12( 5 1) 1 7 5 14 (3 5) 4 11 5 14 (3 5 3 7 5 14 3 5) (11 5 14)
1 11 5 14
x y
Shembulli 8. a)
1
1
x 2 y 2
11 5 14
1.
x y
1
1
1
2 x 1
b)
;
x2 y 2
1
2
1
4 3 x 3 (2 x) 3 1
Zgjidhja. a)
x y 1
1
x 2 y 2
b)
x y
1
1
x2 y 2
( x y )( x
x
x
y
y )( x
( x
y y)
y)
y )( x
y)
x x x y y x y y x x x y y x y y ( x 2 x y 2 y x ( x
2
y )( x 1
3
x y
x x x y y x y y ( x x x y y x y y )
4 x (2 x) 1 3
x y
y ) ( x y)( x
( x
2 x 1 1
3
y)
2 x 1 1 3 2 x
2 x 1 2
1
(2 x) 3 (2 x) 3 1
y )( x
y)
y( x
2 x ( x
y)
y )( x 2 x 1
1
2
1
(2 ) x (2 x) 1 2
1 2x 1
(2 x) 3 1
3
3
3
y)
2 xy
x
12x 3
2 x 1
y
.
2x 1 1
3
2 x
.
CALCULUS
61
1 2 1 (2 x 1) (2 x) 3 1 (1 2 x) (2 x) 3 (2 x) 3 1 1 2 1 3 3 3 (2 ) 1 (2 ) (2 ) 1 x x x 1
1
1
2
1
(2 x)(2 x) 3 2 x (2 x) 3 1 (2 x) 3 (2 x) 3 1 (2 x)(2 x) 3 (2 x)(2 x) 3 2 x 3
1 3 (2 ) x 1 2
2
1
(2 x) (1 2 x) 2(2 x) 3 4 x 3
2 x 1
.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
62
Detyra për ushtrime Njehsoni:
1. a)
0
b) 30 ;
2 ;
d) ;
0
2 3 g ) 3 ;
0
f ) ; 3
2. a)
1 4
c) 10 ;
( x 2 y) ; 0
0
0
2 e) 3 ;
0
x 1
h) x 0 ;
0
x 2 j) .
0
i)
; 2
b) ( x 2 z 0 3 y 0 ) 0 ;
c) x 0 y 0 ( z 2 )0 .
b) (2( a 2 b) 0 ) 0 ;
x y c) 0 . 3 4
0
3. a)
2( a b ) ; 2
0
3
4. a) x 0 y 0 1;
b) x 0 ;
c) x 0 : x 2 ;
d) x 0 x 2 ;
e) x 2 : x 0 ;
f ) x 2 x 0 .
5. a)
( x 3 y ) ;
6. a)
2 ;
7. a)
1
4
0
1
2
b)
; 3 1
c) x 0 ( 3y) 0 ;
b) 2 2 ;
c) 32 ;
3 2
4
c)
;
1 b) 1 ; 2
9. a) 3 21 ;
2
b) x 0 3 y 0 ;
2
1 8. a) ; 2
1
b) 2 2 31 ;
10.
a) x 2 ;
11.
a) 2 3 1 4 ;
2 2
3
d) 43 ; d)
;
1
3
c) 24 4 2 ; c)
a
.
2
d) 82 4 4 ;
x y
d)
; 3
e)
1 2
3( x y ) ( x y )
2
3
4
2
.
3
3
2
.
3 3
1 1 1 b) 1 ; 2 3 3
2
2
(_ 4)
a
; e) 1
3
b) x 4 ; 2
5
e) ( 2 )2 .
3 c) 1 ; d) (0.4) 1 ; e) ( 0.5) 1. 4
1
2
d) x 0 30 y.
2
1 1 1 1 1 1 c) ; d) . 3 3 3 2 2 2
CALCULUS
63 0
12.
3 1 5 2 b) (2 (5) ) 25 2 ; 2
a) (( 2) 2 ( 3) 3 ) : ( 4) 1;
1 2 0 1 1 2 c) 1 1 1 1 ; 2 3 3 2 2
1 2 2 3 1 2 3 2 d) 1 1 . 3 3 4 3 Në shprehjet vijuese të kryhen veprimet ashtu që të liroheni nga fuqitë negative.
13.
a) ax 1 y 2 ;
14.
a)
15. 16.
a)
b) (a 2 ) 3 x 2 c 3 ;
2 2
3
x 3 a x y z 3
2
2
3
a b
4
b)
;
b)
; 1
3
a) ( x y )
1
2 x
3
1 3
4
x y z
c) ( ab 2 c 3 ) 2 x 4 .
1 3 2 x y ( z 2)
; b)
3 x( y 2) 1
( x z )
3
c)
;
1
1
c)
;
1
a b (b 1) ( a 1) 3
3
2
.
2
2
2
( x y z )
4 x ( x y)
c)
;
4
x a b 1
3 y
2
.
5
2
.
Shprehjet e dhëna të shkruhen në formë të prodhimit të fuqive:
17. 18. 19.
a)
a)
a)
2
a b2 xy z
2
x b) ; y
;
;
b)
x
( x y )
2
( x y )
3
( x y ) 2
20. 21.
a)
a)
3 x y 2
2
;
3
4 z ( y 1)
x y
Njehsoni:
2n
;
b) ; b)
x
1
d)
;
a3
3
xy 2 3 4
z t
1
c)
ab c) ; xyz
;
( x 1) 2
2 y ( x y )
3
3
3
4 ( x 2)
1 b) x y
c)
;
x
5
;
c)
n 1
;
c)
2 x y 3 4
3 x t
x t
y z
c
;
;
d)
d)
ax
d)
(by)
x( x a)
2( x y )
2
4 a( x y )
am n
b c
t
2
x 2
d)
;
.
.
3
.
3
.
.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
64
22.
a) 22 31
1 4
3
1
2 12 b) 3 ; 5 2
;
3
2
3 c) 2 : ; 3 5 1
1 d) 23 1 (2 1 ) 2 . 4
Të kryhen veprimet me fuqi: 2
2
2 3 2 2 x 24. (0.2 x y ) 3 . 2 y
x3 x 2 x 3 : x 2 . 23. 4 x x 3
2
2
2
7 x 2 9 y 2 . 25. 4 4 3 y 49 x
x3 y 2 x 2 y 3 26. 2 3 . 9 y 6 y
8 x 2 y xy 15 x 2 y 2 : 3 2 : . 27. 2 1 12 y x x y 3 xy
x5 2 y 2 28. 2 4 . y x
5
2
2
3
2
x3 3 y 7 29. 5 3 . y x
2
3
1 31. x 1 y 3 : ( x 2 : y 8 ). 2 2
32.
3
( x y ) 4
6
8
( x y )
2
4
6
(x y ) 1
6
2 3
(x y )
2
11
5 3 2 : (x y ) ) 1 : . 3 5 7 (x ) y y
(( x y)
4
Njehsoni
33.
3
a) d)
34.
5
36. 38.
8 27;
b)
3
2 3 4;
c)
20 5;
e)
4
72 18;
f )
7 2 5 7 2 . 3
2
2
3
5( 2 1) 3 (1 2) . 2
5
40. 2
1 5
1 2
20
2
5 4
4
2 2 1 1 3 x 2 x 30. x y 2 3 . 6 y y
6 4 3 5 2
1 4
8 3 6.
6 3 ; 5
5
27 12.
35.
8 4 3 64 .
37.
12
39.
20.
5
45 18.
(3 5 2)(3 5 1).
CALCULUS
41.
(2 6 3 5 1) : 3 ( 6 2 5 3) : 5 (3 6 4 5 1) :15.
1 42.
8 3 2 10 ( 2 3 1.6 5 0.4).
2
43.
(12 50 8 200 7 450 ) : 10.
1 1
44.
3 2
45.
65
2
1
3
3
2 7
4 2 : 5 7
1
. 8
( 4 2 3 4 2 3 )( 4 2 3 4 2 3 ).
Njehsoni
46.
2 18 3 8 3 32 50.
47.
(2 8 3 5 7 2)( 72 20 4 2).
48.
(4 6)(3 2 5 3).
Të racionalizohet emëruesi: 1
49. a) 50. 53. 56.
3 2
3
3
b)
;
51.
. 1
2 2 3 3 1 2 2 3 3
.
.
54.
3 3
2
c)
; 1 2 3 1 2 3
2 4
.
52.
.
55.
49
; 2
2 2 1 4 3 2 1
.
.
5 Barazimet kuadratike Barazimi i formës ax
ku
a, b, c
2
bx c 0
janë numra realë, dhe
0 quhet barazim kuadratik
a
Barazimi kuadratik më së shumti mund të ketë dy zgjidhje. Në këtë njësi do të shqyrtojmë disa forma dhe tipe të ndryshme të barazimeve kuadratike. Rasti I. Nëse
b
0, barazimi kuadratik kalon në formën ax
Le të ilustrojmë përmes kuadratike të kësaj forme.
2
c 0,
a
0.
shembujve
zgjidhjen
e
barazimeve
Shembulli 1. Të zgjidhen barazimet kuadratike: a) 2 x 2 18 0;
b) 9 x 2 16 0;
c) 3 x 2 7 0;
d)
x
2
1 0.
Zgjidhja. b)
a) Kemi
Duke vepruar ngjashëm merret:
2 x 18 0
9 x 16 0
2 x 18
9 x 16
2
2
2
2
x
2
9
x
9
x
3.
Pra
x
3 ose
x
x x
2
2
16 9
3. x
4
. 3
16 9
CALCULUS
c) 3 x
2
67
7 0
d ) x
2
1 0
x
2
1
3 x 7 2
x
2
7 3 7
x
që nuk ka zgjidhje reale sepse katrori i çfarëdo numri real çdo herë është pozitiv (ose zero) e asnjëherë negativ.
3
.
Detyra plotësuese Të zgjidhen barazimet kuadratike: 1. 4 x 2 36 0.
2. 4 x 2 81 0.
4. 2 x 2 10 0.
5.
7. 16 x 2 25 0.
8. 25 x 2 36 0.
Rasti II. Nëse
c
x
2
3. 36 x 2 100 0.
2 0.
6. 16 x 2 9 0. 9. 25 x 2 81 0.
0, barazimi merr trajtën ax
2
bx 0,
a
0.
Edhe këtë rast do ta ilustrojmë me anë të shembujve. Shembulli 2. Të zgjidhen barazimet kuadratike a) 3 x
2
5 x 0;
b) x
2
x 0;
c)
3 x 2 x 0. 2
Zgjidhja. b) Ngjashëm merret:
a) Kemi: 3 x 5 x 0 2
x(3 x
x
5 3 x 5 0, x . 3
Pra
x
0 ose
x
5 3
3 x 2 x 0 2
c)
x( x
3x
2) 0
0 ose
x
0 ose
3 x 2 0 x
x0
x ( x 1)
5) 0
0 ose 3 x 5 0
x
2
2 3
.
0
x
0 ose
x 1
x
0 ose
x
1.
0
BARAZIMET KUADRATIKE
68
Detyra plotësuese Të zgjidhen barazimet kuadratike: 10.
x
x 0.
2
13. 4 x 2 5 x 0. 16.
x
2
7
x
2
2
2 x 0.
12.
2
( a b) x 0.
15.
11 .
x
14.
x
17. 5 x 2 4 x 0.
0.
2 x 3 x 0. 2
ax
2
18. x 2
2 x 0. x
2
0.
Në rastin e dytë, pamë se shprehjen e faktorizonim. Në fakt, në situatat kur faktorizimi mund të kryhet lehtë, barazimet kuadratike mund të zgjidhim duke kryer faktorizimin. Le të kuptojmë këtë nga shembujt vijues: Shembulli 3. Të zgjidhen barazimet kuadratike a)
2
5 x 6 0;
2
6 x 9 0.
x
c) x
b)
x
2
3 x 2 0;
Zgjidhja. a) Faktorizojmë ekuacionin e dhënë: x
2
5x 6 0
( x 2)( x 3) 0
Pra
x 2
0 ose x 3 0 prej nga merret x 2 ose x 3.
b) Veprojmë ngjashëm. x
2
3x 2 0
( x 1)( x 2) 0 x 1 x
0 ose x 2 0
1 ose
x
2.
c) Meqë
x
( x 3) x
2
2
6x 9 0
2
6x 9 0
( x 3) 0 ( x 3) 0 2
x
3.
Pra
x
3 është zgjidhja e vetme.
CALCULUS
69
Detyra plotësuese Duke faktorizuar të zgjidhen barazimet kuadratike: 19. x 3 x 2 0.
20 . x 3 x 4 0.
21. x x 6 0.
22. x 4 x 3 0.
23. x 5 x 14 0.
24. x 2 x 15 0.
2
2
2
2
2
2
Ka situata kur faktorizimi nuk është lehtë të kryhet ose madje kur ana e majtë e barazimit nuk mund të faktorizohet fare. Në këtë rast përdorim formulën kuadratike për zgjidhjen e barazimeve kuadratike. Formula kuadratike Nëse
ax
2
bx c 0,
a
0 atëherë x1,2
b
b
2
4ac
2a
Shprehja D b 2 4ac në formulën (diskriminanta) i barazimit kuadratik.
.
kuadratike
quhet
dallori
Varësisht nga vlerat e D-së kemi këto raste: 1) Nëse D > 0, barazimi ka dy zgjidhje të ndryshme: x1
b
D
2a
, x2
b
D
2a
.
2) Nëse D = 0, barazimi ka një zgjidhje x
b 2a
.
3) Nëse D < 0, barazimi nuk ka zgjidhje reale, sepse numrat negativ nuk kanë rrënjë katrore. Shembulli 4. Të zgjidhet barazimi kuadratik x
2
3x 4 0.
Zgjidhja. Vërejmë se
a
1, b 3, c 4.
Duke zbatuar formulën kuadratike merret: x1,2
(3) (3) 2 4 1(4) 3 9 16 3 25 3 5 . 2 1 2 2 2
BARAZIMET KUADRATIKE
70
Pra
x1
35 2
8 2
4,
x2
35 2
2 2
1.
Shembulli 5. Të zgjidhet barazimi kuadratik x
2
8 x 16 0.
Zgjidhja. Vërejmë se
a
1, b 8, c 16.
Duke zbatuar formulën kuadratike, merret: x1/ 2
Pra
x1
8 (8) 2 4 16
2
8 64 64
2
8 0 2
8
x2 4. 2
D.m.th. kemi një zgjidhje. Shembulli 6. Të zgjidhet barazimi kuadratik x
2
x 1 0.
Zgjidhja. Kemi
a
1, b 1, c 1.
Duke zbatuar formulën kuadratike, merret: x1/ 2
Meqë
(1) (1) 2 4 1 1 1 4 1 3 . 2 1 2 2 D
3 0, përfundojmë se barazimi nuk ka zgjidhje reale.
Detyra plotësuese Të zgjidhen barazimet kuadratike: 25. x 2 2x 24 0.
26. x 2 2x 1 0.
28. 2x 2 x 6 0.
29.
1 2 x 2x 4 0. 4
Shembulli 7. ( x 2) 2 (2 x 3) 2 13 4 x. Zgjidhja. ( x 2) (2 x 3) 13 4 x 2
x
2
2
4 x 4 4 x 2 2 2 x 3 9 13 4 x
5 x 8 x 13 13 4 x 2
27. x 2 2x 1 0. 30. x 2 x 1.
CALCULUS
71
5 x 12 x 0 2
x(5 x 12)
0
Pas zgjidhjes merret
x1
0 x2
12 5
.
Shembulli 8. (2 x 15)(2 x 7) ( x 36)( x 8) 36 0. Zgjidhja. (2 x 15)(2 x 7) ( x 36)( x 8) 36 0 4 x 14 x 30 x 105 ( x 8 x 36 x 288) 36 0 2
2
3 x 44 x 105 44 x 288 36 0 2
3 x 141 288 0 3 x 147 2
x
2
2
49 pra
x1,2
7.
Shembulli 9. Të zgjidhet barazimi kuadratik x
2
5 6
x
1 6
0.
Zgjidhja. Mënyra e parë : Vërejmë se
a
5
x1
1
6
6
2
5 1 4 1 5 25 24 5 49 5 7 6 6 6 36 36 36 6 6 6 6 2 1 2 1 2 2 5
x1,2
5
1, b , c . Atëherë
7
2
6 6 6 1 , x 2 2 2 6
5
12
7
6 6 2
6 2
1.
Mënyra e dytë : Të dy anët e barazimit x
i shumëzojmë me 6.
2
5 6
x
1 6
0
BARAZIMET KUADRATIKE
72
Merret 6 x 2 5 x 1 0. Në këtë rast kemi: x1,2
x1
a
6, b 5, c 1. Atëherë:
5 52 4 6 (1) 5 25 24 5 49 5 7 . 26 12 12 12
5 7 12
2 12
1
, 6
x2
5 7
12
12 12
1.
Detyra për ushtrime Të zgjidhen barazimet kuadratike. 1.
x 2 9 0.
2.
x 2 49 0.
4.
25 x 2 0.
5.
x 2
7.
x 2
8.
10.
3x x 2 0.
11.
x2
13.
x 2 x .
14.
16.
x 2 5x 6 0.
19.
1 0. 4
49 0. 16
3.
x 2
1 0. 2
6.
3 x 2 0. 4
x 2 3 0.
9.
x 2 2x 0.
1 x 0. 2
12.
4 2 3 x x 0. 3 4
x 2 x .
15.
x 2 10x 16 0.
17.
x 2 10 24 0.
18.
x 2 8x 15 0.
x 2 10x 21 0.
20.
x 2 4 x 5 0.
21.
x 2 x 1 0.
22.
x 2 4 x 1 0.
23.
x 2 6x 8 0.
24.
x 2 x 6 0.
25.
x 2 16x 60 0.
26.
x 2 3x 2 0.
27.
x 2 3x 2 0.
6 Funksioni linear Funksioni i trajtës y ax b a, b R (apo f ( x) ax b )
quhet funksion linear . Numri real quhet zero e funksionit nëse f () 0. b Nëse f ( x) 0 atëherë ax b 0 prej nga x , a 0. a
D.m.th.
zero
e
funksionit
linear
është
b
, a
sepse
b b a b 0. a a
f
b Pika A , 0 është pikëprerja e grafikut të funksionit linear a dhe boshtit Ox. Nëse b 0, atëherë y b. D.m.th. pika (0, b) është pikëprerja e grafikut të funksionit linear dhe boshtit Oy. Nëse a 0, koordinativ.
grafiku
kalon
nëpër
origjinë
të
sistemit
Të paraqiten grafikisht funksionet: Shembulli 1. a) y x;
b) y x.
Zgjidhja. Grafiku i funksionit linear paraqet drejtëz dhe për të përcaktuar drejtëzën mjafton të përcaktojmë dy pika të saj. a) Caktojmë dy pika të drejtëzës.
FUNKSIONI LINEAR
74
x
0
1
y x
0
1
Pra, pikat O (0,0); A(1,1) i takojnë drejtëzës y x. (figura 1) b) Veprojmë ngjashëm (shih. figurën 2) x
0
1
y x
0
-1
Pra, A(0, 0), B(1, 1) janë dy pika të drejtëzës.
y
y
y x
y x
1 1 0
0
1
-1
Figura 1 Shembulli 2. a) y
Figura 2 1 2
b) y
x;
1 2
x 2.
Zgjidhja. a) Veprojmë ngjashëm (shih. figurën 3) x y
0 1 2
x
0
1 1 2
1 2
Pra kemi caktuar dy pika të drejtëzës dhe ato janë A(0, 0), B 1, b) Për x 0; y Për x 2; y
1 2
1 2
0 2 2 .
2 2 3. (figura 4).
CALCULUS
75
x y
1 2
x2
0
2
2
3
Pra pikat A(0, 2), B(2,3) janë dy pika të drejtëzës. y
y y
1 2
3 2
x
1
1
2
0
1
0
Figura 3 Shembulli 3. a) y
1 2
1 2
Figura 4 b) y x 2.
x 3;
Zgjidhja. a) Caktojmë dy pika të drejtëzës (figura 5)
y
x
0
2
1
3
2
2
x 3
Pikat A(0, 3), B(2, 2) janë dy pika të drejtëzës. b) Caktojmë dy pika të drejtëzës (figura 6) x
0
1
y x 2
2
1
Pikat A(0, 2), B(1,1) janë dy pika të drejtëzës.
1 2
x2
FUNKSIONI LINEAR
76
y
y y x 2
2 1
1 2 -1 -2
y
-3
1 2
0
x3
Figura 5
1 2
Figura 6
Shembulli 4. a) y 2 x 3;
1
b) y 3x . 3
Zgjidhja. a) Caktojmë dy pika të drejtëzës (figura 7) x
0
1
y 2 x 3
3
1
Kemi caktuar dy pika të drejtëzës A(0, 3), B(1,1) . b) Caktojmë dy pika të drejtëzës (figura 8) x y 3 x
0 1
1
3
3
1
8 3
y
3 y 2 x 3 2 3 1 2
0
1
Figura 7
1 3
1
-1
8 3
Figura 8
y 3 x
1 3
CALCULUS
77
Detyra për ushtrime Të paraqiten grafikisht funksionet lineare: 1. y 2.
2. y 3.
3. x 4.
4. x 4.
5. y x 1.
6. y x 3.
7. y x 4.
8. y x 3.
11. x y 4.
12. x y 7.
9. y
1 2
x.
10. y
13. x 2 y 3. 14.
1 3
x 2.
2 1 x y 5. 3 4
7 Mosbarazimet lineare. Sistemet e mosbarazimeve lineare 1. MOSBARAZIMET LINEARE Të zgjidhen mosbarazimet. Bashkësia e zgjidhjeve të paraqitet grafikisht. Shembulli 1. x
1 3
2 3
2 x.
Zgjidhja. x
1 3
2 3
x 2 x
2x
2 3
1 3
x 1| (1) x 1.
Faktin që x 1 mund të shënojmë edhe si x (, 1). Shënim. Përkujtojmë se kur mosbarazimin e shumëzojmë me numër negativ atëherë ndryshon shenja e mosbarazimit. x (, 1)
1
0 Figura 1
Në këtë rast pika x 1 nuk është zgjidhje e mosbarazimit.
CALCULUS
79
Shembulli 2. 2( x 1) x 4. Zgjidhja. 2( x 1) x 4 2 x 2 x 4
x 6,
fakt të cilin mund ta shënojmë x (,6]. x (, 6]
0
6
Figura 2
Në këtë rast pika x 6 është zgjidhje e mosbarazimit.
Shembulli 3. 3 x
1
1
x . 2 2
Zgjidhja.
3 x 3 x
1
1
x 2 2
3 2
x
1
1
3 x x
2
2 3 2
2 x 2
x 1,
fakt të cilin mund ta shënojmë x [1, ). x [1, )
-1
0 Figura 3
Në këtë rast pika x 1 është zgjidhje e mosbarazimit.
x
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
80
Të zgjidhen mosbarazimet: Shembulli 4. 2(3 x) 3(1 2 x). Zgjidhja. 2(3 x) 3(1 2 x) 6 2 x 3 6 x
2 x 6 x 3 6 4 x 3 3 3 x , apo x , . 4 4
Shembulli 5.
3 2
( x 1)
1 2
( x 3);
Zgjidhja. 3 2
( x 1)
1 2
( x 3) | 2
3( x 1) ( x 3) 3 x 3 x 3 2 x 6
x 3.
Shembulli 6. Të caktohet numri më i vogël i plotë që e plotëson mosbarazimin 2 x 3 4
3x 5 6
x 2
2 x 1 3
.
Zgjidhja. Së pari caktojmë bashkësinë e zgjidhjeve të mosbarazimit: 2 x 3 4
3x 5 6
x 2
2 x 1 3
12
3(2 x 3) 2(3 x 5) 6 x 4(2 x 1) 6 x 9 6 x 10 6 x 8 x 4
CALCULUS
81
2 x 5 5 x . 2
5 2
D.m.th. bashkësia e zgjidhjeve të mosbarazimit është x , . Paraqitja grafike e bashkësisë së zgjidhjeve është si vijon.
-5 /2 -2
x
0 Figura 4
Vërejmë se numri më i vogël i plotë që e plotëson mosbarazimin e dhënë është x 2. Shembulli 7. Të caktohet numri më i madh i plotë që e plotëson mosbarazimin 2 x 1 10
1
x 1 10
1
x. 2
Zgjidhja. Caktojmë bashkësinë e zgjidhjeve të mosbarazimit 2 x 1 10
1
x 1 10
1
x | 10 2
2 x 1 10 x 1 5 x 6 x 12
x 2.
Pra, përfundojmë se bashkësia e zgjidhjeve të mosbarazimit është ( , 2).
Paraqitja grafike e bashkësisë së zgjidhjeve është si vijon:
0
1
2
Figura 5
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
82
Vërejmë se numri më i madh i plotë që e plotëson mosbarazimin e dhënë është x 1. Në disa lloje detyrash, gjatë zgjidhjes së mosbarazimeve zbatohen ekuivalencat vijuese: 1. A B 0 ( A 0 B 0) ( A 0 B 0) 2. A B 0 ( A 0 B 0) ( A 0 B 0) 3. 4.
A B A B
0 ( A 0 B 0) ( A 0 B 0) 0 ( A 0 B 0) ( A 0 B 0).
Duke u bazuar në ekuivalencat e mësipërme mosbarazimet. Zgjidhjet të paraqiten grafikisht.
të
zgjidhen
Shembulli 8. ( x 2)( x 3) 0. Zgjidhja. ( x 2)( x 3) 0 ( x 2 0 x 3 0) ( x 2 0 x 3 0)
( x 2 x 3) ( x 2 x 3) x 3 x 2 Pra x (, 2) (3, ).
2
3 Figura 6
Shembulli 9. ( x 1)( x 4) 0. Zgjidhja. ( x 1)( x 4) 0 ( x 1 0 x 4 0) ( x 1 0 x 4 0)
( x 1 x 4) ( x 1 x 4) ( x 1 x 4) . Pra x [1, 4].
-1
Figura 7
0
4
Shënim. Është e qartë se nuk ekziston asnjë x me vetitë x 1 x 4, prandaj në rastin x 1, x 4 bashkësia e zgjidhjeve është
bashkësi boshe.
CALCULUS
83
Shembulli 10.
x 1 x 2
3
; 2
Zgjidhja. Së pari mosbarazimin e dhënë e transformojmë si vijon: x 1 x 2
3 2
x 1 x2
2 x 2 3 x 6 2( x 2)
3 2
0
0
2( x 1) 3( x 2) 2( x 2)
0
4 x x 4 0 | 2 0. 2( x 2) x2
Tani, në bazë të ekuivalencës 3) merret: (4 x 0 x 2 0) (4 x 0 x 2 0) (4 x x 2) (4 x x 2)
( x 4 x 2) ( x 4 x 2) ( x 4 x 2). Pra x (2,4].
2
4 Figura 10
Shembulli 11. Të zgjidhet mosbarazimi i dyfishtë 1
x 1 x 3
4;
Zgjidhja. Kemi mosbarazimet:
x 1 x 1 x 1 x 3 0 1 1 0 x 3 x 3 x 3 ~ ~ 1 1 1 4 12 x x x x 4 40 0 x 3 x 3 x3 2 (1) x 3 0 3 x 11 0 (2) x 3 Zgjidhja e mosbarazimit (1) është x 3 0 x 3. Mosbarazimi (2) është ekuivalent me mosbarazimet:
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
84
( 3 x 11 0 x 3) ( 3 x 11 0 x 3 0)
(3 x 11 x 3) (3 x 11 x 3) 11 11 11 x x 3 x x 3 x 3 x . 3 3 3 11 x (, 3) , . 3
Pra
Në një grafik të përbashkët paraqesim bashkësitë e zgjidhjeve të mosbarazimeve (1) dhe (2).
3
11 3
11 , 3
x
Figura 14
11 , (Zgjidhja paraqet prerjen e 3
Nga figura vërejmë se x
bashkësive të zgjidhjeve të mosbarazimeve (1), (2)).
2. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE Shem Shembu bull llii 1. Të zgjidhet grafikisht mosbarazimi x 3 y 6.
Zgjidhja. Shqyrtojmë barazimin x 3 y 6. Duke marrë x 0 në këtë barazim barazim merret merret y 2. Pra, grafiku e pret boshtin y në pikën (0,2). Duke marrë y 0, merret x 6. Pra, grafiku e pret boshtin x në pikën (6,0). Kështu drejtëza x 3 y 6 kalon nëpër pikat (0,2),(6,0). Për të përcaktuar, se cilës anë i përgjigjet zgjidhja, marrim një pikë P ( x, y ) të çfarëdoshme që nuk i takon drejtëzës për të parë nëse koordinatat e saj e plotësojnë mosbarazimin. P.sh. P(0,0). Atëherë
CALCULUS
85
0 3 0 4,
D.m.th. pika P(0,0) e plotëson mosbarazimin. Kështu Kështu të gjitha gjitha pikat në në gjysmërraf gjysmërrafshin shin që përmban përmban pikën pikën (0,0) e plotësojnë mosbarazimin. mosbarazimin. Pra, bashkësia bashkësia e zgjidhjev zgjidhjeve e është bashkësia bashkësia e të gjitha pikave, pikave, nën drejtëz, duke mos e përfshirë, pikat e drejtëzës x 3 y 6. Në figurën e mëposhtme, pjesa e hijëzuar paraqet zgjidhjen e mosbarazimit. y pika "testuese" x +3 y =6
2
x +3 y <6 1 (0,0)
1
2
3
4
5
6
x
Shënimi 1. Pika P ( x, y ) që zgjodhëm quhet “ pikë testuese”. Zakonisht, me qëllim që njehsimet të lehtësohen si pikë testuese merret pika P(0,0). plotësojnë mosbarazim mosbarazimin in Shënimi 2. Pikat mbi drejtëzën x 3 y 6 e plotësojnë x 3 y 6,
gjersa
pikat
nën
mosbarazim x 3 y 6. Shembulli 2. Të zgjidhet grafikisht mosbarazimi
3 x y 5.
Zgjidhja. Veprojmë ngjashëm ngjashëm si në detyrën detyrën paraprake. Shqyrtojmë barazimin 3 x y 5.
drejtëzën
plotësojnë
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
86
Caktojmë dy pikat të drejtëzës Për x 0 merret y 5. 5
Për y 0 merret x . 3
5 3
Pra, Pra, kemi kemi pika pikatt (0,5) dhe , 0 . Pasi të kemi paraqitur grafikisht drejtëzën 3 x y 5, marrim një pikë testuese. P.sh. pikën (0,0). Meqë 3 0 0 5 atëherë përfundojmë përfundojmë se të gjitha pikat që ndodhen në gjysmërrafshin që përmban pikën (0, 0) e paraqesin zgjidhje të mosbarazimit y
5 4 3
3 x+y=5
2 1 (0,0)
1 5 2
x
3 zgjidhet grafikisht grafikisht mosbarazi mosbarazimi mi 2 x 3 y 9 0 Shembulli 3. Të zgjidhet Zgjidhja. Duke vepruar si në rastet mësipërme gjejmë se drejtëza 2 x 3 y 9 0
9 2
kalon nëpër pikat (0, 3 3)), , 0 . Pasi të kemi paraqitur grafikisht drejtëzën 2 x 3 y 9 0 marrim një pikë testuese. P.sh. (1, 1). Meqë 2 1 3 1 9 0
CALCULUS
87
Përfundojmë se pika (1, 1) nuk e plotësonë mosbarazimin 2 x 3 y 9 0, e me këtë përfundojmë se zgjidhja e mosbarazimit është gjysmërrafshi që nuk e përmban pikën (1, 1).
1 5
(1,1) 1
2
9 3
4
2 5
x
-1 -2 -3
Shembulli 4. Të paraqitet grafikisht zona e rrafshit që plotëson mosbarazimet: a) x 3 b) y 1. Zgjidhja. a) Paraqesim drejtëzën x 3. Bashkësia e zgjidhjeve është gjysmërrafshi në anën e majtë të drejtëzës x 3, duke mos e përfshirë drejtëzën x 3. b) Paraqesim drejtëzën y 1 . Bashkësia e zgjidhjeve është gjysmërrafshi në anën e sipërme të drejtëzës y 1, duke përfshirë drejtëzën y 1.
y
x=3
0
1 2
3
x
0 -1
x y=-1
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
88
Shembulli 5. Të zgjidhet grafikisht sistemi i mosbarazimeve
x y 1 x y 2 Zgjidhja. Veprojmë si në shembujt paraprak dhe grafikët e mosbarazimeve x y 3 dhe x y 2 i paraqesim me një grafik të përbashkët. Zgjidhja e sistemit është prerja e grafikëve y
x-y=1 (0,0)
1 -1
y
y
2
2
1
1
x (0,0)
1
2
x+y=2
x
x-y=1
(0,0)
1
2
x
-1
x+y=2
Shembulli 6 . Të zgjidhet grafikisht sistemi i mosbarazimeve
x y 2 2 x y 4 Zgjidhja. Grafikët e mosbarazimit x y 2 dhe 2 x y 4 i paraqesim me një grafik të përbashkët. Pjesa me hijëzim më të theksuar paraqet zgjidhjen e sistemit të mosbarazimeve
CALCULUS
89
y
2 x-y=4
x+y=-2 -2
0
x
1 2
-2 -4
Shembulli7. Të zgjidhet grafikisht sistemi i mosbarazimeve:
x 2 y 3 3 x 4 y 0 x 3 Zgjidhja. y
x=3
x+4 y=0
1
0
2 -1 -2
x-2 y=3
1
2
3
x
90
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
Shembulli 8. Të zgjidhet grafikisht sistemi i mosbarazimeve
x y 1 x y 3 x 2 y 3 0 Zgjidhja. y
2
x+y=1
3 1 0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
x
CALCULUS
91
Detyra për ushtrime të pavarura Të zgjidhen mosbarazimet lineare 1. 2( x 4) x 1. 4. 7.
x 1 4
x 1 x 1
10.
2x 3
1
12
5.
.
0.
4 x 1 2 x 3
3( x 5)
2.
4
x 1
8.
1.
3
19. 22. 25. 28.
5 x 1.5
x 49 2 x 18 x
x 1 x 2
0 3
.
x 1 x 3 2
0.
2
0.
.
6.
2 3
1
2 x 3
3
x 2
9.
2
x 1
2 x 1
2.
1 x
12. 0
4
x
1 . 6
0.
3 x 3 x
x 1
1. x 1 4 x
3.
14. 3 x 3 5( x 1) 2.
1
7.
16. 7 x 1 16( x 1) 2.
2
17. (8 x) 7 x
3.
.
x 5
13. 8 x 3( x 2) x 2. 15. ( x 8) 2 x
5
2 x 5
.
5
x 1
11. 2
x 3
1
2 x. 7 20. 23. 26. 29.
18. 5 x 3 x 1
x 10 x 5
x 5 x 9
0.
0.
21. x 3
0.
24.
5 2 x 5 x
(2 x 1)
x 5
1
. 2
27.
2
0.
30.
x 17 8 x 6 x 3 x
1
x 1
.
0.
2.
( x 1)
x 2
2
0.
Të paraqiten grafikisht bashkësia e zgjidhjeve të mosbarazimeve. 31.
x 2 y 4.
32. 2x
34.
x 4 y 0.
35.
37.
x 3 y.
38.
3 y 5.
y x 2. x 2 y 3.
33. x 36. 39.
1 y. 2
y 2x 3. x y 2 0.
MOSBARAZIMET LINEARE. SISTEMET E MOSBARAZIMEVE LINEARE
92
Të zgjidhen grafikisht sistemet e mosbarazimeve. 40.
x y 2 . 4 x y
43.
x 2 . y 3 x y 1
46.
x y 1 0 x y 2 . y 2
41.
x y 3 . 3 5 x y
44.
x 3 . y 2 x 2 y 0
47.
x 2 y 3 2x y 5. x 2
42.
x 2 y 5 . 3 0 x y
45.
x y 4 2x y 1. x 4
48.
x y 1 0 x y 3 4 . x 1 y 1
8 Përqindja dhe zbatimi i saj 1
Shembulli 1.Sa është a ) 160;
4
e numrave?
b) 240;
c) 324;
d ) 404.
Zgjidhja. a) Për të përcaktuar
1 e numrit 160 kryejmë shumëzimin: 4
1 160 40. 4 Në përgjithësi, për të përcaktuar kryejmë shumëzimin Pra,
m n
m të një numri të plotë k n
m k. n
e numrit të plotë k është
m k. n
Duke vepruar ngjashëm marrim: b) 60;
c ) 81;
d ) 101.
Shembulli 2. Sa është 0.6 e numrave? a ) 100;
b) 120;
c) 360;
d ) 600.
Zgjidhja.
a) Veprojmë ngjashëm si në rregullën e mësipërme, me të vetmin dallim se në këtë detyrë numrin dhjetor 0.6 e shumëzojmë me 100. Merret 0.6 100 60. Duke vepruar ngjashëm marrim: b) 72;
c ) 216;
d ) 360.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
94
Shembulli 3. Thyesat e mëposhtme të shprehen në përqindje: 1
a)
2
;
1
e)
10
b) ;
f )
i ) 4;
1
;
4
c)
1 20
;
1 5
;
1
g)
1
d )
50
8
;
;
h)
1 100
;
j ) 6.
Zgjidhja. a)
Meqë 1 100%, atëherë
1 2
100 2
% 50%;
Ngjashëm merret: b) 25%;
c) 20%;
f ) 5%;
d ) 12.5%;
g ) 2%;
e) 10%;
h) 1%;
i ) 400%;
j ) 600%.
Shembulli 4. Përqindjet e dhëna të shkruhen si thyesa: a ) 13%;
b) 21%;
e) 70%;
f ) 92%;
c) 29%; d ) 31%; g ) 100%;
h) 124%.
Zgjidhja. a ) 13% e) 70%
13 100 70 100
;
b)
100
g ) 100%
7 10
100
10 10
21 100
;
7 10
c) ;
29 100
;
d )
f ) 92%
1;
h) 124%
92 100
124 100
31 100
;
4 23 4 25
4 31 4 25
31 25
23 25
;
.
Shembulli 5 . Përqindjet e dhëna të shkruhen si numra dhjetorë : a ) 24%; b) 19%; c) 37%; d ) 75%; e) 125%; f ) 115%; g ) 150%; h) 305%. Zgjidhja. a ) 24% e) 1.25;
24 100
0.24;
b) 0.19; f ) 1.15;
c) 0.37; g ) 1.5;
d ) 0.75;
h) 3.05.
CALCULUS
95
Njehsoni: Shembulli 6. 7%
të numrave:
a ) 77;
b) 194;
c) 208;
d ) 215.
Zgjidhja. a ) 7%
7
e 77 është e barabartë me
b) 13.58;
100
c ) 14.56;
77
539 100
5.39;
d ) 15.05.
Shembulli 7. 12% të numrave: a ) 96;
b) 126;
c) 512;
d ) 1000.
Zgjidhja. a ) 11.52;
b) 15.12;
c) 61.44;
d ) 120.
Shembulli 8. 125% të numrave: a ) 25;
b) 150;
c) 270;
d ) 305.
Zgjidhja. a ) 31.25;
b) 187.5;
c) 337.5;
d ) 381.25.
Shembulli 9. 0.5% të numrave: a ) 72;
b) 160;
c) 204;
d ) 300.
Zgjidhja. a ) 0.5%
e 72 është e barabartë me
b) 0.8;
0.5 100
c) 1.02;
72 0.36;
d ) 1.5.
Shembulli 10. 12.6% të numrave: a ) 90;
b) 126;
c) 192;
d ) 790.
Zgjidhja. a ) 12.6% e 90
është e barabartë me
b) 15.876;
c ) 24.192;
12.6 100
90 11.34;
d ) 99.54.
Shembulli 11. 125.2% të numrave: a ) 74;
b) 92;
c) 1000; d ) 12520.
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
96
Zgjidhja. a ) 92.648;
b) 115,184;
c) 1252;
d ) 15675.04.
c) 92.9;
d ) 100.6.
Shembulli 12 . 6% të numrave: a ) 66.6
b) 72.8;
Zgjidhja. a ) 3.996;
b) 4.368;
c) 5.574;
d ) 6.036.
Shembulli 13. Në shkollën e gjuhëve të huaja mësojnë 800 nxënës.
31% e tyre mësojnë gjuhën angleze, 27% gjuhën gjermane, kurse të tjerët mësojnë gjuhën frënge dhe gjuhën spanjolle. Nëse dihet se numër i njëjtë nxënësish e mësojnë gjuhën frënge dhe gjuhën spanjolle, të caktohet sa nxënës e mësojnë secilën gjuhë? (Secili nxënës e mëson vetëm një gjuhë.) Zgjidhja.
Së pari caktojmë numrin e nxënësve që mësojnë gjuhën angleze dhe gjuhën gjermane. Dimë se
31%
mësojnë gjuhën angleze, d.m.th.
31 100
800 248
nxënës
mësojnë gjuhën angleze. Po ashtu, 27% mësojnë gjuhën gjermane, d.m.th.
27 100
800 216
nxënës mësojnë gjuhën gjermane. Pra, 248 216 464 nxënës mësojnë gjuhën angleze dhe gjuhën gjermane. Meqë shkolla ka 800 nxënës, atëherë 800 464 336 nxënës mësojnë gjuhën frënge dhe gjuhën spanjolle. Meqë dihet se numër i njëjtë nxënësish mësojnë gjuhët frënge dhe spanjolle, përfundojmë se 168 nxënës mësojnë gjuhën frënge dhe po aq mësojnë gjuhën spanjolle. Shënim. Numrin e nxënësve që mësojnë gjuhën frënge dhe gjuhën spanjolle do të mund ta caktonim edhe si vijon:
Meqë 31% mësojnë gjuhën angleze dhe 27% mësojnë gjuhën gjermane atëherë 31% 27% 58% mësojnë gjuhët angleze dhe gjermane. Pra 42% mësojnë gjuhët frënge dhe spanjolle. Meqë numër i njëjtë nxënësish mësojnë gjuhët frënge dhe spanjolle,
CALCULUS
97
përfundojmë se 21% mësojnë gjuhën frënge dhe po aq gjuhën spanjolle. Tani
21%
e numrit 800 është e barabartë me
21 100
800 168.
Shembulli 14. Në garat komunale të matematikës për nxënësit e
klasës së 7-të, morën pjesë 140 nxënës. 30% prej tyre morën shpërblime, 45% morën mirënjohje, kurse të tjerët morën certifikata për pjesëmarrje. Sa nxënës morën shpërblime, mirënjohje dhe certifikata? Zgjidhja.
Meqë
30%
e 140 nxënësve është
morën shpërblime. Meqë
45%
30 100
140 42,
themi se 42 nxënës
e 140 nxënësve është
themi se 63 nxënës morën mirënjohje. Pjesa tjetër nxënës morën certifikata. Shembulli 15. Të plotësohen tabelat:
45
140 63,
100 140 (42 63)
35
Tabela Çmimi para zbritjes Përqindja e ngritjes
1000 1500 1800 25% 4% 12%
2100 20%
4000 35% 1400 2600
Vlera e përqindjes së zbritjes Çmimi pas zbritjes Tabela 2
4000
Çmimi para zbritjes Përqindja e zbritjes Vlera e përqindjes së zbritjes Çmimi pas zbritjes Zgjidhja.
Tabela 1
25%
30%
16
3000 25%
120 770
600 900
FUQIZIMI DHE RRËNJËZIMI
98
1000 1500 1800 Përqindja e ngritjes 25% 4% 12% Vlera e përqindjes së zbritjes 250 60 216 Çmimi pas zbritjes 750 1440 1584
2100 20% 420 1680
4000 35% 1440 2560
64 1100 4000 1200 Përqindja e zbritjes 25% 30% 3% 25% Vlera e përqindjes së zbritjes 16 330 120 300 Çmimi pas zbritjes 48 770 3880 900
3000
Çmimi para zbritjes
Tabela 2 Çmimi para zbritjes
20%
700 2400
Të njehsohet vlera e x -it, nëse: Shembulli 16. a )
2 5
e x -it është 75;
b) 1
1 3
e x -it është 66.
Zgjidhja. a)
Duhet të zgjidhim barazimin x
375 2
187.5.
D.m.th.
2 5
2 5
x 75.
Kemi
2 x 5 75,
prej nga
e 187.5 është 75;
b) x 49.5.
Shembulli 17 . a ) 0.5 e x -it është 80;
b) 1.6
e x -it është 74.
Zgjidhja. a)
Duhet të zgjidhim barazimin
0.5 x 80.
Kemi x
80 0.5
, pra x 160.
D.m.th. 0.5 e 160 është 80. b) x 46.25.
Shembulli 18. a ) Zgjidhja. a ) x 9.9; b) x
90 49
.
1 3
e x -it është 3.3;
b) 0.7
e x -it është
9 7
.
CALCULUS
99
Shembulli 19. a ) 45% e x -it është 90;
b) 27%
e x -it është 45.
Zgjidhja. a)
Duhet të zgjidhim barazimin 45 2 100
nga x b) x
500 3
45
200.
45 100
D.m.th.
x 90.
45%
Kemi
45 x 90 100,
prej
e numrit 200 është 90.
.
Shembulli 20. a ) 0.7% e x -it është 70;
b) 3.6%
e x -it është 90.
Zgjidhja. a ) x 70;
b) x 2500.
Shembulli 21. a ) 42% e x -it është 109.5; b) 104.5%
e x -it është 261.25.
Zgjidhja. a ) x 260;
b) x 250.
Shembulli 22. 42% e një numri është 78. Cili është ai numër? Zgjidhja. x
100 78 42
1300 7
.
Shembulli 23 . Nëse 36% të gjysmës së një numri i shtojmë 144,
merret 45% e dyfishit të atij numri. Cili është ai numër? Zgjidhja. x 200.
Shembulli 24. Në shkollën fillore “Sami Frashëri”, numri i nxënësve
të klasës së 7-të është 15% e numrit të përgjithshëm të nxënësve të shkollës. Nga shkolla tjetër vijnë 60 nxënës të klasës së 7-të dhe me këtë rast numri i përgjithshëm i nxënësve të klasës së 7-të bëhet 18% e numrit fillestar të përgjithshëm të nxënësve. Sa nxënës ka shkolla dhe sa janë në klasën e 7-të?
