Conservación Del Momento Lineal

Conservación del momento lineal Conservation of the linear momentum

A. Bautista1, M. Quintero, Y. Rodríguez. Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia 14 de octubre de 2015 _______________________ ___________________________________ ________________________ _________________________ ____________________ _______

Resumen

En el presente trabajo se estudia la ley de la conservacin del !o!ento lineal sobre dos es"eras #ue colisionan, !ediante el c$lculo e%peri!ental de las velocidades de &stas antes y despu&s del c'o#ue y la co!paracin entre &stas. Esto se llev a cabo en dos situaciones, en la pri!era las !asas #ue colisionan son iguales, !ientras #ue en la segunda son di"erentes, en a!bas situaciones la velocidad inicial de las dos es"eras involucradas era la !is!a, para las cuales se realiz un an$lisis gr$"ico. (el procedi!iento anterior se obtuvo #ue para los dos casos la cantidad de !ovi !ovi!i !ien ento to se cons conser erva vaba ba y #ue #ue ade! ade!$s $s en a!ba a!bass coli colisi sion ones es e%is e%iste te una una conservacin de la energía cin&tica y por tanto los c'o#ues son el$sticos o pr%i!os a serlo, estos resultados "ueron veri"icados posterior!ente por !edio la teoría . Abstract

)'e la* o" t'e conservation o" t'e linear !o!entu! *ill be investigated on t*o sp'e sp'ere ress *'ic *'ic' ' coll collid ide e *it' *it' eac' eac' ot'e ot'err by t'e t'e e%pe e%peri ri!e !ent ntal al calc calcul ulat atio ions ns o" its velocities be"ore and a"ter t'e collision and t'e co!parison bet*een it. )'is *as !ade in t*o situations, in t'e "irst one t'e !asses *'ic' collide are e#uals, *'ile in t'e second one are di""erent, in bot' situation t'e initial velocity o" bot' sp'eres *as t'e sa!e, "or *'ic' a grap'ic analysis *as !ade. +ro! t'e previous procedure *as obtained t'at "or t'e t *o cases t'e !o!entu! is conserved and in t'e sa!e *ay t'e inetic energy "or t'at reason t'e collisions are elastic or close to be it, t'e results *ere later proven t'roug' t'e t'eory,

1 aybautistas-unal.edu.co

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Introducción

El !o!ento lineal, ta!bi&n conocido co!o cantidad de !ovi!iento o í!petu, es la tendencia de un cuerpo a ca!biar su estado de !ovi!iento. or !o!ento lineal se indica la inercia en !ovi!iento /10. +or!al!ente el í!petu de una partícula aislada se de"ine co!o el producto de su !asa !asa m por su velocidad v /0. or ser el producto de una cantidad escalar por una vectorial, es en sí !is!o un vector. 2saac 3e*ton "ue el pri!ero en introducir el concepto de !o!ento lineal, #uien en su obra Philosoph Philosophiæ iæ naturalis naturalis principia principia mathematic mathematica a lo utiliz con el "in de"inir su segunda ley de la !ec$nica. E%presado en la ter!inología !oderna la segunda ley de 3e*ton se lee así /04 “a ra!"n de cambio del ímpetu de un cuerpo es igual a la #uer!a resultante $ue act%a sobre el cuerpo & está en la direcci"n de esa #uer!a'

A partir de la de"inicin de !o!ento lineal, 3e*ton introdujo las bases para el estudio del !ovi!iento de los cuerpos. (e a'í su gran i!portancia en el desarrollo de la +ísica. En +ísica e%isten diversas leyes de conservacin, #ue "acilitan el estudio de objetos #ue siguen !ovi!ientos co!plejos. 5a cantidad de !ovi!iento sigue una ley de conservacin al igual #ue la energía. Esta ley proporciona in"or!acin sobre el !ovi!iento de las partículas antes y despu&s de una colisin, por esto es de vital i!portancia de"inirla y aplicarla en situaciones de la vida cotidiana. 5a ley de conservacin del !o!ento lineal establece #ue4 “Cuando la #uer!a e(terna neta $ue act%a sobre un sistema es cero, el vector del ímpetu total del sistema permanece constante'

Esto #uiere decir #ue cuando dos partículas colisionan, ejercen "uerzas grandes









el siste!a, el !o!ento lineal de las partículas antes de la colisin debe ser el !is!o #ue tienen despu&s de c'ocar. /0 Esta ley se cu!ple sin tener en cuenta la cantidad de objetos involucrados durante el !ovi!iento y es independiente del siste!a de re"erencia elegido /70. Esto #uiere deci decirr #ue #ue si dos dos o !$s !$s cuer cuerpo poss inte intera ract ct6a 6an, n, el !o!e !o!ent nto o line lineal al per! per!an anec ece e consta constante nte,, sie!pr sie!pre e #ue #ue solo solo act6a act6an n "uerza "uerzass intern internas as en &l o sean sean de!as de!asiad iado o grandes co!o para despreciar las de!$s "uerzas. 5a ley de la conservacin del !o!ento lineal es una de las 'erra!ientas !$s i!portantes en +ísica para el estudio de cuerpos #ue interact6an. Ade!$s per!ite conocer las velocidades de los objetos involucrados, y a partir de allí, establecer si el c'o#ue "ue el$stico o inel$stico, con el "in de deter!inar si la energía se conserva en el !ovi!iento. 5a "inalidad de esta pr$ctica "ue veri"icar la ley de conservacin del !o!ento lineal para un c'o#ue en dos di!ensiones de varios casos. Es decir, encontrar las relaciones #ue e%isten cuando los objetos #ue colisionan tienen igual !asa y cuando &stas son di"erentes. Ade!$s a partir de la ley de la conservacin del !o!ento lineal co!probar #ue las velocidades se !antienen constantes antes y desp despu& u&ss de la colis colisi in. n. )a!bi& !bi&n n esta establ blec ecer er las las di"e di"ere renc ncia iass porc porcen entu tual ales es de encontrar las velocidades por un !&todo gr$"ico o uno analítico.

2. Aspectos teóricos 2.1 !omento lineal

En la !ec$nica cl$sica el !o!ento lineal p es la cantidad de !ovi!iento de un objeto #ue se de"ine co!o el producto de la !asa y la velocidad de este/704 p=mv

819









En un siste!a cerrado cerrado en el cual las "uerzas "uerzas e%ternas e%ternas son : el !o!ento lineal lineal se conserva, es decir, el !o!ento per!anece constante en el tie!po/70. or tanto el !o!ento inicial pi ser igual #ue el !o!ento "inal pf . pi

;

pf

89 Y dada la ecuacin 819 #ue describe al !o!ento, se obtiene #ue4 ❑

mi v i=mf v f

879 (onde

mi , vi ,

mf

y

❑

v f

son las !asas !asas y veloc velocida idades des iniciale inicialess y "inale "inaless

respectiva!ente. 2.1 Colisión

En un siste!a cerrado, donde las "uerzas e%ternas son nulas, debido a la ley de la conservacin del !o!ento y por tanto, ta!bi&n el trabajo, se sabe #ue la energía cin&ti cin&tica ca inicia iniciall

k i

es e#uivale e#uivalente nte a la energía energía cin&tica cin&tica "inal "inal

k f

, es decir, la

energía cin&tica se conserva, de "or!a si!ilar el !o!ento total del siste!a se conservar$. Al tipo de colisin donde se encuentran estas condiciones se le lla!a c'o#ue el$stico /70, teniendo en cuenta #ue la energía cin&tica

k

se de"ine co!o

/>04 1

2

k = m v 2

879









estas condicion condiciones es y consta consta de  cuerpos, el pri!er cuerpo con !asa m) #ue se !ueve con una con velocidad inicial v ) #ue c'oca con el otro cuerpo de !asa m* #ue se encuentra en reposo es decir su velocidad inicial es :, se puede deducir #ue4 1 2

1

2

2 ' 2

1

2❑ ' 2

m1 v 1 = m1 v 1 + m2 v 2 2

2

8=9 (onde v )+ y v* + son las velocidades de m) y m* respectiva!ente respectiva!ente despu&s del c'o#ue. En el caso de este siste!a, dado #ue el cuerpo de !asa m* #ue #ue se encuentra en repos reposo, o, se tiene tiene ta!bi&n ta!bi&n por por la ecuacin ecuacin 819 #ue #ue el !o!ento !o!ento inicial inicial de m* es e#uivalente a cero y por lo tanto se tendr$ #ue4 ❑ '

'

m1 v 1=¿❑ m1 v 1 + m2 v 2

¿

8>9 En un caso particular de un c'o#ue el$stico donde m) y m* sean sean iguales, de la ecuacin 8=9 se obtendr$ #ue4 ❑ '

'

m❑ v 1=¿❑ m❑ v 1 + m❑ v 2

¿

8@9 Y de la ecuacin 8>9 #ue4 1 2

2

1

' 2

1

' 2❑

m v 1= m v 1 + m v 2 2

2

89 Al !ultiplicar a a!bos lados de la ecuacin 8@9 por 2

m

se obtienen las ecuaciones 89 y 8C94

1

m

y en la ecuacin 89 por









2 ' 2

2

' 2

v 1= v 1 + v 2

8C9 9 al dividir a a!bos lados de esta por m) se obtienen obtienen las las ecuaciones ecuaciones 81:9 y 81194 '

'

v 1= ¿❑ v 1+( m2 / m1 ) v 2

¿

81:9 2

2 ' 2

' 2

v 1= v 1 +( m 2 / m1 ) v 2

8119 (onde la razn m) m m* es una constante. 2.1.2 Cho"ue inel#stico

Dn c'o#ue inel$stico es una colisin en la #ue la energía cin&tica no se conserva constante pues esta se trans"or!a, debido a la e%istencia de "uerzas e%ternas sobre el siste!a en estudio /=0.
5a di"erencia porcentual es una "or!a de e%presar el error entre !edidas, de !anera #ue si se #uiere realizar realizar la co!paracin de dos datos tene!os #ue #ue /@04

| | ❑

%D=

x i

− x ❑ j ❑

x prom

%1::

819 ❑ ❑ (onde x i y x j son los datos de los cuales se re#uiere 'acer una co!paracin











$. Aspectos e&perimentales

?on el "in de veri"i veri"icar car la ley de conser conserva vaci cin n del !o!ent !o!ento o lineal lineal se analiza analiza un c'o#ue entre dos es"eras.








y sus sus desp despla laza za!i !ien ento toss 'oriz 'orizon onta tale less son son prop propor orci cion onal ales es a las las velo veloci cida dade dess 'orizontales !encionadas pues estos se de"inen co!o4 x =v cos θ , y dado #ue el $ngulo con el #ue es lanzado es :, entonces se puede a"ir!ar #ue el desplaza!iento 'orizontal 'orizontal en este e%peri!ento e%peri!ento !ide directa!ente directa!ente la velocidad. velocidad. A continuacin se describe el procedi!iento e!pleado para cada caso. I . %eterminación de la velocidad de la esfera incidente

ara conocer la velocidad de la es"era incidente antes del c'o#ue, se realiza el procedi!iento solo con la es"era m) -.,/ g0 ri!ero se localiza el punto justo donde la es"era incidente abandona el canal con ayuda de la plo!ada. osterior!ente se deja caer la es"era desde la parte superior del canal, de tal "or!a #ue deje un punto en el papel, el cual representa el alcance 'orizontal. 5uego para deter!inar un punto pro!edio, se repite el proceso diez veces !anteniendo el siste!a constante. II. Cho"ue de dos esferas de masas i'uales

En este caso se realiza el c'o#ue de dos es"eras de !asas iguales m) -.,/ g y m* -.,/ g0 ara #ue la colisin sea pti!a deben cu!plirse cuatro condiciones4

1. El !ontaje !ontaje e%peri!e e%peri!ental ntal debe debe ser co!o co!o el !ostrado !ostrado en la la +igura . .








. El c'o#ue c'o#ue no debe debe ser "rontal, "rontal, debe debe "or!arse "or!arse un $ngulo $ngulo entre entre las dos es"eras. Esto con el "in de #ue las es"eras salgan en direcciones distintas a la #ue traía la es"era incidente. i ncidente. Esta condicin se evidencia en la +igura 7. 7. ara evitar evitar posibles posibles perturb perturbacion aciones es por rebote rebote de la es"era es"era incide incidente nte y el canal, debe to!arse una distancia de .> veces el radio de la es"era blanco. la situacin se presenta en la +igura 7.

+igura 7 8tec'o94 El c'o#ue debe ser lateral. 5a distancia entre el eje del tornillo y el canal debe ser de ,> veces el radio de la es"era blanco.

=. 5a !is!a !is!a colisin colisin debe debe ser repetida repetida diez diez veces, veces, por lo tanto tanto el tornillo tornillo debe #uedar "ir!e y el siste!a debe per!anecer invariante. 2gual #ue en la parte 2 del e%peri!ento se realiza diez veces la colisin con el "in de 'allar un punto pro!edio para cada es"era.








4. Resultados ( An#lisis I. %eterminación de la velocidad de la esfera incidente

ara ara deter! deter!ina inarr la veloc velocida idad d de la es"era es"era incident incidente e de !asa !asa m)-.,/ g, &sta "ue lanzada diez veces desde la parte superior del canal, de !anera #ue al caer !arcar$ un punto sobre el papel blanco, el cual representa su alcance 'orizontal.
%irección *Rad

7.7

1.>

7@.

1.>=

7>.=

1.>=

7@.

1.>=

7.1

1.>>









II. Cho"ue de dos esferas de masas i'uales

ara este caso se analiz el c'o#ue de la es"era incidente de la parte 2 del e%peri!ento, con otra es"era de la !is!a !asa 8 m)-.0/g-m* 9. 9. ara encontrar la velocidad de las es"eras despu&s del c'o#ue, se lanz la es"era incidente desde la parte superior del canal de !anera tal #ue colisionara con la es"era #ue estaba en reposo al "inal de &ste.
%irección *Rad

1.=

.17

11.C

.1@

1.=

.1@

11.C

.1C

11.

.

11.>

.7











)abla 7. Felocidad de la es"era blanco en una colisin de !asas iguales. )elocidad de m2 * masa+,.- /sfera blanco !a'nitud *cm

%irección *Rad

71.1

1.:

71.>

1.C

7.

1.@

7:.=

1.=

7:.@

1.=

71.

1.=

7.>

1.=

7.

1.

7=.:

1.=

77.>

1.

!a'nitud promedio *cm

7.1

%irección promedio *Rad

1.=









+igura =. Representacin gr$"ica de las velocidades un c'o#ue con !asas iguales.

v1 ,

Hr$"ica!ente se puede evidenciar #ue el vector su!a velocidades v ' y v ' 1

2

' v1 ,

'

v1 G

' v 2 y

'

v2

' v1 G

' v 2 en

de las

despu&s del c'o#ue es apro%i!ada!ente el vector v

1

de la velocidad de la es"era antes del c'o#ue. ?on el "in de co!parar las velocidades obtenidas e%peri!ental!ente de la es"era









Hracia Hraciass a estos estos resulta resultados dos es posible posible a"ir!ar a"ir!ar #ue la ley de conserv conservaci acin n del !o!ento lineal se conserv durante la colisin de dos es"eras de !asas igualesJ ya #ue co!o la tabla = !uestra, el error deter!inado "ue pe#ueKo. Ade!$s el $ngulo "or!ado entre los vectores

v1

y

'

v1

G

'

v2

es

α =2.6 °

, &ste representa la

di"erencia entre los dos vectores. Ltro objetivo "ue el de veri"icar si la energía cin&tica se conserva durante el c'o#ue, es decir, el de analizar si las colisiones "ueron el$sticas. ara este "in se e!ple la ecuacin 89 la cual relaciona la energía cin&tica de cada es"era antes y despu&s del c'o#ue. ara el caso de !asas iguales la ecuacin 8C9 "ue la #ue se analiz. 5os resultados se pueden observar en la tabla >. )abla >.









ara este caso se analiza el c'o#ue de la es"era incidente de la parte 2 del e%peri!ento, con una es"era de di"erente !asa. 5a es"era incidente tiene !asa y la es"era blanco, #ue en este caso es la de !enor !asa m* -1,2 m)-.,/ g y -1,2 g0 ara encontrar la velocidad de las es"eras despu&s del c'o#ue, se realizaron 1: colisione colisiones. s. (e la !is!a !anera #ue en la parte 2 y 22 del e%peri!ento, e%peri!ento, la !agnitud de la velocidad de cada una de las es"eras estaba representada por la longitud del vector "or!ado, y la direccin se 'all !idiendo el $ngulo "or!ado por cada vector con respecto al origen. 5os resultados se observan en las tablas  y . )abla )abla . Felocidad de la es"era incidente en una colisin de !asas di"erentes. )elocidad de m1 * masa+,.- /sfera incidente !a'nitud *cm

%irección *Rad

1.>

.11

17.1

.1

1=.=

.









)elocidad de m2 *masa+5.$' /sfera blanco !a'nitud *cm

%irección *Rad

=.:

1.C

==.

1.71

=>.7

1.77

=>.

1.77

=>.C

1.71

=@.

1.C

[email protected]

1.C

[email protected]

1.71

=@.@

1.C

=@.

1.77

!a'nitud promedio *cm

=@.

%irección promedio *Rad

1.71











!o!ento lineal, el vector su!a

'

v1 G

'

v2

debe ser igual a la velocidad de la

es"era antes del c'o#ue v , sin e!bargo dado #ue las !asas #ue c'ocan son 1

di"erentes, di"erentes, la velocidad velocidad

'

v2

se !ultipl !ultiplica ica por la razn razn m) m* de !anera #ue se

satis"aga las ecuaciones 81:9 y 8119









!agnitudes encontradas v y 1

' G v(

'

v1

2

m2 m1

) por !edio de la ecuacin 819. 5os

resultados se !uestran en la tabla C.

)abla C. (i"erencia porcentual entre

v1 y

' v G v ( '

1

2

m2 m1

)

Adicional!ente se !idi e%peri!ental!ente e%peri!ental!ente el $ngulo "or!ado por los dos vectores vectores v1

→

Ingulo entre

'

θ= 88.6 °

v

y

v1 G

'

G

'

→

α =4.6 °

'

v2

→

ω =84 °









osterior!ente se calcul la di"erencia porcentual entre los dos resultados 'aciendo uso de la ecuacin 819, con el "in de analizar la validez de la ecuacin 81:9. 5os resultados se !uestran en la tabla 11. )abla 11. (i"erencia porcentual entre

2

v 1❑ y

2 ' 2

2 ' 2

v 1 +v 2









?on base en estos datos y teniendo en cuenta #ue la di"erencia porcentual entre las ❑ !agnitudes de la velocidad inicial v y el vector su!a de las velocidades v ' y 1

'

v2

1

para la pri!era parte con !asas iguales no era de!asiado grande, y de igual

!anera para la segunda parte, donde la colisin "ue entre !asas di"erentes y la di"erencia porcentual entre la !agnitud de la velocidad inicial vector su!a de las velocidades

'

v1

v1

y la !agnitud del

y v ' !ultiplicada por la razn 8 m* m)9 "ue 2

un un poco !$s grande grande #ue en el caso anterior, anterior, se observ en los dos dos casos #ue el í!petu í!petu se conserva, conserva, antes y despu&s despu&s del c'o#ue, c'o#ue, sin e!bargo e!bargo al analizar analizar si los c'o#ues "ueron o no el$sticos, se lleg a la conclusin de #ue las !ediciones realizadas no son su"icientes para a"ir!ar con e%actitud si el c'o#ue es el$stico, ya #ue dada la di"erencia porcentual encontrada entre las velocidades no es posible a"ir!ar la ine%istencia de p&rdida de energía.









/=0 M. 5ondoKo. 2ntroduccin a la !ec$nica, Dniversidad 3acional de ?olo!bia, pri!era edicin 8::79 p. 711O717 711O717 />0 M. Hoicolea. ?urso de !ec$nica, volu!en 2 y 22,DM, ?ap. @., :11, :11, p @.C /@0 A. Huerrero, M. (íaz, 2ntroduccin de errores en la !edicin, 2nstituto )ecnolgico ecnolgico Metropolitano, pri!era edicin 8::9 p. 1O1C.

Conservación Del Momento Lineal

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