TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas c on las fundamentale fundamentaless . Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que llamaremos
“Dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las
ECUACIONES DIMENSIONALES Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que
fundamentales , colocan a las magnitudes derivadas en func ión de las fundamentales álgebra, excepto la s uma y resta . utilizando para ello las reglas bási cas del álgebra
magnitudes fundamentales.
Notación: A: se lee magnitud "A" [A]: se lee Ecuación Dimensional de A".
Fines del Análisis Dimensional 1.
El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de l as fundamentales. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. dimensional. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).
2. 3.
MAGNITUDES Y UNIDADES
Llamamos unidad de medida así a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES Por su origen a) Fundamentales Fundamentales
b) Derivadas
Por su naturaleza c) Escalares
d) Vectoriales
a) MAGNITUDES FUNDAMENTALES: Son todas aquellas que tienen la particular característica característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) Símbolo L M
Metro (m) Kilogramo (kg)
Tiempo
T
Segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica
I
Ampere o Amperio Amperio (A)
Intensidad Luminosa
J
Candela (cd)
Temperatura Termodinámica
Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia
N
Mol (mol)
MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS Unidad Básica (Símbolo) Radian (rad) Estereorradián (sr)
b) MAGNITUDES DERIVADAS: En número es el grupo más grande ( ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo t anto toda magnitud derivada tendrá la siguiente a
b
c
d
e
f
En la siguiente ecuación:
g
forma: [X] L .M .T .I .J . . N ; donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, e, f, g , s e conocen como dimensiones . E jemplo: jemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor,
etc.
Vo . t
1
a. t
2
; luego de aplicar el principio
de homogeneidad dimensional nos debe quedar de la siguiente forma: e
1
Vo . t
a. t
2
2
2°
Términos Adimensionales: Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como e) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de cálculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor. 3°
No se cumplen la suma y la resta algebraica. Ejemplo:
[X] + [X] + [X] = [X] [M] – [M] = [M] [MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] = [MLT-1]
4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes. Ejemplo: M
El término: 2
L
, deberá ser expresado como:
T
-2
M. L
. T
3
-3
FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USUALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Magnitud Derivada
Área o Superficie Volumen o Capacidad Velocidad lineal Aceleración lineal Aceleración de la Gravedad Fuerza, Peso, Tensión, Reacción Torque o Momento Trabajo, Energía, Calor Potencia Densidad Peso específico Impulso, mpetu, Impulsión Cantidad de Movimiento Presión Periodo Frecuencia Angular Velocidad Angular Aceleración Angular Caudal o Gasto Calor Latente específico Capacidad Calorífica
c) MAGNITUDES ESCALARES: Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.
Calor Específico Carga Eléctrica
E jemplo: jemplo: Área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.
Potencial Eléctrico
d) MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesitan la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada. Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.
e
2
Unidad Básica (Símbolo)
Longitud. Masa
Nombre ngulo Plano ngulo Sólido
1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.). El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos cambiar iar los los s ig nos de SUMA o RE STA por por si gnos de IGUALDA D ). hacer, es camb Ejemplo:
Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.
Magnitud
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES
de
Capacidad Eléctrica
Unidad
Tipo
m2 m3 m/s m/s2 m/s2 kg . m/s2 = Newton (N) N.m N . m = Joule (J) Joule/s = Watt (W) kg/m3 N/m3 N.s kg . m/s N/m2 = Pascal (Pa) S s-1 = Hertz (Hz) rad/s rad/s2 m3/s cal/g
E E V V V V E E E E V V E E E V V E E
cal/°K
E
cal/g.°K A . s = Coulomb (C)
E E
J/C = Voltio (V)
E
2
V/A = Ohm ( )
E
MLT-3I-1
N/C
V
M-1L2T4I2
C/V = Faradio (f)
E
MLT-2 ML 2T-2 ML 2T-2 ML2T-3 ML-3 ML-2T-2 MLT-1 MLT-1 ML-1T-2 T T-1 T-1 T-2 L3T-1 L2T-2 ML2T-2 1
L2T-2-1 IT ML2T-3I1
ML2T-3I-
Resistencia Eléctrica Intensidad Eléctrico
F.D.
L2 L3 LT-1 LT-2 LT-2
Campo
Nota: E = escalar y V = vectorial
V
9.
PROBLEMAS 1.
En la siguiente fórmula física, encontrar las dimensiones de “p” 2
C Tan
P
t
aceleración 3
a)
L M
d)
ML
B
b) 3
2.
C
velocidad
c)
4
L M
1
4
e) LT
aceleración ;
p
a)
LT
d)
LT
1
b)
LT
5
e)
LT
4
c)
KA b) 2 e) 5
a) 1 d) 4 4.
2
LT
x B y Cz
1
2
L
m:masa Y
5
4
L T 4
b)
4
L T
e)
5.
Hallar
5
LT
XPe
c)
3
la
MT
c)
1
MLT
MT
MLT
d)
M LT
1
2
7.
AB
4 4
C B
2 2
es
2
b)
ML T
e)
MLT
1
c)
2
ML T
P
a)
M
d)
M
B
fuerza ; C
2
2
8.
Q
M
e)
M
H
1
c)
M
, si
B
L
BK
altura , C
e)
LT
2
b)
MLT
2 4
4
e)
M L T
M L T
d)
M L T
2
2 2
c)
2 2
4
M L T
4
11. Determine la medida de para que la expresión mostrada sea dimensionalmente correcta, donde f frecuencia , L longitud , g aceleración de la gravedad . sen
a) 37º d) 45º
sen
L g
.
b) 53º e) 30º
12.
a)
L
d)
L
Halle
K
c) 60º
en la ecuación homogénea A B
A
5 3
T
3
T
8
b)
L
e)
L
3
2
Plogx
2
densidad ; P
potencia 5
T
3/ 2
T
c)
LT
3
5/ 2
En la siguiente expresión: 3R
Tg
2F
MT
2
Donde: T
R
rad io
F
fuerza
M
Hallar las dimensiones de 4
a)
ML T
c)
M L
e)
MLT
2
tiempo
masa
.
5
b)
2
T
2
d)
ML
3
T
ML
2
T
6
4
5
A 2
M
a
CK
D EK
b) T
2 2
a)
M B
MALU
. Si la siguiente
U B
2
aL
donde:
LT 2
k3
2n k .k 1 3
2
3
W
F
n
14. Hallar la ecuación dimensional de expresión es homogénea
B
En la ecuación homogénea:
Hallar
0,2mg v
C
Q
aceleración .
b)
2
k 1v
P potencia ; dimensionalmente correcta, además masa g aceleración de la gravedad . velocidad ; m
13.
3
En la siguiente fórmula física, calcular
donde:
P
K PS
D
2
L
sen
6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “P”. Siendo: m: masa, V: velocidad 1 3 5 2 2 P KX Tg YZ mv 2 4 4 a)
JL
1 2
3
L T
fórmula:
d) 1 e)
c)
La ecuación:
donde: si
2
C
dimensionalmente correcta. b)
J
3Xmt
AC
ML
e)
2
,
D
t : tiempo
e : espacio
5
L T
JL
c) 3
es la unidad, siendo:
p : Potencia
b)
f
Halle las dimensiones de “Y”, sabiendo que el coeficiente de
X
d)
J
1
Hallar:
3
F
a)
d)
V
46sen30ºa 42 2 p
3. En la expresión mostrada, determine el valor de: “ x y z ”, siendo: F fuerza , K n úme ro , A densidad , B velocidad , C área
a)
JL
Es
tie mp o
k
d)
a)
10.
determine la ecuación dimensional de “k”. siendo:
a)
I 2
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea,
a
viene dada por la expresión:
d
I: Intensidad luminosa, hallar la ecuación dimensional de:
2
MLT
de una
d co s
A B log
densidad
lámpara luminosa a cierta distancia E
Donde: A
E
La ecuación de D’Alembert de la iluminación
1
F
masa 2
L T
sen37º
2
2
,
E
fuerza
c)
LT
2
aceleración ; M 3
1
a)
M LT
c)
M L T
e)
MLT
6 2
1
masa ;
L
longitud 6 2
2
4 6
3
b)
M L T
d)
M L T
4
15. Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta R radio .
PQ
a) L
1/ 2 2
4m / s
3
5m / s
N
1/2 3/2
T ;L
1/ 2
A
3 / 2T
1/ 2
c) L
e) L
T;T
3/2
3/2
T;L
16. vt
Q
2
a2 4
a1
2
Siendo: W = trabajo, m = masa, y S = área. a) L; T b) L2; T2 2 -2 d) L ; T e) L2 ; L
1/2 3/2
;L
T
d) L
3/2
T ; LT
a, a1, a2
p1 , p 2 w
c) L; T-2
6. Determinar la fórmula dimensional de A en la siguiente ecuación
T
3
2g p1 p 2
w 1 6 Bt
a Sen
x
2
m(B +S)
En la ecuación adimensionalmente correcta, halle 2
Wsen
A
R
b) L
T
2
dimensionalmente correcta: A Bk Ck , siendo: B es calor específico, y C es aceleración angular. a) L2T-2 2 b) L-1/2T-3/2 -1 c) L3T-2 3/2 d) M2L-3 -1/2 e) L1/2 -1/2
:
B
3kB C
aceleraciones
presiones
v
7. Si la ecuación siguiente es dimensionalmente homogénea. Hallar la ecuación dimensional de E.
velocidad
trabajo
t
ti em po
E
g : aceleración de la gravedad
B
FR R
2
A
Además: F = Fuerza; A = Área a)
MLT
2
3
b)
L T
1
c)
ML
d)
e)
MLT
17.
3
1
T L
10
7
ergios
1
x
L
d)
L
ML T
1
2
MLT
e)
ML T
2
y 5 3cm
b) 1
c)
c) –2
2
c)
L
S
B
B
2
a
aceleración; M 3
1
a)
M
d)
M L T
3
L
b)
L T
3
masa; L ML
longitud
1
1
(V1
c) e)
V2 )M
(S1 S2 )M
X
3
1. En la siguiente ecuación dimensional-mente correcta: ya
Donde: F: fuerza, V: velocidad, a: aceleración. Hallar: [x/y]. a) MLT-1 b) LT c) MLT-2 d) MLT2 e) T-1
A
aceleraciones; M
b)
MT
X
masa
c) e)
MT
m
2
θ 2
m(K +H )
b) L, T-1 e) L, T-2
c) L-1, T-2
mna
4bcos
3c d
a) MLT d) M-2
b) M-1L4T-2 e) L3M-2
c) ML2T-3
4. Hallar: [A/B] si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: Si: V: volumen; F: fuerza V
a) L3 d) L-9
b) L-3 e) L6
3
A
2
F B c) L9
5. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?
2
r
m
conociendo que en la
n
2
r
P = Presión; X = Fuerza; S = Velocidad r = longitud a) L d)
3. En la expresión: Donde: d=fuerza; b=volumen; m y n son masas. Hallar: [a.c]
2X S
P
MT
3
10. Hallar la expresión dimensional de ecuación:
2. Encontrar [K] y [C] en la ecuación dimensional correcta, si M: momento de fuerza, m: masa y H: altura.
.
sup erficie
2
d) MT
1
a1 a 2
a1 y a 2 3
LT
A
log
velocidad; S1 y S2
MT
3
M
1
M LT
V1 y V2
a)
MSen
aL
9. Dada la expresión homogénea, halle
AUTOEVALUACIÓN
a) L, T d) L-1, T-1
2
Donde:
2 A Sen 2 ky
xV
M
M
Tarea para tu D omicilio
C
LT
2
2
e) absurdo
F
2
A
18. Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente.
a)
d)
b)
y z A. B .C
Donde se conoce que: A : aceleración ; B : m asa ; C : velocidad a) 2 b) –1 d) 0 e) 4
kx
ML
8. Hallar la ecuación dimensional de A, si la expresión siguiente es homogénea.
Hallar: “x+y+z”, si:
0,25
2
a)
2
L
2
b)
L
e)
L
c)
L
4
2x 3 3 y z
d 11. Si: V P ; donde: V = velocidad; P = presión; d = densidad
Hallar: a) 2 d)
x
y
z
b) 3
2
e)
3
c) 1
3 2
12. En la siguiente fórmula física correcta determine sen30º
V
Asen30 º B
; donde:
V = velocidad 2
a)
L T
d)
3
M
2
T
b) 2
e)
3
L T LT
3
4
c) LMT
AB
.
1
