CAPITULO 5: VIGAS CURVAS 5.1
INTRODUCCIÓN
La teoría de vigas a flexión, presentada en el tema de flexión pura, está limitada a vigas rectas o vigas levemente curvas con respecto a su altura. Sin embargo, si la relación del radio de curvatura a la profundidad de (altura) es menor a 5, la fórmula de flexión (Flexión pura) es generalmente inadecuada para describir los esfuerzos de flexión en la viga. Para vigas curvas, la teoría de flexión también debe tomar en consideración la curvatura. En este capítulo es desarrollada una teoría basada en métodos de mecánica de los materiales. Resultan dos diferencias importantes con respecto a las vigas rectas a flexión. Primero, la distribución de esfuerzo flector en una viga curva no es lineal, basado en este resultado, el eje neutro no coincidirá con el eje centroidal de la sección transversal, cuando la viga esté sometida a flexión pura. Segundo, una viga curva conlleva esfuerzos radiales como una consecuencia del momento flector interno. Estos esfuerzos radiales tienen importantes implicaciones de diseño para secciones transversales de pared delgada y para materiales (tales como madera y compuestos unidireccionales) con esfuerzo de tensión relativamente bajos en la dirección radial.
Timoshenko y Goodier (1970) presentaron una solución basada en la teoría de elasticidad para el comportamiento elástico lineal de vigas curvas de sección transversal rectangular para la carga mostrada en la figura 5.1a. Ellos obtuvieron relaciones para el esfuerzo radial , el esfuerzo circunferencial circunferen cial y el esfuerzo cortante (Figura 5.1b). Sin embargo, la mayoría de las vigas curvas no tienen secciones transversales rectangulares. Por lo tanto, en el punto 5.2 presentamos una solución aproximada para vigas curvas que es generalmente aplicable a todas las secciones transversales simétricas. Esta solución está basada en la asunción de dos simplificaciones: 1.- Las secciones planas antes de la carga permanecen planas después de la carga. 2.- El esfuerzo radial y el esfuerzo cortante son suficientemente suficientement e pequeños tal que el estado de esfuerzo es esencialmente unidireccional. La fórmula resultante para para el esfuerzo circunferencial curva.
es la fórmula de la viga
153
FIGURA 5.1 Viga curva de sección rectangular. (a) Cargas en la viga curva. (b) Componentes de esfuerzo
5.2 ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL EN VIGAS CURVAS Considere la viga curva mostrada en la Figura 5.2a. La sección transversal de la viga tiene un plano de simetría y las coordenadas polares (r, ) están en el plano de simetría y su origen en O, centro de curvatura de la viga. Asumiremos que las cargas están aplicadas en el plano de simetría. Un momento positivo es definido como el que causa que el radio de curvatura en cada sección de la viga incremente su magnitud. Así, las cargas aplicadas en las vigas curvas de las Figuras 5.1y 5.2a causan momentos positivos. Deseamos determinar una fórmula aproximada para la distribución de esfuerzo circunferencial en la sección BC. En la Figura 5.2b se muestra un diagrama de cuerpo libre del elemento FBCH de la viga. La tracción Normal N, en el centroide de la sección transversal, el Cortante V, y el Momento M actuando en la cara FH muestran sus direcciones positivas. Estas fuerzas deben ser balanceadas por las resultantes debido al esfuerzo normal y esfuerzo Cortante que actúan en la cara BC. El efecto del esfuerzo Cortante en el cálculo de es usualmente pequeño, excepto en vigas curvas con almas muy delgadas. Sin embargo, en la práctica, las vigas curvas no son diseñadas con almas delgadas debido a la posibilidad de falla por esfuerzo radial excesivo (sección 5.3). Por lo tanto, despreciar el efecto de en el cálculo de es razonable.
154
FIGURA 5.2 Viga curva
Tomando el eje z normal a la cara BC (Figura 5.2b). Por equilibrio de fuerzas en la dirección de z y de momentos alrededor del eje centroidal x, encontramos
−
=
( − )
=
= 0
−
= 0
o =
=
( − )
Ec 1
Ec 2
155
Donde R es la distancia desde el centro de curvatura de la viga curva al centroide de la sección transversal de la viga y r ubica el elemento de área dAdesde l centro de curvatura. Las integrales en (1) y (2) no pueden ser evaluadas hasta que esté expresado en términos de r .La relación funcional entre y r es obtenida de la geometría de deformación asumida y la relación esfuerzo-deformación del material. El elemento de la viga curva FBCH en la Figura 5.2b representa el elemento en estado no deformado. El elemento F*B*C*H* representa el elemento después que es deformado por las cargas. Por conveniencia, hemos colocado el elemento deformado tal que las caras B*C* coincida con BC. Como en el caso de vigas rectas, asumimos que los planos B*C* y F*H* permanecen planos bajo la deformación. La cara F*H* del elemento de viga curva deformado forma un ángulo Δ(dɵ) con respecto a FH. La línea F*H* interseca a la línea FH en el eje neutro de la sección transversal (eje para el cual = 0) a una distancia Rn desde el centro de curvatura. El movimiento del centro de curvatura desde el punto O al punto O* está exagerado en la figura 5.2b para ilustrar los cambios de geometría. Para desplazamientos infinitamente pequeños, el movimiento del centro de curvatura es infinitesimal. La elongación de un elemento típico en la dirección ɵes igual a la distancia entre las caras FH y F*H* y varía linealmente con la distancia ( Rn – r ). Sin embargo, la deformación correspondiente es una función no lineal de r , ya quela longitud del elemento r d también varía con r . este hecho distingue una viga curva de una recta. Así, por la figura 5.2b obtenemos para la deformación
=
=
(
− ) ∆(
)
=
− 1
Ec 3
Donde =
∆(
)
Ec 4
Se asume que el esfuerzo normal transversal es suficientemente pequeño que puede ser despreciado. Por lo tanto, la viga curva es considerada un problema de esfuerzo plano. Si bien el esfuerzo radial puede, en ciertos casos, ser de importancia (sección 5.3), aquí despreciaremos su efecto en de Hooke encontramos. =
=
−
=
−
. Entonces, por la ley
Ec 5
Sustituyendo (5) en (1) y (2) obtenemos. 156
−
=
−
=
−
=
+
Ec 6
+
Donde la integral del tercer término a la derecha representa el momento de primer orden en coordenadas polares. Así: =
−
+
+
−
=
Donde A es el área de la sección transversal de la viga curva y de longitud y está definida por la relación
Ec 7
tiene dimensiones
=
Ec 8
La ecuación (7) puede ser reescrita en la forma =
Ec 9
−
Entonces, sustituyendo en (5) da: =
(
−
)
−
Ec 10
La distribución de esfuerzo circunferencial para la viga curva es obtenida sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (5), para obtener la fórmula de la viga curva. =
+
( − (
)
−
)
Ec 11
La distribución de esfuerzo normal dada por la ecuación (11) es de forma hiperbólica; es decir, varía con 1/r. Para el caso de una viga curva con sección transversal rectangular (R/H = 0.75) sometida a flexión pura, la distribución de esfuerzo normal es mostrada en la figura 5.3
157
FIGURA 5.3 Distribuc ión de esfuerzo circun ferencial en una v iga curva de sección rectangular (R/h = 0.75)
Ya que la ecuación (11) ha sido basada en varias simplificaciones, es esencial que su validación se verifique. Los resultados esperados por la fórmula de la viga curva pueden ser comparados con aquellos obtenidos de ensayos experimentales, o análisis de elementos finitos de vigas curvas con otras clases de sección transversal. El máximo valor de esfuerzo circunferencial ( ) como el dado por la fórmula de la viga curva puede ser calculado de la ecuación (11) para vigas curvas de sección transversal rectangular sometida a Flexión Pura y Cortante (Figura 5.4). Para secciones transversales rectangulares, las relaciones de ( ) a la solución de elasticidad
(
) están
listadas en la tabla 5.1, para Flexión Pura (Figura 5.4a) y
para fuerza Cortante (Figura 5.4b) para varios valores de R/h, donde hrepresenta la profundidad de la viga (Figura 5.2a). Mientras más cerca de la unidad, el error es menor en la ecuación (11). La fórmula de la viga curva es más precisa para Flexión Pura que para fuerza Cortante. El valor de R/h es usualmente mayor a 1.0 para vigas curvas, así que el error en la fórmula de la viga curva no es particularmente importante. Sin embargo, posibles errores ocurren en la fórmula de la viga curva para viga en forma de Iy T. Estos errores serán discutidos en la sección 5.4. También listado en la tabla 5.1 están las relaciones del esfuerzo circunferencial máximo dado por la fórmula de Flexión para una viga recta ( ) y el valor ( ) . La solución de la viga recta tiene errores apreciables para valores pequeños de R/h y tiene un margen de error del 7% para R/h = 5; el error no es constante. Generalmente, para vigas curvas con R/h mayor a 5.0 se puede usar la fórmula de Flexión para vigas rectas.
158
FIGURA 5.4 Tipos de cargas en v igas cu rvas (a) Flexión Pu ra, (b) Fuerza Cortante
Cuando R es grande comparada con h, el término del lado derecho de la ecuación (11) se reduce a
−
, el signo negativo resulta debido a que la convención de
signo para momentos positivos en vigas curvas es opuesto al de las vigas rectas. Para probar esta reducción, note que r = R + y, entonces el término RAmde la ecuación (11) puede ser escrito como. =
+
+ 1− 1
=
−
(a)
+
Por lo tanto, el denominador del lado derecho de la ecuación (11) se convierte, cuando R/hà¥,
−
=
1+
= −
+
−
⁄
+
−
−
−
1+
+
⁄ =
(b)
Ya que cuando R/hà¥, entonces y/Rà 0, 1 + y/Rà 1
1+
⁄
→
1+
⁄
→
= 0
159
El término del lado derecho de la ecuación (11) se simplifica a:
−
−
=
⁄ 1+
⁄
−
⁄
1+
= −
(c)
La fórmula de la viga curva (ecuación 11) requiere que Am, definida por la ecuación (8) sea calculada para varias figuras de sección transversal. El número de dígitos significativos considerados en el cálculo de Amdebe ser mayor que el requerido para
, ya que RAm alcanza el valor de A cuando R/h llega a ser grande (ver ecuación (a) arriba). Fórmulas explicitas para A, AmyR, para varias áreas de sección transversal de vigas curvas se encuentran en la tabla 5.2. A menudo la sección transversal de una viga curva está compuesta de dos o más de las áreas básicas listadas en la tabla 5.2. El valor de A, A myR para las áreas compuestas se obtienen por la combinación. Así, para secciones transversales combinadas. =
=
=
∑ ∑
Ec 12
Ec 13
Ec 14
Donde n es el número de áreas básicas que conforman el área compuesta.
160
161
5.2.1 Localización del Eje Neutro de la Secci ón Transversal El eje neutro de la sección transversal está definido por la condición = 0. El eje neutro se localiza a una distancia Rn desde el centro de curvatura. La distancia Rn es obtenida de la ecuación (11) con la condición = 0en la superficie neutra r = Rn. Así, la ecuación (11) resulta: =
+
( −
)
Ec 15
Para Flexión Pura N = 0 y la ecuación (15) resulta =
Ec 16
EJEMPLO 5.1 Esfuerzos en porc ión de viga curv a de una estructura La estructura mostrada en la figura E5.1 tiene una sección transversal cuadrada de 50 mm por 50 mm. La carga P está localizada a 100 mm del centro de curvatura de la porción de viga curva de la estructura. El radio de curvatura de la superficie interna de la viga curva es a= 30 mm. Para P = 9.50 kN, determine los valores de máximo esfuerzo de tensión y compresión en la estructura.
FIGURA E5.1
Solución : Los esfuerzos circunferenciales
son calculados usando la ecuación (11). Los valores requeridos para A, AmyR para la viga curva son calculados usando las ecuaciones en la fila (a) de la Tabla 5.2. Para la viga curva a= 30 mm y c = 80 mm. Por lo tanto:
162
A = b(c - a) = 50(80 – 30) = 2500 mm² Am = b ln c/a = 50 ln 80/30 = 49.04 +
=
=
2
30 + 80 2
= 55
Por lo tanto, el máximo esfuerzo de tensión es (en el punto B) =
−
+
− =
9500 2.5 10
+
− 0.030(49.04) 2.5 10 (0.030) 0.055 49.04 − 2.5 10 0.155(9500) 2.5 10
= 106.2 MPa
El máximo esfuerzo de compresión es (en el punto C); r = a + b =
9500 2.5 10
+
− 0.080(49.04) 2.5 10 (0.080) 0.055 49.04 − 2.5 10 0.155(9500) 2.5 10
= − 49.3 MPa
EJEMPLO 5.2 Esfuerzos en un gancho d e grúa La sección BC es la sección críticamente esforzada de un gancho de grúa (Figura E5.2a). Para un gran número de ganchos de grúa manufacturados, la sección crítica BC puede ser bastante aproximada por un área trapezoidal con la mitad de una elipse en el radio interno y un arco de un circulo en el radio externo. Tal como la sección mostrada en la Figura 5.2b, la cual incluye las dimensiones para la sección transversal crítica. El gancho de grúa está hecho de un acero dúctil que tiene un esfuerzo de Fluencia Y = 500 MPa. Asumiendo que el gancho está diseñado con un factor de seguridad de FS = 2.00 contra la iniciación de la Fluencia, determine la máxima carga P que puede soportar en gancho.
Solución : Los esfuerzos circunferenciales
pueden ser calculados usando la ecuación (11). Para calcular los valores de A, AmyR para la sección transversal de la viga curva, dividimos la sección transversal en áreas básicas A1, A2 y A3 (Figura 5.2b).
163
FIGURA E5.2 Gancho de Grúa
Para el área A1, a = 84 mm. Sustituyendo esta dimensión junto con otras dimensiones dadas en la Tabla 5.2, línea ( j), encontramos A1 = 1658.76 mm²,
R1 = 73.81 mm,
Am1 = 22.64 mm
(a)
Para el área trapezoidal A2, a = 60 + 24 = 84 mm. yc = a + 100 = 184 mm. Sustituyendo estas dimensiones junto con otras dimensiones en la Tabla 5.2, línea (c), encontramos A2 = 6100.00 mm²,
R2 = 126.62 mm,
Am2 = 50.57 mm
(b)
Para el área A3, ɵ = 0.5721 rad, b = 31.34 mm. ya = 157.60 mm. Cuando estos valores son sustituidos en la Tabla 5.2, línea (h), obtenemos. A3 = 115.27 mm²,
R3 = 186.01 mm,
Am3 = 0.62 mm
(c)
Sustituyendo los valores de Ai, Ri y Ami de las ecuaciones (a) (12) (14), calculamos
(c) en las ecuaciones
= 6100.00 + 115.27 + 1658.76 = 7874.03 = 50.57 + 0.62 + 22.64 = 73.83 =
6100.00 126.62 + 115.27 186.01 + 1658.76(73.81) 7874.03
= 116.37
Como se indicó en la Figura E5.2c, la distribución de esfuerzo circunferencial es debido a la carga normal N = P y momento Mx = PR. Los valores máximos de
164
tensión y compresión de ocurren en los puntos B y C respectivamente. Para los puntos B y C, por la Figura 5.2b, encontramos = 60 = 60 + 2 4 + 100 + 5 = 189
Sustituyendo los valores requeridos en la ecuación (11), encontramos: =
7.87 10
+
− 0.060(0.07383) 7.87 10 (0.060) 0.11637 0.07383 − 7.87 10 0.11637
= 127.065
7.87 10
+ 1182.23
= 1309.29
=
7.87 10
+
(
ó )
− 0.189(0.07383) 7.87 10 (0.189) 0.11637 0.07383 − 7.87 10 0.11637
7.87 10
− 662.52
= 127.065 = − 535.45
(
ó )
Ya que la magnitud absoluta de es mayor que , la iniciación de la Fluencia ocurre cuando iguala el esfuerzo de Fluencia Y. El valor correspondiente de la carga de falla (Pf ) es aquella a la cual ocurre la Fluencia. Dividiendo la carga de falla Pf = Y/(1309.29) entre el Factor de seguridad FS = 2.00, obtenemos la carga de diseño P, es decir: =
500 10 2.00(1309.29)
= 190.90
5.3 ESFUERZOS RADIALES EN VIGAS CURVAS La fórmula de vigas curvas para esfuerzo circunferencial (ecuación 11) está basada en la asunción que el efecto del esfuerzo radial es pequeño. Esta suposición es correcta para vigas curvas de sección transversal circular, rectangular o trapezoidal, es decir, secciones transversales que no poseen almas delgadas. Sin embargo, en vigas curvas con secciones transversales en forma de H, T o I, el alma puede ser tan delgada que el esfuerzo radial máximo en el alma puede superar al 165
esfuerzo circunferencial. Además, si bien el esfuerzo radial es pequeño, puede ser relativamente importante para la resistencia radial, por ejemplo, cuando materiales anisotrópicos como la madera, forman parte de la viga curva. La viga debiera ser diseñada tomando en cuenta tales condiciones. Para ilustrar esta observación, consideremos el esfuerzo radial de tensión, resultante de un momento positivo, que ocurre en una viga curva a un radio r desde el centro de curvaturaO de la viga (Figura 5.5a). Considere el equilibrio del elemento BDGF de la viga, el cual se muestra agrandado en el diagrama de cuerpo libre en la Figura 5.5c. Las caras BD y GF, las cuales encierran el ángulo infinitesimal , tiene el área A’ mostrada sombreada en la Figura 5.5b. La distribución de en cada una de esta caras produce una fuerza circunferencial resultante T (Figura 5.5c) dada por la ecuación =
Ec 17
FIGURA 5.5 Esfuerzo Radial en una viga curva. (a) Vista de lado. (b) Forma de l a sección transversal. (c) Elemento BDGF
Las componentes de las fuerzas circunferenciales a lo largo de la línea OL son balanceadas por el esfuerzo radial actuando en el área trdɵ, donde t es el espesor de la sección transversal a una distancia r desde el centro de curvatura O (Figura 5.5b). Así, por equilibrio en la dirección radial a lo largo de OL. = 0=
Ya que para el ángulo infinitesimal
− 2 ,
2
=
−
=
Por lo tanto, el esfuerzo de tensión resultante del momento positivo es 166
=
Ec 18
La fuerza T es obtenida por sustitución de la ecuación (11) en la ecuación (17), así: =
=
+
′
+
−
− ′ −
′ −
(
Ec 19
−
)
Donde
′
=
=
Ec 20
La sustitución de la ecuación (19) en la (18) produce la relación para el esfuerzo radial. Para secciones transversales rectangulares en vigas curvas sometidas a fuerza Cortante (Figura 5.4b) =
′ − (
′ −
)
Ec 21
5.3.1 Vigas Curvas Hechas de Materiales Anis otrópicos Típicamente, los esfuerzos radiales desarrollados en secciones transversales de vigas curvas, rectangulares, circulares, etc. son bastante pequeños que pueden ser despreciados en análisis y diseño. Sin embargo, algunos materiales anisotrópicos pueden tener una baja resistencia en la dirección radial. Tales materiales incluyen compuestos de fibra reforzada (Fibra de vidrio) y madera. Para estos materiales el esfuerzo radial relativamente pequeño desarrollado en una viga curva poder controlar el diseño de la viga debido a la correspondiente resistencia relativamente baja del material en la dirección radial. Por lo tanto, puede ser importante considerar los esfuerzos radiales en vigas curvas de ciertos materiales.
EJEMPLO 5.3 Esfuerzo Radial en u na sección en T La viga curva en la Figura E5.3 está sometida a una carga P = 120 kN. Las dimensiones de la sección BC están mostradas también. Determine el esfuerzo circunferencial en B y el esfuerzo radial en la unión del ala y el alma en la sección BC.
167
FIGURA E5.3
Solución : Las magnitudes de A, AmyR están dadas por las ecuaciones (12), (13) y (14), respectivamente. Ellas son = 48(120) + 120(24) = 8640 =
48 120 (96) + 1 20 24 (180) 8640 = 120 ln
= 124
120 240 + 24 ln = 77.93 72 120
El esfuerzo circunferencial es dado por la ecuación (11). Este es =
120000 8.64 10
+
− 0.072(0.07793) 8.64 10 (0.072) 0.124 0.07793 − 8.64 10 0.364(120000) 8.64 10
= 13.90 + 207.8 = 221.7
El esfuerzo radial en la unión del ala con el alma es dado por la ecuación (21), con r = 120 mm y t = 24 mm. Las magnitudes de A’ y A’m son: A’ = 48(120) = 5760 mm² = 120ln
120 = 61.30 72
La sustitución de estos valores en la ecuación (21), la cual desprecia el efecto de N, da
168
=
0.364(120000) 8.64 10
0.0613 − 5.76 10
(0.07793)
0.024(.120)(8.64 10 ) 0.124 0.07793 − 8.64 10
= 138.50
Por lo tanto, la magnitud de este esfuerzo radial es apreciablemente menor que el máximo esfuerzo circunferencial y puede no ser de importancia para el ingeniero proyectista.
EJEMPLO 5.4 Esfuerzo Radial en u na sección en I La sección curva de la estructura de una prensa está sometida a un momento positivo Mo = 96 kN-m y una Fuerza Cortante P = 120 kN (Figura E5.4a). Las dimensiones de la sección BC son mostradas en la Figura E5.4b. Determine el esfuerzo circunferencial en el punto B y el esfuerzo radial en los puntos B y C’ de la sección BC. Incluya el efecto de la tracción N.
FIGURA E5.4
Solución : Las magnitudes de A, AmyR están dadas por las ecuaciones (12), (13) y (14). Ellas son = 150 60 + 50 120 + 150(40) = 21000 = 150 ln
=
140 260 300 + 50 ln + 150 ln = 136.360 80 140 260
150 60 110 + 50 120 200 + 150(40)(280) 21000
= 184.286
169
Por la Figura E5.4c
↺+
ö
−
=
−
= 0
o = 96000 + 120000 0.184286 = 118.1 10
.
Entonces, por la ecuación (11) con r = 80 mm, el esfuerzo circunferencial en B es 120000
=
21 10
+
− 0.080(0.13636) 21 10 (0.080) 0.184286 0.13636 − 21 10 118100 21 10
= 5.71 + 171.80 = 177.51
Para hallar el esfuerzo radial en la unión del ala y el alma (punto B’), requerimos los términos geométricos A’ y A’mpor la ecuación (20) (b)
= 150 60 = 9000
′ =
150
= 150 ln
140 = 83.94 80
Con los valores de las ecuaciones (b), r = 140 mm, y t = 50 mm, las ecuaciones (18) y (19) producen
′
=
=
−
+
(
9 10
120000
21 10
0.05(0.14)
′ − +
) 21 10
0.084 − 9 10
0.05(0.14)(21 10
(0.136)
) 0.1843 0.136 − 21 10
(118.1 10 )
= 7.347 + 104.189 = 111.54 MPa
Aquí vemos que el efecto de N representa (7.347/11.54)x100% = 6.59 % del total de en B’. Similarmente, para el esfuerzo radial en el punto C’, donde r =260 mm y t = 50 mm, los términos geométricos son = 150 60 + 50(120) = 15000
′ =
150
+
50
(b)
= 114.89
Entonces, por las ecuaciones (18), (19) y (c), tenemos 170
=
15 10
120000
21 10
0.05(0.26)
+
21.0 10
0.115 − 15 10
0.05(0.26)(21 10
(0.136)
) 0.1843 0.136 − 21 10
(118.1 10 )
= 6.59 + 38.48 = 45.07 MPa
En C’, el efecto de N representa el 14.6 % del total del esfuerzo radial. En ambos casos (puntos B’ y C’), es considerablemente menor que = 177.51
171
