EJERCICIOS PROPUESTOS 1) La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de una abeja cuando cambia de la posición 1, 2,3 y 1. ¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos? ¿Cuál es el desplazamiento total?
1 c=
3
a=
b= 2
Solución:
La magnitud de a es y su dirección es de 1 a 2; la magnitud de b es 2 y su dirección es de 2
a 3; la magnitud de c es 2 y su dirección es de 3 a 1. El desplazamiento total es cero porque Volvió a la posición inicial .
2) En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante? →
F1
→
→
F2
F →
θ
F2 θ’
→
F1
60°
Solución: En la figura de la derecha se ha desplazado la fuerza F 2 y completado el triángulo con la →
→
→
Resultante F = F1 + F2 ; en este triángulo t riángulo podemos aplicar la ley de los cosenos para obtener: 1
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= + − 2 F1 F2 cosθ ′ y como θ ′ = π − θ entonces cos(π − θ )
= − cos θ y
la fuerza F puede ser expresado como :
=
+ + 2(200) (100) Cos 60º
+ + 2 F1 F2 cosθ =
≅ 173.2 N En el mismo triángulo, tr iángulo, ahora podemos aplicar la ley de los senos para establecer la dirección de la Resultante F con respecto a la fuerza F 1. 1.
100 = ___ ⇒ Senα =
F = F2 sen 120º senα
sen 120º
⇒ α = 30º
173.2
3 Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave N
→
NT
→
AT
30° θ
O
E →
vNA
S NT = NA + v AT ; v NT = v NA ; su magnitud la podemos
La nueva velocidad de la nave será
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+ + 2v
V=
NA
NA
AT
v AT cos
30º =
+ + 2(480) (160) (0.866) = 623.7 km La dirección la hallamos aplicando el teorema de los senos:
623.7 = 160 sen 150º
de donde encontramos que θ = = 7.37 º
;
sen θ
4) .La figura muestra un triángulo tr iángulo de lados | |, || y| | = | el ángulo . Demuestre el teorema de los cosenos c osenos
|.
B
C= B-A
A
Solución: De acuerdo con la figura, el lado C = B − A, podemos escribir el siguiente producto escalar como:
C •C =
• = B • B − B • A− A• B + A• A
Aplicando las definiciones del producto escalar y teniendo en cuenta que el producto punto es Conmutativo, entonces:
=
+
−2
θ cos
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5. Halle la ecuación del plano:
Perpendicular al vector A=
+ j +
y que pasa por el
extremo del vector B= + j + 3 Ecuación del plano:
A (x - x o ) + B (y - y o ) + C (z - z o ) = 0
Donde:
son C> son las componentes de un vector perpendicular al plano. Esto ya nos lo dan ya que dice que que A debe ser perpendicular perpendicular al plano, por lo cual: = = <2, 3, 1>
( o, o, y o, o, z o) o) debe ser un punto que este en el plano. Como nos dice que el x plano debe pasar por el extremo del vector B, podemos tomar el punto (1, 5, 3), por lo cual: La ecuación del plano queda entonces 2(x - 1) + 3(y - 5) + 1(z - 3) = 0 2x -2 + 3y -15 + z – 3 = 0 2x + 3y + z - 20 = 0
