Ing. Electromecánica
Fuerzas distribuidas y Momentos de Inercia
1. TEMA Fuerzas distribuidas y momentos de inercia
2. INTRODUCCIÓN En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y arboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentra frecuentemente expresiones de la forma:
∫
Donde
representa un elemento de superficie y la distancia de ese elemento a un
cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él.
Son siempre positivos y sus dimensiones serán
( )
En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma:
∫ ( )
Donde
representa un elemento de masa y la distancia de este elemento a un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones serán ( )
3. OBJETIVOS 3.1. General Estructurar maquetas sobre análisis de fuerzas distribuidas y momentos de inercia, para su respectiva demostración tanto en lo teórico como en lo práctico y de esa manera comprender el estudio de ejercicios que sirvan de guía tanto al estudiante como al docente.
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3.2. Específicos
Determinar las fuerzas distribuidas y momentos de inercia, es decir, las fuerzas que intervienen en dichos cuerpos para poder determinar su eje de giro.
Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de momentos de inercia de masa.
Analizar todos los teoremas que existen para dar solución a los problemas.
Aplicar los métodos correspondientes para resolver ejercicios y dar solución a cada caso que se presente en el desarrollo de los mismos.
4. MARCO TEORICO
MOMENTO DE INERCIA El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Inercia es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Mientras más masa está más alejada del eje de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4, m4, pulg4.
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Figura 1: Momento de inercia de área
Fuente: http://9fisicaolaya.wordpress.com/diez/
MOMENTO DE INERCIA: LA ROTACION EN LA INERCIA Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro’’. El momento de inercia es similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. El momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el
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momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión.
Figura 2: La Rotación En La Inercia
Fuente: http://ayudantiamecanica2.blogspot.com/2011/05/html TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por
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El momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro o de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
Figura 3: Teorema De Los Ejes Paralelos
Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/parax.html MOMENTO DE INERCIA DE UNA PLACA RECTANGULAR Comenzamos en primer lugar hallando el de una placa de masa M y longitud b respecto de un eje perpendicular a ella por su centro.
Figura 4: Placa Rectangular
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/inercia/inercia.htm La integral en este caso es una en una variable x, que nos da la distancia al centro. La densidad de masa de esta varilla roja es M / L, por lo que
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⁄ ⁄ ∫⁄ ∫⁄ Ahora consideramos el momento de inercia de la placa cuadrada respecto de un eje que pasa por los centros de dos lados opuestos. Dividiendo la placa cuadrada en finas tiras de longitud b y grosor
, situadas perpendicularmente al eje, obtenemos un conjunto
de varillas como la que acabamos de calcular, siendo el momento de inercia de cada una
Y el momento de inercia de la placa cuadrada respecto de eje es la suma de los momentos de inercia de cada una de las varillas que lo componen
∫ ∫ Vemos que el momento de inercia tiene exactamente la misma expresión que para una sola varilla, ya que todas contribuyen de la misma f orma al momento de inercia total.
EJERCICIO DE APLICACIÓN Determine el momento de inercia del área sombreada con respecto al eje x.
Figura 5: Ejercicio de Aplicación
Fuente: Libro Mecánica Vectorial para ingenieros de Beer
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Para obtener la solución de este ejercicio primero debemos calcular por partes las diferentes áreas y momentos de inercia que posee esta placa. Y como vemos tenemos la forma de una placa rectangular y un semicírculo, entonces para la solución de dicho sistema tenemos que utilizar las fórmulas que nos presentan en la figura 1 de este documento.
Figura 6: Figuras que facilitan el calculo
Fuente: Libro Mecánica Vectorial para ingenieros de Beer
El momento de inercia del rectángulo:
()()
El momento de inercia del semicírculo: Primero determinamos la distancia a del semicírculo:
()()
Determinamos la distancia b del semicírculo desde el centroide c hasta el eje x:
Figura 7: Semicírculo
Fuente: Libro Mecánica Vectorial para ingenieros de Beer
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Ahora, para terminar tenemos que calcular el momento de inercia con respecto al diámetro
´ y la respectiva área del semicírculo utilizando las formulas de la
figura 1.
() () Con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de ̅ : ̅ ̅ ()() ̅ Ahora, vamos a determinar el valor de : ̅ ()()
Momento de inercia del área sombreada: finalmente restamos el momento de inercia del semicírculo al momento de inercia del rectángulo:
5. MATERIALES
Madera MDF
Clavos
Pintura
Lija
Cierra
Taladro de mano
6. CONCLUSIONES
Se logró determinar el momento de inercia de dos solidos (semicírculo y rectángulo) y pudimos observar que el momento de inercia varía mediante el cálculo gracia a la distribución de masa que existe entre ellos.
Los resultados obtenidos en el cálculo pueden variar al construir la maqueta ya que al cortar el semicírculo se desprende la viruta de la madera.
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Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su inercia.
Se deduce que mientras más masa tenga un cuerpo que este girando, mayor deberá ser la inercia rotacional que experimente.
7. RECOMENDACIONES
Se recomienda utilizar la tabla de los momentos de inercia para la resolución de cualquier tipo de ejercicio, ya que nos ayuda muchísimo sus fórmulas y así evitamos la pérdida de tiempo.
Se debe tener en cuenta el tipo de solido en el que estamos trabajando ya que dé él depende la cantidad de masa y así podemos asegurar que el momento de inercia de nuestro ejercicio no tenga mucho margen de error con los cálculos.
8. BIBLIOGRAFIA
https://sites.google.com/site/inescedenofisica/momento-de-inercia/Momento-deinercia-del-Semicrculo http://www.lem.ep.usp.br/pef2308/Materiais_de_apoio/momentos_de_inercia.pd f http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica1/momentos_de_inercia.pdf http://www.slideshare.net/MKatherineRDuran/momento-de-inercia-22820195 http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/minercia.h tmlf http://www.slideshare.net/oscarfhidalgo3/momentos-de-inercia-15995308
9. ANEXOS ANEXO N° 1
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ANEXO N° 2
ANEXO N° 3
ANEXO N° 4
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ANEXO N° 5
ANEXO N° 6
ANEXO N° 7
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ANEXO N° 8
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