Estática Capítulo 6 Centros de Gravedad, Centroides y Fuerzas Distribuidas (3)

16/05/2016

Temas

Capitul o 6. Capitulo Centros de Gravedad, Centroides y Fuerzas Distribuidas (Centers of Gravity , Centroids and Distributed Forces Forces))

Estática Profesor: Alfredo Abuchar

Introducción Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Centroides de áreas y líneas. Primeros momentos de áreas y líneas Placas y alambres compuestos Determinación de centroides centroides por integración integración Teoremas de Pappus-Guldinus Cargas distribuidas en vigas Momentos de Inercia Teorema de los ejes paralelos Momentos de inercia de áreas compuestas

Profesor Alfredo Abuchar


Introducción

INTRODUCCIÓN (INTRODUCTION INTRODUCTION))

Un cuerpo está formado por mucha chas part artícula ulas y la Tier Tierra ra ejer ejerce ce una una fuer fuerza za de atra atracc cció ión n sobr sobre e cada cada una una de esas partíc tículas, pero ero se puede considerar como una sola fuerza aplicada en un punto denominado Centro de Gravedad .


Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Consi Consider deremo emoss la sigui siguient ente e placa placa plana plana::

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

La cual se considera divid dividida ida en n en n partes.

w2

(CENTER OF GRAVITY OF ATWO A TWO--DIMENSIONAL w1

BODY)) BODY

S i se con si sidera un a sola fuerza W u bi bica da da en un punto punto G.

A(x1,y1)

B(x2,y2)

 w3 C(x3,y3 )

Los Los mome momento ntoss de W con con resp respec ecto to a x y y s on los los ejes ejes x on i gu gu al al es es a l a su ma ma d e los los mome moment ntos os corr corres espo pond ndie ient ntes es de los pesos elementale elementales: s:


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Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Si se aumentan el numero de elementos en que se divide la placa se obtienen las siguientes expresiones: Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas y y del centro de gravedad G de la placa plana.

CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS (CENTROIDS OF AREAS AND LINES)


Centroides de áreas y líneas

Centroides de áreas y líneas

Para una placa plana homogénea de espesor uniforme se tiene que:

En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme las coordenadas del centroide se obtienen a partir de las ecuaciones:

Donde  es el peso específico del material. Si t es el espesor del material y A el área de la placa, se tiene que: Sabiendo que:

Estas ecuaciones definen las coordenada x y y del centro de gravedad de la placa homogénea.Este punto también se conoce como centroide C del área de laplaca. Profesor Alfredo Abuchar


Primeros momentos de áreas y líneas

PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS

Las integrales y se conocen como el primer momento del área A con respecto al eje “ x” (Qx) y primer momento del área A con respecto al eje “y” (Qy), respectivamente.

(FIRST MOMENTS OF AREAS AND LINES)

Los primeros momentos de áreas son importantes también en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Profesor Alfredo Abuchar

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Primeros momentos de áreas y líneas Centroides de áreas comunes





PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS (COMPOSITE PLATES AND WIRES)


Placas y alambres compuestos

Placas y alambres compuestos Ejercicio 1 (5.2 Statics . Beer , ninth edition)

Suponga la placa plana de la figura mostrada: y

A2

A3

Para determinar las coordenadas de su centroide se puede dividir en varias figuras más comunes para facilitar la solución.

Locate the centroid of the plane area shown

De donde:

A1 x



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Ejercicio 1 (5.2 Statics . Beer , ninth edition)

A1

A2


A1

1200

10

30

12000

36000

A2

540

30

36

16200

19440

28200

55440

1740







A2

Ejercicio 3 (5.13 Static s. Beer , ninth edition)

A1

280

7

10

A2

-50.27

6

12

229.73

1960

2800


-301.59 -603.19 1658.41 2196.81

A1





Ejercicio 3 (5.13 Stati cs. Beer , ninth edition)

A1

A2

Ver centroide de un de cuarto enjuta de área parabólica circular

A1

706.86

12.73

A2

200

9

906.86


32.73 8998.33 23135.53 15

1800

3000

10798.33 26135.53


A uniform circular rod of weight 8 lb and radius 10 in is attached to a pin at C and to the cable AB. Determine: a) the tension in the cable, b) the reaction at C. Ver centroide un cuarto de arco circular


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Member ABCDE is a component of a mobile and is formed from a single piece of aluminum tubing. Knowing that the member is supported at C and that l= 2m, determine the distance d so that portion BCD of the member is horizontal.

y

x

AB

0.75

0.2151 -0.3072 0.1613 -0.2304

BD

1.5

0.75

DE

2

0

1.125

0

0.9264 -0.8192 1.8528 -1.6384 3.1391 -1.8688

4.25




Placas y alambres compuestos Ejercicio 6 (5.103 Stat ics. Beer ,ninth edition)

Ejercicio 6 (5.103 St atics. Beer , ninth edition)

V5

For the machine element shown locate the y coordinate of the center of gravity

V4 V1 V2

V3

V1

21

2

-0.375

V2

4.7124

2

-0.375

V3

-3.6816

2

-0.375

7

V4

8

0.5

1

2

-2.4544

0.5

1.4695

2

V5

27.5764 Profesor Alfredo Abuchar

3.5

42

7.8488 9.4248

-7.875

73.5

-1.7672 36.9867

-7.3632 1.3806 -25.7712 4

8

16

-1.2272 -3.6067 -4.9088 46.8344 -3.8683 95.8067 Profesor Alfredo Abuchar

Determinación de centroides por integración

DETERMINACIÓN DE CENTROIDES POR INTEGRACIÓN (DETERMINATION OF CENTROIDS BY INTEGRATION)

El centroide de un área limitada por curvas analíticas se puede determinar evaluando las integrantes de las ecuaciones:

y son las coordenadas del centroide del elemento .

Si la línea está definida por una ecuación algebraica, su centroide se puede determinar por las ecuaciones:


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Determinación de centroides por integración Ejercicio 7 (5.40 Stati cs. Beer , ninth edition)

Determinación de centroides por integración Ejercicio 7 (5.40 Static s. Beer , ninth edition)

Determine by direct integration the centroid of the area shown. Express your answer in terms of a and b.

1.Hallar k: 2.Hallar el área:

x

3. El primer momento de área con respecto al eje x es:

y

4.El primer momento de área con respecto al eje y es:

5.Se sabe que: 5. Remplazando y despejando: Profesor Alfredo Abuchar


Teoremas de Pappus-Guldinus

TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

¿Si se tienen las siguientes figura y se rotan con respecto al eje indicado que figura se obtiene?

(THEOREMS OF PAPPUS-GULDINUS)

Teorema 1: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.




¿Si se tienen las siguientes figura y se rotan con respecto al eje indicado que figura se obtiene?


Determine the volume and the surface area of the solid obtained by rotating the area of Pro.5.2 about a) the y axis, b) the line y=60 mm.

Teorema 1I: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.



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a) Con respecto al eje y:

b)Con respecto a la línea y = 60 mm:

Se sabe del teorema 2: Se sabe del teorema 1:

y=60

5

5

4

1200

30

36000

A2

540

24

12960 48960

6

4 6 3 2 1 Del primer tenemos:

A1

ejemplo

3

L1

20

10

200

L2

24

20

480

L3

30

35

1050

L3

30

36

1080

L4

46.86

35

1640.1

L4

46.86

18

843.48

L5

20

10

200

L5

20

0

0

L6

60

0

0

L6

60

30

1800

2 1

L1

20

60

1200

L2

24

48

1152

6075.48

3570.1 Profesor Alfredo Abuchar


Cargas distribuidas en vigas

CARGAS DISTRIBUIDAS EN VIGAS (DISTRIBUTED LOADS ON BEAMS)

Si una viga soporta una carga distribuida, puede considerarse que dicha carga está aplicada en se centroide. Esto es válido únicamente para determinar las reacciones de la viga. Una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción para a través del centroide de dicha área.






Determine the reactions at the beam supports for the given loading

F=32 kN

=

MA RA 3.875 m

Rectángulo

20

5

Triángulo

12

2

32


100 24 124


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Ejercicio 10 (5.144 St atics. Beer ,ninth edition)

Ejercicio 10 (5.144 Sta tics. Beer ,ninth edition)

A beam is subjected to a linearly distributed downward load an s rests on two wide su ppo rts BC an d D E, which exer t uniformly distributed upward loads as shown. Determine the values of w BC and w DE corresponding to equilibrium when w A=600N/m.

?

3.33 m

?

1 m FBC

F=5.4 kN

FDE

?

5m



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Estática Capítulo 6 Centros de Gravedad, Centroides y Fuerzas Distribuidas (3)

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