Persamaan Bessel dan Fungsi-fungsi Bessel Jenis Pertama Salah satu dari persamaan-persamaan diferensial yang terpenting dalam penerapan matematika adalah persamaan diferensial Bessel x2 y t + xy d + (x2 ± v 2) y = 0
(*)
di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan sebagainya, pada sebagian besar kasus persoalan tersebut menunjukkan sifat simetri silinder. Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik singular reguler di x = 0. Jadi Persamaan (*) mempunyai penyelesaian yang berbentuk g
y(x) = x r § a m x m m! 0
g
=
§a
x
m r
dengan a0 { 0
m
m !0
turunan-turunannya turunan-turunannya adalah g
y d(x) =
§
g
§ (m r 1)a
(m r ) a m x m r 1 !
m !1
x
m r
m !0
g
y t(x) =
m 1
§ (m r 1)(m r ) a
x
m r 2
m
m !2
g
! § (m r 1)( m r 2)a
m 1
x
m r
m !0
substitusikan y, y d dan y t ke persamaan diferensial di atas, diperoleh g
§ [(r m)(r m 1) (r m) ( x
2
v 2 )]a
m
x
m r
!0
m !0
Bagi persamaan ini dengan xr dan kemudian kumpulkan koefisien dari xm, maka didapat g
(r2
±
v 2)a0
+ [(r +
1)2
±
v 2]
a1x +
§[((r m)
2
v 2 )a a m
m 2
]x m = 0
m !2
(r2 ± v 2)a0 = 0 [(r + 1)2 ± v 2] a1 = 0
Fungsi Bessel I.
1
g
§[((r m)
2
v 2 )a a m
m 2
]= 0
m !2
karena a0 { 0, dari (r2 ± v 2)a0 = 0 diperoleh persamaan penunjuk r2 ± v 2 = 0 r = ± v begitu pula dari [(r + 1) 2 ± v 2] a1 = 0 di dapat a1 = 0. g
Sedangkan dari persamaan
§[((r m)
2
v 2 )a a m
m2
] = 0 didapat rumus rekursi
m!2
(r + m ± v)(r + m + v) am = - am-2, untuk m = 2, 3, «
(1)
selanjutnya kita tinjau kasus r = v. Penyelesaian Terhadap Akar r1 = v Untuk r = r1 = v maka rumus rekursi menjadi m(2v + m) am = - am-2, untuk m = 2, 3, « karena a1 = 0, maka diperoleh a3 = 0, a5 = 0, «, a2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, « dengan syarat 2v + m { 0 untuk m = 2, 3, «. Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan a2m =
1 2
2
m( v
m)
a 2m 2
, untuk m = 1, 2, 3, «
(2)
dengan syarat v { - m. Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a2, a4, « secara berurutan. ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh a2m-2 =
1 2 (m 1)(v m 1) 2
a 2 m 4
dengan demikian a2m =
(1) 2 2 4 m(m 1)(v m)(v m 1)
a 2 m 4
apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat a2m =
(1) m a 0 2 2 m m!(v m)(v m 1)...(v 1)
, untuk m = 1, 2, 3, «.
(3)
a0 masih sembarang, biasanya diambil
Fungsi Bessel I.
2
a0 =
1 2 +(v 1) v
dimana + adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa +(E) didefinisikan oleh integral g
+(E ) ! ´ e t t E 1 dt
(E > 0)
0
dengan integrasi parsial diperoleh g
+(E 1) ! ´ e
t E
t dt !
e
t
g
A E ´ e
t E g 0
0
t E 1
t
dt
0
pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah +(E). Ini menghasilkan hubungan dasar
+(E+1) = E +(E)
(4)
karena g
+(1) =
´e
t
dt ! 1
0
kita simpulkan dari (4) bahwa
+(2) = +(1) = 1 !,
+(3) = 2+(2) = 2!,
«.
dan umumnya
+(k+1) = k!
untuk k = 0, 1, 2, «.
Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer. Kita kembali pada masalah yang kita tinjau, (v+m)(v+m-1) « (v+1) +(v+1) = +(v+m+1) jadi rumus untuk a2m pada (3) menjadi a 2m
a 2m
! !
(1) m 2 2m m!(v m)(v m 1)...(v 1)+ (v 1).2 v (1) m 2 v 2 m m!+(v m 1)
Fungsi Bessel I.
, m = 0, 1, 2, «.
(5)
3
g
Dengan menentukan r = v dan substitusikan (5) ke y(x) = x
r
§a
x
m
m
dan mengingat a2m-
m! 0
1
= 0, untuk m = 1, 2, «, maka didapat g
y(x) = x
v
§a
(1) m
g
2 m x
2m
= x
v
m! 0
§2
m !0
v2 m
m!+ (v
m 1)
x
2m
fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v dan ditulis dengan notasi J v (x). Jadi (1) m
g
J v (x) = x v §
2
m !0
v2 m
m!+ (v
m 1)
x
2m
(6)
atau 2 4 « » x x J v (x) = ¬1 2(2v 2) 2.4(2v 2)( 2v 4) ...¼ 2 +(v 1) ½
x
v
v
dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif, atau (1) m
g
Jn(x) = x
n
§2
m !0
n2 m
m!( n m)!
x
2m
Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan bulat negatif. Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh J0(x) = 1
x
2
2
2
x
4
2
2 .4
2
2
2
x
6
4
2
6
2
...,
yaitu fungsi Bessel orde nol. Sekarang kita tinjau kasus r = - v . Penyelesaian J-v dari Persamaan Bessel Dengan mengganti v dengan ±v di (6), kita peroleh J-v (x) =
x
v
(1) m
g
§2 m !0
Fungsi Bessel I.
2m v
m!+( m
v 1)
x
2m
(7)
4
Karena persamaan Bessel memuat v 2, maka fungsi-fungsi J v dan J-v merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan bilangan bulat, maka J v dan J-v adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x v dan x-v . Ini memberikan hasil berikut. Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel) Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x {
0 adalah
y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x). Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut. Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J n dan J-n) Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J n(x) dan J-n(x) adalah bergantung linear karena J-n(x) = (-1) n Jn(x)
untuk n = 1, 2, 3, «.
Mohon untuk diingat: Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi Jn(x). kita tahu bahwa g
1
§ n! n!0
g
1
§ n!
(
xt
2
(
n!0
xt
)n ! e 2
xt
2
)n ! e
x2t
bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh x
e
2
( t 1 ) t
g
!
§ J ( x) t
n
n
n ! g
= J0(x) + J1(x) t + J2(x) t2 + J-1(x) t-1 + J-2(x) t-2 + «. berlaku untuk setiap x dan t { 0. Jadi Jn merupakan koefisien dari uraian fungsi elsponensial di atas.
Fungsi Bessel I.
5
