Distribuciones Fundamentales para el Muestreo M.C. Jorge Iv´an Fuentes Rosado Inferencia Estad´ıstica I Febrero 2015
´Indice 1. Introducci´ on a la Estad´ıstica Inferencial
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2. Muestreo: Introducci´ on al muestreo y tipos de muestreo
3
3. Teorema del l´ımite central
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4. Distribuciones fundamentales para el muestreo 4.1. Distribuci´ on muestral de la media . . . . . . . . . . . . 4.2. Ejercicios para Resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Distribuci´ on muestral de la diferencia de medias . . . 4.3.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Ejercicios para Resolver . . . . . . . . . . . . . 4.4. Distribuci´ on muestral de la proporci´on . . . . . . . . . 4.4.1. Simbolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Ejercicios para Resolver . . . . . . . . . . . . . 4.5. Distribuci´ on muestral de la diferencia de proporciones 4.5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Ejercicios a Resolver . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Distribuci´ on t-student . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Distribuci´ on muestral de la varianza . . . . . . . . . . 4.8. Distribuci´ on muestral de la relaci´on de varianzas . . . 5. Tabla de la Normal
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5 5 6 8 9 10 12 12 14 14 14 15 16 17 19 19 20 20 20 20 20 20 21
1
1.
Introducci´ on a la Estad´ıstica Inferencial
Hoy la estad´ıstica est´ a considerada como la teor´ıa de la informaci´on, no s´olo como funci´ on descriptiva, sino como el objetivo b´ asico de hacer estimaciones acerca de los valores estad´ısticos de la poblaci´on o en la comprobaci´ on de hip´otesis de aquellas caracter´ısticas que han sido investigadas. De lo anterior se observa que la estad´ıstica cubre dos aspectos de gran importancia : en la estad´ıstica descriptiva a trav´es de la recolecci´on, clasificaci´on, presentaci´on, ya sea en forma de cuadros o gr´ aficas, la aplicaci´ on de medidas como promedios, desviaciones, etc., y la interpretaci´ on y an´alisis de datos a fin de obtener conclusiones. Se realiza un proceso deductivo de lo general a lo particular. El segundo aspecto es la inferencia estad´ıstica o m´etodo inductivo, el cual, mediante investigaciones por muestreo, se logra obtener resultados considerados como estimadores de los valores estad´ısticos, correspondientes a las caracter´ısticas de las unidades que conforman la poblaci´on. Se podr´ıa afirmar que la tarea m´ as importante de la estad´ıstica es la realizaci´on de inferencias acerca de una poblaci´ on objetivo, con base en los resultados obtenidos a trav´es de una muestra. Poblaci´ on o universo se puede definir como un conjunto de elementos. El elemento o unidad puede ser una persona, familia, empresa, zona, animal u objeto, etc. Del elemento se estudian sus caracter´ısticas. Estas se clasifican en: cualitativas o atributos, expresadas por palabras y se cuantifican mediante el conteo o recuento; las cuantitativas o variables expresadas en forma num´erica, que pueden ser medidas (variable continua) o contadas (variables discreta). De acuerdo con lo anterior, la poblaci´on puede definirse como un conjunto de medidas, o el recuento de todas las unidades que presentan una caracter´ıstica en com´ un. Se podr´ıa definir como un conjunto de mediciones, finito o infinito, real o conceptual. Marco muestral Es un listado, actualizado y revisado, de todos los elementos que constituyen la poblaci´on que va a ser objeto de investigaci´on. Tambi´en puede ser un mapa o un croquis con las unidades de selecci´ on plenamente identificadas. Encuesta preliminar, piloto, o pretest Antes de iniciar la investigaci´on, se recomienda realizar una peque˜ na encuesta preliminar con el fin de probar el cuestionario, conocer mejor la poblaci´ on, entrenar al entrevistador, determinar el tiempo que requiere la entrevista y en especial tener un mayor conocimiento acerca de algunos par´ametros. La poblaci´ on se clasifica en : finita o infinita Cuando se investiga la caracter´ıstica de toda las unidades que constituyen la poblaci´on o universo, nos referimos a una investigaci´ on total o exhaustiva o censo. Factores tales como: costo, tiempo, recursos humanos, poblaciones muy grandes, destrucci´ on de la unidad sometida a control, caracter´ısticas con gran homogeneidad, impiden la realizaci´on del censo. Se sustituye, entonces por una investigaci´on parcial o muestra. El objetivo principal de muestreo es considerar el mayor n´ umero de unidades con el menor costo posible. La muestra, para que sea representativa de la poblaci´on, requiere que todas las unidades de la poblaci´on tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas, es decir, debe ser aleatoria, al azar o probabil´ıstica. El muestreo aleatorio realizado bajo ciertas condiciones y sometido a ciertos requisitos, se constituye en un procedimiento pr´ actico, econ´omico y r´apido para generalizar conclusiones obtenidas a trav´es de una muestra, aplicables a toda la poblaci´on de la que forma parte, dentro de ciertos l´ımites establecidos de antemano. 2
2.
Muestreo: Introducci´ on al muestreo y tipos de muestreo
La forma como se selecciona una muestra se llama plan de muestreo o dise˜ no experimental y determina la cantidad de informaci´ on en la muestra. Conocer el plan de muestreo usado en una situaci´on en particular le permitir´ a medir la confiabilidad o banda de su inferencia. Dentro del Muestreo aleatorio se tienen los siguientes m´etodos: Muestreo Aleatorio Simple o muestreo aleatorio irrestricto , en el cual se da igual oportunidad de selecci´ on a cada elemento a la muestra dentro de la poblaci´on Si se selecciona una muestra de n elementos de una poblaci´on de N elementos por medio de una plan de muestreo en el que cada una de las posibles muestras tiene la misma probabilidad de ser seleccionada, entonces se dice que el muestre es aleatorio y la muestra resultante es una muestra aleatoria simple. Una base de datos de una computadora tiene un bufete de abogados contiene archivos para N=1000 clientes.La empresa quiere seleccionar n=5 archivos para revisarlos. Se selecciona una muestra aleatoria simple de cinco archivos de esta base de datos. Una investigadora qu´ımica prueba un nuevo m´etodo para medir la cantidad de titanio (Ti) en muestras de mineral. Para su experimento ella escoge 10 muestras del mismo pesos. Muestreo Aleatorio Estratificado (Asignaci´on igual, proporcional y ´optimo) garantiza la representatividad, reduciendo el error de la muestra al formar grupos o subpoblaciones m´ as o menos homog´eneas, en cuanto a su composici´on interna heterog´enea cuando se comparan estratos entre s´ı. Muestro por conglomerados, por ´ areas o geogr´ afica Cuando la unidad b´asica de muestreo se encuentra en la poblaci´ on en grupos o conglomerados y la selecciona de la unidad permite la observaci´ on del total de elementos de cada conglomerado elegido. Cada conglomerado tiene las mismas caracter´ısticas de la poblaci´on; puede hacerse un segundo muestreo dentro del conglomerado seleccionado, denomin´andose de doble etapa o biet´apico. Generalmente es muy aplicado cuando se dispone de un marco de referencia completo. El ´ area total se divide en peque˜ nas ´ areas las que son muestreadas. Cada ´area seleccionada podr´ a ser subdivivida y enumerada para una nueva selecci´on si es necesario, y as´ı sucesivamente dando origen al muestreo por etapas o poliet´apico. Muestreo por fases En ocasiones es conveniente y econ´omico recoger cierta informaci´on de la totalidad de elementos de una muestra, la cual se extrae de la poblaci´on en tal forma que sea lo suficientemente grande. Adem´as, otra informaci´on m´as detallada obliga a una nueva muestra proveniente de la anterior ocasionando un muestre de dos fases o bif´asico. Puede considerarse, tambi´en, de varias fases o polif´asico. Muestreo sistem´ atico La selecci´ on de las unidades se hace a intervalos regulares, en un orden sistem´ atico. Las condiciones del muestreo aleatorio implican consideraciones importantes: (a) se debe seguir un dise˜ no estad´ıstico espec´ıfico (muestreo aleatorio simple, estratificado, etc); el mejor es aquel que proporciona la precisi´ on necesaria, en t´erminos de un l´ımite, en cuanto al error de estimaci´ on 3
a un menor costo; (b) la selecci´ on de los elementos al azar, para luego recolectar la informaci´ on por cualquiera de los m´etodos: entrevista, observaci´on directa, correo, tel´efono, etc.; (c) el error muestral, es decir, la diferencia entre el resultado obtenido mediante la investigaci´on total o censo. El error de estimaci´ on, es la diferencia que puede haber entre la estimaci´on puntual y el par´ ametro. Cuando la estimaci´ on no representa bien al par´ametro, a pesar de estar perfectamente dise˜ nada nos referiremos a errores muestrales; los errores no muestrales son ocasionados por el mal dise˜ no del formulario, errores cometidos por el proceso de recolecci´on, procesamiento y an´alisis de datos. Par´ametro (poblacional) son las medidas descriptivas num´ericas aplicadas a las caracter´ısticas en las unidades de la poblaci´ on. Tambi´en se les denomina como valores estad´ısticos de la poblaci´ on. Estimador puntual son las medidas descriptivas num´ericas aplicadas a las caracter´ısticas en las unidades de la muestra. Se podr´ a decir que el estimador es una norma o m´etodo para estimar una constante perteneciente a una poblaci´ on. La estimaci´on hace referencia a los valores num´ericos de los par´ametros poblacionales desconocidos, a los cuales se lega mediante una muestra. El estimador por intervalos, es una regla que nos indica c´omo calcular dos puntos o valores a trav´es de una muestra. La estimaci´ on por intervalos es la estimaci´on del par´ametro mediante la especificaci´on de un intervalo de valores, determinado por un l´ımite inferior y otro superior (l´ımites de confianza) dentro del cual estar´ a comprendido el valor verdadero o par´ametro poblacional. Se dice que un buen estimador debe ser: Insesgado, es decir, que no tenga sesgo, error o bias, cuando el valor del estimado es igual al del par´ ametro. En caso contrario la estimaci´on ser´a sesgada Consistente es aquel estimador que, al aumentar el tama˜ no de la muestra, converge en probabilidad al par´ ametro que estima Eficiente es el estimador que tiene la menor varianza entre todos los estimadores posibles Suficiente cuando incluye toda la informaci´on que la muestra puede proporcionar acerca del par´ametro. El intervalo de confianza corresponde a un intervalo de valores, dentro los cuales se espera que est´e el par´ametro con cierto grado de confianza o con resigo de error conocido; para ello es necesario determinar primero la estimaci´ on puntual La probabilidad de que un intervalo de confianza contenga el par´ametro que se estima, se denomina coeficiente de confianza.
3.
Teorema del l´ımite central
El teorema de l´ımite central se cumple, cuando independientemente de la poblaci´on origen, la distribuci´ on de las medias aleatorias se aproximan a una distribuci´on normal a medida que el tama˜ no de la muestra crece. Se podr´ a decir tambi´en, que si las muestras provienen de una poblaci´on que no es normal, es de importancia tener en cuenta el tama˜ no de la muestra, si el tama˜ no muestral es peque˜ no, la distribuci´ on obtenida con sus medias muestrales tendr´an un comportamiento similar al de la poblaci´ on de donde se extrajeron. Por el contrario, si el tama˜ no muestral es grande, el comportamiento de estas medias muestrales ser´a igual al de una distribuci´on normal, independientemente de la poblaci´ on de donde fueron extra´ıdas.
4
En su forma m´ as simple en teorema indica que, si n variables aleatorias independientes tienen varianzas finitas, su suma, cuando se les expresa en medida est´andar, tienden a estar normalmente distribuidas cuando n tiende a infinito. Se debe observar que ninguna de las varianzas sea mayor a la comparada con el total. El teorema de l´ımite central establece que, en condiciones muy generales, la sumas y medias de muestras aleatorias de mediciones extra´ıdas de una poblaci´on tienden a tener una distribuci´ on aproximadamente normal. Suponga que lanza un dado equilibrado n = 1 vez. La variable aleatoria x es el n´ umero observado en la cara superior. Esta conocida variable aleatoria puede tomar seis valores, cada uno con probabilidad 1/6. La forma de la distribuci´on es plana o uniforme y sim´etrica con respecto a la media µ = 3.5. Ahora, tome una muestra de tama˜ no n = 2 de esta P poblaci´on, es decir, lance dos dados y anote la suma de los n´ umeros en las dos caras superiores, i xi = x1 +x2 . Se tienen 36 posibles resultados con probabilidad 1/36. Las sumas se tabulanPy se dividen entre n = 2 para obtener un promedio . El resultado es la distribuci´ on muestral x ¯ = i xi /n. Ahora tiene mas o menos forma de campana pero todav´ıa es sim´etrica con respecto a la media µ = 3.5
4.
Distribuciones fundamentales para el muestreo
Corresponde a una distribuci´ on de todas las muestras que pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestreo especificado, que implique selecci´on al azar y, a una funci´on de un n´ umero fijo de variables aleatorias independientes. Dada una poblaci´ on a estudiar, se selecciona una sola muestra de todas las muestras posibles de igual tama˜ no, con el fin de obtener conclusiones sobre la poblaci´on, no sobre la muestra.
4.1.
Distribuci´ on muestral de la media
Si consideramos una poblaci´ on de N elementos, con media µ y desviaci´on est´andar t´ıpica σ, si se obtienen M n´ umero de muestras posibles , de tama˜ no n, simbolizamos a cada media muestral por: x¯1 , x¯2 , x¯3 , . . . x¯M y a cada desviaci´on t´ıpica por : s1 , s2 , s3 , . . . , sM
5
Figura 1: Distribuci´on muestral de la media Teorema. Dada una poblaci´ on, si extraemos todas las muestras posibles de un mismo tama˜ no, entonces la media de la distribuci´ on de todas las medias muestrales posibles, ser´a igual a la media poblacional. Simbolizaremos la media de todas las medias muestrales por µx¯ , la cual ser´a igual a la media poblacional P µx¯ =
x¯i x¯1 , x¯2 , x¯3 , . ¯. .xM = =µ M M ¯ =µ µ¯(x) = E(X)
La varianza de todas las medias muestrales se simboliza por σx2¯ el error est´andar de la media,ser´a igual σx¯ rP r (x¯1 − µ)2 + (x¯2 − µ)2 + (x¯3 − µ)2 + · · · + (x¯M − µ)2 (x¯i − µ)2 σx¯ = = M M σ Siendo σx¯ = √n (para muestras grandes, o sea n > 30 el cual se denomina error est´andar de la media)
4.2.
Ejercicios para Resolver
1. En una poblaci´ on normal, con media 72,1 y desviaci´on est´andar 3,1, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, la media sea menor que 71,7.
6
2. En un banco de ahorros, la cuenta media es de $659,320, con una desviaci´on est´andar de $18,000. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un dep´osito medio de $660.000 o m´ as?
3. En cierta regi´ on los salarios diarios de los mineros del carb´on est´an distribuidos normalmente con una media de $864,500 y una desviaci´on est´andar de $15,000 ¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra representativa de 25 mineros, tenga un promedio diario inferior a $857,500?
4. Las estaturas de cierto grupo de adultos tienen una media de 167.42 y una desviaci´on est´ andar de 2.58 cent´ımetros. Si las estaturas est´an normalmente distribuidas y se eligen aleatoriamente 25 personas del grupo, ¿Cu´ al es la probabilidad de que su media sea de 168.00 cent´ımetros o m´as?
7
5.
4.3.
Distribuci´ on muestral de la diferencia de medias
Se tiene dos poblaciones normales e independientes, identificadas la primer por X y la segunda por Y , de tama˜ no N1 y N2 , cuyas medias se simbolizan por µx y muY y sus desviaciones t´ıpicas por σX y σY . Se obtiene un n´ umero (M) de pares de muestras posibles. Las medias muestrales de la primera poblaci´ on se identifican por:x¯1 , x¯2 , x¯3 , . . . x¯M y y¯1 , y¯2 , y¯3 , . . . y¯M . Las desviaciones t´ıpicas muestrales respectivas ser´ an: : sy1 , sy2 , sy3 , . . . , syM
Figura 2: Distribuci´on muestral de la diferencia de medias Ahora, si consideramos las diferencias para cada par, la media aritm´etica de dichas diferencias se simbolizar´ a por µx¯−¯y
µx¯−¯y =
P (x¯i − y¯i ) M
=
µx¯−¯y =
(x¯1 − y¯1 ) + (x¯2 − y¯2 ) + (x¯3 − y¯3 ) + · · · + (x¯M − y¯M ) M P ¯ P¯ Xi Yi − M M
Se pude demostrar que la media de las diferencias de todos los pares de medias muestrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblaciones
µx¯−¯y = µx¯ − µy¯ µx¯−¯y = µx − µy La desviaci´ on t´ıpica de las diferencias entre los pares de medias muestrales se simboliza por σx¯−¯y y se calcula mediante la f´ ormula: rP [(x¯i − y¯i ) − µx − µy ]2 σx¯−¯y = M La desviaci´ on t´ıpica de las diferencias entre los pares de medias muestrales, denominada tambi´en como error est´ andar de las diferencias entre las medias muestrales, es igual a:
8
σx2¯ = σx¯−¯y =
σx2 n1
σy2¯ =
q σx2¯ + σy2¯
σy2 n1 s
σx¯−¯y =
σx2 σy2 + n1 n1
Suponiendo que la distribuci´ on de diferencias entre las medias muestrales tenga un comportamiento similar a la distribuci´ on normal, la variante estad´ıstica estar´a dada por la f´ormula (¯ x − y¯) − µx¯−¯y σx¯−¯y (¯ x − y¯) − µx − µy q Z= σy2 σx2 + n1 n2 Z=
Utilizamos la distribuci´ on normal como una aproximaci´on, para resolver problemas de distribuciones de diferencias entre dos medias muestrales Se puede aplicar esta distribuci´ on cuando no se conocen las varianzas poblacionales las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales siempre que sean mayores de 30. Hay autores que consideran su utilizaci´ on si n1 + n2 > 30. Siendo su f´ormula
Z=
4.3.1.
(¯ x−¯ y −µx −µy )−µx −µy r 2 s2 x + sy n1 n2
Ejemplo 1
Se tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda poblaci´ on es 0.65 menor que la de la primera; si se seleccionan muestras de tama˜ no 100 y 120 y si las respectivas desviaciones t´ıpicas poblacionales son 12 y 8, se pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto Se tiene µx − µy = 0.65 n1 = 100 n2 = 120 σx = 12 σy = 8 P ((¯ x − y¯) > |1|) =? (¯ x − y¯) − µx − µy q Z= σy2 σx2 n1 + n2
9
Figura 3: Gr´afica del Ejemplo 1 El lado positivo de la gr´ afica −
Z=r
+ P ((¯ x − y¯) <
← Buscar en la Tabla de la Normal
)=
P ((¯ x − y¯) >
−
)=
=
El lado negativo de la gr´ afica −
Z=r
+ P ((¯ x − y¯) <
← Buscar en la Tabla de la Normal
)=
P ((¯ x − y¯) <
−
)=
=
El resultado P ((¯ x − y¯) > |1|) = 4.3.2.
+
=
Ejemplo 2
Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una poblaci´on normal, que tiene media 50 y desviaci´ on est´ andar 8. Luego se selecciona otra muestra aleatoria de 400 elementos de una poblaci´on normal, que tiene media 40 desviaci´on est´andar 12. Encontrar la probabilidad de que: a la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o m´as. b ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o m´as. Para el primer inciso : la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o m´ as. Tenemos µx = 50 µy = 40 n1 = 100 n2 = 400 σx = 8 σy = 12 P ((¯ x − y¯) ≥ 8) =? 10
Figura 4: Gr´afica del Ejemplo 2a
−
Z=r
+ P ((¯ x − y¯)
← Buscar en la Tabla de la Normal
)=
El resultado: P ((¯ x − y¯) ≥ 8) =
=
Para el segundo inciso :ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o m´as.. Tenemos µx = 50 µy = 40 n1 = 100 n2 = 400 σx = 8 σy = 12 P ((¯ x − y¯) ≥ |12|) =?
Figura 5: Gr´afica del Ejemplo 2b El lado positivo de la gr´ afica −
Z=r
+ P ((¯ x − y¯) <
← Buscar en la Tabla de la Normal
)=
P ((¯ x − y¯) >
−
)=
=
El lado negativo de la gr´ afica −
Z=r
+ P ((¯ x − y¯) <
)=
← Buscar en la Tabla de la Normal 11
P ((¯ x − y¯) <
−
)=
=
El resultado P ((¯ x − y¯) ≥ |12|) = 4.3.3.
+
=
Ejemplo 3
Dos marcas, A y B de tabletas anti´ acidas efervescentes registran el mismo promedio de disoluci´ on en agua, con desviaci´ on est´ andar de 12 segundos para la marca A y 24 segundos para B. Suponiendo que el tiempo de disoluci´ on est´e normalmente distribuido, ¿Cu´al es la probabilidad de que, con una muestra de 36 tables de cada marca, las tabletas B, registren un promedio de tiempo de disoluci´ on, cuando menos 5 segundos m´ as r´ apido que A? Tenemos µx = µ y n1 = 36 n2 = 36 σx = 12 σy = 24 P ((¯ x − y¯) > 5) =?
Figura 6: Gr´afica del Ejemplo 3 −
Z=r
+ P ((¯ x − y¯)
)=
← Buscar en la Tabla de la Normal
El resultado: P ((¯ x − y¯) > 5) = 4.3.4.
=
Ejercicios para Resolver
1. De cada una de dos poblaciones normales e independientes con iguales medias y desviaciones est´andar de 6.40 y 7.30, se extraen muestras de 64 elementos. Encontrar la probabilidad de que la diferencia entre las medias de las muestras exceda de 0.60 en valor absoluto
12
2. El rendimiento medio de los autos de la marca A es de 20 kil´ometros por gal´on de gasolina, con una desviaci´ on est´ andar de 6 k.p.g. Las cifras comparables para los autos B son 25 y 5.5 k.p.g. Se supone que el rendimiento de cada una de ambas marcas est´a normalmente distribuido. ¿Cu´ al es la probabilidad de que en un concurso, el rendimiento para 10 autos de la marca A sea mayor que el de 9 autos de la marca B?
3. En promedio, los estudiantes de la Universidad A se leventan 50 minutos despu´es de la salida del sol, con una desviaci´ on est´ andar de 15 minutos. Los estudiantes de la universidad B se levantan 60 minutos despu´es de la salida del sol, con una desviaci´on est´andar de 18 minutos. Un grupo de 25 estudiantes de la universidad A realiza un viaje junto con 20 alumnos de la B. Encontrar la probabilidad de que la hora media de levantada del grupo de la universidad B m´as temprana que la del grupo de la Universidad A.
4. A y B fabrican dos tipos de cables, con una resistencia media a la rotura de 4000 y 4300 libras, con desviaciones t´ıpicas de 980 y 850 libras respectivamente. Si se prueban 70 cables de A y 40 cables de B, ¿Cu´ al es la probabilidad de que la media de resistencia a la rotura de A sea, al menos 300 libras m´ as que B?
13
5.
4.4.
Distribuci´ on muestral de la proporci´ on
En el an´ alisis de una caracter´ıstica cualitativa o atributo, se emplea la proporci´on de ´exitos y no el n´ umero de ´exitos como una distribuci´on binomial. Se define la proporci´ on de ´exitos como: p=
N´ umero de casos favorables o ´exitos Total de casos Posibles
En vez de expresar la variable en t´erminos de ´exitos (X) nos referimos, al n´ umero de elementos con el atributo en la muestra (a) y lo dividimos por el tama˜ no de la muestra (n). P ai p= n 4.4.1.
Simbolog´ıa P Ai Total de elementos que presentan la caracter´ıstica investigada en la poblaci´on A = P A= Ai = N P P A µP = P = P¯ P = N = NAi Proporci´on de elementos que presenta la caracter´ıstica investigada en la poblaci´ on −A Q = NN = 1 − P Proporci´ on de elementos que no presenta la caracter´ıstica estudiada P+Q = 1. σP2 Varianzaq de la proporci´ on en la poblaci´on σP2 = P Q σP σP¯ = √ = PnQ n Variante Estad´ıstico. En muchos casos, podemos utilizar la distribuci´on normal para evaluar la distribuci´on muestral de proporciones, siendo:
Z=
4.4.2.
p−P q
PQ n
=
p−µp σp
Ejemplo 1
Se tiene que el 4 % de las piezas producidas por cierta m´aquina es defectuosa, ¿Cu´al es la probabilidad de que en un grupo de 200 piezas, el 3 % o m´as sea defectuosa? Tenemos: P = 0.04 Q = 1 − P = 0.96 n = 200 P (p ≥ 0.03) =? 14
Figura 7: Ejemplo 1
r σP¯ =
PQ = n
s =
Se desea determinar P (p ≥ 0.03) p − µp Z= q =
−
=
PQ n
P (p <
)=
← Buscar en la tabla de la distribuci´on Normal
Para obtener el resultado P (p ≥ 0.03) = 4.4.3.
≈ 0.7612
Ejemplo 2
Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporci´on de las mayores de 40 a˜ nos; sabiendo que la proporci´ on en la poblaci´on es 0.4. ¿Cu´al es la probabilidad de que la proporci´ on en la muestra sea menor de 0.5? Tenemos: n = 49 P = 0.4 Q = 1 − P = 0.6 P (p < 0.5) =? Se puede observar el problema en la gr´afica:
15
Figura 8: Ejemplo 2 de proporciones
p¯ − P Z= q =r
−
=
(1)
PQ n
P (p <
)=
← Buscar en la tabla de la distribuci´on Normal
Para obtener el resultado P (¯ p ≥ 0.03) = 4.4.4.
≈ 0.0236
Ejemplo 3
Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del pa´ıs est´an en contra de comerciar con la China continental: ¿Cu´ al es la probabilidad de que en una encuesta a 100 sindicatos muestre que el 52 % tengan una misma posici´ on? Tenemos: P = 0.46 p = 0.52 Q = 1 − P = 0.54 n = 100 P (p > 0.52) =? Determina el ´ area de la gr´ afica a buscar:
Figura 9: Ejemplo 2 de proporciones 16
p¯ − P Z= q =r
−
=
(2)
PQ n
P (p <
)=
← Buscar en la tabla de la distribuci´on Normal
Para obtener el resultado P (¯ p ≥ 0.03) = 4.4.5.
≈ 0.1131
Ejercicios para Resolver
1. Se ha determinado que el 65 % de los estudiantes universitarios de Yucat´an prefieren los cuadernos marcar Norma. ¿Cual es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad , encontremos que a) como m´ aximo el 68 % sean usuarios de ese tipo de cuaderno. b) exactamente sean 66 % sean usuarios (utilizar medio punto de porcentaje para los l´ımites)
2. Un fabricante de desodorantes recibe cada semana lotes de 10,000 v´alvulas para los tarros rociadores. Para aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona al azar 400 v´alvulas de cada lote; si el 2 % o m´ as resultan defectuosos, se rechaza el lote. En caso contrario se acepta el lote. ¿Cu´al es la probabilidad de rechazar un lote que contenga el 1 % de v´alvulas defectuosas?
17
3. Se ha encontrado que el 4 % de las piezas producidas por cierta m´aquina son defectuosas ¿Cu´al es la probabilidad de que al seleccionar 400 piezas, que el 5 % o m´as sea defectuoso.
4. Para elegir el presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 46 % de los votos. Determinar la probabilidad de que entre 200, elegidos al azar, de un total de 1000 afiliados, se obtenga la mayor´ıa de votos para dicho candidato?
5. En cierta universidad de Yucat´ an 1 6 de los alumnos son mujeres. Si se extrae una muestra aleatoria de 200 estudiantes de la facultad, ¿Cu´al es la probablidad de que el 20 % o m´as sean mujeres?
18
4.5.
Distribuci´ on muestral de la diferencia de proporciones
En el caso de dos poblaciones independientes, de tama˜ no N1 y N2 , distribuidas binomialmente, con par´ametros P1 y P2 (tambi´en se le √ puede representar √ las medias por µP1 y µP2 y desviaciones proporcionales σP1 y σP2 siendo: σP1 = P1 Q1 y σP2 = P2 Q2 . El error est´aq ndar de las diferencias
2 1 + P2nQ Cuando entre las dos medias proporcionales estar´a dada por σP1 −P2 siendo: σP1 −P2 = P1nQ 1 2 se trabaja con par´ ametros o valores poblacionales Las proporciones P1 y P2 son poblacionales, y se simbolizan con letras may´ usculas. Luego cuando son muestrales, se utilizan letras min´ usculas p1 y p2 Cuando n1 y n2 corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 30, se tendr´ a, que el error est´ andar de las diferencias entre dos proporciones es: r p1 q1 p2 q2 Sp1 −p2 = + n1 n2
La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simbolizan; indistintamente por: µP1 − µP2 = µp1 − µp2 = P1 − P2 La variante estad´ıstica Z, estar´ a dada en la misma forma que fue presenta para diferencias entre dos medias muestrales: Z=
(p1 − p2 ) − (µp1 − µp2 ) q P1 Q1 P2 Q2 n1 + n2
Figura 10: Diferencia de Proporciones
4.5.1.
Ejemplo 1
Consideremos dos m´ aquinas que producen un determinado art´ıculo; la primera produce por t´ermino medio un 14 % de art´ıculos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20 % de art´ıculos 19
defectuosos; si se obtiene muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿cu´al es la probabilidad de que difiera A de B en 8 % o m´as? Tenemos: n1 = 200 n2 = 100 P1 = 14 P2 = 20 P (P1 − P2 ≥ 0) =? Dado el estimador Z Z=
4.5.2.
(p1 − p2 ) − (µp1 − µp2 ) q P2 Q2 P1 Q1 n1 + n2
Ejemplo 2
Dos f´abricas A y B producen art´ıculos similares. La producci´on de A contiene 7 % de defectuosos, y la de B contiene, 5 % . Si se extrae una muestra aleatoria de 2000 de cada una de las producciones de las f´abricas, ¿cu´ al es la probabilidad de que las dos muestras revelan una diferencia en el n´ umero de los defectuosos del 1 % o m´ as? 4.5.3.
Ejemplo 3
Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 65 % del mercado. ¿Cu´al es la probabilidad de que dos muestras aleatoria de 200 usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del 10 % en las proporciones de uso de la crema? 4.5.4.
Ejercicios a Resolver
4.6.
Distribuci´ on t-student
4.7.
Distribuci´ on muestral de la varianza
4.8.
Distribuci´ on muestral de la relaci´ on de varianzas
20
5.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Tabla de la Normal
0.0000 0.00000 0.03983 0.09477 0.15349 0.21004 0.26116 0.30543 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.01000 0.00399 0.04141 0.09538 0.15372 0.21011 0.26118 0.30543 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.02000 0.00798 0.04299 0.09599 0.15394 0.21019 0.26121 0.30544 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.03000 0.01197 0.04458 0.09661 0.15417 0.21027 0.26123 0.30544 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.04000 0.01595 0.04616 0.09722 0.15440 0.21035 0.26126 0.30545 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999 21
0.05000 0.01994 0.04773 0.09783 0.15462 0.21042 0.26128 0.30546 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.06000 0.02392 0.04931 0.09844 0.15485 0.21050 0.26130 0.30546 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.07000 0.02790 0.05089 0.09905 0.15507 0.21058 0.26133 0.30547 0.34266 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.08000 0.03188 0.05246 0.09966 0.15530 0.21066 0.26135 0.30548 0.34267 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
0.09000 0.03586 0.05403 0.10026 0.15552 0.21073 0.26137 0.30548 0.34267 0.37341 0.39856 0.41903 0.43562 0.44904 0.45986 0.46855 0.47550 0.48103 0.48541 0.48886 0.49155 0.49364 0.49525 0.49648 0.49742 0.49812 0.49864 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998 0.49999 0.49999 0.49999
