Capítulo 8 – CONSERVACION CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL En esta unidad unidad se introd introduci ucirán rán dos concepto conceptos s nuevos que son el impuls impulso o de una fuerza fuerza y el momento de un cuerpo. El momento es una magnitud que se conserva como la energía. Además, Además, uno de los principios principios más importantes importantes de la física física es la ley de la conservación conservación del momento, que dice que el momento momento total de un sistema y sus alrededores alrededores no cambia. cambia. Siempre que el momento de un sistema cambie, quiere decir que debemos considerar la aparición o desaparición de mome moment nto o en algú algún n otro otro luga lugar. r. En este este capí capítu tulo lo pues pues teni tenien endo do esta estas s nuev nuevas as erra errami mien enta tas s analizaremos las colisiones entre partículas, entre ob!etos, entre coces, etc.
8.1 CONSERVACION CONSERVACION DEL MOMENTO MOM ENTO LINEAL Entendí que llamamos momento lineal o cantidad de movimiento
p ⃗p al producto de la velocidad
de una partícula por su masa. p ⃗p=m v ⃗
El momento lineal es una magnitud vectorial. Es el producto entre un vector, que es la velocidad y v un escalar que es la masa. Su módulo es mv y tiene la misma dirección que y sus unidades ⃗
son masa por velocidad "#g
∙
m s $ . %odemos considerar el momento como una medida de la
dificultad de llevar la partícula asta el reposo. &n e!emplo es un camión pesado este tiene mayor momento lineal que un automóvil ligero que se mueve con igual velocidad. Esto debido a que es necesaria necesaria una fuerza mayor para detener el camión camión en un tiempo determinado determinado que para detener el automóvil en el mismo tiempo. El momento total
Psist
de un sistema de mucas partículas es la suma de los momentos de las
partículas individuales. Psist =∑ mi v i= M v cm ⃗
⃗
⃗
i
'a ley de conservación del momento nos dice si la fuerza e(terna resultante sobre un sistema es cero, el momento lineal del sistema permanece constante.
Si
∑ F ext ⃗
Psist =∑ mi v i= M v cm =¿ ⃗
)*, entonces
⃗
⃗
i
constante
Esta ley es una de las más importantes de la física, es aplicable en un mayor número de casos que la ley de conservación de la energía mecánica debido a que las fuerzas internas e!ercidas por una partícula del sistema sobre otra son frecuentemente no+ conservativas. Así pues, estas fuerzas internas pueden acer variar la energía mecánica total del sistema. Si el momento lineal total de un sistema es constante, la ley de conservación del momento es una relación vectorial, por lo que es válida componente a componente.
8.2 ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA e este tema entendí que aunque el momento lineal total de un sistema de partículas debe ser constante si la fuerza e(terna resultante sobre el sistema es cero, la energía mecánica total sistema puede variar. Además, e(iste un teorema que se refiere a la energía cin-tica de un sistema de partículas que nos permite tratar más fácilmente la energía de sistemas comple!os, así como los cambios energ-ticos dentro de un sistema 'a energía cin-tica de un sistema de partículas puede escribir como la suma de dos t-rminos /.+ 1
la energía cin-tica asociada con el movimiento del centro de masas,
2
M v
2
cm
, donde 0 es la
masa total del sistema1 y 2.+ la energía cin-tica asociada con el movimiento de las partículas del 1
sistema respecto al centro de masas,
∑ 2 mi u i
2
, siendo
ui ⃗
la velocidad de la partícula i
relativa al centro de masas. 1
Así, 3)
onde 0 es la masa total y
∑ 2 mi v K rel
1
2
4
∑ 2 mi u i
1
2
)
2
M v
2
cm
4
K rel
es la energía cin-tica de las partículas relativa al centro de
masas.
8.3 COLISIONES 5omo podemos ver, algunos e!emplos de colisiones, son por decir un coce que coca frontalmente con otro, un bate golpea una pelota de beisbol, etc. 'os ob!etos que colisionan pueden ser tratados como sistemas aislados durante la colisión, por lo que las únicas fuerzas importantes que interactúan son iguales y opuestas, por lo que el momento lineal total del sistema permanece invariable. 5uando la energía cin-tica total de los dos ob!etos es la misma antes y despu-s del coque se trata de un coque elástico. Si la energía cin-tica total no es la misma
despu-s del coque, se dice que un coque inelástico. 6ambi-n puede darse el caso de un coque perfectamente inelástico, en el cual toda la energía cin-tica relativa al centro de masas se convierte en calor o energía interna del sistema y los dos ob!etos comparten la misma velocidad, pues quedan unidos despu-s de la colisión. IMPULSO Y FUERZA MEDIA El impulso I de la fuerza F durante el intervalo de tiempo ⃗
⃗
∆ t =t f −t i
es un vector definido
por t f
I =∫ F dt ⃗
⃗
t i
El impulso es una medida de la intensidad y de la duración de la fuerza de colisión. 'a F x componente ( del impulso de una fuerza es el área de la curva frente a t. 'a unidad del impulso en el S7 es 8 ∙ s. El teorema del impulso momento para una partícula está dado por I neta= ∆ ⃗p
Asimismo, el impulso neto debido a fuerzas e(ternas en un sistema se iguala con el cambio del momento total del sistema, llamado teorema del impulso momento para un sistema. t f
I netaext =∫ F netaext dt = ∆ Psist ⃗
⃗
⃗
t i
'a fuerza media durante el intervalo
F m = ⃗
1
t f
∆ t =t f −t i
1
∫ F dt = ∆ t I ∆ t ⃗
⃗
t i
que puede reescribirse 7mpulso y fuerza media
I = F m ∆t
viene definida por
'a fuerza media es la fuerza constante que produce el mismo impulso que la fuerza real en el intervalo de tiempo ∆ t . 'a fuerza media calcularse a partir del cambio del momento si se conoce el tiempo de coque. COLISIONES EN UNA DIMENSION 'a colisiones unidimensionales, son las colisiones en las que los cuerpos que colisionan se mueven en línea recta antes, durante y despu-s de la colision. El principio de conservación de la V 1 f v 2 f cantidad de movimiento nos da una relación entre la dos velocidades, y m 1 V 1 f + m2 V 2 f =m1 V 1 i+ m 2 V 2 i
Colisión perfectamente inelstica en !na "imensión# En las colisiones perfectamente inelásticas, las partículas tienen la misma velocidad despu-s de la colisión, pues quedan unidas tras el impacto. &na colisión a ba!a velocidad entre dos vagones, uno parado y otro yendo acia -l, en la que los dos vagones quedan unidos es una colisión perfectamente inelástica y su ecuación está dada así
( m + m ) V cm =m V i +m i V i 1
2
1
1
2
2
Colisiones elsticas# En las colisiones elásticas la energía cin-tica del sistema es la misma antes y despu-s de la colisión. %or e!emplo si una pelota cae sobre un superficie de cemento y rebota asta su altura inicial, la colisión entre la bola y el cemento es elástica. ado que el momento que el momento se conserva durante la colisión, entonces m 1 V 1 f + m2 V 2 f =m1 V 1 i+ m 2 V 2 i
'a colisión es elástica y por tanto la energía cin-tica es la misma, antes y despu-s de la colisión. Entonces, 1 2
1
2
2
1
1
m V 1 f + m 2 V 2 f = m V 1 i + m V 2 i 2
1
2
1
2
2
Coeficiente "e restit!ción# El coeficiente de restitución e, que es la medida de elasticidad de una colisión, se define como el cociente entre la velocidad relatia de retroceso y la velocidad relativa de apro(imación e=
V ret v ap
=
v 1 f − v 2 f v2 i− v 1 i
En una colisión elástica, e)/1 en una colisión perfectamente inelástica, e)*. COLISIONES EN DOS Y $RES DIMENSIONES En las colisiones bi y tridimensionales. En este tipo de colisiones, el momento se conserva en cada una de las direcciones x , y y z . Colisiones inelsticas% En las colisiones de dos o tres dimensiones el momento inicial total se obtiene sumando los vectores momento inicial de cada ob!eto implicado en la colisión. m 1 V 1 i + m2 V 2 i=( m1 + m2 ) V f ⃗
⃗
⃗
Colisiones elsticas% En el caso general de una colisión en dos dimensiones o más, no se puede prever la cantidad de energía cin-tica que se pierde en la colisión. %or lo tanto, las velocidades de las dos masas despu-s del coque, no están completamente determinadas por sus velocidades y direcciones antes de la colisión. Sin embargo, la conservación del momento se debe satisfacer, de modo que si se especifica la velocidad de una de las partículas despu-s de la colisión, la otra se podrá determinar. Psist =m 1 V 1 i= m1 V 1 f + m2 V 2 f
8.4 COLISIONES EN EL SISTEMA DE REFERENCIA DEL CENTRO DE MASAS &n sistema de referencia que se mueve a la misma velocidad que el centro de masas recibe el nombre de sistema de referencia del centro de masas. Si una partícula tiene la velocidad V en ⃗
el sistema de referencia original, su velocidad relativa al centro de masas es
u= v − v cm ⃗
⃗
⃗
. 5omo
el momento total del sistema es igual a la masa total por la velocidad del centro de masas, el momento total tambi-n es cero en sistema de referencia del centro de masas. %or ello, se llama sistema de referencia del momento lineal cero. 'a velocidad del centro de masas es m V + m V ⃗ V = m +m 1
1
2
1
2
cm
2
8. SISTEMAS DE MASA VARIA!LE" LA #RO#ULSI$N DE LOS CO%ETES Este último, tema se emplea como e!emplo un coete en los sistemas de masa variable porque cuando el combustible se utiliza, los gases se e(pelen fuera de la nave y la masa del sistema disminuye. 'a e(presión que se emplea en este tipo de casos es la segunda ley de ne9ton en sistemas de masa variable y esta e(presa así F netaext + ⃗
dM dv v rel= M dt dt ⃗
⃗
'a propulsión de coetes es un e!emplo interesante de la conservación de la cantidad de movimiento. 'a masa del coete cambia continuamente a medida que el motor quema combustible y e(pele los gases resultantes, la ecuación del coete quedaría de esta forma d v M ⃗ g − R uext = M dt ⃗
⃗
− R u ext
'a magnitud
⃗
es la fuerza e!ercida sobre el coete por el gas que se escapa y se
denomina emp!&e "o fuerza de impulsión$
| |
F e =− R uext =− ⃗
⃗
F e
.
dM u dt ext ⃗
Si el coete va acia arriba − Mg− R u ex y = M
d v y dt
Si el coete va acia aba!o − Mg + R uex= M
d v y dt
