Estática
Centroides y centros de gravedad (plano) El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que Paso 1: Considerar una actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a figura 2D arbitraria. cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo Suspéndase la figura Paso 2: Suspéndase desde un punto cercano a En otras palabras, el centro de gravedad de un una arista. Marcar la línea cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la vertical con una plomada. gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento Paso 3: Suspéndase Suspéndase la figura resultante nulo. de otro punto no demasiado El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente cercano al primero. Marcar a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una otra línea vertical con la esfera hueca está situado en el centro de la esfera plomada. La intersección de que, obviamente, no pertenece al cuerpo. las dos líneas es el centro de gravedad. En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente conceptualmente diferentes. El centroide es un concepto puramente puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.
Centroides: En geometría, el centroide o baricentro de un objeto perteneciente a un espacio dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a en dos partes de igual nvolumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de . Centro de masa y centro de gravedad El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección constante constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, incluso para una locomotora locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos. Centro geométrico y centro de masa El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) uniforme) o cuando la l a distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.
Centro de masa (C.D.M.) Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida. Si consideramos un sistema de n puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del C.D.M. G del sistema de puntos materiales son: M yz m x
n
m x i
o sea x
i
i 1
M zx m y
n
i
i 1
M xy m z
n
m z i i
i 1
Dónde:
m
m x i
m
1 o sea z m
i
i 1 n
1 o sea y m
m y i
n
1
m y i
i
i 1 n
m z i i
i 1
n
m
i
i 1
Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial única así: n
m x
m x i m y j m z k
i
i
i
m ( x i y j z k )
i
i
i i
i 1
n
m ( x i
n
m y j m z k
i 1
De donde:
n
i
i 1
i yi j z i k )
i 1
Que se reduce a:
MO m r
n
m r i
i
o sea
r
i 1
1 m
n
m
i
ri
i 1
Ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es:
r i xi i yi j z i k
y el vector de posición del CDM respecto al origen es:
r x i y j z k Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo 1 M yz m x x dm o sea x x dm m 1 Dónde: m dm M zx m y y dm o sea y y dm m 1 M xy m z z dm o sea z z dm Vectorialmente: m
m
V
m r r dm r dV r
1
1
r dm r dV m m m
V
Dónde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la densidad del elemento y dV es su volumen.
Centro de gravedad (C.D.G.) El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo. El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el C.D.G. del cuerpo. •
•
El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que: W m g
Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo del CDM tendremos:
M yz W x x dW o sea x
M zx W y y dW o sea y
M xy W z z dW o sea z
1 W 1
x dW Dónde:
y dW W 1
W
W dW
z dW
Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su C.D.G. podrá determinarse considerando que el cuerpo está constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado así:
dW dV Donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:
W
dV V
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será dM y x dW x ( dV )
y según la definición de CDG:
M y x W x
dV x ( dV ) V
V
Así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será
x ( dV ) x dV V
y análogamente:
y ( dV ) y V
y
z ( dV ) z V
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:
Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:
La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor intensidad que el extremo más alejado.