Persamaan Bessel dan Fungsi-fungsi Bessel Jenis Pertama Salah Salah satu satu dari persamaa persamaan-per n-persama samaan an diferensi diferensial al yang terpenti terpenting ng dalam dalam penerapa penerapan n matematika adalah persamaan diferensial Bessel 2 2 x2 y ″ ″ + xy ′ + (x – v ) y = 0
(*)
di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan seba sebagai gainya nya,, pada pada sebag sebagian ian besar besar kasus kasus perso persoala alan n terseb tersebut ut me menun nunjuk jukka kan n sifat sifat simetri silinder. Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik titik singu singular lar regule regulerr di x = 0. Jadi Jadi Pers Persama amaan an (*) me mempu mpunya nyaii penyel penyelesa esaian ian yang yang berbentuk ∞
r
x
y(x) =
∑a
x
m
m
m =0
∞
=
∑a
m
x
m +r
dengan a0 ≠ 0
m =0
turunan-turunannya turunan-turunannya adalah ∞
y ′ (x) =
∑(m + r ) a
x
m +r −1
m
m =1
∞
= ∑(m + r +1)a m+1 x m +r m =0
∞
″ (x) = y ″
∞
∑(m + r − 1)(m + r ) a
m
x
m +r −2
m =2
= ∑( m + r + 1)( m + r + 2) a m +1 x
m + r
m =0
substitusikan substitusikan y, y ′ dan y ″ ″ ke persamaan diferensial di atas, diperoleh ∞
∑[(r + m)(r + m − 1) + (r + m) + ( x
2
2
− v )]a m x m
+ r
=0
m =0
Bagi persamaan ini dengan xr dan kemudian kumpulkan koefisien dari xm, maka didapat ∞
2
2
2
2
(r – v )a0 + [(r + 1) – v ] a1x +
[(( r + m) ∑[((
2
2
− v )a m + a m −2 ] x m = 0
m =2
(r2 – v 2)a0 = 0 [(r + 1)2 – v 2] a1 = 0
Fungsi Bessel I.
1
∞
∑[((r + m)
2
2
− v ) a m + a m −2 ] = 0
m =2
karena a0 ≠ 0, dari (r2 – v 2)a0 = 0 diperoleh persamaan penunjuk r2 – v 2 = 0 ⇔ r = ± v begitu pula dari [(r + 1) 2 – v 2] a1 = 0 di dapat a1 = 0. ∞
Sedangkan dari persamaan
∑[((r + m)
2
2
− v )a m + a m−2 ] = 0 didapat rumus rekursi
m =2
(r + m – v)(r + m + v) am = - am-2, untuk m = 2, 3, …
(1)
selanjutnya kita tinjau kasus r = v. Penyelesaian Terhadap Akar r1 = v Untuk r = r1 = v maka rumus rekursi menjadi m(2v + m) am = - am-2, untuk m = 2, 3, … karena a1 = 0, maka diperoleh a3 = 0, a5 = 0, …, a2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, … dengan syarat 2v + m ≠ 0 untuk m = 2, 3, …. Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan a2m = −
1 a 2 m −2 , untuk m = 1, 2, 3, … 2 m (v + m ) 2
(2)
dengan syarat v ≠ - m. Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a2, a4, … secara berurutan. ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh a2m-2 = −
1 2 ( m −1)( v + m −1) 2
a 2 m −4
dengan demikian a2m =
(−1) 2 2 4 m( m −1)(v + m)(v + m −1)
a 2 m −4
apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat a2m =
( −1) m a 0 2
2m
m!(v
+ m)(v + m −1)...( v +1)
, untuk m = 1, 2, 3, ….
(3)
a0 masih sembarang, biasanya diambil a0 =
Fungsi Bessel I.
1 2
v
Γ (v +1)
2
dimana Γ (α
adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa
Γ
) didefinisikan oleh integral ∞
Γ (α ) = ∫ e −t t
−1
α
dt
(α > 0)
0
dengan integrasi parsial diperoleh ∞
Γ (α + 1) = ∫ e
−t
α
t dt
= −e
−t
α
t
]
∞ 0
∞
+ α ∫ e − t
0
t
−1
α
dt
0
pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah
Γ (α
).
Ini menghasilkan hubungan dasar Γ (α
+1) = α
Γ (α
)
(4)
karena ∞
Γ
(1) =
∫ e
−t
dt
=1
0
kita simpulkan dari (4) bahwa Γ
(2) = Γ (1) = 1 !,
Γ
(3) = 2Γ (2) = 2!, ….
dan umumnya Γ
(k+1) = k!
untuk k = 0, 1, 2, ….
Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer. Kita kembali pada masalah yang kita tinjau, (v+m)(v+m-1) … (v+1) Γ (v+1) = Γ (v+m+1) jadi rumus untuk a2m pada (3) menjadi a2m
a2m
= =
( −1) m 2 2 m m!(v + m)(v + m −1)...( v +1)Γ (v +1).2 v ( −1) m
, m = 0, 1, 2, ….
2 v +2 m m!Γ (v + m +1)
(5) ∞
Dengan menentukan r = v dan substitusikan (5) ke y(x) =
x
r
∑a
x
m
m
dan mengingat
m =0
a2m-1 = 0, untuk m = 1, 2, …, maka didapat ∞
y(x) = x
v
∑a m =0
Fungsi Bessel I.
( −1) m
∞
2 m x
2m
=
x
v
∑2
m =0
v +2 m
m!Γ (v
+ m +1)
x
2m
3
fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v dan ditulis dengan notasi J v (x). Jadi ( −1) m
∞
J v (x) =
x
v
∑2 m =0
v +2 m
m!Γ (v
+ m +1)
x
2m
(6)
atau 2 4 x x − + + ... 1 J v (x) = v 2( 2v + 2) 2.4( 2v + 2)( 2v + 4) 2 Γ (v +1)
x
v
dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif, atau ( −1) m
∞
Jn(x) =
x
n
∑2
m =0
n +2 m
m!( n
+ m)!
x
2m
Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan bulat negatif. Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh J0(x) = 1 −
x
2
22
+
x
4
2 2.4 2
−
x
6
22426 2
+ ...,
yaitu fungsi Bessel orde nol. Sekarang kita tinjau kasus r = - v . Penyelesaian J-v dari Persamaan Bessel Dengan mengganti v dengan –v di (6), kita peroleh J-v (x) =
x
−v
( −1) m
∞
∑2 m =0
2 m −v
m!Γ ( m
− v + 1)
x
2m
(7)
Karena persamaan Bessel memuat v 2, maka fungsi-fungsi J v dan J-v merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan bilangan bulat, maka J v dan J-v adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x v dan x-v . Ini memberikan hasil berikut. Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel)
Fungsi Bessel I.
4
Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x 0 adalah
≠
y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x). Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut. Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J n dan J-n) Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J n(x) dan J-n(x) adalah bergantung linear karena J-n(x) = (-1) n Jn(x)
untuk n = 1, 2, 3, ….
Mohon untuk diingat: Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi J n(x). kita tahu bahwa ∞
1
∑ n!
(
n =0
∞
1
∑ n!
xt
2
(−
xt
n =0
xt
n
) =e2
2
)n = e
− xt 2
bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh x
e
2
( t −1t )
∞
=
∑ J
n
( x) t n
n =− ∞
= J0(x) + J1(x) t + J2(x) t2 + J-1(x) t-1 + J-2(x) t-2 + …. berlaku untuk setiap x dan t
≠
0. Jadi Jn merupakan koefisien dari uraian fungsi
elsponensial di atas.
Fungsi Bessel I.
5
