ESPACIOS MUESTRALES 1.- Una moneda se lanza una vez, indique el espacio muestral para este experimento aleatorio. Solución: c = cara Ω = {c, a}
Donde:
2
Ω
S = sello = {{c}, {s}, Ω, ф}
2.- Una moneda se lanza dos veces. ¿Cual es su espacio muestral? Solución: Ω = {cc, cs, sc, ss}
Nota: Lanzar la moneda dos veces es equivalente a lanzar dos monedas una sola vez. En general si una moneda se tira n veces, entonces el espacio muestral tendrá 2n eventos elementales.
3.- Un dado tiene el numero 1 en tres de sus caras, el numero 2, en dos de ellas, y el numero 3 en la cara restante. Se hace un lanzamiento del dado ¿Cuál es el espacio muestral? Solución: Ω = {1, 2, 3} 4.- Se hizo un lanzamiento de tres monedas no sesgadas, escribe el espacio muestral para este experimento. experimento. Solución: Ω = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} 5.- Se va a seleccionar un comité de tres miembros, a partir de un grupo de cinco personas A, B, C, D y E. Defina un espacio muestral para este experimento. experimento. Solución:
1) Usando la teoría combinatoria veamos ¿Cuántos eventos elementales tendrá el espacio muestral? Como existen 5 personas y el comité deberá estar integrado por 3 miembros, entonces: n(Ω) = C35 = = = 10 2) El número de elementos que tendrá el espacio muestral es 10 y el espacio muestral será: Ω = {ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE,
CDE}
6.- Dos objetos A y B se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Defina un espacio muestral adecuado para este experimento. Solución:
OBJETOS
CELDAS
A
1
B
2 3
Combinando adecuadamente los objetos A y B con los números 1, 2 y 3 como subíndices, obtenemos: Ω = {A1B2, A1B3, B1A2, B1A3, A2B1, A2B3, B2A1, B2A3, A3B1, A3B2, B3A1, B3A2} Como vemos, el espacio muestral tiene 12 eventos elementales. Donde: A1B2 significa: A esta en la celda 1 y B en la celda 2. B3A2 significa: B esta en la celda 3 y A en la celda 2, etc. 7.- Los artículos provenientes de la línea de producción se clasifican en defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continua hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos, cualesquiera ocurra primero. Describir un espacio muestral para este experimento. Solución: Ω = {DD, NDD, DNDD, DNDN, DNND, DNNN, NDND, NDNN, NNDD, NNDN,
NNND, NNNN}
8.- Una caja con N bombillas tiene r(r
Tenemos:
r bombillas con filamentos rotos (defectuosos) N – r bombillas con filamentos sanos. Supongamos que A es el evento que al probar una bombilla resulta ser con filamento sano, entonces A’ será el evento que al probar una bombilla resulta ser defectuoso, entonces el espacio muestral será: Ω = {A’, AA’, AAA’, AAAA’,… , AAA A AA … AA’ } N-r
9.- Supongamos que las bombillas anteriores se prueban una por una, hasta que se prueban todas las defectuosas. Describir el espacio muestral para este experimento. experimento. Solución: Ω = {A’A’A’ … A’, A A’A’A’ … A’, A’A A’A’… A’ … ETC } r
r
r
10.- En el periodo de 24 horas, en un momento X, un interruptor se pone en la posición “encendido”. Posteriormente, en un momento Y (todavía en el mismo periodo de 24 horas) el interruptor se pone en la posición de “apagado”. Supóngase que X y Y se miden e n horas en el eje tiempo con el comienzo del periodo como origen. El resultado del experimento consta del par de números (X, Y).
(a) Describa el espacio muestral. (b) Describa y dibuje los siguientes s iguientes sucesos en el plano XY. i. El circuito funciona durante una hora o menos. ii. El circuito funciona en el tiempo Z en donde Z es algún intervalo durante el periodo dado de 24 horas.
iii. El circuito empieza a funcionar antes del tiempo t1 y deja de funcionar después del tiempo t2 (en donde otra vez t1 < t2 son dos intervalos de tiempo durante el periodo especificado). iv. El circuito funciona el doble de lo que será interrumpido. Solución: (a) Ω = {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 24}, aquí estamos suponiendo que “x” horas de encendido es menor que “y” horas de apagado.
11.- Sean A, B, y C tres sucesos asociados con un experimento. Exprese las siguientes proporciones verbales en notación de conjuntos.
(a) Al menos uno de los sucesos ocurre. (b) Exactamente uno de los sucesos ocurre. (c) Exactamente dos de los sucesos ocurren. (d) No ocurren más de dos sucesos simultáneamente.
Solución:
(a) A U B U C
(b) AB’C’ + BA’C’ + CA’B’
Nota: El signo + significa unión de conjuntos disjuntos y la multiplicación de dos conjuntos significara la intersección de eventos. (c) ABC’ + ACB’ + BCA’ (d) A’B’C’ + AB’C’ + BA’C’ + CA’B’ + ABC’ + ACB’ + BCA’ Del ejercicio 12 al 14 son demostraciones aritméticas. 15.- Cierto tipo de motos eléctrico falla por obstrucción de los cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Supóngase que la probabilidad de la obstrucción es el doble de la combustión, la cual es 4 veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de esos tres mecanismos? Solución:
Sean los eventos: A= falla por obstrucción, donde P(A) = x B= falla por combustión, donde P(B) = y C= falla por desgaste de las escobillas, donde P(C) = z Las relaciones entre las probabilidades A, B y C son: P(A) = 2P(B) y P(B) = 4P(C) … (1)
Se pide hallar P(A), P(B) y P(C) Veamos: De las relaciones en (1) obtenemos: x = 2y ᶺ y = 4z Pero: P(A) + P(B) + P(C) = 1 8z + 4z + z = 1 13z = 1 z = En consecuencia x = ; y =
x = 2(4z) = 8z
16.- En una habitación se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21, 4 hombres menores de 21, 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeres menores de 21. Se elige a una persona al azar, se definen los sucesos siguientes: A = {la persona es mayor de 21}; B = {la persona es menor de 21}; C = {la persona es hombre}; D = {la persona es mujer}. Evaluar las siguientes: (a) P(BUD) (b) P(AUC) Solución: 4 5 21
Tenemos:
5 hombres mayores de 21 4 hombres menores de 21 6 hombres mayores de 21 3 hombres menores de 21
H M 3
6
Al elegir una persona, esta puede ser un hombre o una mujer: = Si resulta hombre, la probabilidad es P(H) = Si resulta mujer, la probabilidad es P(M) = = Además: = , P(A) = P(B) = = ,
= P(C) = P(C) = =
Luego: (a) P(BUD) = P(B) + P(D) – P(B∩D) + - = = (b) P(AUC) = P(A) + P(C) – P(A∩C) + - = = = 17.- En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números de las insignias. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el numero menor de las insignias sea 5? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el numero mayor de las insignias sea 5? Solución:
(a) Las insignias numeradas son A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Si se eligen tres números de este conjunto, entonces el espacio muestral tendrá
= 120 elementos. Ahora, si de los tres números elegidos C103 = deseamos que el menor de los tres sea el numero 5 tenemos que el 5 es el menor entre los elementos del conjunto B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Los subconjuntos de 3 elementos de B en los que el numero 5 es menor son: {5, 6, 7}; {5, 6, 8}; {5, 6, 9}; {5, 6, 10}; {5, 7, 8}; {5, 7, 9}; {5, 7, 10}; {5, 8, 9}; {5, 8, 10}; {5, 9, 10}
= Luego, la probabilidad pedida es: p = (b) El 5 es el mayor entre los elementos del conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5} Si escogemos 3 elementos de E en los cuales aparezca el 5 obtendremos los subconjuntos: {1, 2, 5}; {1, 3, 5}; {1, 4, 5}; {2, 3, 5}; {2, 4, 5}; {3, 4, 5} = Luego: La probabilidad pedida es: p = 18.- Un cargamento de 1500 lavadoras contiene 400 defectuosas y 1100 no defectuosas. Se eligen al azar doscientas lavadoras (sin sustitución) y se clasifican. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 artículos defectuosos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentren al menos 2 artículos defectuosos? Solución:
(a) PASO 1: Si se eligen al azar doscientas lavadoras (sin sustitución) de las 1500 existentes, entonces el numero de elementos que tendrá el espacio muestral será la combinación de 1500 tomadas de 200 en 200, es decir: n(Ω) =
PASO 2: La probabilidad de que se encuentran exactamente 90 artículos será:
P =
(b) Sea X: numero de artículos defectuosos. Se pide hallar P(x=2) Pero: P(x≥2) = 1 - P(x<2) = 1 - [P(x=0) + P(x=1)]
( )( ) = 1 – ( )
( )( ) ( )
19.- Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (x,y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad que x + y = 10?
PASO 1: Si se sacan 2 fichas de 10, sin sustitución, entonces el espacio
= 45 elementos. muestral tendrá (102) = PASO 2: De las dos fichas que se sacan, deseamos que la suma de ambas fichas sea 10. Estas fichas serán necesariamente las parejas {(1,9); (2,8); (3,7); (4,6)} =B
NOTA: En este experimento aleatorio, se tiene que: la pareja (1,9) significa que al sacar la 1ra. Ficha obtenemos 1 y al sacar la 2da. Obtenemos 9 que será lo mismo que 1ro. Salga 9 y después 1; puesto que en cualquiera de los dos casos la suma es 10. En consecuencia en este caso no admitimos que la pareja (1,9) sea diferente a la pareja (9,1) PASO 3: Luego, la probabilidad pedida será: P =
20.- Un lote consta de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: (a) No tenga defectos. (b) No tenga un defecto grave. (c) Que sea bueno o que tenga un defecto grave. Solución: PASO1: Sean los eventos:
A = {artículos buenos}, donde n(A) = 10 B = {artículos con pequeños defectos}, donde n(B) = 4 C = {artículos con defectos graves} donde n(C) = 2 PASO 2: El total de artículos es 10 + 4 + 2 = 16 PASO 3: Las probabilidades pedidas son:
(a) P(A) = = (b) P(C’) = 1 – P(C) = 1 - = = (c) P(A o C) = P(A) + P(C) = = = =
21.- Si del mismo lote de artículos descrito en el problema 20 se escogen dos artículos (sin sustitución) encuentre la probabilidad de que:
(a) ambos sean buenos (b) ambos tengan defectos graves (c) por lo menos uno sea bueno (d) a lo más uno sea bueno (e) exactamente uno sea bueno (f) ninguno tenga efectos graves (g) ninguno sea bueno Solución: PASO 1: Sean los elementos:
A: artículos bueno B: articulo con pequeños defectos C: artículos con defectos graves PASO 2: Se escogen dos artículos, sin sustitución de 16 existentes. PASO 3: Las probabilidades pedidas serán: (a) P(AA) = P(A) . P(A/A) = * =
(b) P(CC) = P(C) P(C/C) *= = (c) P(AB+BA+AC+CA+AA) =P(AB) + P(BA) + P(AC) + P(CA) + P(AA) + * + * + * + * = * = = (d) P (a lo mas uno sea bueno) = P(AB + BA +AC + CA +A’A’) = 0,1 = P(AB) + P(BA) + P(AC) + P(CA) + P(A’A)
+ * + * + * + * = * = = (e) P (exactamente uno sea bueno) = P (AB + BA + AC + CA) = P(AB) + P(BA) + P(AC) + P(CA) + * + * + * = * = = (f) P (ninguno tenga defectos graves) = P (C’C’) = = = * (g) P (ninguno sea bueno) = P (A’A’) * = = =
22. Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5 líneas de armado, en la segunda hay 4 y en la tercera hay 6. ¿De cuantas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado? Solución:
Sean los eventos: En la primera etapa hay 5 líneas de armado: A = {A1, A2,…, A5} En la primera etapa hay 4 líneas de armado: B = {B1, B2,…, B4} En la primera etapa hay 6 líneas de armado: C = {C1, C2,…, C6}
Se pide el número de elementos que tiene el conjunto: AxBxC = {(A1, B1, C1),…, (A5, B4, C6)} *card = cardinal Donde: card(AxBxC) = 5 x 4 x 6 = 120 23.- Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuantas maneras puede hacerlo? Solución:
En la visita a las seis maquinas tiene que ver el orden, consecuencia se trata de permutar, entonces la solución es: 6! = 1x2x3x4x5x6 = 720 24.- Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en tres partes, ¿de cuantas maneras puede suceder? Solución:
Se trata de combinar 15 elementos tomando de 3 en tres, luego la solución será:
= = 455 (153) =
25.- Hay 12 maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y 10 maneras de las cuales pueden tener un defecto mayor. ¿De cuantas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? ¿2 defectos menores y 2 defectos mayores? Solución:
Sean: A: la manera que un artículo tenga un pequeño defecto. B: la manera que un artículo tenga un defecto mayor. a) El número de maneras que pueda ocurrir un defecto menor y uno mayor, será 12 x 10 = 120 b) El número de maneras que pueda ocurrir 2 defectos menores y 2 defectos mayores, será el producto de las combinaciones: x = 2970 (122) (102) = 26.- De 400 alumnos ingresantes, 50 llevan cursos de inglés, filosofía y zoología; 160 de inglés y filosofía; 100 de inglés y zoología; 60 de filosofía y zoología; 300 cursa inglés; 140 zoología y 210 filosofía. a) ¿Cuántos estudiantes no cursan inglés, filosofía ni zoología? b) ¿Cuántos estudiantes cursan ingles pero no filosofía ni zoología? c) ¿Cuántos estudiantes cursan inglés o filosofía pero no zoología? Solución:
PASO 1: Emplear un esquema de Venn: I: alumnos que estudian ingles donde: card(I) = 300 F: alumnos que estudian filosofía donde: card(F) = 210 Z: alumnos que estudian zoología donde: card(Z) = 140 card (IFZ) = 50 card (IF) = 160 card (IZ) = 100 card (FZ) = 60 card (Ω) = 400 PASO 2: La respuesta será:
NOTA:
IFZ = I ∩ F ∩ Z ; IF = I ∩ F ; etc.
= card(Ω) – card(I U F U Z) = 400 – (90+50+50+110+10+40+30) = 400 – 380 = 20
a) card(I’F’Z’) = card(I U F U Z)
b) card(I ∩ F’ ∩Z’ ) = 90 c) card((I U F) ∩ Z’ ) = 90 + 110 + 40 = 240
24.- En un puesto de inspección el 1% de los carros investigados tuvieron malos freos, malos faros y causaron demasiada contaminación; 19% produjeron demasiada contaminación; 14% tuvieron malos freos; 5% tuvieron mal los frenos y los faros delanteros; 3% tuvieron faros malos y causaron contaminación; 16% tuvieron faros malos y 3% frenos malos y causaron contaminación. a) ¿Qué porcentaje tienen mal los frenos, los faros (o ambos)? b) ¿Qué probabilidad tuvieron mal los frenos o los faros pero no ambos?
Solución:
PASO 1: Sean los eventos: A: carros que tienen malos frenos B: carros que tienen malos faros C: carros que causan demasiada contaminación Donde: P(ABC) = 0.01, P(C) = 0.19, P(A) = 0.14, P(AB) = 0.05, P(BC) = 0.03, P(B) 0.16, P(AC) = 0.03 PASO 2: Ubicando estos datos en el esquema de Venn, sería: PASO 3: La solución es: a) P(AUB) = 7 + 4 + 1 +2 +9 + 2 = 25% También se puede calcular del modo siguiente: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.14 + 0.16 – 0.05 = 0.25 b) P((AUB)∩(A∩B)’) = (7 + 2) + (9 + 2) = 20% También se puede calcular del modo siguiente: P(A∩B’ + B∩A’) = (7 + 2) + (9 + 2) = 20% = 0.20 28.- Un analista de Mercado afirma que las probbilidades de que las acciones de la compañia meyer suban mas de cinco puntos permanezcan igual (dentro de cinco puntos) o bajen mas de 5 puntos este año son 0.45, 0.24 y 0.31, respectivamente. Un seundo analista afirma que estas probabilidades son 0.47, 0.27 y 0.29; y un tercero dice que son 0.40, 0.27 y 0.35 respectivamente. Comentese acerca de estas afirmaciones. Solucion:
Veamos las probabilidades de cada analista: Del 1° : 0.45 + 0.24 + 0.31 = 1.00 2° : 0.47 + 0.27 + 0.29 = 1.03 3° : 0.40 + 0.27 + 0.35 = 1.02 RESPUESTA: Solo la afirmación del 1er analista es verdadera porque las probabilidades suman uno puesto que la suma de las probabilidades no debe ser mayor que esta. 29.- La Compañía de Computadoras WANG elabora 10 000 unidades por semana. Cada unidad pasa por tres puestos de inspección A, B y C antes de ser embarcada. En el puesto A se rechazaran 2 por 100; de las restantes, 5 por 100 se rechazan en el puesto B, y por ultimo en el puesto C se rechazan aproximadamente 1 por 100. Diga cual es la probabilidad de que una unidad tomada al azar pase las tres inspecciones. Solucion:
PASO 1: Sean los eventos: = 0.02 A: Una unidad al pasar por el punto A es rechazada, con P(A) = = 0.05 B: Una unidad al pasar por el punto B es rechazada, con P(B) = = 0.01 C: Una unidad al pasar por el punto C es rechazada, con P(C) =
PASO 2: Si A es rechazar Si B es rechazar Si C es rechazar
Lo que se pide es calcular P(A’ ∩B’ ∩C)
A’ será pasar B’ será pasar C’ será pasar
PASO 3:
Como los eventos A, B y C son independientes, entonces A’,B’ y C’ también
lo son:
P(A’ ∩B’ ∩C’) = P(A’) P(B’) P(C’) = (1 – 0.02)(1 – 0.05)(1 – 0.01)
= (0.98)(0.95)(0.99) = 0.92
30.- Un medico descubre que la probabilidad es 0.60 de que los pacientes con el síntoma A tengan tuberculosis y que hay probabilidad de 0.50 de que quienes tienen síntomas B sufra la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que quienes presenta el síntoma A o B tengan tuberculosis? Solucion:
PASO 1: Según datos tenemos: P(A) = 0.60, donde A es el evento con el síntoma A. P(B) = 0.50, donde B es el evento con el síntoma B. Se pide calcular P(AUB) PASO 2: Pero P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Luego P(AUB) = 0.60 + 0.50 - P(A∩B) = 1.10 - P(A∩B) Pero P(A∩B) no se da en el problema, en consecuencia no se puede resolver. 31.- El Sr. Juan Perez y Sra. Viven en Lima. La probabilidad de que el Sr. Juan Perez vaya a Trujillo el 31 de diciembre es de 0.2; la probabildad de que la Sra. De Juan Perez vaya es de 0.1; la probabilidad de que el Sr. Juan Perez vaya; a codicio de que tambie vaya la Sra., es 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Tanto el Sr. con la Sra. vayan a Trujillo el 31 de diciembre? b) Por lo menos uno de ellos vaya a Trujillo el 31 de diciembre? a) Que ni el Sr. ni la Sra. vayan a Trujillo el 31 de diciembre? Solucion:
PASO 1: Sean los eventos: Donde:
A: El Sr. Juan Perez va a Trujillo B: La Sra. De Juan Perez va a Trujillo
P(A) = 0.2 P(B) = 0.1 P(C) = 0.3 Se pide hallar: a) P(A∩B) b) P(AUB)
c) P(A’ ∩B’)
PASO 2: a) Pero: A∩B = B∩A Ademas P(B∩A) = P(B) P(A/B) = (0.1)(0.3) = 0.03
b) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.2 + 0. – 0.03 = 0.27 c) Por la ley de Moran se tiene que A’ ∩B’ = (AUB) Luego P(A’ ∩B’) = P((AUB)’) = 1 - P(AUB) = 1 - 0.27 = 0.73 32.- Una bolsa contiene cuatro pelotas rojas y seis blancas. Las pelotas se sacan al azar; CR significa con reposicion, SR significa sin reposicion. Llene las cuatro columnas que siguen: Se sacan 2 pelotas
Se sacan 3 pelotas
CR
SR
CR
SR
P(ninguna es blanca) = P(x=0)
4/25
2/15
8/125
1/30
P(exactamente 1 es blanca) = P(x=1)
12/25
24/45
36/125
3/10
P(exactamente 2 son blancas) = P(x=2)
9/25
1/3
54/125
1/2
27/125
1/6
P(exactamente 3 son blancas) = P(x=3)
x:numero de pelotas blancas La solución se obtuvo del modo siguiente: Si se sacan 2 pelotas:
a)
b)
c)
Si se sacan 3 pelotas:
a)
b)
c)
d)
SR: P(x=0) = = = )0()2 = CR: P(x=0) = C20 ( SR: P(x=1) = = CR: P(x=1) = C21 ()() = SR: P(x=2) = = = CR: P(x=2) = C22 ()2()0 = SR: P(x=0) = = = CR: P(x=0) = C30 ()0()3 = SR: P(x=1) = = = CR: P(x=1) = C31 ()()2 = SR: P(x=2) = = = CR: P(x=2) = C32 ()2() = SR: P(x=3) = = = CR: P(x=3) = C32 ()3()0 =
Observacion: 1.- Cuando la extraccio es sin repetición, es una distribución HIPERGEOMÉTRICA. 2.- Otra manera de resolver, sin usar la teoría combinatoria, sería:
1er. caso: Extraer 2 bolas sin reposicion: a) P(x=0) = P(B’ B’) = * = b) P(x=1) = P(BR+RB) = P(BR) + P(RB) * + * = = c) P(x=2) = P(BB) = * = Donde B: es blanca, B’: no es blanca = R R: es roja 2do. caso: Extraer 2 bolas con reposicion: a) P(x=0) = P(B’ B’) = * = b) P(x=1) = P(BR+RB) = P(BR) + P(RB) * + * = = c) P(x=2) = P(BB) = * = Del mismo modo, se puede hacer cuando se hacen 3 extracciones. Solo deberá tenerse en cuenta que, en el proceso de extracción, el ORDEN es muy importante. Por ejemplo, si en la primera extracción es blanca y en la segunda es roja, no es igual que en la primera extracción sea roja y en la segunda blanca; es decir: BR ≠ RB 33.- La urna 1 contiene “x” esferas blancas e “y” rojas. La urna 2 contiene “z” esferas blancas y “v” rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta esfera sea blanca? Solucion:
Sean los eventos: B: bola blanca al extraer R: bola roja al extraer Al hacer una extracción de la urna 1 puede ocurrir que sea bola blanca o bola roja, lo mismo, al extraer de la urna 2 puede ocurrir que sea bola blanca o bola roja. En términos de probabilidad sera: P(la esfera blanca)= P(B1B2 + R2R2) = P(B1B2) + P(R1B2)
) ( ) + ( ) ( ) = (
Donde: B1 B2 : bola blanca en la urna 1 y bola blanca en la urna 2 R1 R2 : bola roja en la urna 1 y bola roja en la urna 2 El signo “+” es “o” (unión de eventos disjuntos)
34.- Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos. Los tubos se prueban, uno por uno, hasta encontrar los defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la segunda prueba? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la tercera prueba? c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la cuarta prueba?
d) Agregue los números obtenidos anteriormente en a, b y c. Comente el resultado. Solucion:
Sean los eventos
El experimento consiste en extraer, uno por uno, hasta encontrar los defectuosos. a) P(DD) = * = b) P(BDD + DBD) = * * + * * c) P(BBDD + BDBD + DBBD) = * * * + * * * + * * * = * * * d) Si agreamos el numero de tubos y queremos hallar probabilidades anteriores, entonces el numero de combinaciones y eventos es sorprendentemente grande. En dicho caso se recurre al uso de la teoría combinatoria y a las distribuciones de probabilidades conocidas tales como la distribución hipergeometrica y la distribución binomial. 35.- Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno? Solucion:
Fijémonos en el sazonamiento siguiente: Sacar 2 a la vez, es lo mismo que sacar uno por uno hasta completar las 2 extracciones. Obtenemos que la extracción es uno por uno. Pues bien, si al sacar la primera resulta tubo bueno; entonces en la caja solo quedaran 5 buenos y 4 malos por lo tanto ¿Cuál es la probabilidad de que al hacer una extracción resulte bueno, sabiendo que en la caja quedaron 5 buenos y 4 malos? = P = 36.- Probar que el A y B son sucesos independientes, también lo son A y B, y B, y .
Demostración 1) Por hipótesis, si A y B, son sucesos independientes, entonces se cumple la igualdad P(A∩B) = (P(A) P(B) 2) Para afirmar que A y son independientes, debo demostrar que P(A )) = P(A) P( ) Veamos I. Por una propiedad conjuntista se tiene que: A = AB + A P(A) = P(A ) + P(A )…. (*) II. Pero P(AB) = P(A) P(B) Por hipótesis III. Sustituir en (x): P(A) = P(A) P(B) + p(A )
P(A ) = P(A) – P(A) P(B) = P(A) – 1-P(B) = P(A) P( ), Luego A y son sucesos independientes. 3) Si y B son sucesos independientes debo demostrar que P( B) = P( ) P(B) Queda como ejercicio. 4) Para afirmar que y son independientes, debo demostrar que P( ) = P( ) P( ) I. Por ley de De Morgan se sabe que: = ( ) II. P( ) = P( ) = 1 - P(A B) = 1 - P(A) + P(B) – P(AB) = 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B) = P (A) – P(B) 1- P(A) = P( ) – P(B) P( ) = P( ) 1- P(B) = P( ) P( )
̅ ̅
37.- En las figuras (a) y (b) se supone que la probabilidad de que cada relé este cerrado es p y nada relé se abre o se cierra independientemente de cualquier otro. Encontrar en cada caso la probabilidad de que la corriente pase de I a D.
SOLUCIÓN DE (a): Paso 1. Sea Ai el suceso que representa (rele i cerrado) i = 1,2,3,4,5 sea E el suceso que representa (la corriente pasa de I a D) Por tanto: E = (A 1A2) (A1A3A5) (A4A5) (A4A3A2) Paso 2. Luego (E)=P(A1A2)P(A1A3A5)P(A4A5)P(A4A3A2)-P(A1A2A3A5) -P(A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3)-P(A1A3A5A4)-P(A1A3A5A4A2) -P(A4A5A3A2)P(A1A2A3A5A4)P(A1A2A3A5A4) P(A1A2A4A5A3)P(A1A3A5A4A2)-P(A1A2A3A5A4) =P2P3P2P3-P4-P4-P4-P4-P5-P4P5P5P5P5-P5 =2P2 2P3 - 5P4 2P5 La solución de (b) es: P 3P2 - 4P3 – P4 3P5 – P6
38.- En una ciudad se publica los periódicos A,B y C. una encuesta recuente de lectores indica lo sigte.: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5 % lee A y C, 2% lee solo B y B, y 2% lee A,B y C. para un adulto escogido al azar, calcular la probabilidad de que (a) no lea ninguno de los periódicos (b) lea exactamente uno de los periódicos (c) lea al menos A y B si se sabe que lee al menos uno de los periódicos publicados.
Solución:
Paso 1. Según datos tenemos: P(A) = 0.20 P(A∩B) = 0.05 P(B) = 0.16 P(A∩C) = 0.05 P(C) = 0.14 P(B∩C∩A-) = 0.02 P(A∩B∩C) = 0.02 Se pide calcular a) P(A-B-C-) b) P(AB-C- + BA-C- + CA-B-) c) P(A∩B/A B C) Paso 2. Por ley de De Morgan se tiene A-B-C- = tomemos probabilidad en esta igualdad: a) P(A-B-C-) = P = 1- P(A B C) = 1- (0.20 + 0.08 + 0.07) = 1- 0.35 = 0.65 = 65% Paso 3. Mirando el diagrama podemos hallar fácilmente: b) P(AB-C- + BA-C- + CA-B-) = 0.09 + 0.06 + 0.07 Paso 4. c) P(A∩B/A B C) = = =
39.-A, B y C disparan cada uno, un tiro a un blanco. Las probabilidades de cada uno de acertar a dicho blanco son: A: 0.3 ; B: 0.25 ; C: 0.10 Si se encuentra una bala en el blanco, cual es la probabilidad de que dicho proyectil sea del arma A. Solución:
Paso 1. Supongamos que sea S: dar en el blanco Se pide calcular P(A/S) = que es la probabilidad de que el proyectil de arma A dio en el blanco. Paso 2. Pero S = AS + BS + CS P(S) = P(A) P(S/A) + P(B) P(S/B) + P(C) P(S/C) Paso 3. Según los datos tenemos: P(S/A) = 0.30 P(A) = P(S/B) = 0.25
P(C) =
P(B) =
P(S/C) = 0.10 Paso 4. Del paso 1, obtenemos: P(A/S) = = = = = Otra manera mas sencilla de resolver, es haciendo la sgte. Diagrama:
P = = 40.-En un grupo de granjas se sabe que las producciones de leche, trigo y fruta son independientes. El 20% de las granjas producen leche y trigo, el 30% producen leche y fruta, el 24% producen trigo y fruta y el 12% los tres productos. Se elige una granja al azar y resulta que esta produce solo uno de estos productos, cual es la probabilidad que sea de leche? Solución:
Paso 1. I.
Solo uno de estos productos es = L∩T’ ∩F’ + T∩L’ ∩F’ + F∩L’ ∩T’ II. Se pide calcular P(L∩T’ ∩F’) = ? III. Como datos tenemos que: P(L∩T) = 0.20; P(L∩F) = 0.30; P(T∩F) = 0.24; P(L∩T∩F) = 0.12 Paso 2. Si las producciones son independientes, entonces se cumplen: a) P(L∩T) = P(L) P(T) = 0.20 b) P(L∩F) = P(L) P(F) = 0.30 c) P(T∩F) = P(T) P(F) = 0.24 d) P(L∩T∩F) = P(L) P(T) P(F)= 0.12 Paso 3. Entonces P(L∩T’ ∩F’) = P(L)P(T’) P(F’) Paso 4. Calculo de P(L): Del paso 2, parte d) y c) si P(L) P(T) P(F) = 0.12 P(L) (0.24) = 0.12 P(L) = Del paso 2, parte d) y a) si P(L) P(T) P(F) = 0.12 0.20 P(F) = 0.12 P(F) = P(F’) =
Del paso 2, parte d) y b) si P(L) P(F) P(T) = 0.12 0.30 P(T) = 0.12 y P(T)= P(T) = Paso 5. Sustituir en el paso 3) P(L∩T’ ∩F’) = =
41.-Un recién graduado solicita empleo en la compañía REX y en la compañía RAYON. se estima que la probabilidad de ser contratado por REX es 0.7y de ser contratado por RAYON es 0.5. en tanto que probabilidad de que se rechaza una de sus solicitudes por lo menos es de 0.6, Cual es la probabilidad de ser empleado al menos por una de estas compañías?¨ Solución:
Paso 1. Sean los eventos:
A: es contratado por la compañía REX, donde P(a) = 0.7 B: es contratado por la compañía RAYON, donde P(B) = 0.5 A’: ser rechazado por REX P(A’) = 0.3 B’: Ser rechazado por RAYON P(B’) = 0.5 Rechazar una de sus probabilidades por lo menos = A’ B’, donde P(A’ B’) = 0.6
Se pide hallar P(A B) = 7 Paso 2. Pero P(A B) = P(a) + P(B) – P(AB) Nos falta hablar P(A∩B) = ?
Paso 3. Por ley De Morgan: A’ B’ = (A∩B)’ O sea: P(A’ B’) = P(A∩B)’
= 1 - P(A∩B) 0.6 = 1 - P(A∩B) P(A∩B) = 1 – 0.6 = 0.4 Paso 4. Sustituir en el paso 2 P(A B) = 0.7 + 0.5 – 0.4 = 0.8
42.-Los 60% 40% 35% 50% 15% 65% 25% 10%
registros de una compañía muestra que: de los trabajadores son varones de los trabajadores son mujeres son solteros son casados son viudos menores de 30 años entre 30 y 45 años mayores de 45 años
Asumiendo que el sexo, estado civil y edad son independientes. Calcular la probabilidad de que un trabajador sea varón, menos de 45 años con la condición de ser soltero. Solución:
Se pide hallar (varón ^ menos de 45 años/soltero) = ? Paso 1. Sea los eventos A: Varón B. entre 30 y 45 años B: Menor de 45 años C: Soltero B menor de 30 años Paso 2. Por tanto, debe calcular P(AB1 + AB2)/C =? Pero PA(B1 + B2)/C = P (AB1 + AB2)/C = P(AB1 /C) + P(AB2 /C) = P(AB1C) + P(AB2 /C) P(C) P(C) =(0.60)(0.25)(0.35) + (0.60)(0.65)(0.35) 0.35 0.35
43.-Los profesores de la universidad Ricardo Palma, se clasifican de la siguiente manera 15% tienen doctorado 60% tienen licenciatura 25% tienen bachillerato
El 60% de los doctores, 80% de los licenciados y el 40 de los bachilleratos son varones. Se elige al azar a un profesor y resulta ser mujer, cual es la probabilidad que sea doctor? Solución:
Haciendo el siguiente diagrama, tenemos. La probabilidad pedida es P =
P =
44.-Suponiendo que P(B) >0, demostrar que una condición necesaria y suficiente para que los acontecimientos A y B del mismo espacio muestral sean independientes es que P(A/B) = P(A) Demostración:
Lo que se pide es demostrar que: A yB son independientes P(A/B) = P(A) Veamos - Primero debo demostrar la condición NECESARIA: A y B son independientes P(A/B) = P(A) 1) Por definición de eventos independientes se tiene: Si A y B son independientes P = P(A) P(B) 2) Por definición de probabilidad condicional se tiene: P(A/B) = , donde P(B) > 0 3) Sustituir (1) en (2): P(A/B) = = P(A) - En segundo lugar, debe demostrar la condición suficiente, es decir, si P(A/B) = ( P(A) A y B son independientes. 4) Por hipótesis se tiene P(A/B) = P(A) 5) Por definición de probabilidad condicional, se tiene: P(A/B) = , del cual obtenemos P = P(A/B) P(B) 6) Sustituir (4) en (5): P = P(A) P(B), esta igualdad indica que A y B son independientes.
45.-Del siguiente conjunto de dos eventos ¿Cuales son mutuamente excluyentes? (a) Ud. Recibe una promoción a vicepresidente de su compañía pero a nadie mas se promueve en la compañía. (b) Ud. Hace una llamada a un cliente en su oficina, y el representante de ventas de su competencia llama al mismo cliente el mismo dia. (c) Ud. Decide reemplazar mas maquina dañada por una nueva y decide repara la maquina dañada en lugar de reemplazarla.
(d) (e)
Ud. Decide remplazar la maquina dañada con una nueva y Ud. Decide repara la maquina dañada. Su compañía declara $50 de dividendos a sus accionistas y su compañía no paga ningún dividendo durante el año.
Solución:
Recurrir a las definiciones: dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si uno y solo uno de ellos puede ocurrir a un tiempo (A∩B = ) ¿Pueden dos o mas de estos eventos ocurrir a un tiempo? Si la respuesta es si, los eventos No son mutuamente excluyentes. Basado en la definición, podemos decir que: (a) No son mutuamente excluyentes. Porque, pueden ocurrir a un tiempo que yo sea promocionado y que a nadie mas se promueva. (b) No son mutuamente excluyentes. Poruqe, pueden ocurrir que yo llame a un cliente y otro también lo llame. (c) Si son mutuamente excluyentes. Porque, no puedo hacer al remplazar la dañada por una nueva, y reparar la dañada en lugar de remplazarla. (d) No son mutuamente excluyentes. Porque al remplazar la dañada por una nueva, también la puede reparar, después. (e) Si son mutuamente excluyentes. Porque pagar y No pagar nunca ocurren. Pagar, significaría que existen $50 de dividendos y tiene que ser pagadas. 46.-El tesorero de la compañía Ferreyros está considerando varias inversiones que puede hacer la compañía. La siguiente Tabla, lista las únicas inversiones que él considera rentable para la compañía: INVERSION COSTO EVENTO Compañía de tintorería $ 500.000 Expansión de la planta de Huancayo 750.000 Investigación y desarrollo 250.000 Programa de entretenimiento de ventas 250.000 D Introducción de operaciones computarizadas 500.000
A B C E
El banco de Crédito ha aceptado prestarle a Ferreyros hasta $ 1’000,000 para estas inversiones. (a) ¿Son las inversiones listadas colectivamente exhaustivas? ¿Son mutuamente excluyentes? (b) Haga una lista colectivamente exhaustivamente y mutuamente excluyente de posibles eventos de esta decisión de inversión. (c) Supóngase que el tesorero ha decidido invertir todo el $ 1’000,000 ¿ Esto cambia su respuesta a la parte (b)? SI es asi, ¿Cuál es su nueva respuesta? Solución:
DEFINICION: una lista es colectivamente exhaustiva cuando se hace una listado de los eventos posibles de un experimento aleatorio, es decir es el ESPACIO MUESTRAL. (a) Las inversiones son colectivamente exhaustiva pero no son mutuamente excluyentes.
(b)
Escribiré los eventos cuya inversión sean menores al millón o que sumados den el millón. Estos eventos son: = (AB’C’D’E’, BA’C’D’E’, CA’B’D’E’, DA’B’C’E’, EA’B’C’D’, ACB’D’E’, ADB’C’E’, AEB’C’D’, BCA’D’E’, BDA’C’E’. CDA’B’E’, CEA’B’D’, DEA’B’C’, ACDB’E’, CDEA’B’)
Donde: AB’C’D’E’ BA’C’D’E’ CA’B’D’E’ DA’B’C’E’ EA’B’C’D’ ACB’D’E’ ADB’C’E’ AEB’C’D’ BCA’D’E’ BDA’C’E’ CDA’B’E’ CEA’B’D’ DEA’B’C’ ACDB’E’ CDEA’B’
SIGNIFICA “ “
SIGNIFICA “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “
“solo A” “solo B” “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo “solo
C” D” E” A y C” A y D” A y E” B y C” B y D” C y D” C y E” D y E” C,D y E”
Cada evento son mutuamente excluyentes. (c) Si consideramos que el tesorero ha decidido invertir todo el millón, entonces el espacio muestral será: = (AE, BC, BD, ACD, CDE) Como vemos, el espacio muestral de (b) y € han cambiado.
