UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN
CENTRO PRE UNIVERSITAR UNIVERSITARIO IO
FÍSICA GUÍA Nº 01
ANALISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL
ANALISIS DIMENSIONAL
MAGNITUD Se denomina magnitud a cualquier propiedad de un cuerpo susceptible a ser medida. Las leyes físicas establecen relaciones entre magnitudes. Para poder medir una magnitud, se precisa disponer de una magnitud de medida. TIPOS DE MAGNITUD DEBIDO A SU ORIGEN: FUNDAMENTALES : 1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES: Aquellas consideradas convencionalmente como base de comparación para las demás cantidades, el sistema fundamental vigente es el S.I. que consta de 7 unidades fundamentales y 2 auxiliares. CANTIDAD LONGITUD (L) MASA (M) TIEMPO (T) TEMPERATURA (θ) INTENSIDAD DE CORRIENTE (I) INTENSIDAD LUMINOSA (J) CANTIDAD DE SUSTANCIA (N)
UNIDAD SÍMBOLO Metro m Kilogramo kg Segundo s Kelvin K Ampere
A
Candela
cd
mol
mol
MAGNITUDES AUXILIARES: AUXILIARES : ANGULO PLANO ANGULO SÓLIDO
radián
rad
estereorradián
sr
Aquellas que quedan claramente definidas con su valor numérico y su unidad respectiva. VECTORIALES : 2. MAGNITUDES VECTORIALES: Aquellas que para quedar plenamente definidas, además del valor numérico y su unidad; se necesita su dirección. Estas pueden ser: la fuerza, velocidad, etc. ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas que expresan la relación existente entre la magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. Son de la forma:
Cantidad PROPIEDADES DIMENSIONALES:
a
b
L M T DE
c
d
e
f
I J N
LAS
g
ECUACIONES
Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen de unidades; luego: la ecuación dimensional de un número es la unidad. Las ecuaciones dimensionales se expresan generalmente en función de L, M y T, pero también pueden expresarse en función de θ, I, J y N. Principio de Homogeneidad: En una ecuación dimensionalmente correcta cada término tiene la misma ecuación dimensional. Sea la ecuación homogénea: S A B C D.E Luego: S A B C D . E Solamente se pueden sumar o restar cantidades que tienen las mismas unidades. La ecuación dimensional de una suma es igual a la ecuación dimensional de cada sumando. A B
2
3
C
A
B
2
C
3
DERIVADAS : 2. MAGNITUDES DERIVADAS: Son aquellas que resultan de combinar las cantidades fundamentales, fundamentales, Ej.: velocidad, velocidad, trabajo, fuerza, presión, etc. TIPOS DE MAGNITUDES POR SU NATURALEZA: NATURALEZA : ESCALARES : 1. MAGNITUDES ESCALARES: CICLO: SETIEMBRE – DICIEMBRE 2006-IIII
Pág. Nº01
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ANALISIS VECTORIAL y
VECTOR: Ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientada. Se utiliza para representar las magnitudes vectoriales.
V
B
V 1
Módulo
Origen
Saeta A
0
x
θ
M
El vector unitario se halla con:
Dirección (Línea de acción) ELEMENTOS BASICOS
NOTACIONES I) A : VECTOR “A” II) A A A :
Módulo del vector “A”. θ: Dirección del vector.
B
i , j , k . SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES 1. METODO DEL PARALELOGRAMO: La suma o resta de dos vectores depende del ángulo que estos forman. Sean A, B y θ el ángulo que forman:
REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR: Un vector se representa fijando su origen (A) y extremo(B), luego el vector será:
B
En las direcciones x, y, z los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son
I) Módulo II) Dirección III) sentido
B
A
R
A
V B A y
θ
B
B
B
V
Vectorialmente se cumple: R
A B
Para determinar el módulo de la resultante tenemos:
A
R 0
2
A B
2
A
2
B
2
2 ABCos
x
2. METODO DEL TRIÁNGULO: También se emplea para sumar dos vectores los cuales son ordenados secuencialmente: VECTOR UNITARIO El vector unitario representa la dirección del vector generatriz. Todo vector dispone de un vector unitario, esto hace ver que en todas las direcciones hay vectores unitarios.
CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III
Sean los vectores A, B :
B
B
A
A
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El vector resultante R es aquel que une el primer origen con el último extremo.
R
B
R A B
A
2. DESCOMPOSICION POLIGONAL: POLIGONAL : Consiste en representar un vector en función de varios vectores consecutivos. Por ejemplo: dado un vector A la descomposición se efectúa partiendo desde su origen hasta su extremo:
Cuando este método se aplica análogamente a tres o más vectores se denomina MÉTODO DEL POLÍGONO.
E
B
C
B
C
A
P
N
A
R
A
Donde:
R
O
M
A B
C PRODUCTO ESCALAR: Sean los vectores A a1 ; a 2 ; a 3 , B
3. VECTORES PARALELOS: La relación entre dos vectores paralelos es directamente proporcional a sus módulos.
a) A. B
b1 ; b2 ; b3
B
A
A B cos A
B
b) A . B
a1 b1
a 2 b2
a 3 b3
PRODUCTO VECTORIAL: Es otro vector perpendicular a los vectores a multiplicar, donde su dirección se obtiene por regla de la mano derecha.
a) R
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
b) A x B
A x B
c)
A x B
d)
AxB
e)
AxB
B x A
AB sen sen AB sen sen
A.h
b.h
Area
Área del Paralelogramo = R
1. DESCOMPOSICION RECTANGULAR: RECTANGULAR : Consiste en representar un vector en función de dos vectores componentes mutuamente perpendiculares.
2
B
y
A
VSen
V
R
2
0 CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III x VCos
2
R X
2
RY
EJERCICIOS
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01. Hallar la ecuación dimensional de f en la siguiente ecuación: f
1
F
2 L
u
b) T2
a) LT
c) LT
02. Si la siguiente ecuación correcta; indicar: x / b .
d) LT-1
e) T-1
es dimensionalmente dimensionalme nte
03. En la siguiente ecuación encontrar las dimensiones de p
k
c) LMT2
e) L-2MT-2
04. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, determinar las dimensiones de “m”.
bn mn
c) LT 1
Q )b
k
1
3
e tm
Donde: K = FL-1T w = peso m = masa t = tiempo e = base de los logaritmos neperianos a) Velocidad b) Trabajo c) Presión d) Caudal e) Fuerza
2
Donde: b = velocidad y = Longitud b) LT
d) L3T e) LT-2
07. Determinar la magnitud magni tud física físi ca que se requiere requi ere representar en la siguiente expresión. expresión.
Donde: xi = distancias m = masa Vi = volúmenes g = aceleración
a) L
2
Calcular a, b. a) a = F ; b = L b) a = F ; b = L2 c) a = F2 ; b = L -1 d) a = F-1 ; b = L-2 e) a = F2 ; b = L3
w
y
3
AE
m g x = pv1x1+ pv2x2+........... pvmxn
b) LM-1T2
(P
a
c) LT
b) L e) L2T 1
a) LMT d) L-1MT
0,2h) h
06. Un estudiante del curso de física desea diseñar una form formul ulaa para para calc calcul ular ar el el ala alarg rgam amie ient ntoo tota totall ( ) de una barra de acero donde P y Q son fuerzas, A sección recta, E módulo de elasticidad expresado en Kg/cm2.
2
1
Donde: A = Longitud t = Tiempo e = Constante numérica a) LT 2 d) L2T 2
c) LT2
b) L3T-1
2a l
Aebt . sen
x
0.622 62 2 2 g (b
Se usa para determinar la cantidad de agua que pasa por un vertedero de ancho b cuando la altura del agua por encima del vertedero es h, siendo g la aceleración de la gravedad. Hallar las dimensiones de Q.
Donde : L = longitud F = Fuerza u = masa / longitud a) T
Q
d) LT 2 e) L2T
08. Hallar el exponente al cual debe estar elevado el tiempo t para que la siguiente ecuación sea correcta:
05. La ecuación:
CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III
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CENTRO PRE UNIVERSITARIO x 3at
2l
v.
e
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g
Mo
sen
N
B
F
C
Donde: E = espacio v = velocidad l = longitud F = fuerza Mo =Momento de Fuerza a, g =aceleraciones =aceleraciones
a
x
y M
A
D
a) 2
b) 3
c) 4
d) 10
e) 12
b
09. Siendo BH = 4 , calcular el módulo del vector resultante en el sistema mostrado.
H
10. La figura determina un cuadrado. Escribir el vector X en función de los vectores a y b. 3
a) x
2
a
y
c) x
y
d)
x
y
e)
x
y
a a
2 2
c) x
3
=
=
5
3 4 3 2
3 7
3 8
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b b
x
e)x
b) x
3
2
b) x
r
y
B
a) 20 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
d )x
a) x
2 3
a
a) arc arc b) arc arc c) arc d) arc arc e) arc arc
[a + bù ú û
2 r 2
b
b
13.Dos vectores poseen como resultante máxima y mínima: 10cm y 2cm respectivamente; si cuando forman un ángulo " " su resultante es de 8cm. Hallar el ángulo que forma ésta resultante con el vector de mayor módulo
[a -
r
bù ú û
cos(0,825) cos(0,805) cos(0,815) cos(0,865)
cos(0,875)
11.Las 11.Las bases bases del trapecio trapecio miden miden 2 y 4 Siendo M punto medio, calcular el módulo del vector resultante. b a) 7 b) 6 M c) 12 d) 8 a e) 3
14.Determinar el módulo del vector resultante de
a y
b 2
7 cm
12. En el paralelogramo ABCD mostrado, M y N son puntos medios de sus respectivos lados. Hallar el vector (X+Y) en función de los vectores a y b. CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III
a 30º 60º
b Pág. Nº05
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a) 4 cm. d) 7 cm.
b) 5 cm. e) 8 cm.
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c) 6 cm.
15.Los vectores que se muestran tienen resultante nula; si
C
20 3cm . ¿Cuál es el módulo de
2a
b?
(Y)
b
a
) g.
1 2
a2 )
( A
V = velocidad A; a = áreas a) L d) T-1
2(
a.
V
, 1 = densidad g = aceleración
b) T e) L-2
c) L-1
03. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente dimensionalment e
(x)
homogénea, indique las dimensiones de “y”
b) 30cm e) 60cm
a) 20cm d) 50cm
c) 40cm
eje “y”? (Y)
2
d) L T
2
1
e) L
(x)
6cm
F
.
A
b) 3º
c) 5º
d) 7º e) 9º
DOMICILIARIA 01. Un estudiante desea calcular experimentalmente la aceleración de la gravedad. El equipo con el cual a trabajado le permitió hallar la siguiente ecuación: g
4
2
2
L(L
p) cos
2
T .
;
g = aceleración de la gravedad L, P = longitudes T = Período Qué dimensiones tiene “α”
a) L d) LT-1
b) L2 e) LT2
c) T
b) L
a) LT
04. Si la ecuación e cuación mostrada es dimensionalmente d imensionalmente correcta; indique las unidades de " " en el sistema internacional de unidades (SI)
8cm
67º
a) 1º
)t
Donde: A = Longitud t = Tiempo
16.¿Qué ángulo forma la resultante de los vectores con el
10cm
Acos(
y
c
c) LT
02. Determinar las dimensiones de α en la siguiente ecuación: CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III
V y
Donde: F = Fuerza A = Superficie V = Velocidad y = Longitud a) m . s d) m . kg / s
b) kg . s e) s
c) kg / m . s
05. Deducir mediante el análisis dimensional una expresión que relacione la presión de un fluido con su densidad y la velocidad del movimiento del mismo. numéric rica ) ( k Cte. num a) P
k V
c) P
k V
e) P
k V
2
2
b) P
k
V
d) P
k / V
2
06. Si la resultante máxima de dos vectores es igual a 20 y, cuan cuando do fo forma rman 12 120º su su res resul ulttant ante es es 10 ; ¿Cuál será el valor de la resultante cuando éstos tienen el mismo origen y forman 74º? Pág. Nº06
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a) 12
b) 16
d)
e ) 30
24
c) 6 5
c) 20
d) 5 6 e) 2 5
07. El Triángulo mostrado es equilátero “M” es punto medio, PC 3 AP y se pide determinar 10. Indique el módulo del vector resultante de los vectores mostrados (en cm.) Dato: x AN en función de a AB y b AC a 10 5cm
a) b) c) d) e)
a
b
x
3
a
a
b
a
x
3
a
b
M
x
2
a
b
A
a
b
C
P
2
x
N
b
b
5
función 08. De la figura expresar al vector x MN en de los vectores a AB y b CB (“M” es punto medio)
a) a
3b
c) d) e)
x
B
b)
20cm
b
a
3b
B
a) 5 5
b) 10 5
d) 20 5
e) 10
c) 15 5
b
a
30º
2
a
3b
M
4
a
3b 8
x
A
a
3b
C
N
2
09. Determinar el módulo del vector resultante resultante a) 2 2 b) 3 3 3
CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III 37º
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