Matematica pentru examenul de bacalaureat M1

Filiera teoretica, profilul real specializarea matematidi-informatica rdiera vocational a, profilul militar, specializarea matematica-informatica

Marian ANDRONACHE • Dinu SERBANESCU Marius PERIANU • Catalin CIUP ALA • Florian DUMITREL

Matematica pentru examenul de bacalaureat

Ml

~MATEMATICIENILOR

Clubul matematicienilor este un proiect dezvoltat de Grupul Editorial Art.

Cuprins

Copyright © 2012

.-.E.•..•.

~ GNpEditorial Toate drepturile asupra aeestei lucrari apartin editurii. Reprodueerea integrala sau partials a continutului lucrarii este posibila numai cu acordul prealabil seris al editurii.

o

Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE(clasele IX-X)

r:/:J

Tema 1.1 - Multimi de numere. Multimi ~i elemente de logica matematica

.

7 196

Tema 1.2 - Functii definite pe multimea numerelor naturale (~iruri)

10 197

Tema 1.3 - Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice

14 200

Tehnoredactare: Cornel Draghia

Tema 1.4 - Functia de gradull.

19 201

Coperta: Alexandru Da~

Tema 1.5 - Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale............................................. 24 204

Referenti stiintifici:

prof. drd. Livia Harabagiu prof. gr. I. Eduard Buzdugan

Tema 1.6 - Functia exponentlala

Tiparit la C.N.I. "Coresi" S.A.

Functia de gradul alII-lea

~i functla logaritmica.

Ecuatii ~i inecuat]] exponentiate ~i logaritmice

Descrierea

CIP este disponibila

la Biblioteca Nationala

a Romanie]

978-973-124-824-0

Pentru comenzi va puteti adresa:

Departamentului DijUzare

28 207

Tema 1.7 - Numere complexe

32 208

Tema 1.8 - Metode de numarare. Elemente de combinatorlca. Matematici financiare

36 209

Tema 1.9 - Vectori in plan. Geometrie vectcrlala. Geometrie analitica

40 210

Tema 1.10 - Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei produsului scalar in geometria plana

~i ale 46 213

C.P. 22, O.P. 84, Cod: 062650, sector 6, Bucuresti telefon 021.224.17.65 0721.213.576 0744.300.870 Se acorda importante reduceri.

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1- Permutari. Matrice. Determlnanti

55 216

Tema 2.2 - Sisteme de ecuatii liniare

64 219

• 3

Tema 2.3 - Structuri algebrice..............................................................................74 226 Tema 2.4 - Polinoame

cu coeflclentl intr-un corp comutativ................

Algebra/Ceornetrie

85 235

Clasele IX-X Partea 3. ANALiZA MATEMATICA (clasele XI-XII) Tema 3.1 - Limite de ~iruri. Limite de functll, Functii continue. Functii derivabile........................................... 97 239

Tema 1.1. Mullimi de numere. Mullimi ~i elemente de loqica rnatematica

Tema 3.2 - Primitive.................................................................................................. 118254

Tema 1.2.

(cia sa a IX-a)

Functil definite pe multimea numerelor naturale (slrurl) (cia sa a IX-a)

Te ma 3 •3 - Fri'" u n •..,II In t egra bllI e

124 258

Tema 1.3.

Functil. Proprletati generale. Lecturi grafice (clasele IX-X)

Tema 1.4.

Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE Tema 4.1- Subiecte

date la examenul

(clasa a IX-a)

de bacalaureat

Tema 1.5.

143 280

in anii anteriori de subiecte

propuse

spre rezolvare

Puteri ~i radicali. Ecuatil irationale (clasa a X-a)

Tema 1.6.

Tema 4.2 - Variante

Functia de gradull. Functia de gradul al ll-Iea

Exponentiale ~i logaritmi (clasa a X-a)

156 304 Tema 1.7.

Numere complexe (clasa a X-a)

Tema 1.8. Metode de nurnarare. Elemente de cornblnatorica (clasa a X-a)

Tema 1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorlala. Geometrie analltica (clasele IX-X)

Tema 1.10.

Elemente de trigonometrie. Functli ~i ecuatli trigonometrice (clasa a X-a)

Tema

.

1.1

Multimi de numere . Multimi ~i elemente de logica matematica 1. Partea intreaga ,i partea fraclionara a unui numar real Defini~ie. Fie x

E

lR . Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal dedit x se numeste

par/ea fntreagii a lui x. Se noteaza: [x] = max {p

E

IE I p ~ x} .

Numarul real {x} = x - [x] se numeste partea fractionard

a lui x.

Proprletatl 1. [x]~x<[x]+l,

1. {x}E[O,l), VXElR;

VXElR;

2. x-1<[x]~x,

2. {x}

VXElR;

=

0 <=>

X E

IE ;

3. {x} = {y} <=> x- Y

3. [X]=X<=>XEIE; 4. [x + n] = [x] + n <=> n

E

E

IE,

4. {x + n} = {x} <=> n

IE ;

E

IE.

Identitatea lui Hermite. [X]+[x+~J+[x+~J+

... +[x+

n~lJ=[nx],

VXElR, VnEN*\{l}.

Probleme propuse 1. Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii a) p: ,,[x]+[Y] = [x+ y], pentru orice x,y E lR", unde [a] reprezinta partea intreaga a numarului real a. b) q : ,,{3x} = 3{x} , pentru orice x

E

R", unde {a}

reprezinta partea fractionara a

numarului real a.

c) r : " Vx E R, 3y

E

lR astfel incat X2 + y2 = 2012 ".

2. Determinati valoarea de adevar a afirmatiei: "Suma oricaror doua numere irationale este un numar irational." Variante bacalaureat 2009

3. a) Calculati [ J2012 J+(

2+.J2).{-.J2}.

b) Calculati [_1_+_1_+ ...+

,

1·2

2·3

1 ]. 2012·2013

i I

c) Calculati [ J2009 ] + 3· {-~} . d) Calculati [

< U ~ ~ w

.Ji] + [ .J2] + ...+ [ .JiOo].

e) Calculati [( J3 +

.J7f ] .

Variante bacalaureat, februarie 2008

~ ~

• 7

4.

a) Determinaj] multirnea A=={xe[O,2]1[2x]==2[x]}, tntreaga a numarului real a. b) Determinati multimea B == fractionara a numarului real a.

{x

E [ -1,2]

13 {x}

unde

I}, unde

==

[a] reprezinta partea {a}

reprezinta

partea

E

lR* . Aratati ca

Variante bacalaureat .februarie 2008

7. a) Aratati ca {{x } + y} = {x + {y }} , pentru orice x, Y

E

8. a) Aratati ca [x] +[ x+~J = [2x], pentru orice x

E

b) Aratap ca

lR.

E

(x -1) ( x -

lR I

multimii B = {I a=b Ila,b

E

lR , atunci a

0 13 )s

E

lR I( x + 2) ( x2 - 4 ) ~ O}.

13. Se considera multimile A = {x

E

lR Ilxl < 2} ~i B

14. Se considers multimile A - {O 2 4 6 " t

eel mai mare element al

E

lR I

1

.fi+J3

= [-3,0)

<

x s 2} .

. Determinati

An B n Z .

. B = {O,3,6,9, ...,48.} Aflati cardinalul fiecareia dintre multimile A , B , An B ~i A uB . 50}

LUll

-",

15. Se considera fractia zecimala infinita a. } ale multimii A = {aI' a2'--:}"" t.l.ll.J.

{x E IR I X2

-ax+

4

==

==

o] .

{x E IR I x

2

o] n{O,

+mx+n

1,2, ...,2011}

;to

==

o].

0.

+ bJ31 a, b E Z} .

= {a

si {J3} apartin multimii A.

pentru orice x, YEA.

YEA,

==

{x

E

A

I

[x] = O} are eel putin 2012 elemente.

I a, b E Z} . =0 .

ca x2 + 3xy + 4 y2 ~ 0, Vx, Y E lR . +14 = O.

lR ~i x2 + l +Z2 = xy+xz+ yz, atunci x b) Determinati multimea {Ca,b) E Rx R I a2 +b2 +4 = ab+2a+2b}.

26. a) Aratati ca daca x,y,z

E

= Y = z.

27. a) Aratati ca !:+!!.. ~ 2, Va,b > O. b a

~ 8abc, Va,bc ~ O.

28. Se considera numerele x, y ~ 1 . ,\ Ar~ . ~ ../x-l atati ca --~-. x

1 2 b) Aratati ca x~ y -1 + y../ x -1 ~ xy . a/

~l

"71 = 0,a a

1 2•••

•

Determinati nurnarul de elemente

.

16. Se considera fractia zecimala infinita

A = {a0'--1' a. multimii t

, ••• ,

IRxlR pentru care {1;2} ==

b) Aratati ca (a+b)(b+c)(c+a)

{x

+mx+4

Variante bacalaureat 2009

Z, a < b, [a, b) c A} . =

IR I x2

25. Determinati x+ Y+ Z stiind ca x2 + l + Z2 +4x+6y-2z

o}. Determinati

12. Determinati numerele naturale din multimea A

E

Variante bacalaureat .februarie 2008

=b.

(m2-1)x+2>0}=lR.

{xElRl

10. Determinati cel mai mic element al multimii {x ~1. Se considera A = { X

E

X·

{x

23. Determinati (x, y) E lRx lR pentru Care x2 + 2xy + 2l 24. Aratati

orice x

E

pentru care

22. Aratati ca J3 ~ {a + b.fi

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat

pentrucare

a EZ

c) Aratati ca multimea B

lR .

b) Aratati ca {{x + Y} + z} = {x + {y + z}} , pentru orice x, y, Z E lR .

9. Determinati mElR

(m,n)

a) Aratati ca numerele ~4+2J3

= 0 daca si numai daca x > 1.

= [x + b]' pentru

IR pentru care {1;2} ~

21. Se considera multimea A

[~J

b) Aratati ca daca [x + a]

me

19. Determinati perechile 20. Determinati

2 S. Aratap ca [ .J n + n ] = n , pentru orice n EN. 6. Fie x

18. Determinati

4 11 = ao' a a l

2 •••

•

Determinati suma elementelor

29. Determinati multimea 30. Dati un exemplu

Fa -log3

b

E

de doua

Nx N I

E

numere

Fa + ~ naturale

= 2} . a si b care

31. Dati un exemplu de doua numere a + b E N* ~i a- b E Z .

(a, b, c)

E

irationale

a ~i b care indeplinesc

. Calculati

al +a2 + ... +a2012•

Variante bacalaureat .februarie 2008, enunt adaptat

a)

-Ii. ifj, ln2;

1 c) -, 2

conditia

1 r; ~,,,5; ,,3 -,,2

b)

t:

Ji, ifj, ~ ; 1 d) -, 2

conditiile

N x N x N care verifica conditia 2° 0(

U

~ ~ w

!c ~

• 9

Probleme

1.2

Tema

Functii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)

1. Aratati ca sirul (an)

>1 ne:

propuse

cu termenul general a = ~ n n+3

este crescator. Variante bacalaureat

1. $iruri Definitie.

2. Aratatit· ca 'Isirul (a n ) n~l' Sirul

de numere

Xn~xn+1 (xn
de

este

monoton

(strict)

crescator

daca

Vn~l.

numere

reale

( xn ) n;,1 este

mono ton

(strict)

descrescdtor

daca

tl

este mdrginit inferior daca exists un numar

n este strict monoton. 2009

Vn ~ 1.

I

L k (k+I )' Vn ~ I . k=1

Sirul de numere reale (Xn )."1 este mdrginit superior

daca exista un numar real (notat

4. Aratati ca sirurile urmatoare sunt marginite. n I a) xn = Vn ~ 1. k=1 k k+l k +Z

L ( )( )'

cu) M astfel incat xn ~ M, Vn ~ 1.

tl

J;+l-J;;, n

c) »: =

real (notat cu) m astfel meat m ~ xn' Vn ~ 1.

Daca sirul (xn margin it.

-

2009

3. Aratati ca sirurile urmatoare sunt monotone. I I I a) x =--+--+ ... +--, Vn~l n n+I n+2 n+n b) xn =

Xn ~xn+1 (xn >xn+I)' Vn~l.

Definitie. Sirul de numere reale (Xn

de termen general a n = n

Variante bacalaureat

(Xn ).;'1

reale

2

este marginit atdt inferior cat si superior, spunem ca sirul este

b) xn =

Ln

2k+I 2'

e (k+l) k c) Xn = Il-, Vn~I. k+ 1

Vn ~ l.

k=1

2. Progresii aritmetice

n

Definitie. Sirul de numere reale (an )."1 este

0

progresie

aritmetica

de rape r daca

an+1 - an = r, Vn ~ 1 (adica diferenta oricaror doi termeni consecutivi este constanta).

Proprietati

= al +(n-l)·r,

3.8n-

_n{al+an)_ 2 a -al

__ r

5. Fie progresia aritmetica (an a) Determinati

1. an

4. n=-n

k=1

Vn ~ 1. -nal+r

n{n-l) 2

2. a

n

=

an_I +an+1 '"' > 2 2 ' vn_ .

a4 +l, Vn~l,

r#O.

astfel meat as = 7 si

Definilie. Sirul de numere reale nenule (bn

-

suma primilor 20 de termeni ar progresiei

a2 = 4 ~i al + ~ + as + a6 = 30.

8. Determinati aritmetica.

tl este 0 progresie

geometricd de rape q daca

1. bn

= b. . «:

9. Aflati a E IR pentru care numerele 2

2. b; = bn_1·bn+p Vn ~ 2. qn_l bl--, q#l 3.8n= q-l ,unde8n=bl+b2+ { nb., q =1

--- --------------------------

aritmetice

si x+2

E

1

0 -

,

x + 1, 1- x

LI'

stiind ca

2009

si 4 sunt in progresie

To+2 + 1, 2 +1 + 1 sunt in progresie aritmetica. 0

2009

b) 2+6+10+ ... +2010; d) 1+ 5 + 9 + ... + (4n - 3), n

N* ;

(an

sunt in progresie aritmetica.


10. Calculati sumele. a) 1+4+7+ +100; c) 1+ 3 + 5 + + (2n + 3), n

Vn ~ 1

= 43 .


numarul real x stiind ca numerele

bn+1 = bn • q (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).

Proprietati

2l

a13•

7. Determinati xEIR stiind ca x, (x_l)2

3. Progresii geometrice

a

b) Stabiliti daca numarul2015 este termen al progresiei? c) Calculati suma T = a2 + as + as + ... + a2012 • 6. Calculati

,Vn~l,unde8n=al+a2+··.+an·

to

•..

~ 1 E

N*.

11. Aratati ca suma primelor n numere naturale impare este un patrat perfect.

LI.

sirul (an Stiind ca pentru orice n E N * are Ioc egalitatea 2 al + a2 + ... + an = n + n , demonstrati ca sirul (an ).;'1 este 0 progresie aritmetica,

12. Se considera

... +bn.

--------------------

IC(

V

~ ~ W

~ ~

• 11

x+(x+l)+ d) 2+5+8+

Variante baca/aureat

14. Determinati al zecelea termen al sirului xpx2,7,10,13, 15. Fie (an ).2c10 progresie aritmetica. Stiind ca

Cl:J

+ al9

2009

... a6

+ a16·

16. Se considera progresia aritmetica (an ).2c1astfel incat a2 + a3 + al9

+ a20 = 8 . Calculati.

= 21,

tl ~i Sn suma primilor

calculati al

18. Aratati ca daca numerele reale a,b ~i geometries, atunci a = b = c .

+ b, + ...+ bn,

aritmetica

(an

LI

cu elemente

numere

naturale.

Aratati

ca ratia

33. Fie progresia geometries

(bn LI

cu toate elementele numere naturale. Aratati ca ratia

progresiei este un numar natural. 34. Stiind cli doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b) = 6 si bs == 24, determinati

n termeni ai progresiei.

a) Daca al + a4 = 100, an_3 + an = 200 ~i Sn = 600, determinati n. b) Daca S3n = 9Sn si a4

== bo

progresiei este un numar natural. 2009

b) a2 +a4 + ... +a20.

17. Se considera progresia aritmetica (an

).~o si S;

astfel tncat b, -bo == 15 si b2 +bo == 5. a) Determinati b2• b) Calculati S8' 32. Fie progresia

= 10, calculati


a) al +a2 + ...+a21;

b, + b2 == 6 ~i Examen Baca/aureat 2011

31. Se considera progresia geometrica cu termeni pozitivi (bn

+(x+x) =45. +x = 57.

c)

(b') n2c I cu termeni pozitivi, daca

30. Calculati ratia progresiei geometrice b) + b, == 24 .

13. Determinati numarul natural x din egalitatile: a) 1+ 5 + 9 + + x = 231 . b) 1+3+5+ +x = 225.

termenul b.,

Model subiect MEeTS, Bacalaureat 2011

35. Se considera functia /: JR~ JR,lex) == x + 1 . Calculati suma

/(2)+ /(22)+ ...+ /(29).

.

sunt in progresie aritmetica si progresie

C

19. Determinati a,b E JR stiind ca numerele 2,a,b sunt in progresie aritmetica.

sunt in progresie geometrica ~i 2,17,a Variante bacalaureat

2009

20. Fie a.b,c numere naturale in progresie geometries. Stiind ca a + b + c este un numar Variante bacalaureat 2009 par, aratati ca numerele a.b,c sunt pare.

36. Se considers functia

SI = /( (-3t)+

37. Se considera functia

x > 0 stiind ca numerele 1,x -1, x + 5 sunt in progresie geometrica.

SI == /(0)-

22. Fie ecuatia

x2 - 4x + a

S3 == /(2°)-

XI

si x2. Determinati

XI

si x2•

a

E

JR* stiind ca

/((-3y)+

JR,/ (x) == 3x + 1 . Calculati sumele:

/( (_3)2)+ ...+ /(( -3YO)

S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(11).

21. Determinati

= 0, cu radacinile

t :JR~

J :JR~

/(1)+ /(2)-

(x) == 5x -1. Calculati sumele /(3)+ ...+ /(50), S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(50) ~i JR,/

/(i)+ /(22)- /(23)+ ...+ /(29).

XI' x2' 3x2 sunt in progresie geometries. 23. Fie ecuatia

x2 + ax + 2

=

0, cu radacinile

Determinati

a

E

JR stiind ca

XI' x2' x; sunt in progresie geometrica. 24. Determinati primul termen al sirului ao,apa2,4,8,16,32,

....

25. Determinati primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi bp6,b),24, ... Variante bacalaureat

1

26. Se considera numarul real s = 1+ 2 + 27. Aratati ca s = 1-

1

1 1 1 2+"4-8+"'+

28. Fie a=I+ +"'+510

1

5

1

1

22 + ...+ 2100.

Aratati ca s

E

2009

(1; 2).

1 2 22012>"3' 1

1

1

si b=I- +52"-53+"'-SU'

5

1

Calculati

[a]+[b],

unde [x]

este partea intreaga a numarului real x. 29. Aratati ca, pentru orice

t

X E

IR este adevarata egalitatea

(1+ X +X2 + ...+Xll _Xii == (1+ X+X2 + ...+ xIO)(1 + x+ ... + X12) .

• 13

1.3

Tema

3. Functii pare, impare, period ice. Definitie. Fie D ~ JR 0 rnultirne nevida centrata in origine ('v'x ED<=> -x ED).

Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice Fie A ~i B doua multimi nevide. Spunem ca element x E A ii corespunde un unic element I(x)

I: E

A ~ Beste B .

o functie daca fiecaru]

A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste eodomeniul functiei f Dona functii sunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceeasi lege de definitie. Grafieul functiei

f: A ~ Beste

Imaginea functiei

Ix

multimea GJ = {( x,f(x»)

E

f: A ~ B sau (multimea valorilor functieifi Imf = {y

Observatii. 1. M(u, v)

E

E

B I 3.x E A, f(x) = Y} = {j(x)

A} c A x B .

Proprietiiti 1. Daca f: D ~ JR este 0 functie impara ~i

este multimea

I x E A}.

° ED,

D ~ JR. Atunci:

g: D ~ JR, (f. g)(x) = f(x)·

• daca g(x);c 0, 'v'xED, cdtul functiilor hi g este functia

Definitie. Dreapta

funqiilor.

Fie f: A ~ B

~i

Punctul

(L)( x) = f(x) . g g(x)

f: D ~ JR

g : B ~ C doua

functii.

, 'v'XE A, se numeste eompunerea functiilor g ~if

.

E

D, x < y,

avem f(x)::; fey) daca

< fey) ).

(f(x) x,y

E

D, x < y,

M (a, b)

E

f(a+x)

astfel incat a - x, a + xED.

xOy este eentru de simetrie pentru graficul functiei = 2b, pentru orice xED

astfel incat a-x,

f: D ~ JR

a+x ED.

Observatii. 1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy. 2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.

• surjectivd dad pentru orice y

> fey) ).

E

E

A,

XI

;c x2 avem f(xl);c

B , exista x

E

f(xJ;

A astfel incat f(x)

= y;

• bijectiva daca este injective si surjectiva. Definitie. Functia f: A ~ Beste

avem

incat go f = 1A ~i fog

inversabila daca exista

= lB. Notam g =

r'

si spunem ca

0

r'

functie g: B ~ A astfel

este inversa functiei

f

Observatii 1. Functia f :A ~ Beste injective daca ~i numai dad este indeplinita una din conditiile:

Observatii. de variatie

RJ(x,y)

f(x)-f(y)

>0, 'v'x,YED,x;cy,

atunci

x-y

f este

0

graficul functiei f: D ~ JR

x = a este axa de simetrie pentru

• injective daca pentru orice xl'x2

Functia f: D ~ JR este monoton (strict) descrescatoare

functia

0

Definitie. Functia f: A ~ Beste:

functiilor

1 D . aca raportul

I d. . ~ functie para. ProdusuVcatu mtre . 0 functie para. Compunerea dintre

0

S. Functll injective, surjective, bijective, inversabile

Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida. Functia f: D ~ JR este monoton (strict)

(f(x)

daca f(a-x)+

Functia

Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.

I(x) ~ fey)

functie

4. Simetrii ale graficului unei functll

g(x);

g

crescdtoare daca pentru orice X,Y

0

Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) se

daca f(a - x) = f(a + x), pentru orice XED • produsul functiilor j'si g este functiaf·

2. Monotonia

D ~ JR este tot A

a doua functii pare/imp are este impara este 0 functie impara. a doua functii pare/impare este impara este 0 functie impara.

pentru care x + TED.

orice xED

• suma functiilorj''si g este functia j" + g: D ~ JR, (f + g)(x) = f(x) + g(x);

(go flex) = g(j(x»)

.

numeste perioada principala.

Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida si functiile f,g:

gof:A~C,

E GJ

Definitie. Functia f :D ~ JR este periodica cu perioada T daca f(x+ T) = f(x) , pentru

IA(x)=x, 'v'xEA.

1. Operatii cu functii

Compunerea

°

. atunci f(O) = <=> 0(0,0)

2. Suma f + g: D ~ JR a doua functii pare (impare) f,g: para (impara). 3. ProdusuVcatul functie para si una 4. Compuncrea functie para si una

GJ <=> feu) = v.

2. Functia identica a multimii zt este IA :A~A,

a. Functia f :D ~ JR este functie para daca I( -x) = I(x), 'v'X ED. b. Functia f: D ~ JR eeusfunctie imparii daca I(-x) = - I(x), 'v'x ED.

strict crescatoare, iar daca RJ ( x, y) <

°,

'v'x ;c y , atunci

f este

descrescatoare.

2. Compunerea a doua functii monotone, de aceeasi monotonie, este crescatoare; compunerea a doua functii monotone, de monotonii diferite, este descrescatoare.

0 0

functie functie

a. Pentru orice xl'x2 E A astfel incat f(xl) = f(x2) , rezulta XI = x2• b. Pentru orice y E B , ecuatia f(x) = yare eel mult 0 solutie x EA. 2. Functia f: A ~ B e surjectiva daca si numai daca este indeplinita una din conditiile: a.lmf=B. b. Pentru orice y

E

I

~

~ :::liE E

B , ecuatia f(x) = yare

3. Functia f: A ~ Beste element x

i

A astfel incat f(x)

eel putin

0

solutie x EA.

bijectiva daca oricarui element y = y.

E

B ii corespunde un unic

1&.1

!;( :::liE

• 15

4. Functia t· functiei t'

f·

d . es t·e tnversa b I·1a aca i;ll numai daca este bijectiva. Inversa I. B t funetl·afB . ---, es e t . ~ A care indeplinei;lte propnetatea:

A ~ B

f :. A

bijective

-'0.

l(x)=y¢:>x=F1(y),unde

xEA

si YEB.

-------------------

Probleme propuse DU

R~

f:

lR, f

(x)

JR., f

(x)

[.!.,3 3J .

Ixl·

=

Examen Bacalaureat, septembrie 2010

17. Se considera functiile I:JR.~JR.,

I:


I(x)=x-I

~i g:JR.~JR.,

g(X)=X2.

Determinati

si go I .

imaginiie functiilor log

este perioada pentru functia I: JR~ JR, I (x) = {x} + { 2x} .

1

+ x + este intervalul x -x+l

=~

I: JR ~

16. Determinati multimea valorilor functiei

-------------------------------1. Aratat! eii ~

15. Aratati ea imaginea functiei

(x)

JR ~ JR,J

=

+x +1

si 1m I imaginea functiei

f

a) Aratat! cii 1 ~ Im I .

2. Aratati eii ~ este perioada pentru functia I: JR~ JR, I(x) = {3x} .

b) Aratati ca cea mal. mare va ioare a functi cpei·1este"2.1 3. Determinati cate

0 perioada

pentru fiecare dintre functiile de mai jos. b) g:JR~JR,

a) I:JR~JR,J(x)={~}+{x};

c) Ar-atati. ca- -- 1 E Im j" . 2 19. Aratati ca minimui functiei I: JR~ JR, I(x)

g(x)={~}+{~}.

4. Determinati a E JR stiind cii functia I: JR ~ JR, I(x) = (1- a2) x + 4 este constants. Bacalaureat

5. Aratati ca functia I: JR~ JR, I(x)

= 14x-81-214-2xl

2011

2009

6. Aratati ca functia I: [3, 8] ~ JR,J (x) = 1x - 81 + 13 - x 1 este constanta.

I: (0, +00) ~

JR, I

x) [_x_J x

(

=

2

este constanta

+1

a)

r (A) l

r ({0,2}); l

b)

unde

[a]

este

JR~ JR, = {x

E

I (x)

21. Determinati m, n

E

X4 -2X2 este egal cu -1.

= x2 -1. Pentru

JR 1 I(x)

E

A a lui JR

submultirne

0

A} . Determinati:

r (3,+oo»); l

r ([3,8J); r' ({m}) are un singur element. l

c)

m e JR pentru care multimea

d) Determinati

'

I:

functia

defmim multimea

este constanta. Variante bacalaureat

7. Aratati ca functia

20. Se considers

=

JR stiind ca puncteie A(I, 0) si B(O, -I) apartin graficului functiei

I: JR~ JR, I(x) = Xl +mx+n.

partea intreaga a lui a.

22. Aratati cii urmatoarele functii sunt impare:

I:


(1, +00) ~ JR,

I (x ) = ~

este strict descrescatoare,

a) I: JR*~

x-I

JR, I(x)

= Xl

1 --

b) I: JR* ~ JR, I(x) = Xl +

;

r+r ;

X

9. Se

considera

Determinati

a

functiile E

I : JR ~ JR, I (x)

JR stiind ca log

= 2x -1

si "I

TlJ)

g :A

~

TlJ) A,

()

g X =X

+a .

=g0I .


0

I

0

12. Determinati a E JR stiind cii functiile I: JR ~ JR, I(x) g(x) = ax + 1 se intersecteaza intr-un punct pe axa Ox. I:JR~JR,/(x)=Xl-4x+2 E

determinati

-

4x

E

JR. pentru care functia

~i g: JR ~ JR ,

eel mai mare element al

I: JR ~ I: JR ~

JR JR

0

0

graficului functiei

27. Se considera

functie para. Aratati ca/nu

multimea A = {a

E

JR 1 I(a)

= a}.

Determinati

I (x)

= x( e'

+ e-X) + a este impara,

suma eiementeior

din

= X4+axl + 2X2+bx+ 1 este

este injectiva.

functie irnpara. Aratati ca originea axelor de coordonate apartine

f l,g:JR.~JR,J(x)=2x+1

si

Determinati

= 2x+l.

JR. si orice n E N* .

oct: u ~

Aratati cii

f

0

I ~... o f,(x) = 2" x+2" -I, n-ori

E

g(x)=ax+b.

= IR .

28. Fie functia I: JR ~ JR,J(x) orice x

•.• :::E I

functiile

a, b E JR astfei incat log I: JR~ JR, I(x) = Xl -8x.

JR~ JR,

functie para.

25. Fie 26. Fie

JR 1 I (x ) ~ 2} .


I:

24. Determinati a + b e JR pentru care functia I: JR~ lR, I(x)

1)(0).

= Xl

Examen Bacalaureat, 2009, 2010

23. Aflati a

Examen Bacalaureat, iunie 2006

multimii A = {x

d) 1:(-3,3)~JR,J(X)=ln(3-X).

este strict

2009

11. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = X4 - X . Calculati (f

13. Pentru functia

c) l:lR~JR,J(x)=ln(X+.JX2+1);

3+x

10. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = 1- 2x . Aratati ca functia 10 I descrescatoare.

X

pentru

:::E

~

0(

:::E

• 17

29. a) Aratati b) Aratati

ca functia I: lR ~ ca functia I: lR ~

lR,

I (x)

R, I(x)

= =

x3 + X + 1 este injectiva

x3

- X

Tema

+ 1 nu este injectiva.

Functia de gradull. Func~ia de gradul alII-lea

c) Verificati daca functia I: JR~ JR, I(x) = x2 +x+ 1 este injectiva, d) Aratati ca functia I: N ~ N , I(x) = 3x + 1 nu este surjectiva. Variante bacalaureat 2007,2008,2009

30. Aratati

ca functia I: [1,+00) ~ [2, +00), I (x)

=x

+ ~ este inversabila.

1. Functia de gradull Functia I: JR ~ JR., I(x) = ax + b (cu a, b e JR, a ~ 0 ), se numeste functie de gradulI. Graficul functiei I: JR ~ JR, I(x)

x Variante bacalaureal, 2008

Monotonia.

= ax+b

Daca a < 0 , atunci functia X

f este x

+ 1,.

Semnul fun tiei de gradul I

I: JR ~ JR, I(x) = x3 + 2x + 3. Calculati

g(O) + g(3). 34. Aflati a E Z pentru care functia I: [1, +00) ~ [a, +00), I (x) = x2 + 4x este surjectiva,

0

dreapta de panta a.

strict descrescatoare. _lL a

f(x)

Variante bacalaureal, 2008

33. Fie g: JR ~ JR inversa functiei bijective

este

Daca a> 0, atunci functiaj" este strict crescatoare,

31. Determinati inversa functiei bijective I: JR ~ (0, +00), I(x) = 22x-1 • 32. Determinati inversa functiei bijective I: (0,00) ~ (1,00), I(x) = x2 +

1.4

- sgn(a)

0

sgn(a)

2. Functia de gradul alII-lea Functia

f(x)=ax2+bx+c(cu

f:JR~JR,

a,b,cEJR,a~O),

se nume~tefunclie

de

gradul al II-lea. 35. Aflati a E JR pentru care functia I: (--oo,a] ~ JR, I(x) = x2 -2x+2, 36. Fie

I:

JR ~ JR

0

functie bijectiva cu

1(1) = 2

~i

1(1(1») = 4.

este injectiva,

Calculati

r

1

(4) .

Forma canonica, f(x) = ax' +bx+c = a[ (x+ ;a)2 -

4~2l'

2

unde 11 = b -4ac.

Variante bacalaureal, februarie 2008

37. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ax + b . Aratati di exista (a,b)EJRxJR

pentrucare

0

infmitate de perechi

lol=IR'

semnul f~ 1. 11 < 0

Observatii

~ gradol al don •• f(x)

sgn(a)

f(x) >0, VXEJR~

a>o { 11<0

VXEJR~

a>o { 11:S;0

f(x) <0, VXEJR~

a
Variante bacalaureat, 2009, enunt adaplal

38. Se considera

0

functie functia j": JR ~ R Notam H ={T ElRl l(x+T)

a) Aratati ca daca T E H ,atunci - T E H . b) Aratati ca daca I;, T2 E H , atunci I; + 7;

= I(x)} .

x E

2. 11 = 0

H .

b

-2,;

--00

f(x)

o

sgn(a)

f(x)~O,

sgn(a)

Variante bacalaureal 2009, enunt adaptat

x 3.11 > 0

f(x)

Graficul 4a

'

0

- sgn(a)

f: JR ~ JR, f(x)

functiei

v(-~ -~) 2a'

sgn(a)

0 sgn(a)

= ax' +bx+c

axa de simetrie x = -~, 2a

este

0

parabola

de

varf

care are ramurile orientate in sus daca a> 0 ~i

injos daca a < O. Monotonia ~i punctele de extrem x 1. a>O

f(x)

X

2. a
I(x)

--00

'\,

--00

?

b

-2,; _..A.. 4a

b

-2,; A

-4;

+00

/' +00

'\,

a>O

a
• 19

• Daca

a > 0,

min

Functiaj" este strict crescatoare pe • Daca a < 0, max

x = - ;a .

J = - 4~ , care se atinge in puncmj (de minim)

1= -~

[-!!..-, +ooJ 2a , care

si strict descr

1este

c) Ix + 21+ Ix2+ X

. { Relatiile lui ViCte. Fie XI' x2 radacinile ecuatiei ax2 + bx + c = 0 . Atunci

1

-2XIX2;

3

3

(

XI +X2 = XI +X2)

2. Ecuatia de gradul al II-lea cu radacinile s = XI + x2 si P

3

=b ca.

sx

-

+P

g: ~ ~~,

b) axa Oy;

3. Determinati g: lR ~~,

+1.

g(x) = ax+ b stiind ca graficele functiilorl~i

a) axa Ox; functia g(x)

c) punctul

1:lR ~ lR

= -3x+3

stiind

cii

graficul functieij'sa

a, b E ~

1:(0,00)

s 2Ix-31; ~ ~, 1(x)

1)(x)

= 4x

+ 3, Vx E ~

'

graficul

stiind ca functia

1: [1,3] ~

sau

~i graficul

=

functiei

= -2x

2009

+ 1 este

6. Determinati

m E ~ astfel incat functia 1: ~ ~ ~,

descrescatoare.

l(x)

= (m2


1m :~ ~ ~, I; (X)

a) Determinati m stiind ca functia b)Determinati m stiind ca A(1,O)

= m -1 x 2m+2'

+3 m

I; este strict crescatoare. E

Gf~.

c) Determinati m stiind ca 1m(1) > t; (3) . d)Determinati m stiind ca 1m (1) = 1m (3) .

+ b este bijectiva.

= ax -

2h - 3

{-I}

.

2008 2010

2 sunt irationale,

17. Determinati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a

18. Determinati multimea valorilor functiei 19. Determinati multimea valorilor functiei

1:~~ R, 1(x)

20. Se considera functia b) Determinati intervalul

a

Bacalaureat

1:~~ R,

l(x)

= x2

+ x+

21. Determinati

E~

1:(0,00) 2 - 2x

=x

2011

1. 2011-model subiect

~ R, l(x) =~ -4x+1.

+2 .

.

stiind ea imaginea functiei

g: (-00, a) ~ R, g(x)

= l(x)

este

[1, +00) .

c) Determinati

2009

E~ \

sa fie strict

2009

care in-

Bacalaureat

Bacalaureat

[a, b]' 1 (x)

stiind ca functia 1: [1,4] ~ [1,7], l(x)

a,b

strict crescatoare

Variante bacalaureat,februarie

.

sunt simetrice fata de dreapta x = 1.

S. Determinati

7. Se considera functiile

1:~~ ~

parabolei y = X2 + mx + 4 .

0(0,0).

astfel incat

E~

x +2x

functia

g sunt simetrice ~ata de:

m


toate functiile de gradul intiii 0

s 1.

+ 2 . Determinati

= x - 2m

nu intersecteze axa Ox.

a) Determinati imaginea functiei 10101 E~

c) Ix2 -11 < 1. c)lx+21+lx2 -41

16. Aratati ea solutiile ecuatiei x2 + 2x + -2 _1_

Determinati


4. Sa se determine bijectiva.

x2-3x+2)~0.

X x+4

1 S. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .

1. Determinati functia de gradul I al carei grafic trece prin punctele A(l, 2) ~i B( -1,0) . = 2x

(

) >0; d) (x-2)

(

x-I

b) 112-4xl

deplinesc conditia (f

Probleme propuse

1:~~~, 1(x)

X2 - 16

c)

b) Ix -11 + Ix + 11~ 4 ;

13. Se considera functia = 0, unde

14. Determinati

functia

+1

12. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatiile.

= XI . x2 .

considera

x+2

a) Ix -11 ~ 3 ;

-----------------------------------------------------

2. Se

x

b) -~-;

a) Ix+21 ~ 1; este x2

2008

11. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatiile.

=a

-3XIX2 (XI +X2).

XI ~i x2

xl = l.

10. Rezolvati in multimea nurnerelor intregi inecuatiile. a) 3X2-5x+2~0; b) _2X2+3x+5~0.; c) x4-5x2+4<0.

Observatii.

1. XI2 +X22 = ()2 XI +X2

X

a) -~2; x +I

;aJ .

~ +-Xi ~-Xi

Ix - 31+ 14-

d)

9. Rezolvati in multimea nurnerelor reale inecuatiile.

2a

strict crescatoare pe [ - 2~ ,+00 ) si strict descrescatoare pe ( -00, -

21= 0 ;

-

Variante bacalaureat,jebruarie

= _!!..- .

4a

Functia

_!!..-J 2a .

Xt ( ~ esca oare pe ~,

se atinge in punctul (de maxim) x

8. Rezolvati in multimea nurnerelor reale ecuatiile: a) Ix+ll = 21xl; b) IX2-41 = 3x;

m m

E~

E~

stiind ea l(m-x)

Vx E ~.

= l(m+x),

stiind ea varful parabolei

y = X2 + (2m -1) X + m' + m este in

eadranulI. 22. Determinati

•..

~

I IC(

a

E~

2

stiind ea distanta de la viirful parabolei de ecuatie y = x + 2x + a

la axa Ox este egala eu 1. 23. Determinati functia 1 de gradul al doilea daca 1 (-1)


2009

= 1,1 (0) = 1,1 (1) = 3. Variante bacalaureat

2009

U

~ ~ UoI ~ ~

• 21

24. Determinati a, b 25. PunetuIV(2,3)

E

IR stiind ea varful parabolei y = X2 + ax + b este V( 1,2) .

este varful

parabolei

asoeiate

functiei

f:IR~IR,

I(x)=.l+at+b.

Calculati 1(3). 26. Determinati

37. Se considera ecuatia

Bacalaureat

a, b

E

JR stiind ell dreapta

x

=

2011

2 este axa de simetrie pentru parabola

y = - x + ax + b si ea punetul este M (1,2) apartine aceleiasi parabole.

JR,J;

(X)

= mx' - 2{ m -I)x+

I :JR~

JR,

m + I, m e JR' .

m stiind ca I(x)

-

I: JR~ JR,f(x)

a E JR pentru care (f 31. Determinati

0

= 2x+a

x + m' = 0 are doua solutii reale egale.

= x2 -a.

~i g: JR~ JR, g(x)

Determinati

Bacalaureat

I(x)

= (a+l).l

2010

I:


a E JR

a) Calculati x;.x;

minima

a

+~

+X:z -12

functiei

afla pe

I :JR~

JR,

0

.1

c)

1:{~,2)~JR,

XI ~i x2 ecuatiei

IXI-X I =1; 2

~i x2•

= 0au sernne opuse.

O} n {x

Xi ~i x2•

x2 . 2 E JRI x - 2x + m +

Xi si x2. Determinati

10 = O}

:I;

0.

a E Z stiind ca

x

(x)

= -2-

x +1

.

X:z

= 0. b) Calculati

•

x;.x;

+2X:z-13

+~

X:z

+2.x;-13

ecuatiei

x2 + x - 3 = O. Determinati

•

a, b E JR stiind ca

ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti intregi care are

.l +(2m+3)x+m+I=0

0

radacina

XI =1+J3. 47. Determinati numerele reale a si b stiind ca solutiile XI x2 - ax + b = 0 veri fica relatiile XI + X2 = 3 si xlxi + X2X~ = 6 .

si

X2 ale ecuatiei

x+ y =3 48. Rezolvati sistemul

b) Xi2 =x2,2 •

XI

E Z, "in EN.

radacinile

l(x)=-x2+(2a+l)x+a2+1

veri fica pe rand conditiile. 1 1 a) -+-=1; XI X2

:I;

+.x; -12

S; = x~ + x;

XI si x2

46. Determinati

I se

strict crescatoare. pentru care functia

IR eu radacinile

. ·1e ecuanei .. x 2 + ax + b = 0 sunt - I. ~l -.1 ra~d~ aCllll , Xl x2

> 0 nu are nicio solutie.

astfel incat valoarea 2 = x + (2a -1)x + a2 + 1 este egala cu 2.

aEJR

JR~ JR,I

44. Fie XI si x2 radacinile ecuatiei x2 + x -13

45. Fie

= 0 nu are nicio solutie.

este strict crescatoare. 36. Determinati mEJR astfel incdt radacinils

E

X2•

n E JR stiind ca I(x):?: n, "ix E JR.

34. Aflati a E JR pentru care functia I: (l, +
=

x2 + 2x + a = 0 cu radacinile

2009

= (a -1)x2 + 2(a + I)x + a + 1 , a E IR .

c) Determinati a stiind ca graficul functieij este tangent axei Ox. d) Determinati a stiind ca varful parabolei asociate graficului functiei dreapta x = 2 . I(x)

si

sunt ill progresie aritmetica.

c) Aratati ca Variante bacalaureat

33. Determinati

(2m + l)x + m + 1 = 0, m

-

m E JR stiind ca {x E JR I x2 - X + m

+3(a-l)x+a-l,

intersecteaza axa Ox ill doua puncte distincte.

b) Deterrninati a stiind ca inecuatia I(x)

Xl

m E JR stiind ca x~ x2 = xlxi .

c) Determinati

2010

a E JR pentru care graficul functiei I:JR~,

a) Determinati a stiind ca ecuatia I(x)

IR eu radacinile

40. Se considera ecuatia ax' + bx + c = 0 cu coeficienti reali si cu radacinile

xl·,a,x2

x) .

g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR.

32. Se considera functia I: JR~ JR, I(x)

E

a) Determinati multimea valorilor functieij. b) Determinati m e JR stiind ca I(x) < m, "ix E JR.

Bacalaureat

30. Fie functiile

Detenninati

42. Fie ecuatia

> 0, "ix > o.

29. Determinati m E JR pentru care ecuatia x2

x2

38. Se considera ecuatia

41. Aflati

d) Determinati m stiind ca dreapta x = 2 este axa de simetrie pentru graficul functieij" e) Determinati m stiind ca I(x) > 0, "ix E JR.

1) Determinati

0, m

Aratati ca daca XI . x2 < 0 , atunci XI' x2 E JR si XI

a) Determinati m stiind ca graficul functiei j; nu intersecteaza axa Ox. b) Determinati multimea valorilor functiei h. c) Determinati imaginea functiei g: JR~ JR, g (x) = h (sin

=

39. Determinati m E JRstiind cll radacinile ecuatiei x2 + 2 (m -I) x + m -I

27. Determinati m E JR stiind ea varful parabolei asociate functiei 2 I (x) = x + 2x + m2 se afla pe graficul functiei g: JR~ JR, g (x ) = X2 .

1m : JR~

(2m -1)x + m -1

-

Determinati valoarea minima a expresiei X;X2 + Xl xi .

2


X2

49. Rezolvati sistemul

{

~ + Z. = ~ , unde Y

X

X

E JR, Y E JR.

2

2X+ y2 = 3 , unde { x2 +2x- / =2

X

E JR, y E JR.

d) xl+l=x2.

• 23

Probleme propuse

Tema

1.5

1. Ordonati crescator numere1e

Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale Functia

f: JR~ JR,f(x)

= x" , unde

Functia

f: D ~ JR,f(x)

=~ ,

D = [0, +00) daca

respectiv Functia

n E N, n ~ 2, se numeste

unde

functie putere.

= JR

n E N, n ~ 2 , si D

ordinul 3 este f: JR~ JR,f(x)

este f: [0,00) ~ JR,f(x) =~

.fi,:if4,~.


2009

b)

J3,~,~.


2009

c)

J3 -.Ji' J5 - J3 ' 17- J5 . t: t: .fi +J3 2.J6 -;3, -;2, ,,6, 2 ' J3 +.fi .

1

daca n este impar,

n este par, se numeste functie radical de ordin n.

radical de ordinul2

a)

= Fx , iar functia

radical de

1

1

41r

d)

.

2. Aratali ca [

if,;] = 1, V n EN, n ~ 2 , unde [a]

este partea intreaga a numarului real

a.

Proprietali 1. Functiile

f,g:

[0,00) ~ [0,00), f(x)

= x2n si g(x) = 2~

,

unde

n E N*,

sunt functii

3. Aratati ca numarul a = ~7 + 4J3 + ~7 -

4J3

este numar natural. Variante bacalaureat

bijective, fiecare fiind inversa ceIeilaite. 2. Functiile

f,g:

JR~ JR, f(x)

= x2n+l ~i g(x) = 2n+rx,

unde

n E N*,

sunt

functii

4. Fie x E JR astfel mcat x+-

bijective, fiecare fiind inversa celeilalte. 3. Functia putere de exponent impar este strict crescatoare pe JR. Functia putere de exponent par este strict descrescatoare pe (-
5. Fie

functia

f (x) = x2

f :JR~ JR,

-

~l

4x + 2 .

x +3' x

Ordonati

crescator

numerele

f(I),/( .fi)'/(~). 6. Fie

5. Functia radical de ordin impar este convexa pe (-
1 1'21'31 = 4. Calcu ap x +2" x x

2009

n E N \ {0,1}

fixat.

Determinati

un

a E JR\ {O;I}

numar

pentru

care

~a~a~a ...J; EN.

~

Functia radical de ordin par este concava pe [0, +00) .

7. Daca

n

radica1i

x=~5-a+~4+a,

aE[-4,5],

determinati

in

functie

de

x

expresia

Proprietiili ale puterilor Fie a,bEJR*, 1. aO

= 1 si

a' S .~=a a

r+s

l'

r,sEQ.

= 1;

2. a'· as = a'H; as

;

bs'

3. (a. b

r

= as . bS

;

4. (a'

r

~5-a·~4+a = a"s ;

pentru a > 1 avem a' < as <=> r < S 7. { pentru a E ( 0,1 ) avem a' < as <=> r > S

.

8. Aratati ca ~2~2J2J2

E (1,2).

9. Aratati ca ~6~6~6 ...!if6 E (1,6), pentru orice n E N, n ~ 2.

.

Proprietiili ale radicalilor Pentru n, kEN·

a,bEJR

si n,kEN,

n,k~3

impare sau pentru

aE[O,+oo),

bE(O,+oo)

~i

10. Determinati

.

numere pare, avem

fi =a' ,

~4

po

11. Aratati ca 1.

a E Q daca ~ 21~ = 2Q .

3.

n~ Vb

=~

ifb"

b*O'

4. ~

(.fi + 1)( ii

=nd:/. sia: ,

--------------------------------

== I

..:(

12.Aratati ca numarul 7. ~a
+ 1)( Vi + 1) (1{[2 + 1) = ~ -1 . 1

1

1

1

U

==r: +.fi2+ J33 + J33+ J44 + ... + -;99+-;100 ci: r.;;:;;, 1+-;2

este natural.


------------------13.Aratati ca numarul ~3-J29-12J5

-J5

este intreg.

~ 2009

== ~

c(

==

•

2S

14.Fie XElR astfel incat ~5-X+3~

.JlOl .

15.Numarul.

V.j

+x

.. = 3 . Deterrninap

e:tolvati In multimea numerelor reale ecuatijle.

V,~5 - x . V 3 +x . 1~

seris sub fiorm a de fractie zecimala infinita este egal eu

D e t errrunap a2•

_) F+8 - 6~

= 1.

b) ~-6~-1

+J4x-3-4.Jx-l

16.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile. II)

.Jx+2

a) Rezo1vap eeuapa

c) x+..{; = 6.

b) Determinati

d) .Jx + 1 = 1- 2x .

m E lR

e

II)

Rezo1vati eeuatia

.Jx2 - 2x + 1 = x + 1. b) .J2x-l = x.

Bacalaureat

2010


2009

c) .Jx-l +.J2-x


2009


2009

II)

Bacalaureat

2011

b) Jx+I+Vx-3=2.

= 1.

d) .Jx+l=5-x.

I..{; -11 = 2 .

18.Rezolvati urmatoarele ecuatii:

.J x + 4 + 2 .J x - 4 .Jx-4 .Jx+4

=!.!..

b) ~X+4 +2~X-4

x+4

3

e) Bacalaureat

1999

II)

~(x+2)(x+3)

=.J12.

b)

.Jx+2 ·.Jx+3

=.J12 .

II)

..{;

x+l

= m admite eel putin

0

solutie reala.

= J x+ 2.Jx-I +Jx +3 +4.Jx-l

.

=3 .

f (x ) = m

admite 0 singura solutie reala.

.Jx +~

= 2.

=4 .

x+\fx

.J x + 1 + ~

=2 .

=5.

26.Determinap pereehile (x, y)

Variante bacalaureatJebruarie E

2008

2

lR pentru care x + y + 6 = 2.Jx -I + 4J y + 2 .

27.Rezolvap in multimea numerelor reale urmatoarele inecuatii.

19.Rezolvap urmatoarele ecuatii:

20.Rezolvap

.

ls.Rezo1vati in multimea numerelor reale ecuatiile.

d) X+log2

3'

f (x)

f (x)

lR , f(x)

b) Pentru m E [3, +00 ) , aratati ea ecuatia

c) x + 2' + Fx

=!.!..

stiind ca ecuatia

eonsidera funetia f: [1,+00)"'-+

14.S

II)

x-4

+Jx+3-4.Jx-1

2008

f (x) = 1 .

17.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile.

II)

Variante bacalaureatJebruarie

2009

23. Se

b) .Jx+l=x-5.

e)

= 3.

f:[I,+oo)...-+lR, f(x)=Jx-2.Jx-1

eonsiderafunetia

= x.


in multimea numerelor reale ecuatiile.

II)

.Jx+2 < x.

b)

.J x + 2 ? x .

c)

~h_X2

z i.


2009

+ X +1=~ ..{; 2

b) .Jx2 + x -1 +.Jx2 + X+ 2 = 3 .

2+..{;

c) _x_+

2+..{;

x

=!Q 3

21.Rezolvati in multirnea numerelor reale ecuatiile, II)

~x+l

=2

b) ~x-l=l-x. c) ~1- x = 1+ x . d) ~ x

+ 1= 1- 2x .


2009

• 27

Probleme propuse

Tema 1.6 Func~~a.~xponentiala ~i functia logaritmica. Ecuatll ~I mecuatii exponentiate ~i logaritmice

y.vati

j.'oeterminati

1. Logaritmi

2"""

Definitie. Fie a > 0, a * 1 ~i x » o. Unicul numar real y cu proprietatea

aY::::

X

se

=y

daca si numai dad! a"

=x

.

Proprietiti1e logaritmilor 2. logo a" =X, VXEJR;

= 1, Va> 0, a

* 1;

4. logo 1 = 0, Va> 0, a

Vx,y>O;

3. log a x"

= ploga x, Vx> 0, Vp E JR;

2. logo x-logo

Vx,y > 0;

4. logaP

1 = -loga

X

p

x, v x » 0, Vp E JR*.

C

ei

a.b

= log a' c Va "b c

1

3. log a b =--, Va,b > 0, a,b log, a

>

°

;

a b "..,-,

Consecinti:

1

In log X= gx =---..::. 19a In a . 0

E ( log,

1)

(tgx) + log2012(ctgx), x E (0,1) ; 41+log23.6log,168 ..

b) 3 E (log, 9, 7 logs 2) ;

4,.J5) ;

d)

ifj E (v'2, log, 27).

a = log, 2, numiirul

B = In ~

b = log1218.

* 1.

Proprietiti 1. F~c~iile exponentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii bijective, fiecare fiind mversa celeilalte.

+ ... + In n(n+'rx , unde x>

1 1 1 n + + ... + - --log2 n 1 Ig2·1g4 194·lg8 Ig2n ·lg2 + n+I 1 log21 + log, 2 + ... log2IO

+

°. Aratati ca au loc urmatoarele

a) 19a + b = 19a + 19b ~ a2 + b2 = 7ab ; 3 2 .11 2a+3b _lga+lgb 2

a ~bE

c) g-5--

Functia logaritmica de baza a este concava daca a > 1 si convexa daca a E (0,1) .

---------------------------

-------------------

10 , unde n EN.

1

7. Calculati suma S = [lg 1]+ [lg 2] + [lg3] + ... + [lg10 8. Fie a, b >

2

log31 + log, 2+ ... 1og31O

{I'4'9}.

2. Functiile ex~onentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii strict crescatoare daca a> 1 ~l strict descrescdtoare daca a E (0,1) . 3. Functia exponentiala de baza a este convexa pentru orice a E (0,1) u(1,(0) .

°;

4

e) E=

* 1) este functia f: JR~ (0,00), f(x) = a' . 0, a * 1) este functia g: (0,00) ~ JR, g(x) = log a x .

+ In 2rx + In 3$

* 1, n E N*;

1 2 3 999 .Pf'"C = Ig"2 + 193"+ 19 + ... + 191000 ;

Functia exponentiala de baza a (a> 0, a

-------

Bacalaureat 2009. Variante MEdC

~ Calculati sumele: ,IIf A = log, x+loga x2 +loga x3 + ... +loga x", unde a,x > 0, a

_ d) D -

..•.1 .

2. Funclia expcnentlala ~i functia logaritmica Functia logaritmica de baza a (a>

care verifica conditia 2 < b < log, c.

d) Exprima!i, in functie de a = log, 3 ~i b = log, 5, numarul c = Iog, 60 .

1b)

Schimbarea bazei unui logaritm

2. logo b . log,

·

N* .

b) log3I2 -Iog, 3 -log4 9 ;

/log2012

3·1og3 4· ... · 1og31'32

E

c) Exprimati, in functie de a = log, 5, numarul b = log., 45 .

1. logox+logoy=logo(~)'

~gbx 1. 1ogax=-l--' Va,b,x>O, ogb a

2;

-l~g3 b

b) Exprimati, in functie de a = log2o 2, numarul b = logs 20 .

Operatii cu logaritmi

y = logo (;).

ifj -Iog,

5. a) Exprima!i, in functie de

* 1;

N care indeplinesc .conditia ~

un triplet (a,b,c) E NxNxN

4. Aratati ca: a) log, 5 E (2,3) ; c) 2

3. logo a

E

Calculati: log2 10 + log, 6 -log2 15 ;

,log2

Observatii• 1. Daca a = 10, numarul log., x = 19x se numeste logaritmul zecimal al lui x. 2. Daca a = e ,numiirul loge x = In x se numeste logaritmul natural allui x. 1. alogQx=x, Vx>O;

/"'."

c) logJ2

numeste logaritmul numarului x in baza a si se noteaza logo x . Cu alte cuvinte, logo x

exemplu de numere a,b

*

1 + ... +------19i + 192+ ... + 19iO

2OO8 ] . Bacalaureat 2008. Variante MEdC

echivalente: b) 19a + b = 19a + 19b ~ a = b ; 2 2 drll a+Sb _lga+lgb v g 2J3 2

-3b ~a-

.

Bacalaureat 2008 - 2009. Variante MEdC

9. Aflati domeniul maxim de definitie D al functiei f: D ~ JR, definita prin: a) f(x)

= log2 (2x

c) f(x)

= log, ..)I-x2

e) f(x)

=

- 4) ; ;

log, (x2 -7 x + 12) ;

b) f(x)

= 19(x + 1)+ 19(x -1)

= logx+2(2-x); 1) f(x) = loglxl(x2) ;

d) f(x)

;

i 1

>C(

~

~

:E w

i •

29

10. a) Aratati

ca functia

f: (0,00) ---+ JR, f(x)

=

x+ log , 2x este injectiva.

b) Aratati

ca functia

f: (0,00) ---+ JR, f(x)

=x-

°

11. Fie x E (0,1) u (1,(0) si numerele a, b,c >

log, 2x este injectiva,

astfel incat log, a, log, b, log, c sunt in

progresie aritmetica. Aratati ca a, b, c sunt in progresie geometrica. Bacalaureat 2003

12. Fie numerele

a,b,c,xE(O,I)u(l,oo)

astfel incat

logax,

log,

X,

loge X

a, b,c E (0,00) \ {I} in progresie geometrica. Aratati ca are loc

egalitatea

log x-log

X

a

b

log,

=

log, x-loge

x

loge x

X

c) (0,25)4-x

d) 3x-..[; = 9 ;

= 32 ;

c) log9(2x + 10) ·logx+l 3 = I;

log

log2(x-2),

log, x si log2(x+4)

2

a

x + log

23

a

X

+ log

J.4

a

X

+ ... + log

n(n+1)

a

* 1. Demonstrati = _n_loga n+1

X

ca;

x , pentru orice n E N* .

2

5

2'

16. Rezolvati ecuatiile: a) 2x +4x =20;

625

c) 310g1oox100 = 4 log lOx 10 ;

81

e) log3(5-x)+210g3

v'3-x

d) 101og2x = 21og2x;

= 1;

j) logv'll

(x + 1- v' x + 2)

=2;

26. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia b) 9x _3x = 72;

=2 ;

d) 16x -3·4x

e) 22x+1+ 2x+2 = 160 ,. 1

g) 3 + -10· y+1 + 27 =

°;

log2

= 4;

J) 22x - 3· 2x+1+ 8 = x

h) 2 + 16· TX

= (7 + 4-J3fx

;

b) (v'2+IY

+(v'2-IY

(£ +v'x+

2)+ 210g4 (v'x+2

-£) = log2 x.

• Fie a E (1,00) un numar real flXat. Se considera expresia

°;

= 10. 17. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile: a) (2--J3t

h) log2 (9x + 7) = 2+ log2 (3x + I).

25. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) (3x)1+1og3x=81; b) X1og2(4x)=8;

=%;

4)X '-(125)X-1 e) ( 25 8

2x

°;

°;

24. Se considera numerele reale a,x E (0,00), a

.m

+ 5-x

d) log~ (2x) + 310g2 (4x) = 13 ; 4 2 j) 41g x -10 Ig2 x + 36 =

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

15. Rezolvati in multi mea numerelor reale ecuatiile: 2 a) 4x -5x+6 = 16x; b) 2x .4x+1 .8H2 = 16x+3.,

c) 5x

h) log2 x+log.,J2 x+ log~ x = 14.

23. Aflati numerele reale x> 2 pentru care numerele

r;:;)4+X-x2 3r;:;;; J) ( ...,3 =,,27.

(~JHI

= -1;

j) 1+ log2(x+ 1) = log2 (x+ 2) ;

= 22;

g) log, (9x -6) = x; b) 73-lxJ = 49 ;

= 1;

1)- 210gs(3x-7)

22. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) 210g3 (9x) - 310g27 x = 6 ; b) logx(9x) + log , x = 4;

e) Ig2 x - 51g x + 6 =

a) 24x+1= 512;

d) logs(x+

Bacalaureat 2009, Variante MEdC

,pentru orice x E (0,00) \ {I}.

14. Rezolvati ecuatiile:

c)

g) log2(x+I)+log4(x+I)+log8(x+l)

b) log2 [4 -log3(X+3)]

sunt in

progresie aritmetica. Aratati ca 1+ loge a = 210gb a . 13. Fie numerele distincte

21. Rezolvati ecuatiile: a) log2 (10g3(logs x») = 0; c) 10g3(2x2 + 1) -log3 (x + I) = 1 ; e) log, (x + 4) + log , (2x -1) = log , (20 - x);

Bacalaureat 2009, Variante MEdC

E(x)=~loga~+logx~+

10ga~+IOgx~

,unde xE(I,oo).

a) Verificati egalitatea E(a) = 1.

=6.

18. a) Aratati ca, pentru orice numar real x, numerele 2x, 4x, 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. b) Aratati ca exista un unic numar real x pentru care numerele 2x, 4\ 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 19. Determinati x E lR pentru care numerele 32x-1, 9x _ 3 . 3x ~ ~I + 6 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 20. Rezolvati ecuatiile:

b) Aratati ca E(x) =

~IOga x, daca x > a { ~logx a, daca x

c) Rezolvati ecuatia E(x)

=a

E

.

(l,a)

.

"t

a) log2 bx2

-x-2)

c) log2 (3x-2)+log2

= 3; (x+2)

b) 10gHI (x2 -3x+ = 4;

I) = 1;

d) logH2 (2x2 + 5x + 2) = 2 .

• 31

Tema

2. Aplicatii

1.7

Numere complexe C

2

= {Z = x + iy I x, Y E 1R} ,unde

= -I

i

~.

, este multimea numerelor complexe.

Dad! Z = x + iy , unde x, y E 1R, numerele reale x ~i y se numesc partea reala i . .. ~ respectiv partea imaginara a numarului complex z; notam x = Rez, y = Irnz . Elementele rnultimii ilR* = {iy/ y

E

Proprietati:

1. Zl +z2

= ~ +z2'

= x + iy

\fzl,z2

E

C;

Izi = 1;1, \fz 2 1 ,

E

=x-

C;

_

(

= {~, :::: : : ~

..)

.

ZI - 'i COSqJl+z sm e, ,Z2 = r2 (cos qJ2+iSInqJ2)' 1. ZIz2 = 'ir2 ( cos( qJl+ qJ2)+ i sineqJl+ qJ2)); 2. z" = r" (COSrup + i sin nqJ) ; -r ,

si

y ~

.' qJ+2k7r) _ + I SIn n ' k - 0, I, ..., n -I.

unitiitii fonneaza multimea U t

n

=

{z

E

dzn

E

b-a E

ilR* ;

1R*; b-d -c-d

c-a B'(b'), C'(c'). Atunci:

llU

Ea.

= b -a. c-a

~ ~ .. Radaclmle

de ordinul n ale

= I} = {cos 2k7r +i . 2k7r/ } Ism -- n k = 0' 1,..., n -I . n

b=a(cosa+isina). + isina)

.

YCalculati:

aYi . p .p .....ilO ; ~ (1- i)(1 + 20 - 3(2 - 0 ;

»

Atunci:

ZI r: 4. -=--.L.(cos(qJl-qJ2)+isin(qJ -qJ »). z2 r2 I 2 Fie n E!~' n > 2 R ~d~ . 'L d di I - . a acini e e or. InU n ale numarului complex Z = r(cOSqJ+isinqJ) n

d-c ¢::> --

;

Probleme propuse

0.

3• .!. =.!.( cos( ) ., ( ») Z r -qJ +ISIn -qJ;

sunt Zk =~(cosqJ+2k;r

1R*; e. AB 1- CD

b. Daca C = R~ (B) , atunci c- a = (b -a)(cosa

. Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica = r(COSqJ+isinm)

b-a

E

a. Daca B=R~(A),atunci

Daca x = 0 si y > 0 ,atunci qJ= ; ; daca x = 0 si y < 0 , atunci qJ= 3; .

Z

d-c --

d-c b-a

= arg--

•

AS. Fie R'J.t rotatia de centru M si ungbi u, Consideram punctele A(a), B(b), C(c). Atunci:

a unui numar complex

2, daca x > 0 ~i y < 0

FIe

I.

. hiurile i . ABC' ~I A'B'C' sunt asemenea daca -b'-a' = =--= b-a . b. Tnung lUn e myers onentate c'-a' c-a Observatie. Triunghiul ABC este pozitiv orientat daca sensul A-B-C, parcurs pe cercul circumscris triunghiului ABC, coincide cu sensul direct trigonometric. in caz contrar triunghiul ABC este negativ orientat.

\f Z E C .

si qJ = arctg (-; ) + kst , unde k

+ y2

ZN

a. Triunghiurile la fel orientate ABC si A'B'C' sunt asemenea daca b'-a' c'-a'

iy .

Pentru orice numar complex nenul Z = x + iy exista si sunt unice numerele reale r>O si qJ E [0, 21l") astfel incat Z = r( cos qJ+ i sin qJ) .

= I Z 1=~ x2

-

f. A, B, C sunt coliniare dad! si numai daca b - a c-a

z

A vem r

IZM

I" da b-a . I' g• A, B, C, D sunt concic Ice sau co miare ca --:

este numarul complex ;

2. Zl . Z2 = Zl . Z2' \f Zl ,Z2 E C ; 4. z·; = I Z Observatii. 1. Z E IR daca si numai daca = Z • 2. Z E ilR* daca si numai daca z = -z. '

1. Forma trigonometrica

II CD ¢::>

A4. Fie A(a), B(b), C(c), A'(d),

3.

=

Patrulaterul ABCD este paralelogram daca si numai daca ZA + Zc = ZB + ZD

d. AB

1=~ x2 + l .

2. I Zl . Z2 I = I Zl 1·1 Z2 I, \fzl' Z2 E C . 3. I Zl + z2 I :<:; I Zl I + I z2 I, \f Zl ,Z2 E C . Z

complexe in geometrie

~3. Fie punctele 0(0), A(a), B(b), C(c), D(d) in planul xOy. Atunci: -b -c-a a. m(AOB) = arg- ; b. m(BAC) = arg--; c. m(AB, CD) a b+a

IR \ {O} } se numesc numere pur imaginare,

Modulul unui numar complex z = x + iy este numarul real I z Proprietati: 1. I z I~ 0, \fz E C; I z 1= 0 ¢::> z = O.

Conjugatul unui numar complex

ale numerelor

~ 1. Formula distantei dintre doua puncte: MN

11)

(l_i)(I_P)(I_P)

(1-

~

2i)(3i

...(I_i

1+ i + P + ... + i10

~

+ i)(3 - 2i) - (1- 2i)(2 - 0 ;

)fr(2 2OO8);

'y2+i)4

_1»)4 .

laY ~

5'

~

;

+(2_i)4;

+~

.

4+~ 4-~' Bacalaureat 2007 - 2009, variante MEdCT

/-

Demonstrati ca: 25 25 u) --+--EZ' ~ 4+3i 4-3i

r:

+3i '

+(3-i.fif E Z; 2008 ? e) ( cos 7r + i sin 7r) E IR ; , 4 4 i,fiY

•..

~ ~ / ~(I

1-3i lll>. --+--E~, 1-3i 1+3i 2008 (I + i)2008+(1_0 EN; + i)2008+ (1- i)2008EN; Bacalaureat 2008 - 2009, variante MEdCT

I 101(

i

v

~ •

33

~) 7l7"

Determinati

x, y

lR stiind ell x(l + 2

E

o + y(2

I

b) Determinap numereJe reale a pentru care ~

2 +ai c) Aflati a /.

lR pentru care numarul

Z

=

E

•

lR.

2 are partea reala egala cu -. a (1)+i + 1-2i 5

Determinati numerele comple~e z care veri fica relatia

.. '/"Dt e errrunap ~

Z E "... Il.-

Z

+ 7i

= 6· ~ .

z+3

Z E C . Aratali ca daca Z2 + ~2

.

\ ~

a) Calculati

..I

..,

ca Z este solutie a ecuatiei Z2 - 4z + 16 = O.

.5

~

\t:~tat~

i ;

~

atati ca daca z E C

~ Anitati ca daca

Z E C'

verifica relatia Z2 -lzl2 + Z 2 = 0, atunci Z2010= ~2010 verifica relatia z+;~ = 0 • atunci

(1:1

J

b) 1~-il=lz-lI;

c)

Iz- il = Iz -11 ;

d) z2 = -2i .

.

=-1.

+.

I Z

~I

I Z

ar ~

a)

z2

= i~ .

b)

-2 ,/Z=IZ.

2

'

c) z - 4z + 5 = 0 ;

e) Z4+8z2-9=0'

d) z2 - 8z + 25

~ ~emonstrati

,

g) z2 - (1+ i)z + i = 0 ;

(Z+I)2 z+1 + -+--+1=0' z-1 z-1 z-1 h) iZ2 + (3 + i)z + 2 - 2i = 0 .

Z

/1'- a) imaginile .•

') 1 O. Aratati ca, daca e este solutie a ecuatiei x2 + x + 1 = 0 atunci tru ori 2 ' nCI, pen once a,b,c E lR 2 are loc egalitatea (a + be + ce )(a + be + ce) ~ O.

x2

-

ax + 1 = 0 au

complexe

ale numerelor complexe

geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x + y = 0 .

Z

care veri fica relatia (z + i~)4 = 0

b) imaginile geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x - y = 0 .

z

care veri fica relatia

E

astfel incat

Izi = 1 , atunci

C astfel Inciit

Izl = 1 , atunci

Demonstrati ca pentru orice z E Care

F·ie

1Tb\{(2k) a E~

'll}' + 1 rc I k E a-

. ( 1 + i tg ip • Aratati ca 1- i tg ip

~l Z

loc relatia

= l-cosa-isina..'

1- i tg nip

z2OO9

I

2~

~

z2~

1~

z

-

_ ;2009) (~2oo9

I;-~I

1+ cos a + I Sill a

In = 1+ i tg nip , oncare .

+

Z2009

(Z2009

j) (Z+I)3

Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT

(2a -1)x + a = 0

ale numerelor

E ~* ~ imaginile geometrice

c) Aratati ca pentru orice z E C are loc relatia

'

-

ca:

b) Aratati ca daca z

= 0 ,.

2ax + a2 + 1 = 0 ,

Dernonstrati ca imaginile geometrice ale solutiilor ecuatiei x3 = 1 sunt viirfurile unui triunghi echilateral.

.

~Rez~lva!i In rnultimea numerelor complexe ecuatiile: a) Z + 100 = 0 ; b) z2 = 2i .

-

sunt varfurile unui patrat.

" Deterrninar] numerele complexe z care veri fica egalitatea: \..,'

2

atunci solutiile ecuatiei

ca oricare ar fi z E C* imaginile geometrice

~:

z, tz,

.

lR

0, z, ~ si z + ~ sunt varfurile unui romb.

•

c~ dac~ z E C~ ver~fica relatia Z2 + Izl2 + ~2 = 0, atunci z2010 = ~ 2010

lal < 2,

si

z+~=lzl;

~o~:trat~

)

a E lR

a)

}'

z

x2

unde a este solutie a ecuatiei

a) Demonstrati ca daca a E lR ~i a > ~ , atunci solutiile ecuatiei ax

tJ. Demonstrati

c) Calculati z2 - ~ , unde z este solutie a ecuatiei z2 + 2z + 4 = 0 .

.:

2

argumentul redus al numerelor complexe nenule z care veri fica relatia:

E;) :l

ca 2 Re a :5; lal ,

WDeterminap

Z E lR .

4

16 + -; , stiind

E

modulele solutiilor ecuatiei 2009x2 - 2 . 2008x + 2009 = 0 .

21z12, atunci Z E lR .

~

x + 1 = 0 , atunci, pentru orice a, b, c

@. Determinati

Baca/aureat 2008, variante MEdeT

. Z5 27 b) Calculati 27 - -; , stiind ca z este solutie a ecuatiei z2 + 3z + 9 = 0 .

II:

J

aElR.

-

(a-bOJ+cOJ2)(a+ba/-cOJ)~O.

au modulul 1. b) Demonstrap ca daca modulul egal cu 1 .

Baca/aureat 2009, variante MEdeT

Z2

Demonstrap

2

~ a\Fie z E C . Aratati ca daca 2z + 3~ E lR , atunci I?J\

~

iind ca --z+11 = _ . stun

~ Determinati numerele complexe z care verifica relatia 2~ + z = 3 + 4i .

~Fie

relOCegalitatea

1

Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT

f

,;4.

E

('\11. Aratati ca daca OJ este solutie a ecuatiei x2

- i) = 4 + 3i .

:5;

(z -

i~t 0 =

2.

2.

+ i2OO9 )

~

0.

2.

Ar~atatl. ca~ R e z = 0 . {

ar fi n E Z si ip E lR\ qrc

I q E Q} . 3S

----------------------------------,---:O:b:s:e:N:a:t:~~.;F~AO~~~n~~~BO~~~m~~~A~:

Tema

-t

1 .8

and functiilor injective f: A ~ Beste egal cu A;;,. 1. Daca n ~ m , num t' _ 1 _ arul functi ilor bijective f: A ~ Beste egal cu Pn - n .. ." Daca m - n , num t' . a •.. . amI functiilor strict crescatoare/descresc toare 3. Daca A, B c IR f?l n ~ m , num t

.

Metode de numarare. Elemente de combinatorica. Matematici financiare

este egal cu

1. Probleme de numirare Pentru orice n

E

nOn (a+b) =Cna n

Numarul submultimiJorunei

multimi finite cu n elemente este 2

Regula produsului. Daca un obiect A poate fi ales in m moduri, iar pentru fieeare astfel de alegere, un obiect B se poate alege in n moduri, atunci alegerea pereehii (A,B) poate fi realizata in m- n moduri. Principiul

ii:l

Newton

cl

+ na

n-Ibl

+ + ck an-k bk + ...+ cnb" , pentru orice a, b E ..,

n

n

Probleme propuse ~eterminati

n!+(n+l)! _~ n E N pentru care (n -1)!+ n! - 4 .

,Determinap

n E N pentru care

2. Elemente de combinatorici 0

~

(Xl,X2,

submultime ••• ,Xk)

ordonatii

k

elemente

a

multimii

A

este

un

k-uplet

!

in care Xi:l=Xj, pentru orice i,j = l,k, i:l=j .

E ~,

~

cu

Determinap

k-ori

•

5

Permutari.

E! este

0

Fie A = {aI' a2,

•.. ,

an}

0

i

multime ordonata formam cu cele n elemente ale multimii A. Orice functie bijective A defineste 0 permutare a multimii A.

Nurnarul permutarilor unei multimi cu n elemente este p" = n! ipermutari de n). Prin conventie, Po

n!+(n+l)! (n -I)!

<

= 1.

~Determinap

4

- 2 .

X E

N, x ~ 3 astfel incat Cix-3 = 3.

x

N, x ~ 2 astfel incat C; +

multime cu n elemente. 0 permutare a multimii A

, f :A ~

E

/ fDelennina~ n Eli, n' 2 astfel incat C; + ~ = 18.

q

6. Aratati ca (20!)2 divide numarul 40!

elemente este A! = _n_!_ (n-k)! Combinari.

c: = ---- n! n

k!.(n -k)!

= n- (n -1)· ....(n - k

_ n·(n-l)· -

(combinari de n luate elite k).

1.Formula combinarilor complementare: 2. Formula de recurentatu pentru combinari: .

c~+ c! + ...+

s. ic: n

=

n

Ck-l n-I'

C;

= 2n

4.

•

C~

•

= C;-k ;

c: + n

Ck+1 n

k + 1- n +1 .

Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatia C:n+5 > 10 . t'

/

. • a) Rezolvati ecuatia

-:

9. Calculati

10 Cl5

1 .---. -+'rOo Calculati

= Ck+1 n+l

x

b) Determinati

/

+ C~ + C: + ... = c! + c; + C; + ... = 2n-1

Ck+1 Ck _n __ ~

6

C:

•

n luate elite k).

cu k elemente dintr-o multime eu n elemente este

Proprietati

3.

+ 1) (aranjamente de

Numarul submultimilor ... ·(n-k+l) k!

2

ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n

Numarul submultimilor

E

II

~

.4;;+2

100 C2011

+ Cn2 n

=

4

Cl2 16

+

= 3.

/-

2008

Variante bacalaureat, 2008

C13 Cl3 17 18' I02

C +2 CIOI 2011 + 2011 CI02

.

2013

}1: Aratati ca C;+b = C!+b' pentru oricare a,b . ..:I ,(2. Aratati . ca~

.

Variante bacalaureat,

.

N astfel meat Ci~~2

+ Cl5 +

• .


A; = 30.

•

Aranjamente.

*

---- -------------------------------------------------

Ie

E

. IC f?l n EN.

3. C: se numeste eoeficientul binomial al termenului Tk+l•

card( A uB) = card A + card B - card( A nB) .

incJuderii ~i excJuderii.

B

1 Dezvoltarea binomials are n + 1 termeni. • ~ .. 1', - Ck n=k bk (termenul de rang k + 1) 2. Termenul general al dezvoltarii este k+1 - na

•

Regula sumei. Daca un obieet A poate fi ales in m moduri, iar un obiect B poate fi ales in n moduri, astfel tncat nieio alegere a lui A sa nu coincida eu vreo alegere a lui B, atunei alegerea .Jui A sau B " poate fi realizata in m + n moduri.

.

C;.

3. Binomullui

N* se noteaza cu n! = 1· 2 ..... n si O! = 1.

f .A ~

CIOO 2012

I912

< C 2013'

E

N*.

• 37

C,oo- C,20 + c,ri

~alculati

.• .; •. ....-. Determinati

)B:"

•

~Vu.Calculati

C,~ + C,80 -

0

IO

•18. Fie

a

. h numarul elernentelor unei multimi care are 45 de submultirni cu exact J)eterrDlna t,

2

4

(a.-",)

doulel~ment~* c) Aflal1 n E ""

II>-

E R'

'00 .

n contine

pe

X

din dezvoltarea ( if;+

. Aflati tennenul care-l contine pe

a'

din dezvoltarea

l

30

JOO

(a' + J.;

J


-1

Y sa fie 20·

X

2

2009

i 5...:

.

c) C,oo+S2Cl~ + ... +S,oc,'g

IS:

(.fi + ifi)'oo .


32. II) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa fie patrat perfect. b) Deterrninati probabilitatea

.

~

22. Din cei 18 baieti ~i II fete aflati intr-o clasa se alege 0 echipa de 7 elevi. a) Determinati in cate rnoduri se poate alege aceasta echipa. b) Determinati care este numarul de echipe care se poate forma stiind ca sunt 4 baieti.

; ~

23. Determinati nurnarul de segmente orientate cu extremitatils convex cu 100 de laturi.

in varfurile unui poligon

2~ ~ ~ ~

Aflati numarul de submultuni ale multimii {I, 2, 3, ..., 18} care contin elernentul "1".

r) 25. Determinati

. I

~ C

! i

••

i

probabilitatea fie strict crescatoare.

26. Determinati probabilitatea indeplineaseg

ca alegand

0

functie

I:

{1,2,3} ~ {1,2,3,4,S}

aceasta sa

ca, ale~and un nurnar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. . . c) Calculati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa aiba suma cifrelor egala cu 4. d) Calculati probabilitatea ca, alegand trei cifre din multimea {0,1,2, ...,9}, acestea sa fie toate pare.

. . tur I ca, alegand un numar dill pnmele 40 de numere na a e nenule, acesta sa nu con tin a cifra 7. . . j) Deterrninati probabilitatea ca, alegand un numar din pnmele 30 de numere naturale nenule, acesta sa contina cifra I. . g) Se considera multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Alegem la intamplare 0 submultime e) Determinati probabilitatea

nevida B a lui A. Determinati probabilitatea ca B sa aiba toate elementele irnpare. ca, alegand

0

functie

I :{o, I, 2, 3} ~ {o, 1,2, 3} ,


aceasta sa 33. Calculati probabilitatea

proprietatea 1(0) + 1(1) + 1(2) + 1(3) = 1 .

27. Determinati probabilitatea fie surjectiva.

~ I functiilor c) Aflall. numaru t· d) Aflati numarul functiilor j) Aflati numarul functiilor

oJ

~ :>

I: {1,2,3,4} ~ {1,2,3,4} cu p~op~etate~ 1(1) = 1(4). I· .,{O 1, 2} ~ {2, 3, 4} care venfica . relatia 1(2) = 2. I· .,{O 1, 2 , 3} ~ {0,1,2,3} cu propnetatea. 1(0) = 1(1) = 2. I: {O,I, 2,3,4} ~ {0,1,2,3,4} cu propnetatea 1(1)~=1 . I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4} pentru care 1(1) este numar par. strict monotone I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} .

31. II) ~ 1 functiilor b) Aflap . nurnaru ,

e) Aflati numarul functiilor

21. Calculati sumele: CO 2C' 22 C2 22n+' C2n+' a) 2n+' 2n+' + 2n+' - ... 2n+' . 2 20 b) C~o +3cio +3 C;o + ... +3 C;g.

CI:

d trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8? Cate numere de atru cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7 sau 9? • b) Cate nurnere de p tru ifre nu neaparat distincte, se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7, 9? c) Cate nurnere e pa c , Variante bacalaureat 2009 II)

Aflati numiirul functiilor

Variante bacalaureat, februarie 2008

•

• Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea ~

are 35 de submultimi cu exact

A -_ {O",1 2 ..., 9}. Determinati, numarul submultirnilor multimii A d) Se di tr care exact doua sunt numere pare . care au S elemente, in e Variante bacalaureat 2009

• Determinati x stiind ca suma dintre termenii al treilea ~i al patrulea din dezvoltarea

(2x

pentru care multimea A={1,2, ...,n}

uei elemente. . da mulpmea

c,':

c'oo + c'oo + c'oo + ...+ c'oo

Determinati termenul care nu

(

z:- -;,.4..q(J~"

ca C~ + C~ + C; + ... = 1024 .

. C,ooo+ C,'oo + C,~ + ...+

,

c,'g .

4 6 8 2X . pentru care C0,-,2 10 + L-,o + CIO + C, 0 + C + C'O '0 =

Determinati n stiind

•••.~

~

ltJ>

X E ~

-

ca, alegand

0

functie

I:

ca, alegand un element din multimea

{J;z In EN,

n < 100} ,

acesta sa fie numar rational,

{1,2,3,4,S} ~ {1,2}, aceasta sa

34. Se considers

multimea

A

=

{1,2,3,4,S,6}.

Calculati

probabilitatea

ca, alegand

pereche (a,b) din produsul cartezian A x A, produsul numerelor a si b sa fie par.

28. Un elev se joaca cu cifrele I, 2, 3, 4 si cu literele a, b, c, d, e,J, formand "cuvinte"

CU

0

i I >C(

S astfel de sernne diferite (cifre sau litere) intr-o ordine oarecare.

u

a) Cate "cuvinte" poate forma elevul?

~

b) Cate .cuvinte" se pot forma astfel incat prirnele doua sernne sa fie cifre? c) Cate astfel de "cuvinte" poate forma elevul astfel incat sa foloseasca numai litere?

29. a) Aflati nurniirul de submultimi cu 3 elernente ale multimii

A = {I,2, ..., 8} .

:::E w

~

:::E

• 39

Tema

3. Dreapta in plan.

1.9 cU

Vectori in plan. Geometrie vectortala. Geometrie analitica

Proprietati importante. 1. Dreapta

Consecinta

ABC avem AB + BC = AC .

vedorilor cu scalar. Pentru ~ un vector oarecare din plan si pentru un

care are acelasi sens cu ~ pentru k > 0 si sens opus lui ~ ,pentru k < 0 . Teorema medianei (forma vectoriala). Punctul M este mijlocul segmentului daca si numai daca, pentru orice punct 0 din plan, avem OA + OB = 20M. Pundul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct M

---

--l-k-

astfel incat MA = kMB , avem OM = --OA

l-k

---OB

[AB] E

pentru orice punct 0 din plan

l-k

'

AB

dintre vectorii ii si v este ii·~

=1 ii 1·1 v l·cosM.

~.~=~.~;

,I

(-::-::-) U,V

e/ cos

=

ii . v liil·lvl

J)

~·G+;)=~·~+~·;;

b)

_ _

cl u·v >O~ '/

,.

(-)ii v '2'

1r

<_.

arecoordonatele

Proprietali importante.

d) - -

'/ u·v<

Fie ii(x,y)

(x,y)

0

~

(-::-::-) 1r u,V >-. 2

si v(x',y')

3. ii·v=xx'+y'y'.

4. ii(x,y)l.V(X',y')~XX'+y'y'=O.

R~Y.Y . '+'

x2 + y2

~

~

drepte = m2

d,

6.

dintre

Distanta

laxA+bYA+cl ~ va2 +b2

daca

daca

au pantele

egale,

adica

A (x A ' Y A )

punctul

si

dreapta

d : ax + by + c = 0

este

.

!i.=!i#2. a2 b2 c2 Chiar daca nu este scopul acestui capitol, consideram util sa introducem aici cateva

x

Y

1

determinantului este AB: x A

YA

1 =0 .

xB

YB

1

1 SABc="2\Ll\,undeLl=xB

x' E

si numai

d.: a1x + b.y + c1 = 0

8. Dreptele

6. ii(x',y,)lIv(x',y')~~=L.

X'2+ y,2

daca

~i d2 sunt perpendiculare daca si numai daca ~ .m2 = -1 .

S. Doua drepte

)= dA,d (

paralele

•

11. Punctele

7. Vectorul de pozitie al punctului A(X A' YA)

sunt

doi vectori din planul xOy. Atunci

2. ii(x,y)=v(x',y')~x=x',y=y'.

-

d. II d2

Doua

10. Fie A(XA'YA), Aria triunghiului

si scriem ii(x,y).

1.1~1=~x2+y2.

S. cos(ii,v)=

are ecuatia

Ecuatia

dreptei

AB

cu

sensa

cu ajutorul

ii·v=O~iil.v.

2. Vedori in planul xOy Un vector ~=xi+y]

b

4.

aplicatii ale determinantilor in geometrie. 9. Fie A(XA'YA) ~i B(xB'YB).

Proprietalile produsului scalar a)

m

.

Relalia lui Leibniz. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca OA + OB + OC = 30G , pentru orice punct 0 din plan. Relalia lui Sylvester. Fie H si 0 ortocentrul, respectiv centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Atunci OH = OA + OB + OC . scalar

si are panta data

m= __a , b # 0 .

k, k~ este un vector cu aceeasi directie ca si ~, de modul egal cu I k 1·1 ~ I ~i

Produsul

A (x A ' Y A )

3. Daca dreapta d are ecuatia d: ax + by + c = 0, atunci panta dreptei d este egala cu

ABCD avem AB + AD = AC .

AB = OB - OA , pentru orice punct 0 din plan.

Inmultirea numAr real

in paralelogramul

in triunghiul

Regula triunghiului.

care trece pin punctul

J:Y-YA =m(x-xA)· 2. Daca dreapta d are ecuatia d: Y = mx + n , atunci m este panta dreptei d.

1. Vectori in plan Regula paralelogramului:

Fie do dreapta in planul xOy. Panta dreptei d este tangenta unghiului format de dreapta semiaxa pozitiva Ox. Ecuatia generals a unei drepte d este d: ax + by + c = 0 .

y'

xOy este ; A = XAi + YA] .

8. Pentru doua puncteA ~i B din planul xOy avem AB = (xs -xA)i+(ys

- YA)] .

B(xB'YB) ~i C(xc,Yc)· ABC, sensa cu ajutorul xA

YA

1

Xc

YB Yc

1. 1

A(XA'YA)'

B(xB,YB)

determinantului,

este

egala

cu

.~I ~i C(xc,Yc)

sunt coliniare daca si numai daca

\5

xA

YA

1

~

A == xB

YB

Xc

Yc

1 =0. 1

~ ~

-----------------------------------------------------

~

.

41

•

• aft

Probleme propuse

lID

pentru

care

veetorul

;

=

aEll'.

at - 3J

este

paraleJ

eu

dreapta

ABC.

.

+y_2::::0.

_ -: -: _ -: -. . h'ulABCastfelincat AB=41+3j, AC=I+2j. nsiderA tnung 1 .' . CO Ina . lungimea medlanel dIDA. • . pete~ a: vectorului BG , unde G este centrul de :reu~te ~ triun;ul~

1. Se considera triunghiul ABC si punetele M, N ,P astfel incat AM = ME, BN::::2NC si AP = 2CP . Aratati ea punetele M, IV. ,P sunt eoliniare. 2. Se paralelogramul ABCD si punetele E ~i F astfel ine'at ___ considera AE = EB, DF = 2FE . Dernonstrati ca punetele A, F si C sunt eoliniare. Variante bacalaureat 2009 -

3. Se considera triunghiul MNP ~i punetul A astfel ineat MA

=

1-

"3 MN.

~petennm . hi I ABC astfel iDcat AB=-4i+3j, Se considera tnung. dl~ A

Detennina\i ".

4. Se considera paralelogramul ABCD si punetul E astfel iDeat AE = ~ AB . Detennina\i

a: l-

i:;) Q

u.:

• ~c:c ~

:;)

o u

·

6. Se considers triunghiul ABC eu laturile AB = 3 si AC = 4. Daca D este punetul de intersectie dintre bisectoarea unghiului A si dreapta AB, determinati numerele reale a ~i .

AC. Aratati ca AN + BP + CM = 0 . 8. Dernonstrati

-

-

--

egalitatea MA + MC = ME + MD.

9. Fie M un punct din planul triunghiului ABC astfel incat AM + BM + CM = 0 . Arata!i ca M este centrul de greutate al triunghiului ABC. 10. Se considera patrulaterul ABCD si punctele M si N mijloacele laturilor AB ~i CD.

~

e

~ ~

si ~=(a-l)7+]

2)7 - ] . Determinati _

auaceea~ilungime.

m > 0 astfel incdt vectorii u

_

_

_

E

-

-

-

0

lR pentru care unghiul dintre vectorii ~ = 7 + j ~i v = ai - j este de 60 . triunghiul ABC astfel tncat

AB

= -47 + 3],

= 7 + 2].

BC

Determinati

coordonatele vectorului AD, unde D este proiectia lui A pe dreapta BC.

26. Arltati ca unghiul vectorilor ~ = 5727.Se

4]

~i ~ = 27+ 3] este obtuz. Variante bacalaureat 2009

considera triunghiul ABC astfel tncat

AB=-47+3j,

BC=47+3].

Determinati

lungimea inaltimii din A.

= ~(BC + AD).

21. Paralelogramul ABCD are AD

12. Fie H ortocentrul

~ u ~

ABCD are loc


~

cj

~=2i+3]

Deterrninati cosinusul unghiului format de vectorii u = i + 2j si v = 3i - j .

25. Se considers

ca pentru orice punct M din planul paralelogramului

11. Se considera triunghiul ABC ~i punctele M,N,P astfel incat AM

;.


-

a· ~

C dcavectorii

~i ~ sa fie perpendiculari.

24. Aflati a

7. Se considera triunghiul ABC si punctele M,N,P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv

Aratati ca MN

III

lID

21. J)eterrmnat1 a E l'" ~ un .. - _ -:+ 3-. si ~ = (m 22. Fie vectOnI U - mi ) 'i

hexagonul regulat ABCDEF de latura 4. Calculati modulul veetorului AC + Bfj. Variante bacalaureat 2009

b pentru care AD = aAB+bAC

AB = 4 si AC = 5. Calculati

d

.'

w

Determmati

sistemul

numerele reale a si b pentru care CE = aAB + bAD.

...•

.

rdonate xOy se considera punctele M(l, -2), N(-3, -I), p( -l,2) . e coo . t' oordonatele lui Q astfel mcat MNPQ sa fie paralelogram. J)etet1l11na1 C Examen Bacalaureat 2011

in

s. Fie

AC=51+l2j.

. bisectoarel III . lUOgtmea . . de 60°, . I ABC are masura unghlUIUl A hlU Triung

An· AC .

numereie reale a si b pentru care PA = aPM +bPN.

.

= 2MB,

BN

= 2NC

si

CP = 2PA . Aratati ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate. triunghiului ABC. Aratati ca daca AH + BH + CH = 0, atunCI triunghiul ABC este echilateral. 13. Se considera triunghiul ABC, cu lungimile laturilor AB = c, A C = b si un punet D astfel inc at AD = bAB + cAC . Aratati ca sernidreapta [AD este bisectoarea unghiulUi BAC.

= 47-

Determinati perimetrul triunghiului ABC. 1s. In planul xOy se considera vectorii ; = 47 + 3] . a) Determinati un vector ~ de lungime 6 coliniar cu u.

b) Determinati un vector;'

3], A C

= -57 + 12j

.

=4

si

m(:4DC) = 120

0 •

Calculati \AD+ AB\.

Examen Bacalaureat 2010 29. Determinati aria triunghiului ABC stiind ca BA = 27 + j si BC = -7 + 3] . 30. In sistemul

de coordonate

Determinati coordonatele triunghiului ABC.

31. Se considera vectorii


14. In planul xOy se considera triunghiul ABC astfel lncat AB

= 6, AB

Determinati:

a) ;.~;

u

xOy

se considera

vectorului

punctele

A(I,4), B(3,l), C(-l,I).

A G, unde G este centrul de greutate

al

•..

== si ~ b)

astfel tncat

I~+~I;

I~I= 4, I~I= 3

si cos(~)

0

= 120

•

c) cos(~).

I~I I~I

2. Determinati unghiul dintre vectorii ~ si ~ stiind ca = 3, = 2 si ;. ~ = -3J3 . 33. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului AB, unde A(2,3) si B(-3,-2) Variante bacalaureat 2009

~

u

~ w == ~ == •

de lungime 5 perpendicular pe ; . 43

SO. Determinati

34. in planul xOy se considera punctele A(l, 1) ~i B( -1,3) . a) Determinati ecuatia dreptei care trece prin 0(0, 0) ~i este paralela cu dreapta AB. b) Determinati punctul C E Ox pentru care AC .1. AB .

A( -1, - 5) ~i B(2, I). Determinati

coordonatele

in

punctului M

51.J)e

A(6,0),

C(12,12). Determinati coordonatele punctului M(u, v) astfel incat AM

B(0,6)

~i

= BM = CM.

a+b

52. Determinati

d,

~i d2 : x + 2y + 4

7.

39. Determinati ecuatia dreptei Care trece prin punctul M(1,2)

pe

stiind

ca

punctele

A (1,2)

si

B (-1,1)

paralele. 54. J)eterminati

E

IR stiind ca dreptele d.: mx + ( m - 2) y + 2

a + bE lR stiind ell dreptele

d. : x + ay + 2

=0

=0

II)

A(-1,3),

B(1,-I)

Aratati ca, daca 2a + b

:1=1 ,

si C(a,b),unde

natural impar.

....• 1&1 a:: •...

i

~ Q ~

.

C(6,-3)

. Determinati

ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] in triunghiul ABC. Examen Bacalaureat 2010

41.

in

sistemul

D( 4, a), a 42. Fie G(I,O)

E

de

coordonate

xOy

se

considera

A(2,1), B(-2,3),

C(1,-3)

~i

si B(-I,-3)

.

IR . Determinati a astfel incat dreptele AB si CD sa fie paralele. centrul de greutate

al triunghiului

ABC, unde

A(2,5)

Determinati coordonatele punctului C. 43. Calculati distanta de la punctul A (2,2)

la dreapta determinata de punctele B (1,0) ~i

C(O,I) . 44. Determinati

a

E

lR pentru care dreptele d.: ax + y + 2011 = 0 si d2: x - 2y = 0 sunt

paralele.

.3

~

"~

45. Scrieti d :x

46.

II:

~ ~ ~

~ J

C

•

s it

in

ecuatia

care contine

punctul

A(3, 2)

+ 2y + 5 = 0 .

~i este perpendiculara

pe dreapta

Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS

sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2) si B( -2,1).

Determinati

ecuatia perpendicularei in A pe dreapta AB. 47.

in

sistemul de coordonate xOy se considera punctele

distanta de la punctul M

(1,5)

48. In sistemul de coordonate

A( -2,3)

si B(O,I).

Determinati

la mediatoarea segrnentului [AB] .

xOy se considera punctele

A (1,1), B ( 5,4) si C (2, -3) .

Determinati ecuatia inaltimii din C.

~ 49. Determinati a E IR pentru care distanta d2 : x + y + a = 0 este egala cu 2.

dintre

dreptele

d.: x + y + 2011 = 0

0 sunt simetrice

apartin

dreptei

si d2: y

~l

= 3x + 1

sunt

= -2x

+b

d; : y

a.b e Z:

atunci punctele A,B si C sunt necoliniare.

b) Aratati ca daca b este numar par, atunci aria triunghiului vectorul u = i + j . A(3,5), B(-2,5),

=

d:x+ay+b=O.

55.Fiepunctele

38. Scrieti ecuatia dreptei ce contine punctul A(2, 5) ~i este paralela cu vectorul ~ = ii-

40. In sistemul de coordonate xOy se considers

= 0, d2: 3x + 4Y = 0

coincid.

Examen Bacalaureat 2001

si este perpendiculara

d,: 3x + 4Y + 2

fata de axa Ox.

53. Determinati m

sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele

lR pentru care dreptele distincte

terminati ecuatia dreptei d, stiind ca dreptele

2pentru care AM = "5 AB . 37.

E

~i d3 : 3x + 4 y + a = 0 stint ecbidistante.

35. Se considera punctele A(1,3), B(2, -I) ~i M(1, -1). Determinati coordonatele punctelor C ~iD pentru care patrulaterul ABCD este paralelogram cu centrul in M 36. Se considera punctele

a

~i

ABC

este un numar

Tema

9. Transformarea sumelor in produse ~i a produselor in sume

1.10

a • sina±sinb

Trigonometrie. Aplicalii ale trigonometriei ~i ale produsului scalar in geometria plana

a +b 2cos--cos--' 2

b• cos a+cceb=

1. Elemente de trigonometrie

C

Cercul trigonometric este un cere de raza 1, cu centrul in originea reperului cartezian, Axa Ox se numeste ~i axa eosinusurilor, iar axa Oy se numeste axa sinusurilor.

= 2sin a±b cos a+b 2 2

•

a- b 2'

. a +b . a - b cosa-cosb=-2slD--slD--; 2 2

d. sinasinb=.!.[cos(a-b)-cos(a+b)] 2

2

2

a . 2t 10 Pentru t=tg: avem SIDa=--, 2 • 2 1+t

sin

1-t cosa=--2' l+t

2t tga=--2' 1-t

a e kn, VkEZ.

2. Aplicatii ale trigonometriei ~i ale produsului scalarin geometria plana

(-1.0)

x

Consideram triunghiul ABC cu notatiile cunoscute: a = BC, b = AC si e = AB , R este raza cercului circumscris triunghiului, peste semiperimetrul triunghiului ABC, iar r este raza cercului inscris, Teorema cosinusului. In orice triunghi ABC avem a2 = b2 + e2 - 2be cos A . • . a Teorema sinusurilor. In orice triunghi ABC avem -,slDA

Formule trigonometrice fundamentale.

= -,- b

slDB

e = -,SIDC

= 2R,

Formule pentru aria triunghiului, Daca no tam cu S ABC este aria triunghiului ABC

Pentru urmatoarele formule consideram nurnerele reale a,b astfel incat sa aiba sens urmatoarele forrnule. 1. Formula fundamentala a trigonometriei.

2

. b =- 1[ SIDa. ( b) + SIDa+ . ( b)] . f. slDacos

y (0,1)

( a+ b)]

1 [ cos(a-b)+cos

e. cosacosb=-

sin 2 a + cos' a = I .

avem: a-h S BC = __ A 2

=

0

abe -I' == pr , unde h este IDa timea corespunzatoare 4R

absinC

A

2

Iaturu" a.

0'

2. Reducerea la primul cadran. Formula lui Heron 2.1. sin(~-a)

=cosa, cos(~-a

)=sina,

tg(~-a

)=ctga,

ctg(~-a)

=tga.

2.2. sin(Jr-a) = sin a, cos(Jr-a) = -cosa, tg(Jr-a) = -tga, ctg(Jr-a) = -ctga. 2.3. sin(Jr+a) = -sin a, cos(Jr+a) = -cosa, tg(Jr+a) = tga, ctg(Jr+a) =ctga . 2.4. sin(2Jr-a)=-sina, cos(2Jr-a)=cosa, tg(2Jr-a)=-tga, ctg(2Jr-a)=-ctga. cos(-a)=cosa,

tg(-a)=-tga,

sin(2kJr+a)

= sin a, cos(2kJr+a)

= cosa,

tg(kJr+a)

= tga, ctg(kJr+a)

+ tgatgb

1- cos 2a . 2 8 • sin a= ,cos 2

a' h = -be = __ 2 2

0

,

h = -be. , lar me dilana diIDA este mo = -1 BC . 0 a 2

J3 4'

aJ3 R = --, 3

aJ3, ., aJ3 r = -~I mediana dIDA este mo = ho = -, 6 2

3. Functii trigonometrice inverse ~i ecuatli trigonometrice = ctga, Funqia arcsin :[-1,1] ~ [ - ~ , ~] este inversa functiei sin: [ - ~ , ~ ] ~ [-1,1] .

cos 2a = cos" a - sin 2 a = 1- 2 sin 2 a = 2 cos? a-I.

- tga ± tgb 2 _ 2tga 7 • t g ( a_ + b) , tg a----. 1

SABC

Formule pentru triunghiul echilateral. Daca triunghiul ABC este echilateral cu

ctg(-a)=-ctga.

5. cos(a±b) = cos ccos s z sin c sin a , sin(a±b) = sinacosb±cosasinb, 6. sin 2a = 2 sin a cos a,

, Ipotenuza BC avem: ,

A

4. Periodicitatea functiilor trigonometrice. Pentru orice k E Z avem:

= ~p(p-a)(p-b)(p-e),

Formule pentru triunghiul dreptunghic. Daca triunghiul ABC este dreptunghic cu

a2 latura a avem: S BC = --

3. Paritatea functiilor trigonometrice. sin(-a)=-sina,

SABC

Proprietali.

1. sinx = y ~ x = arcsiny, x E [- ~'

1-tg2a

2

1 + cos 2a a=--2

2.arcsin(sinx)=x,

vXE[-~'~l

~J.

y E [-1,1].

sin(arcsiny)=y,

3. arcsin(-x) = -arcsin x, Vx E [-1,1].

\fYE[-l,l].

• 47

4. Pentru x E IR ecuatia sin x = y are solutii doar daca y E [-I, I], iar

I k E Z} .

multimea solutiilor este egala eu {(_1)* aresiny+kJr

j(x)

S. Daca sinj(x)=sing(x),atunci

=(-1)*

g(x)+k1r,

. 2 10+ sm . 220 + ... + sin . 2900 ; 1. Calculat1:. a) S = sin kEZ.

1. cos x

e

ee x e arccos

j

2. arccos (cosx) = 3. arccos ( -x) =

j-,

x, Vx E [O,Jr]; eoS( arccos y) = y, Vy E [-1,1].

cosj(x)

=cosg(x)

6. arcsinx+arccosx=Jr,

{± arccos y

+ Zks: I k E Z} . kEZ.

Proprietati.

~

tgx= y

1.

x) = cos (arcsin x) = Jl-x2

)

.

x = arctgy, x E ( -~, ~

2. arctg(

tgx) = x, Vx E ( -~,~}

3.

(-x)

i)

:;

¢::>

4.

arctg

= -arctg

,VxE[-I,t].

J

~

lll> lA. •

~

s.

Daca

tgj(x)

=

°

a) sin 75 cosl5;

tg( arctg

j/]

= y, Vy E lR .

atunci

°

23tr

. tr

12·smU;

b) cos

y E lR, tar

I

j x)=g(x)+kJr,

~ ~

1. etg X= y 2.

¢::>

si x E (~ ,tr ), calculati cosx.

VXE(O,tr); ctg/areetgy)=y,

l

3 arectg(-x)=tr-arcctgx,VxElR.

~

4.

i ~

! ~

Pentru

Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS

x = arcctgy, x E (0, tr), )- E lR .

arcctg(ctgx)=x,

VYElR.

x E lR ecuatia ctg x = y are solutii pentru orice y E R, iar

multimea solutiilor este egala cu {arcdg y + kst I k E Z} . S. Daca ctgj(x)=ctgg(x),atunci 6.

arctgx+arcctgx=-,

~

tr

j(x)=g(x)+kJr,

tg(arcctgx)=~

x

Q!) Fie x un numar real care verifica


14. Fie multimea

A=

{O''6'7r . tr2' .st:, 37r}. 2

Care este probabilitatea

kEZ.

po

:E X

. sinx-cosx

.

(7r

)'

x

(7r)

E 0'4 .

sin --x

VXElR.

4 r

VXElR·.

-----------------------------------------------------

ca, alegand un element =I?

Bacalaureat 2010.

I >c:C

15. Calculati

si ctg(arctgx)=~,

egalitatea tgx + ctgx = 2 . Aratati cii sin 2x = I .

din multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin:' x + cos'

2 7.

U'

kEZ.

Funqia arcdg : lR ~ (0, Jr) este inversa functiei ctg:(O, Jr) ~ lR . Proprietati.

. tr

c) sm

11. Pentru sin a = ~, a E ( ~ ,tr ). calculati: a) sin 2a; b) tga.

)

,

° . 480 sm .

10. Comparati numerele sin I ~i cos I .

12. Stiind cii sinx = 2~

,

a

9. Determinati eel mai mare element al multimii {sin I, sin 2, sin 3} .

x, "Ix E lR.

tgg(x),

cos'

8. Calculati: y E lR .

multimea solutiilor este egala cu {arctg y + kr: I k E Z} .

2

b) 2sin2 a+l

. sma

~ . ca~ sm . 40° .sm . 140° = cos 2130° . 7. Aratati

)

~

a E R astfel lncat tga = 2 . Calculati:

. tg78° - tgl8° . ° ° , b = sm 108 cos48 -cosl08 6 Calculati a = • 1+tg78° tgl8°

x E lR ecuatia tg x = y are solutii pentru orice

Pentru

s. Fie a)

••. Jr Jr) este mversa . fun cpei .. tg: (Jr-2'2 Jr) ~ Funqla ardg : lR ~ ( -2'2

!

J3

I 4 Ariitati ca --0 - --0 =4. • sin lOcos 10

sina+cosa

VXE[-I,I]. 2

7. sin (arccos

·cos20110.

b) cos l" + cos Z" + ... +cosI79°.

j(x)=±g(x)+2kJr,

,atunci

+ sin 360° ;

3. Calculati: a) tg 1° . tg 2° ..... tg 89°;

Jr- arccos x, "Ix E [--1,1].

multimea solutiilor este egala cu

·sin20110.

b) P=cosIo·eos2°·

XE[O,Jr] YE[-I,I].

4. Pentru x E lR ecuatia cos x = y are solutii doar daca y E [-I, I]. iar

S. Daca

b) P=sinlo·sin2°· 2. Calculati: a) S = sin 1° + sin 2° +

Fun~ia arccos : [-I, I] ~ [0, Jr] este inversa functiei eos: [0, Jr] ~ [-I, I] . Proprietati.

Probleme propuse

16. Daca a E lR astfel Incat sin a + cos a = .!., calculati sin 2a . 3

v

~

:E

~ :E

• 49

J5. 17. Daca a,beR

astfel incat sina+cosb=l

18. Pentru a, b e ( 0, ;) tr

19. Aratali ca cos

g

20. Determinati

x e

=

astfel lncat a - b =:

si cosa+sinb=~

,calculati

sin(a+b).

stiind

considera triunghiul ascutitung.hi~ .ABC. in care. are loc relatia sin B + cos B = sin C + cos C . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel. Variante bacalaureat 2009

.••. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3 . Determinati masura unghiului C. ~. Variante bacalaureat 2009

aratati ca tgb - tga + tgb· tga = -1.

J2;J2 2 .

[0, tr)

se

terminati raza cercului inscris si raza cercului circurnscris unui triunghi cu laturile J1. De

ca numerele

sin x, sin 2x, sin 3x

sunt in progresie

aritmetica. 21. Calculati raza cercului inscris in triunghiul ABC stiind ca AB = A C = 5 ~i BC = 8 . Examen Bacalaureat 2011

3 4 si 5. ~eterminati numerele naturale a pentru care nurnerele a, a+ 1 si a+2 sunt lungimile J8. laturilor unui triunghi obtuzunghic. Variante bacalaureat 2009

39. Calculati: . 1 + arccos a) arcslll

2

22. Se considers triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 4 ~i A = 2; . Determinati.

d) arctg (

a) Aria triunghiului ABC. b) Perimetrul triunghiului ABC.

J3.' 2

J3) + arcctg ( J2) + arcctg ( -J2) ;

- arcctg (-J3)

. (tr"3 - arcsin . c) Sill

23. Se considera triunghiul ABC. Aratati ca daca sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , atunci triunghiul ABC este dreptunghic.

a) sin (2 arcsin ~);

24. Fie triunghiul ABC. Aratati ca daca cos" A + cos" B = 2 cos" C , atunci a2 + b2 = 2c2

d) cos ( tr - arcsin ~ }

•

a) sin x = .!., X e 2

26. Se da triunghiul ABC cu raza cercului circumscris R = 6 ~i A = tr . Calculati BC . 6 27. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ca BC = 3

e) tg (2arctg

2);

2

.

I)

3" ;

3) .

41. Rezolvati ecuatiile.

25. Se considera triunghiul ABC cu A = tr si B = tr . Calculati cos C . 4 3

cosA=-.

e) arcctg ~

40. Calculati:

c) Raza cercului circumscris triunghiului ABC.

J2

b'.I I arcsin (_ J3 3)+ arcsin 1 ,. c'.I I arctg J3 3 - arcsin (2 3

[0, 2tr] ;

b) cosx=--,

e) sin 2x = cosx,

X

xelR.;

2 d) tgx=-J3,

c) sin x + cos x = I, x e [0, 2tr) ; ~l

J2

xe(O,tr);

j) sin x = cosx, x E [0,4tr];

e R,

1

g) sin2x=-

2

28. Se considera triunghiul ABC cu laturile a = 3, b = 3 ~i c = 4 . Calculati. a) AB· AC;

J2,

XE[-tr,O].

2

42. Rezolvati ecuatiile.

b) Raza cercului circumscris.

29. Se considera triunghiul ABC in care a + c = 2b . Aratati ca sin A + sin C = 2 sin B . 30. Aratati ca daca in triunghiul

ABC este adevarata

relatia t'

a2 sin 2B = abc atunci R '

triunghiul este dreptunghic.

a) sin(x+

b) arctg

;)=cos(x-

~}

J3 + arctg x = tr , J3 cos x = 0,

X

31. Calculati sinusul unghiului ascutit dintre diagonalele dreptunghiului ABCD, stiind ca AB = 6 si BC = 8 .

d) sinx = l+cos2

32. Se considera paralelogramul

e) arcsin.!. + arcsin x =!:.,

cu AB = 6,

BC = 4 si m (4:A) = 60·. Aflati

distants de laD laAC.

2

x,

X

•..

E lR..

~

E R.

I X

'5

E [-1,1].

3 Variante bacalaureat 2009

33. Determinati lungimea celei mai mici inaltimi a triunghiului ABC cu laturile 5, 6 si 7. 34. Determinati lungimile aritmetica cu ratia 1.

E lR..

2

c) 3 sin x +

ABCD

X

xElR..

laturilor unui triunghi dreptunghic

cu laturile in progresie

~ ~

III

~ ~

• 51

Partea

Algebra Tema 2.1.

(clasele XI-XII)

Permutari. Matrice. Determinanti (cia sa a XI-a)

Tema 2.2.

Sisteme de ecuatli liniare (clasa a XI-a)

Tema 2.3. Structuri algebrice (clasa a XII-a)

Tema 2.4.

Polinoame cu coeflcienti lntr-un corp comutativ (clasa a XII-a)

2.1

Tema

Permutarl. Matrice. Determinanti 1. Permutari Oefinitia 1. Fie n un numar natural nenul. a functie bijectiva a : {I, 2, ..., n} ~ {I, 2,..., n} se numeste permutare de grad n. Multimea permutarilor de grad n contine n! elemente ~i se noteaza Sn. Exemplu de permutare. Functia

0"

1

=(4

2 3 4) 1 3 2 este

A

0

permutare de grad 4. In

acest caz a(l) = 4, a(2) = 1, a(3) = 3 si a(4) =2. Tnmultirea permutarilor. Fie a si • doua permutari de grad n. Permutarea a 0., unde 0" este operatia de compunere a functiilor se numeste produsul permutarilor a si r ~i se "noteazl!. ar. Proprietati 1. Inmultirea permutarilor este asociativa, deei au sens expresii de forma (/ = 0" . 0" . 0" ... 0" , pentru orice a E Sn si orice numar natural nenul k.

~

k ori

1 2 1 2

2. Permutarea e = (

n)

... ... n

ae = eo = 0" , pentru orice

are proprietatea

0" E

S; , si se

numeste permutarea identica, 3. Daca a

0"(1)

E

S; atunci permutarea ( 1

inversa permutarii a si are proprietatea

0"(2)

...

O"(n»)

2

...

n

0"0"-1

E

Sn se noteaza e', se numeste

= 0"-10" = e.

Inversiuni, semnul unei permutari Oefinitia 2. Se numeste inversiune a permutarii a E S; 0 pereche ordonata (i, j) E x {I, 2, ...n} eu i aU). Numarul inversiunilor unei permutari a se noteaza mea) iar numarul (_l)m(cr)se noteaza &(a) si se numeste semnul permutarii a. Daca &(a) = 1 (deei mea) este par) atunci a se nume~te permutare para, iar daca &(a) = -1 (deci mea) este impar) se numeste permutare impara. E

{l, 2, ... n}

Proprietati 4.&(a.) = &(a)· &(.) oricare ar fi 5.&(e) = 1. 6. &( o") = &(a) oricare ar fi Exemplu. Fie

0" =

0" E

0", T E

Sn. •.•.

1 2 3 4 5) ( 5 1 432

(1,4),(1,5), (3,4),(3,5),(4,5),

:E

S; .

I

.

Inversiunile

permutarii

a sunt (1,2),(1,3),

deei mea) = 7, &(a) = -1 si a este permutare impara.

E_

>
:E

~

:E

•

Definijia

(i) = j,

3. Fie i, j

E

{I, 2, 3,... n} cu i ~ j. Pennutarea

(j) = i ~i (J ( k ) = k pentru orice k se noteaza (ij) . (J

(J

Exemplu. (25)

=

G

2

3 4

5

E

(J E

Sn

cu proprie~til

{I, 2, 3,... n} _ {i, j} se numeste transpoZifj' t: e~

E

S6'

l

8. (iJr = (iJ). 10. Orice transpozitie este

0

permutare impara.

2. Matrice in cele ce urmeaza S reprezinta una din multimile IE, Q .R sau C, iar m ~i n sUo! doua numere naturale nenule. Defini~ie 4. 0 functie A : {I, 2,... m} x {I, 2,... n} ~ S se numeste matrice cu m linii ~. I n coloane (sau de tip (m, n» cu elemente din multimea S. Imaginile unei astfel de functii se aseaza intr-un tablou (tablou de tip matriceal) cu III linii si n coloane, in care elementul de pe linia i si coloana j reprezinta imaginea perechii (i, j) prin functia A, element care se noteaza aij E S.

°

=

I,al2 = 0, an

= 2, a21= 2, a22 = -I si a23 =

....I

Exemplu.

~

Multimea matricelor de tip (m, n) cu elemente din multimea S se noteaza Mm,n(S)' 0

o u.:

~ ~ ::;) U

.

o

::;) z

2), unde all 2 -I 1

I.

matrice de tip (n, n) se numeste matrice patratica de ordin n, iar multimea lor se noteaza MnCs).

Adunarea matricelor. Fie A, B E Mm,n(S), A

=

(aij), B

Mm,n(S) se numeste suma matricelor A si B si se noteaza A

=

(bij). Matricea

(aij + bij)

numeste produsul matricei A cu matricea B ~i se noteaza AB.

~ ~

ffi

;j .:.

o ~ ~ Q

Z 0(

:::E

•

E

= (aij) E MmAs)

= ailblk + ai2b2k +...+ ainbnk pentru

= L C:A*-;

si (A + B)*

B; .

;=0

matricei A = (aij) EMm,n(S)

este matricea

°

M n,m (S) unde bji = aij pentru orice i E {l, ...Im} ~ij E {l, ... n}. .

exemp I u.

A=(I

-I 2)3

0

I

EM2.3(Z)~i

AI

=[_12

I]EM3,2(Z).

3

Teorema(!Ui~)amilton-CaYley . 2 Fie A = C d E M2(S)' Atunci A - (a + d)A + (ad - bc)fz (in general, matricea de tip

(m, n) cu toate elementele egale cu

°

=

(aij) E Mn(S).

(0

=

O2 unde O2 =

°

00)

se noteaza Om,n)'

L e (a) aI0'(I)a20'(2)'" aM(n)

Numarul

se numeste

ueS"

+ B.

~ ::;) u III

Cik

A' == (bJI)

= Ak~

n

r

E

~

Mm,p(s) unde

A B E M (S) , atunci (ABl

. matrice. Transpusa TrIInspusa unei

Defini~ia 5. Fie A

si XES. Matricea (xaij) E Mm,n(S) se numeste produsul matricei A cu scalarul x si se noteaza xA. lnmultirea matricelor. Fie A = (aij) E Mm,n(S) si B = (bjk) E Mn,P(S). Matricea (Cik) E

~

n

3. Determinan~i

Opera~ii cu mat rice

inmul~irea cu scalari. Fie A

, oricare ar fi

umeste matricea unitate. in general, AB"* BA, calculul algebric nu respecta regulile _tie. Cum, 2 2 B'A B2 A tf I de exemplu, (A + B) = (A + B)(A + B) = A + AB + + . ere 'le la num . s e, * ~1 se

J)aCl AB == B'A,cu

A=(I

= InA = A

.

J..S),

7. (iJ) = (ji). 9. ( lj..)2 = e.

~] E Mn (S) are proprietatea AIn .

001

6)

5 3 4 2 6

Proprieta~i

~ I-

_ [~ ~ ::: .~ I - .: ~"..•• : ..

determinanlu[

a2n

matricei A ~i se noteaza det(A) sau anI

an2

. Un determinant de

ann

ordin n este determinantul unei matrice patratice de ordin n.

orice i E {I, 2, ... m} si k E {I, 2, ... p} se a12\ = all a22 -a12 a21. a21 a22

·Determinan~i de ordin doi. \all

Proprieta~i Daca operatiile de mai jos au sens, atunci:

~I

1. (AB)C = A(BC), deci inmultirea matricelor, acolo unde are sens, este asociativa 2. A(B + C) = AB + AC si (B + C)A = BA + CA, deci inmultirea matricelor eSte distributiva falii de adunarea matricelor. 3. Inmu1lirea matricelor este operatic algebrica pe multimea Mn(S), are sens pentru orice A, B E MnCs) si, in acest caz, AB E Mn(S).

adica produsv'

AS

• Determinan~i de ordin trei. Ozl -a13a22 a

a

~I

~2

~3

On

On

~2

~3

= ~ I On ~3

+ al2 On ~I + ~3 Ozl~2 -

i

31- 12a2Ia33-alla23a32'

I

7oprieta~i. Fie A E Mn (S). Atunci: ret'erito' det(A) == det(AI). Datorita acestei propozitii , are la r " 2. D mu este adevarata si pentru coloane.

~

, orice

proprietate

a unui determinant

:: c ~ ~

3. D~~A are? linie cu toate elementele egale cu 0, atunci det(A). = 0. _", B) _ a matricea B se obtine din A prin schimbarea locului a doua linii, atunci --det(A). •

57

4. Daca A are doua linii egaJe, atunci det(A) = o.

S. Daca B se obtine din A prin inmultirea elementelor unei linii eu un numar a E S atunci det (B) = a det(A). ' 6. Dad! B se obtine din A prin adunarea liniei i eu linia j inmultita eu un numar a E S atunei det(B) = det(A). ' 7. flij (minorul (ij)) este determinantul matrieei obtinuta din A prin supcimarea liniei i ~i eoloaneij. Numarul S, == (_I)i+J flij se numeste complementul algebric al elementului aij din matrieeaA. Atunei det(A) == ail Oil + ai2 Oi2+...+ ain Oin(dezvoltarea dupa linia i). 8. det(AB) == det(A) . det(B) orieare ar fi A, B E Mn(S).

c) Rezolvati ecuatia ax = (I 4

3 4), 1 2

• Se considera permutarea a E 86, a =

•

.

.

a) Determmap b) Aratati ea

1 2 3 ( 24536

4

5

6 ). 1

-I

m( a)

= m(

ca ecuatia

c) Aratati

X E S4 .

a .

X4

a-I). Bacalaureat, 2008

== a nu are solutii in 86•

1 2 3 4 5) si b == (1 2 3 4 ~). a,b 32145 2145

5. Fie permutarile

a == (

a) Rezolvati ecuatia ax == b,x

• Ecuatia unei drepte determinate

b) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat (ab

x2

Y2

1

c) Fie k

1 == 0 .

XI

X3

aria triunghiului ABC. Atunei:

a) 8ABC ==

YI Y2 Y3

¢:>

fl ==

(1

a == (

2 3 4), b == (1 2 3 4), c == (1 2 3 4), 2341 3142 4312

(1 2 3 4 5) 4 1 325

a) Determinati inversiunile lui

a

1 2

3

solutie a ecuatiei xb' = a3x,x

E

84.

a == (1

2 3 4 5) E 85 si multimea A 2 3 4 5 1

E

8 .

{an In EN}•

.

Bacalaureat, 2009

-1

3

2]

(2-1

2

1 si B = 1

0

1

1

1

1

9. Fie matrieele eu elemente reale A ==

5

si calculati e ( a)

.

G

si B == ( ~

:)

84•

a) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat a' == e . b) Calculati a2012 .

:).

Aratati ea daca AB == BA ,

atunei A == B.

. matncele . 10. Fie eu elemente reale A == (01 1). 1 ~I B E

=

a) Calculati A + B, 2A ~iA - 2B. b) Calculati AB, BA ~iA2.

e-'.

(1 2 3 4)

0

s.

a) Determinati numarul inversiunilor lui a . b) Determinati numarul elementelor lui A. c) Aratati ea toate elementele lui A sunt permutari pare.

(

b) Calculati o":

4

c) Determinati

1

a) Calculati at si ta .

3.Fle permutarea a =

b) Aratati ea a4 ==

•• Fie A == 0

1. re permutarile a = 3

b) Determinati

si eu 8ABC

o.

Probleme propuse

a=

Bacalaureat, 2008

1

a) Verificati daca c este solutia ecuatiei ax == xb.

7. Fie permutarea

-----------------------------------------------------

.

permutarile

t == e .

Bacalaureat, 2009

1 -I z ], 2

b) A, B, C sunt eoliniare

2. Fie permutarea

ca 6 divide k.

Z astfel ineat b == e. Aratati

6. Consideram

85.

a, b, c E 84.

Pentru punetele A(Xl' Yl), B(X2J'2) si C(X3J'3) se noteaza eu fl == x2

.

k

1

• Aria unui triunghi.

F.

E

E

E

85.

4. Aplicatii ale determinantilor de doua puncte. x Y Ecuatia dreptei AB, unde A(XIoYl) si B(X2J'2), este ~ YI

.

2 3

. 11.• Fie matneea eu elemente reale X ==

(0

= (1 1

01).. Aratati ca AB == (BA) I .

1) . Aratati . ea X

-1 0

+ X 2 +...+ X 100 == 02 .

59

12. Fie matrieea X

:J

= (~

E

M2 (lR). Calculati X +X2 + ... +X10•

13. Fie matricele cu elemente reale A ale numarului a pentru care

14.Fie matricea A

= (~ :}

B

= (~ ~

J

24. Fie matricea A

1 0

=

[ Determinati valorile reale

AB = BA.

-1 2] 1 -1 . Calculati An, n EN".

o

0

1

1:), G ~),

25. Rezolvati ecuatia X2 = ( ~

=[~~ ~J.

26. Rezolvap ecuatia X

3

X E M2 (lR) .

=

-~l

000

a) Calculati A3

27.Rezolvatiecuapa

•

X3=(_~

XEM2(lR).

2 b) Calculati (13 - A)( 13 + A + A ). 28. Fie matricea

15. F;e matricele

A~(I

2 3)

EM" (Ill) I; B~n'}M'"

(Ill),

... ~

b) Calculati

16. Pentru 0 matrice A E M; principala a matricei A.

C...

E) i j

b) Aratati

(A - A

(C)

notarn eu tr(A) suma elementelor

(C)

de pe diagonala

si a E C.

ca tr(A + B) = tr( A) + tr(B).

17. Demonstrati teorerna lui Hamilton-Cayley:

M2( lR).

lR astfel incat A2 = aA. .

!J . -:J

29. Fie matricea A = (~

30.Fiematricele

E

,)2008

r ,n EN".

a) Aratati ca tr(aA) = a tr( A), oricare ar fi A E M; L

~) E

a) Aratati ca exista a

a) Calculati AB si BA.

b) Calculati (BA

A = (~

X E M2 (lR) .

Adaptare bacalaureat, 2008

Calculati det] A2 - 5A - 12).

A=(_~

-:J.

si B=(_~

a) Verificati egalitatea det ( A) = det ( B) A2 -tr(A)A+det(A)12

=° , 2

oricare ar fi

b) Demonstrati ca An - B" = (2n

-1)( A -

. B), oricare ar fi numarul n ~

AEM2(C). 18.Fie

AEM2(C)

19. Fie A E M2

(C)

I

cudet(A) =0. Aratati ca An = (tr(A)f cu A20J2= 02 . Aratap ca A2 = 02 .

A,oricarearfi

nEN,n~2.

-1

31.Fie matricea A = ( 2

1 natural.


J

2 2 2 -1 E M2,3(lR).

a) Calculati det(AA').

(a+b)" + (a-b)" 20. Fie A=(a bJ E M2( C). Aratati ca An = 2 b a (a+b)" -(a-b)" [ 2 arfinEN·.

21. Calculati

22. Fie A

=

.

1

( -J3

(5 -8) 1 -1

r;:;)20J3 ,,3

b) Aratati ca det(AtA) = O.

(a+bY -(a-bYJ

2 (a+b)" + (a-b)"

.

E M2 (lR).

32. Fie matricea A = (:

2 a) Aratati ca det]


!J

,oncare

A' A) ~ 0 .

b) Aratati ca daca AA'=A'A

atunci (a-d)(b-c)=O.

1 E M2( lR). Calculati An, n EN".

0 -1 -12J .

[o

23. Fie matricea M = 0

0

0

0

[

a) Calculati det ( A)

Calculati M"; n EN".

1 -1 -1]

33. Se considera matricea A = -1

1 -1 E M3 (lR) .

-1 -1

1

.

b) Demonstrati ca A2 - A - 213 = 03.

• 61

34. Se considera matricea A = [~ 1

~J

~

E

1

.2.

M3 (lR) .

1 0

a) Aratati ca

V; =

a

b

c

2

2

2

a

b

=

(c-b)(c

c

a) Calculati det(A).

1

b) Demonstrati di A2 -A-213

35. Se considera matricele a) Aratati ca AB .

(

=03'

A~[~~ HB ~[~ ! ~)E~(R)

= BA =

b) Demonstratl ca

°3,

A +B

)2013

=A

20J3

+B

2013

: J.

M2( 1R), BEl = EIB si BE2 = E2B aratati ca B = ali, cu a E 1R.

°

-IJ 1

~i B=(c~st smt

-sintJ,tEIR. cost

a) Fie X E M2 (1R) cu AX = XA. Aratati ca exista a, b E lR astfel lncat X = ( : cosnt . ( smnt

-sinntJ cosnt

d

1 b

= a

.

c

b3

~l

A U2

= (d -a)(d

2

1 b2

a3

b3

=a

c3

1

1

1

1

1

A= a a3

b b3

c ,B=

a

be.

3

e

f(a)

-b)(d -c)(c-b)(c-a)(b-a)

.

2

c . c3

1

f(b)

fee)

0) Aratati ca A = (a + b + e)(e - b)(e - a)(b - a) . b) Aratati ca A = B. c) Aratati ell pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, de pe graficul functiei J, aria triunghiului cu viirfurile in aceste puncte este un numar natural divizibil cu 3. Bacalaureat, 2009 45.FiepuncteleA(0,

b) Aratat! ca B" =

2

2

a

44. Fie numerele reale a, b, c, functiaj": lR ~ IR,j{x) = x3 + 2x + 3 ~i determinantii

Adaptare bacalaureat, 2008 ~

a =

a3

G ~], E2 = ( ~

d d3

.

a) Sa se calculeze A4.

..• 37. Fie A=(O

.

b) Aratap ca V4

,3. Ca Icu Iatl . UA J

36. Se considers matricele A = ( _ ~ :], EJ =

b) Daca B E

-a)(b -a).

6),B(I,

4)

si C(-I,

8).

0) Aratati ca punctele A, B, C sunt coliniare. b) Scrieti ecuatia dreptei AC.

, pentru orice n E N* .

46. Fie punctele A(O,

2OO8 •

c) Calculati A


1),B(1, 2) si C(2,4).

0) Scrieti ecuatia dreptei AB. b) Calculati aria triunghiului ABC.

47. Fie punctele A (1, 0), B (2, -1), C(3, a). Determinati valorile reale lui a pentru care aria triunghiului ABC este egala cu 1. 48. Fie punctele A( -1, 0), B(I,-I), C(a,a+ 3), unde a este un numar intreg .

~

•

0) Demonstrati ca punctele A,B,C nu sunt coliniare pentru nicio valoare a lui a. b) Determinati valorile lui a pentru care aria triunghiului ABC este egala cu 1. 1

40. Dezvoltati dupa prima coloana determinantul

2

1

2

-1

3 -2

4

1

-3

° ° ° 1

1

x-3 41. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x x

x x-3 x

5

x x =0. x-3

49.Fiepunctele

A(-I,

0), B(I,

-1), C(3,5) si D(2,2).

0) Demonstrati ca punctele B,C,D sunt coliniare. b) Demonstrati ca aria triunghiului ABD este egala cu aria triunghiului A CD. SO.Seconsiderapunctele

~(akA),

k=I,2,3

si matricea A=(a

J

bJ 0) Demonstrati ca det( b) Demonstrati

2 a b2

3

a JEM2•3(1R). b3

AA') ~ 0, oricare ar fi punctele ~,~,~.

ca det ( AA' )

drepte care trece prin origine.

=

° daca si numai

daca punctele

~,

r;~

•.. ~

\5

~ :::liE apartin unei ~


:::liE

• 2

63

Prin solutie

Tema2.2

proprietatea

.

Sisteme de ecuatii liniare

A == (aij)

E

a sistemului

ca numerele

intelegem

xpx2,,,,,xn

un

n - uplu ordonat

(Xl'

X2,

... ,

xn)

verifica cele m ecuatii ale sistemului.

M m.n{C) (adica matricea coeficientilor necunoscutelor)

E

en

eu

Matrieea

se numeste matricea

sistemu!ui.

1. Matrice inversabile Definitia 1. Matricea B

E

A

E

M; (C)

se numeste inversabild

daca exista

0

matrice

M; (C) astfel tncat AB = BA = In.

Daca pentru 0 matrice A exista 0 matrice B cu proprietatea din definitie, atunci Beste unica cu aceasta proprietate, se noteaza cu A-I ~i se numeste inversa matricei A. Teorema 1. Matricea A E M; (C) este inversabila daca ~i numai daca det(A) :t O.

Calculul inversei unei matice. Pentru A

E

Mn

(C),

se noteaza cu A* matricea transpusa

[)efinitia 3. Un sistem liniar de tip (m, n) si matrice A se numeste sistem Cramer daca m == n si matricea sistemului este inversabila. Teoremi 2. Un sistem Cramer are solutie unica. Solutia (XI. X2, ... , xn) a unui sistem . ~ tf 1 D., D.2 D.n Cramer se deterrruna as e: x, = -, x2 = - , ..., xn = -, D. D. D.

COlo""ei

.r eu eoloana

b =[

a complementilor algebrici ai elementelor matricei A. Matricea A * se numeste adjuncta lui A. Daca det(A):t

!J,

Exemplul 1. Daca A = ( : A-'=_I_A*=_I_(d det(A)

det(A)

Observatfl, Fie A 1. Daca A E M;

E

-bJ

-c

a

(C)

Mn

(lR.) ,atunci

E

Mn

(Z),

£'

-bJ

atunci A* = ( d -c

a

Fie A .

Daca det(A)

:t 0, atunci

atunci £'

E

M; (1R) . Mn

(C), BE

D.2=

inversabile

si

C E Mm.n

E

Mm•n

b) Ecuatia XB = C, X

E

Mm•n (C) are solutia unica X = CS-I. E

(

~3

~5

-~).

4

3

5

9

(C) . Atunci:

111este minor de ordinull. 1

2

este minor de ordinul 2 ~i D.3= -1 -3

Definitie 4. Fie A

E

Mm.n (C),A:t

4 -7 este minor de ordin 3. 9

Om.n si 1 ~ r ~ min(m,

n). Nurnarul r se numeste

Proprietiti 1. r = rang(A) <=>

2. r = rang(A) <=>

a) b) a) b)

are solutia unicaX=£ICS-I.

3. Sisteme liniare

Exemplu 3. Fie ~~,~.'..~_a.!~:Z_::::'::"':::~~n_x.."_~~~, cu m,n E ff, aij E C, b, E C, am,x, + am2X2 + ...+ amnxn = bm

se nume~te sistem liniar cu m ecuatii si n necunoscute (sau de tip (m, n).

exista un minor nenul de ordin k, si toti minorii de ordin r + 1 (daca exista) sunt nuli. exista D.un minor nenul de ordin r, si toti bordatii lui D. (daca exista) sunt nuli. (Un bordat al lui D. este un minor de ordinul r + 1 obtinut din adaugarea la D. a elementelor unei linii si ale unei coloane disponibile din A). ~

allx, + a'2x2 + ... + a'nXn = b, {

D.I=

I~~I

C) are solutia unica X = £1 C.

Mm.n(C)

Definitie 2. Sistemul

A

rangullui A daca: a) exista un minor nenul de ordinul r; b) toti minorii de ordin strict mai mare decat r (daca exista) sunt nuli. Rangul matricei Om,n este O.

a) Ecuatia AX = C, X

c) EcuatiaAXB = C, X

(~1

.43

(Q), adica rnatricea £1 nu are neaparat elemente

(C) doua matrice

Mn

a termenilor liberi.

prin suprimarea a m - k linii si n - k coloane se numeste minor de ordinul k al matricei A.

matrice inversabila. E

matricei obtinuta din A prin inIocuirea

Mm,n( C) si 1 ~ k ~ min(m, n). Un determinant obtinut din determinantullui

.

2. Ecuatii matriceale Fie A E Mm

E

Exemplu 2. A =

£' EMn(Q).

2. Daca AEMn(Q),atunci 3. Daea A intregi.

0

. 1 eterrrunantu

• Rangul unei matrice

= _1_A*. det(A)

0, atunci £'

i1

rnatricei A a sistemului, iar D.;este determinantul

dAd un e u este

~l

325

iar bordatii lui D.p sunt

tl(33)

~l.

Rangul lui A este 2 pentru ell "

123 1 -1 = 0 si

= 2

3 3

2

1\34)

i

=I~ ~=-3.0, ~ ~ w

12] 1 51= O.

~

3 3

•

=2

~

6S

• Sisteme liniare

s. Un

sistem liniar se numeste compatibil daca are solutii. Daca solutia este unica, el se numeste compatibil determinat, iar in caz contrar compatibil nedeterminat. Un sistem liniar lara solutii se numeste incompatibil. Definitie

Dao' A este matricea unui sistem liniar

ell

coloana termenilor liber b"

[i],

atunc]

matrieea obtinuta prin adaugarea la A a coloanei b, se noteaza A ~i se numeste matricea extinsd a sistemului. Teorema 2 (Kronecker=..Capelli). Un sistem liniar de matriee A este compatibil daca ~i numai daca rang(A) = rang( A ). • Stabilirea compatibilititii. Fie un sistem liniar de tip (m, n). - Se determina r = rang(A) ~i fie flp un minor nenul de ordin r (minor principal). - Daca r < m, se calculeaza bordatii lui flp cu elementele fiecarei linii disponibile din A ~i eoloana terrnenilor liberi (minorii caracteristici). Atunei rang( A )= rang(A) ¢:> toti minorii caraeteristici sunt nuli (Teorema lui Rouche) • Rezolvarea sistemelor compatibile. Fie un sistem liniar de tip (m, n) si matriee A, r = rang(A) = rang( A ) ~i flp un minor principal al lui A. - Liniile (eoloanele) corespunzatoare lui flp se numesc linii (coloane) principale ale lui A. Restul se numese linii (coloane) secundare. - Ecuatiile corespunzatoare liniilor secundare se numese ecuatii secundare si se suprima. - Necunoscutele corespunzatoare coloanelor seeundare se numesc necunoscute secundare si se tree in membrul drept ea parametrii. - Pentru fiecare valoare a parametrilor se obtine un sistem Cramer care se rezolva, - l?aca.r = n, atunci sistemul nu are necunoscute secundare si este compatibil deterrrunat. In eaz contrar este compatibil nedeterminat.

Pastram prima ecuatie ~i continuant procedeul, atat cat este posibil, pentru celelalte este Ilecunoscute. Se obtine in final un sistem pentru care stabilirea compatibilitatii iJtlediata. Exemple. =2 {X+2Y-Z =2 X+2Y-Z X+2Y-Z=2 !X+2Y-Z=2 y-z=O y-z=O. 2x+y+z=4 -3y+3z=04. { Sy - 2z = 3 3z = 3 =1 Sy-2z = 3 ! -x+3y-z Sistemul are solutie unica: X = 1, y = 1, z = 1. x+2y-z-t =2 =2 x+2y-z+t =2 x+2y-z+t S.

2x+y+3z-2t=1 {

!

=4

3x+3y+2z-t

-3y+Sz-4t

6. {-;x+:y+:Z=~4

¢:>

rang(A)

=

3x-3y-3z devine

-9

X+Y=I-a. ~l

{

"*

si

0

adunam cu ecuatia

all Xl

-12

.. are solutiile (-1, 2 - ex, ex), ex

E

Fie z

ex. Sistemul

1R.

y=2-a

----------------------------------------------------Probleme propuse

3 2)

1, Determinati valorile "ale ale lui a pentru care matricea A" [~ 2 -1 este inversabila 1

in

a

M)(IR).

(~2~)

E

3. Determinati inversa matricei A = [~

~

o

0

~

M2 (Q) .

1)

E

M)

(Q) .

1

Mn( Z ) inversabila in Mn( Q ). Aratati ca £'

4. Fie A

E

S. Fie A

= [~

E

Mn( Z ) <=> det(A) = ±l.

~

~) .

Calculati £'.

se numesc eehivalente

, Deoareee sehimbarea locului ecuatiilor intr-un sistem liniar (S) transforma sistemul mtr-unul echivalent putem presupune ca all O. Pentru fiecare i E {2,3, ...,m} inmultim

necunsocuta

=

-6y-6z

_ {X+y+Z=1 y+z=2

100

Sistemele liniare (S) si (S') eu acelasi numar de necunoseute daca au aceleasi solutii,

_5.!.

0=1

< n.

• Metoda lui Gauss

prima ecuatie cu

=-2

{~;~;ZZ==61

2. Determinati inversa matricei A =

4. Un sistem omogen are solutii nenule ¢:> este eompatibil nedeterminat S. Daca m = n, atunci sistemul are solutii nenule ¢:> det(A) = O.

{

incompatibil.

• Sisteme omogene Definftje 6. Un sistem liniar se numeste omogen daca top termenii liberi sunt nuli. Proprietiti. Fie un sistem liniar de tip (m, n), de matrice A. 3. Un sistem omogen este compatibil. EI are solutia Xl = x2 = ... = xn = 0, numita solutia nula.

= -3. Sistemul este

-3y+Sz-4t

-3y+Sz-4t=-3

are coeficientul O.

6. Aratati ca matrieea A = [~ ~

o

21] este inversabila

pentru orice valoare reala a lui m.

1 m

,,to. In acest fel, In ecuatiile 2, 3, ... m

• 67

3 32 22J .


[223

a) Determinati a, b c) Calculati A-I.

IR astfel Incat A2

E

[

o o

0 1 1

3

E

=5

.

=-1

x+5y-4z

= -1.

{ .

2x+y-z=3 x+y-4z=-2


0 0 1

(1 2)X (1 -1) ,X M2 X(; ~)=(~1 ~). XEM2(1R)· = 2

x + 3Y - 2z 4x+3y+7z=2

4X- y-4z


9. Rezolvati ecuatiile matriceale:

3 5

{

= aA + bl-;

1 11 11 1IJ

. .. .. 0 8. Determinap inversa matncei A =

a)

=-1

3X+ y+4z

7. Fie A = 2

(1R) .

{

-7x + 3y + 2z 5x-4y+z

= -2 . =2

19. J)etenninali rangul matricei A =

[! !~}

n

b)

1 O. Determinati valorile reale a lui m stiind eli matricea A = ( ;

1) are inversa egala eu ,

20. D~crminap

= [~ ~

rangul matricei A

~I

-1

adjuncta sa. 21. Determinati valorile reale ale lui a Ii b pentru care rangul matricei A = [ : 11. Determinati inve rsa adjunctei matricei A = [~

~( 1 a -2

b)

xC

-1)3 X (10

1)

4 1 -2 ,X

=

_~)=[-~~], -5

I

i


M2•3 (1R).

~).

~ ~

121

23. Determinati valorile reale a lui m pentru care matricea A

are rangul2.

= [~ - ~ -:)

XEM3•2(1R).

2 -1 m

8

{X+3Y+5Z = 4 2x + Y - 3z = 3 .

!i

24. Determinati rangul matricei [~

=~

~1] in functie de a E a

~1

3

2

5


~

~1

~

~1) in functie de a,b

4 3

2

b

2

a

5x-2y+7z=3

l i

22. Determinati rangul matricei A = [ : E

~)

~ este egal cu 2.

12. Rezolvati ecuatiile matriceale:

~ ;1

{ x+y+z=3 -x + 2Y - 2z = 9 .


x+4y+4z

= 27

2X-3Y+5Z

=9

x + Y - 2z = -2 .

15. Rezolvati sistemul {

3x+2y+z


~i~~~]

in functie de a.b,c

E

1R.

E

R .

=7

69

a

27. Fie matricea

mx+ y+mz=l

A [2 a ;b ;c) 3a

3b

a, b,

unde

=

C E

34.

lR '.

~iL E MI,3(IR)

IR astfel incat A2

astfel incatA =K· L.

35.

= dA .

Aratati

ca pentru

-x + Y + 2z 2= mare 28.Fie

A

=

(

E

3x- y-2z

{

MJCIR).

x+4y+m

orice

valoare

reala

a lui m

sistemul

de

ecuatii

solutie unica,

1 1 0 X+Y+Z=b+1

b) Aflati rangul matricei

29. Fie matricea A

=

2

36. Determinati

h + A + At.

c) Determinati inv(~rsa2ma~c]ei

2

0

=

si B

a) Determinati rangul matricei

a, b

E

IR pentru care sistemul

Bacalaureat, 2008

t, + A(. 2] 1 .

1 4 -3

37. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare

A·. infinitate de solutii X

0

{

2x + Y + Z = b

E

M3,\

{

=

1

x +Y +Z= 2 x-2y+2z

are eel putin doua solutii.

=-1

x+ay-z

2X- y+3z

5

b) Aratati ca ecuatia AX = Bare

are

0

infinitate de solutii.

=-1

(C) .


2ax+

30. Fie matricea A = (:

::

1 a) Calculati det(A). b) Aratati ca rang (A)

cu a, b

~ ::~],

1

E

IR .

~ 2, Va,

X+2Y-3Z=3 beR

1001

i•..

x+ y-2z=0

este compatibil nedeterminat.


39. Fie sistemul

2x-

y+z

nx+ y-2z

= m ,unde m, n

E

1R.

=4

a) Determinati m si n pentru care sistemul admite solutie Xo = 2,yo

A=[~ 0000~ ~ ~] ~i B=[~ 0110~ ~ ~].

= 2,zo = l.

b) Determinati n E IR pentru care sistemul are solutie unica. c) Determinati m si n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

0000

AB + BA.

b) Aratati ca rang ( A + B)

=0

a

{

a) Calculati

y+z =0

x + 2ay + z

38. Aflati valorile reale ale lui a pentru care sistemul de ecuatii liniare {

i

liniare

z=-3

a) Calculati A3.

31·Fie

este

=12

3x-4y+z=1

Bacalaureat, 2009

0 0 0] 1 0 0

x + y + mz = 3

incompatibil.

b) Aratati ell exista matriceleK EM3,1(1R) E

{

3c

a) Calculati rangul matricei A.

c) Aratati ca exista d

Determinati toate valorile reale ale lui m pentru care sistemul

Bacalaureat, 2009

x+

= rang (A) + rang ( B). {

c) Aratati ca( A + B)" = An + B" , oricare ar fi nEW.

X+2Y =1

i 32. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare

5x - Y = 6 {

X 33. Fie sistemul de ecuatii liniare {

3x-4y

a) Determinati b) Determinati

m m

E E

x+my+(m-3)z

,m

E

IR .

= 2m-l

IR pentru care sistemul are solutie unica. IR pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. Adaptare bacalaureat, 2009

=0

+ 2y+z=1 ax + 3Y + 2z = 0, a E 1R. Aratati ca pentru orice

(a+l)x+

valoare a lui a sistemul are solutie unica.

este incompatibil.

my+2z =1

x + (2m -1)y + 3z = 1

40. Se considera sistemul

Y+z =0

2X-3Y+4Z-5t 41. Se considera sistemul

x+9y+mz+t=3 {

a) Determinati

p

E

=-1

5x-6y+lOz+nt

,m, n,p ElR. =p

IR astfel incat sistemul admite solutia (xo,Yo, zo, to) cu Zo = to = o.

•.•

~ I

<

v ~ < ~ w

~ ~

• 71

b) Determinati

m,n,p E IR pentru care sistemul este compatibil, iar rangul matricei sistemului este egal cu 2.

c) Aratati ell daca (-1, 1, 1) este solutie a sistemului, atunci eel putin doua din numere p. q, r sunt egale.

Bacalaureat, 2008

Bacalaureat, 2008 X-

y-mz

mx + y + mz = 1-m , unde m

42. Se considera sistemul {

E

If. Fie sistemul omogen

1R.

=-1

mx+3y+3z

E

{

x+3y+2z = 0, m e. 1R. -x-y+4z=0

a) Ca1culati determinantul matricei sistemului. .. '\ Determinati valorile lui m pentru care sistemul are solutii nenule. b

a) Calculati determinantul matricei sistemului.

b) Determinati m

mx+ y+z =0

=1

1Rpentru care sistemul este incompatibil.

'I

Adaptare bacalaureat, 2009 E

1R si sistemul

{

x + my + z = 1 x+my+mz

,m

E

.9. Fie A matricea

1R ~iA matricea sistemului.

....I ILl

~

.

i o Q

. :3 u.:

x+2y+3z

=

6, a, b

3x- y-2z

=b

E

a) Determinati a si b pentru care sistemul are solutia (1, 1, 1). b) Determinati a ~i b pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. c) Aratati ca pentru orice a E Z , exista b E Z astfel indit sistemul admite solutii toate componentele intregi. .

~

z Ii(

C2 ~ ~ ; ~

z

{x+ay = 1 45. Fie sistemul y + az = a , a

. .LI

~

-x+2y+z=0

E

E

(Xo, Yo, Zo) a sistemului.

Bacalaureat, 2009

X+ay+(b+C)Z

=0

x+by+(c+a)z

= 0, unde a, b

x+cy+(a+b)z

=0

{ ell

E

1R.

a) Calculati determinantul

matricei sistemului. .. b) Aratati ca pentru orice a,b,c E 1R, sistemul are solutii nenule.

.

c) Rezolvati sistemul stiind ca a"# b si (1, 1, 1) este solutie a sistemului, Bacalaureat, 2008

1R si A matricea sistemului.

a) Aratati ca sistemul este compatibil determinat, oricare ar fi a E 1R. b) Aratati ca pentru orice a E 1R solutia sistemului este fermata din trei numere in progresie geometrica, Adaptare bacalaureat, 2008 {X+2Y+Z=1 46. Fie sistemul 2x - y + z = 1 ,unde a, b

E

1R ~i A matricea sistemului.

7x-y+az=b a) Deterrninati valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. b) Determinati valorile lui a si b pentru care sistemul este incompatibil. Adaptare bacalaureat, 2009

~

5

1R.

x+z=1

~

~ :i

E

. .. 1R pentru care sisternul are solutii nenule. 2 + y2 + Z2 .' b l~ . ~ Xo 0 0 este constanta pentru once solutie ne ana a c) Pentru m = 0, aratati ca 2 2 2 ' Zo -Yo -Xo

b) Determinati m

SO. Fie sistemul

Bacalaureat, 2009

;

3x - y + mz = 0 , m

1R.

0(

2

{

a) Ca1culati det(A).

"# 2 oricare ar fi m E 1R. c) Determinati valorile lui m pentru care sistemul este incompatibil. Adaptare bacalaureat, 2009 ax+ y+z = 4

{

sistemului

=-2

a) Calculati det(A). b) Aratati ca rang(A)

44. Fie sistemul

2009

2X+ y+z = 0

X+ y+z =1 43. Fie m

bit

Adaptare aca aurea,

•

47. Fiesistemul

{x+ py+ p2Z = p3 X+qy+q2Z=q3 ,undep,q,rEC. x + ry + r2z = r3

a) Calculati determinantul

matricei sistemului. b) Rezolvati sistemul in cazul in care p, q, r sunt distincte doua cdte doua.

• 73

Daca morfismul f: G, ~ G2 este functie bijectiva atuneif se numeste izomorfism. "est caz spunem di eele doua grupuri sunt izomorfe. Proprietatea 1. Daca (G1, *), (G2, 0) sunt doua grupuri si f: G, ~ G2 este morfism atunci:

Tema2.3 Structuri algebrice 1. Grupuri

in cele

0)

1(e 1 )

b)

1(x ') = (J (x))'

ce urmeaza G reprezinta 0 multime nevida. Definitie 1. Se numeste lege de compozitie internd (operatia algebricdi pe Go functie

*". GxG ~ G. "

~pentru fiecare pereche (a, b) • perechea (G, *) reprezinta Definitie

daca G = {ai' a2,

matricea (a ..) l)

..I 11.1

a:

Exemplu:

«

multime nevida G ~i 0 lege de compozitie internii ,,*" pe G.

ISi,)Sn

••• ,

x * Y E H , oricare a fi x,Y

an} este

0

multime finita si ,,*"

IJ

I

E

H .

0

lege de compozitie interna pe G,

a * b = la- bl. Tabla operatiei *

:E ::)

o u:

0

1

o

0

123

I

1

0

2 2 33210

e

icC

..I

~

2

.>"

at grupului

2

Proprietiti: 2. Daca

a) Legea ,,*" este asociativd, adica (x * y) * z = x *(Y * z) , oricare ar fi x,y,z

; v ~

z

':i a: ~

c:f

b) Legea ,,*"

are element neutru, adica exista e

E

G astfel lncat

oricare ar fi x E G . c) Toate elementele lui G sunt simetrizabile, adica pentru orice x astfel incat x * x' = x'* X = e. (x' se numeste simetricullui x).

H oricare ar fi x, Y E

x in G1, iar

este simetrieul lui

•

= (JR, +), = I(x)·

(G2,o)

I(Y)

= ((0,00 ),) oricare ar fi

~i

I:

X,Y

E

(0,00),

JR~

lR si 1 este

submultime nevida a lui G. H se numeste subgrup

=(

1

E

H .

H, unde x' este simetricullui

2 3 4), atunci H 1 2

x in grupul G.

(Q, +) . = { e,a,

a2}

4

Fie grupul (G, *) si He

este subgrup al grupului (S4')

.

G, H::j; 0.

H este subgrup al grupului (G, *) , atunci (H, *) este grup si cele doua grupuri

E

E

G.

adica

x * y = y * x , oricare ar fi x, y

E

x,Y

G exista x'

E

G

(Z,+), (Q,+), (lR,+), (C,+), (Q",), (lR",),

~ o

e

fi

Definitie

grupuri de permutari:

~

morfism

•

X,YEG.

In cele H

0)

doua grupuri. 0 functie

(sau simplu morjism)

daca

I: G1 ~

1 (x * y) = 1 (x) 01

(y)

E

H orieare ar fi

Y in grupul G.

ce urmeaza (G,.) este grup finit, adica G este multirne finita,

Teorema lui Lagrange. Daca H este subgrup allui G, atunci numarul elementelor lui divide numarul elementelor lui G. Proprietatea S. Fie x E ( G,.) . Exista un numar natural nenul n astfel incat x" = e ,

unde e este elementul neutru al grupului G si x"

=

x~ .x .x ..... x . non

Definitie 6. Fie x Be

(Sn,) .

H , unde Y' este simetricullui

I

daca H este parte stabila a lui G in raport eu legea ,,*" .

(Z),+), (Mn (Q),+), (Mn (lR),+), (Mn (C),+).

4. Fie (G1, *) si (G2,

de grupuri

(C,), ({-l,l},)

E

(G, *) daca si numai daca x * Y

4. Daca H este multime finita, atunci H este subgrup al grupului (G, *) daca si numai

G.

Exemple de grupuri:
3. H este subgrup al grupului

x *e = e *x = x ,

Grupul (G, *) se numeste grup comutativ (abelian) daca legea ,,*" este comutativa.

• grupuri de matrice: (Mn

4

0

I

au acelasi element neutru.

~ a:

E

3

101

in G2

= 2x+Y = 2x ·2Y

x

GI' unde

•

(G, *) daca:

2. Daca a

;;

:E

y)

1 (x)

E

Fie (GI'*)

1. Z este subgrup al grupului

pe G este

Definitie 3. Perechea (G, *) se numeste grup daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

~

este simetrieullui

b) x' E H oricare ar fi x Exemple de subgrupuri

::) U

z cs: ~

a) x * Y

3

1

x

oricare ar fi

bijectivii, rezulta cii1este izomorfism. Definitia s. Fie grupul (G, *) si H

}

G = {O,1,2, 3} ~i

unde el si e2 sunt elementele neutre din G1 si respectiv G2

f(x) = 2x . Cum I(x+

cu a .. = a. * a. se numeste tabla operatiei ,,*" pe G.

~

U

(I (x))'

,

Exemplu de izomorfism:

G x G , imaginea * a, b)) se noteaza a * b .

2. Fie (G, *) . 0 submultime nevida H a lui G se numeste parte stabilii a lui

Gin raport cu legea ,,*" daca e

0

E

= e2

In

E

G . Cel mai rnic nurnarul natural nenul k cu proprietatea cii

Xk

=e

nurneste ordinullui x in G ~i se noteaza ord (x) .

G2 se numestc oricare ar ft

• 75

1 Exemplu: Fie permutarea a = (

3

(J3

2 3

2

4

4 5J e S 1

5

s·

5) = e, rezulta ea ord ( a) = 3 . (1 2 3 4 5 Proprietati: Fie (G,·) un grup finit eu n elemente,

Cum

(J2

2 3 4 5)

1 4 2 1 3 5 ~i

=(

f (1~ ) = 1A,

•

de mai sus, daca At si ~ sunt eorpuri atuneifse numeste

x e G si

k = ord

de corpuri.

morfism

Exemple de morfism de inele (corpuri)

(x) .

I: (C,+,·) ~ (C,+,·),

xk-'}

x,yeAt·

Un morfism de inelej se numeste izomorjism dacaj este functie bijectiva.

6. xP =e , pEZ<=>klp· , ••• ,

c)

In conditiile

= 1 2 3 4

7. H (x) = {e, x, x2

b) f(x·y)=f(x)·f(y),oriearearfi

I(z)

=;.

Intr-adevar,

a) 1 (z, + Z2 ) = z, + Z2 = ~ + Z2 = 1 (z, ) + 1 (Z2 ) ,

este subgrup eu k elemente allui G.

8. kin. 9. x" = e.

b)

1 (z, . Z2)

c)

1(1)=1=1.

= z, . Z2 = ~ . Z2 =

1 (z, ). 1 (Z2)

orieare ar fi z"

Z2

EC ,

Inelul claselor de resturi modulo n

2. Inele ~i corpuri

Pentru un numar natural n, n ~ 2 si un numar intreg a, se noteaza eu a (mod n) restul

In eele ee urmeaza A reprezinta

0

multi me nevida, iar ,,*" ~i ,,0"

sunt doua legi de

compozitie interne pe A. Definitie 7. Tripletul (A, *, 0) se numeste inel daca sunt indeplinite urmatoarele conditii: 1. (A,*) este grup eomutativ.

••• III ~ ~ ~

•

=s C(

2. a) Legea

3. Legea ,,0" este distributiva falii de legea ,,*", adica x 0 (y * z) = (x

o

1. (Z,+,),

;:)

:; ;Z

:~

orieare ar fi x,y,z

0

y) *(x

0

z) ~i

EA.

2.

(Q,+,),

(M. (A), +,.)

(JR,+,),

unde

A este

(C,+,). unul din inelele Z, Q, JR,C .

In inelul (A, *,0) , legea ,,*" se numeste adunare si se noteaza eu ,,+" , iar legea ,,0"

Definitie 8. Inelul (A, +,.) se numeste corp daca 0A *1 A si oriee x E A, x * 0A este

id' .:.

o-e i

elementul neutru al inmultirii se noteaza 1A

inversullui x.

76

si

inversabile

a este inversabil in Z.

ale inelului

(Z., +,)

daca si numai daca

U(Z. ) .

se noteaza

(Z.,

+,)

este

r' =1, r' =5,4-' =7, r' =2, r' =4 si r' =1, r' =3, r' =2, r' =4. ~i

t

si 8- =8.

----------------------------------------------------Probleme propuse 1'Pe multimea numerelor intregi se defineste legea ,,0" prin xo y =X+ y-5. a) Aratati ea multimea

H =Z

n[5,00) este stabila

a lui Z in raport eu legea ,,0" .

b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa. numerelor reale se defineste legea ,,0" prin x 0 y = ~ K + /-1

.

2. (Q( .Jd),+,.)

unde d e Q, d > 0, .Jd ~ Q si Q( Jd) ={a+bJdla,b

EQ}.

Definitie 9. Fie inelele (A" +,)

si (A

2 '

+,).

a) I(x+

y) = I(x)+

0 functie

I: A, ~ ~

se numeste

I

3,Pe multimea numerelor reale se defineste legea ,,0" prin xo y =3.xy+3x+3y+2. a) Verificati ca xoy=3(x+l)(y+l)-I, b) Aratati ca rnultimea

I(y),

orieare ar fi x,y EAt.

(-1,00)

i '5

b) Aratati ea legea ,,0" are element neutru.

:E morjism de inele daca:

•

a + b =;+b

a) Aratati ea legea ,,0" este asociativa.

(C,+,).

Q

~

unde

- {O} daca si numai daca n este numar prim, rezulta ea

U(Z9)={i,2,4,5,7,8}

2.Pe multimea

Exemple de corpuri: (JR,+,.),

(Z.,+,)

fe, iar

se noteaza

•

simetrizabil in raport eu inmultirea. Simetrieul elementului x E A - {0 A} in raport eu inmultirea se noteaza x -t si se numestc

1. (Q,+,),

Multimea elementelor

2.U(Zs)={1,2,3,4}

A

:~

:ffi

se noteaza eu Z •. Inelul

n ~ 2 si a E Z . Atunei elementul

U(Z. ) = Z.

1.

se numeste inmultire ~i se noteaza eu "." . Elementul neutru al adunarii se noteaza 0A' iar

~

{aEZla(modn)=k}

Exemple:

er. ,III

,;;-=t}

multimea

corp daca si numai daca n este numar prim.

'III

,;:)

(a, n) = 1. Cum

Inelul (A, *, 0) se numeste inel comutativ daca legea ,,0" este comutativa.

Exemple de inele

multimea {O,l,2, ...

Fie n EN,

b) Legea ,,0" are element neutru.

A.

Pentru fieeare kE{O,I,2, ...,n-l}

Ii + b = ~ orieare ar fi a,b E Z se numeste inelul claselor de resturi modulo n.

,,0" este asociativa .

(x* y)oz = (xoz)*(yoz),

impartirii lui a la n.

VX,YEJR.

~ ~

cC

este stabila a lui JR in raport eu legea ,,0" . Simulare bacalaureat, 2002

~ •

77

4. Pe multimea nwnerelor reale se considerll legea ,,*" definitA prin x* y = 2xy-6x-6y+21. a) Aratati ea multimea

(3,00) este parte stabila a lui

s. Fie a =

lR in raport eu legea ,,*" .

b) Aratati ea legea ,,*" este asociativa. c) Determinali elementul neutru allegii ,,*". 5. Pe multimea numerelor rationale se defineste

asociativa

si G =

E

{an In EN'}.

II) Determinati numarul elementelor lui G. b) Aleatuiti tabla inmultirii permutarilor pe G. c) Aratati ea (G,·) este grup, unde "." este inmultirea permutarilor.

Bacalaureat, 2000

legea

G ~ !; ~) s,

Prin

" 0"

1~' Se considera multimea

M = {(:

3: )ia,b

E

Z} .

xo y =.!.(.xy+2x+2y).

2 H =Q

a) Aratati ea multimea

n[-2,00)

este stabila a lui

b) Aratati ea legea ,,0" are element neutru. c) Determinati elementele simetrizabile ale 1ui

Q in raport eu lege a ,,0" .

Q in raport eu legea

6. Pe multimea numerelor reale se defineste legea ,,0" prin xo y

unde a

....• w a:

... i:::;)

c

u.:

·

,,0"

0

in raport eu legea ,,0" . b) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru. 8. Pe multimea numerelor intregi se defineste legea ,,0" prin xo y=5xy+6x+6y+a,

o

9. Pe intervalul (0,2) se defineste legea asociativa ,,0" prin xo y

c(

~

o

·

+ + + a, unde a

este un numar intreg. a) Determinati valorile intregi ale lui a pentru multimea Z - {-5} este parte stabila a lui Z

:::;)

....•

,,0" ,,0"

a) Aratati ea legea ,,0" are element neutru.

b) Aratati ea toate elementele din (0,2) sunt simetrizabile in raport eu legea ,,0" .

(0,00)

se defineste legea ,,0" prin xo y = ~x\og,y.

U

a) Determinati elementul neutru allegii

Z

b) Determinati elementele simetrizabile ale lui

11'1 W oc(

CD

a: w

""C

·

w

::r:: u c(

z

o

in raport eu legea

16, Pe multimea

Aratati ea

,,0" .

3

,,0" . b) Determinati elementele simetrizabile ale lui Z in raport eu legea ,,0" .

= {A

E

M2

(~)iA' A ,= 12} unde A'

b) Aratati ca (G,.) este grup.

atunei det ( A) = 1. =x

Bacalaureat, 2007

+ y + xy .

(0,00)


se defineste legea x 0 y

(x 0y) 0z = (.!. +.!. + .!.)-I y

=~

.

x+y

orieare ar fi

x, y, Z E (0,00) .

Z

b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa. . 1 1 1 -0-0-0

1


•••0-.

2 3 4

100

17. Se considera multimea de functii G = {fa.b : lR.~~Ifa.b

(x) =ax+b, a E~',

Dernonstrati ea operatia de eompunere a functiilor de la R in R este lege de compozitie pe G. b) Aratati ea G este grup in raport eu operatia de eompunere a functiilor. Adaptare bacalaureat, 2008 = (0,00) se considers legea de compozitie

E (0,00) si x* y = (0,00) - {I} este grup

Aratati ca daca x,y

b) Aratati ea H

l~Fiemulpmea

G={(~

x

*y


1ogy, .

=x

= 1, atunei x = 1 sau y = 1.

in raport eu operatia ,,*" .

T Ha>+

•..

::;: I oc(

este transpusa rnatrieeiA.

(lR.) in raport eu inmultirea matrieelor.

b ElR.} .

Il)

II)

c(

EM,

2008

x

a) Aratati ea e = 2 este elementul neutru allegii

12. Fie multimea G

£1

* - * ...* -- 1 .

11. Pe multimea Z se defineste legea asociativa ,,0" prin xo y = -3xy+ 7x+ 7y-14.

a) Aratati ca G este parte stabila a lui M2

~

'111* b) Calcu 1all 2

Il)

(0,00)

~i

Aratati ea legea este asociativa.

11. Pe multimea G

,,0" .

a: C Z

unde

xy 2-x-y+xy

Ci2 w

1O. Pe intervalul

EM

c) Calculati

z c(

• :::;)

d) Aratali ea daca A

Il)

este asociativa . nu are element neutru .

:::;)

~ ~

EM,

Il)

prin x y = xy 5x 5y

a este un numar intreg. a) Aratati ea pentru a = 6, legea b) Aratati ea pentru a *- 6, legea

.oc(

daca A

Z, numarul a2 + 1 nu se divide eu 3. atunei det ( A) *- -1 . E

15. Pe ~ se defineste legea de compozitie x * y

este un numar real. a) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" este asociativa. b) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru. 7. Pe multimea numerelor intregi se defineste legea

b) Arataji ea orieare ar fi a c) Aratali ea

,,0" .

= xy-6x-6y+a,

II) AriHali ca M este parte stabila a lui M2 (Z) in raport eu inmultirea matrieelor.

Aratati ea G este parte stabila a lui

M3 (~) in raport eu inmultirea matrieelor ~

c(

patratice de ordinul 3. b) Demonstrati ca G este grup in raport eu inrnultirea matrieelor.

::;: w ~

::;:

•

•

~8

79

20. Se considera multimea G a)Aratapdi

=

{A (x)

=

(1 + 2x -x

4X) Ix 1-2x

A(x)A(y)=A(x+y),oricarearfi

b) Dernonstrati eli G este grup c) Calculati

3

4

ill

d) Pentru a E

R} .

j) Pentru a

x,YER.

raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul doi.

21. Se considera pe JR. legea de compozitie data de x * y

=

xy - 5x - 5y + 30 si mUltimea

G = (5,00) . a) Determinati e E JR. astfel incat x * e = e * x = x , oricare ar fi x E JR.. b) Determinati a E JR. astfel tncat x * a = a * x = a oricare ar fi x E JR.. c) Aratati ca G este parte stabila a lui JR. in raport cu legea ,,*" .

j) Aratati ca ,x * x * ~ *

*~

= (x

(JR.,+ ) ~ (JR.,*), /

-

5

r+

(x)

b) Calculati 1*2*3* ... *10. 26. Fie grupurile (JR.,+) si (JR.,0) , unde legea ,,0" Determinati

valorile

f :(JR.,+) ~ (JR.,0), /(x) b) Calculati

XI

x2

0

o ...

0

27. Fie grupurile ((0,00),.)

*) este grup abelian. *2012.

4, rezolvati In R ecuatia x* x * x * x *x

=

1.

%S. Fie grupurile (R, +) ~i (JR.,*) , unde legea ,,*" este definita prin x * y

a)

e) Calculati 1*2*3*

=

(-1) * 0 * 1* 2 * 3 * 4 .

a) Aratati ca functia /:

)n , n EN. *

( -1 -1

d) Aratati ca (G,

2 , aratati ea multi mea R este grup in raport cu legea ,,*" .

=

e) Pentru a = 3 , calculati

a) Aratati ca functia

=

x-

7, este izomorfism de grupuri.

este definita prin x 0 y = x + y + 3.

reale ale numerelor a si b = ax+ b sa fie morfism de grupuri.

X n ,

x + y + 7.

=

astfel

unde n este un numar natural nenul si

si (JR.,0) , unde legea ,,0"

f :(JR.,0) ~ (( 0,00 ),.), / (x)

x2'

XI'

incat

••• , X n E

este definita prin x 0 y

=

functia

R

x + y-1.

= ex-I este izomorfism de grupuri.

b) Rezolvati in JR. ecuatia x 0 x 0 x 0 x = 5 .

n

5 , oricare ar fi

E

N* . Adaptare bacalaureat, 2010

28. Consideram

(JR.* ,.)

grupurile

si (JR.- {-I}, 0), unde legea ,,0"

este definita prin

non

22. Se considera pe Z legea de compozitie data de x * y = 6xy + 6x + 6y + a , unde a este

a) Aratati

un numar intreg, a) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care legea ,,*" este asociativa . b) Aratati ca legea nu are element neutru pentru nicio valoare intreaga a lui a. c) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care

d) Pentru a e) Pentru a

= 5 , calculati 1* 2 * 3 * ... * 2013 . = 5 , determinati valorile intregi ale

((-1) * 2 ) * ( ( -1) * 2013)

lui p astfel incat x * p

=a.

= p , oricare

= -2xy + 3x + 3 y + a , unde

ca functia

grupuri. b) Rezolvati

a este un

a) Determinati valorile reale ale lui a pentru care (1 * 2) * 3 = 1* (2 * 3) . b) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,*" este asociativa. c) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru.

%] este parte stabila a

=

{-I}, 0), / (x)

=

x-I

este izomorfism

de

1.

a) Determinati elementele neutre ale legilor ,,0" si ,,*". b) Determinati valorile reale ale numarului a

f :(JR.- {2},0) ~ (JR.- {I},-).

~i ,,*"

sunt definite prin

/(x)

(Q*,.) si functia

astfel

mcat

functia

= x+ a sa fie morfism de grupuri.

f :Z ~

morfism de grupuri. b) Aratati eli/nu este izomorfism. 31. Pe JR. se considera legea x * y = xy - 4x -

Q' , /(

x)

=

T.

a) Aratati ca/este

a) Aratati ca

b) Aratati ca lui JR. in raport cu legea ,,*" . e) Pentru a = -3 , aratati ca multimea ( -00,

(JR.-

JR. ecuatia x 0 x 0 x 0 x 0 x

30. Fie grupurile (Z,+),

d) Determinati valorile reale ale lui a pentru care multimea ( -00,

~

x 0 y = xy - 2x - 2y + 6 ~i x * y = xy - x - y + 2. ar fi

numar real

j) Pentru a

ill

t .(JR.* ,.)

29. Fie grupurile (JR.- {2}, 0) si (JR.- {I}, *) , unde legile ,,0"

XEZ.

j) Pentru a = 5 , calculati x * x * x = 287. 23. Pe JR. se considera legea ,,*" definita prin x * y

xo y = xy+x+ y.

(G, *) (G,*)

4y

+ 20 si multimea G

= ( 4,00 ) .

este parte stabila a lui JR. in raport cu legea ,,*" . estegrup.

c) Dernonstrati ca functia /: (0,00 ) ~ G, / (x ) = x + 4 este izomorfism de la grupul

%J

este grup

ill

raport cu legea ,,*" .

= -3 , calculati 1* 2 * 3 * ... * 2013 .

24. Pe JR. se considera legea ,,*" definita prin x * y

(( 0,00),.)

la grupul

(G, *).

32. Consideram grupurile (( 0,00 ),.) = ~x

3

+ l + a , unde a este un numar

real. a) Determinati valorile reale ale lui a pentru care 1 * 2 = 0 . b) Aratati ca legea ,,*" este asociativa pentru orice valoare reala a lui a. c) Aratati ca legea .,>" are element neutru pentru orice valoare reala a lui a.

x* y=

4(x+y) 4+xy

.

•.. :E

si (( -2,2),

*), unde legea ,,*"

este definita prin

..!: u

~

:E u.I

!;t

:E

• 81

f:((O,00),.)---+((-2,2),*),f(x)=2x-2

a) Aratat! ca functia

x+l

este izomorfism de

reale ale lui a pentru care legea ,,0" este distributiva fata de legea ,,*" .

grupuri. b) Rezolvatiin

ecuatia x*x*x=l.

(-2,2)

AD. Se considera inelul (Z,

G+(X)~[~ ~ ;}xe+

33. Fiemw~ea

A· BEG, oricare ar fi A,B E G. b) Demonstrati ca G este grup in raport ell lnmultirea matricelor patratice de ordinul3

lR~ G,

c) Aratati ca functia f:

f ( x ) = A ( x) este izomorfism de la grupul

(lR,+) ia

(G,.).

unde x * y = x + y + 2 si x 0 y = xy + 2x + 2y + 2 , oricare

,0 )

b) Determinati elementele inversabile ale inelului. c) Aratati ca functia f: '1.~ Z, f (x) = x - 2 este izomorfism de la inelul ('1., +,.) la inelul ( '1.,

*

,0 ) •

41. Pe intervalul (0,00)

se considera legea ,,*" definita prin x

a) Aratati ca A(x)A(Y)

42. Se considers inelul (Q,1., T) unde x 1. Y = x+ y-5

1~;x)IXElR-{-~}}.

= A(2xy+x+

c) Aratap . ca fun. cna

la grupul

r). oricare

ar fi X,Y

E

f:

lR• ~

(X-I)

G , f ()X = A -2-

E

M2

(Q, 1., T)

b) Aratali ca inelul

lR-{ -~}.

este izomorfism

este corp.

de la grupul

corpul

(Q, 1., T).

d) Calculati

T x2 T X3T ... T xn' cu n

XI

E

N° si xl'x2, ... .», E Q.

43. Determinati elementele inversabile ale inelului ('1.10,+,.).

(lR)ldet(A)

44. Consideram inelul

= I}.

Aratati ca G este subgrup al grupului matricelor inversabile din M2

II) Aratati ca

(lR) .

A

(M

E M2

2 ('1.12)'

('1.12)

+,.) .

36. Fie n un numar natural nenul ~i multimea U;

h) Determinati inversa matricei B ~ (

= {z E C Izn = I}.

(C·,.) .

a) Aratati ca U; este subgrup al grupului

ca daca H este subgrup cu n elemente al grupului

(C·,.),

atunci

45. Fie multimea G={(~

det(A)

este inversabila ~


b) Demonstrati

~i x T y= xy-5x-5y+30.

c) Aratati ca functia f: Q ~ Q, f ( x ) = x + 5 este izomorfism de la corpul (Q, +,.) la

(G,.).

35. Fie multimea G = {A

.

ca

a) Determinati elementul neutru allegii 1. .

b) Demonstrati ca G este grup in raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul2.

!n

E

{ij,7,fi}.

In inelul M, (Z,,) .

~)ia,b'CE'1.4}.

II) Determinati numarul elementelor multimii G.

H=Un•

37. Fie permutarea

* Y = xlog,y . Aratati

(( 0,00 ), . , *) este corp, unde legea "." este inmultirea numerelor reale.

34. Fie multimea G={A(X)=C:~x

(lR·,.)

*

arfi X,YEZ. a) Aratati ca x 0 y = -2 ~ x = -2 sau Y = -2 .

a) Aratati ca

grupul

39. Pe multimea numerelor reale se definesc legile " 0 " ~i " * " sunt definite prin x 0 Y = xy + X + Y si X * Y = x + y + a, unde a este un numar real. Determinati valorile

a=

(1231545'f 2 3 4 5) E

a) Aratati ca H este subgrup al grupului b) Determinati ordinullui

38• F·ie numaru ~ I comp Iex

&

a in grupul

5,. ..

= COS-+lSlO-.

7

S "i H = {a*

Ik E'1.}

h) Determinati numarul solutiilor ecuatiei X' ~

.

X

E

G. Adaptare bacalaureat, 2009

(S5'·). (S5").

46. Fiemwpmea

G~{XEM'(Z')X~(: ~)}

i

multimea H

'5

5,.

I

II) Aratati ca

7

a) Calculati &42.

b) Determinati ordinullui

G ~),

din M2

s in grupul U42•

c) Aratati ca multimea H = {1,&,&2 , ... ,&13} este subgrup al grupului

(C·,.).

= G - {02}

este subgrup al grupului matricelor inversabile

('1.3)·

~:I

b) Rezolvati ecuatia X2 = /2' X E G . 4'7 F. {}2 • Ie corpul (Z7'+'·) ~i H = E Z1 .

x 1x

Adaptare bacalaureat, 2008 ~ -e :I

•

83

a) Aratati ea H =

b) Demonstrati ea

~.Fie

multimea M

{O,i,2,4} . {X2000

Ix E Z7} = H

Tema2.4 .


Polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ (Q, lR, C, Zp)

={[i r ~}a,bE Z'} 1. Inelul polinoamelor

a) Determinati numarul elementelor multimii M b) Aratati ea AB EM, orieare ar fi A, B EM.

in cele ce urmeaza K reprezinta unul din corpurile Q , lR , C sau Z

c) Demonstrati ca M este subgrup al matricelor inversabile din

M3 (Zs) . Bacalaureat, 2009

49.Se considera inelul (Z6'+')

2

A

A

a) Rezolvati in corpul Z7 ecuatia 3x + 4 =

3

b) Determinati ordinul elementului

°.

in grupul

(z 6' +) ~ ( Z;,)

Bacalaureat, 2009

;

)1m, a

E

E

N si ao,al' ....a, acestor

E

K , se numeste polinom in nedeterminata X cu coeficienti in K.

polinoame

se noteaza

K [X].

Z" m =

±i}. (H,.) .

E

E

K [X],

atunci

scrierea

algebricii a polinomului j, iar

f

K se numesc coeficientii polinomului

K [X]

expresiilor algebrice,

Doua polinoame

este inel, numit inelul polinoamelor

in nedeterminata

coeficienti ill K. Polinomul avand toti coeficientii nuli se numeste polinomul noteaza 0. • Gradul unui polinom

din

ak =

°

pentru k > n. Scriem grad

1. grad

= n. in acest caz a. se numeste

si scriem f = aX" + a._1X·-1 + ...+ alX + ao' Polinomul

dominant al lui f definitie gradul Proprietili

(f)

cu

°

si

coeficientul

° are prin

-00.

(J + g) ~ max (gradj, grad g), pentru orice f,g

(J) + grad

2. grad (Jg)=grad • Funqia

X

nul si se

f = amxm + am_1Xm-1+ ...+ alX + ao EK [X] are gradul n daca a.;t

Polinomul

a) Aratati ca H este grup in raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul 2.

b) Determinati numarul elementelor de ordin 2 din grupul

ao,al' ....a;

f

Daca

K[X] sunt egale daca au aceiasi coeficienti. Cu operatiile uzuale de adunare ~i inmultire a care sa verifice '

f (2) = 3 .

50.Se considera multimea H = {( ~

cu n

elementele

(Z;,.).

c) Aratati ca nu exista niciun morfism de grupuri f: relatia

I + ...+ a X + a , l o

f = a.X· + a._1X·-1 + ...+ alX + ao se numeste forma

A

cu p prim. Daca X

este un obiect care nu este K, atunci 0 expresie de forma aX" + a._IX·-

Multimea

~i corpul (Z7'+")'

p

polinomiala

(g),pentruorice

E

K[X).

f,gEK[X].

a unui polinom

Daca f = aX" + a._1X·-1 + ...+ alX + ao EK [X] , atunci functia J: K ~ K definita prin J(x) = a.x· + a._1x·-1 + ...+ a1x+ ao se nume~tefunc/ia polinomiala atasata luif Daca a

noteaza

E

K , elementul

j (a) E K

se numeste valoarea polinomului f in punctul a ~i se

f (a ) .

• Teorema

imparlirii

polinoamele c si

r E K [X]

cu rest. Pentru astfel incat

f

f,gEK[X],

= gc + r si grad

g;tO,

exista si sunt unice

(r) < grad (g) .

In acest caz polinoamele c si r se numesc catul si respectiv restul impartirii luif la g. • Tmparlirea la X - Q, Q E K Proprietatea 3. Restul impartirii lui f E K [X] la X-a este f (a ) . Schema

lui

+ alX + ao la X-a

Horner.

Catul

si restul

impartirii

lui

se pot determina dupa urmatoarea schema:

f

i I

~

~

i!

~ = a.X" + a._IX·-I + ...+ ~

• 85

a

a.

a,,_1

a,,_2

...............

a.

aa. + a._1

ab._2 + a._2

...............

b._1

Catul este e

b'_2

II

II

b._l

bo

= bn_,Xn-' + bn_2Xn-2 + ...+ b.X + bo,

Exemplu 1. 1= 4X4 _3X3 +2X -5,g

=X

ao

al ab, +al

abo +ao

"

r

iar restul este r

= bo = j{a).

+1

~ ~ deci e =4X3 _7X2 +7X -5 si r= O.

in

(sau k

Divizibilitatea polinoamelor

t.s

Definitie 1. Fie

I = ge , adica restul

E

K[X].

Spunem ca g dividej daca exista e

impartirii lui I la g este egal cu 0 - pentru g

2. Fie l,gEK[X].

Definitia

Polinomul

dEK[X]

E

K[X]

3. Fie

I, g

E

K [X].

X,X2X3=-2 m

E

glh

l

hEK[X].

I.s E K[ X]

I ~i g

si g ~ a . d cu a

E

K' este un c.m.m.d.c.

Teorema

E

E

C( X]

de

=0

== 2.

• Polinoame

cu coeficienti

reali, rationali,

intregi

E

C , atunci are si radacina

z.

I E K [X] daca I (a) = O. a luij" ~ X-a If, deci daca exista

I E K [X] de grad n, 1* 0, are grad n, 1* 0, are n radacini in C.

eel mult n radacini in

E

K[X]

cu

K.

E

C[X],

an

~i .Jd

t.

E

JR-

Fie polinomul

Un polinorn

Singurul polinom care are mai multe

rAdacini decat gradul sau este polinomul O. n Relatiile lui ViCte. Fie 1= aX" +an_,X -' + ...+ a,X +ao x"x2, ••• ,xn E C radacinile polinoroului f .Atunci:

I are toti coeficientii rationali si are Q , atunci I are si radacina a - b.Jd .

8. Daca polinomul g

f== (X -a)g.

f

x,+ X2 + XJ+ X4

Proprietiti 7. Daca polinomul I are toti coeficientii reali ~i are radacina z Numarul radacinilor din C -JR ale lui I este numar par.

K se numeste riidiicinii a lui

lui Bezout: a este radacina

Un polinom

3

. Analog pentru c.m.m.m.c.

2. Ridicinile polinoamelor Definitie 4. a

-5

X,X2X3X4=-3

exista un c.m.m.d.c. si un c.m.m.m.c.

5. dE K[ X] este un c.m.m.d.c. al polinoamelorj al polinoamelor

.

.l1~XJ+.l1~~+.l1XJ~+~XJ~-~

Proprietiti 4. Pentru orice doua polinoame

2s2

==""2.

X,X2 +.l1XJ+ X,X4 + X2X3+ X2X4+ ~X4

=>mlh,

= S"S2 == s~ -

3. Fie 1==X4 +2X2 +3X -3 si X"X2,X3,X4 E C radacinile sale. Atunci

K [X] se numeste un eel mai mic

b)11 h

si

glm

S,

2

se numeste un eel mai mare

x,x2 + x,x3 + x2XJ

Polinomul

* 0). Avem

Z, daca ao

-4 x, +X2 +X3 ==--==2

* 0 . Scriem g If

multiplu eomun al luij'si g daca

a)11 m

E

Exemple 2. Fie 1== 2X3 _4X2 -5X +3 si x"X2,X3 E C radacinile sale. Atunci

astfel incar

divizor eomun al/~i g daca a) dl/, si b) dIll dig dllg =>dll d, d, EK[X]. Definitia

general, folosim notatia S, = xt + x~ + ... + x: ' unde k este un numar natural nenul

* O. Notaro

p, q

E

radacina a polinomului

q Ecuatia x" - a == 0, a == r (cos a + i sin

E

Q

•..

1= aX" + ... + a,X + ao' cu ao,a" ....a, E Z,

Z, (p, q) == 1. Daca a == Peste

• Ecuatii binome. cu

radacina a + b.Jd , unde a, b, d

a)

E

an

* 0,

~ ~i numerele ~

f, atunci p I ao C , are solutiile

V

si q I an· ~

~

w

!C ~

• 87

Xk

==

nr(

V

r cos

Teoremi. Fie f

a+2k1C .. a+2k1C) __ n +I sm n ' k == 0, n -1 .

• Ecuatii reciproce. Polinomul meste reciproc daca ak == an_k

jreductibile

f == aX" + an_,Xn-' + ...+ a,X + ao E C [X]

pentru orice k == 0, n. in aeest eaz ecuatia

se nu,

f (x) == 0 se

numeste ecuatie reciprocd. proprietiti 10. Produsul a doua polinoame reciproce, catul ~i restul impartirii a doua polinoame reciproce sunt polinoame reciproce. 11. Un polinom reciproc de grad impar are radacina Xo == -1. Pentru a afla radacinile unul polinom reciproc f de grad 2k + I, se imparte f la X + I ~i catul este un polinom reciproc g de grad 2k.Ecuatia

g(x)==O se imparte cu Xk si se face substitutia x+.!.==t. x

Exemplu 4. f == X

5

3X4 + X3 + X2 - 3X + I E C[ X] .

-

-I rezulta ca f == (X + I)g,

5x - 4x + I == 0 <=> x2 +

I I 5 -4

-4

-3 I

unde g == X4 _4X3 + 5X2 -4X

:2 -

4 ( x + ~ ) + 5 == 0 <=>

r -2-

+ I. Avem g(x) == 0 <=> X4 - 4x2 + 4t + 5 == 0 <=>

r - 4t + 3 == 0, unde

x

ireductibil daca nu exista g,h

E

K [X]

K[X]

de grad mai mare sau egal decat I se numeste

13. Un polinom

14. Un polinom

f

K [X] de grad 1 este ireductibil. f E K [X] cu grad (J) ~ 2 care are 0 radacina f E K[ X] cu gradul 2 sau 3 este ireductibil

radacini in K . 15. Un polinom f

K[ X]

este ireductibil

dad

in

K

IR [X]

grad(J)

este ireductibil

== 2 si Ll < O.

1. Determinati

gradul polinomului

f==(a2-I)X4+(a-I)X2+(a+2)X+IEC[X]

functie de a E C . 2. Aflati catul si restul impartirii polinomului g ==X2 +X -2.

in

f == 3X4 + 4X3 + X2 + 2X - 3 la polinomul

5. Determinati valorile reale ale lui a pentru care resturile impartirii polinomului f == X3 + 2X2 + aX -I la X + 1si X - 2 sunt egale. 6. Determinati, folosind eventual schema lui Homer, catul si restul impartirii polinomului f == X5 +4X3 -2X +5 la: a) X + I; b) X - 2. 7. Determinati restul impartirii polinomului f == X30 - 4X3 + X + 5 la polinomul X2 -1 . L Determinati valorile reale ale lui a pentru care polinomul f == X4 - 3X3 + aX2 + X + 5 X2 + X + 2 divide 3 2 polinomul f == X4 + X + 3X + aX + b . O. Fie f == X4 + X2 + 1 si g == X3 + 2X2 + 2X + 1. Determinati un c.m.m.d.c. al luij si g si

daca ~i numai daca nu are

si numai daca polinomul

si

2 3 EC radacinile sale.

XI'X ,X

a) XI + x2 + x3•

111

este reductibil.

af

este

b)-+-+-. xlx2 xlx3

X2X3

12. Fie f == X3 + 5X2 - 2X + 3 E C [X] si XI' x2' X3 E C radacinile sale. Calculati:

a) x~ +

xi + x; ,

I

I

XIX2X3

in

IR [ X]

daca ~i numai

c) x; + x~ + daca grad (J) == I sav

~

xi .

~

• Fie f==X4-3X3+2X2+X+IEC[X]

a)

(1 -x )(1 l

po

==I -e v

I

b) -+-+-,

Observatii 1. f e C.[X] este ireductibil daca si numai daca grad (J) == 1. E

Probleme propuse

Calculati:

ireductibil, oricare ar fi a E K· .

2. f

fiind pana la

.... ---------------------------------------------------

11. Fie f==X3_3X2+5X+7EC[X]

E

E

unieitatea

un c.m.m.m.c. al luij si g.

cu f == gh si grad (g) ~ I, grad (h) ~ 1.

Proprietiti 12. Orice polinom

I=s.sv=s.,

astfel incat

ordinea factorilor si asociere in divizibilitate (g este asoeiat in divizibilitate eu h daca exista a E K astfel incat g == ah).

t. Determinati valorile reale ale lui a si b pentru care polinomul

x

E

g"g2, ... ,gn EK[X]

(f) ~ 1. Atunci exista in mod unie polinoamele

se divide cu X + I .

ecuatiilor x +.!. == I <=> ~ - x + I == 0 si x +.!. == 3 <=> x2 - 3x + 1 == O.

• Polinoame irecluctibile Definitie 5. Un polinom f

eu grad

t

I 0

t == x +.!.. Rezulta t1 == 1 si t2 == 3, iar cele 4 radacini ale lui g rezulta din rezolvarea

x

K [X]

3. Fie f == (X2 + X + 1)20+ (X2 - X + 1)20 ~i f == a40X40 + a39X39 + ...+ ao forma sa algebrica. a) Calculatiji l), b) Determinati ao + a40· 4. Determinati restul impartirii lui f == ( X3 + 3X2 - 5X + 2 la X -I.

Din schema lui Homer

-3

E

-x2)(1

si

-x3)(1

2 3 4

X"X ,X ,X

-x4),

EC radacinile sale. Calculati:

~

• 89

b) Determinati

a,b

aritmetica ~i 14. Fie 1 = X3 _X2 +3X -5 4

4

C[Xhi

E

X"X2,X3

E

C radacinile sale. Calculati:

4

2

a) Aratati eii

2

2

2

2

+2

15. Fie 1

= ( X2

40

+ X + 1)

+

(2

)40

.

X - X +1

~l

X3X2·

1 = asoX SO + a

X79 + ... + a X + a fi0nna 79 l o

j

aiba radacinile XI,X2,X3

IR astfel incat polinomulfsa

x; + xi + xi

22. Se considera polinoamele

a) XI +X2 +X3 , b) XIx2 +XI X3+X2XI +X2X:!+X3XI

E

=

f

11 .

=X

3

in progresie

Adaptare bacalaureat, 2008 + 2X2 +3X +45E Z[ X] si

este ireductibil in Z2

j

=

x

3

+ X + 1E Z2 [X].

[Xl·

b) Aratati ca 1nu se poate scrie ca produs de doua polinoame cu coeficienti intregi, neconstante. Adaptare bacalaureat, 2009 • 23. Fie polinomul 1 = X 3 +2X

2

+a

Z3 [ X ] .

E

sa algebrica, Calculati: a) Calculati 1(0) + 1(1) + 1(2).

a) aw

b) Pentru a = 2, determinati radacinile luij'din

b) ao +al +a2 + +aso· c) ao +a2 +a4 + +aso·

c) Determinati

16. Fie polinomul 1 = X3 +aX2 +bX +c cu a,b,c a) Determinati a, b, c stiind ca 1 are radacinile b) Sa se arate ca daca/are

radacina

c) Sa se arate ca daca a, b, c

E

J2 , atunci

Z , iar numerele

E Xl

Q.

E

Z3 pentru carej'este

24. Fie polinoamele l,gElR[X],

= X2 =

1 are 1(0)

a

0

1 si X3 = -2.

si

1(1)

ireductibil in Z3 [X].

n]Xl. 1.

b) Demonstrati ca polinomul g nu divide polinomul

sunt impare, atunci

f

c) Determinati restul impartirii lui

1 la

Bacalaureat, 2008

g=X2-3X+2.

1=(X_1)IO+(X_2)IO~i

a) Descompuneti g in factori ireduetibili in

radacina rationala,

Z3'

g.

nu are radacini intregi.

Bacalaureat, 2006 Bacalaureat, 2008

17. Fie 1 = X3 +4aX2 +20X +b cu a, b a) Determinati

XI.

X2,X3 in cazul a

b) Aratati ca (XI -xS

=3

+(XI -xS

E

lR ~i XI,X2,X3

E

C radacinile lui.

= 32a

2 -120.

- 5X2 + 4.

= X4

a) Determinati radiicinile lui

b) Determinati

polinomul

26. Fie

1.

h

E

Q [X] cu h ( 0) = 1 si care are ca radacini inversele

radacinilor luif 19. Fie polinomul 1 = 3X4 - 2X3 + X2 + aX -1

cu a

E

. 1

1

XI

x2

1

lR si x" x2' x3' x4

E

C radacinile

If

+bX +C, cu a, b,

1(3) - 1(1) este

b) Aratati ca x- Y divide I(x)

- I(Y),

CE

Z.

a) Determinati

1=4X3-12X2+aX+b a,b

E lR

1 in factori

1. ireductibili inlR[X]. Bacalaureat, 2008

27. Se considera polinomul 1 = X3 -9X2 - X + 9 cu radacinile XI'X2,X3 E C.

1 la X2

-1 .

oricare ar fi X,Y

1(3x

)

= 0, X

E

lR .

Bacalaureat, 2009

28. Fie polinomul 1 = X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1 cu a E lR si xI'X2,Xl'X4 E C radacinile sale. a) Calculati (1- x~ )(1- xi )(1 - x: )(1 - x;) .

i

b) Determinati valori1e reale ale lui a pentru care x~ + xi + X: + x; = 8 .

par. E

29.Fiepolinomul

Z. Adaptare bacalaureat, 2009

21. Fiepolinomul

b) Pentru a =-3 ~i b = 1 descompuneti

c) Rezolvati ecuatia Bacalaureat, 2008

a) Aratati ea numarul

C radacinile sale.

b) Verificati ca x~ + x~ +xi = 9(x~ + xi + x:) -18.

X3 x4

= aX4

numere reale. a) Determinati valorile lui a si b pentru care g divide

a) Determinati catul si restul impartirii lui

1

b) Determinati restul impartirii luij'la (X c) Aratati ca polinomul 1nu are toate radacinile reale.

20. Fie polinomul 1

E

= n = 1, descompuneti 1 in factori ireductibili in lR[ Xl. Bacalaureat,2009 polinoamele 1 = X4 + aX3 + bX2 - 5X + 6 ~i g = X3 + X - 2, unde a ~i b sunt doua


sale. a) Calculati -+-+-+-.

lR si Xl' X2' Xl' X4

c) Pentru m


18. Fie polinomul 1

E

a) Determinati m si n stiind ca Xl = 0 ~i X2 = 1. b) Determinati valorile lui m pentru care x~ + xi + x: + x; = 2 .

si b = O.

+(X2 -xS

25. Fie 1 = X4 + mX2 + n cu m, n

I

cum ElR si X"X2,X3 radacinile sale.

a) Pentru m = 2 determinati radacinile lui

~

1.

~

!

b) Calculati x: + x; + x; .

eu a,bElR.

astfel incat polinomul X2 -1 divide

I=X3-3X+m

f

c) Determinati valorile lui m

E

lR pentru care

1 are

toate radacinile intregi. Bacalaureat, 2009

i • 91

30. Fie

f

== 2X3

f

4X2 + aX + 1 ell a E Z. Detenninati valorile intregi ale lui a pentru care are eel putin 0 radacina rationals. -

31. Se considera polinoamele cu coeficienti complecsi f == X4 -1 si g == X6 -1 .

f

a) Determinati un c.m.m.d.c. ~i un c.m.m.m.c. pentru

g (x) ==

O.


32. Determinati restul impartirii polinomului a) g ==

f

X'20 + X4 + 3X2 + X + 5 la polinomul:

==

X3-1.

b) h == X2 + X + 1. c) t == XS-1. 33. Determinati restul impartirii polinomului

f

==

xso + 20X3

35. Fie

e

E

C [X]

+ 5X2 + 7 X + 1 la polinomul

X30 (X + 1)20 la polinomul g == X (X _1)2 . catul impartirii polinomului f == X60 - 30X2 + X + 8 la polinomul ==

Calculati e (-1 ) .

g == ( X-It

f

36. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi

X4 - 5X3 + 3X2 - X + 1 si x" X2,

==

X3, X4 E C radacinile sale. a)

Determinati

un

11 x" 11 x2' 11 x3' 11 x4 b) Aratati ca polinomul

gEe

[X],

de

grad

4,

care

are

radacinile

f nu are toate radacinile reale.

f

==

X4 - 2X3 + X2 + X -1 ~i XI. X2,

X3, X4 E C radacinile sale. a) Calculati x; + x~ + x; + x~.

f

0

45. Se considera

polinomul

~i f ==

==

X4 + 2aX3 + 3bX2 + eX + d ~i XI. X2,

a) Calculati

(x,

toate radacinile reale si

39. Se considera polinomul cu coeficienti reali a) Aratati ca polinomul

fare

b) Stiind ca polinomul fare lui q.

E

(0,

j).

-

6X + a, unde

== X3 + aX2 + aX + 1. Determinati

toate radacinile reale.

X

+ 0S9 XS9 + ... +

Determinati

00

cu coeficienti

==

X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1. Determinati

toate radacinile reale.

reali

f

== (

X2 + X + 2

forma sa a 1gebri nca.~

f

multimea

nu are nicio radacina reala. valorilor

intregi

ale

lui

0

f == X3 + X2 + aX + 1 este ireductibil peste Q . 47. Se considera polinomul f == X3 + 2X2 + X + 0 E Z3 [X]. a E Z3' polinomulf polinomulf

f + ( X2 - X + 3f

0, .

b) Aratati ca polinomul 46.

f

pentru

care

polinomul

Aratati

ca pentru

once

este reductibil peste Z3'

f

X3 + X2 + X + 0 E Zs [X]. Determinati

==

0

E Zs astfel incat

sa fie ireductibil peste Zs'

a) Aratati ca polinomul b) Aratati ca polinomul

f f f f f

==

X8 + 4X3 + 3 E Zs [Xl

nu are radacini In Zs' este reductibil peste Zs' == X4 + X3 + X +

2 E Z3 [X].

este reductibil peste Z3 .

b) Determinati un polinomul

g E Z3 [X], ireductibil peste Z3' avand aceeasi functie

+1)2 +(X2 +1)2 +(X3 +1)2 +(X4 +1)2.

b) Stiind ca polinomul fare e si d.

40. Se considera

+ 5X2

polinorniala ca f.

X3, X4 E C radacinile sale.

a

060

60

a) Aratati ca polinomul

nu are toate radacinile reale.

f

+ 4X3

== X4

f

reali

pentru care polinomul fare

valorile reale ale lui

SO. Se considera polinomul

38. Se considera polinomul cu coeficienti reali

f

reali

pentru care polinomul

49. Se considera polinomul

•

37. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi

b) Aratati ca polinomul

0

48. Se considera polinomul

polinom

cu coeficienti

44. Se considera polinomul cu coeficienti reali

a) Determinati

f

polinomul

reale ale lui m pentru care polinomul fare

g==(X+lt 34. Determinati restul impartirii polinomului

cu coeficienti

f are toate radacinile reale. 43. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 -12X + m. Determinati valorile

valorile reale ale lui

f (x)

polinomul

a E [9,(0) . Aratati cli polinomul f nu are nicio radacina reala. 42. Se considera

si g.

b) Determinati numarul solutiilor distincte din C ale ecuatiei

41. Se considera

polinomul

Aratati ca polinomul

0

f

==

0

== b == 2 , determinati valorile lui

X3 - pX2 + qX - r , cu p, q, r > O.

radacina reala strict pozitiva.

toate radacinile reale si p == 3, r == 1 , determinati valoarea cu coeficienti

reali

f

==

X4 + aX3 + aX2 + bX + e, unde

f nu are toate radacinile reale.

• 93

Analiza matematica Clasele XI-xn Tema 3.1

Limite de siruri. Limite de functii, Functll continue. Funqii derivabile

Tema 3.2

Primitive

Tema 3.3

Functli integrabile

Tema

3.1

Limite de slrur]. Limite de functil. Functii continue. Functii derivabile • • 1. $iruri de numere reale $iruri marginite ~irUl (Xn)n~1 este mdrginit superior

daca exista ME

IR astfel mcat Xn

~irUl (Xn)n~1 este miirginit

inferior

~irUl (Xn)n~1 este miirginit

daca este marginit inferior si superior.

dad! exista . m

E

s M,

'
IR . astfel mcat xn ~ m, '
Observatie. Sirul (xn)n~1 este marginit daca exista M > 0 astfel incat I xn

I s M, '
$iruri monotone (strict crescator) daca xn ~ xn+1 (respectiv xn < xn+I), ' xn+1 (respectiv xn > xn+I), '
Limite de ~iruri. $iruri convergente/divergente Sirul (xn)n~1 are limita A E IR (scriem lim xn n ••••oo

Criterii de convergenta = A) daca orice vecinatate a lui A

eontine toti termenii sirului incepand de la un anumit rang. Un sir este convergent limita finita; in caz contrar sirul este divergent.

daca are

Daca un sir are limita, atunci orice subsir al sau are aceeasi limita. Un sir care contine doua subsiruri cu limite diferite este divergent. 1. Daca (xn )n~1 este un sir strict crescator ~i nemarginit, atunci lim ~ = 0 . n-.oo xn

2. Criteriul majorarii. Fie (an)n~1 un sir cu termeni pozitivi, convergent la zero si (x" )"~I un sir cu proprietatea ca exista A E IR astfel mcat IXn -

AI ~ an , pentru

orice n ~ 1.

Atunci (x")n~1 este convergent ~i lim x" = A. n...•oo

Consecinta (OOM). Fie (an)"~1 un sir convergent la zero si (xn)n~1 un sir marginit. Atunci lim anxn = 0 . n ...•oo

3. Criteriul cle~telui. Fie (an)n~I' (xn)n~1 si (bn)n~1 trei siruri astfel tncat an pentru orice n ~ 1 si lim an = lim b; = A. Atunci lim xn = A . n-e-eo

n-+oo

s xn s b;

n-e-ec

4. Teorema lui Weierstrass. Orice sir monoton si marginit este convergent.

s. Criteriul

raportului. Fie (xn)n~1 un sir cu termeni strict pozitivi astfel mcat exista

limita lim Xn+1 = A . Daca 0 ~ A < 1, atunci lim xn n-+oo

xn

= 0 , iar daca A > 1,atunci

n-+oo

lim x;

= +
n-+oo

6. lema Cesaro-Stolz. Fie sirurile (an)n~1 si (bn)n~1 astfel incat (bn)n~1 este strict crescator ~i nemarginit. Daca exista limita lim an+1 - an n ••••oo b + - b; n 1

=A Ei

,atunci

lim an bn

n ••••oo

=A .

• 97

de ~iruri

Limite remarcabile

3. Functii -tOO, q > 1 limq n

=

n-7OO

{

1'

q =1

0,

q

E

continue

I:

Functia

D ---+ IR este continua in punctul a

E

D daca pentru orice sir (Xn)n~1 cD

astfel incat lim xn = a, atunci lim I(xn) = I(a) . n-+oo n-+oo Daca a

(-1,1)

E

o functie

nu exista, q S -I

DnD',

atuncij este continua in a daca ~i numai daca tim/(x)

I: D ---+ IR este continua pe D daca este continua in fiecare punct a ED.

Continuitate laterala. Daca a E D este punct de acumulare pentru spune ca/este

l)n = lim . ( 1+-+-+ I I ...+-I ) =e. lim ( 1+n-too n n-too 1! 2! n!

Daca a

continua la stdnga in a daca lim/(x)

E

,n

n---+oo

= A.

Teorema. Fie I: D ---+ JR

functie elementara ~i a ED. Atunci lim I(x) = I(a) .

0

x-ta

Criteriul cu limite laterale. Dad pn(--oo,a)

si Dn(a,+oo)

numai dacaj'are

n~oo

a

E

JR este punct de acumulare are limita AEi

, functia I:D---+JR

limita la stanga ~i la dreapta in a si lim/(x) lim

Limite fundamentale.

x-too

x-tO

I ,.

X

1

= .

X

'

I:

--00 )

x-tO

continua

lim arctg x = I x-tO x

x~a

x-tO

D ---+ IR astfel incdt

(respectiv

+00

I:

E

Iim I(x) = m x-too x { lim (j(x)-mx)

(respectiv spre

si respectiv =n

Asimptote verticale. Fie

I:

este punct de

lim I(x) = a). x-+-oo

respectiv

+00,

--00 )

E

JR, m

este punct de

--00, "#

0 , este asimptotii

x-t-«>

I(x)

=m

X

lim (j(x)-mx)

x-+-oo

•

=n

D ---+ JR si a un punct de acumulare allui D. Dreapta de

x\..a

D n D' daca si numai daca I este

1I I,

E

E, atunci

= g(lim/(x))

JR sunt continue in punctul sunt functii continue

Lg este continua in a.

D ---+ E si g: E ---+ JR. Daca

b = I(a)

I,s :D ---+

max(j,g),min(j,g)

functia

I

este continua in a ED,

go I: D ---+ JR este continua

iar g este

in a. Avem

(0 functie continua comuta cu lirnita).

x-+a

c E (x,,~)

E

I:

I ---+ IR are proprietatea

I si orice A cuprins intre I(x,)

lui Darboux pe ~i l(x2)

,

exista

astfel incat I(c) = A.

o functie I:

I ---+ JR are proprietatea lui Darboux daca ~i numai daca imaginea oricarui

interval prin functia I este tot un interval (cu alte cuvinte, pentru orice interval J c I , rnu1timea I(]) este interval).

o functie cu proprietatea lui Darboux nu are puncte de discontinuitate de speta I. Teorema. Orice functie continua I: I ---+ JR are proprietatea lui Darboux. c

ecuatie x = a este asimptotd verticalii la stdnga (respectiv dreapta) pentru graficul functiei f daca lim I(x) = ±oo (respectiv lim I(x) = ±oo). x/a

JR), I· g,

Proprietati ale funqiilor continue. 1. Fie I: [a,b] ---+ JR 0 functie continua

daca

{!im

x---+oo

--(0)

daca lim I(x) = a (respectiv

D ---+ JR astfel incat

+00

I:

E

intervalul I daca pentru orice x, ,x2

JR , este asimptota orizontala la

acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = mx + n , unde m, n oblica la graficul functiei spre

in

limg(j(x))

X

(respectiv

x-too

Asimptote oblice. Fie

atunci a f + jJg, (a,jJ

a ED,

Proprietatea lui Darboux. 0 functie

acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = a, unde a +00

Operatii cu funqii continue. Daca functiile

Fie functiile

tim(1+x)'-I=r

lim--=lna; x-tO x

lim--=I; x-tO x

E

din limitele laterale nu exista sau este ±oo, a este punct de discontinuitate de speta a II-a.

in a, iar daca g(a)"# 0 , atunci

=e;

a

Puncte de discontinuitate. a E D este punct de discontinuitate de speta I al functiei are limite laterale finite in a ~i nu este continua In a. Dad eel putin una

,

lim(l+x)~

aX -I

eX -1

Asimptote orizontale. Fie graficul functiei spre

x\..a

(1 + .!.)X = e ;

· arcsinx 11m

=A .

= lim/(x)

x/a

= I(a)).

I :D ---+ JR daca

al multimilor

In punctul a daca si

(altfel scris I(a-O)

continua la stanga ~i la dreapta In a , adica daca ~i numai daca I(a - 0) = I(a) = f'(a + 0) .

x-ta

oentru orice sir (x )n~' cD \ {a} astfel incat lim xn = a, atunci !im I(xn)

a) n D, se

(altfel scris I(a + 0) = I(a) ).

Functia I: D ---+ JR este continua in punctul

Multimea punctelor de acumulare a ~nei multime nevide D c JR se noteaza D'. Functia I: D ---+ JR are limita A E JR in punctul a E D' (scriem lim j'(x) = A) daca

(--00,

D este punct de acumulare pentru (a, +00) n D, se spune ca I este continua x\..a

functii

= I(a)

x/a

la dreapta in a daca lim I(x) = I(a)

2. Limite de

= I(a).

x-to

E

astfel tncat

I(a)· I(b) < o. Atunci

exista

(a,b) astfel incat I(c) = 0 .

2. 0 functie continua, care nu se anuleaza pe un interval I, are semn constant pe 1. 1. Teorema lui Weierstrass. 0 functie continua I: [a,b] ---+ JR este marginita ~i I~i atinge marginile (adica exista u, v E [a,b] astfel lncat I(u) = min j''(x) ~i I(v) = max j'(x) ).

4. 0 functie continua S. Daca

I: I -v J

I:

este

I ---+ IR este injective daca si numai daca este strict monotona. 0

functie continua si bijectiva, atunci

1-'

i

J ---+ I este continua.

• 99

Formule de derivare

4. FunClii derivabile Functia

I :D ~ IR

are

derivata

in

punctul

a

E

D n D'

daca

exista

limita

= lim I(x)- I(a) E i (numita derivata functiei j in punctul x = a). x->a x-a Daca I'(a) E JR, se spune ca/este derivabila in punctul x = a. 0 functie I: D ~ lR

I'(a)

este derivabila pe D daca este derivabila in orice punct x ~ I'(x) , xED, se numeste derivata functieij,

a ED.

in acest caz, functia

Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct. Derivate laterale. Daca a E D este punct de acumulare pentru (-oo,a)nD, Ca/are

. .. . I(x)- I(a) derivata la stanga in a daca exista limita lim x/a x-a

Daca a E D este punct de acumulare pentru (a,+oo)nD, . .. . I(x)- I(a) dreapta in a daca exista limita hm x'\,a x-a Functia

I:

D ~ JR are derivata in

nOI,

= Id (a)

geometrica

nOI,

=

I. (a)

z-i« 7. (sinu)'=cosu·u';

u' 9. (tgu)'=-2-; cos u u' 12. (arctgu)' =-1 -2 +u

se spune cal are derivatii la

a derivatei.

0

b. punct de minim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x) ~ I(a),

'
Un punct de minim sau maxim local se numeste punet de extrem local al functiei J Daca a este un punct de extrem local al lui f, valoarea I(a) se numeste extrem local al sau maxim).

Teorema lui Fermat. Fie I un interval deschis si

a E I un punct de extrem local al I ~ JR. Dacal este derivabila in punctul a, atunci 1'( a) = 0 .

punctele de extrem local ale functieij'se

este y-/(a)=I'(a)·(x-a). functie continua

dar care nu este derivabila in punctul x = a , insa are derivate laterale in a. Atunci: • a este punct unghiular al graficului lui f daca eel putin 0 derivata laterals este finita; • a este punet de intoarcere al graficului lui f daca fs'(a) = -00 ~i I/(a) = +00 (sau invers);

Observalie. (a -r,a

I:

Fie

+ r) else

daca

I ~ JR. Un punct

I.'(a) = 1/(

a) = ±oo .

a E I pentru care exista

numeste punet de inflexiune al functieij" dacaj'are

derivata in a (finitli

Reguli de derivare. Daca u: D ~ E si I.«. E ~ JR sunt functii derivabile, atunci: (f + g)' = 1'+ g'; 2. (af)' = a f", '
4. (~ )' = - ~~ ;

S. (~)'

= I'gg~ Ig' ;

vlnu

V

vlnu

derivabila si (U )' = e

este

I:

I ~ JR este

0

functie derivabila pe un interval deschis I, atunci

gasesc printre zerourile derivatei (punetele eritiee).

Teorema lui Rolle. Fie I: [a,b] ~ JR

0

functie continua pe [a,b], derivabila pe (a,b),

astfel incat I(a) = I(b) . Atunci exista e E (a,b) astfel incat I'(e) = Consecmte.

Fie

I:

I ~ JR

0

o.

functie derivabila pe un interval!. Atunci:

Cl. intre doua zerouri consecutive ale functieij'se afla eel putin un zero al derivatei Teorema lui Lagrange.

I'

1'.

se afla eel putin un zero al functieij.

Fie 1:[a,b]~JR

este

0

functie continua pe [a,b] ~i

derivabila pe (a,b). Atunci exista e E (a, b) astfel incat I'(e) = I(b) - I(a) . b-a

Consecinte ale teoremei lui Lagrange. 1. 0 functie derivabila cu derivata nula pe un interval I este constanta pe I.

a. Daca I'(x)

~ 0, pentru orice x E I , atuncij'este

crescatoare pe I;

b. Daca I'(x):$; 0 , pentru orice x E I ,atuncij" este descrescatoare pe!. V

(v'lnU +V· :') = U (v'lnU + v :').

Derivarea functiel inverse. Daca unde a ED, atunci

Consecinla. Daca

2. Doua functii derivabile cu derivatele egale pe un interval I, difera printr-o constanta pe I. 3. Fie I: I ~ JR 0 functie derivabila.

6. (f ou)' = I'(u) -u".

Daca u si v sunt functii derivabile ~i u > 0, atunci functia u" = e

Observatle.

I:

C2. intre doua zerouri consecutive ale derivatei r > 0 astfel incat

si concava pe (a,a + r) sau invers.

sau infinita) ~i este convexa pe (a-r,a)

1.

f

l+u

'
in punctul de abscisa x=a

• a este punet de inflexiune al graficului lui

14. (arcctgu)'=---2

functie f: D ~ JR, un punct a E D se numeste:

functiei

0

vl-u2 u'

vl-u-

Derivata unei functii (derivabile!) intr-un punct este egala cu panta tangentei la graficul functiei in acel punct. Daca I: D ~ JR este 0 functie derivabila, atunci ecuatia tangentei la graficul functieij'

D ~ JR

u' r=::

13. (arccosu)'=

;

u' r=-

a. punet de maxim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x):$; I(a),

functiei/(rninim

= I'(a) .

I:

. , 11. (arcsin u) =

2

sm u

Puncte de extrem. Fiind data

JR .

Puncte unghiulare, de intoarcere, de inflexiune. Fie

u'

10. (ctgu)'=--.-;

u' ulna

6. (logau)'=--;

S. (lnu)' = -; u 8. (cos u) , = - sin u .u ' ;

,- ;

5. Proprietatile funqiilor derivabile

-

E JR .

-

E

4. (Fu)' =

3. (e"): = e" ·u';

u'

u'

se spune

a E D n D' daca ~i numai daca I are derivate

laterale egale in a. in acest caz, fs'(a) = I/(a)

Interpretarea

a functiilor compuse 2. (aU)'=aulna·u',a>O;

1. (ua)'=aua-1.u',aEIR*;

r1 este derivabila

I:

4. Fie

D ~ E este derivabila, bijectiva ~i /,(a)::p 0,

in punctul b = I(a)

I:

I ~ JR

functie continua pe I ~i a E I. Dacal este derivabila pe I \ {a} ~i exista

limita lim/'(x)=A.Ei,atunci/arederivatain x->a

si (f-l) '(b) = _1_. I '(a)

0

x=a

si 1'(a)=A..

• 101

Teorema lui Cauchy. Daca (a b) astfel tncat g(a) , ,

* g(b)

, atunci exista c

I:

Teorema lui Darboux. Daca :ierivata sa

I

[a,b] ~ IR sunt continue pe [a,b]

f,g:

(a,b)

E

astfel incat f'(c) g'ee)

I ~ JR este derivabila

si derivabile pe =

pe un interval I, atunci

are proprietatea lui Darboux pe 1.

I

Rolul derivatei a doua in studiul funqiilor. Fie derivabila pe un interval 1. Atunci: a. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x

I:

I ~ JR.

0

lui

x-+o

I , atunci I este convexa pe I;

. a, b

U81Hospital. Fie

(a, b) c I c [a, b] . Daca Xo

E

x-txo

b.hi

E

i, a < b.

. I··uruta I·1m --f'(x) c. exista

E

un

cu

interval,

X-+Xo

* 0, Vx

g sunt derivabile ~i g'(X)

atunci exista U

I c JR

=

1

/I,

E

* 0, Vx

E

Un I \ {xo} si limita

Probleme propuse (x2

lim I(x) . x-+co b) Aratati cii functia I este crescatoare pe JR.. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

2. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = In (1 + eX) - x . a) Determinati asimptotele graficului functieij.

b) Aratati cii functiaj" este strict descrescatoare. c) Determinati imaginea (multimea valorilor) functieij"

a) Aratati cii ecuatia f'(x)

=0

= (x-l)(x-2)(x-3)(x-4).

are exact trei radacini reale.

. ~ 1 1 1 b) Aratati ca --+--+--+--=0. 1'(1) 1'(2) 1'(3)

1

E

JR.

r.

b) Calculati lim (1 + I(x) x-+co c) Determinati multimea valorilor functieij"

= J x2 + 1-

x.

1'(4)

JR, f(x)

lim I(x) = A g(x)

X->Xo

E

i.

2 8. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ~ x -1 . a) Studiati derivabilitatea

functieij" b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

I este convexa. b) Calculati limita sirului (an unde an = 1(1) +1(2) + +I(n) -In(2n +1) .

a) Aratati cii functia

t~1'

c) Calculati limita sirului (bn t~I' unde b; = 1"(1) +1"(2) + +f"(n) . 10. Fie functia 1:(O,oo)~JR,

I(x) = lnx. x a) Determinati asimptotele graficului functieij. b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.

11. Fie p ~ 2 un numar natural fixat si functia

10: JR~

JR, 10 (x)

numar natural n se considera functia In : JR~ JR, In (x) = ILl (x). a) Aratati cii In (x) = pn e'" , pentru orice x

c) Determinati valoarea minima a functiei f 4. Se considera functia I: (O,oo)~

JR .

9. Fie functia I: (O.oo)~ JR., I(x) = In(l+~).

+ 1).

a) Calculati

3. Se considers functia I: JR~ JR, f(x)

E

a) Aratati cii functia I este strict descrescatoare pe JR. b) Aratati ca functiaj" este convexa. c) Determinati asimptotele graficului functieij.

iiii En...;

1. Fie functia I: JR~ JR, I(x) = x-ln

a) Calculati I'(X) , x

7. Se considers functia I: JR~ JR, I(x)

I \ {xo};

g'(X)

V(xo) astfel ca g(x)

x

6. Se considerafunctia I: JR~ JR, I(x) = +1· x +

=0 .

lim Ig(x)1 =+00 );

(respectiv

X---+Xo

x-Ho

~i

1(;) .

c) Aratati cii e' ~ x + 1 , pentru orice x

[a, b] si I, g :1\ {xo} ~ JR sunt doua functii cu proprietiitile:

a. lim I(x) = lim g(x) =0

5. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = eX -x-I. a) Determinati punctele de extrem ale functieij. b) Calculati lim

E

, x E (0,00).

b) Calculati lim f'(x). x-+co c) Calculati lim f(x) . x-+co

functie de doua ori

b. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x E I , atunci I este concava pe I; c. Daca a E Int(I) este un punct de inflexiune al functieij, atunci I"(a) Regula

f(b)- f(a) . g(b) - g(a)

a) Calculati f'(x)

=

E

JR si orice n EN.

b) Determinati asimptotele graficului functiei In· x-x2ln

x+l . x

1!lI .\ C 1 I . li .t;(a) + 12(a)+ ... + In (a) , un d e a En.... c) a cu an m . n-+co In (a)

•..

= e'": Pentru fiecare

::e I >
U

~

::e w ~

::e

• 103

1

12. Se considera functia f: JR.*~ JR., f(x) a) Determinati asirnptotele graficului

19. Se considera functia f: JR.~ JR., f(x) = (x-l)M . a) Studiati derivabilitatea functieij" b) Determinati punctele de extrern local ale functieij" c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

21 e-~ . functiei In. = Ix +

b) Determinati dorneniul de derivabilitate al functieij" c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

3

20. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = Vx +3x+4 . a) Determinati ecuatia asirnptotei oblice spre +00 la graficul functieij. b) Aratati ca f2 (x)· f'(x) = x2 + 1, pentru orice x > O.

x+ lnx, x E (0,1] 13. Se considera functia f: (O,oo)~ JR., f(x) = lnx { -, XE{l,oo) x-I a) Aratati ca functiaj'este continua pe (0,00).

c) Determinati derivata functiei fin punctul x = -1 . 21. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x)

1

c) Calculati lirn(j(x)

)x-I

=

.

x-+I x-cl

t~I'unde

= _x_

JR, g(x) = f(x2)

.

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei j'in punctul de abscisa x = o. b) Aratati ca graficul functiei admite asimptota spre +00 . c) Calculati lim

(j (n)

r.

.

a-cosx x2

I+lxl a) Calculati

23. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x)

lirn f(x)

=

{

x-+-«>

b) Studiati derivabilitatea functiei j'in punctul x = O. c) Determinati multimea valorilor functieij, 6. Se considera functia f: (-1,1) ~ JR, f(x)

= In(I+X).

I-x a) Determinati asirnptotele graficului functieij"

a) Calculati

x-+oo

f(~), x

unde a

E

JR.

7. Se considera functia f: (0,00) ~ JR, f(x)

0 .

x+be",

x~o

limf(x).

b) Determinati a, b c) Pentru a

E

JR pentru care functia

= 1 si b =.!. , studiati

f este

continua pe JR.

derivabilitatea functieij" in punctul x

2

24. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = (1 +;J

,x<

x-+o x
b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij" c) Calculati lirn x"

.

x~o

V

n-+oo

5. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x)

{ vlx-II,

2 22. Se da functia f: JR ~ JR, f(x) = x3 + 3x + 1- x .

an = f{l)· f(2) ..... fen) .

c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functiei g: JR~

~

a) Studiati continuitatea functieij; b) Determinati punctele unghiulare ~i de intoarcere ale graficului functieij. c) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul de abscisa x = 5 .

4. Se considera functia f: JR \ {-~} ~ JR, f(x) = ~. 2 2x+3 a) Determinati asirnptota spre +00 la graficul functiei j b) Determinati lirnita sirului (an

x< 0

2X,

b) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 1 .

a) Calculati

=

x+cosx, { X 2 +eX,

X

= O.

<0

x~o

lim f(x). x-+-
b) Studiati derivabilitatea functieij" in punctul x = O.

a) Calculati limf(x). x-+o x>o

c) Calculati

lim n (j(~)- f (I) ) . n-+oo

b) Determinap asimptotele graficului functieij. c) Calculati lim x(1-ln f(x») . x-+oo

~. Se considera functia f: (-1,00) ~ JR, f(x)

= In(I+x)-x.

;: Dete~nati intervalele de monotonie ale functieij" '1 Aratap ca In(I + x) ~ x , pentru orice x > -1 . c) Calculati

lim f(x) x2

x-+o

•

25. Se considera functia f: (0,00) ~ JR, f(x)

In(x+ 1) x

a) Determinati asirnptotele graficului functieij.

b) Aratati ca functia f este strict descrescatoare, c) Aratati ca functiaj'este marginita.

• 105

Z6. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x)

33. Se considers functia f: JR ~ (-1,1), f(x) =.J x2 +x + I-.J x2 -x +1 . a) Aratati ca functiaj este strict crescatoare, b) Aratati ca functiaj este surjectiva.

x <0 x=0.

X-i,

= 0, {

a) Aratap cafnu

b) Calculati

x+I, x~ 0 are proprietatea lui Darboux.

c) Aratati

!~(f(:2 )- f(;)).

prin

34. Se considera functia f: (0,00) --+ JR, f(x) derivata in punctul x = 0 si determinati 1'(0).

Z7. Se considera functia f: JR~ JR, f(x)

V-I )'(1),

unde

r

l

Xo =~~i

xn+1=f(xn),

\inEN,

este

= x!nx.

a) Aratati ca functiaj'este convexa. b) Demonstrati ca pentru orice n E N* exista un singur punct cn E (n, n + 1) astfel Incat

= x + e",

fen + I) - fen) = f'(cn) .

a) Determinati asimptotele graficului functiei j. b) Aratati ca functiaj" este bijectiva. c) Calculati

(xn)n~O' definit

convergent.

x
c) Aratati cafare

sirul

ca

c) Calculati

lim

n->
Cn .

reprezinta inversa functieij. 35. Se considers functia f: [0,(0) --+ JR, f(x) sin.!., x:#;O x . 0, x=o

a) Aratati ca functiaj'nu

X2

28. Se considers functia f: JR--+JR, f(x)

=

{

b) Determinati c)CaIculali

are limita la

= cosj;.

+00 .

I'd (0) .

lim(J(n+l)-f(n)). n->oo

a) Calculati limf(x). x->o

b) Aratati ca functiaj" este derivabila pe JR. c) Demonstrati ca functiaj nu este monotona pe nicio vecinatate a lui 0. 29. Fie functiile f: JR--+JR, f(x)

36. Se considera functia f: (0,00) --+ JR, f(x) a) Calculati f'(x),

1

= arctgx si g: JR*--+ JR, g(x) = arctg-. x

b) Determinati intervalele de monotonie ale functieij.

X

x->
b)CaIculali

3./5 si 5"/3.

+ Xg(X)) .

lim (f(X)

37. Se considera functia f: JR --+ JR, f (x) =

f'(x)+g'(x),

xEJR*.

a) Calculati

1 tt . 111>* c) Aratati ca arctgx + arctg- = -. sgn(x) , pentru once x E 11'>. x 2 30. Se considera functia f:

sinx ( 0'"27r) --+ JR, f (x)= -x-

.

x E (0,00).

c) Comparati numerele a) Calculati

= ~

lim x" f(x)

Vx + 2 - if;..

, unde a E JR .

X->OO

b) Determinati punctele de extrem local ale functieij"

•

c) Aratati

.

ca ifj + if? > 2V5 .

38. Se considera

functia f: JR --+ JR, f(x)

= x2ex

.

a) Determinati punctele de extrem local ale functieij" a) Calculati f'(x)

, x

E(

0, ~).

b) Aratati ca j
b) Studiati monotonia functieij. c) Determinati multimea valorilor functieij" 31. Se considera functia f: (0,00) --+ JR, f(x)

c) Calculati

= !nx-x.

39. Se considera functia f: JR--+ JR, f(x)

a) Determinati intervale le de monotonie ale functieij"

b) Determinati eel mai mic numar real a pentru care f(x) c) Aflati numarul de solutii reale al ecuatiei f(x) 32. Se considera

functia f: (-1,00) ~ JR, f(x)

=

~ a, pentru orice x E (0,00).

= m , unde m este un parametru real.

x -!n(l +x).

n n~O

definit prin ao > 0 si an+1= f(an),

.

= sin AX, unde A E (-1,0) u (0, 1) .

a) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

b) Aratati ca joo

a) Determinati intervalele de monotonie ale functieij" b) Determinati multimea valorilor functieij"

c) Fie sirul (a)

. . 1'(0) + /,,(0) + ... + j
pentru orice n E N* ~i orice x E JR.

40. Se considera functia f: JR\ {-2,-1} --+ JR, f(x) \in EN. Calculati lim an' n-eec

= -2 --x +3x+2

• 107

a) Calculati

1(1)+

lim(j(O)+ oo

n...•

... + I(n»)n.

46. Fie multimea

b) Determinati puncte1e de extrem local ale functiei f n (-Il c) Calculati lim j
A =

IR \ {1,2,...,n}, n E N* ~i I:

JR, I(x)

A ~

I

a) Calculati

I:JR*~IR,

lim x (j(x)

41. Se considera functia I: (0,00) ~ (0,00), I(x) = In (1 +~). a) Aratati ca/este 2

c) Determinati valorile parametrului real m pentru care ecuatia I(x) = mx

are exact

trei radacini reale. 42. Se considera functia I: JR.*~ JR.,I(x) = xer . X E

b) Calculati

JR* .

doua radacini reale. c) Se considera sirul (ant~o definit prin ao > 0 si an+1 = I(an), Vn EN.

Calculan

b) Calculati I'(x), x

:2)-

(1,00) .

oo

1(2) + ... + I(n»).

49. Se considera functia I: JR.*~ JR, I(x)

x

c) Calculati 1im n2 n ...•

Baca/aureat 2009, varianta 28

44. Se considera multimea de functii M = {J: [-1,1] ~ IR I este de doua ori derivabila, 1(0)

I

oo

o

= 0,1'(0) = I} .

I este continua pe 1R. b) Studiati derivabilitatea functieij'tn punctul x = O. c) Calculati

.

r (x) - xn = nf"(O) x 2

XEQ

X,

I/(x)1 ~ lxi, pentru

orice

3

oo

2

(I (!)- I n

(_1

a) Calculati

.

x ,XEJR\Q

)).

n+1

II

51. Se considera


functia I: JR ~ JR, I(x) = {

lim n

n ...•

.

n+1

x=o

1,


x ...•

c) Demonstrati ca, daca IE M ~i n E N* , atunci lim x ...•o


eX -1 50. Se considera functia I: JR.~ JR.,I(x) = -x-, x:;t 0 .

I

M , atunci lim (1 + I (x»):~ = e/'(O)

(j(n + 1)- I(n») .

{

u :[-1, 1] ~ JR., u(x) = eX sin x apartine multimii M.

daca IE

=!!..-.

b) Determinati asimptotele graficului functieij.

b) Determinati domeniul de continuitate al functiei j. c) Determinati punctele in care functiaj'nu este derivabila,

a) Aratati ca

I (x) = In ( 1-

a) Determinati intervalele de monotonie ale functieij.

x ...•1 x-cl

45. Se considera

(1,00) ~ JR,

X

unde {x} reprezinta partea

fractionara a numarului real x. a) Calculati lim/(x) .

ca,

E

c) Calculati lim (j(1)+ n ...•

43. Se considera functia 1:[0,3]~JR,/(x)={x}·(I-{x}),

b) Aratati

I:

a) Determinati asimptotele graficului functieij"

lim(J(an)-an)· n ...• oo

ca functia

V-I )'(In 2).

48. Se considers functia real m pentru care ecuatia I(x) = m are exact

b) Determinati valorile parametrului

a) Aratati

bijective.

. 1im 1(1)+ 1(2)+ ... + I(n) c) Ca 1cu 1an n ...•oo In (2)' n +1

I

1'(x) ,

... +_1_. x-n


b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.

a) Calculati

x-2

I(x)=ex•

-1) .

x ...• oo

x-I

a) Determinati asimptotele graficului functieij. b) Daca a E IR , determinati numarul solutiilor reale ale ecuatiei I(x) = a . c) Determinati numarul punctelor de inflexiune ale graficului functieij"

:L__

41. Seconsiderafunctia

= _1_+_1_+

-

x=-

functia I: JR ~ JR, I(x) = n' n' { 0, in rest

nE

N*

lim I(x) .

x ...•oo

b) Studiati continuitatea functieij", c) Studiati derivabilitatea functieiji

x E [-1,1].

b) Aratati ca functiaj este continua in punetul x = O. c) Aratati ea functiaj'nu este derivabila in punctul x = O.

x2

$2. Se considers functia I: JR ~ JR, I(x) = eBaca/aureat 2009, varianta 63

•

a) Determinati asimptotele graficului functieij"

b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

• 109

a)Caicuiati b) Aratati ca

Alte probleme selectate din variantele propuse de MEdCT

aelR.

iimna(f(n+l)-f(n»),unde n->oo

< f(k + i) - f(k) < ~, pentru orice k e N* .

~ vk+i

11. Se considera

-Jk

e) Aratati ca sirul (xn)

n~1

este convergent.

6. Se considera functia f: JR ~ JR, f (x) = x3 + 3x . a) Aratati ca, pentru orice A. E JR, ecuatia f(x) = A. are 0 unica solutie reala u(A.). b) Aratati ca functia u definita mai sus este derivabila pe JR. . . u(A.) e) Calculati lim -. .t->o A. 7.Seconsidera~irul E

.<->00

13. Fie functia f: JR~ JR, f(x) a) Calculati

n~OO

=

B. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x)

{

°

. 1 xsm-, x

x"#

0,

x=O

E

Vn

EN.

.

..

x

ca, pentru orice n E N*, ecuatia fn(x) = ~.

e) Calculati

E

(1

-;;'

1+rn+i) n

J" (x)

°

are

= e-x

0

+ nx2

-

2x - l .

unica solutie reala

lim nxn .

. lim(f(I)+

e) C a Icu Iati

n->oo

f(2)+ ... + f(n»)n n

75. Se considera functia f:JR\{I}~JR,

.

Bacalaureat 2008, varianta 99

f(X)=x~X+ll· x-I


functia fn : (0,00) ~ JR, fn(x) = x" + lnx, unde n E N*.

a) Demonstrati ca, pentru orice n notata xn' si xn

E

E

N* , ecuatia fn(x) =

(0,1) .

b) Aratati ca sirul (xn e) Calculati

-x+l

a) Aratati ca dreapta de ecuatie x = 1este asimptota verticals la graficul functiei J b) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 . e) Studiati derivabilitatea functieij"

.

n->oo

o. Se considera

= Vx3 +3x2 +2x+ I-Vx3


a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij" in punctul de abscisa x = 0. b) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 .

Aratati ca sirul (xn t~o este convergent.

N, n ~ 1, se considera functia fn : JR ~ JR,

pozitiva, notata xn' tar xn

= Vx3 -3x+2.

.

14. Fie functia f: JR~ JR, f(x)

a) Aratati ca functia t, este convexa, pentru orice n E N * . b) Demonstrati

lim f(x) .<->1 x-I


x<1

f este

e) Fie Xo E JR si xn+1= f(xn),

+00 .

b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij" e) Determinati punctele de extrem ale functieiJ

continua pe JR. b) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 0.

9. Pentru fiecare n

x +1 asimptota spre

F.

lim (f(eX)

e) Calculati

lim an ~i lim (al a2 ••• an ) .


= -2-'

ca functiaj'este inversabila .

(0,1) , pentru orice n ~ 1.

n~ctJ

2x

12. Se considera functia f: JR~ JR, f(x)

1

Vn~1.

b) Aratati ca sirul (an )n~1 este monoton. e) Calculati

1.


b) Aratati al E(O,I) ~i an+1=a;-an+l,

=

3

a) Aratati ca graficul functieij'admite

(ant~1 defmitprin

a) Aratati ca an

functia f: JR*~ JR, f(x) = (x -l)e =. a) Scrieti ecuatia tangentei ia graficul functieij" in punctui de abscisa x b) Aratati ca functiaj'are doua puncte de extrem. e) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij.

t~1este strict crescator.

° are

0

singura solutie reala,

76. Fie functia f: JR~ JR, f(x)

=

Vx

3

-

3x + 2 .

a) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre b) Determinati intervale le de monotonie ale functiei j. e) Calculati lim x(2arctgf(x)-1l").

+00 •


x->oo

lim x; . n->oo

77. Se considera functia f: JR* ~ JR, f(x) a) Calculati

= xsin-.

1 x

limf(x).

x->o

b) Calculati f'(x) , x E JR * . e) Determinati ecuatia asimptotei spre

+00

la graficul functieij" Bacalaureat 2009, varianta 50

• 113

.,

78. Se considera

functia

I:

.

JR---+JR, f(x)

XSln-,

=

{ a) Aratati ca functiaj

b) Calculati lim f'(x) x-->oo

1

e) Aratati ca daca functiaj'este continua in x

Tf))*

~i functia I: IR\{-1,1}~ a) Calculati

e) Demonstrati ca functia f este marginita pe 1R. =

Bacalaureat 2009, varianta

16

x

x=o

0,

continua pe [0,1]. b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij"

e) Aratati ca, pentru orice n

E

N*, ecuatia f(x)

= cos-

0

solutie in


80. Se considera functia f: JR~ JR, f(x) x-->oo

are eel putin

x

n

a) Calculati lim f(x)

.

7r

= arcsin

2x l+x

2

Calculati f'(x)

, x

=x

+ Inx .

= 0 are

0

unica solutie

Xo E

'in

E

= In (x

+ Jl + x2

).

+ 1) - f(x)

t~l

definit prin

~ 1, 'ix

E

Xl

= 1 si xn+l = f(xn),

JR.

'in

E

N*.


= x arctg x si sirul (xn

LI definit

prin

Xl

= 1 ~i

N*.

e) Aratati ca sirul (xn

a) Determinati ecuatia tangentei la graficul functieij ln punctul de abscisa x = e . b) Demonstrati ca functia f este concava,

B3. Se considera functia f: JR~ JR, f(x)

2

strict crescatoare. b) Determinati ecuatia asimptotei spre -00 a graficului functieij"

(~,l).

.

"xr-;--:' +I

a) Aratati ca functiaj'este

e) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij" Bacalaureat 2009, varianta 76 82. Fie functia f: (Leo) ~ JR, f(x) = In(Inx).

e) Calculati lim f(x + 1) - f(x) x-eco f'(x)

x2 +ax+5

strict crescatoare.

88. Se considers functia f: JR~ JR, f(x) Xn+l = f(xn),

a) Aratati ca graficul functiei nu admite asimptota spre +co .

=

1R.

f este

e) Demonstrati ca f(x

Bacalaureat 2009, varianta 48 81. Se considera functia f: (0, co) ~ JR, f(x)



t~l

este convergent.

f:[O,co)~[O,co),

Bacalaureat 2009, varianta 42 f(x)=--

2x+l

~i sirul (xn)n~o

defmit prin

x+2 Xo = 2 ~i xn+l = f(xn), 'in EN. a) Determinati asimptotele graficului functieij" b) Aratati ca lim xn = 1. n-->oo

e) Demonstrati ca sirul (Y n t~o ' dat de Y n = Xo + Xl + x2 + ... + xn - n este convergent. = x arctg x -In

(1 + x2)


•

f este convexa. b) Aratati ca functia f' este marginita, a) Aratati ca functia

c) Demonstrati ca f'(x)

E

b) Studiati convergenta sirului (xn

b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij. c) Demonstrati ca functiaj are doua puncte de extrem.

x -1

b) Determinati valorile numarului real a pentru care functiaj'are trei puncte de extrem. e) Pentru a = 0, determinati ecuatia asimptotei spre +co la graficul functieij" Bacalaureat 2009, varianta 46


.

b) Aratati ca ecuatia f(x)

a)

87. Se considers functia f: JR~ JR, f(x)

•

x +x+a = --=-2--

r.

86 Se considera functia f: JR~ JR, f(x)

(_1_.-!-). n+l

(J (x)

JR, I(x)

b) Determinati valoarea numarului real a pentru care 3 este punct de extrem local al functieij" . . . e) Determinati valoarea numarului real a pentru care graficul functiei f adrnite exact 0 asimptota verticals. Bacalaureat 2009, varianta 73

{XSin 7r, x E (0,1]

a) Aratati ca functiaj'este

intervalul

lim X-->OO

.

0, atunci ea este derivabila pe 1R. Bacalaureat 2009, varianta 77 2

x=o

0,

este derivabila pe JR. .

79. Se considera functia f: [0,1]---+ JR, f(x)

=

XE.ll'<>.

X2

~ 0 , pentru orice x

90. Se considera functiile fn : (0, co) ~ JR, fn(x) = x" +In x, n a) Determinati asimptotele graficului functiei E

E

N*.

It.

JR.

84. Se considera functia f: JR~ IR cu proprietatea ca xf(x)

=

s, :(0, co) ~


b) Aratati ca functiile

e' -1 ,pentru orice x

e) Adrnitem ca, pentru orice n

a) Determinati ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul de abscisa x = 1. b) Aratati ca functiaj este continua ill x = 0 daca si numai daca f(O) = I.

E

JR.

ca sirul (xn)

n~l

E

JR, gn(x) = fn(x) + I,(~). n E N*, sunt convexe.

N*, ecuatia fn(x) = rare

este convergent la 2.

solutia unica xn. Aratati Bacalaureat 2009, varianta 90

• 11S

I. Se considera functia f :JR~ JR, f(x) = x - sin x . a) Aratat! ca functiaj este strict crescatoare. b) Admitem ca, pentru orice n E N* , ecuatia f(x) sirul y

(x)n

n2:1

91. Fie functia f: (O,
=n

=

lnx ~i sirul Xn = l+~+~+

c) Calculati lim xn+1 , unde (xn t2:1 este sirul definit mai sus. n-.OO xn

1

1

b) Aratati

ca -

c) Aratati

ca sirul (xn )n2:1 este convergent.

k+l

< f(k + 1) - f(k) < -, 'Vk E N* k



!. Se dau functia I: JR ~ JR, I(x)

Xn+1= I(xn),

~i sirul (xn

definit prin Xo E

)n2:o

(0, ~)

si

Vn EN.

I este


b) Aratati ca », E c) Calculati

= x + cosx

strict crescatoare.

a) Calculati

JR considera functia x

E

J; : JR ~

JR,

J;(x)

=

x

3

x.

2

+t

b) Aratati ca I(x)

<

°

•

E

J;, t E JR , este inversabila. g: JR~ JR, get) = J;-I (1) este continua

> 2,

E

N, n

b) Aratati ca, pentru orice n

E

N, n e: 2, ecuatia In (X) =

99. Pentru orice n

a) Aratati ca ill punctul t =

°

°.

E

2

3

n

(n +.!.)2

-In

este strict descrescator.

N, n> 3, se considera functia j, :JR ~ JR, In (X) = sin" x ~i se noteaza

I "(x)

b) Aratati cii sin xn

= n(n-l)sinn-2

=~

In : [0,
E

N, n

> 2.

= xn+1

-en + 2)x+

n, n E N* .

(0, ~) .

rn , unde

n EN, n

JR, pentru orice n E N, n > 3.

?3.

lim I(xn)


1 /

si..siru l( an )

a) Aratati cll functia

b) Aratati cii , 2(k+l)

I'

n_" >1'

an=

1

r+

1 r;;+"'+

1 2" 2

1 r:: n-s n

este strict cresciitoare pe intervalul (0, co) .

1

Jk+i k+l

1 < r. -Jk

t2:1

1 r;-:-:;

-Jk s-).

<~

1

2k"k

. , pentru once k

E

N* .

este convergent. Bacalaureat 2009, varianta 33

N*, In are exact un punct de extrem xn.

xn este punctul de extrem al functiei In' n

orice

E

n400

c) Demonstrati ca sirul (an

a) Aratati cii graficele functiilor In nu admit asimptotii spre +
n: 1 ,pentru

sin" x, x

" X


b) Aratati cii, pentru orice n

c) Calculati

x-n2

100. Fie functia 1:(O,
are solutie unica,

c) Calculati lim xn' unde xn este unica solutie a ecuatiei In (X) = 0, n n400

n400

= 1 +.!. +.!. + ... +.!.

y

functia In este convexa,

a) Aratati ca, pentru orice n

c) Calculati lim (xn

x+

cu Xn abscisa punctului de inflexiune a graficului functiei din intervalul

N, n ? 2 se defineste functia In : [0, oo] ~ JR, In (x) = x" - nx-1.

i. Se considera functiile

+ In (22X + 3 ) .

pentru orice x E (0,

l. Pentru fiecare n

x-t l

JR .

b) Aratati ca fie care functie c) Aratati cii functia

x E (0,
1

= _1_

Bacalaureat 2009, varianta 68 Bacalaureat 2009, varianta 8

J; '(x),

functia I: (0, oo] ~ JR, I (x) '

a) Calculati f'(x),

'/

n400

E

Se considera

c·• Aratati ca sirul (x n ) n2:I' x n

(0, ~), Vn EN.

lim xn

I. Pentru fiecare t

98 •

'Vn E N*.

1;.

a) Determinati asimptotele graficului functiei

este convergent.

... +~-lnn,

E

N* .


t. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x)

= ~V.

2 a) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 0. b) Aratati ca, pentru orice numar real kE(O,
=

1~

exista

cE(k,k+l)

astfelillcat

•

~c c) Demonstrati ca sirul

(an)

n2:I'

an = ~

+~

+ ... + ~

- f( n) este strict descrescatotBacalaureat 2009, varianta 69

• 117

Tema

~. J~=lnlx+al+C, x+a

3.2

Primitive.

4.1. J.!...a=lnlxl+C,

J x2 _a1 2 dx

Primitive.

I:

Definitie. Fie I ~lR un intervaL Spunem ca functia 0

functie derivabila F: I ~ IR astfel incat F' =

5.1.

I ~ IR admite primitive daca

I.

I:

I ~ lR admite

0

primitiva, atunci exista

0

0

infmitate de primitive ale

I:

primitiva a functiei I: I ~ lR , atunci J/(x)dx

= F(x) + C ,

0

bEIR.

.

D=lR\{±a}.

2 1

J bdx

7.

7.1.

I ~ lR care admite primitive are proprietatea lui Darboux. Daca f

I:

functie

aElR',

aEIR',

a

x

a

•

E

2

2

2

= In(x + ~ x + a

)

+ C, a

E

(2

x 2 dx = -In 1 x +a +a 2

2) + C, a

E

IR

•

lR, D = lR .

x +a

au are proprietatea lui Darboux pe intervalul I, atunci nu admite primitive pe I. S. Daca

E

2

.mde C este multimea functiilor reale constante. 3. Orice functie continua I: I ~ R admite primitive. 4. Orice functie

+ C, a

ax+b IR . , D = IR\ {}±a

x 2dx=..!.ln!x2-a2!+C,

x2 -a

1

sale. Multimea acestor primitive se noteaza cu J/(x)dx. 2. Daca F: I ~ lR este

4.2. f~=..!..lnlax+bl+C,

lR , D = IR. J x2 +a 2dx =-arctg-+C, a a 6.1. ~ 1 Jx +1 = arctgx + C , D = lR. 6.2. Jx

6.

Observatii. 1. Daca functia

J

Ix-al x+a

1 = -In -2a

D=IR\{-a}.

D=IR·.

x

5.

exista

aEIR,

I ~ R are un punct de discontinuitate

de speta I, atunci

I

nu

x J "xJ.)""?dx +a 2

2

rr=:

= " x- + a- + C, a

•• J~dx=lnlx+~x2-a21+c, x2 _a2

E

·

lR , D = lR .

aE(O,+oo),

D=(-co,-a)u(a,+oo).

idmite primitive.

I, g :I ~ lR doua

Proprietati. Fie

1. Daca functia I: I ~ lR este derivabila pe I, atunci Jf'(x)dx

2. J(al(x)+

pg(x»)dx

= a J/(x)dx+

8.1. Jhdx=~x2-a2

functii care admit primitive. = I(x) + C .

t.

I~

dx = arcsin'::' + C, a

a2 _x2

p Jg(x)dx.

3. Formula de integrare prin parti: Jf'(x)g(x)dx

= I(x)g(x)-

+C, aElR',

D=(-co,-a)u(a,+oo).

x2 -a

9.1. J~dx=-~a2-x2

J/(x)g'(x)dx.

E

(0, +00), D = (-a, a) .

a +C, aEIR',

D=(-a,a).

a -x 10. Jsinxdx=-cosx+C,

Formule utile 1. Jadx=a.x+C,

aElR,

xa+1 2. Jxadx =-+C, a+l

a

2.1.

X2 xdx=-+C,

J

2

2.3. J~dx 2.5.

E

J

lR \{-l}

12. Jtgxdx=-lnlcosxl+c,

, D =(0,+00). 2.2. JJ";dx=-xJ";+C,D=[O,+oo).

+C, D = lR.

= 2~x+a

13. Ictgxdx=lnlsinxl+C, 2

D=lR.

-:=

,2-dx "x+a

D=lR.

+C, a

3. Jaxdx= ~xa +C, aE(O,+oo)\{I},

2.4. E

J

l

3

dx =

2J"; +C,

14.

I-.-12-dx=-ctgx+C Sill

D =(0,+00).

1S.

D=JR;

11. Jcosxdx=sinx+C,

D=IR\{(2k;1)7T1kEZ}. D=JR\{k7TlkEZ}. ,D=lR\{k7TlkEZ}.

X

I cos1 x dx = tgx + C , D = lR\ {( 2k +2 1)7TI k -2-

D=IR.

}

Z .

E

-----------------------------------------------------

lR, D = (-a,+oo).

Probleme propuse D=lR. 3.2. Jeaxdx="!'eax +C, aEIR·, a

1. Fie functiile F: lR ~ JR, F(x) = (x2 + X + 1)e-2x si I: lR ~ R, I(x) = (_2X2 _1)eD=IR.

2x

.

a) Aratati ca functia F este 0 prirnitiva a functieij"

b) Aratati ca functia F este strict descrescatoare pe IR.

• 119

c) Aratati ca functia F este convexa pe 1R.

9. Se considera functiile F,f:

. 2. Se considera functia f: (0,+00) ~ 1R,f(x)

=

lox --Ix .

al Daca F este

0

.. 1·j, 1 1 . li F(x)-F(1) primitiva a Ul ,ca eu atl m

b) Daca F este

0

. .. I·j, I I . lim F(x) primitiva a Ul ,ca cu an -.

c) Determinati

a, b, c E JR stiind ea functia F este 0 primitiva a functieij.

'.I

(0, +00) ~

a) Aratati ca functia F:

JR, F(x) = 2--1x(10 x -

b) Sa se arate ca orice primitiva G a functiei

3. Se considera functia a) Aratati ca functia

I:

JR~ JR,I (x ) =

I este

eo primitiva a functieif

x->_

1 2

= -3- arctg

ca

10. Aratati

exista numerele 2 F(x) = (ax + b) eos x +cxsinx

•

x +x +l

(2X+l)

/3

,x

E JR, este

0

reale

a, b,

c

4. Se considera

F: JR~ JR, 2 este 0 primitiva a functiei I: JR~ JR, I(x) = x sin x . X3

stiind ca functia I:JR~JR,

Ieste

I:

functia

JR~ IR,

I (x)

12. Aratati ea functia I: JR~ JR, I (x)

2

= eX(x + X +

a), a E JR~i

F: JR~ IR

0

.

.. d

x

ca

limF(x)-F(1) 2 x->l x -I

= {x}(


I 4

I:

JR~ JR,

I (x)

14. Determinati

l(x)=e-X(ax2+4x+a),

aEJR'~i

F:JR~JR

a E JR

pentru

care

{

IR ~ JR, F(x)

15. Se considera functia G: JR~ IR, G(x)

=

X

= (ax + b)rX

,f(x)

= xrx

considera

functiile

f(x) = ,J3x + 1 . Determinati 8. Se dau functiile F,f:

F,f:(

. Determinati

-~,+oo ) ~ JR,

a,b E JR pentru care

0

primitiva a functieif

= (ax2 + bx + c),J x + 1, f(x)

= xJ; + l-

0

... ~ I·j, I I . I· F(x)-F(l) pnmitrva a Ul ,ca cu atl im 2 x->l x-I

b) Daca F este

0

primitiva a luij, determinati intervalele de monotonie ale lui F.

c) Determinati

a,b,c E JR stiind ca functia F este

'.I

~F aca este

0

lA. ~

lll> lA..

Xs1

2'

{ 1o(x +x-l)+ax+b,

.

x> 1

X2012+ x pentru x < 0

F(x) = (ax+b)/3x.0,

a, b e JR stiind ca functia F este

(-1, +00) ~ IR, F(x)

I : lll>

Determinati a, b E JR pentru care G este primitiva unei alte functii g: JR~ JR.

16. Se considera functiile F: JR~ JR, F(x)

.

primitiva a functieij"

=

a {

primitiva a functieij.

0

[a]

F: JR~ JR,

functia

+x pentrux < 0 . .. . I fun .. este primitiva unei a te ctu 2 1o(x + 1) + ax pentru x ~ 0

c) Aratati ca pentru orice a E JR, functia F are doua puncte de inflexiune.

aiD

admite primitive, unde

X4

F(x) = 0

b) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare pe JR.

7. Se

2

2X2 -x x->o

functia F este

(1 +2x)1r

este partea intreaga a numarului real a.

= -.

.. .. d lim F(x) - F(O) eterminati a stun ea = 1.

6. Fie F,f:

10(x + I) + b pentru x > 0

1-{x}) admite primitive, unde {a} este

= [x] cos

primitiva a luij a)

a pentru x=O

I(x)=

parte fractionara a numarului real a.

c) Determinati a stiind ca functia Fare doua puncte de inflexiune.

S. Se considera functia I:JR~JR,

+ cos x pentru x < 0

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat.

a) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare. b) Determinati a stun

functia

admite primitive.

injectiva dar nu este surjectiva.

primitiva a luij

D

meat

ca orice primitiva a functieij'este strict crescatoare.

d) Determinati punctele de inflexiune ale functiei F.

,I

astfel

{

c) Aratati ca orice primitiva a functiei

.

X

primitiva a

11. Determinati a,bEIR

functieij" b) Demonstrati

.

x-I

x->I

X •

strict crescatoare pe [1, +00) .

2/3

F: JR~ JR, F ( x)

2)

= x(a In2 x + b 10 x + c), f(x) = 102

(0, +00) ~ 1R, F(x)

pentru x

x2lnx+bx+c

=0

pentrux > 0

Determinati a, b, c E IR stiind ca functia F este primitiva unei functii

17. Fie a,b E JR si functia F: JR~ JR, F(x)

=

I :JR~

JR.

.. ax+b, xcl . Determinati numerele { 102 x+ 1, x ~ 1

a si

b pentru care functia F este primitiva unei functiij"

18. Fie a,b E JR si functia

axex -x x s0 I: JR~ JR, I(x) = { ' . Sa se determine xcosx+b, x> 0

numerele a si b stiind ca functiaj este primitiva pe JR a unei alte functii.

• 121

.

!to Determinati

.

a E JR.pentru care functia I: JR.~ JR., I(x) =

{

X

2012

pentru x < 0

c)

2-

admite primitive. ~. Se considera functia f: JR.~ JR.astfel inciit xf (x) a) Determinati b) Pentru f c) Pentru

f(O)

=

~ f'(x)

dx ;

e

e) ff"(X)f(x)-U,)2 f2(X)

arctg x, '\Ix E JR..

(x) dx


,

stiind ca functiaj admite primitive.

(0) = 1, aratati


ca orice primitive F a luif este strict crescatoare.

I'im --, F(x) f ( 0 ) = 1, ca 1cu 1an. I"uruta x-++oo X

unde F este

0

primitiva a functieij

a) Calculati

a) f:R~R,

f(x)=

b) f:R~R,

f(X)={S~X,

{

. Inx+smx,

c) Determinati n, pentru care functia

x> 0

.

=

-c-. x +4

n EN.

f-t; ( x ) dx ~i fA ( x ) dx .

b) Aratati ca orice primitiva a functiei

x~O

X,

I, :JR~ JR, fn (x)

•

ca functiile urmatoare admit primitive.

1. Aratati

f rex)

xalnx + x pentru x » 0

h este J"

0

functie bijectiva.

admite primitive injective.

26. Pentru n E N' se considera functiile fn : (0, +00) ~ JR,fn (x) = xn In x . a) Demonstrati ca primitivele functiei

x:;tO

J;

sunt convexe pe intervalul [~, +00) .

1, x=O b)CaJculati

R ~ R, f(x)

elf: '/

= {xe. x, x

s0

Variante bacalaureat 2009 n


2. Aratati ca functiile urmatoare nu admit primitive. 2 ={ x ,

XE(1,+oo), n~2.

x> 0

smx,

a) f: R ~ R, f(x)

f f~(:)dx,

s0

X

x+3

a) Calculati

.

xlnr +I, x> 0 _{arctg3(X-2), b) f: JR ~ JR, f( x ) x -8

I, :(-3, +00) ~ JR,fn ( x) = _x_, n EN.

fJ; (x)dx

~i ff2 (x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functiei

h este

crescatoare.

c) Determinati n, pentru care functia fn admite primitive descrescatoare

x:;t2

pe intervalul

(-3,0).

1, x=2

n

c) f:R~R,

f(x)

X

= {xe


+1, x~O sin x, x> 0

e a) Calculati

3. Fie f: R ~ (0, +00) a) fu(x)

rX

b)

+ cos x- f(x))dx;

X f(x)-e f'(x) f2(X)

n Jl

f(X))dx; x2 + 1 e) f(sinx, f'(x)

c) ff'(x)-

f(x)

"(x) + f'(x))eXdx;

J; (x))dx.

dx ;

eX -cosx·

f(x))dx

c) Aratati ca orice primitiva a functiei f2012 este concava pe intervalul

;

0

(--
.

d) Determinati toate numerele n E N' pentru care orice primitiva a lui fn este convexa pe intervalul

(0, +00) .

i I

functie de doua ori derivabila. Determinati,

in functie de f,

'5 ~ ~

urmatoarele primitive. a) fu

si f(fo (x)-

b) Fie Fo primitiva functiei fo care indeplineste conditia Fo (0) = 0 . Calculati Fo (1) . f'(x)·arctgx+

dx : ,

4. Fie f: R ~ (0, +00)

ffo (x)dx

functie derivabila. Determinati, in functie de f, primitivele:

+ f'(x))eXdx;

d) f(sinx. f'(x)

1)

0

I, :JR ~ JR,J, (x ) = xx' n EN.

b) f(-f'(-x)+

f(-x))eXdx;

5~ • 123

5. Formula

Tema 3.3 Funclii integrabile.

6. Teorema

a,b

a,b]

JR, a < b,

E

/j. == (a == Xo < XI < x2 < ...< xn == b)

~i ~==(~P~2' ... '~n)

ntermediare

asociat

cu

diviziune

0

iE{1,2, ... ,n}

~i E[Xi_pXi],

i ==

u :[a, b] ~

I, n} se nume~te

n

forma diviziunii /j.. Pentru functia f: [a,b] ~ JR notam a(J,/j.,~)

(a,b)

r

astfel incat

J

(J

)(Xi -xi-!)

,

este

b

==

-

r

f(X)g'(X)dx.

Daca functia f: [a,b] ~ 1R este continua, atunci (b - a)f(c)

==

de varlabila.

un

f(x)g(x)l!

interval)

.

Fie functia f: J ~ IR continua ~i functia

continua

cu

derivata

continua,

atunci

u(b)

fU'(x)f(u(x))dx

== Lf(~i

f(x)dx

1. Prima formula de schimbare

de puncte

fa f'(x)g(x)dx

de medie pentru integrale.

a intervalului

un sistem

/j.. Numarul 11/j.11== max {Ixi - Xi-!I I

diviziunii

E

Daca in plus functiile f si g sunt derivabile cu

prin parti.

derivatele functii continue, atunci

exista c Fie

de integrare

f f(t)dt.

==

a

u(a)

i~1

iumita ~i suma

Riemann

asociata

functiei

j, diviziunii

/j.

si sistemului

de puncte

==

611->0

f: [a, b] ~ IR este integrabild pe intervalul

~i)(Xi -Xi-!)

lim :tf(

116~->0i~1

[a, b], daca limita

este finita. Aceasta se noteaza cu

r

b

cootinuape f(x)dx

n

diviziunea

echidistanta

j:

':>

!. Daca f: [a, b ] ~

j: j: ) == (j:':>P':>2' ... '':>n

j:

CU

IR este functie menotoua,

[ a, b ] ~ lR. este functie continua,

~.Daca f: [a, b]

~

f:

':>i

== - i

n

E

[i iJ . Jf ( -I n n

-,-

X)

o

[0,1] ~

lR,

,

1==-I ,n.

si sistemul

f este

atunci

Derivata

unei

integrale.

F(x) == ff(t)dt

f :[a,b] ~ IR este

t.

r

(J(x)

continua

f: [a, b] ~ IR

si F: [a, b] ~ IR ,

0

primitiva a functieij; adica F'(x) == f(x)

.

de speta I, atunci

!:t

f: [a, b] ~ IR continua ~i functia

u: I ~ [a, b],

(I

este un interval)

este

x

derivabila cu derivata derivabila si F'(x)

(~). n

continua,

atunci functia

F:[a,b]~JR,

[a, b]

.

F(x)== ff(t)dt

este

f(u(x))·u'(x).

Daca functia f: [a, b] ~ [0, +00) este integrabila, atunci

.

cu exceptia unui nuroar

[a, b] .

integrabila pe intervalul

==

10. Proprietati de monotonie si marginire.

[a, b]

integrabila pe intervalul

f este

'.1. Fie

r

Daca functiile

s

f(x)dx

r

g(x)dx

f,g:[a,b]~lR.

sunt integrabile

r

f(x)dx

si f(x)~g(x),

~

°. VXE[a,b],

atunci

. defmite. Fie f: [a, b ] ~ IR

0

functie continua.

importante Leibniz-Newton

r

Fie functia

. Atunci functia F este

Aplicatii ale integralei

uij, atunci

f(qJ(t))qJ'(t)dt.

a

dx == lim f n->+«> n i~1

[a, b]

de

Daca~ fun cpa .

atunci f este integrabila pe intervalul

lR. este functie continua pe intervalul

init de puncte de discontinuitate

[0,I],

a intervalului

IR este integrabila pe intervalul [0, I] ,atunci

Formula

f q>-'(a)

a

n

. di nmcte mterme lare

Proprietiti

functie bijectiva,

x

(0 < !< ~ < ...< !!.. == I) -

I. Daca f:

0

a

• De cele mai multe ori In exercitii intalnim urmatorul caz particular.

r :[0, I] ~

~ [ a, b]

q>-'(b)

ff(x)dx== a

,.

n

[a,b)'atunci

.

Observatie•

~ ==

Fie qJ: [c, d]

de variabila.

I

Functia

lim a(J,/j.,~)

de schimbare

tp, qJ-I derivabile, qJ continua ~i tp' (t) '* 0, Vt E [ c, d] . Daca functia f: [a, b ] ~ IR este

ntermediare ~. Definitie•

8. A doua formula

0

(formula

functie integrabila

f(x)dx

==

+ g(x)) dx

==

fundamentals

a calculului

care are primitive, si F este

0

integral).

Dacli

primitiva oarecare a

f(x)dx

+

x::::a si X == b este egala cu

r

r

If(x)

axa Ox si dreptele de ecuatii

I dx .

12. Volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul axei Ox este egal

F(b) - F(a).

r

11. Aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functieij,

r

~.Aditivitatea in raport cu un interval.

g(x)dx

r

.

f(x)dx

3. ==

r

r

r

f(x)dx,

f(x)dx,

Vc

J,.,f(x)dx == J,.,

f(x)dx+

r

CU VI ==

V J,., E

[a,b].

E

lR.

1[

f2(X)dx.

~---------------------------------------------------

• 125

Caleulati urmatoarele integrale (prima formula de sehimbare de variabila): .r; s: e,h I 2 II) Jxsinx dx; b) fx2eosx3dx; c) Vrdx; d) fx-/x2+1dx; o 0 I 0 e In2012 X K "/3 sindx g) . e) f-dx; j) feosx.sin(sinx)dx; ;r/61+eosx I x 0 , Calculati urmatoarele integra Ie (a doua formula de sehimbare de variabila): • dx II) + Idx ; b) eX + 1 .

Probleme propuse 1. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton). I

a) f(x2+1) o

2

dx;

f x-"x r)2

2(

dx;

c)

0

d) 2fx2 +x+l I

b)

dx;

e)

~

I

2r( X+.!..)2 dx;

"X

2fX2 + X + 1 dx ;

1

X

j) f_l_dx; 0 -/x+2

!~ x

1x-/ x

2. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).

~1)2

I

a) f(x-ex)dx;

d)

b) J~ex _ex

),(2'-Z-'jdr;

e)

I

dx;

1 a) f-2-dx; ox+l

1 5)dr; 12- '

J)

3

3

e) fx 2

-x+2

j)

dx;

2

b) Calculati

x -1

g)

If-3x

+

X

1 a) f~dx; o x +1

b)

If 0

1 ~dx; 4-x

.fj d)

fx I

+ x + 2 dx :

~

l-x2

x2 +1

3

d) f~dx·

2" rr:':: -1

dx ;

/4 --dx [KI6sin 2 x

j)

;

2

£"/4 --;dx 2

o I

d) fx{x}dx;

0

I

I

2·

d)

[

etgxdx; KI6

fxeosxdx; e1

e 2

j) fin xdx ;

I

g)

Jx

2

e

In xdx ;

h)

j In x dx ; 1£

= x-sinx.

f I (x ) dx .

x~_r

de grafieul functiei

J,

axa Ox ~i

.b I(t)dt

c) Calculati

Aratati

ca

lim

x2 I,F:JR~JR,J(x)=

F'(x) + 2/(x)

=

x 2 x+2x+2 4

1

~i F(x)=aretg-2- -. x+l

o.

I

b) Calculati

c) Calculati

fl(x)dx. o

n~_

lim fl (t ) dt . o


I:

JR ~ JR, I

(x)

=

ex2 .

I

d) 1x2e-xdx;

J In2 dx . X

eX

Calculati

g : JR ~

e) flnxdx;

JR, g ( x ) = x3 I (x ) , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 . I

c) Aratati ea fl(x}:ix

e2

i)

f

xf (x) dx . o b) Determinati aria suprafetei plane delimitate de grafieul functiei

Il)

-I

c) 1xexdx;

x

n

x

7. Calculati urmatoarele integrale (formula de integrare prin parti): a) fxsinxdx;b)

sr F() X = --eosx .

I.

b) Determinati aria suprafetei plane determinate dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1l .

Il)

j) f\x-aretgx\dx.

-I

2

f I (t ) dt .

2

e) f\x-sinx\dx;

-I

Calculati

/4

c) fx[x]dx;

0

x

K

12.Seeonsiderafunetiile

1:

b) f\x2-1\dx;

a) f\x-l\dx;

lim n-H
x-

[13 2 dx g) eos2 x KI6sin xeos 6. Calculati urmatoarele integrale (aditivitatea la interval). e)

'

Il)

If z +I c) ~dx; 0 x +1

E

eosx+xsinx.

nK

c) Calculati

1dx .

If 1 If X j),.-:-;:-:; dx ; g) r=:» dx . 2 2 o -I ,,4-3x -I ,,4-3x 5. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton). KKK a) fsinxdx; b) eosxdx; c) tgxdx; o 2f l+x

()

JR, I x = -

f I (x) dx .

3

I

e)

~

K

4. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton), I

0, +
11. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x)

2

0

()

2K

2

~3 dx ; OX +

I, F:

a) Aratati ea F este 0 primitiva a functiei

I

1

If

O• Se eonsidera functiile

L~dr

+1. fx c) -2-1dx, ox+

1. b) f~4dx, oxI

..

c) j(2X +Tx)dx;

3. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton). I

1

E

(1,2).

o

• 127

14. Se considera

(x)

functia f: JR ~ JR, f

x t2 [-2- e dt.

, I'(x).

l

=

ot +1

f'(x) . b) Aratati ca f(x) ~ 0, c) Calculati lirn f(x). x-+_

, ti punctele de extrern ale functiei f , cl graficul functieij" nu are asimptote la +00 .

a) Calculati

x2

Vx E (0, +00) .

t2012 f-2-dt.

f:JR~JR,f(x)=

functia

_xt

x'\.l

::em

I(-x)=-/(x). l(x)~O, VXE[O,+oo)

VXE(-
f(t4 -4t

2

o +3 )Jt4 + Idt.

51 se arate ca functia I este integrabila pe intervalul [0, ; ] .

o a) Calculati f' ( x ) .

.

b) Calculati hrn

1r

I(x)-

1(0) x

x-+o

2

51 se arate ca

.

f I (x ) dx

I:

JR ~ JR, I

(x)

= _I

de graficul functiei

J, axa

Ox Ii

Calcu1ati lirn f

~

c) Calculati

18. Se considera functia f: JR ~ JR,f

a) Sa se calculeze f(t + 1)/(t)dt 3

z:

28

~ ArItati ca qArltati

.!. O.

n n~I'

e)Cat CUlati II'

x x

c) Sa se calculeze

lirn x-++oo

z:

•

. 1+ P )

.

I ureal2()1J9 Variante baca a

ff(t)dt. I

C

cc ~

fe-x1dx •

=

o

II

oca::

) (

I

D

~ oJ cc

1

= 2

II

.

(t)

( 1+ t

I:

"" ::i

(I n )n~l) I n

o Arltati ca e' ~ x+ 1, Vx E JR .

~ ~

~ e

dt .

n

f_e-/(x)dx. x

J

_/4

(x) ,

considem sirul

_Il+e

II II

fe

x Arltati ca functia I este injectiva. Arltati ca functia f on este surjectiva.

x

2

~

=

x-+o

o I

JR.,f (x)

o

)dt E JR .

2

JR ~

-2 .

x

x'!ex, fl(t

)

Variante bacalaureat 2008 x

I:

considerA functia

I+ x a) Determinati aria suprafetei plane determinate dreptele de ecuatii x = 0 ~i x = 1 . b) Aratati ca

:5: cos 1.

I

c) Determinati multimea punctelor de extrern ale functieij"


x


JR .

f x I (x ) dx .

se calculeze

x

=

E

1r

l(x):5:0,

~i

I: JR ~ JR, I(x)


.

, c! functia/este strict crescatoare. c! graficul functiei/nu are asirnptote. 0 functie I: JR ~ JR, cu proprietatea ca xf ( x ) = sin x, Vx

~

x-+o

c) Aratatica

2

f arcsin -;'-dt t +1

I(x) x-I'

. lirn

culatt

+1

a) Calculati lirn I (x ) . b) Aratati ca

[1, +00) ~ JR, I (x) =

I

x

15.Seconsidera

I:

'derA functia

f: JR ~ JR, f(x)

=

f ~dt.

0

xn

fl

n

~

ca ~irul

dx

2 0

.

x +2012

~ Arttati Ca I n+2 + 2012'1 1 e)Cat. n=n+I,VnEN. CUlatl lim I "-'+
~

I =

•

n·

(I ) n

n~1

este descrescator.

• 129

e) Calculati

1<

nI n •

nlim ..• _

Se considers sirul (In

'2 2 = Jcos x dx .

I

t~o' In

c) Aratati ca Jf(x)dx o

2

f(l- X )2n 1n(X2 + l)dx .

=

0

t-Jn

I

0) Calculati 10,

d) Calculati

b) Aratati ca sirul (In )n~1 este convergent.

lim

2

_k2 Variante Bacalaureat 2009, enunt adaptat

k-I

n2

n..• -sec

2

e) Calculati

In'

nlim ..• _

.

•

Se considera sirul

()

30. Fie sirul (In

In

In

~I' n

1

0

1

I

= C2n--C2n

1

2

+-C2n- ... +--C2n· 3 2n+ 1

2

Calculati

2n

0) Sa se calculeze II . b) Sa se demonstreze ca (2n+l)In

f (1- t dx . X

c) Sa se arate

o

I

b) Calculati

nlim ..• _

f(1-

X

o

e) Calculati I

Fie functia

nlim ..• _

I:

t

(In

dx . 31. Fie sirul

JR ~ JR,J

(x)

=

(Int~l'In

f(x-x2)"

=

dx, V'nEN·.

Sa se calculeze 12,

n b) Sa se demonstreze ca In = --In-I>

1+~ . l+x 0

primitiva a functiei

I.

c) Sa se calculeze

fl(x)dx.

lim In'

Bacalaureat 2009, model subject

[1,2] ~ JR, I (x ) = x2 - 3x + 2 .

I:

4

o

0) Calculati

. 1 ( an ) neN', an = £"'-2--2' ~ n +k e/.\ S~a se arate ca~ siru k=1 n +k

JR ~ JR, I

(x) =

fl( Fx)dx . 1

Vn E "T' 1'1 ,este convergent. Bacalaureat 2009, model subject

b) Calculati aria suprafetei delimitate de graficul functiei g: [1,2] ~ JR, g (x) = I (x) x si de axaOx.

2 1 . x +2x+2

2

c) Aratap ca (4n+2)

2

fr

~-I 4

(x)dx+ n fr-1

I

f I (x ) dx .


-I

= 0, Vn

E

Bacalaureat 2011

N°.

I: JR ~ JR, I(x)

=

x

201;

+1

.

1

fl(t)dt lim ~o__

(x)dx

1

x

x ..• _

N, n ~ 2.

E

n ..• -sec


I:

Vn

4n+2

I

b) Calculati

catre 0.

o

0) Aratati ca F: JR ~ JR, F (x ) = arctg x+ ~ In ( x2 + 1) este

0) Calculati

t~ltinde descrescator

n~2. Bacalaureat 2009, model subject

0)

, Se considera functia

ca sirul

=2nIn_1> VnEN,

1

In'

b) Sa se calculeze

dx, Vn EN'.

o

I

0)

LI' In = f( 2X_X2)"

0) Calculati fX2011·/(x)dx. o

X

1

c) Calculati

lim (

n

n..•-scc 2n2 +2'n+12

• Se considera functia

I:

+

+ ...+

n

n2 +2.2n+22

[0,1] ~ JR,J

(x)

=

-.ft -

x2

n

2n2 +2.n2 +n2

).

b) Calculati

lim fxn. n ..• -scc o x

•

e) Arati ca lim X •••

I

f

xf (x) dx . o b) Determinati volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul lui Ox.

0) Calculati

I (x "fix .

-seo

fl(t)dt

E

JR.

1

x

34. Se considera functia f: [0,2] ~ JR,

I (x)

={

pentru x

x + e'

E [0,1]

pentru

x

E (1, 2]

• 131

a) Aratati ~Afunctiaj este inte~abiIA, dar nu admite primitive. b) Determinati ana suprafetei plane determinate de graficul functiei dreptele de ecuatii x = 0 si x = 2 .

f, axa Ox ~i

40. Fie sirul (In

)n~I' In

n+12x-1 =

2

lim

-'.1 __

35. Se considera

0

b) Aratati ca sirul

-

n

n-•.•.eec

functie continua

~i strict crescatoare

f :[0,2012] ~ JR.

Aratap ca

c) Calculati

(In)

g(x)=

ff(t)dt-rf(IOO6)

nuesteinjectiva.

lim n(2 -

41. Se considera sirul (In

o ~I '

In

=

n

f--dx. I x" +1

c) Sa se calculeze

t~1este descrescator, Aratali ca sirul (In t~1este convergent.

b) Aratap ca sirul (In

d) Calculati

lim

fx I

~

~ Q

n~1

a)

0

2

b) Aratati ca sirul (In

~ ~

c) Calculati

lim

n

x

.

+x+1

Bacalaureat 2010

43. Se considera sirul (In

(I n )n~'

.

a) Determinati

a) Calculati 13, 1

2 n=s»

2n-1

'Ix

N,- n> 2 .

\fnE

(I-.!+.!-.!+

3 5 7

n---Hoo

-Ir---

...+(

c

o

f (X2 +x+I)n I

39. Fie sirul (I )

n n~O'

E

e

I-)

I-

• iJ

I = n

2

0

..•

a) Calculati 10,

I:

b) Verificati daca 12 - 10 E Q

-x

. numerele

I

I =

1.

n

2n -I

E

n

0

reale a.b si c 'fstiind ca 'f

I

x3 +X2 +x +I

a bx+c x +I + -2 x -+1

= --

[0,1].

44. Se considers sirul

(In )n~O'

+ II + 10 este rational, pentru orice

- I4n+1

0

I = n

=I .

n

f x3 +X2x +x+I

0

Calculati II + 13 . b) Calculati lim In . a)

•

I d) Aratati ca lim nI n = - . n--++«> 4

. EN.

Q.

f x3 +X2x +x+I dx, 'rIn EN.

Bacalaureat 2011, model subiect

e) Aratati

ca 12n+3+ 12n+1 E JR\Q.

45. Se considera functia g: JR~ JR, g (x) 2

x +x+

n--++«>

dx

x +1

c) Aratati ca 14n+1 E Q oricare ar fi n

E

t~o'

I

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat

~

I 2

f (x) dx= 0 .

c) Aratati di numarul I4n+2

ca sirul (In t~o este convergent.

e) Sa se arate ca lim

=

b) Calculati 10,

c) Aratap ca numarul 10 +12 +...+12012.este irational. d) Aratari

(x)

c) Aratati ca Rx( x2 + I)6n+1 + X3n+2 o

In •

n


Jf( x)dx

t~1este descrescator,

b) Sa se arate ca 12 =---12

.

lim In' n--++«>

b) Aratati ca lim fxn n--++«> o

n---H
38. Se considera sirul

+

I

dx.

;:)

oo

I

o

Calculati II + 12 + 13.

u: •

n

f f (x) dx .

a) Calculati

.t, =

2

t~I'In = f~lx

I

In'

37. Se considera sirul (In)

Bacalaureat 2010

•

42. Se considera functia f: JR~ JR,f

n-H
id

In)

b) Sa se arate ca In :s; I, 'rIn E N·.

a) Calculati 12,

c)

este marginit,

a) Calculati II'

I

2


n~1

n--++«>

x

functia g:[0,2012]~JR,

.

X

a) Aratati di sirul (In )n~1 este crescator,

JF(x)dx c) Calculati

f~

n

= e ---x

•

dx, 'rIn EN.

n EN.

,

I

f g (x ) dx .

a) Calculati

(1r)3 .

d) Calculati lim In n-+_

o

o

f

I

fx

b) Calculati

g( x )dx.

5

50. Pentru fiecare numar real a definim sirul (In ( a )) n:?:1' In ( a ) = (1 + sin x

3

o

o a) Calculati

n

c) Demonstrati ca sirul (In t:?:1 defmit prin In = fg( x3)cD: este convergent.

(1r) .

12 .

.

b) Calculap lim

I

12012

Bacalaureat 2011


t" In = f-j--dt 3

>0' n_

2

.

c) Aratati ca pentru orice a E (0,

.

t +1

(a)

a

0-+0 ..

a) Calculati 14•

51. Se considera sirul (xn

47. Pentru fiecare numar n

~ ~

s~ U

. j

E

N se considera functia t

d) Aratati ca sirul

r

dx = +
t:?:1 '

s, =

J( 1+ cos x r dx .

b) Aratati ca sirul (xn )n~1 este strict crescator.

J( 1+ sin x r dx .

2

d) Aratati ca lim xn = +
este convergent.

52. Se considera

functia

I:

JR ~ JR, I (x ) =

este divergent.

cosx 2-cos

2·

x

If

48. Se considera sirul (I )

I n n:?:I' n

a) Calculati II + 13

=

r"/\gn J /6

f I (x) dx .

o

c) Demonstrap egalitatea

In

=

b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este crescatoare pe intervalul 21f

c) Calculati 53. Se considers

f xf (x) dx .

o functia

n-+_

( ) 0,;

se considera sirul (In

(a) tl

' In(a)=

ftgnXcD:.

JR ~ JR, I

(x)

= arcctgx .

aE

(0,:)

sirul (In

(a) LI este

convergent.

f I (x ) dx .

o x

b) Calculati

a E 0, -1r) ,calculati 4

a) Calculati

o

()

(

I:

Bacalaureat 2010

I o

.

b) Aratati ca pentru orice

c) Calculati

fI(t)dt.

lim

X-+-

O

Ink lim - Larcctg-. n-+_ n k=1 n !!..

lim In

n-+_

[0,; ] .

n

f_x- dx. 2 I x +1 J3

lim In.

~

c) Pentru

2

a) Calculati

•

.

este convergent.

d) Calculati

XcD:

lf

b) Aratati ca sirul (In tl

a)

f

n

= ~t. J ot +1

•

(J" (I) to (J" (2)to

c) Aratati cll sirul

E

!

f· t

x I" () In X

(x)

hOl2 X2013

x-+o

~ l 49. Pentru fiecare a i~ Calculati II ;

!

f( 1+ sin x o

o

)

a..

JR ~ JR,

c) Aratati ca xn =

I

J

I"n: J,

Calculati ~ (1) + .t; (I) .

b) Calculati lim

i

n-+_

a) Calculati XI .

n-H«>

~

o

lim

o

c) Aratali ca lim In = +
...

1r) 2

b) Aratati ca sirul (In )n:?:Oeste strict crescator,

a)

r dx .

(a) .

n

f

54. Se considera sirul (In) n:?:l In = cos n XcD: . o

a)

j\r!itati ca functiajeste

Calculati II'

b)

b) Aratati ca 0 s In c) Calculati

s 7r,

c) Calcu1ati Ir1 (x)dx. .deral functi I: a

"In ~ 2 .

2

""·_x ..ului real x.

n-H
I:

JR ~ JR, I

(x)

= cos

x.

a nUIll"''''

a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei f, axa Ox si dreptele de 7r

2

Ix lim - J/(t)dt.

-x

(I)

{x}

este partea fractionara

J I(x ) dx .

c)

S s


0

2

56. Fie functia

unde

I

Sa se calculeze

If

c) Aratati ca sirul

I (x) = {x} ( 1- {x}),

o a functia/admite primitive pe JR. '\ Sa se demonstreze c t' b'I . 1 . 1"'+I/(x)dx nu depinde de numarul real a. a e arate ca valoarea mtegra ei .la

ecuatii x = 0 ~i x = - .

x ...•

lR ~ JR,

se cons 1

fun In'


b) Calculati

bijectiva.

4

(In)

n~1 '

In

=

I: [i,e] ~ JR, I(x)

Jr (x) dx este convergent. o

Bacalaureat 20lJ

61.

Fie functia

I:

(x)

JR ~ JR,f

1 = 1+ X2012

•

I

(I)

= ~lnx .

J xf (x) dx .

Calculati

-I

I

JI (

a) Sa se calculeze

eX )

dx .

1~/(x)f"(x)+(J'(x)Y]dx.

b) Calculati

o ....•

o

b) Sa se determine volurnul corpului obtinut prin rotirea graficului functiei axei Ox.

'"!!= i~

I

c) Sa se arate ca

Q

~

'5 57. Fie

functia

x2

Je

dx+

functia g.

o u

a) Sa se calculeze

;; ~

b) Sa se arate ca

'"~

~ ~

·

c) Aratati ca ~

= e.


I

1. Se admite ca functia

I are

inversa

+

c) Sa se demonstreze ca, daca

r

g(x)dx

~

•u

1I(x)dx

+

r

C)

g(x)dx ~ a.

~

-

arctg

r

J rl(x)dx+

I

c)Calculati

0

0

59. Se considera functia ecuatii x

= -2

I:

lR ~ JR,

b) Aratati ca functia g: JR ~ JR, g (x) =

o

x ...•

x3 + x2 +x+

~i x

=0.

2

= In(x + 1)

1I (x)dx .

c) Calculati lim

4 =

I(x)

X

J/(x)dx=7r.

I: JR ~ JR, I(x)

.

In (t3 )dt ~ x:!1 , '
63. Se considera functia a) Calculati

x.

64. Pentru fiecare 1.

a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei j, axa Ox si dreptele de

6

Aratati Ca

r IV

OO6

4

~

(x) dx x E [0 +00) (x+l) , ,

(x+l)(x+2) ...(x+n)'

J( x2 + 2) 13 (X2 ) dx .

I_~

~

~

=x

a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei j, axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 ~i x = 1 . b) Aratati ca functiaj" este bijectiva.

E:

In :[O,+oo)~JR,fn(x)=

12012 /2012

o

= 3.

a E [1,3], atunci

I: JR ~ JR, I (x)

fie functia

I

III 1&1

!5

J

b) Calculati



.

dt .

lJi

1

nErt

62.Pentrufiecare

a)Calcuap1

1:/4 -(2t+l-)

1I(x)dx

= X4 + x2 +

U

!

s J I(x)dx s 2. ~

J/(x)dx

I: [0,1]~ [1,3],/( x)

~

I

jurul

e

o

•

I in

x

n Ert

x

J I (t

2 )

dt este impara.

o

..

I

)dt

2013

se considera functia

1

In : JR ~ JR, In (x)

=

N.

i, , i

I,

b)Ar1itatica

!!. 2

" 2

fhoI2(sinx)dx= o

fhol2(cosx)dx. 0

n

_

!I (Fx)

a) Calculati

JR,I(x) = x2~X4 + I, g(x) =

JR, /" (x) 0'

ecuatll x =

~l

=

X

I

= ~ xn

1

e:

c) Aratati ca sirul (In

E

~

a

~

ffi

A.

~

de graficul functiei t

r

I J I ,axa

O. x ~l dreptele de

c) Calculali

'"

_

lim nI n •

I:

aria suprafetei formate de graficul functiei

a) Determinati

dx .

°

(x)dx este convergent la 1.

axa Ox si dreptele de

b)

Determinati

volumul

corpului

format

prin

rotatia

graficului

functiei

n

_

b) Aratati ca lim In =

0

°.

ca In

=

n+2

I =

n n~I'

n

]

kr xn Vr:---.,I_ 1-

2-L. X· c.« .

a) Calculati

_ lim In

numa

JR,/" (x ) =

1.1; (x)dx

=(n-I)In_2,

n

'inEN,

:

n~3.

natural 1

1+lx-nl

69. Se considera functia f: (0,00) ~ JR,I(x) = lox.

f (x)dx .

functia

hOI3 •

c) Calculati

}i~n J In (

Bacalaureat 2008

X )

dx .

3n-1


I:

JR ~ JR,I

(x)

=

x: + 2 . x +3 x

a) Aratati ca functia F : JR~ JR, F ( x ) =

JI (t) dt este strict crescatoare,

o

~

b) Calculati

E

II:

E

f

~(x) dx .

oX

+1

lim

...:;:x'-- __

e

n~

considera

.

I

c) Calculap

se

.

e

~

n

3n

III

a) Calculati Ix,

n~2.

b) Determinati intervalele de convexitate ale unei primitive oarecare a functiei

(n+2)In

c) Sa se calculeze

'inEN,

0

fiecare

/" :[0, +00 ) ~

n-2 .

a) Sa se calculeze II .

b)Sasearateca

Jr-2(x)dx,

o

_1_[2J2 - (n -1)1

68. Se considera sirul (I )

~ 4

c) Aratati ca nJr(x)dx={n-l) 73. Pentru

~

in jurul axei Ox.

-"4

a) Calculati II'

c) Aratati

= I (x)

g :[0, ; ] ~ JR, g (x)

In = Ixn~x2+ldx.

a:

~

J,

ecuatii x = si x = ; .

1

(Inti'

67. Seconsidera~irul

~

d

JR~ JR,I (x) = cos 2x .

0

III

Z

n


:;)

u

=

t~leste descrescator.

b) Aratali ca sirul (I n

+1.

tl'In = II"

t~1'In Jr J x + Idx, 'in ~ 1.

a) Calculali II'

U

;;

_

o

N' definim functia

.

:;)

~

'in ~ l.

lim nIn•

+00 .

1

i

n

71. Se considera sirul (I n

o ~

+X +1

b) Aratati ca sirul (In) n~1este strict descrescator.

2

Ix[.t;(ex)J

b)Calculafi

I(t)dt

dx, 'in ~ 1.

3 X

I

a) Calculati aria suprafetei determinate t"

f

0 X

dx .

66. Pentru fiecare numar natural n +00 ) ~

n

c) Calculati

b) Aratati ca functia g este monotona pe JR. c) Aratati ca graficul functiei g nu are asimptote la

/" : [0,

r

=

I al Aratali ca In+3+ In+1+ In = --, v n+l

= 1.

i.e. JR~


In

~I '

'v'

I

C) Aratati ca lim II" (sinx)dx o

n

I

•••• Se considera sirul (In)

n

Ir (x)dx.

I

c) Calculati

x~+oo

I" I(t)dt X

8 l'

Variante de subiecte

4.1.

Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

4.2.

Variante de subiecte propuse spre rezolvare

4.1 subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

Testull

Examen Bacalaureat, iulie 2012

sublectull 1. Calculati modulul numarului complex (l + /)2. 2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a graficelor functiilor 2

f(x)=x +2x

f: lR ~ JR,

si g:lR~JR,g(x)=-x-2.

3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, inecuatia 2x+l ~ 4 . 4. Calculati probabilitatea ca, alegand la intamplare una dintre submultimile cu trei elemente ale multimii A = {I, 2, 3, 4, 5}, elementele submultimi] alese sa fie termeni consecutivi ai unei progresii aritrnetice.

s.

Se considera vectorii ~ = i - 2} si ~ = ai - j . Determinati numarul real a pentru care

~.~=3. 6. Calculati cosinusul ungbiului A al triungbiului ABC, in care AB = 4, AC

= 5 si BC = 7.

Subiedul alII-lea

2X+Y+3Z=O 1. Se considera sistemul

{

x + 2Y + 3z = 0, unde m E lR.

x+y+mz=O

a) Calculati determinantul matricei sistemului. b) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul are solutie unica. e) In cazul m = 2, determinati solutia(xo,Yo,zo) a sistemului pentru care Xo > 0 ~i 2 2 2 3

xo+Yo+zo

=

.

2. Se considera matricea a) Aratati ca X(p)·X(q)

A=(33

-2)EM2(lR) ~i multimea G = {X(p) =12 +

-2

E G, pentru orice X(p),X(q)

pAlp E lR\ {-I}} .

E G.

b) Admitem ca (G,·) este grup comutativ avand elementul neutru X(O). Determinati inversul elementului X(p) in acest grup. e) Rezolvati ecuatia (X(p))l

= 12 + 7 A, unde X(p) E G.

Subiedul allll-lea 'l, Se considera functia f: R ~ lR,f (x) =

Xl

-12x .

a) Aratati ca functia este crescatoare pe intervalul [2, + (0) . b) Calculati

lim ~.

~-fW

..

!

:

.. I

e) Determinati multimea numerelor reale a pentru care ecuatia f(x) = a are trei solutii : reale distincte.

•

1~

2.Seconsidenlfunctia .1

a/

f(x)

1:(-1, +
=

2x+3

subiectul allll-lea

.

I: lR. ~

1.Se considera functia

Aratati . primitiva a luij" este strict crescatoare x+2 tap ca once pe (-I, + 00) .

= ~

.

x2 +3

ca functia I '(x).J x2 + 3 = 32- 9x , pentru orice numar real x.

a) Aratati

b) Calculati fl(X) dx. o z +I 2x f(t)dt c) Calculati lim -,,-x __ x

lR.,J(x)

x +3 b) Detenninati asimptota spre +00 la graficulj c) Determinati imaginea functieij" 2.Se considera functia f: (0, +00) ~ R, f(x) = lnx. a) Arlltati ca functia F: (0,+00) ~ lR.,F(x) = xlnx-x

f

este

0

primitiva a functieij.

b) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei f, axa Ox si dreptele de

Testul2

ecuatii x

Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva

=

1 si x

=

e. x

Subiectull

1

1. Calculati partea reala a numarului complex (1 2. Se noteaza cu XI, X2 solutiile ecuatiei x2 t Determinati a pentru care x 1 + x 2 + x 1x 2 -- 5 •

+ 2if -

3x + a =

°

unde a este un numar real.

3. Se noteaza cu g inversa functiei bijective f: (0,+00) ~ (4,+oo),j(x)

... ~

i

5u:

= 2x +3. Determi-

nati g(5) .

natele punctului M, stiind ca AM

'5

~ 6.

o

Determinati

x (0, tr), 2 E

=

.!. AB 3

x

stiind ca sin + 2cosx cosx

3.

Do

.

1. Se noteaza cu

tx« b, c) determinantul matriceiA(a,b,c)

~

ee 1&.1 \no

cj

is 1&.1

~ ~~:~ali tri

~Zs'

3

f(x)=x

_ ~

-e

~

•

=

°

= {2} ~i

coordonatele

varfului

parabolei

associate

,

a) Calculati f(i) + f(3) . b) Descompuneti in factori ireductibili peste Z polinomul P=X3 +2x2 c) Aratati "fun . s cllafnu este surjectiva. '/ tl ca

+4x +3A

B = {x

2

E

lR.lx + mx + 4 = O} f: lR. ~ lR.,j(x) =

functiei

s

E/U

si A(X)=(CO~X

a) Calculati det (A(Jr» . b) Aratati ell A(x)· A(y) = A(x+ y)pentru orice x,y 2.

'71

~J °°

13=(~ ~

1

atunci

+2x2 +4x+3.

-e ~

A

sunt egale.

2. Determinati

1.In M (C) seconsideramatricele 3

numerele reale x pen~. care m~tricea A(O, 1, x) are rangul egal cu 2.

ghi I l c~ daca a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi ~i D(a b c) un lU este isoscel. ,.

2. Se considera inelul (Zs,+,) si functia f:Zs

numarul real m stiind cll multimile

Subiectul alII-lea

3b2

a) Calculati D(O,I, -1).

~

subiectull

coliniari. 6. Calculati raza cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ell AB

=[~ ~ 3a2

~

Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea speclala

v

Subiectul alII-lea

c

ii 1&.1

1

=x2 -3x+2. 1og 3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia 3 ,x < 1. 4. Calculati probabilitatea ca, alegand la intamplare unul dintre numerele naturale de 2 cifre, acesta sll fie format doar din cifre impare. 5. Determinati numarul real a pentru care vectorii ~ = 37 + a } ~i = a7 + (2a - 3) } sunt

.

U

; z

Testul3 1. Detenninati

4. ASeA co~sidera m~llimea A = {I, 2, 3, 4, 5}. Determinati probabilitatea ca alegand la l~tiimp are una ~tre submultimile lui A, aceasta sa contina exact trei elemente. 5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(l ' 3) si . . coordoy B(7 , 12) . D e t ermman

•

x

c) Aratati cll (p + 1) ffP (t)dt + ffP+l (t)dt = XfP+l (x), pentru orice x ~ 1 ~i orice p > 0.

isinx

E

= AC = 5 si BC

~ iS~XJ'

°

13

c) Determinati numerele reale x pentru care (A(X»2012 = Pe multimea G = (0, 1) se defineste legea

xo y

de

2xy-x-

XElR..

cosx

compozitie

xy

=

6.

R.

[X] .

=

y+I

a) Aratati ca e = ~ este elementul neutru allegii de cornpozitie "0" .

asociativll

b) Aratati ca oriee element din multimea G este simetrizabil compozitie "0 ". e) Demonstrati

cli

t :G ~

~.

/

Jr\.+,

1 (x) = ~ -1

in raport eu legea de

este un izornorfism de la grupul (G, 0) la

0) Aratati cli as = a pentru orice a

b) Affitap cli polinomul grupul (ll(,·)

e) Aratati

Subiectul allll-lea 1. Se considera functia f: JR ~ JR,j(x) a) Calculati

E

= x +..Jx2

+1.

.

=

este strict crescatoare pe (0, +(0). I

"2"

o

0

I

f

2. Pentru fiecare numar natural nenul p, se considera numarul I p = x" eX' dx .

f x" ..Jt - x2 dx si In = f sin n xdx .

a) Calculati J,.

o

0) Calculati I,. b) Aratati ca 2I

b) Calculati I,.

...

are radacini in Zs'

A

N* se considera numerele In

e) Demonstrati ca J2n - J2n+2 -

peste Z s .

b) Determinali ecuatia asimptotei oblice spre +00 la ~aficul functieij. . . ~ c) Demonstrati ell, pentru orice numar real m > 0, ecuatia ftx) = mare 0 solutie umca m R.

convexa pe JR.

e) Aratati cli functia g: (0,+00) ~ JR, g(x) = f(Fx) 2. Pentru fiecare n

ca polinomulfnu

. . f(x)-I 0) Calculap hm x ...•o x

f este

f este reductibil

Zs'

1. Se considera functia f: IR~ (0, + (0), f(x)

2

lim _x_ . X-+i
b) Demonstrati cli functia

E

subledul allll-lea

eX +e-x =

+4r +3, / EZs[X]'

2. Se considera polionomul /=XS

.

e)

I2n , pentru orice numar natural nenul n.

P

+ (p + 1)1p-2

= e , pentru orice p

. 2" 1 ( en~ + 2en~ + ...+ ne Calculati. lim x-H"OO

n

5]

>3.

.

IU

~ :E

5...: Testul4

Examen Bacalaureat, august 2012

.

Subiedull

f

1. Aratati ca log2(Ji

~

Testul5 Subledull

+ FJ) + log2(Ji + FJ) = 2.

~ 2. Calculati distanta dintre punctele j f: JR ~ JR, f(x) = x2 +5x+4 cu axa Ox.

de

intersectie

a

graficului

functiei

•

~

e

1. Determinati numarul elementelor multimii A = {x

E

Z Ilx + 11~ 24} .

2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a dreptei

y = 2x -1 cu parabola y = 2x

2

- 3x+1.

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 3x + 3X+' = 4 .

~ 4. Deterrninati rangul terrnenului care contine

Bacalaureat 2012, Model MECTS (www.edu.ro)

Xl4

in dezvoltarea binomului

(x + l yo , x > 0 .

) S. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctual A(3, 3) si este paralela cu dreapta d ~ deecuape 3x+2y-I=O.

~

~ 6. Determinati masura unghiului C al triunghiului ABC. Stiind ca BC e~ masura unghiului BAC este egala cu 45°.

=

2, AB

=

Ji ~i

,.

. . 3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia ~l + 7x = I+ x . 4. Se considera multimea zt = {I,2,... ,10} . Determinati numarul d~ submultimi cu 3 elemente ale multimii A, submultimi care contin exact 2 numere ~pare. S. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB], unde A(I, -2) ~l B(3, 4). 6. Stiind ca x

E

(0, ;)

si cos 2x = ~ calculati sin x.

Subiedul alII-lea

~

X

Subiectul alII-lea =1

1. Se considera sistemul de ecuatii (a + 2)x + ay + (a + l)z = 1 , unde a { (a+ I)x+(2a-I)y+3z =2

mx + m y + Z = 0, unde m {

E

lR .

a) Aratati cli determinantul matricei sistemuluieste egal cu 3a2 + 9a2 - 3a - 9 b) Determinap valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. e) Pentru a = -2, rezolvati sistemul.

=0

2

1. Se considers sistemul de ecuatii -x+ay+(2a+4)Z

+ my + m' z 2

m x+ y+mz = 0

E

JR .

~

'5

a) Determinati valorile lui m pentru care determinantul matricei si~temului este nul. ~ b) Aratali ca, pentru nicio valoare a lui m, sistemul nu are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu Xo , Yo, Zo numere reale strict pozitive. ~ e) Aratati cli rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m E lR . ~

!

• 147

are doua radacini distincte, complex conjugate, 2. Pe multimea IRse defineste Jegea de compozilie x. y

=~

(x + y + xy + 1) .

e) Determinati

b) Aratati ca legea de compozitie ,,*" admite element neutru. e) Rezolvati ecuatia x * x * x = 3 .

conjugate.

a) Calculati

lim f(x)

-

3x + 2 .

.

t", ' In = £ (1-

a) Calculati /z. b) Demonstrati ca sirul (In

2

x

)

Testul6

t, este convergent.

i

Subiedull

~

1. Aratati ca

~

2. Dete~ati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x parabolei Y = x2 + mx + 4 .

c(

a. :::) U U

•

a) Calculati

-

3x + 2.

f f( -Fx)dx .

b) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei g: [1,2] ~ lR,g(x) = f(x) x de axa Ox. e) Aratati ca (4n+2)


(v'2, .J5)nz

2

2. Se considera functia f: [1,2] ~ 1R,f(x) = x

ndx .

e) Demonstrati ca (2n + 1) In = 2nIn-I, pentru orice n ~ 2.

a:

f are doua radacini distincte, complex

C pentru care polinomul

E

a) Aratati ca functiaj'este strict descrescatoare pe (1,+00). b) Determinati asimptotele graficului functieij" e) Calculati xlim . ...•_ xf(x)

b) Demon~tra? ca functiaj'este descrescatoare pe intervalul [-1,1]. e) Determinati mE IR pentru care ecuatiaj'( x) = mare trei solutii t t' reale disti mete. 2. Se considera sirul (In

a

subiedul allll-lea 1. Se considera functia f: (1,00) ~ 1R,f(x) = In(x+I)-ln(x-1).

H_ fe-x)

iil

p2 <4q.

a) Verificati daca Jegea de compozitie •••" este asociativa,

Subiedul allll-lea 1. Se considera functia f: IR~ 1R,f (x) = x3

atunci p ~i q sunt numere reale si

Testu 17

rt"

(x)dx+n

r r-'

=

2 este axa de simetrie a

= 0.


Subiedull 1. Calculati ratia progresiei geometrice

= {2} .

(x)dx

si

b3 +b4 = 24. 2. Determinati a

(bn

L"

cu termeni pozitivi, daca b, + b2 = 6 si 2

E

IR pentru care functia f: IR ~ 1R,f(x) = (1- a )x + 4 este constanta,

3. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatia

(%

J (jJ <

v'2t .

4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1 + 5. Calculati distanta de la punctul A(2,2) la dreapta determinata

de punctele B(l ,0) ~i

ceO,l). 6. Triunghiul ABC are masura unghiului A de 60°, AB = 4 si A C = 5. Calculati AB· A C . Subiedul alII-lea 1. Se considera multimea H = {A a) Aratati ca (~

~)

E

E

M2 (1R) I A2

= A}

.

H .

b) Demonstrati ca, daca A

E

H ,atunci

An

E

H ,pentru orice numar natural nenul n.

e) Aratati ca multimea H este infinita. 2. Polinomul f = (X + i)'o + (X - i)'o are forma algebrica

• 48

unde ao,a" ...,a,o E C . a) Determinati restul impartirii polinomuluifla b) Aratati ca toti coeficientii polinomuluifsunt

9

f = aIOX'o + a9X

X - i. numere reale.

+ ... + a,X + ao,

e) Demonstrati di toate radacinile polinomuluifsunt

nurnere reale.

I:

1. Se considera functia a) Calculati lim

S

R ~ R,/(x)

= X -5x+4.

e) Demonstrati ca functia

I(x) - 1(2) .

x-+2

I: G ~ R:, I (x ) = ..!. -1

x-2

c) Aratali ca, pentru orice m

E

(0,8),

ecuatia

2. Se considers functia g: R ~ R, g(x ) = e -x

£ g(x)dx

I (x)

=m

are exact trei solutii reale

subiedul allll-lea 1. Fie functia I: lR.~ lR.,J(x)

.

este un izomorfism de la

b) Calculati £xSg(x3)dx.

Ll definit

= (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1.

a) Calculali f'( 5) .

.

e) Demonstrati ca sirul (In

H.

grupql( G,*) la grupul (ll(,.).

un punct de inflexiune.

distincte.

b) Calculati

H.

x

b) Aratati ca graficul functieij'are

a) Calculati

=..!.

este elementu1 neutru al legii " * 2 b) Aratati ca orice element din multimea G este simetrizabil in raport eu legea ,,*

a) Verificati daca e

Subiedul allll-lea

prin In =

r g(

n~~

/(n+1)-1)n I (n ) -1

e) Aratati ca ecuatia f'(x) x3)dx

este convergent.

.

(

= 0 are exact trei solutii reale distincte.

(x2+x+1f-x 2. Fie sirul (In L.o,In = x2 + 1

f I

dx .

o

Testul8

a) Calculati 10,

Bacalaureat 2011, Model MEGS (www.edu.ro)

ut Subiedull a::

i

1. Calculati modulul numarului complex

z =

1-

iJ3 .

5


~ ~

3. Stiind ca doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3 termenul b7•

~ ~

c

U

• ~ z

I:

lR.~ R,

I (x)

=6

si bs

= 24,

E

(")

2:'"

i)(i -1)

1. Calculati ((1-

2.J2.

r.

I: (-3,3) ~

4. Cite elemente din multimea A Subiectul alII-lea

1.Fi, matricea

A(x) "(~

-~x 0

0

::J

5. din multimea M

In sistemul

de coordonatexOy

= X-2Y-8Z 3x+y-3z=22

1.Fiesistemul

~

b) Aratati ca A (x ) . A (y ) = A (x + y) , oricare ar fi x, y

~

c) Demonstrati ca matricea A (x) este inversabila ~i calculati inversa matricei A ( x)

= (0,1)

(x)

= In 3-

x

este impara .

3+x

= {1,2,3,...,100} sunt divizibile cu

4 sau cu 5?

N( -3,-1) ~i p( -1,2) .

se considera punctele M(1,-2),

1

Subiedul alII-lea

2. Pe multimea G

R,J

Determinati coordonatele punctului Q astfel tncat MNPQ sa fie paralelogram. 6. Triunghiul ABC are AB = 6, A C = 3 ~i BC = 5 . Calculati lungimea tnaltimii [AD] .

3(R).

a) Calculali (A(2)_A(O))201O.

!:

EN.

3. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .

si sin x = -3- , calculati cos x .

I:

e ~

, oricare ar fi n



~

::i :.

EQ

Subiedull

~

i

c) Aratati ca 14n+1

Testu 19

determinati

d:x+2y+5=0.

-e

; u

12 - 10 E Q.

= x2 + X + 1.

4. Determinati x > 0 , stiind ca loga x = 2loga 3- 3loga 2 , unde a > 0, a;t 1. 5. Scrieti ecuatia dreptei care contine punctul A (3,2) si este perpendiculara pe dreapta

i:i2 6 ~ .. d ~ • ."tun ca x

b) Verificati daca

E

R .

se defineste legea de compozitie asociativa x * y

{

.

-65

[1 -2 ,unde x,y,zER

si A=

x+ y+z = 28

3

1

1

1

~3 -8J

sistemului.

=

xy 2xy-x-

y+1

a) Aratati ca rangul matricei A este egal cu 2. b) Rezolvati sistemul in lR.x R x R . c) Determinati numarul solutiilor sistemului din multimea

NxNxN .

matricea asocia4

2.Fie multimea de matrice A

!)I

a,b

= {(:

c) Determinap

z,}.

E

Aratati ca exista

matrice nenula MEA

0

t'

astfel incat [

i)

3.

-1 3'

M

=

[66 06] .

(X _1)2

polinomul XI' X ' X3

2

Subiectul allll-lea

t :JR \{-l}

-+ JR,

/(x)

fn 2~.

C.

reale si m > 0, n > 0, atunci

=

f :JR -+ JR, /(x)

3

= {lx -3x+

2 .

a) Arata!i ca dreapta de ecuatie y = x este asimptota oblica pentru graficul functieij" spre +00. b) Studiap derivabilitatea functieij" in punctul x = -2.

-1

n+1

b) Aratati ca sirul

E

sunt strict pozitive.

1.Fie functia

= arctg~.

x+l a) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij" b) Studiati monotonia functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale functieij"

a) Aratati ca sirul

X3

subiectul allll-lea

functia

2.Fie sirul (InLI,In

x2'

este egal cu O.

c) Aratap ca, daca toate radacinile polinomuluifsunt c) Rezolvati in multimea A ecuatia X2 = 12 .

1.Se considers

XI'

a) Determinati valorile reale m si n pentru care XI = 2 + i . b) Dete.pninati valorile reale m si n pentru care restul impartirii polinomuluifla

a) Determinati numarul elementelor multimi] A. bl '/

a E R pentru care sistemul are solutie unica, 3 2 = X - 3X + mX - n care are radacinile

2.Fie m, n E R si polinomul f

. I' ln j'(x) c) Calcu Iati 1m --. x->+«> Inx

X

LI este strict crescator. (In LI este marginit, (In

2. Se considera functia a) Calculati

c) Calculati n-++oo !im n (2 - In )

f

i :JR -+ JR, / ( x ) =

cos x 2-cos 2 x

•

/(x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este strict crescatoare pe intervalul [ 0, ~ ] .

Testu 110

c) Calculati 1r x/(x)dx.

Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva

2K

Subiectull 1. Aratati ca numarul

i.J2 -1

2.Fie functiile /: JR -+ JR,f(x) pentru care

+ 2z + 3 = 0 . = 2x+ a si g: JR -+ JR,g( x) = x2 -a . Determinati a

este solutie a ecuatiei

Z2

(J g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR.

.Jx

4. ~eterminati numarul elementelor multimii A =

{I, 3

2

3

,

36,39,

•.• ,

320IO}



•

si C ( 6, -3) .

Scrieti ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] , in triunghiul ABC.

3. Determinati m 4.Determinati

E

i .JR -+ JR, / (x)

JR pentru care ecuatia x

2

-

=

Ixl·

2

x + m = 0 are doua solutii reale egale.

numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + \i2t

5.In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2,1),

6. Calculati sin!!.... 12

.

B( -2,3),

C(I,-3)

si

D ( 4, a) , unde a E JR . Determinati a E JR astfel incat dreptele AB ~i CD sa fie paralele.

Subiectul alII-lea

{

Testu 111

1.Care dintre numerele 2if6 si 3ifj este mai mare?

2x + 1 = x + 1 .

-

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (3,5), B (-2,5)

x+ y+az

JR

Subiectull

0

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia

1.Fie sistemul

E

i

6. Fie multimea A = { 0; ~ ; ~ ;n; 3; } . Care este probabilitatea ca, alegand un element din ~ =1

x + 2ay + z = -1

, unde x, y,

Z E

JR si a este parametru real.

2ax + y + ( a + 1)z = 0

a) Rezolvati sistemul pentru a = O. b) Verificati daca pentru a = -1 sistemul este compatibil.

multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin" x + cos'

X

= 1?

~

~ w

~ ~

• 153

Subiectul

alII-lea

5. Calculati distanta dintre dreptele paralele de ecuatii x + 2y

1. Fie matricea A =

°° ° °I) .

0 [

1 OJ 1

a 670 a) Aratap ca A20lO = a

n

)(IR) . Pentru n E N*, notam B; = An + A

EO

E

+ An+2

--

subiectul

•

°.

JR pentru care toate matricele B n' n E rf sunt inversabile.

al II-lea

1. Pentru a, b, e E JR' , se considera sistemul

ax+bY+ez

=b

ex + ay + bz

= a , x, Y, z

bx+cy+az

=c

{

a) Aratati ca determinantul sistemului este !!. = ( a

M=lR\{%}. E

*)

(M, *)

(x,

este grup.

= 6, demonstrati ca functia

intre grupurile

c) ~tiind ca a2

lR astfel incat x * Y EM, pentru orice x, Y EM.

b) Pentru m = 6 aratati ca (M,

I: M ~ lR*,f(x)

= 2x-3

este un izomorfism

+ b2 + e2

y, z), astfel indit

2

x

-

ab - ae - be =

+l

i

S u.: •

~

allll-lea

2. Se considera multimea G = {( ~ :) a.b;c

b) Dati un exemplu de matrice A

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punetul de abscisa x = 0, situat pe graficul functieij" b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functieij'spre +
f(2)+ ... + I(n)]i&r -\f2n + 1

n-HOO

~

2. Se considera sirul

•

a) Calculati

(I)n

E

c) Calculati

n>I' -

In

"dx J--::-x_1. x +x+ I

=

0

2

b) Calculati

LI este descrescator.

2. Pentru orice

0

~i det A2 = 0

G.

E

G eu proprietatea

ca

det A

nx

E

:t;

.

G.

~ JR,I(x)

2

1'( x),x

E

n E If

=

x

JR\ {-I} .

Ieste

(-00, -I) . In : JR~ JR,In (x) = Isin nxl si numerele

concava pe intervalul

se considers functiile

In=t!.(x)dx. 1r

Bacalaureat 2010, Model MECTS (www.edu.ro)

X

a) Calculati

r

12( X ) dx .

b) Aratati ca In ~ In 2 .

Subiectull 1. Determinati partea reala a numarului complex

(Jj + i)

c) Aratat! ca In ~3..(_I_+_I_+ 1> n + 1 n + 2

6 •

...+_1). 2n

i I

U

2.Seconsiderafunctia

f:(O,OO)~lR,f(x)=~

.Calculati

(Jof)(SI2).

~

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia cos 2x + sin x =

~

4. Se considera multimea M = {0,1,2,3,4,S}.

S4

infmitate de solutii

lim In .

u VI w

~ Testul12

I :JR\ {-I}

c) Demonstrati ca functia

~

•

0

+ X + 1. x+I a) Determinati ecuatia asimptotei spre +
n-HOO

~

ab - ae - be) .

Z,}.

cJ Determinati numarul solutiilor ecuatiei X' = [~


II + 12 + I) .

b) Aratati ca sirul (In

a: ~ d ~

-

Subiectul allll-lea c) Calculati

s

U U

+ b + e a2 + b2 + e2

°, aratati ca sistemul are

~i (lR *,.) .

•..• 1. Se considera functia I: lR ~ lR,f (x) = ·
lR .

= z -I .

a) Determinati numarul elementelor multimii

w

x

E

b) Rezolvap sistemul in cazul in care este compatibil determinat.

a) Determinati m

Subiectul

= 11 .

6. paralelogramul ABCD are AB = 1,BC = 2 , si m (
2. Pe multimea JR se defineste legea x * y = 2xy - 3x - 3 y + m, m E JR . Fie multimea

c) Pentru m

~i 2x + 4Y

scalar A C . AD

b) Determinati a E JR pentru care det ( BI ) = c) Determinati a

1

+

=6

proprietatea ca a,b,e

E

M si a < b < e .

°.

Determinati numarul tripletelor (a,b,e) cu

~ ~ ~ w

~ ~

• 1SS

4.2. Variante

de subiecte propuse spre rezolvare

subiectull 1. Fie (an ).~I0 progresie geometrica de numere reale, cu proprietatea ca al + a2 + a3 = 2

Testul1 Subiectull 1 • Fie (a)n n~l

Testul2 ~i a4 + as + a6 = 16. Determinati ratia progresiei.

0

2. Fie

progresie aritmetica cu as + all = 20. Calculati ag.

I,s :lR ~ g I.

2. Fie a E lR ~i functiile lui a pentru care

log

=

lR, j(x) = 3x + 2 ~i g(x) = 2x + a. Determinati valorile

I:

~ JR., I(x)

(--
x

=8 .

5. Fie m E lR ~i vectorii ; = i1 + ], ~ = i + m2]

•

Aratati cli unghiul vectorilor

;, ~ este

6

•

u = 2T -3J

Fie x E

si

(tr 3tr) , 2

v = 4T + J.

a) Aratati ca ( 4

E ~(JR.)

2)

-2 -1

;)EM

b) Daca (: c) Aratati ca

1. Se considera matricele A

X2

1

=(

b) Rezolvati ecuatia det(A

EM.

c) Aratati ca (A + {0,3,6}. = -IT. =~

a) Aratati ca legea ,,*" este asociativa. b) Aratati ca legea ,,*" no are element neutru. c) Rezolvati ecuatia x* x* x* x = 5, x E (0, co).

1. Fie functiaj": JR. ~ JR., I(x)

=.J x

2

+ 2x + 4 - 2x .

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +co la graficul functieij. b) Aratati cli/este strict descrescatoare pe JR.. c) Aratati caj(ej
rf.

o

a) Calculati II. :5: 80, oricare ar fi n E I~t.

n ...• ""

1

+ xB)

= 0, x

BY *- h oricare

E

R

ar fi n E N·.

Subiectullll

JR. ~ JR. ,j(x)

1. Fie functiaj": a) Calculati

lim x x~oo

c) Calculati limln•

B =

.

Subiectullll

IInl

~l

3

a) Aratati cli multimea H = {3k + 2 I k E Z } este parte stabila a lui Z In raport cu legea ,,*". b) Decideti daca ,,*" are element neutru. c) Rezolvati ecuatia (x * x) * x = 8, x E Z . x+y

b) Aratati ca

-1). (-1

2

-1

2. Pe multimea Z se considera legea de compozitie x * y = 3.xy + 3x + 3y + 2, x, Y E Z . ,arataticaa+dE

dacaX; Y E M ~iX + Y E M, atunci XY

cosnx

13u -v I·

a) Calculati inversa matricei AB.

= 3X}.

2. Pe multimea (0, co) se defineste legea de compozitie x * y

= "fex

functie impara.

cu sinx = _~. Calculati tg = ~. 12 2

Subiectulll

2. Fie In

Calculati

Subiectulll

ascutit. 6. Aratati cli sin x + .J3 cos x :5: 2 , oricare ar fi x E R

= {X

. Aratati ca/este

3. Rezolvati In JR. ecuatia .J3x - 2 = 1- 2x .

5. Fie

4. Care este probabilitatea ca, alegand 0 multime din multimea submultimilor nevide ale multimii {I, 2, 3, 4, 5}, aceasta sli aiba un numar prim de elemente.

M

In ::~

4. Determinati n E N pentru care n! + (n + I)! < 840.

0

3. Rezolvati In multimea (0, +
1. Fie multimea

=

I

= eX -

1.

(!). X

b) Studiati derivabilitatea functiei g : JR. ~ JR., g(x) = ~ I(x) c) Calculati

, In punctul x = 0.

lim (1(-1) + 1(-2) + ... + I(-n) + n).

n ...• ""

1

2. Fie sirul (1n)n~I'

In

=

n

f.J x~ + 1 dx, n ~ 1.

o

a) Calculati II. b) Aratati cli , c) Calculati

1 J22(n+1)

1 :5:In :5:--, n+1

Vn ~ 1.

lim n(1 n+1+ In_I) .

n ...• ""

• 157

TestulS

Testul6

Subiectull

subiectull

~--. z+i este nurnar real. Calculati modulullui z. as tfel e imcat I+IZ 2. Fie a E lR ~i functia bijectiva f: lR.~ lR ,.fix) = x + a. Determinati valorile lui a pentru caref=jl. 3. Rezolvati in lR ecuatia sinx = cos2x. 4. Cate numere naturale de trei cifre au eel putin 0 cifra impara? 5. Fie dreptele d, si d2 respectiv de ecuatii: x - 3y + I = 0 si 3x + y + 2 = 0, a un numar real si P punctul de coordonate (0, a). Determinati valorile lui a stiind ca Peste egal departat de d, si d2• 1.FIe. z

tr'\{} i

E \l.-

6. Triunghiul ABC are aria egala cu

.J3 , latura AB egala cu 2 si unghiul

Subiectulll

. .

(I

1. FIe matricele A = 2 ....I

A

=

Calculati Be. 3 .

7r .

1. Determinati numarul elementelor multimii A

2. Fie functia bijectivaj": (1, 00) ~ [2, oo),j(x) 3. Rezolva!i ecuatia arccos

X

{x

E

Z

I [ x; 1]

=

3} .

= ~ - 2x + 3. Determinatij"".

+ arccos( - ~ ) = 7r , X

E

[-I, 1].

4. Care este probabilitatea ca alegand 0 multime din multimea submultimilor A = {I, 2, 3, 4, 5} , ea sa contina elementul I?

multimii

5. Determina!i numerele reale

a si b stiind ca punctul A(1, 2) este punctul de intersectie a dreptelor de ecuatii: 2x + ay = 4 si respectiv x - y = b. 6. Fie x E lR astfel incat ctgx - tgx = 4. Calculati tg2x.

o

Subiectulll

1

1. Fie permutarea a = (

1 2 3 4 5)

W

a:

=

1 3

4

5

2

E

S5 .

a) Determinati inversiunile permutarii 5. b) Determinati numarul de elemente ale multimii {o"] k E Z}. c) Fie i E {2, 3, 4, 5} si 't transpozitia (1 i). Aratati ca err *- 'to".

t-

:i ::J C

.

....:

2. PelR defmim legea x* y = ~X3 +

< ....I ~ ::J

l

+2012 .

a) Dati exemplu de doua numere reale x si y astfel incat x * y este numar natural. b) Aratati ca lR este grup in raport cu legea ,,*". c) Aratati ca grupul (R , *) este izomorf cu grupul (R , +).

U

.

U

Subiectullll 1. Fie functia f: (0,00) ~ lR, f(x) =

I~xl .

functiei f in punctul Xo = 1. b) Determinati punctele de extrem ale functieij" c) Determinati multimea valorilor reale ale lui m pentru care ecuatia j(x) = m are exact trei solutii. 2. Fief: lR~ R ,j(x) = r! - e-X• a) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei J, axa Ox si dreptele x = -1, :;;: respectiv x = o. "'" b) Aratati ca orice primitiva a functieij'este functie convexa. I a) Studiati derivabilitatea

e

2.Fie sirul (In)n";?!, In = fx lnn

,

a) Calculati

X

dx .

I,.

b) Aratati ca sirul (In)n";?1 este monoton si marginit. c) Calculati lim In . n-+oo

c) Calculati

lim--;- ff(t) x-+Ox

0

~ dt.

~ ::::E

w

~

::::E

• o

161

Testul7

Testul8

Subiedull 1. Aratati ea numarul (l+.fi)

{ 2012+.fi}

este numar natural, unde {x} reprezinta partea

fractionara a numarului x. 2. Dreptele x = 1 si x = 2 sunt axe de simetrie ale grafieului functiei f: IR ~ IR . Aratati ca functia f este periodica. 3.Rezolvatieeuatia

2(eosx-sinx)=

,XE[O, 1rJ. 2

. 1 smx+eosx

4. Care este probabilitatea ea alegand unul din numerele ~ , ~ , ~ , ~ ,~ numar impar? s.In triunghiul ABC notam eu M mijloeullaturii

BC si eu N mijloeullaturii

E

(1r) -,

6. Triunghiul

AC. Aratati ea

subiedulll

.

1. Pentru fiecare m

~

Q ,e noteaza cu

E

m

c) Calculati

o

u

(A(O)Y,

2. Pe (0, 00) se defineste legea de compozitie x. y =

.Jxlog, y

.

a) Aratati ca daca x • y = 1, atunei x = 1 sau y = 1. b) Demonstrati ea multimea G = (0,00) \ {l} este grup In raport eu legea ".".

ffi

c) Rezolvati ecuatia x • x • x = 3, x

. a

E

ffi "" d .:.

.\ . 1 1 c} Aratati ea -+-+3 5

o-e

= Inx-2

1 1 1 + ... + -< -In(n+l) 7 2n + 1 2'

2. Fie functiaj": JR ~ JR, f(x)

~ ~ ~

b)Calculati

•

c) Calculati

162

l x2f(x)dx. l

lim n n-+ao

r

1

x2nf (x) dx .

eereului

f(x)=u.x.

I{-n} E

JR \ {-~}.

b) Demonstrati ea G este grup In raport eu inmultirea matrieelor. 1 c) Aratati ea functia f: (JR.,.) ~ (G,.) f(x) = A ( x ~ ) este izomorfism de grupuri.

pentru orieare n

.

a) Aratati ea f este strict crescatoare pe R.

b) Calculati

E

N·

c) Aratati

ca

lim x f(x)

.

-.!. < f(x)

< __ 1_, orieare ar fi x

,-+00

x

.

2. Fie sirul (In)n~I' In =

1

= --. 1+~ a) Calculati aria suprafetei marginite de grafieullui

I xER

G, orieare ar fi x, y

x+l

x-I. x+l a) Aratati ea functia f este strict crescatoare, b) Aratati ca grafieul functieij'nu are asimptota spre +00.

~

E

l~~J

1. Fief: (0, 00) ~ JR, f(x) = In ~

1. Fie functia f :[1,00) ~ JR, f(x)

si raza

Subiedullll

(0,00).

:E Subiedullll ~

m(
3 4) ~ifunetiaf:S4~S4' 1 4

~

a) Aratati ea A(x) . A(y)

n EN·.

;; ~

~

2 2

3

2.FieG={ A(x) =[l~:X

1

s~

'5

m( 4:A) = 90°,

diferit de cr.

1 -1 .

.

u.:

are

c) Aratati ea, indiferent de ordinea faetorilor, produsul eelor 24 de permutari din S4 este

2 -3]

A(m) = [ ~

a) Calculati det(A(m», m e Q. b) Aratati ca A(m) este inversabila, orieare ar fi m e Q .

Q

ABC

a) Aratati ca o este permutare impara. b) Fie x E S4. Arata? ea f(x) este permutare para daca ~inumai dacax este permutare impara,

Subiedulll

I

dreptunghie

eireumseris egala eu 6. Calculati perimetrul triunghiului ABC.

1. Fie permutarea u=(1

eu sm x = - 5 . Calculati . etg2x. 13

tt

2

f: {I, 2} ~ {I, 2, ... ,n} este egal eu 20. 5. Afiati eoordonatele simetrieului punetului A(I, 2) fata de dreapta x - 2y+ 5 = 0.

,A; , el sa fie

3 AB = 2 AM - 2 BN . 6. F.ie x

Subledull 1. Fie Z E C astfel incat 2z! + Z + 2 = 0. Calculati [z], 2. Determinati a E IR stiind ea functia f: IR ~ 1R, j{x) = d + 2x + 3 este monotona. 3. Rezolvati ecuatia 4'<- 3 . 6'<+ 2 . 9" = 0, X E IR . 4. Determinati numarul natural n, n :2: 2, stiind ea numarul functiilor strict monotone

f, axa Ox ~i dreptele x = 0, x = 1.

1

E

(0,00).

x+I

x2n sin x dx .

a) Calculati II.

b) Aratati ea c) Calculati

°s

In

s Jj ,orieare

ar fi n EN·.

4n+2

lim n In .

n-+OO

16

Testul9

Testul10

Subiectull 1. Determinati numarul natural n astfel incat 1 + 3 + 5 +...+ (2n -1) + (2n + 1) = 625. 2. Aratati ca functiaj": lR.~ lR. ,j(x) = x5 - 2x3 + 3 nu este injectivli. 3. Rezolvati ecuatia cos2x + cos22x = 1, x E [0, n], 4. Cate functiij": {l, 2, 3} ~ {l, 2, 3, 4, 5} auj(l) j(2).

*

5. Fie m 1

E

u = T +5 7

lR. astfel ineat veetorii

~i

v = 2 T + m 7 sunt

eoliniari. Aratat]

v 1=2£6.

6. Calculati aria unui triunghi eehilateral inscris intr-un cere de raza 1. Subiectulll 1. Fie multimea M= {A

ca

subiectull 1. Natati ea log23 > log34. 4 2 .. _ .. 2. Fie funetiaf: lR.~ lR. ,j(x) = x - 2x - 3. Determinati numarul punetelor de mtersecns a grafieului funetieife.u axa Ox. 3. Rezolvati in lR. ecuapa lo&(~ + 2) = log.Sx, 4.lntr-o clasa sunt 20 de fete si 10 baieti. Cate eehipe mixte formate din 3 fete si 2 baieti se pot forma eu elevii din clasa? 5. Fie punetul A(1, 2) si dreapta d de ecuatie x - y - 3 = 0. Determinati eoordonatele pieiorului perpendieularei din A pe d. 6. Fie triunghiul ascutitunghic ABC. Aratati ea sinE > eosC.

M2(lR.) 12A2 + A + h = 02}.

E

subiectulll a)

ul

i

c

.

u:

2. Fie (S4, . ) grupul permutarilor de grad 4 ~i a =

~ :

SubiectulllJ

~

1.Fief:(0,cx:»~lR.,

a 11'1

G ~ ~ :}

b) Daca A

E

c) Daca A

=(:

M si A este inversabila, calculati det(A). ~)

E

f(X)=(x+I)ln(I+~l

b) Aratati eaf este strict descrescatoare. c) Calculati

lim (f(l) 2

n ...•'"

2. Fief: JR ~ R, f(x) a) Calculati

+ f(2) 3 =T

!

xf(x)dx

X '

b) Calculati

+ ... + f(n));;. n+1

si sirul (In)n~' , In =

.

f(x)dx.

•

x ...• '"

f f(x)dx

c) Rezolvati eeuatiaf"(x)

= 0, x

lR.\{1,2}.

E

.

,

2. Fie functiaj": (0,

cx:» ~

R, f(x)

=

IX

f-2dl . +2

01

b) Aratati ea f(x+2)+2

r'

2x 2

lim (f(x))x.

c) Calculati nl~

•

JR "}.

,

,

b) Aratati ea sirul (In)n este monoton si marginit.

~

E

x -3x+2 a) Determinati ecuatiile asimptotelor vertieale ale grafieului functieij.

C

-e

cl + b2 - a = 0.

0

a) Calculatiji

z

M ~i det(A) = 0, aratati ea

2. Fie multimea G = {fa : IR ~ lR. Ij,(x) = ax + 3(1 - a), a a) Aratati ea fa J" = fab' Va,b E JR*.

~ o a::

. lui apartme Ul M

SubiectulllJ

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +ex:> a grafieului functiei j.

U,I

::r: v

MlC lR.) 1 A2 = At}, At este transpusa matrieei A.

1. Se considera functia f: JR \ {1,2} ~ JR, f(x) =

a:: U,I

.

E

° 0)°

~}

Z

""a

{A

b) Demonstrati ca G este grup in raport eu operatia de eompunere a functiilor. c) Determinati a E 1R" astfel tncat (I. 0 I. 0 fa )( x) = 8x - 21 , orieare ar fi x E lR..

U,I

< CD

=

a) Aratati ea matrieea (1

a) Determinati ordinul permutarii o in grupul S4. b) Aratati ca multimea H = {r E S41 't permutare para} este subgrup al grupului S4. c) Aratati ea daca f: (S4'·) ~ (S4') este morfism de grupuri, atunei

i cr: •

1. Fie M

multimii M

b) Demonstrati ca oriee matriee din M este inversabila, c) Aratati ea multimea Mare 0 infinitate de elemente.

f(a)*G

~

J

-o~ apartine

Aratati c' matricea [-1~

l), f(x)

= _1_,

orieare ar fix > 0.

x+l c) Calculati

lim x f(x)

.

x ...• '"

165

Testull1

estul12

Subiectull 1. Fie Z E C cu [z] = Iz - 11· Calculap partea reala a lui z. 2. in ~ctiile f, g : R ~ R, .f{x) = x2 -:- 2x :+-.3~i g(x) = -~ + 4x + a, a E R. Detenninati valonle reale ale IUl a pentru care imaginile celor doua functii au exact un element in comun. 2x 3. Rezolvati ecuatia 23x + 1 = 3 , X E IR . 4. Cate submultimi ordonate cu 3 elemente, ale multimii {1, 2, 3, 4, 5}, contin elementul I? S. Fie punctele A(-I, 3) si B(O, 4). Determinati coordonatele simetricului lui B fata de A. . 6. In triunghiul ABC, punctul D E (BC) este piciorul bisectoarei din A a triunghiului si RI R2 sunt razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ACD. Aratati ca dac~ RI =R2, atunciAB =AC.

S&lbledull 1. ~tal1 . f'

Calculati rangul matricei A2 - h.

a)

~

b) Determinati numerele reale a si b astfel incat A2 = aA c) Determinati inversa matricei A. 2. Pe multi mea G = (I,
*y

•

= .!.~x2y_

+ bl-; x2 _ y2 + 5.

*y

= ~±(X2

_1)(y2 -1)+ I, oricare ar fi x, y

E

c) Demonstrap

. a

ca functia j": (0, co) --+ (1, oo), f(x)=-./2x+I

este izomorfism de la

grupul «0, =). . ) la grupul (G, =).

R, f(x)

0

functie imparli. Caiculatif(-2)

A

Ar3tati ea cos2100

+ cos250° + cos270°

a) Verificati daca A

E

b) Aratali eli daca X

E

c) Aratati eli ecuatia

y2

~

c) Studiati derivabilitatea

~

a) Calculati II.

Q

°

I

0

~

in punctul x =

2. Fie sirul In = f(x2 +2x+2)"

.

_

•

•••

'"

2

si A = (~I

~3)'

M. M, atunei X2 = O2. = A nu are solutii in Mz(C).

Subiectullll

asimptotele grafieului functiei g : IR' --+ R, g(x) = / (~) .

b) Dete~ati

= eX' -1-x2.

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul de pe grafic, de abscisa Xo = I. b) Aratati ca ~x) ~ X4, oricare ar fi x E R .

U

. f(1)

= r! + x - 1. a) Aratati ea functiaj" este bijeetivli.

~

ci ~

. f(O)

= ~.

l.r = 02}

\I)

':i a::

. f(-I)

1. Fie functiaj": IR ~ IR ,.f{x)

Subiectullll 1.Fief:R~

1 2} --+R

- na turla. este numar

" b) Determinati elementele nesimetrizabile din intervalul (2, co), in raport eu legea ,,* . c) Rezolvati ecuatia x * x * x * x = 5, x E (2, oo},

UI

~

+ -- 1

a) Aratati cli legea de compozitie ,,*" are element neutru.

(1, oo),

b) Demonstrati di G este grup in raport cu legea ,,*". ~ Z -e ii:

1

+

2. Pe intervalul (2, co) se considerli legea de compozitie asoeiativli x * y = (x - 2)ln(y-2)+ 2.

2 a) Aratati ca x

°

{-2 -I , ,"

1. Fie multimea M= {X E M2(C)

•...•

~

1

+

J3 J3+ J5 J5 +.fi Ji + 3

Subiectulll

223

i

1 1+

umarul

./(2). Rezolvati ecuatia {/I- x = x -1 ,x E R. 3. rminati numarul de elemente ale unei multimi care are exact 16 submultimi eu un of Dete t • nUInM impar de elemente. _., 5. Fie punctele A(-I, 0), B(2, -3) si C(3, -2). Scrieti ecuatia inaltimii din A a triunghiului ABC.

~

~J.

~

c n

2.Fle·

Subiectulll 1. Fie matricea A = [~

. a

dx, n EN'.

a functiei g :lR. --+ R, g(x) = {/ f(x)

.

c) Fie sirul (x.)n~l definit astfel:

2. Fie functiaj": R --+ R, f(x)

= -1

si xn+l = f(xn)·

Calculati }~ xn'

eosx

. 2 . +sm x a) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei J, axa Ox si dreptele x =

1

XI

2,.

b) Calculati

f x f(x)

=

° si x =

1t.

dx .

o

b) Aratat] ca lim In = co . n~C(l

c) Calculati lim -;"f(f(t)-I)

~ c) Calculati

lim ~(2n n-+oo 5n

+ 1) I - 2n I n

n-i

).

x •..•

ox

dx.

0

• 167

Testul13

iestul14

Subiectull

SlibledUl1 1. Determinati partea reala a numarului complex z

{.Jl, Fl,.J3 ,..., .J2012}

1. Cate numere rationale contine multi mea

2. Fie functia bijectivaj": lR ~ lR ,fix) = x3 + X + 2. Calculati 3. Rezolvati ecuatia sinx+J3

cosx = 0,

X E

(rl

0

.

r')(2) .

[0, 21t).

.

::::I Z -e

M={(~ :) I a,bEQ}

si

A=(: ~).

b) Aratati ca daca X c) Rezolvati

E

M2(Q)

ecuatia X2 = A, X

si AX = XA, atunci X E

E

M

2. Fie multirnea G a) Sa se arate ca

0

M2(Q). -

E

2, k

E

Z}.

Z.

b) Sa se arate ca G este grup in raport cu operatia de compunere a functiilor. E

Z} este subgrup al grupului (G, 0) .

c) Aratati

ca f(x) > --i-I ' oricare ar fi x X

•

~

< ~

a: ~ -e ~

168

E

M= {X

E

M3(JR)

16 .

lR..

4

I det(X) = I}.

~l

det(A). = :-6.

.

b, rangul matncei A este eel putm 2.

Rezolvati ecuatia AX

= -:iff, I»X

EM

2. Pe lR. definim legea de cornpozitie x * y = xy + 3x + 3y + 7. a) Aratati ca legea ,,*" este comutativa . (1 * 2) * 3 b) Calculati . , 1 * (2 *3) c) Aratati ca legea

,,*" nu are element neutru.

2

b) Calculati }~(f(-I)+

E

[0,(0).

c) Calculati

a) Calculati

°

b) Aratati caIn + n(n - I)In-2 = nsinl - cosl, oricare ar fi n

+ ... + f(-n)

+ 3n ;5n).

c) Determinati valorile reale ale lui m pentru carej{x) ~ mx, oricare ar fi x

1

a) Calculati II.

f(-2)

E

lR..

2. Fief: JR ~ (- ~ , ~ ).j{X) = arctgx.

+

2. Fie sirul (In)n
J

dx.

~(x)

oX

+1

1

E

N, n ~ 3.

b) Calculati

f 1'01

(x) dx .

-I

lim n In. n-+oo

•

1

1. Fie functiaj": lR ~ lR. ,j{x) = arctgx - arctg(x + I).

b) Determinati numarul de solutii reale ale ecuatiei jix) = m, mER

""c:i

cu a, b

:

o

=

1. Fie functiaj": JR ~ JR ,j{x) = e' + 3x - 1. a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul A(1, e + 2).

Z

w

2

Subiectullll

U

a:

:~:~:ea ~~J c) Fie

+ 2· 3k

fp = h+p' oricare ar fi k,p

c) Sa se arate ca multimea H = {hk I k

1

a) Determinati valorile reale ~le lui a ~i b. pe~tru care

a) Determinati punctele de extrem ale functieij"

>< CD

lR·.

b) Aratati ca pentru orice valon reale ale lui a

= {fk: lR.~ lR If,t{x) = 3kx

h

E

D terminati numerele naturale n, n ~ 2 pentru care Cn + 2 Cn

A = (:

a) Aratati ca orice matrice din multimea M, diferita de O2, este inversabila.

15 Subiectullll

III W

x

Rezolvati ecuatia 4 = 2~ ,x

:: F~e puncteIe A(1, 2) si G(~.' 4). ~aca G este centrul de greutate al triunghiului ABC, determinati coordonatele mijlocului Be. 6. Triunghiul ABC are BC = 10 si raza cercului circumscris R = 5. Calculati cosA.

ABC are loc relatia sinA = 2 sinE cosC. Aratati ca triunghiul ABC este

a..

~ ::::I

este periodica, cu perioada ~.

6. In triunghiul

Q

U

.

3•

1.Fiemultimea

~ IC( ....• -e a.. ::::I U

-[x+~J

.

1

Subiectulll

i::::I

= [2x]-[x]

1+21

+h

4. Cate permutari ale multimii {I, 2, 3, 4, 5} au pe prima pozitie un numar par? 3 3 3 3 4 5. Demonstrati . ega I·itatea: C3 + C4 + C5 + C6 = C7· isoscel.

....• w a: l-

2. Natati ca functiaj": R ~ R, f(x)

.

1+ 1 = 1- 2i

1

c) Calculati

nli~

Ix rex) 3

°

dx.

I

1E

Testul15

festul16

Subiectull 1. Ciite numere rationale contine multimea { ~l 3

2. Fie functiaj": R ~ lR ,j(x) = x + X + a, a care J este impara.

·

E

N, n ~

2} .

R. Determinati valorile reale al I . t' e Ul a pentru

4 +2 og2 -3= x ,x

E

IR.

fimctiiJ: {I, 2, 3} ~ {I, 2, 3, 4.} au multimea imaginilor fermata din exact doua eiemente? 5. FIe punctele A(l, 3), B(-3, 5) ~l M(-I, a), a E R. Determinati valorile reale ale I . ~ di UI a pentru care M se a fl a pe me iatoarea segmentului [AB].

4. ~

6. TriunghiuIABC are lungimile laturilor a, b si c. DacllR = 4 ~i r= I, calculati ~~~

a,b

1. Fie numerele intregi

A (b;~ a::

si matricea

=

I

I

i

5 u:

~

o

4. Care este probabilitatea

S. Fie triunghiul ABC si ME (BC) astfel incat 5 AM = 2 AB + 3 AC . Calculati : 6. TriunghiulABC areAc'l + AB2 + AB· AC =

I

~J.

:::

2

I,Fiemu1timoa

4

2. Pe multimea G = ( - 2, 2) se defineste legea de compozitie x * y

(0,00),.) lagrupul

.

~ ~

':i

c) Aratati cll daca A E M, atunci matricea A 2.Consideraminelul (:£:,*,0) undex*y=x+y+2

4(x+ y)

d

•

1&1

:x: V

~

~

zQ

lim

F' 2. leJ:IR~lR,

I

I

n EN

si notam cu I = JJn(x)dx

a) Determinati aria suprafetei X ::: -1, x = 1.

n

marginite

~

b) Aratati ca sirul (In)n:?l este convergent.

•

c) Aratati ca 2n I n+ I - (2n -1) I n =.J... 2' n

170

2\.

l+ x

Studiati derivabilitatea functieij" in punetul Xo::: 1. b) Determinati punetele de inflexiune ale grafieului functieij.

0)

c) Calculati

lim xJ(x) .

x-+

2. Fie functiaj": (-1, (0) ~ lR ,j(x) = m(I + x). 0) Determinati prirnitiva F a functieij, eu F(O) :::O.

2

1 J(x) =--2 I+x

n

:::ax + b este morfism de la

Subiectullll

(G,*).

(J(X»)-;. x

J: :£:~:£:, j(x)

inelul (:£:,+, . ) la inelul (:£:,*,0).

1. FieJ: IR~ IR,j(x) = x3 + 3~ - 4. a) Dete~nati. p~c~ele de inflexiune ale graficului functieij" b) Studiati derivabilitatea functiei g :IR~ lR, g(x) = j/{x)lin punctul Xo = -2.

x-+

si xoy=xy+2x+2y+2.

este izomorfism de la grupul

1. Fie functiaj": [0, (0) ~ 1R, J(x) = arcsin

c) Calculati

h este inversabila.

0) Determinati elementul neutru allegii ,,*". b) Aratati ca inelul (:£:, *,0) nu are divizori ai lui zero.

SubiectullJl

II:

~

M={AEM,(C)i A' =(-: ~)}

c) Determinati a, b e Z stiind cli functia

(0, (0) ~ (-2, 2), J(x) = 2(x-I) x+I

z ~ ~

masura unghiului A.

A este 2, oricare ar fi A E M b) Aratati ca pentru orice A E M, ecuatia Jf = A nu are solutie in M2( R).

a) Rezolvati ecuatia x * x = x, X E (-2, 2). b) Aratati cll G este grup in raport cu legea ,,*". c) Aratati cll functiaj":

~

ec: Determinati

.

a) Aratati cll rangullui

a) Calculati det(A). b) Aratati cll rang(A) ~ 2, oricare ar fi numerele intregi a ~i b. c) Aratati cll daca rang(A) = 2, atunci a = 0 si Ibl= I.

U

;;

ca alegiind un numar din multirnea numerelor naturale de trei

cifre, el sll fie cubul unui numar prim?

sublectulll

4+xy ~

functiei

d: be a::'

Subiectulll

~ ~

SIIblectul.1 . 2 4 2n ,. peternunap ?um~1 natural n ~entruAcare ~(1 + 3 ~ 3 +...+ 3 ) = 6560. 2. peterminatl multimea valorilor intregi ale IUl a pentru care graficul

f: lR~ lR j{x) =~ + ax + I nu taie axa Ox. 3. Rezolvati in IR ecuatia
x

. 1

3. R ezo Iyap ecuapa

E

0241 n

b) Calculati

,.

de °graficul fun

. . j, cpei , axa Ox si dreptele

J f(x) dx . ° x+I J f(tg dx .

,,/4

c) Calculati

x)

o

i I

~

I '

~

:::E

1&1

~

:::E

E 1M· 1'1\1.

•

171

Testul17

restul18 subiectull 1. Numerele

Subiedull 1. Determinati numerele reale x pentru care [x - 1] = {x}. 2. Determinati inversa functiei bijectivef: lR ~ (3, 00), f(x)

3. Rezolvati in lR ecuatia cosx 4. Care este probabilitatea

..fj

si 3 sunt termeni ai unei progresii aritmetice

r este numar irational.

X

= 2 +3.

2

{O, I, 2, ...,6}, el sa

indeplineasca conditia C~ < C~+I?

5. Fie a E lR si vectorii Ii = T + 3 J , Ii + v si Ii - v sunt perpendiculari,

v = 3 T + a J . Determinati

6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB

a

E

lR pentru care vectorii

= 4, BC = 5 si AC = 7. Calculati

sinA.

x E lR. Calculati j[Z). 3. Rezo1vap in lR ecuatia log, x

4. Determinap valorile naturale ale lui n pentru care dezvoltarea termeni rationali.

C :~x

1~~x

J Ix

E

lR}.

b) Aratati cii A(x) . A(y) = A(xy + x + y), oricare ar fi x, y

w

c) Aratati cii (A(3)Y = A(4n - 1), oricare ar fi n

Ix

E

27}.

·

a) Rezolvati ecuatia 5x + 4 = 1, X

E

27.

5

c) Determinati perechile (x, y)

u.: ~ -e 0.

2. Fie corpul (27, +, . ) si H = {x

3

3x- y+2z

~a: 1 . f w ~

•

E

27

X

27 pentru care x)

.Fle:

'"Zw

[1,oo)~lR,

f(x)=x

-. x+I a) Determinati asimptotele graficului functieij. b) Determinati imaginea functieij. c) Calculati lim (f(X»)X ff

ffi

2

·

cc Z o a: Q

Z

-e

~

• 172

lR.

1. Se considera sistemul

{

=3

2x + my + 3z =

°, unde m

E

lR .

x+3y+z=4

a) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul este compatibil deterrninat. b) Stabiliti daca existiivalori reale ale lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat c) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu componentele in progresie aritmetica,

+ 2/

=

6.

2. Fie polinomulf

= (X

+ X + 1)10 + (xz - X + 1)10 E lR.[XJ ~if

=

a2oX° + al~9

+...+ alx +

b) Calculati ao + a2 + a4 +...+ a20. c) Calculati a7. Subiectullll · fun ctiaj": lR \ {-4}~ R, f(x) 1• Fie

x+3 = -. x+4

b) Calculati lim(1 + f(l) f(2) ... f(n)Y

.

n-+oo

2. Fie sirul (In)n~1' In

=

fctgnx dx, n EN·.

c) Fie sirul (Xn)n~ldefmit astfel: Xl = 1 si Xn+l= fixn). Calculati lim x•.

ff

w

U

sinA.

a) Determinati asimptotele graficului functieij.

x

x-ecc

m

l:

= 2M . Calculati

a) Determinati restul impartirii lui f la X-I.

j§-I

>CC

d

BC

+ao forma sa algebrica.

:;)

u

E

~r.

b) Determinati numarul elementelor lui H.

'-} Subiedullll

-e

E

= 4, AC = 6 si

subiedulll

a) Determinati valorile reale ale lui x pentru care det(A(x» = 2 .

s5

(1 + ifi y are exact 7

5. Fie A(l, 2) ~i B(3, -1). Determinati ecuatiile dreptelor care tree prin A ~i sunt situate la 6. Triunghiul ABC are AB

1. Fie multimea M = {A(X) =

~

= log) x .

distanta 2 de B.

Subiectulll

....I

. ca- f() x + 2f ( ~1) = x + 3x x + 2 ' oncare ar fi

• 2. Fie funcpa. f : 1ll> ~ ~ lTll ~ cu propnetatea

= tgx.

ca alegand un numar k din multimea

(a. )'~Icu ratia r. Aratati cii

2. Fie functiaj": lR ~ lR ,fix)

4

a) Calculati

h

=x

2

-

4x + 3 si In

=

r

n-+OO

f" (x) dx , n EN·.

a) Determinati aria suprafetei marginite de graficul lui

b) Aratati ca I t

2 n+

=_1 __ 1 n n + 1 n'

E

N·

J, axa

Ox si dreptele x

= 0, x = 1.

)

•

b) Calculati

c) Calculati lim In.

f(x-2)

f2(X)

dx.

1

.-+00

c) Calculati

lim n-+CO

In+1

•

In 173

Testul19 Subiectull

~ ~ Z2 +z+ 1 1. Fie numarul complex nereal z astfel mcat z este numar real. Calculati modulul numarului z. 2. Fief: [1, (0) -t B,j{x) ==.1- 2x + 5. Determinati multimea B stiind cafeste surjectiva. 2 3. Rezolvati in rnultimea numerelor reale ecuatia x + 81og, x = 12 . 4. Determinali numarul real x stiind ca termenul din rnijloc al dezvoltarii (1 + x)8 este egal cu 70. 5. Fie hexagonul regulatABCDEF

de latura 1. Calculati lAC +EF

6. Triunghiul ABC are lungirnile laturilor a, b, c. Daca b eereului inscris in triunghi, calculati masura unghiului A.

+C

-

I· a = 2r, unde r este raza

ull

. ti numaruI natural x astfel meat: 1 + 5 + 9 + ... + x = 496. • pete(1Jl11l:'1 f, g . (0 (0) -t (0 (0) astfel tncat (g ° f)(x) == X4 , orieare ar fi x fie funCt,1 e, ., , 2· NAtati eaf este injective. . ti in multimea numerelor reale ecuatia .J x + 1 + log, X == 6 . oI 3. Rez vat, ( 1 1

•.••.!tIe".

E

(0,

(0).

)7

•• Aflati eel mai rnie termen al dezvoltarii

"2 +"3

fie punctele A(-I, 2), B(-4, 6) si C(3, -1). Aflati lungimea biseetoarei 5. triunghiu. IUl.ABC . 6. Caleulati eos2° + eos6° + cosl0° + ... + cosl78°.

din A a

SUbiedulli Subiectulll 1. Fie sistemul:

° °

X+3Y+Z == x+ y+mz == x+2y+(m+l)z==0

!

_b2 y + Z == 1 2 1. Fie sistemul (a + l)x-(b2 -1)y + 2z == 2 ,unde a, b { 2 (a +2)x-(b2 -2)y+4z ==4 a2X

,

unde mE 1R.

b) Determinati solutiile (xo, Yo, zo) ale sistemului pentru care x~ + y~ + z~

·

~ c

=6 .

c) Fie A matrieea sistemului pentru m == -2. Aratati ca An :1=h pentru orice n E N

2. in polinomul fa

== (X +

at

+ (X -

at,

unde

a

*.

este un numar real.

a) Determinati restul impartirii luiJa la polinomul x2 - a2• b) Determinati radacinile luiJa in cazul in careJa are eel putin 0 radacina reala, c) Aratati ea pentru orice a E R, a:1= 0, radacinile in C ale luiJa au partea reala zero.

~

V

o• :»

R.

Calculati determinarea matrieei sistemului.. . . . b) Determinati valorile lui a si b pentru care slste~ul estecompatibil nedetermmat. c) Aratati ca daca (xo, Yo, zo) este solutia sistemului, a~c .•: Xo ~ Yo + Zo:1= 2012. 2. Fie polinomulf == X - 4X + 1 si XI>X2,X3,X4 E C radacinile lui. II)

a) Determinati valorile lui m pentru care sistemul are solutii nenule. ~

E

(1-~J(l-:J(I- :J(I- :J.

II)Calculati

°

5 b) Aratati . ca XI5 + x25 + X3+ x45 == • c) Aratati cafare exact doua radacini reale.

z ~

Subiectullll

Subiectullll

1&1

A.

:E

·

:» v

III 1&1

Z

><

b) Calculati: lim f(sinx) x-+ 0 x3

ac

R,j{x)==5x + 10.1+ 1. .' . 1.Fiefunctiaf:R-t II) Aratati ca exista a, b E R eu a < b astfel incat sa se poata aphca funepelfteorema

. +1

== j{xJ. Calculati x-+'"

1&1

""ci ~ :z: v ~ZIlC

Q

2. Fief [0, (0) -t R, f(x)

• 174

1 x+l

arctg- -.

a) Aratati ca oriee primitiva a lui R este concava, b) Calculati:

If

o

C

~

=

f(x) dx. (x+l)2 x+2

c) Calculati: ~

f

x

f(t) dt.

lui

Rolle. b) Determinati imaginea functieij"

c) Fie sirul (xn)n2: 0 definit astfel: Xo == 1 si x,

CD

4

1. Fief: R -t R ,j{x) == x - sin x. a) Aratati cafeste strict crescatoare.

. . (f(l)

c) Calculati hm n4C1O

+ f(2) + f(3) + .,.+ f(n»)" 5 n

2. Fie functiaj.(O, (0) -t lR ,j{x) == cos(ln x). r' f(x) a)Calculati I" == ,b-x- dx . b) Calculati aria suprafetei marginite de graficulluif, axa Ox si dreptele x == 1 ~ix == e.

.'

c) Calculati

!~ f I" (x) dx . •

•

17

Testul21

festul22

Subiectull

ull 61bied 'd' It ..... itm ti - Caleulati suma primilor zeee termern ai unei progresn an e lee avan pnmu ermen 1. al cu -10 si ratia egala eu 2. eg """"1 W. para b 0 1ei. ee reprezmta . - gra fi eu I fun ctiei . . J)eterminati eoordonate Ie VCUIU

1. Aratati ea (-00, IOg23)(] (1, +00)"# 0.

2. Fief: JR ~ JR,j{x)

= 3x x

3. Rezolvati ecuatia 4

+2

x

1. Calculatij{f{I».

2- t: lR ~JR,

= 72.

4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ea

A; = 110 .

5. Determinati ecuatia dreptei ee treee prin punctul A(I, I) si este perpendiculara pe dreapta de ecuatie x + Y - 1 = O. 6. Calculati raza eereului inscris in triunghiulABC euAB = 3, BC= 4, CA = 5.

j{x)=~2+x-3. . Rezo1vati in JR ecuatia IOg2(X+ 1) = -1. 3. C'te submu1timi ordonate eu 3 elemente are 0 multime eu 4 elemente? •• a in dreptei drentei dee ecuatie ecuati x - 2:Y + 3 = 0 . s. Serieti eoordonatele umn. punet ee apartm

6. Fie a

E

sin a = % . Calculati eos a.

(0, ;),

Subiectulll 1. Consideram permutarile

2 3)1

a =(~ 3

~l T

=

(13 22 31),

subiectulll x+Y+mz=o

1. Consideram sistemul de ecuatii liniare

a) Calculati cr2•

...• III

a::

~

i ~

{am 1m N*} are 3 elemente. astfel incat am = t" . Aratati ea 6 divide mn.

b) Aratati ea multimea c) Fie m, n EN'

E

+ 2Y + z = 1 ,unde

m

E

JR .

-x+y+z=4

a) Determinati valorile reale ale lui m pentru care (-2, 1, 1) este solutie a sistemului. b) Calculati determinantul matrieei sistemului, 1

2. Se considera multimea M ~ { A(n) IA(n) ~

C: n

n

1~nJ

E

Z} .

-e ...•

;f

x

{

a) Aratati ea A (n ) . A (m ) = A ( n + m) , orieare ar fi n, m

E

Z.

;:)

o

b) Demonstrati ea M este grup in raport eu inmultirea matricelor.

~

c) Aratati ea f:

(Z,+) ~ (M,.),

f(n)

= A(n)

c) Rezolvati sistemul pentru m = - . 3 2. Pe JR definim legea de compozitie x 0 Y = xy + x + Y , pentru oriee x, y

a) Rezolvati in JR ecuatia x x 0

=8

E

JR .

.

b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa, c) Aratati ea daca x, y E (-1,00), atunei xo y E (-1,00) .

este izomorfism de grupuri.

;:)

z

~ III a.

Subiectullll

Subiectullll

1. Consideram sirul (an)n~1 deftnit prin al

a.

a) Calculati derivata functieij"

~ ~

b) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij" in punetul A (0, 1). c) Determinati asimptotele la graficul functieij.

:E 1.Fief:JR~

JR, f(x)=.Jx2+1-x.

a::

~

C • III X U CC

Z

o a:: Q

f

= x" . sin x dx .

n->ao

= J12 + an

' n ~ 1.

e-eeo

2. Consideramj": a) Calculati

0

a) Calculati 1/ . b) Aratati ea In+1 ~ In, orieare ar fi n ~ 1. c) Demonstrati ea lim Z, = 0 .

an+1

a) Aratati ea sirul (an)n~1 este crescator. b) Aratati ea sirul (an)n~1 este marginit superior de 4. c) Demonstrati ea lim an = 4 .

1

2. Pentru fieeare numar natural nenul n definim In

= 1 si

b) Calculati

x

JR~ JR ,j{x)

1 1

eX f(x)dx

= x . e-

.

.

f(x) dx .

c) Demonstrati ea lim x->o

r

f(t)dt 2

X

1 =- .

2

z CC :E

•

•

176

17'1

Testul23

restul24

Subiectull

1. Calculati (1 + ifi )(1- ifi + if4) . 2. Fie functia f: JR ~ JR, f(x) = 2+3x. Caleulatij{-10) .~

3. Rezo I vati

1!l)

ill ~

8..-+1

h

ecuapa

=

41

-x

5&lblectull

+ j{-9) +...+ j{9) + j{1O).

1. Calculati partea ~intreaga a numaru lui Ul

2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ea abseisa varfului parabolei f: JR ~ JR ,j{x).= ~ + mx +~1 este ~gala eu 2. 3. Rezolvati ecuatia smx = -1 ill multimea numerelor reale.

.

4. Rezolvati in multimea [0, 21t) ecuatia sinx = ~ . 5. Aratati ca veetorii VI = 7 + 8 J si v2 = 47 - 7 J au module egale. 6. Calculati perimetrul triunghiului ABC stiind caA = 120°, AB = 3 ~iAC

4. Determinati termenul din rnijloe al dezvoltarii (1 + ifif = 7.

~2

E

JR eu sina

u:: I-

c) Aratati ea (A

a:

i

5u:

·

2. Polinomulf

+ BY

=.x - X-I

[0

Z

-e ii: 1&.1

~ ~

• :J

+ en, orieare ar fi n

E

b) Calculati

E

N·.

qX] are radacinile eomplexe

X" X2, X3'

x; + x~+ xi . + X2)

= -2.

1. Consideram functiaj": (-1,

(0) ~ JR ,f{x) = r! - 1 -In(x a) Calculati derivata functieij" b) Aratati ea functiaj''este convexa. c) Demonstrati eaj{x) ~ 0, orieare ar fi x E (-1, (0).

2. Consideram functiaj": (0, (0) ~ JR, f(x)

~

·

a) Calculati

+ 1).

U

Z

o z -e

~

1] 1

[1

°

0]

° °.

si 13 =

1

001

a) Determinati rangul matrieei A2. b) Aratati ca inversa matrieei h - A este h + A + A2. c) Calculati inversa matrieei 13 + A. 2. Pentru fiecare numar natural nenul n consideram polinomul f" = a) Determinati radacinile eomplexe ale polinomuluij]. b) Aflati catul impartirii polinomului S la polinomulji. c) Demonstrati eafi dividef" daca si numai daca 3 nu divide n.

r +X' + 1

a) Aratati ea a ••, - a • 2

2

E

C [x].

~.!., orieare 2

ar fi n ~ 1.

2

2

.!..

c) Demonstrati ea lim a. = 00 •

x

.-+00

ff(x)

2. Fie functiaj": JR ~

dx .

,

b) Calculati

JR, f(x)

= _1_2

l+x a) Scrieti 0 primitiva a functieij"

.n

::t:

~

tg a.

2

1&.1

-e

= _1__

x+I

1&.1

""ci

°°

v2 = 27 - 3J .

b) Aratati ea a • ~ 1+ ~ , orieare ar fi n ~ 1.

1&.1

:i

1

~i

Subiectullll ., 1 1 1 1. Consideram sirul a = 1+ - + - + ...+ - , n ~ 1. • 2 3 n

Subiectullll

U

'"

=

Calculati

.

2

000

a) Aflati restul impartirii luifla polinomul Y - 1. c) Aratati eaj{xi

:J

= An

= 0,6.

sublectulll

1. Fie matrieele A a) Aratati ea rangA + rangB = 3. b) Rezolvati in JR ecuatia det(A + xB) = 0.

v, - v2 , unde v, = 7 - J

5. Caleulati lungimea veetorului 6. Fie a

Subiectulll

1. Consideram matricele A = [ :2

J21_ 2 .

f, f(x

2

)

dx .

c) Determinati valorile lui a E (1, (0) pentru care

b) Calculati

f" f(x) dx

Jt/a

= -1.

c) Calculati

1 1

xf(x) 3

x f'(x)

dx . dx .

.

i I

< U ~

:::E

1&.1

~

:::E

•

•

178

17!i

Testul25

Testul26

Subiectull 1. Aratati ca 100'g7 EN.

subiectull

1. Determinati Z E C stiind ca 2. Aratati ca dreapta de ecuatie

2. Determinati punctul de maxim al functieij": lR~ lR,j(x) = _x2 + 2x + 1. 3. Aratati ca functiaj": lR~ lR,j{x) = x3 + 1 este injectiva. 4. Cate diagonale are un poligon convex cu 10 laturi? S. Calculati distanta de la punctul A(l, I) la dreapta determinata de punctele B(2 3)

C(-1,5). 6. Calculati

' raza cercului circumscris unui triunghi ABC cu AB

Subiectulll

I.Considernmmatricele

....I W a: I~

o ~ ....I

..:(

~

::::>

A=[~

=5

si m(
= 120

0

Z

+ 2:Z = 9i .

+ 1 intersecteazii parabola de ecuatie ,. Rezolvati in R ecuatia (1 +.fi y = 3 + 2.fi .

. ~l

•

i

y =x

y = x2

-

3x

+ 2.

4. Consideram multimea M

= {l, 2, 3, 4, 5}. Determinati probabilitatea ca, alegand 0 submultime a multimii M, aceasta sa aiba 3 elemente. 5. Consideram punctele A(l, 2), B(O, 1) si G(-I, 2). Aflati coordonatele punctului C stiind ca G e centrul de greutate al triunghiului ABC.

6. Fie a E lR cu tg a = ~ . Calculati tg ( a + ; ) . subiectulll

1. Fie matricea A =

a) Calculati detA. b) Calculati range.

a) Calculati det(A + fA), unde fA este transpusa matricei A. b) Aratati ca A2 - A = h. e) Fie BE M2 «(1)) , cu AB = BA . Aratati ca rangB::;; 1.

e) Determinati matricea X E M2,3 (lR) astfel incat XA = B. 2. Fie a, b E lR astfel Incat radacinile z" veri fica Iz,1 z r, IZ21 ~I, IZ31 z t. a) Calculati Z,Z2Z3. b) Aratati ca Iz, I = Iz21 = Iz31 = 1. e) Demonstrati ca a + b = o.

Z3 E C

Z2,

ale polinomului

J =~

+

ar + bX -

G ~J-

1

2.FieJ:lR~

lR o functie periodica si multimea M={tElRIJ(x+t)=J(x),

\fXElR}.

a) Aratati ca daca t E M, atunci -t E M

b) Aratati ca Me subgrup al grupului (lR, +) . e) Dati exemplu de functie periodicaj" pentru care M = Z .

U

.

u Subiectullll ~ ~

~

.

~ ::::>

u VI w

~

Subiectullll

1. Consideram functia J: (0,
e) Demonstrati ca exista un unic punct e E (0, oo) cu proprietatea ca e . lne = 1. 2. Fie functiaJ: (-2, 2) ~ lR, J(x) = a) Calculati

£ x J(x)

o~

b) Calculati

£ J(x)·

~

e) Aratati ca f/(x2)

-e

a) Calculati lim J(x) . x-e-l Xl -I

1

.

.)4- x

b) Calculati derivata functieij. e) Determinati asimptota la graficul functiei

2. Fie functiaj": lR~ lR, J(x)

2

w

z

1. Consideram functiaj": lR~ IR,j{x) = (x - 1) arctgx.

nO

ffi ~

.

dx . arcsin ~ dx .

a) Calculati

£ x J(x)dx

b) Calculati

£ x J(x )dx 2

£

J(x2)

dx .

+-.

co,

x +4

.

•..

:::E

.

2 dx =

=

J catre

e) Demonstrati ca sirul an =

I

tk k='

>CC

U 2

k +4n

2'

n ~ 1, este convergent.

~

:::E w

~

=::::E

•

•

180

181

estul28

Testul27

biedull

Subiectull 1. 0 progresie geometrica de numere reale are al doilea termen egal eu 2 si al cincj] termen egal eu 16. Calculati ratia progresiei. I ea

2. Calculati p +!!... stiind cap + q = 6 si pq q P

= 3.

x_.l . I l+i n..terrninati partea reala a numar unn eomp ex z = - .. .~ 1-1 . X X2 E JR radacinile ecuatiei ~ - 5x + 2 = 0. Calculati XI • f Ie ., 2" . •• }\rAtati ea funetiaf: [0, 1] ~ JR ,j(x) = x + x, este injectiva. 50 J. }\rAtaP. ca~ C100 2 C50 = 99 •

3. Rezolvati in JR ecuatia sin ( x + : ) = 1.

50 fie ABCD un patrat de latura

4. Determinati numarul submultimilor eu eel mult 3 elemente ale multimii {I, 2, 3, 4, 5, 6} ee contin eel putin un numar impar.

•• fie x

5. Fie ABC un triunghi eehilateral de latura 4. Calculati AB· AC . 6. Fie a

E

JR eu tg a

=.!... Calculati

sin2a.

E (~

,f()

x+cy+c

24 63J .

~

c) Aratati ell inversa matrieei

~

2. Consideram polinomul

f

13 + X2 + aX + b E Z[X] .

J2

°

~ ;

Subiedullil

~ ~ ;.

1. Consideram functiaj": (0, 00) ~ JR ,j(x) = 1n2x -Inx a) Calculatif'(I). b) Rezolvati eeuatiaf"(x) = 0, x E (0,00). c) Determinati punetele de extrem ale functieij.

Q

• ~ ~ ~

a:: ~ C

~

• 182

2. Pentru fieeare numar n

E

2 Z

=C

•

3

+ x.

2x = 6 .

12

ecuatia

b) Rezolvati in Z

12

ecuatia x = i.

e) Aratati ea daca x

a) Aflati valorile intregi ale lui a stiind ea este rlidlieina a polinomuluif b) Aflati valorile intregi ale lui a ~i b pentru earefadmite radacina dubla 1. c) Demonstrati ea nu exista a, b E Z astfel ineatfsa aiba radaeina tripla.

v

3

=b

Rezolvati in Z

II)

h - A este 13 - ~ A .

= X3

JR ~i sistemul de ecuatii liniare

Aratati ca determinantul sistemului este egal eu (c - a)(c - b)(b - a). b) Aratati ea sistemul este eompatibil determinat. e) Rezolvati sistemul. 2. Consideram ine1ul elaselor de resturi (Z 12, +, . ).

6 9 a) Calculati rangA. b) Aratati ea An = 14n-IA, orieare ar fi n EN'.

o

C E

z=a

II)

~ •

~

a, b,

2

x+by+b2z

Consideram matricea A = [~

lungimea veetorului AB + DA .

SUblectulli

x+ay+a Subiectulll

XIX2·

eu sinx = ~. Calculati tg lx.

1. c{onSideram num~rele distinete

3

11.

J2 . Calculati

+ X2 -

2

E

Z

12

verifica x"

= i,attmei

x

= i.

Subledullil

1. Fie

m

E

JR si functiaj": JR ~

JR, f(x)

=

r;x .

x +1 Il) Determinati asimptotele grafieului functiei m. b) Determinati m E JR pentru earef'(O) = 1. e) Determinati m E JR stiind ea Ij(x) I ~ 1, oricare ar fi x

a. Consideram

functiile f: JR ~ JR, f(x)

=x

2

E

JR.

+ e' si F: JR ~ JR, F(x)

=

r

f(t) dt .

Calculati F( 1). b) Aratati ea functia F este inversabila,

Il)

N* definim In = £_x_n_ dx . (x+l)2

2

e--

f rl(x) 3

c) Calculati

a) Calculati II.

dx.

o

b) Aratati ea In+2+ 2 In+1+ In = _1_, n+l c) Demonstrati ea lim J, = 0.

n-+oo

orieare ar fi n

E

N* .

• 183

Testul29

festul30

Subiectull

SIIbiedull

1. Ordonati crescator numerele ~ , IglOO ~i J0. 2. Aratati ca 4~ + 3x + 1 > 0, oricare ar fi x E lR .

Calcu1ati modulul numarului complex z == -3 +4i. ~ Aflati punctele de intersectie ale graficului functiei f: IR ~

3. Rezolvati in IR ecuatia arctg(x + 1) ==

Ox•• Rezolvati ecuatia logec == log252x.

tr .

4

.,.

4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ca n + 135 == C; . 5. Aratati ca unghiul vectorilor ii == 7 -

6.ln triunghiul ABC avem AB

==

5, BC

3]

3

2

•• Calculap C7 - ~ • 5. Aflati a E lR stiind ca dreptele d, : x - 2y == si d2 : ax + y + 5 == 6. Fie x E R astfel tncat sinx + cosx == 1. Calculati sin2x.

°

si V == 27 +] este obtuz.

== 6, CA ==

•

7. Calculati lungimea medianei din A.

COSX

1. Pentru fiecare numar real x consideram matricea A( x) == Si~x

-sinx co; x

OJ ~.

I. Consid,- matrice

A

= [ ~l

a) Calculati detA(x), x

E

lR .

b) Aratati ca A(x) . A(y) == A(x + y), oricare ar fi x, y

E

lR.

t-

~

c) Determinati inversa matricei

Q

u.: ~

f

2. Consideram Xl. X2, X3 E

A(

tr ).

4

ecuatia cu coeficienti reali 2x3 + x2

a) Rezolvati ecuatia pentru m == 0. b) Calculati

'}

c) Determinati m

2 Xl

+

x; + xi . E

IR stiind ca X'X2 == 1.

a: 1&1

I:L.

CII

ffi

x a) Aratati ca functia este strict monotona. b) Determinati asimptotele graficului functieij" c) Calculan ~~(f(I)+ f(2) + ...+ f(n». 2. Fie functiaj": (0, oo] ~ lR ,j{x) == lox.

~

"'"

a) Calculati

o

b) Calculati

1&1

~

o a: Q

Z

13x + m == 0, avand radacinile

. I

I

r

f(x)

1-+0 1>0

r' f(x)

l

dx == -1.

X2, X3,X4·

1

f(x)==

{InX, x-I

x#1

.

I ,x==1 a) Aratati ca functia

f este

b) Calculati lim f(x) - f(l) x-e l x-I c) Aratati caf'(x)

continua in punctul x == 1. .

::; 0, oricare ar fi x > O.

2. Fie M multimea functiilor continuef:

dx .

rex (f(x) + ru» dx .

c) Aratati ca lim

I

== In 1 + x .

~ ;; ~ ~

1

a) Calculati detA. b) Determinati valorile lui a E Z pentru care rangA == 2. c) Calculati £' pentru a == O. 2. Consideram polinomulj'e A" + X-X + l e C [X] cu radacinile complexe r., a) Calculati restul impartirii lui f la polinomul g == X2.

. f 1. F ie :(O,cx:l)~lR,

Subiectullll 1. Consideram functiaj": (0, co) ~ R, f(x)

M3(Z).

Subiectullll

~ ~

sunt paralele.

b) Calculati -+-+-+-. XI x2 X3 x4 c) Aratati ca polinomulfnu are nicio radacina reala.

C.

5

-

2 OlE aJ 3

[

i

°

subiedulll

Subiectulll

~

IR, j{x) == ~ - 3x + 2 cu axa

[0, 1] ~ lR cu

If

(x) dx == ~ .

a) Aratati ca functia g : [0, 1] ~ R, g(x) == x apartine multimii M

b) Functia h : [0, 1] ~ lR , hex) == x2 + X + a apartine lui M Determinati a E lR . c) Demonstrati ca pentru orice functie f E M exista c E [0, 1] astfel incatj{c) = c.

-e

~

•

•

184

185

Testul31

1estul32

Subiectull 5&lbledull

1. Fie a = ~1024 , b = if4 si c =.J4 . Verificati daca ab = c4• 2. Determinati imaginea functieij": [1, 2] ~ IR ,j{x) = 2x + 1.

.12 1.CalculaP modulul numarului comp ex z = l+i .

2)X (5)X+1 = 0 . ( 5" -"2

3. Rezolvati in IR ecuatia

4. Determinati numarul elementelor unei multimi M stiind ca Mare 32 de submultimi cu un numar impar de elemente.

J3 .

s. Fie ABC un triunghi echilateral de latura Calculati lungimea vectorului 6. Aratati ca sinx . sin(x + n) ~ 0, oricare ar fi x E IR .

1. Fie matricea A

= [~ o1

OJ 1 .

o ....• III

i::l Q

~

a) Calculati

1. Fie matricea A = (~

A3 .

b) Determinati rangul matricei A . AI, unde AI este transpusa matricei A.

exista nicio matrice B E M3( C) cu Jil = A. 2. Consideram polinomulJ= (Xo _2)10 -X -2 E C[X]. c) Demonstrati ca nu

c) Demonstrati ca polinomul g = XO

Subiedullll

ii2

1. Fie functiaj": IR ~ JR ,j{x) = x . e-x. a) Calculati limJ(x).

.

~

a~

Z ~

-

c) Demonstrati cap)(x)

= (-Ircx

2. Pentru fiecare numar n EN'

b) Aratati

Q

Z

c

:E

b) Aratati ca A2 - 12A + 36 e) Determinati matricele

daca

X,Y E JR}.

.

h = O2.

B E M2

(JR) cu proprietatea cii

= {cosq1r+

x, Y EM,

~)i

B2

+B =

A .

I q E Q}.

isinq1r

atunci xy EM.

-n) . e-X, oricare ar fi n EN'

notam 1n =

este morfism de grupuri.

1. Consideram sirul (xn)n~1 definit prin ~ = ~ si xn+1= x; - 8xn + 20, n ~ 1.

r'~

~i x E JR.

a) Aratati ca xn ~ 4 , oricare ar fi n ~ 1.

b) Aratati di xn+1- xn ~ 0 , oricare ar fi n ~ 1. dx .

k2x+3

C

s

1) ~i

Subiedullll

b) Aratati ca J(x) ~..!.., oricare ar fi x E JR. e

a) Calculati 12•

z

si multimea M= {( ~

a) Aratati caAX =XA, oricare ar fi X EM

a) Aratati ca

X->
III

s

stiind ca A(O, 1), B(I,

e) Aratati ca functia J: (Q,+) ~ (M,.), J(q) = cos qr: + isuxq«

d

•

;)

2. Consideram multimea M

X - 2 divide f

II:

~

ABC

6 cu

b) Demonstrati ca M formeaza grup cu inmultirea numerelor complexe.

i A.

A in triunghiul

-

C(3,2).

Subledul"

b) Calculati suma tuturor radacinilor complexe ale luif

III

5. Calculap lungimea inaltimii din

0

a) Calculati suma coeficientilor polinomuluif

c

+ AC.

1R, fix) = x2

6. Ariitap ca sin (x + : )- cos ( : - x ) ~ 0 , oricare ar fi x E JR .

Subiedul"

II: •...

AB

2- Determinap punctele de intersectie ale graficului functiei J : JR ~ dreapta de ecuatie y = x. 3. Rezolvap in JR ecuatia 10&2 = log93. 4. Calculati suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii (a + b)'o.

e) Demonstrati ca sirul (xn)n~1 converge la 4.

2. Consideram

ca 21 n+1 + 31n = _1_ , oricare ar fi n > 3 n+I - .

functia J: JR~ JR, J(x) = 1

1

.

2

•

+sm x a) Aratati ca orice primitiva a functiei J este injectiva. b) Calculati

1r J(x)cosx

e) Calculati

r J(x) dx . 1

12

c) Demonstrati ca lim n1 =..!... a-ecc

n

5

dx.

/4

• 186

187

Testul33

restul34

Subiectull

5L1biectull

arului • ·a cu at! partea froacnonara a numaru UI x = -123 +- +- . lCII " 2 3 4

ab. ,. Fie a, b E lR. astfel mcat 2Q = 3 si 3b = 4. Calculati 2- 0 functiefde grad 1 arej{O) = 2 ~ij{4) = -4. Calculatij'(I).

2. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatia x' + x> 12. 3. Aratati ca functiaj": [1, 2] ~ [3, 4], fix) = 5 -x este inversabila.

J. Rezolva~ in lR. ecuatia tg ( x + : ) = 1 .

v

4. Determinati termenuI dezvoltarii (

Fx + ~

J

ce nu 11 contine pe

x.

S. Punctele A, B, C, D verifies 3 AB = 2 AC + AD. Aratati ca B, C si D sunt coliniare. 6. Stiind ca a E ( ; , 1( ) si cos a =

-j ,calculati sin 2a.

~. Calculati probabilitatea ca, alegand 0 pereche (a, b) din multimea {l,2,3} x {I,2,3},saavema+b=5. 5. Determinati ecuatia dreptei ce trece prin origine ~i este perpendiculara

pe dreapta de

ecuatie x + 3y + 5 = 0.

6. Calcu1ati masura unghiului A al triunghiului ABC stiind ca AB = 5, AC = 8 si BC=7.

Subiectulll

°

subiectulll

X-2Y+Z = 1. Consideram sistemul de ecuatii liniare ax + Y - 2z = 1 , cu a, b E lR. . { ...• ~ -x+3y+z =b a) Calculati determinantul sistemului. b) Dete~at~ a ~~b pentru care (1, 0, -1) este solutie a sistemului. ....: c) Determinati a ~l b astfel incat sistemul sa fie incompatibil.

1. Consideram matricele A =

:: :::;)

u

~ :::;)

:i

ffi ;

.

a

-2a

a)

I-a

M, f(a)=(

""ci .:.

is-e

Z

~

Q

:i

1. Consideram functiaj": (-1, (0) ~ R, f(x)

este izomorfism de Ia

2. Fie A =

r. 12·

smx smx+cosx a) Calculati A + B.

b) Aratati ca A = B.

•

c) Calculati A .

dx si B = f"/2

cosx

C _- (23 21) .

+4X2

+aX +b E lR.[X],

aviind radacinile X"X2,X3,X4

E C.

IR stiind ca polinomul f = X2 + 3X + 3 divide P.

Subiectullll

1. Consideram functia f: IR~ lR. , j{x) =,f + X + 1.

2 = x - 2. x +I

1 sinx+cosx

7

4 ) ~i - -9 -5

a) Aratati ca functia f este strict crescatoare . b) Aratati ca functiaj este surjectiva, c) Calculati (Fly (2).

2. Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, f(x)

a) Calculati derivata functieij' b) Determinati asimptotele graficului functieij. c) Determinati punctele graficului functiei f in care tangenta la graficeste dreaptay = 2x.

~

188

a-I)

2-a

Subiectullll

CD

a::: U,I

2a-I

-2a+2

B _(

b) Calculati (XI - X2)2 + (XI - X3)2 + (XI - X4/ + (X2 - X3)2 + (X2 - X4)2 + (X3 - x4f c) Demonstrati ca oricare ar fi a, b E lR. , polinomul P nu are toate radacinile reale.

grupul multiplicativ al numerelor reale nenule la grupul (M, . ).

U,I

Z

a) Determinati a, b E

a) Aratati ca daca X, Y E M, atunci XY E M b) Demonstrati ca M formeaza grup in raport cu inmultirea matricelor.

III >CC

2. Fie polinomul P = X4 +3X3

I aE(-I,OO)}.

c) Aratati ca functia j": (0, (0) ~

l l'

b) Aratati caAC = CB. c) Demonstrati ca B" = C-' . An . C , oricare ar fi n E N* .

5

2. Fie M={(I+2a

1)

a) Calculati C-' .

i

~

(01

dx

f"/2

1

a) Calculati

1 --

b) Calculati

!

paralela cu

fW

dx .

= .JI- x2 .

~

x .JI- x2 dx.

c) Calculati aria subgraficului functieij.

.

18

estul36

Testul35 Subiectull

°

1. Consideram progresia aritmetica an = 1 + 7n n> 1 Calculati . '1 t' suma pnnu or 1 terme . 2 Aratati fi ' - . • atap ca gra Ice1e functiilor I: lR. -+ JR ,j(x) = x2 si g : lR. -+ lR. g(x) = _ 2 Ill. au puncte comune. ' 2x + 4x -7 nu

3. Rezolvati in lR ecuatia cos ( x - ; ) = cos ( 2x + 4. Determinati n

2

N stiind ca n

E

5. _Fie 0 punctul

de intersectie

,

d2. '2x-y-l-0

1 Calculati determinantul

b) Determin at,ti m

E

l!l>' ~

para 1e 1ogramului

ABCD.

Calcu1atl' t

t'l

=

c) Rezolvati sistemu1

o

2

-1

-1 .

-3

m

-1

=

2x - y - z = {

~

-

~I'd' 3. -

3X + my - 1 = 0, cu m

-3x+my-z

M={[a+b..fi

°

°

d .:.

is

~ o

!i

=

°

b a-b..fi

1

a,bEQj.

1. Pentru fiecare a

E

(0,00) \ {I} consideram functia

a) Calculati 1:(0).

L,

a) Calculati

C

b) Aratati CaJlt+l s In> 'in~ 1. c) Demonstrati ca sirul (In)n~1 este convergent.

• 190

3

I = X3

-

6X2 + 3X + m

E

qX] , avand

la : IR -+ JR, !, (x) =. aX -

Aratati ca functia

I este

strict crescatoare.

b) Demonstrati ca exista c

x-I

radacinile

XI. X2, X3 E

Calculati ~X2 + X2X3 + X3~ . b) Determinati m E C stiind ca radacinile polinomului sunt In progresie aritmetica. c) Determinati m E C stiind ca ffidacinile polinomului sunt in progresie geometries.

II)

II)

a'

>1 ,n_.

~}

1. Consideram functia I: (0,00) -+ JR, I(x) = x+lnx.

b) Dete~nat~ va1o~le 1ui a pentru care graficu1 functiei are asimptota la +00 c) Determinati va1on1e 1ui a stiind ca!a(x) ~ 0, oricare ar fi x E IR . . 2 . Fie I = rsinn~dx n 2

1. Considemm matricea A ~ ( ~

Subiedullll

Subiedullll

z

:E

ABC avem AB ==2, A(: ==3 si A = 120°. Calculati raza cercului circumscris

2. Consideram polinomul

stiind ca drepte1 e d I. d2, d3 nu sunt concurente.

b) Aratati caXY EM, oricare ar fiX, Y EM c) Demonstrati M formeaza ine1 cu adunarea ~i inmultirea matrice1or.

i

•• in triunghiu1

Calcu1ati A . b) Determinati inversa matricei A5. c) Rezolvati ecuatia X2 = A in multimea M2(JR) .

y

~

z

IR .

°

a) Aratati ca X + Y E M, oricare ar fi X, Y EM

;;

cto = C; + C~ .

50 Determinati distanta dintre dreptele paralele d-: y = x si d2: y = x + 1.

II)

ffi v ~

E

1 -2

stun d ca drepte1e d., d2, d3 sunt concurente. x+ y-2z

2.Fiemu1timea

A

triunghiului.

.

u:

~

cu prima bisectoare a sistemu1ui de coordonatexOy.

subiectulll

1.Sedaudrepteledl:x+y-2=0

;

I

N n divide 12}. Determinati

nUIllarul elementelor multimii A-B.

•• Determinati va1ori1e lui n pentru care

al diagona1elor

E

J. Determinati coordonate1e punctului situat la intersectia graficu1ui functiei I :R -+ R , •

Subiedulll

. 'S f

multimile A = {l, 2, 3, 4, 5, 6} si B = {n

ti 32x+1 9x 36 J. Rezo1vap ill ~l!l> ecuapa + = .

OA+OB+OC+OD. 6. Calculati raza cercului inscris in triunghiu1 ABC in care AB ~ AC = 4 si BC = 6.

a)

,.

I(x) ==1x-21-4,

c;.

4n =

-

f) .

Sllbiedull consideram

1), astfel incatj(c) = 0.

+ ...+ I(n)

.IC 1 1 . li 1(1)+/(2) a cu atl im

CJ

E (~,

n

n-+CXl

2

•

2. Consideram functiaj": (0,00) -+ lR, I(x) = a) Calculati b) Calculati

r r

I(x)dx 2

xl(x )dx

c) Calculati 1im x-+oo

. .

rx l(t) dt . 1

; . x(x +1)

C.

Testul37

restul38

Subiectull

blectull

1 J3. 1. F·ie Z=-+-IEC.

2

Aratati ca Z2 +Zatape(l

2

1ll>

Ell'!..

2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ell x + X + m ~ 0 , oricare ar fi x

.

5. Simetrieul punetului A(1, 2) fata de B(4, a) este C(b, 4). Calculati a + b. E

IR eu tg x = ~.

E

JR.

2

~etul

V(-1, l) este varful paraboiei y = x + ax + b. Calculati 2a + b. 1 . . 12r Rezoivap ecuatia g =. Determinati numarul functiilor s~et monotone I: {I, 2, 3, 4} ~ {1, 2, 3, 4: 5}: I)reptele d, : y = x, d2 : y = 2x + 1 ~I d3 : x + ay + 1 = 0 sunt eoneurente. Determinati a. S. Fie ABC un triunghi in care A = 30°, B = 75° si AB = 4. Calculati raza eereului 6. eireumseris triunghiului.

2.

!:

I(x) = l+x4 este surjectiva,

4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1 + J3)'00

6. Fie x

Calculati tg (x + ; ) .

subiectulll Subiectul "

1. Consideram matrieele A =

1. Fie A matrieea patratica de ordin 3 eu toate elementele egale eu 1. a) Calculati det(A - 313)' b) Aflati n E N stiind ea det(An + 13) = 82. •...• c) Determinati inversa matrieei 13 + A. 1&1

~ i

:I

~ mu Ipmea . 2. C onsiid eram G=

{(a -5b- 4b

Q

.

u:

a) Verificati daca matrieea ( 0

5b a + 4b

JIa

2

1 b) Dernonstrati ea B" = ( 0

}

+9b2 = 1 a b e JR ' , .

apartine lui G.

1.Considerlimfunetia/:JR~

~

a) Aratati ea functia

a ~ ~

ffi

a) Calculati b) Caleulati

r

c) Caleulati

!~

o ~

< ~

• 92

£ I(x)

dx .

I(lnx) dx. x n2 fl/(x) dx .

:) verifica XA = BX

2n) • 1 ' orieare ar fi n EN.

E

qX],

avand radacinile complexe x, X2, X3· g = 2X -1.

b) Calculati (1 - x,)(1 - X2)(1- X3)' . 1 1 1 c) Calculati -+ -+ -. , I-Xl l-x2 I-Xl Subiectullll 1.Consideram

functia I: JR~ JR, I(x) = x+sinx.

a) Aratati ea functia

I este

b) Aratati ea functiaj'este

1 x2 +3x+2

2.Fie/:[0,oo)~JR,/(x)=

1&1

~

I este

strict crescatoare. b) Aratati ca (r + 1)f"(x)j{x) = f'(x), orieare ar fi x E JR. c) Determinati asimptota grafieului funetiei/eatre +00.

II).

~

JR, l(x)=x+.Jx2+1.

~).

a) Determinati catul si restul impartirii luij" la polinomul

:I ~ Subiectul III

~

~i B = (~

c) Calculati A' 00. 2.Fie polinomul 1= 2Xl -3X2 -X +5

5 b) Aratati ea daca X, Y E G, atunei XY E G. c) Demonstrati ea G formeaza grup in raport eu inmultirea matrieelor.

~

(~1~)

a) Aratati ea matrieea X = (~

~J

-1 -

.,

si B au fieeare eate 7 ~le~ente, tar rnultimea A v B are lO elemente.

1. D terrninati numarul eiementelor multimii An B. 2

3. Aratati ea functia I: JR~[I,oo),

A

SII Multirnile A

2.

strict crescatoare. surjectiva.

:.~~m:.:::~::f:~:: :=;'1:~]~ n:

R, f.(x) " {s:~n: ' n,

x=O

r /,,(x) dx, pentru once . Notam In = 1 n E N*. l2

a) Calculati

h

b) Aratati ca I t

c) Calculati

2 n+

hOI3 .

2 . (n+l)1r. fi I = --sm , oneare ar I n n n +1 2

"'T*

E 1'1

.

• 193

Testul39

1estul40

Subiectull

J2

1. Dati exemplu de numar real x astfel Incat + x sa fie nurnar rational nenul. 2. Pentru ce valori reale ale lui m functia j: JR~ JR.j{x) = U + mx + 3 este crescatoars pe intervalul [2, oo)? 3. Determinati valorile reale ale lui x pentru care arcsin x ~

4. Determinati n EN' astfel incat 7· n! < 1000. s. Fie punctele A(1, 2), B(3, 1) si C(-1, 4). Calculati lungimea medianei din A in triunghiul ABC. 6. Demonstrati ca sin 4 < O.

1. Fie matricea A = [~

~

101

~J.

e) Determinati

-s-ea;: Q.

0

E

(

3

.

= O,j{I) = 1 ~1j(2) = 8.

1)6

x +x

-

S.Consideriim puncteleA(l, 0), B(3, 2), C(-I, 3). Calculati cosinusul unghiului BAC . 6.Determinati sernnul numarului cos2 . cos4.

[1

1 OJ 0

1 .

010 a) Calculati £1. b) Aratati ca An - An-2

JR pentru care A3 = uA2 + vA . E

2. Consideram polinomul j = X3 -6X2 E

~ din dezvoltarea

1.Consideram matrieea A = 0

matrice nenula X

a) Determinati m

terminati coeficientullui 4. D e

sublectul /I

a) Calculati rangul matricei A. b) Determinati u, v

Determinati a E JR stiind ca (a, a + 1) (\ (0, ~~;t 0. t rminati functiaj": lR ~ lR de gradul2 stiind caj{O) 2 :z.De e . . Rezo1vati in lR ecuatia Sill 2x = 2 cos x.

1.

3.

1i .

4

Subiectul "

SUbledull

Q stiind ca X-I

M3 (JR) astfel incat AX = 03, +9X +m

E

Q[X].

5

b) Determinati radacinile polinomuJui pentru m = -4 .

';!

e) Aflati valorile lui m e Q pentru care polinomuljare

0

radacina dubla,

orice numar natural n ~ 2 .

c) Calculati A 100.

2.Fie M={(:

divide f.

= A2 - 13 ' pentru

3:) I

a,bEQ}CM2(Q).

a) Aratati ca X - Y E M, oricare ar fi X; Y E M. b) Aratati ea X· Y E M, orieare ar fi X; Y EM.. e) Dernonstrati ca M formeaza corp lmpreuna cu adunarea

A

~l

•

•

inmultirea matncelor.

=> ~

Subiectullll

~

1.Consider1imfunctiaj:JR~

a:

Subiectullll

~

a) Aratati ca functia j nu este derivabila in x

~

b) Calculati f'(x),

w

~

ffi

x

4

JR, j(x)=~(x-I)2(x+I).

E

E

1.Fie functiaj": JR~JR ,j{x) =x -IU 2 a) Calculati lim(~j(x) _x ).

{-I, I}.

x-+

JR\ {-I, I} .

b) Determinati punetele de extrem ale functiei.( . e) Determinati punctele de inflexiune ale functieij. 2 2.Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, j(x) = .Jx + 1.

e) Determinati punctele de extrem ale functieij" 2.Pentru

p,qEN,

p,q~2,notiim

I(p,q)=

1xP-1(l-x)q-1

dx.

II).

.

c:i

a)

w X u -e Z

b) Demonstrap ca Iip, q) = I(q, p), oricare ar fip, q ~ 2.

Calculati 1(3, 3) .

e)Aratatica

+1.

p·I(p,q)=(q-I)·I(p+I,q-I),oricarearfip,

a) Calculati q EN,p~2,q~3.

1

j(x)·

f'(x)

dx .

b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia grafieului functieij in jutul axei Ox. e) Calculati aria subgraficului functieij,

o cr:

Q

Z c(

~

• 194

•

19

Solutii Ml ~ Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE

Tema 1.1

(dasele

c) Propozitia

este

falsa,

pentru

2. Propozitia este falsa, contraexemplu

x = I + J2

egala

[ v'2012 ] + (2 +.J2). {-J2}

b)

cu

3.

a)

[_I +_1 + ... + 1 ] =[I-.!.+.!.-.!.+ 1·2 2·3 2012·2013 2 2 3

=44+3(

e)

2.

-1))

~I-(

[(../3 +v'7t]

2012

\;;fyE lR

elemente. 22. .

= 44+ (2 + .J2)( -J2 c)

= 3·1 +5 ·2+7

+ 2) = 42.

Presupunem

o2=3+2b2-2b.J6

3 ·3+ ... +19·9+10

=>(x,y)=(O,O).

24.

7.

a)

~i

a) deci

9.

[-a + b] = 0 => b ~ a.

avem

Pentru

[X+±J=k+1

x

;to

0

inecuatia

Pentru

(m

2

-I)x

10.

{XElRl(x+2)(X2-4)~0}={-2}U[2,+oo),

11.

A=[I,I~l

deci

B={0,1,2}

~i [2x]=2k+l, x = -b,

+ 2:5 0

are deci

cu

maximul

A = (-2,2) => A nB nZ = {-I} . 14. card(A) =26, card(A)+card(B)-card(AnB)

contradictie.

X2+3XY+4l=(x+Y~J

+13{

26. a) . x2 + l

+(Z_I)2

+ Z2 - (xy + xz + yz) =

Fie

egalitatea

kEZ. este

.

Pentru

evidenta,

=34. 15. ~=0,(142857)

eel

[a - b] = 0 => b :5a. putin

elementul egal

cu

0

Pentru

cautat 2.

12.

card(B) =17, eard(AnB) =>eard(A)=6.

in final

solutie, este

ca,

daca

x E A,

atunci

23.

(../3 -

=>

= a =>

bJ2f

r+2xy+2i=(x+y)2+i=0=>

M

cu

AnN={1,2}. =9

~i card(AuB)

16. 141=0,(36)

~O, \;;fX,YElR.

=0 =>x=-2,y=-3,z=l=>x+ (x - y)2 + (x - z)2 + (y - z

avem

trei

~

ifb = 0 => a = 4,b

= 2,

cazuri:

b) ~

if].

< .J2 <

y+z=-4. = 0 => . x = y = z.

b) in a)

a) Se aplica inegalitatea mediilor pentru numerele

a+b~2.,Jab,

b+c~2Jj;

si a+e~2~

(,----;)2 "X -I -I

I r=: - ~ x ~ 2" x -I ~ 2

~i obtinem

'....

~ 0 . b) Impartim megahtatea

v'x -I + ~ y -I :5 I , care este adevarata din a). 29. Cum Fa , ~~o, x y

Fa = 0,

ifb = 2 => a = O,b = 16

sau

~ =1, ~ =1=>a=l,b=1

= O. Deci A = {(0,16),(1,1),( 4,0)}. 30. De exemplu

si b = -.J2 .32. c) .!. < 2

n

25.x2+y2+z2+4x+

De exemplu (0,1,9).33.

J5 < .J3

I .J2 = 3- 2

.J3 +.J2

a) In2 <.J2 <

. d) .!. < log32
sau

a = I ~i b = 1. 31.

if] .

../3.

a=b.

x=0.

deci egal

v'

x -I a) --:5 x

inegahtatea ceruta. 28.

cu xy si obtinem inegalitatea

deci egalitatea este evidenta, b) Daca

avem

usor

../3 = a + bJ2

a,b E Z astfel tncat

~ ~i ~. b) Inmultim intre ele inegalitatile b a

{{x}+y}={x-[x]+y}={x+y}={x+{y}}.

[2x]=2k,

arata

=625.

k E {0;1;2} => A =[ 0,±)U[I,%)U{2}.

8.

se

~i a=.fjEZ,

+(y+3)2

De exemplu a =.J2

x = -a

inductie

b) Fie x=a+b../3,y=e+d../3EA.

[x] = 0 => {x,x2 ,...,X2012}c A, deci A are eel putin 2012

ca exista

=>b=O

+6y_2z+14=(x+2)2

[v'2009]+3.{-!}-

5. [ ~n2 + nJ = n ~ n:5 n2 + n < (n + 1)2 , inegalitati care sunt evidente.

[X+±J=k

XE[k+±,k+I)=>[X]=k,

Prin

c)

luam x = a, y = b ~i z = 2 , deci a = b = 2.27.

{{x+y}+z}={x+y+z}={x+{y+z}}.

XE[k,k+±)=>[X]=k,

;to

{../3}=../3-IEA.

sunt irationale, iar suma lor este

... +_I_-_I-J =0. 2012 2013

.J2]+ ... +[.JiOo]

X>I~~E(O,I)~[~J=o.

b)

si y = 1- J2

= 10+[ 2.J2l] = 19.4. a) XE [k,k +±}

b) {x} = ~ => B = { -: ,~,~}.

6.

[.fi]+[

= 46. d)

x2 + y2

x = 1000

=l+../3EA,

x" E A, \;;fnE N· . Fie acum x =../3 -I,

x = 2, 5 si y = 2,5 . b) Propozitia este falsa, contraexemplu

contraexemplu

21. a) ~4+2../3

xy = ac + 3bd + ../3 (ad + be) EA.

IX-X)

Multimi de numere. Multimi ~ielemente de logicii matematica

1. a) Propozitia este falsa, contraexemplu x =.!.. 3

OE{4,5}.

lema 1.2

Funqii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)

4n + 4 4n 12 0 d . . I ( ) • a = ---=( )( ) > , eCI siru an >1 este crescator. n+4 n+3 n+4 n+3 ne

-2.

1

13.

2. an+1- an = (n + 1)2 - (n + I) - n2 + n = 2n > 0, deci sirul

=

• an+1

3.

-

n

1 = __ I + __I + ... + n+2 n+3 2n + 2

n" I

este crescator. b) xn+l - x, =

a)xn+1-x

deci suma deci sirul (xn)

10 cerutliesteegalacu 10. 17. - =0,(769230) =>al +~ +"'+~OI2 =335.(7 +6+9+2+3+0)+7 +6=9058. 13 18. Numerele I ~i 2 sunt printre radacinile ecuatiei x2 + mx + 4 = 0 , deci m E {-5, -4} . 19. Solutia 1. lnIocuind solutiile I si 2 in ecuatia x2 + mx + n = 0 , obtinem sistemul m+n+I=O { 2m + n + 4 = 0 => (m, n) = ( -3,2) . Solatia 2. n = XI. x2 = 2 ~i -m = XI+ x2 = 3 . 20. Observam ca solutiile intregi ale ecuatiei se gasesc printre divizorii lui 4, deci solutiile posibile sunt 1,2 sau 4, adica

e st e

descrescator.

c)

n I v4. a)xn = ~k(k+I)(k+2)

xn+1- xn = (

n+2

I(n I =2 ~k(k+l)

und e marginirea .. . I' b) ~ 21:+1 2 siru U1. ',I x" = L.. k=lk(k+l)

I )(

(an)n~1

I

I

n+I

n+2

este crescator,

I ... __ I = = __ I + 2n 2n + I 2n + 2

rn+2 1 Fn+l ~ n + I + .j;;n < 0, n+2+ n+I n+1

) > 0,

deci eCI

n 1 - ~(k+I)(k+2)

~ ~-_1-2J=I-_1_2 trl..,k (k+l)

)

siru I

>0,

n+I

deci sirul (xn LI

()Xn n,,1

I( I = 2 1- (n+2)(n+3)

(n+l)

I

este

)

crescator.

( I) d E 0'2 ' e

E(O,I). c) Xn=_1_ E(O,I). n+1

l'

5.

a)

b)

Fie r ratia progresiei.

= 18r = 36 =:> r = 2. Os = 00 + 5r = 7 =:> 00 = -3.

023-05

0n=2015=-3+2n=:>n=1009,

deci

=6~1(02+02012)=671.2011=1349381. al +0:1+as +a6 =30=4a1 +llr=>al

2015=01009.

6. Fie

r

ratia

c)

013 = 00 + 13r

T=02+0S+0g+

progresiei.

04-a2=4=2r=:>r=2.

9. 2{Z-°+2 +1) =20-1+ 20+1 +1,

~i notand

~

20=1>0

1)2013

obtinelll

1- --2 (

4 ) / 8 2 ( -+1 =-+2t+1=>/1=--'/2=2,

ecuatia

/

2

tenneni, deei 1+4+7+

5

• 10. a) In suma sunt

a=1.

... +100=3 4(1+100)=1717. 2

503 2+ 6+ 10+ ... + 2010 = -(I 2

deei

deei

b) In suma sunt 201~-2

+ 2010) = 503 ·1006 = 506018.

100-1 --+1=34

+1=503

tenneni,

suma

sunt

2n + 3 - I . d . () ( )2 • . 2 + I = n + 2 tenneru, eel I + 3 + 5 + ... + 2n + 3 = n + 2 . d) In suma sunt n termeni, deci 1+ 5 + 9 + ... + (4n

-3) = ~(4n

2 2 1+ 3 + 5 + ... + (2n -I) = n .

....I W

a: I-

4n-3,

.

x=2n-l,

>< ....I -e a.. ::::I V

.

12.

obtinern deei un sir in progresie

~

::::I o u.:

- 2) = 2n2 - n .

n~l.

11.

Suma

1+3+5+

este

2(

egala

ell

echivalenta

eu

I) 2

122 -1 = II ·13

evident

...+(4n-3) =~(l+4n-3) 2 ... +(2n-I)=n2=225=>n=15=>x=29.

. . . . Fie q ratia progresiei geometrIee,

x+J =-2-(3x)=45=>x(x+I)=30=>x=5.

d)

= %(3n + I) = 57 => n = 6 => x = 17.

Fie

x=3n-l,

14. Ratia progresiei

c) x+(x+I)+

... +(x+x)=

2+5+8+

... +(3n-I)=

n~l.

aritmetiee este egala eu 3, primul tennen

9

termeni,

r < 0, 3k e N' :

ak+1

ca

Presupunem

I-l

S8 = bo-l-q

deei

=

al

q e

alO=28.

15. a6+aI6=a3+aI9=10.

21 => al + a21 = 4. al +Oz +···+Ozl =-(al

2

;;

~ ~

=

10 +Ozl) =42. b) Oz+a4 +···+Gzo =-(Oz

2

17.a) al +a4 +an_3 +an =2(al +an) =300=> al +an = 150. b)S3n=9Sn=>

2

=>al

=.3

S; = ~(al

. b=-2-a + c ~I.

18

( a+

2

=>r=2al

2

2 b =ac=>ac=

+Gzo)=5(~ +azd =20.

+ an) = ~ ·150 = 600 => n = 8.

2

3n(2al+(3n-l)r)=9n(2al+(n_l)r)

a: ~ c}

16. a) Oz+a3+aI9+a20=8=2(al+0z1)=>

C)2

-2-

()2 => a+c

~i 2b = a2 => b = 512.

=4ac=>(a-c)

2

=O=>a=c=b.

19. a -17 = 17 - 2 = 15 => a = 32

~

a+b+

~ Z ;

par, de unde eoncluzia. 21. (x _1)2 = X + 5 => XI = -I, x2 = 4, deei x = 4. 22. Cum aeR' =>4 ,-Xi ;cO

•

24. Sirul este

198

C

20. Fie q ratia progresiei

0

progresie

geometrica

eu ratia 2, deei

(aa)=1

,

Daca x=l,

29. Daca

x;c I,

2

Q\Z

.

Fie

peN

.

Tennenii

= 511 .

q=-

Avem bp+2""

din

(

1-

-S1)12 (

_.!.

a

este echivalenta

a2

32.

serierea

suma

eu

egalitate care se verifica irnediat.

=>bo=1

al = r e Z.

-

a) Fie q ratia

b2=4.

Daca

ea

fractie

b) Suma

ca

presupunem b

Q.

q = ~ e

si

a>1

ireductibila,

b

=os"

36.

) =

din enunt este

+ kr < 0 contradictie. Deei r ~ O. 33. Ratia progresiei este

9 2 -1 + ...+29+9=22_1 +9=1031.

S2:: 1;(1(0)+

egalitatea

egalitatea

I

bP+1

bP+1

(2 SI=31-3+3 S2

•

=aPa--=a--IlN,eontradletle.34. aP+1 a

ratia progresiei, deei ~ = q2 = 4 => '" = :~ =% => ~ = "'q6 = 96.35.

=2+2

b=

=4=>q=2

-3

sunt

1(11)) =210 .37. a) SI =(-5)+(-5~+

in

3

1(2)+

+ ... +3

progresie

... +(-5~+

10)

+

I{ 22)+ II

=

•

•

Fie c ... +

31-(-3)" 1-(-3)

aritmetica

1(50) =-125+250-1

eu

I{ 29) = +11-

ratia

3,

=124.

25-ori

geometriee.

= a{1 + q + q2) = a[1 + q(q + I)J ~i cum 1+ q(q + I) este numar par, rezulta ea a este numar

. xi = 3XIX2=> x2 = 3xI => XI + x2 = 4xI = 4 => XI = I => a = 3. 23.Avem

"

:: ~(1 + 311) + 11.

~

o

"=aP·a

UJ

parte

... +--wi2 = 2

1-

b3 +b4 b3(I+q) 2 -= ( ) = q = 4 => q = 2 . 31. b, +b2 bl l+q

U

este I, deei

alta

1 III s = 1--+---+ 2 4 8

(I-XZt -xl(1-4 =( l-XI)(I-}3),

n = II => x = 41. b) Fie are

de

5

adevarata.

b4-bo=bo{l-I)=bo{l+l){q2-1)=3{I+l)=15=>l

=2n2 -n=23I=>

din suma este

Pe

5

progresiei.

a termenilor

s > 1.

1 I-IT 5 I a=_5 =-(I-IT)e(I,2)=>[a]=I; I-.!. 4 5

aritmetica,

13. a) Forma generals

Evident

27.

in final [a]+[b]=l.

1-;ZJ2 _Xl = I_Xl .1-}3 => ( I-x I-x I-x

•

26.

( 1-- 1) <2 2101 .

1+->_ 28. 2013 3 2 3

==~(J+5!2)e(0'1)=>[b]=0.

30

=> q = 2 => b, = 3.

an+1= (al + a2 + ... + an+l) - (al + a2 + ... + an) = 2n + 2 => an = 2n ,

Fie x=4n-3=>1+5+9+ n~l.

ceruta

l

6

I 101 1__ 2_-2 I 1__ 2

=_

==-;_(_~)

3

c)

b3 = 24 =

geometrice

I I I -1+-+2"+···+---uiQs= 2 2 2

=0; -Xi =3.

=2. ~ = ~(~ +".!J)=420. 7. 2(x-l)2 =x+(x+2)=>4

8.2(I-x)=(x+I)+4=>x=-1

= 23.

... +02012"=

b) Tennenii sumei sunt in progresie aritmetica, deei S2 = ~(J(O)

2

3

9

c) S3 = 5( 1- 2 + 22 - 2 + ... - 2 ) = ~(1-

210)

+ 1(50)) = 51·124 = 6324 .

•

xi =4xi =>4 =1=>a=-3.

4 = a3 = a023 => ao =.!.. 2

25. Fie q ratia

• 199

Tema 1.3

1.

j(X), \ix

Functii. Proprietiti generale. Lecturi grafice.

f(±)=H}+{l}=~*f(O)=O.

1(0) f(X+2)={X;2}+{X+2}=H}+{x}=f(X)=>2

3. a)

este

perioada

pentru

f

functia

g(X+6)={X;6}+{X;6}=g(X)=>6

5.

f(x)

7.

decifeste

= 41x - 21-412 - xl = 0,

Pentru

este

) < 0,

-I

\ix, y

f(x)=O.

E (I, +00), x

* y,

I

g.

4.

l-a2==0=>a==±1

x E[3,8],f(x) =(8-x) +(x-3) f(x)- f(y) x- y

8.

este descrescatoare,

b

==5.

f(g(x))

~(x) ==

f(l(O))

descrescatoare.

11.

Punand conditia

g(x;) =0, f(

f(O)

=

= O.

12.

i=I,3=>aE{-1,1}.

deci max A = 2. 14.

a) = a ~ a

~

15. Pun em conditia ca ecuatia

3

-

f(x)

13.

f(J(I(x)))=3-8x, f(x) = 0 => x( x2 -4) f(x) Q=>X(X2

9a = 0 ~ a E {-3,0,3}, =

y

\iXEJR, decifeste = 0 => XI=

0,x2 = I,X:J=-L

deci suma ceruta este egala cu O.

x2 (y -l)-x(y

+ I) + y-I

= 2" I(x)

::

solutii reale daca ~i numai daca

deci

Imf==[~,3l16.

YE[O,+oo) , deci

Imf=[O,+oo).

Ecuatia

imaginea

functiei

fog

(gof)(x)=(x-I)2,

este [-1,+00).

Ixl=y

admite

(Jog)(x)=x2-1,

deci

deci imaginea

s=!

functiei

<=:>x,",y±~

este

[0, +00). 18. a) I j!' Im f

~

f(x)=+-:o;.!.,

~i in plus

CL

a

:E

f (x)

ecuatia

(-I

c)

f-I)=2~-2"EImf.

x +1 I

= I nu are nicio solutie, ceea ce este adevarat, b)

\ixEJR.

2

19.

!

f(x) ~ -I, \ix

ffi

b)

d.

x2E[4,9]~XE[-3,-2]U[2,3]=rl((3;8]).

11\

w

::t:

E JR.

20.

Deci f(I)=-1

x E r'

a)

max(J)=.!., ~i

in

1 (x)

Z CC

:E

• !OO

=

y

~:o~·

0

0

f(x)

numar natural,

31. deci

Ecuatia l

rl:

(x)

=

=

I(

I

x3

atunci

f2 (x)

~i

-I),

deci

1 nu

deci

x+~

=

f

x + I ),

nu este

este surjectiva. 2

y ~ x - yx + I = 0 ~

=

f(x)=y (y)

(0,+00) ~ JR,r

devine

29. a) Functia j" este strict

1(0)

injectiva, c)

egalitatea

= 2" x + 2" -I,

: JR~ JR,II

vv E [2, +00).

are solutie unica

E[I,+oo)~X=y+~.

singura

are

= i(1 + IOg2y).

unica

solutie

32. Determi-

1-

y

solutie =0 ~

strict

x = -I+~

pozitiva

> 0,

\iy

a

f(X)=y,YE(I,+«.»

ecuatiei

E (1,+00),

deci

rl

:(1,+00) ~ (O,+oo),r

l

(y) =

2 = -I+~.

f (1) = ~

g(3)=a~/(a)=3=>a=0,

33. Daca

plus

de maxim

x=l.

fiind

g(3)+ g(O) = -I

f(x)

x E {±I,±v'3}

d) Ecuatia

are

0

({0;2}).

f(X)E[3,8]~

c)

f(x)=m

= rl

x E [1,+00) => I( x)

pe intervalul

rl (4) = a => I(

1(1(1))

a) = 4 =

fof=IR~f(l(x))=x,

x4_2x2=(X2_1)2_1~_I~

E {0;2} ~

. 34. Pentru

este strict descrescatoare

hElR. ({0;2}) ~

g(O)=b=>/(b)=O=>b=-L

Deci

b)

1

~i cum

este

injectiva

\ixEJR~a2x+ab+b=x,

Deci perechile

TEH~f(x+T)=/(x),

E [5,+00) = Iml =

(1,0)

35. Functia

x

\ixEJR~7;

cu

x-T

rezulta

cli

a=

1(1)

a=1

f

36. Fie

= 2.

37.

b=O sau a=-I 38. verifica cerinta fo/=IR· obtinem I(x-T) =/(x) , \ixEJR~-TEH.

\ixEJR=>

~i (-I,b)EJRxJRcubEJR

\iXEJR ~i inlocuind

f(x+7; +T2)=/(x+7;)=/(x),

[a,+«.» => a = 5.

(-00,1] si strict crescatoare pe [1,+«.», deci a:O;-I.

~i

~i a)

+T2 EH.

sigura radacina daca ~i

i

numai daca m = -I . 21. Punem conditiile

f(l)

==0 si

f(O)

= -I,

deci n = -I

~i

m = O.

22. a) . f(

-x)

=

_x3

lerna 1.4

-f(x),

\ix

T

X

E

JR'.

f(-x)=ln(-x+v'x2+1)=ln

b)

x+

~=-f(X), ~+I

f(-x)=-x3+--=-f(x), \iXEJR.

d)

+2x -x

\ix

E

Funqia de gradull.

..!:

Funqia de gradul alII-lea

u

+.!. =

x

o a::

c

punctul

2

f(X)E(3,+«.»~x2>4~XE(-oo,-2)u(2,+oo)=rl((3,+oo))

U

CC Z

f

Daca

n= I

Pentru

2

CC

ffi

adevarata.

+ IOg2y) E JR, \iy E (0,+«.»,

U ~

n.

dupa

+ 2" -I = 2" (2x+ I) + 2" -I = 2"+1x+ 2"+1-I.

;:)

u

inductie

1(0) = f(l) = I, deci 1 nu este 1(x) = 2 nu are nicio solutie

30. Arlitlim cli ecuatia

x = ~(I

x ~ 2(ax + b) + I = x,

=

11+1-00

2 <=:>x+x+ 17.

f(g(x))

27.

c;rescAtoare,fiind suma a doua functii strict crescatoare (1I'/2

nlm ~~~0~(-y+3)(3Y-l)~0~YE[~,3l

.

=0

o ~

E Gf

~_x(e-x+ex)+a=

\iXEJR

.\iX EJR , deci f(I)~f(-1)~~~b~4== atunci f(l) = f( -I) ,declfnu este injectiva,

strict

-4) :O;O=>XE(-00,-2] U[0,2] = A,

sli admita solutii reale ee

Prin

•

evident

deci este injectivli. b)

= g(l(x)),

28

=-2".

f(x) '"'i x + z' -I

y-X (x- y)(x-I)(Y-I) 9.

f(-x)=-f(x),

conditia

1

injectivlL d) Ecuatia 10.

~

I-

f

deci

\ixEJR~2(x+a)-1=2x-l+a~a=0.

...J

pentru

constanta. 6. Pentru

XE(O,+oo) +E(O,I)=> x +1

(x-I)(y-I

perioada

Punem

= - f(O) => f(O) = 0 => 0(0,0)

J6. \fxEIR~a=2"'

b)

.23.

..._[x(ex+e-X)+a] ~a=O. 24. Avem f(-x)=f(x), _(0+ b)+4 ~ a + b = 0 .25. Dacajeste functie para,

f(X+±)={3(X+±)}={3X+l}={3X}==f(X).

2.

E (-3,3)

1. Fie

f(x)=ax+b=>f(I)=2,f(-I)=O=>{a+b=~

-a+b-O

=>a=l=b=>/(x)=x+l.

2.

G/noX={(-~,O)}EGg

~i

(O,I)EGfnOy,deci

g(-~)=o

~

~

w

JR'. c)

f(_x)=ln3+x= 3-x

a)

si g(O)=-1

=>g(x)=-2x-1.

~

• 201

b) Gf nOy={(O,I)} c) Gf nOy

3.Avem

eGg

~i (-~,o)eGfnOx,deci

gGJ=o

= {(O,l)} ~i ( -~,o J e Gf rsOx , deci gG) A(I,O)eGfnGgnOx

~i

=:>g(x)=-2x+I.

, 1• Xv

= 0 ~i g(O) = -1 =:>g(x) = 2x-I.

cum

~I

B(0,3)eGgnOy=:>C(2,3)eGf.

a+b =0 { 2a+b=3=:>a=3,b=-3~

/(1)=0,J(2)=3=:>

si g(O)=1

/(x)=3x-3.

4.

Deci

= 2 =:>- m = 2 =:>m = -4. 2

. X2 + X + I - y = 0 =:>6. > 0 ~ 4y - 3> 0 =:>y e [~,+oo). -

(0,2)

~i crescatoare

[1,+<1:l) ~ Iml

Im/=[-5,-I]=[a,b]~

::::I(m+x), a=-5,b=-1.5.

deci

m

e

a=2,

Se impune conditia

b=-I

(-00,-1) u(I,+oo)

sau

a=-2,

. b)

/m (I)

Im/=(1,7].

6.m2-2<0<=>mE(-.J2,.J2).

b=9. =0~

Avem doua cazuri {/(I)=I /(4)=7

=

m

-%.

Functia

c)

/m

7.

sau {/(1)=7 1(4)=1' m-I >O~ 2m+2

a)

este descrescatoare, deci

m

y.?

o,

0

0

V'xEIR<=>dreapta

deci

mE(-oo.!.)n(.!. ,2

a=-2,

::l

d) Pentru XE( --
4-x) =O~x=~

pentru XE(4,-+00)~(x-3)

n[O,+oo) = {1,4} . c)

~

f1'( --
f1'(4,-+00).9. a)

+(x-4) =O~x=~ 2

b)

x x +I -4x-2 x+2 - x-I ~O<=> (x+2)(x-l)

a ~ « xE

pentru

22.

a=-4,

{x 2+ 2

:=1=>m=±.J2. =0

xE[3,4] ~x-3)+(

28.

a)

(IJ ~O<=>XE -2'-2"

-00,0) u( 4,+00)) \ {-4} . d) (x- 2)( x2 -3x+

10. a) xEG,IJnZ={I}.

_1__ x+I

2 ~ 0 <=>-2x-1 x+I

xE[-I,I]~I-x+x+I::;4~xE[-I,I],

2) = (x _2)2 (X-I)

12(x) = 2X2 - 2x + 3,

iar

iar pentru

d)

e)

(.!.,

{m > 0 ~ mE +00). 6. = -12m + 4 < 0 3

~O ~ x E (-oo,I]u{2}

12. a) x+ 2 E [-1,1] ~ x E [-3,-1] nZ = {-3,-2,-I}

sau

XI

.

pentru

in

\ {OJ .

Finalizare mE(O,+oo). =2x2-a>0,V'xEIR,

deci

A >0<=>9( a_I)2 -4( a+ 1)(a-I)

a0

31.

•

U

x E Z rezulta cli avem 3 cazuri:

IX+21=0 { Ix2_41=0~XE{-2}.

13.

Ecuatia

/(x)=O

nu

X

are solutii

E 0,

~

X

E0

~i

1X2 - 41= 0 in intervalul

(0,+00),

2m-2::;0~mE(-oo,I].14.

;

Fie l(x)=ax+b~/((J(x)))=a2x+ab+b=4X+3~{a2=4

• 202

~i b(a+I)=3

cum a>O obtinem a=2,b=I,deci

/(x)=2x+1.15.

+ x2 =

2(m-I) m

( IJ ::;0 <=>m E 0'3 .

m+1 =--~o m

conditiile 32.

a)

Daca

a+I*O a=1

~i ecuatia

6. < 0 <=>8( a + 1) < 0 <=>a E (-00, -I) .

4x + 2 > 0 admite solutii, deci nu convine. Daca a * I avem conditiile I a+1 Q -I < 0, 6.::; 0 <=>8( a + I)::; 0 <=>a E (-00,-1] . c) 6. = 0 <=>a = -1 . d) Xv = 2 ~ - a -I = 2 ~ a = 3' 34. Functia

deci punem conditia x, ~ I ~ a ~ _.!.. 35.Functia/este 2

I este

strict crescatoare pe intervalul [xv, +00) ,

strict crescatoare pe intervalul (-00, x.] , deci

xE(-4,2)nZ={-3,-2,-I,0,I}.

16. Notand a = X2 + 2x obtinem ecuatia a +.!. = 2 ~ a = I =:>X2 + 2x -I = 0 => x = I ± a

cazun

b) Daca a = I inecuatia

33. Y = -6. = 2 ~ 4a + 3 = 2 ~ a = ~. v 4a 4 4

0(

g

doua

deci

Z

~

Avem

<=>aE((--
4x + 2 = 0 admite solutii. Daca a * 1 avem conditia

{IX+21=I

Avem

2 30. (Jog)(x)=/(g(x))=2(x -a)+a=

29. 6.=0~1-4m2=0~m=±~.

. b) 413-xl::; 21x-31 => 21x -31::; 0 ~ X E {3} . {IX+21=0 2 ~ 1x - 41= I

j)

mE(o,~J

x-4 =-x->O~

xE(I,+oo)~x-l+x+I::;4~xE(l,2].

'"

X

=x2 -4x+7~

lex)

Img = 12 ([-1,1]) = [%,7]'

c)

~ 0 <=>XE(-I-.!.J. ' 2

b) Pentru xE(-oo,-I)~I-x-I-x~4~xE[-2,-I);

a

U,I

b=7~

Im/2 = [Yv,+oo) =[% +(0) .

c) x2 E(I,4)~xE((-2,-I)u(I,2))nZ=0.

final x E [-2,2] . c) x2 - IE (-1,1) ~ x2 E (0,2) ~ x E (-.J2,.J2)

d

Fie

~ X =.,-2.

4-x) =1~XE[3,4], iar

x2-16 c) x(x+4)

U(I,+oo).

b) XE[ -1,%JnZ={-1,0,1,2}.

~

c).• Cum

23.

~I

b)

XI~

11. a) X-IE(-3,3)~XE(-2,4).

~ U,I

21. xv>O

=.

6.<0<=>4(m-I/-4m(m+I)=-12m+4<0~mEG,+oo).

I(x) > 0, V'x E IR <=>m E (~,+oo )

ffi

~

Gf<=>m=xv=l.

f im -x)

27. Xv =-1 ~ I( -1) =m2 -1 =g( -I) =

~i 1(1) =2~b=-1.

0(

•

c)

deci I:IR~IR,/(x)=~+x+l.

U ~

pe

Im/=/(IR)=

a)

IYvl=I<=>la-II=I<=>aE{0;2}.

Xv =2 si Yv =3~

=2~a=4

20. a> Xv = 1.

c=l, a+b+c=3~a=b=c=l,

b =3.25.

x = 2 ~ m -1 = 2 ~ m = -I. • m

~

.s

este axa de sunetne

+oo)=('!','!'). 8 2

Avem a-b+c=l,

~i Yv = 2~

b)

(-1,1) .

e

x +x-2=0

i

8'

1m/=[Yv,+oo)=[-3,+oo).

= 1([1,+00)) = ~I,+oo!.

x=m

= y sa admita solutii reale,

este constanta, deci m = I .8. a) Ix + II = 21xl <=>x + I = ±2x ~ X E { -~, I} . b) Avem

. x ~ 0 , d eCI. x 2 -4 = ±3x ~ x E {}-4,-1,1,4 con diItIa

~

deci

I I = /(1([1,+00)))

I(x)=d+bx+c.

2". x, =1

(2,+00),

I(x)

19. Functia I este descrescatoare

4

-

pe

::> 1(3) = 4. 26. Xv=2~~

d) Functia I;

18. Punem conditia ca ecuatia

4

.J2 E IR\ Q .

PUUemconditia x ~ 2 ~ a ~~. I v 2

36.a) ~+~=I<=>xl~ ~ ~

=XI +~ <=>m+I=-(2m+3)

~m=--3'

i I >C(

U

~ ~ U,I ~ ~

• 203

2 +~) = 0, avem deci doua cazuri: daca XI = ~ ~ 6 = 4m + Sm+ 5 = 0 ~

b) x~ = ~ <=>(XI -~)(XI

I -~I=I~~

3 C) XI

~ m ~lR, daca XI +~ =O~m=-2' d) XI +1 =x2 ~XI 37.

+~-2xl~

_m2 -2m-I

XI =-m-2~

+X2 =2xl +1 =-2m-3~

2

=I~4m

x~x2+xlxi=xlx2(xl+x2)=(2m-l)(m-l)=2m2-3m+1

cu

=O~ valoarea

+Sm+5=I~m=-1. m =-1. minima

[~J = 1 <=> ~

2.

egala

E [1,2) <=> I::;;n < 2" ,

3. a=J(2+J3t

+J(2-

5.

I

Functia

J3

r

=4.4.

este

inegalitate

~+ :2 =(x+~J

strict

40. XI' x2 < 0 <=> ~ < 0 <=> ac < 0 ~

a

au eel putin coeficientii scadere

42.

o u.:

· -'

>cC

0(

~ ::::l

o

b)

43.

I I r=r

XI

daca

b) m > maxi =.!.= 1(1). 2

c) n::;; mini

=-.!.= 2

::::l

U

(-00,2)

X2

+ 2x

-

13

presupunem

SiEZ,V'iE{O,I,

7. X = ~S-a

a)

atunci

x2=1-.J3,

11.

So=2EZ,

s=Xj+x2=2

45.

+~4+a

2"

n

...

I

I

.!.-1: 2 I-.!.

1

2+22"+"'~ =a

=a

2

~ X2 =9+2~S-a,,4+a

...if6

~2,fi '!'+'!'_3. 2. __ =22 4 6=212=2a~a=-. if4 (,fi + I)(~ + I) (t12 + I) (I~

12. _1_+ 1+ ,fi

1

,fi + .J3

13. ~3-~29-12../5

fi

obtinem

solutiile

X2 +4x-S

= 0 ~ XI = I, ~ = -S.

sunt (1,1),(1,-1),(

rr=:

c=r rrr;

x2-2x-2=0

2"

S 12

I)(~

+ I)

(t12 + I) (t12 - I) = ... = 1,

m l =(,fi-I)+(.J3-,fi)+ 99 + JiOo 100

... +(JiOo-m)=9

- I) = ( ,fi +

+ I) (I~

47.

+ .J31.J4+"'+ 3+ 4

a=xl+x2=3,

-../5 =~3-~(2../5

-3t

-../5 =~3-(2../5 +V3+x)~

VS-x

(1,2)

-s,~),(

~i

(2,1). Pentru

49.

Adunand

cele

X = I ~ Y = ±I, iar pentru

doua

ecuatii

X =-S ~ Y = ±~.

obtinem Solutiile

-s,-Ji3).

15.

JiOi = 10,049 ... ~ a2 = 4.

16.

a)

Conditii

de

.V3+x

=

I:.

X+2~0 {X ~ 0

existents:

·

w

::t

U

-Ii = 1(26

< if5 = 1:tJ53< if4 = 1{j44. b) .J3 = 1(}4 <

../5 + .J3 2

J7 + ../5 si

2

d)

Se

*'

devine

.Jx = a ~ 0, = I~

<~

cunoaste

= I~

x2 -llx

+ 24 = 0 ~ XI = 3, x2 = 8,

deci

solutia

finala

mediilor

0(

Z

o a:

o

a +b max { a,b } ~--~"ab 2

Z

• 204

2 ~-I--I

a=b.

Luam

2ab . =--~mm{a,b}, a+b

_+_ a

0(

~

t=;

a,bE(O,+oo)

a2 + a - 6 = 0 ~ a = 2 ~ x = 4. d) Conditii

este

deci

de existents:

.. cu egalitate daca

~I

devine 3X2 - Sx = 0 ~ XI = 0, x2 = ~ , deci solutia finala este X = 0 . 3 17.a) Conditii de existenta X ~ -1. Prin ridicare la patrat avem x = O.

. numai daca

X~O b) Conditii de existenta

b ~i

deci

. c) Numerele sunt

inegalitatea

.

de unde

1. Avem x2 - 2x + 1= 0 ~ x = I solutie. { X~2

-../5 =-1

Ecuatia

x2 _ X - 2 = 0 ~ XI = 2, x2 = -1 , deci solutia finala este x = 2 . b) Conditii de existents: Ecuatia

Puteri ~i radicali. Ecuatii iratlonale

-It

-3) -../5 =~(../5

iar

Z

.J3 +,Ji 2

EN.

x2-9 =-2-'

~ "S -a,,4+a

>cC

1. a)

2"

I I I 1 I I I 2-1 _...!... 1 =62+2.3+B4+···+~ <62+22"+"'+;; =6 12 =6 2" <6.

14. 27 =S-x+3+x+~S-x·V3+x(VS-x

d

=a

.

XIX; + X2X~= XIX2 (XI + ~) = 3b = 6 ~ b = 2 . 48. Din a doua ecuatie obtinem ~ =.!. sau ~ = 2 , deci Y 2 Y

lema 1.5

2

" ~

radicali

si p=xl~=-2,

VI W

w

cum

cerinta,

Sk+I=-Sk+13Sk-IEZ

3

va

9. 1<~6~6~6 10.

...,k},

46. Luam XIX2

ecuatia

~

si

I-...!...

U

·

~

I

1(-1).44.

XI x2 37 -+-=--.c)Prininductie(compLeta)dupan. x2 XI 13

X2

+

a=-(~+~)=-.!.,b=~.~=-.!. XIX2 3 deci

Fa

vava"a

a) l(x)=y<=>yx2-x+y=

deci

xi + 2X2 -13

iar

intervalul

1-'-

Alegem, de exemplu a = 2

si XI' x2 E lR . 41. Cele doua ecuant

2a=xl+x2=-2~a=-1.

Avem

i::::l

pe

-3(X+~)=S2.

radacina comuns. Observam ca ecuatiile nu pot avea doua radacini comune (nu sunt 2 proportionaLi). Fie a radacina comuns. a2 - a + m = 0, a - 2a + m + 10 = 0 ~ prin

a=1O~m=-90.

-'wa:

K+ ~ =(x+~J

V'n E N, n ~ 2.

0

=0 <=> t:. ~O <=> YE[-'!','!'] =Jm/. 2 2

l-

~

pentru

cu

.39. XIX2 < 0 ~ m -1 < 0 ~ m E (-00,1)

t:. = b2 - 4ac > 0 ~ XI ;to

-2=14.

descrescatoare

-6 = _.!. . 38. x~x2 = xlxi <=> XIX2(XI - x2) = 0, daca 0 rlidlicina este nula, atunci m = -1, iar daca 4a 8 radacinile sunt egale atunci 6 = 4m2 - 3 = 0 ~ m = ± ~

adevarata

X = 8.

devine

X+I~O { X _ S ~ O· c) Notam

x+l ~ 0 E t' { 1_ 2x ~ O· cua ia

c) Conditii de existenta

{X~1 x~2 . x-l+2_

d) Conditii de existenta

{xx ~~ 5-I . x

18. a) Conditiile

o. ~

-Ilx + 24 - 0 =:> -

de existenta

2 a

de

II 3

existenta 2 3

a + - = - =:> al = 3, a2 = - =:> XI 19. a) Conditii

=

8' fi I 3' . = ,In ina x = smgura solutie,

'X2

XI

.Jr=': x +4

=a>0

obtinern

"x-4 52 = 5, x2 = --, solutia finala este x = 5 5 t .

x+4 sunt -> 0 . Daca notam x-4 52 = 5, x2 = -ambele solutii sunt bune 5 .

(x+2)(x+3)~0,

iar ecuatia

devine

J§

obtinern

III

a::

ambele

,

20. a) Conditii x> 0, x

* -I.

Notam

b)

Notam

~

x +I

= a ~iobtinem

2

x + x -I = a ~ 0

o u.:

Fa + .Ja + 3 = 3 =:> a = I =:> x2 + x -

-e ...I

c) Conditia de existents este x> O. Notam

.

f;:) o

(3+.J33}2 a - 3 =:> x = l--2-

;:)

21. a) x=7.

.

u Z

~ III

~

~ ;

_

2 = 0 =:>

XI

a +.!. = ~ =:>

a

~i

2

al

,

a2

ecuatia

-!Q 3

_ I -

2" =:> x = I

se

serie

_ 3, a

al -

_ I 3

2 - -.

Pentru

~

a ~

~

1=:> x E [-1,1] .

,

2

_log32+log39 5 • IIJ,I Iogl2 I8_log3I8 log3I2 log34+log33

I 60 - log, 60 _ log23 + log, 4 + log, 5 _ a + 2 + ab og6 - --, log26 log, 2 + log, 3 I+a I 2

n(n + I) +...+n==---Iogax; 2

e) E ==loglO!2 + loglO!3 + ... + loglO!10 ==loglO!I O! = I .

22. a) Conditiile sunt x ~ I, x + 8 ~ 6.J x -I . Ecuatia se serie (.J x -I - 3)2 = I =:> x = 17 X = 5 b)Notlim I , 2 .

7. Daeli pEN,

1 =11 I

,

2

=!..-. 3 -.'

-2

XI -

,

x2

p=o

_10 -

L P . lOP

9.

8.11) Ig( a; b) = Iga;

23. a) f(x)=I.Jx-I-IH~

{2.JX -1-3, -21 = I, xE[2,5] 3-2.Jx-l,

b) 1mf = [1,+00) =:> m E [1,+00).

•

24. a) f(x)

d) D=_n_._I n + I Ig2 2

19b <:> ab = ( a; b

==Ig a+1 2 g b <:> (a+3b)2 2..)3

J

~

n In x ·Inx==--; n+I n_Iog22==0;

n+ I

2

P ~ lOP+1 -1. Suma din enunt este egalli

<:> a2 + b2 = 7ab; b), c) - se procedeaza analog;

==ab<:>a2+6ab+9b2=12ab<:>(a-3b)

e) (-00,3) u (4,00) ; j) R \ {-I, 0, I} . 10. a) Avem f(x) strict crescatoare, deei injectiva; b) Analog, f(x)

= l.Jx -I + II+1.Jx-I

I)

2

=0<:>a==3b.

i

9. Se impun conditiile de existenta; obtinem: a) (2,00); b) (1,00); c) (-1,1); d) (-2,2) \ {I};

Deei f(x)=I<:>XE[2,5].

~

d) Ig (a+3b) 2..)3

I 5 -I 3 I 5- b og2 - og2 . og3 - a .

10 ==-( 2007.102008 - 2008.102007 + 1)+ 2008. 9

x E (5,+00)

xE[I,2)

eoareee

. ,I I _ a+2 . , CJ ogls 45 - -, a+I

... +--n(n+I)

2·3

atunci [Igk] ==P <:> P ~ Igk 10k 2007

cu 2008+ 9·

d

(I I

b) B== -+-+ 1·2

d) Ecuatia se serie x + I = (I - 2X)3 =:> 8x3 - 12x2 + 7x = 0 =:> x = 0 .

=3=:>/1-3/+/2/-1/=3=:>

d) 0; e) 5;j) -. 16

- a+2 . b,1 I 20I - --, 'J ogs - -2a+1 1-2a

c) c=lg(L3..~ ..... 998. 999)=lg_I_=_3' 2 3 4 999 1000 1000'

)(/-3)2+)(2/_1)2

9

a ==0, b = 2, c = 27 .3. a) ; b) 2; c) -; 3

c) Ecuatia se serie 1- x = (x + 1)3 =:> x3 + 3x2 + 4x = 0 =:> x = O.

.Jx-I=/~O=:>

x2 - x - 2 ~ 0 =:> x E [0,2] .

< 5 < 8 =:> 2 < log, 5 < 3; b) 8 < 9 =:> 3 < log, 9; 125 < 128 =:> 3 = logs 125 < logs 128 = 7 logs 2.

b) ~x-l=a=:>a3+a=0=:>a=0=:>x=1.

~

206

x ~ 0 inecuatia devine

FunClia exponentiala ~ifunctla logaritmica. Ecuatii ~ilnecuatll exponentlale ~i logaritmice

6. a) A=logax+

o

~

4.11) 4

.fl .J

. I , iar pentru a = 3" =:> x = I .

a:: ~

Pentru

Finalizare xE[-2,2].

1. a ==16, b ==3.2.

u ~ ~

1\[0,+00) = (2,+00)

x+2~0.

1 6 Tema •

= I, x2 = -2 . _x_ = a > 0 =:> a +.!. I-=:> 2 +"x a

cu solutia (2,2).

. . x2 -- -6 smgura solutle

_ 2 -

=0=:>x==2,y==2

x - 2> 0 =:> x E (( -00,-1) u(2,+oo))

-

Pentrli x < 0 inecuatia este satisfacuta.

x2+5x-6=0=:>xl=l,x2=-6,

I -

+(~Y+2-2t

x+2~0,x~0.

c) Ineeuatia se serie 2 - x2

l-

i;:)

(.Jx-I-It

Inecuatie devine x2 b)Condipi

fiind x= I

...I

soMia unieli x = I . j\Il8log se rezolva ~i eelelalte ecuatii: b) x = 3 , c) x ==I , d) x = I , e) x = 8 .

27. a)Condipi

+4 --=a>O x-4

x + 2 ~ 0, x + 3 ~ 0 , iar ecuatia devine x2 + 5x - 6 = 0 =:> x - I

.

= m admite 0 singura solutie

realii, pentrli oriee m E [3, +00) .

26. Eeuapaseserie

solutii sunt bune. b) Conditii

strict crescatoare rezulta ea ecuatia f(x)

25. a) Funepa f: [0, +00) ~ R,f (x) = ~ + if; este strict crescatoare, deei ecuatia f (x) = 2 are

x + 4 > 0, x - 4 > O. Daca notam

sunt

II 2 a +- =-3 =:> al = 3, a2 =- =:> a 3 Conditiile

XI

3

-I = ±2 =:> x = 9 singura solutie,

2

b)

peci f(x)=3<:>x=1.

•

b) Itnf ==[3,+00) si eumfeste

2

e) Conditii de existenta x ~

x+ 2yrc x- 1)(2-x )-1 - =:>xl- -I ,x2- -2

+ 21= 2.Jx-I

+3 .

12. Se inmulteste

relatia

log, x + loge x = 210gb

= x(l + log, 2), deci f este functie de gradul I

= x(1-log3 2), este functie strict deseresclitoare. X

cu log, a ~i se foloseste a doua formula de la

~

:E •

probabilitatea

eerutll este

.!.Q =~ 53 25

. 27

•

Trei dintre numerele

AB = ~42 + (_3)2 = 5, AC = ~(-5r

f(O),f(I),f(2),f(3)

iar al patrulea cu I. Sunt 4 cazuri favorabile, deei probabilitatea

este

=....!.....

~ 4

64

sunt egale cu 0 28. Sunt doar dou'

" functii nesurjective - cele constante; d·eel sunt 2s - 2 = 30 d e fun ctu.. surjective; p

29. a) 9s;

b) 4x4x93=16·729;

AJ=6!=720.

c)

30.

a)C~=56;

,

= -30 .

d) 125; e) 32; 23 -I 7 --=-.34. 26 -1 63

1) 2·Cs I -.35.-. 10

6 a)-; 90

=20.33.

243 b) -; 900

4 c) -; 90

C~

32

b) C;=45;n=1O;

d)

-3 CiO

10

=-; 120

c)

36 e) -; 40

r::t+22s = J306 ,

•••.J81

-t- "' ••

c:lutat es v

_

(-:

-')

3

16.

1) -'

g)

30 '

27

_

5-:

AB

BD

ABP dreptele BC, PM sunt mediane ~i Neste centrul de greutate al triunghiului, in triunghiul ABD dreptele AO ~i DE

_

)

Fie

_ _ I _ j~BG=-(BA+BC)=3

I(

1-.rJ_5

5-.

2 __ AC-AB=-3ib) BC -

_"'--

-J

_

a) Vectorul

v

6_ 5

_

(-: _.) -3l+4} .

D

mijlocul

BC.

laturii

a

U

_

2 122 = 13 g;d '" 5 +

36

~.,

~i cum 1~1=lall-3i+4jl=5Ial=5~a=±

a

17.

-

. 15.

\-\=lal\4i+3)\=5Ial=6~a=±-u.b)Vectorul

•

m- =__ =-I~a=3.

AC

1. in triunghiul

J

te de forma v = a 41 + 3} , a e R ~l cum v

13

l'u-

-:

-.)

-71-4}

1(-4)2 32 5 AC + =, =

. 18.

AB="

D'10

teorema

3

D

Fie

., I picioru

A.

di10

bisectoarei

bisectoarei

avem

5

_2-

DC

t;

r2",2.

AD",.!.(AB+AC)=21+2}~

12

Vectori in plan. Geometrie vectoriala. Geometrie analitica

Tema 1.9

+ 12" ~, at- ~nv-r.~ . .' e al eu 18 + J306 deei perimetrul triunghiulut ABC este g

- _ (-3-: 4-') aeR , c1utat este de forma v - a 1+ } ,

Cn3 = 35; n = 7 ; d) C;. C~ = 100 . 31. a) A~ = 28 ; b) Ai = 120 ; c) 54 = 625 . 32. a) 64; b) 9; c) 16', 3

A.

AD=_I-AB+

~

TB.AC = AB.AC·cosA

2 118~272 +99 .

13 AC=~(-27i+99})~IADI= 5 18 1+13 __

5 1+13

=10.

20.

Q(x,y).

Fie

MN(-4,I)=QP(-I-x,2-y)~x=3,

deci M, N,P sunt coliniare. 2. Fie 0 centrul paralelogramului.

-'wa:

sunt mediane, iar F se afla pe mediana din D la

.!.

19. de punctul E, adica este centrul de greutate al

:;)

o o..L • ~ ::

-

Deci

-

FeAO=AC.

-

3-

• :;) Q.

~(BA+BC)+~(CB+CA)=O.

:E •

aw

de

unde

~i b=-l.

4

-e

a: w

3

4

AB = BD =~~ AC DC 4

Z

3

-

5. AC +BD =(AD+DC)+(BC

+ CD) =3BC ~ lAC +BDI = 12.6.

AE=~AB+~AC~ 7

cerinta.

9.

a =~

7

b=~.

7'

Daca G este

centrul

avem

al

ABC,

adunand aceste relatii obtinem MN = ~ ( BC + AD) . 11. Fie G este centrul de greutate al triunghiului ABC

·

z

i ~

< ~

• 210

10.

-=-

centrul

de

greutate

al

triunghiului

MNP.

MN=MA+AD+DN

~i

)+GGC+%GA

-

1(-

GG'=~(GM+GN+GP)=

)]=~(GA+GB+GC)=O,

deci

G=G'.

AD=xi+y}

22 ,~). 5 5

~~= 1+1

a +1

.

_1~~sinB=Jl-cos2

.'

1)

-C)

12.

- (::: U·

Fie G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci 0 = HA + HB + HC = 3HG , deci H = G de unde rezulta cli triunghiul ABC este echilateral. 13. Fie E piciorul bisectoarei din A. Din teorema . AB BD b b c 1bisectoarei avem ==- ~ AE = --AB + --AC = --AD, de unde rezulta cerinta. AC DC c b+c b+c b+c

-)

= -6 . -2

:i = (_)2 _~2 u +v -

1u +.\

b) - -

All este

4·Jl3

c(_.!. .!.) , 2'2

50·

5

. 32.cos

~ .~

J3

u,v =~=-2~u,v-

2Jl3

24 =

31.

15 ...[10.-,;:;.

7

",50 -_. 2 2

__ __

- -)_

a) u.v=\uI\vIcos(u,v

- -I "3 1u+v =",b. ~

'

76 ~IAD+TBI=fj6· 7

2

SASC

+~2 +2~.~=13~

(~)

AD-.!.(AB+AC)=3}~AD=3 - 2

BA.BC.sinB

1[(2-: 3-')+(-2i-3-}·)J=-}~AG(0,-2). ='3 I-}

u+v = u +U·V = __

lul'I~+~1

B=

15·..[10

. Avemconditii1e

26. ~.~=5.2+(-4)·3<0=>cerinta.

=(AD+ AB)2 =Aff +AB2 +2AD·AB·cosA=36+16+

JiA.Bc

29.cosB-

4.3. __ ( 2 H(~GA+%GB )+GGB+%GC

25.Fie

2

30. AG=3 AB+A este

~a=2+J3

__ 22 =~~AD(5'y 5

AD.lBC {X+2Y=0 __ ~ x+4 y-3~X{ BDIIBC

-IBAI·IBq

G'

24.COS(~'~)=~I·I~I= lu v

..[50

atunci

~

~

MN=MB+BC+CN,

triunghiului

{a>1 ~{a>1 2=> 2(a-l)2 =a2 +1 a=2±J3

28.IAD+ABl2

W=~(M4+AC)=~(MB+MD)'

greutate

1

1

O=MA+MB+MC=3MG,

si

-

27. AB = AC = 5 => MBC este isoscel. Fie D prciectia lui A pe Be.

11\

a: ~

M=G.

de

Din teorema bisectoarei

7. AN +BP+CM =.!.(AC+AB)+ 2

7

8. Fie 0 centrul paralelogramului.

deci

~.~=m(m-2)-3=

22.

b=.!..

3.

4. CE=CB+BE=--AB-AD~a=--

:;)

3

__ ) ~.~ _1.3+2.(-1)=_1_. 23.cos ( u,v =I~II~I- -/1+4-/9+1

O~m=3. MBD.

~a_I)2+1~a=1±2J3

1~1=1~~J4+9=

\j\

3

l-

s

21.

y=I~Q(3,1).

cl

cos(~~

+ ~) ,

J

_ 57r 33 Mijlocul segrnentul 6' •

\uI\vI tului AB, atur

panta dreptei AB este

mAB

= 1. Daca d este mediatoarea segrnen

1

( X+- 2I)

d: y --=-1 2

=::;,d'x+ . . y-O.34. a)Fleddreaptaciiutatli.

1.10

Trigonometrie. Aplica~ii ale trigonometriei scalar in geometria plana

a)

S = sin2lo +sin2 2° + ...+sin2 44° +!+cos2 44° + ...+ cos2lo +0 =44,5.

Tema

me= mAD=-I=::;,d:y=-x.b)

~iale produsului

Fie C(x,O)=::;, mAC'mAD= x·~.\·(-I)=-l=::;'x=O=::;'C(O,O). 35.

este mijlocul segmentelor AC

M

37. 38.

~(U_6)2

deci

=~(u_12)2

+(v_12)2

unde panta dreptei d este m=-~,

d:y-5=m(x-2),

unde panta dreptei d este m=-I,

segmentului

deci

[BC] ,

y- YA = mAM(x-xA)

=::;,AD :4x- y-7

=0.41.

deci d i x+ y-3=0. din

AB( -4,2)11 CD(3,a+3)

•

xG=

XA+XB+XC

IXA+YA-11 ~

=

~

,Jf

+f

3

'YG=

3 =,fi'

44.

YA+YB+YC

3

=::;,-4 =_2_

md· md, =-1 =::;, md, = 2 =::;,d':Y- 2 = 2(x-3).

~

d:y-2=-3(x-I).

~

egala

~

:::I

d(M,d)=,I-S+31 ~,fi

=_1 . 48.

y

A( -2011,0)

si

o

!

cu

=::;,a =_2.

a+3

2 .

deci

Fie

d'

d(A,BC)=

cum

;; v

B(-4,3)Ed2·

dreapta

3

are

ecuatia

cantata.

4

d :x - Y + 3 = 0 ,

4

mAD = 4 =::;,mile = -3 =::;, hc :Y + 3 = --3 (x - 2) .

dreptele

sunt

d2

si

d,

50.

2=::;,a=2011±2,fi.

sau

d(d2A)=d(d2A)

Cazull.

[AB]

Fie

d(A,dz)=d(AA)=::;,1-6+41=I--6+4+al=::;,a

5

nu convine. Cazul 2. deB d )=d(B '1

'3-

-

5

5

=0

cazuri: ~i

dar

c:i

nu

convine.

Cazul ~i

3

.

di A d )=d(B '3

~

51.{A(-4,0)}=d2(JOx

~ ~

B'(0,2)=SimOxB.52.{1+2a+b=0=::;,a=_2b=3=::;,a+b_1 -1+a+b=O'

o

~_ I _ -b

~

I -;-2=::;,a=2'

I

212

tg89°

= tglO . tg2°

'3=::;'

=d2 (JOy,

1-6+4+al 5

=::;,a=2a=-4 I' 2

deci

1-12+12+al 5

,

..... tg44° . tg45° . ctg44° . ctg43° ..... ctglO = I.

sin(30° + 10°) = sin 40°

egalitate

adevarata,

2 3 . 2 2 2sin a+1 = sm +~os a =1+3tg2a=13 2 cos a cos a

I. . 0) 2+F3 2(sm900+sm60 =-4-'

23Jr. b) cosU·sm

J6

. (Jr) . (Jr Jr) -,fi c) sin 12 =sm '3-'4 =--4-'

12.

53 m_m-2

.'3--=t=::;,m=2·

55. a) AB:2x+y-I=0

12a + b -II , de unde cerinta,

sina

6. a=tg(7S0-ISO)=F3,

Jr

12=2

1[.

sin

I

3

tga

2

b=sin(lOSO-4S0)= 8.

b)

~.

a)

I U+12Jr) +sm. (23Jr U-12Jr)] =4'

(23Jr

. Jr . 3Jr • sml>sm'4=sm >sm

9'

4

. 3

. 2 . I 2' I 3 . sin -sm = sm2cos2>

0

,

E

I = 2sin x cos x =::;,sin 2x = I. 14. Doar numerele 0 ~i Jr din multimea A verifica ecuatia, deci 2 2

sinx-cosx

probabllitatea ceruta este - 15. ( ) 5 sin !!"-x 4

sinx-cosx r;:;cosx-

,,2

-V

t:

2. 16.

idi

I

Prin n icare a

~sinx ,,2

dar

unde 3

sina+cosa

----=1+-=-

a)

(0 !:) . Finalizare numarul cautat este egal cu sin 2 . 10. I E (!:,!:) =::;,sin I > cos I . '2 42 . 16 4. . 24 sin a 3 a) cos2 a = l-sm2 a =-=::;, cosa = -- =::;, sm2a = 2smacosa = --. b) tga =--= --4' cosa 25 5 25 sin2 x + cos2 X 2 . 2 I I tgx + ctgx = 2 =::;,. 2 =::;, 13. cos x=l-sm x=-=::;'cosX=--. smxcosx 9 3

pentru cii ! ~ 2'2 11.

5.

sin4O°·sin140°=sin2 40 =cos2 50° =( -coS1300t =cos21300.

=::;,a=l.

dl=AB':x-2y+4=0, -.

a)

4 ~ - F3 = 4 ~ !coslOo - F3 sin 10° = 2sinlOo cosf O''~ 2 2 . sinlOo cos l O''

54

le 2sin(a+b)=

•

7 b=-4=::;,a+b=-2

:E triunghiului ABC este egala cu

•

{B(0,-2)}

d)

= sin 1°+ sin 2° + ... + sin I80° + (-sin 1°)+

tglO. tg2°

patrar obtinem sin2 a + cos2 a + 2sinacosa a=2

S

+ (-sinI800) = O. b) P = cosIo. cos2° ..... cos20110 = 0, pentru ca cos900 = 0 . 3.

.

-0 a-

ac ~

a)

(-sin 2°) +

cii

A(-2,I)Edl

I'Gz,

d )---..1-12+12+21_1-12+12+al

Punctul

trei

=4

5

deci

rezulta

Avem

d(d3A)=d(d3,dz).

49.

paralele,

.sin20 ..... sin20110 = 0, pentru ca sinl800 = 0 2.

7.

46. Fie d dreapta cautata. mAD' md = -I =::;,md = -3 =::;,

segmentului

d(dl,dz)=d(A,d2)=1-201+al d(dl,dz)=d(dIA),

'S _

Mediatoarea

d,

~

'"~

45.

. ecuapa

47. Punctul C(-1,2) este mijlocul segmentului [AB], panta dreptei AB este -I .

E

)

=::;,C2,-2 . 43.BC:x+y-I=0,

I I ml = mz =::;,-a = 2 =::;,a = -2

i

:::I

(

39.

are

A

P= sin1°.

b)

2

b) cosIo+cos2° + ...+cosI79° = cosl'' +cos2° + ...+cosS9° +cos900 -cos89° -cosS8° - ...-coslo =0

4o. Fie D mijlocul

3 42

M(7,7).

deci d:x+2y-12=0.

Mediana

D(2,1).

deci

=::;,u=7,v=7,

~i

(I) 5'-~ .

(). D 0,-1 .36. Fie M(x,y)=::;,AM(x+I,y+S)=sAB(3,6)=::;,M

+V2 =~u2 +(V_6)2

d:y-2=m(x-I),

_1=3+/c=::;,C(I,_S)

2-

-1+ YD -I =-2-=::;'

2+XD I =-2-'

~i BD,

1=1+2xc,

de unde cerinta, b) Aria

19. cos!:= S

deci

adunam,

-3 =::;,sin(a+b)=-~. 4 S

~lH<"'O

tz=t:

2

2

4 = ,,2+,,2

. 20.

=! =::;,sin2a = -~. 17. Ridicam la patrat fiecare egalitate 9 9 sin2 a+cos2 b + 2sinacosb +cos2 a+sin2 b+2cosasinb=% =::;, 18. I = tg ( a _ b) = tga - tgb =::;,tgb - tga + tgb . tga = -I . 1+ tga· tgb sin2x =!(sinx+sin3x) 2

=sin2xcosx=::;,sin2x=0 sau cosx=l

21

=>xe{o,f}·

21.Din formula lui Heron SABC=12=9r=>r=~.

BC 2 =36+16-2·4·6·

b)

(

--

I) 2

=76=>PADc=lO+.fi6.

SA'DC=

22.0)

J¥6

BC.J76 -.-=2R=>R=

c)

r:;=-.

smA

2~

3

2

2 2 2 . . a2 b2 c2 + -2 = -2 => a + b = c => triunghiul ABC este dreptunghic 4R 4R 4R

23 sin 2 A + sin2 B = sin 2 C ~ -2 •

2

"

"))

4R

"tr. tr . tr =-cos cOS +SLD SLD = 4 3 4 3

../3 BC 3 SinA=T=>R=2SinA=2../3=../3·

27.

b2

2 2 sin A +sin B = 2sin2C ~ ~+-2

2 B) = 2(I-sin2 C) =>

(l-sin

2S.cosC=cos ( tr- ( 4+3

cos" A+cos2 B =2cos2C=> (l-sin2 A)+

24.

c.

ipotenuza

cu

2

a2 +b2 = 2c2

= 2~=>

4R

4R

-J2 +..J6 4 .

26.

b2+c2_a2 2bc

cosA=

162 24=3

A =8.

b)

sin A = )I-i

....• w a: l-

i::::I

o u:

.

29.

a + c = 2b => 2Rsin A + 2RsinC

/J5'

=

= 4RsinB =>sin A +sinC = 2sinB.

30.

25'sinO =---=>sinO=-. 2252

24

I

32.AC=vAB2

SABCD= 48 => SAOD= 12=

=

2 AD·IX·sinD

=,,76. Aria SADC

=

Z

<

AC·h 6 r:;3= -2-

h 12../3 33 . S 6176 7 ·hm,n h 12..J6 34 F' . => =.J76 . Aria ABC= ,,0 = -2=> min = -7 - . . te a cea mal

a

cateta,

deci

w

ridicare la patrat avem 1+ 2sinBcosB

ii: w

"j

. x

\TIlCa

CL

11'1

Z

<

=ffi ""Q

.:.

laturile

triunghiului

(a+2)2=a2+(a+I)2=>a2_2a_3=0=>a=3.

.

2sm

2B-2C

2

cos

2B+2C

2

sunt

a, a + I

tgA+ tgB = I => C = !:.. 37. Triunghiuleste dreptunghiccu aria 1- tgAtgB 4

~ ,.., ~

S = 6 = p . r => r = I' , lar R = -5 . 38 • F'Ie A unghiul 2

~

< 0 => a - 2a - 3 < 0 => a e (-1,3) n Z = {O, I,2}.

~

-~+%;

.:

14

2

c) ~-(-~);

a +2 .

Deci triunghiul are laturile 3,4 si 5. 3S.Prin

X

QC

~i

= I + 2sinCcosC =>sin2B = sin2C => tr = 0 => B = C sau B + C = - . Dar triunghiul ABC este ascutitunghic rezulta 2

cli B = C . 36. tgC = tg (tr - A - B) =

0btuz.

2

cos A = a +(a+I)2-(a+2f

<

2a(a+l)

Singura solutie este a = 2. 39.

d) ~+arcctg(J2)+tr-arcctg(J2)=

4;;

e)

) 1,0

. (01) ~l "

COSX=0 sau sinx =~=> x

o)!:. +!:. = !:. ;

~-(,,-~).

6

6

deci

E

solutiilor este lR.

b)

3

XE{OE-}· ,2 '

b)

40.0)

2

6

deciI X=-.I 2

.1.

.

=~. -8

41. 0)

d)

b)

xe{E-,5tr};

6 6

a+b=1

{2ktr I k e

x=

arcsin.!.)=../3'~I_.!._L.!.. 3 2 9 2 3'

notam a = sinx si b = cosx obtinem sistemul { 2 2 a +b

Z}

u{(

d)

x=tr_E-=2tr;

3

3

e)

a=2-a

2xe{-2tr+

.1

tg x = 2

eu

2sinxcosx=cosx=>

5tr ,-2tr+ 7tr}C[_2tr,0]=> 4 4

1C), (x + 1C)=eos(1C -(x+ 1C))=eos(x_ 3 2 3 6 c)

=1

_I)k ~+ktrl k ez}; g)

tr tr 2 +!:. 3tr + !:.} . xe {4,tr+4, tr 4' 4'

I tr e) arcsin-=-,

BO·AO·sinO

tz:

+BC2 -2AB·BC·cosB

(

I

a2 sin2B = abc =>

R

AC=10=>AO=5.

., solutllie

("

SLD3-

-

3tr k I k 'R} .. \ Daca C/ {±4 + 2 tr E /U

.\' c/

2tg(arctg3) tg(2arctg3)-I_tg2(arctg3)

e)

. a=sinxe[-l,q,obtmemecuapa

2a2 sinBcosB = 4 acsinB => acosB = c =>cosB = ~ =>triunghiul ABC este dreptunghic. 31. Fie 0 2 a

dreptunghiului.

n

X E

.

5tr _ 7tr} 42 0\ sin xe {-tr+ , tr+ 8 . . v 8

3

centrul

::::I

= ~ => R = 2s~nA = 2 ~

2(

I) 7 I) . cos ( 2 arcsin"3 = 1-2sLD arcsLD"3=9;

I) _cos(arcsin"3 =-VI-9;

BC=2RsinA=6.

2 AB ·AC = c-b-cos

b)

j)

28.0)

is ;

sin( 2arcsin~) = 2Sin(arcsin~ )cos( arcsin~) = 2~~1-

6.4'sin 2" 2 3 =6../3.

_

=>a,-I,

=> x e {-~ + kr: I k e --2'

a2 -,LD

-l

d)

deci multimea

Dacli notlim

final xe {!:.+2ktrlkez} 2

.

" ec:« ==/2+ 2:C:2k-IB k • k-I

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1

Permutari. Matrice. Determinanli

= ( 51

1. a) OT

2 3 4 3 2 4

5), 1

TO'

= ( 31

2 4

3 4 1 2

5). 6 5 ,b) o = e. 2. a)(l,

2), (1, 3), (1, 4), (3, 4); E(cr)

1 = 12 +-B 2

;:.[~~~l'

"I

2:C:2k k_1

=

3"-1 2)" -1] = 12 + B '--. 2

12 +-B[(I+ 2

M3=03~Mn=03,n~3.

A=/3+M,

24.

unde

este matricea

de la

000

= I. b)

0'-

1(41325) = 1 2

c) X=O'-I.(I

4.a)

* o,

0'-

5

4

.3.a)k=4.b)412012~a2°12=e.

2 3 4)=(4 431212344312-142

1

2

(I 2 3 4 5 6)

1

Vx

3

= 6

1 4

S6' 5. a) x

E

2

3

=a

_I

3)(1

2

3

4)_(1

2

4 )' 3

b) m(cr) = m(cr- ) = 7. c) X4 este para, Vx

3

4

n(n+3)/2]

1 0

-n

S6, c e impara ~ X4

E

k -- 5 . c/.\ C e I mal. ITIlCnumar .

1

P E

N*

tr(X)X+

tr(X)'X~tr(X)'X=(~

'

k

b'' = e este 6. Daca k = 6c + r, 0 ~ r ~ 5 atunei a = o'" . 0"

--0'.r

I

C aurmare,cy=e<:> k

= 0 4~ k = 6c <:>6 k.6. a) ~a. b) Prin calcul, a4 = b4 = e. c) xb3 = a3x <:> axb3 = a4x <:> axb3 = r axb - xb <:> ax = xb. 0 solutie este c. 7. a) m(cr)=4. b) IA = 5 . c).\ cr este para ~ 0" e para,X V<::> n 8. a), b) Calcul

EN".

b=3~A=B.

10.

direct.

3

AB = (a + a+4

9.

~J

AB=G

BA=(~

X + X2 + ... + XIO = (10

55).

o

~2 2

1

... +XIOO=02'

~l'

b) (BA)"=B(AB)(AB)

3

a) tr(aA) = ~aaii

15.

a=l,

(I

X =

10)

a)

obtine

AB=(6)

a)

(2) => XI 2 = ±( 2

8

.

E

M2 (lR) , nu

0

solutie

xG

~

b)3 + (a-b)3 = 2 si (a + b)3 -(a-

== -I

~

if3

2

det(X)

+bii) = tr(A)+tr(B).

b=

-1,

= 0 ~

-6 12) ( -4 -6 ~tr2(X)=-12.

~tr(X).X=

~)=tr(X)'X

X =

~a+

if3

~

2

2 ~)=X3 =X x=G

.

a=

tr(X)=±4

avem solutii.

antenoarli rezulta a = d, b = c ~

Y •

~

3) .

-I

I:)-G

det(X)=-7~(~

2 tr (X)=16

tr(tr(X)X)=16~

~) X.

(a b)a

~

b

3

X =

~i

A=(a ..) B=(b ..) Y ,

-4

~)=

I~)+(~

deci

.

Se

Ii)

l6. Fie X

k) 0 i l'

k

-

Cum X

5a + 2 ' deci a = O. 14.

... (AB)A=6,-IBA.16.Fie ':1'

= a ~aii = atr(A) . b) tr(A + B) = t(aii

•

Rezulta

X2=-I2,X3=_X,

11.

12.

BA _ (2 - a

10) 2'

(I3-A)(I3+A+A2)=/3-A3=/3-03=/3'

b)

BA=[~I

AB=(BA)'.

deci

AB = (2 + 5a a

13.

10

b + (2),BA = (a + b 3a + 4b) b+16 5 19'

~).

~X+X2+

3 A =03'

=> +4X = ( 8

I

7/2=02~(~

I:) ~

cu

.

1

=49 ~ det(X) =±7 . Distingem cazurile

25· F i) det(X)=7~X2-

(I 2 3 45 5) ~ ab = 2

-n

ieXo solupe. Rezulta det(X2) =49 ~ det(X)2

I

5'

b. b)

3

I i iul anterior. Rezultli ca An = (/3 + M)" = 13 + C!M + C;M2 = 0 [0 ~erc tJ

+1.

l

Fie

X =(:

:).

(a+ b)3 + (a _b)3

Din egalitatea

(a + b)3 -(a _b)3]

2

3

(a+b)3 ;(a-b)3

(a+bi

bi =4 ~ (a+ b)3 = 3 ~i (a_b)3 =-1 ~ a+b=if3 Fie X

27.

0

solutie

~

~

;(a-b)3

det(X3)=0~

,a-

det(X)3 =O=>

2

X3=tr2(X)X

~

tr2(X)X=(4

6)

-2 -3

~

tr(tr2(X)X)=1

~

3 tr (X)=1

~

I).

i=1

17.

Ca1cul

direct.

18 •

Inductie t

I) 'A"+IA . -" 2012 - tr(A?OII det(A) = 0 ~ A P(n)~P(n+

~ JJ]

21. A = 2

[

2

2

J3

__

1

2

22. Fie B = A-I

2

-.

= (4 1

-8)

adevarat

. exercitiul dID

anterior;

" A. 19.det(A2012)=0~det(A)2012=0=>

2012 tr~~~l= 3

3

7!

7! ~

-SID-

-2

.

. A2 -- tr ( A ) A,

. A = ( tr ( A ))"-1 A 2 = ( tr(A))

[co~; _

P(2)'

3

~

cos-

0 ~ trCA)r=0 ~:2 ""

A

=2

3

Jfl _ - 2B ~

""

15

= 2

eos-

= ~(~:l=

O • 20. Inductie dupa n.

SID3

3

. n7! n7! -Sin)" cos)" k-I

2

2013

~ A

= _220131 . 2

. . B. Apoi, A = 12 + B ~ A" = (h + B)" ==

tr(X) = 1 ~

X=(4

(A - At)2 = -/2

b

6).28

-2 -3

~ (A _ At

A2=3A~a=3.

a)

•

tOO8 12 . =

29.

b) A_At=(2 Din

2)_(2

1)=(0

1 1

teorema

2 1

lui

Cayley

-I

0

avem

A2 _ 5A _ 212 = O ~ A2 _ 5A - 12 = 12 . Determinantul este egal cu I. 30. 2

A2-3A+212

Prininduc\ie.Cazul

n=l

Obtinem A2 _ B2 =

= 3( A _ B) = (22 -1)( A - B) , deci cazul

afirm

esteevident.Cum

a) Da. b) Vom demonstra ca 2 =02 ~i B _3B+212=02,prins dere

t'

a ia este adevarata pentru

reZU!ta

succesiv

n -I

.

.

n = 2 este adevarat. Presupunem

n -I'

~I n. Din A" - 3An + 2A +1

= O2 ~I

Bn+1 3B" -

+

2B"-1 - 0 -

i ~\,.

ca

~

2'

:i~

nI nI An+1_ Bn+1 = 3( A" - Bn) - 2( A - - B - ) =

:

I

21

-1 AA'= ( 2

2

90)

2

=:>det(AA)

, =81.

, b)

Ca1cu1

direct.

,

32.

-

p ';fPEZ,B=1 ,

b

a I(a)

n»

Q)

dot (A' A)

= dot A' dot A = (dOl A)' > o. b) Prin

unde <=>(a-d)(b-c)=o

calcul obtinern

a) det(A) =-4.

33.

A· A'

b) A2=[~1

= A'

=:J

~1

-I

-I

= ab +cd ; do

. A=> oc+bd

~i A2-A=21

I c

34. Q)

• 3

3

I b

o

=6

~ :] I 2

I

~i A2 - A = 213• 35.

45·11,,\ !l = I

a) Calcul direct. b) Folosind binomul lUi

BE2 = E2B

Br

(A +

= An +

s',

a) A4 = -412•

36.

b = c = 0 ~i d = a, deci

rezulta

b) Fie B = (;

:).

demonstreza

~-2 ~-2

~

t~

~ 'Sa;:

'n=l~

-Sin!:'] ( 2 =:>A 2008 = COS . I004 004 JT sm I

~='6.

3s,

'((I+I)'-(l-i)')=4;'

.

/X:3 X~3 ; /_ X:3 x x x-3 3x-3 =27(x-I). Rezultli x= l.

u ::l

Z

X~3 3x-3

4

JT

sin I004 004 cos l

=

) JT

I

3/

I

; =3(X-I)

I

I

-3

~3 -~ I I

o

~

~

43. dl

=1;a

3

ci ~

b~a b3 _a3

2

c~a /=Cb-a)(c-a)!1 2 2 C-a

c~a c3 _a3

44.

b)

!l

d2

=

A+ 21: :

;H~:

; /=

3

b +2b+3

il=A

'J

c +2c+3 3

1=

1

Fi, P""'"''

I

a'

a

a+3

bI b

3

X(aJ(a).

1/11 3

c

2a

46.

4

1

1= I

a+2=±2<=>a=OsauQ <=>1 d 1=2 <=>1a + 21-2<=> -

7 7 . . <=>!l -_ 0 <=>a = __3 . Cum -- 3 IEZ, I1 = 3a + 7 . a) Punctele sun! coliniare

sou observand ca punctul

avem

det(AA'

obtinem

49. a)

a=-3.

!l

= 3

5

1 = 0 . b) Prin calcul

2

2

1

D este rmj··1ocu I se gmentului BC 50. a) Cu notatia

)I

~a;

~a;b;l_

= ~a.b. I

~b.

I

2

I

E {I"2 3} , deci vectorii

"

-

(a.b.-a.b;)2~o.

'-' ;"je{I,2,3} _

I

-:

O~ =o.!

b) Din

J

)

~Xk

=xl

+X2

+.lJ,

det(AA')=O I .

+ bJ-. k = I 2 3 sunt coliniari. Cone k' "

UZIa

Sisteme de ecua~ii liniare . lR _ {3} . ) 0 Cum d et( A) = -a + 3, avem A inversabila <=>a E * . ~) 8 -7. 8 =-4

Tem 2 2

a •

; ;/+/;;

2b

2c

3

;/= 3

3

A-I =~C

*0 ~

• . A inversabila.

3. det(A) =-5

-4}

Z('J(,).

A' -

Cum

A -I -- _I_A'; detCA)

* 0 ~A

, (8

11

A = 8

12

U21•

22

1

inversabila.

s:

s

II -,

8

A-I = det(A)·A

28213 831] 811=1; 821=-~; 831:~ ~ £1=.!.[~1 s:22 8 812 = -3; 822 = 1, 832 5 0 Un U 32 . --5 [ = 0; 823= 0, 83313 23 8 8E MnC33 13 4. ,,=:>"£1 Z ) ~ det(£I) E Z , dar det( A)det (A-1)=det{In)=1 ~I

Y(b./(b).

6 1I =0<=>-2x-y+6=O. 8

I = I , aria este egala cu 2.

. 1.Aesteinversablla<=>det(A

c + a

1

y

1 -1 I

2, det( A) = 29

a

•

rezultli.

~+w+~

I

-I

rezultli a;bj = ai;,i,j

(C-b)(c-a)(b-a)(ab+bc+ca).

;

a +2a+3

! •

=

= I

13a+71 = I, a E Z

I I=(c-b)(c-a)(b-a). C+a

I

~+~+~

B=I; 3

b+a

=Cb-a)(c-a)!

(C-b)(c-a)(b-a)(a+b+c).

o ~

218

b~a 2 b -a

a

III ~Ill:

~

=1;2

42. a) ~

o

-1

prin calcul

::E•

-I

rezulta cerinta. b) Din -2-

~Il=

-31kl

-

1

I = 2 + a, . S ABC = 2I d -1 I a I

2 3

= 1 . 38. 2

JT

x 1 = 0 , deci punctele sunt coliniare, .. b\~ AC. . -1 0 1

OIl2

/~I ~ :t~1 ~ :/=-18. 41.

=-4 .••.

=(3X_3)/X~1 3 X~3

; 3x-3

-

!l

= -4. 48.

I

~

JT

21 1

Z . Cum SXYZ = 1 B ~ SXYZ

1

B = a12. 37. a) Se arata prin calcul direct. b) Se 47.

cos!:. 2 prin inductie. c) A = [ . JT

E

I I _ 0 b\ • = I I I =O<=>-x+ Y- - . 'I il 2 2 1

1

Din BEl = EIB ~i

c1 = 6k , k

Y

x ~ AB:O

Newton rezulta

I b

6

-1 8 det( A) = 2. b) A2 =[~

1 a

, t512= 2;

21 8 =3 22

,

;

~1 0

-:]. 5

s

~

det(A)

=±l.

~

daell det(A)=

,,<:::"

A'

E

±I,

Mn (Z), deei A-I

1 £1 = det(A) . A';

E

=> A-I = ± A'. Pentru ell AEMn(Z)

cum A-I = (det(A)rIA' Mn (Z). S. det( A) = _ I

0;

[0Il A' = ~2

0;

°21 031J °Il = 022 032 ~2: I:

==> pe care

0 => A inversahila,

;c

[0 0

°21 = 022 =~;

°31 = 1 032= 0 => A-I = 1 033= 0 0

01) 023 033 013- 0,

IJ 0 . A/ternativ, 0

0 1

023= I, 3 observam ca A = 13 , deci A-I = A2 .6. det (A) = m2 + 5 > 0 , deci matricea este inversabila, 2 7,a)

A2=[:; 16

:~

::],

16

17

30+b =17 { 20 = 16 '

ca

aA+bJ3=[3~:b

de

unde

obtinem

1

A= -I

~:

2a

30 + b

0 = 8 => b = -7.

J.pentruca

b)

A2=aA+b1

3

este necesar

=> A inversabila.

det( A) = 7 '" 0

rezulta

2 -2. Avem

14.

x=l,y=l,z=O.

det(

A)

-52 -5' -22J A lternat . "IV,

A2

-2 -2

...•

=> A inversabila,

S. a) det(A)=heO

-

8A =- 713' deci eCI A- I =--7 I ( A-8J3)·

16.

Cum

s, =-60,

~I ~I

£1 =_I_'A*-[~ det(A)

w a:

-

i

::::I 0 u.:

. < ...• c(

0

o

l-

~) ~i B = (~

A = (~ rezulta

(inmultind

~I).

aceasta

0

I 0

-I;

A' =(0;1

U

0;2

c(

021) ~I =5; ~2 = -3;

012

021=-2 -I (-5 012 = I => A = 3

2)

.

-I'

(-1 1

deci X =

B=(I

-I

~1=-8"'0.

Bordatii

lui IIp sunt:

1l1=4 5

(A)

A' .

£1 = _1_.

I:~I

= 2, trebuie ca III = 0,

.

U

'"

w

Z

< III a:

aceastaegalitateladreaptacuA-I)caX=B£1

.

A

vem

11) -6'

b) Notam:

d(e:(A)) A= 1 ~

.

A- _(2 -

-7J

I

-I

4

. (2 , deci X =

~i

tl.2

-4

Deoarece

este

matricea

A.

12.

a)

(_~

-;r

=G

:)=>x=G :)(~ ;

-n=G

11. adjunctei I:

w

~J

b)

z

0 a:

C

• 220

h

:)=>X=[=: 5

=~r=(=:

0 Z

-e ~

2, deoarece

11

I

0 = -1 '" O. Cum

2 -1

~i 3 in

A este 2, pentru ca

0 = 0 si 2

4

0 = 0 . 21. Consideram

626

2 3

0

a =8a-32

2

3

~i 1l2=4

0 5

b

= 4. 22. rang

1 =32-8b.

2

(A)

b = 2, deoarece

det(

A) = -m + 2.

I

0 = -I", 0 . 24. Rangul matricei este cel putin

l2 J. ~3

caz

contrar.

-I

0

2 -3 -I

25.

2

Avem

1 = 0 ~i

5

3

2 -3 -I = -0 + 44, rangul este 2 daca 3

I~

-1

2 1

:1'" 0,

a 2

3

3 1 -1=0,

I

0

4

4 3

2

3

2

8

:)=[-~

-~J.13'

A vem dot ( A) " ••

2

1 4 = -5b + 20, deci rangul este 2 daca 0 = 3, b = 4 si 3 in caz contrar, i.e. a", 3 sau b", 4 .

0

4

3

b

1 -1 3 2

5 = -52 '" 0 , rangul este egal cu 3.27.

NotamcuAmatriceasistemului,

-3 -2

-131 • 0 • doc' """,,"1

dat este Cramer, A vem solutie

urn",

=50-15,

I

a) rang(A) = 1, deoarece liniile matricei A

4 -2 0 ~J(=:

I 2 -1 3

3

sunt proportionale.e) A " [~

1

3

26. Cum 3

X

u -e

19.

2 -1 3

= 0 => a = 4,

Este necesar ca m = 2. Este si suficient, deoarece 11

a = 44

-7) 15 .

A' - det(A)A-1 . -I, ,lpoteza A =A impune det(A)=I~-m-3=I~m=-4. Cum det( A) = 1 avem £1 = A' Atun . AA' _ ' . .. . , . CI - A A = 13 . Dill definitie rezulta ca mversa 10.

W

"" ci

(x,y,z)=(I,I,I).

= 3 '" 0 ~i orice minor de ordin 3 este nul, avand doua coloane egale. 23.

~) . Cum det(A) = I '" 0 => A inversabila => 3A-I. Cum X . A = B, rezulta (inmultind

CL

~ ::::I

3

0 = 1 24 '" 0 , iar bordatii lui IIp sunt nuli: 2 4 6 626

Pentru ca rang

::::I

a: w

18.

x=-5,y=5,z=3.

= -4 '" 0 => rang (A) = 2.20. Rangullui

a) Notam:

1

sistemului.

3 -1

::::I 0 Z

matricea

rezulta

(x,y,z)=(2,I,2).

I~~I

CL

.

A

2 -1

9.

cu A-I) cii X = A-I . B.

la stanga

_14 - 2

IIp=l~

0 => A inversabila => 3A-I. Cum A . X = B,

Observam ca det(A) = -I", egalitate

0

~J

6

= -.L. Cum 6x = -131, 6

cu

s, =36,

Ily =60,

(x,y,z)=(-I,2,0).17.

Cum det(A) = 0 si 3 un minor: III =

Up

Z

= Il = 12 '" 0, deci sistemul dat este Cramer. Solutia este data de

Il Il Il x= ;. ,y= ; ,z=-:;.

15. (x,y,z)=(I,I,2).

A

6

Notam

2 -I 1 A-I = detl(A) . A* = -7 [~2

6

6

144

formulele

3a :b

2a

III

s, =0,

Il y =-131,

[

6

determinam eu ajutorul formulelor lui Cramer: x =-2.., y = ----L,

0

Pentru K"

m"

L" (a b c) avem A " KL.

a2 +2ab +3ac 2 c) A2 = 2a +4ab+6ac [ ~+~+~

ab+2b2 +3bc 2ab+4b2 +6bc W+W+~

A/ternativ,

= K(a + 2b+3c)L

A2 = K(LK)L

ac+ 2bc+3c2 ] 2ac+4bc+6c2 =(a+2b+3c)A, ~+~+~ = (a+2b+3c)KL

=(a+2b

deei d = a+ 2b+3c.

2

1

a

3

2 =2*

o.

a+1

1 m

1

m

1

1

m = m2

3

-I

sistemului este

+3c)A .

rnatricei A a sistemului este 28.a)

A2=[~ I

~ 0

~]'A3=03.b) 0

I

13+A+A =[: I

: :].Cum 1 1

det(13+A+A')=0

~itotiminorii ", E lR

de ordin 2 suot nuli, rezulta ca rang (13 + A + A') = 1. c) 13 + A = [: 1

~ 1

~J;

x+ y+z =1

det(h

+ A) = I;

I

Pentru

- {1,2} .

m = I,

2

I

1

1

1

3 = 23* 0,

deci

-

3m + 2. Sistemul este compatibil determinat pentru

-2

sistemul

x+Y+z =3.

si

Conciuzia rezulta din teorema lui Cramer. 34. Determinantul

este incompatibil, m=2,

Pentru

rangO)

= 3 > rang(A).

deoarece

sistemul

este

in concluzie

prime Ie doua ecuaii ineompatibil,

m e {1,2}. 35.

suot

deoarece

Determinantul

3 -1 12 (J3+Ar'=

1 .(J3+Ar=[~1 det(J3 + A)

0

~

~].29.a)A*=[~

-1 1

6

-~

-~].eumdet(A"}-O ,-

-2

-2

3 -4

•.

matricei A a sistemului este -1

toti minorii de ordin 2 suot nuli, rezulta rang(A"} = 1.

b) Daca X

=[;]

EM3,1( C), ecuatia este echivalenta eu sistemul

4

m2 I

considerand A _

Cramer. 36. Determinantul

matricei A a sistemului este 2

x+4y-3z=5

Z

1

1

Este

1 22 -0 ]

matricea sistemului, [2

I 4 -3

u: •

2 = _m2 -37 * 0, \;1m E lR. Concluzia rezulta din teorema lui

1

1

{;::~;Z:: ;

1

yl

neeesar

1

I

2

1

I -I

ea

rangul

rang

(A)

=2,

deci

a = -1.

11

"

112

= a + 1 . In plus, avem

a -1 Sistemul

este

compatibil

pentru

b+l

b =0¢:>-b-2=0¢:>b=-2.A~adar,

a=-I

~i b=-2.37.DeterminantulmatriceiAa

-1

sistemului este

2 -1

3

1

1 = O. Rangul

1

matricei A

este 2, deoarece

I~~11

= 3 * 0 . Sistemul este

1 -2 2 compatibil, deoarece minorul earacteristic

2 -I

I

I

2

1

este nul. 38. Determinantul

matricei A a

1 -2 -I

sistemului este 2a

2a

1

I

~ = -4( 2a2 + a -I) . Cum sistemul este omogen, rezulta a

E { -I,

~} . 39.

-2

II) inIocuind Xo = 2, Yo = 2, Zo = 1 in ecuatiile sistemului, obtinem n = 2 ~i m = 3 . b) Sistemul admite

1 2 matricei A a sistemului

solutie unica daca determinantul

Rezulta ca n 1 Determinantul

• 222

Conform

matricei extinse a sistemului este

teoremei

lui Kronecker,

sistemul

este incompatibil.

{3} . c) Daca

n

E lR -

det A = 2

-I

n

1

-3 1 = 3- n . 2

{3} , sistemul este eompatibil determinat. Pentru n = 3 re~tli

ci mogul matrieei sistemului este 2. Pentru ca sistemul sli fie eompatibil, rangul matricei extinse trebuie sli fie 2. Obtinem m = 1.

2

5 -1 3 -4

E lR -

este nenul;

deci

rang(A) = 3> rang(A) .

33. Determinantul

matricei A a

40. a) Fie A matricea sistemului.

Avem

det(A)

=

3

este compatibil determinat daca ~i numai daca m e lR - {1,5} .

t:;:~::, I~~I

b) Pentru m = I,sistemul devine:

atunci

A=[~ ~

lx+Y-2z=1

Consideram un minor 1:1p =

1:1c = I

= (m -l)(m - 5), deci sistemul

m-3

m

1

1 rang(A) = 3. Daca m = 1, rang(A) = 1. c) Daca m = I, rang

2

1 m 1 2m-l

~l

~i det(A)

=:

I I -2

II

2~ 3 =0.

I I -

= I * 0 , deci rang(A) = 2. Pentru a determina

rang(A),

calculam

",:1' ,

I

3

I = 0, deci rang(A)

= 2.

Rezulta cli sistemul este compatibil nedeterminat.

Pentru m =:

I -2 I

S, sistemul devine

j

x

+ 9 Y + 3z

=I

x+Sy+2z

l

a=,4 ~i b =' -2 . c) Pentru b = -2 , avem sistemul

x + 2Y + 3z = 6

a::

care este compatibil pentru orice

a E 'l si pentru care (0, 6, -2) este solutia cu toate componenteie intregi. 1 a 0 1:1 = det(A)

=0

2 a = a + I > 0 , V'a E lR , deci det(A) * 0,

I

101

j

s~

·

b) I:1p=l~

...I ~

·

~

nedeterminat

IU

Q.

~ ~

·

V

III IU

trebuie

6-3m=21(n+12)=21(p+2)=0,

ca

sistemului.

Avem

conform

-I

I

IU

I:1c= I

1

"'" ci

o

I

3

-I

• IU

-I I:1c= -I

o a::

-3

m

3

3

=0.

Cramer.

Rezulta

224

la~ l1.=a 1

=1,l:1y=O

10

= 1 9 n S -6

9

S -6

42.

a) Fie

3 =0,

adica

-I = -6

m = -I.

formulele

a

lui Cramer

a

(a2 + 1)2

= -_.2 I

2

la~

=a,I:1,=O

1

Daca

m=l,

ca sistemul

* 0 , deci

b) Pentru

avem

este compatibil.

1:1

; ,Z=-:;,

cum

A

este

matricea

a_a d+l'z-

m

* ±I,

sistemul este compatibil,

rninorul

1:1

Daca

=11 -II I I =2 *0

1:1

m=-I,

= I-I -I ~I*0

~i

-- a

a + I a2 + I

= X·

•

"

•

•

deci x, Y, z sunt in progresie geometrica.

Z ,

2 -1

I 1

7 -I

a

= -Sa

+ 20. Pentru ca sistemul sa fie

compatibil determinat, trebuie ca det(A) * 0 ~ -Sa + 20 * 0 ~ a E lR - {4}. b) Daca 1:1* 0, sistemul este compatibil.

sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este incompatibil

I

atunci

incompatibil daca ~i numai daca I:1c= 2

1 P =:det(A). 1:1= I q

I m

= (m _1)2. b) Dacii

I

m

E

r

p2 1 P ll-,-L, 0 q-p L,-L, r2 0 r- p

4, un minor principal 2

1

-I

1 0~ b

*

* 4.

estel:1

p2 l-p2

2

=\q-p

I~~II·

Sistemul este

2

r-

2

r - p

P

2

q2 -P2\=(P-q)(q-r)(r-p). r - p

f-

ar + bt - e = 0, se obtine: *

este solutie a sistemului. Deoarece 1:1 0, ea este unica. c)

z=a

CUrn (-I, I, l)estesolupaslstemuUl,atunclp ., 1.

=

47. a) Fie A matricea sistemului ~i 1:1

lX = e y=-b

P

b

IC sunt distincte, fiind solutii ale ecuatiei

e- pb + p2a = p3 C-qb+la=l . Rezulta ca c-rb+r2a=r3

det(A) = 1 m

=

Daca 1:1 = 0, deci a

7 -I

~i

2

d+I'

101 2

46. a) Fie A matricea sistemului. Avem 1:1 = det(A) = 2

b) Daca p, q, r

43. a) Fie A matricea sistemului,

1:1

x= ; ,y=

I x= d+l'Y=

.

=a .atunci

p

1

pentru

Avem: y2 =

ll~

III 2

1

3

folosind

2 -3 -I

-3 -S

P

2

se obtine

-I -m m = 3(1- m2).

I -I

Z
•

2 = I

m=2,n=-12,p=-2.

I

lui

4

19m

o ~

are solutia

=> rang(A) ~ 2. Pentru ca sistemul sa fie

P

GO

~1=21*0

det(A) = m

teoremei

Z

:z: v

deci I

>C(

a::

Sx- 6 Y=P

S -6

Z
a:

{2X-3Y=-1 x+9y=3

. . Sistemul

x + 9Y = 3

2 compatibil

o

u

sistemului

101 de unde p=-2.

>C(

b) Solutia

=-1

2X-3Y

ind in n ocum m si sistem Zo = to = 0 , 0 btitmem: 41. a),11"1

x=O,y=~,

"

ceea ce insearnna ca sistemul este Cramer, deci compatibil deterrninat.

=4

~

o u..:

deci

=-2

1:1

IU

.

ax+Y+Z=4

. Din prima si ultima ecuatie, rezulta ca 1 = 4, fals. in acest caz

sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este compatibil nedeterminat pentru m = I.

...I

(:4) = 2,

*

45. a) Fie A matricea sistemului, atunci

X+SY+2Z=1

iar rang

. mul este incompatibil. Daca m I, sistemul este compatibil. Deci m = 1. 44. a) Inlocumd 10 SlSte I tia (I I 1) obtinem a = 2 b = O. b) Pentru ca sistemul sa fie compatibil nedeterminat, . tern so uu " '_ ' SlS . ca rang(A) = rang(A) < 3 (un de A este matricea sistemului). uebu1e 1 I 4 a I I 1:1c = 2 3 6 =b+T, ~i avem 2 3 = -a + 4; luand det( A) =' 1 -I -2 b 3 -I -2

3x- y-2z

2

(A) = 1,

i I

~

i ~

.

3

-p -p + I =,0 2

3

..2

q -q

-q + 1 -- 0 y•.i ? - ? - r + 1 ~

• 225

= ,a c p, en 'Pal,...."=1,-=~_ I. Deei, orieum Je-arn alege douli di = U <:::I(1- rt "F 1,= U ell raaaeInlle7 , tntre numerele p, q, r vor fi egale eu 1.

_1

48. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) Atunci v=rCI d b) Sistemul fiind omogen, el are solupi nenule d

a ac

A Ll

=

°

m

I

om

I"

ogen, e are so utn nenule daca d = 2X + Y + Z =

{ 3x - y = -x+2y+z

°

° ,

°

<::>-5

_ m -

°

-I

I

I

-

2

°

<::>m =

O-{-2}

d=!: :

....J a: l-

"'

i

:;)

o

.

u..:

~ ~ :;)

o

I

Fie

A

matricea

I~b~ :-Cb:;!_/b_a- a-bl

::;IL,~L, a+b L,-L, °

c

a)

c-:

C-a

;;

~ "' ; • _

-'

U

Ii} Z

~

ffi

~

c:i • ~ U

~ ~

o Z II(

:it

• 226

Fie

a)

ecuatia

x, y, Z E 1R .

a)o z =xo(yz-6y-6z+a),

eox==yoe=x,VxEZ<::> 8. 0

neutnl ~i

d

=

det(A).

Atunci

xe+5x+5e+a=x,VxEZ

daca

y)

0

Fie

exista

9.

x,y,zEZ.

eEZ

Avem

astfel

a)

Legea

incat

are

2

Avem

a)

eLement

exista

Tema2.3

xiog,,<= e!og"x = x, Vx E (0,00) <::>e = 27 E (0,00).

Legea

are

X

§i numai

daca

eLement

z), Vx,y,z

z), Vx,y,z

neutru

daca

e lR

b) Deoarece

VXEZ <::>e=-4 si

E Z.

cu

ceea

are

ce

element

revine

a E Z -{6}

exista

La

legea nu are

e E (0,2)

astfel

b) x E (0,2)

Incat este

xox'=x'ox=l<::>xx'=2-x-x'+xx'

sunt simetrizabile.

eE(O,oo)

deci

b) Legea

= 0, Vx E (0,2) <::>e = I E (0,2).

x'E(0,2)

exista

daca

e lR

<::>x( e-7)+

<::>a=20.

neutru

E (0,2), deci toate eLementeLe din (0,2)

nu este

xoy=5(x+6/5)(y+6/5)-6/5, 0

om

xoy=(x+5)(y+5)+a-25.

eox=xoe=x,VxEZ,

simetrizabiL daca (:) x' = 2 -

0

-x) = 0, Vx,y,z

x(5e+ 5)+ 6e+ a = 0, Vx E Z <::>e = -I,a = 6. De aici rezulta ca pentru neutru.

z = x 0 (y

<::>x(e+4)+5e+a=0,

nenule daca d . - , ceea ce am demonstrat la punctul ante . . cu 2,. z e.ste necunoscuta secundara, z = A A E lR . I nor. c) Rangul matncei sistemului este egal solutia sistemuhn, avem ca a + b + c = -I'd . ' re~ ta,r = A, x = -{a + b + C)A. Cum (I I I) , eCI sOlulllle slstemului sunt (A A ') , "este , , 1\" I\, E lR .

10. a) Avem x y = xlOg"y. 0

astfeL Incat

eox=xoe=x,VxE(O,oo)

b) x E (0,00) este simetrizabil daca §i nurnai daca

Structuri algebrice exista X'E(O,oo)

1. a) Fie XYEZn[5

)

,00 . Atunci xoy~5+5-5=5~xo EZ (xoy)oz=(X+Y-5)oz=x+y+ -10( y n[5,(0). b) Fie x,y,zEZ.Avem Z -xo yoz). 2. a) Fie Avem (x 0 y) 0 z = x 0 y)5 + Z5-I = 5/x5 + 5 5 X, y, Z E lR. . V Y +z -2 =xo(yoz) b) Cum <::>5/5 5 . eox=xoe=x VXElR<::> + e -I = x Vx E lR 5 ' di ' <::>e = I <::>e = I E lR rezulta a irecr, b) Trebuie demonstrat ca ori fi' c I este elementul neutru. 3. a) Calcul -I:::::> x + I > care ar x, y E (-I (0) rezulta a d . ,Y+I>O,deci(x+I)(Y+I»OObp , c x*YE(-I,oo).Avemx> 1 Y> eCI 3xy + 3x + 3y + 2 > -I 4 a) T b .' d nemxy+x+y+ 1 >0~3XY+3x+3Y+3'>0 x* ( .• re uie emonstrat ca oricare ar fi ' Y E 3,(0). Fie x> 3,y > 3 ~ (x- 3)( _ ). I x,y E (3,00), rezulta y 3 >0, deci x*y-2( 3)( ) X,y,ZElR. Avem (x*y)*Z-2()( xy-3 +3>3. b) Fie '

1(

"X

°

este

7.

z = 25(x + 6/ 5)(y+ 6/ 5)( z +6/ 5) - 6/ 5 = x o(y

element

a-c =0. b) Sistemul fiind omogen, el are solutii

a)

0

R <::>(a-42)(z

AVetTI Xoy"*-5,VX,YEZ-{-5}<::>(x+5)(y+5)"*20-a,Vx,YEZ-{5}

a::20.

(x

e e x = x o e = x, Vx e lR <::> xe- 6x- 6e+ a = x, Vx E lR

b) Deoarece

+(2-2e)x

,,*"

e

6e+a==O,VXElR <::>e=7 si a-6e=0<::>a=42.

Atunci'

nu are solutii, deci -2

Avem

Vx,y,z

eox= x=e = x, Vx E (0,2) <::>(e-l)x

°

0(x'+2)=4

I

o Z

6.

Daca x=-2,

_ . m - -5m. b) SlstemuJ fiind

.

. slstemuJui

2) = 4. Daca x"* -2 ~ x' =-x-:-2 -2 eQ , deci toate elementeie

sunt simetrizabile.

<=> a ==42.

II

(xo y) SO.

ee- (x+2)(x'+

<=> (xy-6x-6y+

2

_X02

°

sitTIetrizabil.

3.7

orma. x= A,y= 3A, Z=-5A.

x; + y; + z; 35,,1 7 z; - y; = 15,,12=)

-'''--::lRTI111-'~~~_ ,t0X'==x'ox =

<::>m = 0. c) Daca m = 0, sistemul devine

deci orice solutie nenula a sistemului este de f

=0

1 ~113 =: -

2 = 14m _ 4 . 4

<::>14m - 4 =

49. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) A . 12 \ . tunci d = 3

_ 12 -

II

1 3 -1

I _I

_ I -

asociativa.

cs

t:* y-3 z-3) +3 = 2(X-3)(y-3)(Z-3)+3 =x*(y*z), u am e E lR astfel • • (2e-7)(x-3)=0 V lib meat x*e=e*x=x,VxElR, ' En. Obtinem e = 7/2. 5 I tnI • a) Avem xoy=-(x+2)(y+2)_2. x,YE'\l,X,y~_2. Cum 2 X+2~0,y+2~0~xoY>_2 eox=xoe=x Vx Q I( -. b) , E <::>2' x+2)(e+2)-2=x,VXEQ<::>(x+2)(e+2)=2(x+2),VxEQ:::::>e=0 c)

deci

"

adica Fie Cum

cu xox'=x'ox=27

x = I, ecuatia (x')o

= 27

<::>(X,)log"x=27.

X'EZ

cu

x"*l,

nu are solutii, deci multimea elementelor

11. a) Cum x 0 2 = 2 0 x = x, Vx E Z rezulta cerinta. exista

Dad

xox'=x'ox=2

atunci x'=2iogx27 simetrizabile

= 12 ~

(AB) (ABr = ABE AI

= AI~I

Daca

este (0,00) - {I} .

b) x E Z este simetrizabiL daca si nurnai daca

<::>x'= 7x-16 3x-7

~3x'=7+_I_.

Atunci

3X'EZ<::>

3x-7

3x -7 E {-I, I} <::>x = 2 , deci singurul eLement simetrizabiL este 2. 12. a) Daca A, BEG BIt

>0.

~ AAI =

= AAI = 12 ~ AB E G, deci G este parte stabila a Lui M2 (R)

In raport cu inmultirea matricelor. b) Cum am demonstrat a), ramane sa verificam In continuare axiomele grupului: GI Operatia .,;" este asociativa. G2 Operatia "." are elementul neutru hE G. G3 Orice element din G este simetrizabil fata de ".": Daca A E G este simetrizabil 3A-1 E GI astfel lncat 1 0404- = A-IA = h. Avem A E G ~ A . AI = h ~ £1 = AI In M2(lR). Verificam AI E G. Rezulta din AI(Alr = AlA = 12• Asadar orice element din G este simetrizabil fata de ".".

13. a) Cum 0'=(1

234 23415

5) ~

0'2=(1

dCCiG contine 4 eLemente. Avem: G = {e, o,

234 34125'

d,~}

5)

0'3=(1

234 41235

(e fiind permutarea identica).

5)

~icr4=e,

e

a-

a-2

e

e

a-

2

b) a-

a-

a-2

aa-3

a-3 a-3

/o,b ° fl

0'2

0'3

e

0'

0'3

0'3

e

0'

0'2 este compunerea permutiirilor

verifi _,

. contmuare axi

ill

element din G este simetrizabil fata de ". ", ceea ce rezulta din ~bla ::~~~nt J-U II

a) Trebuie demonstrat

ca oricare ar fi A, B E M rezulta

x

l4

Ca

AB

E G.

I orne e grupului. G .

neutru ~are este e. G3: Ori~ permutiirilor pe G.

. Fie A

=

(a

I

31.] '1

,ai, b,

b

E

Z

l 3(alb2 + aA)] I a ala2 + 3~b2 si ala2 + 3blb2, alb2 + a2b l E Z, rezulta cii M este parte stabila a lui M (Z) in raport' . , 2 cu inmultirea matricelor. b) Fie :; 0, 1 sau 2 (mod 3). Pe rand, if + I :; 02 + 1 :; 1 (mod 3 if _ 2 a E Z :::>a ) sau. + 1 = 1 + 1 :; 2 (mod 3) sau if + 1 "" 22 + I :;2 (mod 3) deci if + 1 ;j; 0 (mod 3) c) Pr 2 • esupunem pnn absurd ca det(A) - 1 2 21~a-+l=3b2,falsdinb).d)DacaAEM 'A-I -~a -3b =_ _I _I ~I EM:::> det(A) E Z, det(A-I) E Z. C det(A )=det(A·A )=detI2=I:::>det(A),det(£I)E {-I I} . umdet(A). 15. Pentru orice x, y, Z E JRavern (x*( * )_ ' . DIn c) rezulta ca det(A) = 1. y Z -x+ y+z+xy+xz+ yz+ _() . xyz - x * y * Z , deci ,,*" este asociativa, b) Se arata prin inductie ca x * * * 1 1 3 I x2 ••• xn = (XI +1)(x2 +I) ... (xn +1)-1, de unde 3b2] , a2

~i B = (;2 2

.

u:

1*2

OS

I 1 ( -+-+x Y

~ ;:)

.

u ;:

III Q.

•

U

-I =2008.

16.

1]-1 xyz -xy+ + ,rezultiica xz yz

(xoy)oz=

a)

Cum

(x 0y) 0 Z =

(I 1 ]-1 -+-+~ x y

Z

-.!L..

~0~0~0 2 (

'"

... 0_1_ =(~o.!.o~)

3 4

100

1 2+3+4

1

2 3 4 °5°6°

lIP

"este ... 0 100 =(2+3+4rl

1 I) 1 1 1 °5°6 0708° ... 0 100 = (2+3+4+5+6)-lo~0.!.0

xyz

\;I/a.b E G, deci ii,o este element neutru. 3°. V'/a,b E G, 3 f~..!!.. astfel 'incat

= fl

b

;.~

= It,o

b ° fo,b

;.-;;

aplicand

b)

100

deci x

1 sau y

GI: Operatia ,,*" este asociativa. Pentru orice x,y, Z E H avem (x * y) * Z = (xIOgY)) * Z = xlog)y·I08)z , iar x * (y * z) = x * /08) z = xlog)z·loS)Y , adica ,,*" este asociativa.

G2: Operatia ,,*" are element neutru. Cautam e xloS)e

=X

,

\;Ix E H, deci IOg3e = I :::> e

=3

E

H astfel incat x*e

= e*x = x, \;Ix E

I

E

H astfel incat x*x'

=

x'*x

=

3. Avem

xlO8)x'= 3 :::> logjr'

. logjx = 1 :::> x' = 3log)x

CD

a: III

1 (

1 I) 0

2+3+4+5+6°7°8

1 ... °100=

8 (2+3+4+

... +100rl=

in concluzie,

H este grup in raport cu operatia ,,*".

u(a)=[~

19. a) Notam

~a

o

0 cerinta.

= U(I) E G, iar

U(ar'

=

~l'

U(a)U(b)=[~

a

0

b) Inmultirea

u(~)

E G,~ > O.

0

matricelor

in

~l=[~

Ina;lnb

ab

0

este asociativa.

In(ab) 1

0 0

o

ab

Elementul

lito

c::i

• III

o ~ ~

Q

Z

CC

~

• 228

demons tram prin inductie

1 5049

y_

a) Calcul direct. b) Vom verifica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat cii oricare ar fi A(x), A(y) E G, rezulta ca A(x) . A(y) E G. Aratand deja punctul a), avem A (x) . A(y) = A(x + y) ~i cum x, y E R, deci x + y E R :::> A(x) . A(y) E G; G1: Inmultirea matricelor este asociativa; G2: Existenta elementului neutru, observam ca Iz = A(O) E G, deci elementul neutru este chiar Iz. ; G3: Orice element din G este simetrizabil fata de inmultirea matricelor. Daca A(x) E G este simetrizabil, 3 A(x') E G astfel incat A(x) . A(x') = A(x') . A(x) = Iz.

Atunci

."

-:3 ,...,

*

*'

*

neutru este

20.

Altemativ,

ox ° ( 1 1 1 ]-1 2 ... ox = -+-+ +_ P 1 1 1 n x x'" . entru XI = - X X _-_ I 1 I 2 x; 2' 2 n 100 :::> -0-0 1 (2 1 2 3 ... 0 100 = +3+ ... +100)-1 =-17 5049 • a) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi f °f 10,,,, ,fo,1>, E G, rezulta f ° f E G Cum a,,,, 0,1>, - 10,0"0,1>,+,,, E G (deoarece ala2 0 pentru a a,,,, 0,1>, . ararat. b) Cum am demonstrat a) ra-ma' x'fi I 0 ~I a2 0), obtinem ceea ce trebuie 1° C ne Sa yen icam in c ti . . ompunerea functiilor este operape asociativa. 20. 3;n Enuare axiomele grupului: 1,0 G,fi.o(x) = x, \;Ix E lR astfel inciitfi.o 0 t'

1=U(ab).

concluzie, (G, .) este grup.

= -x,

deci A(x') = (1- 2x x

-4x 1+2x

x

3 ( -I

*e =e*x

In

4 -1 =(A(l)Y=A(n).

21.

a)

Observand

ca

J si

cum

J

x' E R, obtinem A(x') E G si orice element din G este simetrizabil. c) Observam ca (~I

(102 .99)-1 2

cum

3108)xE (0,00) \ {I} rezulta ca orice element din H este simetrizabil.

Avem A(x) . A(x') = 12:::> A(X + x') = 12:::> x + x' = 0 :::> x'

100

;

I

III

Z

>CC

H, adica

E H este element neutru.

G3: Orice element din H este simetrizabil fata de ,,*". x E H este simetrizabil daca ~i numai daca 3 x'

I)

a) avem

... o_I_=

6 ... 0_1_=

x E H:::> x * y > 0; presupunem prin absurd

X

=

rezulta cli

= I. b) Vom ca \;Ix,y E H:::> x * y E H. Avem x * y = xlO8Y) si x * y = 1:::> xloS)Y = I :::> x = 1 sau y = I, absurd,

in baza 3 avem log, y . log,

= 0,

=I

deoarece x, Y E H. Deci x * y E H.

si

yz __ = xyz + Z xy + xz + yz , ~I

cUID

a

18. a) Din x * y

, deci orice element este simetrizabil.

veri fica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat

Cum ab > 0, rezulta

xy+XZ+ yz

. ' oncare ar fi x, y, Z E (0,

esocranvs 0fo~o

0Z =

x+ y

Pentru orice x, y, Z E (0,00), avem (x 0y) 0 Z = XYZ. . xy+xz+ yz' lar xo(yoz)=xo adica ,,0" este asociativa. c) Folosind fa tul ca 0" ...y

~ ;:)

AB = (alGz + 3~b2 alb2 + Gz~

E Z. Cum

·i .....~:

c

;:) Z CC

as, b2

*...* 2008 =2·2 Z

= /a,b,

xIOSY) = 1, de unde logaritmand

Ii" . . , earn Ope rapa " . este asocianva, ceea ce este evident. G2: Operapa . "

14.

° ii,o

a'

e

0'2

C) Cum operatia "."

= /a,b

/a,b

~1 = A(l) .

x* y=(x-5)(y-5)+5,

din

= x , \;Ix E JR, avem (x - 5)(e - 5) + 5 = x, \;Ix E JR, adica (x - 5)(e - 6) = 0, \;Ix E JR, deci

i

e = 6. b) Din x * a = a * x = a, \;Ix E JR, avem (x - 5)(a - 5) + 5 = a, \;Ix E JR, adica (x - 6)( a - 5) = ~ 0, \;Ix E JR,deci a = 5. c) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi x, y E G, rezulta ca x

*Y

v

E

G. Avem x >

0, y > 5 :::> x - 5 > 0, y - 5 = 0 deci (x - 5)(y - 5) > O. Obtinem xy - 5x - 5y + 25 > 0 :::> xy - 5x - 5y + 30> 5, deci G este parte stabila a lui lR in raport cu legea ,,*". d) Cum am demonstrat c), camane sli verificam in continuare axiomele grupului abelian: G1: Operatia ,,*" este asociativli. Pentru orice z, y, Z

E G, avem (x * y)

* Z = (x-5)(y-

5)( Z - 5) + 5 = x * (y

* z),

deci

,,*" este

asociativli. G2: Elementul

!;i :iE

III

~

:iE •

229

neutru aJ opcranej ,,*" este 6 G·

0 . lernent di G . . nee e emen 10 este sunetnzabil

*" F' e" . re x e G '-5 1 . . "'-' x - +--e(5 G4: Operatia ,,*" este comutativa, Pentru x y e G arb'trar x- 5 ,co). . ' I e, avem x * y = (x _ 5)(y deci operatia ,,*" este comutativa in I' - 5) + 5 = Y * x . cone uzie, (G *) este ' e) 1* 2*3* ... *2012 = (I * 2 *3*4) *5 *(6 *7* ... *2012) =5 d' grup abelian. . ' eoarece x*5=5*x-5 V 1ll> Inductie dupa n. 22. a) (x*y)*z=x.(y*z)~(a-5)(z_ )_ - , xe"". J) x -0, VX,y,zEZ ~ a=5. b) Cutn ell tarn u

.

'

X

3·

meat

x*x'=x'*x=6.

neutru,

c)

~a=5

((-I)*2).((-I).2013)=a

~(

a x* y=6(x+I)(Y+I)-I. Prin inductie rezulta ca x .~. , Obtinem 1* 2 * 3 •... *2013=620'2. 20141-1 ~ A

.

j) Avem

~p=-I.

. e

_6)2

_ 5 ,e - --6

.

. deci

!1: Z,

legea

nu

are

) a-6 =0~aE{4,6}. d) A * -6'-'()( vetn ... x. x, +1 x2 +I) ... (x +1) I • - . x·P=p,VXEZ ~6(X+I)(P+I)=P+I

vem

+

2(

x.x*x=287~36(x+I)3-1=287~x=1

_

.

c) Legea

t: ~

are element neutru

Daca(-co).]

e = I,a = -3 d)

~

daca

~ ~

concluzie

a:$-3,

"2

Z

2

d

(

• a/

X,y:$~

)

I. 2 .3

Ca la 2

2 .

a

Z

II).

o

~

:z: U

Zc

O

~ Z c ~ •

230

2

s: -3

.

e) F' .

punctul antenor,

)

-2e+2

= 1• (2 .3)

de

.2.3 •...*10

+ f(y)

Reciproc,

~< 9 3 a+ 2 _a+ :$-· 2 2 G_( 3)

ie

-

-CO'2

• In

=/(8)*

~X'=~

2

element

1

3

2 (2x + 3) < 2'

neutru.

x, *x2 * ... *x.

Fie

XEG.

. Avem

rezulta ca G este parte stabila. Legea este Cum

.

de

=(-2)'-'._IT

1-'.2......

(XI'

_~)+~, 2

2

deci

2

4

j) Prin inductie se arata di

sunt simetrizabile.

grad

... *2013=3-1.3.5

.... 4023

2

T este

Jl(, ceci

bijectiva,

deci

a E lR

I,

rezulta

... +17)=/(125)=118.

26.

I

este

~b=-3,

a = 1,/ (x) = x -

§i b = -3 . b) Alegem

ca

J1JVIU~LLl.

izomorfism.

bijectiva,

deci

v'"u

b) a)

deci I

3 . Deoarece

izomorfisrn

.

I

este

Atunci

27. a) ~ oX o ... ox. == I(x,)o l(x2)o ... oI(x.) = I(x, +X2 + ... x. +3n) = x, +~ + ... x. +3(n-I). 2 Y f(Xo Y) == I(x+ Y -I) = ex-'e -' = I(x )/(y), deci I este morfism. Cum I este bijectiva, rezulta

cI

functia

I

este

izomorfisrn.

QI(x)4==/(S)~e4X-4=e4~x=2. 0

I(Y)

b)

xoxoxox=S~/(xoxoxox)=I(S)~

28. a) Avem

= (J(x)+

1)(J(y)

xoy=(x+I)(y+I)_I.

este morfism, atunci

I(e) = p

este morfism. Cum I

are elementul neutru p = 2 . b) Daca

=> a = -I . Pentru a = -1 se veri fica usor ca

Trebuie sa demons tram ca I ( x + y) = I ( x ) I (y) , adica

I:

X,YElR'

x e x = (x + I)S -1 => (x + I)S = 2 => x = ifi -1 .

29. 0) Legea ,,0" are elementul neutru e = 3 , iar legea "."

f

Pentru

+ I) -1 = = xy -1 = I( xy), deci I

este bijectiva, rezulta cal este izomorfism. b) xoxoxo

7X+ Y

= T' 7 Y

,

I

este morfism.

30.

ceea ce este adevarat, deci j

Z ~ Q' sa fie izomorfism, stiind ca I morfism (din a), este

necesar ca I sa fie bijectiva, Cum pentru y = -1, nu exista x E Z astfel lncat 7x = y => I nu este SUJjectiva, deci I nu este bijectiva, ceea ce inseamna ca I nu este izomorfism. 31. a) Trebuie demonstrat ca Vx, y E G => x* y E F. Avem x > 4, y > 4, deci x - 4 > O,y - 4> 0; obtinem (x - 4)(y

Cum am demonstrat a), ramane sa verificam in continuare axiomele grupului: G,: Operatia ,,*" este asocianva. Observand cli x. y =(x-

x·e=e.x=x,

24. al v

1* 2 = 0 ~ ~9 + a = 0 ~ - 9 b r:;--~~-a-. ~ Avem (x*y)*z =3IX3+y3+ 3+2 _ ( c " z a -x· y*Z), VX,y,ZEIR. ~ Lege:! are element neutru ~3eElR,x*e=e*x=x,VxElR ~3/x3+ 3 __ \-I ~ e=r-ila dl V e =a -x, vXEll' . v Legea este asociativa §i are element neutru F' 1ll> • " 3/ . ie XE"" Atuncr xox =Xox=e~vx3+x'3+2=_~ ~x' __ 3'4:3. . 'if 4 + x E lR , deci toate elementele sunt

VXEG,

e = S E G este elementul x

1.2*3*

este

ax+b+ay+b+3=a(x+y)+b,Vx,YEIR

rnorfism daca si numai daca

fiJIIctle

+ y), V'x,y

f

ca

rezulta

1(9)* 1(10)* ... * 1(17)=f(8+9+

EG

este simetrizabil,

= _1_,

x'- 4

4)(y-

4) + 4, avem pentru Vx, y, Z E G, (x* y)*z

4)(z - 4) + 4, iar x*(y*

+ 4, deci (x * y) * Z = x * (y * z),

xox'=X'OX=I~(x+~)(x'+~)=.!. 2

deci toate elementele

I,

- 4) > 0, de unde rezulta xy - 4x - 4y + 16> 0, deci xy - 4x - 4y + 20 > 4, adica x* y E (4,00). b)

§i are

+ 7 = x + y -7 = f[x

grad

l(x)./(y)==/(x+y),VX'YEIR~

Il)

+3e+a=0,VxeJR

de unde a:$-3.

X*Y=-2(X-~)(Y_~)+ 2 a

= f(x)

morfism de grupuri. b) Pentru ca

atun . 3 3 3 CI 2·2:$2'

este parte stablla daca §i numai daca

U

~ ffi

rezulta

(

~x

* I(Y) functie

4)(y- 4) + 4] *z = (x - 4)(yasociativa

1&1

.

pentru

X. y=-2(X-~](Y_~]+~

A.

~ ::l

atunci

(-co~].

;;

:$ a::

este parte stabila

2'

~ >cc

3

~ 3e E lR x*e = e*x = V lR , x, XE

f(x)

este

rezultli ca I(x)

23

.

~ a - -3 . b) Daca legea este asociativa, rezulta din punctul ant' a _ 3]( 3) 3 ( )( enor c a - -3. Pentru a = -3 avetn ( x-2 x*y=-2 y-2 +2=> (x·y)*z =4 x-~ y-~)(z-~)+~=x*(y.Z)' Vx,y,zElR. ~

N

(x-5)(x'-5)+5=6_

Avem

eox=xoe=x,VxEZ~x(6e+5)+6e+a=0,VEZ element

fata d t"

G astfel

E

adica

z) =x*[(y - 4)(z- 4) + 4] = (x - 4)(y- 4)/z - 4)

,,*" este asociativa.

adica (x-4)(e-4)+4=x,

VXEG,

de unde rezulta

x' = 4 + _1_. x-4

Cum

e EG

adica (x-4)(e-S)=0,

x' E (4, +00) => orice

simetrizabil fata de G. c) 1:(0,00)~(4,00),f(x)=x+4 (G,*),

G2: Cautam

astfel ineat VXEG,

deci

neutru. G3: Orice element din G este simetrizabil fata de ".". Daca 3x' E G, astfel incat x * x' = x'* x = S, adica (x - 4)(x'-4) + 4 = S, deci

x-4

g1Upul

= [(x-

deoarece

I(x,y)

element

din G este

este morfisrn de la grupul

= I(x) */(y)

(pentru

ca

((O,oo),.)la

l(xy)=xy+4

iar

1[])

fey) = (x + 4). (y + 4) = xy + 4, deci I(xy)

f(x).

unde reZUltli/izomorfism.

= I(x) * I(y»

si de asemenea,

32. a) Prin calcul se verifica usor ca I( xy) = I(x).

I

I(Y),

bijectiva de Vx,y E (0,00) ,

J

simetrizabile. e) Prin inductie dupa n se demonstreaza ca X I

*X * *X 2'"

_ 3

• -

f.

LJXt

3

(I)

+ n-

a, deci

.

decif este morfism. Inversa functieij" este b) Fie

(-I)*0.1*2*3*4-
U

E (0,00) cu I(u)

= x. Atunci x*x.x

h'

-.

j) Avem

x*x*x*x*X=~5x3+16=>5x3+16=1=>x=_
~ u

= ifj , deci

x =

g:

1(\13) .

(-2,2) ~ (0,00 ),g(x) == 1~

I(u)

* I(u)

= 2+x 2-x * I(u)

, deci f esu:

= 1(3)

izomorfism.

3 ~ I( u ) = 1(3)

33.a)

A(X)A(Y)=[~

x+ Y

o

d

y),

~ j=A(X+

x+ yelR.

b) lnmultirea matricelor patratice de ordinul 3 este asociativa.

concluzie,

13 = A(O) e G este elementul neutru

=> orice element din G este sirnetrizabil. in

Fie A(x) e G. Cum A(x)A(-x)=A(x-x)=A(O) (G,.) este grup. c) Functia f:R~G,

f(x)=A(x)

grupul (G, .), deoarece f(x + y) = A(x+ y) = A(x)A(y).

este morfism de la grupul CR, +) la

De asemenea,f

injectiva pentru cll dacllj(x)

= fly) => A(x) = A(y) => x = y ~if swjecti~~ p~ntru cll .ori~e element din G este de forma A(x) == j(x), deci apartine irnaginii luif Am obtinutj" bijectiva, d,eclf Izor~orfism; . . 34.a) Ca\cul direct. b) Cum am demonstrat a), rlimane sll verificam lD contmuare axiomele grupului: GI: Inmultirea matricelor este as~ciativll. G2: ~xistenta elem.entului neutru; ~bse~lim cll lz. == A(O) E G deci elementul neutru este chiar 12. G3: Once element din G este simetrizabil fatll de mmultirea matricelor plltratice de ordinul 2. A(x) e G este sirnetrizabil, 3A(x') e G astfel incat A(x) . A(x') '"

= A(ill'+x+x')

A(x') . A(x) = lz. Avem A(x)A(x') prin absurd, x'

=

-.!. => ~ 2

=

2x+1

-.!. =>

0

=

== A(O)

=> ill' + x + x'

{-.!.}.

I, fals, deci x' e R -

2

= 0 =>

x' = 2~: I (daca,

Am obtinut A(x') e G, deci

2

orice element din G este sirnetrizabil. In concluzie, (G, .) este grup. c) Deoarece f(x)f(y) I = A( XY2- )A(Y;

I) = A( 2· (X-I~y-I)

+ x;

1

+ y; 1) =

grupuri. Functia f este injectiva pentru cll f(x)

.
A

I XY2- ) = f(xy)

,f

este morfism de

}:::> x = y

~i este

I

det(AB)=detAdetB=I,

deoarece AA- = 12,

deci

ABeG.

det(AA-I) = det Z, = I, detAdet(A-I)

+ 1), deci apartine imaginii luif

Daell

AeG,

atunci

si

A-leG,

= I si cum det A = I => det(A-I) = 1.

U

36. a) Fie 1=

~

a·

ordH

x,y e U•. Cum

= x" => H cU

X

n

»

(~). y

= x· = 1 => ~ e U., rezulta concluzia. r" y

De asemenea,

ca

(akrl

~

rezulta

a: ~

1= COS-+ISlD7

cj

grupul

(5".

ordinul

.

U42este

x e H. Atunci

b) Fie

V'a", al e H => a" . a' = ah+1 e H .

= a" e H (ao = e), deci H este subgrup al grupului lui

a

este

6.

5,,)k 5k". . Skr: =cos-+lslD-~-e2Z 7 7 7

38. 5k 7

14. c) H este subgrupul generat de

is

~(a-I)x=o,V'x,y,zeR,

~

x a y = -2 ~ (x + 2)(y + 2) = 0 ~

11.1

i

deci

a=1. X

= -2

a)

(Ss,-). b) Din calcul

&42= cos30" + isin30" .. deci ordinul

~I4Ik,

e.

=> &42= I.

elementului

.

b)

s

39. Avem

40. a) Observam

cll xoy=(x+2)(y+2)-2.

sau y = -2 . b) Pentru a determina elementele inversabile

de unde

•

xo x' = x'ox = -1 ~ (x + 2)(x'+ 2) = 1 ~ x+ 2 e {-I,l} ~ x e {-3,-I}

e=-IeZ

este element

in

Avem

~

232

2 este morfism de inele

d

eoarec

e vern:

x

T x'=x'

T x=6,

x'eQ-{5}.

adica

Y sa fie

{} 3x' Q-{5} x EQ - 5 , E

Daca

inversabil.

5x _ 24

(x-5)(x

incat 1I

verificat

c

x-5

, rlimane sll arlltllm cll x "*5~

Cum X'EQ,

.. Mal trebuie

x' = -.

, ) _ 6 deci -5 +5 - ,

astfel

~

x-5 If1I I(x) Q ~ ",!,

"*5 ~ 5x - 24"* 5x - 25 , ceea ce . = x + 5 este morfisrn de corpun,

. D· (1f1I 1.. T) este corp. c) Functra I: este evident. eCI ",!, , _ 5 = I (x) 1..I (y) o I(x+ )-x+y+5=x+5+y+5 deoarece 'lfx Y E Q , avem: 1 . Y . bii ctie deoarece , Q l(x)-x+5 este ~I IJe I ' 20. l(xy)=xy+5=/(x)T f(Y)· Funcpa I:Q~, -. .. d) Se " () _ A adar f este Izomorfisrn de corpun V'yeR3Ix=y-5EQ astfe\ mcat I x _yo ~ ) N' si , . .•• T T T x =(x -5)(x2 -5) ...(x. -5 ,cu n E demonstreaza prin inductte dupa n, ca XI x2 .•• I •

43. Demonstram relativ prim cu n. ,,=>" presupunem

;;t, == ~b== 1

neutru fatli de ,,0". Apoi,

A

este elernent inversabil al inelului

'1l

ca a E !LJ•

daell ~i numai dacll este ( Z.,+,· )

3b E Z. cll ~ este inversabila in inelul Z •. Atunci ~=

rezulta

n \ ab -I

cll

_ y e> x:; y( rnodn)).

(arn

Bxista

folosit

deci

faptul

k EZ

cll

~b = i.Cum

astfel tncat

y~

x(rnodn)

incat

=

y(

rnodn) ~

ab - 1= nk .

A~adar

astfel

xo(y.z)=(xoy).(xoz)e>

Z

CC

x-

_2=x-2+y-2+2=/(x)*/(y). /(x+Y)=x+y V'x eZ. 10/(xy)=xy-2=/(x)0/(y), ,Y . 'd. versa rl:Z~Z,rl(y)=y+2. Prin 2. '1l I ( )= x _ 2 este lDversablla, avan lD . I·Z~!LJ, x 41.Avem x.y=eIOg,.IOg,y, fUflctta·. d I inelul (Z +,.) la inelul (Z,.,o). e a tneuu u=« . . _ • _ log,. = x deci e I este lzomorfism urtJIaf , I ( ). deci legea este asoclatlVlI. Cum x· 2 - 2 x -:-e , 10g,.log,yog,' = x. y z, 2 ~.(y*Z)=e ) {} C .z!0gx =2· rezultliclixesteinversabil.Deoarece um x , · (0 00 - I elernent neutru. F ie x e, . • If1I 2 eSte I y+log' log,yxlog" = (x. y) .(x. z}, rezulta cerinta. 42. a) Cliurnrn e e "'! log,>"= X og, '= x I ~.(yz) = x V' If1I adica x + e - 5 = x, 'lfx e Q, deci e = 5 e Q este elernentu 't x 1..e - e 1..x = x , X e",! , 1.." • tli astfel inca . x tru inceput elementul neutru 11 al operatiei " ,cau m .. 1.." b) Determm"m pen neutrU al legll " . _ 'If R adica x + 11 - 5 = x, 'lfx e Q, deci 11 = 5 e Q este , .. "C· lim tfel incat x 1..el = el 1..x - x, X e el E IQ! as ". d t rminam elementul neutru e2 al operatiei "T. aut tul tru pentru ,,1.. . Apoi, e e . T _ 'If EQ adica (x-5)(ez-5)+5=x,'lfxlQ!, deci elemen neu astfel incat x T e2 = e2 x - x, x , .. " e2 E IQ! loX _ 6 E Q este elernentul neutru al operatier "T (am 6) - 0 V'x E Q , de unde rezu L<1 ez . (x - 5)( ez - -, _ (x _ 5)( _ 5) + 5). Pentru a dernonstra cll (Q,1.., T) este corp, trebuie ca

/I \ x

ale inelului, trebuie mai intiii sll determinam elementul neutru fatll de operatia ,,0 ", cautam e e astfel incat x=e=e o x.v x e Z«, adica (x+2)(e+2)-2=x, V'xeZ, deci (x+2)(e+I)=0,V'xeZ,

Q

=

Deoarece multimile au acelasi cardinal, rezulta cerinta. 37. a) H este parte

stabila a lui Ss in raport cu compunerea permutarilor, deoarece

11\

~

(x)

.

11-

·

Z /

z~ ,

observat faptul ell x T y d. Q _ {5} orice elernent lD

=

= fey) ~ A( x; 1) = A( y; 1

surjectiva pentru cll orice element din G este de forma A(x) = f(2x

Ci! 35. Daca A,BeG,

5

. / .

O.

4x+y

0

. fUflctta

xeU(Z)~3x'eZastfe\ ~ U(Z) = {-3,-1} .

Z

incat

a·b+n(-k)=I=>(a,n)=I. "-,, ••-Reciproc, •

1'" ~

=~ +

da

;:;Jc = ~

x

ca

(a n) -I , -,

0 = ~h,

3h,k

rezulta

cll

a

~)-I I· I 1 . (Z (a == h . Deci elementele inversabtle a e me U ill A

Z

astfel t

es e +.)

•

element

inversabil

al inelului

Cum Z.

.

~I

sunt U,5,7,9.

10"

~}

d 44

ah+nk=l.

tncst

A

A

+

E

,\ D x A M (Z ) este inversabilll dacll ~i numai • aJ emonstrllm c" E 2 12

1I detAE{l,5,7,1l ac

. Fie

oeste A e M2 (ZI2) AA Ainversabila ~

det(A)e . {1,5,7,1l}.

~i

fire

inversa

B

ei;

atunci

det(A)det(B)

Reciproc, fie det(A) e {AA A~} . Din . 1,5,7,11

= det(AB) =1

AA • = det ( A)12'

cum

detA,

e CI

b) Fie X=(a

b).X2 _(a c' - 0

o

~}X2=(; I

A2

~2J; 2

XI2X2 2=02A=>det(XI)det(X2)=0=>det(X I)=0 A al + bl = 0 , de unde al = b. ==0 , deci X I -

ab+bcJ 2;

coo

[1

X 2 = A 0) A , rezulta a2 =

cu inrnultirea. (A

o u.: •

X =a b 2ha ; X2 = a +2b A 2aA b

-< c;!

a = 0 nu exista[ be Z3 astfel incat a2 +

v::> VI IU

i ~

J

ecuatiei sunt

o~ ~AI)~i [o~

°

1' c2 -- OA.~I

2(a,b2+Aa211)l=(a ala2 +2qb2 b

sau det(X 2)=0 .

F'ie

2hJ a . Daca

d et ( XI ) = O. A

Atunci

2' fa Is. Rezulta ca H este parte stabila a I . G A Ul

A

2 (-b.) al

J *-°2, rezulta

in

raport

ca H este subgrupo b) Fie

2 A2 ab 2 a2 +;;L2 I y-I' ab = 0A . Pentru = . Daca X = 12 rezulta a + 2h ==A

2h2 = 1 . P entru

b -_ 0A., obtinem a = A I sau a = 2. Solutiile

2 2~l. 47. a) Cum in Z 7' 0 -- 0

A A2 A A2 5 = 4 si 6 ==1, atunci X2 e {OAl } H. ; ;;2A4 =

~j

b) F [~~ ie A = ~ ~ ~ eM,

001

'

b) x 2000= ( xlOOO2) ad'IC.. x

{

x 20001 x e Z7 } c H .

[I ~ bj

B= 0

1 0 eM. AAA 001

[I c;;a b-f1j

Obtinem A- B = 0

001

1

0

.

~ z 0(

m

::::E

•

234

(XI x21 X=lo 1) si

a) Fie X,YeH,

AtunCI. XY = (XIYI 0

d'eCI x = I sau x = 6. b) Cum A

A

Presupunem ca e . t rfi XIS"X un roo Ism

(3) 6 = i ~i (3)* *-1 _

t ..(Z 6' +) --+ (Z' 7'")

XIY2+ i)'x21

AA}, rezulta XIYI e {-1,1 AA}. Deci Cum XI,YI e { -1,1

(

tn8tricelor. b) Fie

X=(~

r(1lo

mn i+ n\

:2 (

"'z :: -1. Daca

~}

ordX=2

dad

A ' k -1,2,3,4,5, ord(3) = 6. c) deci eCI f ( x+Y)=f(x)'f(y),V'X,yeZ6'

2 X =12,X*-12·

~i numai daca

Obtinem

I

01)' do unde rezulta m2 ~ A A. Dm m'", A obtinem m, ~ A 1 ~ O. 1 ,.. n( m + A) 1 si

m = i,atunci n = 0 ~i X = 12, care nu convine. Ramane m = 4 ~i n e Z5' deci Hare

5 elemente de ordin 2. Tema2.4

Polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ

1. a*-±I=>

grad(l)==4;

a==l=> grad(l)=I;

a=-I=>

(1)=2.2.

grad

C=3X2+X+6,

r ==_ 2X + 9. 3. a) I (I) = 320+ 1 ; b) ao + a40 = 4 . 4. r = 1(1) = 1. 5. Se impune I ( -I) = I (2) ¢:>-a 2 4 3 =2a+ 15 ¢:>a==-5. 6. a) c=X4 _X3 +5X2 -5X +3, r=2. b)c=X + 2X + 8X + 16X + 30, r =6S. .f=(X2-I)C+aX+b. 7 Lr=/(-I)=O¢:>

l(l)==a+b I(-I)=-a+b

a+ 8=0¢:> a==-8.

=>{a+b=3 -a+b=9

9.

+b-2.

I=X4

=>{b=6 =>r=-3X+6. a=-3

+X3 +2X2 +X2 +X +2 +(a-I)X

10.

+(b-2)

X2 +X +211 ¢:> a=1 ~i b=2.

A2 A

c) Cum M este 0 submultirne finita a grupului matricelor inve " . stabila :at de inmultire, rezulta cerinta, rsabile din M 3(Z5) , ~I M este parte a 2 49. . a). 3x ==-4 , adica x2 = 1, de unde (x - I)(x + 1) = 0 si y cum (Z 7'+" ) este corp, nu are divizori

u ro,

r

Y21 i

1=(X2+X+l)(X2-X+I),

g==(X2+X+

1).

I)(X+

d==X2+X+I

I 2 b) X +X X X X+X

si

3

m=(X2+X+ •.2

2

2

1)(X2_X+ (

I)(X+ )2

1).11.

(

a) xl+x2+~=3. )

2

., +X2 +X3 == XI+X2 +X3 -2 XIX2+XI~ +X2~ = 5+ X:=-5~+2xi-3,

e emente.

~I

6

=(X2 +X +2)(X2 +I)+(a-I)X 12 =1,2=4,3=2,4=2 A A2 A2 A

Incluziunea inversa provine din 02000= 0,12000= I; 22000= 23'666+2_ A. A2000 A6·333+2 A b Z {AAAAA} -4,3 =3 =2.48 a) a, . I e 5 = 0,1,2,3,4 . Adica fiecare poate lua 5 valori . Atunci CI mu Itimea M va avea 5·5 =•25

ci • ~ ~

Deoarece XI-I ==(det X [2 A2 I

XIX2=[ala2+2blb2 alb2 +a211

r'1 (a-bll

~ ~

~

SO.

Xf E H . Folosind proprietatile lnmultirii in Z5 se arata ca H este grup in raport cu lnmultirea

46.a)FieXI=(~

~

(A) (A) (A) A A A A A 2 ·f 2 ·f 2 =3·3·3=6*-1.

=f

45. a) a.b,c e {0,1,2.3} , deci fiecare poate lua cate 4 va Ion.. A tuner. numarul elementelor multiunn" G

b(a+c)=0,a2 =1 pentru ae{U},c2 =0 pentru ce{O , 2} . D ac•• X_A A atunci. b = 0A D a -I,c = 0, A A A . aca a = I,c =. 2, atunci b = O. Daca a =:3,,_ c = 0 atunci b - OA . D aca a = 3A c - 2A atunci b A A concluzie, avem 4 solutii. ' -, CI = O. In

3• ::> ~= •.•.

A A A)

1(0),:;/2(+2+2 t= y

2

~

rezulta ca f(6) = 1. Avem

~i 1 element neutru in (Z;,.),

element mversabil in Z 12 , rezulta A (d et(A)- I)A' = 12, deci det(Arl A' este inversa matricei A ste . b) Se d emonstreaza prin calcul ca A-I = A

este 4.4.4=64.

...I

element neutru in (Z6'+)

de'

ie{l, 2, 3}.

Fie

4

=2

Sk ==x~+x~ +x~.

9

I 2 3

. b)

-~

7 . 12. a)

XIX2+ XIX3 + X2~ 2 .\ A =-.3 ct vem XIX2~

Prin

insumare

rezulta

ca

+ 2S -9 ==-164. 13. a) I =(X -xl)(X -x2)(X -~)(X -X4) => 1 2 4 (1- xl)(I- Xz)(1- ~)(1- x ) = 1(1) = 2. b) (1- xl)(l- x2)(l- x3)(l- x ) ==l(l) = 2. 14. a) Avem 4 XIX2~X4

S3 =-5S

x: = x~ _ 3x + 5 , i e {I, 2, 3}. Prin tnsumare rezulta S3 = S2 - 3S1 + 15. Analog, deoarece iI i x: = x: _ 3xi + 5x , i e {I, 2, 3}, prin insumare rezulta S4 = S3- 3S2 + 5S,. Cum SI = I si ~ , 5 => S3 =-5 -3 +15=7 ~iS4 =7+15+ =27. b) ~ S2 = (Xl +X2 +~)2 _ 2(XIX2 +X X3 +X2X3)=-5 I c ~(x, + X, +x,Xx,x, +x,x, +x,x,) -3x,x,x, ~ -12. •

t..:x,

1•

+( Z

15. Q)f(-X)=(XZ-X+lrO . .

mfirutate b)

de

radacim

d ,

. eel

)4

X +x+l g

=

=f(x) O.

,

"Ix elR.

ca

Rezultli

g=/(X)-/(-X)

Polinomul

I(X)=/(-X)::::>

a

=0 Zk+1

ao +al +az + ... +aso = 1(1) =340 +

a

I. c)

_ 1(1)+ 0+ az + a4 + ... + aso -

1(-1)

2

::::>als-O -

1(1) = 340+ 1

XI 2 b) (XI- x2) + (X2 - X)/ + (XI- X)2 ==2(X2 + X2 + y2) _ 2( I

a)xl•2=±I'X:!.4==±2;

18.

bl r=l a « 8)X-7.

c)

::::>a ==---4, b == 12. b)

~ at:

;:)

u.:

• ><

2

Z

iJ ;:) Z

l: U

4

1(1)==80a+2b=2(40a+b).

b)

a)j{I)=j{_I)_

1(2)==1 .*0::::> XlR[X]

" 3 a2 nUdlvldepOlinomulf,decignudividepolinomulj

.24.a)

. Din 1(1)==a+b ~i 1(2)==2a+b rezulta cli a+b=I,2a+b=1 a) 1(0)==n::::>n=01(1)-1 , - +m::::>m==-1. b) S =-2m==2 _ I 1)(X2 X ) 2 ::::>m--. - + I. 26. a) g==(X_I)(X2+X+2); 1(1)==0::::> a+b=-2

::::>b ==-2 - a

Din

x

_

' ~rhr unparp ..•ea 2

)

lui

I

X2+X+2

la

se

2

0

bti pne

-3 ~ .+X+2. 27. a) I==X(X -1)-9(X2-1)==(X2_1)(X_9)::::> b) Rlidlicmlle sunt ±l ±3 . , ,care verifica relatia cl 1(3x) - 0 I" "/ ~

==I si

..

tul implirtirii lui I

,res

la g. Atunci

(_I)==-a+b,f'(-I)=a. /

Pe

2

r = aX + b ~I 1= (X + I) c + aX + b,c e lR[
alta

1(-1)=-20,

parte,

1'(-I)=7~

34 • F'ie r = aX2 + b·'"v + c res tul Jimpar ~rh";' I".I IUI. / la g. Obtinern 20 == a + b + c,f'(1) = 2a + b . Pe de alta parte, /(0) = 0,f(1) = 2 ,f'(I) = 80.219, de

7 b == -13, r = 7X -. 13

0": ,

/(o) unde

= c,f(I)

r

X2 - 38.220 X.

== 39.220

35.

J":(X _I)z c+ aX +b,c e lR[ X], J=(X

_I)z C+X -21,

.

Viete aplicate

IUI

deci 1(-1)

= 4c( -1)-22.

din enun] este

restul

impartirii

lui I

la g.

Atunei

a +b = /(1) = -20, a = /'(1) ==1.

deei

Cum /(-1)

Rezulta

obtinem c( -I) = 0 . 36. a)

= -22,

X4 - X3 + 3Xz - 5X + I . b) Prime Ie doua relatii ale lui

. I' I I I I 5 0 d . d .. g Imp ica 2"" + 2"" + 2"" + 2"" = - < , eCI nu toate ra acinile sunt reale. 37. a) l1 Xz X3 x4

X4 - 2xi + x; + Xj-I = 0, deci

Avem

r = aX + b

Fie

,

S3-2SZ +SI +4-(~+~+~+~J=0.

l1

oX:!

xi - 2x; + Xj+ I-~ Cum

X:! ~

~

SI =2,

= O,i = 1,2,3,4.

Sz =2

~i

Prin insumare

obtinem

~+~+~+~=2=1, l1 oX:! X:! ~

~

rezulta S3 = -I. b) Avem S4 -2S3 + Sz + SI -4 = 0, deci S4 = -2 < 0, de unde rezulta concluzia. 38 • II)

Suma ceruta este egala cu Sz + 2S1 + 4 ==4az - 6b - 4a + 4. b) Pentru a = b ==2 , suma anterioarli

IT

I

a e {-5 I} 31

, .

. a)

pot fi'

I numai numerele ±I ~i ±-. Calculandj{l) 2'

j{-I)

I~) (

rezulta

rlidlicinli reala a. Daca a ~ 0 , rezulta I (a) < 0 , fals. Deci a > O. b)

0

cli /

xI,XZ,X3>0.

are radacinile

Cum

xl+xz+x3=p=3

si

f"= 12XZ +6aX +2a, avem !!. ==3a(3a-8) ~ 0, deci a e (-oo,O]U[~,OO),

XI - 0,x2 ==2. 28. a) (I - XI2)(I_ xi)(l-x;)(Ix;) == (I-x.)(l + x) ==/(1)/(-1) _ ( 2)2 b) X2 + X2 2 2 2 ',a+ . I 2 + X) + X4 ==SI - 2S2 = 4 - 2a ~ 4 - 2a = 8 ~ a ==-2 2 S2 = 6, S) = -3m i S _ 2' 9. a) XI ==X2 ==I,X:!==-2. b) SI = 0, ~ 4 - 3S2 - mSI ==18. c) ~ + X2 + X2 - 6 XI + x2 + X:!==0 ~ X ==r; -I . 2 ) - ~ XI == oX:! = I ~i X) ==2 . Cum I --L ~l X:!==-2 ~ m - 2 sa . U XI ==x2 = -1,x3 ==2 ~ m ==-2.30. Radacinile

I I I I

este 3, rezulta cli polinomul are

3x ==±I,Y=9~

I I

= r = I , rezu Itli ca-

(I)

. .obpnem

1=(X+I)(X2+(a-I)X+I) Itdlicinile lui XZ + (a

n

g (x)

xI+xZ+X3

/(x)==xZ(x+2)z+(x-3)z+a-9>0.

avem

= X3 -12x

g(-2)~0

si

~(x-~J

Deci

rezulta cli /(-1)=0,

-I) X

~~O~aE(-oo,-I]U[3,oo).

, ,I -2 2 Un cmmdc este X2 _I . ( ~I un cmmrnc este X2 + I)g b) MI' are 2 elemente deci U U U . u [rmea U4 U6 ==U2 , 4 6 are 8 elemente 32 a) Fie C . lui I la g. Atunei reG) = I( ) _ 2 .: ee 0 rlidliclOli a lui g ~i r restul implirtirii e -3& +2&+6.Fle h==3X2+2X+6 Cum ( -h)() . . r e = 0 , g are trei

236

&5

V3r::::-::xIXZX:!, d eCI. XI = Xz ==X:!=. lOb' tinem q =. 3 40 • 3 Presupunem cli / are toate radacinile reale. Atunci f', deci si f" au toate radacinile reale. Cum

at:

•

/(

r(6)":

XIX2X)

ratIOnale ale lui

Q z c:c :E

Avem

a==-3,b==l. b) r=O ~i

~

o

- 0

,

I.

&) = &4+ 3&2+ e + 6 . Cu argumentele de mai sus rezulta eli r = X4 + 3X2 +
Un polinoro cu proprietatea rezultliconcluzia.21.

radacina a lui

0

+3.

Din punctul anterior

== c X -9.

• 1&1

X -y

a)I(3)-

2&+ 6 ==-& +3. Fie p =-X

= 3&2+2&+6 ==3(-&-1)+

de mai sus rezulta eli r ==p. c) Fie e e C

rlidlieinli a lui h si r restul

C)I==(X2+X+

;; u

c:i

.,gurnentele

0

este egala cu 0, deci toate radacinile sunt egale cu -I . De aici c ==4, d ==I. 39. a) Cum gradul lui I

I==(X-I)(X

at: ~

==a _ r

X

um x-y _.

XIX2+ XIX)+ X2X) = 32a2 -120. I 1 I I 19. a) -+_+_+_==XIX2X)+ ... XI x2 X) x4 XIX2X)X; = a

reG) ==1(&)

la h. Avem

C

E

::::>a== _ ,~e 0,b-l::::>r-I.25.

CL

~

. ii lui/

.

s.

:E II) 1&1

14

C .

.

.' .• a/ 0) ==l{l) ==L: 0 ::::>I nu are radlicini' Z " Ireduetibil in Z 2[X]. b) Daca I ==g . h cu h e Z i in z : Cum gra~ (f) = 3::::> I este dOminanti I ~i deci grad 'h > 1 [X] ~ grad!, h ~ I ::::>g ~l hare coeficientii , g, - . Rezulta J=s-« in Z [X] c. 1(0) + 1(1) + 1'(2') ==3' , _ ' , . 2 ,lals. 23. a) a + I - I b) X - 2 cl f « d ibil ( . IIre ucn I ~ f tus are rlidlicini inZ ~ -I'

~ 1&1

1 +.

2 2 2 2 -2 XI +x2 +x) +X4 ==9<0.20.

I

•..•• g== X-I)(X-2).b) ~ c)l==gc+aX+b

I..}

-,

,x2--1O,X3==-2

X2 - a, X3 = a + r ~l X + X + - 3 3 XI + x2 + X) ==2r2 + 3 ::::>2? + 3 ==II ::::>2? ==8 2 _ I 2 X3 - a::::> a = 3 ::::>a = I. ::::>r-4::::>r==±2::::>x ==-1 -I 4 b = 12 22 .• 1'(' " " , I ,X2- ,x3==3::::>a=_

i Q

2

b)h=4X4_5X2

l(x)-I(y)==a(x4_y4)+b(x_y) 2

0

a) XI + x2 + x) = -a ::::>a = 0 . X X +

. , I 2 XIX) + X2X) -- b -- b = - 3 ,XIX X:!= -c ::::>c = 2 b) r;:: r;:: 2 x2 = -,,2 ::::>x) = -a e Q. c) Presupunem lil " . XI = ,,2 ~ . e are 0 rlidliemli k mtreaga Notam ' , polrnomului/la X +k , Atunei I(O)I(l)=(-k)(I -k) ( . g eatullmpartirii 2 g O)g(l)::::>k(k_ 1) impar, fals. 17. a) I=X(X +12X +20)=X(X +1O)(X +2)::::> ==0 _ 16.

. . distinete ~i grad (r - h) ~ 2 , rezulta eli r = h. b) Fie s

are

/

fals. 41. Pentru X e lR ,

nu are nicio radacina iar celelalte

reala. 42.

doua radacini

Cum

ale lui / sunt

+ I . Cum !!. = (a _I)Z - 4 ,fare toate radacinile reale daca ~i numai daca 43.

Folosim

sirul lui Rolle pentru functia derivabila

g:lR~lR,

+ m . Avem ±2 radacini pentru g', / are toate radacinile reale daca ~i numai daca

g(2)~0

+2(x-~)+a+2==0

~

me[-16,16]. ¢:>

44.

Fie

IZ + 21 + a + 2 ==0 , unde

xeC. 1

1 ==X - - • X

Avem Dacli

X

/(x}=O~

e lR ,atunCI

.

1E

lR

,

deei 6~O(:::)4-4(a+2)~O(:::)

S

.

.

2

-1. Daca as -1 , atunci ecuapa 1 + 21 + a + 2 = 0 are r.1dlieinile 11,/2 reale. Cum r.1dl!.cinile din IC 1 I· f .. ··1 2 a e Ul sunt solutiile ecuatu or x - t,x -I = 0 i = 1 2 eU 2 6 = I. + 4> 0 rezulta clifare toate ..x ..•~ . ·1 9 " "luaCIDI e reale. In concluzie, a ~ -1.45. a) Avem al = fl{O) . a

I

Cum /'=30(X2

+x +2f

Cum x2+x+2>0 • .

{2X +1)+30(X2

~i x2-x+3>0

-X

pentruoriee

. .

+3t

XElR

(2X

-I),

"

rezulta eli a =30(229

_329).

l

rezulta ca /{x»O'v' "

1!l>

X E A,

d

,

if

eel

b)

rationale.

fJ

= ±I. Cum q a , rezulta cli / are radacin! rationale daca si numai daca a = -3 sau a = I

Dacli

/ (I)= a + 3,/ ( -I) = Iin concluzie, valorile intregi

/(

= O,p,q

E Z,q;e

ale lui a pentru care/

Daca a = 0, atunci /(0) =0. Dacli a = i, atunci cerinta. 48. Avem /(0)=a'/(1)=a+3, daca si numai daca a E

...• UI

a: l-

i

/1,

p,q

Q

este ireductibil peste

/(2) = 0 . Daca

gradul lui /

a=

unde

rezulta

deci

E

sunt a E Z _ {_3, I} . 47:

2, atunci /(i) = o. Deci/

Rezulrg

are riidlicini In Zs

este 3, rezulta cli polinomul este ireductibil peste

Zs daca ~i numai daca nu are radacini in Zs, i.e. a de

atunci

/(2)=/(3)=/(4)=a+4.

{o,U} . Cum

/(x)=x4+4x4+3=3;e0,

0,

E

P,4} . 49. a) Cum

concluzia.

b)

XS = x, 'v'x E Zs , rezulta cli

/=(X4+1)(X4+3).

50.

3. ANALIZA MATEMATICA (clasele XI-XII)

3.1 Limite de ~iruri. Limite de funqii. Funqii continue. Funqii derivabile

fel1'la

.llinl/(x)=limxl

,.

11,/

nu are

rucio radliCIDlllireala. 46. Cum gradul Iuij" este 3 rezulta cli polinomul est . d ibil .. .. .' e ire ucti I peste Q daca ~I numai daca nu are radacini rationale. Vom determina valorile intregi ale I . tru UI a pen care / are radacini

,.rtea

~

gul

In(x2 + 1))

(

x ....•co

X4CO

a

o

. 'S

:

;:)

o

.

/=(X2+1)(X2+X+2).

b) Cum 3

x3=X,'v'XEZ3,

= g( x), 'v'x E Z3 , unde g = X + X2 + X + rezulta cli g este ireductibil peste Z3 .

2.

Z

.1

2. 0/

Avem

lim lex)

x ...•-«>

= -I

X

la gra ficul functieij''spre I

~

UI

~

•

;:)

(cu

+1

X

2(x2 -I)

;

(x2+lt

(cu L'Hospital!)

~i lim (f(x)

-00. Cum xlim lex) = 0, dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00. ...• oo

Oarboux (fiind continua), este descrescatoare

are rlidlicinile reale functiei/pe

="25. ~I

XI

X2•3

x

x-+co

X-+"""'«l

= 2(2x - 5)(x2 - 5x + 5). Ecuatia

f'(x)

=0

5±.J5 . AI ternativ, . a firmati = -2ana rezu It"x ap I·' tcan d teorema IUl. R0 IIe

~E

-00

f(x)

Cum gradul lui g este 3 ~i g nu are rlidlicini In Z3'

+«>

'\.

0

+++

-I

?

= 2x+I_2x.inx+I,'v'x>0. x +I x = lim/(.!.) y.j.o y

5. a) /'(x)=e"

~E

5

"2

-2-

f'(x)

avem /(X)=X4+x3+x+2=X3+ 2+x+2= X

c) lim lex)

lui

intervalele [1,2] , [2,3], [3,4]. b) Calcul direct. c) min j'(x) = -1 (vezi tabelul de variatie) .

a)

4.0) f'(x)

c) Deoarece / are proprietatea

si lim lex) = +00, lim lex) = 0, rezulta 1m/ = lR .

3. 0) Avem lex) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) ~i f'(x)

HOO

+ x) = 0, deci y = x este asimptota oblica

x ...•-«>

= - eX1+I < 0, 'v'x E lR, deci / este strict descrescatoare,

b) f'(x)

CC A.

2x

X400

pUllctele de inflexiune sunt -I ~i 1.

o ;:)

00

deci j este crescatoare, c) /"(x)

;:)

u.:

X

x400

(x _1)2 b) f'(x)=---~O,'v'XElR, x2+1

lui L'Hospital).

[ooJ .

. In(X2 + I) lim =-=hm-2-=0

=+oo,intrucat

X

-2-

* '\.

0

+++

-I

?

0

b) limf'(x)=

lim(2X+I_2in(I+.!.)X)=2_2ine=o. X +I x

x ...• oo

X-+OO

I

[Q]

= lim y -in(1 + y) = = lim 1- y+1 = lim_lyO / 0 y.j.o 2y y.j.02(y+l)

-I, 'v'XElR.

+00

Functia j' este strict descrescatoare

=.!. (cu L'Hospital!) . 2

pe (-00,0]

si strict crescatoare pe

[0 +00). Singurul punct de extrem al functiei este x = 0 (punct de minim). b) lim ,

x-+o

eX -x-I 2

x

I = -2 (se

U

III UI

Z >CC CD

a:

UI \110

aplica regula lui L'Hospital).

d

x

•

UI

f(x)

~

o

7. a) f'(x) = __ x_

~

rex)

,,/x +1

238

-I =

2

Z CC

•

=e . c) Din tabelul de variatie rezulta 1m/

/(x))"

-I

-00

(x2 + I) x2 + 1

0

-,

>t

1 ,,/x2+J.(X+,,/x2+d

1 ----);=== > 0, 'v'x E lR,

1

0 +++

f'(x)

e o a:

c) Din a) rezulta ca lex) ~ /(0) (:::)eX ~ x + I, 'v'x E lR.

2 6.0) /'(X) = l-x , x e R. b) lim(l+ 2 x +1 x ...•eo

I

-"2

/

+00

0

}I

I

"2

-,

< 0, 'v'x E R , deci

deci / este convexa.

=[-~'~J.

c)

>t

f

0 este strict descresclitoare.

. . hm lex) = lim x ...•ee

x ...•00

b)

1 - 0 deci ~I - , x+ -q x: + I

dreapta y = 0 (axa Ox) este asimptOtli orizontala spre si

-toO.

Apoi,

j;2;1 + y _

= lim y->",

limf'(x)

- -2

_y

I

-0

~ -, y->","y- + I + y

deci dreapta de

f

1 = -2 , rezulta cll

Is '(I) = 2, fd

'(I) = ~ ' decifnu

2

Inf(x)

In(x+lnx) x-I

xJ.1

e derivabila in x = 1 .

f '()

2x x = 3/' VxeJR\{-II} 3~(x2-lf ' . Deoarece lim /'(x) = -I t met UI agrange,fare derivata, dar nu este derivabila in punctele x = ±I ~i /'(-1) = -
.

e) \itJl(J(X»X-1 =~we ~

este continua pe JR, derivabila pe JR\ {-I, I} si

I

~

ecuatie y = 2x este asimptota oblica spre +co , 8. a) Functia

= 2 si limf'(x)

tl x

lim(v'X2+1+x)=lim(v'y2+1_Y)=lim x->-oo y...•'"

lim(f(x)+2x)= -oo

x ...•

lim f(x) x->-oo X

• 1•••

II)

.

urn ;r-+OO

f()

InJ(x) x-I

.

=e

~W~-I~W

,deoarece

1

.

=[~J=lim 1+:; =2. 0 xtl x+ ln x

.

=.!. deci dreapta de ecuatie y = - este asimptota orizontala spre +
x

y

1 V >0 x,

<"2'

o<.f(x)

_.

rezulta O
•

(I)· ,

< -

2

..

Vn~l,

decl lima. =0.

"

c) Avem g (x) =

n ...•'"

. . ul lui g" obtinem ca punctele de inflexiune ale functiei g sunt X, = stUdiind semn ,

I.

r;; ,,2

6(1-2x2) (2x2+3)

3 ;

1 §I x2 = r;; .

,,2

2

extrem local al functiei j' este x=O.

c) f"(x)= 9(x2

2(x +3) VxeJR\{-II} _1)~(X2 _1)2 ' ,

S' . mgurele

puncte de inflexiune ale functiei sunt x = -I ~i x = I (vezi punctul a). 9. a) f'(x)=--( X

I I) X +

~i f"(x)=

22x+12 >0, Vx>O X (x + I)

15.41)

x f()lim --= x - x ...•-ool+\x\

. x~

x

.

f'(O)=hm

x ...•o

f(x)- f(O) Ii I = m--=I. x-O x->ol+\x\

continua pe JR ~i derivabila pe JR. , intrucat !,(-
c) Funcfiafeste b.l p convexa. "/ utem scrie

deci f este

x lim -=-I.b)

x ...•-
. tuI al rezulta cafeste J)in punc v

derivabila pe 1R si este stnct crescatoare.

Cum

elementare:

hm f(x) x ...•-oo

=-1

§I

este asimptota verticala

la

lim f(x) = 1, rezulta ca 1mf = (-1,1). f(x)

uj

= In(x+l)-Inx,

c) Avem f"(x)

f= ~

10. a)

~n?f

de unde obtinem ca a. = In(n+I)-1n(2n+l)

=-;'---1-2 x (x+l)

(x) = -
,deunderezultaca

f (x)

= In(~)-; 2n+ I

b =1- __ 1_-;1 • (n+I)2

In~= -102 2 .

;~"'a) limf(x)=-
si li~f(x)=+
x.!.-I

dreapta, iar dreapta

.

= 0, deci x = 0 este asimptota verticals la dreapta, iar y = 0 este

deci dreapta de ecuatie

x=1

este asimptota

Singurul punct de inflexiune

al graficului

verticala

~

asimptotli orizontala spre +
= l-x~x,

Vx> 0 . Singurul punct de extrem al functiei j" este xaf(~)=xa

;i

x-

~

01

f"()

- e . c/

x =

21nx-3 x3

. ' Vx > O. Obtinern cafare

3

11. a) Se arata prin inductie matematica. b)

;;

graficul functiei spre -
~

c) lim .t;(a) + h(a)+

it:

un singur punct de inflexiune, anume x = e.,fe .

}!.I!/.(X)

= 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala la

f

functiei

/,

~

... + /,,(a) = lim (p+ p2 + p3 + ... + p·)epa

_. _

p'te!"

.->a>

lim a-eee

p(p.

-I)

17 a) Deoarece

(p _ I)p·

rezulta =~ p _ I.

a

12. a) x = 0 este asimptotli verticala la stanga, y = -x -I este asimptotli oblica spre -co iar y - x + I est . t - bli , e asunp ota 0 rea spre +
~

JR\{-2,0}.

i

teoremei lui Lagrange, rezulta elifare derivate laterale in x = -2 §i

•

-

Se arata ca !t~f'(x)=-.,fe

x = O. c) Pentru

§i cum

;~[(I+

f(x)=e

In

x J()

.

•

(I) 1+-

.

§I limlnf(x)=liplXln x.!.o

nO

§i !i~f'(x)=.,fe,

orice

x~JX~lr~1

ca

limf(x)

c) !~x(I-lnf(x)=

~!!(X-x21n(1+~))=~FoY-~~+

1L a) f'(x) = -~,

y) =[%]=~~2(yl+l)

Vx> -1. Functiaj" este strict crescatoare pe (-1,0]

. f"( ~I

)_

-toO.

=~.

si strict descrescatoare

pe

x +I .

= -.,fe, fd '(-2) =.,fe, adica)"

2 =e ,

=e'~:~1

= eO= I. b) y = e este asimptota orizontala la graficul functiei spre

x.!.o

de unde, conform unei consecinte a

Is '(-2)

x > I avem

_. 10(1+ y) _ ["'y+l y->'" Y

X

are asimptote verticalg §i nici asimptota spre +
( )

• a

x~JX~lr~1

este

Vxe(-I,I).

rezulta ca limita ceruta este egala cu 0 daca a 0(

x=-1

x II

[0,
~ f(O) = 0, Vx> -I, adica 10(1+ x) ~ x, Vx > -I. c)

f(x)

~~7

1

=

-"2'

&AI

0""·nu este derivabila in x = -2.

x f"

* O. Functia

(0,1)

240

f(l-

U (I, co]

derivabilape

daca x < -2

= 3x - 2 X4

'

X

-

3x - 2 ---4

-

,

pentru x> -2 ,

x se anuI aza doar i 2 . e oar III Xo = care este unicul punct de inflexiune aI functiei f, intrucat

i§i schimba semnul de

13. a)

•

f"

c) f"(x)

3'

0 parte

§i de alta a acestui punct (faceti tabeluI de semn!).

0) = f(l) = f(l + 0) = I, deci f (operatii cu functii continue), (O,I)u(l,
este continua rezulta ca

f'(X)=I+~,daca x

f

in

x = I.

Cum f este continua

si f'(x)=x-I-Inx,daca ~x-1)2

f

I '(x)

daca x> 0 . Deoarece

= 3x -1

~

teoremei lui Lagrange, rezulta ca pe

este continua pe (0,
xe(O,I)

. . b'IX este continua pe JR, d enva I <1 pe

19. a) Functia

x>I.

limf'(x)

A vem

Trb.

IN...

= +
~

Is '(0) = +
-3x+l

2h ' daca

x<

0

. §I

= -
~

3'

iI ~

'(0) = -
. . 1 b) Singurul punct de extrem local al functiei f este x =

I '(x)

f'(X)----

c)

este derivabila in x = 0 .

f"()~ x - - 4xh 1

= 3x + 1 , daca x> O. Singurul punct de inflexiune al functiei j'este x = 4x~

-3 .

'

daca X
~ si

! ~ :t

• 241

· f(x) 20 • IIr) Iun--=I X-+a>X

..

~I

bm(f(x)_x)-lim X-+a> -

3 4 x+ x-+a>1(x3+3x+4)2

d·· e ecuape y = x este asimptoia oblica spre +00

f'(

b) •

)_

'/

X

212

+

X

+x2' _

-

x-+-I

1(-1) x+1

3 = Jim :Vx +3x+4 x-+-I x+1

= lim 1(x+l)(x2 x-+-I

.

'0

-x+4) +1

.

x2 -x+4

::: lim

X

3

_

21. a) I este continua pe lR· (operatii cu functii continue!) si 1(0 - 0) = 1(0)

:::

(x+ 1)2

x-+-I

co.

_<

- 1(0+ 0)::: 1, decij

este continua pe lR . b) Avem I(x)::: {

z- In 2,

x <0

X

2

,

Folosind

0

consecinta a teoremei 1m Lagrange

.,.

deducem cl1 /. '(0) :::In 2 '

s

a: i.. S

22. a) y - 1(0) = 1'(0)· x<=>y = -x + 1 b) Jim I(x) X-+a>

= Jim X-+a> 3/(

'(0) _ -

1

-2'

f. '(1)

::: ~

~i atunci u(x) < u(O + 0) = 0 pentru orice x ~ 0., deci I'(x) strict descrescatoare.

e) Avem 1(0 + 0) = 1

+00. e) Conform eu

a), Iimita de ealeulat este nedeterminare

-I))f(~>-I JUCn>-I)

= Iim n[ {In 3 + 3n2 + I-(n

~i lim n(f(n)-I)

';! :::I

rezultli ea lim (f(n»" n-+a>

~

23 a) I(x)

5

ffi' ~

a

n->a>

0

+

I)] =

n-+a> :::e-I

~(/(:2 )- 1(;)) ~~(:2 I) . c. un 6)

=

I(x) - 1(0) 1 lim ., xto x- 0

+1-(;-1))

I· ( 1- xto x

Jim

-3n2

n->a>1(n3+3n2+1)2

+n{ln3+3n2+I+n2

Jim I(x) x--+--
= Jim (1+----h)=1 X-+--
X

-«>. b) /,(x)

~i lim (J(x)-x)=

- a-I 1- cosx -7+-X-2-'

= 1+ e"> 0, ' I

Cum I are proprietatea lui Darboux ~i lim

I(x) = ±
,

21.

'
daca 0=1,

1(0-0)=-«>,

II)

iJ(x)1

= x2 ·ISin.!..1S x2, ~

dad! 1 I'() x =2xsin--cos-, x

1 X

*

' limf(x) x->o

'
~. b - 1 I

o

cli I este derivabila in x

a: ~ ~ •

-

~ /.'(0)

2 .e

s

lim(x+I)=-«>=> x-+-
b) Deoarece lim I(x) - 1(0) xto x- 0

e) limn(l(ifi)-/(I))=r n-.a>

=

eCI

=0

. ~I

Id

'() 3 0 = => I nu este derivabila in 1.

2

lim/(x)=-«>.

este asimptota => I

1a

este injective.

I (lR) = R , deci I este

surjectiva,

1

1

1

= /,(0) = 2 .

'(I) = /,(rl(l))

'
. l(x)-f(O) lim x->o X - 0

Deoarece

1- cosx) _ .. I(x) - 1(0) - 1 ~I hfD x x 0 X - 0 0 ~i 1'(0) = 1 . xto

[A2;;L/(I) n~.!. 2n -I

2;;-1] ·-1n

V

0

vecinatate

a lui O. Este

Fie sirurile un =

. (

= lim xJ.o

eX -IJ x + -x

Inu este monotona

sa aratam

1

vn =

~l.

ca exista

= 1 ' rezulta

11.

Ii

II)

= In2 .

(cu

~i

iteriul cnen

derivabila pe R . a,b,e E V,

1

0

cu

I·im Un = lim vn = 0 , n->a> n-+a>

3; + 2nf( , n ~ I. Cum

Din faptul ca larctgxl <~, 'X

= UN' b = 0 si C = vN , rezulta ca

= O. Pentru a doua limita avem:

I)

f

~ oC 1.1

1 ( --2/' ()x +g' ()x =-2-+ =0, '
c) Confonn unei consecinte a teoremei lui Lagrange, rezulta ell.

.

pe lR·

pe V.

arctg.l arctgy rnxg(x)=lim--x=lim--=l.b) •...•'" x->a>.l y-+a> y = 1'(I)In2

= 0 . Asadar, I este

suficient

-f - 'Inr:

. xsin-v= .1 0 =Iim x->o X

ex.ist!i un rang N ~ 1 astfel incat Un'VnE V pentru n ~ N . Luand a

x-+-
= lim(l-

c) Fie

lntervalele (-«>,0)

+ g este constanta pe fiecare din

1 {C

~i (0,00), deci exista C1, C2 E lR astfel incat arctg x + aretg - = C X

242

.

are derivata in

= O. b) Functia I este derivabila

I( 0) < f(b) > I(e).

11.1

deci I

= co ,

este strict crescatoare

rezulta ca

=-1,

1

-

o

+x

x-+-co

r'

origine daca ~i numai daca a -1

~

de

= +00.

c) Folosind teorema de derivare a functiei inverse obtinem: ()

< 1 ~i 1(0 - 0) = +00, daca a > 1 . b) Functia I este continua pe lR•. Pentru ca I sa fie continua in

24. a) l(x)Sx+I,

discontinuitate

.

11.1

.

0

lim eX =O=> y=x

x-+-co

~

~

are in origine

~i /,(0) = 00 .

IDajoririi), rezulta caf este derivabila in origine ~i /,(0)

Q

1

lim I(x) - 1(0) = li m xJ.o x- 0 xJ.o

= co ~l

:0

a:

< 0, '
= (0,1) , decij" este marginita.

:2X) (I I)

= ~(2+

origine, din a) rezulra a = 1 . Cum 1(0 + 0) = ~~ ( x + bex) = b = I ( 0), rezulta ca I este continua in x>o

Z

u este strict

lim I(x) = O. Cumj" are proprietatea

~I

rezulta cli 1(0,00»)

x-+±oo

~

ca

X-+CIO

Darboux ~i este strict descrescatoare,

'D. II)

deci dreapta de ecuape y = 1 este asimptota (orizontala) la graficul functiei/spre = [(1 + (f(n)

u:(O,co)---+lR,

'
...-.are leste

= 1,

V x + 3x + 1) + x~ x3 + 3x2 + 1 + x2

de tip [Ia>] . Cum (f(n»"

'
este derivabila ~i u'(x)=-~
graficul1uilspre ~

'

~sclitoare

x =0

2

2

2.--In(x+l) x+l x2

I'(x)=

Solupe altemativli: cum 1(0 - 0) = -1 ~i 1(0 + 0) = 1 , rezulta cal speta. decij" nu are proprietatea lui Darboux.

3x2 + 1 3

b)

la

prima

~I Id (1).::: +00, de~1 x = 0 este punct unghiular, iar x = 1 este punct de intoarcere al graficului IUif e) Ecuatia tangentei este y - 1(5) = /,(5)( x - 5) <=>x - 4Y + 3 = 0 . .

u:l

+00.

orizontala

-'11) f(lR) = (-«>, -I) u {O}u(I, co) , care nu este interval, decij" nu are proprietatea lui Darboux.

,x>I

I" , Jd

spre

_~-In(x+l) ( ) - x+1 ,,:J

tui

1

.J 2 x-I

lui I

UI~-'

x <0

.JI- x, x E [0,1) ~i I '(x) ::: _-_1 =', x E (0,1) . ~I I 2.JI-x vX-l x>

,

.,

Jfaficul

12(X)'

Jim I (x) = Jim _1- = 0 => y = 0 este asimptota x-+a> x-eec X + 1

Cu regula lui L 'Hospital,

,I

apla

+1

X --

-

1(x3+3x+4)2 e) /,(-1)= Jim I(x)-

. deci dre

=0

+X:VX3 +3x+4

p

2'

x

(-00,0) (0 +CO) . XE , E

CIIi=

~ ~

::i •

24

~l.

Pentru x=-l 30. a) f'(x)

X= 1 0 bti pnern

= xcosx; x

C1=-- tt si

2

sin x , '
~i u'( x) = -x sin x < 0,

derivabila

f(O+O)=1

are proprietatea

si f(%-o)=;,rezultaca

1'( x)

31. a)

f

2

, '
descrescatoare.

"" .

f'(x)
lui Darboux

Ca unn

este descrescXt C1

n+ e

tJIICle Cn -

I (I '

+

II

-O-tO,

f(b.)-

- I -

~

x

~

g(x)

~

.<....• v I.)

I~

I

din tabelul

-m-l-oo 0

singura solutie pentru m =-1

[0, )

•

= ~, "Ix> -1 ~ x +!

f

este strict descrescatoare

:::)

x

f'(x) f(x)

ffi

·I

° °_

-1 ----------0

++++++++++

+ex>-

•

..•

':i a:

Daca a = lim an , trecand la limita in relatia de recurenta rezulta a = a -In (I + a) , de unde a =

f(x»o

ca f«-I,oo))=[O,oo).c)Deoarece

an > 0, '
Sirul

(an ).~O

este

pentruorice

x>O,prin

descrescator

strict

intrucat

Fiind descrescator si marginit inferior de 0, sirul este convergent.

n-+oo

33. a) f este derivabila pe lR ~i f'(x)

o ~ z C

~

•

b) intrucat f are proprietatea

2x + I 2 ,J x2 + X + I

=.!..(

lui Darboux ~i

lim f(x) Hi
rezulta

ca f(lR)

2

n7i) ~oo

-in

avero

f(an)=I~1 x>

si

°

avero

"'-.!... 2

de unde rezulta ca:

'

I~

I 2(J;+i+-in)

Fx·(2-Inx)

'-' ,vx>.

2

.intrucat

f(n))

0, deci lim(!(n+I)"""".

°

n

'.I

(n,n + I) astfel

n-+«>

>0 '
b'\ f'(x)

E

=0.

liro(!(n+I)-f(n))",O.

-too,obtinero

C

2"cn

si f'(x)~0,'
'

[2

2x strict cresclitoare pe (0, e2 ]

~i strict descrescatoare

pe

)

e, co . c) Deoarece

1n3.[s - JS 1n3 ~i .fj

<5

.

. xa-3 , pentru orice x >

°.

1n3 inS rezulta JSln3
1n3.[s = JS 1n3 si, conform cu b), f(3) < f(5) ~

2x -1

,J x2

- X

= (-1,1), decifeste

= lim

)>

+I Ixl.

x->i
surjective. c) Din b) rezulta

(

°,

°.

~(X+2)2 +~x(x+2)+1fx22

. 2 lim xa f(x) = - . b) f'(x) 3

decif e strict crescatoare-

2x

h + 1. +...L + h _ 1. +...L

~

=

°

pentru

~( 'ItX

2

- (~I+~t

+~I+~+I

a>~

'

_1_)

I (I = -3

_

2)2

3

a

'
.

de unde obtinem ca x = -I este

if? ~

<~ -

if) ~

°

b) Egalitatea se probeaza prin inductie sau cu formula lui ~lbD1Z.

x

~

~

ca Xn E (-1,1), '
x

) = ±I ,

c)

1 n I n 3L.t
Cum Xl < Xo

kr:

f"(X)=-A2sinAx,'xk=T,ke

b) Inductie dupa

n. c) sau /n)(o)

i-2 ~ .

n . ntt

It

\,

~

3

\f(n) (0)\ < lAin -

-t

0 => lim /n)(o) n->OO

•:

.

t unctele de inflexiune ale funcl1el. sun p

2, '

'" A sm

..: tC

.

~

39.11)

°

f(5) < f(3) .

I

n

(n-l)n(n+I)=0=>lim2-'Lik)(0)=-. 3 3n2 n->oon3k=1

I

'

x->OO

singurul punct de extrem al fractiei f c) Inegatitatea s~ sene : · . f tul x f'(x) < ' adicafeste strict descresclitoare pe (0,00). FoIosim apoi ap ca , , . . t 38. II) f'(x) = (x2 + 2x)e '
°

a ="3

lim x f(x) = +ex>, iar daca

obtinem

v312' x-

+~)

2

X,

~if este strict crescatoare, prin inductie se obtine cli (xn ).~O este strict descrescator. Fiind monoton ~i mlirginit, sirul (xn ).~O este convergent.

xaf(x)=

x ••.•eo

l: VzC

-

2

'-

2 I" lim xaf(x) Pentru a < - rezu l4 3 x->oo

an+l - an = -In(1 + an) < 0, '
d.:.

21Sin

)=_sinF,. cn

+ex>

~ Y.I

J;+i

sin

-

37.11)

Cumj este continuaobtinem obtinem

--inl_ 2

+ex>

a.

inductie

J;+i

I ~2sm

-in .

+

2xa

f este:

A.

~

(7i

= -+ 2

n

2

b) Tabelul de variatie al functiei

~

pe (-I, 0] ~i este strict crescatoare pe

b

~i

2

f ( n + I) - f( n ) -

• ca't m

36.1I)f'(X)'"

(pe I) si doua solutii pentru me (-00, -I) .

1'(x)

2 ~oo

=(2mr)

. It mativa: Conform teoremei lui Lagrange, pentru orice n ~ I, exista cn Solul1e a e .

obtinem ca ecuatia f(x) = m nu are solutii pentru me (-1,00) , are

~ 32. a) :::)

an

-f'(

c) Folosind sirul lui Rolle pentru functia g: (0,00) -tlR, g(x) = f(x)-m,

•

(Fx)

nO

ae[-I,oo).

ca n-+OO lim c, =

E

l

~=_I x-O

\f(n+l)-f(n)

. Valoarea maxima a functiei este f(l) = -I; rezulta ca

...

intervalul [n,n + I), n

d It' ca f nu are limita la +ex>. b) Pentru orice de un e rezu a -cosFx ' __ tirol-cosFx =_lirol-COSY 2 ,deunderezultaca fAO)x~O (Fx)2 y->O

c) Avero.

....-00

este convexa. b) Existenta punctului

2

'f(n+I)-f(n)=-2sm

+ex>

f

n

. J;+i

°

-00

b) Conditia este echivalenta cu a ~ maxf(x) iil

.!..)n . De aici rezulta

"1 ~ PentrU sirun e

J5.

oare

strict crescatoare pe (0,1] si strict descrescatoare pe [1,00) .

Functiaj'este

881&--

Tabelul de variatie al functiei este:

° ----------

deci

,

N*, iar unicitatea f'( ) d este strict crescatoare pe (0,00). c) Avero fen + I) - fen) = cn' e

din teoreroa IUI rezultA d f tul ca f' .•••'ratA e ap ____

are,

,

-I +++++++++

vx» 0

x-x'

. Lagrange aplicata functieifpe

deci f este strict

(fiind continua),

"( ) -.!. > 0

f

j'(X)",lnX+1,'0=>

llb ••

u: (0,.::.) ~ R, u( x) = xcosx - sin 2 x eSte

deci u este strict

ca

()x

f((O,%)J=(;,I)-

= 1- x, '
x f'(x) f(x)

x

b) Functia

de unde rezulta

c) Deoarece

deci 17! eCI arctgx-+arctg-=-'sgn

2

'
u(x)
C2=-,7i

'"

I

t

°.

•

·

40. a) I(n)= lim(f/(k))' *=0

•••••

00

(X+I)~X+2) =.!..b) e

= X~l-

/,(x)=

(

extrem local al functieij'{maxim c)

f{n}(x)=

(-I)"n! (x + 1)·+1

lim t (-1)* l*l(1) *=0 k!

•••••

X~2'

00

estesinguruip

2

VneN*

de

'

~

x ...•ec

.

x

eY

-I

y...•O y

Singurul punct de inflexiune al functiei

f este

f'(x)=--ex

b)

Xo =

-±.

unde

rezulta

.!.

1

~i /"(x)=(2X+I~

x2

x

-'

•

c) Ecuatia este echivalenta cu

e! - m ==0

eX

(2

este derivabila si g'(x)==

x

x+l)e X

z 1

:> Q ~

a)

0 -m

-m

1+00

b) Functia

solutii reale daca ~i numai daca me (e,oo) (vezi tabelul de maijos!)

;;

x

z

gW

i: IU

g(x)

-00

0

I

:> ~

I -00

~

este derivabila

~i

e-m

(inductie)

~ a.+1 ==e;;: > I, Vn e N ~ (a )

~'-

~!! a., atunci

are limita, Daca I ==

este

strict

0 < a. ~ +00. Daca am avea I e (0,00) ,

.

~

I ==+00 . Prin urmare,

lim

(J ( a.) _ a.) ==lim

a-eec

n-+oo

43. a) Deoarece {x}==x, Vxe(O,I),

ea. -I ==Iim eX - I = I . -L x-+o x

rezulta ca Qiimf(x)==limx(l-x)=0

~

n~

0, Vx e [-1,1] . b) Deoarece

deci f este continua

xe[-I,I]\IQ,

atunci If(x)I==lxI3~lxl,

0 ~ If(x)1 ~ lxi, prin trecere la limita rezulta ca

in

x = O.

c) Fie

g(x) = f(x) - f(O) x-o

-Ii

Y. = -,

~l

n

bel am e e convergente

xtl

{X(l-X),

. b) Explicitand functia j' t

xtl

pe

= (-00,0), f(x)

=a

•

1

/"(X)=

2L--3 k=1(x-k)

unnare,

1"((k,k

fiecare

dintre

k = I,n.

•

sau folosind corolarul teoremei lui Lagrange, se obtine ca/nu

c) Cu definitia,

este derivabila in x ==I ~i x ==2.

la O. Deoarece

intervalele

47.

a)

< 0, decif este strict

(-00,1), (1,2), (2,3), ...,(n-I,n),

f( (k,k + 1»)= JR, pentru orice k = I,n -1 , ~i f(n,+oo») are

n solutii

daca

a'# 0

~i

n -1

solutii

daca

(n,+oo).

'

c)

= (0,+00) , rezulta

ca

a = O. c) Deoarece

+ I») = JR si, cum

=+00 ~i f(k+I-O)=-oo,

I"

1_ < 0, Vx > 0 ~ x(x+ I)

pentru orice k=l,n-l.

este functie continua, ecuatia

f

n -I

/"(x) = 0 are

are proprietatea

Din

surjectiva. b) (j-I)'(ln2)=

solutie pe

puncte de inflexiune .

este strict descrescatoare,

Iui Darboux.

0

Ca

f

este

= 0, rezulta

ca

deci este injectiva. Cum

f(O + 0) = +00 si

lim f(x)

x ...• oo

(~ )=_1_=_2. /'r (In 2) /,(1)

•.•

Vx > 0 ~ », r= f(1) + fi2)2 + "')+ fen) = ~(n2+ 1»), (V)n ~ I. Rezulta ca Inn+1 Inn+1 2 ==lim In(x+l) =[~]=Iim x +1 =.!.. x ...•co In (x2 + 1) 00 x ...•ec 2x(x + 1) 2

I(x) = In(x + 1) -lnx,

limu ~-.",'

••••

intrucat

--

' rezulta ca f(k+O)

ri x) = __

descrescatoare,

= +00,

x.i.k

b) /'(x) = - t--1-2 *=1 (x-k)

fiecare din intervalele (k,k + I), k = I,n -I . Asadarj'are

xe[O,I)

obtinem I(x) == (x -1)(2 - x), x e [1,2) . Se arata usor ca I este continua pe [0,3]. (x - 2)(3 - x), x e [2,3]

f(x) , x'# O. x

= 0, folosind criteriul cu siruri pentru limite de functii, deducem ca g nu

xtk

Iml = (0,+00), decifeste

~ ~

46

Daca

~

~

ex:

si

2

I

pnn trecere la limita in relatia de recurenta ar rezulta ca I ==kef ==I , ceea ce nu este posibil. Deci

~

atunci If(x)I=lxl·

= I si lim g(y.)

descrescatoare

+00

15

IU

x

x ...•0

adicli dreapta x = k este asimptota verticala,

ecuatia

I

to

(cu regu Ia I'Ul L'Hospital)

n-eec

f(-oo,I»)

0

-m 1+00

> 0, Vx > 0 ~ a. > 0, Vn e N

crescator. Deci (a.

X

are limita in x = 0, ceea ce este echivalent cu faptul cafnu are derivata in x = 0 . 46. II) lim f(x) = 0, deci y = 0 este asimptota orizontala. in plus, limf(x) = -00, lim/(x)

+00

a.

f(x)

I x dH x

intrUcat

.t...J k=1

(cu

/,(0) = 1 , obtinem lim f" (X!+~x' = nt"(O) .

Daca xelQn[-I,IJ,

If-+CX>

-m

g:JR*~JR,g(x)==f(x)-m

3

c)

ri» ==--/"(0)2

Jim f(x) - x = [0] - = lim I '(x) -1 = [0] - ==lim -0 x2 0 x ...• o 2x 0 x ...• o 2

X

II)

este

1'(0) =-= /,(0) 1+ 1(0)

=f(x)-x'~/'-*(X).x*-I=/(X)-x.~(f(x»)'-k .+I.t...J 2 X *=1 X

x ...•

x->O

. I '(x) lim--x ...• o 1+ I(x)

x...•±oo

g

:E •

'tal) .IA f"(x)-x' ospi . c) vem .+1 x

x ...•

lim g(x.)

4e 2 - m

.!. eX, Vx e JR•. Cu ajutorul sirului lui Rolle deducem cli ecuatia are exact doua

-e

. In(I+ I(x») lim :<-+0 x

~l

X

n

~, ~

(x) ==f'( x)

==e

I. Considemm sirurile de termen genera I x. = -

o

VxeJR*.

x-I ==~.

'H

L

. M= Jimof(x)x - -0 0

.!.

x-I /'(x)==~.ex,

.

I'

de doua ori derivabila. Cum 1(0) = 0, /,(0) ==1, rezulta ca f' e M . 1n(1+/(x») .

" ...•0

.

Cu sirul lui Rolle, deducem ca ecuatia are exact trei solutii reale daca ~i numai daca m e ( 0, 4e -2) .

42.

IUl

liJOf(x) = 0 = f(O), VxeJR*

4'

l-

i

--.Ia ~...

450

-00

g(x)

J) Ite

IiJD

X4

(1+ I(x»)x

+ cosx), Vx e [-1,1]. Si functia

X

g'(x) ~

zultA din

IntrUca't

1

Functia g:JR*~JR,g(x)==2-m

ca

2' .

I

I este .!.

unct de

= eX(sinx

este derivabila pe [-1,1] ~i /,(x)

.terivabila pe [-1,1], deci

_ I -

3.+1

.-+00

. e- -I limx(J(x)-I)=lim-I-=hm--=I.

x ...•eo

t

local).

(-I)"n!, VxeJR\{-2,-I} (x + 2)"+1

.) Functial

-s i , Se obtine n+

2x+3 )2'VXelR\{-2'-I}~x=_i x2 + 3x + 2

= lim f(_I I_) = lim(I--I-_.!.(I-_I_)) •...• *=0 2*+1 3*+1 2.+1 2

00

41. a)

VxelR \ {-2,-1} ~ i:/(k)=I-~2 *=0

a)

1(1 + 0)

= -00 ~

X

= 1 este asimptota

verticala

la dreapta;

lim I(x) = 0 ~ y = 0

x ...• oo

este

== v

~

~

== ~

==

• 247

asimptota orizontala la graficulluifspre

+00.

2

x(x c) s.:= i:.1(k) k=2

=

Inrr(I-~) = In(fIk-1 k=2 k k=2 k

~-Q~.

49. a) f'(x)

x2'

X

-I

n

2

2n

lim S. = -ln2. ~i (0,1) ~i

este strict crescatoare pe (1,00). b) lim I(x) = 00, lim I(x) = 00, deci f mx admite asimptota la +oo x-+oo

Cum lim .•....•-ec

~fof(x)

x

to

.'

.1

= +00, dreapta x = 0 este asimptota verticala, c) Pentru orice n e N* , exista c. e (n,n + I)

asa incat f(n + Q - f(n) = f'(c.) (n - Qe·

~~-::-2 <

(c _I)ec•

• 2

Q

(n+

X

f (x) = 0 , dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00. Deoarece lim I (x) = -
c.

(c. - ~)ec. (teorema lui Lagrange). Cum n < c. < n + I, deducem c.

ne·+1

•

••

•

n

so. a) I este continua pe

n ...•eo

JR*(operatii cu functii elementare!). Cum lim f(x) = lim e'" -I = I = 1(0) , x-+o

x-+o

I-

.1' ••••

0

X- 0

~

~

xex-e"'+I.. ~I I (x) = x2

~

ca exista c. e(-I-,~)

If

[0]

b.'/1 1'(0) = lim I(x) - f(O) = lim eX - x2 -I = .,

.•....• 0

' daca x

x

0

2x

2

* O. Aphcand teorema lui Lagrange pe intervalul

asa incat I(~)-

n+1 n f(-I-)) n +I

0

1(_I_)=(~ n+1

n

= lim-n-f'(c.)=~ n ...•"" n + I

[I 1'-;;I], n+

lilll

M= 1 ~i lim (f (x ) - x) = 1~ X

s-+±<"

b)

f

'(x)

rezulta

limf'(x) =.!.. 0 2

~ •

Iimn2(/(~)•...•"" n

~

~

A=JR\{O,I,~, ...,~, ...}, care este x ...•eo 2 n reuniunea de intervale deschise, functia este nula si, prin urmare, continua ~i derivabila, In puncteJe

~

~ (n e N*) , I este discontinua deoarece limitele laterale sunt nule, iar valoarea functiei este ~.

.1' ••••

X

Y

r

x"

= x~

P,,(x)

7

( = -

I)" 2. .

.

= 1 este asimptota verticala la stanga ~i la dreapta.

=x

+ 1 este asimptota oblica la graficul lui f spre

±
x-+:t«> 2

= x - 2~ ,'Ix e JR\ {I} . Tabe\ul de variatie este: (x-I)

0

-
X

+ + + + + + O ----o:

0

/'

1

2

I ---
0

++++

4

/'

---

~

~

+00

++ +00

Punctele de extrem local ale functieifsunt 0 (punct de maxim local) ~i2 (punct de minim local). 1

.'

.

•

(

(.) u

(x)

(-I)"n! (x _ Q.+I ' 'Ix

*

1

,pentru

= x + I + u( x) , oricare ar fi x e JR\ {I} ,obtinem:

orice n e N* . Avand in vedere ca f(x)

Qk

•

~(-I) f(k)(3)=3+"-'=--'--IP)(3)=3+LkT=3+ ~ k'k LJ_ k! k=O2 k=O . - o 54.a) f'(x)

.

R \ {I}~ JR,u(x) = x -I este indefinit derivabila ~I

k

Atunci

__ I_)f'(c.)=_I_f'(c.). n n+1 n(n+l)

pentru ca c. ~O ~i limf'(cn)= 2 •...•""

f (1- O)= -co si f (I + 0) = +00~

c) Functia u:

eX -I = -.I c) Functia I este derivabila pe JR = lim -.1' ••••

a

ctierj.

•

e?- 1(·) (x)

.

de grad n cu coeficientul dominant (-I)" ·2· . Pnn urmare,!~ 53. )

fun . i f.

unde P : R ~ R este 0 functie polinomiala '

.

x

rezulta cafeste continua ~iin origine. Prin urmare,Jeste continua pe JR. uj a:

e)

j'(x) f(x)

•

Iimn2(j(n+I)-f(n))=+oo.

<-2-·FoloslOdcntenulcle~teIU1,rezultllca

sunt puncte\e de inflexiune ale

. . d x e arata _x f(·) (x) = P (x)e-?l<1 W1 • prin lnductte up••n s

•...•""

* 0 ; Functia I este strict descrescatoare pe intervalele (-co, 0)

J2 ±T

= 2e-?- (2X2 -1), 'Ix e R ~

t) r(X)

.

X-+CIO

:too.

II) x-+:t«>

) > 0, 'Ix > 1.

IJ= In(~' n+l) = In n+1 ~

.fIk+ k=2 k

= 0 ~ y = 0 (axa Ox) este asimptota orizontalilia graficulluifspre

lim I(x)

2

b) f'(x)

1

(I).

I-~

+

~ (- Qk

2

~IimLJTf n ...•eo k=O

(k) (

.

)

3 =4.

= x~; 1, 'Ix > 0 . Valoarea minima a functiei este 2, ~i se atinge in punctul x = 1.

b) f"(x)=";'>O, x

Vx>O~f

esteconvexa.c)

f(x»O,

VneN.Deoarece

'v'x>O~a.>O,

a. =...!... > 0, 'In eN, rezulta sirul este strict crescator, deci are limita. Daca I = ~ a., atunci a. • Ita I I + I adicx! = 0 , ceea ce nu este 0<1 ~ +00. Nu putem avea Ie R+, pentru ca ar rezu = I ' .. I

Q.+, _

a:

u

~

':iz a: ~

o

·

1&.1

~

U

51. a)

b) Pe multimea

l(x)=O,Vx>l~lim/(x)=O.

n-+OO

Studiem continuitatea in punctul Xo = 0 . Pentru orice x e JR avem if(x)1 ~ lxi, de unde rezulta ca !~/(x)

= 0 = 1(0), decij'este continua in origine. Asadar.j'este continua pe multimea Au {O} .

c) Nefiind continua cu punctele ~, functiaj'nu este derivabila in aceste puncte. Arlltlim cafnu derivabila in Xo = O. Pentru aceasta consideram sirurile u. = ~ ~ 0 ~i vn = .fi n

Z

a:

Q Z CC

~

• 248

Ss. a) este

n

CC

o

ibil.Deci .' Iimf-(a.) poSI I. Deci I = +00 ~Iatunci

n

~ O.

Cum

.

f(x+l) f(x)

hm --x ••.•""

1(0)

», -0

-;;-0 I(v.)= -= I ~ 1 ~i ~-O n

1(0)

», -0

0-0 . = -= 0 ~ 0 , deducem ca I nu este derivabila in un-O

-

.

an

b) f'( '/

X

)=3x2+1>0

"

VxeJR

deunderezultacal

. .., . a . lim f(x) = +00, rezulta ca este strict cresclltoare, deci este injectiva. Cum I este contmu ~I x ...• :t«> • .. . deci te i rsabila c) Pentru orice f(JR) = R, decifeste surjective. In consecinta,jeste bijectiva, eCIes e mve . l

x>1

avem fW-;)=x+if;+I>x

I I(un)-

n-+CD

2 x3+3x +4x+3_1 3 x ••••ec x +x+1 .

= hm

)-1

1 - . = Lim(l+ 2"

an

~i f(if;-I)=x-(3(~fxf 1

crescatoare, rezulta

f'(x)

if;-\ < rl(x) < if; ¢::> i- if; < if;

Cum

-4if;+I)
lirn rl(x}

< 1, 'Ix> I , de unde

x-+""

if;

r

este

=1.

origine. Deci I este derivabila pe A.

2

,ox

56.0) I(x)-x

= Ax;

-I)=~.ln ~

V'x>

X,

o.

Cum

lim Inx = 0 ~i lim Inx = co, rezul.~ X

X~
x

x-+oo

14

.1/

Inx

X lime

-;-

c) Conform

teoremei

.(x) ==3x2

~i x~~(J(x)-x)=co. -,._

(,+~ JinX X =>f'(x)=/(x).

b) /(x)=e

(()'

,

x+I)lnx x

lui Lagrange

cxE(x,x+I)

astfel

1

mcat

aplicata

functiei /

. t

pe in erva

/(x+I)-/(x)=f'(cx).

Calcuilim

,V'x>O .

x

lul

[

x , x + I) , x > 0 ,elUstli .

lim/'()

lox

limx:;=lime-:;-

. m obtJIIe

=/(x).X+I-lnx=x:;.x+I-lnx x2

x.

X--+te

si limX+1-lnx=lim(I+.!_lnx)_I

=eo=I

x-+""

z-eec

X

X

x-eco

X

-,

x--+oo

c, = co, rezulta cll ~

Intruciit ;~

. /(x). 57.0) hm--= X

.e-e-ec

I limcos-=I

x ...•co

X

asimptota oblica la graficullui/spre

(I(x + I) - /(x))

= lim /'(c ) x x-+oo

§i lim(/(x)-x)=-lim x ...•""

punct

E

= 0 => y = x

este

(x,x + I) astfel incat /(x + I) - /(x)

= /'(e) X

Cum /,( •

)_ I I. x -COS-+-smx x

I. ~I

x

I 0<-<1 x

pentru x> I , rezulta cll 0 < 1'( x) ~ I + ~ < 2 pentru orice x> I , de unde se obtine concluzia.

~

c) Aplicam din nou teorema dn E (n,n + 1) astfel mcat

o

~(I(n+I)-

;;

58. 0) lim

U ~

/(n))

I (x)

x-+""

= lim/'(dn)= n-+oo

= I §i lim

X

lui Lagrange

functiei /

I(n + I) - /(n) lim/'(x)

= I'(dn)

pe intervalul .

Cum

[n,n + I], d ~ co, n

n ~ I; obtinem

ca

= I.

x-+
_" . . 2 => Y - x +"2 este asunptota oblica a graficului functiei / este asimptota oblica a graficului funcpei/spre

--«>.

~

~

a functiei inverse obtinem:

derivabila, bijectivll §i I'(x)

= I +_1_ > 0 \I x2 + I ,x

(1-')' (I + ~) =,

ffi

I I (r'(I+~))

/(x) > O·

= _1_

Q

<:

• 250

lR , rezulta cll / este strict crescatoare, deci este injectiva.

==±CO ~i / are proprietatea

lui Darboux, deducem ca / (lR) ==lR , deci functia este

0)

Din

t~,

relatia

a

E lR

bl

'.I

.. functi Folosind continuitatea cnei.. inverse

0 bti nnem

astfel incdt /

lim xn ==lim/_,(n+I)--

n-+co

n-toClO

n~ I

=,

avem

Din

a+l

I ==(r')'(I)== f'(r'(\))

g(x) ==eX - (a -I)x -I,

teorema

de

(x.)

==n + I .

==/ - '( I ) ==0 . Pentru orice

n

derivare

e" - (a -I)x

-I ~ 0, 'Ix

avem g(x) ~ g(O) ==0, \Ix

E lR ,

E

I ~ / (x ) ~ x + 1,'Ix

ci f(lR) ==lR, decifeste

E

lR => lim / (x) ==±CO x •••• :t<>o

surjectiva. Apoi, f'(x) ,atunci

.

lR. Consideriind

lR ,propozitia

E

Cum / are proprietatea

==I + cosx ~ 0, 'Ix

rezulta

f(x)

g: lR ~ lR,

functia

==f(a), 'Ix

E

E

lR => f

adevarata. lui Darboux, deducem

este crescatoare. Daca ar

[a,b], de unde f'(x)

==0, 'Ix

E

[a,b],

contradicue. Deci / este strict crescatoare. Concluzia se obtine din faptul cll f este bijectiva,

r' (~) ~r' (0) ==0 . c) Cu teorema

fun ctiei ... mverse,

0

Q. /I) lim f(x)

==lim(1 + in(1 +x)~) ==I + lne ==2. b) Cum f'(x)

1'(1) 3·

fi

inverse

de unde, conform teoremei lui Fermat, rezulta

ci g'(O) ==0, adica a ==2. Pentru a ==2 obtinem eX ~ x + 1,'Ix X-

a functiei

I 1 ==/'(0) =="2.

3.

- a (I ) .. d . n+' - n - an , pnn m ucpe obtinem an E (0, I), \In E N.. b) Avem 2 an+!- an = _a < 0 \In E N· => () t . d an, an n~' es e strict escresclltor. c) Fiind monoton si marginit, sirul ( n este convergent. Fie 0 = lim 0 (0 ~ 0 < I) . Trecand la limita ' 1h d n ...•"" n m re al,a e recurentl\ rezultll

59.

n ~ I ,existA x.

bijectiva, oricare ar fi

=

I = I + arctg I , adica I = 0 , contradicpe. Deci I = co .

~ ...,;

E

b) Din continuitatea functiei inverse, avem x. ==

g

%

f'~I)==±·

lR A li ' d . . P ican teorema de denvare

~

v

==1+ e' > 0, \Ix

1'(/-'(1))==

E

... ' oncare a x> 0, pnn inductie obtinem an > 0, \In EN. Din an+,- an = arctgan > 0, \In E N rezulta cll irul ( ) . I . ,§ an n~O este stnct crescator, deci are lirnita. Fie = lim a 0 < I < +co Da II I lR . x ...• '" n» • C E, pnn trecere la limita in relatia de recurenta obtinem

ci ~

e) Avand In vedere ca

a functiei inverse

teorema de derivabilitate a functiei inverse avem:

==(r')'(I)==

exista a
deci este injectiva.

x-+:to:>

•

12. II)

(J (x) - x) = ~

x-+'"

;; ~

11)0

(x)

Jim /

.

c) Propozitia se rescrie sub forma exists

a:: ~

1'( x)

este strict crescatoare,

Cum

r'(I)

~_I

Deoarece

~nx.

• OS

r'(n+')-

I

0, .

este surjectiva,

bijectivli. b) Cu teorema de continuitate

(n n+ I) ~ 1-' (I) ==1. c) Folosind

==I-i

SUJjectiva. Functia /fiind

[x,x + I], x> I , rezulta existenta unui

::> ~

n

rezulta cli

an+, ~

+co.

~

x

x

=:too => I(lR) = R => I

lim I(x)

x-+±ao

x E R,

0, -

n

1. I-cosy - - Y 1m --- y ...• O

l

x ...•"":;

b) Din teorema lui Lagrange aplicata functiei / pe intervalul C

= I.

CutD

lui Darboux si

I este

. obtinem a,2 + a22 + ...an2_-

V'kEN,

- 0h"

x-+ao

1' cos; _

~

j

= lim f'(x)

I '(x) = 1

II)

ak

+ 1> 0, oricare ar fi

Jinln(u.-I)==~

Deoarec e

d d e ucem cll lim

.,1.

2_ Ok -

se obtine din faptul ell

~Iuzia

I'

x-+""

are proprietatea

.,

-I limeY-I -= y-+O --=1 y

-In-x

X-+CCI

a 2 , deCI. a -0 - . Curn

(J -

c~

x ...•

o x

btitmem: lim nx. ==limr'(~)-r'(O) •...• eo n...•'" ~-O

x ...•

o

este strict crescatoare, 1(0)=0,

==(/')'(0) -

deci este injectiva. Intrucat

limf(x)=co

~i/este

crescatoare,

f

rezulta ell

sUJjectiva. c) Functia / fiind bijectiva, rezulta ca sirul (an a. > 0, \In EN.

ell

a.+, = f-' (a.) >

.

Intr-adevllr,

r' (0) = 0

a It - a n+l = In(1 + a n+I" ) > 0

(pentru 'In

E

ca

din

ipoteza

r'

este

lui Darboux (fiind continua),

f([O,co))=[O,co),

t~oeste bine

avem strict

-- I_I - f'(O) 2

==1+_1_ > 0, \Ix ~ 0, rezulta cll/ x+ I

are proprietatea

x ...•'"

inducpe

I f'(r'(O))

de derivare a

ao > 0,

deci functia

este

defmit. Demonstrlirn prin iar daca

crescatoare).

a. > 0, Din

atunci

faptul

ell

N rezulta ca (a n ) n~O este strict descresclitor. Fiind descresclitor ~i

'" Hill am ' treeiind la limita in relatia de recuren\A obtinern

marginit inferior de 0 , sirul este convergent. Daca / = lim an (0:0; / < 00) , trecand Lalimita in relati recurenta rezulta a In (L+ a ) _n =1+ n+1

an+1

/ + In(l + /) = / 1+In(L

a + n 1

, -.!.....

= n-?!--Ii f(an+l)

lim ~a , n-+oo n+l

.

X" X

{2k I k E

0n+l

I

. f(x)

sunt: 2~-1' 2nl_2' ... ,

I.

~

1-

~

65. a) Cum n" V (n + I) _ I (n ))

rn+i2n + Fn

~•.

egala eu 0 daca. a < ..!. 2 ' cu I daca a _ I

~::

din teorema IUl Lagrange pe intervalul

5

l(k+I)-/(k)=f'(ck)=

-"2

~I.

ca l(x)=k,VXE(2k,2k+1)

"K~.C)

.Jk+1
I'

= 2(1--.!...)n

2

~

':i

66. a) Functia este continua

I.esteIi derivabila I()

CIC IU

bii

~l

x =:too

.Jk+l

Ck

E (k,k + I) astfel incat

. .Jc: < Jk1 ' de unde obtinem

~-2(rn+i-Fn)=_I_"n+1

Prin urmare, xn > 2

m x-+±oo'

rn+i

1 F.
1(1) = IV(k+I)-

. .

I(k))

<

I-I . k=1.Jk

k=1

2> -2, Vn ~ 1 , deci sirul (xn ).~I este marginit inferior de -2.

ca

. 0, Vx E lR , deci I este strict crescatoare. Cum I l(lR) = lR , d eCI. I este surjectiva. Functia I fiind

"" ci

ijectrva ' pentru ori ce /I.'1OIE "" exista • un singur numar real U(A) •• • rezulta ca U _ I-I . ' astfel mcat I(u(x)) = A . De aici IU -. b) Din teorema de derivar functiei i :z:, I ea cpei inverse rezulta ca U este derivabila pe R ~i

~

o

:!i z CC

~ •

U(A)=f'(U(A)) 67. a) Demonstram

a-I

3(2(~) U

+

I)'VAElR.C)limU(A)=limU(A)-U(O) '<-+0

A

'<-+0

A- 0

U

'(0)-

-

(

2

1

. . d . 3 U (0) + I) pnn in uctie. Conform ipotezei avem al E (0, I). Daca a E (0 I) di

-

1

3 I·

"m re ana n+1- - an - an), rezulta ca an+1E (0,1). Deci an E (0,1), Vn E N* . b) a _ _( )2 Vn ~ 1 deci (a ) . n+1 an - an -1 > 0, y ' n n~1 este stnct crescator, c) Fiind monoton si marginit , ~ irul este convergent . Daca (1

=0=

I (0)

, deci

I este

continua ~i

x-O

X

x

rezu ca.fnu este derivabila in acest punct (nu are nici macar derivata), ltA c) \f(X)\ ~ lxi, Vx E JR:::>IXn+11 = If(xn)1 ~ IXnl, Vn EN:::> (lxnlLo este descrescator. inferior de 0, sirul este convergent. Fie I = ~!!IXnl· intrucatfeste rezulta cll lim Xn+1= lim I(xn) n-+OO

n~

= n-+CIO lim f(lxn\)

= f(t)

= _e-x + 2nx - 2, Vx E JR:::> I:(x)

(n) = 0

continua ~i f(lx\)

Fiind marginit = I( x), Vx E R,

. x

= e- + 2n > 0, Vx E JR:::> fn este convexa.

are cel mult doua solutii reale si distincte. intr-adevar,

n

[a,b] si [b,c] , ar rezulta cll exista a E (a,b) Aplicand teorema lui Rolle functiei incat

f:(r) = 0,

l'-L

f.(~), ca pentru

adica

e-r + 2n

1) - ~ <0 "

fiecare n~l

= 0,

f~

daca ecuatia

contradictie.

f.(1+ ~),

exista XnE(~,l+~J

-Xn

astfel tncat f~ (a) = I~ (fJ) = 0 . [a,fJ] , obtinem ca exista E (a,fJ) astfel

~i fJ E (b,c)

pe intervalul

r

Se observe cll 0 este solutie a ecuatiei. Cum

••~

> 0 , continuitatee functie

astfelincat

e -x. -1 . •Intrucat x; ~ 0 , rezulta ca lim nxn nxn = 2 + __

In(xn)=O.

f. imp!'" faptul

c) Din f(Xn)=0

obtinem

=3 .

n-+OO

70. a) 1'( x) = nxn-I +..!. > 0,

I.(0 + 0) = -
= 3(X2 + I) >

rezulta

~/(x)

•

[k ' k + I] , k E N* . Atuncict exista . sx

; ~

si f'(x)

ine

b) ArlItam ca ecuatia fn

~ 2

-_ ~I2n+ a~ + I ,Vn ~ I, rezulta ca limita ceruta este

deci (xn).~1 e strict descrescator, Din b) rezulta si l(n+I)-

_

. mtervalul

ca

are trei solutii reale a "2.

xn+l-xn=

JR*. Cum

. b) I(x) - 1(0) = sin..!., Vx E JR* . Cum functia x ~ sin..!., x E lR* nu are limita in Xo = 0,

.~ orig II'

x E JR* , rezulta

= Ixl. \sin ~\ ~ lxi, pentru orice

69. a) f'(x)

k

.

~i 1(2k +0)= k , rezulta ellI

Z} . D·in faptul

"ci:-.CumckE(k,k+l),rezulta-I-<_I-

1

pe

X-+Xo

I.f

\/(x)\

2I

a

1- an+1- 1- an+1 d d -----, e un e l 1- an 1- a

X

x-+o

.. de discontrnuitate

1-(t)"t

Rezulta ea t, =

1

•..

I = /2 -I + 1, adica (1-1)2 = 0, deci

1- a2 1- a3 .a; =-_.-_ .. 1- al 1- a2

lim I(x) = I(xo) , deci I este continua

41

•••

Prin multi fill urmarec unnare, multimea punetelor de continuitate

Punctele

al,a2,

tAca lim(al,a2,···,an)=0. n-t'" in orice punct Xo E JR* avem

••.•

ae

n,.ojnz

k _:O;2 ~1~kE[2 n

1

b. 0 poem

retU I

I k E Z}.

functiei este (0,00) \{2k

i~

•

I'"

. . 1- an+1 Dill relatia an =-. 1- an

= 1+ In e = 2 .

1(2k -O)=k-I

Deoarece

rezulta ell I este continua pe (2k , 2k+l) , k E Z

'}

I,a de rela!t·a

Din

= hm-- = 2

Qn+1

este discontinua in fiecare punct al multimii

~

/=0.

E (0 00) este JR , d e un d e re zul ta ca Im(f) = Z .

b) Avem: l(x)=kEZ~XE[2k,2k+1).

,I]

obtinem

n-+CXI

64. a) Imaginea functiei x ~ log,

[21n

unde

+ an+1)a •• , deducem cll Iim ~

Solutie alternativa. Cum a n ~ 0

c) Avem:

n-+"".

de

~...•",

x

lim

f (x)

Vx > 0:::> fn

este strict crescatoare

= +00 ~i f este continua, rezulta cll

:::>fn este injectiva.

I (0,00)) = R,

deci

I este

intrucat surjectiva.

x-eco

Functia

fn fiind bijectiva,

In (0 + 0)

= -
exista un singur numar real

Xn > 0 astfel incat fn (xn) = O. Cum

fn (1) = 1, deducem ca xn E (0,1) . b) Daca ar exista n ~ 1 astfel incat x; ~ Xn+1'

-

atunci 0 = x; + ln x, ~ x; + Inxn+l ~ X;+I + lnxn+1 > x;:: + lnxn+1 = 0, absurd. Deci Xn ~ Xn+1' Vn ~ I. c) Fiind monoton ~i marginit, ~iruI (xn) deducem ca A E (0,1]. Presupunand

:E

este convergent. Fie A = lim Xn . Din cele de mai sus I ~ ~ 0 < A < 1, deoarece xn < A, rezulta x; < An si ln x, < lnA, ,deci ~~

0= x: + In x, < An + In A , de unde In A = n-+"" lim (An + In A) ~ 0 ,adica A ~ 1 , absurd. Deci n->OO lim x;

=I.

IU ~

~

•

251

Tema 3.2. Primitive.

= (2x + l)e2.r - 2(

1. a) F'(x)

b) Cum F'(x)

= I(

x2 + X + l)e2x

< 0, V'x E IR => F

x) .

. este strict descresclitoare pe IR .

c) F"(x)=(-4x)e-2X-2(-2x2_I)e-2X=(4x2_4

) -2x

X

. > 0 , deci F este convexa pe lR

+2 e

limF(x)-F(I) x ...• 1 x-I

b) Fie Goprimitivaoarecare ~

V'XE(O,+«». a luij

.

Deci G'(x)=I(x»O

V'

3. a) Se verifica ca F'(x) = I(x),

G(X)=F(x)+a,

)

G'( x) =

0 x2 + X + 1 > , V'xE lR => G este crescatoare.

10. r(x) -

d) F"(x)=

2x+1

_

( x 2 +x+2 )2 -

i

;:)

. 'S

12. Functia

f. (n)

E

(

I este

=/(1)=0.

;:)

= 9 -4a:5; 0 => a

±F'(I)=e(4 +a)=±=>a=2Ie 2

b) ~F(;~~(i)

;:) Z

c) Ecuatia

«

x + 5x + a + 3 = 0 => 6

u •

c

5. a).lim F(x)-F(O) x ...•o x

•

;:)

~

b) F'(x)~o,

Z

>C

ID

c) F"(X)=I'(

f5

"" ci •

F'(O)=

= ~J!(x-(n-l»)(l-[

-x( -ax

~

lim In2X=+«>.

c)

x ...•.•••

c=2.

2 = x sinx => a

= -I,b

= c,2a+

C

= 0,

deci

de speta I, ea trebuie sa fie

I este

continua pe lR \ Z. Aratam ( n -I» cos

(1+ 2x)

II

2

Id(n) = ~(x-n)(l-(x-n»)

= 0;

I(n)

= 0,

primitive.

ca I este

continua intr-un punct oarecare

n EZ .

= 0;

. Id(n) = lim(x - n )cos (I + 2X)ll

E[~4'

0;

2

x\.n

+co

I( n) = 0, de unde rezulta continuitatea lui!

14. Daca F este primitiva unei alte functii

.

continua pe lR . F'(x) =

J.

!

I:

lR ~ R , rezulta ca F este functie derivabila. F este

4X3 + 1 pentru x < 0 2x ,deci a = I. -2-+ a pentru x o O x +1

15. Daca G este primitiva unei alte functii g: lR ~ lR, rezulta ca G este functie derivabila. Din continuitatea in Xo = 1 gasim b = 1 , iar din derivabilitatea in Xo = 1 gasim a = 0 . 16. Functia F este derivabila

_ a-I

pe

IR. Din continuitatea

in

Xo = 0

gasim

a = c = 0,

iar din

derivabilitatea in Xo = 0 gasim b = 1 .

(

+2x a-2)+4-a)

X

=> a

17. F este functie derivabila,

aE[2,+«»

18.

cu 6=16>0.

= __ 1_, b=~=

In3

I

__ I_ In23 .

In3

f. (0)

=0

= Id

F. (1)

= a + b = Fd (1) = 1.

(0) = b si f's (0)

= a-I = Id

(0)

F", (1)

= a = Fd '(1) = 0 => b = 1.

= I => a = 2 .

19. Avem lim x" In x = 0 pentru a E (0, +«» , deci functia I admite primitive pentru a E (0, +«>) . x ...• o nO

7. F'(x)=a,/3x+I

+(ax+b)

-e ~

8. a) lim F (x) - F(I) = .!./(I) x...•1 x2 -I 2

•

b) F'(X)=I(x)

254

2

b=-2,

-1)J) = 0;

x-en

x?n

-4.

~i 6=16-4a2:5;0.Deci

V'XElR=>a>O )_ X =e

4a > 0 => a E ( -00,

6. F'(x)=T (a-axIn3-bIn3)=xF

III

z

= 13 -

.

lim F(x)= x

ax2 + b) + c(sinx +xcosx)

-sinx(

= 0 are doua solutii distincte, deci

2

~ ~

o

F"( x)

b)

15

x ...•.•••

~

o

-4

=-

C

continua pe lR \ Z . Trebuie aratat ca I este continua intr-un punct oarecare n E Z .

I,(n ) = lim (x -

1

0 => x = --2 punct de inflexiune

2 x +3x+ a) ~ 0, V'x lR => 6

X

=e

4. F'(x)

= 2axcosx

13. Functia

Q

u:

2 b = -, IS

5

b=c=2.

III

~

2

2

de unde rezulta continuitatea luif, decij'admite

.fill + .fill ] . 3 a'-3 - + a ,deci Gnu este surjectiva.

...•

..r;+i

r(x)=aIn2x+(b+2a)Inx+b+c=In2x=>a=l,

I'f, din b) a w , '/ g este strict crescatoare, deci este injectiva.

deci ImG=[-

ax2 + bx + C r=r: =x"x+l => 2 x+l

11. Functia admite primitive ~i cum nu poate avea discontinuitati continua, deci f.(0) = I ( 0) = Id (0 ) => a = b = 1 .

V'XElR.

b) Fie Go primitiva oarecare a luif c) Fie Go primitiva oarecare

(

x E I,+«> => G este crescato

,

[I ,+«>.)

+

= 2x + 2x => a = -,

2 Sax + (4a + 3b ) x + 2b + c

•• (I)

2. a) F'(x) = );(inx-2)+2.Jx~=I(X),

r=r:

c) F'(x)=/(x)=(2ax+b)"x+1

3 2,/3x+1 =

= x../x + I, deci

_ ~ -,,3x+1

=>9ax+3b+2a=6x+2=>a=~

3'

b=~

9.

J2

20. a) I(x)=

1(0),

2 .

f e strict

l

arctgx x x'

descrescatoarepe

0] .

(_I ,

~!

s

tri

b) Pentru ct crescstoare pe [0, +«» .

1(0)=1

*0 admiteprimitivepentru

I(O)=lim/(x)=I. x ...•o

x=O functia admite primitive (pentru ca este continua) ~i l(x»O,

(pentru ca x ~i arctgx au acelasi semn).

V'XE]

.

F(x)

c) lirn --

. = lim 1(x) = 0 .

X

x-++«>

X-H"«)

1 este Id{O) = y~{xlox

21.a)

continua +sinx)

pe

(0,+00)

= O. Deci/este

si

pe

I.{O)=/{O)=O,

(-00,0];

iar

continua pe JR .

b) I este continua pe JR" (functie elementara)

~i

Iim/(x) x ...•

= lim sin x ...•o x

o

x

= I=

I{O),

4

. b) Fie

deci

I

este

continua pe JR , deci admite primitive.

I.

(0) =

f(O)

=0=

fd

r . F4 '(x) J4'

. iti x lui pnrm IV •• a

0

F4(x)

= _x_

x2 + 4 ~ 0, ';Ix e

JR , deci

F4

este injectiva,

3

x __16 =>F4(x)=--4x+8arctg x2 + 4 3

4 2_4+ __ x_=x 14 ( X ) - x2 + 4

litn

c) f este continua pe (O,+oo) ~i pe (-00,0);

F4

= -00 ~i cum

F4 : JR~

x+c,

ceJR.

lim

F4 ( x )

=+00

. ~l

x-+-t
JR este continua, rezulta surjectivitatea.

x->-

(0) . Deci j" este continua pe

JR.

dF~. F

0

f.n . Daca n este

pn'tm'u'va oarecare a lui

numar par

F'(x)= fn(x)~O,

';IxelR=>

F

este injectiva. 22. Fiecare dintre functiile are cite un puncte de discontinuitate . .. primittve.

I. (0)

a)

= 0"* fd (0) = I , deci

Xo = 2

Pentru b)

f(J(x)

23.a) b)

JlIf f'(x),

c)

ff'(x)-

...•

~i pentru c)

+ f'(x))exdx arctgx +

Xo = 0 Xo = 0

= eX . f(x)

~(x))dx

=

x +I

de speta a I-a, deci nu admit

este punct de discontinuitate

de speta a l-a,

sunt puncte de discontinuitate

de speta a l-a,

F'(x»O,

Dacl n esteimpar 26 •• ) Fie

F

';Ix e

primitiva oarecare a lui

0

arctg

x+ c.

I b)

a:

i:::;)

eX

f(x) dx= fexf'(x)-eXf(x) e2x

f-dx=~+C. xn I-n

dx= f(x) +c. eX

27 •• )

fJ;(x)dx=

f : dx= x3

d)

-e ...• cr: A.

e) f(sinx, f(x)-

·

:::;) U

U

·

:::;) Z -e

a:

f(sinx. f'(x)+cosx,

f(x))dx

ccs.r - f'(x))dx

eXf(x)-exf'(x) f2(x)

1) f g)

dx

= f(x),sinx+ =-

f(x).

cosx+

C.

ff 2(x)dx=

2 f_x-dx= x+3

·

U 11'1 1&1

24.a)

_ eX « f(x) +C.

b) f(-f'(-x)+

Z

oct CD

c)

a:

·

fl"(x)-

f'(x)

dx

= eX.

d) f(U,)2(X)+

>

f'(x) + C.

F4

o primitivllalui

c) Fie

Fn

0

f4; F4'(X)= xX+3~0,

primitiva a lui

= xn-1 ~3

28._) ffo(x)dx=

f(Jo(x)-

fexf"(x)-exf'(x) e2x

dx= f'(x) +C. eX

f{x)f"(x))dx=f'(x)f(x)+C.

a:

F4

';Ixe(-3,+oo),deci

cr: ~

• 256

R

25.a)

fJ; (x)dx

=

f x2:

este crescatoare.

< 0, ';Ix e (-3,0) => xn-I > 0 ';Ix e (-3,0) => n este numar impar.

J;(x))dx=

=-

b) Fo(x) c) Fie F

fe-xdx=-e-x

0

+C;

l-x

f7dx=

dx= f'(x) I(x)'

:x + C => Fo( 0) = C -I = 0 => C = 1, deci Fo (1) = 1- -;I .

i

primitiva oarecare a functiei

12012=>F"(x)=f'2012(X)

+C

-rdx= eXx +c.

fex _xeX

X

( 2012

eX

-

x) < 0 ';Ix e ( -00,0),

deci

F

este concava pe intervalul

4 dx =±lo(

x2 + 4)+

C,

d) Fie G

In

~

I

j:

(-
l1li

::I

Q

Z

) => F

fn ;

20ll

e) ("(x)f(X)-U,)2(x) f2(X)

';Ix e [~,+oo

2

1&1

J: U cr: Z o

=> F"(x) = lox + I ~ 0,

x+

f(-x))exdx=eXf(-x)+C.

e'

1&1 \1'10

ci

+ f'(x))exdx

(

b) Fie

Fn'(x)

f(f'(X)f2(x))dx=~f3(X)+C. f(J"(x)

J; (x)

4

A.

:E

=

C .

1&1

:::;)

J;. F'(x)

';Ixe(-oo,O),deciFnuesteinjectiva.

(1- X:3)dx=X-3lo(X+3)+C. X2 x-3+- 9) dx=--3x+9lo(x+3)+C. x+3

Q

u.:

F'(x)
I-n

f~dx= fn(x)

1&1

l-

(0,+00) ~i

este convexa pe [~, +00) .

+ C.

f(x),

e

0

~ III

primitiva oarecare a functiei

=> G"(x) = f'n(X)

xn-l~ -x) > 0 ';Ix e(

-00,0) => n este numlir par.

:::I

• 25

Tema 3.3. Functii integrablle

,

1 •

' dx= J(X +2X2 +1)dx=~+3.+1

2)2

4

+1

o 2

2

J(x-v'x)

b)

o

5

IX 2 +z

+l

x

I

x +

= 28

3

14_~ 3

5 dx=-+In2 2

,x

+1

2

'

Kx+-2x 2)

) i -x+2 f~dx= x -1

1.1

t:

OJ

5 ,,2.

'1

2

0

o

••

IJ

II)

o

1

dx=ln(x+.Jx2+1)1'

f J 4-x1

2

3

3

o

2

2

2·

2

0

I

c)

1(2x +TX)dx=(~_ In2

f(2X -2-X)dx=(~+

_I

In2

2

2

--2--2.

.!. e)

I

I

f(,Jix __

1- x

TX)/I =

Jdx=[ ,Jix fY In,Ji

A

If I 1) _lv4-3x2

a)

I

1

OX

+1

f-2-dx

x

f

.!..!.

1 --x 3

O.

+2

I

fF]4 _

Ii

6 4(i-1) - In2 + In3

In../3

x

J~"'4-3x

_I

_1

I

1 x../31 1 2" -- ../3·3· 2

_I

2

-I

F"'=--~--X ../3 x

d --x ,.,3 4

r;

_JI_x212 =!!..+I-~. 0 6 2

r.-?dx=arcsinxI6 2 0 vl- x

1 If 1 1. r=re=:_ ,.,3_ r:; Fdx=-arcsm4 ../3

142

2

3

II =0. -I

3

o

J.

dx+

-../3 +2ln 3+.J8 . 2+../3

0

In2

2

2,Ji 2

2

- 1+ In(1+ ,Ji)

0

f ,....,...--:dx= 2 2 Vx - 1

I

2f I+x 2 J 2 dx= f o 1- x 0J

-I

e)

_111 = 2

0

2

3

dx+ 3

3

TX)/I =_1In2 +_2_ 3In3·

In3

3 x+2 x dx= fJ x-I 2 x -1

2

0

o

d)

2

1 """"'--:1 x2 + 1 + In(x + J x2 + 1)1I =,Ji

V

0

Jx2 _11 +2Inlx+Jx2

)2 I 2x 2x 2X 2 2 b) ~lex - eX dx = 1(e- - 2 + e2x)dx = (_ e- _ 2x + e )/1 _ e - eIn 1

o

fJ

27·

6

2

4)

1(x-ex)dx=..!.-(e-I)=~_e

a)

3

dx = arcsin. -X/I = -" .

0

I

2.

0

=In(I+,Ji).

X

3

0

9

' x + 1 If If 1 fo J x 2+1 dx = J x 2 +1 dx + J x +1 dx =

c)

1 = -.

../3arctg(x../3)11.i.../3"

0

20

o I

3

x2 + 1

I

b)

o v sx + 1

2

X

3ll

1

4

2

1 /1 n f:; + 3 dx = ../3arctg../3 = 6../3 .

j) .

f 2 r::;---;31 dx =..!.,.,3x r::;---;/I +1

IX-IIJI 5 3 =-+In-. x+l

dx= (X2 -+In-

-1

2

2

3

g) fl~dx=..!.lnl--21_)dx=..!.o 3x2 + 1 3x + 1

g)

+2arctgx)I"3 =I+!:.. 6

I

15·

2

dx= J(X2_2xv'x+x)dx= 0

2 .i

c)

Jjf3~~X~2dx= l(x+-i-)dx=(x2

I)

{Xr(

a)

If

= arctg x II= !!.. 0

S.

fSinxdx= 2.

a)

4·

o 1<

2

b)

IC

f cosxdx= 1.

"••

-1r

"4 c)

258

ftgxdx o

•• I

If

=-lnlcosxll~ =-In

1

tz : ,.,2

I

•

·

1<

4

e) jlnxdx=xlnxl~

1<

fctgxdx = In(sin x)l! = In.,fi .

d)

~ 6

fln2 xdx

j)

1<

1

2

= xln xl: -2

I

"

e) f-.-2-dx=-ctgxl!=-1+../3. ~sm x 6"

I

••

3

fx2lnXdx = ~ lnx

g)

6

1'2

,

"4

1 " j) f-2-dx=tgxlt=1. ocos x tr

tr

"3sin2X + cos2X "3 1 g) f 2 dx= f-dx+2 2 dx= f 2 "sin xcos x sin xcos2x 1C sin x /C

6.

Q)

(;

(;

I

2

f(x-l}dx+

f(1-x}dx=l.

o

I

2

-'

o

~

2

1C

2

o

.rK

Q)

f(x -1)dx=2. I

·

~ ~

:)

u • :)

-I

c)

!j;

d)

II rr=: I /V x + Idx= 3( x

ii ~ ~

-I

1

f(x-sinx}dx

-I

Idx = 2 f(x-sinx}dx

I

0

e)

= 2cosl-l ; altfel

/C

fXSinxdx

'ln2012

I---x

x

= -xcosx

•

(I)

xarctgxl~-

f~dx 0 I+x

"3

=1-'::+ln2.

g)

2

. SIDX

-I --dx=-ln(l+cosx}\"3 "I + cos x (;

I~+ fcosxdx

= 1T •

s,

I

Ix../x+ldx

Q)

e ~ ! z c

~

c)

I

II

b)

fx2e-Xdx=-x2e-xl~ +2fxe-Xdx=-.!.+2(-xe-xl~ o

0

e

I

f~

ol+ex

=0.

t:

If

". (;

=ln~ 3

+ fe-Xdx)=2-~. 0

b)

4

I(/-I}.Jtdl=-(I+.J2). 15

?=,' I I = J-.-dl=l+ln-. 11+/ 1

I

f /(x}dx=

2"

e

=

2 e+I

F (x)= -xsinx-cosx 2 =/ ()x , "IXE ( O,+«> ) .

10. Q)

0

x+1_,2

I

I

0

fxexdx = xexlo - fexdx = I.

o d)

o

/C

fxcosxdx = xsinx I~- fSinxdx = -2. o

III

I dx= __ ln2013 xl' =--. I 2013 I 2013

o

0

"

b)

3\1 + 1)20 = 2~ -I

2

"

III

o"'"

e) .

"

o

CI:

= 2eJX[ = 2(e.r. -

j) Icosx.sin(sinx}dx=-cos(sinx}\:

0

Q)

dx

2

I

= 2cosl-l.

I

-I

7.

=0.

0

j) flx-arctgxldx=2f(x-arctgx}dx=I-2

• :) Z

I

f(sinx-x}dx+ I

fl x-sinx

c

¥i

0 0

Idx =

I

Z

fx2dx="6.

~

e) fl x-sinx

1

I

I

o

~ III

0

~

I 21.rK dx = -"2cosx 0 = I. I

, JX

3

fx{x}dx= fx(x+l}dx+

d)

2

ee2

2

I

I

=16-2.Je.

o

Q

u:

}2.Jx~dx=2.Je-4.Jx1: 2

fx2cosx3dx=3sinx3lo

b)

2

0 2

fx[x]dx= fxdx=-.

c)

". fo xsmx

(;

¥i

I

3

_'!'lnx\' + 'r-\-dx=.!.-~+(.!.-~)=3._~ x, x ee2 ee2 '

,

3

III

i :)

2

f~dx= x2

i)

8.

~x2-1Idx= f(1-x2)dx+

b)

f-dx=-. cos" X

4../3

-2e

I

"I/X

••

"3 1

6

5e

e

I

1

(;

Ie'

-3 fx2dx

h) Jln~ dx = 2.Jx Inxl; tr

K

"3

.Jlnxdx=e-2.

I

,

6

4

-fdx=l.

I

"

F(X}\2/C=2-. /C

•.

= IC

"~ •• ~ •••

4

•

21T

• 260

2f

EI~Jf(t)dt=

c)

n~~(~-~)=~.

11.

a)

f

••

n7C

K

7C

b) limf(x)-f(O)=f'(O)=3.

X2 f(x)dx=T+cosx+c.

c) Jim

X->_

0

fif (x)1 dx = ~

x2

f'(x)=(x4

c)

2

- 2.

x2 -+cosx-I = lim 2 X->_ x2

xIf(t)dt

X

.l'-+O

If

b) Aria este egala cu

f'(x)=(x4-4x+3).Jx4+1.

II)

7C

-4x+3).JX4

+1

de extreJD· 17. II) Aria ceruta este egala cu

=(X_I)2(X2

+2x+3).JX4

+1 ~O \fxElR,

decifnu

are puncte

I

II f( x) Idx = arctg x I~=~. o

1

2

b) Functia este strict crescatoare, deci exista limita

Jf(t2)dt.

x~

Avem

o x

C/+l}

12. a) F' ()x

--2

1)21+ ( --2 x

x

2f(

x4+2x2+2=-

) x.

+1

2

0

=-~(arctg~-!:). 2 2

ff(t)dt n->_ 0

-~(F(n) n->_ 2

c) lim

x~(

1

aretgx-~)Ell~

x

2 ff(t )dt

1

+ lim If(t)dt

X->_ I

0

=

..

1= f-xf(x)dx=

x=-I -I e-I - f-_J(-t)dt=

_11+e

11+e

4

- F(O))

= lim

x

E~If(t2)dt:5:

o

e'

I

c)

...w

If (t2}dt +

0

ff(t2)dt+

ff(x)dx=-~F(x)11

o

=

x-H'" 0

I

b)

1

If(t2)dt

lirn

=!:

8 .

.

cz:

Deci

l-

i~

l f l+eX I 21 = _11+ eX f(x) dx= 2aretgxLI

I

Q

=

o

~

::~

I

b)

o I.)

1=;I If(t)dt= ff

I

.!.

(

f-2 ol+t

_11+e ="

dt

f(t)dt.

.

=!:.

4

1)( 1) dy=fif(Y)dy,

-

-2" Y

Y

x

1

f-I

1

I

1L a) f(t3 + l)f(t)dt

u.: •

I

x

\fx>O.

I

•

~

Z cC

ii!

w Q.

~ ~

·

2

14. a) f'(x)=_x_ex.

c)

l+x2

b)

U

c

urn

t

2

t2+1e

I

~O, tElR~

W

>cC III

cz: W

01

x

•

t2

ft2+1eldt~O,

•

x

X->_ (x -

= lim

arctg

x) = +
a)

-x t2012 !t2+ldt=-f(x).

b)

cC

c) Pentru x ->

f(-x)

=

x 2012 ° _xt2+1 f t

c)

. t> e 0 ,Iarpentru

I

= x~~(Jt3

I

f(t)dt

+ Jf(t)dt] I

=

x

f'(x)

x:5:0

notarn

x=-Y,Y~O

si

")""" =---=-. 4 2 4

4

2X~X8 + 1 = 0 ~ x = 0 este punet de extrem. X, f(x) ~ lim ft2dt = +
lim X40+oo

d.

+ Jf(t)dt]

f' (x ) = 2x~ x8 + 1 .

x->o

~

! z

1..

b)

15. a) limf(x)=o.

:J:

.!.

I·1m XI-- 1 d.t= lim . ( aretgx-X->_ I 1 + t2 x->_

2

c/ X->_ hmf(x)-lim - X->_ f t2 + 1 e Idt ~ rtm f -2-t dt o X->_ 0 t + 1

U

= }i~[ff(t)dt

\fxE(O,+
"" c::i w

.!. x

t2

o

III

Z

x

x~~ Jf(t)dt

lim

f( x)

X~.f
X

X-.+CO

= lim

are asimptote orizontale la +00.

o

2x~ x8 + 1 = +00,

deei grafieul functieij'nu

are asimptote obliee la +00.

x-++co

~

• 262

f(x)=-f(Y):5:0,

y~O . 2

Xl

,..

2

20.

lim

II)

I

= lim2xarcsin-4--

x-I

x'>ol

x

x'>ol

+--

X4

=- . 3

b) 1'( X) = 2xarcsin

bl I +2012-1 = v .+2 •

> 0, 'tIx ~ I , decij" este strict crescatoare.

+1

x

+00.

lim I(x) = Iim 2xarcsin~ = +00 , deci graficul functieiI nu are asimptote oblice la +co, x-++«>X x-++«> X +1 1C

o

j

If

~

"2 sin

2 Jsinxdx=cosl.

f~dxS I x

25.

I

o

'S ~ ::> U

c)

x-++
U

• ::>

z c

ii2

1&1

A.

.

~

lim (fe-t4dt+ 0

X-H"CO

t4 }e- dt)S I

lim (fe-t4dt+

x-+-+«>

~icum functiaI este strict crescatoare rezulta ca 1mI 23.

II)

25 In--1+2arctg2-2

0

}e-tdt)= I

* R , deci functia

I

In+I-I.=

b)

t4 fe- dt+ lim (~-e-X)eR 0 X-+i
(I)

,irul

,

~

2

2 2 J(1-4·(x -2x)ln(x +I)dxSO,

I

I

n~l

2 I

I f(1-x)

II)

4

dx=---

(1- X)5 II

I

5

5

o

I

1

e I

b) 0 S Iim f(1I

(1- )2n+112 lnS 2:+1 =2n+1

~i prin trecere la

I

.-++«>

f, deci

I

3

deci

limitliobtinem lim I. = 0 .

26.

0

=

2

I

'tIxeR .

2

" .

2

n-++«> 0

1

4

n

0

dx = Iim _1_ = 0 . n-++«> 2n + I I

c)

27.

264

2013(n-l)

\2 2 x2 +1)1 -2f + 2dx=2lnS-ln2-2(x-arctgx)11 lI x

c) OSJ(1-xtln(x2+I)dxSlnSJ(1-X)2ndx=-lnS

Dar eX ~1+x2 ~-S--~ Je-x'dxS f--dx=!!'-. 0 0 I + x2 4 ex' 1+ x2 n+1 c) In+1- In = fe-x' dx > 0 ~ sirul (In t;'1 este monoton crescator, Este suficient sa arlitliIn

•

[(l_X)2.+2_(I-xt]ln(x2+I)dx=

b) II = fe-x' dx e J(I_X2)dx=~>~. o

2013(n+l)

este descrescator ~icum sirul este marginit inferior de 0, el este convergent.

"

I ou este surjectiva.

Din tabelul de variatie deducem ca Xo = 0 este punct de minim pentru

l(x)~/(O)=O,

~

2

Consideram functia I: lR-+ R,f (x) = eX - x -I; 1'( x) = eX -I = 0 ~ Xo = 0 este punct de

extrem.

Inn
2 10= Jln(x2 +1)dx=xln(x2

II)

II)

lim I(x)=

2013(n+l)

I

I(x) "0 4 lim--=Iime-X = I. x •...•o x x-+o x4 b) I'(x) = e- > 0 'tIx e R ~ I este functie strict crescatoare, deci este injectiva.

22.

I.

( )' 'tin eN . 2013 n+1

I

If

I

+2012ln~I.~

Iim nI --n-++«>n - 2013 .

"2 c) J/(x)dx=

I

1

\{o}.

•

I • = 1.+2+ 2012'In ~ In+2+ 2012ln+2 ~ 1n+2S 2013(n+ I)' 'tin e N

~

Dec' . 7r .decij'este continua pe [0'2]

lim I. =0.

.-++«>

- x dx S 0 ~ sirul (I) I este descrescator. •• z I

0

SinX --,x*O. b) I(x) = x a,x=O

I

e,'. I .+2 +2012-1• =-SI n+1 I

•

'tin eN .

n

n+1

- I =fx ••,.+I·ox2+2012

1<

If n 1 x dx=--, n+1

0

0

.on I

+ Jcosxdx = n .

0

dx=

0

I

1

= fxsinxdx = -xcos~~

2

I.

x'

fx21(x)dx

n Jxn+x2+2012x +2012

I

o

lim I(x) ~ lim J arcsin~dt = +00, deci graficuI functieij'uu are asimptote orizontale la x-++«> x-++«> 0 2

1C

)11 I 2013 +2012 0=2"in2012.

,10< f x dx s; fx·dx=--~ c, - x2+2012 n+1

c) Functia/este continua, deci nu are asimptote verticale.

II)

(2x

I

X

11= x2+2012dx=2"in o

II)

7r

+1

4

21.

If

(2

f arcsin-( -dt +I

I 2 -",+--C I 2n f(1 )2 • UA. .1_ ~ I =C o --CI2 I +-C 2 + I n = 0 -x n 2n 2 • 3·2 2n

II)

F'(x)=_I_+~=/(x), I+X2 I+x

I'

I - 0.

1m • .-++«>

'tIxeR.

26:

n

c)

L

n+k

lim lim kDI -n-+_ an = n-+_ n2 + k2 --

1

1+-

n

k

f ( )dx = -4"In+ -22 ,deci I

r -;;L.., "" -;;rn = f n!.~ k-

'

l+_

X

sirul

0

n2

convergent. !!:-I

~-I

28. a)

1 x2+2x+2

f _I

1 f ( 1)2 dx=arctg(x+l)14 _I x+ +1

4

dx-

.!.-I -I

=1.

I

-2n 2 (1--t

x

fj(t)dt b) lim 0 x-+_

Jim x...•_x2

X

O.

n

c) Ap!icWl criteriul raportului

n)

c) Jim ( + n n-+_ 2n2 + 2. n + 12 n2 + 2. 2n + 22 + ... + 2n2 + 2. n2 + 2 = Jim 2 n n n-+_ k=12n + 2nk + I n I lim - " n-+_nL. k k=12+2-+-

29. a) IXj(x)dx= o

e :,

0

x )dx =arctg2--. " 4

IX~I-X2dx=-.!.(I-X2)%11 3

0

obtinem

o

l-

i

I

i

=.!. 3

b) V

fj2(X)dx=" o

=tt

:»

II I

2" .

g(x)

3

0

I 4n-

Q

4

+ 2)'"

=( X; - 2xl + J[

•

dx =

Ing21"2 1-- =f:Jl-x2dx !im n-+-n n2 k =1 0

L

-3x+

I

X

2 dx =(_ x + 3x- 2ln(X))\2 =~2

I

.!.(2x-3)'( 2

" = fl + cos2t d _ 1 ( Sin2t)/"2 " t-t+-=0 2 2 2 4 .

I

3

dx x-;!,='1(I-t2f

dt = t(l-t2f[1

+2n It2 (l-t2rl

dt =

I

-I

1&1

Z

U

C Z

II.

~

n

• 266

=~I 2n+l

_ 2n n-I - 2n+l'

2n-2 2n-l

~.~.~.~

Z C

~

= -2nIn

+ 2nIn_1 ~ (2n + I)In

= 2nIn_l,

'\;fne N, n ~ 2.

c) O~I

~ 212I, n+

.

J(2X-3)2

-~

2

2)" dx =

1"-1 (x)dx =

I

2

+9)1"-1 (x)dx = -~ J( 4(X2 -3x+ 21

S

JI"-I (x)dx, 21

2) + 1)1"-1 (x)dx =

I I X2011 J--dx=-ln2 2012 oX +1 2012 I b) 0 s n-+_ !im 0Jxn. j(x)dx

de unde rezulta cerinta.

II)

. I n = n...• lim_ 0J X20~2+ 1dx

s n...• lim_

I n 0J~2

1 = n...• lim_ ---) 2 ( n + I = O.

x

4

.....

511 =

J4.J4 (2n+l).(2n-l)

x2 -3x+

22

4

I

.

)"1

I

- ; JI" (x)dx-~

t2 -1)(1 -t 2)n-1 dt

2

2

2

-2n _I f(l-

x2 -3x+

-% J( 4x2 -12x

0

f( 2x-x2f

2ln2 .

2

2

"

2

b) In =

2

2

_Ix2

2 2 2 b) JI" (x)dx = f(x2 -3x + 2)" dx =.!. J(2x-3)'( I I 2I

f(2x-x2)dx=i. o

I

2x

LL

=

14

= O.

= i(X - 3'"

I

30. a) II

si prin trecere la limit! in inegalitati

4

b) Aria ceruta este egala cu

I

f(l-x2)dx=

!im In n-+_

••• oJ J( "')'"

1&1

a:

nIl 4n+2

Jim ~ =.!. e [0,1) ~ lim In = 0 . n-+_ In_I 4 n-+_

Altfel 0~In=--In_I~-In_I~2In-2~"'~-2II

n2

n

...

L

I

e --fj(

In =--1 n I '\;fneN n>2 4n + 2 n-' ,.

2

I +2x+2

n

2)n-1 dx=-2nIn+-In_l~ n 2

2 -- 1)(1 --t 4 4

J 4

I

x

c) Functia F: JR~ JR, F(x) = Jj(t)dt 1

sJ4

I <~'(2n-l)'(2n-3) (2n+I).(2n-l)

1-

S

11=

Avem lim }j(t)dt~ x •..•_

~

. In conc1uzie am obtinut 0 < I < 2" 2n I li I - n - 2n + 1 I ~ n!.~ n = 0 .

este strict crescatoare, deci exist! limita

I

!im }-2-I_dt= x-+_ I t + 1

lim (arctgx_!!..)=!!... x...•_ 4 4

lirn Jj(t)dt. x-H
[0,1], pe (1,2] si f(l) = Is (1) = 1*- fd (1) = 2, deeif este integrabiIl\Pe [0,2] , dar nu admite primitive (pentru cli are un punct de diseontinuitate de speta a I-a,

34. a) f este continua pe

2

2

2

fr(x)dx

f(x+eXf

0

f( x + eX)dx

= 2 + e2

-

e.

I 2

dx

lim I

c) lim..!.I--n-++ao n

2

= fxdx +

0

2

35. g'(x) = f(x)

1

I dx = ff(x)dx

b) Aria este egala eu flf(x) o

f(x+lf ~ lim -'-1

n

dx

_

lim n+l

n

n-++oo

n

n+l =r+co ,

> 0, Vx> 1006 ~i g'(x) < 0, Vx < 1006, deci functia g este strict

- f(1006)

descresclitoarepe (0,1006) ~i strict crescatoare pe (1006,2012), deci nu este injectivli 2 1 36. a) 12 = f-2-dx=arctg2--. I x +1

~

4

1

2

~ 0, de unde concluzia.

- f--dx Ixn+l

2

n+l n

40 a) I =2-10--=>1 •

lim jJ--dx = lim _1_(2-n+I_I)=0. n->_ I x" n->_ -n + I

n

I-I

n+

n +1

f

b) I =2-10-<2, n n

IXI +X2 +x3 I I 2 dx = xdx = - . o x +x+I 0 2

f

1n=

n

41.

I

II)

c) O~ lim In = lim f 2 X dx s; lim fxndx= lim _1_=0. n->_ n->_ x + X + I n->_ n->_ n + 1 o 0

K

t---

0

t}

t2 + 1

= _1_,

2

2n - 1

• !68

2n-l

I dx

»

fq(x)dxeQ. 0

n2 +2n+l 2 n + 2n

>0.

Xl)

f-

dx=I-Io-. 3 2

n

X I

r

1--- 1 x" + 1

.

Pe de alta parte 11 1 ... +--eR 3 5 2011

\Q

o~

f~

I

1

...+ ()n-I -1

2n - 5

=10 +(-1 )n-I 12 => n

1 ( -1 )n I => --+ 1 0

- -- 1

1 2 2x+l )2 dx= '3arctg J3 1 3 Vol x++2 4

~ _~

I

I

o(f

o

1 = lim [ _x__ -n+112]= lim ( --i~n->_ lim 2f...:.,}x xn n->_ -n+l n->_ I-n

n

lim 2 n->_ xn +1 I

lim In =0.

n->_

I 2n-2 =-----+--1 1 2n - 1 2n - 3 -- 1

lncat

n-++CO

. c) lim I = lim 2 X n +1-1 dx » lim n->_ n n->_! xn + 1 • n->_

Vn e N, n ~ 2.

1

1--31 +---+ 1 1 ... + ()n-I -1 5 7

astfel

. (n 1) = lim. 10( 1+-n1)n =1.

I = 2 X dx= 1-I x+] I I x+l

42. a) ff(x)dx= e'JI I 2n =--- 1

qeQ[X]

cu

X

2

2n-l

n+1

divide

~>O.

n-++ao

2

1 1 1=---102.

11 1 ~ c) 10+12 + ...+12012=10 +1+-+-+ ... +--=-+I+-+-+ 3 5 2011 4 I t" d) O~ln = f~t~--=> o t +I

se

exis. tli

-X

b) I =f~~ n I xn +1

I

b) 12n + 12n-2 = ft2n-2dt o

- X

n+fl2x -1

lim n 10- + n

n-++
38. a) 13= I? f--:C--dt= 2 o t +1

deci eel

n+1 n+2 =10---10--=10 n n n +1

n

c) lim n(2-1n)=

I

g = ( X2 + X + 1t+

I (x2 +x+lfn+1 +1)=> 14n+1= f 2 1 o X +

g=q.(X2

2

d) O~ lim In = lim f_l-dx~ n->_ n->_ I x" + I a) II + 12+ 13 =

1

polinomul

2 )4n+l.-1=1 .4n+1 . 0 -1=, ( i +i+l

g(i)=

c) Sirul (In t~1 este descrescator ~imlirginit inferior de 0, deci este convergent.

37.

cli

1

2

b) 1n+1- In = f-+-I -dx Ixn +1

Arlitlim

c)

I

b) O~ lim fxnf(x)dx n-H
0

I

2

I = J3 I

0

(

~

I-n

J = 0 .deci.. }~I~..I - 1 n -

•

"3-6" - 3J3 . )

I 1 ~ lim fxn dx= lim =0. n-++OO 0 n-++c:c n + 1

1

c) Arlitlimcli polinomul g = X (X2 + 1t+

+ X3n+2 e

Q[ X] se divide prin

X2 + X + 1. Fie e

0

•

269

rAdlicinli a lui X2 + X + I =:>&2 + e + I = 0,

= 1. g(

&3

&)

=

&( -&

)6n+1+ &3n+2= 0, deci exista

1

q e Q[ X] astfel Incat g

= q.(

X2 + X + 1) =:> f(x2 +X+ 1)q(x)f(x)dx

=

o

n nIl = fe-~ dx s; fe-xdx=-e-xln

O~I

1

fq (x) dx e Q.

3

c'/·• Cum

K

x +x +x+1

x+1

x+}

I

1[

dx=-

2

I

IimI

n+1

n-++oo

3

=0.

=

_

'S -e

d) In+I-In=

32

o

X +x +x+1

I n dx=fxdx=--.

0

1

crescator

rezulta

cli

existsL4 lim In' n-+.•••

Dar

In f-T--d/~ o I + Ion I

f 3 2 dx~O=>~irul OX +X +x+1

(In)

3

In

1

(3

n+I-2n+l)dl=+oo. lim f.:.........1l=lim n-+.•••210 n-+.•••IO( n + 1)

X2012

b) Iimf2012(X)olim~ x-+o x2013 x-+o2013x2012

n+1

xn+1_xn

I

3

l+/.Jt=.!.. f -:--u 013 + 1 2

n-+-toO n

I xn+3 + xn+2 + xn+1 + xn

In

lim f....;...-a/~ n-+.•••212 + 1

o c) In+3+In+2+In+I+In-f

monoton

2

1= - + arctg3 - arctg2 .

I 4

lim-l-=o=:>

0

n-++«>

n-+....

47. a) f4 ()1 + It ()1

lim fxndx=

0

lim In=

4'

I

b) O~ lim fxnf(x)dx~ n~-toO

Altfel.

dx= f OX +x +x+1 o(X+I)(X2+1) 3

este

convergent.

se divide prin (X + 1)( X2 + I).

g = X4n+2 _X4n+1 + X + 1 e Q[X] If

(I)n n~O

sirul Y

este marginit si cum sirul

dx e Q pentru cli polinomul

2

3

o

=

(I n ).~Ieste

3 14 -I + 1 2 I} = f 2 dl = I -I + -22 I +1 2 I +1

14

~I

x4n+2_x4n+I+x+1

c) I4n+2- I4n+1+ II + 10 = f

44. a) II +13

deci sirul (In) n

este ~i monoton crescator, rezulta cli sirul

0

46. a) 14 = f-f---dl 2 I +1

I

=---<..!.., lee"e

t

"1

c) O~fn(I)=

0 este descrescator.

n~

1 2013

I

flndl=-=>

1 +1

lim fn(I)=O,deci~irul

n-+....

(In(I))

n~O

esteconvergent.

Q.

~ V U

In+3+ In+2 + In+1+ In = -- 1 ~ 4In+3 => I > n +1 n

•

~

Z

-e

1

In+3+ In+2 +In+1 +l, =--~4In n+1

I

.

4( n - 2) , 1

=> In ~-(

--) 4 n+1

Din

.

ultimele

douli

relatii

avem

ii2

IU Q.

~ • ~

__ n_
limnI-1

4

=> n-+.••• n-

V

III IU

Z

~

II: IU !no

d

R (x

•

V

-x

45. a) fg(x)dx= o

~ I

~

Z

C

b) fxSg(x3)dx= o

~

• 270

2n-1

I

IU

Z

2n

o

c) I.+I-In=

+x

2n-2

1

- ... +I)--]dx=----+ x+ 1

1

1

... +I-ln2

2n+ 1 2n

elR

'Q

I

=I-.!..

fe-xdx=-e-xr 0

e

0 I

~-t

I

fxse-~ dx .;

.!. fle-tdl=-.!.Ie-tr

0

30

n+1 fe-~dx>O=:>In+I>In'

3

4

I

+.!. fe-tdl= 0

30

e-2. 3e

monoton descrescator

~i cum sirul este marginit inferior(pentru

cli 0 ~ In = flgnx dx),

rezultli

"6 convergenta.

•

27'

1<

'4

tgx=t

"

1

In

1

t +1

fz-dt.

In= ftgnxdx=

C)

Jj

"6

f -c- dx5, n-+_ f xndx n-+_ X +

d) O!> fun In = fun

n-+_

lim

I

1

1

Jj

1C .

um Xn ,,-++GO

d)

Jj

= lim

n-+_

2f(l+sinx)

!:.

b)~ic)

O!> limln(a)=

fun

n-+-+-
0

n-++oo

lim ftgnxdx5,

1C 4 0

= fun _I_tgn+lx

o

0

b) Fie F

I~=_1_

n-++«> n +1

n +I

= 0, deci sirul (In(a))

21f

n-+--kO

= lim

3

n-++oo

"3 "

ftgnx~

lim

[ 4"3 1C ftgnxdx+

n ......• -t
o

0"

" ftgnxdx

"3 19:<=1 = lim ftgnxdx = n-++oo

fun (!!..+n(I-COs!!..))=+00 n-+_ 2 2 X

-

cosx

2 - cos2 X

. 2 dx 0 1+ sm x

1C x

UA._

, deci

f--2I

lim

», =+00.

n-++«>

I

.

COSX

2

dx= f

)-'->

sm x=t

=

0 1+ t

I Ii dt =arctg tlo=-·

4

cosx [ Ii] = 2 -cos2 X ~ 0, X E 0'2 .

2!l"

COSX f cosx dx dx+ x 2 - f 2-cos2x 2-cos x 0

•

!l"

Pe de altli parte "

x=1C+I"f ) -cost dx (t + Ii X2_COS2x - 0 2-cos2t

21f

f

" 4

4

x dx-

o

1 "

I' C2nsm .2 x+ ... 1+ Cnsmx+

0

primitivlia functieij; deci F'(x) = f(x)

este convergent la

c) fXf() Ii

0

n~1

O.

d) lim In(-)

f

ff

-)

1C

lim f(1 +tg2x)tgnxdx

n-+_

(x)dx=

2

0

n-+_

_

2

f(

. dx= lim

1C

If

-

4

n-++cIO

n

f

n

0

. i (1+ CI sinx)dx=

liDl

,,-++dJ 0

° n ftg xdx5,

!:. 2

-

= lim _1_(1_(_1 )nJ = O. n-+_ n + I ..fj

COSX

f

dt = - t 0

cost 2-cos2t

dt

!l"

- Ii

f cos 02-cos

cost 2-cos2t

d. - -

t

dt

2'

t

If

n

.fj t

lim f-2-dt n-++«> I t +1

50.

~ fun n-+_

.sf -dt r I

1

= lim -( --) n-+_ 4 n + I

4

a) 12(Ii) = j(1 +sinX)2 dx J{I o

~l

()

..fjn+1 -I

= +00, deci

(

)

lim In !!.. = +00. n-++«> 3

21C

Deci fXf(x)dx= o

1<

"cosx

fX2_COS2Xdx-

0

cost t2_cos2tdt-1i

f

0

1<

f

t-

"

f

co

st

liol+sin2t

dt =0

0

+ 2sinx + 1- COS2X)dx =31i . 2

o

12012 (a) 0 lim (I +sma . )2012=. I b'/ li m---= .1

a

0-+0

0-+0

c) lim °r(I+Sinxf

n-++oo

J' o

dx= fun °C(I+C!Sinx+C;Sin2 n-++oo

J

x+ ...)dx~

0

a

lim f(I+C!sinx)dx=

n-++oo

0

lim (a+n(l-cosa))=+oo.

n-+-t«l

!:. 2

"

51. a) XI= f(I+COSx)1 dx=(x+sinx)IJ=!!..+l. o 2

54.

!:. 2

b) xn+1- xn = f (I + cos Xf (cos x) dx ~ 0 , deci sirul (xn o

• 72

a)

"

11= fcosxdx=sinxl~=O. o

t~1este strict crescator,

!:.

b)

«ct,

I='xdx s In o

n

=

n

=

7r

Jdx=-:5:"2' 0

n

1r

• 273

c) Din b) avem 0 < 1

-

55.

.

•- n

~l

.

!!.

"

2

"2

o 1x b) Iim - fl(/)d,=

Iim x-++oo

1n

h ,(a) = g (a)

»

lirn ~=O X

I'(X)

,I

•••

X-i>.f«l

h(a)~h(3)=0,

adieli

•

-fCOS'd'= X 0

-1 ~ 0, pentru eli g

I

= 1---

= --

x2

l+x2 l+x2 I(O)=O=>I(x)~O, V'x~O. Il,

(a)

E [0,1], V'a E [1,3] . Deci functia

h

este descrescatoare,

V'aE[I,3].

"

0

1x

X 0

x-.+oo

-

lirn ....•

= fcosxdx = sin x IJ= I.

nf(x)/dx

a) Aria ceruta este egala cu

.

prm trecere la limita rezulta

V'x E lR => I

~0

este

functie

crescatoare

JR

pe

~i cum

•

Aria ceruta este egala eu c) Aratam eli sirul

(Int~1 este

monoton ~i mlirginit. I

x211 -(xaretgx)

I

n/(x)ldx= j(x-aretgx)dx=-

~

Monotonia:

~

JI o

n

222 In+1 - In

= I cos'"" xdx - feosn xdx = feosn x(eosx -I)dx -< 0 , O

o

este desereselitor.

0

d

.

2

0

I If X 10 + --2

ol+x

0

I"

dx=---+-In2. 2

4

I este strict crescatoare, deei este injeetivli. din lim I (x) = +!X), lim I (x) = ~ , rezulta cli I x-++«> x-+~

b) La punctul a) am aratat eli functia

.1

eel ~Iru

I .. lR --+ lR

este continua ~i

eonseeintll functia

I este

I-~

..

-I

I (x)=t,

facem schimbarea de variabila

.lx [O,I-!:.]

o

I

-I&d,=e-

;:) V

,

a)

f

III

a:

b) In

1&1

•

g(x)=t,

1&1

-

• 274

consecinta functia

f

I este

x4~

bijeetivli.

4

fr'(x)dx

facem schimbarea de variabila

. {XE[I,4]=>tE[0,1] deci x = I(t) => dx = f'(t)dt

rl(x)=t,

I

faeem sehimbarea de variabila

I

I

Pf'(t)dt=tl(t)l:

z -e ~

-I

x-++oo

4 21+ I ~ 2 dl=In(/2+1+1)/4=In37. +1+1 0 16

3

1g(x)dx=

-I

5

b) I' (x) = 3x2 + 2x + I > 0, X E JR rezulta cli functia I este strict eresclitoare, deci este injeetivli. I : JR --+ JR este continua ~i din lim I (x ) = +!X), lim I (x) = ~ , rezulta eli I este surjeetivli. in

deci {XE[I,3]=>tE[0,1] x = I(t) => dx = I'(t)dt

U

!

-2

obtinem

%

~

0

I

"" c::i

-2

~

c) in

Ig(x)dx

f(x+I)(x2+I)dx=

= f _(x3 +X2 + x+ I)dx+ f(X3 +X2 +x + I)dx ="2.

3

OCC

.

0

f-(x+I)(x2+I)dx+

-2

3

21+ 1 (r.)dl= 01 vIol

Z

I

~

fl/(x)ldx=

Aria este egala cu

I

3

III 1&1

o

eI&d,.

Ie~ dx+ II(x)dx=e.

4"

57•

[0,1]

X

e

o

.

I

I I

deei

E

x=/(t)=>dx=f'(t)dt

e

I I

=> t

2

/=te dx = Jt(&)ldl=I&/e

fe

4

"11 (X)dx =st IInxdx = ,,[XInX I~- Ix. "!"dxJ=st . I

c)

E

deci

o

I~

este surjeetivli. in

bijeetivli. .

f rl(x)dx

c)in

b) Volumul cerut este egal eu

I 2

.. ~l

I

- fl(t)dt=> o

c) Considerlirn functia h: [1,3]

--+ JR, h( a)

obtinem

10.

I

=

fl(x)dx+

fg(X)dx=3.

0

I

fl( x)dx + fg (x) dx _ a . o

a)

I

I

I

fr'(x)dx=

fif'(t)dt=tl(t)I~-

fl(t)dt=4-

fl(t)dt=4-U=12·

I

0

0

0

I

I

fl(x)dx=

fX(I-X)dx=-.

006

b) Functiaj'este

I,(n)

= lim(x-(n x?n

25

4

x-en

23

I

continua pe JR \Z.

-I)}(I-[

. ~l

-I)J)

Trebuie arlitat cli/este

continua intr-un punet oarecare n E Z.

Id(n)

= 0;

= 0;

unde rezulta eontinuitatea luif, decij'admite

= lim(x-n)(I-(x-n») x~n

I(n) = 0,

de

primitive.

I

• 275

~ C onsiderllm functia

g :JR ~ JR, g (a ) =

c

I

f f (x) dx .

~

Cum g

este

derivabilli

Q

Pentru x e [0,1) =:> sinx e [O,sinl] =:>

fxf(x)dx

61. 0)

x:;'_

-I

b)

Xf(X)fO(X)+

=>

-I.

(J·(x))2]dx

I

c)

-t)dt = - fif(t)dt

I

fXf(X)dx = O.

= 2 f!(X)dx, I

~=arctgxl~= 4

f-2

I

= Ff'(X)f(X)]'dx

ol+x

= [f'(x)f(x)JI:

= -2012.

65. 0)

s ff(x)dx

b)

s l.

I

ff(Fx)dx=

fx~en=

o

0

fdx=l.

b)

c)

I

f(x2+2)

o

0

arctg

I

If(x)dx=x1n(x2 o I

-x

b)

g(-x) = ff(t2)dt o

...(t3+n)

x t~II'2f

d,

I I 2 +1\1 - jx+en=1n2-2 110 o x + I t=-y

dx=

f'.!.(-I--_I_) _ 2 2

02

c

X

5

=:> lim x ...•_

g(x) = t«l =:> graficul functiei f nu admite

liI(x)dx=(~~(x+I)31

2

en=

o c)

I

lim

x-I

..... ndt=-;;!,

R 1-_I_)en=1n2_2 0

x2 + I

"-++<0

Vx~l, Vn~l.

t«l.

=~(2J2-1).

I

I

I

0

0

0

I

I

1

3

2

2

fx(ex +l)en= fxexen+ fxen=xexlo -exlo +-=-.

I

I

o

0

I~In = f.Jxn +Ien~ f(x" +1}n=_I_+I, I" = 1=:> sirul (I")

I n~

VneN",

deci, prin trecere la limita, obtinem

n+1 este convergent la I. 3 I

~ +2.

67.

If rrt: 0) II = x-ix: +Ien= o

12(X2+1)2 2

2J2-1 =--. 3

3 o

x

= - ff(i)dy=-g(x),

t«l.

x-++oo

fX[iI(ex)]

b)

VxeR.

0

J2 -(

o

~

0

g(x) = lim g'(x) = t«l =:> graficul functiei g nu admite asimptote oblice la

I

x +1 x +3 dx-

• IU

i

2

x

A= ~iI(x)fJx=

66.0)

=

In

63. 0)

I

2

(x +1)(X2 +2)(X2 +3)

lim x-++«.l

g[) H~- OJ,)

It,(t3)dt= Il(t3+1)(t3+2)

1

0

f(x2+2).h(x2)dx=

~( arctgr ~ - ~

2

=3Ji-3'

-

g(x) = oft2,k + Idt ~ 0ft4dt = ~5

c)

f hO'2(x) dx= f(X+I)(X+2) ...(X+2012) dx= fX+2013 _ hO'2 (x + I) I x+ 2012 dx =x + 1n(x + 2012) + C (x + 2)(x + 3) ...(x + 2013) I

dx:51 =:>

g'(x) = f(x) ~ 0 =:> g este crescatoare pe R.

asUnptoteorizontale la 62. 0)

1

dx _. <1

1 (X2 + 1)"2 2 3

2

x

I

0

1 "...•-osin"x+1

I

o

dx s; ff(x)dx~

f.

OSlO"x+l

3 I

deci inegalitatea este echivalenta cu ~ I

< I' _1m

_I

I

If(X)dx

f

:5

I

1 l=lim. "...•-I+sin"1

t

J( -t)f(

l+s1O"1

~

s'( a) = f (a + 1) - f (a) = 0, Va e JR => functia g este constanta, adica ceea ce trebuia demonstra I

1.

I

I

o

0

n + I) fx·.Jx2 + len+ J2 -(n -I) fxn-2.JX2 + len = 2J2 -(n + 1)1. -(n -1)In_2

=:>

68 .

• 276

21

alta

de

pe

parte

0:5:1

I

x·+1

Ifxn+1

O~ f.J

dx:5:-dx

02x+l02

1

I

jx·J2dx=--=> n+l

0

lim In =0 •..•-

~i

n+1

---.,---:- => lim f_x--dx 2(n+2)

J2

I

:5:

n

=0.

•..•-02.Jx+1

in [mal n..• lim nI n = .fi . -eec If

e

e

69. a) fX'/(x)1x= I

fX'lnxdx=~lnxl~ I 2

e

e

b) fl"(x)1x+n I

e

e

'f2.

a)

4 e

rf

2"

= flcos2xldx= o

s.

s:

4

2

fcos2xdx-

fcos2xdx=l. s:

0

4

e

fl"-I(x)1x=

fx'ln' xdx+n fln·-I xdx=xln'

I

I

xr -n fln·-

I

I

x+nfln'-I

I

x=ee.

I

22x dx- bl Y- = 1{If COS ~

1f

Ifl+COS4Xdx=1f[~II 2 2 +.!.Sin4xJI]=1f2 8 0 4 .

0

0

0

c)

I

1 0:5:ft'e dt:5: ft'edt=_e_=> o 0 n+1

...• 1.11

relatia

II: l.

e

"4'+a)

J

f

=> lim I

n..• _ 0

fl"+l(x)1x+(n+l)

fl"(x)1x=ee

I

I

I X,,+l

I

xn+3+ X.+I + xn

o

x +x s I

f

= OXf 3 +x+I - X

I

n-H«I

3

=

0

(n-l)

o

trecem

la

n--++co

!!. 4

1C

'4

==(n-l) Jcos·-2(2X)(I-cos2(2X))dx=

n..• -scc I e

n

(x)dx s:

lim fl"(x)1x=o.

fl"-2(x)dx-(n-l)

fl"(x)dx

0

0

de unde cerinta. limitA

.

70. a) In+3+In+I+I.=

b) In+1- In

lim ft'e1dt=

e

n4>+co

II" o

I,

n+I . e e (x)1x+ lim -. lim n fl" (x)1x = e" => lim n fl" (x)1x =e' .

n+1

s: '4 Jcos· (2x)dx = sin 2xcos"! 2xl: + (n -1) jSin2 (2x )cos·-2 (2x)dx = 2 1C

.!!

0 I

Q

- f~=~. 12

ft'e1dt;

=

I

u: •

1

2

Inx=t I

c) fln' xdx

i ~

e

2

2

73. a) j.t;(x)dx=

1

I

2

jl+(:_x)dx+

!1+(X_l)dx=2ln2.

I

1

dx=--. n+1

b)

Fie F

primitiva

0

1 , X E [0,2013] I' () 2014-x 12013; F '()X = J2013 X = 1 '. --=-=-=-, x> 2013 x-2012

oarecare a lui

1

n

12'XE(0'2013)

dx s; 0, '
F"(X)=f'2013(X)=

1

c) Avem 0:5:In :5:fx·dx = _1_ o n+l

{

=> lim In = O. •..•-sec

(2014;X) 2,x>2013 (x-2012)

,deci F este convexa pe (0,2013) ~i concava pe

(20l3,+«» . Pe

de

alta

parte

3In+3:5: In+3+ In+1+1. =_1_:5:31 => __ 1_:5:1 :5:__ 1_ n+1 n 3(n+l) • 3(n-2)

c)

. 3n lim n f I. (x)dx= n

n .....•+rc

I

. 3. lim n f --dx= X -

n-++oo

3,,-1

3n-1

n +1

.

(2n + lim nln -2n

n-++
I) _--2'I

74. a) F' (x ) = I (x ) > 0, '
b) /.+1 -I.

1

= f(x·+ -x·).Jx+Idx:5:0, o

c)

'
_ If

x2 + 2 0(x2+1)(x2+3)

+....E.-) .

dx =.!. 1((_1_ + _I_h = .!.(!!.. 2~lx2+1 x2+3T 2 4

Din teorema de medie pentru integrale aplicata functiei 2x 2x

ca fl(t)dt=(2x-x)/(cx),deci

• 278

x~x

fl(t)dt x

I: [x, 2x] ~ lR, exista Cx E ( x, 2x) astfel

(2x-x)/(c) x

=}~'!

3J6

) x =!~/(cx

=1.

Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE

X(P)· X(q) = X(p + q + pq) P,q E R \ {I}~ (p + I)(q + 1)*- 0 ~ p + q + pq

lema 4.1 Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

pentrUorice X(p)

Testull

(30d e puncte)

SUBIECTULI (I + i)z

2i

2p-

f(x) = g(x) ~ x2 +3x+2=O I XI--I~ YI-

2p 2p Ip 2p 2p Ip

2~Y2 2<+1< 22

x+IS2 S - (-00, I] 4.

P = nr. cazuri favorabile nr. cazuri posibile

Numarul submultimilor cu 3 elemente este C~= 10 ~ 10 cazuri posibile; p = ~ .

6.

2p

c)

)

A~(: !J

c)

2.a)

3p 3p 3p Ip

2 detA=O~1.1 I

~I

X(p)

Ip 3p Ip (30 de puncte) 3p 2p 2p

limf(x)=+00 x"''''

x

.ex hm-=+oo x..•_ 6 g:lR~lR, functia

g(x) pentru Rolle lui Sirul -00,16 a, 16-a, +00 Ecuatia are trei solutii reale distincte daca ~inumai daca a E (16, 16)

3p f(x)

F'(x) f(x) pentru orice X E (-1,+00) f(x) > 0 pentru orice x E (-1,+ (0) F este strict crescsroare I I I dx vex) dx- J 2x+3 dx= J~+ J-= ox + 1 - 0 (x + 1)(x+ 2) 0 x + loX +2

a este

3p 2lp Ip Ip 2p 3p

I

r~

r

2p

=In(X+l)\~+ln(X+2)\~ =ln3 c)

detA 3m 6 Sistemul are 0 solutie unica ~inumai daca det A*-O Finalizare m E lR \ {2}

X(_1-)esteinversullui I+p

.ex lim_e_-lim~= lim-= x"'_ f(x) •..•- 3x2 12 x"'_ 6x

(30d e pune t e) 2p

I

2p

j'(x) - 3x3 -12 j'(x) > 0 pentru orice X E [2,+ (0),decifeste crescatoare pe [2,+ (0)

x

II)

2 I

b)

,...

3p

SUBIECTUL alII-lea

p )=X(O)

aUL a 1111lea SUBIE ;;..-

2p

4p Ip 2p

u·~=3¢:::>a+2=3 a I AB2 + AC2 _ BC2 cosA= 2·AB·AC cosA =_1 5

l.a)

3p

(x(P)i + Ii -I) (P + 1)3 = 8 , deci p = I ~isolutia este X(I)

II)

Submultimile cu 3 t~rmeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: {I, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5} ~l {I, 3, 5} ~ 4 cazuri favorabile

s.

p) astfel incat

= X(7) = X«P

(x(P)i

Ip

0

X2 3.

G , exista X(-I:

J!-*-_I~X(-1-)EG~i -1+P l+p

~

1211-2

2.

E

*- -1 , deci X(p + q + pq) E G

Examen Bacalaureat, iulie 2012 X(P).X(-I:

1.

Ip 3p 2p

Sotutia este (xo, Yo' zo) - (1,1,-1)

f(t)dt = (2t -In(t + 2»

lim

x..•_

2x_In2x+2 x+2 x

x

= 2x -In 2x+2 x + 2 ' pentru x > 0

3p 2p

2

po

:E I

< U

*- 0 , deci matricea sistemului are rangul doi

{2X+ y=-3a z=a~ ~x=-a, x+2y=-3a 2 2 2 2 xo+Yo+zo=3~(-a) + 2 +(_a)2 +a =3 ~ a E {-I, I}

y=-a

.

2p Ip

Testul2

Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva

(30 de puncte) ~ 3p :E

SUBIECTUL I 1. (1+2;) =-3+4; ~J[p~art~e~a~re~al~a~e~st~e~eg~a~~~c~u~-l3

~ :E

2 ---------------~~~

•

281

2. I x,

+X2

=3

pare radacinile

=a

p

1, 3 ~i 4

== (X - l)(X -3)(X -

f(i) == f(3) , decifnu Imfnu

3p

4) = (X

+4)(X + 2)(X + 1)

2p 2p

este injectiva

poate avea 5 elemente, decifnu

este niei surjectiva

t;"ECTUL allll-lea .

3p

(30 de puncte)

3-9x (x2 +3)~X2 +3

~f'(x)

4p

Finalizare lim f(x) == 1 I

~ 3p

.1'--++00

vTt:ill'l4

U" """at'" r - , "~L';asimptota

orizontala spre +00

~

x-+-
,l'--+-t
Din monotonie, valoarea maxima a functiei este

Ip

M3~ sinx+2eosx=3eosx

2p

I

sinx=eosx

Ip

I

x=!!.. 4

2p

I

este derivabila ~i F'(x) = lnx, pentru oriee x >

~

f(t)

2p

= 2J7

Ip

Imaginea functiei este (-1,2J7) 6.

2p 2p

lim f(x) == I, lim f(x) =-1

°

J

F'==f

b 2p

rt)

2p Aria este egala eu ~ In xjdx = 1

== F(x)

3p

I~1

Ip

e) (p+l)IfP(t)dt

= It,(p+l).

fP(t).~t

=

lit

= It. (lnP+1)'dt

3p ;:)

---1

b)

~

I~~I

;:) V

•

Exista minorul d =

'"

!AI

rangA(O,l,x) = 2 <=> D(O,l,x) = 0

>C CD

D(O,I,x) = 6x(x-l)

Z

!AI

"" d

c)

•

% V C

Z

• 282

~ x = 0 saux =1

I I I

Ip Ip

2Jl)

= xlnP+1

1

3p x- IlnP+1 tdt 1

Ip

2.T

Finalizare

3p

+ nIX + 4 = 0 are solutia x = 2 ~ m = -4 Pentru m = -4 eele doua multimi sunt egale

I x

2p 2p

b 3 x =-_-_ v 2a-2

i

I .\ = 1

I 2p

I !(3).= 6

(30 de puncte)

2

Ip

f(l) = 6

6(b - a)(e - a)(e - b)

Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea spedala

SUBIECTULI

2p

D(a,b,e) = 0 ~ a = b sau b = e sau e = a deei triunghiul este isoseel

=

Testul3 1.

I 2p I 2p

D(a,b,e)

o u:

~

= 2 ~ 0 ~ rangA(O,l,x) ~ 2

D(a,b,e) = 6 ·Ia b e a2 b2 e2

!AI

Q Z C

tl~ - IlnP+1 tdt

Finalizare

A.

u:

1

Ip

z -e ii2 !AI

= t ·lnP+1

+,P 1

Y v

Ip

=_A=_l.

2p

4a 4 Conditie: x> 0

310&,· < 3° <=> x < 1 xe(O,l)

2p

.

2

p!C

Ip

I

~ ~ ~ !AI

~

• 283

nr. cazuri favorabile = nr. cazuri posibile

4. P

2p-

?" .
m= 11

2p

rn 1

hF

?"

Q\

sunt 90 de numere => 90 de cazuri posibile

5

P=18 5.

3

6.,

~)

a2 - 6a + 9 = 0 a=3 SABe

~

R = abc

2p

4S

l.a)

Ip

[-I [-I

A(;rr)= ~

...• 1&1

~

i;:)

o u..: • ~

::

A(;rr)= ~ b)

;:)

[,",,(x+

•

z c ii2 1&1

A(x+ y)=

::E • ;:)

Finalizare

A.

c)

U

In 1&1 Z

~

IIC

•

1&1

I z c ::E

• 284

I 0

o

i'in(X+ y)

0

I

isin(x+ y)

o

0 cos(x+ y)

y)

1

Ip

l.x 2 "2 2.Lx_l-x+1 2 2 Finalizare

3p 2p Ip

+ e' +

X

3p Ip 2p

..

,

pentru orice x e R

2p

I "(x) > 0 pentru orice x real, deciI este convexa e.fX + e-Ix e.fX + e-lx g(x) = 2 =>g'(x)= ifx pentru oricex> 0

2p 2p

x> 0=>..Jx> 0 => e.fX > e-lx

2p

g'(x) > 0 => g este strict crescatoare pe (0,+ (0)

2p Ip

1C

2"

2p

Ip

I

Ip

b) II

,

-

3p

r

II

=-~~(I-x2)31:

II

=3

Ip

1

c)

2p

1C

2"

'5

0

3p

I

Cu schimbarea de variabila sin x = t obtinem J2n

'--

i I

J2n -J2n+2 = fSin2nxcos2xdx

2p

!l--

= fxJl-x2dx 0

-

-

t,

0

JI =1

2p =x , pentru orice x e G

tel

eX _e-x

I

, pentru orice x, y e R

= x pentru orice x e G

x~+«>

"2

2p

I 0x

e' + e-x

x

JI = cost

x- kx k Z -1006' e xol= 2

X-H"(I)

rIm---= 2

0

Ip

x·- I 2 2x.l-x_l+1 2 2

(30d

JI = fsintdt

A(2012x) = 13 ~ cos(20I 2x) = I ~isin(20I 2x) = 0

2.a)

Ip

pentru orice x,ye G

I'(x) = eX~ e- pentru orice x e R

2.a)

1

A2012(X) = A(2012x)

pentru orice x,y e G

= (X-I!'-I)

rIm---=2x

f(x)

f"(x) =

2p

0 i( cosrsin y +sin xcos y) I o ,V'x,yeR; 0 cosxcosy-sinxsiny

)(;-1)

= (~-I

rIm--=x

---""}

c)

i(cosxsiny + sin xcosy)

;:)

""ci

0

~J ~J

r

3p

[ cosxcosy+sinxsiny A(x)· A(y) = 0

o u

1&1

0

(30d , --

(x-I)(y-I) xy

Ip 2p 2p

-0 b)

0 I

y) = --I = xoy

--- --~V"'·--- - --1111-1

8

ULalll-1

0

3p

1

0

l(x)I(Y)

x~+oo

R= 25

Ip

, " 1 = x x, pentru once x,x e G

•....

I~

=12

l.a)

x'x

xox,=l=>x'=l-x 2 x e (0,1) feste biiectiva I(x

2p I 2P

a 2a-3

~=

xr '

t

x x = 2' , 1 = 2' , xx-x-x+ x x-x-x+ 0

ab cu a,b e {1,3,5, 7,9} sunt 25 de numere => 25 de cazuri favorabile nh ""

'b)

-

J2n+2 = ft2n• Jl0

t2 dt = I2n

~

s ~

s

• 285

2p

Testul4


SUBIECTULI 1. IOg2(J7 + J3) + IOg2(J7

-J3)

= IOg2(J7 +

2.

Finalizare f(x)-O~x

3.

Distanta este egala cu 3 Notlim 3x = 1 ~i obtinem 1+ 31 = 4

Ip

J3)(-J7 -J3)

2p3p 2p 3p-

Isaux--4

I-I~x-O

4.

(Fx J

i 20-i Thl = C20. X .

I

2p 2p

i 20-i= C20 . X i2

5.

md=-2

Ip 2p

3

Ecuatia paralelei este Y - YA = _l{x-xA) 222

-'

6.

1&1

I!

adica

j,

= _lx+!1

,,,,)

....-

--

b)

c)

2",)

feste derivabila pe JR ~i /'(x)

2p

b)

•

SUBIECTUL alII-lea 1.a) detA=

(30 de puncte) 2p

-I

a

I

a+2

a

a+1 =

a+1

2a-1 a

2a+4

= 3a+3

a

a+l

2a-1

3a+3

c)

a

2a+4

= (3a +3) I

a

a+1

1 2a-l

3

3

1 =0 0

a

2a+4

0

-a+1

a-I

-2a-13

r

Sistemul este compatibil detenninat

o~

detA c)

a

E {

~ detA"* 0

3p

x-+-oo

1 '

I = X· eX dx = _ex 1 120 e-l 2

2Ip =

1, 1, - 3}

Ip

2Y =1 -2y-z=1 X

a=-2=>

-

-x-5y+3z=2 X=--

286

4p

1 4 1 y=-z=-9' 9' 9 A

AS

A AS

A

AS

A

AS

A

2.a)

o

b)

f =X8 +X4 +3X4 +3 = X4{X·

c)

•

AS

= 0,1 = 1,2 = 2,3

'I'

1

xP-'{2xer')dx

= 3,4

=

+1)+3(X4

+1)

2p

f = (X· + i)(x· +3)

3p

f(O) =3

Ip

3p

= ..

1( ,

I

er' )xp-'dx = xp-ler'lo - (p -1)

continua

functia

1

3p

er' xp-2dx

2p

f: [0,1] ~ JR, f{x) = xer' sirul

0 ~i punctele intermediare

n (I'en--, + 2e -;t2' + ... + ne"--,.' ) =lim-·I-·e . Ink X-> __ n

hi

I If• = lim _. X-> __ n i=1

(k)- = IJf{x)dx n

0

n

!

n

E [k

de

diviziuni

Ip

-I,!]

n

n

(il' - =

2p 2p

= e- I 2

I


•..

$UBIECTULI

~

1.

-24:'>x+l:'>24

2.

-25:'> x:'> 23 CardA = 49 2x-I= -3x+l

Sp

=4

'

-1)Ip_2 => 2Ip +(p -1)Ip_2 = e

Considerlim

TestulS

X-++CIO

2p

. I lim-· X-> __ n2

1-

2p

ecuatia are solutie /'(x) > 0, ' f este strict crescatoare => f este injective, deci solutia e unica

n i=O,'

Ip 2p 2p

2p 2

ID 2p

2p

Finalizare b)

X

s, = (!) _cu 11,i.11 ~ 1

+1

3p

/,(0) =1

deci

2Ip = e-(p

3

3a+3

= X-> lim__ x+,jx

x2 +1

X-> __ lim(f{x)-2x)= lim{,jX2 +1-x)=O x->-V - 2x este ecuatia asimototei oblice sore + f este surjective

Q

~

2

lim f(x) x->-- X

=

,,

= I+ ~

lim f(x) -I = lim f(x) - f(O) x->o X x->o X - 0

3p

BC = AB =>C=.! sinA sinC 2 m{4:C} - 30°, deoarece m{4:A) > m{4:C}

i:)

3p

(30 de nuncte) 2p

SUBIECTULallll-lea ::----

2p

20-k-!=14~k=4 2 Rangul termenului este 5

1

Finalizare

(30 de p uncte) 3P=-

x=2x=.! I

'2

I >0(

U

3p 2

Punctele de intersectie sunt ( 2,3) ~i (~, 0)

2p

~ ~ 1&1 ~ ~

• 28j

3.

= 1+3x+ 3x2 +X3 x(x +3x-4) = XI = 0, x2 = I, X:J = -4 1+ 7x

4.

5.

Ip

Alegem 2 numere impare din cele 5 in

10 20 Ip

-31

~ 2p

....-

2p

.

c)

1 .Jj

=> smx=

-

1&1

I

~

d=

...• ac

i ::;)

2

m

Q

I

I

I

I I

u.: •

b)

0

c)

::;)

•

::;)

Z

c

2.a)

« 1&1

A.

~

•

b)

::;)

v

'"

Z

ID

m2

1

1

m

I n - I n+l =

1

x2(1- x2)" dx ~ 0 pentru orice n, deci sirul este descrescator

(x. y)* z =.l(x-l)(y

-I)(z -I) + 1 ~i x* (y 4 Finalizare: legea este asociativa

2p 2p

Ip

Finalizare

Ip 2p

* z) =.l(x-I)(y 4

-1)(z -1) + 1

Ip Ip

x*e = x <=>x+e-xe+

3p

2

x -3x

1 = 2x <=>(e+ I)(x-I) *X

= 0, Vx E lR ,deci e =-1

= x, Vx E lR

I

"" C

Ecuatia x * x * x = 3 este echivalenta cu (x - 3) (x2 + 3) = 0 => x = 3

I

~ V -e

0

ac

z C

• 288

3.

2p 2p Ip

b Axa de simetrie a parabolei . este dreapta d'e ecuatie x = Xv = - 2a

2p

X-~E

(30 de puncte) I

5.

2p 3p

{(-It

~ -n(n

~+klflk

n(n-I) =--2-

n(n

1)

a 1 -=1 2

.

2

2p

~~

I

1)

c;

a=-- 1

3

3p

E

z}

3p 2p

2

lim x -3x+2 =-1 x3 + 3x+ 2 -

(30 de puncte)

x E {f,lf}

>0

f(-x)=-x3+3x+2

f'(A) = 3A2

Ip

2

4.

x-.__

b)

I


_m =2=>m=-4

3

~

=

Rezulta ca 2 este singurul numar intreg din intervalul dat

3p

SUBIECTUL allll-lea l.a)

2.

2p

~

Q

-I](l-x2)"-'dx

2
4

1&1

z

x(l-x2)"-'.(-2x)dx=

Ip

+3x+3

x*x*x

•

l

In =X(I-x2)"I>n

SUBIECTULI 1. I<..fi <2

Ip 2p 2p 3p 4p

Trebuie sa aratam ca exista e E lR astfel incat x * e = e * x = x , pentru orice x E lR

3

3p

In ~ 0 deci sirul este marginit inferior

Testul6

ac 1&1 I I

Ip

= -(m3 _1)2

Daca sistemul are solutii nenule, atunci d = 0 In acest caz, sistemul se reduce la x + y + z - 0 Aceasta ecuatie nu are solutii cu toate componentele strict pozitive Pentru m - 1, rangul este 1 Pentru m f. 1, rangul este 3

c)

3p

- -2nIn + 2nIn I=> (2n + I)In = 2nIn_ Vn ~ 2 "

3p

Verificarea relatiei (-1)

1&1

-c

(30 de puncte)

m2

Finalizare: m - 1

~ ~

0

m

3p Ip

lx4dx=

=

+x;)I:

= -2n n(l-x2)

I

I

m are trei solutii reale

Ip

I

SUBIECTUL alII-lea 1.a) 1 m

ca ecuatia f{x)

I

2p

--00

=15

2p

.Jj

(If)

= 4, x--++oo lim f(x) = -t«J, lim f(x) x--+~

8

2 . 2 1 sm x=3

XE 0'2

-I)

12 = lldx-21x2dx+ =(X_2;3

± 1

smx=

°

= , f(

f(l)

2p

1 + 35 Ecuatia me diiatoarei . es te y = -3x

.

~

3p

f' (x) ~ 0, 'f x E [-1, 1]=> f este descrescatoare pe [-I, I]

Din studiul variatiei functiei deducem distincte daca ~i numai daca m E (0,4)

2p

Alegem un numar par din cele 5 in 5 moduri Sunt 50 de submultimi Mijlocul sezmentului are coordonatele (2, 1)

cos2x=I-

~

3p

C; = 10 moduri

Dreapta AB are panta 3, deci. me diiatoarea are panta

6.

--

Ip

°

2

12 => n - 4

2p 2p Ip

0-

~ I

3p 2p

~ ~ I

8

6.

ip

-

y

x 1

A(X)A(Y)=[:

X']['

0

b)

X']['

Y'] = ['~

1

1 2 X. ~ 1

2:

0

0

x-y

A(x)- A(Y) =[:

= 0

[0

0 0

o

0

2(X + y)

0

1

(A(x)r'

=[:

1

b)

:) IJ

Z

-e

O

2(xt']

I~O

A= !'1/~)ldx=-!,/~)dx,deoarece

a::

1&1

""c::i

c)

2p =1-2102 2

2p

= 0)

c)

Ip 4p

!'I" (x)dx

3p !'(2x-3)'r

=~

(x)dx

= ~(2x-3)(X2

-~ !'(2x-3)2 nr-I (x)dx =

x' ]

= -i f(4X2 -12x+8+1)r-l(x)dx 2p

1(-1)-0

3p

Polinomul

IJ

::z:

coniuzate

Z

Conform punctului b), rezulta

CC

o a:: Q

Ip 2p

=- ~

+ a +(a - 2)i E IC[X] are doua radacini distincte complex

Testul7

~i a+(a-2)iElR,

de unde a=2,

care

• 290

r

i:' (x)dx,

de

unde

2p

(30 de puncte) 2p

•

24 = 6g'

2.

Ip 2p

Ip

q=2 l-a2 =0 a=1 sau a=-1

(tr

2p 3p 2p Ip

=(%f

2p

Deoarece "2 3 > l , inecuana i . d evme . x <-x

convine

c

2p

Z

;

r(x)dx-i

-


SUBIECTULI 1. b) = big' .b, = b,l

3. aElR

r

-3x + 2)"[

concluzia

Ip

2p

+a+(a-2)i)

.

1&1

Ip

Radacinile lui g sunt de forma XI = U + iv ~i x2 = U - iv , unde u, v E lR Din relatia lui Viete rezulta XI+ x2 = - P si XIX2= q p - -2 E lR ~i q = u2 + v2 E lR

h = X2 -aX

[1,2)

Ip

-~x =A(-x)

1 -(X +1)(X2 -aX

peintervalul

2p

~i numai daca II< 0 , de unde p2 < 4q

l1li1

3p

+-

2 2 = x-++«> lim x-I = 2

2p b)

Ecuatia. X2 + px + q = 0 , cu p, q E lR , are solutii distincte complex conjugate daca

III 1&1

-x

-2

Ip

I( 1)--I+I-a-i(a-2)+a+(a-2)i Finalizare:

( x+l )-1 - ( x-I )-1

2p

4p

0

2.0)

2p

1 (x)

Ip

Matricea A este inversabila

-x

Ip

continua pe (1,00), deci nu are alte asimptote verticale

= A(x+ y)

X'-Y']

(A(x) - A(y))) = 0) ~ (A(x) - A(y)tll c)

2p

este asimptota verticals

Cu regula lui I'Hospital, limita este x-e+ee lim

4P'

2 (x -y)

0 0

(A(x)-A(y))2

(x+ Y)']

I

x=1

2p

1, de unde conc\uzia

= Iim 10 x + 1 = 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala spre +00 x-+-+aD x-H
Ip

y']

x+y

y

x

[:

1este

1 2y 1 0

2t . ~

x>

, ••••1

~ (30 de puncte)

SUBIECTUL alII lea 1.0)

< 0 pentru orice

lim 1(x) = +00 , deci

Ii;-

1

sin2x

I'(x)

2p

sin" X + cos" X =2 sinx·cosx 1 2sinx·cosx

SUBIECTUL allll-lea loll) f'(x)=_I x+l

S =(-00,0)

I_=--=:L x-I x2-1

4.

Th' = c,ko,fik,k E {0,1,...,10}

2p

• 291

,. 2p Ip 2p 3p

T.+l E IQ>ee- k par

Sunt 6 termeni rationali 5. I BC: x + y -I = 0 12+2-11

Ji

Distanta este 6. I

cos

600

3 =.fi

2p

=2"

AB·AC·cosA

2p Ip

=

=10

(~

(30 ,

.

. ~J=(~

~J(~

( A'

4p

...•

~JEH

f = A2, = ( A2 r =

~ ~

::;) Q

u:

·

C

A.

b)

::;)

o u •

::;) Z

iiC 1&1 A.

c)

::E • ::;) v

:3 z

Restul impartirii polinomului fla

X - i este f (i)

c12:i2P(I + (-It) = 2C12: • (-JY E IR , pentru

1.0)

limf(x)f(2) 2 x-2

Testul8

Iz + il = Iz - iJ

3p

3.

(30 d ~ c --

-

4.

6.

f" (x ) = 20x3 se anuleaza in 0

3p

Deoarece f" are semne opuse de punct de intlexiune.

Z

c)

==14 ==2 x2+x+l-y==0

1D

el este convergent

I"

I

2p 1p

~=4y-3~0

2p 2p

1m! ==[%,+00)

Ip

3

b, =2"

2p

l

2p 2p 3p

log. x ==log. 9 -log.

8

md ==-2"1 ~ md· ==2 unde d 1- d' Ecuatia dreptei d' este y ==2x - 4

2p

=1'(2)

=

9 9 log x ==log - ~ x ==• •8 8

)

1p

Q

2p

3p

-,

1'(2) = 75

~

,deci~irulestecresclitor


==4 b7 =96

2p

1&1

b)

2p •

e-xdx =,!, _1.. <'!', 'v'n E N' , deci sirul este marginit e e" e

\l-i~\==~I+(~r

2p

2p

•

1t· e-' dt ==

\~ ___

2.

x ...•

:z:

r

r

I" (

Deoarece sirul este monoton si marainit

I--

1p 2p

J'(X)=5X4-5

292

c)

1.

""ci

•

L.---

5.

1&1

c ::E

==-,!,te-'\' +,!,le-'dt==e-2 3 0 3 3e l 1,+1- ,= g x 3) dx= e" xl dx~O,'v'nEN 1

1p

orice p E {0,1,2,3,4,5}

Daca z este rAdlicinli, atunci (z + iYo = -( z - iYo , deci

SUBIECTUL allll-I

CIC

2p 3p

L..---

3p 4p

2p

Punctul de afix z este egal departat de punctele de afixe ±i , deci apartine axei reale

~

v

Cu schimbarea de variabilli x ==t se obtine ~

3p

=_210

10 10 I= L(ClkaXIO-kik + ClkOXIO-k(-it) = LClkOXIO-kik(I+(-it) k-O k-O a2p+1 = 0 E 1R, pentru orice p E {0,1,2,3,4} a2p =

c

3

0 ~J apartin lui H pentru orice x E IR

f(i)=(2iYo

'j

e

SUBIECTULI

Finalizare 2.a)

2p

e-I ==--

2p

. C

Matncele

1&1

\...---

=

~J

= A' , deci A' E H c)

2.0)

~---'-I

1p Asadar (~ b)

19(x)dx= le-xdx=-e-x(

L--

o ~ I, s

111-1

1.0)

2D 3p

Finalizare

1-bf

1

AB·AC=

..-

2p 3p 2p

cos' x==1-sin2 x=,!,

Ip

cosx=±,!,

2p

9

3 XE(%'1l')~cosx=-~

0

parte ~i de cealalta a lui 0, rezulta cli 0 este

2p

J'(x) = O~ X4 -I = O~ X= ±I

1p

Tabelul de variatie a functieij"

2p

~

Ip SUBIECTUL al II-lea 1.a)

(30 de puncte

[0 -4 16]

I A(2)-A(O)= (A(2)-A(O)/

0

0

-8

o

0

0

2p

A(x)A(Y)=

c)

I

[

4l +8XY+4X -4x-4y

1

o

2

j

A(x)A(-x)=A(O)=13

2p 2x

4X2j

1 0

4x

...•

x*l=l*x=x 2

'"... IX

2

'

Legea "

* •.are element

neutru e =

u:

·

C Go ;:)

c)

0< x' < 1, deci x' e G Justificarea faotului ca functia

~U

x*y

•

~

a

b)

~

~Z

v c

I'tm

Q

"--+-

~

294

I

c)

0

x +1

Ip = Ip 2p 2p

X 2 + 1 divide ( X2 + X + 1)4"+1 - X

c)

Ip 2 (x +x+lt"+I-x=g(x),unde x2 +1

geZ[X]

1 (x)dxeQ

= I(x*

2p

y)

Testul9

(30 de nuncte)


2p

(30 de puncte) 3p

SUBIECTULI

n-I =

1. I ((l-i)(i-l))4

= (2i)4 -

16

2. I

n-5

_4_)" n-5

=e4 1(2) = 1,/(3)

2p Ip Ip

X 1(_x)=1n3+3-x , I

n+1 -1 J" --- lim n-I " (()II( n) - 1 - n--._ ( n - 5) -

= lim (1 +

Z C

o

J-2-dx

10_!E.¢Q =3 2

x-5

l(n+I)-1 l(n)-1 "--+-

o IX

2

Ip (X-l~-I)

"--+s =6

~

I

9

=lim(x-2)(x-3)(x-4)=

IX

I

=lQ.-2IJ~= 2 3 0 x +1

xy

I(X)/(Y)=(~-I)(~-I)=

"--+S

Z ~

•

biiectiva

SUBIECTUL allll-lea 1.a) lim/(x)-/(5)=

~

lp

3p 2p 2p 2p

f i x» y)=_I __ I= (x-l)(y-l)

o

~

f este

Ip

)2

12 -10 = J x + x + 1 -1 o x2+1 dx=

lp

Orice element din G este simetrizabil si x ,= 1- x

V

I( 2

b)

3D

i

0

= 1n2 2

42

J(x2 + 2x+2)dx-

b)

~

+1

1)\1

Ip

2p

VxeG

Q

=11n(x2 + 2

10=!E._1n2

0

Verificare

i;:)

1! '4

2p

1

oX

-

2.0)

J x2 +1

=r

Ip

II

=arctgx 0 =

J+dx

det ( A (x)) = 1 *- 0 , deci matricea este inversabila

o

I'-!-dx

hi;

Ip

dx=

o

lp

[

este de gradul trei rezulta ell f'(x)

10 = x2 + I o

I-

2D

0

r\

(2,3),(3,4),( 4,J J

pe intervalele

IJ1-X

3p

Finalizare

£1(x)=A(-x)=

~.II)

1

0

1

I

Din teorema lui Rolle ~i din faptul ca f'

lp

-2x-2y

0

[2,3],[3,4],[ 4,5~

exact trei solutii reale distincte

2p

(A(2)_A(O))2010 =03 1

pe intervale Ie

Iderivabila \..--

=03

b)

Ocontinua

Ip

=1n(;::r

I(x) Ip

3. I x2 + 2x -8 = (x - 2)(x+ 4)

=

= 1,/( 4) = 1,/( 5) = I

=-1n;::=

x e (-4,2)

2p Ip

(-4,2)

la

IlZ =

{-3,-2,-1,O,1}

2p 2p

•..

~J Ip 2p

2p Ip

I

•

29

-4.

S.

25 de numere sunt divizibile eu 4 20 de numere sunt divizibile eu 5 5 numere sunt divizibiie eu 4 si eu 5 Deci 40 de numere sunt divizibiie cu 4 sau cu 5 Fie Q(a,b).

MNPQ este paralelogram I

1)7+(b+2}]

(a

Avem MQ

~ MQ

~i NP-27+3]

NP~a

1- 2 ~i b+ 2 - 3

Punctul cautat este Q(3,I)

6.

2../14

AABC

.~IECTUL

Ip Ip Ip 2p 2p

AD= 4.Jl4 5

V)

limj(x}=!!:' x-+OO

~

4

2p 1 2X2 + 2x+ 1

2p-

~

f'(x}

Ip-

~

2X2 + 2x + 1> 0 pentru orice x real, deci f'(x)

3p

~

Functiaj este strict crescatoare pe (--
2p

'C)

r(x)=

2p

2.11)

2a

E

a.b

3>0,y

31

3a >O,z

Ip

a>O~

= In

2p

b)

=(2x-lnx)\.

=2-ln-n-

n+1

Ip

3a-~

b)=( a -a-3b

> 0,

Vn

E

N' , deci sirul este strict

2p

1 < I. < 2, Vn

3b+a J -b+3a

c)

n

2p Ip

E

N' , deci sirul este marginit,

limn(2 -I.) = limnln n +

?h+aA J = (6A 6J A = b ~i ?h = -a . A daca 3a -b+3a 0 0

r

n-+IXI

"-+00

Ip

(-:-~

2p

2 1)\ = In n -;-2n + 1 = In(1 + _2_1_) n n+2 n + 2n n + 2n

1<2_lnn+l<2 n

3p 2p

Deci multimea A are 25 de elemente.

(t

l
Ip 2p

5.

Zs ~i card Zs

!}(:b

2p .+1

crescator.

Ip

b) (~i

}u

-I =lnn+l_lnn+2= .+1. n n+1

{2,3,4, ...,10}

E

2--:;

1

este punctul de inflexiune al functieij.

I

Sunt 9 solutii in N x N xN . 2.0)

.J

.+1 (

I. =

20 3p

=a

3
Ip

2,x;t-l

Din tabelul de variatie rezulta ca x = -~

2p

Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat De exemplu, luand z a necunoscuta secundara se obtine 'x = 2a - 3,

x

2p

lit \ {-l}

2p

-2(2x+l)

121= 7 (sau orice alt minor de ordinul2 nenul), deci rangul matricei A este 2.

c)

E

r(x)=O~x=-~

3p

0

y =31-3a,z

> 0, Vx

Ip

(30 de puncte)

I~

b)

2p orizontala spre -toO.

(2X2 + 2x+l)

SUBIECTUL alII-lea det(A}

3p

% este asimptota

Deci y =

. 1.0)

(30 de puncte)

allll-lea

= lim In (1 +.1 n-+OO n

n

1

2p

=

3p

= In e = 1

2p Un exemplu: M = (iA

lit W

CIC

IU lito

I c) Daca X =

ci

•

IU

:z:: v c z

Testu 110

-3 1

Z

c CD

~J .

si xy

()

X

Y

-y

X

atunci

X

X2 = 12 ~ (

2

-y

A _2xy

2xy J=(~ x2_/

Z C

~

•• 296

SUBIECTULI 1.

=

4~

Y

E

{2;3} ; daca

y = 6 ~ x2 = i ~

0 CIC Q

?J~X2_y2=i 01

=6

Daca x = 6 ~ / .. Obtinem rnatncele

Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva

Ip

2

A02031040 A) (AA A) A) A A) A' (A A A' A' (AA A ( -2 0 -3 0 0 1 0 4

X E

{i;o4}

2p 2p

T

t

(iJi-l

~

2p

c v

2p 2p

~ ~

I

+2(iJi-l)+3=

I

I

I

I = 2i2 - 2iJi

I

I .

L

I =0 2.\

•..

(30 de puncte) Ip

+ 1+ 2iJi

j(g(x))=2(x2-a}+a= =2x2-a 2x2-a>0~a<0

- 2+3=

Ip 2p

w

~ ~

•

297

---

3.

=x+1

~

2p

Asimptota oblica este y

lp

xl-3x+2=(x+1)2(X+2)

2p 2p

l(x)-/(-2)=l

IX-11=x+I

x 4.

=

°

0,3, 6, 9, ... , 2010 suntinprogresiearitmeticacuratia3. Numlirul termenilor este 67 I.

[Be]

S. I Mijloculsegmentului

m ~

7

6.

Eou* modi•• ,; "Ie y ~ 4%- . . .E. = sin (!!...-!!...) = Sill 12 3 4

I

x->-2

Deci

2p

. In (Xl _ 3x2 + 2) lim In l x->-2 X

Cu substitutia

(30 de puncte)

x+z=-I y+z=o

~

~ YI a::

b)

I

l-

I

i:::)

-2

Q

u.:

f :::)

-1

-2

1/ =

I

A=2.

•

'5

I

c)

2a

f)

.

Z

aelR\{±l,t}

a:: YI

A.

2.0)

~ • :::)

°

Z

~ a:: YI ~ d

c)

lp -I

!

z C( ~

• 298

2p prirnitivll a functieij,

0

I(Y)

= 1(2;r-

atunci F'(x)

=

cosx2

=.,

c~~~L. ~ 0, '
x

,'
2p

2

[o,~]

2p Ip

y)

Ip 2".

Cu substitutia x = 2;r - Y se obtine I

3p

=

f (2;r - y) 1(y) dy

Ip =

o

lp

=2;r fl(y)dy-I o 2".

2p

Ip

fl(y)dy=O

x) =2+i=>X2 =2-i Xl

=3-

= -1

x) - x

2

.

o Deci 1=0

2p

Ip

2p Restul este r = X ( m - 3) + 1- n .

m=3 ~i n=I. Presupunand prin absurd cll x) ~

3p

°,

Adunand cele patru relatii se obtine

rezultll x~ ~ 0, - 3xi ~ 0, mx) ~ 0, - n <

°

= 1(x))

<

°,

0

°.

m= lim I(x) X-H"«)

Testulll

3p

contradictie,

2p

;;:::.:'-------

1. k

I.....

,

=1

X

n = lim (J (x ) - x) x->_

=

H-1( lim

l

3x + 2 -

Xl -

Xl

2

Xl -

3x + 2) + x~ Xl

-

3x + 2 + x2

°


2p

SUBIECTUL allll-lea

1.0)

2

0

Cum cosx e [-1,I), '
a+1

X

~ z~

0

3p =

2.-

c)

• YI

X

f-.!!.L 1+ t

F este strict cresclltoare pe [ 0,~ ]

m=l,n=-5 b)

dx =

2-cos

3p

Folosind relatiile lui Viete, obtinem

V

III YI

f cos x o 2 - cos!

I

Dacll functia F este

:::)

S

se obtine

I 1=-2(2a-I)(a-I)(a+l)

2a

I

=t

3p

Sistemul este comoatibil, deoarece ranz A = 2 . I I a I

o u

°

sin x

3

) ="4;r

I--

= arctgt

S = {(O,I,-I)}

1 p

=

Finalizare: lirnita este e alll cu I. 2.11)

2p

2

nu e derivabilll in -2.

hm---= x->-2 In X

SUBIECTUL alII-lea

1.0) I {X + y = I

Ip

2

=00

X+ 2

In 1(x)

3p

4

Ip

l(x)-/(-2) ~

2P.

J6-J2

.

Ip

(X-I)2 (x + 2)

x+2

3P.

este M(2,I).

=x

(30 de puncte)

-

2p

2.

.

__

2if6 = V48

2p

3V3 = jf8\ 2if6 <3V3

2p

Ixl ~ 0, ' 1m1

C

°

x ~ => x

2p

3.

- II

[0,+00)

= 1(x ) => [ 0, +00) C Im1

Ip

.•,

2p

••

2p

Imj" = [0,+00)

Ip

Il= I-4m

2p

2

•••

i·•

·

2!

Ecuatia are doua solutii egale <=> ~ ~ = 0 <=>

Ip 2p

0

m = +1. -2

~+I ~+I

2p

=C!IW =C!124 e Q ~ 4 divide k.

mAR= -"2 ~l mCD

20 Ip

a+3

sin"x+ cos' x

= -3-

e A, numai pentru x e

= I,x

{o;%}

3p

...•

- ---

~ ~

u:

'S·

B,

u

r

70 =

c)

:E • ;:)

a °I3

'"Z

a: 1&1

=[: iJ

~

~ z

c ~

• 300

b)

b)

Ip Ip

'* 0

2p

2

-2p

2p

1(1)+/(2)+

2p

... +l(n)=I-V2n+1

I V2n+l

.-

-I

l/2n ) I/2;;+i

r"'l~

Ip

=

Ip

= Ip

I =-

e

V +x 2 +x dx= 1 3

2p

3p

aelR\{O;l}

Ip Ip

'* ~ , adica

x *y e M

2p

O:Sx :SI ~ x· ~ x·+1 x2 + X + I > 0, V'x e IR

• deci eel m= 6

Asociativitatea Justifiearea faptului eli elementul neutru este 2

c)

Ip 2p

n+l

> 2X ,V'x e [0,1] ~ I. ~ 1.+1V'n , e N" , adieli sirul este descrescator x +x+1 x +x+1 x· x2 +x+ I ~ I, V'x ~ O~ O:S 2 :Sx', V'x e [0,1] ~ x +x+1

2p

X

1

~O:SI.:S

2p 2p

fx'dx=~

o

n+ Ip

lim.,J, = 0 .....

i I

Ip

0 * 2m - 3 = 1 6 2

2

n

Ip 2p

M re zultli O*-6-EM, 2m-3

-""'J

y - 0 asimptota orizontala spre +00

2

detB. =a'(a-l)2

Cum 02m-3 '-6-e

I"

x'*±!

3p

o 2p

sau a=1

'* 6 ,atunei

2 3~(2x+lt'

1

B. =A·-1B1

Daca m

o

(30 d ,

= fxdx=!

Daca m = 6, atunci oricare ar fi x,y e M rezulta cli x * Y

% V

3p

1+1 +1 = 1230x2+x+l

a

x* Y =2(x-~)(y-~)+~+m-6

• 1&1

2p

lim l(x)=O

lim . [(1---

a

2.a)

""c:i

fey), Vx,y e M

~i 1'(0)=0

2oa)

1&1

~

= f(x)·

- --

2 3~(2x-I)2

••..• ec

2p

I

A +A' +A'

y)

x ...•_

=e

B. inversabila ~ det(B.)

v

meat

Ip

2p

67

det(BI)=O~a=O

A.

astfel

y+2-0

2p

Z 1&1

=

lim( _

det(B1) = a( a _1)2

C

I'(x)

=e

• ;:)

Ci2

ULallll-1

0

=

x,=3x 4eM 2x-3

l/2n

Ip

b)

f;:) o

- -- .,-......•. '"

a

A20lO= ( A3

Q

b)

=[~ ~J

A3 = aI3

;:)

.•...

0

A'

Verifiearea relatiei f(x*

1(0)=-2

c)

1.a)

1&1

l.a)

2p

5

-

.,---

2p

p='l:.

----

c)

2p

F·ma rizare: a = -"29 6.

existli

xeM,

Ip

mAll- mCD

1.

cli pentru

Justifiearea faptului ca f este biiectiva.

Sunt II termeni rationali.

5.

faptului

x*x'=x'*x=2 k

4.

Justificarea

Testul12

Bacalaureat 2010, Model MECTS(www.edu.ro)

Ip

SUBIECTUL I II!. 21!.

11.1 z=2 (J3 2+"2i

I) (

=2 eos%+isin"6

(30 de puncte)

1i)

'5 ~ ~ III ~

f2Pl~

•

301

~

6

=2

Z6

2.

3.

COS

6; + isin 6;) = _2

0

f){512)

= f(~)

=2

6.

. (t -I

01 x=

-i

,

~i sin x = 1 .

..

l

r;+ktr,keZ.

"

x-+'"

-

'"

ac: !::

I

I

:I ~

I

1

J5

v'2O =10

AC· AD = (AB + AD). AD = AB· AD + AD

-

,

2

l.a)

u:

'S· 0( Q.

~ 0 U Z

I

..

2p 3p 2p

3p

c)

b)

b

c

a+b+e

b

c

1 b

c

c

a

b = a+b+c

a

b =(a+b+c)

1 a

b

b

c

a

c

a

1 e

a

a+b+c

'"

Q.

c)

~ • ~ v III

I

1 a

b = a2 + b2 + c2 - ab - ae - be , de unde rezulta eonc1uzia

I

'"c::i

2.a)

:z:: '"

b)

I

V

Luam A=G

I

ac:

Q 0(

~

I • 302

..

"

~

3p

det( A) =

2, det ( A2) = 0

x=(~

b) =>X

c)

2

e

= (a

0

f'(x)

2 = x +2~ (x+l)

(x + 1)2

3p

2 = (x+l)3

f"(x)

r

2p

•

Isin 2xl dx =

0

(-00, -I)

r

, deeif este concava pe

sin 2xdx -

k

(-00, -1)

2p

.

2p sin 2xdx

2

2p

+ eos2x\" 2 ~ 2

Ip 3p

2

I = t n

fn(x)dx5.

t

X

ldx X

2p

=ln2

2p 2p

¢:}

t"ISin/ld I = n " I

t

Isin II + .., + I = rmlsin/l c::.:.Jdt + ['+2" c::.:.Jd1 n 1r t Ir+tr t 1 I > r tr+tr ISin/f't+ n - ,,( n + 1) 1<

1"" nrr-Jr

2p Isin/ld I

t

( 1 ) [+2"1 sinr ~ 1+"'+-2 1" n + 2 1<+1< n"

1"" ns-«

Ip I'smr ~ I

Ip

2p

Din £:+1)"[sm IJdI = 2, Vk e Z rezulta conc1uzia.

Ip I

n:;, ,

3p

~J 2

eu 4a2 +4a-I5.0.

=

3p

+x+l)

3p 2p

a,b,c pot lua fieeare 4 valori

Z 0

Z

-4a),

3p

Ip c)

infinitate de solutii de forma x = a,y = j3,z = 1- a - j3 .

Avem 43 = 64 matriee.

0(

1

0

f'(x)

t~dx=lnxJ:"

I

Cum solutia este unica, aeeasta este solutia cautata, a2 + b2 + c2 _ ab - ac - be = 0 ¢:} (a - b)2 + ( a - C)2 + (c _ b)2 = 0

2p

(2x+l)(x+l)-(x2

I b)

a

Observam ell x = O,y = l,z = 0 verifica sistemul.

(30 de puncte)

X

1= -eos2x\I 2

I

c

Putem lua j3=i(-I+~1-4a2

CD

•

Ip

¢:}a=b=e

'"Z \no

2.0)

Ip

2p

1 b

Sistemul are

10(

ac:

..

3p

0(

ii2

2p

..

f"( x) < 0, "Ix e

(30 de puncte)

a

1 c

•

~

deci exista 4 solutii.

x-+'"

3p

SUBIECTUL alII-lea

Q

0,

lim (J (x) - x) = 0 , deei avem asimptota oblica Y = x .

2p

Punetul A ( 0, 3) se aflll pe prima dreapta.

AB· AD = 1· 2· eos60o = 1 AC·AD=I+22 =5

...•

e {O,Z},b =

limf(x)=I=>m=1

b)

C: = 20 . 12.0+4.3-111 ~ 22 +42

3p

I

1

~

SUBIECTUL allll-lea 1.0)

Numarul eerut este egal eu numarul submultimilor eu trei elemente ale multimii M

Distanta este d(A,d2)=

I

2

••....

3p

"

Ecuatia devine 2 sin 2 x - sin x -I = 0 , eu solutiile sin x =

Aeesta este

\

{U},c

Obtinem a e

Ip

~

c) = O,c = 0 .

I

."

5.

=> Rez =-64

2p

Obtinem x=2+2ktr,keZ

4.

Ecuatia devine a2 = l,b( a +

3p

6

f(512)=~

(J

I

.(

6

2p b(a+c)] c2

2p

-

j

II

,

I

I

Tema 4.2 Variante de subiecte propuse spre rezolvare Testul1

'(x) > 0 pentru x pentru orice x

Subiectull 0

+ lOr = 2al +14r =2(al + 7r) =2a8•

g)(x) = f(g(x»

Deci a8 = 10. = 6x + 4 + a . Rezulta ell

3a + 2 = a + 4, deci a = 1. 3. Pentru x> 0, avem 910113=x Xlog,9= x2, deci ecuatia se serie 2 2X2 = 8 ~ x = 4, deei x = 2, deoarece x> O. 4. Numarul submultimilor nevide este 2s - I '= 31. Numarul submultimilor cu 2,3 sau 5 elemente este -

-

2

- u·v 5. cos
2+m I~I.I~I = I~I.I~I > 0,

6. sinx+

C; + C; + C; = 21. Probabilitatea

'. . deci unghiul vectonlor

J3 COSX= 2 (.!.Sinx+ J3 cosx) 2

-. U

= 2(SinX cosE.+sin 3

2

2).cum -I

-2

!)

b) Fie X = ( :

A2=(4

o

b) 11.1= " feX cosxdx

::.!. ICfexsinnxdx n 0

2)(4 -I -2

-2

2)=(12 6)=3A,rezultacliA -I -6-3

EM

IC

0

, dx = --eXsinnx I" - fe If

n

0

I "I ~.!.fexlsinnxldx~-feXdx~-(e"

n0

0

0

x

sinx I dx = -- fe smnx dx, rezulta eli n no IC

-I).

n

X'

. I Cum lim-=O,rezultacli ,,-to;)

Subiectull

si, din X2 = 3X, rezulta

z, X

y

E

(0,00).

Y

Avem

11.1 =

. Z, =0. Iim

n

"-+00

( 1 1)-1 ( 1 1 -+= -+-+y z x y

z

1)-1

z

l). Obtinem

2. fe-x)

.1'-+00

.1'-+«1

.1'-+00

.1'-+00

I 2

2 -

x+1 I

2"x +2x+4 "x2+2x+4 deci f este strict descresclitoare. c) Fie g : R ~ R , g(x) = e' - x-I.

x+1

2= I ,,(X+I)2+3

- 2 < 1- 2 = -I < 0 orieare ar fi x

E

JR,

+

l

+ qS) = all(l

+

, V'x E D

= -Jn x-3 = -f(x) x+3 E

(-00, .!.J 2

n

f

[1,

,decifeste

imparli.

00) = 0, deci ecuatia nu are solutii,

3

5. 3 ii- v = 3(21 - 3]) -(4i

(-00, 0) ~i

J104 =

2m.

cosx
+ j) = 2i -lOj

.

25 _ 144 6. Din sm x + cos x = I, rezulta cos x = 1- 169 - 169 . •

•

2

cosx=_ll.Rezultlicli 13

_

2

2

tg.:!=~=-5. 2 1+ cosx

Subiectulll

(AB)

-I

-I).

1

3

= det(AB)

(-I

3) = (-3 8) . Cum det(AB) = -5 ~ 0, rezulta 4-9

1 -2

.(AB)

. =-51(-9 -8) = [~± --4 -3

~l

ca AB

este inversabila si

i

1. .

~

u

·55 b) A + xB = ( 2 - x -I+x + 4x - 1 = _x2

E

100 =

XE(7r , 37r) avem 2 '

-I

2x+4 =1 decidreapta .J x2 + 2x + 4 + x '

Cum g'(x) = e' - 1 ~i g'(x) < 0 pentru x

I = )4+

1. a) AB = ( 2

de ecuatie y = -.x + 1 este asimptota oblica spre +00. 2x + 2

= hi x+3 = hi(X-3)-1 x-3 x+3 1-2x~0

Atunci 13 ii-v

. . . ,decllegea,,*"esteasOClatlvli.

~i lim(f(x)+X)=lim(-!x2+2X+4-x)=lim

= hi -x-3 -x+3

3. Sistemul de conditii {3X - 2 ~ 0 conduce la x

Subiectullll =_1

1 2 al(l + q + q )

l) ~i a4 + as + a6 = al(l

. 3 = 8 , deci q = 8, de unde q = 2.

= 24 + 120 < 840, deci solutiile sunt 0, I, 2, 3 ~i 4.

Y

1)-1 . ~IX*(y*Z)=x*

q+

aq3(I+q+l)

4. Dacli n ~ 5, rezultli ca n! + (n + I)! ~ 5! + 6! = 120 + 720 = 840, deci orice valoare a lui n care verifica ipoteza apartine multimii {O, 1,2,3, 4}. Daca n E {O, 1,2,3, 4}, atunci n! ~ (n_+ I) ~ 4! +-.?!

(x*y)*z=(.!.+.!.)_I* X Y

c) x * x * x * x = (.!. +.!. +.!. + .!.)-I = (.1)-1 =.:! . Ecuatia devine .:! = 5 , deci x = 20. xxxx x 4 4

x

I" n

I

Cum

)

= "feXlcosnxldx ~ "fexdx = e' I~= e -I < 34 -I = 80, V'n E N*. 0

x sinnx I. = fe (--) o n

E.cosx) 3

(0,00) ar fi element neutru allegii ,,*", atunci 1 * e = 1 deci _e_ = 1 de unde e = e + 1. , e+1 ' Rezulta 0 = I, fals. Deci ,,*" nu are element neutru.

b) f'(

s "~eX cosxldx

IC

E

1.a) limf(x) x

1

0

c) Deoarece

Dacli det(X) ~ 0, rezulta cli X e inversabila

X

b) Dacli e

It

1. Fie q ratia progresiei. Atunci al + a2 + a3 = al(l + q +

EM.

x*y=~=~=(.!.+.!.)-I, x+ y _+_

- ( 1 1 -+-+x y

0

IC

. ~l v este ascupt.

X = 3/z, deci a + d = 3 + 3 = 6. Dacli det(X) '= 0, atunci )(l = (a + d)X. Cum)(l = 3X rezulta cll (a + d)X = 3X, dacli (a + d- 3)X = O2. Obtinem a + d-3 = 0 sauX= O2. Rezulta cli a+d= 3 saua+ d= 0, deci a+ d E {O, 3, 6}. 2 c) Daca X,Y EM, rezulta ca X + y2 = 3(X + Y). Cum X + Y EM, obtinem: (X + Y)2 = 3(X + y), 2 deci (X + Y)2 = X + y2. Rezulta X2 +y2 +xy + YX = X2 + y2, deci XY =-YX .

*z-

I"

" - I + "f e x sm • xdx --e " - 1+e X' smx o

Testul2

1.a) Fie A=(4

a)

0

e +1 . II . Rezulta cli 211= -e - I , d eCI. I1 = --2-

,

Io

= 2Sin(X + E.) < 2 3-'

"f

. + e X smx=-e

IIC

0

_ fex cosxdx = -e" -1-

este l!. . 31

Subiectulll

2.

"f(eX)'cosxdx=eXcosxo

o

= 3g(x) + 2 = 2(2x + a) + 2 = 6x + 3a + 2 ~i (g 0 f)(x)

lui g rezulta cli g(x) > g(O), V'x E JR*, deci e"> x + I, strict descrescatoare. rezultli cli f(eX) < f(x + I), V'x E JR*.

JR*. Cumfeste

E

2-11) II = Iff eXcosxdx=

1. as +all =al +4r+al 2. (f

(0, 00), din monotonia

E

-

-1 + 3X) , deci det(A + xB) = (2x - 3)(x - 2) - (3x - I)(x - I) -_ 2x2 - 7x + 6 _ 3x2 3-2x

3x + 5. Avem det(A + xB) = 0 ~ ~ + 3x - 5 = 0 cu solutiile XI.2

~

== ~

-3±J29

==

2

• 305

n

o

c) A + B = (

~) . Cum E2 = O2 si h . E = E . h = E, rezulta din formUla

= 12 + E , unde E = ( ~

binomului lui Newton ca (A + Bt = (h + E)n = 12 + C~E = 12 + nE . Daca exista n eN cu (A + B)" ca h + nE = li. deci nE = O2• Rezulta n = 0, fals. "" 1. a) Avem x * y = 3(x + I)(y + 1) - I, x, y e Z . Fie x, y e H, x = 3k + 2,y = 3p + 2, k, p e Z . Re ca x * y = 3(3k+ 3)(3p + 3) -1 = 27(k+ 1)(P + 1)-1 = 3s -1 unde s = 9(k+ I)(P + 1).Cum x :Ul~ 3(s - I) + 2 ~i s - 1 e Z, rezulta cli x * Y E H. b) Daca legea ,,*" ar admite elementul neutru e eY"" Z, atunci 1 * e = 1, deci 6(e + I) - I = I, de unde 3(e + I) = 1. Rezulta cli 3 divide I fals Deci *" 2 ' • "nu ar element neutru. c) Avem (x * x) * x = [3(x + I) - I] * x = 9(x + Ii - 1. Atunci (x * x) * x = 8 ~ 9 e I)3-1=8~(x+I)3=I~x=0. (x+-

h, rezulta

Subiedullll 1.a) Jim

x/(1.) x

X~OO

=

ttezu1tli ca mu1timea

solutiilor ecuatiei este {(_I)k . ~ +

7.

.s. + ktrlk

= 1. ~ sin(x -!!...) = 1.~ x -!!... e {(_l)k 2 4 2 4

__ 1_ ~ _I_sin x __ l-cosx J2 J2 J2

J.sinx-cosx-

••

= [1(2),00) = [a -4,00), rezulta a -4 = 3 ~ a =

z}

e

6

.

% + k1+ e z} n [0, 2n") = {~; , ?;}.

veoarecej{-I) = j{1) ~ij{-2) = j{2), rezulta cli numarul cerut este egal cu numarul functiilor de la 1 2} in {l, 2, 3}, deci 33 = 27. Prelungim semidreapta (DC cu CC' = DC. ~ ACe Beste paraleIogram rezultli cli

to,

1s

+ AC = 2 AM , unde M este rnijlocullui BC. Atunci 1AS + AC 1= 12 AM 1' unde M este mijlocul =..Js.

Y

= lim x(e~ -I) = lim e~ -I = Jim e -1 = l. .r-ecc x-+co 1 y-+O y

. g(x)-g(O) b) lim

0

:a,oo) [f( - :J,oo)

= [-

luiBC. Atunci 1AB + AC 1=12 AM 1= 2AM = 2~1+~

I

X

~e' -I = lim . -_. lim --

x

x ..••

Im/

cum

x ...•0

x

x ..••0

(ii'

-I = lim .

l -Xl

x ...•0

ffl'

l --.

-1 - 1 = Jim .

x2

X

x ..••0

SABC

••

#

x2' = +00 Rezulta cli g nu e

l -

= AB . A C . sin A = 24../3 = 6../3 . Din teorema cosinusului rezulta cli Be- = AF + A

2

4

.

ACcosA=16+36-24=28,decl

BC=2,,7

h

r;;.

.Dbtinem

2 SASC A=~=

e- - UB

.

12J3 [3 2J7 =6 "7·

V

derivabila in 0 si g'(0) = 00.

Subledulll uj a: ....

c) j{-I)

Q

•

'S< CI.

o

• ::>

+ n =

lim

1.. = 0,

n ...•=e"

2. a) II =

rezulta

II ~

ca

dx = ~ x2 + 1

II

0"x2+1

•

~

+ ... +

1.. _ e

n

I+n-

_

1 1 -+-+ 2 e e

1 ... +-= en

.

I

orice x

E

[0, 1], rezulta

,,20

s 1. Cum

x

II

c) In+1= ~

s Ix·

dx.

Cum

0

0

+

I

1

_I_xn < ~ < x" pentru J2 - ~ x2 + I -

I

n+1/1

o

x+lo=n+I'

IXn dx = ~

n-+oo

•

I

dx = Ixn ~ dx = Ixn (~X2 + I)' dx = xn~x2 + x +1 0" x2 + 1 0 2

1

rezulta

R~

a-ecc

0

11 0

I

fnxn-l~x2 + I dx

=

0

n1 + JT;Ix - dx = J2 - n(l + I ). Cum Jim In+1= 0 , 2 2 "x + 1 x +I n+1 n-I n...•co

rezulta cli limn(ln+1 + In_I) = Iim(J2 - I

n+l

J

) = J2 .

W

~ Testul3 Z

Z

~

• 306

l

b

=

=

cl

1 rezulta cli

a = b = c, rezulta A = [ :

a

b-a

c-a

al

bl _al

cl _al

=(b-a)(c-a).1

1 b2 +ab+a2

c2 +~c+a21 =

I: ~I I: :I =

= 0 , daca b - a = c - a

= 0, de unde

a = b = c. Pentru

:

: ) . Cum top minorii de ordinul 2 sunt 0 ~i A "*03, rezulta rangA :: I.

al

al

c) Presupunem cli A-I are toate elementele intregi. Cum det(A)· det(A-I) = det(A- A-I) = detIJ detAeZ,rezultlicli

J

Q~

-e

b

l

al

concIuzia. n

c

a a

b) Dad rang(A)

I

~ Ix' dx ~ I.

cli

a:

Q

a) det(A) =

= (b - a)(c - a)(c2 + ac _b2 - ab) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) .

~

W

s

1.

0

0

1 Cum

= J2 -1.

nI = J2 - n fx - ~ 2 dx = J2 - n 0" x +1

~

e

2

b) Fie x e [0, 1].Atunci I ~"X2 + 1s J2 , deci _1_s __1_ J2 ~ x2 + 1

~

a

1.. -I

0

w CI.

+

Iimita ceruta este _1_ e-I

Z

~

1. -I

e

::>

u

+ ...+ j{-n)

e

i ::>

u.:

+ j{-2)

1 1 1- en -'-e 1-1.

sau b

=c

2.

C~

II)

detAe{-I.I}.Atuncic-b,

c-a,

b-ae

= I si

{-I, 1}.Obpnema=bsaua::c

deci det(A) = 0, fals. 2 e este solutia ecuatiei ~ - x + 1 = 0, rezulta cli e -e = -I, deci (ZI + e)(z2 + 1:) - I: =

= ZIz2+ EZI+ EZ2+ e2 -

I: = ZIZ2 + EZI+ EZ2- 1 = ZI * Z2· . b) Fie G = C \ {- s} ~i Zt. Z2 e G. Cum ZI + &"*0, Z2 + &"*0 rezulta cli (ZI + &)(Z2+ &)"*0, deci ZI • Z2 E G. Rezulta ca ,,*" este lege bine definita pe G. Vom verifica axiomele grupului: • Avem (ZI * Z2) * Z3 = [(ZI + &)(Z2 + &)- s] * z3 = (ZI + &)(Z2 + &)(Z3 + &)- &~i~I * (Z2* :3) = zl ~ [~Z2 + + &)(Z3+ &)- &]= (ZI + &)(Z2+ &)(Z3+ &)- e= (ZI * Z2) * z3, 'v'ZI, Z2, z3 e G, deci legea,,* e asoclattva. • e e G este element neutru ~ Z * e = e * Z = z, 'v'z e G ~ (z + &)(e + &)- & = z, 'v'z e G ~ ~ (z + &)(e + &) = Z + e; 'v'z e G ~ e + e = 1 ~ e = 1 - e. Cum I - e e G, rezulta cli ~

i

Subiectull

e = 1 - seste elementul neutru allegii ••*". '" • Fie Z e G, Z este simetrizabil ~ 3 z' e G astfel incat Z * Z

1.a) (1+ i)S = (1+ i)4. (1 + i) = (2i/(1 + i) = -4(1 + i) => Z =_3_2_ = __ 8_ = -4 + 4i => Rez = -4. -4(1 + i) (1 + i)

..•..... ( + ~\(z'+ &\ = 1 Cum .•.•• Z

e>/

/

•

Z

= Z • Z= e ~

+ I: "* 0 rezulta cli z' = -& + _1_ Z

+e

( + ~(' + &\ &_ I e ~ Z &/ Z / ::::E

e G , deoarece _1_"* Z

+e

0 . Rezulta cli

toate elementele G sunt simetrizabile. c) Avem H = {z eel jz + bj = I}. Fie Zh Z2 e H. Atunci l(zl * Z2) + bj = l(zl + &)(Z2 + &)- s+ lj

~

~

= J(ZI

•

30A

+ &)(Z2 + &)1 = IZI+ bj IZ2+ bj = 1, deei ZI • Z2E H. Fie Z E H. Din punetul b) rezulta eli z' = -& +--L. Z+e'

de unde

Iz' + &1= /_1_/ Z+&

= -I

_1_1 = 1 . Obtinem

Z+&

ca z'

E

H deei H este subgrup al lui G. '

1

•

f

0)

limf(x) x-+o x3

=limx-ar~sinx. x-+o

f'(X). = lim lim-2

.--0

.--0

3x

_x2

= (-

r.-? r.-? vl-x2 (vI-x2 +1)

Aplicam

X

teorema

lui

'X

(-I, 1).

E

L'Hospital

in

~) vI-x2

In

!:: ::::I ~ >c

I deci A = - ff(x)

0

=xlo(2+x)lo- I

::::I

o

= 1.. (1- x2r3/2 . (-2x) = 2

2(R+r

.., ~

CL

.

Rezulta ca f"(x) > 0

ca fix) !>0 pentru

I

xdx ---xlo(2-x)lo+ ox+2

0

xdx --=103+ ox-2 f'

0

Aplicand

Ifx (1----0 x-2

f-2-

1) dx=103+ I 4x dx=

x+2

2+x

2+x

.

lui

L'Hospital

in

cazul

0 0

~

i ~ c:i

..,

obtinem

lim f(x) x-+o 2x

102-x = lim~ x-+o

2x

=

2bc a+ a+b+c

Z

oc ~

• 308

p

-2

)_2a2+ab+ac+2bc a+b+c

2 b +c2+ab+ac+2bc a+b+c

-

=2

2bc

. Avem:

a+b+c

(b+c)2+a(b+c) a+b+c

=

"* O2rezulta ea rang(A) = 1. ~i P(2) sunt

adevarate, presupunem ca An = A. Atunei An+1 = An . A = A . A = A2 = A, deei Pen) este adevarata "In ~ 1. in eoncluzie A2012 = A. Cum 12 . (3A)

.i;'

= (3A)

.(3A)k = 12+

h, folosind binomul lui Newton obtinem (12+ 3A)"

.

t.C:

·3k ·A=12

+A(l+ t.C:3k

-IJ=

=

12+ A[(l+ 3)" -1]=

2.0) Fie (a, b) fji(x,y) E G. Atunei (a, b) • (x, y) = (ax + 2by, ay + bx). Cum a = ax + 2bY E z, 13 = ay 2 2 + bx E Z ~i a - 2/32= (ax + 2by)2 - 2(ay + bxi = tl~ + 4blj - My - 2b2~ = (tl- 2b )(~ - 2y) = 1·1= 1 rezulta ea (a, b) • (x, y) E G. Cum (1, 0) E G rezulta ea G"* 0 ~ide aiei concluzia. b) Din punetul a) rezulta ca "." este lege pe G. Cum (a, b) • (1, 0) = (a, b) = (1,0) • (a, b), V(a, b) E G, rezulta ell "." are pe G elementulneutru (1, 0). c) Fie XI = (3, 2). Cum 9 - 2·4 = 1 rezultli ell XI E G. Notaro CUX2=XI • Xl>X3 =X2 • XI ~iinduetivXn+1=xn• XI. Cum "." este legepe G rezulta ellxn E G, V~ ~ 1. Dacax, = (am bn), atunei eumxn+1 = (am bn). (3,2) = (3an + 4bm 2an + 3bn) rezulta ell an+1= 3an + 4bn ~I bn+~ = 2an + 3bn. Cum al = 3, b, = 2, rezultliell am On E III ., "In ~ 1 ~i an+1> a". Rezultax; Xm "In m, deci multimea {x, 1 n E III .} este infinitli.

"*

Subiectullll A

punetul de pe grafieul lui f, de abseisa 3. Cum f(3) = 27 + 1 = 28, rezulta ea

eoordonatele (3, 28). Cum f'ex) = 3X2 +

t

2+x

A

are

~i f'(3) = 27 + ~ = 8 2, rezulta ea ecuatia tangentei in A 3

este Y - 28 = 82 (x - 3). Deci, ecuatia tangentei este 82x - 3y -162 = o . 3

~ Testul4

Q

'

Cum BA.BC=-6+6=0,

6 J = A. Vom demonstra prin inductie ea An = A, "In ~ 1. Cum P(l) -2 -3

1. 0) Fie

is i

~i BC(-2,3).

"*

10(1+ -2X) = lim 2 + x . --=.L = -1. . Deci Iimita ceruta este _1.. x-+o _~ 2+x 2 2

•

z} deci

=12 +(4n -I)A .

oX -4

= 102 + x = 1o( 2 - X)-I = -10 2 - x = - f(x) , "Ix E (-2, 2), rezulta ca f este impara,

teorema

5. Avem BA(3,2)

b) A2 = ( 4

= ~C:

-I

c)

6

Subiectulll

c)

=103+2101=1027. 4 16

2-x

~

) = 2(

1

::::I

:,(

x E [0, 1],

I

deci ff(x)dx=O

t·

2. Probabilitatea este

1. 0) det(A)= O.Cum A

continua in 0, rezulta ca 0 este unicul

1 pentru x E [0, I] rezulta

0

f'

0

b) Cum fe-x)

(I_X2)3

2+x

0

U ;; ~

2-x

--!>

~.

1

=103+21o/x2-4/1'

este 9· I~·

Cum

I I I I dx = flo(2 + x) dx - flo(2 - x) dx = fx 1o(2 + x) dx - fx 1o(2 - x) dx =

o

..J

~

Cum

0

Q

{(-I/ !!:.+k1r 1 k E

=2(b+c)=AB+AC.

= -( (1- x2rI/2)'

I dx.

..• 2. 0) A = JI f(x)

~

E

rezultli cos(ABC) = O. 6. Fie AB = 2c, A C = 2b, BC = 2a. Atunei R = a si r = §... =

Q

cazul

-I x 1··
pentru xE(-I,O) ~i f"(x)
~J.

E {(-It.!!:.. + k1r 1 k E Z}. Cum X E [0, 21t), obtinem solutiile {.!!:..,51r, 131r, 171r}. 12 2 12 12 12 12 4. Numarul numerelor naturale de 4 eifre este 9 . 103, iar eel al multiplilor de 5 din aeeastli multime

I

c) f"(x)

deei Im j" = [ -~'

X

1 _~-I (x) = 1- r.-?r.-? vl-x2 vI-x2

Cumf'(x)!> 0, "Ix E (-1, 1) fjif' = 0 ~x = 0, rezulta eafeste strict descrescatoare pe (-1,1). Cum! este continua in I ~i -I, rezulta caf este strict descrescatoare pe [-I, I). b)

~J'

3 Avem succesiv· sinxeosx =1. ~ 2sinxcosx = 1. ~ sin2x =1. ee- 2x • . 4 2 2

Subiectullll I

solutii reale ~ d ~ 0 ~ I - 4i ~ 0 -ee- Y E [ -~'

Subiectull 1. Cum 2 = IOg24< lo~5 < log28 = 3 < IOg29< log2I6 = 4, rezulta ca multimea data are un singer

element, x = 3. 2. Avem Y E Imf ~ 3 x E lR astfel ineat

+- = x +1

Y ~

ecuatia y~ - x + Y = 0 are

b) Avem lim x~o

.~

iflR) - {d(O) x

lim

4x'+~

x~o

X

~r+~= lim r+!= -tOO,

3 = lim k x~o

~

k ~

X

x~o

deoarece k -1 este

x

numar par; rezulta ca g'(0) = 00, deei g nu e derivabila in O. c) Deoareee f'ex)

= 3x2 + 1. > 0 "Ix 3

E

lR , rezulta ea f este strict crescatoare, Aratlim prin induetie ea

3

e) Fie X = (a b) ; X· A sirul (x.).>!

este strict crescator, Avem x = 1+1 > Xo = 1. Presupunem cA x. > Xn-I' Cumfeste , 3

crescatoare,

rezulta cAj{x.) > j{Xn-I), deci Xn+1> x •. Dad

X.+I = x~ + ~. , rezulta cA /

= /3 +

crescator, rezulta cli x; < I, "In eN,

f

(x.). e rnarginit, atuoci x. ~ / e lR . CUIll

<=>3/3 = 21 <=> 1 e { -~,

0, ~}.

(x.). este strict

Deoarece

< 1 , "In ~ 0, fals. Deci (x.). este nemarginit ~i fiind

deci x. < ~

.-- I

I

II

I

rezulta cliI.~

= 1, b = 2, -

•

.1'-+0

tgx -1 f(O) = lim--. x = Iim--tgx-x 2-·

x

1 _-I lim cos2 X

2a + b = 8 <=>a

= -3,

b = 2::::)X ("I)xelR

= (-3 2).

<=>e = O. Deci

o

n+1

II =_2_.J2 0

n+1

Cum lim .J2 = 0, din teorema clestelui rezulta cli lim J, = O. n-tao n + 1 n-tcc

b)Pentru

2

xe(o,E.)

Fie g:(O,~) rezulta

. • teorema lui l'Hospital Aphcand

X

.1'-+(1)

'

cazul -0 obtinem: 0 ' .

2

• I- cos x . 2 sin x2 = lim-. sin x = 0 , decij" . este derivabila In 0 ~if'(O) = o. lim 2 = lim x-+o 2x cos x x-+o X cos x x-+o 2

2x

x-+o

X

x-+o

_X__

I

...

. f(x)1 a) lim

0, "In ~ 1, deci sirul (1.). este marginit,

.+1 c) Cum 0:5: x·"'x2 + 1:5:.J2 x·, "Ix e [0,1], "In e N*, avem 0:5: I. :5:f.J2x· dx =.J2 ~

1&1

2b

siogurul numar cu proprietatea din enunt este O. b) Legea ,,*" are element neutru <=>3ee lR astfel tncat x * e = e * x = x, "Ix e lR <=>xe + ax + e = x ~i ex + ae + x = x, "Ix e lR <=>x(e + a - I) + e = 0 ~i ex + ae = 0 "Ix e lR <=>e= 0 si e + a - I = 0 <=>a = 1. e) Pentru a = 1 avem x * y = xy + x + y = (x + 1)(y + 1) - 1. Atunci (x * x) * (x * x) = 15 <=> ~ «X + 1)2 _ I) * «x + 1)2 - I) = 15 <=>(x + 1)4 - 1 = 15 <=>(x + 1)4 = 16 <=>x + I = 2 sau

I

b) Cum 1.+1- I. = f(x·+I", x2 + 1 - x·'" x2 + I) dx = fx·'" x2 + 1 (x -I) dx:5: 0, deoarece x'''' x2 + I ~0 o 0 ~i x -1:5: 0, "Ix e [0,1], rezulta cli sirul (1.).>1 este descrescator, deci marginit superior. Cum

x''''x2 +1 ~O, ("I)xe[O,I]

= (1 2 8) <=>a +

= x, "Ix e R <=>ex+ae+x=x,("I)xelR<=>e(x+a)=O,

subiectullll

2. a) II = fx. '" x2 + I dx = .!. f2x'" x2 + I dx =.!. f(x2 + 1)1/2.(x2 + I)' dx = .!.(X2 + 1)3/2 = .!.(2.J2 -1). o 20 20 3 0 3

...•

*x

J.a) Avem e

x+ I =-2, deci x = 1 saux = -3.

erescator, rezulta cli lim x. = 00 .

I

strict

2

COS

tgx

X2 x

x-~inx~osx= x cos X

2x-sin2x. 2X2 cos' x cos2x) > 0, "Ixe(o,~),

g(x) = 2x - sin 2x. Cum g(x) = 2 - 2cos 2x = 2(1-

~lR,

ca g

2

avem f'(x)

este strict crescatoare pe (0, E.), deci g(x) > limg(t) = 0, "Ix e (0, E.). Cumf'(x)

2

II:

i TestulS :>

'Ix e (0, ~)

u.: •

Subiedull

= I ~i lim f(x) =00 ,dincontinuitatea

~

1. a) Avem

~if'(O) = 0 rezulta clifeste

2

,'>0

>0 ,

strict crescatoare pe [0, ~ ), deci este injectivli. Deoarecej(O)

Q

A.

:> U

Y i C ~

luifrezultlicli

Imf= [1, 00), decifeste

surjectiva.

X-+1f12

z+i elR <=> a+(b+l)i eR <=> [a+(b+l)i](1-b-ai) elR <=> (b + 1)(1 - b) I+iz I-b+ai (l_b)2+a2 -Q2 = 0 <=>cl + b2 = I, undez = a + bi. Obtinem izl2= I, deci Izl= 1. 2. f = l <=>(f 0 f)(x) =x, "Ix e lR <=>f(x+a) =X <=>x+a+a = x, Vxe lR, de unde a = O.

r

J.

c) Cum limf(x)

{(-V ~

+ kx Ik e

Z} u {3;

+ 2k1l" Ik e

.l'-+ao

.-+00

=

,

2

fXln dx=

K

I

~

4. Numarul numerelor naturale de trei cifre este 900, iar numarul celor cu toate cele trei cifre pare este

;;

100. Deci numarul cerut este 800.

r' (x) =E..2

Atunci limr'(n) n-tCXl

= E., 2

deci lim x. = E. .

2.a) II

Z} .

continua si inversabilli rezulta lim

2

Ecuatia se scrie sinx = I - 2 sin2x <=>2sin2x + sinx - I = 0 <=>(2sinx - I)(sinx + I) = 0 <=>

<=>sin x = ~ sau siox = -1, deci x e

=00 ~ifeste

.l'-+~

,

I'

12

2 e ---

2 x I - ef-·-dx= 1.2 x

2 2 -x ) lnxdx=-lnxx 2

,

b) 1.+, _ I. = fXln' x(lnx -1) dx:5: 0, "In e N* ,deoarece

2

I'fxdx= 2.

2 e --2

2

I'

2

I+ e =-4 I 4

x

0:5: lox:5: 1, "Ix e [1, e]. Rezulta cli (1.)•.,1 este

I

~

~

5. d(PA)

=

1-3a+ll

00(

JlO

la+21 ~ ,,10

,iar d(P,d2) =

10

CD II: 1&1

II!'

3a+l=a+2sau-3a+l=-a-2<=>

a=--

o

. Atunci d(P, d,) = d(P, d2) <=>1-3a + II = la + 21 <=>-

1 sau a=-.Decl 3. 4 2

{I 4'2-3} .

ae --

(1.).>1 este marginit.

'

!i

~ 6. Avem .J3 = AB· AC ·sinA <=>AC = = 2, deci triunghiulABC este echilateral. RezultliBC= 2. u 2 smA ~

Q

Z C

Sublectul "

• 10

b) AB =

(1 -2) 2+m

c) 1.+ = ofXln·+1 xdx = '~ ~ 1 I 12 = e2 2

_

n + 1I 2'

lim J, =0.

1. a) Cum Be M2•3(1C)

~

descrescator, deci marginit superior. Cum xln" x ~ 0, "Ix e [1, e], obtinem I. ~ 0, "In ~ 1, deci sirul

7

.

~l

tlp

II 212

= 0

=2

* 0,

.

rezulta cli rangul lui Beste 2, "1m e lR .

. Atunci det(AB) = II + 2m . Rezulta cli m = -- II . 2

,-+00

,

2)'

2 In·+lxdx=~ln·+IX

deci I = ~ __ 2_. I • n +1 n +1

2,

.+,

I" -

2 f~·(n+l)ln'x 12

. Cum sirul (I)

••

2 e ..!.dx=~_0JXln'Xdx= x 2 2,

este mlirginit si lim.-L = 0 , rezultli cli .-+00 n + 1

derivabila in Xo = 1. b) punetele de extrem ale luifsunt

Testul6

x

Subiectull 1. Avem

x;

[X;

I] = 3 <=>3 :5:

x

r'i»

r:' : [2, 00) ~

3. Ecuatia se serie arccos x + 2ft = ft <=>arccos x =!£ ==> 3 3 s => x = cosE. <=>x = 1. . 4. Numarul submultimilor lui A este 2 = 32, iar numarul submultimilor care 3 2 [I, 00), rl(x)

= I +.Jx - 2.

6. ctgx-

+00

A e d, rezulta ea 2 + 2a = 4, deei a = I. Din A e d2 rezulta ea b = I - 2 =-1

eosx sinx tgx= 4 <=>-.----= smx eosx

4-

2

""".

2

eos x-sin smxeosx

x

=

4-

2eos2x """-.--= sm2x

4-

-----

o

,I

C.,

= 00 ,j{l) = 0, f(e) = 1. si limf(x)

Deoarece limf(x)

e

x-+o

= 0, din eontinuitatea luifrezultli

x-+oo

ell ecuatia

j(x) =' m are trei solutii reale <=>m e ( 0, ~) . o

2.11)

A=

II f(x) Idr . Cum

e:

I 2x f(x) = eX - eX = e

I

< 0 pentru x e [-1,0],

rezulta ell Ij{x)

I = --:f{x),

-I

o

1. . 5. Cum 2

0

1+++

I(x)

lui B = {2,3,4,5} , adica 24 = 16. Probabilitatea

contin elementul I este egal eu numarul submultimilor

Ole

f'(x)

1 < 4 ee- 5 :5: < 7 ~ A = [ 5, 7) (\ Z = {5,6} , deci A are doua elemente.

2. Fie y e [2, 00). Atuneij{x) = y <=>Xl - 2x + 3 = y <=>Xl - 2x + 3 - y = O. Cum !:1 = 4y - 8 ~ 0, rezulta ea x = 1 ± Jy -2. Cum x e [1,00) obtinem = 1+ Jy-2 . Ca unnare, inversa funetieifeste

ceruta este

. .,. . .. 1~l e, asa cum se observa din tabloul de vanape al luij de mal JOS:

'Vx e [-1,0], deei A = I(e-X _eX) dr = -(e-x + e")

.

LI = e0

I

+e-2

.

-\

t 2 2 t 1 """eg X= <=> gx=-. 2

b) Fie F

0

primitiva a luif

Atunei F "(x) = f'(x)

I c) Cu teorema lui L'Hospital : lim2" x-+o x.b

Subiedulll

=

e' + e-x > 0, '
r f(t

fit = lim-x-+o

-x

X

= lim~

2x

.-+0

2x

functie convexa.

2x I 2x = lim ~ = lim~ x-+o 2x· e' x-+o 2x

= 1.

1.a) Inversiunile lui o sunt (2,5), (3, 5) ~i (4, 5).

III

b) Avem a2 = (I 2 3 14523

i

~i r e {O, 1,2, 3} astfel ineatk=4c

...I a:::

g ~

~•

4

5) , a3 = (I 2 3 15234

4

5) ~i a 4 = (I 2 3 12345

+ r. Atunei at =a4c+r

pentru ea singurul punet fix allui

't

ii2

cr3}.

Din

,,*" este

enunt,

(x* y) = z' = ~X3 +

l +2012

lege

pe

JR. Pentru

x* V-2012 = V-2012 *x =
III Q.

Deoareee

~

neutru al legii ,,*". Fie x e JR ; din x * x' = x'*

si x* y = ~X3 + l + 2012 =0 eN.

asoeiativitate,

l +Z3 +4024

*z = ~X3 +

y, z

fie x,

=e

e

cos! x - sin"

elementele lui JR sunt simetrizabile. Ca unnare, (JR, *) este grup.

Z

c) Fie f:

a:::

III

"'" c:i

·

+) ~

(JR,

*),

f(x)=Vx-2012.

=

1.

(5-k)!

--ifi012

probabilitatea

este elementul

Cum

este

1= 1. 6

eosx = -.JI-

sin" x = _~I_

5.

3

6. Cum

2 AB+ AC +CB = 2AB + AS =3AB. rezulta

f(x)*f(Y)=Vx-2012*

ceruta

25 = 169

X

Avem

-If,

_11. Atunei 13

ft),

2 AM - 2BN = AS + A C - (BA + BC) = 2

avem eosx < O. Din cos" x+sin 2

• 312

120

i

1.a)detA(m)=-3m2-m+1. Inx --,

1. a) Deoareee

f(x) =

xe (0, I)

x -,Inx xe ()1,00

jlnX-1 --2 -, avem f'(x) =

j x

Q

~

_ill.

izomorfism.

Subiectullll

U

Z CC

x=1

Subiectulll

::t:

o a:::

2

etg 2x = eos2x = eos x - sin x = sin2x 2sinxeosx

III

CC Z

se serie

<=>cos 2x = 1. . Cum X e [0, E.] => 2x e [0, ft] ,deei 2x = E. . Rezulta x = E. . 2 2 3 6

.

VI III

(JR,

X

2

JR si avem

se obtine x' = -
a < ~

2. Deoareee j{1 - x) = j{1 + x) ~i j{2 - x) = j{2 + x), '
4. Pentru k ~ 2 avem ~ = _5_! - = 5·4· ... · (6 - k), care este numar par. Cum ~ = 1 ~i ~ = 5 , =x*(y*z)

2012 = x rezulta ea e = X

Subiedull 1.Avem (l + .J2){2012 +.J2} = (1 + .J2){.J2} = (I + .J2)(.J2 - [.J2]) = (1+ .J2)(.J2 -I) = 1eN.

- (x - I» = j{1 + x - I) = j{x), '
b)

CC

deeiA = {e, cr,~,

este I, iar i~2.

·

z

,

A are 4 elemente. c) Presupunem ea (j't = to. Atunei (ar)(l) = (Ta)(I) => a(T(I» = T(a(l» => a(i) = T(l) => a(i) = i ,fals

2. a) De exemplu, x= y = -~20212 . Atunci x' = l =-1006

:>

= (a4)" -a' =ar

Testul7

5) =e. Fie k.c e Z

in eonc1uzie,

~ U

u

4

(0,00)\ {I} . Cum limf(x)=O=f(I), x-e

Lagrangqi

x I-Inx --,

x

rezulta eafeste

b) detA(m) = 0 <=>3m2 + m - 1 = 0 <=>me { -1-6.Jl3

xe (0, I) , deei f este derivabila pe xe(l,oo)

obtinem limf'(x) x/'I

oj ACO) = -I,

deci f;(1) = -I

si limf'(x) x'>.l

= I, deei f;(1) = 1. Rezulta eafnu

e

Q

,rezulta detA(m)"* 0, ~

deci A(m) este inversabila, pentru oriee me Q.

continua in Xo = 1. Aplicam eorolarullui

l

, -1 +6.Jl3} . Cum me

=[~ : =:J=

1, +B. unde

B

=[~ ~ ~~}

! Cl ""

D~,

B'

=[~ ~ -n

si

B' =0,.

31

rezulta ell B* = 0) pentru one

(A(O»"

k

e

2 3. Tinand eont ell h .B = B . Is, avem:

= (13 +B)" = 13 + C~B + C;B2 = I) +nB + n(n -1) .B2 =[~ 2

o

-r-

~n

-n~:2nJ.

0

I

1) e' ( -----;+--. l+e l+e

I 2.0bservlim eli putem serie X. Y = x2iog,y -_ X Ioa.y= (91no~ I -.. = 9 og,'-Iog,y a) • -I 910a.•1089Y . X Y - ¢> 1 ¢> log9 X -Iog, Y 0 ¢> log, X 0 sau log y 0 ¢> _ 1 b) Cum X. -9Iog,.Jos,y 0 9 x- sauy: 1 y > ,\Ix, y > 0, din punctul a) rezultli cli X. Y E (0 co \ I x, Y E (0, oo] \ {I}, deci "." este lege de compozipe bine defi .tli _' ) { } pentru once continuare axiomele grupului. uu pe G - (0, co) \ {I}. VerifiCli!n '

=

=

=

=

pentru orice x y Z E (0 co] \ {I} ( " , avem x· y).z=x.(Y.z) (x. y). z = 9 log,x-log, Y • z: 9Jos,(9•.••~··9Y)-Jos,z = 91og,.-log,y-log,z

• Asociativitatea:

• Existenta elementului neutru: Cum x. 9 - 91og,·-10899 =X ( X E 0,
elementelor:

x E (0 co] \ {I}

Fie

,

.

.

9. x = 91og,9-log,x _ - x, pentru once

~I

Cum

x·x

I

I

:9¢>

•.••

-

i

= 3 ¢> log3 x-I I I,J,. 9 - - ¢> og9 X = ¢> x = 2 ~

c) x· x· x = 3 ¢> 9~'

~ Q

u: Subiectullll •

'S

I 2.+1 II 1 I fx2• dx== _x_ =--. Deci limn fx2'f(x)dx= 0 2n + 1 0 2n + 1 .-+00 _I

0

. ~=-. "~2n+l

2

festul8

Sllbiectull

..

._

_

Ecuatia zZZ + z + 2 = 0 are solutiile z ~I z . Cum z- z = 1 , rezulta cli 1z12 = 1, deci Izl = 1. Daca a 0, atunci f este functie de gradul II care nu este functie monotonli. Pentru a = 0, p> = 2x + 3, decif este strict crescatoare.

i.

*

J.Ecuatiasescrie

(~r

-3(~J

+2=0

¢> ((~J

-IJ((~J

5 ;

b) ~f(x)

(x-I)2 x(x+Ii-'

>0

strict monotone

P.::l=-2,

este 2

C;.

Atunci

C; = 20

2

deci 2a + ~ = 4. Cum ME davem a-2~

•• Presupunem

¢>

C; = 10

de unde a

=-5,

=1

~i

5

cli triunghiul

AD = "/144 - 36 = 6~ orizontalli spre +co, Cum m = Jim f(x) = 0,

=1 sau (~J

=2,

¢> n(n - 1) =

din A pe dreapta d : x - 2y + 5 = O. Cum md . mAM = -1 rezulta

a-I

\I XE[I,x=I,reZUltliclifestestriet

=
-2J=0¢>(~J

cicci solutii1e sunt XI= 0 si X2 = Iog2l32.

simetricullui A fata de dreapta d, atunci x A' = 2a - x A =

1.a) f'(x)=l_~= x (z +I)! cresclitoare pe [I , co),

~

.

9<12

3

f(x»dx=

=20, deci n = 5. I. Fie M( a, ~) piciorul perpendicularei

¢> (X,)log •• = 9 ¢> x' = 91089'- 9108,9 E (0, co) \ {I}, rezulta cli toate elementele din G sunt simetrizabile

=-.

0

1

•• Numlirul functiilor

=x.x=e¢>91og,.-Iog,.,

I

!

I fx2'(f(-x)+

_I

x. (y. z) = X. 910g.y-log.z _ 910g,.-"'-'(9"'.,..•.••') I I =9OS'~OS'~Jos,z

oi y

•

IQ

, deoarece:

v

I fx2'f(x)=

em

1

x311

If 2

dx= x dx=0 3

1

este dreptunghic

YA'

= 2P -

DacliA' este

5

(1,~) .

= ~ ,deci A' 5 5 5 in A. Atunci BC = 2R 12 ~i AC = 6. Cum 5

~i

p= 14.

YA

, rezulta cli perimetrul MBC este 18 + if3 .

Subiectulll 1.1l) Inversiunile lui a sunt (1,2), (1, 3) ~i(2, 3). Cum m( a) = 3, rezultli cli a este pennutare impara,

~

rezulta cli graficulluifnu

~

c) Din punctul a) rezulta clIj{x)

~ •

a

11\

w ~

III

ffi

d

are asimptota oblicli spre +
> j{I) = 0 \Ix E (I ,

x --1 IIn.:!.>~_X-y 2 y x - --, _ +I x+Y y

If 2

hi

k+I In-k->

• I t;2k+I

. pentru once

,de unde t+t

x y E (0 co) "

2. _ =Inr

Z CC

:E

• 314

a)

Aria

suprafetei

II - In(1 + I) II = IneI

b)

este

e.

,x > y .

+ ... + 2nl+1
I

2

_IX f(x)dx=

Of _l

~ f(x)

I dx = f

0

0

A

1 k+1 1 tunci - In -> -2 k 2k+I'

\I k > 1 deei -,

• (rrk+IJ=IIn(n+I). hi k 2

f.

j~

dx. = e' • dx = = 1+ e 0 e (I + e ) I 1(1+ 1)

I

I

/X2f(X)dx=

fI2f(-/)dt+

b) E(f(x)t.= 1 ¢> e(ax) = 1 ¢> e(a) . e(x) = 1 ¢> e(x) = -1 ceea ce demonstreazli echivalenta din enunt, c) Avemj{x) =./fy) ~ ax = cry ~ x = y, decif este functie injectivli. Fie p numarul permutlirilor pare din S. ~i q numarul celor impare. Deoarece f este injectivli ~i duce orice permutare para in una impara, rezulta cli p ~ q. Cum f este injectivli ~i duce orice permutare impara in una para, rezulta q ~ p. Obtinem

p = q = 24 = 12 . Deci oricum iamultim permutarile 2 produsul este diferit de a.

2.

8) Notand E = [~

o err.!__

IlI

1_) dt == 1+1

In(e+ 1)+ In2 = In~ e+I'

x2f (X)dx+

X

) d . 1 In x-I , --I' \Ix E (1, co), Rezulta eli x+

•

~ ~ ~

>-+00

EF = FE = F,

avem

~

~l

~i F = [ ~

0 1

A(x)·A(y)

~

~

-1 0 -2

1'

din S. obtinem

permutare para, deci

avem A(x) = E + xF . Cum E2 = E, F2 = 2F ~i

= (E +xF)(E + yF) = E +(x+ y+2xy)F

aPartine lui G, deoarece 2xy +x+ Y = 2( x+1)(Y

0

+1) -t

* -1,

= A(2xy+x+

pentru orice X,Y

y),

care

* -t·

b) Din punctul a) inmultirea matricelor este lege pe G. Inmultirea matricelor este asociativli si A(x) . IX2f(X)dx=

Ix2(f(-X)+

f(x»dx=

A(O) = A(O) . A(x) = A(x), deci A(O) E G este element neutru.

Fie x E lR \ {-1} ; atunci A(x) este

000

sirnetrizabila daca si numai daca exista x' E R \ {-1}

astfel indit

A(x)· A(x') = A(x')' A(x) = A(O) ¢>

3

<=> A(2xx'+

X

+ x') = A(O) <=> x'(2x + I) = -x <=> x' = __ x_ E JR\ 2x + 1

simetrizabil in G si (A(x»)' = A ( __

{-!}. 2

A (x)

Deci,

este

elellle III

X_) .

S&lbledull

2x+1 f(x)· f(y) = A(

c) Avem .

oncare ar fi X,Y

E

E=!)A (L=!) 2

JR., decifeste

2

estul9

= A(2(~-!+!)(~-!+1..)_1..)_ 2 2 2 2 2

2

1. Avem I + 3 + 5 + ...+ (2n + I) = ~:C2k + I) = 2 :tk + :tl = n(n + I) + n + I = (n + Ii. Relatia din

(XY-I)

t=o

= I(X)!)

2 - A -2-

,

morfism.

.

daca X,YEJR·

Injectivitatea: Surjectivitatea:

f (2x + I) = A (

astfel locat f(x)=f(y)~A(X-I)=A(Y-I)~ 2

= y-I

x-I 2

2

2

Fie A E G. Atunci exista x E JR\ {_1..} " A = A(x). Cum 2x 2 astfie I" meat 2x+I-I) 2

= A(x) = A , decif este surjectivli.

in consecinta.j"

+

i

:;) 0

limxf(x)=limlnx-ln(x+l) ••.• ""

.

"*

E

0

~I

(0,00). Rezulta

~

·

~

C A. :;)

0

u

·

:;) Z

-e ii 11.1 A.

••.• co

•

+ I)

. x = - X-+CDX+ hm --I

Z ocr:

ID

ac 11.1

""ci

·

11.1

:z:: v -e

0

0

z -e ~

• 316 L

L'Hospital

in

cazul

0

o

I v I ::

I

b) Avem 0

n

R

'

x2n+I).

02n+1

=.Jj2'

x2n+l.

dx

smx

=2n+lsmxlo-

I

Cum

= 2sinl + eosl-

I

IIX2n+1 o

I

2n+leosxdx=-2

J104

. Deci S =

L= 3.Jj 4R

10. Atunci

echilateral.

Din teorema

sinusului

.

4

-~J. 0

=

sunt coliniari, rezulta cli 2 = m ,deci m 5

. 6. Fie I latura triunghiului

= 256

~J'

Atunci 2X2 = [-~ -I

de unde 2X2 + X + 12 = O2, deci X

E

M.

-I

in consecinta, A

este inversabilli.

c) A EM<=>

A2 + 1..A + 1..12 = O2. Din teorema lui Hamilton-Cayley 2

infinitate de matrice

*- o.

este suficient sa gasim

0

2

A = (a

b)

e d

2

E

M2(lR)

cu

a + d = -1..

ad - be = 1...

~i

2

_1-.

2b

I

I x 0

2. (I) Avem er2 =

Alegem, de exemplu

2

bJ ' cu b E JR', apartin lui M. 0

(I

2 3 4) = e , deci ordinullui o este 2. 1 2 3 4 b) Fie 't., 't2 E H. Cum e('t1't2) = e('tl) . e('t2) = I, rezulta cli 't1't2 este para, deei 't1't2 E H. Fie I t E H. Cum e(e) = e('t . 't-I) = e('t)· e('t-I) =e('t-I) rezulta cli e('t-I) = e(e) = I, deci 't- este para, de unde 't-I

I

Isinl-_I-Ix2n+lcosxdx. n+ 2n+1

E

H. Deci H este subgrup al grupului S4·

c) Fie f:

S4 --+ S4 un morfism de grupuri. Dacli f(er) = G

0

rezulta

cli

li II X 2n+1 n~ cosx dx . o

n+

=

v

a = -1.. , d = 0, b E JR' ~i c = _1-. . Matricele (-~

'3

I

n

=

3

2.

"Ix E [0 "I] deci 0 -< IIx2n·smx dx < x2n+1 II :: - II.Jj -x 2n dx=_V_;}.__ 0 0 2 2 2n+1 0

0 - 2 ' 2

2b

s sinx s sin I < sin~3

r: _ '13 . , - 4n + 2 ,pentru once n EN. c) I =

2

'

1x(Sinx)'dx:=

£

2'

r

2 II II -cosx )'dx =-xCosxo+20xeosxdx=-cOSI+2·

= +cos l + 2xsinxl~ - 2 sinxdx: = - cosl + 2sinl + 2eosxl~

E {~

b) Avem A EM<=> 2A2 + A = -lz <=> A(2A + lz) = -12• Rezulta det(A) . det(2A + lz) = I, deei det(A)

1_)

2. a) I 10= Ix2sinxdx-Ix2-0(

.J4 + m

1. (I) Fie X = [-~ 1

3 e E (x, x + I) astfel incat In(x + I) -lnx = g'(e) = 1..E (_1_, 1..). Atunci In~ E (_1.. __ e x+J x x+1 x' z +] deci -1.. < f(x) < __ 1_. x z +] I

[0, 1t] <=> 3x

E {~,~,

Subiedul"

,rezultli cli limita ceruta este -I •

E

57r} ,iar cosr = 0, x E [0, n] <=> X = ~, rezulta ca solutiile sunt x E {~ ~ 57r}. 6 2 6 2 6' 2' 6 4. Numlirul total de functii este 53, iar numarul de functii pentru care .f{1) = .f{2) este 52. Rezulta cli (::) X

Cum

c) Fie x> O. Din teorema lui Lagrange aplicata functiei g: [x, x + I] --+ R, g(t) = lnt rezulta ca

z ac

lui

x2

v

III 11.1

teorema

I

~ :;)

Aplicam

1 <=> eos2x + cos4x = 0 <=>

"""

rezultli cli I = 2R sin ~ =.Jj

I x

x(x lim0--1•...• __

l+cos4x 2

-",,3x . cosr = 0 <=> cos3x = 0 sau cosx = O. Cum cos3x = 0, x

I

este izomorfism.

+ I), deci f'(x) =1.. __ 1_=_1_ > 0 V x x + I x(x + I) ,x

t=o

==>x=Y.

cli f este strict crescatoare,

l-

+

numlirul cerut este 53 - 52 = 100.5. Cum Ii ~i

1. a) Cum x > 0, avem.f{x) = Inx-ln(x

....• 11.1 ac

. l+cos2x este echivalenta cu 2

J. Eeuatta

Subiedullll

b)

t=O

enunt devine (n + Ii = 625 <=> n + I = 25 <=> n = 24. J. Avem.f{x) =~(~ - 2) + 3. Cum f(O) = f(.fi) = 3, rezulta clifnu este injectivli.

cosx dx ,rezultli

ca

. n In = -sin I lim 1. •...•"" 2

Atunci,

din =/(cr)

= G

~

!~J !~ =G

:).fals.Deci

f(er)*-G

2

3

4)

atunci e = .f{e) = .f{if) =

3 4 2 ' ~

!~).

Subiedul

III

1. a) limf(x)

subiectul " = lim x + I. XIn(I +.!.) = lim x + I In(I

x-+oo

X

X-JoOO

X

x-+oo

X

+.1)X x

= I . Ine = I, deci dreapta y = I este

asimptota orizontala spre +00. b) f'(x)

= In(1 +.1)_.1, x x

b) A eM=> det(A

x e (0,00). Cum f"(x) =_I __ .1+~ = 2 1 > 0, Vx e (0,00) rezul" x +I x x x (x + 1) ''<1

f(k) =In(I+.1)=in(k k +1 k !

+ 1) - Ink, deci tf(k) = t(In(k+I)-lnk)=ln(n+I). 1=1 k + 1 1=1 In(ln(x + 1»

!In(ln(.+I))

lim(ln(n + 1»' = lim e'

•...•.,

< 0, Vx e (0,00), adicaj" este strict descresclitoare.

= 0, decif'(x)

. Cu teorema lui L'Hospital,

• .....,

lim

x.....,

= lim

x...•.,

X

Atunci

2.a)

I

fxf(x)dx= o

1 2' f21 dt= -2 In 2

I

1

-I

1

0

0

2

0

2

-I

fxTX> dx= --

f21 dt=-

n

= f f(x)dx-

'" 0

-I

1 =_ 4ln 2

loa) (fa );,)(x) = a);,(x) + 3(1- a) = a( bx+ 3(1- b») + 3(1- a) = abx + 3(1- ab) = fab(X) , V X e JR .

,

'*

'*

111+1 -In>

~

~ ~

o

u.: •

x = - 2ln2

I' I

0:5;1. =

fTX' I

dx:5;

f2-X

dx =

0

fa

limf(x) xl'I

I

X

< _1_

= _I_(.!. -~) ln2 2 2'

2ln2

0

c) Din teorema de medie, exista c. e[n,n+I]

o

u • ~

lim c, =00, rezulta ca limf(c.)=

lim2-<": = limTx> =0, deci lim ff(x)dx=0

,,-tao

n-+oo

f f(x)dx=f(c.)(n+I-n)=f(c.).

a

\

Subiectull > 23 rezulta

ca 3> 21•s > 2./2. Rezulta

ca Iog23

>.fi,

deci

log; 3> 2.

Atunci

2

Iog23 > _2 - = 2 log, 2 = log, 4 . 2. fix) = 0 <=>X4 - 2x2 - 3 = 0 <=>(Y! + 1)(Y! - 3) = 0 <=>x = Iog23

p-

2 = -I, deci

Z 4C

6. Avem B + C = 1r - A >

~

rezulta ca sin B > sin (

• 318

a-I

0.

+

P = 3. Deoarece

f' f fdeci

>B >

C ) = cos C .

M(a,

f -C .

limf(x)

= --00, limf(x)

xl'2

x'\.2

I

= +00, deci dreptele de ecuatii

f

I

2X2 )-; . (.!.)-; = lim(.!.)-; = limyY = limeYlny = e~YInY = 1, deoarece 3x + 2 x x ...•eo x Y~o Y~o I

lim Y-2 =~(-y)=O. Y~o-y Y0

P)

e d, avem

0. -

P = 3, deci

0.

= 3 ~i P =

2_. x-I

(X_2)3 x -1

=2 <=>x-2 x-I

I( 2

)'

Rezulta ca !"(X)=4(_2 (X-2)3 =ifi

= .!.In(t2 + 2) 2

I x+2 2x I t +I = It 2 + t dt = ft dt =o t +2 0 z +] X

o.

Cum functia sin este strict crescatoare pe [0,

=_4 x-2

- dt =.!. f~dt 2 0 t2 + 2

b) f(x + 2) + 2f(x)

'*

rezulta ca

-

ot +2

±Ji ,

a: rezulta ca graficulluif taie axa Ox in doua puncte. J. Pentru x > 0, x 1 ecuatia este echivalenta ell 2 t' c:i x: - 3x + 2 = 0, ecuatie care are solutiile XI = 1 ~i X2 = 2. Cum x'* 1, ecuatia are solutia unica x = 2. .:. 4. Numarul este cio' CI~' 5. Fie M( 0., P) piciorul perpendicularei din A pe d. Cum md• m AM = -1 , ~

~ Zoi

x2

L:

2x (x-I)(x-2)

2. a) f(l) = II-t

III

~ ~

x ...•.,

<=>_2_=_I_<=> (x - 2)3 (x _1)3

J 2

21, pentru orice x e JR , de unde

II~

c) f(x)

1. Cum 3

= lim(

limYlnY=limln~ Y~o Y~oY

.

Z

~

d) = 8x -

= 1 ~i x = 2 sunt asimptote1e verticale ale graficului functiei

Cum

.+1

~

este grup.

21, conditii indeplinite pentru a = 2.

= --00 si, respectiv,

x'\.l

x ...•eo

::~

x-+ao

(G,o)

Ca urmare,

continua pe R \ {1,2}, studiem lirnitele laterale ale functieij" in punctele I ~i 2. Avem

= +00, limf(x)

b) lim(f(x»~

'S

~ Testull0

d) = -

I

.+1

"-+(0

It.

fa = fu' . Atunci !.,(x) = 8x - 21 <=>dx + 3(1 -

, rezulta ca sirul (In). este marginit.

astfel incat

fa =

0

Subiectullll

I

0, Vn e N*, deci sirul (In)n~1 este strict crescator, Deoarece

f! = f!

0

rezultli ca a3 = 8 ~i 3( 1 -

1.a) Cumfeste iit

'*

b) Cum a 0, b 0 => ab 0, din punctul a), deci compunerea functiilor este lege bine definita pe G. Compunerea functiilor este asociativa, are element neutru, deoarece fa 0 It = It 0 fa = fa, Va e JR* , si,

c) fa

Cumf{x) > 0, Vx e JR, rezulta ca

f f(x)dx.

A2 = (a + d)A = A', rezulta cli (a + d)a = a ~i (a + d)d = d,

Cum

a

n+l

ff(x)dx=

I

1

cli det(A) = 1.

2 deCi (a + d)2 = a + d. Daca a + d= 0, atunciA' = 0, deci a= b = 0 ~i if + b -a = O. Daca a + d= I, atunci 2 A =At. Rezulta b = c si d= I-a. Cum ad- bc= 0 obtinem a(I- a) - b = 0, deci if + b2 - a = O.

pentru orice a e JR., fa 0

'* 0, rezulta

Cum fa 0);, si fab au acelasi domeniu de definitie ~i acelasi domeniu de valori, rezulta fa 0 );, = fab .

1 (x + 1) ·In(x + 1)

n

n+l

b) Avem 1.+1-1.

e M cu det(A) = O.

det(A)

Cum

0

de unde rezulta ca lim In(ln(n + 1» = 0 . Ca urmare, limita ceruta este 1. a-eee

0 = A = A' , rezulta A e M

= det(A~ => de~(A) = det(A).

)

!J

e) Fie A = (:

(I 0)

0 . Cum A 2 = 0

2

caf' e strict crescatoare. Dar ~f'(x) c) Avem

(1 0)

,. a) Fie A = 0

I_). (X_1)3

Avem

<=>x= ifi -2. ifi -I

0

=.!.In 1.. 2 2

II

1

0

x +I

II

X

X

c) Cum f(x + 1)- f(x) = IIt 2(t -1) dt :5;0 ,rezulta o t +2

f(x + 1) :5;f(x),

Vx > 0 . Folosind acest lucru, avem:

3f(x + 2):5; f(x + 2) + 2f(x):5; 3f(x) , de unde, conform b), rezulta 3f(x + 2):5; x: 1 :5;3f(x),

fJ

!"(x)=O

Obtinem

_1_:5; 3(x+I)

f(x) :5: _1_, 3(x-I)

de unde

_x_:5; 3(x+I)

xf(x) :5;_x_, 3(x-1)

Vx >

o.

pentru orice x > 1. Cum

1

,

I

1

lim_x_ = lim_x_ =.!. ,rezuita ca lim x f(x) =.!. . x ...•., 3(x + I) x ...•eo 3(x -I) 3 x ...•., 3

31

Testulll Subiectull 1. Fie z(= a + Img =

-00,-

•.'* x = e <=:> .!.(x2

i:

''''''''

2

2

4a = (-oo,a+4].

3•.Ecuatia se scrie 8 + ~ ~~x stnct descrescatoare,

2. Imf = [- 4~'~}=

[2,~},

~

(~J+(i- J

= I. Cum functia j": IR ~

JR, f(x) =

(%J +(i-

J

'/este

este

submultimi ordonate cu trei elemente care contin elementul I . .. . . . pe pnma pozipe, Analo pentru submultimile care conpn elementul I pe pozitiile 2 ~i 3. Numarul cerut este 3A; = 36 . g 5. Fie B' simetricul

xB' =2xA -xB =-2

...

w

ex: l-

i:::l Q

~i YB' =2YA - YB =2.

•

§

x ...•o

61bledullll -

1.

Punctul

,I II,

to[:

1.a)Avern A' -I, = rangul cerut este 1.

h) A' =aA +bI, .,,[~~ 16

~~ 16

I I]

1 1 . Cum A2 1 1

h#

-2x,

17

2a 2a 3a+b

2a

2a

x2 ~;

t) Inegalitatea 2j{x) ~ X4 este echivalenta cu ex' -1-

vt

E

x

x-+o x>o

x-+o X>O

lim I(x) = lim eX' -1X4

x-+o

X4

X

I.l. 1.(X2 _1)(y2 -1)(Z2 -I) + 1 = '14 4

~ w

=

~

= ~±(X2 -I). ±(y

-1)(Z2 -I) + I =

~

• Element neutru: e

E

2

2

"

7

x-+o X>O

1(:) .

Cum,

2 (x -1)(/-I)(z2

-I)

16

2 (x -I)(Y:;

•

• Simetri za bili . x I itatea elementelor. FIe

E

lui L'Hospital

cazul

Q

avem

0

+-'

X

1(:»)

.-+0 x
=-

X

4~

tn

,

deci g nu este derivabila in Xo = O.

(X3) _+x2+2x

3

\1 = -+3=-. 1

3

I

0

3

I

dx~ f2" dx=2",

(x. y).

Z

10 3

X_

deci lim J, =00.

0

c) I" = f(x + 1)'(x2 + 2x + 2)"dx = (x + 1)(x2 + 2x + 2)" o

I

I~-2n f(x + 1)2(x2 + 2x + 2y- dx l

=2·5" - 2" -

0

I

= ( ~r-±-(X-2-_-1-)(y-2-_-1)-+-1)* Z '"

I . (y) + ,~lX* ·z =x*

-2n f(x2 + 2x + 2 _1)(x2 + 2x + 2)"-1 dx = 2·5" - 2" - 2n I" + 2nl"_1 . o Rezulta ca (2n + 1)/" - 2In-1 = 2· 5" - 2". Cum lim ~ = 0, rezulta ca limita ceruta este 2. S"

-41(y2_1)(z2_1)+1

n-tCXl

* e = e • x = x,

\::IxE (1,00) <=:>e2=5 <=:> e=

(1,00); x este simetrizabil daca exista x'

\::Ix

E

(I, 00)

-e

u

¢

J5 E {1,00) .

E

.-

~

I

Testul12 1)(Z2-I) + I, deci legea ,,*" este asociativa,

2 2 -I) =x2 -I, = x <=:>±(X-1)(e

~±(X2 -1)(e

din teorema

X

Y

6) Avem I = f(x2 +2x+2)" o

\::Ix,YE(l,~);

(I, 00) este element neutru daca si numai daca x

;

-1)+1

(1, ~), avem:

t - t2 ~ 0, \::ItE [0,00). Fie g :

x2 = lim e -1- y = lim e -I = 1. , rezulta ca g~(O) = lim g(x) - g(O) = y-+O / y-+O 2y 2 ~-::g x ~

2. G) 11= If(x2+2x+2)dx= o

b) Din ipoteza "." este lege de compozitie pe (I, co), Verificam axiome1e grupului: E

2

<=:> e' -1-

[0,00). Rezulta ca g este crescatoare, deci g(t) ~ g(0)

I

Z

4

este

, de unde 2a = 16 ~i 3a + b = 17, ceea ce

l.a) ~±(X2-1)(/-1)+1=t~(X2-1)(/-1)+4=t~x2/_X2_y2+5=X.Y,

pentru orice x, Y,

e - 2).

R, get) = e' -1- t - t2 . Cum get) = e' - 1 - t si g'(t) = e' - 1 ~ 0, \::ItE [0,00) rezulta ca g

~

.-+0 x
7

Asociativitatea:

deci (I,

2

(0, 00)

iar g;(O) = lim g(x) - g(O) = lim(-~

1

~

i·

A(I, j{l»,

este I '(1) = 2e - 2. Ecuatia tangentei

rezulta ca panta tangentei

:: 0, \::ItE [0,00) .

03 si toti minorii de ordinul doi sunt nuli, rezulta ca

b 3::b

=

y), \::Ix,y E (0,00),

x-+'"

_e+2=2(e-I)(x-I).

.-+0

~:l[3~:

de unde

strict crescatoare, rezulta cafest~ injectiva: C~feste =00, rezulta ca Imf= (I, 00), decij'este surjectiva.

de pe grafic de abscisa Xo = 1 are coordonatele

curnf'(x)=2xex'

y

-{§-, x -I

-I) + 1= ~~. 2x· 2y -I = .J2XY -1 = f(x·

morfism de grupuri. Deoa:e~efeste crescatoare, limf(x) = 1 ~I lim/(x)

COOtlJl"'"

.,

c) A2=8A-7/3<=:>A2-8A=-7/3<=:>A(A-8/3)=-7/3<=:>£I=_1.A+~/.

320

~(f2(X) -1)(f2(y)

=

cl lim g(x) - g(O) = lim ~ I(x) = lim~

ffi

s

ca

* l(y)

Subiectulll

conduce la a = 8 ~i b = -7.

~

Rezulta

BD =2R =2D = CD de d . A I "2 . A' un erezultaca smsm2 2

Z cC

§

- YA'

2

J<

2 -I) = 4 <=:> X,2 = 1+

> I, deci toate elementele din G sunt simetrizabile. Rezulta ca (G, *) este grup.

cste strict crescatoare, deci get) ~ g(O) = 0,

•

:::l

6. Avem

YB' + YB _

lIP ...

J5 <=:> .!.(X2 -l)(x' 4

BD = CD. Din teorema bisectoarei avem ca BD = AB deci AB = AC CD AC' .

u.:

'5

xB' + xB = x si 2 A

lui B fata de A. Atunci:

X2 _I

I(X)

deci injectiva ~lj{l) = I, rezulta ca ecuatia are solutia unica r = 1.

A;

-r

•••~l

Atunci 1Imf n Img 1= 1 <=:> a +4 = 2 <=:> a = -2.

x

4. Exista

~

2

JAtunCi a +b = (a- .. +b ee- 2a-1 = 0 <=:> a =t·

-l)(x' 2 _I) + 1 =

4

(1,00) astfel incat

Subiectull 1. Numarul este

~ ~

J3 -I 2

+

J5 - J3 + J7 - J5 + 3 - J7 = I EN. 2

2

2. Cumjf-O

= -j(0), rezulta caj{O) =

~ ~

+ I) = 0 <=:> t = O. Deci x =

•

2

0, deci produsul este O. 3. Notaro {/l- x = t . Ecuatia devine t= -

r <=:> t(t

1 este unica solutie a ecuatiei, 4. Daca multimea are n elemente, atunci 2"-1 = 16, deci n = 5.

321

s. Fie

h Inaltirnea din A. Cum panta dreptei BC este 1 rezulta ca panta lui h este -I. Ecuatia . lui h este = x + 1. 6. Avem cos2100+cos2500+cos2700= l+cos20° +l+coslOO° +1+cosI40° 3 y 2 2 2 -"'2-!+1 (cos 20° + cosl 00° + cos1400) = 1+1(2cos60°cos40° 2 2 2

+ cos1400) =

2

.

"n

2. a) Aria = J1f(x)

1 + 1 (cos 40° + cos 1400) 2

fals • Deci sirul x; > _ 0 ,v'-In E ",,' 1"1 , y

o

Idx --

(x n ) n2:1 este nemarginit si, fiind descrescator, rezultll cll "-I>«) lim

~

I

2

COSX

. 2 dx J1+ SID 0 x!!

-"J

cosx dx = J~1+ sin2 X 1+/2

0

I

J~=2 2 1+ t

J~= 1+ /2

2

- cos400) =

2

b) Cu schimbarea

de variabila

y

= 2n - x avem:

2 (21Z'_ f K

J .( -1-3 3 9 J = O2 . Rezulta A4 = O

2,

y)

o

deci A E M.

cos(27r - y) dy = 1+ sin 2(27r - y)

solutie a ecuatiei y2 = A ; atunci y4 = A2 = O2, Rezulta cll Y EM=> y2 = O2 ~ A = O2, fals. Deci ecuatia nu are solutii. 2. a) U E (2, (0) este element neutru al legii "." ~ x. U = U. x = x, Vx E (2,00) ¢>

~

-2 = e ~

U

lui

k

y)

fey)

dy =

0

f 27rfey)

dy - 1 ,

0

f 1+co~~ SID Y

dy =27rarctg(sinY)I~"

= 0, deci 1=0.

0

L'Hospital,

cazul

0 0

avem

lim...!...xf(f(t) -I) dt = lim f(x) 2 -I = x ...•o x

x ...•o x2 0

0

(x_2)In(u-2)+2=x, U

teorema

f (27r -

2x

o

Din

co~~ dy = 1+ SID Y

y)

0

f

c1 "

2K

k

de unde se obtine 21 = 27r fey) dy = 27r

.r

~

f (27r -

21f

b) Fie X E M. Atunci 0 = det(02) = det(X') = det\\'), deci det(X) = O. Din teorema lui H '1 ton Cayley, rezulta cll ~ = tr(X) . X, deci X' = tr(X) . = ~(X) . ~ = n-l(X) . X Atunci n-l(X) . X = ;rud tr(n-l(X) . X) = tr(02), de unde tr4(X) = O. Rezulta ell tr(X) = 0, deci ~ = O2. 2, eel

c) Fie Y E M2(1C)

0

o k

1. a) A2 = ( 3 9 -I -3

=!!.... 2

1 = J xf(x) dx = - J (27r - y) f(27r - y) dy =

2

Subiectul "

0

2

=::

1.

l

2aretgtl

0 2"

1+ 1(cos40°

Xn = -00 .

Vx

E

(2,

(0)

(x-2)ln(u-2)=x-2,VXE(2,00)~In(u_2)=I¢> =e+2 E(2, (0). Cum (e + 2). x= eln(x-2)+ 2 =x- 2 + 2 =x, Vx E (2, (0), rezulta ell

cosx -I . 2 . 2 . (..) SIDX SIDX -lim I + sl'n2 x = lim cosx -1- SID x = I'1m -SIDX - SIDXCOSX = li m ------cosx 2 - x...•o x2 x ...• o x x ...•o 2x x ...• o 2x x

----.

3 2

~

= e + 2 este element neutru. b) x E (2, (0) este simetrizabil ~ 3.x' E (2, (0) astfel incat x. x' = x'. x =

Testul13

U

Daca x

'* 3, atunci

In(x - 2)

'* 0 si

U

~

(x' - 2)In(x- 2) = e + 2.

x' = 2 + (e + 2) In(x-2)E (2, (0) , deci toate elementele diferite de 3 sunt

'* e + 2 , deci x = 3 nu este simetrizabil.

c) Avem x. x. x = «x - 2)ln(x-2)+ 2). x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 si x. x. x. x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 . Ecuatia (x - 2)1n'(X-2)= 3 ~

XI =2+e~

Subiectulill

~

•

1n4(X - 2) = 1n3 ~

>2 si x2 =2+e4'iD3

.Jk

_1_

simetrizabile. Daca x = 3, atunci (x' - 2)1n(3-2)= I

se scrie

Subiectull 1. Cum pentru kEN·,

>2.

In(x - 2) =

±\t'll3 ~ x -

2 = e±~.

Obtinem

E Q ~ k este patrat perfect, rezulta cll numarul cerut este egal cu numllrul

plltratelor perfecte cuprinse intre I ~i 2012. Cum 442 = 1976 < 2012 < 2025 = 45~, re~ltll ~ll exista ~ patrate perfecte, deci multimea are 44 de elemente numere rationale. 2. j(0) = 2 implica j" (2) = 0, iar j{-I) = 0 implicllF1(0) =-1. Ca urmare, (f-I ° rl)(2) 3. Avem sinx =-J3cosx

= rl(f-l(2»

= rl(O)

= -I.

sinx =-J3 ~ tg x =-J3 ,x E [0, 2n) ~ x E {2;, 5;}. cosx 4. Exista 4! permutari care au pe prima pozitie numarul 2 ~i 4! permutllri care .au pe p~a pozitie numarul 4. Exista deci 2 . 4! = 48 permutari cu proprietatea din enunt. s. Prin calcul direct, sau 4 4 ~ ~_~=~ . 4 4 folosind relatia C: = C:_I + ,avem: C; + C! + C; + C~ = C4 + s - C4 + C6 - s + 7 6 7 . em 6. Avem 2 sinB cosC = sinA = sin(n - (B + C» = sin(B + C) = sinB cosC + cosB sine. <,>btin ~in! ~

C:~:

C

cosC _ cosB sinC = 0, deci sin(B - C) = O. Cum B - C E (-n, n), rezulta B - C = 0, deci B = C

Subiectul " : ) EM,

X'* O2, Atunci det(X) =

.

b = 0 obtinem a = 0, deci X = O2 fals, iar pentru b

::r:: u

cll J2

w

este numar irational. Obtinem det(X)

CC

Z

ID

consecinta, triunghiul ABC este isoscel.

1. a) Fie X = (;

o cc:

~I,

b) Fie ~ = ( :

~). Atunci AX = XA ~

(

d-- 2b2•

'* 0 rezulta

2

Dacll det(X) = 0, atunci 2b = 2

cll

a IJ = 2,

'* 0, deci X este inversabilll.

!~: ~ )(

) = (:

b)(3 d 4

deci \ a \ - J2 eCI

b -

2) 3 ~

d-. Pentru

, fals pentnJ

(3a+2C 3b+2d)= 4a + 3c 4b + 3d

Q

Z CC

~

• 322

= (3a + 4b 3c+4d

2a + 3b) 2c+3d

~

3a + 2c = 3a + 4b si 3b + 2d = 2a + 3b ~

c = 'lb ~i a = d <:::

I

<::> X = ( a 2b X

E

b) eu a, b a

a X =( 2b

M~

E

Q, deei X

b) . . Atunci X a

E

M c) Fie X 2

2

=

(a

0

solutie. Cum AX = Jf . X = ~ = X· Jf = X4

+ 2b 4ab

2ab) 2 2' a +Zb

h (-2-I -I) I

sau a = b = -1. Daca a = 2b, atunci 2b2 = I, deci b = ±

xi 2.

matricele

XI = ( ~

~)

~i

X2 =

•.02 2 2 Cum .•c = A ~ a: + 2b = 3

•

~I

ab = I

.

rezulta

ca fi

E

0/0 =/0 0fk = fk, 'dk

Z rezulta cll operatia de compunere are element neutru, /0 cu 11-1= 1-1

E

i::::I

e) Fie /. g

E

H. Atunci

o u.:

= h(1-p)

H , rezulta ca H este subgrup allui G.

0< ....I <

Subiectullll

Q.

::::I

·

1= hk

~i g = hp cu k, P

-i)

> 0, 'dx

-i,

unicul punct de extrem (minim) a luif

Q.

b) Avem

·

::::I

,f'(X)

1+(I+X)2

0:< ::E

U

- pentru m

E ( --CO, -

2arctg

Z

0< CCI

- pentru m = - 2arctg

Ill: 11.1

- pentru m e ( -2arctg

• 11.1

U

-e

o Z ;

e) Fie x

Z. Cum

r-s:'

= h1

0

h~1 = h1 °/_3P = h1-3P

1.

i)

00) ~i f'

(-i)

2x+1 (I +x2)(2+ 2x+2x2)

= 0, din monotonia lui/rezultA

si 1(--21)=-2arctg- 1. 2

0

i,

e

E

I

l24

'

2. a) 11= fxsinxdx=

=

ca

<0 pentru

. 5

1.Avemz=

iJ

Xo =

-i

-[x+~J

= f(x)

-[x+

c2 =16

, pentru orice x

0

E

0

ca

1-[

x +~J -[x] -1 =

periodica, cu perioada ~ .

I d .

2

I] = [2x] +

I tiil

t

1_ x = _1_ . 2 J2

J2'

<::> n+ n(n -1) = 16 <::> n2= 16, n ~ 2, deci n=4.

5. Fie M rnijlocullui

[BC]. Avem

xG

=

x + xB + Xc A

3

~

xB

_ 3 _ + Xc - xG

YA + YB + Yc ~ Y + Yc = 3YG - YA = 10 ~ YM 3 B

=8~

X A

= YB +2Yc = 5,

x +x

= _B__

X M

2

C

= 4 si,

deci M(4, 5).

este

Din tabelul de

[x, x + I], exista

< _2_1- ~ I(x) x +1

+~J -[x+

lR, decifeste

I

•

~CA = 2R , deci sinA = 1. Atunci cosA = O. sm

Subiectulll det(A)=

b) Fie dl = O \

-cosl+sinxl~=sinl-cosl.

unde

0

I] = [2x + 1]-[x

a

I 2b

b

I

o

1

2

-a =4a+2b2+a2-4b=(a+2)

> __ 2_1- . x +1

1\ \1 1 = a ~i d2 = 1

-a\

=

X

det(X) nu

=

E

M (lR)

2

-

6

.

. Avem det(A) = -6 daca ~l

1.

4 = a + 4 . Cum d2 - dl

zero, deci rang(A) ~ 2, 'd a,b c) Fie'

+2(b-l)

4

numai daca (a + 2)2 + 2(b - 1)2 = 0 <::> a = -2 ~i b

fcosxdx=

de

., . 7 (1+ 21)(1+ I) = 1-(1 + i)(1 + 2i) = 1-(-1 + 3i) .deci Re(z) = --. + 2 10 10 10

1

I

-xcosxl~+

cosl,

0 ~ I. = Jx· sinx dx ~ I rezulta

.+

3. Eeuatia este eehivalentA cu 22x = 2' <::> 2x = -:; <::> x = 2"' eel so upi e sun XI -

analog, YG

0) ecuatia are doua solutii,

fx(-cosx)'dx=

I -

•..• ",.

2. f( x +~) =[ 2(X+~)J

solutie;

I

sin I

= 0 deci lim n I = sin I . .+2

(1+ i)(1 + 21)

1. a)

(x,x + I) astfel incat g(x + I) - g(x) = g'(e) = _2_1- < _2_1- ~ - I(x) e +l x +1

. sin

E

[0, 00) ecuatia nu are solutii;

ecuatia are

+ 2)

I 2' Deoarece

n (n+2)(n+l)

cosl

6. Din teorema sinusului avem lim/(x)=!!..-!!..=O .-2 2

U

. Cumf'(x)

[0,00) . Aplicand teorema lui Lagrange functiei get) = arctg t pe intervalul

E

o

•

I

G este inversabilll

Z

o Ill:

n

(n + 2 )(n + 1)

2

"'" o l:

E(

lim I(x)=-!!..+!!..=O, ,"'-00 2 2 variatie a luij'rezulta:

III 11.1

E

(X+1)2_x2 (I + x2)(2 + 2X+X2)

X E ( --co,

11.1

E

n

Testul14

n

::::I Z

n

4. Cl +2

I+X2

U

fi

+

0

2) + 2 .31 - 2 =

-

G . Rezulta cll (G, 0) este grup.

l.a) j'(x)=_I-

o

. I

Y!' (n + 2)(n + 1)

Z ~ifk 0f-k = l-k 0 = fk = /0, 'dk

G ~i orice functie

0

I

= [2x] -[x] - [x +

~

·

E

E

2 Ix·- sinxdx=-cosl

-n(n-I)

111

~i

Z, din punctul a) rezulta cll operatia de compunere a functiilor este lege pe

E

cosx dx =

o

o

n

Cum

-cosl+nx·-ISinxr

_

subiectull

Z, 'dk, P

I·-I x

I

0

1)1••..2, deci In + n(n -1)1 ••..2 = nsinl - cosl. - "'D' punctul b) rezulta cll 1.+2 + (n + 2)(n + 1)1. = (n -In

n.I '"-S1l1 n+I

01;, ~ill&p au acelasi codomeniu si acelasi domeniu de definitie,

G. Cum compunerea functiilor este asociativa.j,

E

=b= I

1;, =11&p-

0

b) Cum k + P

Ill:

~~

e)

0

. Cumfk

I+n Ifx·-I(SinX)'dx=

::::>

li" IQ.

= (_XI)2 = XI2 = A rezulta cll solutiile ecuatiei suntX1 si X2• a) Avem (h Ip)(x) = (h(f/x» = 31. I/x) + 2 .31 - 2 = 31(3Px+ 2 ·3P

= 3k+pX + 2· 3k+p - 2 = h+p(x)

Io+n

-x·eosx

I

2

cl- 3ab + 2b2 = 0 ~ (a - b)(a - 2b) = 0 ~ a = b sau a = 2b. Daca a = b, atunci a2 = 1, deci a

Obtinem

Ix (-eosx)

I. = Ix·slDxdx= o

::::>

dx=

tn'

1.

0

E R. . solutie, Atunci det(AX)

3

..'

1 rezulta cll det(A) = -6, deci a = -2 , a = -2 b are so 1u t"II. Daca (1

,

= ~l b = = 1,

4", 0 rezulta cll dl ~i d2 nu pot fi simultan

6 Cum deci det(A) . det(X) = - . t' -2 sau b 1 rezulta cll ecuatla 1. Deci, daca a 117 _ A-I = . AX=~61 <::> X--<.JO atunci 3

d (~I) et

3 '

*

*

3'6.

~

i

•

•

i

I

= 46

[~2: ~]_I

=~

o

2. a) Fie x, y

E

=! ~].

[~

1 4

X

4 + 2 = 2' ¢::> 4x _ 3 . l' + 2 = 0 ¢::> (1'_ 1Xl' _ 2) = 0 ¢:> l' = 1 sau l' = 2. Solutiile sunt x, = 0 si x2 = 1. 3 4. Fie B = {a, b} c {I, 2, 3, 4}. Cum exists 24 funetiif: {I, 2, 3, 4! ~ ~ ~i exact 2 fun~tii constan j{x) = a, 'Vx E {I, 2, 3, 4} ~ij(x) = b, 'Vx E {I, 2, 3, 4} rezulta ell exista 2 - 2 = 14 functii cu Inif = 1

1

2

-3

lR. Cum X*y = xy + 3x + 3y + 7 = yx + 3y + 3x + 7 = y*x, legea ,,*" este eomutativl'i.

b) (1*2) * 3 = 18 * 3 = 124, iar 1*(2*3)= 1*28= 122 rezulta el'i (1*2)*3 1* (2 * 3) e) Legea ,,*" are element neutru

¢::>

3e

E

= 124 = 122

JR astfel incat x*e = e*x = x, 'Vx

E

JR

14.6=

62. 61 ¢::>

xe + 3x + 3e +

JR

E

¢::>

x(e + 2) + 3e + 7 =0, 'Vx

E

JR

¢::>

e + 2 = 0 si 3e + 7 = 0

¢::>

e = -2 ~i e =

-2

3'

foal

s.

Deci legea ,,*" nu are element neutru.

submultimi eu 2 eiemente ale multimii {I, 2, 3, 4}, rezulta ell numarul eerut esl

84.5. Fie Tmijloeul segmentuIuiAB.

ell panta mediatoarei mediatoare

+ 7 = x, 'Vx

C; = 6

Cum exista

¢::>

Atunci T(-I, 4). Cum pantadrepteiAB

¢::>

a = 4. Sau, AM = ME

¢::>

~4 + (3 - a)2 = ~4 + (S - a)2

+d

1 1 Avem -+-+-= 6. ab ae

a+b+e 2p 2 pr 2 S =-=_.-=-.-=-._-=-=abe abe r abe r abe

¢::>

rezull

¢::>

(3 - a)2 = (5 - a:

4a = 16 ¢::> a = 4.

~ 9 - 6a + d = 2S -lOa 1 be

-1,

are ecuatia y - 4 = 2(x + I), M(-I, a) se afla p

este 2. Atunci mediatoarea

a- 4 = 0

este

2 S r 4RS

1 2rR

1 8

Subiectullil 1. a) Cumf'(x) = £f + 3 ~if'(I) = e + 3, rezulta cl'i ecuatia tangentei in punetul A (1, e + 2) la grafieul functieifeste y - e - 2 = (e + 3)(x - 1). 1 + ...+ e-n - 3n -1 = e-I + b) Avemj{-l) + j{-2) + ...+ j{-n) = e-I - 3 . 1 - 1 + e-2 - 3 ·2+e

-2

+...+e

-n

1 1 ...+n)-n=-+2+···+-e e

-3(l+2+

3n(n + 1)

1 e'

1 1 -+2+ e e

n=

2

Subiectulll a2 2 1. a) det(A) = b -1

...

deci lim(f(-I)+f(-2)+

... +f(_n)+n(3n+5»)= 2

n ..• ec

... +1..)= en

lim.!.(~IJ -1 =_1_. •..• e _ -1 e- I

e

i::I

e) Fie m

~

= 0, rezulta ca g(x) ~ g(0), 'Vx

o

lim(.!.+~+ •..• e e

E

JR pentru carej{x) - mx ~ 0, 'Vx

lui Fermatrezultl'ig'(O)

E

E

JR ~i functia g : JR ~ JR, g(x) = j{x) - mx. Cum g(0) = f{0)

JR, deei x = 0 este punet de minim. Cum g este derivabila, din teorema

= O. Deoarece g'(x) = f'(x)-m=e

Pentru m = 4, consideram functia h : JR ~

x

+3-m

JR, hex) = fix) - 4x =

~ig'(O) =4-m, £f - x-I.

rezulta m =4.

Cum h'(x) = £f - 1, din

monotonia lui h rezulta ell x = 0 este punct de minim global. Rezultl'i ell hex) ~ h(O) = 0, 'Vx ::I Z

-e

a:w Q. ~

;; ~ w

i ~

fix) ~ 4x, 'Vx ERin

E

JR, deei

l' aretgxdx f--2 I+ x

= '!'arctg2x 2

= faretgx. (arctgx)'dx

0

0

I' = -!!.. 1 ()2

2

=~ 32

2 4

0

b) jOl(-X) = arctg 10 I (-x) = -arctglOlx = _jOI(X), deci functia de sub integrala este impara. Rezultl'i ell integral a ceruta este O. e) Cum 0 :5:arctgx s; ~ 'Vx E [0, I], rezulta ca 0 :5:Xl arctg'x :5:x3 (~J

Ix rex) 3

dx:5: (~J

!~(~J

~i cum

:5:(~J

' 'Vx E [0, 1] ~i n EN'.

= 0, rezulta ca limita cerutl'i este O.

:z:

Testul

15

~

• 326

1. ~I024 =

1iF = 2-;;

2. f{-x) = -j{x), 'Vx

2

4

2

1 b2 2

1 1 2 2 2 2 b + 1 = (a - b + 1) b -1 4

2 a +li=a2_1 2

a2 ~i 6. =i +1 2 2

E

E

JR

Q ¢::> n 110 ¢::>

¢::>

n

E

{2, 5, 1O}. Deci multimea contine 3 numere rationale

_xl - X + a = _xl - X - a, 'Vx

E

JR

¢::>

2a = 0

¢::>

a = O. 3. Ecuatia devine

4

0

0

1

2 2 = a2 - b + 1 .

1

3

a2+2i=2d.Cum6.2-26.'=2rezultl'iell6.'~i6.2n 4

pot fi simultan 0, deci rang(A) ~ 2. e) Din punetul b) avem rang(A) = 2 ¢::> det(A) = 0 ¢::> b2 - d = 1 ¢::> (b - a)(b + a) = 1 ¢::> b - a = b + = 1 sau b - a = b + a = -I ¢::> a = 0 si b = 1 sau a = 0 si b = -I ¢::> a = 0 si Ibl = 1. 2. a) x

* x = x ¢::> ~

= x ¢::> 8x = 4x + ~ ¢::> x(~ - 4) = 0, X E (-2, 2) ¢::> x = O. 4+X2 b) Din ipoteza, ,,*" este lege pe G = (-2, 2). Verificam axiomele grupului: 4(x+y) (x * y) * Z = --4+xy

4(4(X+ y) + ) ~ Z *Z = 4( ) 4+~.z 4+xy

4(x+y+z)+XYZ,'VX,y,ZE(-2,2),ii 4+xy+xz+ yz

4(

x+--4(Y+Z») x * (y * z) = x * 4(y + z) = 4 + yz = 4(x + y + z) + xyz , deci legea ,,*" este asociativa 4+ yz 4+x. 4(y+z) 4+xy+xz+ yz 4+ yz • eIementuI neutru: x * 0 = 0 * x = 4x = x , 'Vx E (-2, 2), deci e = 0 este elementul neutru allegii ,,*". 4 .. bil1 ¢::> 3' X E (-2 , 2) astfel ine • simetrizabilitatea elementelor: fie x E (-2,2); atunci . x este simetnza 4(x+x) =O¢::>x+x'=0¢::>x'=-xE(-2,2). 4+xx' simetrizabile, rezulta cl'i (G, *) e grup.

10

II(

a2 b) 6. =i , 1

x*x'=x,~x=O¢::>

o Subiectull z

1

... • asociativitatea:

w

u ~ o a:

a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 b2 -1 b2 b2 + 1

eoncluzie, m = 4.

2. a) ,

Obtinem 0:5:

a2 +2 b2 + 1

1 n(3n + 5) ... +--~--'e' 2' 1 2 2 2 = (a _ b + 1) b -1

....I W a:

a2 +1 b2

Asadar,

toate

elementele

su

4(2(X C) f(x)

'
* f(y)

2(y -1))

-1)

=2(x-l)(y+l)+(y-l)(x+l) (x + 1)(y + 1)+ (x -1)(y -1)

22xy-2 2xy + 2

2(xy-l) - f( xy + 1 xy) ,

morfism. Cum f(x) = 2(x+ 1)-4 = 2 __ 4_, rezulta cafeste strict x+l x+l crescatoare, deci injective. Deoarecefeste continua, crescatoare, timf(x) = -2 ~i limf(x) = 2, E

(0, (0), decifeste

x-+o

rezu1tli ca lnif = (-2, 2), deci f este surjectiva,

= 3~ + 6x ~i/,(x) = 6x + 6, x

rezulta ca x = -1 este

unicul punct de inflexiune.

-41

I I

2

Ix3+3x2 x+2

b) g(x)-g(-2) x-(-2)

i
. =>

x~

g(x)-g(-2) x+2

=0, de

unde rezulta ca functia g este derivabila inxo = -2 ~i g'(-2) = O. I

I

c) lim(-f_(:_»)~ = lim(x3 +3;2 -4)~ x-+co

X

I 00,

I,

•• 2. a) A = f --2 -I I + X

I

x~oo

X

: :;) ~a

i~

'

apliciind teorema lui

-I) dx. Deoarece 0 :$j(x) :$ I, '
deci Irt+1- In :$ 0, '
'
Rezulta ca sirul

(I)

y

~escrescator, deci marginit superior. Cum In = fr(x) o .lnarginit inferior, deci este convergent.

I '" -+2n 2n

I

este

n n~1

/1

+Irn dx=~ (x + I) 2

IX +1-1 dx(x2 + 1)n+1 -

0

1

+n fx.(x2

0

dx ~ 0, '
+1)-n-I·2xdx=

0

~+2n 2n

W

fl 0

rI + 2n In - 2n In+1. Rezulta ca 2nIn+1 - (2n -I)

rezulta ca sirul (In)n este

In =

relatia

·AC=BC=AB2

= 120

0 •

cu

X

= A, A

M. Atunci der(X)

E

= det(X)

= det(A) = -4, fais pentru ca

=A nu are solutii in M2(lR).

c) Daca A

A6 =412 <=>A6-I2 =312 <=>(A-I2)(AS+A4+A3+A2+A+I2)=3I2'

M, atunci

E

de

unde rezulta ca A - 12este inversabila, 2.a) Fie e E Z elementu1 neutru al legii ,,*". Atunci x*e = e*x = x, ' X + e + 2 = x<=>e = -2. b) Fie x, y E Z cu X ° Y = -2. Atunci xy + 2x + 2y + 2 = -2, deci (x + 2)(y + 2) = 0, de unde x = -2 sau y == -2. Rezulta ca inelul ( Z , *, 0) nu are divizori ai lui zero. c) Elementul neutru allegii ,,0" este C E Z cu X ° C = Cox = x, ' xc + 2x + 2c + 2 =x, ' (x + 2)(c + 1) = 0, ' C = -1. Cumj'este morfism de inele, rezulta caj(O) = -2 ~ij(I) =-1. Rezultli b = -2 ~i a + b = -I, deci a = 1 si b = -2.

din enunt

devine

9n+1 _ I = 6560 <=> 9rt+1 =

4

+,Jx+2

E

{-I, 0, I}.

este strict crescatoare, deci injectiva ~ij(7) = 5

QItZUI~ca ecuatia are solutia unica x = 7. 4. Cum 33 < 100 s 53 < 73 s 999 < 113, rezulta ca exista 2 bun de numere prime aviind 3 cifre. Cum exista 900 de numere naturale de 3 cifre, rezulta ca Iltob bT I a thtatea este 450' S. Avem 5 AM = 2(AM + ME) + 3(AM + MC), deci i5 = 2 ME + 3 MC .

2(l-x2) (I + X2)2 =

I

* 1 avem

f'(x) =

Obtinem f'(x) = _2_ pentru x 1 +X2

2'

E

(1 + X2)2

[0, 1) ~i f'(x) =

[0 (0) \ {I} este continua inxo = 1 ~i limf'(x)=I, "

-22 l+x

pentru x

E

Rezulta ca f nu e derivabila in

Xo

b) Deoarece rex)

<0 pentrux

Xo

-4x (l+~f

derivabila pe

deci I~(I) =-1.

x+l

= I. E

[0, 1) ~i r(x)

=

4x2 2 >0, '
= 1 este unicul punct de inflexiune al graficului functieij"

1

x-eec

. Cum

lim f'(x)

= lim 2X22 = 2, din teorema x-eec 1+ x

1

%-+00

x

lui L'Hospital,

cazul

%,

- x2

rezulta ca limita ceruta este 2. 2.a) FE ff(x)dx= f(l+x),ln(l+x)dx= C.

I I In(I) b) fl(x) dx= f~dx= x+I o x+I 0 c/

(I, (0). Cumfeste

deci 1;(1) =1 ~i li\Df'(x) =-1,

xtl

.\ A

[-2, (0) ~ JR, f(x) =Vx+I

meA)

2

6.CumAB +AC+AB

der(X) ~ O. Deci ecuapaX

x-+ao

I r' '
'" 6561 <=> 9 = 9 <=> n = 3. 2. Deoarece 8 = a2 - 4, iar Gin Ox = 0 <=> 8 < O. Obtinem a t' Cum functiaf:

M2(lR)

E

F(x) = (1 + x) In(I + x) +

2 4 1+ 3 + 3 + ... + 32n = 9n+~-I,

=%.

I ~2 ~ I = -4 , deci det(A) * O.Rezulta rang(A) = 2.

M, atunci def(A) = det(A3) =

c) limx I(x) = lim f(x)

ubiectull

n

b) Fie X

in 1 rezulta ca

x2 dx= (x2 + 1)n+1

testul16 1, Cum

E

I-~

I

I 2 ~) In = fx'.(x o

1.a) Daca A

1. a) Pentru x

0

r(X)'(J(x)-I):$O,

~~

deci

= -~,

I

0

1 ,deci

Subiectullll

1 ~ b) In+1- In = f(r+ (x) - rex»~ dx = fr(x)(f(x)

V IJ •

AG- cosA rezulta cosA

X

x~oo

I

~

= eO= I, deoarece

~x

x-eeo

dx = f--2 dx = 2 I-I -2 dx = 2 arctg x I: =!!.. . -I I + x 0I + x 2

! Q

x-eec

lim In x = lim 1. = 0 .

L'Hospital, cazul ~,avem ~

. x; = limx; = lime

X

x-eco

Be - 2AB·

MC

x-+oo

JR. Analizand semnulluif",

E

+

I ME 1=%1

subiectulll

Subiectullll 1. a) AvemJ(x)

=>

Cum MB=-%MC

~+~ 4 + 4 (x -I)(y -I) (x + \)(y + I)

=

(l+x)ln(I+x)-

f dx= (l+x)ln(l+x)-x+C.

Rezulta ca

Cum 0 = F(O) = c, rezulta F(x) = (1 + x) In(I + x). I fln(1 +x).(ln(l 0

, 1 + x») dx=-ln2(I+x) 2

II 0

1 2 =-In 2. 2

•.. :::IE

f(tg(!!"_X))=f(l-tgx)=ln(I+I-tgx)= vem 4 1+ tgx

In-2-=ln2-ln(l+tgx)=ln2-f(tgx). 1+ tgx

I + tgx

I JC(

,

V! ~

Cu

substitutia

y=!!..-x 4

avem

0 "

"4 ff(tgy)dy.Rezultlica

KI4

= f(ln2-f(tgy)dy=!!..ln2o

'7f(tgx)=-ff(tg(~-Y))dy=Kff(tg(~-Y))dY=

4

0

KI4

:::IE 0

!!. 4

1f

Jf(tg(x»dx=gln2.

0

ILl

!C :::IE

• 329

i

Testul17 .1

Subiectull 1. Avem [x-I] = {x} e [0, 1), deci[x-l] = {x} = 0 =>x e Z si 0 ~x-I < 1. Obtinern x e 1. 2. Fie y e (3, oo);j{x) = Y ~ 2" + 3 = Y ~ 2" = y - 3> 0 ~ x = log2(Y - 3). Deci inversa functieij functiaj'" : (3, (0) ~ R ,flex) = IOg2(X- 3). este

3. Ecuatia se scrie cosx = sinx ~ cos" x = sin x ~ sin2x + sinx- 1 = 0 ~ cosx

-v;-

Cum

1 < -1 obtinem sin x =

c:
4.

7

Iim(/(X»)X X

= Iim( ~)X

7! k!(7-k)!

7

<

Fs2-1

~

1 + kst / k e

1C

'~.

.1 I b".+2

"2 +1 = Jctg'x(ctg2 x+ •

x-+oo

X

=e-I.

= lim [(I+~)X-~ll::1 X-+OO X + 1

2

J-'-2-dx-Jdx=-ctgxl:/4-~=I-~. .• sm x

12 4

1C

4

4

4 !!.

I I) dx =0 = Jctg·x,-.-2-dx 2

It

ctg'"! xl"2 1 = --=--. n + I -" n + I

2

= -fctg'x(ctgx)'dx

sm x

!!. 4

/C

+1

.!.

1

2

!!...

If

Z} .

= Iim(I+~)1

!!...

It

"2 2 "2. 2 ~ I = JC?S xdx=JI-.sm xdx= sin" x sin? x 2. a 2 { {

"4

!!.. 4

4

s:

k

_1_<_1_ 7-k k+I

{Fs -1 -J5 -I} 2

2

7! (k+I)!(7-k-I)!

~ k e {O, I, 2}. Probabilitatea este

Fs -

,deci x e {(-1)* arcsin

sin x e

= Iim(~)1 x-+'" X + 1

X-+OO V~

c, x"',,

+ I < 7 - k ~

~

k < 3 <=>

2

c) Cum 1.+1- I. = fctg'X' (ctgx -1)dx ~ 0, sirul (/.).~leste descrescator

si, in consecinta marginit

s:

1..

4

7

s.

si u-v=-2T +(3-a)}. Avem (u+V)l.(u-V)~(u+V).(u-V)=O <=> 2 -8 + (a + 3)(3 - a) = 0 ~ a = I ~ a = ±1. 6. Cum P = 8, cu formula lui Heron, aria triunghiului

u+v=4T

~

este S =

+(a+3)}

.j4:3:l

= 2.J3 . Deoarece S = AS· A ~ . sin A obtinem 2.J3 = 14sin A ,deci sin A = ~

rezulta ca I. ~ 0, "In, deci sirul (/.). este

superior. Cum ctgx e [0, 1] pentru orice x e [~, ~],

mlirginit. Fie lim I. = L . Treciind Lalimita relatia de LapunctuL b) rezulta

• -+.,

ca 2L

= 0, deci L = O.

.

Testul18 ..J

Subiectul "

f=

1.a) detA(x) = (1 + 3x)(I-2x)

~

b) AvemA(x) =

w

e u:

:5

Subiectull

+ 6~ = I +x, deci I +x= 2 <=>X=1.

1. Daca 3 = an+l ~i .J3 = am+l, atunci 3 = al + nr si .J3 = al + mr => 3 -.J3 = (n - m)r =>

h + xB,

unde B = ( 3 -I

Cum B2 = B rezulta cli' ' .

6). -2

=>r=_3 __ .J3 n-m n+m

A(x)A(y) = (12 + xB)(I2 + yB) = 12 +xB + yB + xyB2 = 12 + (xy +x+ y)B = A(xy +x+ y).

If

c) Inductie matematica dupa n: P(I) : A(3) = A(3), deci P(I) este adevarata. Pentru pen) => pen + I) ::;) avem (A(3»n+1 = (A(3)Y . A(3) = AW - I) . A(3) = A(3 ·4" - 3 + 4" - I + 3) = A(4n+1- I).

3 ;

2.a) 5x+4=! b)

Z

~

c)

~

~

~

0

3

~

5x=-3

3

Subiectullll

.u 2:

"

1. a) lim/(x)=oo;

:Ie .u

x-I_I = lim x x + I x ...•., ~ ~+I x +I

II: II

""::i ~ t oJ

I r: c e:

• o

5x=4

~ x=5-'·4

~

x=3·4

~

0, P = 2 = 4 =! si 3 = 53 = 6 = 6, rezulta H = {0,i,6}, Daca y = 0 rezulta cli x3 = 0, deci x = O. Daca 3 x = -2i ¢:> (xy-I)3 = 5 => 5 e H , fals, deci (0,0) este singura =

•

a

~

3

3

m=lim/(X)=lim~X-I=1 x--+«>

x-+oo

3

X

_ I li -2x --2 m--I=-I,

X

X-+«.l

deci

x-+.,x+

eci

j- e

+1

x=5.

0,

x3 + 2i = 0

atunci

¢:>

x-eec

X-+a>

3 Log x = Log x¢:> Lgx = Lgx ¢:> LgX(_I • 2 3 Lg2 Lg3 Lg2

I_) = 0 ~ Lgx = 0 ¢:> x = L. Lg3

X

+1

'.

x= I esteaslmptotliobhclispre+oo.Cum/estecontmua

n, rezulta cli [~] + 1= 7

[~J

=6

¢:>

¢:>

6~~ <7

¢:>

4~ - 12ab + 9b2 = 4~ + 4b2

¢:>

ix=l + 2x ~;=t. /x+T (x +2 Ii

= ~~

continuli,j este strict crescatoare pe [I,

(0).

Cumj{I) = 0 si lim

lex)

x-+.,

=

00 ,

pe (1, (0). Fiin

rezulta cli Inif = [0,

(0).

¢:>

a * 0, deci x - I = 0, respectiv x-I + ~(y - 2) = 0 ~

.

. .. 6. Din teorema cosinusului

> 0, "Ix > I, deci j este strict crescatoare

On . Cum

exista

[!!.]5

+ I multiplii de 5 de La0 La

n e {30, 31, 32, 33, 34}.

b(5b - 12a) = 0 => b = 0 sau

cos A =

16+36-76 48

pe [I, (0), graficul luij nu are asimptote verticale. b) /'(x)

k= "

2 5. DrepteLe care tree prin A( 1, 2) au ecuatiile a(x - 1) + b(y - 2) = 0 cu a2 + b * O. Distanta de LaB La0 2 la(3-1)+b(-1-2)1 12a-3bl A 12a-3bl_2 ¢:> 12a-3bl=2.Ja2+b astfeL de dreapta este ,....,-;:; ~. vem ~2 2 va + b -sa: + b' -q a: + b'

pereche cu proprietatea din enunt,

~i n=lim(f(X)-m(x»=limx(~X-I_I)=

~i /(1.)+2/(2)=~.Obtinemj{2)=3. 2 2

2

= C* (ifi)* = C* . 2~ e IQl ¢:> 5 I k 4 • Avem T.1+1""

deci Hare 3 elemente.

y*

eR \1Ql. 2. Avem /(2)+2/(1.)=6

d

=

% = 1~ . Obtinem

x-I + 1: (y - 2) = 0

-21 =>

¢:>

a(x - 1) = 0, unde

5x + 12y - 29 = O.

rI .J3 1-"4 = 2.

sin A = ~

•..

:E I



sistemului.

Atunci d'~A)

= m -

m - 16 * 0 ~ m *16 ~ me R \ {16}.

16. Sistemul este compatibil

~

• 331

b) Daca m ~ 16 , sistemul este compatibil determinat.

Daca m = 16 atunci det A = 0 , deci rang A S 2 .

3

3 3

c) In+1= j(x - 2)'f"+I(X) dx = (x - 2) r+l(x) Cum dp

3 = 2 1

-11 16 = 50 ~ 0, rezulta ca rang A = 2. Deoarece

3 de = 2

-1 16

3 0 = 170 ~ 0, sistemul

1

3

4

1 -

1

(n + I) j(x - 2)f"(x)(2x

1 3

- 4) dx =

1

3

= -2(n + 1)f(x2

4x + 4)f"(x)dx

-

= -2(n + 1) j(J(x)

1

+ I)f"(x)dx

= -2(n + I)In+1- 2(n + I)In .

1

este incompatibil. Deci nu exista m E lR pentru care sistemul este compatibil nedetenninat. Deci (2n + 3)1

3X - Y + 2z == 3 c) 0 solutie cu componentele

in progresie

aritmetica

este solutie a sistemului

Rezolvam sistemul format din ecuatiile 1, 3 ~i 4; acesta are solutiile

S'

2x + my + 3z == 0 x+3y+z==4 . {

x-2y+z==0 Obtinem prin scaderea ultimelor

S'

. d iill ecuapa. a doua obti oua obtinem m == douli ecuatn.. x = 3 y = 4 z =. 1 'Inlocuin

21 -4.

b) Avem j(I)

= ao + al

ao +a2 + ... +a20 = f(1)+ fe-I) 2

W

a: l-

i::I

Q

u: •

- j(-X)

dreapta x = -4 este asimptotli verticala. Cumf

alte asimptote vertieale.

z~ )=0

n

... ·f(n)=i.~ 5 6

c) Avem f(x) =1 __ 1_, x+4

..... n+3=_4_ ~i lim 1+_4_ n+4 n+4 n...•""( n + 4)

[

= lim (1+_4_)4 n ...•"" n+4

deci !'(x) = __ 1_2 > 0. Rezulta elifeste (x+4)

». +3 xn+1=--4' xn +

desereselitor:

XI

1 > 0, rezulta eli Xn > 0, "in EN'.

~

(z-z)(1

332

1

Z

Z

- z-z z-z---=o zz

ZI2_1) =0 ~ 1Z 12= I ~ Iz 1= l. 00) = [4, 00) . Deci B = [4, 00).

[ - ~,

0

4. Dezvoltarea are 9 termeni, deei eel din rnijloe, este 7; = C:X4 = 70 X4 . Cum Ts = 70, rezulta X4 = 1,

5. AC+EF

6. Avem tg~=_r_= 2

n+41n~4

p=a

= AB+BC+EF

b 2r +c-a

= AB+BC+CB

1. Rezulta ca ~=~,deei 2 4

=AB,

deci IAC+EFI =IABI =1.

A=~. 2

= 00 ~i

Subiedulll

= [: ~

m: J

matricea

sistemului.

Sistemul

.re solutii nenule "" d't(A)

=

0 ""

=e4 .

strict crescatoare pe (-4,00).

~-m-I

Arlitlim prin inductie ca (xn)n este

x2 = f(1) = ~ < XI ~i daca x; < Xn-I, obtinem din monotonia lui f eli j(xn) < j(Xn-I), deci

=O~m=-1.

b) Cum oriee solutie eu proprietatea din enunt este nenula, rezulta ca m = -1. Cum tl =

ca

rangul lui A este 2, deei sistemul este eompatibil nedetenninat,

Pentru z = a E lR sistemul devine: {x + y = a x+2y=0

~ x = 2a, y =

-{J..

I ~ ~ I = 1~ 0 ,

cu necunoseuta secundara z.

Deei Xo = 2a, Yo =

-{J.,

Zo = a, de

unde x~ + y~ + z~ = 6a2 • Obtinem a2 == 1, deei a = ±I si solutiile (2, -1, 1) ~i (-2, 1, -1). 2. a) Avem/a = (x2 - if)c + r eu c, r E lR [x] ~i grad r ~ 1. Daca a = 0, eum/o = 2)('2, rezultli eli r = 0 deoareee X2 divide jj, Daca a ~ ~i r = pX + q cup, q E lR , atuneij(a) = pa + q,j(-a) = -pa + q, de unde pa + q == (2a)12 si -pa + q = (2a)12. Rezulta p = si q = Iz12 . a12, deci r = z12a12. . b) Fie a E lR 0 rlidlieinli reala a luifa. Cum (a + a)12 + (a - a)12 = 0, rezulta eli a + a = a -a = 0, deci a = a = O. Atuncij, =/0 = 2X2 si Oeste rlidlieinli multiplli de ordinulI2. 2 c) Fie z EIC, z = u + vi 0 rlidlieinli a luif, eu u si v ElR. Cum (z + a)12 = -(z - a)I.I~ ~ I(z + a)121 = I (z - a)121 ~ Iz + a 112= Iz - a 112~ Iz + a I = Iz - a I ~ Iu + a + VI = == Iu - a + vi I ~ (u + a)2 + v2 = (u - a)2 + i ~4au = 0 ~ u = 0, deci Re(z) = O.

°

•

1 Z+-=z+-~

_ ...+

rezulta Cum

ElR

ElR

2. Imaginea functieij'este

1. oj Fi, A b)f(I)·f(2)·

+Z +1

2 log 2 3 3. Pentru X > ecuatia se serie x + X ,8 -12 ~ x + x = 12. Functia j": (0,00) -+ lR ,j(x) ==~ + x3 este strict crescatoare, deei injeetivli, iarj(2) = 12; rezulta clix = 2 este uniea solutie a ecuatiei,

este continua pe lR \ {-4}, nu exista

U

= - 2(n + 1) ~i lim In+1 =-1. 2n+3 n...•"" In

z

deeix=±1.

xi--4

~ ::I U

--00,

Z2

Avem

~(Z-Z)(I-

cli

are

= ao - alX + a~

x~±a:l

In

°

Subiedullll 1. a) Cum lim f(x) = 1, dreapta y = 1 este asimptotli orizontala spre ±oo; deoareee limf(x) ~~~f(x) =

== r(-I).

+ a2 - ...+ a20. Rezuita

infmitate de solutii, rezulta elij(X) = j(-X), deei ao + alX + azX2 + ...+ a~o v2oA· • tmICI a2k+1= -a2k+1 deci eel a2k+1= 0, "ik = -0, 9. Rezulta eli a7 = 0. a2A

~

.

= ao -al

In+1

subiedull

=310 +1.

= (x2 - X + 1)10 + (~ + x + 1)10 =j(x). Cum polinomulj(X)

c) Fie x E R, Avemj(-x)

...I

+ a2 + ...+ a20 si j(-I)

= -2(n + 1)ln ,de unde

Testul19 1.

2. a) Fie c.r E lR[X] astfel incat f = (X2 -l)c + r , cu grad r ~ 1. Atuncij(I) = r(I) ~ij(-I) Daca r = aX +b .atunci a+ b = 310+ 1 ~i-a+ b = 1 + 310~ b= 310+ 1 ~i a= 0, deci r= 310+ 1.

1

n+

°

Subiedullll 1. a) Avemf'(x)

= 1 - cosx ~ 0 orieare ar fi x E lR . Deoarece multimea {x E lR I f'(x)

= O} = {x E lR

I cos.x =

I} = {21m / k

Z } nu contine niciun interval nedegenerat, rezulta cafeste strict crescatoare. 3 = lim f(sinx). sin x = tim(sinx)3. f(sinx) = lim fey) = lim y-siny ,->0 sin" x x3 x->O X sin ' x y->O y3 y->O y3 . Cu teorema

b) lim f(sinx) ,->0 x3

. I I' y-siny IU1. L'H'ospita avem 1m 3 y->O y

I' I-cosy = lm--~ y->O 3y2

=~!!

=

2. oj F" F 0 prim, tiva a lui f Atunci F'(x) = ['(x)

=(a2 +b2)

b) Daca a

=

devine 1 + (~)'

-( - (x; I)' ) < 0 pentru orice x

ER

•

de

I

-- 1 = t z +I

variabila

obtinem

f' -( I 1)2 arctg --II ox+ x+

I

dx = IJarctg t dt ==

a2 +1

_b2 +1

2

a2 +b2

_b2 +1

a2 +2

_b2 +2

4

a2 +b2

_b2 +2

0

2

3

'* 0 sau b '* 0 ~

!

det(A) z

x+ y+2z=2

~

{

e

'* 0 ~

. Cum !im Cx = ex), lim lex)

x

-

= 0, rezulta ca lim f jet) dt = 0 .

-

_b2 +1

2

4

_b2 +2

4

sistemul este compatibil determinat. Daca a

= b = 0 sistemul

I cu solutia

x+y=O

x+y+2z=2

aE JR. Asadar

(a,-a,I),

'

sistemul este compatibil

= O.

c) Fie xo, Yo, Zo 0 solutie a sistemului. Scazand prima ecuatie din a doua obtinem: Xo + Yo + Xo + Yo + Zo 2012.

'*

b) Fie

~

1

2 = (a2 +b2)

2

1 = a +b •

= (XI -1)(x2 -1)(X3 -I)(x4 -I) = (1- xl)(I-

X4

= /(1) = -2 , deoarece / = (X - xl)(X

c, E (x, X + 2) astfel incM

~ + 2 - x) = 2/(c,)

2

1

X

I

> O. Cum / este continua, din teorema de medie rezulta ca exist!

_b2

1

1

0

2. a) (1-.1J(I-l...J(I-l...J(I-l...J XI X2 X3

I

= ft' arctg t dt = t arctg till - f+ dt =E. - '!'arctg'!' - .!.In(t2 + 1)1 = E. -.!. arctg'!' -.!.In ~ I 2 It +1 4 2 2 2 1 4 2 2 2 5' 222

f jet) dt = /(c,)(x

_b2

nedeterminat pentru a = b

2

c) Fie x

a2 +b2

z=1

deci F este concava. schimbarea

1

1 _b2

x+l

Cu

_b2

l.a) det(A)=

siny 1 1 = tim-= - , deci limita ceruta este _ y->O 6y 6 6 .

c) Avem x, = .f{xo) = .f{1) = I - sin 1 0 :' ipote~. ca ~n > 0 ~btinem.f{xn) > .f{0), deci xlt+' > O. Rezul~ ca ~irul. (xn)n~ este margin it inferior, de: marginit. Fie 1 Xn E JR. Cum Xn E (0, I) ~ 1 E [0, I] ~II 1- sm/, deci sinl O. Rezulta 1== O.

b)

a2

E

i=

1,5.

Deoarece

2

2 2

~I XI + x +

2 X:!

2 4

- x3)(X - x4)

X;

(

+ x~) - (XI + x2 + X3 + x4)

+ x = XI + x2 + X3 + X4

)2

-

.

3

= I,

deci

x) = 4

~i XIX2X3X4 = I .

x: = 4Xi - I, rezulta ca x: = 4x; - Xi' Adunand

x~ + xi + xi + x~ = 4(x~ + xi + .

- x2)(X

x )(1- x )(I2

IX2X3X4

Zo

cele 5 relatii obtinem

Din relatiile lui Viete, x, + X2 + x3 + X4 = 0

2( XIX2 + XIX3 + ... + X:!x4 ) _- 0 , d e un d e XI5 + x 5 + X35 + X 5 -- 0 2 4

•

> O;.f{I) = -2 < 0; .f{2) = 25 > 0 ~i functia polinomiala a lui / este continua, rezulta ca/are doua radacini reale x, E (-1, I) ~i X2 E (1,2). Daca toate radacinile lui/ar fi reale, ar rezulta ca 0 = x~ + xi + X; + x~ > 0 , fals ~i cum numarul radacinilor nereale ale lui/ este par, rezulta ca

-x

c) Deoarece.f{ -1) = 6

<

Testul20

~

Subiectull

V

1. Fie (an)n,,' progresia aritmetica cu a, = I ~i ratia r = 4. Daca x = an>atunci an = a, + (n - I)r = 4n - 3.

Subiectullll

Z

Atunci 496 S al +an 1+4n-3 . 2 CI = n=n'- -=n 2 =n(2n-I).Obtmem2n -n-496=Ocusolupilen, = 16 2 31 ~I n2 = Cum n E N, rezulta n = 16, deci x = 61. 2. Fie x" x2 E (0, ex) cu.f(x,) = .f{X2). Rezulta ca

1. a) Deoarece / este derivabila pe JR ~i.f{-a) =.f{a), a> 0 rezulta ca se poate aplica teorema lui Rolle pe orice interval de forma [-a, a] cu a > O. b) Cum / este para, va fi suficient sa determinam imaginea lui / pe [0, ex). Cum / '(x) = 20~ + + 20x ~ 0 ~i f'(x) = 0 ~ X = 0, rezulta ca / este strict crescatoare pe [0, ex). Cum / e continua ~i x _ !im/(x) = ex),.f{0) = I rezulta ca.f{[O, ex)) = [I, ex), deci Inif = [I, ex).

-'

U • :;)

cc.

ffi0..

fare exact doua radacini reale.

-2 .

~

g(f(x,»

= g(f(x2», deci x~ = x; , de unde x, = X2.

a

strict crescatoare, deci injectiva, Cum /(8) =

'" ~

3. Functia

..f9 + log, 8 = 6

k

4.

Avem

a:

III \110

1

)7-k ()7-k

~+I

=c;(1f

{tJ

~(tfk

{tJ

=(tY

F: (O,ex)

~ JR, lex)

=Ts,

cu

~

AC = .JI6 + 9 == 5, deci triunghiul este isoscel de baza [BC]. Notand M (

= t

~

k = 7. Deci eel mai mic termen este Tg.

s.

III

~ ~

+ log, x,

este c) Avem /(x)

egalitate Avem

-1, %)

~

C; =1

AB=·J9+16 mijlocullaturii

=5

~i

Be,

:E •

Subiectulll

S34

't/(k)]n Atunci lim [ ~

nS

n-+co

~i

Cum bisectoarea din A este ~i mediana, rezulta ca lungimea bisectoarei este AM = ).!. +.!. = _1_ . 4 4 Ji 6. Cum cos178° = -<:os2°, cosl74° = -cose" ,... cos940 = -<:os860 rezulta ca suma este egala cu cos90°, deci este O. '

CC

= (x+I)5 _(X-l)5

,deunde

2

(

'2

rx+l

rezulta cax = 8 este unica solutie a ecuatiei,

.

ci

=

't/(k)=.!.

5 ['t/(k)_n ]n =!im 1+ H n--+oo

't(k

2

k=1

+ 1)5_(k_I)5)=

k=1

n ((n+l)5-n5-I =!im 1+

J

n5

2ns

n-+oo

2. a) Cu schimbarea de variabila lnx = t avem ej.!.COS(lnx) dx = Jcostdt I

b) Deoarece

e

I

dx

=

If(x) I

= sint

2n

2

=e

I~= O .

0

pentru x E [1, e], rezulta ca.f{x) >0 pentru x E [1, e]. Atunci

lnXE[O,I]C[O,~)

It

A = ~/(x)1

X

2-

hm(n+I)'~n'-1

=e"-

eel

dx = Ix" cos(lnx) dx I

=

xcos(lnx)

I:

+ Ixsin(lnx).-:;

dx =

I

3

r

= ecosl-I

eel

+ fSin(lnx) dx

= ecos

I-I + fx'sin(1n x) dx

=

ecosl-l

+ xsin(lnx)

"

I:- fXCOS(lnx).~ ,

dx =

= e cos I - 1 + e sinl - A. Obtinem A = .!.e(cos I + sin 1) -.!. . 2 2 c) Cum In x E [I, 2] pentru x E [e, e2], rezulta caj{x) E [cos2, cosl] pentru x E [e, e2]. Deoarece cos2<0

~i cost c l cosz l avem If(x)I~lcos21,VxE[e,e2] i

.'!r(x) I" pr(x)1 dx s .'!'cos2l

n

dx ~

I

2

dx =(e -e)lcos2I

n

~O

. Atunci: ,deci

.' !!!,!r(X)

dx = 0

lirn f(x) ¥-+-dJ

=

. f(x) lim --

00,

.r~-co

I

"" lim

_~X2

=

X

(_{X2

. lim

+ I -I)

2

si

lim (f(x) - (-2)x) = }~~ (~ x + I + x) = x ••••-ee

X

x-+-
. t imptota oblica spre+co. Functia j e continua, deci nu admite = 0 deci Y = -2x es e as

+l-x

s...•

asimptote verticale. r . 2.a)I,=,bxsmxdx=-1xcosx

t

r (

•

-xcosx ] + rx'cosxdx=

)'dx=

,

.

-cosl+smx\o=sml-cosl.

,b

0

_ r n( -I)· dx. Cum x"(x - I) ~ 0 ~i sinx ~ 0 pentru x E [0, I], functia de sub b) Avem In+,-In-,bX x smx . tegralli este negative, deci

In+1 - In ~

Ul

0, n ~ I.

. . C)DeoareceO~smx~l,avemO~x"s\Dx_x",dec

Testul21

= -2

2

1 n+1

 I.lntr-adevar, 1= IOg22< IOg23. 2.j{1) = 3 - I = 2,MI)) = j{2) = 6 - I = 5. 3. Notam 2' = I, I> O. Ecuatia se scrie + 1-72 = 0, cu solutiile II = 8 ~i 12= -9. Cum I> 0, rlimane 2' = 8, de unde x = 3.

r

4.Avem

!AI

II: l-

2. Xv

i;:) Subiectulll ~

·

La)

tJ 2 =

b) Avem

(I 2 3) 3

tJ3

I

. a

=al+9r=-10+18=8,decl

,10

.

I

I

=-2.2=-"4'

I I 3. -I = IOg2(x + I) ~ x + I ="2 ~ x = -"2 .

_/(_1)=2_1_3=_25.

4

Yv -

16 4

8

4. Sunt A~ = 4·3 . 2 = 24 submultimi.

S.De exemplu (I, 2).

.2 2 6. Avem sin a + cos a = I ~

25·

2 _I_~=.!i cos a 25

= e = (I 2 123

3) si deci o" =

tJ"'(mod,) ,

adica M = {e, c, ~ }.Nota: o, ~, e sunt distincte.

.

Cum aE(O,~),avemcosa>o,decl 2

Subiectulll

2

_ a, + a\O. 10 = -10 + 8 . 10 = -10 . 2 2

a,+a2+···+a\O-

este I. Atunci Y - YA = I (x - XA) ~ Y =

.. I p = -12 = 6 , deci · ghiul e dr eptung hi c, cu ana. S = -3·4 = 6·~l semipenmetru 6 • Tnun eCI r = -S = I . 2 2 p

Q

subiectull 1 .al---10

,( = n(n -I) = 11·10. Rezulta n = 11.

S.Panta dreptei x + y - I = 0 este -I, deci panta perpendicularei x este ecuatia ceruta.

....•

Testul22

1.a) Din prima ecuatie avem -2 + 1+ m = 0 ~ m = 1. b)

I I

4 cosa=-5·

I m 2 = 2 + m - 1+ 2m - 1- 1= 3m - 1 .

-1 I

c) Observam ca t(2) = 2, deci tn(2) = 2, Vn E N* . Atunci 0"'(2) = 2. Cum tJ(2) = 3 c# 2, cr2(2) = I c# 2 ~i e(2) = 2, deducem ca m este multiplu de 3 ~i apoi 0'" = e. Cum t1 = e, din r" = e, deducem cli n este par. Asadar 6 divide mn. 2.a) A(n).A(m)=(I+n+m m+n

; u ~ ~

I

:x. c:i • !AI z U

c) Rangul matricei sistemului

2

inmultire, Operatia e asociativa, are elementul neutru 12 = A(O) E M, iar inversul elementului A(n), unde n E Z ,este A(-n), deoarece -n E Z si A(n) . A(-n) = A(-n) A(n) =A(O). c) Avem j{n + m) = j{n) . j{m), conform a). Functia este inversabila, deoarece A(n) = A(m) daca ~i numai daca n = m.

-1 1 4 0

b)

0

0

0

1.a) !'(x)=_x

0

__

Z

c) lim f(x) = lirn ~

36

0

0

Subiectullll

b) Avemf'(O)

•

1 = 2 c# 0 , deci sistemul este incompatibil.

2 a) x x = ~ + 2x, deci ecuatia este ~ + 2x - 8 = 0 ~ x = 2, x = -4. + + yz + xy + x + Y + z Avem (x y) z = (x y)z + x y + z = (xy + x + y)z + xy + -; y + z: :Zde~zoperatia e asociativa. . (yoz)_x(yoz)+x+yoz=.xyz+yz+xz+xy+x+y+z, x,y,z , d . ~l X o. ( + 1)(y + 1) _ 1 Pentru x y > -1 avem x + 1 > 0, y + 1 > 0, eCI c) Scnem x y = x ., (x + 1)(y + 1) > 0 ~ix y > -1, q.e.d.

~X2 +1

1.

Subiectullll

x ..• '"

= -1. Ecuatia tangentei este Y - j{0) =f'(O)(x - 0) ~ Y - I = -I(x - 0) ~ x + Y - I = O. x ..• '"

"x2 + I + x

tr;

1. a) Arl\.tam prin inductie ca a'+ ~

Q

~

este

1 0

-m=n )=A(n+m). I-n-m

b) Conform punctului anterior, cum n + m e Z rezulta ca Me parte stabila a multimii M2(Z) fatA de

~ i

e

. I \ 11 21\. Minorul caracteristic este 2, avand ca minor principa

= 0, deci Y = 0 este asimptota

orizontala catre +00. Pe de alta parte,

a.+I-a.

=,,12+an

I

-,,12+an_1

Q

-

_ -

JI2+a.

an > O. Avem a. - a._I +JI2+an_1

a2 =v 13 > 1 = al

Cum

a2 - a, > 0,

•

rezulta cerinta.

. . < .,112 + 4 = 4 ceea ce trebuie arlltat. b) Evident a, < 4 . Prin inductie, din a. ~ 4 deducem a.+1 ,

din

c) Sirul este convergent

Notllm I =

confonn teoremei lui Weierstrass.

~!! an ~i observam

ca I ~ 0 ,

deoarece an ~ O. Trecand Ia limita In relatia de recurenta obtinem / = .../12+ I ~ /2 -/ -12 = 0 ~ / '" 4 (cazul / = -3 nu convine).

b)

eX

x

2/1 xdx = ~ 0

=

xe+dx=

f'(x)

•

A'

•

•

c·oJ Aplicand teorema lui l'Hospital, obtinem lirn x ...•o

r

_xii

e

0

e- 2 . =--+ 1 ( __1 + 1) = I__2 = __ e

e

e

X

2. a)

if4 + ifi - if4 + ~

= 1+ ~

= 1+ 2 = 3 .

"1

2 ="37r

. .J3

4. Avem so Iutii e XI= arcsin

. ~I

¢:>

5x = -1, deci x = -1/5.

= 7r - XI=

X2

2 2 = 3 + 7 - 2·3·7·

cosI20° = 9 +49+ 2·21.1.

rezulta cerinta.

2

1- 1 x-2

b) det(A + xB) = x + 1

•

x+1

::J ~

-3 =3x

~ ex:

deci rangA = 2; range = 1, deoarece top minorii de ordin 2 sunt nuli

0

0

o

x +I

z +I

x-2

x+1

x-r I

x- 2

x+1

x+I

x- 2

X

3x

3x

x-2

x-2

+ 1 = 3x

x+J

=-(1+

J2)e(-2,-I) 2

o

2

2

[o

x+1 x- 2

X

+1

0

0 , rangA2 = 1.

3x

Xv

=-;

~ -;

=2 ~m=-4.

2 sin2 a _ sin2 a 6. tg a= cos2a -1-sin2a

.

0,36 _ 9 = 0,64 -16'

0

0

3 3

3

.

=hi de~a:~~~ )= 3

t; 03, -

3·

-1±i.J3 XI•2= 2

(am adunat liniile la ultima linie; am dat factor comun ~i am scazut bl/: =X + X + I = (X + X+ I)(X -X+ 1) =!t(X

c::i

ultima coloana din precedentele doua), Obtinem x = O.

• w

c) Avem

~

An + C~An-IB + ... + C;-IABn-1 + B" =An + B", tennenii intennediari fiind nuli. 2 2. a) 1= X(X -I) -1 , deci restul impartirii lui/la X2 -1 este polinomul r = -1

! Z

b) Daca xt

c: ~

rezulta cli x~ + xi + xi = XI+ x2 + ~ + 3 = 3

•

c) I(xi

= BA,

deci

matricele

este rndlicinli a polinomului

+x2) = f(-~)

.

u,

'1J2

= 03

=-2.2.

b) Avem -A)(h + A + A3) =h + A + A2 -A _A2 _A =h _A c) Inversamatricei/3+Aesteh-A+A2,de oar ece(h+A)(h-A+A

1

AB

[--d-] ,,2-2

v = -7 + 2 J ; I VI- v I = -..Ii+4 = vis

2.a)!t=X+X+1.Avem6=-3~1 x + 1 = 27x;

,deci

. .. 313(3'2)3_6.5.4.2=40 4. Sunt 7 tenneni, eel din mijloc este T, = C6' V L. - 1.2.3

,k e Z.

x+I

-3

+ ln~ = lna - lna - lna = -lna. Rezulta

Subiedulll

x+I

w "'"

isee

2+J2 2-4

1. a) A2 = 0

x+1

a

0 0 1]

Cerinta rezulta,

a: w ~

1 * 0,

1 =3

-2

a

x =-!!..+2k7r 2

•

5. VI-

1.a) detA = 0,

Q.

1

lnc = I,decia=e.

3

J79 .

= 79, deci perimetrul este 10+

Subiedulll

:E

J3 1 3dx _ J3 1. =!!.._!!..+_I __ I= ~+_I __ l. x2 + 1 dx - ( x2 - arctg x II + X I 3 4.J3 I2.J3

3 dx = (

1 _1_= • J2-2

2

2.

"'+00 3

Subiedull

27r 3.

i::J s. I VII = .../1+ 64 = J65 ; I v 1 = .../16+ 49 = J65 , de unde 2 Q

*O

+00

Testul24

2

~i B

++++++++++ ..- O

a

aritmetica (de ratie 3), deci este egala cu -28 + 32 ·21 = 2·21 = 42 . 3. Avem 23(x+I)= 22(I-x) ¢:> 3x + 3 = 2 - 2x

,Vx>-I,deci/esteconvexli.

I(x) dx = In(x + I) I~- lnx I~= In3 -ln2 -ln2 + lnl = In3 -ln4 = In"4'

./!.

1.Avem 1- ifi +

::J z CC

X

c) ~ I(x}it = In(x + 1)1: -lnxl'!. = In(a + 1) -In 1: a -lna

2.J{-1O) + J{-9) + ...+ J{9) + J{1O) = -28 - 25 + ...+ +29 + 32. Suma are 21 de tenneni in progresie

u: • 6.BC

r

32 b) (l(x )

Subiedull

..I W

=e +--2 (x+I)

Deoarecej{O) = 0, rezultlij{x) ~ 0, Vx > -1.

_. I(x) _. e-x 1 - hm- - hm= -2 . x ...• o 2 X x ...•o 2

I(t)dt 2

b) f"(x)

----------0

I(x)

e

Testul23

ex: •...

tru ori onc. e xelR

. cresca cat 0 are , deoarece f" > 0 . Cum 1'(0) = 0 , rezulta tabelul de variatie: este stnct x 1 0 +00

c,

2

r, e -xdx =---e1 X)'dx=-xe -x II0 +.,bx

x·(-e

I

1.a)I'(x)=ex-x+l,pen I . .1 Funct1a/'

! I( }it ! ! ! -

2. a)

subiectullll

= -xi +~

f,

-I = -
c)!t divide/"

comuta,

Cu

k = 1,2,3 ,atunci

-1)-2

=-/(x3)-2

binomul

x; - x

t

lui Newton,

-I = 0

= -2.

¢:>

(A + B)"

¢:>

In(xI) = 0 ,deoarece

= n

x; = x

t

+ I ,de unde

l

x~+ XI+ 1= 0,

f. (XI) --XI 2n+ XIn + I =

XI+

x2I + I = 0 ,

1+ 1+ 1

* 0,

In e lR(X]

-X+ .

~l

1). Catul esteX Cum 3 -1 x2 = XI' XI -, _

-X+ I. avem' .

daca n = 3k + 1,keN daca n = 3k + 1, keN.

. este demonstrate. Cerinta

i I

< V

daca 3 divide n

~

::E w

_I _ + ... + _1_. Ultima sumli are 2n + I 2n+1

!C ::E

• 339

2n terrneni, fiecare mai mare decat _1_ 2n+1

declo a '

b) a2" ==( a, - a2_,) + (a2-, - a2-, ) + '" + (a2,

> 2' ._1_ ==1.

_a 2 •.•

1

2"

-

a2,) + a2 ~

-

2"+1

2 '

'It n

~ l.

tt t t .

+

+ ... +

.

+ 1+

==1 +

1,

I: ==--J3 + 2 .

2. a) .( ~ x 2 dx ==-~ 4 - x2 4-x 'Itn

~ 1.

r

r (arcsill"2 . x)'

x b) .lJf(x)'arcsin"2dx==.lJ

. xl·

'arcsill"2dx=="2arcsill"2

2 X II _1.(!!...)2 _ 1(2 0 - 2 6 -72'

n-Iori

Avem

c)

n

==i"lh' ~ 2[Jog,·], deci

an ~ a"'Ioo,"1~ 1 +

~

[log2 n]

~ 1+

log2 n -1 ==1+ log2 n

2

co

2

2'

\In

~ 4,

c) Cu schimbarea de variabila I ==-x, dt ==-dr, avem fJ(x2)

dx ==-

r

f«-I/)

dl == 1f(/2)

dz .

deoarece sirul (a ) ~I este strict crescator, Cum lim log, n ==00, rezulta ca lim a ==00 . n

n

n-+oo

n-+oo

n

Testul26 2. a) De exemplu F: R ~ R ,F(x) ==arctgr. b)

R

o

c)

2

2)' arctgxdx==-arctgx x .£. 2 2

.br x

3

II --

2 0 1+ x

0

.br (x

3

f'(x) dx ==x f(x) II 0

3

)'

I 1( I R1--- I) dx==---+-arctgxl 1( 1 1

2

If I --==-._-x dx 2

2 4

f(x) dx ==1_ 3 2

1+ x2

20

.br~+

8

2

2

dx ==1_ 3 (1- arctg x) 2

1 x

I ==~ 2 0 4'

II ==31(-10 4 0

Subiectull . . 1. Fie z==a +bi, a, b E R . Avem a + bi + 2(a- bl) ==9i <=>3a ==0 si -b ==9 <=>a =: 0, b ==-9, deci z= -91. 2. x2 - 3x + 2 ==x + 1 <=>x? - 4x + 1 ==O. Cum ~ ==16 - 4 ==12 > 0, rezulta cennta. 3. 3 + 2J2 ==(l + J2)2

, deci

10 Probabilitatea este 32

== -

Testul25 t 6.

Subiectull lg

1. Avem IO

lg

7

==7, deci 100

7

==(101g

7i ==49

EN.

~

x? + xy + 1==o. Cum x? + xy + 1==0 <=>x? + 1 + 2(x + y)2 ==0 ~ X ==Y ==0, rezulta cerinta. Altemativ, f '(x) ==3x ~ 0, decifstrict

..c

S.BC:

ci!

Q.

y-3== 5-3 x- 2 -1-2

5U

6. 2R == AB ==1Q. sinc.J3

i

Subiectulll

~

1. a) detA ==I.

.

crescatoare.

==0 <=>(x-Y)V

ca liniile lui B sunt proportionale ~ range ==I.

'"w z

2. a) ZIZ2Z3==-(-I) ==1.

~

b) Cum

15

c) Polinomul are coeficienti reali si grad impar, deci are eel putin

~

Subiectullll

.

-I

~

d

d'- -

~

z

x

c) Deoarece f'

x

-23J. 2 -3

0

adica 1

dJ

si BA ~

-3 ~ Yc - .

5.J3 .

~J.

==

A2_A==(~

(ac ++ db aJ, c

deci

~)==I2'

b == c si a == b + d. Atunci

., .,. 2 . _b+.Js.b==I±.Js.b.cum db - b2 == O. Ca ecuape ill d, discrurunantul este ~ == 5b , decl d 2 2

1.

a lim f(x) i) x-+Ix3 -1

in conc\uzie

rangE"* I.

==

lim arctg x == 1(/ 4 x-+Ix2 + X + 1 3

deci injectiva, Cum

lim f(x) ==-00 si

x-eec

li x..!

arctg

X

x-eec

x - !!... 2

1

==

X

•

Ca urmare, exista un unic e E (0,00) astfel incat fee) ==0 <=>c-Ine ==1 .

deci dreapta de ecuatie Y ==!!...x-I 2

-7

b)

12

X

_1 -2 lim l±.L x-+«> 1

x-+oo

I!n?f(x) ==00, din continuitatea luif rezulta ca imaginea functiei este R , deci functiaj" este surjectiva.

==!.£.

f(x) x 1 c) limf(x)==oo,Lim--==lim-=-arctgx==-~lx~

Deoarece

x-+O X

;

40

b +b

a

YA+YB+YC 3

Subiectullll

b) limf(x)==lim(1-lnx)==00+00==00.

< 0, functia este strict descrescatoare,

(a + c

YG

;

c) De exemplu, functia parte fractionara.

radacina reala, de moduli, ==00 rezultaj{l) ==0 ~ 1 + a + b - 1 ==0 <=>a + b ==O.

x-+O

==

4

~i C; ==10 cu 3 elemente.

~ J si detB == d'- + bd - b2• Daca detB == 0, aratam ca b == d == 0, adica B == O2, Presupunem

X-+CiO

1. a) f'(x)==-~_1.

== 8 +

b) A2==(~

bJ. , avem AB c d

V

o

1+ 2.J3 2 - .J3

~1==-4·

b, d E IQ , deducem b == d ==o.

I ZI1·1Z21·1Z31==1 ~i I ZI I, I Z2 I , I Z3 I ~ 1 , rezulta I ZI I ==I Z2 I ==I z31 ==1.

limf(x) a"!' sau -1. Cumj{O) ==-I < 0 ~i x-+«>

==

==

M

2. a) Fie I E M si x E R . Avemj{x - I) == j{(x - I) + I) ==j{x), deci -I EM.. < + .b) Fie Ii> 12 E M si x E R . Dinj{x) ==j{x+ II) ==j{x + II - (2) rezulta II - 12 E M, deci M - (R, ).

C)AVem£I==[~

~lj'deCiX==BA-I==(1 1

a

. _ (a

B == (b:

~ :::>

V

~I 0

2,3 si

1+ .J3 tg + tg 1(/ 3 == _2__ 1- tga tg1( / 3 I _ .J3 2

1. a) det(A+IA)==I~

.J3 .

°

XA+XB+XC 3 ~ Xc

S. xG

•

Subiectulll

c) FIe B -

13.1+2.1-131==_8_. ,N + 22 .J13

R ==~

b) B "*

0

==0 <=>x== ysau

4. CI20-10 ==45 -10 ==35.

<=> <=>2x+3y-13==0.Distantaeste

~

+xy+

I)

Xv ==__ 2_== 1.3. j{x) ==j(y)<=>X3+ 1 ==/ + 1 <=>X3-/ 2(-1)

~

==

2. Punctul de maxim este abscisa vfufului

~ ~

2

(a + IE.) g 3

5 16

4. Sunt 25 ==32 submultimi ale lui

x ==2.

== -

f'(x)

== arctg

x + ~ -I , x +1

1( . I' (f() x- x1() 2 2

x

2 . hm -- 2 x-+«> 1+ x

== -1

==

rezulta ca

\I

x

E

R .

limx(arctgx-IE.)_IE.. 2

HOC>

.

(f()

lim x x-+«>

2

x) == -1 _ IE., 2

_ IE.

2

-!!... este asimptota oblica a graficului catre +00. 2

3

2.

a) !x::

4 dx =

4

b) !~dx=.!. X4 + 2

--.rwl-oo /'

!(1- X2: 4) dx = 1- 4 .~ arctg ~ [ = 1- 2 arctg ~ .

!(x +2)'dx=.!.In(X4+2)1' 4 X4 + 2 4

0

t(): Ii A

u.

a(j,6.,<) , adica suma Riemann asoci ••• functiei

I,

[0,1]-> R,/(x) = ---"2

x +4 '

2 < ...< -nn = 1) ~l. sistemului . . de puncte = (0 < -n1 < -n

intermediare

';'1-- '-k

n

-1 A ~adar

.1

a,

3

1. a2 = 2, as = 16, => q = -

a2

= 8 => q = 2.

2. p..+!L=p2+q2 qp pq

1! + 2k1! , k e Z . •..• 3. x +"41!_1! - 2" + 2k 1!, k e Z => x = "4 formate doar cu numere pare, ~i anume submultimile raman 64 - 8 = 56 de submultimi.

u.:

= (p+q)2_2pq pq

=36-6=10 3

d/=

1

v

+21 .+2

(

In/+-)

2

1 1

1 I· =1n2+--1=1n2--,cuschimbaredevanabile/= 2 2

\I

rx'(x +2x+l)dx=r x'dx=_I_. (x + 1)2 .b

.

2

+1 = .+1

.b

•

c) Avem In ~ 0, deoarece

x"

--2

~

(x+l)

n +1 1

0, '<:Ixe [0, 1] si n ~ I. Atunci 0::; 1. ::;--, n+1

1- 2i -1.=l,decl . Re a= Il .

2

3.j(x) = ft.y) ~ x> + x = .

de unde limi = 0 . .-+'" •

x

,y

e[O

,.

l

2.xt+x2=5,xtx2=2,decixt+x2-xtx2=3.

+ y ~ (Xt - y)(x + Y + 1) = 0 ~ x = y, deoarece x + y + 1 > 0 pentru orice

4.C50 =~. 2C50=2.~=100.~=~ 100 50!. 50! ' 99 49!. 50!

1]

6

4. Sunt 2 = 64 de submultimi. Nu convin cele

5.IDA+ABI=IDBI=DB=2.

6. Avem x=51! ,deci 6

3

multimii {2, 4, 6}. Acestea sunt 2 = 8, deci

5. AB· AC = 4·4 -cos

BAG

= 16· cos60° = 16 . .!. = 8. 2

Subiectul " 1 a

2

sin a tg a II9 _ 1 sin2 a + cos" a = 1+ tg2a = 1+ II9 -TO 2

•

nt

subiectull (I+ i)2 1. Z=--2-= l-i

Subiectull

~ Q

~

Testul28

Testul27

w ~

2

k -,no

lim a. = r f(x) dx , deci sirul e convergent. n-+ao

(max)

x+l,dt=dx.

n

.. .. di VIZluml

.b (x + I)

1

+4

1='

/'

x ~/-I r_dx=I-2

2. a) 1 =

=...!..In1. 4 2.

k

c) a. = ~

0

Asadar, x = 1 este singurul punct de extrem (minim) al functieij"

.

1.a) tJ. = 1 b

a2 b2

1

a

0

b-a

50

49!. 50!

tg2x=tg51!

a2

a

1

b2 _a2 c2 _a2

3

ce

bui ea ce tre uta arlitat.

=tg(21!-!!..)=-tg!!..=-fi. 3 3

a2 b+a

0

=(b-a)(c-a)·

50!. 50! '

= (b - a)(c - a)(c - b).

c+a 0 0 c-a c2 b) Deoarece a, b, c sunt distincte, rezultli ca numerele b -a, c - a si c - b sunt nenule si deci tJ. 1

C

Cerinta rezultli din teorema lui Cramer. c) Polinomul f(t) = x + ty + t2z - 13 are radacinile distincte a, b. + b + c,y=-ab-bc-ca,x

C.

* O.

Din relatiile lui Viete rezultli z = a

= abc.

2. a) Avem solutiile x = 3 ~i x = 9. b) Daca x2 =

1,

atunci x e U(ZI2) =

{I, 5, 7, 9} . Toate

cele 4 numere verificli ecuatia. 10 c) Daca x" = 1, atunci x e U(ZI2)' deci x2 = 1. Atunci xlO = 1 ,deci x" = 1~ x . x = 1~ x = 1 . A

A

A

A

A

A

Subiectul III 1. a) Functia f e continua, deci nu are asimptote verticale,

lim f(x) = 0, deci dreapta y = 0 este

_T-io±«>

asimptotli orizontala a graficului spre ±ro. 1 2 b) f'(x) = m ~ ,deci 1'(0) = m . Rezulta m =1. (l+x) c) Avem f'(x) = 0 ~ x = ± I. Pentru m > 0, alclituim tabloul de variatie al functieif:

x f'(x)

x

• 42

f(x)

-
-0

-

--~

1 0 +++ m 2 /'

1 0 --m 2 \.,

+00

--

Din tabel, deducem ca l!(x)l::;

Im 1, '<:Ix e JR , 2

deci valorile cautate sunt m e [-2, 2]. 0

2.a) F(I)=

ff(t)dt 3

=(~+et)

=e-1. 3

/' =.l+e_1

00

3 t e ) /x = eX + x -I. 0 3

b) Avem F(x) = (~+ 2

b) Dreapta

y = 0 este asimptota orizontala, deoarece

verticala, intruciit lip1f(x) lim F(x) = ao x ..••.,

X-+-a)

,

,\ f(l) + f(2) + ... +f(n) c,

= In(l.l.i ..... ~. I 2 3 n -I

f

avemx =F(t), dx =j{t) dt, p-I(O) = 0 si P-I(e-l)

f

P-I(x)dx=

o

= I de . ' CI

b) r eXf'(x)

=~. 0 4

c) ff(x)dx=xlnxl:-

3

,,(.-tl tf(t)dt=

!t3dt+

!tf(t)dt=

f - !etdt=.1+e_et/1

.1+tet 4

!tetdt=

,'(0)

4

0

Subiectull

2

2.d = 3

-

r x(lnx)'dx=e-

I:-

dx = eXf(x)

f

4·4

Jfi > Jl6 = 4 , deci

IglOO < V64 < Jfi

< 0, deci 4~ + 3x + I > 0, '<;IxE lR.

4 C2 n(n -I) • n =--2-'

d .

2

eCI 2n+270=n

()

-n~n

4

=18·15,deunde

r (ex)'f(x)

1.1 z 1= -19 + 16 = 5.

n=18.

u.: 1.a) detA(x)

= cos2x + sin2x =

b) A(x)A(y)=

(COSXCOSY-SinXSiny -sinycosx-sinxcosy sinycosx+sinxcosy cosxcosy-sinxsiny

s

~

3 .

°

~ ~

OJ (COS(X+

°

=

c) Cum A(x) . A(-x) ~ A« - x) ~ A(O) ~ 1" atunci (A(xW'

E

01 IR .deci ( A ( { )

A.

~

2. a) Ecuatia se scrie x(~

+ x-

13) = O. Rezulta z, = 0 ~i ~

+ x-

13 = O. x

;

°

cos(x+y)

°

~ A( -x) ,x

0]

y) -sin(x+ y)

sin(x+y)

I

dx => r eX(f(x)

+ f'(x»

dx = e" .

=~

II =0,

,>0

I

'>0-(2

= -I.

2. Rezolvam ecuapaj{x)

0hi B(2, 0).

2 logsX = logs2x ~

log~

= m2 obtinem

I.

°

dx = e' - r eXf(x)

I

intersectie suntA(I,

~ = 6·5 = 30 => C; -

'j

dx=e-(e-I)=l.

dx=-tlnt-(I-t)=-I+t-tlnt.Cum~tlnt=~~t

3.Avem

v

Subiectulll

r

Subiectull .

S. ii . = I . 2 - 3 . I = -I < 0, deci unghiul vectorilor este obtuz. 2 AB2+Ac2 BC2 25+4936 . 6.ma 2 --4-= -2--"4=37-9=28,decl ma=2J7.

•

+ f(2) + ... + fen») = 00.

Testul30

.

3. x + I = tg!!" => x + I = I => x = 0

n-3

I) = In(n + I) => •...• lim(f(l) .,

,>0 rezultii lim(-I + t -tint) ,~o

Testul29 1. V64 = 4 , IglOO = 2 ~i

n+ n

•

2.a) rlnxdx=xlnxl>

.-1

= 0, iar dreapta x = 0 este asimptota

••0

F' = f > 0 , deci F este strict crescatoars,

lim F(x) = --a:> , deci F(lR) = lR . Functia F este injectiva ~i surjectiva, deci este inversabila

c) Cu schimbarea de variabila t =yl(X)

lim f(x)

x ..••.,

= +00. Fiind continua pe (0,00) ,fnu admite alte asimptote verticale.

,

=A(x+y).

r~

Ji05

= -l±

4

2,3

= 0 => ~

- 3x + 2 = 0 => x, = I ~i X2 = 2. Punctele de

logs 2x = -I Iogs 2 x, deci . log2S2x = -eCI ecuatia. se sene: logs 25 2

= logs2x ~ ~ = 2x, deci x = 2, pnand cont

~ = 5. 5. Panta dreptei d, este

ml

ca

x > O. 4. C; = ~: ~:~ = 35 ;

= 112. Panta dreptei d2 este mz = -a. Din

ml

a = _.1 . 6. Din sinx + cosx = I rezulta sin2x + 2 sinx cosx + cos2x = I => sin 2x = O. 2

Subiectulll 1.a) detA = 3(1 -a). b) Pentru a

*'

I, rangA = 3. Daca a = I, I~I

~

I*'o

implica rangA = 2. Deci a = 1.

A( _{) c) £' =_I_.A• detA

.

=.l.[~3 3 -3

~2 I

~Il. 2

2.a) f = X2(X2

+ I) - X + I = g ·(X2 + I) - X + I. Restul impartirii luiflag

I I I b) -+-+-+-= x, x2 X3

I x4

este -X + I.

2

~

z ~ ca: ~ ~

a

b) ml + x; + xi = (x, + x2 + XJ)2- 2(X,X2 + x,XJ + X2X3) = (_.1)2 _ 2. -13 =.1 + 13 = 2 2 4 3 2 c) Cum X,X2XJ = - m2 ' rezulta XJ= - m, de unde _ m + m + 13m + m = 0 2 4 4 2 ' 2 + 30m = O. Obtinem ml = 0 sau m - m - 30 = 0, de unde m2 = -5 si m3 = 6. Cazul conform

lui a). Daca m = -5,

avem

X3 =

-%

~i 2x3 + ~

-

53 4' adica _m3 + m2 m = 0 nu convine,

13x _ 5 = (2x _ 5)(~

+ 3x

U

+ ~ _

!~

+ I), rndacinile polinomului ~ + 3x + I satisfac X,X2 = 1. Daca m = 6, avem X3 = -3 ~i 13x - 5 = (x + 3)(~ - 5x + 2), cu aceeasi remarca,

Z -e

SubiectulllJ

~

•

c) Pentru orice a

1_ < 0, '<;Ix>0, decifeste x(x+l)

strict descrescatoare pe (000) , .

-

a + I) > 0 . Ca unnare,f

nu are

Subiectul JII 1.a) lim Inx = lim~ = I = f{l) x ..••1 x-I x ..••1 I b) lim f(x)

=

R , avem a" - a + I> 0 , deci f(a) = a4 + (a2

nicio radacina reala,

••••• 1

1. a) Avem f'ex)

E

X,X2XJ + X,X2X4 + X,XJX4 + X2XJX4 -1- I - - . X,X2X3X4 I

- f{l) x -I

, de unde rezulta cerinta.

.1-1 = lim In x - x + I = lim-x-= _.1 . De aici rezulta ~i caf este derivabila in x = I x ..••, (x _1)2 •...•1 2(x -I) 2

c) Avem

I'(x)

x-I-xlnx (x -1/

'

V I x ~ I, x > 0, si F(I) = -2'

definita prin g(x) = x -1- xlnx . Avem

g'(x) = -Inx

si, din tabloul

x

< 0,

2.a)

1

c) Fief

I Xdx=i../ 2

"Ix> O.

in x = I;din tabelul de variatie alaturat, rezulta cerinta. c) Prin inductie,

0

~~~~--~I~~~~

de variatie alaturat, deducem cll g(x) < 0 pentru orice x E (0,1) u(1,co] si, in consecinta'/'(x)

g: (0,oo] ~ IR,

Considerarn functia

f '(x) + + + + + 0 _ _ __

= (-I)n+I(x - (n +

f(x)

2 a) ! = If.-Ldx

- 1/'0

\.

• 0

=..!.,decigEM 2

b) rh(X)dx=X3/1 .I> 3

r

E M Atunci

o

M

+X2/1 +a=..!.+..!.+a·h 2 3 2 '

E

0

r (f(x)-x)dx=O

If(x)dx=..!.= 2.1>.1>xdx~

_ ~ a - -3.

~

. Conform t eoremei . d e medie,

2

nu

+31

n

Subiectull

este strict crescatoare,

I

2

b=43=23

1mf = [1(1),/(2)

r-

=

,

0

rezulta conc1uzia.

I{ .!._1.+

~_1_~5! n+1

n 1 dx= x + II =_1_ n + Ion +I

I, avem

x"

O~_x--~--~O~! 2x + 3 nx + 3

_n_~n!n~..!.~ 5(n+l)

I~

"+

=

1

"+1

s

x

X

9 )dx = (X2 - 3x + 2. In(2x+ 3))1 = -..!.+2.Jn~ . 4(2x + 3) 4 4 8 0 2 8 3

4

~l2

s

X

si j<"+ll(X) = (f<"l(x»' = (-I)" e- -(-I)"(x-n)e-

X

n+1~! n . Atunci

5! n >2! n+1+3! n >5! -

limn!n=..!. 5

5

HOO

=24. Cum c=!4=2,avemab=c4•

] = [3,5].

3.

2.Cumf

I ~

x = -x -I ~ x = _..!. .

Subiectull 1.

I z I=

-I

b

2 .1= =.J2 .2. Avemj(x) 1+1 ,,1+1

=y ~ ~ - x - 6 = 0, de unde x = -2 ~i x = 3. Punctele sunt

4. Fie n numarul elementelor lui M Avem 2"..1 submultimi de cardinal impar, deci 2"..1 = 32 ~ n = 6. 5. AB + A C = 2 AD,

...: •

I AB + AC

laturii Be.

Cum

AD = AB . sin 60° =

.J3 . .J3 = 1. 2

2'

L4

6. sin(x + n) = -sinx ~ sinx sin(x + 1t) = -sin2x ~ 0, "Ix E lR .

1=3.

1••)

o

~]'A3=03'

b) A'A'=[~

000

~ ~].[~ 000010000

~]=[~~ ~]

~

~irangAAI=2.

c) Daca exista BE M3(C) CUF = A, atunci AB = BA, deoarece AB = B2 . B =

eJ = B . F = BA.

Notand

dID A

=cos({-x),

:E

:],

! n s

B=[ ~ ~

avem AB = [: ~ 000

;],

BA = [~ : Ouv

Avem det-i =Oo>de~=O=>

~ !.

~],

det8=00>.=0

b)A2=(3:

Obtinem

B' =[~

~

~]'A

A'"

!:

o

e !It

x-eec

I

6

y) ,x, Y E

x

= lim..!.. = lim....!..= X-+0::1

e"

x-eeo

o.

eX

b) Avem f'(x) -- e -x - x e -x = (I - x )e -x . Denvata . se anuleaza

11-2·0+11 .JI + 4 {-x)

n. Avem

::).12A=C:

2 =.J5'

6.

cum

= = sin2(x+{)

AX =(6X

0

~~).36I2=(3:

c) Avem B E M, deoarece AB =

Rezulta

B2 = (X2

.

+y=4.0btlDemx=2,

o

2XY) , x2 y=S

.

(1!)"4

SID

+

X

~ 0, "Ix E

= cos

(1! "2 - ( "41!)) x+

=

s.

Y

6 +4X)=XA.

&

x f'(x)

++ +++ 0

f(x)

-00

1

-00

/'

e

\. o

(F + B)B

306)~A2_12A+36h=(~

= B3 +

B2 + B = (X2 + x 0

4.

~I B=

(2 4/5). 0

2

F = B(B

+

Y) ,

2xy + x2 +x

,apOlx=-3,

F) = BA, adica

y=-S

~)=02. deci 3x, y E R, B = (~

~

4.

+

~I B=

x

6,

(-3 -4/5) 0

-3

~).

2xy

+

.

•• 2. a) Fie x, y E M ~

Subiectullll 1. a) limf(x)

I' ungimea

deci x = u = v = 0, a = y = t, b = z ~

a) ~uma coeficientilor poli~omului ~stej(l) = (I - 2)10- 1 - 2 = -2. este 0, deci suma radacinilor este O. ~ ~ PollDomul are gradul 100, tar coeficientul lui •••• c) f = (g + X)IO -X _ 2 - 10 CI 9X 9 9 10 it d . -g + 109 +".+ClOgX +X -X-2= g.(g9+Cllog8X+ ... +C~OX9+1) ~ eCI g If.

eII:

, sau

Subiectulll

o

B = [: ~ uvt

are

rezulta sin (x + {)cos(

1. a) Fie X =(x

l~

log, 2 = ~ ~ XII2= 2 ~ x = 4. 4. Suma este (1 + 1)10= 2

~o + C:o+ ... + C:g = iO . 5. Ecuatia dreptei BC este y -I = x -I ~ x -I = 2(y -I) ~ x - 2y + 1= 0 . 2-1 3-1 A.. Inaltimea

A'=[~ ~

10

A(-2, -2) ~i B(3, 3). 3. log93 = ~; rezulta

Subiectulll

i i

D fiind mijlocul

"+1

Testul32

12

~i ab=23

(%J = (%

e-

= rx"(2x+3) n.l> 2x + 3

:I

~5!

I»

x

2x + 3

"n+1

Testul31 1.Q

0

c) Deoarece

exista c E [0, 1] astfel incatj(c) - c = 0, ceea ce trebuia aratat,

O 1. Avem a=(i Y/3=23,

cum f'(x)=(-I)I(x-l)e-

3p, q E

Q

cu x = COSp1t + i sinp1t, Y = cosq1t + i sinq1t ~

xy =

~

= cos(p + q)1t + i sin(p + q)1t. Cump + q E Q, rezultaxy EM' b) Inmultirea este asociativa, elementul neutru este 1 = cos 0 . 1t+ i sinO· 1t E M (pentru ca 0 E Q ), iar

i

inversul elementului x E M este X-I =.1 = COSpx - isin pst = cos( - p)1! + i sine- p)1! E M (pentru cll x

•

p e Q ). De aici rezulta cerinta. de demonstrat ca fl.p + q) = fip) . j{q), cos(p + q)1t + i sin(p + q)1t = (cos pt: + i sinp1t)(cos q1t + i sinq1t). c) Fie p, q e Q. Avem

ceea ee revine la identitatea

-2

1

1

-2

3

1

nul:

0 1 =4b+3+2-b=3b+5=>

b=-3·

5

b

Subiectullll 1. a) Evident XI =~~4; b)

X.+I =(X._4)2+4~4,

X.+I - X. = x; - 8x. + 20 - X;_I + 8x._1

':.In~ l,decixn~4, -

20 = (x. - x._I)(x.

2. a) Fie X; Y eM=>

':.In~ 1.

+ x._1

-

8) ,

n

~

2.

Cum

exista a, b

I+2(a+b+ab) ( -2(a+b+ab)

XY=

x

(-1, (0) astfel incat

E

a+b+ab) 1-2(a+b+ab)

=

(1 +

-2a2a

y=

1-a),a

(1 +

-2b2b

1-b)b .

e(-I (0)

eM,deoareceab+a+b=(a+l)(b+I)-I

,

.

Xn + Xn-I - 8 ~ 0, rezulta ca Xn+1- Xn are acelasi semn cu Xn - Xn-I , deci, inductiv, cu X2 _ X

1)2

(

Cum X2 = 4+"2

I 9 = 4+4" <"2

= XI

rezulta Xn+1-Xn

c) Conform teoremei lui Weierstrass,

s 0, '
sirul este convergent.

I·

I. Notam

/ = lim an

:

Trecand

la limit

n-+«l

obtinem

P-

9/ + 20 = 0 => / = 4 sau / = 5. fusa x. ~ XI =

2.

2. a) Derivata primitivei este I> 0, deci primitiva este strict crescatoare, de unde rezulta injectivitatea. b) Cu schimbarea de variabila t = sinx, dt = cosx dx avem oIA

c/

e: iil

·2

vem sm

[14 I(x)

:;;;:

X

2 . sin x tg2x = . 2 2 = --- 2 , deci I(x) sin X + cos X I + tg X

_ 1 [14 dx -"2

(tgx)' 2

~

o u.:

.

I dx =

tg x+-

2

=

[/2

co~x 1+ sin '

X

dx = arctg(sin X)II =!!.... 0 4

I+tg2x . Atunci 1+ 2 tg2 X

a_)

t2 +-

2

=

1

r: arctg(tF2)

,,2

II 0

=

~ . arctg

,,2

12

= U(O)

E

lnmu1tirea

M (pentru ca 0> -I), iar inversa matricei U(a) este

U(x) = U(y) ~ X = Y si = U(ab - 1) ~ij(a) j{b) =

Subiectullll 2

r dt "2.b --I 1

U(b) = U(a + b + ab), '-1.

am aratat cli U(a)·

a_

f2 .

2

al/'(x)=2x(x+I)-(x -2) 1. / (x+l)2 b) lim I(x)

x +2x+2,'
= 00, lim I(x)

spre +00. lim I(x)

x-+oo

=.=!. = -00 +0

s ...•-l

- x) = Iim -2 -

= I si lim(f(x)

x

x-+oo

X-+aJ

Testul33

a), I-a

EM, deoarece __ > -r. I+a I+a c) Observant j(a) = U(a - I). Functia este inversabila, deoarece a e (0, (0) ~ a - I e (-I, (0). Functia j este morfism, deoarecej(ab) = U(a-I) U(b-I)= U(a-I +b-l +(a-l)(b-I» = U(ab-I).

U ( __

2

u(a)=(I+2a -2a

este asociativa, are elementul neutru

La

=> / ~ 2. => / = 4 .

2

b) Notand

,

x-JotO

= -1

deci x

0 => X

=

2. a) A + B

/2

=

[

=

= -I , deci y = x-I

este asimptota oblica

= 2, x E (-I,

(0).

Avem ~ + 2x + 2 =

U+

4x + 2 <=>

O. b) Cu schimbarea

dx = 1! / 2 .

de variabila

t =!!...- x

avem dt

2

t)

A = _{

X

+1

este asimptota verticala. Functia este continua, deci nu mai

admite alte asimptote verticale. c) Cerinta revine la rezolvarea ecuatieif'(x)

~ ~ + 2x

X

Sin(!!...2 dt 12sin (~ _ t) + cos (~ _ t)

=

r

/2

=

-
cost dt = B . cos t + sin t

c) Din punctele anterioare rezulta A = 1tI4.

Testul34

Subiectul " 1. a) !l=

I

-2

I

a

I

-2

-I

3

I

=5a+4.

Subiectull 1. a) Avem 20b

b

= 3b = 4, deci ab = 2.2. Cautam a, b e lR astfel clij(x) =ax + b, x e lR . Avem

= 2 => b = 2;j(4) = 4a

j(0) 3.

= (20)

X

+ b

= -4

=> 4a

= -6

+!!...= arctg 1+ kn , k e Z => x = kn, k e Z. 4

perechile (2, 3) si (3, 2). Probabilitatea

= -~ . Atunci

=> a

este 2/9.

I(x)

+ 2 ~i 1(1) = ~ .

= -~x

4. Sunt 9 elemente in produsul cartezian. Verifies

s.

1

Panta dreptei date este

-3· Panta

..

perpendicularel

este 3 ~i ecuatia este y = 3x.

6. eosA

AB2 + AC2 _ BC2 2AB·AC

25 + 64-49 2·5·8

=

1., deei

A = 600.

2

Subiectul "

(2 -I]

~~~;::~:~ +12 . [ ~ ) + b [~IJ + [=~J = [~J' b) Daca punctul pea, b) apartine tuturor eeJor 3 drepte, atunci a -3 m -I 0

(3 3J

8-5] . b) AC= , CB= (14-a =AC. -3 2 3 2 21-18 12-10 c) Pentru n = I ~i din AC = CB obtinern B = C-'AC. Atunei B" = (C-'AC)" = C-'AC- C-'AC ... C-'AC = C-'M ... A C = C-'A"C, Vn ~ I.

. ., a rimelor doua. Rezulta 6 = 0, deci m = 4. treia coloana din 6 este combinatie liniara p ( 1 1

2. a) p=)(l()(l

oarece rang c) Daca dreptele nu sunt concur ente , avem 6 *' O, d e

1.a)detC=I,

b)

C- I =C

•

=

+ 3X+ 3) +)(l +aX+ b = ()(l + 1)/+ (a-3)X+

(x,

+ +

x2i

= 3(x, + ...+ X4)2 -8(X,X2 +

(X3

3(X,2+

x4i

+ xJx4) = 3(-3)2 -8·4

b- 3, deei a = b = 3.

xi + xi

+ x:) - 2(X X + ...+ 1

2

J

tibil determinat, cu unica solutie (0, 0, 0). compa

= 00,

lim I(x) =

X-+--
--00.

1&1 ~

C

:!)

I este

inversabila.

Avem

if'y

(j(x)) ·f'(x)

= I,

10 I -x', "'0 -ze dr, avem !X~I-x'

f

c) Subgraficul este un sfert din cercul unitate: y =

.J 1-

dl

01;' I:

o~

~;

= I _ x2 ~ x2 + ;

= I. Aria este !!... 4

~

2.j{x) = g(x)

¢:>

Z

3. cos(x-!!")=COS(2X+!!") 2

!

Obtinem XE{_5;

¢:>

3

+ 2k1i 1 kEZ}uL~

< 0, ecuatia nu are solutii.

X-!!..=2x+!!..+2k1i 2 3'

k E Z sau X-!!"=-2x-!!"+2k1i 2 3

'

k E Z.

+ 2~1i 1 kEZ}.

H 2'

o.:.

4. Avem C,2 =

! ~

S. Punctul 0 este roijlocul diagonalelor AC ~i BD, deci OA + OC = OB + OD = concluzia.

~ ~

6. Inaltimea din A este egala cu JI6 - 9 =

• 50

= 21 .

4n - 21 = 0 n E N ~ n = 7 , .

J7 , deci

S =

=

(-a- b.J2 -b)b.J2

y=

0

a + c, b + d E Q .

deoarece

)EM,

pentrucaac+2bd,ad+bc

EQ.

EM.

inmu1tirea matricelor este operane asociativ

hEM

(pentru a = 1, b -- 0) . Cum M este inchisa

-a +

Pentru

VXEA

lim f(x)

= lim

x

x ••••'"

(a

Z

-1-1. ) = 00,

A

•

3J7 . Cum p = 7, rezulta

de unde rezulta

r = §.. = p

3J7 . 7

"(0) -loa-I Ja

-. Z

lim E= 00 , X

z ..••cc

•

rezulta

•

~(a

Z

. deci graficul nu are asimptote

(aZ

I)- lim x --I - x - - Z-+'" X

_1.)=00 x

I +00 Pentru a E (0, 1), a, a .

• .X e +00 Rezulta a E (0, 1). 0 d . - -x - I este asimptota spr . + x + 1) = lim a = , eCIy . IUl'Fermat rez z-+OO d .. x ..••eo _ E IR x = 0 este punct e mlDlm. Dill teorema c) Deoarece Io(x) ~ 10(0) - 0, Vx , f~(O) = 0 ~ lox = I ~ a = e. X

X

•

Nota.Aveme<~x+

Z

1, Vx E IR. =2.

x [0 , 1t] ~i sin ~2 -1 :5: 0 . - I = · Sillnx(. - Sill~-I)dx:5:0 , deoarece sin-~O,VXE 2 r "+, n 2 2 . ., .or irul este converge . "x 0 '"' [0 1t] ~ 1 ~O.Fiind descrescator ~i marginit inferi , ~ c) Avem Sill vX E, "

b) I

0,

~

a > I , deoarece

2. a) I, = rSin~dx=-2cOS~1:

ci

n2 -

-X

11])

lim(f(x)

~

oC III

.

~l

1.a) I~(x)=azloa-I,

z ••••ec

SIO=8+71'1O=79.5=395. 2 3x2 - 4x + 7 = O. Cum 6 = 16 - 4·3·7

~l

Subiectullll x2

Subiectull

::t

Q)

distributive fata de adunare, cele doua operatii, rezulta cennta.

b)

1.a,=8,alO=71~

E

o ~u e Iemen tul neutru

;; Testul35 z ~ •

b.J2

c+d,,2

., . a drnite elementul neutru O2 E M (penn c) Adunarea matricelor este operatic asociativa ~l cornutatrv , a . ..

a= b= 0

~-H,fi "'0 H''''

ab+bc ac+2bd-(ad+bc).J2

0

b) XY= (

1"2

.b.J

a_

t:

( .

functiei I rezulta j{ IR ) = IR , deci I este

de unde, pentru ca j{0) = 2 deducem (r'), (2) = _1_ = 1. . 1'(0) 2 r/2 I . 1i 2. a) dx=arcslllx 0 =-. l-x2 6 b) Notand

~

b+d ) EM, a + c - (b + d).J2

0

ac+ 2bd+ (ad + bc).J2

;

a u

a) X + Y -

Din continuitatea

c) Din punctul a) rezulta bijectivitatea functiei.r. deci

~

_ (a + c + (b + d).J2

I > 0, deci I este strict crescatoare.

b

1

Subiectullll b) Avem x-+oo Iim/(x) surjectiva.

= 2 . Sistemul este omogen,

)

(+b.J2 _ a 2. Fie X, Y E M ~ 3a, b, c, d E Q astfel ca X 0

c) Daca toate radacinile ar fi reale, atunci (x, + X2)2+ ...+ (X3- X4)2~ 0, contradictie.

1. a) f' (x) = e<+

2 -1 -3m

-XJX4)

= -5.

deci a

"2 ~ ,

Testul36 Subiectull 1.B = {I, 2, 3,4,6,

12} =>A -B = {5}.

2. Ecuatia ./{x) = x se serie Ix-21=x-4.

Daca x ~ 2,

ecuatia devine x - 2 = x - 4, ~i nu are solutii. Daca x < 2, ecuatia devine 2 - x = x - 4 => x = 3. Punetul 2x 1 x 2x 1 x x este A(3, 3). 3. Avem 3 + = 3· 9 => 3 + + 9 = 4 ·9 • Ecuatia se serie 4 . ~ = 36 ~ ~ = 9, deei x = 1.

C~ -C9" = C"-I 9 ,e gali tatea se sene. C"-I 9 = C97 => n- 1 = 7 saun- 1 = 2 => n= 8 saun=3.

4.Deoarece

5. Punetul 0(0, 0) apartine dreptei d., Distanta dintre drepte este distanta de la 0 la d2: x - y + 1 = 0, adica

10-0+11

=_1_.

~e+(_1)2 J2

Subiectull 1. Z2 =.!. _1. + 44222

smA

.Jlj = .Jfi . •..•• 3

-2

-2.J3)

t:

( 2•..•• 3 -2

; A3

=

(-8

0

0

-8

6. t (x+!£)=

J =-812,

J... A = 12 , deei

rezulta (TrX)X

2

=X

-212 =( ~

inversa matrieei AS este

e) Avem X2 = xiq, X3 =

±J6

=>trX=

deunde

X =±

=> (Tr X)2 = -2, ecuatie

-.J3) -I

xil.

Din 6 = xl(1 + q +

l),

= 1. . Atunci I 2

(1.) = 0 deci 1. _1 + 1 + m = 0 => m 2' 822

3=x~q(l+q+l),

= -1.

tarn solutii

00

2.a) I(x)

= 1. X

rezulta

b) Notand t =~,

X

xlq=~

det(/3 + A") = (3" + 1)

f/(x)

dt = 2x dx, avem

dx =

3

tf

I(t) dt = ~(5In2 -InI7).

3"-1

In n! 0~-2-~n

.

=0.

X

3"-1 + 1 3"-1 = (3" + 1) 0 I

1

e IR astfel incat{I3 + A){I3 + xA)

a) Avem

-± .

1 0 3"-1

3,-1

0

= 13 ~

lnversa este 13-

±

Inn . si.cum n

1 3"-1 = 3" + 1 => 3" + 1= 82 => n = 4. 0

1

13+ A + xA + xA2 = 13~ A + xA + 3xA = 03 ' de

A . Altemativ, (/3 + Ar = det(/~ + A) . (13 + A)" . l

8

a - 4b = 0, 5b = 1 => b=~,a=~,

care verifica

-5b

= -1,

a+4b=S

~i

= 1, deci matricea apartine lui G.

b) Fie X; Y e G => 3a, b, c. d e IR astfel incat

cerinta.

dx = Inx 14 -1.ln(x2 + 1) 14 = 1.(5 In 2 -InI7) I 2 1 2

f

.J3 =.J3. ~

=>

d + 9b2

. n(n+l) 1 n!. Avem hm--2-=-;n!~nn=> , ..•., 2n 2

X l(x2)

3"-1

unde (4x + I)A = 0 => X =

lim In~! = 0 . Limita este egala cu 1. . (Altemativ, folositi lema Stolz-Cesaro). n 2

+1

IR, deci

-2

1

.

n-too

-+ =>

tgx+ tgtrl6 =.J3 .J3 1- tg X tgtr / 6 1_1

3"-1 + 1 = 0, deci 8 - 24

X

!~Innn = 0, rezulta

e

in IR .

I'(x) = 1+ 1. > 0, Vx> 0, decij'este strict crescatoare.

n(n+l) 2 +···+/(n)=--+In 2

= ~y -1

-.L

h(~ ~).

8

=; -1 < 0 . Din continuitatea functieij'rezulta

X

=>a=3=>a+b=10.

1

2.

1(;)

solutia

e Q ~ k e par, deci k e {O, 2, ..., l00}. Sunt 51 de termeni.

=A,

Subiectullll

b)j{l) = 1 > 0,

= yare

[1, (0). ecuatiajix)

1

- (Tr X). X+ 2h = O2.eumx

e) Cautam

I()

a=2+4 2

2. Este necesar ~i suficient ca

J... A .

2. a) XIX2+ X2X3+ XJXI = 3. b) Daca « XI> X2, X3, atunci 2x2 = XI + X3 => 3X2= XI + X2 + X3 = 6 => X2 = 2. Atuncij(2) + 6 + m = 0 => m = 10.

+

k

e

64

=> (TrX)2=6

~)

Daca detX = -2, atunci (Tr X) . X = X - 2 li = (-1 .J3

.\ 1(1)

4. Tk+1 = ctoo.J3

3. Fie y

3

= detA =4, deci detX= ±2. Daca detX= 2, atunciX

e) Avem detr

6

g

64

c)

e [±,oo).

_1_+_1_

b) Deoareee A6 = 64 h, avem AS.

l.a)

- .J3 i => Z2 + Z = 0 e IR . 22

5.4=I+b=>b=7; 2

3

Subiectulll

=> x2

..fj i = _.!. + ..fj i; z =.!.

d ~ 0 ~ 1- 4m ~ 0 ~ m

f e surjectiva.

6. BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos A = 19 => BC = Jl9 => 2R = ~C => R =

1.a) A2 =

Testul37

C-4d Y= ( -5d

5d) c+4d

d + 9Jl

(ac-9bd-4(ad+bC) . Avem XY= -5(ad+bc)

X _ (a - 4b = c2 + 9Jl = 1 si -5b 5(ad+ bc) ac-9bd+4(ad+bc)'

)eG

5b) a+4b

,

deoarece

.

.

•

_I

1

= a2 + 9b2

(a+4b 5b

-5b)_ a _ 4b -

(a+4b 5b

-5b a - 4b

I

>< v

(ac - 9bd)2 + 9(ad + bd = (a2 + 9b2 )(c2 + 9d2) = 1. e) lnmultirea este bine definita pe G, este asociativa, are elementul neutru h e G (pentru a = 1, b =0), iar inversul elementului X este X

i

)eG.

~ ~

!;( ~

•

35~

Subiedullll .• I'()

1

«a)

x

1

x = +.J

2 X

+1

=

ri:

,J;2;i+x 12""-: v x: + 1

= ~~2

"x

=

rex)

2

+1 f'(x)·

~ x+

c) lim/(x)

=00, lim I(x) = lim(I+~X2

= lim ~ x-eee

2.a) I(x) =

x

x-+oo

x-to
x2 + 1 +x

x-eee

1 x+2

dt=1.dx.Atunci

c) Conform teoremei de medie, exista c;

iit ~

I'(x) I(x)

~IJ=2,

n

Din n s; Cn::;; n + 1 rezulta I::;; c n

::;;

E

1

I(x)dx=

lim(.Jx2 +I-x)=

c) Din f' =_1_+_1_+_1_ I X -XI X -x2

X-+Q)

=

(In(x+I)-ln(x+2»

=t.

II

o·

= 21n2-ln3

E

r l(t)dt=2ln2-ln3.

n-+oo

a-eec

Cn

I(x) ::;;X + 1 , Vx> 0, rezulta lim I(x) = I .Functia g(x) = .f{x) - X = sinx nu are limita c) Cum X -I ::;; X X x x-eec X

= I. Ca urmare

n

la +00, deoarece x; = mt ~oo,

'

2. a) 12 =

~

.

~

2

=--Slll

2. Xy = -1 = -~ , deci a = 2;

:>

3. li~

Yy

= 1- a + b = b -I ~ b = 2 . Atunci 2a + b = 6.

= ±l. Rezulta ~ = 10 sau x2 =

= 1 ~ I~

1..

de unde x

10'

E{

10 10 __ 1__

-vlU,vW,

6. C= 180° - 30° -75°

= 75° si sinC = sin 75°

~

J6 +.Ji ~ 4

a

R =-4f!= 2smC

. (n+ I) Xo1"12 =

~

1. a) X4 = (:

b) Demonstram

prin inductie

1. De exemplu x =

-Ji + I,

:~.

• 354

'71 tL"

••

~l

deoarece

BI = (~

2; 1J.

Din

f = arcsin f

(n+I)Jl' =. 0 Ded ucem sm---

B

=

s: .B =

(0

1

2 nJ. 1

'(0

1

2J 1 = (I0

2(n 1+ I)J ' n EN·,

rezulta cerinta.

~X

\AI

.Ji +x

s.

Mijlocul

[xy

= 1E Q

cos(n + I)x dx =

I 1= I 3 = ... = I 2013 = r/2dx = -Jl' .

*.

= - ~ , + 00) . Trebuie ca - ~ ::;;2 , deci

.

Functia arcsin: [-I, I] ~ lR este crescatoare, deci x

4. 5! = 120 ~i 6! = 720; rezulta n n 1 +

Din

Subledull

2(J6 -.Ji)

dupa n. Evident,

-00.

Testul39

3. ~J = BX.

r

catre

(n + 1)Jl' 2

2·

n+1

2. Functiaj" este crescatoare pe intervalul

Subiectulll

are asimptote

--Slll---.

. n+1 E c) Daca n e unpar, atunci . -222

I_}

i ~

=2.

g(Yn)=I~I.

JIO'JIO .

~

e

11
cosxdx=2sinx

I nu

SillX

n+1

4S tC4fun" . 4 • un 5 ctu stnct crescatoare ~i Cs functii strict descrescatoare. in total 2 C; = 10 . s. Dreptele d, ~i d2 se intersecteaza in punctul (-I, -I). Atunci -I - a + I = 0 ~ a = O.

~

I"

12 -.-dx=2 sin 2x

se arata ca

b) Cum sin(n + 2)x - sin nx = 2 sin 2x cos 2n + 2 x, rezulta In+2- In = 2 2 2

:> D.

r

si Yn =f+mr~oo,

g(xn) = 0 ~O

• 'S Testul38

~

3

/(lR) = R , adicaj" este surjective.

1+1., de unde lim c, = 00 ~i lim

=au

=_1..

3

x~±-o

1

Rezulta ca / nu are asimptote catre +00. Analog, continuitate rezulta ca/nu are asimptote verticale .

1·IAuBI+IAnBI=IAI+IBI~IAnBI=4

/(l)

lR . Deoarece multimea zerourilor functiei f' este fermata doar din

i ...;

~

/'(1) = 6-6-1 x-~

puncte izolate: f'(x) = 0 ¢:) X = (2k + 1)1t, k E Z , rezulta ca functia / este strict crescatoare. b) Avem X -I::;; /(x)::;; X + I, Vx E lR , de unde rezulta ca lim = ±
Q

Subiedull

~;~IJ.

~J=H~;:3

Subiedullil

:>

a

2~0)(~

rezulta _1_+_1_+_1_= X-XI x-x2

X -~

1. a) f'(x) = 1+ cosx ~ 0, Vx

[n, n + I] astfel ca [+1 I(x) dx = I(c ) . n

n

~IJ(~

.f{1) = 2 - 3 - 1 + 5 = 3, deci (l-x,)(I-X2)(I-X3)

lim(f(x)-2x)=

dz

AJoo=H~l

b) Din I = 2(X - x,)(X - X2)(X - X3) deducem .f{1) = 2(1 - x,)(1 - x2)(1 - X3). Pe de alta parte

, de unde rezulta cerinta,

X-+
~

~lJ.deci

~lJ

2. a) 1= (2X -I)· (X2 - X -I) + 4; catul este X2 - X -I ,iar restul4.

x2 +1

r/(lnx) x

X

2 ~i X·=(~l

(x2 + I) I"(x) =

¢:)

= 0 , deci y = 2x este asimptota graficului spre +00.

1 =--- 1 (x + I)(x + 2) x+1

b) Notamt=lnx,

X

obtinemX-l=t{~1

R7l

+1

X

= f'(x).J x2 + 1 - X f'(x) =

Din detX=

delOOori

1'(x) . .Jx2 +1-~x_/(x) b) f'(x)

AIOO= ~X-JBX).:.(X-JBX~=X-JBJOOX.

c) Avem A =XIBX~

>0,deoarece.Jx2+1>"X2=IXI~-X.

segmentului

E

E [ -1,

m ~ -8.

f].

{I, 2, 3, 4, 5}.

BC este Me;

1, 1~ 4) =

M( 1,%).

Mediana

din

A

are

lungimea

6. Avem

st < 4 < 3; , deci punctul de coordonatli 4 pe cercul trigonometric

este situat In al treilea

cadran. Rezulta sin4 < O.

Subiectull 1. Intersectia este vida daca ~i numai daca 0 + 1 s; 0 sau 0 ~ 1. Rezulta 0 E (-1, 1). 2. Cautam 0, b, eE R , a= 0, astfel incatj'(x) = ax2 + bx + e, XE R . AvemfiO) = e~ e=O, fil) =0+ b + e ~ a+ b = 1 ~ifix) =4a+ 2b + e ~ 2a+ b =4. Obtinem e e, 3 2 ' b = -2, e = 0 si fix) = 3x - 2x, X E R . 2 3. Avem 2 sinx cosx = 2cos x ~ cosx = 0 sau sinx = cosx ~ cosx = 0 sau tgx = 1 ~

Subiectulll

I

.

1. a) detA = 0 ~i I0

I

01 = 1.0 0 , deci rangA = 2.

b) A2 = [~

~];

A) = [~

~

Testul40

202

~]. Din A3 = uA2 + vA obtinem 4 = 2u + v, I = u + v, de unde u = 3,

~

404

~

xE{~+k7r1

4. Tk+1 =

kEZ}U{~+k7r1

C: (X))6-k -( ~

v=-2. S. AB=2T+2], c) X = A' = [ ~

~

~I],

-1 0

...I

caci adjuncta matricei A veri fica relatia A· A' = A' . A = (det A) . I) = 0) .

J

C; . X

=

AB=2../2;

parte, AB· AC = 2../2·

kEZ}. 18

4k . Din 18 - 4k = 2 rezulta k = 4; coeficientullui

-

AC=-2T+3],

m· cosIiAC

AC=m.Avem

. Rezulta cosIiAC =

1

2. a) X-I dividef ~ fil) = O. Deoarecefil) = 4 + m obtinem m =-4. b) Cum 1 este radacina, avemf = (X -1)(X2 - 5X + 4). Obtinem XI =X2 = 1, x3 = 4. c) Daca r este riidacina dubla, atunci fir) = /,(r) = O. Din /,(r) = 3; - 12r + 9 = 3(r - I)(r - 3) se obtine r = I, pentru care m = -4, sau r = 3, pentru care dinf(3) = 0, rezulta m = O. Asadar, m E {O,4} .

r este C: = 15 .

AB·AC=-4+6=2;pedealtll.

b.-.

,,26

6. Avem !!.. < 2 < 7r < 4 < 37r , deci cos2 < 0, cos4 < 0 si cos2 . cos4 > O.

2 Subiectulll

2

1. a) AvemdetA =-1,

A,=[~I

~

~I]'deci

-1

0

A-I=[~

~

~1].

1

0

!AI

o

~

Subiectullll

SE ::::l

1 • a/,Iii m f(x)-f(I) x->I x-I

C

u:

x>1

·

x-(-I)

x->-I

b) f'(x)

=

I..}

= +
ill X

A

b) Pentru n = 2, egalitatea este evidenta. Pentru n = 3, aratam ca A3

= 1.

A2=[~ (X_l)2 --2

x->-I

(X

2 3x -2x-I 3 ~(x -I)4(x + 1)2

+ 1)

. bil = +
ill X

A

= -1.

(x-I)(3x+I) = 3x+I , V'xER 3 ~(x -I)4(x + 1)2 3 ~(x -I)(x + 1)2

-{-I,

I}.

3r -

~ ::::l u

·

X

-
~

f'(x)

++++

~

f(x)

/'

ffi

2. a) 1(3,3)=

•

!

x2(1_X)2

dx=

b) Cu substitutia

0

+++ /'

2ifi

t = 1 - x, avem I(P, q) = -

r

---

-,

cC

~

.

• S6

c)

Integrand

-0 q-I - + -p

r 1X

prin p

(1-

xr

parti, 2

q-l dx = -p

avem

++++

0

/'

I(p,q)=

A)=[~

A = A2 -

h.

intr-adevar,

~

~i A3

~]

A2 - A +

-

x .(I-X)q-'I' Pop

-!

I(P + 1,q -1) , de unde rezulta cerinta.

x

{q-I)(1-x)q-2(-I)dx=

= 03, Daca pentru un n ~ 2 avem

010

obtinem A 100

-

h = 50(A2

- h), de unde A'OO = 50A2 - 49 I) = [~

o 3:),

510 500]. 0

1

Y =(;

3:).

3(b-d))EM,deoarecea-e,b-dEQ. 3(a-e)

b-d

P

t,

An - Alt-2 = A2 - h, prin inmultire cu A rezulta Am-, - AIt-' = A3 - A = A2 - h, ceea ce probeaza cerinta, c) Avem AlOO - A98 = A2 - h, A98 - A96 = A2 - h, ..., A2 - h = A2 - h. Adunand cele 50 de egalitati

a) X_y=(a-e

r

~ ~ Z

I

3 1.._1+1..=...!.... 3 4 5 30 (1- W-1tq-1 dt = = tq-I(1- ty-I dt = I (q, p) . P

~],

2. Fie X, Y E M ~ 3a, b. e, d E Q astfel incat X = ( :

1 3 0

+x4)dx=

1

!AI

is

l\x2 -2x)

-1

~ 001

c) Derivata se anuleazli in X = -113 ~i are semnul trinomului 2x - 1 = (x - I)(3x + 1). Dupa cum se. v.ede ~i din tabloul de variatie, punctul X = 1/3 este punct de maxim local, iar X = 1 este punct de mmim local, deoarece f este continua.

d

-

x>I

lim "-..f-,-(X.t....) --'f~('--....!-I)lim

~ -e ~ ::::l

o

= Iim ~+I a -x->I x-I

0

ae+3bd b) XY = ( be+ad

3(be+ad)) ac+sbd

EM,

deoarece ae + 3bd, be + ad E Q

c) Din punctul a) rezulta ca (M, + ) e subgrup al grupului aditiv

.

M2(Q) . Inmultirea este bine definitll.

,

pe M, conform punctului b). In plus, este asociativa, distributiva fata de adunare si adrnite elementul neutru 12=(1

o

O)EM,pentrua=I,b=o.lnverSamatriCeiXeste 1

apartine lui M deoarece deoarece

J3 j!: Q . Cerinta

~, a-~

~ a-~

X-I =-2-1-2 a -3b

(a -b

-3b)

care!

a

E Q; a se tine cont ca a, b E Q implica ~ - 3b

••

:

I

2

*'

I

0,

: •

este demonstrata .

35

Subiectullll

= 4(x3

b) f'(x)

-

6x), x

E

IR . Din tabloul de variatie, x

c) f"(x)

= 4(3x2 -

6)

----

f(x)

~

= 12(x2 -

-16

-
f'(x)

2)

-16,0,.J6

0

= 12(x -

J6

0 +++0---

- 35

/

1 ~

..fi)(x +..fi).

sunt punctele de extrem ale functieij. +00

0

++++

- 35

/

Derivata a doua se anuleaza in -..fi

schimba semnul in jurul acestor puncte, deci sunt puncte de inflexiune ale functieij. 2 a) ~f(x)·

•

.lJ

f'(x)dx

= f2(X) 2

b) V =7r £f2(X)dx=7r

II = f2(1) 0

2 £(x +l)dx=

7r (~

=..fi -S+ln(x+)x2

+1)

II,

::::;) o

u •

::;) Z

c

ii ~ ~

•

::;)

~

IU

Z

i~ ci

•

IU

I z c ~

• 358

2

I~

=17r·

1

-Lx. 0

o

~

2

+x)

c) Aria este S = ~f(x) dx= £x'l"(x) dx =x.";x+lI

.lJ

= 2 -1 =.1.

- f2(0) 2

deci S =.1(..fi +In(l+..fi)). 2

~ dx =..fi V x2 + 1

-£

X~l dx= x2 + 1

~i ..fi si

Matematica pentru examenul de bacalaureat M1

Recommend Documents