LECTURA DE LA TABLA Se debe tener en cuenta la siguiente: 1º La tabla proporciona área bajo la curva normal estándar desde menos infinito hasta z. es decir área correspondiente a P[ ! z" # $%z&. 'º Los valores de z están dados en cent(simos desde )*.+, hasta *.+,. *º -s una tabla con dos entradas encabezadas por la letra z. en la primera columna se lee el valor de z. en d(cimos. -n la segunda columna se lee al centecimal. +º La tabla auda a resolver dos tipos de problemas p roblemas a& /onocido z hallar el área. 0igamos z # 1.23 1.23 es decir 4ueremos 4ueremos calcular P[ ! 1.2". -n la primera columna columna se ubica el valor valor de con un decimal decimal 1.3 el segundo decimal se ubica en la primera fila 5.52. Por ambos puntos se traza una horizontal una vertical3 el n6mero 4ue corresponde a la intersecci7n de ambas rectas: 5.223 es el área deseada. b& /onocido el área hallar z. es un procedimiento inverso al anterior anterior.. Se ubica el área en el cuerpo de la tabla3 por este punto se traza una horizontal una vertical. Se halla z sumado el punto de intersecci7n de la horizontal con la primera columna 8 el punto de intersecci7n de la vertical con la primera fila.
3. EXTRACTO DE LA TABLA III Z
0.00
0.01
0.02
0. 0 3
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
. . . 0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8386
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222
0.8485 0.8708 0.890. 0.9092 0.9236
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292
0.8599 0.8891 0.8997 0.9162 0.9306
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9632
0.9382 0.9495 0.9595 0.9671 0.9638
0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9644
0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9650
0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9656
0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9661
0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9667
…
3. EXTRACTO DE LA TABLA III Z
0.00
0.01
0.02
0. 0 3
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
. . . 0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8386
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222
0.8485 0.8708 0.890. 0.9092 0.9236
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292
0.8599 0.8891 0.8997 0.9162 0.9306
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9632
0.9382 0.9495 0.9595 0.9671 0.9638
0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9644
0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9650
0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9656
0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9661
0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9667
…
IV. PROBLEMAS
1. Si X e !"# $#%i#&'e $#%i#&'e #'e#()%i# #'e#()%i# *i(%i&!i*# *i(%i&!i*# ")%+#'+e"(e ")%+#'+e"(e ,)" +e*i# U - 6 $#%i#"/# ) 2 - 25. #''#% # P6 X 12 & P0 X 8 6 − 6 ≤ x − µ ≤ 6 0 − 6 ≤ x − µ ≤ 8 − 6 P [ 6 ≤ x ≤ 12] = P [ ] 0 8 P x P ≤ ≤ = σ 5 5 5 5 σ = P [ 0 ≤ z ≤ 1.2] = P [ 0 ≤ z ≤ 1.2] = φ ( 1 .2 ) − φ ( 0 ) = φ ( 0 .4 ) − φ ( −1 .2 ) = 0 .8461 − 0 .5 = 0.3461 = 0 .6554 − 0 .1151 = 0.5403
, P2 X 0 − 2 − 6 < x − µ < 0 − 6 σ 5 5 = P [ − 1 .6 ≤ z ≤ −1.2] = φ ( −1 .2 ) − φ ( −1 .6 ) = 0 .1151 − 0 .0548 = 0.0603
P [ − 2 < x < 0] = P
* PX 21 x − µ > 21 − 6 = P [ z < 3] P [ x > 21] = P 5 σ = 1 − P [ z ≤ −3] = 1 − 0 .9987 = 0.0013
1. Si X e !"# $#%i#&'e #'e#()%i# *i(%i&!i*# ")%+#'+e"(e ,)" +e*i# U - 6 $#%i#"/# ) 2 - 25. #''#% e PX6 5 & P: 6 10 P [ ( x − 6 ) < 5]
= P [ − 5 < x − 6 < 5] 5 x − µ 5 = P − < z < < σ 5 5 = P [ − 1 < z < 1] = φ ( 1 ) − φ ( −1 ) = 0 ,8413 − 0 .1587 = 0 ,682
P [ ( x − 6 ) < 10]
= P [ − 10 < x − 6 < 10] x − µ 10 10 = P − < z < < σ 5 5 = P [ − 2 < z < 2] = φ ( 2 ) − φ ( −2 ) = 09772 − 0 .0228 = 0.544 b−5 ⇒ = 1 .28 ⇒ b = 8 .84 3
2. Si X e ; 25< 36 *e(e%+i"#% '# ,)"(#"(e e (#' =!e P>X 25> ,- 0.9544 σ 2
= 36
σ = 6
P [ − c ≤ x − 25 ≤ c ] = 0.9544 P [ ( x − 25 ) ≤ c ] = 0.9544
c ≤ x − 25 ≤ c = 0 .9544 6 6 6 c c ⇒ P − ≤ z ≤ = 0 .9544 6 6 P −
⇒
a−5 3
c c ⇒ φ − φ − = 0 .9544 6 6
c − 1 = 0.9544 6
2φ
c ⇒ φ = 0 .9772 6
c 6
0 .2
⇒
c = 1 ,2
= −1 .28 ⇒ a = 1 .16
3. Si X e ; !< 4 C#',!'#% P: ? ! 3 ο 2
= 4 ⇒ ο = 2 P [( x − u ) > 3 ] = 1 − P [( x − u ) < 3 ] = 1 − P [ −3 ≤ x − u ≤ 3 ] = 1 − P [ −1 .5 ≤ z ≤ 1 .5 ] = 1 − P [ φ ( 1 .5 ) − φ ( −1 .5 )] = [ 0 . 9332 − 0 .0668 ] = 0 .1336 4. Si X e ; 50< 25 C#',!'#% # PX 62 µ = 50; ο = 5 P [ x > 62 ] = 1 − P [ x < 62 ] x − u 62 − 50 = 1 − P < 5 o = 1 − P [ z < 2 ,4 ]
= 1 − 0 ,9918 = 0.0082
& P: 50 8 − 8 < x − 50 < 8 P [( x − 50 ) < 8 ] = P 5 5 5 = P [ −16 < z < 16 ] = φ ( 1 .6 ) − φ ( −1 .6 )
= 0 .9452 − 0 .0548 = 0.8904
5. Si X e ; 5< 9@#''#% ') $#')%e *e # & (#' =!e P# X & - 0.80 *)"*e # & )" i+(%i,) ,)" %ee,() # '# +e*i#. u=5
Si son simétri cos
o=2
⇒ a − u = b − u o o
⇒ P [ a < x < b ] = 0 .80 ⇒ P
a−5 3
< Z <
b − 5 3
= 0 .80
= 2φ b − 5 − 1 3 b − 5 = 0 .9 ⇒ b − 5 = 1 .28 ⇒ b = 8 .84 φ 3 3 0 .8
6. Si X e ;3< 4. @#''#% e' "+e%) , (#' =!e P: ≥ c - 2P: , µ = 3
P [ x ≥ c ] = 2 P [ x < c ]
σ = 2 1 − P [ z < c ] = 2 P [ x < c ]
P [ x < c ] = 0 .3333
P x <
− 3 = 0 .3333 2
10
⇒
c−3 2
= −0 .43 ⇒ c = 2 .14
7. U"# $#%i#&'e #'e#()%i# X e *i(%i&!e ")%+#'+e"(e. Si E: 2-68 PX10 - 0.8413. De(e%+i"#% ! ) 2. P [ x < 10 ] 0.8413 10 − u ⇒ P z < = 0 .8413 o 10 − u ⇒ φ = 0 .8413 o
⇒
10
−u o
= 1 ⇒ o = 10 − u
8. L) (!&) #&%i,#*) )% ,ie%(# +=!i"# (ie"e" !" *i+e(%) +e*i) *e ! 9.8++< ,)" *e$i#,iF" e("*#% ) - 0.536++. GH! )%,e"(#e *e (!&) e% %e,#/#*)< i ") e #,e(#" *i+e(%) i"e%i)%e # 9.0++J A!+# =!e ') *i+e(%) (ie"e !"# *i(%i&!,iF" ")%+#'. u = 9 .8 mm o = 0 .536 mm
P [ x < 9 ] = P z <
− 9 .8 0 .536
9
= P [ z < −1 .49 ] = φ ( −1 .49 ) = 0.0681
Se rechazaría
6 .81%
9. L) 'K+i(e *e #,e(#,iF" *e ') *i+e(%) *e ') ')"e %)*!,i*) )% ,ie%(# +=!i"# )" ! ) G=!e )%,e"(#e *e ')"e e%" #,e(#*)J
u − o − u < z < u + o − u o o = P [ − z < z < 1 ] = φ ( 1 ) − φ ( −1 )
P [ u − o < x < u + o ] = P
= 0 .8413 − 0 .5187 = 0.6826
Se aceptaría
68 .26%
10. P#%# ,ie%() e:#+e" '# ,#'ii,#,iF" +e*i# e 11 o - 2. .Se *ee# *e#%)% #' 40 *e ') e:#+i"#*). GC!' *e&e e% '# ,#'ii,#,iF" +:i+# %)()%i#J u = 11 0
=2
P ( X < m )
m − 11 = 0 .4 = 0 .4 ⇒ Z <
⇒
2
m − 11 2
= −0 .25
⇒ M = 10 .5
11. U" i,(iF')N) e( i"(e%e#*) e" e(i+#% ,!#"() (ie+) !e*e )&%e$i$i% ,ie%() (i) *e e/ *e +#% e" #N!# *e' %K) A+#/)"#. L!eN) *e !"# e%ie *e e:e%i+e"() ''eN# # e(i+#% =!e '# $i*# +e*i# *e e(e (i) *e e/ #',#"/# ') 210 *K# *e! *e #&e% i*) ,)'),#*) e" e' #N!# *e' %K) ,)" !"# *e$i#,iF" e("*#% *e 40 *K#. E' i,(iF')N) e(i+# =!e '# *i(%i&!,iF" *e ') *K# $i$i*) e ")%+#'. U" e/ #%(i,!'#% # )&%e$i$i* 230 *K#.G,!#' e '# %)&i'i*#* *e =!e $i$# + *e !" *K#J
u = 210 ías
P [ x > 240 ! x > 230 ] =
o = 40 ías
1 − P ( x ≤ 240) 1 − P ( x ≤ 230)
240 − 210 − P z ≤ 40 = 1 − P ( z ≤ 0 .75 ) = 240 − 230 1 − P ( z ≤ 0 .75 ) 1 − P z ≤ 40 1
=
− 0 .7734 0 .2266 = = 0 .5647 1 − 0 .7734 0 .4013 1
12. Se e( ,)"(%!e"*) !" N%!) *e 100 ,## e" '# U%"i/#,iF" S#" B)%#. E' +#(e%i#' e+'e#*) e" '# %e*e *e *e#Ne e (#' =!e e' 9.512 *e '# (!&e%K# *e *e#Ne (ie"e" e%K)*) *e *!%#,iF" =!e e:,e*e" ') 15 #) =!e e' 62.556 (ie"e" e%K)*) *e *!%#,iF" =!e e:,e*e" ') 9 #). C)"i*e%#"*) =!e '# *i(%i&!,iF" *e %)&i'i*#* *e ') e%K)*) *e *!%#,iF" *e e(# (!&e%K# e ")%+#'< *e(e%+i"e '# +e*i# '# $#%i#"/# *e e(# *i(%i&!,i)"e.
Se"#n atos P ( x > 5 ) = 0.09512 15 − u 1 − P z − = 0 .9512 o 15 − u ⇒ φ = 0 .90488 o 15 − u ⇒ = 131
o
15
− u = 1 .31o ⇒ 15 = u + 1 .31o
13. E' Ne%e"(e *e %)*!,,iF" *e !"# &%i,# ie"# =!e '# $i*# (i' *e !"# +=!i"# M e( *i(%i&!i*# ")%+#'+e"(e e" !"# +e*i# *e 3000 )%#. Si #*e+ e' Ne%e"(e ie"# =!e # !"# %)&i'i*#* *e 0.50 *e =!e '# +=!i"# *!%e +e") *e 2632 ) + *e 3368 )%#. GC!' e '# *e$i#,iF" e("*#%J P ( x < 2632 ) ∪ P ( x > 3368 ) = 0.5
u = 3000 horas o =$
P z <
2632
P z < 1
− 3000 3368 − 3000 + P z > = 0 .5 o o
− 368 368 = 0 .5 + 1 − P z < o o
− 368 368 = 0.5 − P z < + 1 − P z < o o
368 z = 2 P < o 368 z ⇒ 0 .75 = P < o 1 .5
⇒
368
o
= 0 .75
o = 545 .19
14. U" %)*#+ie"() e ,)"i*e%#*) *ee,(!)) )% ') (#"() e %e,#/#*) i ! *i+e(%) e +#)% *e 2.2 !'N#*# F +e")% =!e 1.98 !'N#*# GC!' e e' "+e%) ee%#*) *e %)*#+ie"() %e,#/#*) < i ') *i+e(%) e !"# #%(i*# *e 10000 %)*#+ie"() e(" *i(%i&!i*) ")%+#'+e"(e ,)" !"# +e*i# *e 2 !'N#*# !"# *e$i#,iF" e("*#% *e 0<01 !'N#*#J 2 .02 − 2 + P z < 1 .98 − 2 0 .01 0 .01 = 1 − P ( z ≤ 2 ) + P ( z < −2 )
P ( x > 2 ,02 ) + P ( 1 ,98 ) = P z >
= 1 − p( z ≤ 2 ) + 1 − P ( z ≤ 2 )
= 2 − 2 P ( z ≤ 2 ) = 2[1 − P ( z − 2 )] = 2 [ 1 − 0 .9772 ] = 0.0456 &e chazaos 10000 × 0 .0456 = 456 roamiento s rechazaos
15. L) *i+e(%) *e !"# #%(i*# N%#"*e *e %)*#+ie"() e(" *i(%i&!i*) ")%+#'+e"(e ,)" !"# +e*i# *e 2.0 !'N#*# !"# *e$i#,iF" e("*#% *e 0.01 !'N#*#. S!)"N# =!e e "e,ei(# !" %)*#+ie"() ,)" *i+e(%) +#)% =!e 2.02 !'N#*#. GC!' e '# %)&i'i*#* *e (e"e% =!e %)% 10 %)*#+ie"()J P ( x > 2 .02 ) = 1 − P ( x ≤ 0 .02 ) 2 .02 − 2 = 1 − P ≤ z = 1 − P ( z ≤ 2 ) 0 .01
= 1 − 0 .9772 = 0 .0228 = 2 .28 % 2 .28%
e 'os roamiento s
→ 0 .228 roamiento s > 2 pu '" aas
9olver al inicio
APROXIMACIO;ES DE LAS DISTRIBUCIO;ES DISCRETAS A LA ;ORMAL
/uando p es mu pe4uea n mu grande hemos visto 4ue la apro;imaci7n
0
1
2
3
4
5
6
0
Di(%i&!,iF" Bi")+i#'.
2
3
4
5
6
C!%$# ;)%+#' ,)+) #%):i+#,iF" *e '# Bi")+i#'.
>s? la probabilidad de obtener e;actamente un valor ;3 es apro;imada mediante el área bajo la curva normal entre ; ) @ ; 8 @ como es3 el área sombrea da en el gráfico de alado.
1
1
x
1
-s decir3 P [ X = x ] ≈ P x − ≤ X ≤ x + 2 2
x-½
x+½
-l cuadro siguiente presenta algunas apro;imaciones de las probabilidades
P%)&i'i*#* Bi")+i#' *e' e$e"() =!e e *ee# ,#',!'#%
P [ X = x ]
P x −
= P [ X ≤ x − 1]
P [ a
P X ≤ x − 1 +
P [ X ≥ x ]
P [ X > x ]
1 ≤ X ≤ x + 2 2
1
1 P X ≤ x + 2
P [ X ≤ x ]
P [ X < x ]
C)" '# ,)%%e,,iF" )% ,)"(i"!i*#*
P X ≥ x −
= P [ X ≥) +1]
≤ X ≤ b]
2
1
P X ≥ x + 1 −
P a −
2
1
2
1
1 ≤ X ≤ b + 2 2
1
E" (%+i") *e '# !",iF" *e *i(%i&!,iF" ")%+#' e(#"*#% x + 1 − np x − 1 − np 2 2 Φ − Φ np( np( x + 1 − np 2 Φ np( x − 1 − np 2 Φ np( x − 1 − np 2 1−Φ np( x + 1 − np 2 1−Φ np( x + 1 − np x − 1 − np 2 2 Φ − Φ np( np(
II. APROXIMACI; POISSO; A LA ;ORMAL. 1. DEQI;ICI;. La apro;imaci7n de 0istribuci7n de Poisson a la normal3 se hace n teniendo en cuenta 4ue si ; 13 ;'3 A;n. Son variables aleatorias X = X i independientes de Poisson3 cada una con parámetro B 3 entonces: i =1 es una variable aleatoria de Poisson con parámetro nB %propiedad X − nλ X n − λ reproductiva& Por el teorema central = Z = del l?mite3 la variable aleatoria nλ λ n tiene apro;imadamente una distribuci7n C%53 1&3 para n suficientemente grande. La apro;imaci7n de la distribuci7n de Poisson a la normal se mejora conforme aumenta el valor del parámetro nB 3 de la suma. -n la práctica se considera una apro;imaci7n buena cuando nB D E. Por lo tanto3 si el parámetro com6n B de los sumandos es pe4uea3 n puede reducirse en forma correspondiente. La distribuci7n Cormal es continua de Poisson es discreta3 por lo tanto3 para apro;imar la distribuci7n la 0istribuci7n de Poisson por el área bajo la curva normal se usa el factor de correcci7n de continuidad. -s decir: X ± 0 .5 − nλ
∑
Z =
nλ
-l cuadro siguiente presenta algunas apro;imaciones de la distribuci7n de Poisson a la curva normal.
P%)&i'i*#* *e P)i)" *e' e$e"() =!e e *ee# ,#',!'#% P [ X = x ]
P [ X ≤ x ]
P [ X < x ] = P [ X ≤ x − 1]
P [ X ≥ x ]
P [ X > x ] = P [ X ≥ x + 1] P [ a ≤ X ≤ b]
C)" '# ,)%%e,,iF" )% ,)"(i"!i*#*
x + 0 .5 − nλ x − 0 .5 − nλ Φ − Φ nλ nλ
P [ x − 0 .5 ≤ X ≤ x + 0.5]
x + 0 .5 − n Φ nλ
P [ X ≤ x + 0 .5]
x − 0 .5 − nλ Φ nλ
P [ X ≤ x − 1 + 0.5]
P [ X ≥ x − 0 .5]
1
P [ X ≥ x + 1 − 0.5]
1
P [ a − 0 .5 ≤ X ≤ b + 0.5]
E" (%+i") *e '# !",iF" *e *i(%i&!,iF" ")%+#' e(#"*#%
x − 0 .5 − nλ −Φ nλ x + 0 .5 − nλ −Φ nλ x + 0 .5 − nλ x − 0 .5 − nλ Φ − Φ nλ nλ