REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA CONSEJO UNIVERSITARIO
Centroides y Centros de Gravedad.
INTRODUCCION:
La Mecánica es la rama de la física que trata de la respuesta de los cuerpos de acción de las fuerzas. Donde se divide en tres partes: Mecánica de los cuerpos rígidos, Mecánica de cuerpos deformables y Mecánica de fluidos. La estática se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas. Y por lo tanto se estudian también, los centroides y centros de gravedad, tanto de cuerpos simétricos e irregulares. Esto viéndolo desde el punto de vista de la mecánica estática. Para esto se investigo sobre los conceptos que se van a utilizar tanto centroides como centros de masa, esto es para poder entender la validez de los conceptos utilizados.
Ejemplo: Por centroide se entiende el punto donde estaría el centro de gravedad, si el espacio vacío fuera ocupado por un cuerpo. Por ejemplo, un cuadrado tiene centroide, pero un pedazo de madera cuadrangular tiene centro de gravedad.
Centroides:
El centroide es el que define el punto medio geométrico de algún objeto. Donde se localiza a partir de formulas utilizadas en el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran los siguientes casos: Volumen, Área, Línea.
Volumen: Para localizar el centroide se utilizan las formulas del volumen, que se determina calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Sus formulas son: X= x.dv Y= y.dv Z= z.dv
Área: Para este se encuentra subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de área en torno al eje de coordenadas. Sus formulas son: X= x.dA Y= y.dA Z= z.dA
Linea: Tal como una barra delgada de alambre, toma la forma de una línea. Sus formulas son: X= x.dL Y= y.dL Z= z.dL
Momento de inercia para las áreas: El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varia literalmente del eje de momento. Considerando el área A, situado en un plano x – y. Los momentos de inercia del área plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx=y2.dA y dly=x2dA, respectivamente. Por integración es para hallar el área total de los momentos de inercia.
Momento Polar de inercia: Es análogo a la zona de momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir el objeto de la habilidad para resistir la torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par, es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión y es necesario para calcular el desplazamiento.
Ecuaciones de momento de inercia:
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:
es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y es la aceleración angular.
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad
, mientras
que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular
:
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Tensor de inercia de un sólido rígido:
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:
Donde
son las coordenadas cartesianas rectangulares. , es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:
Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje , y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia. . El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
Centroide de áreas compuestas: En gran cantidad de casos, una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia…) esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según: X= xiAiAi Y=yiAiAi Z=ziAiAi Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de formulas para areas comunes como estos.
Teorema de Pappus-Guldinus: Una superficie es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera, se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.
Primer teorema: El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a C sobre el mismo plano, es igual a la longitud de C, s, multiplicada por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.
Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor es:
y radio mayor
Se entiende como radio menor al radio de la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.
Segundo teorema: El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.
Por ejemplo, también el volumen de un toro de radio menor y radio mayor
Donde es el radio de la circunferencia menor transversal y circunferencia mayor o generatriz.
es
es el radio de la
Teorema de Mohr:
El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro…). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Movimiento de Rotación:
Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del Sol).
Ejes principales de Inercia:
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.
Centro de Gravedad: Centro de gravedad: (c.g.) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).
Propiedades del centro de gravedad: La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única, esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio
Calculo del centro de gravedad:
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:
Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:
La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor intensidad que el extremo más alejado.
CONCLUSION:
El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide. El centro de gravedad de un cuerpo está ubicado en (X Y Z) donde la sumatoria de momentos internos es cero si esta en equilibrio. El mismo es el centro del peso del objeto donde podemos concluir que la fuerza de gravedad.
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Bibliografía:
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/centro-gravedad-centroide/centrogravedad-centroide.shtml Enciclopedia Encarta2000® Microsoft© . 1998-99 Multimedia http://www.ing.ula.ve/~rubio/indice.htm http://es.slideshare.net/fisicavicenciana/centro-de-gravedad http://es.scribd.com/doc/23796793/CENTROIDE http://es.wikipedia.org/wiki/Centroide http://www.planetseed.com/es/node/41106
