Formule de geometrie analiticã 1. Coordonate carteziene în plan. Distanţa euclidianã
Dacã este:
sunt douã puncte în plan, atunci distanţa dintre aceste douã puncte
A( x A , y A ) , B ( x B , y B )
AB AB
=
( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Dacã A( x A , y A ), B( x B , y B ) sunt două puncte în plan, atunci mijlocul segmentului are coordonatele: x M
=
x A + x B 2
, y M
=
y A
AB AB
notat M ,
+ y B
2
2. Dreapta.
a. Forme ale ecuaţiei dreptei în plan
În coordonatele carteziene o dreaptã oarecare este definitã printr-o ecuaţie de gradul I, şi invers, orice ecuaţie de grad I defineşte o dreaptã. Ecuaţia de forma ax + by + c = 0 (1) se numeşte ecuaţia generalã a dreptei. Punctul M ( x M , y M ) se aflã pe dreaptã dacã înlocuind x = x şi y = y în ecuaţia (1) egalitatea se verificã adicã ax + by + c = 0 Unghiul , unghiul unghiul pe care îl face dreapta dreapta cu axa OX, OX, în sens trigon trigonome ometri tricc , se numeşte numeşte unghi de înclinare al dreptei în raport cu axa OX. Tangenta acestui unghi se numeste coeficientul unghiular al dreptei ( sau panta dreptei ) şi se noteazã cu m = tg a Dacã ecuaţia dreptei este datã sub forma (1) atunci m = − b , b ≠ 0 În funcţie de pantã ecuaţia unei drepte se scrie y = mx + n ( forma explicitã ) unde n este ordonata la origine a dreptei. Pentru m=1 şi n=0 adicã y = x se obţine ecuaţia primei bisectoare. ( y = − x este ecuaţia celei de a doua bisectoare ). Pentru m=0 adicã y = n se obţine ecuaţia unei drepte paralele cu axa OX.Pentru m= adicã x=k se obţine ecuaţia unei drepte paralele cu axa OY. Ecuaţia dreptei de pantã m care trece prin punctul A( x A , y A ) este : y − y = m( x − x ) ecuaţia unei drepte determinate de un punct şi o pantã. M
M
M
M
∝
α
∞
A
Ecuaţia dreptei determinate de punctele raportul
y B
−
y A
x B
−
x A
=
m
A( x A , y A ), B ( x B , y B )
este :
y − y A
=
A
y B
−
y A
x B
−
x A
( x − x A )
unde
este panta dreptei determinate de douã puncte.
Ecuaţi Ecuaţiaa drepte drepteii care care trece trece prin prin două două puncte puncte disti distinte nte determinant se scrie :
x
y
1
x A
y A
1
x B
y B
1
=
A( x A , y A ), B ( x B , y B )
sub sub form formăă de
0
Dacã se cunosc coeficienţii unghiulari m , m pentru douã drepte, atunci unul din unghiurile de terminate de aceste drepte este dat de formula: 1
tg ϕ =
m2
− m1
1 + m1 m 2
2
Punctul
de intersecţie al dreptelor de ecuaţii:
M ( x M , y M )
a1 x + b1 y + c1
= 0, a 2 x + b2 y + c 2 = 0
se
a xM + b yM + c = 0 gãseşte rezolvând sistemul a xM + b yM + c = 0 1
1
2
2
1
2
obţinut prin înlocuirea coordonatelor punctului M în cele douã ecuaţii. Douã drepte sunt paralele dacã pantele lor sunt egale adicã : m = m . Douã drepte sunt perpendiculare dacã este satisfãcutã relaţia: m ∗ m = −1 . Distanţa d de la punctul A( x A , y A ) la dreapta de ecuaţie generalã ax + by + c = 0 este datã de 1
2
1
formula
d =
ax A
+ by A + c
a2
+b
2
.
Trei puncte A( x A , y A ), B( x B , y B ), C ( xC , yC ) sunt coliniare dacă : Aria triunghiului determinat de punctele A∆
=
1 2
x A
y A
1
x B
y B
1
xC
yC
1
2
x A
y A
1
x B
y B
1
x C
y C
1
A( x A , y A ), B( x B , y B ), C ( xC , y C )
=0
este dată de formula
( modulul determinantului respectiv).
b. Ecuaţiile dreptei în spaţiu
Ecuaţiile parametrice ale dreptei determinată de punctul
M ( x M , y M , z M )
şi vectorul
v (l , m, n )
x = xM + λ ⋅ l
sunt d : y = yM + λ ⋅ m, λ ∈ R z = zM + λ ⋅ n Dreapta determinată de punctul ecuaţiile canonice : Fie punctele A( x
A
x − x A x B
− x A
=
y − y A y B
=
− y A
x − xM
=
y − yM
l
şi vectorul
M ( x M , y M , z M ) =
v (l , m, n )
poate fi descrisă prin
z − z M
m
n
, y A , z A ) , B( x B , y B , z b )
ale dreptei d. Atunci ecuaţiile canonice ale dreptei d
z − z A z B
− z A
Unghiul format de două drepte în spaţiu Fie două drepte :
x − x1 l 1
=
y − y1
=
z − z 1
m1
două drepte este dat de formula
x − x2
şi
n1
l 2 l 1l 2
cosα = ±
2
l 1
+
ax
y − y2
=
z − z 2
m2
n2
+ m1 m2 + n1 n2 2
m1
2
+ n1 ⋅
3. Planul
Ecuaţia generală a planului
=
+ by + cz + d = 0
2
l 2
2
+ m2 +
2
n2
atunci unghiul format de cele
Punctul A( x A , y A , z A ) aparţine planului P dacă coordonatele punctului verifică ecuaţia planului, adică ax + by + cz + d = 0 Poziţii relative ale planelor Fie a x + b y + c z + d = 0 şi a x + b y + c z + d = 0 două plane. Cele două plane sunt perpendiculare dacă a a + b b + c c = 0 A
A
A
1
1
1
1
a1
Cele două plane sunt paralele dacă
b1
=
a2
1
2
1
2
2
1
A
z
1
x A
y A
z A
1
x B
y B
z B
1
xC
y C
z C
1
2
2
c2
Ecuaţia planului determinat de trei puncte Fie A( x ecuaţia planului determinat de cele trei puncte este : y
2
c1
=
b2
x
2
, y A , z A ) , B ( x B , y B , z b ), C ( xC , yC , z C )
atunci
=0
Unghiul format de o dreaptă şi un plan în spaţiu Fie dreapta
x − x1
=
y − y1
l 1
=
z − z 1
m1
şi planul
n1
planul este dat de formula
ax
+ by + cz + d = 0
al + bm + cn
sin α =
l 2
+
m2
n2
+
a2
⋅
Unghiul format de două plane Fie a x + b y + c z + d = 0 şi a x + b y + c z + d 1
1
1
2
1
2
2
cos α cele două plane este dat de formula cos
Distanţa de la punctul d ( A, Ρ )
=
A( x A , y A , z A ) ax A
a1a2
= 2
a1
+
la planul
2
b1
ax
+
+
O
+
2
a2
⋅
c1c2
2
+
2
b2
+
2
c2
+ by + cz + d = 0
2
+b +c
este :
2
O ( xO , yO , z O ), A( x A , y A , z A ), B ( x B , y B , z b ), C ( xC , yC , z C )
Punctele O( x
.
+ by A + cz A + d
a2
=
c2
b1b2
c1
Volumul tetraedrului determinat de punctele
V OABC
+
ecuaţiile a două plane. Unghiul determinat de
=0
2
2
+b
atunci unghiul format de dreaptă cu
xO
y O
z O
1
1
x A
y A
z A
1
6
x B
y B
z B
1
xC
y C
z C
1
este dat de formula :
, yO , z O ), A( x A , y A , z A ), B ( x B , y B , z b ), C ( xC , yC , z C ) x O
y O
z O
1
x A
y A
z A
1
x B
y B
z B
1
xC
y C
z C
1
=0
4 . Cercul
Ecuatia cercului (C) cu centrul în punctul
sunt coplanare dacă :
C ( a , b)
Pozitia relativã a unei drepte fatã de un cerc
si de razã R este:
( x − a ) 2
+
( y − b) 2 = R 2 .
Pentru a vedea pozitia relativã a unei drepte (d ) de ecuatie de ecuatie
( x − a )
2
+
( y − b)
2
=
R
2
y = mx
+
n
y = m +x n se rezolvã sistemul : x( − a) + ( y − b) = R 2
2
în raport raport cu cercul ( C ) Dacã sistemul are douã
2
solutii, atunci dreapta este secantã cercului ( intersecteazã cercul în douã puncte ale cãrei coordonate sunt solutiile sistemului). sistemului). Dacã sistemul are o solutie, atunci atunci dreapta este tangentã cercului (coordonatele (coordonatele punctului de tangentã tangentã sunt date de solutia sistemului). sistemului). Dacã sistemul nu nu are solutie, atunci dreapta este exterioarã cercului. Probleme de tangentã Pentru cerc se studiazã trei tipuri de probleme de tangentã: 1) tangenta într-un punct al cercului 2) tangente de directie datã 3) tangente dintr-un punct exterior 1) Dacã A( x , y ) este un punct al cercului , adicã dacã: ( x tangentei în A la cerc este (prin dedublare): 0
0
0
−
a)
( x 0 − a ) ( x − a ) + ( y 0 − b ) ( y − b ) = R 2 2) Ecuatiile tangentelor de directie datã m la cercul (C) au forma :
2
+
y
( y 0 − b ) 2 = R 2 atunci ecuatia
−b = m
( x − a ) ± R 1 + m 2
3) Pentru a scrie ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior A( x , y ) la cercul (C) se procedeazã astfel: se scriu ecuatiile tangentelor de directie datã la cerc: y − b = m( x − a ) ± R 1 + m si se impune conditia ca acestea sã treacã prin punctul A( x , y ) , adicã sã verifice egalitãtile: egalitãtile: 0
0
2
0
y 0
−b =m
( x 0
)
− a ± R
1+m
0
2
Aceast Aceastãã ecuati ecuatiee irati irationa onalã lã în m are douã douã soluti solutiii m , m . Astfel Astfel ecuati ecuatiile ile tangen tangentel telor or din A( x , y ) la cerc sunt : y − y = m ( x − x ) si y − y = m ( x − x ) . 1
0
0
0
1
0
0
2
2
0
5. Elipsa
Ecuatia unei elipse este :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
unde a este ordonate punctului în care elipse intersecteazã
axa OX ( A(a,0) ) iar b este abscisa punctului în care elipsa intersecteazã axa OY ( B(0,b) ). B(0,b)
A/(-a,0)
A(a,0) B(o,-b)
Pozitia relativã a unei drepte fatã de o elipsã
Pentru a vedea pozitia relativã a unei drepte (d ) de ecuatie ecuatie
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
se rezolvã sistemul :
y = m x+ n x y a + b =1 2
2
2
2
y = mx
n
+
în raport cu elipsa elipsa de
Dacã sistemul are douã solutii, atunci
dreapta este secantã elipsei ( intersecteazã elipsa în douã puncte ale cãrei coordonate sunt solu soluti tiil ilee sist sistem emul ului ui). ). Dacã Dacã siste sistemu mull are o solu soluti tie, e, atun atunci ci drea dreapt ptaa este este tang tangen entã tã elip elipse seii (coordona (coordonatele tele punctului punctului de tangentã tangentã sunt date de solutia solutia sistemului). sistemului). Dacã sistemul sistemul nu are solutie, atunci dreapta este exterioarã elipsei. Probleme de tangentã Pentru elipsã se studiazã trei tipuri de probleme de tangentã: 1) tangenta într-un punct al elipsei 2) tangente de directie datã 3) tangente dintr-un punct exterior 1) Dacã
A( x 0 , y 0 )
este un punct al elipsei, adicã dacã:
x 0 a
A la elipsã este (prin dedublare): x ⋅ x0 a
2
+
y ⋅ y 0 b
2
2
+
y 0 b
2
2
atunci ecuatia tangentei în
=1
=1
2
2) Ecuatiile tangentelor de directie datã m la elipsã au forma : y = mx ± a m + b 3) Pentru a scrie ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior A( x , y ) la elipsã se procedeazã astfel: se scriu ecuatiile tangentelor de directie datã la elipsã: y = mx ± a m + b si se impune conditia ca acestea sã treacã prin punctul A( x , y ) , adicã sã verifice egalitãtile: egalitãtile: 2
0
2
0
2
0
y 0
2
= mx 0 ±
a m
2
+b
2
2
2
0
2
Aceast Aceastãã ecuati ecuatiee irati irationa onalã lã în m are douã douã solu soluti tiii m , m .Astfe .Astfell ecuati ecuatiile ile tangen tangentel telor or din A( x , y ) la elipsã sunt : y − y = m ( x − x ) si y − y = m ( x − x ) . 1
0
0
0
1
0
0
2
2
0
6 . Hiperbola
Ecuatia unei hiperbole este :
x
2
a
2
intersecteazã axa OX ( A(a,0) ) .
−
y
2
b
2
=
1
unde
a
este ordonata punctului în care hiperbola
b A(a,0) Pozitia relativã a unei drepte fatã de o hiperbolã
Pentru a vedea pozitia relativã a unei drepte (d ) de ecuatie ecuatie
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
y = mx
+
n
în raport cu hiperbola de
se rezolvã sistemul :
y = m x+ n x y Dacã sistemul are douã solutii, atunci dreapta este secantã hiperbolei ( intersecteazã a − b =1 2
2
2
2
hiperbola hiperbola în douã puncte ale cãrei coordonate coordonate sunt solutiile solutiile sistemulu sistemului). i). Dacã sistemul are o solutie, atunci dreapta este tangentã hiperbolei (coordonatele (coordonatele punctului de tangentã sunt date de solutia sistemului). Dacã sistemul nu are solutie, atunci dreapta este exterioarã hiperbolei. Probleme de tangentã Pentru hiperbolã se studiazã trei tipuri de probleme de tangentã: 1) tangenta într-un punct al hiperbolei 2) tangente de directie datã 3) tangente dintr-un punct exterior 1) Dacã
este un punct al hiperbolei, adicã dacã:
A( x 0 , y 0 )
x 0
a2
tangentei în A la hiperbolã este (prin dedublare): x ⋅ x0 a
y ⋅ y 0
−
2
b
2
−
y 0
2
b2
atunci ecuatia
=1
=1
2
2) Ecuatiile tangentelor de directie datã m la hiperbolã au forma : y = mx ± a m − b 3) Pentru a scrie ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior A( x , y ) la hiperb hiperbolã olã se procedeazã astfel: se scriu ecuatiile tangentelor de directie datã la hiperbolã: y = mx ± a m − b si se impune conditia ca acestea sã treacã prin punctul A( x , y ) , adicã sã verifice egalitãtile: egalitãtile: 2
0
2
2
0
2
0
y 0
= mx 0 ±
2
a m
2
−b
2
2
0
2
Aceast Aceastãã ecuati ecuatiee irati irationa onalã lã în m are douã douã solu soluti tiii m , m .Astfe .Astfell ecuati ecuatiile ile tangen tangentel telor or din A( x , y ) la elipsã sunt : y − y = m ( x − x ) si y − y = m ( x − x ) . 1
0
0
0
1
0
0
2
2
0
7. Vectori
În plan În spaţiu
→
v
→
= x
→
v
→
= x
→
i + y j →
→
sau →
i + y j + z k
v
=
( x, y ) →
sau
v
=
pe coordonate.
( x, y , z ) →
→
→
→
→
→
→
Adunarea - în plan Fie v = x i + y j şi v = x i + y j atunci v1 + v2 = ( x1 + x2 ) i + ( y1 + y2 ) j -în spaţiu analog Înmulţirea cu un scalar - în plan Dacă v = x i + y j atunci v x i y j sau v ( x, y ) - în spaţiu analog Paralelism - în plan: Doi vectori v = x i + y j şi v = x i + y j sunt paraleli dacă v = α v adică au coordonatele proporţionale. - în spaţiu analog →
→
1
1
→
→
2
1
→
2
→
→
α
→
1
2
→
1
→
1
→
= α
→
→
2
→
+ α
α
→
2
→
2
= α
α
→
→
1
2
Perpendicularitate - în plan : doi vectori
→
→
= x1
v1
x1 x 2
- în spaţiu
Produsul scalar a doi vectori v ⋅ v Modulul unui vector Calculul unghiului a doi vectori : →
i
→
şi
→
+ y1
j
v2
→
= x 2
+ y1 y 2 = 0
→
1
2 =
x1 x2
+
y1 y 2
→
v
-
în plan
-
în spaţiu
=
x
2
+ y
2
x1 x2
cos cos ϕ =
2
x1
cos ϕ =
+
2
y1
x1 x 2 x12
+
2
y1 y 2 2
x2
+
2
y 2
+ y1 y 2 + z 1 z 2 2
+ y1 + z 1
x 22
2
2
+ y 2 + z 2
→
i + y 2 j
sunt ortogonali dacă
