F1L3AM3_022012 Conservacion Del Momento Lineal en Una Dimension

Verificación experimental de la conservación del momento. 20-11-2012

PRUEBA PRUEBA EXPERIMENTA EXPERIMENTAL L DEL DEL PRINC PRINCIPIO IPIO DE CONSERVA CONSERVACI CI N DEL DEL MOMENTO LINEAL EN UNA DIMENSIÓN AUTORES Julio A. Mendoza 00008812, Jennifer L. Martínez 00015012, María J. Vallejo 00026912, Ronald F. Soler 00027912, Ester M. Guerrero 00048612. Universidad Centroamericana José Simeón Cañas Física I, Laboratorio 3A Mesa No.3 Correos electrónicos: [email protected];[email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]

COORDINADOR Humberto Molina [email protected]

INSTRUCTORES Marcela Flores y Carlos Avelar

Resumen El presente trabajo tuvo como objetivo verificar experimentalmente el principio de conservación del momento lineal unidimensional. Para ello se realizaron pruebas que consistieron en provocar choqu es entre dos carros cuyas masas se hacían variar en cada prueba adicionando o removiendo pesas. En cada prueba se tomó la medida de masa para cada carro, se escogió un origen y luego se midió la posición a la que llegaban después del choque. Con estos datos se calculó un valor representativo del momento lineal para cada prueba. Los resultados apuntaron a que, en general, el momento momento total se conservó en cada caso; no obstante, algunos datos presentaron incertezas incertezas relativamente altas de las cuales no se pudo afirmar si fueron significativas o no. Se observaron varias causas de error que pudieron haber influido en los resultados. Las consideraciones anteriores recordaron la importancia de escoger las técnicas e instrumentos adecuados al experimento y ser rigurosos a la hora de la realización del mismo. También se consideró el uso futuro de técnicas de análisis estadístico para verificar si las diferencias obtenidas son significativas o no.

Palabras clave Momento lineal, conservación del momento, choques, centro de masa, posición.

1. Introducción: Momento lineal. Principio de

conservación del momento lineal. Choques.

Existen problemas en física que necesitan más que las leyes fundamentales del movimiento de Newton para poder resolverlos, para ello se introdujo un nuevo concepto a la física, la cantidad de movimiento. movimiento.

1.1 Momento lineal. Fue el físico Isaac Newton quien introdujo el concepto de momento lineal a la física, llamado también cantidad de movimiento con el fin de disponer de una expresión que lograra combinar la masa y la velocidad de una partícula. Se sabe que cuando un cuerpo está en movimiento tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre

en su camino, por lo tanto se llama momento lineal a la magnitud que mide esta capacidad. La ecuación que relaciona las variables masa y velocidad es la siguiente:

⃑   

()

Esta combinación nos da la cantidad de movimiento la cual es el producto de la masa por la velocidad de la partícula. Otra definición más clara es que el momento lineal es la cantidad de movimiento que surge de la velocidad y de la cantidad de materia conjuntamente, es decir que ” la cantidad del movimiento de un cuerpo es proporcional tanto a su masa como a su velocidad ”. (Buffa, Lou, 2007). La cantidad de movimiento es un vector con magnitud de masa por la magnitud de la velocidad y la dirección del vector velocidad.

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A menudo menudo se expresa expresa la cantidad de movimiento movimiento de una partícula en términos de sus componentes de la siguiente manera:

     

()

()

De esta ecuación se obtiene un resultado conocido como teorema del impulso y cantidad de movimiento. Al despejar esta ecuación podemos obtener el momento en función del impulso de la siguiente manera:

⃑   ⃑     () En donde   (   ) es el impulso que actúa sobre la

partícula, así “la cantidad de movimiento de una partícula

es igual al impulso que la aceleró desde el reposo hasta su rapidez actual” (Zemansky, 2004).

En el caso de un sistema con más de una partícula, es decir con un conjunto de partículas, el momento lineal total del sistema es la suma vectorial de los momentos lineales de las partículas individuales:

⃑           

⃑             ()

Así para la conservación el momento total incial debe ser igual al momento total final.

La cantidad de movimiento de una partícula también se puede calcular en términos de impulso, definiendo el impulso de la fuerza neta que actúa sobre una partícula, como el cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un intervalo te tiempo, quedando su ecuación definida de la siguiente manera:

  ⃑   ⃑ 

sistema es cero, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. El momento lineal de todo el sistema es:

()

⃑   ⃑ 

La conservación de cantidad de movimiento difiere de la conservación de la energía mecánica en que este principio (el de conservación de cantidad de movimiento) se cumple si las fuerzas son conservativas y también si las fuerzas no son conservativas.

1.2 Fuerzas impulsivas. Como la misma palabra lo dice, es una fuerza que se aplica sobre un cuerpo, el cual se impulsa. Para un mejor entendimiento se puede decir que cuando dos objetos chocan, pueden ejercer grandes fuerzas uno sobre el otro durante un periodo de tiempo muy corto. La fuerza no es constante en este caso; sin embargo, la segunda ley de newton en forma de momento lineal sirve para analizar tales situaciones si se utilizan valores promedio. Escrita de esta forma la ley dice que la fuerza neta promedio es igual a la tasa de cambio del momento lineal (cuando solo una fuerza actúa sobre el objeto): El término fuerza:

1.1.2 Principio de conservación conservación del momento lineal Al igual que la energía mecánica total, el momento lineal de un sistema se conserva sólo bajo ciertas condiciones. Al considerar un sistema formado por diferentes cuerpos que interactúan entre sí, el principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas externas sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado. Este principio cumple que la razón de cambio de la cantidad total de movimiento es cero, por tanto la cantidad de movimiento total del sistema es constante aunque las cantidades de movimiento individuales de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar. Al haber fuerzas externas actuando sobre el sistema la cantidad de movimiento total no se conservará a menos que la suma vectorial de las fuerzas externas sea cero, es decir, si la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un

()

       ()  se conoce como Impulso (J) de la      ()

El cambio del momento lineal de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante este intervalo.

“Un choque es cualquier interacción vigorosa entre cuerpos con duración relativamente corta”. (Zemansky, 2004).

1.2.1

Choques elásticos, inelásticos y totalmente inelásticos.

En los choques suele suceder que las fuerzas entre los cuerpos que interactúan entre sí son mayores que las fuerzas externas que actúan sobre ellos por tanto para lo choques se toman los sistemas como sistemas aislados por tanto la cantidad de movimiento se conserva, es decir tendrá el mismo valor entes y después del choque. De acuerdo al tipo de fuerzas que existen cuando los cuerpos interactúan, los choques pueden ser:


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



Choque elástico: se da cuando las fuerzas producidas entre entre los cuerpos son conservativas, conservativas, de manera que no se pierde ni gana energía mecánica en el choque, la energía e nergía cinética total del sistema es la misma antes y después. Un ejemplo de choque elástico es el producido entre dos bolas de billar ya que al principio los cuerpos llevan una energía cinética inicial, al chocar la energía cinética se convierte en energía potencial, luego esta energía se convierte nuevamente en energía e nergía cinética. Choque inelástico: este choque es el que se da cuando las fuerzas de interacción entre los cuerpos que chocan no solo son conservativas sino que también hay fuerzas no conservativas presentes, es un choque en el que la energía cinética total final es menor que la inicial. Choque totalmente inelástico: en este choque también están presentes las fuerzas no conservativas, en este dos cuerpos cuerpos chocan llevando llevando cierta velocidad velocidad pero luego luego los cuerpos se se pegan y se mueven como uno solo después del choque llevando la misma velocidad, en estos choques generalmente la energía cinética inicial es menor que la energía cinética final.

2. Materiales y métodos. 2.1 Materiales.

FIGURA 3. Materiales utilizados en el experimento      

1.3 Centro de masa El centro de masa es el punto en que puede considerarse concentrada toda la masa de un objeto o sistema, únicamente en lo que se refiere a movimiento lineal o de traslación. (Buffa, Lou, 2007). El centro de masa es un punto representativo prototípico, este se caracteriza porque si se aplica una fuerza sobre una partícula, en ese punto donde es aplicada la la fuerza, fuerza, el sistema no va a rotar. El centro de masa es un punto de balance. Se puede replantear el principio de conservación del movimiento lineal en una forma útil usando el concepto de centro de masa. Suponiendo que se tienen varias partículas con masas m1 , m 2 , m 3... etcétera. Las coordenadas de m1 son x1 , y 1), las de m2 son ( x x2 , y 2) y así sucesivamente. El centro ( x de masa del sistema se define como el punto con coordenadas ( xcm , ycm) dadas por:

        ∑∑   

()

        ∑∑   

()

1. Carros dinámicos 2. Regla graduada 3. Conjunto de pesas 4. Parachoques 5. Juego de pesas 6. Balanza de triple brazo

2.2 Métodos La medida de la masa de los carros dinámicos se tomó con la balanza de triple brazo, añadiéndole también un conjunto de pesas para tomar la masa total de cada carro; a cada medida se le agregó su debida incerteza utilizando la sensibilidad de la balanza y de las pesas. La medida del largo de los carros se tomó con una regla graduada, calculando también su debida incerteza con la sensibilidad de la regla. Se procedió con el siguiente procedimiento: se colocó los dos carros, nombrados para uso práctico A y B, siendo A el carro con un resorte y B el otro carro, sobre la mesa, inicialmente se colocaron en el centro de la mesa, luego se colocó los dos parachoques cada uno en un extremo de la mesa, y se sostuvieron fuertemente ambos para que no se movieran al chocar los carritos contra estos. Luego de haber colocado los carros en la posición inicial, se golpeó suavemente el sistema de resorte y ambos carros se movieron en direcciones contrarias hasta chocar contra los parachoques, se realizó esta prueba varias veces, colocando los carros en diferentes posiciones iniciales, hasta que se observó que ambos UCA-CEF-Laboratorio UCA-CEF-Laboratorio de Física I 02-2012

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carros llegaron al mismo tiempo hasta los parachoques, se tomo como centro la posición inicial en la que ocurrió esto, luego se calculó la distancia recorrida por cada uno de los carros, midiendo la distancia recorrida desde el punto tomado como origen y a esta restándole la longitud del carro. Se realizó el mismo procedimiento agregando diferentes masas a los carritos, para ello se agregó pesas y se sumó sus masas a las masas ya tomadas de los carritos, todo con su respectiva incerteza; primero se agregó 200 gramos al carro B y se tomó el carro A sin agregarle ninguna masa. Luego se agregó 200 gramos al carro A y se tomó el carro B sin agregarle ninguna masa. Después se agregó 400 gramos a cada uno de los carros. Se hizo lo mismo agregando 600 gramos al carro B y sin agregarle al carro A. Finalmente se agregó 600 gramos al carro A y se dejó el carro B sin agregarle masa. Se calculó cada una de las distancias recorridas por los carros en cada uno de los casos. Se tomó estas medidas, y se realizó los cálculos necesarios para demostrar el principio de conservación del momento lineal.

3. Resultados y discusión. 3.1 Resultados.

Tabla I. Mediciones de masa y posición del carro A después del choque entre el carro A y B. Se tomó el origen en un punto a partir del cual los carros tardaran el mismo tiempo en alcanzar los respectivos parachoques.

Caso

M A (kg)

X A (m)

i. Carro A y B solos ii. A y (B+0.200 kg) iii. (A+0.200 kg) y B iv. (A+0.400 kg) y (B+0.400 kg) v. (A+0.600 kg) Y B vi. A y (B+0.600 kg)

0.3930±0.0001 0.3930±0.0001 0.5930±0.0002

-0.2680±0.0005 -0.4030±0.0005 -0.3180±0.0005

0.7930±0.0003

-0.2780±0.0005

0.9930±0.0004 0.3930±0.0001

-0.2310±0.0005 -0.2810±0.0005

Tabla II. Mediciones de masa y posición del carro B después del choque entre el carro A y B. Se tomó el origen en un punto a partir del cual los carros tardaran el mismo tiempo en alcanzar los respectivos parachoques.

Caso

M B (kg)

X B (m)


0.3050±0.0001 0.5050±0.0002 0.3050±0.0001

0.3300±0.0005 0.1600±0.0005 0.2450±0.0005

0.7050±0.0003

0.3000±0.0005

0.3050±0.0001 0.9050±0.0004

0.3300±0.0005 0.2800±0.0005

Tabla III. Sumatoria: M A X A+M B X B para cada choque, donde M A X A+M B X B es proporcional al momento total después del choque. Caso

(kg·m)

Incerteza Porcentual (%)

-0.0047±0.0004 -0.0776±0.0005 -0.1138±0.0004

7.5 0.6 0.4

-0.0090±0.0008

8.4

-0.1287±0.0006 0.1430±0.0007

0.5 0.5

M A X A+M B X B


3.2 Discusión. El propósito de este experimento era verificar experimentalmente la ley de conservación del momento lineal en choques unidimensionales. unidimensionales. Se realizaron una serie de pruebas que consistieron en provocar choques explosivos (donde la energía cinética total final es mayor que la energía cinética inicial) entre dos carros, a los cuales se les hacía variar su masa mediante la adición o remoción de pesas con el fin de variar las condiciones de los choques y verificar si el momento final se mantenía constante en cada caso. Se prescindió de las fuerzas externas (como la fricción), y se escogió como sistema el conformado por el carro A y el carro B. Los resultados obtenidos se reflejan en las tablas I, II y III. La ley de conservación del momento lineal propone que, en un sistema aislado donde las fuerzas externas al sistema son nulas, el momento total de dos o más cuerpos que interactúan a través de fuerzas internas se conserva. Como se prescindió de las fuerzas externas y ya que tanto el carro UCA-CEF-Laboratorio UCA-CEF-Laboratorio de Física I 02-2012

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A como el carro B, que conformaron el sistema escogido, estaban inicialmente en reposo, se esperaría, entonces, que el momento total antes, durante y después del choque se mantuviera constante y fuera cero, porque inicialmente éste era cero. La suma de la columna 2 de la tabla III no representa el momento lineal total del sistema pero representa un valor proporcional a dicho momento, suponiendo que las velocidades de los carros fueron constantes después del choque y que el tiempo medido para que cada uno llegara a las posiciones respectivas X A y X B fue igual para ambos carros. Por lo que se asume que el valor de esta sumatoria representa el momento total del sistema después del choque. Analizando los resultados de la columna 2 de la tabla III, se observa que, en general, los valores de estas sumatorias se acercan a cero, conforme a lo esperado. En el caso i, este valor es de (-0.0047±0.0004) kg·m, con un error porcentual de 7.5%. Asimismo, en el caso iv, este valor es de – (0.0090±0.0008) kg·m, con un error de 8.4%. Estas son las dos sumatorias que más se acercan al valor teórico esperado; no obstante, al comparar su incerteza porcentual con la de los demás valores, se infiere que estos valores son un tanto imprecisos, por lo que puede que los verdaderos valores de momento total para cada caso sean distintos y difieran considerablemente de cero. Algo curioso es que, en estos dos casos, conforme a las tablas I y II, las masas de los carros eran relativamente similares. Para el caso i, (0.3930±0.0001) kg y (0.3050±0.0001) kg para los carros A y B, respectivamente; para el caso iv, (0.7930±0.0003) kg y (0.7050±0.0003) kg para los carros A y B, respectivamente.. Asimismo, las distancias que recorrieron los carros en cada caso son también son relativamente similares. Para el caso i, (0.2680±0.0005) m y (0.3300±0.0005) m para los carros A y B, respectivamente; para el caso iv, (0.2780±0.0005) m y (0.3000±0.0005) m, para los carros A y B, respectivamente. No se pudo explicar con certeza el porqué de estas ocurrencias más que, a lo mejor, el momento total del sistema difería considerablemente de cero aunque no se sabe si esta diferencia es significativa. Entre las causas de error que se observaron, es importante señalar que no se fue preciso a la hora de indicar la posición inicial de los carros, ésto por falta de pericia y por los instrumentos utilizados, lo cual es un error de tipo sistemático y causas personal e instrumental. La forma de medir las distancias recorridas fue un tanto imprecisa también: se esperaba a que se escuchara al mismo tiempo el choque de cada carro con su parachoque respectivo para luego medir las distancias recorridas respecto al cero escogido. Éste método no es del todo efectivo y es un error de tipo sistemático y causa metodológica. Asimismo, las mediciones no se realizaron de forma adecuada (no se ubicaba la regla de la mejor forma y la lectura se hacía a la ligera). Se considera también que en el sistema se prescindió de las fuerzas externas, cuando puede que la fricción de rodamiento entre las ruedas de los

carros y la mesa pudo haber tenido alguna influencia significativa significativa en los resultados. Respecto a los demás casos, se observa, en general, que las sumatorias tienden a cero y que sus incertezas porcentuales son menores que 1, de donde se concluye que las medidas son relativamente precisas. El valor de representativo del momento total que más se desvía del valor esperado es el del último caso; éste fue de (0.1430±0.0007) kg·m y su incerteza porcentual es de 0.5%, relativamente pequeña. Se observaron las mismas causas de error descritas anteriormente. Retomando las causas de error, se enfatiza que el método escogido no fue del todo preciso, así como los instrumentos utilizados no fueron los más adecuados.

4. Conclusiones A partir de la interpretación que se hizo de los resultados, se pueden generalizar las siguientes conclusiones: 1. La ley de conservación de momento lineal establece que el momento total de un sistema aislado donde las fuerzas externas son nulas es constante (se conserva). Experimentalmente se verificó esta ley y se puede decir que se cumplió en todas las pruebas realizadas (el valor total de momento inicial en las pruebas realizadas fue cero, por estar los cuerpos en reposo y el valor total de momento final se acercó bastante a cero en cada prueba). 2. A pesar de haber obtenido resultados favorables, los resultados más cercanos al valor teórico presentaron un error, del cual no se pudo establecer si éste es significativo o no. Se recomienda, para otros experimentos similares, realizar más pruebas y utilizar métodos de análisis estadísticos para verificar los niveles de confianza de los datos obtenidos. 3. Se observaron varias causas de error a la hora de realizar las pruebas: el método escogido no fue el más adecuado, la posición inicial de los carros no se ubicó con precisión, las mediciones de longitud no se realizaron de forma adecuada y se prescindió de la fricción de rodamiento cuando pudo haber influido en los resultados. Se recomienda mejorar las técnicas e instrumentos utilizados en experimentos posteriores con el fin de aumentar la confiabilidad del experimento y de los resultados.


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5. Referencias Bibliográficas Sears, F., Zemansky, M., Young, H. & Freedman, R., 2004. Física Universitaria Vol 1. Decimo primera ed. México: Pearson Educación. Reymond, A., Serway, 2006. Física para ciencias e ingeniería. Sexta ed. Mexic: Thomson Brooks/Cole. Wilson, Buffa, Lou, 2007. Física. Sexta ed. México: Pearson Educación. Paul E. Tippens, 2007. Física, conceptos y aplicaciones. Séptima ed. México: McGraw-Hillm. Francisco J. Tapia, 2002. Apuntes de historia de las matemáticas vol1. México

6. Anexos

6.2. Teorema de Noether

6.1. Simetría en física

Expresa que cualquier simetría diferenciable que proveniente de un sistema físico, tiene su correspondiente ley de conservación. El teorema, publicado en 1928, se denomina así por la matemática matemática Emmy Noether, que fue quien lo formuló. Noether funda los principios de conservación en la invariancia formal de las leyes de la física. Es decir, en mecánica, un sistema queda descrito por una función matemática que depende de sus coordenadas de posición y velocidad, así como del tiempo. Esta función se llama lagrangiano del sistema y es igual a la diferencia entre la energía cinética y la potencial.

En física simetría significa que si un sistema es modificado de cierta manera, pero sigue pareciendo ser el mismo, entonces exhibe una simetría bajo tal cambio. Por ejemplo si se tiene una pelota y se rota y se sigue viendo igual, se dice que la pelota es simétrica en la rotación. Las simetrías son un conjunto de transformaciones que dejan un sistema invariante. En particular la invariancia de un sistema clásico ante una traslación espacial implica automáticamente la conservación del impulso lineal del sistema, así como ante una rotación la del impulso angular, y ante una traslación temporal la de la energía, etc. La simetría implica que un sistema ciertos procesos físicos deben ser invariantes, es decir, no deben cambiar. Al hablar de simetría de física se suele hablar de tres tipos de simetrías: 





La simetría C o conservación de la carga. Significa que las leyes de la física deben ser las mismas si se intercambian partículas por antipartículas. La simetría P o conservación de la paridad. Afirma que las leyes de la física serían las mismas si se pudiesen intercambiar las partículas p artículas de carga positiva con las de carga negativa. La simetría P dice que las leyes de la física permanecerían inalteradas bajo inversiones especulares, es decir, el universo se comportaría igual que su imagen en un espejo. Antes de 1960, se pensaba que la conservación de la paridad era una ley bien establecida de la naturaleza. La simetría T o simetría temporal. Afirma que las leyes de la física son las mismas al cambiar +t por – t.t.

Este teorema presenta una correspondencia entre cada principio de conservación de una magnitud física y una invariancia formal de las leyes leyes de la física. física. Dicho de otro modo para toda simetría continua, hay una magnitud conservada a lo largo de la evolución del lagrangiano del sistema. El teorema de Noether relaciona pares de ideas básicas de la física, una es la invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación que preserve el sistema de coordenadas y la otra es la ley de conservación de una cantidad física. Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico. En síntesis, el teorema se resume en: “Toda simetría lleva asociada una ley de conservación, y viceversa.”

6.3. Principios de conservación y su relación con las simetrías de la naturaleza. A las leyes de conservación a las que obedece dicho sistema, se les llama también "principios" " principios" porque rigen en todas las leyes de la naturaleza gobernadas por lagrangianos invariantes bajo el mismo grupo de transformaciones. Así ocurre con el principio de conservación de la energía, o el principio de conservación UCA-CEF-Laboratorio UCA-CEF-Laboratorio de Física I 02-2012

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de la cantidad de movimiento o impulso de los cuerpos o el principio de conservación del momento angular. El principio de conservación de la energía en mecánica clásica, por ejemplo, enuncia que la energía total, la cinética y potencial de un sistema aislado, es decir, de un sistema que no intercambie energía con el exterior, es constante. Principio de conservación del momento angular, afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. Principio de conservación del momento lineal si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza externa o la suma de las fuerzas vale 0, su momento lineal es constante. El teorema de Noether presenta una correspondencia entre cada principio de conservación de una magnitud física (así, la energía, el impulso, la cantidad de movimiento) y una invariancia formal de las leyes de la física. Dicho de otro modo, para toda simetría continua (por ejemplo, una rotación espacial) del lagrangiano del sistema, hay una magnitud conservada a lo largo de la evolución del mismo. La conservación de la energía, el momento lineal y el momento angular están asociados con las siguientes simetrías: 





Cuando un lagrangiano es invariante bajo traslaciones del tiempo, su expresión formal no cambia al variar la variable tiempo, entonces la energía total de sistema se conserva durante el movimiento. Si es invariante el sistema por traslación espacial, la magnitud conservada es el impulso o momento lineal. Cuando es invariante por rotación, se conserva el momento angular.

Así están dadas la simetrías con las que están asociados los tres grandes principios de conservación en la física clásica: el de energía, que se basa en la invariancia del lagrangiano por traslación temporal; el del impulso mecánico, que se basa en la invariancia por traslación espacial y, el del momento angular, que se fundamenta en la invariancia por rotación. Los tres principios mencionados pertenecen a alguna simetría importante en la actualidad, por ejemplo, la conservación de la energía está relacionada con la simetría temporal o simetría T; la conservación del momento lineal está relacionada con la invariancia de las leyes físicas frente a traslaciones; la conservación del momento angular está relacionada con la invariancia de las leyes físicas frente a rotaciones.


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